Μαθη...Μαγικά - Οδηγός Επανάληψης 2015-6 8.3.16

8/15/2019 Μαθη...Μαγικά - Οδηγός Επανάληψης 2015-6 8.3.16

http://slidepdf.com/reader/full/-2015-6-8316 1/365

Ο∆ΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 0

Το χόμπι μου είναι η μαγειρική και ενίοτε παθαίνω εκρήξεις φαιδρότητας και κυνισμού.

Ηρεμήστε δεν προτίθεμαι να παραθ!σω συνταγ!ς μαγειρικής π"ην όμως τα τε"ευταία

χρόνια !χω πο""!ς ενστ#σεις για τον τρόπο που εξετ#$ονται τα μαθηματικ# στις

πανε""αδικ!ς εξετ#σεις. %ιατί να το κρύ&ουμε #""ωστε η επιτροπή θεμ#των τα

τε"ευταία χρόνια πίνει νερό στο όνομα του '" ()αρίσμι και !χει αγιοποιήσει την

μεθοδο"ογία.*ι#)α$α πρόσφατα σε γνωστό μ!σο κοινωνικής δικτύωσης ότι+μεθοδο"ογία στα μαθηματικ# είναι !να τ!χνασμα που !γινε ,-/!νας 23 -34

εξωρα5σμός του γνωστού αφορισμού του Τ$ωρτ$ 6ό"υα. 6αρό"α αυτ# το παρόν είναι

από"υτα εναρμονισμ!νο στην "ογική ενός τσε"εμεντ! τεχνικ7ν επί"υσης ασκήσεων. Το

εγχειρίδιο του επιτήδειου στα μαθηματικ# θετικού προσανατο"ισμού. 6!ρα και μακρι#

από την μαθηματική σκ!&η στις παρακ#τω σε"ίδες θα )ρείτε μια σειρ# από

τυφ"οσούρτες για να "ύνετε τα θ!ματα των πανε""ηνίων. Το παρόν συμπ"ηρ7νει και

δεν υποκαθιστ# το σχο"ικό )ι)"ίο. 6ου και που θα )ρίσκετε αγαπημ!νες συνταγ!ς88

9.:.(.:.;

$%& 'υµ()α ε*α)α'η*τικά θ(µατα ε+’ ο'η τη τ-(ου/α

0'η, κα)()α θ(µα 1ε) α*αιτεί *α-α232ι/η τη /υ)ά-τη/η

ο'οκ'4-5µα, α) και /τη) τά6η,7'οι µα κά)αµε κά*οιε

α/κ4/ει.#(-ετε,ε'(5 /α+4)εια /τι ο1η2ίε α*7 το

υ*ου-2είο8

9 θε5-ία /υ2κε)τ-5τικά /το α-είο: https://drive.google.com/file/d/0B0ncwU5ccdmNb1RfNnVJ!d"#$/view

g(x)

α

F'(x)= f(t)dt '

∫

('ει )α *ε-ά/ει

*α)ε*ι/τ4µιο ;;

<?

<

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? ?

?

? ?

?

?

?

??




ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

1>?αθηματικ# @ετικού προσανατο"ισμού 'νδρεαδ#κης(ατσαργύρης?!της.:.A.*.B

=> ?αθηματικ# % Cυκείου ?π#ρ"ας '. Aκδόσεις A""ηνοεκδοτική

D>?αθηματικ# % Cυκείου (ατσαρός *.Aκδόσεις A""ηνοεκδοτική

E>?αθηματικ# % Cυκείου 9τεργίουF;#κηςAκδόσεις 9α))#"α

G>?αθηματικ# % Cυκείου ?αυρίδης %. Aκδόσεις ?αυρίδη

H>?αθηματικ# % Cυκείου 9κομπρής %. Aκδόσεις 9α))#"αI>?αθηματικ# % Cυκείου ?ιχαη"ίδης %. Aκδόσεις ?αυρίδη

J>'ν#"υση ?αθηματικ# 'χτσα"ωτίδης K. Aκδόσεις ?εταίχμιο

L>?αθηματικ# % Cυκείου 6απαδ#κης Aκδόσεις 9α))#"α

10>?αθηματικ# % Cυκείου M!νος. @. Aκδόσεις Nήτη

11>?αθηματικ#O'ν#"υση?αντ#ς %. Aκδόσεις ?αντ#

1=>?αθηματικ#O'ν#"υσηAυρυπι7της 9.%. Aκδόσεις 6ατ#κη

1D>?αθηματικαO'να"υση?παι"#κης 9.%. Aκδόσεις 9α))#"α

1E> 'ν#"υση 1=D%κατ$ού"η (. Aκδόσεις %κατ$ού"η

1G> 1000P1 ασκήσεις στις παραγ7γους Mηντα)ε"7νης 6.Aκδόσεις Cι)#νη

1H>?αθηματικ# % Cυκείου B QR 9πανδ#γου.Aκδόσεις 'ίθρα

1I>?αθηματικ# % Cυκείου 'ρχείο 9.:.(.:.;'ρχείο A?A 'ρχείο θεμ#των πανε""αδικ7ν1J>AS(CAT*Η9 B

1L>9υναρτήσεις6οσταντ$ής B.

=0>Bι)"ίο του διδ#σκοντος. %ια το μ#θημα αν#"υση της % "υκείου%.6αντε"ίδη Aκδόσεις Nήτη

=1>@ε7ρημα μ!σης τιμής %ιαννιτσι7τηςO(αραγι7ργος Aκδόσεις (ωστόγιαννος

==>9υναρτήσεις @.;. (α$αντ$ής. Aκδόσεις Τυποεκδοτική

=D>'ν#"υση;τ$ι7ρας.Η Aκδόσεις 6ατ#κη

=E>'ν#"υση?παρα"ός %. Aκδόσεις 6απαδημητρόπου"ου

=G> 'πειροστικός "ογισμός UV-,/W X. 6αν. Aκδόσεις (ρήτης

=H>?αθηματική αν#"υση Rασσι#ς ?. Aκδόσεις 9α))#"α

=E>Y2Z4[\ -3 ]/^__\ T.?.X/23X- Y_Z-\`4

=G>@!ματα μαθηματικ7ν κατεύθυνσης6ανουσ#κης ;.Aκδοτικός όμι"ος 9υγγραφ!ων καθηγητ7ν=H> Το a

=I> Η διδασκα"ία του 'πειροστικού "ογισμού μ!σω αντιπαραδειγμ#των 6"#ταρος %ι#ννης

=I>:δηγός επαν#"η&ης στα μαθηματικ# % "υκείου K.6ατή"ας εκδόσεις (ωστόγιαννος

=J>%ενικ# θ!ματα μαθηματικ7ν B"#χος. B. (ουτσούκος 6. Mηροκ7στας 6. 6"ατής K.

=L>Y2Z4[ Z22Wbcd4Z/ /3e f4[43g/h i_3^g-23\ j_g4V2, c.k_Z/32, Xlk Y_Z-\`4\

D0> @!ματα για πανε""ήνιες εξετ#σεις πρ7της δ!σμης9#κης Cιπορδ!$ης

D1>m`4 g`42h 2i i_3^g-23\ 2i / 4/ ,/-/Z4 k.n.o4ii4h

D=>c Y2Z4[ Z22W -3 [/g`4[/g-^/ /3/h\-\p.q r4[/3

DD> r/e V2Z4[\ -3 ]/^__\ c.p .s2W_3

DE> ?αθηματικ# 1=D %.*εμερτ$ής*.%ου)ίτσας Aκδόσεις t"υμπος

DG>?εθοδο"ογία για ασκήσεις και προ)"ήματα μαθηματικ7ν '.(α"ομητσίνης Aκδόσεις 9μί"ηDH>*ιδακτικη των θετικ7ν επιστημ7ν *.C. (αραγε7ργος

DI>Aπανα"η&η μαθηματικ7ν % "υκείου;.(ουταντ$ής

DJ>Aπι"ογη ασκήσεων από την διεθνή θεματογραφία % ενιαίου "υκείου '.(α"ομητσίνης

DL>'σκησεις μαθηματικής αν#"υσης9τ#ικου B

E0>s-ii443g-/ ]/^__\ ;.r/

E1>]/^__\f.Uu2W2u\W-

E=>Y2Z4[\ -3 cd4Z/ m.c3e44\W_ v.w43d

ED>:"οκ"ηρ7ματα @.;. (α$αντ$ής. Aκδόσεις ?αθηματική )ι)"ιοθήκη

EE>xδηγός προετοιμασίας για τις πανε""αδικ!ς εξετ#σεις yn-\/- g4/[>

EG>?αθηματικ# % τ#ξης %ενικού Cυκείου (ανδυ"ας Nανταριδηςz

Τα σχήματα επιμε"ήθηκε ο ;τόνα"ντ ;τ#κ εν7 τους γραμμοκ7δικες y {O^2e4> δημιούργησε ο:)ε"ίξ σε συνεργασία με τον (ακοφωνίξ.

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. D

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

•ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: ! "ΕΜΑΤΑ #$% &

•ΙΑΦΟΡΙΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ: "ΕΜΑΤΑ #$% *+

•ΟΛΟΛΗΡ,ΤΙΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ: ! "ΕΜΑΤΑ #$% -&

•ΛΥΜΕΝΑ "ΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙ,Ν: .! "ΕΜΑΤΑ #$% /** (ΗΜΕΡΗΣΙ,Ν0ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙ,Ν0ΟΜΟΓΕΝ,Ν0ΕΣΠΕΡΙΝ,Ν)

•ΛΥΜΕΝΑ "ΕΜΑΤΑ Ο1Ε1Φ1Ε: /! "ΕΜΑΤΑ #$% */.

ΜΠΟΕΙ ΝΑ ΑΝΑΠΑΑ"ΕΙ <ΑΙ ΝΑ ∆ΙΑΝΕΜΗΕΙ ΕΛΕ!ΕΑ

∆ί)εται

/υ)ά-τη/η = µετ0*ο =>?@A8

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. E

ΟΡΙΑ2ΣΥΝΕΧΕΙΑ

)Γ3α 43α #56789# i b →ℝ ℝ 3#;<$3: iy| h> iy|> iyh> |h+ = + − 3α >7?$ | h ∈ ℝ >α3

| 0

iy|>-[ 10

|→= 1Να @8$A9$ 9B

| =

iy|> iy=>-[

| =→

−−

1

Cύση

@!τουμε | = h− =

οπότε | h == +

. tταν| =→

το h 0→

. }ραb( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

y >

| = h 0 h 0 h 0

y1>

h 0 h 0 h 0

i h = i = i h i = h = i = i h =hi | i =-[ -[ -[ -[

| = h h h

i h i h i h=h-[ -[ = -[ = 10 = J.

h h h h

υπ

→ → → →

→ → →

+ − + − ⋅ − −−= = = =

−

− = − = − = − =

/)C#9D− + −

=−

D

D

=| E| 1LIE "|iy|>

| =01G0 ∈ ℝ" 1Να @8$A9$ 9B

→−∞|-[ iy|> 1

Cύση

6αρατηρούμε ότι→−∞ →−∞

− + = = −∞D D

| |-[ y=| E| 1LIE> -[y=| > .(ατ# συν!πεια θα υπ#ρχει ∈ ℝκ τ.ω

για κ#θε ( )∈ −∞

| κ να ισχύει− + <D

=| E| 1LIE 0 }ρα για κ#θε ( )∈ −∞| κ !χουμε − + = − + −D D=| E| 1LIE =| E| 1LIE 1

~τσι ο τύπος της i γρ#φεται

− + − − − + − −= =

− −

D D

D D

=| E| 1LIE "| =| yE ">| 1LIEiy|>

| =01G | =01G

→−∞ →−∞

− + − − −= = −

−

D D

D D| |

=| yE ">| 1LIE =|-[ -[ =

| =01G |

*)(E#># Μ8374)

G) A6$9α3 #56789#=

) | E α | = =iy|>

| E| D

− − + −=

− +

Να @8$?B<6 B3 8α4α93>BA α83?4BA α0@ H9#3 I#9$ 6α 3#;<$3:| D-[ iy|> J

→ = 1

GG)Γ3α 93J 934HJ 9D6 α0@ 9B5 $8D9K4α9BJ (G) 6α 5B%BA#$9$ 9B L83α:

α)=| 0

) 1E α E-[

| |→

+ + −

@)| π

α G |-[

συν| ) 1E→

+ −

+ + )

| 0

ημ|-[

| α E) 1→ − + −

Cύση

Το πεδίο ορισμού της i είναι το c •1D€= −ℝ .%ια κ#θε | c∈ !χουμεb

( )=iy|> | E| D ) | E α | = =− + = − − + −

tμως ισχύουνb| D-[ iy|> J

→= και ( )=

| D-[ | E| D 0

→− + =

}ρα !χουμεb

( )→

− − + − = ⋅ ⇔ − + − = ⇔ − + =| D-[ ) | E α | = = J 0 Gα ) = 0 Gα ) = y1>

Aφόσον | D→ μπορούμε να θεωρήσουμε ότι ( ) ( )| =D DE∈ − ∪ οπότε !χουμεb

| = | = 0

| E | E 0

> − + >⇔

< − < δη"αδή

| = | =

| E | E

+ = +

− = − +

~τσι ο τύπος της i γίνεταιby1>

= =

) | E α | = = )y | E> αy| => = y= Gα>y | E> αy| => =iy|> ...

y| 1>y| D>| E| D | E| D

− − + − − + − + − + − + − + −= = = =

− −− + − +




ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. G

( )y| D> Hα =Hα| 1Jα =| H Hαy| D> =y| D> Hα =....

y| 1>y| D> y| 1>y| D> y| 1>y| D> | 1

− − −− + − + − − − − − −= = = =

− − − − − − −

| D | D

Hα = Hα =-[ iy|> -[ Dα 1

| 1 =→ →

− − − −= = = − −

−

~χουμεb

Dα 1 J α D− − = ⇔ = − ~τσι από την y1>

=−

− + = ⇔ − − + = ⇔ + = ⇔ = −α D

Gα ) = Gy D> ) = 1G ) = ) 1D

6ραγματικ# για ) 1D= − α D= − ισχύει | D-[ iy|> J

→= .

--> α> %ια ) 1D= − α D= − ισχύει

= = ==| 0 | 0 | 0 | 0

1D 1E D E 1 1 1 1 1 1-[ -[ -[ -[

| | | || | | |→ → → →

− + − + − = − = − = − =

| 0

1 1-[ y1 > y >y1 y >> y >y >

| |→

= − = +∞ − +∞ = +∞ −∞ = −∞

)>α D) 1D

| π | π | π

α G | D G | = |-[ -[ -[

συν| ) 1E συν| 1D 1E συν| 1

=− =−

→ → →

+ − − + − −= =+ + − + +

Tσχύειb ( )| π-[ συν| 1 1 1 0

→+ = − + =

%ια κ#θεπ Dπ

| π π= =

∈ ∪

!χουμεb συν| 1 συν| 1 0> − ⇔ + >

}ρα| π

1-[

συν| 1→= +∞

+

:πότε| π | π | π | π

= | 1 1-[ -[ = | -[ = | -[ = π y >

συν| 1 συν| 1 συν| 1→ → → →

−= − = − = − +∞ = +∞

+ + +

)| 0 | 0 | 0 | 0

ημ| ημ| ημ| ημ|-[ -[ -[ -[

| α E) 1 | y 1D> Ey D> 1 | 1D 1= 1 | 1 1→ → → →= = = =

− + − − − + − − + − − + −

( )

( )( )

( )( )( )

( )=| 0 | 0 | 0 | 0

=

| | 1 1 | | 1 1 ημ| | ημ| ημ| ημ||-[ -[ -[ -[

| | || 1 1| 1 1 | | 1 1 | 1 1 | 1 1→ → → →

+ + + + = = = + − + − + − + + + −

( ) ( )( ) ( )

| 0 | 0 | 0 | 0 | 0

| | 1 1 | | 1 1 ημ| ημ| ημ| ημ|-[ -[ -[ | 1 1 -[ -[ | 1 1

| | 1 1 | | | |→ → → → →

+ + + + = = + + = ⋅ + + + −

1 = == ⋅ =

Γυα'ιά 2ια αυτο0 *ου B'(*ου)..µακ-ιά;;

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. H

&) Η #56789# f $A6α3 B83#4H6 #9B M37#94α )0 +∞ >α3 3>α6BB3$A 93J #56?K>$J:D

iy|> |iy|> 1 + = >α3 iy|> 0> 3α >7?$ | 0! 1 Να αBM$AN$9$ L93 ( )| 0-[ i | 1

+→= 1

Cύση

'ρκεί να δείξουμε ότιb ( )| 0-[ iy|> 1 0

+→− = . %ι αυτό από τη δοσμ!νη σχ!ση θα προσπαθήσουμε

να σχηματίσουμε τη διαφορ#. Aίναι b( )" # ( ) ( )" # ( )( ) ( ) ( )

( )" # ( )( ) ( ) ( )" # ( )" # ( )( ) ( )

D =D =

= =

i | 1 |i | 0 i | 1 i | i | 1 1 |i | | | 0

i | 1 i | i | 1 | i | 1 | i | 1 i | i | 1 | |

− + = ⇔ − ⋅ + ⋅ + + − + = ⇔

− ⋅ + + + − = − ⇔ − ⋅ + + + = −

(αι αφού ( )| 0i | 0! > είναι ( )( ) ( )=

i | i | | 1 0+ + + > #ρα

( )( )( ) ( )

=

|i | 1

i | i | | 1

−− =

+ + + οπότε ( )

( )( ) ( )=

|i | 1 |

i | i | | 1

−− = $

+ + + και !τσιb

( ) ( )| i | 1 | 1 | i | 1 |− $ − $ ⇔ − $ $ + και αφού ( ) ( )| 0 | 0-[ 1 | -[ 1 | 1

+ +→ →− = + = από το κριτήριο

παρεμ)ο"ής είναιb( )| 0-[ i | 1+→ =

)Μ3α #56789# →ℝ ℝi b H;$3 96 3M3L99α

+ = +iy|>iyh> |h |iyh> hiy|> 03α >7?$ ∈ ℝ| h

G)Να @8$A9$ 9B6 9-[

|

Cύση

->Η ισότητα + = +iy|>iyh> |h |iyh> hiy|> ισχύει για κ#θε ∈ ℝ| h #ρα θα ισχύει ακόμα και αν

)#"ουμε όπου h το | !τσιb

( )

( )

+ = + ⇔ − + = ⇔

− = % − = ⇔ =

== =

=

iy|>iy|> | |iy|> |iy|> iy|> =|iy|> | 0

iy|> | 0 iy|> | 0 iy|> |

Η iy|>‚| ικανοποιεί την υπόθεση οπότε είναι η $ητούμενη συν#ρτηση .

--> → →

= = +∞D =| 0 | 0

| 1-[ -[

| |

-) (OPdGQR STt gUUdGQR)

G)Α6 >B697 #9B 0| 3#;<$3 !iy|> 0 >α3 !dy|> 0 >α3 3#;<$3→

+ =0| |

-[yiy|> dy|>> 0 06α αBM$AN$9$ L93

→ →= =

0 0| | | |-[ iy|> -[ dy|> 0

GG)Α6 →+ =

0

= =

| |-[yi y|> d y|>> 0 6α αBM$AN$9$ L93 → →= =

0 0| | | |-[ iy|> -[ dy|> 0 GGG)Α6 + + − + $= =i y|> d y|> =iy|> Edy|> G | 0 6α 5B%BA#$9$ 9B

→ 0| |-[ iy|> >α3 9B

→ 0| |-[dy|> 1

Cύση

-> (οντ# κοντ# στο0

| θα ισχύειb $ $ +0 iy|> iy|> dy|> και επειδή είναι→

+ =0| |

-[yiy|> dy|>> 0 από

το κριτήριο παρεμ)ο"ής θα είναι και→

=0| |

-[ iy|> 0 .:μοίως προκύπτει→

=0| |

-[ dy|> 0 .

-->6ροφαν7ς ισχύει $ + ⇔ $ + ⇔ $ + ⇔= = = = = = = =i y|> i y|> d y|> i y|> i y|> d y|> iy|> i y|> d y|>

− + $ $ += = = =y i y|> d y|>> iy|> i y|> d y|> και εφόσον→

+ =0

= =

| |-[ i y|> d y|> 0 από το κριτήριο

παρεμ)ο"ής θα είναι και →=

0| |-[ iy|> 0 .:μοίως προκύπτει →=

0| |-[ dy|> 0 .--->Η δοθείσα σχ!ση γρ#φεταιb

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. I

+ + − + $ ⇔ + + − + − + − + $ ⇔= = = =i y|> d y|> =iy|> Edy|> G | i y|> =iy|> 1 1 d y|> Edy|> E E G |

( ) ( ) ( ) ( )+ + − + − + − + $ ⇔ + + − $= == =i y|> =iy|> 1 1 d y|> Edy|> E E G | iy|> 1 dy|> = |

Τε"ικ# ( ) ( )$ + + − $= =

0 iy|> 1 dy|> = | ισχύειb→ →

= =| 0 | 0-[ 0 -[ | 0

από το κριτήριο παρεμ)ο"ής θα είναι ( ) ( )( )→+ + − =

= =

| 0-[ iy|> 1 dy|> = 0 .

'πό το ερ7τημα y--> θα ισχύειb

( )→

+ =| 0-[ iy|> 1 0 και ( )

→− =

| 0-[ dy|> = 0 οπότε

→= −

| 0-[ iy|> 1 και

→=

| 0-[ dy|> = .

+)Να @8$?$A 9B L83B→

+

+

G D

| 0 D G

| |-[

| |

Cύση

@!τουμε =1G | _ #ρα = 1G| _ με 1G‚A.(.6yDG>

~τσι το όριο γίνεταιb

→ → → → → →

++ + + + += = = = = =

+ + + ++ +

G 10GG D G G GD 1G 1G 1G G 10 10G

D D D| 0 _ 0 _ 0 _ 0 _ 0 _ 01G D D 1= 1= 1=D DG D G1G 1G

_ y_ 1>| | _ _ _ _ _ _ 1 _ 1-[ -[ -[ -[ -[ -[ 1

_ _ _ y_ 1> _ _ 1 _ 1| | _ _

V) Ο3 #56α89K#$3J f0 g $A6α3 B83#4H6$J #9B W >α3 3#;<B56:

( ) ( ) ( ) ( )| 0 | 0

d | | |i | d | | |i | 1-[ 1 -[

=| | =→ →

&' − &' += ()* =

&'

Να @8$A9$ 9α ( ) ( )| 0 | 0-[ i | -[d |

→ →()* 1

Cύση

@!τουμεb ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )d | | |i | d | | |i |

` | |=| |

&' − &' += ()* =

&' οπότεb

( ) ( )| 0 | 0

1-[ ` | ‚1 y1> αι -[ φ | ‚ y=>.=→ →

( }ραb

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )| 0

d | | |i | =|` | yD>

d | | |i | | | yE>

ƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒ

|` | | ` | 1=d | | =|` | | | d | |

|| = =|

&' ,

&' − =

&' + = &' +

&' = + &' ⋅ ⇔ = + = +

&'&'

οπότε ( )

( )

( ) ( )

y1>y=>| 0

| 0 | 0 | 0

| 0

-[ ` | 1 1 1 1 G

-[ d | -[ | -[ d || = 1 = = E-[|

→

→ → →

→= + = + ⋅ ⇔ =&'

-

'πό yD>b

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y| 0> |

|i | d | | =|` | i | d | =` ||

, &'= &' − ⇔ = − #ρα

( ) ( ) ( )| 0 | 0 | 0 | 0

| G-[ i | -[d | -[ =-[ ` | 1 = 1

| E→ → → →

&'= ⋅ − = ⋅ − ⋅ δη"αδήb ( )

| 0

D-[ i |

E→= − .

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. J

.)36$9α3 #56789#=κ"| yκ ">| 1 1

iy|>|

+ + + −= 0 LB5 κ 0 "< <

Να @8$A9$ :

α) 9B $MAB B83#4B< 9J f @)| 0-[iy|>

→

Cύση

-> %ια το πεδίο ορισμού θα πρ!πει να ισχύειb="κ| yκ ">| 1 0 y1>+ + + ! και | 0,

Η διακρίνουσα του τριωνύμου είναιb= =yκ "> Eκ" .. yκ "> 0. = + − = = − > y κ 0 "< < >

:πότε οι ρί$ες είναιb

=

1=

yκ "> yκ "> 1yκ "> yκ "> yκ "> yκ "> =κ" κ|

yκ "> yκ "> 1=κ" =κ"

=κ" "

− + + −= −− + / − − + / −

= = = − + − − = −

Aπειδή κ 0 "< < η ανίσωση y1> θα ισχύειb 1 10" κ

− $ $ − .

Aπομ!νως το πεδίο ορισμού της i είναι το σύνο"οb1 1

0 0" κ

− ∪ −

.

)>( )( )

( )

= ==

| 0 | 0 | 0 =

"κ| yκ ">| 1 1 "κ| yκ ">| 1 1κ"| yκ ">| 1 1-[ iy|> -[ -[

| | "κ| yκ ">| 1 1→ → →

+ + + − + + + ++ + + −= = =

+ + + +

( )

( ) ( ) ( )

== =

= =

| 0 | 0 | 0= = =

"κ| yκ ">| 1 1"κ| yκ ">| 1 1 "κ| yκ ">|

-[ -[ -[| "κ| yκ ">| 1 1 | "κ| yκ ">| 1 1 | "κ| yκ ">| 1 1

→ → →

+ + + − + + + − + + = = =

+ + + + + + + + + + + +

( )| 0 | 0 = ==

|y"κ| yκ ">> "κ| yκ "> "κ 0 yκ "> κ "-[ -[

="κ| yκ ">| 1 1 "κ 0 yκ ">0 1 1| "κ| yκ ">| 1 1→ →

+ + + + ⋅ + + += = = =

+ + + + ⋅ + + + ++ + + +

!)Να @8$?$A 9B L83B→+∞

+ −=

|-[„3y | 1 |>…

Cύση

@!τουμε + − ==| 1 | _ και παρατηρούμε ότι

( )( )→+∞ →+∞ →+∞ →+∞

+ − + + + −+ − = = = =

+ + + + + +

= == =

=

| | | |= = =

| 1 | | 1 | | 1 | 1-[ y | 1 |> -[ -[ -[ 0

| 1 | | 1 | | 1 |

}ρα +→+∞ →+ − = = −∞=

| _ 0-[„3y | 1 |>… -[„3y_>…




ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. L

)Α6 = =iy|> E| E| D | =| = D| == + + + + + − + >α3| 1 |

| | 1

= D =dy|>

= D =

+

+

− +=

+ +

Να @8$A9$ 9α L83α G)|-[ iy|>→+∞

GG)|-[ iy|>→−∞

GGG)|-[ dy|>

→+∞ GX)

|-[ dy|>→−∞

Cύση

-> ( ) ( )= = = =

| | |-[ iy|> -[ E| E| D | =| = D| = -[ E| E| D =| | =| = | =

→+∞ →+∞ →+∞= + + + + + − + = + + − + + + − + =

( ) ( )( )= = = =

| = =

y E| E| D => E| E| D =| | =| = | | =| = |-[ =

E| E| D =| | =| = |→+∞

+ + − + + + + + + + + − + + =

+ + + + + +

= = = =

| |= = = =

E| E| D E| | =| = | E| D =| =-[ = -[ =

E| E| D =| | =| = | E| E| D =| | =| = |→+∞ →+∞

+ + − + + − + += + + = + + = + + + + + + + + + + + +

| 0

| |= =

= =

| |

= =

E| D =| = E| D =| =-[ = -[ =

E D = =E| E| D =| | =| = | | E = | 1| || |

|E| D =| =

-[ = -[E D = =

| E = | 1 1| || |

>

→+∞ →+∞

→+∞ →+∞

+ + + += + + = + + =

+ + + + + + + + + + + +

+ +

+ + = + + + + + +

= =

D =E | =

| |=

E D = =| E = | 1 1

| || |

+ + + + = + + + + + +

( )

( ) ( )

|

= =

D = =E = =

E 0| | | E =-[ = = = E

E =E D = = E 0 0 = 1 0 0 1

E = 1 1| || |

→+∞

+ + + + + + = + + = + + = + + + + + +

+ + + + + +

-->

| 0

= =| |

= =|

E D = = =-[ iy|> -[ | E | 1 | D

| | || |

E D = = =-[ | E | 1 | D

| | || |

>

→−∞ →−∞

→−∞

= + + + + + − + =

− + + − + + − + =

( )( ) ( )

= =|

E D = = =-[ | E 1 D

| | || |

y > E 0 0 1 0 0 D 0 y > H

→−∞

− + + + + + + + =

+∞ + + + + + + + = +∞ = +∞

GGG)| 1 | | |

| | 1 | || | |

||

|

||

||| ||

||

= D = = = D =-[ dy|> -[ -[

= D = = D D =

= = = =D = 1 = 1D D D = 0 1 0 1D-[ -[

0 D 0 D= == =DD D

D DD D

+

+→+∞ →+∞ →+∞

→+∞ →+∞

− + ⋅ − += = =

+ + + ⋅ + ⋅ − + ⋅ − + ⋅ − + = = = −

+ + + + + +

-,>

| 1 | | |

| | 1 | || | |= D = = = D = = 0 0 =-[ dy|> -[ -[ 1

0 D 0 == D = = D D =

+

+→−∞ →−∞ →−∞− + ⋅ − + ⋅ − += = = =+ ⋅ ++ + + ⋅ +





/)A6$9α3 #56789# →ℝ ℝi b 4$→+

−=

| 0

iy|> |-[ =

|

G)6α @8$A9$ 9B→| 0

-[iy|> >α3→| 0

iy|>-[

|

GG) 6α 5B%BA#$9$ 9B ∈ ℝ" 0 I#9$→

+=

+= =| 0

|iy|> "|ημ|-[ G

| ημ| i y|>

GGG)Να 5B%BA#$9$ 9B→

+

+| 0

iyημ|> |-[

| ημ|

Cύση

-> @!τουμε−

=iy|> |

dy|>|

με→

=| 0-[ dy|> = και = +iy|> |dy|> | οπότε το

| 0-[dy|>

→υπ#ρχει και

είναιb

→ →= + = ⋅ + =

| 0 | 0-[ iy|> -[y|iy|> |> 0 = 0 0

και→ → → →

+ += = = + =

| 0 | 0 | 0 | 0

|dy|> | |ydy|> 1>iy|>-[ -[ -[ -[ydy|> 1> D

| | |

--> → → → →

++ ++ = = = =

+ +++

=

=

b| = = =

= = = = = ==| 0 | 0 | 0 | 0b|

== = =

|iy|> "|ημ| "|ημ||iy|> ημ|iy|>"|iy|> "|ημ| | | | | |-[ -[ -[ -[

| ημ| i y|> | ημ| i y|> | ημ| i y|>i y|> ημ|

|| | |

→

+ += =

+ +

=| 0

ημ|iy|>"

D "| |-[0 Liy|>

ημ||

.~τσι+

= ⇔ ⇔ =+

D "G ... " E=

0 L

--->

∈ − ∪

→ → → →

++

++ = = =++

+ +

π π| 0 0

= =

| 0 | 0 | 0 | 0

iyημ|>

ημ|1

|iyημ|> | iyημ|>

1iyημ|> | ημ|| |-[ -[ -[ -[| ημ| ημ| ημ|| ημ|

1 1| | |

%ια το όριο→| 0

iyημ|>-[

ημ| θ!τουμε = ημ| _ και όταν →| 0 τότε →_ 0 οπότε το προηγούμενο

όριο γίνεται→

=_ 0

iy_>-[ D

_.Τε"ικ#

→ →

+

++= = =

+ ++

| 0 | 0

iyημ|>

ημ|1

| D1iyημ|> | ημ| 1-[ -[ =

ημ|| ημ| 1 11

|

*)Ε#9D B3 #56α89K#$3J f0g B83#4H6$J #9B ℝ 9H9B3$J0 I#9$:

( ) ( )| |-[ iy|> dy|> -[ iy|> dy|> 0→+∞ →+∞

− = ⋅ =

Να M$AN$9$ L93| |-[ iy|> -[ dy|> 0→+∞ →+∞

= =

Cύση

%ια κ#θε | ∈ ℝ

( )

( )

( )

( ) ( )( )

=

=| |

|

| |

-[ iy|> dy|> 0 -[ iy|> dy|> 0-[ iy|> dy|> Eiy|> dy|> 0

-[ iy|> dy|> 0 -[ Eiy|> dy|> 0

→+∞ →+∞

→+∞

→+∞ →+∞

− = − = % % − + ⋅ = %

⋅ = ⋅ =

( )=

|-[ iy|> dy|> 0→+∞% + = τότε όμως θα είναι ( )( )

=

| |

|

-[ iy|> dy|> 0 -[ iy|> dy|> 0

-[ iy|> dy|> 0→+∞ →+∞

→+∞

+ = ⇔ + = ⇔

⇔ + =

tμως

( )

( )

( )

( )| |

| |

| |

| |

-[ iy|> dy|> 0 -[ iy|> dy|> yiy|> dy|>> 0

-[ iy|> dy|> 0 -[ iy|> dy|> yiy|> dy|>> 0

-[ =iy|> 0 -[ iy|> 0

-[ =dy|> 0 -[ dy|> 0

→+∞ →+∞

→+∞ →+∞

→+∞ →+∞

→+∞ →+∞

− = − + + = % % + = − − + =

= = %

= =

&)C#9D #56789# ( )+∞ → ℝi b 0 9H9B3α I#9$0

+ =Di y|> iy|> | 03α >7?$ ∈ ℝ|

Να αBM$AN$9$ L93:

G) < <0 iy|> | 03α >7?$ >| 0

GG)→

=| 0-[ iy|> 0

GGG)→

= +∞| 0

1-[

iy|>

GX) α6 578;$3 9B L83B→+∞|

-[ iy|> 0 9L9$→+∞

= +∞|-[ iy|>

Cύση->Tσχύει + = ⇔ + =D =i y|> iy|> | iy|>yi y|> 1> | για κ#θε >| 0

*η"αδή =+=

|iy|>

i y|> 1 για κ#θε >| 0 . tμως < <

+=

|0 |

i y|> 1 για κ#θε >| 0

-->ισχύει < <0 iy|> | για κ#θε >| 0 οπότε από το κριτήριο παρεμ)ο"ής !πεταιb

→=

| 0-[ iy|> 0

--->→

=| 0-[ iy|> 0 και >iy|> 0 κοντ# στο 0 #ρα

→= +∞

| 0

1-[

iy|>

-,> † 'ν→+∞

= −∞|-[ iy|> τότε από την δοθείσα σχ!ση προκύπτει ( )

→+∞ →+∞

+ = D

| |-[ iy|> iy|> -[ | που

είναι αδύνατον διότι ( )→+∞

+ = −∞ D

|-[ iy|> iy|> και

→+∞= +∞

|-[ |

† 'ν→+∞

= ∈ ℝ|-[ iy|> n τότε από την δοθείσα σχ!ση προκύπτει ( )

→+∞ →+∞

+ = D

| |-[ iy|> iy|> -[ | που

είναι αδύνατον διότι ( )→+∞

+ = + D D

|-[ iy|> iy|> n n και

→+∞= +∞

|-[ | 1

)YUZTR 4$[$M7>3α ?$D8AαJ1( Γ3α 6α ;8#34BB3?B<6 ?H%B56 αLM$3N)

Ι) Α6 →ℝ ℝi b $8399K >α3→

=| α-[ iy|> n 6α M$AN$9$ L93

→−= −

| α-[ iy|> n

ΙΙ) Α6 →ℝ ℝi b 7893α >α3→

=| α-[ iy|> n 6α M$AN$9$ L93

→−=

| α-[ iy|> n

Cύση

->‡ i περιττή στο ℝ #ρα για κ#θε ∈ ℝ| τότε − ∈ ℝ| και επίσης − = −iy |> iy|> ()

→− →− →− →= − − = − − = − = −y1>

| α | α | α _ α-[ iy|> -[ iy |> -[ iy |> -[ iy_> n

-->‡ i #ρτια στο ℝ #ρα για κ#θε ∈ ℝ| τότε − ∈ ℝ| και επίσης − =iy |> iy|> − =

→− →− →= − = =

| _

| α | α _ α-[ iy|> -[ iy |> -[ iy_> n

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1=

-) ($α67%\ #9α 983D6B4$983>7 L83α 4$ B%A αL11.+&)

Α1Να @8$?B<6 9α L83α

G)→

+ +=

| 0

| | 1LIE-[

|ημ|

GG)( ) ( )

→

=| 0

ημ 1LIE| ημ 1LIG|-[

|

GGG) +

→

=

ν =

| 0

ημy=|>-[ 1LIE|

=|0 ∈ ℤˆν

GX)→−∞ =|

συν|-[

|

X)→−∞

+

−

=

=|

1LIE| συν|-[

| συν|

Β1 Α6 3#;<$3| 0

iy|>-[ 1

|→= 9L9$ 6α 5B%BA#$9$ 9B

=

=| 0

iy1D| I|>-[

1D| I|→

+

−

Cύση

-> Tσχύει ( )→+ + ==

| 0-[ | | 1LIE 1LIE και ( )

→=

| 0-[ |ημ| 0

'να$ητούμε το πρόσημο του παρονομαστή κοντ# στο 0.

† 'ν

∈

π| 0

=τότε >| 0 > ημ| 0 #ρα >|ημ| 0

† 'ν

∈ −

π| 0

=τότε <| 0 < ημ| 0 #ρα >|ημ| 0

*η"αδή >|ημ| 0 για κ#θε | κοντ# στο 0.

Aφόσον ( )→

=| 0-[ |ημ| 0 4$ >|ημ| 0 για κ#θε | κοντ# στο 0 είναι

→

= +∞

| 0

1-[

|ημ|

:πότε ( )→ →

+ + = + + = = +∞ ⋅ = +∞

==

| 0 | 0

| | 1LIE 1-[ -[ | | 1LIE .. y > 1LIE

|ημ| |ημ|

GG)( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

→ → →

= ⋅ = ⋅ =

=| 0 | 0 | 0

ημ 1LIE| ημ 1LIG| ημ 1LIE| ημ 1LIG| ημ 1LIE| ημ 1LIG|-[ -[ -[ 1LIE 1LIG

| | 1LIE| 1LIG||

( ) ( ) ( ) ( )→

→ → → → →

= = ⋅ ⋅ ⋅ =

⋅

_ 1LIE|

| 0 | 0 h 1LIG| _ 0 h 0

ημ 1LIE| ημ 1LIG| ημ _ ημ h-[ 1LIE -[ 1LIG 1LIE-[ 1LIG-[ 1LIE 1 1LIG 1

1LIE| 1LIG| _ h

1LIE 1LIG

GGG) *ιακρίνουμε περιπτ7σεις για το ν.

+

→

= − = > − + ∞ < −

=

ν =

| 0

ν = 1LIE ημy=|>

-[ 1LIE| ν = 0=|

ν αρτιοςν =

νπεριττος δεν υπαρχει το οριο

-,> @α εργαστούμε με το κριτήριο παρεμ)ο"ής.

%ια κ#θε <| 0 !χουμε διαδοχικ#

− $ $ ⇔ − $ $= = =

1 συν| 11 συν| 1 | | | ()

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1D

tμως→−∞ →−∞

−= =

= =| |

1 1-[ 0 -[ 0

| |οπότε από το κριτήριο παρεμ)ο"ής από την σχ!ση y1>

προκύπτειb

→−∞=

=|

συν|-[ 0

|

X)→−∞ →−∞ →−∞

+

++ += = = =−− − −

=

= ,-= =

= =| | |

==

1LIE| συν| συν|1LIE1LIE| συν| 1LIE 0| |-[ -[ -[ 1LIE

συν| 1 0| συν| | συν|1

||

Β1

( )( )

== = = _ 1D| I

= = =| 0 | 0 _ 0 | 0 _ 0 | 0

| 1D| Iiy1D| I> iy1D| I|> 1D| I| iy_> iy_> 1D| I-[ -[ -[ -[ -[ -[ 1y 1> 1

_ _ 1D| I| 1D| I1D| I 1D| I| 1D| I|

= +

→ → → → → →

++ + + += ⋅ = = = − = −

−−− + −

+)UPdGQR STt gUUdGQR)Να 5B%BA#$9$ 9α α8α>79D L83α:

G)|

1-[ |ημ

|→+∞ GG)

|

1-[ |ημ

|→+∞ GGG)

|

1-[ y| 1>ημ

|→+∞+ GX) =

|

1-[ y L| 1>ημ

|→−∞+

X) =

|

1-[ =| 1 συν

|→+∞

−

XG)

|

| ημE|-[

=| συν

|

→−∞

−

Cύση

-> @!τω1 1

_ || _

= ⇔ = τότε| |

1-[ _ -[ 0

|→+∞ →+∞= = οπότε !χουμεb

_ 0 _ 0

ημ_1-[ ημ_ -[ 1

_ _→ →= =

(ατ# αν#"ογο τρόπο προκύπτει|

1-[ |ημ 1

|→−∞=

--> y- >

| | | |1 1 1 1 1-[ |ημ -[ |ημ -[ -[ |ημ 0 1 0| | || |→+∞ →+∞ →+∞ →+∞

= = ⋅ = ⋅ =

---> y- >

| | | |

1 1 1 1 1-[ y| 1>ημ -[ |y1 >ημ -[y1 > -[ |ημ y1 0>1 1

| | | | |→+∞ →+∞ →+∞ →+∞+ = + = + ⋅ = + =

-,> = =

=| |

1 1 1-[ y L| 1>ημ -[y | L >ημ

| ||→−∞ →−∞

+ = + =

| αρα τε"ικα | 0

= =| |

1 1 1 1-[ y | L >ημ -[ | L ημ

| || |

→−∞ <

→−∞ →−∞+ = − + =

=| |

1 1

-[ L -[ |ημ y L 0>1 D||→−∞ →−∞

− + = − + = −

,> @!τω1 1

_ || _

= ⇔ = τότε| |

1-[ _ -[ 0

|→+∞ →+∞= = οπότε

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1E

( )=

=| _ 0

= =

= = =_ 0 _ 0 _ 0

=

=

=

=_ 0 _ 0

1 1-[ =| 1 συν =-[ 1 συν_

| _

_ _=ημ =ημ

1 συν_ = == -[ =-[ =-[_ _ _

E=

_ _ ημ ημ

= =-[ -[ 1 1__==

→+∞ →

→ → →

→ →

− = − =

−= = = =

= = =

,->

| αρα τε"ικα | 0

| |

| |

ημE|| 1

|| ημE|-[ -[

= =| συν | συν

| |

ημE| ημE|| 11| 1 0|-[ -[ 1

= = 1|συν συν

| |

→−∞ <

→−∞ →−∞

→−∞ →−∞

−

− = =

− −

+− + = = =−

V)C#9D #56789# →ℝ ℝi b 0 =ℝ ℝiy > BBAα $A6α3 2 9H9B3α I#9$

$iy|> | 3α >7?$ ∈ ℝ| − $ −1 |i y|> 4 1 3α >7?$ ∈ ℝ|

Να αBM$AN$9$ L93 :

G) − !1i y|> | 3α >7?$ ∈ ℝ|

GG) − −

→

=1 1

| 0

-[ i y|> i y0>

GGG) =iy0> 0

GX) −

→+∞= +∞1

|-[ i y|>

X) α6 $3%HB6 3#;<$3 #;H#→

= ∈ ℝ| 0

iy|>-[ n

ημ| 9L9$ =n 1 1

Cύση

-> Η i 1O1 #ρα η −1i ορί$εται στο ℝ #ρα =ℝ ℝiy > !χουμε

$iy|> | για κ#θε ∈ ℝ| και θ!τοντας όπου χ το −1i y|> "αμ)#νουμεb− − −$ ⇔ $1 1 1iyi y|>> i y|> | i y|> για κ#θε −∈ =ℝ ℝ1| i y > δη"αδή

− !1

i y|> | --> −$ $ −1 || i y|> 4 1 () ισχύει για κ#θε ∈ ℝ| #ρα θα ισχύει και για =| 0 !τσι

− − −$ $ − ⇔ $ $ % =1 0 1 10 i y0> 4 1 0 i y0> 0 i y0> 0

Aπίσης από το κριτήριο παρεμ)ο"ής στην y1> προκύπτει −

→=1

| 0-[ i y|> 0

}ρα − −

→=1 1

| 0-[ i y|> i y0>

GGG) Tσχύει − −= % = % =1 1i y0> 0 iyi y0>> iy0> 0 iy0>

-,>~χουμε −$ $ −1 || i y|> 4 1 για κ#θε ∈ ℝ| και ( )→∞ →∞

= − = +∞|

| |-[ | -[ 4 1

,>~χουμε $iy|> | για κ#θε ∈ ℝ| .

† }ρα $

iy|> |

ημ| ημ| για κ#θε

∈

π

| 0 = και συνεπ7ς

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1G

+ +→ →$

| 0 | 0

iy|> |-[ -[

ημ| ημ| δη"αδή $n 1 (/)

!n 1 tμοια !iy|> |

ημ| ημ| για κ#θε

∈ −

π| 0

= και συνεπ7ς

− −→ →!

| 0 | 0

iy|> |-[ -[

ημ| ημ|

δη"αδή !n 1 (*)

'πό y=> yD> !πεται ότι =n 1 1

.)(4$[$M7>3α αL 9B6 ]1 PGgZG_`)

a)A6$9α3 #56789# f B83#4H6 #9B( )0 +∞ 3α 96 BBAα 3#;<$3 :

y > =% % %e f % e e&' − $ 03α >7?$ ( )0% ∈ +∞ 1Να M$AN$9$ L93 -[ y > =%

f %→+∞

= 1

GG)"$D8B<4$ 96 #56789# = ˆy > = f % % %0 0 0 = − ∈ ℕ 1Να @8$A9$ 9B6 8α4α93>L α83?4L 4

I#9$ 9BH1

y >-[

y 1>%

f %

%

'

→

−

− 6α 578;$31 α9L36 6α @8$A9$ 9B L83B1

GGG)Α6 #56789# f $A6α3 #56$;KJ #9B ℝ >α3 3#;<$3E

y > D = y 1>%f % % % % %&' + = + + 0 3α >7?$% ∈ ℝ 1Να @8$A9$ 9B f(!)1

Cύση

->Η δοθείσα σχ!ση γρ#φεται

y > = y > = = y > =% % % % % % % % % % % %e f % e e e e f % e e e e e f % e e&' &' &' &' &' − $ ⇔ − $ − $ ⇔ − $ $ + ⇔

= =y >= y > = y1>

% % % %% % %

% % % % %

e e e ee f % e e f %

e e e e e

&' &' &' &' − +$ $ ⇔ − $ $ +

tμωςy ˆ> -[ 0%

%%

e

e

&'

→+∞= οπότε -[ = -[ = =

% %

% %% %

e e

e e

&' &'

→+∞ →+∞

− = + =

από το κριτήριο της

παρεμ)ο"ήςπροκύπτει -[ y > =

% f %

→+∞= .

yˆ>y1 1

1 1%

%

% % %

ee

e e e

&' &'

−− $ $ ⇔ $ $ για κ#θε ( )0% ∈ +∞ και

1 1-[ -[ 0

% %% %e e→+∞ →+∞

−= = από το κριτήριο της

παρεμ)ο"ής -[ 0%

%%

e

e

&'

→+∞= >

-->Aπειδή H

1-[y 1> 0%

%→

− = για να υπ#ρχει τοH1

y >-[

y 1>%

f %

%

'

→

−

− πρ!πει

( ) ( )=

1 1-[ y > 0 -[ = 0% %

f % % %0 0 ' ' → →

− = ⇔ − − = ή1 = 0 1' ' − − = ⇔ = − .

Το όριο γρ#φεταιb

( ) ( ) ( )= == 1 = D=

H H H H1 1 1 1

1 1 .. 1y > 1 = 1-[ -[ -[ -[

y 1> y 1> y 1> y 1>% % % %

% % % % % % f % % %

% % % %

0 0 0 0 0 0

− − −

→ → → →

− − + + + + ++ − += = = =

− − − −

( )( )

=1 = D

=1 = D

E E1 1

.. 1 1-[ -[ .. 1 y >

y 1> y 1>% %

% % % %% % % %

% %

0 0 0

0 0 0 0

− − −

− − −

→ →

+ + + + += + + + + + = +∞ = +∞

− −

--->Η δοθείσα ισότητα γρ#φεταιE0

E E = y 1> Dy > D = y 1> y > = y 1> D y >

% % % % %%f % % % % % %f % % % % % f %

%

&' &' &'

, + + −+ = + + ⇔ = + + − ⇔ =

Η i είναι συνεχής στο 0 ισχύει ότι

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1H

E E E

0 0 0 0 0 0

= y 1> D = y 1> D = yy 1> D>y0> -[ y > -[ -[ -[ = -[ -[

=% % % % % %

% % % % % % % % % % % f f %

% % % % %

&' &' &'

→ → → → → →

+ + − + − + −= = = + = + =

( )E

E E

0 0 0 0

= yy 1> D> == -[ -[ =-[ -[ y 1> D = 1 y0 1> D 0

= =% % % %

% % % %%

% % %

&' &'

→ → → →

+ −+ = + + − = ⋅ + + − =

/!)Η #56789# →ℝ ℝb f $A6α3 #56$;KJ #9B ℝ >α3 3#;<$3&'

→

− − + −=−=

y => y => y =>-[ ==%

% f % %

% 1

Να @8$A9$ 9B y0> f 1

Cύση

'πό την δοθείσα σχ!ση παίρνουμεb

&' &'

→ → →

− − + − −= ⇔ − + =

− −= = =

y => y => y => y =>-[ = -[ y => -[ =

= =% % %

% f % % % f %

% % y1>

Η −y => f % είναι συνεχής στο ℝ ως σύνθεση της συνεχούς στο ℝ συν#ρτηση − =% y

πο"υωνυμικής> και της συνεχούς i .}ρα το όριο στο = θα ισούται με την τιμή τηςb

&' &'

→

= −

→ →

− = − =

− = =−

=

=

= 0

-[ y => y= => 0 y=>

y =>-[ -[ 1 yD>=

%

& %

% &

f % f

% &% &

'πό τις σχ!σεις y=>yD> υπ#ρχει στο ℝ το όριο του πρ7του μ!"ους της y1> οπότε μπορούμε

να εφαρμόσουμε την ιδιότητα του ορίου του αθροίσματος

y ( )→ → →

+ = +0 0 0

-[ y > y > -[ y > -[ y >% % % % % %

f % g % f % g % >

&'

→ →

−− + =

−= =

y =>-[ y => -[ =

=% %

% f %

% οπότε + = ⇔ =y0> 1 = y0> 1 f f .

/)Η #56789# f $A6α3 #56$;KJ #9B =0 0% >α3 3#;<$3:

→

−=

0

y > y0>-[ =%

f % f

% >α3

&'

→

−= ∈ ℝ

0

y >-[%

f % %'

%

α) Να αBM$AN$9$ L93 bf M3H8;$9α3 αL 96 α8;K 9D6 αNL6D61@) Να 5B%BA#$9$ 9B α1

Cύση

α> %ια , 0% θ!τουμεb&'

&' −

= ⇔ = +y >

y > y > y > f % %

g % f % %g % %%

Aπομ!νως προκύπτει

( )&' → →

= + = ⋅ + =0 0

-[ y > -[ y > 0 0 0% %

f % %g % % '

Η i είναι συνεχής στο =0 0% #ρα→

=0

-[ y > y0>%

f % f .:πότε b =y0> 0 f !τσι η ]i δι!ρχεται από την

αρχή των αξόνων.

)> Tσχύει b→ →

− = ⇔ =0 0

y > y0> y >-[ = -[ =% %

f % f f %% %

Aπομ!νωςb

→ →

− = = − = − =

0 0

y > y >-[ -[ = 1 1% %

f % % f % %

% % %

&' &' )

//)α) Γ3α 93J #56α89K#$3J f0g 3#;<$3 &' + == = =y > y > f % g % % () 3α >7?$ % >B697 #9B 1 Να

M$AN$9$ L93 B3 f0g $A6α3 #56$;$AJ >B697 #9B 1

@) ?$D8B<4$ 93J #56α89K#$3J f >α3 g 3α 93J BBA$J 3#;<$3() + =y > y > f % g % % 3α >7?$ ∈ ℝ%

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1I

Να αBM$3;?$A L93 B3 #56α89K#$3J f >α3 g $A6α3 #56$;$AJ #9B =0 0% 1

) ?$D8B<4$ 93J #56α89K#$3J f >α3 g 3α 93J BBA$J 3#;<$3

+ == =y > y > = y > f % g % %f % 3α >7?$ ∈ ℝ%

Να αBM$3;?$A L93 B3 #56α89K#$3J f >α3 g $A6α3 #56$;$AJ #9B =0 0% 1

Cύσηα> Tσχύειb

&' &' &' &' &' $ + = ⇔ $ ⇔ $ ⇔ − $ $= = = = = =y > y > y > y > y > y > f % f % g % % f % % f % % % f % % y=>

&' &' &' &' &' $ + = ⇔ $ ⇔ $ ⇔ − $ $= = = = = =y > y > y > y > y > y > g % f % g % % g % % g % % % g % % yD>

%ια |‚ οι y=> yD> παίρνουν την μορφή

y=> b &'π π &'π π π − $ $ ⇔ $ $ ⇔ =y > 0 y > 0 y > 0 f f f

yD> b &'π π &'π π π − $ $ ⇔ $ $ ⇔ =y > 0 y > 0 y > 0 g g g

Aπειδή ( )π π

&' &' → →

= − =-[ 0-[ 0% %

% % από το κριτήριο της παρεμ)ο"ής και τις y=> yD>

προκύπτειb

π π

→= =-[ y > 0 y >

% f % f

π π

→= =-[ y > 0 y >

% g % g .}ρα οι id είναι συνεχείς κοντ# στο π.

)> @!τουμε = 0% στην y1>

()*

=+ = ⇔ + = ⇔ =

y0> 0

y0> y0> 0 y0> y0> 0

y0> 0

f

f g f g

g

y=> $ + = % $ ⇔ − $ $y > y > y > y > y > f % f % g % % f % % % f % %

'""# ( ) ( )→ →− = =0 0-[ 0 -[ 0% %% % από το κριτήριο της παρεμ)ο"ής → = =0-[ y > 0 y0>% f % f *η"αδή η i είναι συνεχής =0 0% .tμοια προκύπτει και η συν!χεια της d στο =0 0% .

)> Tσχύειb

&' &' &' &' &' $ + = ⇔ $ ⇔ $ ⇔ − $ $= = = = = =y > y > y > y > y > y > f % f % g % % f % % f % % % f % % y=>

&' &' &' &' &' $ + = ⇔ $ ⇔ $ ⇔ − $ $= = = = = =y > y > y > y > y > y > g % f % g % % g % % g % % % g % % yD>

%ια |‚ οι y=> yD> παίρνουν την μορφή

y=> b &'π π &'π π π − $ $ ⇔ $ $ ⇔ =y > 0 y > 0 y > 0 f f f

yD> b &'π π &'π π π − $ $ ⇔ $ $ ⇔ =y > 0 y > 0 y > 0 g g g

Aπειδή ( )π π

&' &' → →

= − =-[ 0-[ 0% %

% % από το κριτήριο της παρεμ)ο"ής και τις y=> yD>

προκύπτειb

π π

→= =-[ y > 0 y >

% f % f

π π

→= =-[ y > 0 y >

% g % g .}ρα οι id είναι συνεχείς κοντ# στο π.

γ> %ια = 0% η δοθείσα γίνεταιb

=+ = ⋅ ⋅ ⇔ + = ⇔

=

= = = = y0> 0y0> y0> = 0 y0> y0> y0> 0

y0> 0

f f g f f g

g

%ια κ#θε ∈ ℝ% η δοθείσα σχ!ση γρ#φεται

( )+ = ⇔ + − + = ⇔ − + === = = = = = = =y > y > = y > y > y > = y > y > y > f % g % %f % f % g % %f % % % f % % g % % (c)

'πό την σχ!ση yˆ> !χουμεb

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1J

( ) ( ) ( )− $ − + = ⇔ − $ ⇔ − $ ⇔= = == = =y > y > y > y > y > f % % f % % g % % f % % % f % % %

− $ − $ ⇔ − + $ $ +y > y >% f % % % % % f % % %

'""# ( ) ( )→ →

− + = + =0 0

-[ 0 -[ 0% %

% % % % από το κριτήριο της παρεμ)ο"ής ( )→

=0

-[ y > 0%

f %

*η"αδή η i είναι συνεχής =0 0% .

'ν#"ογα προκύπτει και η συν!χεια της d στο =0 0% ./*)Ε#9D #56789# →ℝ ℝb f $A6α3 #56$;KJ #9B ℝ >α3 3α >7?$ ∈ ℝ%

3#;<$3 : 1υ0 − ! − −y => y > y => 1% f % % () 1 Να @8$A9$ 9B y=> f 1

Cύση

Aφόσον η i είναι συνεχής στο ℝ θα είναι συνεχής και στο =. }ρα→

==

-[ y > y=>%

f % f y=>. 'ρκεί

"οιπόν να υπο"ογίσουμε το→=

-[ y >%

f % .

Aίμαστε υποχρεωμ!νοι να διαιρ!σουμε με την ποσότητα − =% για αυτό θα διακρίνουμε

περιπτ7σεις για το πρόσημο του.

† − > ⇔ >= 0 =% % 'πό την y1> b

1υ0 1υ0 = +→ →

− − − −! % !

− −= =

y => 1 y => 1y > -[ y > -[

y => y =>% %

% % f % f %

% % yD>

@!τουμε = − =& % οπότε όταν +→ =% τότε + → 0& #ρα από την yD> !χουμεb

= 0 =

1-[ y > -[ -[ y > 0% & %

& f % f %

&

1υ0

→ → →

−! ⇔ ! yE>

† − < ⇔ <= 0 =% % 'πό την y1> b

1υ0 1υ0

→ →

− − − −$ % $

− −= =

y => 1 y => 1y > -[ y > -[

y => y =>% %

% % f % f %

% % yE>

@!τουμε = − =& % οπότε όταν−

→ =% τότε−

→ 0& #ρα από την yE> !χουμεb

= 0 =

1-[ y > -[ -[ y > 0% & %

& f % f %

&

1υ0 − − −→ → →

−$ ⇔ $ yG>

'πό yE> yG>και y=> προκύπτειb− + →→ →

= = = === =

-[ y > -[ y > -[ y > 0 y=>%% %

f % f % f % f

}ρα =y=> 0 f

/&)(ΑB>α%593> 117#>#)

C#9D #56$;KJ #56789# →ℝ ℝb f 3α 96 BBAα 3#;<$3:

1υ0 = + −=

= =y >1

EEE

% f %% % ()

α) Να @8$?$A f1

@) Να 5B%BA#$9$ 9B ( )→−∞

=-[ y >%

% f %

Cύση

α> 'πό την σχ!ση y1> !χουμεb ( )1υ0 1υ0 = + − ⇔ = + −=

= = = = =y >1 y > EEE 1

EEE

% f %% % % f % % %

'ν , 0% 0 τότε ισχύειb

( )1υ0 + −=

= =

=

EEE 1y >

% % f %

%

Aπειδή η i είναι συνεχής στο ℝ #ρα είναι συνεχής και στο =0 0% όποτε θα ισχύει

→

=0

-[ y > y0>%

f % f

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =0

/)Ε#9D #56789# →ℝ ℝb f 3α 96 BBAα 3#;<$3 3M3L99α = y > y y >> f % f f % %− = 0 3α

>7?$ % ∈ ℝ 1

Α1G)Να αBM$3;?$A L93 f $A6α3 21

GG)Να %5?$A $NA#D# == y 1LIE > y y0>> f % % f f − =

Β1 Α6y >

-[ 0%

f %

%

2 2

→+∞

= > 9L9$:

G)Να @8$?$A 9B -[ y >%

f %→+∞

GG)Να αBM$3;9$A L93 12 =

Cύση

' -> ~χουμεb

= y > y y >> f % f f % %− = ()

~στω1 = % % ∈ ℝ με

1 =y > y > f % f %=

~χουμεby >

1 = 1 =

1 =

1 = 1 =

1 1 = = 1 =

y y >> y y >> y y >> y y >>y > y >

= y > = y > = y > = y >

= y > y y >> = y > y y >>

f f % f f % f f % f f % f % f %

f % f % f % f %

f % f f % f % f f % % %

+ = − = − = % % %

= = % − = − % =

}ρα η i είναι 1O1.

-->'πό την σχ!ση y1> για 0% =

= y0> y y0>> 0 = y0> y y0>> f f f f f f − = ⇔ = 0

}ραy= >

= =

1 1= =

y y0>> = y 1LIE > = y0> = y 1LIE >

y0> y 1LIE > 1LIE 0 0 1LIE f

f f f % % f f % %

f f % % % % % ( %−

= − ⇔ = − ⇔

⇔ = − ⇔ − = ⇔ = =

B. @εωρ7y >

y > y > y > f %

g % %g % f %

%

= ⇔ = 0 0% >

Cαμ)#νουμε όρια στο +∞

( )-[ y >

0-[ y > -[ y > y >

% g %

% % f % %g %

2

2 2

→+∞=

→+∞ →+∞ >= = +∞ = +∞

-->Aπειδή -[ y >%

f %→+∞

= +∞ προκύπτει τι υπ#ρχει α‰0 τ!τοιο 7στε

για κ#θε ( ) % ) ∈ +∞ ισχύει y > 0 f % > .

:πότε για κ#θε ( ) % ) ∈ +∞ ισχύειb

0 y y >> = y > y y > = y >= y > y y >> y y >> = y > 1

% f f % % f % f f % f % f % f f % % f f % % f %

% % % %

> +− = ⇔ + = ⇔ = ⇔ + = ⇔

y y > = y > y y >> y > = y >1 1 yD>y > f f % f % f f % f % f %% % f % % %+ = ⇔ + =

yˆ>y y >> y > = y > y y >> y > = y >-[ 1 -[ -[ -[ 1 -[

y > y >% % % % %

f f % f % f % f f % f % f %

f % % % f % % %→+∞ →+∞ →+∞ →+∞ →+∞

+ = % + = %

=1 = = 1 0 12 2 2 2 2 2 ⋅ + = ⇔ − + = ⇔ =

yˆ>@!τουμε y >& f %= Aίναι -[ y >%

f %→+∞

= +∞ οπότε όταν % → +∞ τότε & → +∞

y >y y >> y >-[ -[

y >

& f %

% &

f f % f &

f % &2

=

→+∞ →+∞

= =

/-)Ε#9D f: →ℝ ℝ #56789# B5 M3H8;$9α3 8α3>K 9J α87#9α# αL 96 α8;K

9D6 αNL6D6 3α 96 BBAα 3#;<$3:

() y > y > y > f % f ) % ) % )&' &' ) − $ − + − 3α >7?$ % ) ∈ ℝ 0 ) ∈ ℝ

G) Να αBM$AN$9$ L93 y > f % % %&' ) = + 3α >7?$ % ∈ ℝ 1

GG)Να 5B%BA#$9$ 9B L83B0

y y >>-[%

f f %

%&' →

1

Cύση

->9την σχ!ση y1> θ!τουμε όπου h το | και όπου | το h

y > y > y > y > y > y > f ) f % ) % ) % f % f ) % ) % )&' &' ) &' &' ) − $ − + − ⇔ − $ − + − y=>

'πό y1> y=>προκύπτειb y > y > y > f % f ) % ) % )&' &' ) − = − + − yD> για κ#θε % ) ∈ ℝ ) ∈ ℝ

‡ ]i δι!ρχεται από την αρχή των αξόνων #ρα y0> 0 f =

9την yD> θ!τουμε όπου h το | y > y0> 0 y 0> y > f % f % % f % % %&' &' ) &' ) − = − + − ⇔ = +

-->( )yD>

0 0 0 0

y y >>y y >> y > y >-[ -[ -[ -[ 1

) %

% % % %

% % % % f f % f % % % % %

% % % % %

3*) ) &' &' ) ) ) &' ) &') ) )

&' &' &' &' &'

=−

→ → → →

− − + − −+ += = = + + =

0 0 0

0

y > y1 >y >

-[ 1 -[ 1 -[ 1

y1 > y1 >-[ 1 1 1

1 1

% % %

%

% % % % % %% % %% % % % %

% % % % % %% %

% % % % % %

%

%% %

% %

&') &') ) ) &') ) ) ) ) ) ) ) ) ) )

&' &' &' &' &' &'

&') )

) ) ) ) ) ) &' &'

→ → →

→

+ + ++ + = + + = + + = + +

+ + = + + =

( )== 1) ) ) ) + + + = +

Aνα""ακτικ# για το ερ7τημα y-->

@!τουμε όπου y >& f %= τότε ( )0 0

-[ y > -[ 0 0 0% %

f % % %&' ) &' ) → →

= + = + ⋅ =

6ροκύπτει ότι 0& → όταν 0% → κατ# συν!πειαb

0 0 0 0

y y >> y y >> y > y y >> y >-[ -[ -[ -[

y > y >% % % %

f f % f f % f % f f % f %

% f % % f % %&' &' &' → → → →

= ⋅ = ⋅

yE>

Š0 0 0 0

y y >> y >-[ -[ -[ -[ 1

y >% & & &

f f % f & & & &

f % & & &

&' ) &' ) )

→ → → →

+ = = = + = +

Š0 0

y >-[ -[ 1% %

f % % %

% %

&' ) )

&' &' → →

+= = +

}ρα η yE> b ( )=

0 0 0

y y >> y y >> y >-[ -[ -[ 1

y >% % %

f f % f f % f %

% f % %)

&' &' → → →

= ⋅ = +

/+)Ε#9D #56789# →ℝ ℝb f 3α 96 BBAα 3#;<$3: + = + +y > y > y > 1LIE f % ) f % f ) %) () 3α

>7?$ ∈ ℝ % ) 1 α) Να @8$A9$ 9B y0> f

@) Α6 f $A6α3 #56$;KJ #9B ! 6α M$AN$9$ L93 $A6α3 #56$;KJ 3α >7?$ ∈ ℝ% 1

Cύση

α> 'πό την σχ!ση y1> για = = 0% ) !χουμεb

+ = + + ⋅ ⋅ ⇔ = ⇔ =y0 0> y0> y0> 1LIE 0 0 y0> = y0> y0> 0 f f f f f f

)> Η i είναι συνεχής το 0 #ρα→ →

= ⇔ =0 0

-[ y > y0> -[ y > 0% %

f % f f % y=>

~στω τυχαίο ∈ ℝˆ

0% θα δείξουμε ότι στο

0% η i είναι συνεχής

@!τουμε − =0% % h οπότε όταν → 0% % τότε → 0h

~τσι→ → → → → →= + = + + = + +

00 0 0 0 00 0 0 0 0

-[ y > -[ y > -[ y > y > 1LIE -[ y > -[ y > -[ 1LIE% % h h h h h

f % f % h f % f h % h f % f h % h

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. ==

= + + =0 0y > y0> 0 y > f % f f % που σημαίνει ότι η i είναι συνεχής στο τυχαίο ∈ ℝˆ

0% #ρα είναι

συνεχής για κ#θε ∈ ℝ% .

/V) A6B69α3 B3 #56α89K#$3J −= −1y > 1% f % e >α3 = + +y > y 1> 1 g % ln %

α) $AN$9$ L93 $NA#D# =y > f % % H;$3 43α 9B5%7;3#9B6 8A[α #9B M37#94α ( )1D 1

@) Α6 $A6α3 N 8A[α 9J $NA#D#J α59KJ #9B ( )1D 6α 5B%BA#$9$ 9B4 →

-[ y >%

g % .

α> @εωρούμε την συν#ρτηση = −y > y >h % f % % y1> Η συν#ρτηση ` είναι συνεχής στο 1D ως

διαφορ# συν!χων συναρτήσεων.

( )( ) ( )− −= − − − − = − − <1 1 D 1 =y1> yD> 1 1 1 D 1 E 0h h e e e

}ρα από το θε7ρημα r2‹/32 υπ#ρχει του"#χιστον !να ( )4 ∈ 1D με

4 4 4 4 4 = ⇔ − = ⇔ =y > 0 y > 0 y >h f f

}ρα η εξίσωση =y > f % % !χει μια του"#χιστον ρί$α στο δι#στημα ( )1D .

B> Aίναι ( )4 4 → →= + +-[ y > -[ y 1> 1% % g % ln %

@!τουμε = + 1& % οπότε όταν 4 →% τότε 4 → + 1& .~τσιb

( )4 4

4 → → +

= + = + +1

-[ y > -[ 3 1 3y 1> 1 y1>% &

g % &

tμως 4 4 4 4 4 4 − −= ⇔ − = ⇔ = +1 1y > 1 1 f e e y=>

4

4 4 4 4 −

→= + + = + = − + =

y= >1-[ y > 3y 1> 1 3y > 1 1 1

% g % e

/.)Να M$AN$9$ L93 $NA#D# ) 5 ) 5 + − = ∈ ℝ=1LIE 0 % % 4$ 0 5 ) < $ M$6 4B8$A 6α H;$3

>α3 93J M5B 8A[$J α>H8α3$J1

Cύση

->@εωρούμε την συν#ρτηση ) 5 = + −=y > 1LIE f % % %

~χουμε ) 5 5 = ⋅ + ⋅ − = − <=y0> 1LIE 0 0 0 f ) 5 ) 5 = ⋅ + ⋅ − = + − >=y1> 1LIE 1 1 1LIE 0 f yδιότι

0 5 ) ) 5 $ ⇔ $ − )

Η i είναι συνεχής στο δι#στημα 01 ως πο"υωνυμική #ρα από το θε7ρημα r2‹/32

προκύπτει ότι η εξίσωση =y > 0 f % !χει μια του"#χιστον "ύση στο ( )01 δη"αδή η μια

του"#χιστον ρί$α της εξίσωσης ) 5 + − ==1LIE 0% % δεν είναι ακ!ραια.

*!)C#9D →ℝ ℝb f #56$;KJ #56789# 4$: + < < +y=> yG> I yD> yE> f f f f 1

Να αBM$AN$9$ L93 578;B56 ) 5 ∈ ℝ 4$ ) 5 + = I >α3 ) 5 + =y > y > I f f

Cύση

Aπειδή ) 5 5 ) + = ⇔ = −I I και ) 5 ) ) ) ) + = ⇔ + − = ⇔ + − − =y > y > I y > yI > I y > yI > I 0 f f f f f f

@εωρούμε την συν#ρτηση b

= + − −y > y > yI > I g % f % f % ∈ ℝ%

Η d είναι συνεχής στο ℝ #ρα και στο δι#στημα = D

Aίναιb= + − − = + − <y=> y=> yI => I y=> yG> I 0 g f f f f

= + − >yD> yD> yE> I 0 g f f }ρα από το θε7ρημα r2‹/32 υπ#ρχει ( )) ∈ = D τ!τοια 7στε

) ) ) ) ) = ⇔ + − − = ⇔ + − =y > 0 y > yI > I 0 y > yI > I g f f f f 'ν θ!σουμε 5 ) = −I τότε ισχύει ) 5 + = I και ) 5 + =y > y > I f f 1

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =D

*)(Π8I9 MH#4 ..)

α) Η #56789# f $A6α3 #56$;KJ #9B ℝ >α3 3α α59K 3#;<$3 ,y > 0 f % 3α >7?$ ∈ ℝ% 1Να

M$AN$9$ L93 f M3α98$A #9α?$8L 8L#4B #9B ℝ 1

@) C#9D ( )+∞ → ℝb 0 f #56$;KJ #56789# >α3 3α >7?$ > 1% 3#;<$3:

− = + −

+

=y > 1 1

1 f % %

%1ΑBM$AN9$ L93 f M3α98$A 8L#4B #9B ( )+∞1 1

Cύση

α> ~στω ότι η i δεν διατηρεί πρόσημο στο ℝ οπότε παίρνει και θετικ!ς και αρνητικ!ς

τιμ!ς. Τότε θα υπ#ρχουν ) 5 ∈ ℝ και !στω ) 5 < με ) <y > 0 f και 5 <0 y > f .

Η i συνεχής στο ) 5 αφού είναι συνεχής στο ℝ .

Aίναι ) 5 <y > y > 0 f f #ρα από το θε7ρημα r2‹/32 υπ#ρχει ( )) 5 ∈0 % 7στε =0y > 0 f % #τοπο

από υπόθεση. }ρα η i διατηρεί πρόσημο στο ℝ y δη". ή !χει μόνο θετικ!ς ή αρνητικ!ς

τιμ!ς>

)> 'πό το πρ7το ερ7τημα αρκεί να είναι ,y > 0 f % για κ#θε ( )∈ +∞1% 1

~στω ότι υπ#ρχει ( ) 6 ∈ +∞1 7στε 6 =y > 0 f .Τότε από την δοσμ!νη ισότητα είναιb

− = + − ⇔ − = + − ⇔ − = + − ⇔ = + − ⇔ ⇔ − =+ + + +

== = = =y > 1 1 0 1 1 1 1 1 1 ... 0

1 1 1 1 f 6 6 6 6 6 6 6

6 6 6 6

Τε"ικ# 6 = 1 ή 6 = 0 #τοπο εφόσον ( ) 6 ∈ +∞1 .

*/)(Μ$[$M7>3 ?$D8AαJ1 "H%$3 αLM$3N 3α 6α ;8#34BB3?$A)

α) Α6 #56789# ) 5 ) 5 → b f $A6α3 #56$;KJ0 9L9$ 578;$3 3 ) 5 ∈ 9H9B3B I#9$

3 3 =y > f 1 (?$I84α #9α?$8B< #4$AB5)

Cύση

α> 'ν ) ) =y > f ή 5 5 =y > f τότε το $ητούμενο σημείο είναι το α ή το ) αντίστοιχα.

Sποθ!τουμε ότι ) ) ,y > f 5 5 ,y > f οπότε ) ) >y > f και 5 5 <y > f .%ια την συν#ρτηση = −y > y > g % f % % που είναι συνεχής στο ) 5 ισχύουν b

) ) ) 5 5 5 = − > = − <y > y > 0 y > y > 0 g f g f

Aπομ!νως από το θε7ρημα r2‹/32 υπ#ρχει ( )3 ) 5 ∈ τ!τοιο 7στε

3 3 3 3 3 = ⇔ − = ⇔ =y > 0 y > 0 y > g f f

*οκιμ#στε μόνοι σας την γενίκευσηb

*ίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις ) 5 ) 5 → b f g με ) ) =y > g και ) ) =y > f .;α

αποδείξετε ότι η εξίσωση =y > y > f % g % !χει μια του"#χιστον ρί$α στο ) 5 .

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =E

**)36$9α3 #56789# b f →ℝ ℝ 3α 96 BBAα 3#;<B56 B3 #;H#$3J= =y1> yE> = y1> H yE> 10 f f f f + = + − = y > E y > D 0 f % f %− + $ 0 3α >7?$ % ∈ ℝ

α) Να @8$A9$ 9B5J y1> f >α3 yE> f 1

@) Να αBM$AN$9$ L93 f α8B5#37[$3 B%3>L $%7;3#9B e >α3 B%3>L 4H3#9B Μ1

) Να αBM$AN$9$ L93 f M$6 $A6α3 6#ADJ 4B6L9B61M) Α6 f $A6α3 #56$;KJ0 6α @8$A9$ 9B #<6B%B 934I6 9J1

Cύση

α> 'πό την δοθείσα σχ!ση !χουμεb= = = =y1> yE> = y1> H yE> 10 y1> = y1> 1 yE> H yE> L 0 f f f f f f f f + = + − ⇔ − + + − + = ⇔

( ) ( )= =

y1> 1 0 y1> 1

y1> 1 yE> D 0

yE> D 0 yE> D

f f

f f

f f

()* ()*

− = =

− + − = ⇔ ⇔ − = =

)> ~χουμε = y > E y > D 0 ... 1 y > D f % f % f %− + $ ⇔ ⇔ $ $ για κ#θε % ∈ ℝ 1

tμως y1> 1 f = και yE> D f = #ρα y1> y > yE> f f % f $ $ για κ#θε % ∈ ℝ .9υνεπ7ς η i !χει ο"ικόε"#χιστο 1 y1>m f = = και ο"ικό μ!γιστο D yE> f = = .

γ> 6αρατηρούμε ότι 1 E< όταν y1> yE> f f < και G E> όταν yG> yE> f f $ #ρα η i δεν είναι

γνησίως μονότονη.

δ> Η i είναι συνεχής #ρα παίρνει κ#θε τιμή που )ρίσκεται μεταξύ των ο"ικ7ν ακροτ#των

της y1> 1 f = και yE> D f = .Aπομ!νως !χει σύνο"ο τιμ7ν το δι#στημα y > 1D f * = .

*&)Μ$[$Mα>3 YUP_ZU) C#9D 43α #56789# f: →ℝ ℝ #56$;KJ >α3 578;$3 ) ∈ ℝ I#9$

y y >> f f ) ) = 1Να M$AN$9$ L93 $NA#D# y > f % %= H;$3 43α 9B5%7;3#9B6 8α4α93>K 8A[α1

Cύση

*ιακρίνουμε περιπτ7σειςb

† 'ν y > f ) ) = το $ητούμενο ισχύει για |‚α.

† 'ν y > f ) ) < τότε θεωρούμε την συν#ρτηση y > y > g % f % %= − είναι συνεχής στο δι#στημα

y > f ) ) ως διαφορ# συνεχ7ν συναρτήσεων.

y > y > g f ) ) ) = −

y y >> y y >> y > y > g f f f f f ) ) ) ) ) = − = −

( )( ) ( )=

y y >> y > y > y > y > 0 g f g f f f ) ) ) ) ) ) ) ) = − − = − − <

}ρα από το θε7ρημα r2‹/32 υπ#ρχει !νας ( )0 y >% f ) ) ∈ τ!τοιος 7στε

0 0 0 0 0y > 0 y > 0 y > g % f % % f % %= ⇔ − = ⇔ =

† 'ν y > f ) ) > αν#"ογαz

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =G

*)Ε#9D 43α #56789# f #56$;KJ #9B ℝ 9H9B3B I#9$:

→

− + −=

−

=

1

y > = y 1>-[ 100

1%

f % %

%

G) Να M$AN$9$ L93 bf M3H8;$9α3 αL 9B Α(0/)1

GG)Να @8$A9$ 9α L83α:→

−

−1

y > =-[

1%

f %

%

>α3→

− −

−1

y > D 1-[

1%

f %

%

GGG)Α6 B3 8A[$J 9J y > f % $A6α3 B3: = − =1 =

D D

= =% %

>α3 $3%HB6 :→−

<=

-[ y > 0%

f % 0→

>=

-[ y > 0%

f % 0 6α @8$A9$ 9B 8L#4B 9J y > f % 1

Cύση

-> @!τω ( ) ( )− + −

= ⇔ − = − + − ⇔ = − + − −−

== =y > = y 1>

y > y > 1 y > = y 1> y > y > 1 = y 1>1

f % % g % g % % f % % f % g % % %

%

Cαμ)#νουμε όρια και στα δύο μ!"ηb

( )( ) ( ) ( ) ( )→ → → → →

= − + − − = − + − − = ⋅ + − == = =

1 1 1 1 1-[ y > -[ y > 1 = y 1> -[ y > -[ 1 -[ = y 1> 100 0 = 0 =% % % % %

f % g % % % g % % % y1>

Η i είναι συνεχής στο ℝ #ρα στο =0 1% οπότε → = ⇔ =

y1>

1-[ y > y1> = y1>% f % f f #ρα η ]i δι!ρχεταιαπό το 'y1=>.

--> ( )− + − − − −−

= ⇔ = + ⇔ = + − ⇔ − − =− − − − −

= =y > = y 1> y > = y > = y > =y 1>y > y > y > 1 y > 1

1 1 1 1 1

f % % f % f % f %% g % g % g % % g % %

% % % % %

Cαμ)#νουμε όρια και στα δυο μ!"η

( )( )→ → → →

− − −− − = ⇔ − − = ⇔ =

− − −1 1 1 1

y > = y > = y > =-[ y > 1 -[ 100 y1 1> -[ -[ 100

1 1 1% % % %

f % f % f % g % %

% % %

→= < % <

1-[ y > = D y > D%

f % f % κοντ# στο 1.Aπομενως

→ → →

− − − + − − = = − = − − − − 1 1 1

y > D 1 y > D 1 y > =-[ -[ -[ 100

1 1 1% % %

f % f % f %

% % %

--->Aπειδή η i είναι συνεχής στο ℝ !χουμεb

→−− = <

=y => -[ y > 0

% f f %

→= >

=y=> -[ y > 0

% f f %

~τσι το πρόσημο της y > f % φαίνεται στον παρακ#τω πίνακαb

*ιαστήματα −∞ −

D

=

D D

= =

−

+∞

D

=

0% −= 1 =

0y > f % − <y => 0 f >y1> 0 f >y=> 0 f

y > f % O P P

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =H

*-)Η #56789# f $A6α3 #56$;KJ #9B " #01 >α3 6#ADJ α<NB5#α #9B ( )01 1 Α6 $A6α3

( ) ( )i 0 = i 1 E= ()* = 0 6α αBM$AN$9$ L93:

α1 Η $5?$Aα h D= 9H46$3 9 8α3>K α87#9α# 9J f #$ H6α α>83@IJ #4$AB 4$

9$944H6 ( )0| 01∈ 1

@1 Υ78;$3 ( )0| 01∈ 9H9B3B0 I#9$ ( )0

1 = D Ei i i iG G G Gi |

E

+ + + = ()1

Cύση

α.

-

%ια να !χει η ( )h i |= κοινό σημείο με την h D= θα πρ!πει να υπ#ρχει ( )0| 01∈

τ!τοιο 7στε ( )0i | D= .

-

@εωρούμε "οιπόν τη συν#ρτηση d με ( ) ( )d | i | D= − y=> ορισμ!νη στο σύνο"ο " #01 .

-> Η d είναι συνεχής στο " #01 ως διαφορ# συνεχ7ν συναρτήσεων.

--> ( ) ( ) ( )" # ( )" # ( ) ( )y= >

d 0 d 1 i 0 D i 1 D = D E D 1 1 1 0⋅ = − ⋅ − = − ⋅ − = − ⋅ = − < .

~τσι από θε7ρημα r2‹/32 υπ#ρχει ( )0| 01∈ τ!τοιο 7στε

( ) ( ) ( )y= >

0 0 0d | 0 i | D 0 i | D= = − = ⇔ = δη"αδή η i] και η h D= !χουν !να του"#χιστον

κοινό σημείο στο ( )01 . %ια να δείξουμε ότι είναι μοναδικό αρκεί η d να είναι γνησίως

μονότονη. Aπειδή η i είναι γνησίως αύξουσα στο ( )01 για κ#θε ( )1 =| | 01∈ με 1 =| |<

είναι ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y= >

1 = 1 = 1 =i | i | i | D i | d | d |< ⇔ − < ⇔ < #ρα η d είναι γνησίως αύξουσα

στο ( )01 συνεπ7ς η ρί$α της 0| είναι μοναδική. Τε"ικ# το σημείο τομής ( )0| 01∈ τηςh D= με τη γραφική παρ#σταση της i είναι μοναδικό.

). Η συν#ρτηση i ως συνεχής στο " #01 παίρνει ε"#χιστη τιμή [ και μ!γιστη τιμή ?.

Aπομ!νωςb ( )[ i | X< < yD> για κ#θε " #| 01∈ .

Aπειδή οι αριθμοί1 = D E

G G G G ανήκουν στο δι#στημα αυτό ισχύει και γι αυτούς η yD>b

1[ i X

G

=[ i X

GD

[ i XG

E[ i X

G

7 $ $ $ $

8 $ $

$ $ 9

6ροσθ!τουμε κατ# μ!"ηb

1 = D EE[ i i i i EX

G G G G

1 = D Ei i i iG G G G[ X yE>

E

$ + + + $ ⇔

+ + + ⇔ $ $

'""# η i είναι γνησίως αύξουσα στο ( )01 #ρα [ X, . 'πό το θε7ρημα ενδι#μεσων

τιμ7ν και την yE> θα υπ#ρχει ( )0| 01∈ τ!τοιο 7στεb ( )0

1 = D Ei i i i

G G G Gi |E

+ + + = .

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =I

*+)Ε#9D 43α #56789# f #56$;KJ #9B 01 4$ =y0> y1> f f 1"$D8B<4$ 96 #56789# g

4$:

0 = − +

1y > y > y > g % f % f % 00 ∈ ℕˆ

Α1 Να @8$A9$ 9B $MAB B83#4B< 9J g1

Y1Να M$AN$9$ L93:G) α6 0 > 1 9L9$

0

0 0 0

−+ + + + =

1 = 1y0> y > y > ... y > 0 g g g g

GG) $NA#D#:0

= +1

y > y > f % f % H;$3 43α 9B5%7;3#9B6 8A[α #9B )01 1 ( Ε5>%$AMJ Β)

Cύση

'> 0

0 0

$ $−∈ ⇔ ⇔ $ $

$ + $

0 11

010 1

g

%

% + %%

#ρα 0

0

− =

10 g

+

B.->για κ#θε0

0

− ∈

10% 0

0 = − +

1y > y > y > g % f % f % οπότε

0 = −

1y0> y0> y > g f f

0 0 0 = −

1 1 =y > y > y > g f f

0 0 0 = −

= = Dy > y > y > g f f

0 0

0 0

− −= −

1 1y > y > y1> g f f ?ε πρόσθεση κατ# μ!"η "αμ)#νουμεb

0

0 0 0

−+ + + + = − =

1 = 1y0> y > y > ... y > y0> y1> 0 g g g g f f

-->Aπειδή η i είναι συνεχής στο0

0

−

10 σύμφωνα με το θε7ρημα της μ!γιστης και

ε"#χιστης τιμής παίρνουμεb

%ια κ#θε0

0

− ∈

10% 0 0

0 0

+

$ $ $ $$ $ % %

−$ $

y >

y0>

1y >

y >.....................

1y >

m g $

m g $m f % $

m g $

0 0 0 0 0

0 0 0

−$ + + + + $ ⋅ : ⇔ $ $ ⋅ : ⇔ $ $ : %

1 = 1y0> y > y > ... y > 0 0m g g g g m m

Sπ#ρχει0

0

− ∈

0

10% τ!τοιο 7στε =0y > 0 g % y

0

0

−$ $ <

0

10 1% >

}ρα η εξίσωση = ⇔y > 0 g %0

= +1

y > y > f % f % !χει μια του"#χιστον ρί$α στο )01

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =J

*V)Ε#9D b f →ℝ ℝ 43α #56$;KJ #56789# 4$ 96 3M3L99α

( )( )y > =01H y > =01I 0 f % f %− − = 3α >7?$ % ∈ ℝ

α) Να αBM$AN$9$ L93 9B #<6B%B 934I6 9J f M$6 $A6α3 M37#94α1

@) Να αBM$AN$9$ L93 f $A6α3 #9α?$8K1

) Να @8$A9$ 9B6 9 %ια κ#θε % ∈ ℝ

( )( )y > =01H y > =01I 0 y > =01H y > =01I f % f % f % ( f %− − = ⇔ = =

}ρα ; <y > =01H=01I f ℝ y1>

:πότε το σύνο"ο τιμ7ν της i δεν είναι δι#στημα.

)> 'ν η συν#ρτηση i δεν είναι σταθερή τότε "όγω της σχ!σης y1>παιρνει και τις δυο

τιμ!ς =01H=01I.Aπειδη όμως η i είναι συνεχής στο ℝ θα παίρνει και ό"ες τις ενδι#μεσες

τιμ!ς.

@α πρ!πει δη"αδή

; <=01H=01I y > =01H=01I f

ℝ }τοπο

}ρα η συν#ρτηση i είναι σταθερή.

γ> Aφόσον η συν#ρτηση i είναι σταθερή και y > •=01H =01I€ f ℝ θα είναι

y > =01H f % = για κ#θε % ∈ ℝ

ή

y > =01I f % = για κ#θε % ∈ ℝ

*.)Ε#9D L93 #56789# f $A6α3 #56$;KJ #9B D D− >α3 3#;<$3:

() = =y > L f % %+ = 03α >7?$ D D% ∈ −

G)Να M$AN$9$ L93 f M3α98$A 8L#4B #9B M37#94α ( )D D− 1

GG)Α6 y0> D f = 6α @8$?$A B 9<BJ 9J f >α3 6α A6$3 8α3>K α87#9α# 1Cύση

-> ~στω ότι η i δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο στο ( )D D− .Τότε υπ#ρχουν ( )1 = D D% % ∈ − με

1 =y > y > 0 f % f % < .9υνεπ7ς από την εφαρμογή του θεωρήματος r2‹/32 για την i στο1 = % % y

χωρίς )"#)η της γενικότητας θεωρούμε ότι1 =% %< > !χουμε ότι υπ#ρχει ( )0

D D% ∈ − τ!τοιο

7στε0

y > 0 f % = .

Η y1> παίρνει την μορφήb = = =

0 0 0 0y > L L D f % % % %+ = ⇔ = ⇔ = / #τοπο αφού

1 0 =D D% % %− < < < < .

}ρα η i διατηρεί πρόσημο στο ( )D D− 1

-->Aπειδή y0> D 0 f = > και επειδή η i διατηρεί πρόσημο στο ( )D D− !χουμε ότι y > 0 f % > γιακ#θε ( )D D% ∈ − #ραb

y > L f % %= − ( )D D% ∈ −

~στω = =y > L $ % ) ,f % )∈ ⇔ + = 0 ) ! .}ρα το σημείο ? ανήκει σε ημικύκ"ιο με κ!ντρο το

:y00> και ακτίνα D 6 = .

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =L

&!) (Π7%3 9B .+& hhhh)

C#9D 43α #56789# ( )+∞ → ℝb 0 f BBAα $A6α3 #56$;KJ #9B ( )0 +∞ >α3 9H9B3α I#9$ 0

== =y > 3 f % % 3α >7?$ > 0%

G) Να %<#$9$ 96 $NA#D# =y > 0 f %

GG)Να αBM$AN$9$ L93 #56789# f M3α98$A 8L#4B #$ >α?H6α αL 9α

M3α#9K4α9α y01> >α3 +∞y1 > 1

GGG)Α6 $3%HB6 <1

y > 01LIE

f >α3 >y1LIE> 0 f 1Να @8$A9$ 9B6 9 ~χουμε = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ == =y > 0 y > 0 3 0 3 0 1 f % f % % % %

*η"αδή η εξίσωση =y > 0 f % !χει μοναδική ρί$α το 1

.-->Η συν#ρτηση i είναι συνεχής σε καθ!να από τα διαστήματα y01>και +∞y1 > και δεν

μηδενί$εται σε καν!να από αυτ#. }ρα η συν#ρτηση i διατηρεί πρόσημο σε καθ!να από τα

παραπ#νω διαστήματα.

--->Η συν#ρτηση i διατηρεί πρόσημο στο δι#στημα ( )01 και ισχύειb <1

y > 01LIE f

}ρα <y > 0 f % για κ#θε ( )∈ 01%

Aπομ!νως στο δι#στημα ( )01 ισχύει

= ⇔ == =y > 3 y > 3 f % % f % % αφού <3 0% για κ#θε ( )01 1

Η i διατηρεί πρόσημο στο δι#στημα ( )+∞1 και ισχύειb >y1LIE> 0 f 1

}ρα >y > 0 f % για κ#θε ( )∈ +∞1% 1Aπομ!νως στο δι#στημα ( )+∞1 ισχύει

= ⇔ == =y > 3 y > 3 f % % f % % αφού >3 0% για κ#θε ( )+∞1

Aπίσης = =y1> 0 31 f

'πό τα παραπ#νω =y > 3 f % % για κ#θε > 0% 1

&)C#9D →ℝ ℝb f BBAα $A6α3 #56$;KJ >α3 9H9B3α I#9$ 6α 3#;<$3:

,y > 0 f % 3α >7?$ , 0% >α3 + − =y1LIE> y 1LIE> 0 f f

G) Να αBM$AN$9$ L93 − <y > y > 0 f % f % 3α >7?$ , 0%

GG)Να αBM$AN$9$ L93 bf M3H8;$9α3 αL 96 α8;K 9D6 αNL6D61

GGG)Α6 $3%HB6 3#;<$3 =y1LIE> 1LIE f 6α @8$A9$ 9B 8L#4B 9J #56789#J f1

Cύση

-> Η i διατηρεί πρόσημο σε καθ!να από τα διαστήματα ( ) ( )−∞ +∞ 0 0 το οποίο δεν είναι το

ίδιο αφού + − = ⇔ = − −y1LIE> y 1LIE> 0 y1LIE> y 1LIE> f f f f 1

--> ( )1υ0 > ? 1@A

→− < % − $ ⇔ $ ⇔ =

0=

0y > y > 0 -[ y > y > 0 y0> 0 y0> 0

f %(

% f % f % f % f % f f #ρα η ]i δι!ρχεται από την

αρχή των αξόνων.

--->Tσχύειb

=% − <

⋅ − <

y1LIE> 1LIEy 1LIE> 0

y1LIE> y 1LIE> 0

f f

f f

Η i είναι συνεχής και δεν μηδενί$εται στα διαστήματα ( )−∞ 0 ( )+∞0 .Aπομ!νως η i

διατηρεί πρόσημο σε καθ!να από τα παραπ#νω διαστήματα.

Aπειδή − <y 1LIE> 0 f >α3 y1LIE> 0 f > συμπεραίνουμε b

<y > 0 f % για κ#θε < 0%

>y > 0 f % για κ#θε > 0%

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. D0

&/)C#9D b 0 f π → ℝ BBAα $A6α3 #56$;KJ $MAB B83#4B< 9J 9H9B3α I#9$ 6α 3#;<$3:

() = =y > 1 f % %1υ0 + = 3α >7?$ 0% π ∈

G)Να αBM$AN$9$ L93 f M3α98$A 8L#4B #9B M37#94α ( )0π 1

GG)B3B $A6α3 9B 8L#4B 9J f 6α 3α >7B3B ( )1 0% π ∈ $A6α3 1y > J f % = 1

GGG)Να 5B%BA#$9$ 9B L83B( ) D

1

=

1 =

y > = E 1LIE-[

y > y >%

f % % %

f % f % %→+∞

+ − + LB5 ( )= 0% π ∈

Cύση

->. Η i είναι συνεχής στο ( )0π για να διατηρεί πρόσημο στο ( )0π αρκεί να ισχύει y > 0 f % ,

για κ#θε ( )0% π ∈ .~στω ότι υπ#ρχει !να ( )00% π ∈ τ!τοιο 7στε

0y > 0 f % = .

'πό την σχ!ση y1> για0

% %= = = =

0 0 0 0 0y > 1 1 0 f % % % % ( %1υ0 1υ0 π + = ⇔ = ⇔ = = #τοπο εφόσον ( )0 0% π ∈ #ρα y > 0 f % , για

κ#θε ( )0% π ∈ .}ρα η i διατηρεί πρόσημο στο ( )0π .

-->Aπειδή η i διατηρεί πρόσημο στο και ισχύει1y > J f % = τότε y > 0 f % > για κ#θε ( )0% π ∈ .

--->~χουμε1y > J f % = κατ# συν!πεια το $ητούμενο όριο είναιb

( ) ( )

=

D D D1

= = =

1 = = =

y > 0D D

= === =

y > = E 1LIE J = E 1LIE 10 E 1LIE-[ -[ -[

y > y > J y > J y >

10 G G-[ -[ -[

E y >J y > E y >

% % %

f %

% % %

f % % % % % % %

f % f % % f % % f % %

% % %

f % f % % f % %

→+∞ →+∞ →+∞

>

→+∞ →+∞ →+∞

+ − + + − + − += = =

= = = = + ∞

&*)Α1 A6$9α3 #56789# f 4$ ( ) ( )D1i | | |

== + 1

α)1 $AN9$ L93 f α693#98H$9α31

@))1 Β8$A9$ 9B $MAB B83#4B< 9J 1i− 1

)1 Να %5?$A $NA#D# ( )1i | HE− = 1

Β1 C#9D f 43α #56789# B83#4H6 >α3 #56$;KJ #9B W 4$ ( )i J H= >α3 3α >7?$ | k∈

3#;<$3 ( ) ( )( )i | i i | == 1 Να @8$A9$ 9B ( )i = 1

Cύση

'. α>. Η i !χει πεδίο ορισμού το " )0 +∞ . %ια να αντιστρ!φεται θα πρ!πει να είναι +1 F 1Œ

και γι αυτό αρκεί να είναι γνησίως μονότονη.

~στω

( )1 =

0% % ∈ +∞ με1 =

% %< . Τότε D D

1 = 1 =

| | | |< ()* < . 6ροσθ!τονταςb

D D1 1 = =| | | |+ < + . }ρα ( ) ( )D D

1 1 = =

1 1| | | |

= =+ < + . 'πό αυτήν ( ) ( )1 =i | i |<

#ρα η i είναι γνησίως αύξουσα οπότε αντιστρ!φεται.

)>. Η i είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο " )0 +∞ . Aπομ!νως από γνωστό θε7ρημα η

i θα !χει σύνο"ο τιμ7ν το δι#στημαb ( ) ( ))|

i 0 -[ i |→+∞

. tμωςb ( ) ( )D1i 0 0 0 0

== ⋅ + = και

( ) ( )D

| |

1-[ i | -[ | |

=→+∞ →+∞= + = +∞ . Τε"ικ# το σύνο"ο τιμ7ν της i είναι το " )0 +∞ . '""# το

σύνο"ο τιμ7ν της i είναι πεδίο ορισμού της 1i− δη"αδή " )1i b 0 k− +∞ → .

γ>. ?ε " )| 0∈ +∞ !χουμε

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 D1 1i | HE i i | i HE | i HE HE HE J E | H

= =− −= ⇔ = ⇔ = = + = + ⇔ = .

B. Η σχ!ση ( ) ( )( )i | i i | == ισχύει για κ#θε | k∈ #ρα και για | J= . Τότε ( ) ( )( )i J i i J ==

και αφού ( )i J H= είναι ( ) ( )

1

H i H = i H D⋅ = ⇔ = . %νωρί$ουμε ήδη τα ( ) ( )i H i J και ότι η i

είναι συνεχής στο " #H J από θε7ρημα ενδι#μεσων τιμ7ν θα υπ#ρχει !να του"#χιστον

( ) ( )0 0| HJ i | =∈ ' = y1>.

%ια 0| |= η δοσμ!νη σχ!ση γρ#φεται ( ) ( )( )0 0i | i i | == και "όγω της y1>

( ) ( )= i = = i = 1⋅ = ⇔ = .

&&)α)(UPdGQR STt gUUdGQR)Α6 #56789# f $A6α3 6#ADJ α<NB5#α #9B Α >α3

B = Cy > * f * 0 9L9$:−= ⇔ =1y > y > y > f % f % f % % 3α >7?$ ∈ B y >% * f *

@) Να αBM$3;?$A L93 #56789# = !y > 3 1 f % % % % α693#98H$9α3 >α3 6α @8$?B<6 9α

>B367 #4$Aα 9D6 −1 ,f ,f

Cύση

α> Aπειδή η i είναι γνησίως αύξουσα θα είναι και 1O1 όποτε αντιστρ!φεται.

† ~στω ∈ B y >% * f * με =y > f % % 1Τότε !χουμεb−= 1y >% f % δη"αδή −= 1y > y > f % f %

† ~στω ∈ B y >% * f * με −= 1y > y > f % f % .Sποθ!τουμε ότι ,y > f % % .~στω για παρ#δειγμα <y > f % % 1

'φού η −1 f είναι γνησίως αύξουσα !χουμεb

( ) ( ) ( ) ( )− − −< ⇔ < =1 1 1y > f f % f % % f % f % #τοπο.

:μοίως αποκ"είουμε ότι >y > f % %

}ρα είναι =y > f % % για κ#θε ∈ B y >% * f * .

) >:ι συναρτήσεις = 3 ) % και = ) % είναι γνησίως αύξουσα για κ#θε )∈ +∞1% .Aπομ!νως

και η i είναι γνησίως αύξουσα .Το σύνο"ο τιμ7ν της i είναι το )∈ +∞0% διότι ισχύειb

=y1> 0 f >α3 ( )→+∞ →+∞

= = +∞-[ y > -[ 3% %

f % % %

Aπομ!νως είναι )B = +∞y > 1 * f * .Aπίσης η i είναι 1O1 ω γνησίως αύξουσα #ρα είναι

αντιστρ!&ιμη.

Aπομ!νως υπ#ρχει −1 f και !χει πεδίο ορισμού το ) +∞1 y την −1 f δεν μπορούμε να την

προσδιορίσουμε> .~τσι τα κοιν# σημεία των −1 ,f ,f θα )ρίσκονται στην ευθεία = ) %

σύμφωνα με το ερ7τημα yα>. ~χουμεb

)!

−= ⇔ = ∈ +∞ ⇔ = ⇔ − = ⇔ =1

1y > y > y > 1 3 y3 1> 0%

f % f % f % % % % % % % % % e

}ρα οι −1 ,f ,f !χουν !να κοινό σημείο στο ) +∞1 το y > * e e

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. D=

&)A6$9α3 $NA#D# 2 2 = >3 0%e %

Α) Να M$AN$9$ L93 $NA#D# M$6 H;$3 8A[α #9B ( 01

Β) "$D8B<4$ 96 #56789# 2 = −y > 3% f % e % B83#4H6 #9B ( )+∞1

G)$AN9$ L93 f $A6α3 6#ADJ α<NB5#α #9B ( )+∞1 1

GG)Β8$A9$ 9B #<6B%B 934I6 9J1GGG)ΑBM$AN9$ L93 MB#4H6 $NA#D# H;$3 α>83@IJ 43α 8A[α1

Cύση

'> Aπειδή < $0 1% είναι $3 0% και εφόσον > 0%e είναι ⋅ $3 0%e % οπότε η εξίσωση

2 =3%e % με 2 > 0 είναι αδύνατη στο σύνο"ο ( 01 1

B>-> :ι συναρτήσεις %e και 3 % είναι γνησίως αύξουσες στο ( )+∞1 και μ#"ιστα με θετικ!ς

τιμ!ς

y όταν > 1% είναι > ⇔ >3 31 3 0% % >

~τσι για κ#θε ( )∈ +∞1 = 1% % με <1 =% % είναι <1 =% %e e και <1 =3 3% % .

6ο""απ"ασι#$ουμε κατ# μ!"η y Aίναι δυνατό γιατί !χουμε θετικ# μ!"η>. }ραb

2 2 < ⇔ − < − ⇔ <1 = 1 =

1 = 1 = 1 =3 3 3 3 y > y >% % % %e % e % e % e % f % f % 0 οπότε i είναι γνησίως αύξουσα στο

( )+∞1 .

-->Aπειδή οι συναρτήσεις %e 3 % " είναι συνεχείς στο ( )+∞1 και η 2 = −y > 3% f % e % είναι

συνεχής στο δι#στημα αυτόy πρ#ξεις μεταξύ συνεχ7ν> και επειδή η i είναι γνησίως

αύξουσα στο ( )+∞1 θα !χει ως σύνο"ο τιμ7ν το ( )→ →+∞1

-[ y > -[ y >% %

f % f %

† ( )2 2 2 → →

= − = − = −1

1 1-[ y > -[ 3 31%

% % f % e % e

† ( ) ( )( )2 2 →+∞ →+∞

= − = +∞ +∞ − = +∞-[ y > -[ 3%

% % f % e %

}ρα σύνο"ο τιμ7ν είναι b ( )2 − +∞

---> Aπειδή 2 2 > ⇔ − <0 0 τότε ( )2 ∈ − +∞0 και είναι τιμή της i που σημαίνει ότι η i

μηδενί$εται για κ#ποια τιμή ) =% δη"αδή το α είναι ρί$α. Η i !χει μια ρί$α είναι γνησίως

αύξουσα η ρί$α αυτή είναι μοναδική. }ρα και η αρχική εξίσωση !χει μοναδική ρί$α.

&-)C#9D B3 #56$;$AJ >α3 6#ADJ α<NB5#$J #56α89K#$3J b f g ) 5 → ℝ 04$ 0) 5 ⋅ < B3

BBA$J H;B56 #<6B%B 934I6 9B M37#94α ) 5 1Να αBM$AN$9$ L93 578;$3

0 % ) 5 ∈ 9H9B3B I#9$:0 0 0y > y > y > 0 f % g % %) 5 ) 5 + + + =

Cύση

@εωρούμε την συν#ρτηση y > y > y > y > 0% f % g % %D ) 5 ) 5 = + + + = είναι συνεχής στο δι#στημα

) 5

Η b f ) 5 → ℝ συνεχής και γνησίως αύξουσα #ρα το σύνο"ο τιμ7ν της είναι y > y > f f ) 5

από υπόθεση όμως το σύνο"ο τιμ7ν της είναι ) 5 .}ρα y > y > f f ) ) 5 5 = = y1>

:μοίως για την d προκύπτει y > y > g g) ) 5 5 = = y=>

y > y > y > y > f gD ) ) ) 5 ) ) 5 ) = + + + y > y > y > y > f gD 5 ) 5 5 5 ) 5 5 = + + +

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. DD

( )( )

( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

y1>y=>

= = = = = =

=

y > y > y > y > y > y > y > y >

= = = =

= = E 0

f g f gD ) D 5 ) ) 5 ) ) 5 ) ) 5 5 5 ) 5 5

) 5) ) 5) )5 5 )5 5 ) 5) 5 )5

) ) 5 5 5 ) )5 ) 5

= + + + + + + =

= + + + + + + = + + =

+ + = + $

}ρα από το θε7ρημα r2‹/32 προκύπτει το $ητούμενο.

&+)1(Μ$[$M7>3 4$ 9B "1Ε1Τ)

C#9D #56$;KJ >α3 6#ADJ ?A6B5#α #56789# b =01G=01H f → ℝ 1

Να αBM$AN$9$ L93 578;$3 H6α α>83@IJ ( )0 =01G=01H% ∈ 9H9B3B I#9$:

0D y > y=01G> y=01H> y=01I> f % f f f = + +

Cύση

Aπειδή η i είναι γνησίως φθίνουσα στο =01G=01H και ισχύει =01G =01H =01I< < τότεb

y=01I> y=01H> y=01G>

y=01I> y=01G> y=01G>

y=01I> y=01I> y=01G>D y=01I> y=01H> y=01G> y=01I> D y=01G>

f f f

f f f

f f f f f f f f

< <

< $

$ < +< + + <

y=01H> y=01G> y=01I>y=01I> y=01G>

D

f f f f f

+ +< <

9ύμφωνα με το θε7ρημα ενδιαμ!σων τιμ7ν υπ#ρχει !νας του"#χιστον ( )0 =01G=01H% ∈

τ!τοιο 7στε0

y=01G> y=01H> y=01I>y >

D

f f f f %

+ += δη"αδή

0D y > y=01G> y=01H> y=01I> f % f f f = + + και

επειδή η i είναι γνησίως φθίνουσα είναι μοναδικός .

&V)1C#9D b f →ℝ ℝ 43α 8α4α93>K #56789# 3α 96 BBAα 3#;<$3:

()=

= 1

y >1

3y= > ==

%

%%f %

% −

$+ +

3α >7?$ % ∈ ℝ

i f $A6α3 #56$;KJ #9B 00% = 6α αBM$AN$9$ L93 bf M3H8;$9α3 αL 96 α8;K 96

αNL6D61

Cύση

‡ y1> παίρνει την μορφήb= =

=

= 1 = 1 = 1

y > y > y >1 1 1

3y= > = 3y= > = 3y= > == = =

% % %

% %%%f % %f % % f %

% % %− − −

$ ⇔ $ ⇔ $+ + + + + +

%ια 0% ,

= 1

y >1

3y= > ==

%

% f % %

% −

$ $+ +

#ρα y > f % %$ οπότε y >% f % %− $ $ y=>

Η y=> επειδή ( )0 0

-[ -[ 0% %

% %→ →

− = = από το κριτήριο της παρεμ)ο"ής0

-[ y > 0%

f %→

= και επειδή από

υπόθεση η i είναι συνεχής στο0 0% = ισχύει y0> 0 f = #ρα η ]i δι!ρχεται από την αρχή την

αξόνων.

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. DE

&.)1C#9D b f →ℝ ℝ 43α 8α4α93>K #56789# 3α 96 BBAα 3#;<$3:

= y > y > f % f % %&' + = 3α >7?$ % ∈ ℝ

G)Να αBM$AN$9$ L93 $A6α3 21

GG)Να αBM$AN$9$ L93 $A6α3 #56$;KJ #9B 0 0% = 1

GGG)Να 5B%BA#$9$ 9B L83By >

-[%

f %

%→+∞

1

Cύση

->%ια κ#θε1 = % % ∈ ℝ με

1 =y > y > f % f %= !χουμε1 == y > = y > f % f %= y1> και

1 =y > y > f % f %&' &' = y=>

6ροσθ!τουμε κατ# μ!"η1 1 = = 1 == y > y > = y > y > f % f % f % f % % %&' &' + = + % = #ρα i είναι 1O1.

--> ~χουμεb = y > y > y > y > f % % f % % f % % f %&' &' = − $ + $ + y ισχύει για κ#θε % ∈ ℝ % %&' $ >

= y > y > y > y > f % % f % f % % % f % %$ + ⇔ $ ⇔ − $ $

%ια 0% = b 0 y0> 0 f $ $ #ρα y0> 0 f = .

Aπειδή ( )0 0

-[ -[ 0% %

% %→ →

− = = από το κριτήριο της παρεμ)ο"ής

6ροκύπτει0

-[ y > y0>%

f % f →

= #ρα i συνεχής στο 0.

---> 'ν |‰0 = y > y > f % f % %&' + = τότε= y > y > 1

= = =

f % f %

% %

&' + =

#ραy > y >1

= =

f % f %

% %

&' − =

y >y > y >1 1

= = = =

f % f % f %

% % % %

&' &' − = − = $ ή

y > 1 1

= =

f %

% %− $ ή

y >1 1 1

= = =

f %

% % %− $ − $ ή

y >1 1 1 1

= = = =

f %

% % %− + $ $ +

Aπειδή1 1 1 1 1

-[ -[= = = = =% %% %→+∞ →+∞

− + = + =

από το κριτήριο παρεμ)ο"ής !χουμεb

y > 1-[

=%

f %

%→+∞=

!)A6$9α3 #56789#: ( )i b 0 k+∞ → 4$ ( ) |i | 4 3 | | 1= + + − 1

α1 Να @8$A9$ 9α L83α: ( ) ( )|| 0

-[ i | -[ i |+ →∞→

()* 1

@1 $AN9$ L93 3α >7?$ | k∈ $NA#D# ( )i | = ( H;$3 4Aα 4L6B 8A[α1

1 Να %5?$A $NA#D# ( )i | 4= 1

M1 Β8$A9$ 93J 934HJ 9B5 k2 ∈ 3α 93J BBA$J 3#;<$3 3#L99α:

( ) ( )= 1 = = =4 4 3 = 3 1 = 12 + 2− = 2 − 2 + − 2 + 2 − 1

Cύση

α.

-

tπως προκύπτει #μεσα από το σχήμα είναι | 0

| 0 | 0-[ 4 4 1 -[ 3 |

+ +→ →= = = −∞ . Aπίσης

( )| 0-[ | 1 1+→ − = − #ρα ( )

| 0-[ i |+→ = −∞ .

- 'ν#"ογα τ7ραb ( )|

| | |-[ 4 -[ 3 | -[ | 1→+∞ →+∞ →∞

= +∞ = = − . Aπομ!νωςb ( )|-[ i |

→∞= +∞

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. DG

).

-

Aπειδή ( ) ( )|| 0

-[ i | -[ i |+ →∞→

= −∞ = +∞ και η i είναι συνεχής θα παίρνει ό"ες τις τιμ!ς

μεταξύ −∞ +∞ #ρα !χει σύνο"ο τιμ7ν το k. 9υνεπ7ς θα παίρνει και την τιμή κ

πρ#γμα που σημαίνει ότι η εξίσωση ( )i | = ( !χει ρί$α στο k.

-

@α δείξουμε ότι η ρί$α αυτή είναι μοναδική. 6ραγματικ# οι συναρτήσεις |4 3 || 1−

είναι γνησίως αύξουσες στο ( )0 +∞ #ρα και i γνησίως αύξουσα στο ( )0 +∞ πρ#γμα

που σημαίνει ότι την τιμή κ την παίρνει μια φορ# δη"αδή η εξίσωση ( )i | = ( !χει

μοναδική "ύση.

γ. Aίναι ( ) |i | 4 4 3 | | 1 4= ⇔ + + − = . Η εξίσωση αυτή !χει προφανή "ύση την | 1= yαφού14 31 4 4+ + − = > και δεν !χει #""η σύμφωνα με το προηγούμενο ερ7τημα.

δ. Sποπτευόμαστε ότι από τη δοσμ!νη ισότητα προκύπτουν δύο ίσες τιμ!ς της

συν#ρτησης. Η ισότητα γρ#φεταιb( ) ( ) ( ) ( )( )

= =1 = = = 1 = =

=

4 3 1 4 3 = = 1 4 3 1 1 1

4 3 = = 1

2 + 2 2 +

2

+ 2 + + 2 = + 2 + 2 − ⇔ + 2 + + 2 + − =

= + 2 + 2 −

( ) ( )=i 1 i =⇔ 2 + = 2 y1>.

'""# η i ως γνησίως αύξουσα είναι +1 F 1Œ και !τσι από την y1>b

( )== =1 = = 1 0 1 0 12 + = 2 ⇔ 2 − 2 + = ⇔ 2 − = ⇔ 2 = .

(c)YUZTR 4$[$M7>3 ?$D8AαJ

(Π8B#B;K1 "H%$3 αLM$3N 3α 6α ;8#34BB3?$A #$ 7#>#)

Να αBM$AN$9$ L93 α6 43α #56789# →ℝ ℝib $A6α3 2 >α3 #56$;KJ 9L9$ $A6α3

6#ADJ 4B6L9B61'πόδειξη

~στω ∈ ℝ1 = D % % % με < <1 = D% % %

Η i είναι 1O1 #ρα οι τιμ!ς 1 = Dy > y > y > f % f % f % θα είναι διαφορετικ!ς μεταξύ τους .

@α το δου"!&ουμε με την εις #τοπον απαγωγή.

~στω ότι η συν#ρτηση δεν είναι γνησίως μονότονη.

}ρα δεν ισχύουν οι σχ!σεις

< <1 = Dy > y > y > f % f % f % και > >1 = D

y > y > y > f % f % f %

*η"αδή το =y > f % δεν )ρίσκεται αν#μεσα στα 1 Dy > y > f % f % .

:πότε θα ισχύει μια από τις ακό"ουθες ανισότητες b< <1 D =y > y > y > f % f % f % y1>

> >1 D =y > y > y > f % f % f % y=>

< <= 1 Dy > y > y > f % f % f % yD>

> >= 1 Dy > y > y > f % f % f % yE>

'ς υποθ!σουμε ότι ισχύει η y1> .

Aφόσον τοDy > f % )ρίσκεται μεταξύ των

1 =y > y > f % f % και "αμ)#νοντας υπό&η ότι η i είναι

συνεχής στο ℝ με εφαρμογή του θεωρήματος ενδιαμ!σων τιμ7ν !χουμεb

Sπ#ρχει ( )4 4 ∈ =1 = Dy > b y >% % f f %

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. DH

*η"αδή για 4 < D% !χουμε ( )4 = Dy > f f % #τοπο διότι η i είναι 1O1 .tμοια κατα"ήγουμε σε

#τοπο για τις y=> yD> yE>.'ρα κ#θε συν#ρτηση →ℝ ℝib είναι 1O1 και συνεχής τότε είναι

γνησίως μονότονη.

)A6$9α3 #56789# f 04 #9α?$8K >α3 #56$;KJ #9B ) 5 09H9B3α0 I#9$:

!y > 0 f % 03α >7?$ ) 5 ∈ %

α) Να M$AN$9$ L93 3α >7?$ ) 5 ∈ 1 = % % 578;$3 ( )( ) 5 ∈ 0 I#9$ ( =1 =

y > y > y > f f % f % 1

@) Να M$AN$9$ L93 578;$3 ( )2 ) 5 ∈ 0I#9$ 2 !1 =

y > y > y > f f % f % 3α >7?$ ) 5 ∈ 1 = % % 1

Cύση

α> 9ύμφωνα με το θε7ρημα μεγίστης ε"#χιστης τιμής ισχύει $ $y >m f % $ για κ#θε

) 5 ∈ % όπου [ είναι η ε"#χιστη και ? η μ!γιστη τιμή της i στο ) 5 .Aπομ!νως αφού

) 5 ∈ 1 = % % !χουμεb$ $

$ $1

=

y > y1>

y > y=>

m f % $

m f % $

'πό τις y1>y=> αφού !y > 0 f % για κ#θε ) 5 ∈ % !χουμεb

$ $ ⇔ $ $= =

1 = 1 =y > y > y > y >m f % f % $ m f % f % $

}ρα σύμφωνα με το θε7ρημα ενδι#μεσης τιμής υπ#ρχει ( )( ) 5 ∈ 7στε ( =1 =

y > y > y > f f % f %

)> 'πό τις y1> y=> για κ#θε ) 5 ∈ 1 = % % !χουμεb

+$ + $ ⇔ $ $1 =

1 =

y > y >= y > y > =

=

f % f %m f % f % $ m $

}ρα σύμφωνα με το θε7ρημα ενδι#μεσης τιμής υπ#ρχει ( )2 ) 5 ∈

7στε 2 +

= 1 =y > y >

y >=

f % f % f

tμως ισχύει ότι+

!1 =1 =

y > y >y > y >

=

f % f % f % f % .Aπομ!νως 2 !

1 =y > y > y > f f % f % .




ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. DI

ΙΑΦΟΡΙΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. DJ

)Η #56789# i b →ℝ ℝ $A6α3 #56$;KJ #9B 0| 1= >α3 3#;<$3 3M3L99α= D D| i y|> =iy|> | 1+ = − 3α >7?$ | ∈ ℝ ()

Να M$AN$9$ L93 f $A6α3 α8αDA#34 #9B 0| 1= 1

ΛΥΣΗ

'ρκεί να )ρούμε το| 1

iy|> iy1>-[

| 1→

−

− y=> Cόγω της συν!χειας ισχύειb

| 1

-[ iy |> iy1>→

= yD>

6ρ!πει να υπο"ογίσουμε το iy1> .'πό την y1> για | 1= .=i y1> = 0

= D D D =1 i y1> =iy1> 1 1 i y1> =iy1> 0 iy1>yi y1> => 0 iy1> 0+ ,

+ = − ⇔ + = ⇔ + = ⇔ =

}ρα ανα$ητούμε το όριοb| 1

iy|>-[

| 1→ −.@α χρησιμοποιήσουμε την σχ!ση y1>

( )= D D = = =| i y|> =iy|> | 1 iy|> | i y|> = | 1 y| | 1> + = − ⇔ + = − + + για | 1,

=

= =

iy|> | | 1

| 1 | i y|> =

+ +=

− +.}ρα

= =

= = = =| 1 | 1 | 1

iy|> iy1> iy|> | | 1 1 1 1 D-[ -[ -[

| 1 | 1 =| i y|> = 1 i y1> =→ → →

− + + + += = = =

− − + +

/)Ε#9D α8αDA#34 #56789# i b →ℝ ℝ 3α 96 BBAα 3#;<$3 #;H#= E Diy| > |iy|> | | | 1+ = + + + 0 3α >7?$ | ∈ ℝ

Να @8$A9$ :

G) 96 934K iy1> GG) 9B L83B| 1

|iy|> =-[

| 1→

−−

ΛΥΣΗ

->'πό την δοθείσα σχ!ση παραγωγί$οντας "αμ)#νουμεb

( )= = D =i y| >y| > | iy|> |i y|> E| D| 1+ + = + +

%ια κ#θε | ∈ ℝ .*η"αδή= D =i y| >=| iy|> |i y|> E| D| 1+ + = + + για κ#θε | ∈ ℝ

@!τοντας στην τε"ευταία σχ!ση όπου | το 1 )ρίσκουμε= D =i y1 >= 1 iy1> 1i y1> E 1 D 1 1 Di y1> iy1> J⋅ + + = ⋅ + ⋅ + ⇔ + = y1>

Aπίσης από την δοθείσα σχ!ση θ!τοντας όπου | το 1 )ρίσκουμε= E Diy1 > 1iy1> 1 1 1 1 iy1> iy1> E =iy1> E iy1> =+ = + + + ⇔ + = ⇔ = ⇔ =

'ντικαθιστούμε στην σχ!ση y1> !χουμεbDi y1> = J i y1> =+ = ⇔ =

-->'ποδείξαμε ότι i y1> ==

*η"αδή| 1

iy|> iy1>-[ =

| 1→

−=

− ή

| 1

iy|> =-[ =

| 1→

−=

−

@!τουμεiy|> =

dy|> | 1| 1

−= ,−

Aπομ!νως

dy|>y| 1> iy|> =− = − για κ#θε | 1,

*η"αδή iy|> dy|>y| 1> == − + για κ#θε | 1,

~χουμε "οιπόν

( )| dy|>y| 1> = = dy|>y| 1>| =| =|iy|> =

| 1 | 1 | 1

− + − − + −−= = =

− − −

dy|>y| 1>| =y| 1> y| 1>ydy|>| =>|dy|> =

| 1 | 1

− + − − += = +

− − για κ#θε | 1,

}ρα ( ) ( )| 1 | 1 | 1

|iy|> =-[ -[ |dy|> = -[ |dy|> = 1 = = E| 1→ → →

−= + = + = ⋅ + =−

*) C#9D α8αDA#34 #56789# i b →ℝ ℝ 3α 96 LB3α 3#;<$3:

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. DL

=| =iy4 > =iy| 1> | H+ + = + 3α >7?$ | ∈ ℝ ()

Να M$AN$9$ L93:

G) iy1> == GG)| 1

iy|> = 1-[

| 1 =→

−=

− GGG)

( )=

=| 1

iy|> E 1-[

D| D| E→

−=

+ −

ΛΥΣΗ

->%ια | 0= στην y1> προκύπτειb= 0 =iy4 > =iy0 1> 0 H iy1> =iy1> H iy1> =⋅ + + = + ⇔ + = ⇔ =

-->%ια κ#θε | ∈ ℝ !χουμεb

( ) ( )=| = =| =| = = =| =| = =iy4 > =iy| 1> | H i y4 >y4 > =i y| 1>y| 1> 1 =i y4 >4 =i y| 1>=| 1+ + = + ⇔ + + + = ⇔ + + =

=| =| = ==i y4 >4 Ei y| 1>| 1⇔ + + = y=>

%ια |‚0 η y=> γίνεταιb

= 0 = 0 = = = 0 = = 1=i y4 >4 Ei y0 1>0 1 =i y1>4 Ei y0 1> 0 1 =i y1> 1 i y1>

=⋅ ⋅ ⋅⇔ + + = ⇔ + + ⋅ = ⇔ = ⇔ =

tμως η i είναι παραγωγίσιμη στο0| 1= .Aπομ!νωςb

| 1 | 1iy|> iy1> iy|> = 1i y1> -[ -[

| 1 | 1 =→ →− −= = =− −

--->~χουμεb

( ) ( ) ( )=

=| 1 | 1 | 1 | 1

iy|> E iy|> = iy|> = iy|> = iy|> = 1 E =-[ -[ -[ -[

y| 1>y| E> | 1 | E = G G| D| E→ → → →

− − + − += = ⋅ = ⋅ =

− + − ++ −

&)Ε#9D M5B #56α89K#$3J i d b →ℝ ℝ 9H9B3$J0 I#9$

iy|>dy|> ημ|= 3α >7?$ | ∈ ℝ 1


G)α6 #56789# f $A6α3 α8αDA#34 #9B =2| 0 >α3

iy0> 1=

ΤL9$ #56789# g $A6α3 α8αDA#34 >α3 3#;<$3:d y0> 1=

GG)α6 3#;<$3iy0> dy0> 0= =

ΤL9$ 43α 9B5%7;3#9B6 αL 93J #56α89K#$3J f0g M$6 $A6α3 α8αDA#34 #9B 2| 0= 1

ΛΥΣΗ

->%ια όποια | ∈ ℝ η i είναι παραγωγίσιμη και ισχύει η σχ!σηiy|> 0,

Η συν#ρτηση

ημ|dy|> iy|>=

Aίναι επίσης παραγωγίσιμη και ισχύει η σχ!ση

=

συν| iy|> ημ| i y|>dy|>

iy|>

⋅ − ⋅=

tμως από την υπόθεση η i είναι παραγωγίσιμη στο0| 0= και

iy0> 1 0= ,

Aπομ!νως η συν#ρτηση d είναι επίσης παραγωγίσιμη στο0| 0= με

=

συν0 iy0> ημ0 i y0> 1 0d y0> 1

1iy0>

⋅ − ⋅ −= = =

-->%ια κ#θε | ∈ ℝ στο οποίο οι id είναι παραγωγίσιμες από την δοθείσα σχ!ση παίρνουμε

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. E0

( ) ( )iy|>dy|> ημ| i y|>dy|> iy|>d y|> συν|= ⇔ + =

'ν υποθ!σουμε ότι οι i και d είναι παραγωγίσιμες στο0| 0= προκύπτει η σχ!ση

i y0>dy0> iy0>d y0> συν0 0 0 1+ = ⇔ + = #τοπο. }ρα μια του"#χιστον από τις συναρτήσεις id

δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0| 0= .

)Η #56789# f B8A[$9α3 #9B ℝ 1Να αBM$AN$9$ L93 α6 f $A6α3 α8αDA#34 #9B α

4$ iyα> 0, 0 9L9$ >α3 #56789# i $A6α3 α8αDA#34 #9B α1

ΛΥΣΗ

%ια τυχαίο | ∈ ℝ με | α, !χουμεb

( ) ( )( )( ) ( )( )

( ) ( )

( )( )

= = = =iy|> iyα> iy|> iyα>iy|> iyα> iy|> iyα> iy|> iyα>

| α | α iy|> iyα> | α iy|> iyα> | α iy|> iyα>

− +− − −= = = =

− − + − + − +

( )( )

( )( )iy|> iyα> iy|> iyα> iy|> iyα> iy|> iyα>

| α iy|> iyα>| α iy|> iyα>

− + − += = ⋅

− +− + y1>

Η i ως παραγωγίσιμη είναι και συνεχής στο α οπότε και η i είναι συνεχής στο α.Aπομ!νως

| α | α | α | α

iy|> iyα> iy|> iyα> iy|> iyα> iy|> iyα> iy|> iyα> iyα> iyα>-[ -[ -[ -[ iŽyα>

| α | α | αiy|> iyα> iy|> iyα> iyα> iyα>→ → → →

− − + − + += ⋅ = = = − − −+ + +

iyα> iyα> iŽyα>iyα>iŽyα>

iyα> iyα> iyα>

+= = ∈

+ ℝ .}ρα η i είναι παραγωγίσιμη στο α.

-) Γ3α 96 #56789#i b →ℝ ℝ 3#;<$3:|

| iy|> 4 1$ $ − 3α >7?$ | ∈ ℝ ()Να αBM$AN$9$ L93 :

G) Η f $A6α3 #56$;KJ #9B 0| 0= 1

GG) Η f $A6α3 α8αDA#34 #9B 0| 0= 1

ΛΥΣΗ

->%ια να είναι η i συνεχής στο 0 θα πρ!πει να ισχύειb| 0-[ iy|> iy0>

→=

'πό την y1> για | 0= είναιb 00 iy0> 4 1 0 iy0> 0 iy0> 0$ $ − ⇔ $ $ % =

Aίναι| 0-[ | 0

→= και ( )|

| 0-[ 4 1 0

→− = από το κριτήριο της παρεμ)ο"ής και την y1> προκύπτει

| 0-[ iy|> 0 iy0>

→= =

-->@α σχηματίσουμε το "όγο μετα)ο"ήςiy|> iy0>

| 0

−−

*ιακρίνουμε περιπτ7σεις για το |

† | 0> η y1>παιρνει την μορφήb| |

| | iy|> 4 1 iy|> 4 1| iy|> 4 1 1 y=>

| | | | |

− −$ $ − ⇔ $ $ ⇔ $ $

'""#| | 0

| 0 | 0

4 1 4 4-[ -[

| | 0→ →

− −=

− είναι η παρ#γωγος της |4 στο 0.

}ρα|

0

| 0

4 1-[ 4 1

|+→

−= = οπότε από την y=> και το κριτήριο παρεμ)ο"ής ισχύειb

| 0 | 0

iy|> iy|> iy0>-[ 1 -[ yD>| | 0+ +→ →

−= =−

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. E1

† | 0< z..| 0 | 0

iy|> iy|> iy0>-[ 1 -[ yE>

| | 0− −→ →

−= =

−

'πό yD>yE> !χουμε ότι| 0

iy|> iy0>-[ 1

| 0→

−=

− #ρα i y0> 1= .

+)Α6 #56789# g $A6α3 α8αDA#34 #9B ℝ 1

G) Να 5B%BA#$9$ 96 α87DB 9J #56789#J χ `y|> dyα >= #9B 0| 1= 1

GG)Να αBM$AN$9$ L93 :|

| 1

dyα > |dyα>-[ αdyα> 3 α dyα> 0 α 1

| 1→

−= − < ,

−

ΛΥΣΗ

->Aφόσον η d είναι παραγωγίσιμη #ρα η ` θα είναι παραγωγίσιμη ως σύνθεση

παραγωγίσιμων συναρτήσεων.

}ρα χ χ χ χ `y|> dyα >yα > d yα >α 3 α= = . }ρα `y1> d yα>α 3α=

-->~χουμεb| | χ χ | χ χ

| 1 | 1 | 1

dyα > |dyα> dyα > |dyα > |dyα > |dyα> dyα > |dyα > |dyα > |dyα>-[ -[ -[

| 1 | 1 | 1→ → →

− + − − − + −= = =

− − −

| | | | |

| 1 | 1

| | χ |

| 1 | 1

χ |

| 1 | 1 | 1

dyα > |dyα > |dyα > |dyα> dyα >y1 |> |ydyα > dyα>>-[ -[

| 1 | 1 | 1 | 1

dyα >y1 |> ydyα > dyα>> ydyα > dyα>>-[ | -[ dyα > |

| 1 | 1 | 1

ydyα >-[ dyα > -[ | -[

→ →

→ →

→ → →

− − − −+ = + =

− − − − − − −

= + = − + = − − −

= − +1dyα >>

dyα> 1 `y1> dyα> d yα>α 3 α αdyα>3 α dyα>| 1

−= − + ⋅ = − + = −

−

V) i #56789#i b →ℝ ℝ $A6α3 #56$;KJ #9B 1LIE >α3 3#;<$3: iy1LIE> G= 1Α6 3α 96

#56789# g 3#;<$3= =dy|> Ey| 1LIE >iy|>= − 3α >7?$ | ∈ ℝ ()

Να αBM$AN$9$ L93 g $A6α3 α8αDA#34 #9B .+& 6α @8$A9$ 96 α87DB 9J1

ΛΥΣΗ

Aπειδή η i είναι συνεχής στο 1LIE !χουμεb| 1LIE-[ iy|> iy1LIE> G→

= =

~χουμεb= = = = = =

| 1LIE | 1LIE | 1LIE

dy|> dy1LIE> Ey| 1LIE >iy|> Ey1LIE 1LIE >iy1LIE> Ey| 1LIE >iy|>-[ -[ -[

| 1LIE | 1LIE | 1LIE→ → →

− − − − −= = =

− − −

| 1LIE | 1LIE | 1LIEEy| 1LIE>y| 1LIE>iy|>-[ -[ Ey| 1LIE>iy|> -[ Ey1LIE 1LIE>iy1LIE> Jy1LIE>G E0 1LIE ..

| 1LIE→ → →− += = + = + = = ⋅ =−

}ρα d y1LIE> E0 1LIE= ⋅

« C(το τη-3 αυ/τη-7 *-72-αµµα µε'(τη,1ε) θα

1ιαBάD5 µ7)ο 7τα) κοιµάµαι και 2ια µι/4 3-α µετά

το +α2ητ7. Σ4µε-α, (5 +άει 1εκα*()τε +ο-(;;

Ο-άτιο EF ετ3), υ*οG4+ιο *α)ε''η)ί5)

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. E=

.) Να ;α8α>98A#$9$ 93J 8B97#$3J B5 α>B%B5?B<6 087B69αJ #9B 9$987M3B #αJ

0MA%α #9B 8744α B5 α693#9B3;$A #$ >7?$ 8L9α# 96 %HN ΣD#9L 0 α6 8L9α#

$A6α3 #D#9K0 K Λ7?BJ α6 8L9α# $A6α3 %α6?α#4H61

1>'ν μια ευθεία yε> !χει με την γραφική παρ#σταση της i μόνο !να κοινό σημείο τότε η

yε> είναι π#ντοτε εφαπτομ!νη της. 9 C=>?ια συν#ρτηση i είναι παραγωγίσιμη στο σημείο0| του πεδίου ορισμού της αν υπ#ρχει

το0

0

| |0

iy|> iy| >-[

| |→

−

− 9 C

D>'ν δυο συναρτήσεις δεν !χουν κοιν# σημεία τότε δεν δ!χονται κοινή εφαπτομ!νη. 9 C

E>%ια την συν#ρτηση =iy|> 1LIE| | =1= ∈ − !χει μόνο !να τοπικό ακρότατο. 9 C

G> 'ν η συν#ρτηση i είναι δυο φορ!ς παραγωγίσιμη στο δι#στημα * και η i είναι κοί"η στο

* τότε i y|> 0! για κ#θε | ∈ . . 9 C

'παντήσεις

1> C =>C D> C E>C G>C

!) A6$9α3 #56789# i BBAα $A6α3 α8αDA#34 #9B ℝ 4$ 96 3M3L99α=| Giy4 > Diy| 1> =| E+ + = − 03α >7?$ | ∈ ℝ

Να @8$A9$ 9B=

=| 1

i y|> 1-[

| =| D→

−

+ −

ΛΥΣΗ

'πό την y1>για | 0= !χουμεb

= 0 Giy4 > Diy0 1> = 0 E iy1> Diy1> E iy1> 1 y=>⋅ + + = ⋅ − ⇔ + = − ⇔ = −

~τσι( ) ( )

→ → →

− +− + − = = ⋅

+ − − ++ −

=

=| 1 | 1 | 1

iy|> 1 iy|> 1i y|> 1 iy|> 1 iy|> 1-[ -[ -[

y| D>y| 1> | 1 | D| =| D

yD>

:ι συναρτήσεις =| Giy4 >iy| 1>+ είναι παραγωγίσιμες στο ℝ ως συνθ!σεις παραγωγίσιμων

συναρτήσεων .}ρα από την y1> !χουμεb=| =| G E =| =| E Gi y4 >=4 Di y| 1>G| = =4 i y4 > 1G| i y| 1> =+ + = ⇔ + + = για κ#θε | ∈ ℝ

%ια | 0= !χουμεb

| 1 | 1 | 1

iy|> iy1> iy|> y 1> iy|> 1i y1>= = i y1> 1 -[ 1 -[ 1 -[ 1 yE>

| 1 | 1 | 1→ → →

− − − += ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =

− − −

Aπίσης η iως παραγωγίσιμη στο ℝ είναι συνεχής στο0| 1= #ρα

| 1-[ iy|> iy1> 1

→= = −

}ρα→

− − −= = −

+ +| 1

iy|> 1 1 1 1-[ yG>

| D 1 D =

Τε"ικ# από yD> yE> yG> b→

+ − ⋅ = − − + | 1

iy|> 1 iy|> 1 1-[

| 1 | D =

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. ED

)Ε#9D #56789# i b →ℝ ℝ 3α 96 LB3α 3#;<$3:HHI= =| iy|> HHHiy|> | E + = − 3α >7?$ | ∈ ℝ ()

α3 f $A6α3 #56$;KJ #9B 0| ==

Να αBM$AN$9$ L93 f $A6α3 α8αDA#34 #9B 0| == 1

ΛΥΣΗ

-> %ια | == στην y1> προκύπτειb

( )=00H

HHI HHI= =

E iy=> =00H 0 για καθε HHH

= iy=> HHHiy=> = E E iy=> HHHiy=> 0

iy=> E iy=> HHH 0 iy=> 0 + , ∈

+ = − ⇔ + = ⇔

⇔ + = % =

ℝ

'ρκεί να δείξουμε ότι το| = | =

iy|> iy=> iy|>i y=> -[ -[

| = | =→ →

−= = ∈

− − ℝ

%ια | =, από υπόθεση !χουμεb

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

( )

HHI HHH= = =

HHH=

HHH=

HHH=

| iy|> HHHiy|> | E iy|> | iy|> HHH | = | =

iy|> | iy|> =00H| = | = iy|> | iy|> HHH | =

| = | = | =iy|> | =

| = | iy|> HHH

+ = − ⇔ + = − + ⇔

+− + ⇔ = ⇔ + = + ⇔ − − −

+=

− +

~τσι

( ) ( )HHH HHH| = | = = =

iy|> | = = = E =-[ -[

| = HHH DDD| iy|> HHH = iy=> HHH→ →

+ += = = =

− + +

/)Ε#9D B3 #56α89K#$3J i d b →ℝ ℝ 9H9B3$J I#9$ : iyα> dyα>= >α3 iy|> | dy|> α+ $ + 3α >7?$

| ∈ ℝ 1Α6 B3 f >α3 g $A6α3 α8αDA#34$J #9B α 0 6α αBM$AN$9$ L93 d yα> i yα> 1− = 1

'πόδειξη

%ια | α> !χουμεbiy|> | dy|> α+ $ + ⇔

i yα > d yα > dy|> dyα>iy|> iyα> | αiy|> | α dy|> iy|> iyα> | α dy|> dyα>

| α | α | α

= −− −+ − $ ⇔ − + − $ − ⇔ + $

− − −

dy|> dyα>iy|> iyα>1

| α | α

−−+ $

− −

}ρα| α | α

dy|> dyα>iy|> iyα>-[ 1 -[

| α | α→ →

−−+ $

− − επειδή οι i d είναι παραγωγίσιμες στο α προκύπτει ότι

i yα> 1 d yα> d yα> i yα> 1+ $ ⇔ − $ y1>

%ια | α< !χουμεbiy|> | dy|> α+ $ + ⇔

i yα > d yα > | α dy|> dyα>iy|> iyα> | αiy|> | α dy|> iy|> iyα> | α dy|> dyα>

| α | α | α

= < −− −+ − $ ⇔ − + − $ − ⇔ + !

− − −

dy|> dyα>iy|> iyα>1

| α | α

−−+ !

− −

}ρα| α | α

dy|> dyα>iy|> iyα>-[ 1 -[

| α | α→ →

−−+ !

− − επειδή οι i d είναι παραγωγίσιμες στο α προκύπτει ότι

i yα> 1 d yα> d yα> i yα> 1+ ! ⇔ − ! y=>

'πό τις σχ!σεις y1> καιy=> προκύπτειb

d yα> i yα> 1− =

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. EE

*) A6$9α3 #56789#| 1D

iy|> = 3 | = 31D 1D |

= − − +

G) Να 4$%$9K#$9$ 96 f DJ 8BJ 96 4B6B9B6Aα 1

GG)Να αBM$AN$9$ L93=) ) 1HL

31D =H)

−$ 3α >7?$ ) 1D! 1

GGG)Να %<#$9$ 96 $NA#D#=| | 1HL

31D =H|

−=

ΛΥΣΗ

->%ια κ#θεi| s y0 >∈ = +∞ είναι

= =

= = =

| 1D = 1 1D =H| | 1HL y| 1D>i y|> = 3 | = 31D

1D | | 1D | 1D| 1D|

− − −= − − + = − − = = −

6αρατηρούμε ότι i y|> 0< για κ#θε | 1D, και η i είναι συνεχής στο |‚1D #ρα η i είναι

γνησίως φθίνουσα.

-->?ε

( ) ( )i στο 0 ) )1D 1D 1D 1D) 1D iy)> iy1D> = 3) =31D = 31D =31D = 3) 31D 0

1D ) 1D 1D 1D )

+∞! % $ ⇔ − − + $ − − + ⇔ − − + $ ⇔ց

= = = = =) ) 1D ) ) 1D ) ) 1HL= 3 3 3

1D 1D) 1D =H) 1D =H)

− − −$ ⇔ $ ⇔ $

--->Aίναι

( )= = = = = =| | 1D | | 1D | 1D | 1D

3 = 3 = 3 | 31D = 3 | = 31D1D =H| 1D 1D| 1D| 1D| 1D |

| 1D= 3 | =31D 0 iy|> 0

1D |

− −= ⇔ = ⇔ − = − ⇔ − = − ⇔

− − + = ⇔ =

Η εξίσωση iy|> 0= !χει ρί$α την |‚1D είναι γνησίως φθίνουσα η ρί$α είναι μοναδική.

&)("H4α /!!!) A6$9α3 #56$;KJ #56789# i b →ℝ ℝ 3α 96 BBAα 3#;<$3:=|

| 0

iy|> 4 1-[ 0

ημ=|→

− +=

G)Να @8$A9$ 96 934K iy0> 1

GG)Να αBM$AN$9$ L93 f $A6α3 α8αDA#34 #9B 0| 0=

GGG)Α6 |`y|> 4 iy|>−= 0 6α αBM$AN$9$ L93 B3 $α9B4H6$J 9D6 bf >α3 bj #9α #4$Aα

cy0iy0>> >α3 ry0`y0>> $A6α3 α87%%%$J1

ΛΥΣΗ->θεωρούμε την συν#ρτηση

=|iy|> 4 1dy|>

ημ=|

− += όπου το χ κοντ# στο 0.

~χουμεb

=|=| =|iy|> 4 1

dy|> dy|>ημ=| iy|> 4 1 iy|> dy|>ημ=| 4 1 ημ=|

− += ⇔ = − + ⇔ = + −

Τότε ( )=|

| 0 | 0-[ iy|> -[ dy|>ημ=| 4 1 0

→ →= + − = η i συνεχής στο |‚0 #ρα

| 0iy0> -[ iy|> 0

→= = .

-->=| =| =|

| 0 | 0 | 0 | 0

dy|>ημ=| 4 1 dy|>ημ=| ημ=|iy|> iy0> 4 1 4 1-[ -[ -[ -[ =dy|>

| 0 | | | =| |→ → → →

+ −− − −= = + = + =

−




ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. EG

( )=| =|

= 0

| 0 | 0 | 0 | 0

ημ=| ημ=|4 1 4 1-[ =dy|> = -[ dy|> -[ -[ = 0 1 =4 =

=| | =| |⋅

→ → → →

− −= + = ⋅ + = ⋅ ⋅ + =

9ημει7νουμε ότιb

Š Η δι#σπαση των ορίων !γινε διότι τα όρια υπ#ρχουν.

Š=| =| = 0

=|

| 0 | 0

4 1 4 4-[ -[ Wy0> Wy|> 4

| | 0

⋅

→ →

− −= = =

−

}ρα i y0> 0=

--->| 0 |

| |

| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0

4 iy|> 4 iy0> 4 iy|> iy|> iy|> iy0>` y0> -[ -[ -[ 4 -[ -[ 4 -[ i y0>

| 0 | | | 0

− − −− −

→ → → → → →

− −= = = = =

− −

#ρα οι εφαπτομ!νες των ]i και ]` στα σημεία cy0iy0>> και ry0`y0>> είναι παρ#""η"ες.

)36$9α3 #56789# i b →ℝ ℝ B5 $A6α3 α8αDA#34 #9B ℝ 4$ i y|> 0, 3α >7?$

| ∈ ℝ >α3 #56789# j 4$iy|>

`y|> |iy|>

= ∈ ℝ 1

Α6 $A6α3 ($) $α9L4$6 9J bj #$ H6α >B36L #4$AB 4$ 9B6 7NB6α || 6α M$AN$9$ L93

($) #;4α9A[$3 4$ 9B6 7NB6α α59L D6Aαπ

E1

ΛΥΣΗ

@εωρούμε0 0y| y| >> !να κοινό σημείο της ]` με τον ||

Τότε 00 0

0

iy| >`y| > 0 0 iy| > 0

i y| >= ⇔ = ⇔ = y1>

'πό την υπόθεση της #σκησης ισχύει i y|> 0, για κ#θε0| ∈ ℝ .%ι να δείξουμε ότι η

εφαπτομ!νη yε> στο σημείο0 0y| y| >> σχηματί$ει γωνία

π

E με τον χχ αρκεί να δείξουμε ότι

0

π`y| > εφ 1

E= = .

6ραγματικ#b

( )

( )

( )

=

= =

i y|> iy|>i y|>iy|> i y|>i y|> iy|>i y|>` y|>

iy|> i y|> i y|>

− −= = =

}ρα( )

( )

( )

( )

= =y1>

0 0 0 0

0 = =

0 0

i y| > iy| >i y| > i y| >` y| > 1

i y| > i y| >

−= = =

:πότε η yε> σχηματί$ει με τον #ξονα αυτό γωνίαπ

E .

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. EH

-)36B69α3 B3 #56α89K#$3J i d b →ℝ ℝ 4$ 93J 3M3L99$J:

k|

dy|>iy4 > iyD|>iy4 >

=

+= ()

k Η f $A6α3 2

Να M$AN$9$ L93 :

G)Η $NA#D#|

4 D|= H;$3 9B5%7;3#9B6 43α 8A[α #9B M37#94α ( )01 1GG)Υ78;$3 ξ ∈ ℝ 9H9B3B I#9$ dyξ> ξ= 1

GGG)Α6 i d α8αDA#34$J 4$ iy|> 0, 3α >7?$ | ∈ ℝ 6α M$AN$9$ L93:

ξ 1dyξ>

=ξ

+=

GX)Α6 Ε(N) 9B $4@αML 9B5 983I6B5 B5 #;4α9A[$3 $α9B4H6 9J 8α3>KJ

α87#9α#J 9J g #9B #4$AB yξiyξ>>E 4$ 9B5J 7NB6$J Οx0Ol 6α M$AN$9$ L93:

1yξ>

=F <

ΛΥΣΗ

-> @εωρούμε την συν#ρτηση |`y|> 4 D|= − είναι συνεχής στο κ"ειστό δι#στημα 01 και0 1`y0> 4 D 0 1 0 `y1> 4 D 1 4 D 0= − ⋅ = > = − ⋅ = − < #ρα από το θε7ρημα r2‹/32 υπ#ρχει

του"#χιστον !να ( )ξ 01∈ τ!τοια 7στε ξ`yξ> 0 ...4 Dξ= ⇔ =

-->B#$ουμε στην y1> όπου |‚ξ bDξξ ξ ξ4 Dξ

dyξ> dyξ>

ξ i 1 1dyξ> dyξ> dyξ>ξ ξ

iy4 > iyDξ> iy4 > iy4 >iy4 > iy4 >

= =

=iy4 >iy4 > iy4 > iy4 > 4 4 dyξ> ξ

=

=

−

+ += ⇔ = ⇔

⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =

-->6αραγωγί$ουμε την y1>( ) ( )

|dy|> dy|> dy|>| |iy4 > iyD|> 1

iy4 > i y4 >4 Di yD|> i y4 >4 d y|>= =

+= ⇔ + =

@!τουμε όπου |‚ξb

( ) ( )ξ

dyξ > ξdyξ> dyξ>ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ

4 εξ

1 1i y4 >4 Di yDξ> i y4 >4 dyξ> i y4 >4 Di y4 > i y4 >4 d yξ>

= =

=

=+ = ⇔ + = ⇔

ξi y4 > 0ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξi y4 >4 Di y4 > =i y4 >4 d yξ> 0 i y4 >y4 D =4 dyξ>> 0

,

+ − = ⇔ + − = ⇔ ξ4 Dξ

ξ ξ ξ 14 D =4 dyξ> 0 Dξ D = Dξd yξ> 0 d yξ>

=ξ

= ++ − = ⇔ + − ⋅ = ⇔ =

--->Η εξίσωση της εφαπτομ!νης της ]d στο yξdyξ>>E είναιb

ξ 1 ξ 1 ξ 1 ξ 1 ξ 1h dyξ> d yξ>y| ξ> h ξ y| ξ> h | ξ h |

=ξ =ξ = =ξ =

+ + + + −− = − ⇔ − = − ⇔ = − + ⇔ = +

Τα σημεία τομής της ]d με τους #ξονες :|xh είναι =ξ 1 ξ ξ

ry0 > y 0>= ξ 1

− −G

+

Aίναι

( )< < −− − − −F = = ⋅ ⋅ =

+ + +

== =0 ξ 1 ξ 1 ξ1 ξ 1 ξ ξ 1 1 ξ ξ ξ

yξ>= = ξ 1 = = ξ 1 Eyξ 1>

1'ρκεί

( ) ( ) ( ) ( ) ( )= =

0 ξ 1 = = =ξ 1 ξ ξ 1 ξ1 1 ξ 1 ξ =yξ 1> ξ 1 =ξ ξ =ξ = ξ 1 =ξ ξ =ξ =Eyξ 1> = =yξ 1>

< <− −< ⇔ < ⇔ − < + ⇔ − + < + ⇔ − + < ++ +

ξ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. EI

= D D =ξ =ξ ξ =ξ = ξ =ξ ξ = 0− + < + ⇔ − − − < ισχύει για 0 ξ 1< <

+)G) A6B69α3 B3 α8αDA#34$J #56α89K#$3J i b →ℝ ℝ >α3 d b →ℝ ℝ 3α 93J BBA$J

3#;<$3:

iy|>dy|> |= 03α >7?$ | ∈ ℝ Να M$AN$9$ L93 43α 4L6B αL 93J 8α3>HJ α8α#97#$3J 9D6 f >α3 g M3H8;$9α3 αL 96

α8;K 9D6 αNL6D61

GG)A6$9α3 α8αDA#34 #56789# i b →ℝ ℝ 3α 96 BBAα 3#;<B56

i y|> 0, 03α >7?$ | ∈ ℝ (*)=

E =iy| > iy| > = 3α >7?$ | ∈ ℝ (&)

Να M$AN$9$ L93 8α3>K α87#9α# 9J f M3H8;$9α3 αL 9B #4$AB cy11> .

ΛΥΣΗ

->%ια | 0= !χουμεb iy0>dy0> 0 iy0> 0 ή dy0> 0= % = =

#ρα είναι )!)αιο ότι του"#χιστον μια από τις γραφικ!ς παραστ#σεις των i και d δι!ρχεταιαπό την αρχή των αξόνων.

~στω ότι ]i και ]d δι!ρχονται και οι δυο από την αρχή των αξόνων :y00> τότεb

iy0> 0= και dy0> 0= y=>

6αραγωγί$οντας την iy|>dy|> |= "αμ)#νουμεb

( )iy|>dy|> | i y|>dy|> iy|>d y|> 1= % + = οπότε για | 0=

i y0>dy0> iy0>d y0> 1 0 1+ = % = #τοπο.

-->6ρ!πει να δείξουμε ότιb iy1> 1=

6αραγωγί$οντας την yE> !χουμεb( ) ( ) ( ) ( )

( )

=E = E E = =

D E = = = D E = =

iy| > iy| > | i y| > = iy| > iy| >

E| i y| > =i y| > | iy| > E| i y| > E|i y| >iy| >

= ⇔ = ⇔

= ⇔ =

:πότε για | 1= bi y1> 0

D E = =E 1 i y1 > E 1i y1 >iy1 > i y1> i y1>iy1> i y1>y1 iy1>> 0 iy1> 1,

⋅ = ⋅ % = ⇔ − = ⇔ =

}ρα cy1 1> ]i∈ .

V)Α6 $A6α3 iy1> Edy1> J i y1> Ed y1> 10= = = = 0 9L9$ B3α αL 9α α8α>79D 3#;<B56 :

α) yi d>y1> G1⋅ = ) yi d>y1> I=⋅ =

@) yi d>y1> 1E+ = M)i

y >y1> E0d =

'π#ντηση

9ωστή η y)> yi d>y1> i y1> d y1> .. 1E+ = + = =

9ωστή η yγ> yi d>y1> i y1> dy1> iy1> d y1> D= E0 I=⋅ = ⋅ + ⋅ = + =

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. EJ

Σ;L%3B #98α@B< 3α 96 (V)

B!)αια για να πούμε και του στρα)ού το δίκιο δεν μπορούμε να

χρησιμοποιούμε τους κανόνες παραγ7γισης σε σημείο !τσι χωρίς

περίσκε&η.*είτε τις συναρτήσειςb

( )=iy|> | | 1 == ∈ −∞ ∪ +∞ είναι παραγωγίσιμη στο 1 με i y1> ==

)dy|> D|| 1= ∈ +∞ είναι παραγωγίσιμη στο 1 με d y1> D= tμως η iPd ορί$εται στο )= •1€ +∞ ∪ και δεν !χει νόημα η παρ#γωγος σε μεμονωμ!νο

σημείο στο 1.

.)Ε#9D i b →ℝ ℝ 43α α8αDA#34 #56789# 4$ #56$;K α87DB >α3 iy|> 3α

>7?$ | ∈ ℝ 1"$D8B<4$ 96 #56789#iy|>

dy|>iy|>

= >α3 H#9D cyα)> 9B #4$AB #9B BBAB

bg 9H46$3 9B6 7NB6α xmx1

G)Να αBM$AN$9$ L93 g $A6α3 α8αDA#34 #9B α1

GG)6α @8$A9$ 96 D6Aα0 96 BBAα #;4α9A[$3 bg #9B Α 4$ 9B6 ;m;1

ΛΥΣΗ->Η ]d τ!μνει στο ' με τον || #ρα ) 0= ή

iyα>dyα> 0 0 iyα> 0

iyα>= ⇔ = ⇔ =

iyα> 0

| α | α | α | α | α | α

iy|> iyα> iy|>

dy|> dyα> iy|> 1 iy|> 0 1 iy|> iyα> 1i y|> i yα> i y|>-[ -[ -[ -[ -[ -[

| α | α | α | α i y|> | α i y|> | α i y|>

=

→ → → → → →

−− − −

= = = ⋅ = ⋅ = ⋅ = − − − − − −

| α | α | α

iy|> iyα> 1 iy|> iyα> 1 1-[ -[ -[ i yα> 1

| α i y|> | α i y|> i yα>→ → →

− −= ⋅ = ⋅ = ⋅ = − −

}ρα d yα> 1= οπότε η d είναι παραγωγίσιμη στο α.

->0

d yα> εφω 1 ω EG= = % = οπότε0

ω EG= /!) A6$9α3 #56789# ( )i b 1+∞ → ℝ >α3 3#;<$3 iy|> | iy|>| 4 −= 1Να αBM$AN$9$ L93

578;$3 $α9L4$6 9J bf B5 $A6α3 α87%%% 8BJ 96 $5?$Aα ($):1

h | GE

= + >α3

6α @8$A9$ 9B #4$AB 9J bf αL 9B BBAB 7$9α3 $α9B4H6 α59K1 α9L36 6α

@8$A9$ 96 $NA#D# 9J1

ΛΥΣΗ

Η ευθεία1

yε> b h | GE

= + !χει συντε"εστή διεύθυνσηςε

1"

E= .

'ν υποθ!σουμε ότι από το σημείο0 0

y| h >: της ]i #γεται εφαπτομ!νη παρ#""η"η προς

την yε> τότεb 0 ε 1i y| > "E

= = y1>

@α )ρούμε πρ7τα τον τύπο της iy|> και κατόπιν της παρ#γωγο της.

Tσχύειbiy|> | iy|> iy|> | iy|>| 4 3y| > 3y4 > iy|> 3 | | iy|> iy|> 3 | iy|> |

iy|>y3 | 1> |

− −= ⇔ = ⇔ = − ⇔ + = ⇔

+ =

'""# από το πεδίο ορισμού της i είναι γνωστό ότι

| 1 3 | 0 3 | 1 1> % > % + > #ρα 3 | 1 0+ ,

}ρα.|

iy|>3 | 1

=+

y=>

Η παρ#γωγος της i




ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. EL

( ) ( )

( ) ( ) ( )= = =

13 | 1 |y|> 3 | 1 y|> 3 | 1 | 3 ||i y|>

3 | 1 3 | 1 3 | 1 3 | 1

+ −+ − + = = = = + + + +

yD>

‡ y1> "όγω της yD> δίνειb

( )

( ) ( ) ( )= = =0

0 0 0 0 0 0 0=

0

3 | 1E 3 | 3 | 1 E3 | 3 | = 3 | 1 3 | =3 | 1 0

E3 | 1

= ⇔ = + ⇔ = + + ⇔ − + =

+

( )=

0 0 03 | 1 0 3 | 1 | 4⇔ − = ⇔ = ⇔ =

~τσι4 4 4

iy4>3 4 1 1 1 =

= = =+ +

οπότε από το σημείο4

X 4=

#γεται η εφαπτομ!νη παρ#""η"η

στην yε>.

Η εξίσωση της εφαπτομ!νης της είναιb h iy4> i y4>y| 4>− = −

'""#( ) ( )

= =

34 1 1iy4>

E3 4 1 1 1= = =

+ + #ρα

4 1 1 4h y| 4> ... h |

= E E E− = − ⇔ ⇔ = +

/)36$9α3 #56789# ˆi b →ℝ ℝ 4$=

1 1iy|>

||

= − >α3 9B #4$AB Xy" iy">> " 0, 9J

8α3>KJ α87#9α#J 9J f1

α) Να @8$A9$ 96 $NA#D# 9J $α9B4H6J 9J bf #9B #4$AB Μ1

@)G)Γ3α " D= M$6 H;$3 7%%B >B36L #4$AB 4$ 96 bf1

GG)Γ3α " 1= H;$3 >α3 7%%B >B36L #4$AB 4$ 96 bf1

ΛΥΣΗ

α>= = = =

1 1 1 | 1 |iy|>

|| | | |

−= − = − =

( ) ( )( ) ( )= = =

= E E

= = =

E E E D

1 | | 1 | | | 1 | =|1 |i y|>

| | || =| =| | =| |y| => | =

| | | |

− − − − − − − = = = =

− − + − − −

= = = =

Η εξίσωση εφαπτομ!νης της ]i στο ? είναι b

= D D

= D = = D

1 " " = " =h iy"> i y">y| "> h | "

" " "1 " " = " = 1 " " = " =

h | h |" " " " "

− − −− = − ⇔ − = − ⇔

− − − − − + −= + − ⇔ = + ⇔

= D D =

D =" " = " = D ="h | h |

" " " "

− − − −= + ⇔ = + y=>

)>-> %ια " D= κοινό σημείο είναι το XyDiyD>> με αντικατ#σταση στον τύπο της i είναι

=XyD >

L−

Η εξίσωση της εφαπτομ!νης γίνεταιD =

D = D = D 1 1h | h |

=I DD D

− − ⋅= + ⇔ = −

Τα κοιν# σημεία της εφαπτομ!νης αυτής με την ]i προκύπτουν από την "ύση του

συστήματος

=

=

=== =

1 | 1 11 1| D | Dy| D> 0|h |

=I D=I D | .. 1 D =1 |1 | 1 | h hh

h h LD|| |

− = =− == −= − ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ −−− − = = −=

= =

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. G0

(ατ# συν!πεια για "‚D η εφαπτομ!νη στο=

XyD >L

− δεν !χει #""ο κοινό σημείο με την ]i.

-->%ια "‚1 κοινό σημείο είναι το Xy1iy1>> με αντικατ#σταση στον τύπο της i είναι Xy10>

Η εξίσωση της εφαπτομ!νης γίνεταιD =

1 = 1 = 1h | h | 1

1 1

− − ⋅= + ⇔ = − +

Τα κοιν# σημεία της εφαπτομ!νης αυτής με την ]i προκύπτουν από την "ύση του

συστήματος

=

h | 1| 1 ή | 1

...1 |h 0 ή h =h

|

= − + = = −

⇔ ⇔ −= ==

}ρα εκτός από το κοινό σημεία y1iy1>> ή y10> υπ#ρχει και #""ο κοινό σημείο το yO1=>.

//) Να ;α8α>98A#$9$ 93J 8B97#$3J B5 α>B%B5?B<6 087B69αJ #9B 9$987M3B #αJ



1> Η εφαπτομ!νη μιας συν#ρτησης i τ!μνει την ]i μόνο σε !να σημείο. 9 C

=>'ν η συν#ρτηση i είναι συνεχής στο δι#στημα α)

και παραγωγίσιμη στο( )α) και

υπ#ρχει ( )0| α)∈ τ!τοιο 7στε b0i y| > 0= τότε ισχύει iyα> iy)>= . 9 C

D>'ν μια συν#ρτηση δεν είναι παραγωγίσιμη σε !να σημείο0| του πεδίου ορισμού της

τότε δεν είναι συνεχής στο0| . 9 C

E>'ν δυο παραγωγίσιμες συναρτήσεις σε κ#θε εσωτερικό σημείο ενός διαστήματος *

!χουν ίσες παραγ7γους τότε δεν είναι υποχρεωτικ# ίσες στο *. 9 C

G>'ν η συν#ρτηση i είναι παραγωγίσιμη στο 0| και η συνεχής συν#ρτηση d δεν είναι

παραγωγίσιμη στο0| τότε η συν#ρτηση i d⋅ δεν είναι παραγωγίσιμη στο

0| . 9 C

H>'ν0i y| > 0= τότε η συν#ρτηση i παρουσι#$ει στο σημείο

0| τοπικό ακρότατο. 9 C

I>'ν η συν#ρτηση i είναι γνησίως αύξουσα στο δι#στημα *τότε ισχύειb i y|> 0< για κ#θε | ∈ . . 9 C

'παντήσεις

1>C =>C D>C E>9 G> C H>C I>C

/*) A6$9α3 8α3>K α87#9α# 9J

#56789#J f 4$ 9 | κ| =| =01H"κ"= + + + ∈ ℝ

Να M$AN$9$ L93:

1 =

=| |

D⋅ =

ΛΥΣΗ

|

|

x 1% =

%

f ,

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. G1

'πό την γραφική παρ#σταση )"!πουμε ότι τα 1 =| | είναι θ!σεις ακρότατων #ρα από το

θ.w4[/g ισχύει1 =i y| > 0 i y| > 0= =

Η παρ#γωγος της i είναιb

( )D = =i y|> | κ| =| =01H" D| κ| == + + + = + +

:ι αριθμοί 1 =| | είναι ρί$ες της εξίσωσης=

D| κ| = 0+ + = #ρα από τον τύπο του -4g/ y γ

Y α=

>για το γινόμενο ρι$7ν δευτερο)#θμιας εξίσωσης ισχύειb1 =

=| |

D⋅ =

/&) A6$9α3 α8αDA#34 #56789# i b →ℝ ℝ 3α 96 BBAα 3#;<$3

() = J=iy| > |iy| 1> | = 0+ − + + = 3α >7?$ | ∈ ℝ >α3 #56789# | 1dy|> iy|> 4 D|−= + + ∈ ℝ 1Α6

8α3>K α87#9α# 9J #56789#J g H;$3 B83[L693α $α9B4H6 #9B #4$AB

cy1dy1>> 1

G) Να αBM$AN$9$ L93 iy1> 1 i y1> 1= − = −

GG) Να @8$?$A 934K 9B5 8α4α93>B< %0 I#9$ $α9B4H6 9J 8α3>KJ

α87#9α#J 9J f #9B ry0iy0>> 6α $A6α3 α87%%% #96 $5?$Aα y" 10>| h 1LIE− + =

ΛΥΣΗ

-> 9την y1> για | 0= b = J=iy0 > 0iy0 1> 0 = 0 =iy0> = 0 iy0> 1+ − + + = ⇔ + = ⇔ = −

9την y1> για | 1= b = J=iy1 > 1iy1 1> 1 = 0 =iy1> 1 1 = 0 iy1> 1+ − + + = ⇔ − + + = ⇔ = −

Aφόσον η εφαπτομ!νη της ]d στο σημείο cy1dy1>> είναι παρ#""η"η στον #ξονα ||ισχύει

ότι d y1> 0= .tμως | 1d y|> i y|> 4 −= +

}ρα 1 1d y1> i y1> 4 0 i y1> 1−= + = ⇔ = − .

-->%ια να είναι η εφαπτομ!νη της ]i στο ry0iy0>> παρ#""η"η στην ευθεία

yε> b y" 10>| h 1LIE− + = αρκεί i y0> 10 "= −

6αραγωγί$ουμε την σχ!ση y1> και "αμ)#νουμεb( )= = I = I=i y| > | | iy| 1> |i y| 1> J| 0 E|i y| > iy| 1> |i y| 1> J| 0+ − + − + = ⇔ + − + − + =

%ια | 1= b

⋅ ⋅ + − + − + ⋅ = ⇔ + + + = ⇔

⇔ ⋅ − − + + = ⇔ = + − = −

= IE 1 i y1 > iy1 1> 1i y1 1> J 1 0 Ei y1> iy0> i y0> J 0

E y 1> 1 i y0> J 0 i y0> E 1 J D

}ρα i y0> 10 " D 10 " " 1D= − ⇔ − = − ⇔ = .

/)G)Να αBM$AN$9$ L93 $NA#D# | =4 y| 1> E− = H;$3 43α 9B5%7;3#9B6 8A[α #9B ℝ 1

GG)A6B69α3 B3 #56α89K#$3J |iy|> 4= >α31

dy|>|

= − 1Να αBM$AN$9$ L93 578;$3 43α

9B5%7;3#9B6 >B36K $α9B4H6 9D6 bf >α3 bg1ΛΥΣΗ

->~στω συν#ρτηση | =`y|> 4 y| 1> E= − − είναι συνεχής στο ℝ για την οποία ισχύει ότι

( )1 = D D`y1> 4 y1 1> E E 0`yD> E4 E E 4 1 0= − − = − < = − = − >

'πό το θε7ρημα r2‹/32 υπ#ρχει !να του"#χιστον ( )ξ 1D∈ τ!τοιο 7στε `yξ> 0=

}ρα η εξίσωση | =4 y| 1> E− = !χει μια του"#χιστον ρί$α στο ℝ .

-->'ρχικ# θα πρ!πει να εξετ#σουμε αν οι γραφικ!ς παραστ#σεις των συναρτήσεων id

!χουν κοινή εφαπτομ!νη σε κοινό σημείο. ~στω "οιπόν ότι υπ#ρχει !να σημείο0 0y| h >E

τ!τοιο 7στε

0 0 0iy| > dy| > h= = και

0 0i y| > d y| >= τότε θα !χουμεb




ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. G=

0|

0

14

|= − και 0|

=

0

14

|=

*η"αδή0| 0

= =

0 0 0 0 0 0 0=00

1 1| | | | 0 | y1 | > 0 | 1

||

,

= − ⇔ − = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = − 1

14

, −

}ρα δεν υπ#ρχει κοινή εφαπτομ!νη σε κοινό σημείο .

~στω ότι υπ#ρχουν σημεία cyαiyα>> y)dy)>>H των γραφικ7ν παραστ#σεων των i και dαντίστοιχα στα οποία οι εφαπτομ!νες ταυτί$ονται .

Τότε και ισχύειb

α α =

=

1i yα> d y)> 4 4 ) 1

)= ⇔ = ⇔ ⋅ = y1>

(αι

α α1dy)> iyα> i yα>y) α> 4 4 y) α>

)− = − ⇔ − − = − ⇔ α α α1

4 4 ) 4 α)

− − = − ⇔

( )α α α α α α α

=

1 1 1 1 = =4 ) 4 α 4 4 α 4 α 4 4 α 1

) ) ) ) ))− − = − ⇔ − − = − ⇔ − = ⇔ − = ⇔

( ) ( ) ( ) ( )y1>= = = ==α = =α = α α α

=

E4 α 1 ) 4 α 1 E ) 4 4 α 1 E 4 α 1 E

)− = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ − =

tπως δείξαμε στο ερ7τημα y-> η παραπ#νω εξίσωση !χει μια του"#χιστον ρί$α #ρα

υπ#ρχουν σημεία yαiyα>> y)iy)>>E H τ!τοια 7στε οι εφαπτομ!νες των ]i και ]d να

ταυτί$ονται.

/-)36B69α3 B3 #56α89K#$3J 1i i− α8αDA#34$J #9B ℝ 9H9B3$J I#9$ 1i] − 9H46$3 9B6

7NB6α lml #9B #4$AB 4$ 9$9α4H6 $A#J $A6α3 6D#9L L931

h 0

i yh> 1-[ 1D

h

−

→

−= 1Να

@8$A9$ 96 $NA#D# 9J $α9L4$6J 9 i] #9B #4$AB Β(0f())1ΛΥΣΗ

Η 1i] − τ!μνει τον #ξονα hh στο σημείο με τεταγμ!νη 1 #ρα 1i y0> 1 0 iy1>− = ⇔ = .

@!τουμε 1i yh> | h iy|>− = ⇔ = όποτε 1 1

h 0 h 0-[ | -[ i yh> i y0> 1− −

→ →= = =

y Sπενθυμί$ουμε ότι 1i− παραγωγίσιμη στο 0 #ρα και συνεχής στο 0>

Τότε1 1 1

h 0 h 0 h 0

h 0

i yh> 1 i yh> i y0> | 1-[ 1D -[ 1D -[ 1D

h h iy|> 0

1 1 1-[ 1D 1D i y1>

iy|> iy1> i y1> 1D| 1

− − −

→ → →

→

− − −= ⇔ = ⇔ = ⇔

−

⇔ = ⇔ = ⇔ =

−−

}ρα η εξίσωση της εφαπτομ!νης της i] στο σημείο By1iy1>> είναι

yε>b1

h iy1> i y1>y| 1> h y| 1>1D

− = − ⇔ = −

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. GD

/+)A6$9α3 #56789# i b →ℝ ℝ 43α α8αDA#34 #56789# 4$ 96 3M3L99α=

D | |i y|> Diy|> 4 | 1

=+ = + − − 3α >7?$ | ∈ ℝ

G)Α6 |dy|> 4 | 1= + − 06α @8$A9$ 93J 8A[$J 9J $NA#D#J dy|> 0= >α3 9B 8L#4B 9J g1

GG)Να @8$A9$ 9α >8A#34α #4$Aα 9J f1

GGG)Να @8$A9$ 9α 9B3>7 α>8L9α9α 9J f1GX)Να $N$97#$9$ α6 f H;$3 B%3>L $%7;3#9B1

ΛΥΣΗ

-> ~χουμε ( )| |d y|> 4 | 1 4 1 0= + − = + > οπότε η d είναι γνησίως αύξουσα .tμως

dy0> 0= δη"αδή το | 0= είναι ρί$α της dy|> 0= .}ρα το | 0= είναι και η μοναδική ρί$α της

dy|> 0= αφού η d είναι γνησίως μονότονη.

† %ια | 0< είναι dy|> dy0> dy|> 0< ⇔ <

† %ια | 0> είναι dy|> dy0> dy|> 0> ⇔ >

}ρα η συν#ρτηση d είναι αρνητική στο δι#στημα ( ) 0−∞ και θετική στο δι#στημα ( )0 +∞ .

--> ~στω α !να κρίσιμο σημείο της i .Aπειδή η συν#ρτηση i είναι παραγωγίσιμη θα είναιi yα> 0= .

Η σχ!ση=

D | |i y|> Diy|> 4 | 1

=+ = + − − με παραγ7γιση δίνειb

( ) ( )= | = | =Di y|>i y|> Di y|> 4 | 1 i y|> Di y|> D 4 | 1 i y|> Di y|> D dy|>+ = + − ⇔ + = + − ⇔ + = y1>

Η σχ!ση y1> για | α= δίνει

( )=i yα> Di yα> D dyα> dyα> 0+ = ⇔ =

*ιότι i yα> 0= .tμως dyα> 0 α 0= ⇔ = από το ερ7τημα y->.

}ρα το μοναδικό κρίσιμο σημείο της i είναι το | 0= .

--->Τα τοπικ# ακρότατα της i τα ανα$ητούμε στην περίπτωση μας y αφού η i είναιπαραγωγίσιμη σε ανοικτό δι#στημα> στα κρίσιμα σημεία. ~τσι το μόνο πιθανό τοπικό

ακρότατο είναι το iy0>.

† %ια | 0< η σχ!ση y1> δίνει

( )=i y|> Di y|> D dy|> 0+ = < οπότε i y|> 0< στο ( ) 0−∞

† %ια | 0> η σχ!ση y1> δίνει

( )=i y|> Di y|> D dy|> 0+ = > οπότε i y|> 0> στο ( )0 +∞

}ρα το iy0> είναι τοπικό ε"#χιστο της συν#ρτηση i .%ια | 0= η δοσμ!νη σχ!ση δίνει

( )=

D 0 =0i y0> Diy0> 4 0 1 iy0> i y0> D 0 iy0> 0

=

+ = + − − ⇔ + = ⇔ =

Aπομ!νως το iy0> 0= είναι το τοπικό ε"#χιστο της i.

-,>Aπειδή η i είναι γνησίως φθίνουσα στο δι#στημα ( 0−∞ και γνησίως αύξουσα στο

δι#στημα )0 +∞ συμπεραίνουμε ότι το iy0> 0= είναι το ο"ικό ε"#χιστο της i.

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. GE

/V)Ο ΤB9LJ >α3 9α α>8L9α9α

Σ9B M3αI63#4α 9$98α4K6B5 #9α 4α?4α93>7 #9B #;B%$AB 9B5 ΤB9B< 9H?>$ 9B

$8I94α:

!*ά-ει θετικ4 τιµ4 του *-α2µατικο0 ' ,3/τε η /υ)ά-τη/η

|iy|> "4 =01H|| 1== + ∈ )α *α-ου/ιάDει µ(2ι/το /το /ηµείο 0| == 1

Ο ΤB9LJ H%5#$ 96 7#># DJ $NKJ:

C#9D L93 f α8B5#37[$3 4H3#9B #9B #4$AB 0| == 1Η f $A6α3 α8αDA#34 #9B

1= 04$ |i y|> "4 =01H= + 1Σ<4D6α 4$ 9B ?$I84α FQne_t=

= 4i y=> 0 "4 =01H 0 " 0

=01H= ⇔ + = ⇔ = − <

E8α M$6 578;$3 ?$93>K 934K 9B5 % I#9$ f 6α α8B5#37[$3 4H3#9B #9B /1Ο >α?9KJ B5 M3L8?D#$ 9B M3αI63#4α 9B5 H8α\$ #96 >L%%α:

-Τοτό, αν λ=5>0 έχουμ |iy|> G4 =01H|= + μ |iy|> G4 =01H 0= + > !"α #$% | 1=∈ $&α ' (

)να" !ν'*)+ α-ου*α *το 1= ./ομέν+ έχ" μέ!"*το *το0| == .

Τλ"#$, Τοτό υ$&χ" 1 2ν υ$&χ" " 0> 3*τ ' ( να α&ου*"$4" μέ!"*το0| ==

6ο"ο 1ταν το λ$%ο *τ'ν λ-*' του Τοτο-.

'π#ντηση

Η i παρουσι#$ει μ!γιστο για κ#θε θετική τιμή του ". Το "#θος είναι ότι το θε7ρημα

w4[/g εφαρμό$εται σε εσωτερικό σημείο διαστήματος και όχι σε #κρο διαστήματος./.)( _PP tGeQ `P_RRG`11)

Να 4$%$9K#$9$ DJ 8BJ 96 4B6B9B6Aα 96 #56789#

( )=iy|> | | 3 || 0= − + ∈ +∞

α3 6α @8$A9$ 93J 8A[$J >α3 9B 8L#4B 9J1

GG)Να αBM$AN$9$ L93 B3 8α3>HJ α8α#97#$3J 9D6 #56α89K#$D6=dy|> 1 | |= + − >α3 `y|> 1 3 |= +

C;B56 4L6B H6α >B36L #4$AB 0#9B BBAB B3 $α9B4H6$J $5?$A$J 9B5J $A6α3 >7?$9$J

4$9αN< 9B5J1

GGG)Να αBM$AN$9$ L93= D| |

= |3 | |= D

+ > + − 3α >7?$( )

| 0∈ +∞

ΛΥΣΗ

-> ~χουμε= =| |

i y|> =| 1| |

− += − + = για κ#θε ( )| 0∈ +∞

Το τρι7νυμο ==| | 0− + > για κ#θε ( )| 0∈ +∞ y *‚OI‘0> #ρα

i y|> 0> για κ#θε ( )| 0∈ +∞

:πότε η συν#ρτηση i είναι γνησίως αύξουσα επίσης iy1> 0= .*η"αδή το 1 είναι ρί$α της i

και μ#"ιστα μοναδική αφού η i είναι γνησίως αύξουσα.

9χετικ# με το πρόσημο της i παρατηρούμε ότιb

† %ια κ#θε ( )| 01∈

ισχύει iy|> iy1> 0< =

† %ια κ#θε ( )| 1∈ +∞ ισχύει iy|> iy1> 0> =




ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. GG

-->'ρχικ# θα δείξουμε ότι η εξίσωση=`y|> dy|> `y|> dy|> 0 | | 3 | 0 iy|> 0= ⇔ − = ⇔ − + = ⇔ = !χει μοναδική ρί$α.

'υτό όμως ισχύει από το ερ7τημα y-> καθ7ς αποδείξαμε ότι η iy|> 0= !χει μοναδική ρί$α

το 1. Aπομ!νως οι γραφικ!ς παραστ#σεις των d και ` !χουν μοναδικό κοινό σημείο το

'y11>.Aπισηςb

( )=d y|> 1 | | 1 =|= + − = − και 1`y|>|

=

}ρα d y1> 1= − και `y1> 1= !χουμε d y1>` y1> 1= − το γινόμενο το συντε"εστ7ν διεύθυνσης

των ]d]` στο κοινό τους σημείο 'y11> είναι O1 #ρα οι εφαπτομ!νες είναι κ#θετες.

--->@εωρούμε την συν#ρτηση= D| |

y|> = | 3 | | | 0= D

I = + − − + >

Aίναι= D

= =| |y|> = | 3 | | 3 | 1 1 | | 3 | | | iy|>

= D

I = + − − + = + − − + = − + =

για κ#θε | 0>

:ι ρί$ες και το πρόσημο τη ay|> ει αι οι ρί$ες και το πρόσημο της iy|>

'πό τον πίνακα μετα)ο"7ν συμπεραίνουμε ότι η a παρουσι#$ει ο"ικό ε"#χιστο στο

0| 1= τοG

y1>H

I = .Aπομ!νως για κ#θε ( )| 0∈ +∞ ισχύειb

Gy|> y1> y|> 0

HI ! I ⇔ I ! >

}ρα= D| |

= | 3 | | 0= D

+ − − + > τε"ικ#= D| |

= |3 | |= D

+ > + −

y > y >% f %I =

O P

x 0 1 +∞

y >%I

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. GH

*!)A6$9α3 i b →ℝ ℝ 43α α8αDA#34 #56789# 4$ 93J 3M3L99$J:

k=

D =| 1

3 | y| 1> 3 |iy 1> = -[

3 | y| 1>→

+ −− + =

+ −

kD|i y|> " 4−= − 3α >7?$ | ∈ ℝ

k Η 8α3>K α87#9α# 9J f M$6 @8A#>$9α3 o>79Dp αL 9B6 ;m; #9B $MABB83#4B< 9J1

G)Να 5B%BA#$9$ 9B L83B| 1

3 |-[

| 1→ −

GG) Μ$ 96 @BK?$3α 9B5 (G) 6α M$AN$9$ L93 iy 1> 0− = 1

GGG) Να αBM$AN$9$ L93 " 4= 1

GX) Να 4$%$9K#$9$ 96 f DJ 8BJ 96 4B6B9B6Aα >α3 9α α>8L9α9α1

X)Να 4$%$9K#$9$ 96 fm DJ 8BJ 96 4B6B9B6Aα1

ΛΥΣΗ

->d y| > 3 |

| 1 | 1 | 1

dy|> dy1>3 | 3 | 31-[ -[ -[ dy1>

| 1 | 1 | 1

=

→ → →

−−= = =

− − −

tμως1

dy|>|

= και dy1> 1=

Τε"ικ#| 1

3 |-[ 1

| 1→=

−

-->

= =

= = = =

D = D = D =| 1 | 1 | 1

= = =

3 | y| 1>3 | 3 | y| 1>3 |

3 | y| 1>3 | y| 1> y| 1> y| 1>-[ -[ -[

3 | y| 1> 3 | y| 1> 3 | y| 1>

y| 1> y| 1> y| 1>

→ → →

+ − −+

+ − − − −= = =

+ − + − −+

− − −

==

== y- >

D = =| 1 | 1

= =

3 | 3 | 3 | 3 |

| 1 | 1 | 1 1 1y| 1>-[ -[ =3 | 3 | 0 1 1

1 3 | 1y| 1> y| 1>

→ →

+ + − − −

+− = = = =⋅ ++ +

− −

iy 1> = = iy 1> 0− + = ⇔ − =

--->Η γραφική παρ#σταση της i δεν )ρίσκεται +κ#τωŒ από τον χχ στο πεδίο ορισμού της

#ρα

iy|> 0! για κ#θε | ∈ ℝ ή

iy|> iy 1>! − για κ#θε | ∈ ℝ

:πότε η i παρουσι#$ει ε"#χιστο στο 1| 1= − .Η i είναι ορισμ!νη και παραγωγίσιμη στο ℝ

και παρουσι#$ει στο εσωτερικό σημείο1| 1= − τοπικό ακρότατο #ρα από το θε7ρημα

w4[/g ισχύειb i y 1> 0− =

~τσιbDy 1>i y 1> 0 " 4 0 " 4− −− = ⇔ − = ⇔ =

-,>Η δοθείσα σχ!ση όταν " 4= παίρνει την μορφήbD|i y|> 4 4−= − για κ#θε | ∈ ℝ

†|

D D4

| 1 | Di y|> 0 4 4 0 4 4 1 | | 1− −> ⇔ − > ⇔ > ⇔ > − ⇔ > −ր

†|

D D4

| 1 | Di y|> 0 4 4 0 4 4 1 | | 1− −< ⇔ − < ⇔ < ⇔ < − ⇔ < −ր

† i y|> 0 ... | 1< ⇔ ⇔ = −

}ρα η i είναι γνησίως φθίνουσα στο ( 1−∞ − και η i είναι γνησίως αύξουσα στο )1− +∞

Aπίσης η i παρουσι#$ει ο"ικό ε"#χιστο το iy 1> 0− =

,>AίναιD|i y|> 4 4−= − i παραγωγίσιμη στο ℝ και

D= |i y|> .. D| 4 0−= = > για κ#θε | ∈ ℝ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. GI

#ρα η i είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ .

*) Α1 Να ;α8α>98A#$9$ 93J 8B97#$3J B5 α>B%B5?B<6 087B69αJ #9B 9$987M3B

#αJ 0MA%α #9B 8744α B5 α693#9B3;$A #$ >7?$ 8L9α# 96 %HN ΣD#9L 0 α6

8L9α# $A6α3 #D#9K0 K Λ7?BJ α6 8L9α# $A6α3 %α6?α#4H61

1> 'ν για μια συν#ρτηση i ισχύει ότιb | iy|>-[ "|→+∞ = ∈ ℝ και ( )|-[ iy|> "| )→+∞ − = ∈ ℝ

τότε η ευθεία h "| )= + είναι ασύμπτωτη της ]i στο +∞ . 9 C

=>%ια οποιαδήποτε δυο φόρες παραγωγίσιμη και κοί"η συν#ρτηση i b →ℝ ℝ ισχύει i y|> 0<

για κ#θε | ∈ ℝ . 9 C

D>'ν μια συν#ρτηση i παρουσι#$ει μ!γιστο τότε αυτό θα είναι π#ντα μεγα"ύτερο από τα

τοπικ# μ!γιστα της i. 9 C

E>%ια οποιεσδήποτε παραγωγίσιμες συναρτήσεις i d b →ℝ ℝ με iy|> dy|>$ για κ#θε

| ∈ ℝ θα ισχύει i y|> d y|>< για κ#θε | ∈ ℝ . 9 C

Β1 Α6 9B0| |

iy|>-[

dy|>→ M$6 578;$3 0 9L9$ 4B8B<4$ 6α B<4$ 0 L93 M$6 578;$3 >α3 9B

0| |

iy|>-[

dy|>→( B5 αA86$3 96 4B8K

0

0)1

Γ1 Α6 43α α8αDA#34 #56789# f B83#4H6 #9B #<6B%B Α $A6α3 $83BM3>K 0

α87DBJ 9J $A6α3:

G)Σ9α?$8K

GG)Π$83BM3>K

GGG)"$93>K

'παντήσεις'.1>9 =>C D>9 E>C

B. tχι διότι το θε7ρημα του n‡2\V-g/ εκφρ#$ει μόνο ικανή συνθήκη και όχι αναγκαία.

%. 9ωστό είναι το y--> .*είτε.

iy| m> iy|>+ = για κ#θε | c∈ 0 m 0,

6αραγωγί$ουμεb

( ) ( )iy| m> iy|> i y| m>y| m> i y|> i y| m> i y|>+ = ⇔ + + = ⇔ + =

για κ#θε | c∈ m 0, #ρα η i είναι περιοδική.

*/)A6$9α3 i b →ℝ ℝ 43α M5B B8HJ α8αDA#34 #56789# 4$ 96 3M3L99α

() =|iy|> i y0> i y|>! − 3α >7?$ | ∈ ℝ

Να αBM$AN$9$ L93 ( )=

i y0> iy0> 1+ ! −

ΛΥΣΗ

%ια | 0> από την σχ!ση y1>i y0> i y|> i y0> i y|> i y|> i y0>

=|iy|> i y0> i y|> =iy|> =iy|> =iy|>| | 0 | 0

− − −! − ⇔ ! ⇔ ! ⇔ ! −

− −

Cαμ)#νουμε όρια

( )| 0 | 0

i y|> i y0>-[ =iy|> -[ =iy0> i y0>

| 0→ →

− ! − ⇔ ! −

−

y τα όρια γνωρί$ουμε ότι υπ#ρχουν η i δυο φορ!ς παραγωγίσιμη >

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. GJ

%ια | 0< από την σχ!ση y1>i y|> i y0>

=|iy|> i y0> i y|> ... =iy|>| 0

−! − ⇔ ⇔ $ −

−

Cαμ)#νουμε όρια

( )| 0 | 0

i y|> i y0>-[ =iy|> -[ =iy0> i y0>

| 0→ →

− $ − ⇔ $ − −

}ρα =iy0> i y0>= −

~τσι ( ) ( ) ( )+ + = − + + = − != = =

i y0> iy0> 1 =iy0> iy0> 1 iy0> 1 0 οπότε ( )=

i y0> iy0> 1+ ! −

2346 789; <886 8=76 3 >?(76 @2A C?(3;@2D Eerm'tF

**)A6$9α3 #56789# :| 1

iy|> 3|| 1

+= −

−04$ | 0> >α3 | 1,

Α6 $α9B4H6 9J 8α3>KJ α87#9α#J 9J #56789#J dy|> 3|= #9B #4$AB

cyα3α> 04$ α 0> 0 >α3 $α9B4H6 9J 8α3>KJ α87#9α#J 9J #56789#J

|`y|> 4= #9B #4$AB )ry)4 > 0 4$ ) ∈ ℝ 0 9α59A[B69α30 9L9$ 6α αBM$AN$9$ L93 B α83?4LJ α

$A6α3 8A[α 9J $NA#D#J iy|> 0= 1(ΕN$97#$3J /!!-)

Cύση

Η εφαπτομ!νη της ]d στο σημείο cyα3α> !χει εξίσωσηb

1

1 1yε > b h 3 α y| α> h | 1 3 α

α α− = − ⇔ = − +

Η εφαπτομ!νη της ]i στο σημείο )ry)4 > !χει εξίσωση b

) ) ) ) ) ) )

=yε > b h 4 4 y| )> h 4 | 4 ) 4 h 4 | 4 y1 )>− = − ⇔ = − + ⇔ = + −

:ι y

1 =yε >yε > ταυτί$ονται #ρα

)

)

1 3 α ) 3 α ) 3 α )4

α 1 1 1 1y1 )> 1 3 α y1 3 α> 1 3 α 3 α 1 3 α

4 y1 )> 1 3 α α α α α

− = − = − == ⇔ ⇔ ⇔

− = − + + = − + + = − + − = − +

( )3 α )3 α ) 3 α )

1 α 1 α 3 α1 3 α α α 3 α 1 α 3 α α 3 α

− = − = − = ⇔ ⇔ ⇔ + = − ++ = − + + = − +

3 α ) 3 α )3 α )

1 α 1 αiyα> 03 α 3 α 01 α α 1

− = − = − = ⇔ ⇔ ⇔ + +

== − = − + −

: αριθμός α είναι ρί$α της εξίσωσης iy|> 0= .

*&)Γ3α 96 α8αDA#34 #56789# i b →ℝ ℝ 4$ iy0> 1= 3#;<$3:

= =` 0

iy| =`> iy| `> =|iy|>-[

` D` | 1→

+ − −=

+ + 3α >7?$ | ∈ ℝ

G) Να αBM$AN$9$ L93:

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. GL

=

iy| =`> iy| `> = iy| =`> iy|> 1 iy| `> iy|>

` D =` ` D `` D`

+ − − + − − −= +

+ + −+

3α >7?$ | ∈ ℝ 0 ` 0, >α3 ` D,

GG) Να αBM$AN$9$ L93=

=|iy|>iy|>

| 1=

+0 3α >7?$ | ∈ ℝ 1

Cύση

->για κ#θε | ∈ ℝ ` 0, και D,

=

iy| =`> iy| `> iy| =`> iy|> iy|> iy| `> iy| =`> iy|> iy| `> iy|>

`y` D> `y` D> `y` D>` D`

iy| =`> iy|> iy| `> iy|> = iy| =`> iy|> 1 iy| `> iy|>

`y` D> `y` D> ` D =` ` D `

= iy| =`> iy|> 1 iy| `> iy|>

` D =` ` D `

+ − − + − + − − + − − − += = + =

+ + +++ − − − + − − −

= − = − =+ + + +

+ − − −= +

+ + −

-->=` _

` 0 ` 0 ` 0 ` 0 _ 0

= iy| =`> iy|> = iy| =`> iy|> = iy| _> iy|> =-[ -[ -[ -[ i y|>` D =` ` D =` D _ D

=

→ → → → →

+ − + − + − = = = + +

` _

` 0 ` 0 ` 0 _ 0 _ 0

1 iy| `> iy|> 1 iy| `> iy|> 1 iy| _> iy|> 1-[ -[ -[ -[ i y|>

` D ` ` D ` D _ D

− =

→ → → → →

− − − − + − = = = + − + −

}ρα το $ητούμενο όριο

=` 0

iy| =`> iy| `> = 1-[ i y|> i y|> i y|>

D D` D`→

+ − −= + =

+ για κ#θε | ∈ ℝ

:πότε από την δοθείσα σχ!ση =

=|iy|>iy|> | 1= + για κ#θε | ∈ ℝ .

*)Γ3α 43α #56789# i b α) → ℝ 3#;<B56

α) ΕA6α3 #56$;KJ #9B α) 1

@) ΕA6α3 α8αDA#34 #9B ( )α) 1

) = =iy)> ) iyα> α− = − 1Να αBM$AN$9$ L93 578;$3 ( )0| α)∈ I#9$ 0 0i y| > =|= 1

ΛΥΣΗ

Η σχ!ση γρ#φεται0 0i y| > =| 0− = και συμπεραίνουμε ότι προ!ρχεται από την παρ#γωγο

της=

iy|> |− .@εωρούμε "οιπόν την συν#ρτηση d b α) → ℝ με =dy|> iy|> |= − y1>

%ια την d !χουμε b

-> Aίναι συνεχής στο α) ως διαφορ# των συν!χων συναρτήσεων i και =| .

-->Aίναι παραγωγίσιμη στο ( )α) ως διαφορ# των παραγωγίσιμων στο ( )α)

συναρτήσεων i και =| .

---> = =dyα> iyα> α iy)> ) dy)>= − = − = "όγω υπόθεσης.

Aπομ!νως από το θε7ρημα k24 θα υπ#ρχει ( )0| α)∈ τ!τοιο 7στε b

0d y| > 0=

.'""#

y1>

d y|> i y|> =|= − οπότε

y1>

0 0 0d y| > i y| > =| 0= − =

#ρα 0 0i y| > =|=

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. H0

*-)Ο ΤB9LJ >α3 9B ?$I84α WUPPQ

Ο ΤB9LJ q>B%B##LJ #9α 4α?4α93>7 ?$93>B< 8B#α6α9B%3#4B<24K>$ #96

#;B%3>K 97N 4$ α%α[B63>L <BJ >α3 $A$ #9B6 >α?9K 9D6 4α?4α93>I61

78-&" αέ2"α ότ" το %3&'μα 9oll: 2ν "*χ-";;

Ο >α?9KJ KN$8$ 93J 4α?4α93>HJ α6#5;A$J 9B5 ΤB9B< >α3 5B4B6$93>7

8I9#$:7<'λα21

78ο"τ$τ αν έχουμ τ'ν *υν$&τ'*' ( μ τ-ο Diy|> D|= ο&"*μέν' *το 2"$*τ'μα

11− .6α&ατ'&ο-μ ότ" ' *υν$&τ'*' ( )να" ο&"*μέν' *το 11− #α" α&α!+!)*"μ' *το

11− . *χ-" ότ" =i y|> L|= .?$&χ" ένα ( )ξ 11∈ − τέτο"ο 3*τ

=i yξ> Lξ 0= =

6&ο@αν3 ξ 0=

A&α #-&" το %3&'μα 9oll: "*χ-".

6α&ατ'&ο-μ όμ+ ότ"D Diy 1> Dy 1> Dy1> iy1>− = − , =

A&α το %3&'μα του 9oll: 2ν "*χ-" ;;

Τ3 α769#$ B >α?9KJ #9B6 ΤB9Lh

'π#ντηση

GH A247HD @2A C?(3;@2D Rolle 9;H HI;4D. 9;H ;;KI;9D L7@ 6 fM%F ; 4>H

3H; @2A8<>H7@2 ?9; 7 4; H<7@63;.

(Μ$[$M7>3α WUPPQ0"1Μ1Τ αL 9B ]1^PGgZG_`)

*+)α)"$D8B<4$ 93J #56$;$AJ #9B α) #56α89K#$3J f0g B5 $A6α3 α8αDA#34$J #9B

( )α) 4$ iy|> 0> 3α >7?$ | α)∈ >α3 3 iyα> 3 iy)> dy)> dyα>− = − 1Να M$3;9$A L93 578;$3

( )ξ α)∈ 9H9B3BJ0 I#9$ i yξ> iyξ>d yξ> 0+ = 1

•

@) "$D8B<4$ 96 #56$;K #56789# i b αα− → ℝ 4$ ( α 0> ) B5 $A6α3 M5B B8HJ

α8αDA#34 #9B ( )α α− 0 4$iyα> iy α>

iy0>=

+ −= ()1Να M$AN$9$ L93 578;$3 ( )ξ α)∈

9H9B3BJ0 I#9$ i yξ> 0= 1

•

) "$D8B<4$ 96 98$3J B8HJ α8αDA#34 #56789# i b →ℝ ℝ 1ΥB?H9B54$ L93 fm

$A6α3 >589K >α3 L93 f M$6 H;$3 #4$Aα >α4KJ 1Να M$AN$9$ L93 fr $A6α3 21•

M) A6$9α3 #56789# f B83#4H6 #9B 01 >α3 α8αDA#34 01 0 4$ iy0> 0= >α3

iy|> 0> 3α >7?$ ( )| 01∈ .;α δείξετε ότι υπ#ρχει ( )ξ 01∈ 7στεi yξ> i y1 ξ>

=iyξ> iy1 ξ>

−=

−

ΛΥΣΗ

α> ~χουμε 3 iyα> 3 iy)> dy)> dyα> 3 iyα> dyα> 3 iy)> dy)>− = − ⇔ + = + y1>

@εωρούμε την συν#ρτηση `y|> 3 iy|> dy|>= + για την οποία ισχύει το θε7ρημα

k24.6ραγματικ# η ` είναι συνεχής στο α) και παραγωγίσιμη στο ( )α) επίσης

`yα> `y)>= #ρα υπ#ρχει ( )ξ α)∈ τ!τοιος 7στε `yξ> 0= .

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. H1

tμως = +iy|>

` y|> d y|>iy|>

και = ⇔ + = ⇔ + =iyξ>

` yξ> 0 d yξ> 0 i yξ> iyξ>d yξ> 0iyξ>

•

)> Το θε7ρημα της μ!σης τιμής για την συν#ρτηση i στα διαστήματα α 0− 0 α

εφαρμό$εται. }ρα υπ#ρχουν ( )1ξ α0∈ − ( )=ξ 0α∈ τ!τοιο 7στεb

y1>

1

iyα> iy α>iy α>

iy0> iy α> iyα> iy α>=i yξ > y=>0 y α> α =α

+ − − −− − − −= = =

− −

y1>

=

iyα> iy α>iyα>

iyα> iy0> iyα> iy α>=i yξ > yD>α 0 α =α

+ −−− − −

= = =−

@εωρούμε την συν#ρτηση i στο1 =ξ ξ . 'πό το θε7ρημα του k24y i παραγωγίσιμη

στο1 =ξ ξ 1 =

i yξ > i yξ >= > #ρα υπ#ρχει ( ) ( )1 =ξ ξ ξ α)∈ τ!τοιος 7στε i yξ> 0= .

•

γ> ~στω ότι η i δεν είναι 1O1.Τοτε υπ#ρχουν 1 =| | ∈ ℝ με 1 =| |< 7στε 1 =i y| > i y| >= .Aπειδή η

i είναι κυρτή θα ισχύει η i είναι γνησίως αύξουσα. Το θε7ρημα του k24 για την i στο

1 =| | ισχύειy διότι η i είναι παραγωγίσιμη στο

1 =| | και

1 =i y| > i y| >= >.}ρα υπ#ρχει

( )1 =ξ | |∈ τ!τοιο 7στε i yξ> 0= .Aπειδή η i είναι γνησίως αύξουσα α""#$ει πρόσημο

εκατ!ρωθεν του ξ οπότε το ξ είναι σημείο καμπής της i.}τοπο. }ρα η iŽ είναι 1O1.

•

δ> @εωρούμε την συν#ρτηση ( )=

dy|> iy|> iy1 |>= − που είναι ορισμ!νη στο 01 .Η d είναι

παραγωγίσιμη και στο 01 ως γινόμενο παραγωγίσιμων συναρτήσεων y#ρα και

συνεχής>. 'πό το @.?.Τ υπ#ρχει ( )ξ 01∈ τ!τοιος 7στεdy1> dy0>

d •yξ> y1>

1 0

−=

−

Aίναι ( )( ) ( ) ( )= = =

d •y|> iy|> iy1 |> • =iy|>i •y|>iy1 |> iy|> i •y1 |>y1 |>• =iy|>i •y|>iy1 |> iy|> i •y1 |>= − = − + − − = − − −

ή

( )=

d •y|> =iy|>i •y|>iy1 |> iy|> i •y1 |>= − − −

}ρα ( )=

d •yξ> =iyξ>i •yξ>iy1 ξ> iyξ> i •y1 ξ>= − − −

Aπίσης !χουμεb

( ) ( )= =

dy1> iy1> iy1 1> iy1> iy0>= − = ( ) ( )= =

dy0> iy0> iy1 0> iy0> iy1>= − =

~τσι η y1> γρ#φεταιb

( ) ( ) ( ) ( )

= =iy0> 0

= =iy1> iy0> iy0> iy1>dy1> dy0>d •yξ> iy1> iy0> iy0> iy1> 01 0 1

=

−−= = = − =−

ή

( ) ( )( )

= =

=

iyξ> i •y1 ξ>d •yξ> 0 =iyξ>i •yξ>iy1 ξ> iyξ> i •y1 ξ> 0 =iyξ>i •yξ>iy1 ξ> iyξ> i •y1 ξ> = i •yξ>

iy1 ξ>iyξ>

−= ⇔ − − − = ⇔ − = − ⇔ =

−

( )=

iyξ> i •y1 ξ> i •yξ> i •y1 ξ>= i •yξ> =

iy1 ξ> iyξ> iy1 ξ>iyξ>

− −= ⇔ =

− −

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. H=

*V)36$9α3 #56789# i b →ℝ ℝ 0 B5 $A6α3 #56$;KJ >α3 α8αDA#34 #9B α)

>α3

iyα> iy)> 0= = ()

G)Να M$AN$9$ L93 3α 96 #56789# g04$ 9<B0

iy|>dy|>

| |=

− >α3 0| α)J 578;$3

α83?4LJ ( )ξ α)∈ 0 9H9B3BJ I#9$ d yξ> 0=

GG)Να M$AN$9$ L93 $α9B4H6 ($) 9B5 M3α8744α9BJ 9J f #9B #4$AB Μ(N0f(N))

M3H8;$9α3 αL 9B #4$AB 0qy| 0> 1

ΛΥΣΗ

->Η συν#ρτηση d είναι ορισμ!νη στο δι#στημα α) και συνεχής στο α) .Aίναιb

( )0

=

0

i y|> | | iy|>dy|>

y| | >

− −=

− y=>

}ρα η d είναι παραγωγίσιμη στο ( )α) .Aίναι ακόμαb

y1>

0

iyα>dyα> 0

| |= =

− 0

y1>

0

iy)>dy)> 0

| |= =

−

}ρα από το θε7ρημα k24 υπ#ρχει ( )ξ α)∈ τ!τοιος 7στε d yξ> 0= yD>

-->Η yD> είναι ισοδύναμη με την b

( )( )

( )0

0=

00

i yξ> ξ | iyξ> iyξ>0 i yξ> ξ | iyξ> 0 i yξ> yE>

ξ |yξ | >

− −= ⇔ − − = ⇔ =

−−

Η εφαπτομ!νη yε> στο σημείο ?yξiyξ>> της γραφικής παρ#στασης της i !χει εξίσωσηb

( )( )

( )yE >

0

iyξ>h iyξ> i yξ> | ξ h iyξ> | ξ yG>

ξ |− = − ⇔ − = −

−

:ι συντεταγμ!νες0

y| 0> του σημείου ; επα"ηθεύουν την yG>.6ραγματικ#b

( ) ( )0

0

iyξ>0 iyξ> | ξ iyξ> iyξ>

ξ |− = − ⇔ = −

−

}ρα η yε> δι!ρχεται από το σημείο0

qy| 0> .

*.) A6B69α3 B3 #56α89K#$3J f0g B83#4H6$J #9B ℝ 4$ 96 g α8αDA#34 #9B ℝ 1

C#9D α>L4 L930 3α >7?$ | ∈ ℝ 03#;<$3:

k d y|> dy|> 0+ = k iy|> dy|> 1⋅ =

G)Να @8$A9$ 96 $α9B4H6 1yε > 9J 8α3>KJ α87#9α#J 9J f #9B y"iy">>E >α3 9B

#4$AB Β B5 9H46$3 9B6 B83[L693B 7NB6α xmx1

GG)Να @8$A9$ 96 $α9B4H6 =yε > 9J 8α3>KJ α87#9α#J 9J f #9B ry"dy">> >α3

9B #4$AB Γ B5 9H46$3 9B6 B83[L693B 7NB6α xmx1

GGG)Α6 B3 $α9B4H6$J 1yε > >α3 =yε > 9H46B69α3 #9B #4$AB Α0 6α M$AN$9$ L93 9B 98AD6B

ΑΒΓ $A6α3 B8?BI63B1

ΛΥΣΗ ->%ια κ#θε | ∈ ℝ !χουμεb




ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. HD

( )| | | |d y|> dy|> 0 4 d y|> 4 dy|> 0 4 dy|> 0 4 dy|> ^+ = ⇔ + = ⇔ = ⇔ =

| |

|

^4 dy|> ^ dy|> dy|> ^4

4−⇔ = ⇔ = ⇔ = ^ σταθερός πραγματικός αριθμός δι#φορος του 0 διότι

αν ^ 0= θα ισχύει dy|> 0= οπότε και iy|>dy|> 0= #τοπο από υπόθεση.

Τότε |

|

1 1 1iy|>dy|> 1 iy|> iy|> iy|> 4

dy|> ^^4−

= ⇔ = ⇔ = ⇔ =

%ια κ#θε | ∈ ℝ είναι |1i y|> 4

^= .}ρα η εξίσωση της εφαπτομ!νης στο σημείο y"iy">>E

είναιb

( ) " "

1

1 1ε b h iy"> i y">y| "> h 4 4 y| ">

^ ^− = − ⇔ − = −

%ια h‚0 !χουμε " "1 10 4 4 y| "> " 1 | | " 1

^ ^− = − ⇔ − = ⇔ = − .

}ρα η ( )1ε τ!μνει τον #ξονα || στο y" 10>H −

--> %ια κ#θε | ∈ ℝ είναι |d y|> ^4−= − .}ρα η εξίσωση της εφαπτομ!νης στο σημείο ry"dy">>

είναιb( ) " "

=ε b h dy"> dy">y| "> h ^4 ^4 y| ">− −− = − ⇔ − = − −

%ια h‚0 !χουμε ( )=ε b 0 dy"> d y">y| "> 1 | " | 1 "− = − ⇔ = − ⇔ = + .

}ρα η ( )=ε τ!μνει τον #ξονα || στο y" 10>G +

--->Aπειδή ( )" "1d y">i y"> ^4 4 1

^−

= − = −

#ρα το οι εφαπτόμενες είναι κ#θετες οπότε το

τρίγωνο 'B% είναι ορθογ7νιο.

=

1 G

D E0

h

|

bfm

ροτιµώ τις ανηφόρες

µου κυρτές και τις

κατηφόρες µου κοίλες !!

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. HE

&!)Σ9B M3%α6L #;K4α MA6$9α3 43α

α8αDA#34 #56789# #9B M37#94α α)

>α3 H6α #4$AB Γ 9J $5?$AαJ ΑΒ B5 M$6

α6K>$3 L4DJ #9B $5?<8α44B 94K4α ΑΒ1


α) Γ3α 96 #56789#iy|> δ

dy|>| γ

−=

−

Εα84L[$9α3 9B ?$I84α WUPPQ #9B M37#94α α)

@) ΑL 9B Γ $A6α3 M56α9L 769α 6α H8B54$

9B5%7;3#9B6 43α $α9B4H6 8BJ 96 bf1

ΛΥΣΗ'>Η d είναι συνεχής στο α) και παραγωγίσιμη στο ( )α) .

iyα> δdyα> "

α γ H

−= =

− y %' σημεία της ευθείας 'B>

iy)> δdy)> "

) γ H

−= =

−y %B σημεία της ευθείας 'B>

}ρα dyα> dy)>=

Aφαρμό$εται το θε7ρημα k24 στο δι#στημα α)

)> :πότε ισχύουν οι προ’ποθ!σεις του θεωρήματος k24 στο α) #ρα υπ#ρχει ( )0| α)∈

τ!τοιο 7στε0d y| > 0= y1>

'""#

=

yiy|> δ>y| γ> yiy|> δ>y| γ>iy|> δd y|>

| γ y| γ>

− − − − −−= = =

− − =

i y|>y| γ> yiy|> δ>

y| γ>

− − −=

−

~τσι η y1> γίνεταιb

0 0 00 0 0=

0

0 0 0 0 0 0

i y| >y| γ> yiy| > δ>0 i y| >y| γ> yiy| > δ> 0

y| γ>

yiy| > δ> i y| >y| γ> δ iy| > i y| >yγ | >

− − −= ⇔ − − − = ⇔

−

− = − ⇔ − = −

*η"αδή η ευθεία0 0 0h iy| > i y| >y| | >− = − y εφαπτομ!νη> δι!ρχεται από το σημείο %.

%yγδ>

Β

Α

($)

Μ bf

xOα @

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. HG

&)36$9α3 #56789# f #56$;KJ #9B M37#94α 1E 0 α8αDA#34 #9B ( )1E >α3

fm 6#ADJ ?A6B5#α #9B M37#94α ( )1E 1Να #5>8A6$9$ 9B5J α83?4B<J iy=> iyD>+ >α3

iy1> iyE>+ 1

Cύση

'πό τους αριθμούς στο συμπ!ρασμα οδηγούμαστε να εργαστούμε με @.?.Τ στα

διαστήματα 1= και D E .

Η i είναι συνεχής στο 1E #ρα συνεχής και σε καθ!να από τα διαστήματα 1= και

D E .

Η i παραγωγίσιμη στο ( )1E #ρα και σε καθ!να από τα διαστήματα( )1= και

( )D E .Aπομ!νως ισχύει @.?.Τ για την i σε καθ!να από τα διαστήματα 1= και D E

οπότεb

Sπ#ρχει ( )1| 1=∈ τ!τοιο 7στε b1

iy=> iy1>i y| > iy=> iy1>

= 1

−= = −

− y1>

Sπ#ρχει ( )∈=| DE τ!τοιο 7στε b =

iyE> iyD>i y| > iyE> iyD>E D

−= = −− y=>

'""# η i γνησίως φθίνουσα στο ( )1E και

1 =| |< #ρα 1 =i y| > i y| > iy=> iy1> iyE> iyD> iy=> iyD> iy1> iyE>> ⇔ − > − ⇔ + > +

&/)Α6 f $A6α3 #56$;KJ #9B α) 0 α8αDA#34 #9B ( )α) >α3 578;$3 " 0> 9H9B3B

I#9$ i y|> "< 3α >7?$ ( )| α)∈ M$AN$9$ L93 3α >7?$ ( )1 =ξ ξ α)∈ 4$ 1 =ξ ξ, 3#;<$3:

1 = 1 =iyξ > iyξ > κ ξ ξ− < −

ΛΥΣΗ

~στω ( )1 =ξ ξ α)∈ με 1 =ξ ξ, .Τότε 1 =ξ ξ< ή 1 =ξ ξ> .~στω ότι 1 =ξ ξ< θα εφαρμόσουμε @.?.Τστο

1 =ξ ξ .6ραγματικ#b

Š Η i είναι συνεχής στο1 =ξ ξ α)

Š Η i είναι παραγωγίσιμη στο ( ) ( )1 =ξ ξ α)

}ρα υπ#ρχει ( )ξ α)∈ τ!τοιο 7στε b= 1 = 1iyξ > iyξ > i yξ>yξ ξ >− = −

Aπομ!νως1 = 1 =iyξ > iyξ > i yξ> ξ ξ− < − και εφόσον i yξ> "< θα είναι

1 = 1 =iyξ > iyξ > " ξ ξ− < − .

&*)Σ9B M3%α6L #;K4α MA6$9α3 #56789# f

9B5 %?D83#4B< 9B5 >8α93MAB5 α83>3#976

#$ #;H# 4$ 96 α6$8Aα

G)Α6 >%A# 9J $α9B4H6J 9J

8α3>KJ α87#9α#J 9J f #9B #4$AB

Α(&0+) $A6α3 A# 4$ 2- >α3 α6$8Aα $A6α3

&s06α #54$876$9$ 9B6 98LB 4$ 9B6 BBAB

4$9α@7%%$9α3 B %?D83#4LJ1

GG)Τ3 8B><9$3 3α 9B6 %?D83#4L αL 9B

M378α44α 3α x/h

'π#ντηση

->iyE>‚OH y ?ον#δες π"ηθωρισμού ανα μον#δα ανεργίας>

-->Η συν#ρτηση i από την γραφική παρ#σταση φαίνεται

ότι είναι γνησίως φθίνουσα #ρα θα !χουμε μείωση τιμ7ν1

Y(!0!)

^(&0+)ΠΛΗ",ΡΙΣΜΟΣ s

ΑΝΕΡΓΙΑ s

Ο x

l

& /

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. HH

&&)36$9α3 #56789# i b α) → ℝ M5B B8HJ α8αDA#34 >α3 H#9D yαiyα>>E >α3

ry)iy)>> #4$Aα 9J bf1

Α) Α6 9B $5?<8α44B 94K4α ΑΒ 9H46$3 96 bf #9B #4$AB yγiyγ>>G 0 4$ ( ) γ α)∈ 0 6α

αBM$AN$9$ L93 578;$3 H6α 9B5%7;3#9B6 ( )0| α)∈ 9H9B3B I#9$ 0i y| > 0= 1

Β) Α6 B ><>%BJ M3α4H98B5 ΑΒ 9H46$3 96 bf #9B #4$AB yδiyδ>>. 04$ ( )δ α)∈ 06α

αBM$AN$9$ L93 578;B56 ( )1 =ξ ξ α)∈ M3αB8$93>7 4$9αN< 9B5J0 9H9B3α I#9$

1 =i yξ > i yξ > 1⋅ = − 1

ΛΥΣΗ

'> Τα σημεία '%B είναι συνευθειακ# #ρα

iy)> iyγ>iyγ> iyα>" " y1>

γ α ) γEG GH

−−= ⇔ =

− −

tμως από το @.?.Τ για την i στα διαστήματα α γ και γ) προκύπτει ότι υπ#ρχουν

( )1| αγ∈ και ( )=| γ)∈ τ!τοια 7στεb

1 =

iy)> iyγ>iyγ> iyα>i y| > i y| >

γ α ) γ

−−= =

− −

}ρα από y1> προκύπτειb1 =i y| > i y| >= .'πό το θε7ρημα k24 για την i στο

1 =| |

προκύπτει το $ητούμενο.

B> Tσχύειiy)> iyδ>iyδ> iyα>

" " 1 1δ α ) δE. .H

−−E. K .H ⇔ ⋅ = − ⇔ ⋅ = −

− −

Aφαρμό$ουμε @.?.Τ στα διαστήματα α δ

δ)

και προκύπτει το $ητούμενο.

&) G)Να $α84L#$9$ 9B ?$I84α 4H#J 934KJ 3α 96 #56789# iy|> ημ|= #9B

M37#94α α | ) | + + LB5 α) ∈ ℝ 0 α )> 0LB5 | [/|• α )€> − −

GG)Μ$ 96 @BK?$3α 9B5 $8D9K4α9BJ (G) 06α 5B%BA#$9$ 9B L83B

|-[ ημy | α> ημy | )>→+∞

+ − +

ΛΥΣΗ

->%ια κ#θε | [/|• α )€> − − η συν#ρτηση iy|> ημ|= είναι συνεχής στο α | ) | + + και

παραγωγίσιμη στο ( )α | ) |+ +

9ύμφωνα με το @.?.Τ υπ#ρχει ( )ξ α | ) |∈ + + μεiy α |> iy ) |>

iyξ>α | ) |

+ − +=

+ − +

-->

( )

ημy α |> ημy ) |> ημy α |> ημy ) |>i yξ> συνξ

α | ) | α | ) |

συνξ α | ) | ημy α |> ημy ) |>

+ − + + − += ⇔ = ⇔

+ − + + − +

+ − + = + − +

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. HI

( ) ( )α ) α )

ημy α |> ημy ) |> συνξ α | ) | α | ) | α | ) |α | ) |

> −+ − + = + − + $ + − + = + − + =

+ + +

Aπειδή|

α )-[ 0

α | ) |→+∞

−=

+ + + προκύπτει

|-[ ημy | α> ημy | )> 0→+∞

+ − + =

&-)B Τοτό το %3&'μα Cέ*' τ"μ1 #α" το #ο"νό *'μ)ο;

Ο ΤB9LJ 4K>$ #96 #;B%3>K 97N 4$ α%α[B63>L <BJ >α3 $A$ #9B6 >α?9K 9D6

4α?4α93>I61

78-&" έχ+ αο&)α;

7<'λα21

<)νοντα" ο" *υνα&τ1*" ( #α" ( 7D ο&"*μέν #α" α&α!+!)*"μ *το ℝ 4$ i y|> 0> 3α >7?$

| ∈ ℝ 1Ο3 1i i] ] − H;B56 H6α >B36L #4$AB Μ(α0@)0 α ), 1ΕA6α3:

) iyα>= >α3 1) i yα>−=

u) iyα>= >α3 α iy)>=

E8α0 αL 9B ?$I84α ΜH#J Τ34KJ 0578;$3 ( )ξ α)∈ 09H9B3B I#9$:

iy)> iyα>iyξ>

) α

−=

− K

α )i yξ> 1 0

) α

−= = − <

− K i yξ> 0< 3α >7?$ | ∈ ℝ

α%%7 αL 5L?$# i y|> 0> 3α >7?$ | ∈ ℝ 1

Τ3 α769#$ B >α?9KJ #9B6 ΤB9Lh

'π#ντηση

6ροφαν7ς το κοινό σημείο πρ!πει να )ρίσκεται στην διχοτόμο της 1 ης OD ης γωνίας των

αξόνωνοπότε α )= .9την περίπτωση αυτήν δεν ορί$εται καν δι#στημα ( )α)

&+)(Μ$[$M7>3 ?$D8AαJ)

Α6 #56$;KJ #56789# i b α) → ℝ $A6α3 α8αDA#34 #9B ( )α) 9L9$:

G)Α6 i y|> 0> 3α >7?$ ( )| α)∈ 09L9$ iy)> iyα>>

GG)Α6 i y|> 0< 3α >7?$ ( )| α)∈ 09L9$ iy)> iyα><

ΛΥΣΗ

->Το θε7ρημα ?!σης τιμής ισχύει #ρα υπ#ρχει ( )ξ α)∈ τ!τοιο

7στεiy)> iyα>

iyξ>) α

−=

−.Aπειδή i yξ> 0> και )Oα‰0 θα είναι και iy)> iyα> 0− > ή

iy)> iyα>> .'ν#"ογα το y-->

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. HJ

&V) (ΑPP tGeQ `P_RRG`)A6$9α3 #56789#= =iy|> =| 3 | D| E| 1= − + −

G)Να @8$A9$ 93J fm >α3 fmm1

GG)Να 4$%$9K#$9$ 96 f DJ 8BJ 9α >BA%α1

GGG)Να @8$A9$ 9α #4$Aα >α4KJ 9J i] 1

GX)Να 4$%$9K#$9$ 96 f DJ 8BJ 96 4B6B9B6Aα1X)Να @8$A9$ 9B 8L#4B 9J f1

XG)Να @8$A9$ 9α #4$Aα 9B4KJ 9J bf 4$ 9B6 B83[L693B 7NB6α 1

XGG)Να @8$A9$ 9B #<6B%B 934I6 9J f1

ΛΥΣΗ

->Η συν#ρτηση i !χει πεδίο ορισμού το σύνο"ο ( )c 0= +∞ και ισχύειb

i y|> .. E| 3 | E| E= = − + για κ#θε | 0> 1

i y|> .. E 3 |= = για κ#θε | 0> 1

--> Aπειδή η i είναι αρνητική στο ( )01 θετική στο ( )1+∞ και η i είναι συνεχής στο0| 1=

συμπεραίνουμε ότι η i είναιbκοί"η στο ( )01

κυρτή στο )1 +∞

--->Aπειδή i y1> 0= και η i α""#$ει κοί"α μόνο στο 1 προκύπτει ότι το μόνο σημείο καμπής

της ]i είναι το cy1iy1>> δη"αδή το cy10>.

-,>Η iείναι γνησίως φθίνουσα στο (01 και γνησίως αύξουσα στο )1 +∞ .~τσιb

| 1 i y|> i y1> i y|> 0< ⇔ > ⇔ >

| 1 i y|> i y1> i y|> 0> ⇔ > ⇔ >

}ρα i y|> 0> για κ#θε | 1, 1

Aπειδή η συν#ρτηση i είναι

συνεχής στο ( )c 0= +∞ η i είναι

γνησίως αύξουσα.

,>Η συν#ρτηση i είναι γνησίως αύξουσα. ~τσιb| 1 iy|> iy1> iy|> 0< ⇔ < ⇔ <

| 1 iy|> iy1> iy|> 0> ⇔ > ⇔ >

}ρα η i είναι αρνητική στο ( )01 και θετική στο ( )1+∞ .

,->Aπειδή η i είναι γνησίως μονότονη και iy1>‚0συμπεραίνουμε ότι η μοναδική ρί$α της

εξίσωσης iy|> 0= είναι η | 1= .}ρα το $ητούμενο σημείο είναι το 'y10>

,-->~χουμεb

O P y > f %

B ∪

x 0 1 +∞

y > f %

9.(

P P y > f %

x 0 1 +∞

y > f %

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. HL

|-[ iy|> ..→+∞

= = +∞

( )= =

| 0 | 0-[ iy|> -[ =| 3 | D| E| 1 1

→ →= − + − = − διότι

( )0y >

= =

| 0 | 0 | 0 s.‡.n | 0 | 0

= E

== 3 | 1|-[ iy|> -[ =| 3 | -[ -[ -[ | 0

1 =| =

| |

∞−∞ ∞

→ → → → →

= = = = − = −

}ρα το σύνο"ο τιμ7ν της i είναι iyc> y 1 >= − +∞ .

&.)( 4$[$M7>311) Η #56789# i b →ℝ ℝ $A6α3 M5B B8HJ α8αDA#34 >α3 3α >7?$

| ∈ ℝ 3#;<$3:iy|> E D =iy|> 4 | E| 1=| J+ = − + − + ()


α) Η bf M$6 H;$3 >α6H6α #4$AB >α4KJ1

@) Η f H;$3 H6α α>83@IJ #4$AB B5 $A6α3 ?H# 9B3>B< α>8L9α9B51

ΛΥΣΗ6αραγωγί$οντας διαδοχικ# κατ# μ!"η την y1> !χουμεb

iy|> D =i y|> 4 i y|> E| 1=| =E|+ = − + − y=>

( )

( )

=iy|> iy|> =

=iy|> iy|> =

i y|> 4 i y|> 4 i y|> 1=| =E| =E

i y|> 4 i y|> 4 i y|> 1=y| =| => yD>

+ + = − + − ⇔

+ + = − − +

α> Sποθ!τουμε ότι η ]i !χει σημείο καμπής το0 0cy| iy| >> οπότε

0i y| > 0= 'πό την yD> για

0| |= !χουμε ( ) ( )0 0 0= =iy| > iy| > iy| >= =

0 0 0 0 0 0 0 0i y| > 4 i y| > 4 i y| > 1=y| =| => 4 i y| > 1=y| =| =>+ + = − − + ⇔ = − − +

Η τε"ευταία ισότητα όμως δεν μπορεί να ισχύει γιατί είναι ( )0

=iy| >

04 i y| > 0! εν7ταυτόχρονα =

0 01=y| =| => 0− − + < yεφόσον το τρι7νυμο =h =h =− + !χει αρνητική διακρίνουσα

κατ# συν!πεια είναι π#ντα ομόσημο του α‚1‰0 οπότε =h =h = 0− + > για κ#θε h ∈ ℝ >.

)> 'πό την y=> bi y | > D =1 4 0

iy|> D = iy|> D =

iy|>

E| 1=| =E|i y|> 4 i y|> E| 1=| =E| i y|>y1 4 > E| 1=| =E| i y|

1 4

+ , − + −+ = − + − ⇔ + = − + − ⇔ =

+

D = = =i y|> 0 E| 1=| =E| 0 E|y| D| H> 0 | 0= ⇔ − + − = ⇔ − − + = ⇔ = .Η i!χει μοναδική ρί$α την | 0=

και εκατ!ρωθεν αυτής α""#$ει πρόσημο οπότε το σημείο | 0= είναι μοναδική θ!ση

τοπικού ακρότατου της i.

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. I0

!)(Μ$[$M7>3 ?$D8AαJ)

Α6 43α α8αDA#34 #56789# $A6α3 >589K #$ H6α M37#94α 0 6α αBM$AN$9$ L93

3α >7?$ ( )| α)∈ . 3#;<$3

iy)> iy|>iy|> iyα>

| α ) |

−−<

− −

ΛΥΣΗ9τα διαστήματα α| |) για την i ισχύει το @.?.Τ

}ρα υπ#ρχουν ( ) ( )1 =ξ α| ξ |)∈ ∈ τ!τοια 7στε

1 =

iy)> iy|>iyα> iy|>i yξ > i yξ >

α | ) |

−−= =

− −

'πό την υπόθεση η i είναι κυρτή #ρα i γνησίως αύξουσα

Τότε !χουμεi

1 = 1 =ξ ξ iyξ > iyξ >< % <

ր

δη"αδήiy)> iy|>iy|> iyα>

| α ) |

−−<

− −.

)( MH#4 ..+)

Α) C#9D f α8αDA#34 #9B ℝ >α3 >589K 1Να M$AN$9$ L93:

( ) ( )1 =1 =i | i || |

i= =

+ + $

0 3α >7?$ 1 =| | ∈ ℝ

Β) A6$9α3 8α4α93>K #56789# g0M5B B8HJ α8αDA#34 #9B ℝ 9H9B3α I#9$:

dy|> 0> >α3=

d y|> dy|> d y|> 0⋅ − > 03α >7?$ | ∈ ℝ 1

Να M$AN$9$ L93:

G) #56789#d

d $A6α3 6#ADJ α<NB5#α1

GG) ( ) ( )1 =1 =

| |d d | d |

=

+ $

3α >7?$ 1 =| | ∈ ℝ 1

ΛΥΣΗ

'> %ια1 =

| |, !στω1 =

| |< εφαρμό$ουμε το θε7ρημα μ!σης τιμής για την i σε καθ!να από

τα διαστήματαb 1 = 1 =1 =

| | | || |

= =

+ +

:πότε υπ#ρχουνb

1 = 1 =

1 1 = =

| | | |

ξ | ξ |= =

+ +

∈ ∈

( )( ) ( )1 = 1 =

1 1

1

1 = = 11

| | | |i i | i i |

= =i ξ

| | | ||

= =

+ + − −

= =+ −

−

και ( )( ) ( )1 = 1 =

= =

=

1 = = 1=

| | | |i | i i | i

= =i ξ

| | | ||

= =

+ + − −

= =+ −

−

Aπειδή η i είναι κυρτή στο ℝ #ρα !χουμεb

( ) ( )( ) ( )

1 = 1 =1 =i

1 = 1 =1 = 1 = 1 =

= 1 = 1

| | | |i i | i | i

= = | | | |ξ ξ i yξ > i yξ > i i | i | i

| | | | = =

= =

+ + − −

+ + < % < ⇔ < ⇔ − < − − −

ր

( ) ( ) ( ) ( )= 11 = 1 == 1

i | i || | | |=i i | i | i

= = =

+ + + ⇔ < + ⇔ <

O <?2A3 KH; % @2 3472 @2A

α) 68;(

α )

| =

+=

P @Q@ 9;H| α ) | 0− = − > I;H 6 ;?;<C

;H7Q@6@; ;9?H @6 32?(:

α ) iyα> iy)>i

= =

+ +<

KH; I<

α) ∈ ℝ

SH; α )= 6 ;?;<C H7>=H CD

?2;(D H7Q@6@;

T ;?;<C ;H7Q@6@; I;H 6

K9IA76 @6D 3 288< 7639;

4>H 3;H7@9 ;?I@4D 2?4D7@HD @<7HD . ;?;I@6?H7@HIQ

9;H @2 43; @2A 1WWX.

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. I1

%ια 1 =| |= η παραπ#νω σχ!ση ισχύει ως ισότητα.

r.->%ια κ#θε | ∈ ℝ !χουμεb=

= =

d y|>dy|> d y|>d d y|> d y|>dy|> d y|>d y|>y|> 0

d dy|> d y|> d y|>

− − = = = >

}ρα η

d

d είναι γνησίως αύξουσαℝ

.

-->@εωρούμε την συν#ρτηση b`y|> 3ydy|>>|= ∈ ℝ

Τότε για κ#θε | ∈ ℝ !χουμεb

dy|>`y|>

dy|>=

Η οποία "όγω του ερωτήματος y-> είναι γνησίως αύξουσα. }ρα η `y|> 3ydy|>>= είναι

κυρτή.:πότε "όγω του ερωτήματος y'> θα ισχύειb

( ) ( ) ( )( ) ( )( )1 =1 =1 = 1 =3 d | 3 d |` | ` || | | |

` 3 d

= = = =

++ + + $ % $ ⇔

( ) ( )( ) ( ) ( )( )1

1 = 1 = =1 = 1 =

| | | |13 d 3 d | d | 3 d 3 d | d |

= = =

+ + ⇔ $ ⇔ $ ⇔

( ) ( )( ) ( ) ( )3 |

1 = 1 =1 = 1 =

| | | |3 d 3 d | d | d d | d |

= =

+ + ⇔ $ ⇔ $

ր

/) Να ;α8α>98A#$9$ 93J 8B97#$3J B5 α>B%B5?B<6 087B69αJ #9B 9$987M3B #αJ



1> 'ν μια συν#ρτηση i είναι παραγωγίσιμη σε !να δι#στημα * και0

i y| > 0= για κ#ποιο

εσωτερικό σημείο 0| ∈ . τότε η i παρουσι#$ει τοπικό ακρότατο στο 0| . 9 C=>?ια συν#ρτηση i παραγωγίσιμη σε !να ανοικτό δι#στημα * με

0i y| > 0, για κ#θε | ∈ .

δεν παρουσι#$ει ακρότατα στο *. 9 C

D>'ν μια #ρτια συν#ρτηση !χει στο0| τοπικό ε"#χιστο τότε στο

0|− !χει τοπικό

ε"#χιστο. 9 C

E>'ν μια συν#ρτηση i είναι κυρτή σε !να δι#στημα * τότε i y|> 0> για κ#θε εσωτερικό

σημείο του * . 9 C

E>'ν μια συν#ρτηση i είναι συνεχής σε ℝ τότε !χει το πο"ύ δυο ασύμπτωτες. 9 C

'παντήσεις

1>C => 9 D>9 E>C G>9

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. I=

*)36$9α3 #56789# i b →ℝ ℝ M5B B8HJ α8αDA#340 BBAα #$ #4$AB 0| ∈ ℝ

α8B5#37[$3 9B3>L α>8L9α9B 9B ! >α3 3>α6BB3$A 96 #;H#:

i y|> Eyi y|> iy|>>> − 3α >7?$ | ∈ ℝ

α) Να αBM$AN$9$ L93 #56789# :=|dy|> iy|> 4−= ⋅

ΕA6α3 >589K #9B ℝ 1@) Να αBM$AN$9$ L93 iy|> 0! 3α >7?$ | ∈ ℝ 1( ?H4α $N$97#$D6)

ΛΥΣΗ

α> %ια κ#θε | ∈ ℝ είναιb

( )=| =| =| =| =|d y|> iy|> 4 i y|> 4 iy|> 4 y =|> i y|> 4 iy|> =4− − − − −= ⋅ = ⋅ + ⋅ − = ⋅ − ⋅

και

( ) ( ) ( )=| =| =| =| =| =|d y|> i y|> 4 iy|> =4 i y|> 4 i y|> 4 i y|> =4 iy|> =4 y =|>− − − − − −= ⋅ − ⋅ = ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ − =

=| =| =| =| =|i y|> 4 =i y|>4 i y|> =4 iy|> E4 4 yi y|> Ei y|> Eiy|>> 0− − − − −⋅ − − ⋅ + ⋅ = − + >

)>‡ i παρουσι#$ει ακρότατο στο0| είναι παραγωγίσιμη στο

0| και το0| είναι εσωτερικό

σημείο του ℝ .}ρα από το θε7ρημα w4[/g ισχύει ότι0

i y| > 0= επίσης ισχύει0

iy| > 0= .

%ια να αποδείξουμε ότι dy|> 0! για κ#θε | ∈ ℝ

Aφόσον η d είναι κυρτή στο ℝ η d είναι γνησίως αύξουσα οπότεb

0 0| | d y|> d y| > d y|> 0< ⇔ < ⇔ <

0 0| | d y|> d y| > d y|> 0> ⇔ > ⇔ >

}ρα η d είναι γνησίως φθίνουσα στο ( )0 |−∞ και γνησίως αύξουσα στο )0| +∞ εν7

παρουσι#$ει ο"ικό ε"#χιστο στο0| .*η"αδή για κ#θε | ∈ ℝ ισχύει ότιb

0dy|> dy| > dy|> 0 iy|> 0! ⇔ ! ⇔ ! για κ#θε | ∈ ℝ .

&)A6$9α3 #56789# ( )i b 0+∞ → ℝ 0 4$= =3 | α 3 | =| =α

iy|>|

+ + += 0 LB5 α ∈ ℝ

Γ3α 96 BBAα 3#;<$3 L93 iy|> = =α! + 3α >7?$ ( )| 0∈ +∞ 1

G)Να 5B%BA#$9$ 9B f() >α3 6α αBM$AN$9$ L93 α == 1

GG)Να αBM$AN$9$ L93 f $A6α3 >589K1

GGG)Να 4$%$9K#$9$ 96 f DJ 8BJ 96 4B6B9B6Aα1

GX)C#9D ( )d b 0+∞ → ℝ α8αDA#34 #56789# 0 9J BBAαJ 8α3>K α87#9α#

H;$3 M5B >B367 #4$Aα 4$ 96 α#<49D9 9J bf #9B +∞ 1Να αBM$AN$9$ L93

$NA#D#dy|> |d y|>= H;$3 43α 9B5%7;3#9B6 8A[α #9B ( )0 +∞ 1

ΛΥΣΗ

->= =3 1 α 31 = 1 =α

iy1> = =α1

+ + ⋅ += = +

( ) ( )( )= = = == =

=

3 | α 3 | =| =α | 3 | α 3 | =| =α | 3 | α 3 | =| =αi y|>

| |

+ + + − + + + + + += = =

( )= =

= = =

= =

1 1=3 | α E| | 3 | α 3 | =| =α

| | =3 | α E| 3 | α 3 | =| =α

| |

⋅ + + − + + + + + − − − − = =

= =

==3 | =| 3 | α

|+ − −

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. ID

%ια κ#θε ( )| 0∈ +∞ ισχύειb iy|> = =α iy|> iy1>! + ⇔ ! }ρα η i !χει ο"ικό ε"#χιστο στο0| 1= το

1 είναι εσωτερικό σημείο του ( )0 +∞ και η i είναι παραγωγίσιμη το 1.'πο το θε7ρημα

w4[/g είναι= =

=

=31 = 1 3 1 αi y1> 0 0 = α 0 α =

1

+ ⋅ − −= ⇔ = ⇔ − = ⇔ =

--> = =

=

=3 | =| 3 | =iy|>

|

+ − −= και ( )=

D

= 3 | 3 | =i y|> 0

|

− += > 3α | 0>

--->‡ i είναι γνησίως αύξουσα και i y1> 0= .Το πρόσημο της iy|> και μονοτονία της i

φαίνεται στον πίνακα

-,> Bρίσκουμε ότιb= = = =yˆ>

= = = =| | | | |

iy|> 3 | = 3 | =| E 3 | = 3 | =| E-[ -[ -[ -[ -[

| | | | |0 0 = =

→+∞ →+∞ →+∞ →+∞ →+∞

+ + + += = + + =

= + + =

(c)| s.‡.n |

13 | |-[ -[ 0

| 1

∞∞

→+∞ →+∞

= = #ρα=

|

3 |-[ 0

|→+∞

=

0=|

=3|-[ .. 0

|→+∞

= =

( )|-[ iy|> =| .. 0→+∞

− = =

}ρα η ασύμπτωτη της ]i στο +∞ είναι η ευθεία με εξίσωση b ε b h =|=

Sπ#ρχουν ( )1 =| | 0∈ +∞ με1 =| |< 7στε

1 1dy| > =|= και= =dy| > =|=

@εωρούμε την συν#ρτησηdy|>

`y|>|

= συνεχής στο1 =| | παραγωγίσιμη στο ( )1 =| | και

1 11 =

1 1

dy| > =|`y| > = `y| > ... =

| |= = = = = #ρα ισχύουν οι προ’ποθ!σεις του θεωρήματος k24

οπότε υπ#ρχει !να του"#χιστον ( )D| 0∈ +∞ τ!τοιο 7στεD`y| > 0=

'""#=

dy|> d y|> | dy|>`y|>

| |

⋅ −= =

δη"αδή

D D DD D D D D D=

D

d y| > | dy| >0 d y| > | dy| > 0 d y| > | dy| >

|

⋅ −= ⇔ ⋅ − = ⇔ ⋅ = .

O P y > f %

x 0 1 +∞

y > f %




ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. IE

) C#9D | | | 4| 4 " 0− −− ! 3α >7?$ ( )| 0∈ +∞ 0 %!

G) Να @8$A9$ 96 934K 9B5 %1

GG)Να M$AN$9$ L93 ( )σφ|

| 0-[ 1 | "

+→+ = 1

ΛΥΣΗ

->@εωρούμε την συν#ρτηση | | | 4iy|> | 4 "− −= − 4 4 4 4 4 4 4 4 0iy4> 4 4 " 4 4 1 4 1 4 1 1 1 0− − − −= − = − = − = − = − =

}ρα η δοσμ!νη σχ!ση γρ#φεται iy|> iy4>! για κ#θε ( )| 0∈ +∞ .

Η i παρουσι#$ει τοπικό ε"#χιστο στο 0| 4= και επειδή είναι παραγωγίσιμη ως διαφορ#

παραγωγίσιμων συναρτήσεων και το0| 4= είναι εσωτερικό σημείου του ( )0 +∞ σύμφωνα

με το θε7ρημα του w4[/g θα ισχύει i y4> 0= . y1>

Aίναι ( ) ( ) ( ) ( )|| | | 4 | | | | | 4 3 | | | | | 4i y|> | 4 " | 4 | 4 " 3 "y| 4> 4 4 | 4 y |> " 3 "− − − − − − − −= − = + − − = + − − =

( ) ( )( ) ( )( )| 3 | | | | | 4 | 3 | | | | | 4 | 3 | | | | | 44 4 | 4 " 3 " 4 |3 | 4 | 4 " 3 " 4 3 | 1 4 | 4 " 3 "− − − − − − − − −− − = − − = + − − =

( )( )| | | | | 4

| 3 | 1 4 | 4 " 3 "

− − −

= + − − Η y1> γίνεται

( )( ) ( )( )4 4 4 4 4 4 4 4 4 44 3 4 1 4 4 4 " 3 " 0 4 1 1 4 1 3 " 0 =4 4 1 3 " 0− − − − −+ − − = ⇔ + − − = ⇔ − − =

= 1 3 " 0 3 " 1 " 4− − = ⇔ = ⇔ =

-->m2 ( )σφ|

| 0-[ 1 |

+→+ παρουσι#$ει απροσδιοριστία 1∞ .~τσι

( ) ( ) ( )σφ|σφ| 3 1 | σφ| 3 1 |

| 0 | 0 | 0-[ 1 | -[ 4 -[ 4

+ + +

+ +

→ → →+ = = y=>

tμως ( )| 0-[ σφ| 3 1 |

+→+ !χει απροσδιοριστία της μορφής ( ) 0+∞ ⋅

( )( )

0=0

s.n.‡2\V-g/| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0

=

13y1 |> 3y1 |> y3y1 |>> συν |1 |-[ σφ|3 1 | -[ -[ -[ -[ -[ 1

1 1εφ| 1 |εφ|

σφ| συν |

+ + + + + +→ → → → → →

+ + + + + = = = = = = +

}ρα από την y=> ( ) ( ) ( )σφ|σφ| 3 1 | σφ| 3 1 | 1

| 0 | 0 | 0-[ 1 | -[ 4 -[ 4 4 4

+ + +

+ +

→ → →+ = = = =

-)Ε#9D i b →ℝ ℝ 43α M5B B8HJ α8αDA#34 #56789#

#9B ℝ 4$

=|iy|> i y0> i y|>! − 03α >7?$ | ∈ ℝ

Να M$AN$9$ L93=

i y0> i y0> 1+ ! − ΛΥΣΗ

~χουμε για κ#θε | ∈ ℝ

=|iy|> i y0> i y|> =|iy|> i y|> i y0> 0! − ⇔ + − ! ()

@εωρούμε την συν#ρτηση

`y|> =|iy|> i y|> i y0>= + − 0 | ∈ ℝ

Tσχύει `y0> = 0 iy0> i y0> i y0> 0= ⋅ ⋅ + − = }ρα η y1> παίρνει την μορφήb

`y|> `y0>! για κ#θε | ∈ ℝ

*η"αδή η συν#ρτηση ` παρουσι#$ει ακρότατο στο 0 .

Aπομ!νως ισχύουν οι προ’ποθ!σεις του θεωρήματος w4[/g

#ρα `y0> 0= 6αραγωγί$ουμε την `.

` y|> =iy|> =|i y|> i y|>= + + 0 | ∈ ℝ

Στου HIJKLMτο µα2αDί8..

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. IG

Τοτε `y0> 0 =iy0> = 0i y0> i y0> 0 =iy0> i y0> 0 i y0> =iy0>= ⇔ + ⋅ + = ⇔ + = ⇔ = −

:ποτε η προς αποδειξην σχεσηb

( )i y 0> = iy 0>

== = =i y0> i y0> 1 =iy0> i y0> 1 1 =iy0> i y0> 0 1 iy0> 0=−

+ ! − ⇔ − + ! − ⇔ − + ! ⇔ − ! που ισχύει για κ#θε

| ∈ ℝ #ρα ισοδύναμα θα ισχύει και η προς απόδειξη σχ!ση.

+)36$9α3 #56789# i b →ℝ ℝ M5B B8HJ α8αDA#34 >α3 9H9B3α 0 I#9$:

k| 1

iy|> 1-[ 1

| 1→

−=

− ()

k i y|> 1$ 3α >7?$ | ∈ ℝ (/)

k #56789# fmm$A6α3 6#ADJ 4B6L9B6

α) Να @8$A9$ 93J 934HJ f()0fm() >α3 96 $NA#D# 9J $α9B4H6J 9J bf #9B #4$AB

9J 4$ 9$944H6 1

@) Να @8$A9$ 9B 8L#4B >α3 93J 8A[$J 9J #56789#J fmm1

) Να $N$97#$9$ α6 578;$3 9B L83B| 1

1LIE-[

| iy|>→ −

ΛΥΣΗ

α> %ια χ κοντ# στο 1 θ!τουμεiy|> 1

dy|>| 1

−=−

( ) ( )iy|> 1

dy|> dy|> | 1 iy|> 1 dy|> | 1 1 iy|>| 1

−= ⇔ − = − ⇔ − + =

−

Cαμ)#νουμε όρια και στα δυο μ!"η

( )( )| 1 | 1 | 1-[ dy|> | 1 1 -[ iy|> -[ iy|> 1

→ → →− + = ⇔ =

i παραγωγίσιμη στο 1 #ρα i συνεχής στο 1 οπότε| 1

iy1> -[ iy|> 1→

= =

~χουμε| 1 | 1

iy|> 1 iy|> iy1>-[ 1 -[ 1 i y1> 1

| 1 | 1→ →

− −= ⇔ = ⇔ =

− −

Η εξίσωση της εφαπτομ!νης στο σημείο 'y1iy1> > είναιbε b h iy1> i y1>y| 1>− = − ή ε b h 1 1y| 1>− = − K ε b h |=

)> 'πό την σχ!ση

i y|> 1$ για κ#θε | ∈ ℝ ή i y|> i y1>$ για κ#θε | ∈ ℝ παρατηρούμε ότι η i παρουσι#$ει

ο"ικό μ!γιστο στο0| 1= #ρα από το θε7ρημα του w4[/g προκύπτει ότι i y1> 0= .

Η i είναι γνησίως μονότονη #ρα0| 1= είναι μοναδική ρί$α της i y|> 0= .

~στω ότι η i είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ τότε θα ισχύει

| 1 i y|> i y1> i y|> 0< ⇔ < ⇔ < δη"αδή η i είναι γνησίως φθίνουσα στο ( ) 1−∞

tμωςi

| 1 i y|> i y1>< ⇔ >

ց

#τοπο από την y=> και η i είναι γνησίως φθίνουσα στο ℝ .:πότε ισχύει για το πρόσημο και τις ρί$ες της i

i

i

i y|> 0 | 1

i y|> 0 i y|> i y1> | 1

i y|> 0 i y|> i y1> | 1

= ⇔ =

< ⇔ < ⇔ >

> ⇔ > ⇔ <

ց

ց

γ> 'πό το ερ7τημα γ> προκύπτειi

i y|> 0 i y|> i y1> | 1< ⇔ < ⇔ >ց

δη"αδή η i στρ!φει τα κοί"α κ#τω όταν | 1> αυτό σημαίνει

ότι η ]i είναι +κ#τωŒ από την εφαπτομ!νη της στο y1iy1>> δη"αδή iy|> |< για | 1>

:πότε +→ = +∞−| 1

1LIE

-[ | iy|>

'ν#"ογα

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. IH

−→

= −∞−| 1

1LIE-[

| iy|>

}ρα δεν υπ#ρχει το $ητούμενο όριο.

EFυμλ'&+ματ"#ό μ42$#" %+&)α G

Α6 43α α8αDA#34 #56789# f $A6α3 >589K #$ H6α M37#94α 0 9L9$

$α9B4H6 9J 8α3>KJ α87#9α#J #$ >7?$ $#D9$83>L #4$AB 9B5 0 $>9LJ αL9B #4$AB $αKJ0 @8A#>$9α3 >79D αL 96 bf1

Α6 f $A6α3 >BA%0 9L9$ $α9B4H6 @8A#>$9α3 76D αL 96 bf1

ΛΥΣΗ

~στω ότι η συν#ρτηση είναι κοί"η και !στω0

| |> .Η εφαπτομ!νη της συν#ρτησης στο

σημείο0 0Xy| iy| >> !χει εξίσωση

0 0 0h iy| > i y| >y| | >− = − που γρ#φεται και στην μορφή

0 0 0h i y| >y| | > iy| >= − +

%ια να )ρίσκεται η εφαπτομ!νη π#νω από την ]i πρ!πει κ#θε σημείο cy|h> αυτής να

)ρίσκεται Y68Q@?; από το αντίστοιχο σημείο ry|iy|>> της συν#ρτηση.*η"αδή πρ!πει να

ισχύειb

0 0 0

00 0 0 0

0

h iy|> i y| >y| | > iy| > iy|>

iy|> iy| >i y| >y| | > iy|> iy| > i y| > y1>

| |

> ⇔ − + > ⇔

−⇔ − > − ⇔ >

−

9το δι#στημα0

| | για την i ισχύει το

@ε7ρημα ?!σης τιμής #ρα υπ#ρχει !να

του"#χιστον ( )0ξ | |∈ τ!τοιο 7στε να

ισχύει 0

0

iy|> iy| >iyξ>

| |

−=

− y=>

'πό την σχ!ση y=> η σχ!ση y1> που

θ!"ουμε να αποδείξουμε γρ#φεταιb

0i y| > i yξ>>

'υτή ισχύει διότι η i είναι κοί"η #ρα

i γνησίως φθίνουσα και επειδήbi

0 0| ξ i y| > i yξ>< % >

ր

V)C#9D #56789# i b 01 → ℝ 0M5B B8HJ α8αDA#340 3α 96 BBAα 3#;<B56

iy|> 0iy0> 1i y0> 0> = = >α3:

( )= D

iy|>i y|> = i y|> iy|>− = 0 | 01∈

α) Να αBM$AN$9$ L93 #56789# g 4$ 9dy|> |i y|>= − $A6α3 #9α?$8K #9B

M37#94α 01 1

@) Να @8$A9$ 9B6 9589K #9B 01 1

ΛΥΣΗ

α> ~χουμε ότι b= = = y1>

E D

i y|>i y|> =yi y|>> iy|> i y|>iy|> =yi y|>>d y|> 1 1 1 1 0

i y|> i y|>

− −= − = − = − =

}ρα dy|> ^= y=> για κ#θε | 01∈

cy|h>

0 0Xy| iy| >>

|0 ξ |

ry|iy|>>

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. II

)> %ια | 0= η σχ!ση y=> δίνει=

iy0>dy0> ^ 0 ^ ^ 0

i y0>= ⇔ − = ⇔ = 1

}ρα dy|> 0= για κ#θε | 01∈ .~τσιb

= =

= =

i y|> i y|> 1 | 1 |dy|> 0 | 0 | ^

iy|> = iy|> =i y|> i y|>

= ⇔ − = ⇔ = ⇔ − = ⇔ − = +

| 01∈

%ια | 0= !χουμε 1 ^− = οπότεb=

=

1 | =1 .... iy|>

iy|> = = |− = − ⇔ ⇔ =

− | 01∈

γ> Tσχύει( )

= = = >

− −= =

=

= E|i y|> .. 0

= | = | για κ#θε | 01∈ .

}ρα η i είναι γνησίως αύξουσα στο δι#στημα 01 .

*> ~χουμε ότιb

( ) ( )

+ = = = >

− −

=

= D= =

E| EyD| =>i y|> .. 0

= | = |

για κ#θε | 01∈ .

}ρα η i είναι κυρτή στο δι#στημα 01 .

.)36$9α3 α8αDA#34 #56789# i b →ℝ ℝ 3α 96 BBAα 3#;<B56:

k iy0> 1=

k H|iy|>i y|> D4= 3α >7?$ | ∈ ℝ

Να @8$A9$ 9B6 9i y|> D4 =iy|>i y|> H4 i y|> 4 i y|> 4 ^= ⇔ = ⇔ = ⇔ = + y1>%ια |‚0 η y1> παίρνει την μορφήb

= H 0i y0> 4 ^ 1 1 ^ ^ 0⋅= + ⇔ = + ⇔ =

}ρα = H|i y|> 4= y=> για κ#θε | ∈ ℝ

Η σχ!ση y=> μας δείχνει ότι η i δεν μηδενί$εται σε καν!να σημείο. }ρα ως παραγωγίσιμη

είναι και συνεχής οπότε διατηρεί πρόσημο στο ℝ .Aπειδή iy0> 1 0= > είναι και iy|> 0> για

κ#θε | ∈ ℝ .9υνεπ7ς= H| D|i y|> 4 iy|> 4= ⇔ = για κ#θε | ∈ ℝ

HoIJs.K λ-*' του Τοτο-

: Τοτός Fγνωστός μαθηματικός "οξίαςOγια να "ύσει την παραπ#νω #σκηση !κανε τα

εξήςb κατ!"ηξε με τον ίδιο τρόπο στην σχ!ση y=> και κατόπιν !γρα&εb

( )( )( )

== H| = H| = D|

D| D| D| D| D| D|

i y|> 4 i y|> 4 0 i y|> 4 0

iy|> 4 iy|> 4 0 iy|> 4 0 ή iy|> 4 0 iy|> 4 ή iy|> 4

= ⇔ − = ⇔ − = ⇔

− + = ⇔ − = + = ⇔ = = −

'""# ο δεύτερος τύπος για |‚0 δίνει D 0iy0> 4 1⋅= − = − οπότε ισχύει μόνο ο πρ7τος τύποςD|iy|> 4= .

Aίναι σωστή η "ύση του“

'π#ντηση

Aίναι "#θος η "ύση του Τοτού διότι για δυο συναρτήσεις id από την σχ!ση i d 0⋅ = για

κ#θε χ στο κοινό πεδίο ορισμού των id δεν προκύπτει κατ# αν#γκη ότι i 0= ή d 0= .

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. IJ

-!)Να @8$?$A #56789# ( ) ( )i b 0 0+∞ → +∞ 4$ 93J 3M3L99$J 0

• f α8αDA#34 #9B ( )0 +∞

• i y|> iy|> 3y|4>= () 3α >7?$ ( )| 0∈ +∞

• f α8B5#37[$3 α>8L9α9B #9B ( )0| 0∈ +∞ 3α 9B BBAB 3#;<$3:

4

0 0iy| > | = (/)

ΛΥΣΗ%ια | 0> η y1>

( ) ( ) ( )iy|> 0 iy|>

i y|> iy|> 3y|4> 3 | 3 4 3 iy|> 3 | 1 3 iy|> | 3 | iy|>

>

= ⇔ = + ⇔ = + ⇔ = ⇔

3 iy|> | 3 | ^ | 0= + > yD>.

'να$ητούμε την τιμή της σταθερ#ς ^.

Το ( )0| 0∈ +∞ είναι θ!ση ακρότατου #ρα από @.w4[/g0i y| > 0=

Η y1> ισχύει για κ#θε ( )| 0∈ +∞ #ρα θα ισχύει και για0

| |=

0iy| > 0

0 0 0 0 0 0 0 0

1i y| > iy| > 3y| 4> 0 iy| > 3y| 4> 3y| 4> 0 | 4 1 |

4

>

= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =

?ε αντικατ#σταση στην y=>4 4

1 1 1 1 1 1 1iy > 3 iy > 3 4 3 iy > 1 3 iy >

4 4 4 4 4 4 4

= ⇔ = ⇔ = − ⇔ = −

yE>

Η yD> για1

|4

= παίρνει την μορφήyE >1 1 1 1 1

3 iy > 3 ^ ^ ^ 04 4 4 4 4

= + ⇔− = − + ⇔ =

}ρα|| 3 | 3 | |3 iy|> | 3 | iy|> 4 iy|> 4 iy|> | | 0= ⇔ = ⇔ = ⇔ = > .

-)(Μ$[$M7>3 .+&☺☺☺☺☺☺☺☺)Να #5>83?B<6 B3 α83?4BA1LID

1LIE

1LIE 1

1LIE 1

+E =

+ >α3

1LIE

1LIG

1LIE 1

1LIE 1

+H =

+

ΛΥΣΗ

α> @εωρούμε την συν#ρτηση με τύπο|

| 11LIE 1iy|>

1LIE 1++=+

0 | ∈ ℝ Aίναι

+

+= ⇔ <

+

|

| 1

1LIE 1i y|> i y|> 0

1LIE 1

}ρα i y|> 0< για κ#θε | ∈ ℝ οπότε η i είναι γνησίως φθίνουσα στο ℝ

+ +< ⇔ > ⇔ >

+ +

ց ℝi στο 1LID 1LIE

1LIE 1LIG

1LIE 1 1LIE 11LID 1LIE iy1LID> iy1LIE>

1LIE 1 1LIE 1

-/)( E#># 4$11 αL L%α) C#9D #56789# i b →ℝ ℝ α8αDA#34 #9B ℝ 4$

iyE> D= >α3 3#;<$3 :| 1

iy|> D|-[ =

| 1→

−=

−

G)Να M$AN$9$ L93 iy1> D=

GG)Να @8$A9$ 9B6 α83?4L iy1> >α3 96 $α9B4H6 9J bf #9B #4$AB cy1iy1>> 1

GGG)Να M$AN$9$ L93 $5?$Aα h | 1= + 9H46$3 96 bf #$ #4$AB 4$ ( )0| 1E∈ 1

GX)Α6 $3%HB6 f $A6α3 >589K 0 6α αBM$AN$9$ L93 :

α) 578;$3 4B6αM3>LJ ( )ξ 1E∈ #9B6 BBAB f α8B5#37[$3 9B3>L $%7;3#9B

@) iyD> iyH>< 1

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. IL

ΛΥΣΗ

->'πό υπόθεση| 1

iy|> D|-[ =

| 1→

−=

−.@!τουμε

( ) ( )iy|> D|

dy|> dy|> | 1 iy|> D| iy|> dy|> | 1 D|| 1

−= ⇔ − = − ⇔ = − +

−

'πό υπόθεση η i είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο0

| 1= θα είναι b

( )( ) ( ) ( )| 1 | 1 | 1 | 1 | 1

iy1> -[ iy|> -[ dy|> | 1 D| -[dy|>-[ | 1 -[ D| D→ → → → →

= = − + = − + =

-->~χουμε

( ) ( ) ( )| 1 | 1 | 1 | 1

dy|> | 1 D| iy1> dy|> | 1 D| D dy|> | 1 Dy| 1>iy|> iy1>i y1> -[ -[ -[ -[

| 1 | 1 | 1 | 1→ → → →

− + − − + − − + −−= = = = =

− − − −

( ) ( )( )( )

| 1 | 1 | 1

dy|> | 1 Dy| 1> | 1 dy|> D-[ -[ -[ dy|> D G

| 1 | 1→ → →

− + − − += = = + =

− −

Η εφαπτομ!νη της ]i στο σημείο με 0| 1= !χει εξίσωσηbh iy1> i y1> y| 1> ... h G| =− = = − % % = −

--->@α δείξουμε ότι η εξίσωση iy|> | 1= + !χει ρί$α στο δι#στημα ( )1E .

@εωρούμε συν#ρτηση `y|> iy|> | 1= − − που είναι συνεχής στο δι#στημα 1E ως #θροισμα

συν!χων συναρτήσεων και επιπ"!ονb`y1> iy1> 1 1 D 1 1 1= − − = − − =

`yE> iyE> E 1 D E 1 == − − = − − = −

}ρα `y1>`yE> 0< οπότε ισχύει το θε7ρημα r2‹/32 σύμφωνα με το οποίο η συν#ρτηση !χει

μια του"#χιστον ρί$α στο δι#στημα y1E> .}ρα η γραφική παρ#σταση της συν#ρτηση i

τ!μνει σε !να του"#χιστον σημείο την ευθεία h‚|P1.-,>α> Aφόσον η i είναι κυρτή θα είναι

i γνησίως αύξουσα στο ℝ και i y|> 0>

'φού iy1> iyE>= i συνεχής στο 1E i παραγωγίσιμη στο ( )1E από το θε7ρημα k24

υπ#ρχει !να του"#χιστον ( )ξ 1E∈ τ!τοιος 7στε i yξ> 0= .}ρα στο σημείο ξ είναι πιθανό η i

να παρουσι#$ει ακρότατο. @α πρ!πει να εξασφα"ίσουμε ότι εκατ!ρωθεν του ξ α""#$ει η

μονοτονία τη i.

Ši

| ξ i y|> i yξ> 0< % < =ր

Š i | ξ i y|> i yξ> 0> % > =ր

}ρα πραγματικ# η i παρουσι#$ει τοπικό ε"#χιστο στην θ!ση ξ .'πό τις προηγούμενες

σχ!σεις φαίνεται ότι η i διατηρεί πρόσημο στα διαστήματα ( ) ( ) ξ ξ−∞ −∞ οπότε η i δεν

παρουσι#$ει ακρότατο σε #""ο σημείο.

)> Η συν#ρτηση i είναι παραγωγίσιμη στο ℝ #ρα θα ισχύει το θε7ρημα μ!σης τιμής στα

διαστήματα 1D EH σύμφωνα με το οποίο υπ#ρχουν δυο του"#χιστον

( ) ( )1 =| 1D | EH∈ ∈ τ!τοια 7στε να ισχύειb

1

iyD> iy1> iyD> Di y| >

D 1 =

− −= =

−

=

iyH> iyE> iyH> Di y| >

H E =− −= =−

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. J0

tμως η συν#ρτηση i είναι κυρτή στο ℝ οπότε η συν#ρτηση i είναι γνησίως αύξουσα.

~τσι

!χουμεb1 =

iyD> D iyH> Di y| > i y| > ... iyD> iyH>

= =

− −< % < % % <

-&) C#9D #56789# i 3α 96 BBAα 3#;<$3

() ( )

D D

iy|> iy|> | 1+ = + 3α >7?$ | ∈ℝ

α) Να M$AN$9$ L93 #56789# f $A6α3 21

@) Να %<#$9$ 96 $NA#D# ( )D

= Diy=| 1> iy|> | 1− + = + 1

Α6 f $3%HB6 $A6α3 α8αDA#34 #9B ℝ 0 9L9$:

) Να 4$%$9K#$9$ 96 f DJ 8BJ 96 4B6B9B6Aα >α3 6α $N$97#$9$ α6 f H;$3

α>8L9α9α1

M) Να @8$A9$ 96 $NA#D# 9J $α9B4H6J 9J 8α3>KJ α87#9α#J 9J f #9B

#4$AB 9J cy1iy1>> 1

$) Α6 11. = − α6 @8$A9$ 9B iyc> 1

#9) Να @8$A9$ 93J 934HJ 9B5 " ∈ ℤ 3α 93J BBA$J $NA#D# D "iy|>=−= H;$3 %<# #9B

M37#94α 1

ΛΥΣΗ

α> ~χουμε ( )D Diy|> iy|> | 1+ = + | ∈ ℝ

'ν1 =| | ∈ ℝ με

1 =iy| > iy| >= τότε !χουμε D D

1 =iy| > iy| >= οπότε

( ) ( )y1>

D D D D

1 1 = = 1 = 1 =iy| > iy| > iy| > iy| > | 1 | 1 | |+ = + % + = + % =

}ρα η i είναι 1O1.

)> ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y1>D D DD D= D = =iy=| 1> iy|> | 1 iy=| 1> iy|> iy|> iy|> iy=| 1> iy|>− + = + ⇔ − + = + ⇔ − = ⇔

( ) ( )i 1 1

D D= = = = 1iy=| 1> iy|> iy=| 1> iy|> =| 1 | =| | 1 0 | 1 ή |

=

−

− = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ − − = ⇔ = = −

γ> %ια κ#θε | ∈ ℝ ισχύειb

( )( ) ( ) ( ) ( )D = =D = =iy|> iy|> | 1 D iy|> i y|> i y|> D| i y|> D iy|> 1 D| + = + ⇔ + = ⇔ + = ⇔

( )

( )

=D iy|> 1 0 | =

=

D|i y|> 0

D iy|> 1

+ , ∈

⇔ = >+

ℝ

για κ#θε | 0, και i y0> 0= .

}ρα η i είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ οπότε δεν !χει ακρότατα.

δ> ισχύει για κ#θε | ∈ ℝ #ρα για | 1= b ( ) ( )D D

iy1> iy1> = iy1> iy1> = 0 ... iy1> 1+ = ⇔ + − = ⇔ ⇔ =

( )

=

=

D 1 Diy1>

ED iy1> 1

⋅= =+

.}ρα η $ητούμενη εφαπτομ!νη είναιb

D D 1h iy1> i y1>y| 1> h 1 y| 1> h |

E E E− = − ⇔ − = − ⇔ = +

ε>‡ i είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο δι#στημα 11− .}ραb iy > iy 1>iy1>. = −

Aίναι όμως iy1> 1= και από την y1> για |‚O1

( ) ( )( ) ( )

=iy 1> 1 0 για καθε χ

D =Diy 1> iy 1> y 1> 1 iy 1> iy 1> 1 0 iy 1> 0− + >

− + − = − + ⇔ − − + = ⇔ − =

}ρα iy > 01. =

9τ> %ια να !χει η εξίσωση D "iy|>=−= "ύση στο iy > 01. = αρκεί να ισχύει

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. J1

D "0 1 0 D " = D " 1 D " 1

=

−$ $ ⇔ $ − $ ⇔ − $ − $ − ⇔ ! ! και " ∈ ℤ #ρα " 1 ή " = ή " D= = =

-)Ε#9D M5B #56α89K#$3J i d b →ℝ ℝ B3 BBA$J $A6α3 α8αDA#34$J >α3 9H9B3$J0 I#9$

()dy|>

iy|>|

= >α3iy|>

dy|>|

= 3α >7?$ x!


G)Η #56789# ( )iy|> dy|>

`y|> | 0|

+= ∈ +∞ $A6α3 #9α?$8K1

GG)Α6 iy1> D= >α3 dy1> 1= 09L9$:

α)==| 1

iy|>|

+= >α3

==| 1dy|>

|

−= 3α >7?$ ( )| 0∈ +∞

@) B3 8α3>HJ α8α#97#$3J 9D6 f0g H;B56 93J AM3$J α#<49D9$J1

ΛΥΣΗ

->%ια κ#θε ( )| 0∈ +∞ ισχύειb

( ) y1>

= =

i y|> d y|> | iy|> dy|>iy|> dy|> |i y|> |d y|> iy|> dy|>` y|>

| | |

+ − − + + − −= = = =

=

iy|> dy|> iy|> dy|>0

|

+ − −= = .

}ρα η συν#ρτηση ` είναι σταθερή.

-->α> Aίναιiy|> dy|>

`y|> ^ ^ iy|> dy|> ^||

+= ⇔ = ⇔ + = για κ#θε |‰0.

%ια | 1= !χουμε iy1> dy1> ^ D 1 ^ ^ E+ = ⇔ + = ⇔ = .

Aπομ!νως για κ#θε ( )| 0∈ +∞ ισχύειb

iy|> dy|> E|+ = και dy|> |i y|>=

}ρα

( ) ( )=iy|> |i y|> E| |iy|> =| + = ⇔ =

Aπομ!νως =

1|iy|> =| ^= + για κ#θε | 0>

%ια | 1= )ρίσκουμε 1 1 1iy1> = ^ D = ^ ^ 1= + ⇔ = + ⇔ =

Τε"ικ#=

= =| 1|iy|> =| 1 iy|>

|

+= + ⇔ = για κ#θε ( )| 0∈ +∞

:πότε από την σχ!ση iy|> dy|> E|+ = παίρνουμε

dy|> E| iy|>= −

(αι==| 1

dy|> E||

+= −

(αι τε"ικ#==| 1

dy|>|

−= για κ#θε ( )| 0∈ +∞

-->:ι ασύμπτωτες των ]i]d ανα$ητούνται στο 0 και στο +∞

Aίναι=

| 0 | 0

=| 1-[ iy|> -[

|+ +→ →

+= = +∞

(αι=

| 0 | 0

=| 1-[ dy|> -[

|+ +→ →

−= = −∞

Aπομ!νως η ευθεία |‚0 είναι ασύμπτωτη και της ]i και της ]d.

Aπίσης

=

=| |iy|> =| 1-[ -[ =| |→+∞ →+∞

+= =

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. J=

(αι ( )|-[ iy|> =| .. 0→+∞

− = =

tμοια αποδεικνύουμε ότι=

=| |

dy|> =| 1-[ -[ =

| |→+∞ →+∞

−= =

(αι ( )|-[ dy|> =| .. 0→+∞

− = =

}ρα η ευθεία h =|= είναι π"#για ασύμπτωτη στο +∞ και της ]i και της ]d.

--) (ΑPP tGeQ `P_RRG )A6$9α3 #56789# f #56$;KJ #9B ℝ 03α 96 BBAα 3#;<B56:

=

|iy|> 1 1

=1 i y|>

+=

+ () 3α >7?$ | ∈ ℝ >α3 iy0> 1 y=>=

G)Να @8$A9$ 9B6 9BA%α1

GX)Να @8$A9$ 93J α#<49D9$J 9J bf1

X)Να @8$A9$ 9B #<6B%B 934I6 9J f1

XG)Να M$AN$9$ L93 f α693#98H$9α3 >α3 6α @8$A9$ 9B6 9 = = = = =

=

|iy|> 1 1=|iy|> = 1 i y|> 1 i y |> =|iy|> 1 i y|> =|iy|> | |

=1 i y|>

+= ⇔ + = + ⇔ = − ⇔ = − + − ⇔

+

( ) ( )`y|> iy|> |

= == = = = =1 | i y|> =|iy|> | iy|> | 1 | `y|> 1 | y=>= −

+ = − + ⇔ − = + ⇔ = +

Tσχύει ότι =1 | 0+ , για κ#θε | ∈ ℝ #ρα `y|> 0, για κ#θε | ∈ ℝ .

Η συν#ρτηση ` είναι συνεχής στο ℝ ως διαφορ# συνεχ7ν.

Η `y|> 0, για κ#θε | ∈ ℝ . }ρα η ` διατηρεί πρόσημο στο ℝ .

`y0> iy0> 0 1 0= − = > επομ!νως `y|> 0> για κ#θε | ∈ ℝ .

( )`y|> 0

= = = = =`y|> 1 | `y|> 1 | iy|> | 1 | iy|> | 1 |>

= + ⇔ = + ⇔ − = + ⇔ = + + για κ#θε | ∈ ℝ .

--> ( )=

=

= = =

=| | 1 | |i y|> | 1 | 1 1

= 1 | 1 | 1 |

+ += + + = + = + =

+ + +

| |= = = = =1 | | 1 | | 1 | | 1 | | 0

>−

+ > ⇔ + > ⇔ + > − ⇔ + − > για κ#θε | ∈ ℝ !τσι

=

=

1 | |i y|> 0

1 |

+ += >

+ για κ#θε | ∈ ℝ #ρα η i είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ .

---> ( )

=

= = =1 | | 1i y|> ... 0

1 | 1 | 1 | + + = = = > + + +

για κ#θε | ∈ ℝ .

}ρα η i είναι κυρτή στο ℝ .

-,> ( ) ( )( ) ( )

= = = =

=

| | | | |= = =

| 1 | | 1 | | 1 | 1-[ iy|> -[ | 1 | -[ -[ -[

| 1 | | 1 | | 1 |→−∞ →−∞ →−∞ →−∞ →−∞

+ + − + − + − = + + = = = = − + − + − +

| | | | |

= = = = =

1 1 1 1 1 1-[ -[ -[ -[ -[

|1 1 1 1 1| | 1> | | 1> |y1 1> |y1 1> 1 1

| | | | |

→−∞ →+∞ →−∞ →−∞ →−∞

− − − − − = = = = =

− + + + + + + + + +




ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. JD

|

=

1 1 1-[ 0 0

| =11 1

|

→−∞

− = ⋅ =

+ +

.}ρα h‚0 είναι ορι$όντια ασύμπτωτη τη ]i στο −∞

= =

=| | | |

1|y1 1>

iy|> | 1 | 1|-[ -[ -[ -[ 1 1 = "| | | |→+∞ →+∞ →+∞ →+∞

+ + + +

= = = + + = =

( ) ( ) ( )= =

| | |-[ iy|> =| -[ | 1 | =| -[ 1 | | ... 0 )→+∞ →+∞ →+∞

− = + + − = + − = = =

}ρα η ευθεία h =|= είναι π"#για ασύμπτωτη της ]i στο +∞ .

,>Η i είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ #ρα ( ) ( )| |

iyc> -[ iy|> -[ iy|> 0→−∞ →+∞

= = +∞

,->‡ i είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ #ρα είναι 1O1 #ρα αντιστρ!φεται.

'πό το ερ7τημα -,> γνωρί$ουμε ήδη το πεδίο ορισμού της iO1 .

( )1ic iyc> 0− = = +∞

}ρα μ!νει μόνο να )ρούμε το τύπο της αντίστροφης.=

= h 1h iy|> h | 1 | ...... |

=h

−= ⇔ = + + ⇔ ⇔ =

Τε"ικ# ( )=

1 | 1i y|> | 0

=|− −

= ∈ +∞ .

,--> ( )=

1 =

| 0 | 0 | 0 | 0

| 1 1-[ i y|> -[ -[ | 1 -[

=| =|+ + + +

−

→ → → →

−= = − = −∞ #ρα η |‚0 είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της

]iO1 1 =

=| |

i y|> | 1 1-[ -[ "

| ==|

−

→+∞ →+∞

−= = =

=1

| |

1 | 1 |-[ i y|> | -[ ... 0 )

= =| =−

→+∞ →+∞

−− = − = = =

}ρα η ευθεία1

h |=

= είναι π"αγι# ασύμπτωτη της ]iO1 στο +∞ .

,---> ( ) ( )= =H = D H D = D D| 1 L| 1 D| | | 1 | L| 1 D| | 1 | D| 1 D|+ − + = − ⇔ + + = + + ⇔ + + = + + ⇔

( )D Diy| > i D| | D| | 0 ή | D ή | D= ⇔ = ⇔ = = = −

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. JE

E9oll: !"α τον L"λ3τα #α" τον M&α*)2αNG

-+)Α6 B Β8α#AMαJ >α3 B Φ3%I9αJ0M5B M8B4$AJ0#$ H6α αI6α M8L4B5 9$84α9A[B56

9α59L;8B6α0 6α αBM$AN$9$ L93 578;$3 43α 09B5%7;3#9B60 #934K >α97 96 M378>$3α

9J >B<8#αJ B5 $A;α6 96 AM3α 9α;<99α 1

ΛΥΣΗ

'ν iyg> η θ!ση κ#θε χρονική στιγμή g του Bρασίδα και iyg> η ταχύτητα του.'ν τ7ρα dyg> η

θ!ση την κ#θε χρονική στιγμή g του aι"7τα και dyg> η ταχυτητα του.%νωρί$ουμε ότι

ξεκινούν την ίδια χρονική στιγμή g‚0 και τερματι$ουν μα$ι μετα από χρονο ) αρα

ισχύουν iy0> dy0> iy)> dy)>= = .@!"ουμε να αποδείξουμε ότι υπ#ρχει μια του"#χιστον

στιγμή 0g κατ# την δι#ρκεια της κούρσας που είχαν την ίδια ταχύτητα δη"αδή

0 0i yg > d yg >= .@εωρούμε συν#ρτηση `yg> iyg> dyg>= − στο δι#στημα ( )0)

† Η συν#ρτηση ` είναι συνεχής στο 0)

† Η συν#ρτηση ` είναι παραγωγίσιμη στο ( )0) † `y0> iy0> dy0> 0 `y)> iy)> dy)> 0= − = = − =

}ρα ισχύει το θε7ρημα k24 οπότε υπ#ρχει !να του"#χιστον ( )0g 0)∈ τ!τοιο 7στε

0 ο ο ο ο`yg > 0 i yg > d yg > 0 i yg > d yg >= ⇔ − = ⇔ = που είναι και το $ητούμενο.

g‚0g‚

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. JG

-V) A6$9α3 #56789#π

i b 0=

→

ℝ 4$ 9 ημ|= 3α >7?$π

| 0=

∈

G) Να @8$A9$ 9B #<6B%B 934I6 9J f 1

GG)Να @8$A9$ 96 934K1

i y0>−

1

GGG)Α6 $3%HB6 #56789# 1i− $A6α3 #56$;KJ 06α 5B%BA#$9$ 9B L83B1| 0

1LIE-[

i y|> |−→ −

GX) Να αBM$AN$9$ L93 :=

iy|> |π

! 3α >7?$π

| 0=

∈

ΛΥΣΗ

->Η συν#ρτηση iy|> ημ|= είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στοπ

0=

. =

}ρα το σύνο"ο τιμ7ν της i είναι π

iy > iy0>iy > 01=

. = =

--> ( )1 1 1iy0> 0 i iy0> i y0> 0 i y0>− − −= % = ⇔ =

--->π

| 0=

∈

#ρα | 0+→ .tταν

π| 0

=> > ισχύει ημ| | iy|> |< % < #ρα η ]i )ρίσκεται κ#τω από

τη ευθεία h‚| οπότε η 1]i− "όγω συμμετρίας )ρίσκεται π#νω από την ευθεία h‚| δη"αδή

1 1i y|> | i y|> | 0− −> % − > για κ#θεπ

| 0=

∈

επίσης !χουμε ( )1

| 0-[ i y|> | 0−

→− = #ρα

1| 0

1LIE-[

i y|> |−→= +∞

−.

-,>6ρ!πει να δείξουμε ότι=

ημ| |

π

! y1 > για κ#θεπ

| 0

=

∈

%ιαπ

| 0|=

= = ισχύει η y1>

Η $ητούμενη ανισότητα γιαπ

| 0=

∈

γίνεται

ημ|= = ημ| |

π | π! ⇔ !

@εωρούμε την συν#ρτηση ημ|

dy|>|

= π

| 0=

∈

.

Τότε( ) ( ) ( )

= =

ημ| | ημ| | | συν| ημ| ημ|d y|>

| | |

− − = = =

y1>

Το πρόσημο του αριθμητή θα το εξετ#σουμε θεωρ7ντας συν#ρτηση

`y|> |συν| ημ|= − π| 0=

∈

( )`y|> |συν| ημ| συν| |ημ| συν| |ημ| 0= − = − − = − < για κ#θεπ

| 0=

∈

}ρα η ` είναι γνησίως φθίνουσα στοπ

0=

.

:πότε ανπ

| 0=

! > b `y|> `y0> |συν| ημ| 0συν0 ημ0 |συν| ημ| 0< % − < − % − < y=>

'πό y1>y=> προκύπτει d y|> 0< δη"αδή η d είναι γνησίως φθίνουσα στοπ

| 0=

∈

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. JH

:πότε για κ#θεπ

| 0=

∈

b

π ημ ημ| ημ| ημ|π 1 = ==dy|> dy > ημ| |

π π= | | | π π

= =

! % ! ⇔ ! ⇔ ! ⇔ !

(YUZTR $8I94α #96 8BB<4$6)

Να M$3;9$A L93 3#;<$3 α63#L99α ημ| |< 03α >7?$ | 0>

Cύση .@εωρούμε την συν#ρτηση dy|> ημ| |= − για κ#θε | 0! .Tσχύειb

d y|> συν| 1 0= − $ y 1 συν| 1 = συν| 1 0− $ $ ⇔ − $ − $ >για κ#θε | 0! #ρα η d είναι γνησίως

φθίνουσα στο )0 +∞ οπότε | 0 dy|> dy0> ημ| | 0 ημ| |> % < % − < ⇔ <

-.)Α6 3α 96 #56789# ( )i b 0+∞ → ℝ 3#;<B56:

k f α8αDA#34 #9B ( )0 +∞ k iy1> 1=

k 95;αAα $α9B4H6 9J bf #$ #4$AB 9J 0 0Xy| iy| >> 9H46$3 9B6 7NB6α || #9B

#4$AB 1cy| 0> 4$ 1

0

||

== 1 Να @8$A9$ 9B6 9 Η τυχαία εφαπτομ!νη της ]i σε σημείο της0 0Xy| iy| >> !χει εξίσωση

yε>b0 0 0h iy| > i y| >y| | >− = −

‡ yε> δι!ρχεται από το σημείο1cy| 0>

10 0 1

|| =| |

=

0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 00 iy| > i y| >y| | > iy| > i y| >y| | > iy| > i y| >y=| | >

= ⇔ =

− = − ⇔ = − ⇔ = − ⇔

0 0 0 0 0 0iy| > i y| >| | i y| > iy| > 0⇔ = ⇔ − = για κ#θε ( )0| 0∈ +∞

}ρα για κ#θε ( )| 0∈ +∞ ισχύειb

( )| 0

^|i y|> iy|> 0 |iy|> 0 |iy|> ^ iy|> |

>

− = ⇔ = ⇔ = ⇔ =

όπου ^ σταθερός πραγματικός αριθμός ( )| 0∈ +∞

tμως iy1> 1 .... ^ 1= % ⇔ = .:πότε1

iy|> |

= ( )| 0∈ +∞

+!) Α6 f0g $A6α3 #56$;$AJ #56α89K#$3J #9B ℝ >α3 3#;<$3 L93

iy|> dy|> | E− = − 3α >7?$ | ∈ ℝ 1C#9D L93 $5?$Aα 4$ $NA#D# h D| I= − $A6α3

α#<49D9 9J 8α3>KJ α87#9α#J 9J f >α?IJ 9B | → +∞ 1

α) Να @8$A9$ 9α L83α

G)|

dy|>-[

|→+∞

GG)=|

dy|> D| ημ=|-[

|iy|> D| 1→+∞

+ +

− +

@) Να M$AN$9$ L93 $5?$Aα 4$ $NA#D# h =| D= − $A6α3 α#<49D9 9J 8α3>KJ

α87#9α#J 9 g >α?IJ | → +∞ 1

ΛΥΣΗ

α>-> Aφόσον η h D| I= − είναι ασύμπτωτη της γραφικής παρ#στασης της i καθ7ς το

| → +∞ θα ισχύει|

iy|>-[ D

|→+∞= y1>

@!"ουμε όριο στο +∞ #ρα θεωρούμε | 0> οπότε

iy|> dy|> dy|> dy|>| E iy|> E iy|> Eiy|> dy|> | E 1 1

| | | | | | | |

− −− = − ⇔ = ⇔ − = − ⇔ = − +

Cαμ)#νουμε όρια και στα δυο μ!"ηy υπ#ρχουν τα όρια στο B μ!"ος >y1>

| | | |

dy|> dy|>iy|> E-[ -[ 1 -[ D 1 0 = -[ =

| | | |→+∞ →+∞ →+∞ →+∞= − + = − + = ⇔ =




ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. JI

-->=| |

dy|> ημ=|Ddy|> D| ημ=| | |-[ -[ y=>

1|iy|> D| 1yiy|> D|>

|

→+∞ →+∞

+ ++ +=

− + − +

!χουμεb

ημ=| ημ=|1 1 1

| | | | |$ ⇔ − $ $ για κ#θε | 0> y | → +∞ >

ημ=|1 1

| | |⇔ − $ $ και εφόσον

| |

1 1-[ -[ 0

| |→+∞ →+∞

− = − =

από το κριτήριο της παρεμ)ο"ής

προκύπτει|

ημ=|-[ 0

|→+∞=

'πό υπόθεση η h =| D= − είναι ασύμπτωτη της γραφικής παρ#στασης της d καθ7ς

| → +∞ τότε ισχύει|-[ iy|> yD| I> 0→+∞

− − = yD>

( ) ( )| | |-[ iy|> yD| I> 0 -[ iy|> D| I 0 -[ iy|> D| I→+∞ →+∞ →+∞

− − = ⇔ − + = ⇔ − = −

~τσι το $ητούμενο όριο από την y=> γίνεταιb

|

dy|> ημ=|D

= D 0 G| |-[1 I 0 I

yiy|> D|>|

→+∞

+ + + += = −

− +− +

)> 'ρκεί να δείξουμε ότι|-[ dy|> y=| D> 0→+∞

− − = .~τσι

yD >

| | |-[ dy|> y=| D> -[ iy|> | E =| D> -[ iy|> D| I> 0→+∞ →+∞ →+∞

− − = − + − + = − + = #ρα η h =| D= − είναι

ασύμπτωτη στης ]d στο +∞ .

+)Η #56789# i b 14 1E → − $A6α3 M5B B8HJ α8αDA#34 4$ iy1> == >α3

iy4> 4 1= + 1Να M$AN$9$ L93:

Α1G) Υ78;B56 ( )1 =| | 14∈ 4$ 1 =| |, 9H9B3α I#9$ 1 =i y| > i y| > 0= = 1

GG)Υ78;$3 ( )ξ 14∈ 9H9B3B I#9$ i yξ> 0=

GGG)Υ78;$3 H6α 9B5%7;3#9B6 ( )0| 14∈ 9H9B3B I#9$:

=

0 0 0 0iy| > i y| > Di y| > | − =

Β1G)Η $5?$Aα ε b | h 4 =+ = + 9H46$3 96 8α3>K α87#9α# 9J f #$ H6α 9B5%7;3#9B6

#4$AB 4$ 9$944H6 ( )0^ 14∈ 1

GG)Υ78;B56 ( )1 =ξ ξ 14∈ 4$ 1 =

ξ ξ, 9H9B3α I#9$ 1 =i yξ >i yξ > 1= 1

ΛΥΣΗ'.-> Η i b 14 1E → − συνεχής σε κ"ειστό δι#στημα #ρα παρουσι#$ει ε"#χιστη τιμή

1iy| > 1= − και μ!γιστη τιμή

=iy| > E= με ( )1 =

| | 14∈

yθυμηθείτε ότι iy1> == και iy4> 4 1= + > .'πό το θε7ρημα w4[/g !χουμε ότι1 =

i y| > i y| > 0= = .

--> Tσχύουν οι προ’ποθ!σεις του θεωρήματος k24 στο δι#στημα1 =| | #ρα υπ#ρχει

( )ξ 14∈ τ!τοιο 7στε i yξ> 0= .

---> @εωρούμε την συν#ρτηση =dy|> iy|> i y|> =i y|> | = − − η οποία ικανοποίει τις

προ’ποθ!σεις του θεωρήματος r2‹/32 στο δι#στημα1 =

| | .

†d συνεχής στο 1 =| |

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. JJ

† = D D

1 1 1 1 1 1 1 1 1dy| > iy| > i y| > Di y| > | Di y| > | Dy 1> | D | = − − = − − = − − − = −

= D D

= = = = = = = = =dy| > iy| > i y| > =i y| > | Di y| > | DyE> | 1L= | = − − = − − = − − = − −

6αρατηρούμε1 1 1 11 | 4 1 | 4 D 1 D | D 4 = dy| > D 4< < ⇔ − > − > − ⇔ − > − > − ⇔ > > −

= = = =1 | 4 1 | 4 1L= 1 D | 1L= 4 1LD dy| > 1L= 4< < ⇔ − > − > − ⇔ − − > − > − − ⇔ − > > − −

}ρα = 1dy| >dy| > 0< .}ρα προκύπτει το $ητούμενο.r.->'ρκεί να δείξουμε ότι η εξίσωση iy|> | 4 = 0+ − − = !χει μια του"#χιστον ρί$α ( )0^ 14∈ .

@εωρούμε συν#ρτηση `y|> iy|> | 4 == + − − για την οποία ισχύουν οι προ’ποθ!σεις του

θεωρήματος r2‹/32 στο δι#στημα 14 ` συνεχής στο 14

`y1> iy1> 1 4 = = 1 4 = 1 4 0= + − − = + − − = − <

`y4> iy4> 4 4 = 4 1 4 4 = 4 1 0= + − − = + + − − = − > #ρα `y1>`y4> 0< !τσι η `y|> 0= !χει μια

του"#χιστον ρί$α ( )0^ 14∈ .

-->Aφαρμό$ουμε θε7ρημα μ!σης τιμής για την ` στα διαστήματα0 01^ ^ 4

Sπ#ρχουν ( ) ( )1 0 = 0ξ 1^ ξ ^ 4∈ ∈

( ) ( )

( ) ( )

01

0 0 0 0

0=

0 0 0 0

0 iy1> 1 4 = 0 = 1 4 =`y^ > `y1> 4 1` yξ > y=>

^ 1 ^ 1 ^ 1 ^ 1

iy4> 4 4 = 0 4 1 4 4 = 0`y4> `y^ > 4 1` yξ > yD>

4 ^ 4 ^ 4 ^ 4 ^

− + − − − + − −− −= = = =

− − − −

+ − − − + + − − −− −= = = =

− − − −

tμως ( )`y|> iy|> | 4 = i y|> 1= + − − = + yE>.'πό y=>yD> yE> !χουμεb

1 1

0 0

01 1

0 0

01

0

= =

0 0

0= =

0 0

0=

0

4 1 4 1` yξ > i yξ > 1

^ 1 ^ 1

4 1 ^ 14 1i yξ > 1 i yξ >

^ 1 ^ 1

4 ^i yξ >

^ 1

4 1 4 1` yξ > i yξ > 1

4 ^ 4 ^

4 1 4 ^4 1i yξ > 1 i yξ >

4 ^ 4 ^

^ 1i yξ >

4 ^

− −= ⇔ + = ⇔

− −

− − +−= − ⇔ = ⇔

− −

−=−

− −= ⇔ + = ⇔

− −

− − +−= − ⇔ =

− −

−⇔ =

−

}ρα0 0

1 =

0 0

4 ^ ^ 1i yξ >i yξ > 1^ 1 4 ^

− −

= ⋅ =− −

..*ο''οί µαθητ( α)α-5τιο0)ται:

N<α'ά ε23 τ3-α *5 θα B-ί/κ5 2ια κάθε

ά/κη/η 0*α-6η ,*οιο θε3-ηµα /ε *οια

/υ)ά-τη/η και /ε *οιο 1ιά/τηµα *-(*ει )α

-η/ιµο*οι4/5OP

∆ε) υ*ά-ει καθη2ητ4 µαθηµατικ3) 7/ο κα'7

και α) εί)αι, *ου µ*ο-εί )α *'α/ά-ει /το

µαθητ4 µια τ(τοια 2)3/η /α) /υ)τα24. Μ7)ο η

εµ*ει-ία α*7 τη) ε*ί'υ/η *ο''3) α/κ4/ε5) 4

τη) ε*ί'υ/η α/κ4/ε5) µε *ο''ο0 τ-7*ου (ει

α*οτε'(/µατα. Q/οε02'5ττα το '(ει

ο RSTL:

N<ά)ε 4 µη) κά)ει .

Μη) *-ο/*αθεί;;

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. JL

+/)(α93 4B5 ?54A[$3)

Να ;α8α>98A#$9$ 93J 8B97#$3J B5 α>B%B5?B<6 087B69αJ #9B 9$987M3B #αJ0MA%α #9B 8744α B5 α693#9B3;$A #$ >7?$ 8L9α# 96 %HN ΣD#9L 0 α6 8L9α#

$A6α3 #D#9K0 K Λ7?BJ α6 8L9α# $A6α3 %α6?α#4H61 (Μ$ α393B%L#)

1>'ν η συν#ρτηση i είναι συνεχής στο 01 παραγωγίσιμη στο ( )01 και i y|> 0, για ό"α

τα ( )| 01∈ τότε iy0> iy1>, . 9 C

=>'ν η συν#ρτηση i παραγωγί$εται στο α) με iy)> iyα>< τότε υπ#ρχει ( )0| α)∈ τ!τοιο

7στε0i y| > 0< . 9 C

D>'ν οι συναρτήσεις i και d είναι παραγωγίσιμες στο α) με iyα> dyα>= και iy)> dy)>=

τότε υπ#ρχει ( )0| α) τ!τοιο 7στε στα σημεία0 0cy| iy| >> και

0 0ry| dy| >> οι εφαπτόμενες να

είναι παρ#""η"ες. 9 C

E>'ν ( ) ( )=

i y|> 1 | | == − − για κ#θε | ∈ ℝ τότεb

-> τ2 iy1> είναι τοπικό μ!γιστο της i. 9 C

--> τ2 iy=> είναι τοπικό ε"#χιστο της i. 9 C

'παντήσεις

1>9ωστο.'ν ήταν iy0> iy1>= τότε από το θε7ρημα k24 στο 01 θα υπήρχε !να

του"#χιστον ( )ξ 01∈ 7στε i yξ> 0= που είναι #τοπο.

=>9ωστο.'ν ήταν0i y| > 0! για κ#θε ( )0| α)∈ τότε η i θα ήταν γνησίως αύξουσα στο

α) οπότε δεν θα μπορούσε να είναι iy)> iyα>< .

D> 9ωστό. %ια την συν#ρτηση `y|> iy|> dy|>= − στο δι#στημα α) ισχύει το @.k24 οπότε

υπ#ρχει ( )0| α)∈ 7στε

0 0 0 0 0`y| > 0 i y| > d y| > 0 i y| > d y| >= ⇔ − = ⇔ =

*η"αδή οι εφαπτομ!νες στα ' και B είναι παρ#""η"ες.

E>-> C#θος. -->9ωστό

O O P y > f %

x −∞ 1 = +∞

y > f %

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. L0

UΤι θ('ει 2ια 13-ο τη) *-5το-ο)ιά *αι1ί µουO

UV)α *-ά/ι)ο 1-άκο;UΤι εί)αι αυτά *ου Dητά *αι1ί µουO

U<α'ά, τ7τε Dητ3 /τι *α)ε''α1ικ( /τα µαθηµατικά )α µη) *(/ει

ε-3τηµα µε το .Μ.Τ;

UΤι -3µα το) θε το) 1-άκο,*αι1ί µουO

+*)α?H6α αL 9α α8α>79D #;K4α9α α83#976$3 96 8α3>K α87#9α# 9J

α8αIB5 >7B3αJ #56789#J f1Σ$ B3α αL 93J $839I#$3J α59HJ H;$3 f 9B3>L

4H3#9Bh

'π#ντηση y--->

]i

]i

]i

]i

y-->y->

y--->y-,>

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. L1

+&)36$9α3 #56789# f 4$ ( )i b 0+∞ → ℝ 3#;<B56:

k ΕA6α3 α8αDA#34 #9B ( )0 +∞

kD Diy|> | D|iy|> + = 3α >7?$ | 0> ()

k Η f α8B5#37[$3 α>8L9α9B #9B ( )0| 0∈ +∞ 1Να @8$A9$ 9B 0| .

ΛΥΣΗ

9ύμφωνα με την υπόθεσηb

Το 0| είναι εσωτερικό σημείο του διαστήματος ( )0 +∞

Η i είναι παραγωγίσιμη στο ( )0 +∞

Η i παρουσι#$ει ακρότατο στο ( )0| 0∈ +∞

}ρα από το θε7ρημα w4[/g ισχύειb0i y| > 0= y1>

6αραγωγί$ουμε την δοσμ!νη ισότητα

= = = =Di y|>i y|> D| Diy|> D|i y|> i y|>i y|> | iy|> |i y|>+ = + ⇔ + = + y=>%ια

0| |= η y=> είναιb

y1>= = =

0 0 0 0 0 0 0 0i y| >i y| > | iy| > | i y| > iy| > |+ = + ⇔ = yD>

Η y1> για 0| |= byD > DD D = D = H D D

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0iy| > | D| iy| > | | D| | | | D| 0 + = ⇔ + = ⇔ + − = ⇔

( )0| 0

DH D D D

0 0 0 0 0| =| 0 | | = 0 | =

>

− = ⇔ − = ⇔ =

+)36$9α3 #56789# f 4$|4 1

iy|> 3

|

−=

G)Να @8$A9$ 9B $MAB B83#4B< 9J f1

GG)Να M$AN$9$ L93 3α >7?$ i| s∈ 3#;<$3 iy|> iy |> |− − =

GGG)Να @8$A9$ 9α L83α| | 0 |-[ iy|> -[iy|> -[ iy|>→−∞ → →+∞

GX)Να 4$%$9K#$9$ 96 f DJ 8BJ 96 4B6B9B6Aα >α3 9α α>8L9α9α 1

X)Να @8$A9$ 9B #<6B%B 934I6 9J f1

XG)Να $N$97#$9$ α6 578;$3 $α9B4H6 9J bf α87%%% #96 $5?$Aα h | =01H= + 1

ΛΥΣΗ

->%ια να ορί$εται η i

( ) ( )

|4 1

0 ... | 0 0|

−

> ⇔ ⇔ ∈ −∞ ∪ +∞ -->%ια κ#θε

i| s∈

( )( )

|

|| | | |

| ||

|

4 1| 4 14 1 4 1 1 4 1 4|iy|> iy |> 3 3 3 3 3 3

1| | 4 1 4 1| 4 1 14|

−

− −−

− − − − − − − − − = − = = = = = − − − − −

−

( )( )

| |||

| |

|

4 1 41 4 3 3 3 4 |

1 4 1 4

4

−− = = = = − −




ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. L=

---> †|

| |

4 1-[ iy|> -[ 3

|→−∞ →−∞

−= y1>

~χουμε ( ) ( )|

|

| |

4 1 1-[ -[ 4 1 0 1 0 0

| |→−∞ →−∞

−= − = − =

}ρα θ!τουμε|4 1

_|

−= όταν | → −∞ τότε _ 0→ και η y1> γίνεταιb

_ 0-[3_

→= −∞

†|

| 0 | 0

4 1-[ iy|> -[ 3

|→ →

−= y=>

~χουμε( )

( )

0|| |0

| 0 | 0 | 0

4 1 4 1 4-[ -[ -[ 1

| 1| → → →

−−= = =


_|

−= όταν | 0→ τότε _ 1→ και η y=> γίνεταιb

_ 1-[ 3 _ 0

→=

†

|

| |

4 1

-[ iy|> -[ 3 |→+∞ →+∞

−

= yD>

~χουμε( )

( )

|| |

| | |

4 1 4 1 4-[ -[ -[

| 1|

∞∞

→+∞ →+∞ →+∞

−−= = = +∞


_|

−= όταν | → +∞ τότε _ → +∞ και η yD> γίνεταιb

_-[ 3_

→+∞= +∞

GGG) %ια κ#θε ( ) ( )| 0 0∈ −∞ ∪ +∞

| | | | | |

| | = |

4 1 1 4 1 | 4 | 4 1 4 | 4 1i y|> 3 | |4 1 4 1 | |y4 1>

|

− − − + − +

= = = = − − −

'ντι"αμ)ανόμαστε ότι το πρόσημο του αριθμητή δεν εύκο"ο να προσδιοριστεί α"γε)ρικ#

οπότε καταφεύγουμε στην αν#"υση.

@εωρούμε συν#ρτηση | |dy|> 4 | 4 1= − + 1Aίναιb

( )| | | | | |d y|> 4 | 4 1 4 | 4 4 4 |= − + = + − = 0 |d y|> 0 4 | 0 | 0= ⇔ = ⇔ =

'πό τον παραπ#νω πιν#κα !χουμεb dy|> dy0> dy|> 0> ⇔ > για κ#θε ( ) ( )| 0 0∈ −∞ ∪ +∞

Aπίσης ||y4 1> 0− > για κ#θε ( ) ( )| 0 0∈ −∞ ∪ +∞ οπότε i y|> 0> για κ#θε ( ) ( )| 0 0∈ −∞ ∪ +∞

#ρα η i είναι γνησίως αύξουσα σε καθ!να από τα διαστήματα ( ) ( ) 0 0−∞ +∞ και δεν !χει

ακρότατα.

O P y > g %

x −∞ 0 +∞

y > g %




ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. LD

,>'πό τον πίνακα μετα)ο"7ν της i προκύπτειb

iiys > = ( ) ( ) 0 0−∞ ∪ +∞

,->%ια να υπ#ρχει εφαπτομ!νη της ]i παρ#""η"η στην ευθεία h | =01H= + αρκει η εξίσωση

i y|> 1= να !χει του"#χιστον μια ρί$α στο ( ) ( ) 0 0−∞ ∪ +∞ .Aίναιb| | | |

| | | |

| |

4 | 4 1 4 | 4 1

i y|> 1 1 1 4 | 4 1 |4 | 4 | 1 0| 0|y4 1> |4 |

− + − +

= ⇔ = ⇔ = ⇔ − + = − ⇔ − − = ,− −

@εωρούμε την συν#ρτηση |`y|> 4 | 1| 0= − − ,

( )| |`y|> 4 | 1 4 1= − − = − `y|> 0 | 0= ⇔ =

Η μόνη ρί$α της |4 | 1 0− − = είναι η | 0= η οποία απορρίπτεται διότι 0 siJ

}ρα δεν υπ#ρχει εφαπτομ!νη της ]i παρ#""η"η στην h | =01H= + 1

P P y > f %

x −∞ 0 +∞

y > f %

O P y >h %

x −∞ 0 +∞

y >h %

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. LE

+-)α%%38αAα1

Σ9B6 α8α>79D A6α>α 9B5 $N8$#3B63#9K [D87B5 ΛH6B5 Π36H%B5 0 B >α%%39H;6J

q>B%B##LJ #9B6 α$38B#93>L %B3#4L2 α$3>B6A[$3 96 8α3>K α87#9α# 43αJ

#56789#J f1

Α6 ?$D8K#B54$ 96 #56789#1

di

= 09L9$:

G)Να @8$?$A 9B $MAB B83#4B< 9D6 #56α89K#$D6 f0g >α3 6α %5?$A $NA#D# iy|> 0= 1

GG)Να 5B%BA#$9$ 9α L83α

| | | D| 1 | 1 | 1 | 1-[ iy|> -[ iy|> -[ dy|> -[ dy|> -[dy|> -[dy|> -[dy|>

− + + −→−∞ →+∞ →→− →− → →

GGG)6α @8$?B<6 B3 α#<49D9$J 9J bg1

GX)Να 4$%$9K#$9$ 96 g DJ 8BJ 96 4B6B9B6Aα1

ΛΥΣΗ

-> i ds s •| ” iy|> 0€ • 11D€= = − ∈ = = − −ℝ ℝ ℝ ℝ iy|> 0 | 1 ή | 1 ή | D= ⇔ = − = =

--> 'πό την ]i διαπιστ7νουμεb

k| |-[ iy|> -[ iy|>→−∞ →+∞

= −∞ = +∞

k| 1

i y |> 0 κοντ# στο 1 α πό αρισ τερ#

-[ iy |> 0| 1 | 1

1-[ dy|> -[

iy|>− −−→−

< −

=→− →−= = − ∞

k| 1

i y |> 0 κοντ# σ το 1 από δεξι#

-[ iy |> 0| 1 | 1 | 1

1-[ dy|> -[ dy|> -[

iy|>+ + +−→−

> −

=→− →− →−= = = + ∞

k| 1

iy|> 0

-[ i y| > 0| 1 | 1

1-[ dy|> -[

iy|>+ +

+→

<

=→ →= = − ∞

*/

1

O1

2

]i

Λ()ο Πι)('ο

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. LG

k| 1

iy|> 0

-[ i y|> 0| 1 | 1

1-[ dy|> -[

iy|>− −−→

>

=→ →= = + ∞ k

| D

i y|> 0

-[ i y| > 0| D | D

1-[ dy|> -[

iy|>− −−→

<

=→ →= = − ∞

k| D

iy|> 0

-[ i y| > 0| D | D

1-[ dy|> -[

iy|>+ ++→

>

=→ →= = + ∞

---> ‡ ]d !χει κατακόρυφες ασύμπτωτεςb | 1| 1| D= − = =

-,>Η i είναι παραγωγίσιμη #ρα και d είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της με

=

1 i y|>d y|>

iy|> i y|>

= = −

.6αρατηρούμε ότι το πρόσημο της dy|> είναι αντίθετο από το

πρόσημο της iy|> #ρα στο δι#στημα που η iy|> είναι γνησίως αύξουσα η dy|> είναι

γνησίως φθίνουσα.

++)"$D8B<4$ 96 #56789#

iy|> 3 | 1 |= − −

G)Να @8$A9$ 9B $MAB B83#4B< ^ 9J f1

GG)Να αBM$AN$9$ L93 f α693#98H$9α31

GGG)Να @8$A9$ 9B #<6B%B 934I6 9J f1

GX)Να @8$A9$ 9B ( )= 1

| 0-[ | i y|>−

→

ΛΥΣΗ

-> (| 0

| 011 | 0

>⇔ ∈ − !

#ρα (c 01=

-->%ια κ#θε (| 01∈ είναιb

( ) 1 1i y|> 3 | 1 | 0

| = 1 |= − − = + >

− #ρα η i είναι γνησίως αύξουσα στο ' οπότε και 1O1

οπότε αντιστρ!φεται.

--->Η i είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο (c 01= #ρα

( (| 0

iyc> -[ iy|>iy1> ... 0+→

= = = −∞

-,>Tσχύειb

(1ic 0iyc>− = −∞ = και (1

1

ii yc > 01c−

− = =

%ια κ#θε (| 0∈ −∞ ισχύει

1 = 1 =0 i y|> 1 0 | i y|> |− −< $ ⇔ < $ από το κριτήριο της παρεμ)ο"ής η τε"ευταία δίνειb

( )= 1

| 0-[ | i y|> 0−

→=

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. LH

+V)(Ο ΤB9LJ >α3 U >α6L6αJ 9B5 vm iURwGt_P )

Ο ΤB9LJ H8α$ #9B 4$8B%L3B 9B5 9B6 Ια6B5783B 9B5 /!-:

Nχ% το O&α2- ανα#$λυPα μ"α νέα μα%'ματ"#1 &ότα*', %α τ'ν 2"ατυ3*+ #α" %α

τ'ν !&$P+ *το &"%3&"ο του 'μ&ολο!)ου ου )να" α&#τ$ μ!$λο !"α να τ'ν χ+&έ*".

Qν μ"α *υν$&τ'*' ( )να" α&α!+!)*"μ',τότ ' (R )να" *υνχ1.

Qό2"'

S*τ+ τυχα)ο0 i| s∈

( )( )0 0 0

0

000

0 | | | | | |0 0

iy|> iy| > iy|> iy| >i y| > -[ -[ -[ i y|>

| | | | → → →

−−= = =

− −

A&α0

0| |-[ i y|> i y| >

→= NN.

Τ6 $L4$6 4H8α B ΤB9LJ #>B9I?>$ #$ 4B6B4α;Aα 4$ 9B6 $A9B6α 9B5 3α 43α ?H#

w_nGZg

ΕA6α3 #D#9K 8L9α# 9B5 ΤB9B<h

'π#ντηση

: Τοτός χρησιμοποίησε το αντίστροφο του κανόνα του n ‡2\V-g/ που δεν ισχύει. *η"αδή

ισχυρίστηκε ότι αν0| |

iy|>-[ n

dy|>→= τότε θα ισχύει

0| |

iy|>-[ n

dy|>→=

'ντιπαρ#δειγμα αποτε"ούν οι συναρτήσεις = 1iy|> | ημ dy|> 3y1 |>

|= = + ορισμ!νες στο

( ) ( )10 01− ∪ .Tσχύει0| |

iy|>-[ ... 0

dy|>→

= = όμως το0| |

iy|>-[

dy|>→

δεν υπ#ρχει.

+.)(?H4α H#4J .V.)

A6B69α3 B3 #56α89K#$3J i d b →ℝ ℝ 4$ iy0> dy0>= >α3 i y|> d y|>= 3α >7?$ | ∈ ℝ


G)Υ78;$3 #9α?$87 ` 9H9B3α I#9$:

iy|> dy|> ^|− = 3α >7?$ | ∈ ℝ

GG)Α6 1 =ρ ρ $9$8L#4$J 8A[$J 9J dy|> 0= 09L9$ iy|> 0= H;$3 43α 9B5%7;3#9B6 8A[α #9B

M37#94α 1 =ρ ρ 1

ΛΥΣΗ

->Aίναιbi y|> d y|>=

}ρα υπ#ρχει ^ ∈ ℝ τ!τοια 7στεb

( ) ( )i y|> d y|> ^ i y|> d y|> ^ iy|> dy|> ^| = + ⇔ − = ⇔ − =

}ρα υπ#ρχει ^ ∈ ℝ τ!τοια 7στεb

iy|> dy|> ^| ^ − = + y1>

%ια | 0= η y1> γίνεταιb

iy0> dy0> ^ 0 ^ ^ 0− = ⋅ + ⇔ = .}ρα iy|> dy|> ^|− = | ∈ ℝ

-->Η συν#ρτηση i είναι συνεχής στο δι#στημα1 =ρ ρ μεb

iy|> dy|> ^|= + | ∈ ℝ

1 1 1 1iyρ > dyρ > ^ ρ ^ ρ= + ⋅ = ⋅ = = = =iyρ > dyρ > ^ ρ ^ ρ= + ⋅ = ⋅

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. LI

=

1 = 1 =iyρ >iyρ > ^ ρ ρ 0= $ y

1 =ρ ρ ετερόσημα =^ 0! >

O'ν ^‚0 τότε1 =iyρ >iyρ > 0= δη"αδή μια του"#χιστον από τις

1 =ρ ρ είναι ρί$α της iy|> 0= .

O'ν ^ 0, τότε1 =

iyρ >iyρ > 0< οπότε από το θε7ρημα r2‹/32 η iy|> 0= !χει μια του"#χιστον

ρί$α στο ( )1 =ρ ρ .

V!)(Μ$[$M7>3α)

A6$9α3 #56789# i #56$;KJ #9B M37#94α 0 E >α3 α8αDA#34 #9B ( )0 E 4$

iy1> iy=> 0= = 1Α6 f #98H$3 9α >BA%α 76D #9B M37#94α ( )0 E 6α αBM$AN$9$ L93:

G) iy1>iy=> 0> GG) f α8B5#37[$3 $%7;3#9B #9B ( )0 E 1

ΛΥΣΗ

->Aπειδή η i είναι συνεχής στο δι#στημα 0 E παραγωγίσιμη στο ( )0 E και ισχύει

iy1> iy=> 0= = τότε εφαρμό$εται το θε7ρημα k24 για το δι#στημα 0 E .}ρα υπ#ρχει !νας

του"#χιστον ( )0| 0E∈ τ!τοιος 7στε0i y| > 0= .

Aπειδή η i στρ!φει τα κοί"α #νω στο δι#στημα 0 E η συν#ρτηση i είναι γνησίως

αύξουσα στο 0 E και επιπ"!ον το0| είναι μοναδικό. :πότεb

† %ια0| |< θα ισχύει

0i y|> i y| > 0< =

† %ια0| |> θα ισχύει

0i y|> i y| > 0> =

Το πρόσημο της iy|> φαίνεται από τον παρακ#τω πίνακα

‡ i είναι γνησίως φθίνουσα στο 01 οπότε είναι iy0> iy1>> ή iy0> 0>

‡ i είναι γνησίως αύξουσα στο = E

οπότε είναι iyE> iy=>> ή iyE> 0>

Aπομ!νως iy0> iyE> 0⋅ >

--> Aπειδή η i είναι γνησίως φθίνουσα0

0 | και γνησίως αύξουσα στο0

| E #ρα η i

παρουσι#$ει για ( )0| | 0E= ∈ ο"ικό ε"#χιστο στο δι#στημα ( )0 E .

O O P P y > f %

x 0 10

% = E

y > f %

A

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. LJ

V)C#9D #56789# )i b 0 +∞ → ℝ α8αDA#34 #9B ℝ 0 9H9B3α I#9$

iy0> 0i y|> 0= ! 3α >7?$ | +∈ ℝ >α3|-[ iy|> 0→+∞

= 1Να αBM$AN$9$ L93 iy|> 0= 3α >7?$ | +∈ ℝ 1

ΛΥΣΗ

'ς υποθ!σουμε ότι αυτό δεν συμ)αίνει α""# ότι υπ#ρχει ξ +∈ ℝ 7στε iyξ> 0, .

Tσχύει i y|> 0! για κ#θε | +∈ ℝ #ρα i γνησίως αύξουσα για κ#θε | +∈ ℝ .

Aπειδή ξ 0 iyξ> iy0> 0> % > = .}ρα iyξ> 0>

tμως|-[ iy|> 0→+∞

= επομ!νως υπ#ρχει | +∈ ℝ με | ξ> οπότε

iy|> iyξ>< ήiy|> iyξ>

0| ξ

−<

−

:πότε από το θε7ρημα μ!σης τιμής στο ξ | υπ#ρχει ( )0| ξ|∈ b

0

iy|> iyξ>i y| >

| ξ

−=

−

Τότε0

i y| > 0< #τοπο από την υπόθεση #ρα iy|> 0= για κ#θε | +∈ ℝ .

V/)("H4α $N$97#$D6 /!!)C#9D f 43α #56789# α8αDA#34 #9B ℝ 3α 96 LB3α

3#;<$3:

( ) ( )D = D =iy|> ) iy|> γiy|> | =| H| 1|+ + = − + − ∈ ℝ

yB5 ) γ ∈ ℝ 4$ =) Dγ 0− <

G)Να M$AN$9$ L93 f M$6 H;$3 α>8L9α9α1

GG)Να M$AN$9$ L93 f $A6α3 6#ADJ α<NB5#α1

GGG)Να M$AN$9$ L93 578;$3 4B6αM3>K 8A[α 9J $NA#D#J iy|> 0= #9B α6B3>9L M37#94α

( )01 .

ΛΥΣΗ

->%ια κ#θε | ∈ ℝ ισχύειb

y1> ( ) ( )D = D =iy|> ) iy|> γiy|> | =| H| 1+ + = − + − με =) Dγ<

'πό την y1> παραγωγί$οντας τα μ!"η της ως προς | !χουμεb

( ) ( )= =D iy|> i y|> =) iy|> i y|> γi y|> D| E| H+ + = − + | ∈ ℝ y=>

Sποθ!τουμε ότι η i παρουσι#$ει για0

| |= ακρότατο.

Τότε θα ισχύει από @.w4[/g0

i y| > 0=

%ια0| |= η y=> γίνεταιb

( ) ( )= = =

0 0 0 0 0 0 0 0 0D iy| > i y| > =) iy| > i y| > γi y| > D| E| H D| E| H 0+ + = − + ⇔ − + = #τοπο η εξίσωση

=D| E| H 0− + = δεν !χει πραγματικ!ς ρί$ες y 0. < >. }ρα η συν#ρτηση i δεν !χει ακρότατα.-->'πό την σχ!ση y=> !χουμεb

( ) ( ) ( ) ( )= == =D iy|> i y|> =) iy|> i y|> γi y|> D| E| H i y|> D iy|> =) iy|> γ D| E| H| + + = − + ⇔ + + = − + ∈

ℝ yD>

'""#=D| E| H 0− + > για κ#θε | ∈ ℝ

( ) ( )=

D iy|> =) iy|> γ 0+ + > για κ#θε | ∈ ℝ αφού είναι ( )= =E) 1=γ E ) Dγ 0. = − = − < #ρα από την yD>

προκύπτει ότι i y|> 0> για κ#θε | ∈ ℝ οπότε η i είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ .

--->%ια | 0= και | 1= η y1>

† ( ) ( ) ( ) ( )( )D = =

iy0> ) iy0> γiy0> 1 iy0> iy0> ) iy0> γ 1+ + = − ⇔ + + = − yE>

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. LL

Το τρι7νυμο =| )| γ+ + !χει =) Eγ. = − και επειδή =0 ) Dγ Eγ$ < < y αφού =1 γ ) 0

D> ! > είναι

0. < οπότε είναι =| )| γ 0+ + > για κ#θε | ∈ ℝ .}ρα είναι ( ) ( )=

iy0> ) iy0> γ 0+ + > οπότε από

την yE> iy0> 0<

† ( ) ( ) ( ) ( )

( )

D = =iy1> ) iy1> γiy1> E iy1> iy1> ) iy1> γ E+ + = ⇔ + + = yG>

(αι επειδή ( ) ( )=

iy1> ) iy1> γ 0+ + > θα είναι iy1> 0>

Aπομ!νως !χουμε iy0> iy1> 0⋅ < και i συνεχής στο 01 οπότε από το θε7ρημα r2‹/32 η

εξίσωση iy|> 0= !χει ρί$α στο ( )01 που είναι και μοναδική επειδή η i είναι γνησίως

αύξουσα.

V*)Ε#9D f 43α #56789# α8αDA#34 #9B ℝ 3α 96 LB3α 3#;<$3:

k iy|> i y|> 1+ = 3α >7?$ | ∈ ℝ ()

k iy1> ==

G)Να αBM$AN$9$ L93 1 |iy|> 4 1−= + 3α >7?$ | ∈ ℝ

GG)Να @8$A9$ 9B #<6B%B 934I6 9J f1GGG)Να $N$97#$9$ 96 f DJ 8BJ 9α >BA%α1

GX)Να αBM$AN$9$ L93 3α >7?$ α) ∈ ℝ 0 α )< 3#;<$3:1 ) 1 )1 α 1 α4 yα )> 4 4 4 yα )>− −− −− < − < −

ΛΥΣΗ

->6ο""απ"ασι#$ουμε και τα δυο μ!"η της y1> με |4 και !χουμεb

( ) ( ) ( )| | | | | | | | | |4 iy|> 4 i y|> 4 4 iy|> 4 i y|> 4 4 iy|> 4 4 iy|> 4 ^+ = ⇔ + = ⇔ = ⇔ = + ^ σταθερός

πραγματικός αριθμός.

%ια | 1= η τε"ευταία ισότητα γίνεταιb1 1

4 iy1> 4 ^ =4 4 ^ ^ 4= + ⇔ = + ⇔ = |

| | 1 |

|

4 44 iy|> 4 4 iy|> iy|> 1 4

4−+

= + ⇔ = ⇔ = + | ∈ ℝ

-->Aίναι 1 | 1 |i y|> 4 y1 |> 4 0− −= − = − < για κ#θε | ∈ ℝ .}ρα η συν#ρτηση i είναι γνησίως

φθίνουσα στο ℝ και το σύνο"ο τιμ7ν της είναι το δι#στημα

( )| |-[ iy|>-[ iy|>→+∞ →−∞

( )1 |

| |-[ iy|> -[ 4 1−

→−∞ →−∞= + = +∞

( )−

→+∞ →+∞= + =1 |

| |-[ iy|> -[ 4 1 1

}ρα το σύνο"ο τιμ7ν της i είναι ( )+∞1 .

---> ( )1 | 1 |i y|> 4 4 0− −= − = > για κ#θε | ∈ ℝ οπότε η i είναι κυρτή στο ℝ .

-,>Η i είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο ℝ οπότε από το @.?.Τ στο α) θα υπ#ρχει

( )ξ α)∈ τ!τοιο 7στεiy)> iyα>

iyξ>) α

−=

−

Aπειδή η i είναι κυρτή η i είναι γνησίως αύξουσα και για α ξ )< < θα ισχύειb

i yα> i yξ> i y)>< < .}ραb

( ) ( ) ( ) ( ) 1 )1 αiy)> iyα>i yα> i y)> ) α i yα> iy)> iyα> ) α i y)> ) α y 4 > iy)> iyα> ) α y 4 >

) α−−−

< < ⇔ − < − < − ⇔ − − < − < − −−

( ) ( ) ( ) ( )1 ) 1 ) 1 )1 α 1 α 1 αα ) y4 > iy)> iyα> α ) y4 > α ) 4 4 4 α ) 4− − −− − −− < − < − ⇔ − < − < −

V&)Να ;α8α>98A#$9$ 93J 8B97#$3J B5 α>B%B5?B<6 087B69αJ #9B 9$987M3B #αJ


$A6α3 #D#9K0 K Λ7?BJ α6 8L9α# $A6α3 %α6?α#4H61 (Μ$ α393B%L#)

1>Η γραφική παρ#σταση μιας πο"υωνυμικής συν#ρτησης #ρτιου )αθμού !χει π#ντα

ορι$όντια εφαπτομ!νη. 9 C

=> Η γραφική παρ#σταση μιας πο"υωνυμικής συν#ρτησης περιττού )αθμού !χει π#νταορι$όντια εφαπτομ!νη. 9 C

D>Η συν#ρτηση D =iy|> α| )| γ| δ= + + + με α)γδ∈ ℝ και α 0, !χει π#ντα !να σημείο

καμπής . 9 C

E>'ν οι συναρτήσεις id !χουν στο0| σημείο καμπής τότε και η συν#ρτηση ` i d= ⋅ !χει στο

0| σημείο καμπής. 9 C

'παντήσεις

1>9>Η πρ7τη παρ#γωγος είναι πο"υ7νυμο περιττού )αθμού οπότε !χει μια του"#χιστον

πραγματική ρί$α #ρα θα !χουμε του"#χιστον μια ορι$όντια εφαπτομ!νη.

=>C>Η πρ7τη παρ#γωγος είναι πο"υ7νυμο #ρτιου )αθμού οπότε δεν )!)αιο ότι θα !χει

πραγματικ!ς ρί$εςD>9>Η δεύτερη παρ#γωγος της i είναι η i y|> Hα| =)= + η οποία ανεξ#ρτητα από τις τιμ!ς

των γραμμ#των !χει π#ντα μια τιμή που μηδενί$εται και εκατ!ρωθεν της ρί$ας α""#$ει

πρόσημο #ρα !χουμε !να σημείο καμπής.

E>C>%ια Diy|> |= και Idy|> |=

:ι idμηδενί$ονται στο 0 και α""#$ουν πρόσημο εκατ!ρωθεν του 0 #ρα !χουμε σημείο

καμπής όμως η 10`y|> iy|>dy|> |= = δεν παρουσι#$ει σημείο καμπής στο 0.

V)Ε#9D #56789# i b →ℝ ℝ 0 BBAα $A6α3 α8αDA#34 4$ #56$;K α87DB >α3

9H9B3α I#9$:

() iy|> iyE |> 0+ − = 3α >7?$ | ∈ ℝ >α3 i y|> 0, 3α >7?$ | ∈ ℝ


G) #56789# f $A6α3 6#ADJ 4B6L9B61

GG) #56789# M$6 $A6α3 B<9$ >589K B<9$ >BA%1

GGG) $NA#D# iy|> 0= H;$3 α>83@IJ 43α 8A[α1

GX) $5?$Aα ε b h | == − $79$9α3 #96 8α3>K α87#9α# 9J #56789#J

iy|>dy|>

iy|>= 0 | ∈ ℝ

Σ9B #4$AB 4$ 9$944H6 0| == 1

ΛΥΣΗ-> ‡ i είναι συνεχής στο ℝ και i y|> 0, για κ#θε | ∈ ℝ #ρα η i διατηρεί πρόσημο στο ℝ

οπότε η i είναι γνησίως μονότονη.

-->'πό την δοθείσα ισότητα παραγωγί$οντας "αμ)#νουμεb

i y|> i yE |>yE |> 0 i y|> i yE |> 0 i y|> i yE |>+ − − = ⇔ − − = ⇔ = − για κ#θε | ∈ ℝ

%ια |‚0 προκύπτειb i y0> i yE> 0= , οπότε η i δεν είναι γνησίως μονότονη #ρα δεν είναι ούτε

κυρτή ούτε κοί"η.

--->'πό την σχ!ση y1> για |‚= b iy=> iyE => 0 =iy=> 0 iy=> 0+ − = ⇔ = ⇔ =

#ρα η iy|> 0= !χει ρί$α το |‚= και είναι μοναδική επειδή η i είναι γνησίως μονότονη.

-,>~χουμεiy=>

dy=> 0iy=>

= = y=0>E είναι το σημείο επαφής.





'ρκεί τ7ρα εd y=> " 1= = %ια την παρ#γωγο στο = δου"εύουμε με τον ορισμόb

| = | = | = | = | =

| = | =

iy|> iy=> iy|>

dy|> dy=> 1 iy|> 1 iy|> iy=>i y|> i y=> i y|>d y=> -[ -[ -[ -[ -[

| = | = | = i y|> | = i y|> | =

1 iy|> iy=> 1-[ -[ i y=> 1

i y|> | = i y=>

→ → → → →

→ →

−− −

= = = = = = − − − − − −

= = =

−

V-)Ε#9D f 43α α8αDA#34 #56789# #9B 0| 0= 4$ i y0> 0= >α3 9B #4$AB cy01> 6α

α6K>$3 #9B 874α 9J 1

G)Να M$AN$9$ L93 B3 #56α89K#$3J

`y|> |iy|>= >α3|

dy|> iy|>iy|>

= −

ΕA6α3 α8αDA#34$J #9B #4$AB 0| 0= 1

GG)Να 5B%BA#$9$ 96 D6Aα B5 #;4α9A[$3 $α9B4H6 9J g 4$ 96 $α9B4H6

9J j #9B #4$AB 0| 0= 1

GG)Να 5B%BA#$9$ 9B $4@αML 9B5 98AD6B5 B5 #;4α9A[B56 B3 α8α76D

$α9B4H6$J 4$ 9B6 7NB6α xmx1

ΛΥΣΗ

->%ια την συν#ρτηση ` η παρ#γωγος στο0| 0= είναι

| 0 | 0 | 0

`y|> `y0> |iy|>` y0> -[ -[ -[ iy|> iy0> 1

| 0 |→ → →

−= = = = =

− y από υπόθεση i παραγωγίσιμη #ρα

συνεχής στο 0>

}ρα ` παραγωγίσιμη στο 0 και ο συντε"εστής διεύθυνσης της εφαπτομ!νης της στο 0

είναι1" 1= .

'ν#"ογα εργα$όμαστε για την d

( )=

| 0 | 0 | 0 | 0

| 0 |iy|> iy0> iy|> 1

iy|> | iy|>dy|> dy0> iy|> iy0> iy|>d y0> -[ -[ -[ -[

| 0 | | |iy|>→ → → →

− − + − −− −−

= = = = =−

( ) ( ) ( )=

| 0 | 0 | 0 | 0

iy|> iy|> | iy|> iy|> 1 | iy|> iy|> 1 | iy|> 1 1-[ -[ -[ -[

|iy|> |iy|> |iy|> |iy|> | iy|>→ → → →

− − − − − −= = = − = − =

| 0 | 0 | 0 | 0

iy|> 1 1 iy|> iy0> 1 1 1-[ -[ -[ -[ i y0> 0 1

| iy|> | 0 iy|> iy0> 1→ → → →

− − = − = − = − = − = − −

yαπό υπόθεση η i είναι παραγωγίσιμη στο 0 οπότε είναι και συνεχής το 0| 0-[ iy|> iy0>

→= >

~τσι η d είναι παραγωγίσιμη στο 0 και ο συντε"εστής διεύθυνσης της εφαπτομ!νης της

στο 0 είναι=" 1= − 1

Η γωνία των εφαπτομ!νων των `d στο0| 0= είναι L0ο επειδή

1 =" " 1⋅ = −

Η εφαπτομ!νη της ` στο σημείο y0 y0>>

h `y0> `y0>y| 0>− = − ή h |= ε1

Η εφαπτομ!νη της d στο σημείο y0dy0>>

h dy0> dy0>y| 0>− = − ή h | 1= − + ε=

Το σημείο τομής των yε1>yε=> προκύπτει από την "ύση του συστήματος

h | 1 1... | h

h | 1 = =

=⇔ ⇔ = =

= − + #ρα πρόκειται το σημείο

1 1

= =

G

( )10H είναι το σημείο που η ε= τ!μνει τον || και :y00> το σημείο που η yε=> τ!μνει τον

|| οπότε το εμ)αδό του τριγ7νου είναι1 1 1

1= = E

F = ⋅ ⋅ = τετραγωνικ!ς μον#δες.

V+)Ε#9D f 43α #56789# M5B B8HJ α8αDA#34 #9B i b →ℝ ℝ 3α 96 LB3α

3#;<B56:

|-[ iy|>→+∞

= +∞ 0|-[ iy|>

→−∞= −∞ 0

1iy0>

D= >α3 () ( )iy|>4 = i y|> 1+ = 3α >7?$ | ∈ ℝ

Α1G)Να $N$97#$9$ 96 f DJ 8BJ 96 4B6B9B6Aα0 9α >BA%α >α3 6α @8$A9$ 9B #<6B%B

934I6 9J1

GG)Να M$AN$9$ L93 $NA#D# iy|> 0= H;$3 4B6αM3>K 8A[α 96 | 0= 1

Β1 Να αBM$AN$9$ L93:

G)3#;<$3: iy|>4 =iy|> | 1+ = + 3α >7?$ | ∈ ℝ

GG) f α693#98H$9α3 >α3 6α @8$A9$ 9B6 9 ( )iy|>

iy|>

14 = i y|> 1 i y|> 0

4 =+ = ⇔ = >

+ για κ#θε | ∈ ℝ


6αραγωγί$ουμε δεύτερη φορ#

( ) ( )

( ) ( )

iy|> iy|>iy|>

iy|> = =iy|> iy|>

4 = 1 4 i y|>4 = i y|> 1 i y|> 0

4 = 4 = 4 =

+ + = ⇔ = = − = − <

+ + + για κ#θε | ∈ ℝ

#ρα η i είναι κοί"η στο ℝ .Το σύνο"ο τιμ7ν της i θα είναι το δι#στημα ( )

| |-[ iy|> -[ iy|> y >→−∞ →+∞

= −∞ +∞

-->@!τουμε στην y1> όπου | 0= b

( ) ( )iy0> iy0> iy0> iy0>14 = i y0> 1 4 = 1 4 = D 4 1 iy0> 0

D+ = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = ⇔ =

Aπειδή τ7ρα η i είναι γνησίως αύξουσα η ρί$α | 0= είναι μοναδική.

B.-> ( ) ( )iy|> iy|> iy|> iy|>4 i y|> =i y|> 1 4 =iy|> 1 4 =iy|> y|> 4 =iy|> | ^+ = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ + = + 0 y=>

^ σταθερός πραγματικός αριθμός.

@!τουμε στην y1> όπου | 0= b i y0> iy0>4 =iy0> | ^ 4 = 0 0 ^ ^ 1+ = + ⇔ + ⋅ = + ⇔ =

}ρα η y=> παίρνει την μορφήbiy|>4 =iy|> | 1+ = + για κ#θε | ∈ ℝ yD>

-->Η i είναι γνησίως αύξουσα #ρα είναι 1O1 συνεπ7ς αντιστρ!φεται.

@!τοντας στην yD> για h iy|>= !χουμεbh h4 =h | 1 | 4 =h 1+ = + ⇔ = + −

}ρα 1 |i y|> 4 =| 1− = + − | y >∈ −∞ +∞

--->6αρατηρούμε ότι 1i y0> iy0> 0− = = επομ!νως οι 1]i ]i− δι!ρχονται από την αρχή των

αξόνων.

'πό υπόθεση !χουμε1

1" i y0>

D= = .Aίναιb

( ) ( )1 | |i y|> 4 =| 1 4 =− = + − = + .:πότε ( )1 0

=" i y0> 4 = D−= = + =

Τε"ικ#1 =

1" " D 1

D⋅ = ⋅ =

%>†( ) iy|>| | | |

iy|> i y|> i y|> 1 1" -[ -[ -[ -[

| 1 0 =| 4 =

∞∞

→−∞ →−∞ →−∞ →−∞= = = = =

++

† ( ) ( ) ( )

i y |> i y |>4 =iy|> | 1 =iy|> | 1 4iy|>

| | |

1 1 1 1 1

) -[ iy|> | -[ =iy|> | -[ 1 4 1 0= = = = =

+ = + ⇔ − = −

→−∞ →−∞ →−∞

= − = − = − = − =

Aπομ!νως η π"#για ασύμπτωτη της ]i στο −∞ !χει εξίσωση1 1

h |= =

= +

VV)(ΕN$9α#$3J ..) A6$9α3 α8αDA#34 #56789# i y|> 0, 3α >7?$ | ∈ ℝ >α3

#56789# d b →ℝ ℝ 3α 96 BBAα 3#;<$3 dy|>i y|> =iy|>= 3α >7?$ | ∈ ℝ 1

G)Να αBM$AN$9$ L93 f $A6α3 6#ADJ 4B6L9B61

GG)Να αBM$AN$9$ L93 f α693#98H$9α31

GGG)Α6 9B 0 0cy| iy| >> $A6α3 #4$AB >α4KJ 9J bf0 6α αBM$AN$9$ L93 $α9B4H6 9J

bg #9B Α $A6α3 α87%%% #96 $5?$Aα h =| G= −

1

ΛΥΣΗ

->Η i είναι συνεχής και i y|> 0, για κ#θε | ∈ ℝ #ρα διατηρεί πρόσημο στο ℝ #ρα είναι

γνησίως μονότονη στο ℝ .

-->Aίναι 1O1 ως γνησίως μονότονη #ρα αντιστρ!φεται .

--->'πό την δοθείσα ισότητα !χουμεbi y| > 0 =iy|>

dy|>i y|> =iy|> dy|>iy|>

,

= ⇔ = οπότε η d είναι παραγωγίσιμη.

( )

( )

=

=

= i y|> =iy|>i y|>=iy|>

d y|> iy|> iy|>

− = =

( )

( )

=

=

= i y|> =iy|>i y|>dy|>

iy|>

−= y=>

%ια0| |= ισχύει

0i y| > 0= και0i y| > 0,

Η y=> για0| |= b

( )

( )

( )

( )

0

= =i y| > 0

0 0 0 0

0 0= =

0 0

= i y| > =iy| >i y| > = i y| >d y| > d y| > =

i y| > i y| >

=−= ⇔ = = #ρα η εφαπτομ!νη της

]d στο ' είναι παρ#""η"η στην ευθεία h =| G= − .





V.)36$9α3 #56789#1

iy|> | 0|

= > >α3 9B 4$9α@%9L #4$AB Μ(α0f(α)) 9J bf 1Η

$α9B4H6 ($) 9J bf #9B #4$AB Μ 9H46$3 9B5J 7NB6$J Οx0Ol #9α #4$Aα Α0Β

α69A#9B3;α1

G) Να @8$A9$ 96 $NA#D# 9J $α9B4H6J ($) >α?IJ >α3 93J #569$9α4H6$J 9D6

#4$AD6 Α0Β DJ #56789# 9B5 α1

GG) Να αBM$AN$9$ L93 9B $4@αML6 9B5 983I6B5 ΟΑY0 LB5 Ο $A6α3 α8;K 9D6

αNL6D6 0$A6α3 #9α?$8L1

GGG) C#9D Γ0 B3 8B@B%HJ 9B5 #4$AB5 Μ #9B5J 7NB6$J Οx0 Οl α69A#9B3;α 1Να

8B#M3B8A#$9$ 93J #569$9α4H6$J 9B5 #4$AB5 Μ0 I#9$ $8A4$98BJ 9B5 B8?BD6AB5

ΟΓΜ 6α $A6α3 $%7;3#91

ΛΥΣΗ

->Η παρ#γωγος συν#ρτηση της i είναι=

1 1i y|>

| |

= = −

.Η $ητούμενη εφαπτομ!νη είναιb

= =

1 1 1 =ε b h iyα> i yα>y| α> h y| α> h |

α αα α− = − ⇔ − = − − ⇔ = − +

Η yε> τ!μνει τον #ξονα || σε σημείο με τεταγμ!νη 0.

= = =

1 = 1 = 1 =h | 0 | | | =α

α α αα α α= − ⋅ + ⇔ = − ⋅ + ⇔ ⋅ = ⇔ = #ρα y=α0>E

Η yε> τ!μνει τον #ξονα || στο σημείο με τετμημ!νη 0.

*η"αδή=

1 = =h 0 h

α αα= − ⋅ + ⇔ = #ρα

=y0 >

αH

-->( ) ( ) ( )LE = LE LH =

= = ⋅ ⋅ =

1r

=1 = 1 =

=α =α 1 τ.μ= α = α

---> :ι συνταγμ!νες των σημείων %*

είναι1

yα0> y0 >α

G .

}ρα η περίμετρος είναι b1

yα> =yα >α

M = + α 0>

=

= =

1 = =α =yα> =yα > =

α α α

−M = + = − =

= α 0

=

=α =yα> 0 0 α 1

α

>−M = ⇔ = ⇔ =

}ρα για α‚1 η περίμετρος του ορθογωνίου γίνεται ε"#χιστη και οι συντεταγμ!νες του ?

είναι ?y11>.

'

B

?yα1”α>

: |

h

*

%

O P y >) M

α 0 1 +∞

y >) M

.!)36$9α3 43α #56789# f0M5B B8HJ α8αDA#34 >α3 >589K #9B M37#94α α)

>α?IJ >α3 43α #56789# g 4$ 9<Byiy)> iyα>>y| α>

dy|> iy|> iyα>) α

− −= − −

− 3α >7?$ | α)∈


G)Υ78;$3 ( )0| α)∈ 9H9B3B I#9$ $α9B4H6 9J 8α3>KJ α87#9α#J 9J g #9B

0| 6α $A6α3 α87%%% 8BJ 9B6 7NB6α xmx1

GG) d y|> i y|>= GGG) dy|> 0$ 3α >7?$ | α)∈ 1

ΛΥΣΗ

->yiy)> iyα>>yα α>

dyα> iyα> iyα> 0dy)> .. 0) α

− −= − − = = =

− d συνεχής στο α) d παραγωγίσιμη

στο ( )α) #ρα από το θε7ρημα k24 υπ#ρχει ( )0| α)∈ τ!τοιο 7στε0d y| > 0= .}ρα

υπ#ρχει ( )0| α)∈ τ!τοιο 7στε η εφαπτομ!νη της ]d στο0| να είναι παρ#""η"η στο |Ž|.

-->6αραγωγί$ουμε την d δυο φορ!ςb

iy)> iyα>d y|> i y|> d y|> i y|>

) α

−= − =

−

--->@α δου"!&ουμε #τοπο !στω ότι υπ#ρχει ( )0| α)∈ τ!τοιο 7στε 0dy| > 0>

@εωρούμε την d στα διαστήματα0α | 0| ) και εφαρμό$ουμε @.?.Τ

#ρα θα υπ#ρχει !να του"#χιστον ( )0ξ α|∈ τ!τοιο 7στεb

0 01

0 0

dy| > dyα> dy| >d yξ > 0 y1>

| α | α

−= = >

− − y

0dy| > 0> 0| α> >

Aπίσης

#ρα θα υπ#ρχει !να του"#χιστον ( )0ξ | )∈ τ!τοιο 7στεb

0 0=

0 0

dy)> dy| > dy| >d yξ > 0 y=>

) | ) |

−= = − <

− − y

0dy| > 0> 0| )< >

'""#d

0 01 = 1 =

0 0

dy| > dy| >ξ ξ dyξ > d yξ >

| α ) |< % < ⇔ < −

− −

ր

}τοπο από y1> y=> καθ7ς δείχνει ότι !νας αρνητικός

είναι μεγα"ύτερος από !να θετικό αριθμό. }ρα dy|> 0$ για κ#θε | α)∈ .

.)B>34HJ $>9LJ M8L4B5

Σ9B α8α>79D #;K4α %α37 ΑΒ B8A[$9α3 αL 96 >α4<% h iyg>= 0 LB5 f $A6α3

α8αDA#34 #56789#1Α6 9B 9[3 04B8$A 6α α6α883;?$A #$ >%A#$3J HDJ >α3 /!s

(M%αMK #$ >%A#$3J B5 α693#9B3;B<6 #$ #569$%$#9K M3$<?56#J !0/) 9L9$ 6α

$NK#$9$ 3α9A M$6 4B8$A 6α α6$@$A 96 %α371

'π#ντηση

9ύμφωνα με το θε7ρημα μ!σης τιμής υπ#ρχει του"#χιστον !να σημείο % της π"αγι#ς

στο οποίο η κ"ίση είναι ίση με την κ"ίση της ευθείας 'B. tμως η κ"ίση yδη"αδή ο

συντε"εστής διεύθυνσης> της ευθείας 'B είναιb=00

0.=G ή =G

1000

=

}ρα αν το αυτοκίνητο φτ#σει στο % θα συναντήσει κ"ίση =G την οποία δεν θα μπορεί να

υπερ)εί.

./)36$9α3 43α #56789# i b →ℝ ℝ 0M5B B8HJ α8αDA#34 #9B ℝ 3α 96 BBAα

3#;<B56:

k iy=> ==

k i y|> 0, 3α >7?$ ( )| 0=∈

k| 0

iy|>-[ 1D

ημ=|→=

G) Να αBM$AN$9$ L93:

iy0> 0= >α3 i y0> =H= GG)Να @8$A9$ 96 $NA#D# 9J $α9B4H6J 9J 8α3>KJ α87#9α#z 9J f #9B

#4$AB Μ(!0f(!))1

GGG)Η $NA#D# i y|> 0= M$6 4B8$A 6α H;$3 M5B M3αB8$93>HJ 8A[$J #9B M37#94α ( )0 = 1

GX)Υ78;$3 ( )0| 0=∈ 9H9B3B I#9$ 0 0iy| > = |= −

X)Υ78;B56 ( )1 =ξ ξ 0=∈ 9H9B3α I#9$ 1 =i yξ >i yξ > 1=

ΛΥΣΗ

->i παραγωγίσιμη στο 0 #ρα i συνεχής το 0 #ρα| 0

iy0> -[ iy|>→

= .

Τότε

iy|>

dy|> ημ=|= με | 0

iy|>

-[ 1D ημ=|→ = είναι iy|> dy|>ημ=|=

1W[

=00 [

c

r

( )| 0 | 0

iy0> -[ iy|> -[ dy|>ημ=| 1D 0 0→ →

= = = ⋅ =

(αι

( )| 0 | 0 | 0 | 0

dy|>ημ=| dy0>ημ = 0 dy|>ημ=| ημ=|iy|> iy0>i y0> -[ -[ -[ -[ dy|> =

| 0 | | =|→ → → →

− ⋅ −= = = = ⋅ ⋅ = −

| 0

ημ=|

-[ dy|> = 1D = 1 =H=|→

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

}ρα i y0> =H=

--> h iy0> i y0>y| 0> h =H|− = − ⇔ =

--->~στω η εξίσωση i y|> 0= !χει δυο ρί$ες στο δι#στημα 0 = τις1 =| | με

1 =0 | | =< < < αν

όμως1 =i y| > i y| > 0= = επειδή η i είναι παραγωγίσιμη σε ό"ο το ℝ #ρα και στο

1 =| |

οπότε από το θε7ρημα k24 υπ#ρχει ( )D| 0=∈ τ!τοιο 7στε

Di y| > 0= #τοπο καθ7ς

i y|> 0, για κ#θε ( )| 0=∈ .

-,>~στω `y|> iy|> = |= − + είναι `y0> = 0= − < και `y=> = 0= > .}ρα `y0> `y=> 0⋅ <

:πότε από το θε7ρημα r2‹/32 υπ#ρχει ( )0| 0=∈ τ!τοιο 7στε

0 0 0 0 0`y| > 0 iy| > = | 0 iy| > = |= ⇔ − + = ⇔ = −

,>Η i ικανοποιεί τις προ’ποθ!σεις του @.?.Τ στα διαστήματα0 0

0| | = οπότε

υπ#ρχουν ( ) ( )1 0 = 0ξ 0| ξ | =∈ ∈ αντίστοιχα 7στεb

y-,>0 0

1

0 0

iy| > iy0> = |i yξ >

| 0 |

− −= =

−

iy=> =0 0 0

= 0 0 0

iy=> iy| > = y= | > |i yξ >

| = | = | =

=− − −= = =

− − −

~τσι 0 01 =

0 0

= | |i yξ > i yξ > 1

| | =

−⋅ = ⋅ =

−.

.*)^)Να αBM$AN$9$ L93 α6 43α #56789# f $A6α3 6#ADJ 4B6L9B6 0 9L9$ >α3

α69A#98B 9J f2 H;$3 9B AM3B $AMBJ 4B6B9B6AαJ1

Y)A6$9α3 #56$;KJ >α3 6#ADJ 4B6L9B6 #56789# i b 0= → ℝ 4$ iy=> == >α3 3#;<$3

L93:= =

| 0 =

ημ | | iy|>-[ =

1 | 1→

−= −

− +

G)Να αBM$AN$9$ L93 bf M3H8;$9α3 αL 96 α8;K 9D6 αNL6D61GG)Να @8$A9$ 9B $AMBJ 9J 4B6B9B6AαJ 9J f1

GGG)Να @8$A9$ 9B $MAB B83#4B< 9J #56789#J g 4$ 9 i y= |> i y|>−= − −

GX)Μ$ 96 @BK?$3α 9B5 $8D9K4α9BJ (Α) 6α αBM$AN$9$ L93 1 =E i y= |> i y|> =−− $ − − $ 3α

>7?$ d| s∈ 1

ΛΥΣΗ

'> ~στω ότι η i είναι γνησίως αύξουσα θα αποδείξουμε ότι και η iO1 είναι γνησίως

αύξουσα.

~στω1 = 1i

h h s −∈ με1 =h h< .@α αποδείξουμε ότι ( ) ( )1 1

1 =i h i h− −< .Sπ#ρχουν1 = i| | s∈ τ!τοια

7στε ( )1 1i | h=

( )= =i | h=

'πό όπου προκύπτει ότι

( )1

1 1i h |− = ( )1

= =i h |− =

@α εργαστούμε με #τοπο. Sποθ!τουμε ότι δεν ισχύειb ( ) ( )1 1

1 =i h i h− −< .Τότε !χουμε τις

περιπτ7σειςb

† ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1

1 = 1 = 1 =i h i h iyi h > iyi h > h h− − − −= ⇔ = % = #τοποy από υπόθεση1 =h h< >

† ( ) ( ) ( ) ( )

i1 1 1 1

1 = 1 = 1 =i h i h iyi h > iyi h > h h− − − −

> % > % >

ր

#τοποΤε"ικ# ( ) ( )1 1

1 =i h i h− −< οπότε και η iO1 είναι γνησίως αύξουσα.

B>->@!τουμε= =

=

ημ | | iy|>dy|>

1 | 1

−=

− + (| 0=∈ ~τσιb

= = = = = = = = =dy|>y1 | 1> ημ | | iy|> dy|>y1 | 1> ημ | | iy|> | iy|> ημ | dy|>y1 | 1>− + = − ⇔ − + − = − ⇔ = − − +

= =

=

ημ | dy|>y1 | 1>iy|>

|

− − +=

Cαμ)#νουμε όρια= = = =

= = =| 0 | 0 | 0 | 0 | 0

ημ | dy|>y1 | 1> ημ | y1 | 1>-[ iy|> -[ -[ -[ dy|> -[

| | |→ → → → →

− − + − += = − ⋅ =

= == = =

| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0= = = =

= ==

| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |= =

ημ| ημ|y1 | 1>y1 | 1> 1 y| 1>-[ -[ dy|> -[ -[ -[ dy|> -[

| || y1 | 1> | y1 | 1>

ημ| ημ||-[ -[dy|> -[ -[ -[ dy|> -[

| || y1 | 1>

→ → → → → →

→ → → → → →

− + + + − +− ⋅ = − ⋅ =

+ + + +

−= − ⋅ = − ⋅

+ +( )

0 =

1 11 = 0

=1 | 1

− = − − − =

+ +

ySπενθυμί$ουμε ότι οι ιδιότητες των ορίων εφαρμό$ονται διότι τα όρια υπ#ρχουν>Η i είναι συνεχής στο 0 #ρα

| 0iy0> -[ iy|> 0

→= = .

-->Η i από υπόθεση είναι γνησίως μονότονη και ισχύει ( ) ( )i 0 i =< #ρα η i είναι γνησίως

αύξουσα.

--->Η i είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής στο 0 = #ρα το σύνο"ο τιμ7ν της είναι

iy0> iy=> 0= = .Aπίσης ισχύει ( ) ( )1 1i 0 0i = =− −= = το πεδίο ορισμού της iO1 είναι

1is 0=− = .}ρα η συν#ρτηση d ορί$εται όταν

− − ∈ $ − $⇔

∈ $ $

1i

i

= | s 0 = | =

| s 0 | = από όπου προκύπτει ds 0== .

-,>Η i είναι γνησίως αύξουσα #ρα από το ερ7τημα c και η 1i− είναι γνησίως αύξουσα.@α

εργαστούμε συνθετικ#b

~στω 1 =| | 0=∈ με 1 =| |< .~χουμεb

† ( ) ( )1i

1 1

1 = 1 = 1 = 1 =| | | | = | = | i = | i = |−

− −< ⇔ − > − ⇔ − > − % − > −ր

y1>

† ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )1 =i | i | 0=i

= = = =

1 = 1 = 1 = 1 = 1 =| | | | i | i | i | i | i | i |∈

< ⇔ < % < % < % − > −ր

y=>

y1> Py=>

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 = 1 =

1 1 = = 1 =i = | i | i = | i | d | d |− −− − > − − ⇔ >

}ρα η d είναι γνησίως φθίνουσα στο ds .9υνεπ7ς όταν 1 =0 | = dy0> dy|> dy=> = i y= |> i y|> E−$ $ % ! ! ⇔ ! − − ! −




ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 10L

.&)Σ9B #;K4α αA6$9α3 8α3>K α87#9α# #9 #56789# =iy|> |= >α3 B3

$α9L4$6$J $0$/ #9α #4$Aα 9J 4$ 9$944H6$J 1 >α3 1| 1Α6 B3 $α9L4$6$J α59HJ

$A6α3 >α?$9HJ 09L9$ 9B 1| $A6α3

Α11

=− Β1

1

E− Γ1

1

D− 1

D

=− Ε1 1−

Α769#

B>1

E−

:ι συντε"εστ!ς διεύθυνσης των ε1 ε= είναιb

1

1 G1 y >E E"ε =

D G1

J J

− −= = =

−

= =1 1

=

1 1

1 1| |E E"εD D

| |J J

− − + = =− −

6ρ!πει 1 = 1 =ε ε 1 "ε "ε 1K = − ⇔ ⋅ = − .~τσιb

( )( )

== 1 =

1 1

1 = 11 1

1

E| 11| J E| 1 1E E"ε "ε 1 = 1 = 1 = 1 .... |

D J| D EE J| D|

J J

++ +

⋅ = − ⇔ ⋅ = − ⇔ = − ⇔ ⋅ = − ⇔ ⇔ = −− −−

ε1 ε=

Π-οθ( /το /*ίτι..

UΓιατί 1ε) '0)ει α/κ4/ειO Τι κά)ειO

UΓ-ά+5 τουιτ.

UΑυτ7 ο Ιτ 1ε) µ*ο-εί )α τα 2-άGει µ7)ο του..

Μα-ία EF ετ3), υ*οG4+ιο *α)ε''η)ί5)

.)( $6 @αA6B56 L%α 4$ α87DB)

A6$9α3 43α #56$;KJ >α3 6#ADJ α<NB5#α #56789# i b →ℝ ℝ 3α 96 LB3α 3#;<$3 :

k( ) ( )

→

+ − +!

=

| 0

ημ| συν| συν| =ημ| συν|iy0> -[

ημ||

E

k =i y|> E, 3α >7?$ | ∈ ℝ


G) iy|> => 3α >7?$ | ∈ ℝ

GG)Η $NA#D# | |4 iy|> 4 iy|>+ = H;$3 α>83@IJ 43α 8α4α93>K 8A[α #9B M37#94α ( )01 1

ΛΥΣΗ

-> 'ρχικ# υπο"ογί$ουμε το όριοb

( ) ( )0=

= = = =0

| 0 | 0 | 0

ημ| συν| συν| =ημ| συν| ημ | συν | =ημ|συν| =ημ|συν| συν | 1 συν |-[ -[ -[ E

ημ| ημ| |ημ|| |

E E

→ → →

+ − + + + − − −= =

==

| 0 | 0 | 0

ημ | ημ|1 συν |-[ E -[ E -[ E E

|ημ| |ημ| |→ → →

−= = = = οπότε η δοθείσα γίνεται iy0> E!

@εωρούμε την συν#ρτηση dy|> iy|> == − | ∈ ℝ .@α αποδείξουμε ότι dy|> 0, για κ#θε | ∈ ℝ .

~στω ότι υπ#ρχει =

0 0 0 0 0| b dy| > 0 iy| > = 0 iy| > = i y| > E∈ = ⇔ − = ⇔ = % =ℝ #τοπο από υπόθεση

#ρα η d δεν μηδενί$εται σε καν!να σημείο του ℝ και είναι συνεχής οπότε διατηρεί

πρόσημο και επειδή iy0> E iy0> = = dy0> =! ⇔ − ! ⇔ ! θα ισχύει ότι dy|> 0> για κ#θε | ∈ ℝ

*η"αδή dy|> 0 iy|> = 0 iy|> => ⇔ − > ⇔ > για κ#θε | ∈ ℝ .

-->?ετασχηματί$ουμε την εξίσωση| | |

| |

| | | | |

4 iy|> 4 iy|> 4 iy|> 1 14 iy|> 4 iy|> 1 1 0 1 0 1 0

iy|>4 iy|> 4 iy|> 4 iy|> 4 iy|> 4+ ++ = ⇔ = ⇔ − = ⇔ + − = ⇔ + − =


|

1 1`y|> 1

iy|> 4= + − | ∈ ℝ

Η ` είναι συνεχής στο ℝ #ρα και στο 01

0

1 1 1`y0> 1 0

iy0> iy0>4= + − = >

1 1`y1> 1

iy1> 4= + − .'πό το ερ7τημα y-> και επειδή η i είναι γνησίως αύξουσα

1 1 1 1 1 1 E D4iy1> iy0> E iy1> E 1 1 `y1> 0

iy1> E iy1> 4 E 4 E4

−> ! % > ⇔ < ⇔ + − < + − ⇔ < <

}ρα από το θε7ρημα r2‹/32 υπ#ρχει μια του"#χιστον "ύση της `y|> 0= στο ( )01 .

%ια την μοναδικότητα θα με"ετήσουμε συνθετικ# την μονοτονία της i στο ℝ

~στω1 =| | ∈ ℝ με

i

1 = 1 =

1 =

1 1| | iy| > iy| >

iy| > iy| >< % < ⇔ >

ր

yD>

|

1 =

1 = 1 =

4| |

1 = | | | |

1 1 1 1| | 4 4 1 1

4 4 4 4< % < ⇔ > ⇔ − > −

ր

yE>

yD>PyE>1 =

1 =| |

1 =

1 1 1 11 1 `y| > `y| >

iy| > iy| >4 4

+ − > + − ⇔ >

}ρα η ` είναι γνησίως φθίνουσα στο ℝ οπότε η `y|> 0= !χει μοναδική "ύση κατ επ!κταση

!χει μοναδική "ύση και η | |4 iy|> 4 iy|>+ = .

Fχόλ"ο

@2 @8A@;92 ?L@63; 3 @6 97C76 6 3@;2?< @C Q?C 7@2 ?L@2 3482D| | | |

4 iy|> 4 iy|> 4 iy|> 4 iy|> 0+ = ⇔ + − = 9H I;@=A76 Z266@HI(D 7A<?@676D| |iy|> 4 iy|> 4 iy|>= + − KH; @6 Q2H; 32?2=3 ; ;?3Q72A3 Bol['no 7@2 01 I;LD

KC?92A3 @92@; KH; @2 ?Q7632 @C @H3L @6D 7@; <I?; @2A

H;7@(3;@2DP iy0>iy1> .\976D P763HL2A3 7 I;4; ?L@63; 32?2=3 ;

;?;KCK972A3 I;LD 7@6 IL676 ;;4?H Q@H 6 f 9;H ;?;KCK97H36.

.-)A6$9α3 #56789# ( )i b 0+∞ → ℝ 3α 96 LB3α 3#;<B56 B3 3M3L99$J :

• iy| h> iy|> iyh>⋅ = ⋅ 3α >7?$ ( )| 0∈ +∞

• iy|> 1< 3α >7?$ ( )| 1∈ +∞

• iy|> 0, 3α >7?$ ( )| 0∈ +∞

Να M$AN$9$ L93:

G) iy1> 1= >α31 1

i| iy|>

=

3α >7?$ ( )| 0∈ +∞

GG) iy|> 0> 3α >7?$ ( )| 0∈ +∞

GGG)Η f $A6α3 6#ADJ ?A6B5#α1

GX)Η $NA#D# 1 | =1iy4 > iy > iy===| EEE|>

HHH|− = ⋅ + H;$3 4B6αM3>K 8A[α #9B ( )0 +∞ 1

X)Α6 $A6α3 6D#9L L93 f $A6α3 α8αDA#34 #9B 0| 1= 9L9$ 3#;<$3iy1>iy|>

iy|>|

= 3α >7?$ ( )| 0∈ +∞

ΛΥΣΗ

-> Η ισότητα iy| h> iy|> iyh>⋅ = ⋅ ισχύει για κ#θε ( )| 0∈ +∞ #ρα θα ισχύει και για | h 1= =

( ) ( )i y|> 0

= =iy1 1> iy1> iy1> iy1> iy1> iy1> iy1> 0 iy1>y1 iy1>> 0 iy1> 1

,

⋅ = ⋅ ⇔ = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ =

Η ισότητα iy| h> iy|> iyh>⋅ = ⋅ ισχύει για κ#θε ( )| 0∈ +∞ #ρα θα ισχύει και για1

h|

=

1 1 1 1 1 1iy| > iy|> i iy1> iy|> i 1 iy|> i i

| | | | | iy|>

⋅ = ⋅ ⇔ = ⋅ ⇔ = ⋅ ⇔ =

για κ#θε ( )| 0∈ +∞

--> Η ισότητα iy| h> iy|> iyh>⋅ = ⋅ ισχύει για κ#θε ( )| 0∈ +∞ #ρα θα ισχύει και για

h | | | 0= = > #ρα ( )i y|> 0 =

iy | |> iy |> iy |> iy|> iy |> 0,

⋅ = ⋅ ⇔ = > για ( )| 0∈ +∞ .

---> ~στω ( )1 =| | 0∈ +∞ με =1 =

1

|| | 1

|< ⇔ > και

== = = = 1

1 1 1 1

| 1 1 1iy > 1 iy| > 1 iy| >iy > 1 iy| > 1 iy| > iy| >

| | | iy| >< ⇔ ⋅ < ⇔ < ⇔ < ⇔ < #ρα η i είναι γνησίως

φθίνουσα.

-,> ( )=

1 | = 1 | = 1 |1 1 ===| EEE|iy4 > iy > iy===| EEE|> iy4 > iy ===| EEE| > iy4 > iy >

HHH| HHH| HHH|

− − − += ⋅ + ⇔ = ⋅ + ⇔ = ⇔

i αρα i1 1| 01 | 1 | 1 | 1 |===|y| => ===|y| => | = | =

iy4 > iy > iy4 > iy > iy4 > iy > 4HHH| HHH| D D

−>− − − −+ + + +

= ⇔ = ⇔ = ⇔ =ց

1 | 1 |D4 | = D4 | = 0− −= + ⇔ − − =

@εωρούμε συν#ρτηση 1 |`y|> D4 | =−= − − )ρίσκουμε προφανή ρί$α το 1yθετικός> καθ7ς1 1

`y1> D4 1 = 0−

= − − = .%ια την μοναδικότητα της ρί$ας εξετ#$ουμε την μονοτονία της `. Aίναιπαραγωγίσιμη στο ℝ #ρα 1 |`y|> D4 1 0−= − − < !τσι η ` γνησίως φθίνουσα στο ℝ οπότε η

ρί$α |‚1 είναι μοναδική.

,>Η i είναι παραγωγίσιμη στο 0| 1= #ρα

| 1 | 1

iy|> iy1> iy|> 1i y1> -[ -[

| 1 | 1→ →

− −= = ∈

− − ℝ

@α δείξουμε ότι η i είναι παραγωγίσιμη στο τυχαίο ( )0| 0∈ +∞

*η"αδή ότι0

00 | |

0

iy|> iy| >i y| > -[

| |→

−= ∈

− ℝ

~τσι

( )( )

( )( )

0

0

|`

| y- >0 0 0

0 | | ` 10 0 0

00 0

` 1 ` 10 0 0

0 0

` 10 0

iy|> iy| > iy| `> iy| >i y| > -[ -[

| | | ` |

iy| > iy`> 1iy| >iy`> iy| >-[ -[

| ` | | ` 1

iy`> 1iy| > iy| >-[ i y1>

| |` 1

=

→ →

→ →

→

− −= = =

− −

−−== =

− −

−=

−

}ρα κατα"ήγουμε ότιiy1>iy|>

iy|>|

= για κ#θε ( )| 0∈ +∞ .

.+)A6$9α3 α8αDA#34 #56789#π π

i b = =

− →

ℝ 3α 96 LB3α 3#;<$3 3M3L99α

() ( )συν| i y|> ημ| συν| iy|>+ = − 3α >7?$π π

| = =

∈ −

"$D8B<4$ $A#J 96 #56789#dy|> iy|> συν|= − 3α >7?$

π π|

= =

∈ −

G) Να αBM$AN$9$ L93 3#;<$3

dy|> d y|>συν| 0+ = 3α >7?$π π

| = =

∈ −

GG)Να αBM$AN$9$ L93 g α8B5#37[$3 B%3>L $%7;3#9B >α3 B%3>L 4H3#9B 0 9α BBAα

>α3 6α @8$A9$ 1

GGG)Μ$ 96 @BK?$3α 9B5 $8D9K4α9BJ (GG)6α @8$A9$ 9B 9 iy| >i y| > -[

| |→

−=

−

] 0 00 ` 0

iy| `> iy| >i y| > -[

`→

+ −=

] 0 00 ` 0

iy| "`> iy| >i y| > -[ y" 0>

"`→

+ −= ,

]

( )

0 0 0 0

0 0` 0 ` 000

iy| `> iy| > iy| `> iy| >1i y| > -[ -[ | 0

| ` 1| ` 1→ →

− −= = ,

−−

π

-> Η συν#ρτηση dy|> iy|> συν|= − προφαν7ς είναι παραγωγίσιμη στο

π π

= =

−

.6αραγωγί$ουμε

( )d y|> iy|> συν| i y|> ημ|= − = +

~τσι

( )y1>

dy|> d y|>συν| iy|> συν| i y|> ημ| συν| iy|> συν| συν| iy|> 0+ = − + + = − + − = για κ#θε π π| = =

∈ −

-->‡ d είναι συνεχής στο κ"ειστόπ π

= =

−

#ρα θα παίρνει μια ε"#χιστη τιμή μ και μια

μ!γιστη τιμή ?. Aπειδή όμως η d είναι παραγωγίσιμη στοπ π

= =

−

οι πιθαν!ς θ!σεις

ο"ικ7ν ακρότατων είναι b

Š τα #κραπ π

= =

− του πεδίου ορισμούπ π

= =

−

Šκ#ποιο0

π π|

= =

∈ −

για το οποίο θα ισχύει 0d y| > 0=

tμως από την σχ!ση του ερωτήματος y->

%ιαπ

|=

= −

π π π πdy > d y >συν 0 dy > 0

= = = =

− + − − = ⇔ − =

%ιαπ

|=

=

π π π π

dy > d y >συν 0 dy > 0= = = =+ = ⇔ = %ια

0| |=

0 0 0 0dy| > d y| >συν| 0 dy| > 0+ = ⇔ =

Aπομ!νως είναι μ X 0= =

--->%ια κ#θεπ π

| = =

∈ −

b

μ dy|> X 0 dy|> 0 dy|> 0 iy|> συν| 0 iy|> συν|$ $ ⇔ $ $ ⇔ = ⇔ − = ⇔ =

.V)^1Α6 f0g0j #56α89K#$3J α8αDA#34$J #9B ^ 9L9$ 3#;<$3 :

α) ( )iy|>dy|>`y|> i y|>dy|>`y|> iy|>dy|>`y|> iy|>dy|>`y|>= + −

@) ( )iy|>dy|>`y|> i y|>dy|>`y|> iy|>dy| > y|> iy|>dy|>`y|>= + + ) ( )iy|>dy|>`y|> i y|>dy|>`y|> iy|>dy|>`y|> iy|>dy|>`y|>= − +

M) ( )iy|>dy|>`y|> i y|>dy|>`y|> iy|>dy|>`y|> i y|>dy|>`y|>= − +

Να #4$3I#$9$ #9B 9$987M3B #αJ 96 #D#9K α769# 1

Β1 C#9D #56789# f M5B B8HJ α8αDA#34 #56789# ( )i b 1+∞ → ℝ 4$ iy4> 1=

>α31

iy4>=4

= 9H9B3α I#9$:

( )=

|iy|>i y|> | i y|> iy|>i y|> 0+ + = 3α >7?$ ( )| 1∈ +∞

Μ$ 96 @BK?$3α 9B5 $8D9K4α9BJ (Α) 6α @8$A9$ 9B6 9 )> θεωρία σχο"ικό )ι)"ίο σε" =D0

B> %ια κ#θε ( )| 1∈ +∞ !χουμεb

( )yc >

=|iy|>i y|> | i y|> iy|>i y|> 0 |iy|>i y|> |i y|>i y|> y|> iy|>i y|> 0+ + = ⇔ + + = ⇔

( )|iy|>i y|> 0=

#ρα |iy|>i y|> ^= ^ πραγματικός σταθερός αριθμός y1>

Η y1> για | 4= παίρνει την μορφήb1 1

4iy4>i y4> ^ 4 1 ^ ^=4 =

= ⇔ ⋅ ⋅ = ⇔ = #ρα η y1> για1

^=

= γίνεται

1|iy|>iy|>

== για κ#θε ( )| 1∈ +∞ y=>

1 1|iy|>i y|> =iy|>i y|>

= |= ⇔ = ⇔

( )( ) ( ) ( )= =

1iy|> 3 | iy|> 3 | ^⇔ = ⇔ = + 1^ πραγματικός σταθερός αριθμός yD>

Η yD> για | 4= γίνεταιb

( )=

1 1 1iy4> 3 4 ^ 1 1 ^ ^ 0= + ⇔ = + ⇔ =

}ρα τε"ικ# η yD> b

( )=

iy|> 3 |= για κ#θε ( )| 1∈ +∞ yE>

'πό την y=> παρατηρούμε ότι iy|> 0, για κ#θε | 1> και επειδή η i είναι συνεχής θα

διατηρεί πρόσημο. tμως από υπόθεση iy4> 1 0= > #ρα iy|> 0> για κ#θε ( )| 1∈ +∞ .~τσι

( )=

iy|> 3 | iy|> 3 |= ⇔ = για κ#θε | 1>

..)36$9α3 #56$;KJ #56789# #9B ℝ 4$ 9<B: |

= =|

4 | κyκ => =" D | 0iy|>

= " 3y4 y| 1>> | 0

+ + − − + $=

− − + >

>0% #9α?$8BA 8α4α93>BA α83?4BA

^1Να @8$A9$ 93J 934HJ 9D6 >0%1

Y1Γ3α >= >α3 %=

G)Να $N$97#$9$ 96 f DJ 8BJ 96 4B6B9B6Aα

>α3 9α α>8L9α9α1

GG)Να @8$A9$ 9B #<6B%B 934I6 9J f1

GGG)Να M$AN$9$ L93 $NA#D# iy|> 0= H;$3

M5B 8A[$J $9$8L#4$J 1 =| | 4$ 1 =| |< 1

GX)Να M$AN$9$ L93 $NA#D#

iy)> 1iyα> 1=01H| 1 | =

−−+ =− − H;$3 43α 9B5%7;3#9B6 8A[α

#9B ( )1= 3α >7?$ ˆα) ∈ ℝ 1

X)Να M$AN$9$ L93 $NA#D# | iy|> ημ|+ =

H;$3 43α 9B5%7;3#9B6 8A[α #9B ( )1 =| | 0

LB5 1 =| | B3 8A[$J 9B5 $8D9K4α9BJ GGG)1

XG)Να %<#$9$ #9B ( )0 +∞ 96 $NA#D#

|| 1= | 1

3 H = =|=

+ + −= − −

ΛΥΣΗ

!*ά-ει µια ά/κη/η µε *ο''ά

ε-5τ4µατα. <ά*οιο α*7 αυτά

('ε2ε 7τι υ*ά-ει µια ά/κη/η

µε *ο''ά ε-5τ4µατα. <ά*οιο

αυτά ('ε2ε 7τι υ*ά-ει µια

ά/κη/η µε *ο''ά ε-5τ4µατα8.

'.‡ i είναι συνεχής στο ℝ #ρα είναι συνεχής και στο 0| 0= οπότε

| 0 | 0-[ iy|> -[ iy|> iy0>

+ −→ →= = .*η"αδή

( ) ( )| = =| 0 = = 0

| 0 | 0-[ 4 | κyκ => =" D -[ = " 3y4 y| 1>> 4 0 κyκ => =" D = " 3y4 y0 1>>

+ +

⋅

→ →+ + − − + = − − + ⇔ + + − − + = − − + ⇔

= = = = =1 κyκ => =" D = " 31 1 κ =κ =" D = " κ =κ =" = " 0+ − − + = − − ⇔ + − − + = − ⇔ − − + + = = = = =

κ =κ 1 1 =" " 0 yκ 1> y" 1> 0 " 1 και κ 1− + + − + = ⇔ − + − = ⇔ = = Η συν#ρτηση παίρνει την μορφήb

|

= =|

4 | 1y1 => = 1 D | 0iy|>

= 1 3y4 y| 1>> | 0

+ + − − ⋅ + $=

− − + > ή

|

=|

4 | | 0iy|>

1 y3y4 > 3y| 1>> | 0

+ $=

− + + > ή

+ $= − − + >

|4 | | 0iy|>

1 =| 3y| 1>> | 0

r.->%ια την μονοτονία εργα$όμαστε συνθετικ# b

Š ~στω (1 =| | 0∈ −∞ με 1 =| |

1 =| | 4 4< % < y1>

1 =| |< y=>

y1>Py=>b 1 =| |1 = 1 =| 4 | 4 iy| > iy| >+ < + % < #ρα i γνησίως αύξουσα στο ( 0−∞ Š ~στω ( )1 =| | 0∈ +∞ με

1 = 1 = 1 =| | =| =| 1 =| 1 =|< % − > − % − > − y1>

1 = 1 = 1 = 1 =| | | 1 | 1 3y| 1> 3y| 1> 3y| 1> 3y| 1>< % + < + % + < + % − + > − + y=>

y1>Py=>b1 1 = = 1 =1 =| 3y| 1> 1 =| 3y| 1> iy| > iy| >− − + > − − + % > #ρα i γνησίως φθίνουσα στο ( )0 +∞

6αρατηρούμε ότιi

| 0 iy|> iy0> iy|> 1$ % $ ⇔ $ր

i

| 0 iy|> iy0> iy|> 1> % < ⇔ <ց

}ρα η i παρουσι#$ει ο"ικό μ!γιστο στο0| 0= το 1.

-->Η i είναι συνεχής στο ℝ

( ( (i

1 | 0 -[ iy|> iy0> 1

→−∞. = −∞ % = −∞

ր

( ) ( ) ( )i

= | | 00 -[ iy|> -[ iy|> 1

+→+∞ →. = +∞ % = −∞

ց

}ρα το σύνο"ο τιμ7ν της i είναι ( 1−∞ .

--->1

iy 1> 1 0 iy0> 1 0 iy1> 1 3 = 04

− = − + < = > = − − >

‡ i είναι συνεχής στα 10 01−

iy 1>iy0> 0 iy0>iy1> 0− < < #ρα από θε7ρημα r2‹/32 σε καθ!να από τα δυο διαστήματα

Sπ#ρχουν ( ) ( )1 =| 10 | 01∈ − ∈ τ!τοια 7στε 1 =iy| > 0 iy| > 0= =

-,>@εωρούμε την συν#ρτηση `y|> y| => iyα> 1 y| 1> iy)> 1 =01Hy| 1>y| =>= − − + − − − − −

`y1> iyα> 1 0 yiyα> 11 ο"ικο μεγιστο της i>= − − > <

`y=> iy)> 1 0 yiy)> 11 ο"ικο μεγιστο της i>= − < <

Η ` συνεχής στο 1= #ρα από θε7ρημα r2‹/32 υπ#ρχει ( )0| 1=∈ τ!τοιο 7στε

0

iy)> 1iyα> 1`y| > 0 ... =01H

| 1 | =

−−= ⇔ ⇔ + =

− −.

,>@ε7ρημα r2‹/32 για την συν#ρτηση = + −Wy|> iy|> | ημ| στο δι#στημα1 =| |

,-> ( )

( )

|| 1 | | 1

| 1 |

= | 13 H = =| 3 = | 1 3 = H = =|

=

H 3 = = =| 3 = | 1 ..

+ +

+

+ −= − − ⇔ + − − = − − ⇔

⇔ − − = − − − + − ⇔ ⇔

i 1 1| | |iy1> iy= | => 1 = | = = | D 0

−

⇔ = + − ⇔ = + − ⇔ + − =

@εωρούμε συν#ρτηση|

φy|> = | D= + − !χει προφανή ρί$α το 1 καθ7ς φy1> 0= τ7ρα επειδή|φy|> = 3 = 1 0= + > δη"αδή φ γνησίως αύξουσα στο ℝ η ρί$α είναι μοναδική.

!!)($N$97#$3J /!!.)A6$9α3 #56789# :|iy|> α 3y| 1>= − + 0 | 1> − 0 α 0> >α3 α 1,

^)Α6 3#;<$3 iy|> 1! 3α >7?$ | 1> − 0 6α αBM$AN$9$ L93 α 4= 1

Β) Γ3α α 4=

G)6α αBM$AN$9$ L93 #56789# f $A6α3 >589K1

GG)6α αBM$AN$9$ L93 #56789# f $A6α3 6#ADJ ?A6B5#α #9B M37#94α ( 10− >α3

6#ADJ α<NB5#α #9B M37#94α )0 +∞

GGG)α6 ( ) ( )) γ 10 0∈ − ∪ +∞ 06α αBM$AN$9$ L93 $NA#D# :

iy)> 1 iyγ> 10

| 1 | =

− −+ =

− −

C;$3 9B5%7;3#9B6 43α 8A[α #9B (0/)1

ΛΥΣΗ

'> %ια κ#θε | 1> − ισχύει ότι biy|> 1 iy|> iy0>! ⇔ !

}ρα η i !χει ο"ικό ε"#χιστο στο0| 0= .Aπίσης το 0 είναι εσωτερικό σημείο του ( )1− +∞ και

η i είναι παραγωγίσιμη στο 0.9υμφωνα με το θε7ρημα w4[/g ισχύει ότι i y0> 0= .

%ια κ#θε | 1> − b

( )| | 1i y|> α 3y| 1> α 3 α

| 1= − + = −

+

}ρα !χουμεb

0 1i y0> 0 α 3 α 0 3 α 1 α 4

0 1= ⇔ − = ⇔ = ⇔ =

+

}ρα η συν#ρτηση παίρνει την μορφήb |iy|> 4 3y| 1>= − +

r>-> %ια κ#θε | 1> −

( )| |

=

1 1i y|> 4 i y|> 4 0

| 1 | 1= − = + >

+ + οπότε η i είναι κυρτή.

-->Η i είναι κυρτή οπότε η i είναι γνησίως αύξουσα !τσι !χουμεb

%ια | 0> είναι i y|> i y0> 0> =

%ια 1 | 0− < < είναι i y|> i y0> 0< =

}ρα η συν#ρτηση i είναι γνησίως φθίνουσα στο δι#στημα

( 10− και γνησίως αύξουσα στο δι#στημα )0 +∞ .

--->@εωρούμε την συν#ρτηση

( )( ) ( )( )dy|> iy)> 1 | = iyγ> 1 | 1= − − + − −

y Η συν#ρτηση πρόεκυ&ε από απα"οιφή παρονομαστ7ν στην αρχική εξίσωση>

9το δι#στημα 1= η i είναι συνεχής ως πρ#ξη συν!χων συναρτήσεων επίσης

( )dy1> iy)> 1 0= − − < ( )dy=> iyγ> 1 0= − > yαπό υπόθεση iy|> 1! για κ#θε | 1> − >

6ο""οί μαθητ!ς την

συγκεκριμ!νη χρονι# που

!πεσε το θ!μα δεν

σκ!φτηκαν να

χρησιμοποιήσουν την

κυρτότητα για να )ρουν την

μονοτονία της i.

6ροσπ#θησαν να )ρουν το

πρόσημο της i από τον τύπο

κ#τι το οποίο δεν ήταν

εφικτό και σε μια "ογικήI<@2 I;H Q@H K9H

κατασκεύασαν το πίνακα

μετα)ο"7ν και !)α"αν τα

πρόσημα όπως τους

υποδείκνυε η εκφ7νηση.

?ια τ!τοια "ύση δεν !παιρνε

μον#δες.

#ρα από θε7ρημα r2‹/32 προκύπτει το $ητούμενο.

Π$8A >589L99αJ >α3 4B6B9B6AαJ

!)Ε#9D i b →ℝ ℝ α8αDA#34 3α 96 BBAα 3#;<$3:= | = |y| 4 >i y|> | =4+ = + 3α >7?$ | ∈ ℝ

G)Να 4$%$9K#$9$ 96 f DJ 8BJ 96 4B6B9B6Aα >α3 9α >BA%α1GG)Να $N$97#$9$ 96 #56789# dy|> iy|> |= − 0 | ∈ ℝ DJ 8BJ 96 4B6B9B6Aα1

GGG)Να @8$A9$ 9B #<6B%B 934I6 9J f1

GX)Να 5B%BA#$9$ 9B L83B

( )|-[ iy| => iy|>→+∞

+ −

ΛΥΣΗ

->'πό την δοθείσα ισότητα "αμ)#νουμεb

= | = || 4 0= | = |

= |

| =4y| 4 >i y|> | =4 i y|> 0

| 4

+ , ++ = + ⇔ = >

+ #ρα η i είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ .

6αραγωγί$ουμε δεύτερη φορ#b

( ) ( ) ( )( )

( )

( )( ) ( )( )

( )

= | = | = | = | | = | = | |= |

= | = == | = |

| =4 | 4 | =4 | 4 =| =4 | 4 | =4 =| 4| =4i y|>

| 4 | 4 | 4

+ + − + + + + − + + += = = =

+ + +

( )

( ) ( )

D | | = =| D | = | =| D | | = =| D | = | =|

= == | = |

=| =|4 =4 | =4 =| 4 | E|4 =4 =| =|4 =4 | =4 =| 4 | E|4 =4

| 4 | 4

+ + + − + + + + + + − − − −= = =

+ +

( ) ( ) ( )

| = | | = |

= = == | = | = |

4 | =|4 4 y| =|> 4 |y| =>

| 4 | 4 | 4

− − −= = =

+ + +

(ατασκευ#$ουμε τον πίνακα προσήμων της i

'πό τον πίνακα τα διαστήματα στα οποία η i είναι κυρτή είναι ( 0−∞ )= +∞ εν7 είναι

κοί"η στο 0 = .

--> ( )= | |

= | = |

| =4 4d y|> iy|> | 1 0

| 4 | 4

+= − = − = >

+ + #ρα η d γνησίως αύξουσα.

--->'νd

| 0 dy|> dy0> iy|> | iy0> iy|> iy0> |> % > ⇔ − > ⇔ > +ր

για κ#θε | ∈ ℝ

και ( )|-[ iy0> |→+∞

+ = +∞ #ρα|-[ iy|>→+∞

= +∞

'ν#"ογα ανd

| 0 dy|> dy0> iy|> | iy0> iy|> iy0> |< % < ⇔ − < ⇔ < +ր

−

9.(

−∞ 0 = −∞ |

iy|>

iy|>

+ +

∪ B ∪

9.(

για κ#θε | ∈ ℝ

και ( )|-[ iy0> |→−∞

+ = −∞ #ρα|-[ iy|>→−∞

= −∞

Aφόσον η i είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής ως παραγωγίσιμη το σύνο"ο τιμ7ν της

είναι το ( ) −∞ +∞ = ℝ .

-,>Η δι#φορα iy| 1> iy|>+ − μας υπο&ι#$ει για @.?.Τ

Η i ικανοποίει τις προ’ποθ!σεις του @.?.Τ στο || = + .

~τσι υπ#ρχει ( )ξ || =∈ + τ!τοιο 7στε

iy| => iy|> iy| => iy|> iy| => iy|>i yξ> i yξ>

| = | = =

+ − + − + −= = ⇔ =

+ −y1>

}ρα)i = y1>

= | = | = = | = | =

= | = | = = | = | =

iy| => iy|>| ξ | = i y|> i yξ> i y| => i y|> i y| =>

=

| =4 iy| => iy|> y| => =4 | =4 y| => =4= iy| => iy|> = y=>

=| 4 y| => 4 | 4 y| => 4

+∞

+ +

+ +

+ −< < + % < < + ⇔ < < + ⇔

+ + − + + + + +⇔ < < ⇔ < + − <

+ + + + + +

ր

tμως

Š

==

|

|= | yˆ>|

= | ==| | ||

||

| |4 = =4| =4 4-[ = -[ = -[ = E

| 4 ||14 1

44

→+∞ →+∞ →+∞

+ +

+ = = = +

++

yyˆ>=

| | || | |

| =| =-[ -[ -[ 0

4 4 4

∞ ∞∞ ∞

→+∞ →+∞ →+∞= = = >

'ν#"ογα προκύπτειb

Š= | =

= | =|

y| => =4-[ = ... E

y| => 4

+

+→∞

+ += =

+ +

'πό την y=> σύμφωνα με το κριτήριο παρεμ)ο"ής ( )|-[ iy| => iy|> E→+∞

+ − =

NΠά)τ5 εί1α µε2ά'η α''α24 /ο) εαυτ7 µου α*7

τ7τε *ου ά-ι/α )α µε'ετ3 µαθηµατικά. Π. (5

*ο)οκε+ά'ου 1pW))α EF ετ3), υ*οG4+ια *α)ε''η)ί5)

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 11L

!/) A6$9α3 α8αDA#34 #56789# f 3α 96 BBAα 3#;<$3 :

() D D =i y|> iy|> J| 1=| J| =+ = − + − 0 3α >7?$ | ∈ ℝ

G)Να αBM$AN$9$ L93 f $A6α3 #56789# 21

GG)Να αBM$AN$9$ L93 $NA#D# iy|> 0= !χει μια μόνο ρί$α στο ( )01 1GGG)Α6 3α 96 #56789# d b →ℝ ℝ 3#;<$3:

=iydy|> D|> iy| =>− = +

3α >7?$ | ∈ ℝ 0 6α @8$A9$ 9B 0| 0 #9B BBAB g α8B5#37[$3 $%7;3#9B1

ΛΥΣΗ

->Η i είναι παραγωγίσιμη στο ℝ #ρα παραγωγί$ουμε την y1>

( ) ( )D D = = =i y|> iy|> J| 1=| J| = Di y|>i y|> i y|> =E| =E| J+ = − + − ⇔ + = − + ⇔ =Di y|> 1 0 για καθε | =

= =

=

=E| =E| Ji y|>yDi y|> 1> =E| =E| J i y|>

Di y|> 1

+ , ∈ − ++ = − + ⇔ =

+

ℝ

tμως το τρι7νυμο ==E| =E| J 0− + > y 0α 0. < > >

}ρα i y|> 0> για κ#θε | ∈ ℝ οπότε η i είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ #ρα και 1O1.

-->Η i είναι παραγωγίσιμη στο ℝ #ρα είναι και συνεχής στο ℝ οπότε θα είναι και συνεχής

στο 01 .Aπίσηςb

Η y1> για |‚0=i y0> 1 0 για καθε |

D =i y0> iy0> = iy0>yi y0> 1> = iy0> 0+ > ∈

+ = − ⇔ + = − ⇔ <ℝ

Η y1> για |‚1=i y1> 1 0 για καθε |

D =

i y1> iy1> = iy1>yi y1> 1> = iy1> 0

+ > ∈

+ = ⇔ + = ⇔ >

ℝ

:πότε iy0> iy1> 0⋅ <

'πό το θε7ρημα r2‹/32 προκύπτει η εξίσωση iy|> 0= !χει μια του"#χιστον ρί$α στο

( )01 και "όγω της μονοτονίας της i η ρί$α είναι μοναδική.

---> %ια κ#θε | ∈ ℝ i 1 1

= = =iydy|> D|> iy| => dy|> D| | = dy|> | D| =−

− = + ⇔ − = + ⇔ = + + zzz

z.η i παρουσι#$ει ε"#χιστο στο0

D|

== − .

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1=0

!*)A6$9α3 #56789# →ℝ ℝi b 7893α >α3 α8αDA#34 #9B ℝ 1

α1 Α6 ( )i 0 1= 0 6α @8$A9$ 96 α87DB ( )i 0N 1

@1 "$D8B<4$ 9 #56789# g 4$ ( ) ( ) ( )= + + + 1υ0 ∈ ℝ=d | | | 1 i | = | | 1 Να 5B%BA#$9$

96 α87DB ( )d 0N 1

ΛΥΣΗ

α. 'φού i παραγωγίσιμη στο μηδ!ν είναι ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

− +→ →

− −N = =

− −| 0 | 0

i | i 0 i | i 0i 0 -[ -[

| 0 | 0 y1>.

@εωρούμε το( ) ( )

−→

−

−| 0

i | i 0-[

| 0 και θ!τουμε | h= − . ~τσι όταν | 0 h 0− +→ @A → εν7

( ) ( )i h i h− = αφού η i #ρτια. Aπομ!νωςb

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )− + +→ → →

− − − −N N N N= = = − =− ⇔ = ⇔ =

− − −

y1>

| 0 h 0 h 0

i | i 0 i h i 0 i h i 0i 0 -[ -[ -[ i 0 =i 0 0 i 0 0

| 0 h h 0.

). %ια | 0, !χουμεb

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ + + 1υ0 − + 1υ0 + + + 1υ0 − −−= = =

− = =| | 1 i | = | i 0 = 0 | | 1 i | = | i 0 =d | d 0

| 0 | |

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ + − + 1υ0 − + − 1υ0 −= = + + =

=| | i | i | i 0 = | = | | 1 i | i | i 0 = | 1

| | | |

( ) ( ) ( ) ( ) ( )− 1υ0 −

= + + +i | i 0 = | 1

| 1 i || |

y=>. '""#b

- ( ) ( ) ( ) ( ) ( )→

+ = + ⋅ = = | 0-[ | 1 i | 0 1 i 0 i 0 1.

-

( ) ( )

( )→

−N= = =

| 0

i | i 0-[ i 0 0

|.

-

→ → →

− &' − &'1υ0 −= = − &' ⋅ = − ⋅ ⋅ =

=

=

| 0 | 0 | 0

| |1 = 1

| 1 |= =-[ -[ = -[ = 0 1 0|| | =

=

οπότε από τη y=>b

( ) ( )( )

→

−N= + + ⋅ ⇔ =

| 0

d | d 0-[ 1 0 = 0 d 0 1

|.

!&)Η #56789# f B8A[$9α3 #9B ℝ 0 $A6α3 α8αDA#34 #9B 4MH6 >α3 3α >7?$

∈ℝ

| h 3#;<$3 ( ) ( ) ( )+ = + +i | h i | i h G|h ()1 Να αBM$AN$9$ L93 f $A6α3α8αDA#34 #9B ℝ 1

ΛΥΣΗ

-

@α χρειαστούμε το ( )i 0 και θα το )ρούμε από την y1> | h 0= = . Aίναι

( ) ( ) ( ) ( )+ = + + ⋅ ⇔ =i 0 0 i 0 i 0 G 0 i 0 0 .

-

Η i παραγωγίσιμη στο μηδ!ν #ρα ( ) ( ) ( ) ( )→ →

−N = =

−| 0 | 0

i | i 0 i |i 0 -[ -[

| 0 | y=>.

-

~στω τυχαίο 0| k ˆ∈ . Τότε για κ#θε 0| |, υπ#ρχει ` 0, τ!τοιο 7στε 0| | `= + . 'πό

αυτή προκύπτει ότι όταν το 0| |→ τότε το ` 0→ . }ρα για ` 0, b

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1=1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )− + − + + −= = = + = +

−

y1>0 0 0 0 0 0 0

0

0

i | i | i | ` i | i | i ` G| ` i | i ` i `G| `G|

| | ` ` ` ` `.

}ρα( ) ( ) ( ) ( )

( )→ → →

−N= + = + = + ∈

−

ℝ0

y= >0

0 0 0| | ` 0 ` 0

0

i | i | i ` i `-[ -[ G| -[ G| i 0 G|

| | ` `.

9υνεπ7ς ( ) ( )0 0i | i 0 G|N N= + δη"αδή η i είναι παραγωγίσιμη στο τυχαίο ∈ ℝ0| ˆ #ραείναι παραγωγίσιμη στο ℝ yαφού είναι παραγωγίσιμη και στο μηδ!ν>.

!)Ο3 #56α89K#$3J f0 g B8A[B69α3 #9B ℝ >α3 3α >7?$ | ∈ ℝ 3#;<$3

( )" # ( )" #= = Ei | d | E|+ = ()1 Να αBM$AN$9$ L93 B3 f0 g $A6α3 α8αDA#34$J #9B 4MH6

>α3 47%3#9α B3 α87DB3 α59HJ $A6α3 A#$J1

ΛΥΣΗ

- @α χρειαστούμε τα ( ) ( )i 0 d 0 και θα τα )ρούμε από τη δοσμ!νη σχ!ση για | 0= .

Aίναιb ( )" # ( )" # ( ) ( )= =

i 0 d 0 0 i 0 d 0 0+ = ⇔ = = .

-

Aίναι( ) ( ) ( )

| 0 | 0

i | i 0 i |-[ -[| 0 |→ →

−=− y=> οπότε αρκεί να )ρούμε το όριο αυτό.

- 'πό την y1>b ( )" # ( )" # ( )" # ( )" # ( )" #= = = = =E E Ed | E| i | 0 E| i | i | E| i | = |= − ! ⇔ ! ⇔ $ ⇔ $

( ) ( ) ( )y| 0> i | i | i |= | = | = | = |

| | |

,

⇔ $ ⇔ $ ⇔ − $ $ . ~τσι αφού

( ) ( )| 0 | 0-[ = | -[ = | 0

→ →− = = από κριτήριο παρεμ)ο"ής είναι

( )| 0

i |-[ 0

|→= . }ρα "όγω της y=>

είναι ( ) ( )

| 0

i |i 0 -[ 0

|→N = = .

?ε τον ίδιο τρόπο )ρίσκουμε ( )d 0 0N = . }ρα ( ) ( )i 0 d 0 0N N= = .

!-)Η #56789# i b k k→ $A6α3 Mα3 $8399K1

"$D8B<4$ 9 #56789# ( ) ( ) ( )→ ' = 1υ0 − 1υ0ℝ ℝd b d | i | | i | 1 Α6 ( )i 1 =N − = − 0

M$AN9$ L93 g $A6α3 Mα3 @8$A9$ 96 ( )d 0NN 1

ΛΥΣΗ

-

:ι συναρτήσεις i και συν| είναι δύο φορ!ς παραγωγίσιμες στο k #ρα και η σύνθεσή

τους ( )i |1υ0 είναι δύο φορ!ς παραγωγίσιμη στο k. Aπομ!νως και η d είναι δύο φορ!ς

παραγωγίσιμη στο k καιb

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

N N N NN N= 1υ0 − 1υ0 = ⋅ 1υ0 + ⋅ 1υ0 − 1υ0 ⋅ 1υ0 =

N N= 1υ0 − &' + 1υ0 ⋅&'

d | i | | i | i | | i | | i | |

i | | i | | i | |.

-

'""# και η d είναι παραγωγίσιμη στο k οπότεb

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

N N N N NNN N N NN N N= 1υ0 − &' + 1υ0 ⋅ &' = ⋅ 1υ0 + ⋅ 1υ0 − &' − &' +

N NN N NN N N NN+ 1υ0 ⋅ &' + 1υ0 ⋅ &' = ⋅ 1υ0 − &' − &' − ⋅ 1υ0 − 1υ0 ⋅ &' ⋅ &' +

N NN NN N+ 1υ0 ⋅ 1υ0 ⇔ = ⋅ 1υ0 − &' − ⋅ 1υ0 −

d | i | | i | | i | | i | | i | | i | | i | |

i | | i | | i | | i | | i | | i | | i | | |

i | | d | i | | =i | | i | | ( ) ( )NN N1υ0 ⋅ &' + 1υ0 ⋅ 1υ0=i | | i | |. y1>

%ια | 0= παίρνουμεb ( ) ( ) ( ) ( )d 0 i 0 i 0 i 1NN NN N= − + y=>. Kρεια$όμαστε τ7ρα τα

( ) ( ) ( )i 0 i 0 i 1NN N .

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1==

-

Η i περιττή #ρα ( ) ( )i | i |− = − για κ#θε | k∈ . %ια | 0= είναιb

( ) ( ) ( ) ( )i 0 i 0 =i 0 0 i 0 0− = − ⇔ = ⇔ = .

-

Aπειδή i περιττή και παραγωγίσιμη η iN θα είναι #ρτια. 6ραγματικ# ( ) ( )i | i |− = − .

}ρα ( )" # ( )" # ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )i | i | i | | i | i | i | i | i |N N NN N N N N N− = − ⇔ − ⋅ − = − ⇔ − − = − ⇔ − =

για κ#θε | k∈ #ρα i #ρτια. %ια | 1= είναι ( ) ( )i 1 i 1N N− = οπότε "όγω της υπόθεσηςείναι ( )i 1 =N = − .

-

:μοίως )ρίσκουμε ότι αν i #ρτια η i είναι περιττή. ~τσι αφού η i είναι #ρτια η i θα

είναι περιττή οπότε ( ) ( )i | i |NN NN− = − . ~τσι για | 0= είναι

( ) ( ) ( ) ( )i 0 i 0 =i 0 0 i 0 0NN NN NN NN− = − ⇔ = ⇔ = . Τε"ικ# από τη y=>b

( ) ( ) ( )d 0 0 0 = d 0 =NN NN= − + − ⇔ = − .

!+)Η #56789# f $A6α3 α8αDA#34 #9B M37#94α " #01 >α3 3#;<$3 L93 ( ) ( )=i 0 i 1 1

G)Α6 ( ) ( ))→+∞) + ) − ) ) + $ −

) + ) +

= = =

==

i y0> i y0>i y1> E 1-[ i y1>1LIE

6α M$3N$9$ L93 ( ) ( )=i 0 i 1

GG)Να $N$97#$9$ α6 #56789# g 4$ ( )( )

( )

∈

=

− ∈

1i =| | 0

=d |

1i =| 1 | 1

=

0 $A6α3 #56$;KJ >α3

#9 #56H;$3α α6 $A6α3 α8αDA#34 #9B M37#94α " #01 1

ΛΥΣΗ

-> ( )

( )

)→+∞ )→+∞

) +) + −

) )) + ) − ) ) += =

) + ) +) + +

) )

===

= = =

==

=

1 E 1i y0> i y0>i y1>

i y0> i y0>i y1> E 1-[ -[

1 1LIE1LIEy1 >

( ) ( ) )→+∞

)→+∞ )→+∞ AπAυ )> @2*()

) +) + )+ − + −

) ) ) )= =

+ + + +) )) )

= == =

0

= =

1E

1 E 1 1i y0> i y0>i y1> i y0> i y0>i y1>

-[ -[

1 1LIE 1 1LIE1 1

( ) ( )

( )( )

)→+∞ )→+∞

) +) + − ++ −

) )) ) = =

+ + + +) )) )

+ − += = −

+ +

= ==

=

= =

=

=

1E

1 11i y0> i y0>i y1> Ei y0> i y0>i y1>

-[ -[1 1LIE 1 1LIE

1 1

i y0> 0 i y0>i y1> E 0i y0> =i y0>i y1>

1 0 0

'""#( ) ( ) ( ) ( ) ( )− $ − ⇔ − + $ ⇔ − $

= = = = =i y0> =i y0>i y1> i y1> i y0> =i y0>i y1> i y1> 0 i y0> i y1> 0




ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1=D

− = ⇔ =i y0> i y1> 0 i y0> i y1>

-->'ρχικ# παρατηρούμε ότι η i ως παραγωγίσιμη στο " #01 είναι και συνεχής.

α. 9υν!χεια της d.

- 9το1

0=

είναι ( ) ( )d | i =|= #ρα είναι συνεχής ως σύνθεση της συνεχούς

συν#ρτησης =| με τη συνεχή i.

-

9το1 1

=

είναι ( ) ( )d | i =| 1= − #ρα η d είναι συνεχής ως σύνθεση συνεχ7ν

συναρτήσεων yτης πο"υωνυμικής =|O1 με την i>.

- Aξετ#$ουμε τη συν!χεια στο1

=. ~χουμεb

-> ( ) ( )1 1| |

= =-[ d | -[ i =|− −

→ →= . @!τουμε =| h= οπότε αν

1

| h 1=

−−

→ @A → . }ρα

( ) ( ) ( )1 | 1

|=

-[ d | -[ i h i 1− −→

→

= = y1> αφού i συνεχής στο 1 ως παραγωγίσιμη.

--> ( ) ( )1 1

| |= =

-[ d | -[ i =| 1+ +

→ →

= − . @!τουμε =| 1 h− = οπότε για1

| h 0=

++→ @A → . }ρα

( ) ( ) ( )1 | 0

|=

-[ d | -[ i h i 0+ +→

→

= = y=> γιατί i συνεχής στο μηδ!ν.

---> ( )1 1

d d = i 1

= =

= ⋅ =

yD>. 'πό τις y1> y=> yD> και την υπόθεση είναι

( )1

|=

1-[ d | d

=→

=

#ρα d συνεχής και στο

1

= #ρα συνεχής στο " #01 .

). 6αραγωγισιμότητα της d.

-

9το1

0=

είναι ( ) ( )d | i =|= οπότε η d παραγωγίσιμη ως σύνθεση παραγωγίσιμων

συναρτήσεων στο δι#στημα αυτό yτης =| i' @&0 >

-

9το

1 1

= είναι ( ) ( )= −d | i =| 1 οπότε η d παραγωγίσιμη ως σύνθεση

παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο δι#στημα αυτό yτης =|O1 με την i>.

-

Aξετ#$ουμε χωριστ# την παραγωγισιμότητα της d στο1

=.




ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1=E

->

( )( ) ( )

1 1| |

= =

1d | d

i =| i 1=-[ -[1 1

| |= =

− −

→ →

− − =− −

. @!τουμε h =|= οπότε για1

| h 1=

−−→ @A → . ~τσι

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

h 1 h 11|

=

1d | d

= i h i 1i h i 1=-[ -[ -[ =i 11 h 1 h 1

|= = =

− − −→ →→

−

−− = = =−− −

yE> αφού η i

παραγωγίσιμη στο 1

-->

( ) ( )

1 1| |

= =

1 1d | d i =| 1 i =

= =-[ -[1 1

| |= =

+ +

→ →

− − − ⋅ =

− − . @!τουμε =| 1 h− = οπότε για

1| h 0

=

++→ @A →

#ρα

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

1 h 0 h 0 h 0|

=

1d | d

i h i 1 i h i 1 i h i 0=-[ -[ = -[ = -[ =i 01 h 1 1 h h|= = =

+ + + +→ → →→

− − − − N= = = =+

− − yG>

αφού από υπόθεση ( ) ( )i 0 i 1= και i παραγωγίσιμη στο μηδ!ν.

'""α ( ) ( )N =i 0 i 1 οπότε η d παραγωγίσιμη στο1

=. Τε"ικ#b

( )

( )

( )

N ∈

= N − ∈

1=i =| | 0

=d |

1=i =| 1 | 1=

.

!V)Α6 B3 8α3>HJ α8α#97#$3J 9D6 #56α89K#$D6 f0 g 4$ ( ) = & ' + 1 υ 0 + )i | | | | | 0

( ) +

=+ 5=

| 1d |

|$79B69α3 #9B #4$AB ( )O 0 1 6α @8$A9$ 9α α0 @1

ΛΥΣΗ

- 9ύμφωνα με την #σκηση το σημείο ( )O 01 ανήκει στις γραφικ!ς παραστ#σεις και των

δύο συναρτήσεων #ρα οι συντεταγμ!νες του επα"ηθεύουν τους τύπους τουςb

( ) ( ) ( ) ( )+= ⋅&' + 1υ0 + ) ⋅ ()* = = ()* = =5+ 5=

0 1 1i 0 0 0 0 0 d 0 i 0 d 0 10

οπότε = ⇔ 5 =51 1 1 .

-

Aπειδή εφ#πτονται στο σημείο R δη"αδή οι γραφικ!ς παραστ#σεις !χουν κοινή

εφαπτομ!νη θα είναι ( ) ( )i 0 d 0N N= y1>. Aίναι

( ) ( ) ( ) ( ) ( )N NN N= &' + 1υ0 + ) = ⋅ &' + ⋅ &' − &' + ) = &' + 1υ0 − &' + ) ⇔ = 1υ0 + )i | | | | | | | | | | | | | | i | | |

y=>.

Aπίσης

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

NNN + ⋅ + − + ⋅ + ⋅ + − + ⋅+ + − −N = = = = ⇔

+ + + +

= = = = =

= = = == = =

| 1 | 1 | 1 | 1 1 | 1 | 1 =|| 1 | 1 =| =|d |

| 1 | 1 | 1 | 1

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1=G

( )( )

− − +N⇔ =

+

=

==

| =| 1d |

| 1 yD>

'πό τις y=> yD> και την y1>b

( )

− − ⋅ +⋅ 1υ0 + ) = ⇔ ) =

+

=

==

0 = 0 10 0 1

0 1.

!.) 36$9α3 α8αDA#34 #56789# →ℝ ℝd b >α?IJ $A#J >α3

α8αDA#34 #56789# ) +∞ → ℝi b 0 $9#3 I#9$ 6α 3#;<B56:

• bg $A6α3 #544$983>K DJ 8BJ 9B6 >α9α>L85B 7NB6α lml

• >%A# 9J g #9B / $A6α3 −=

D1

• = − −iy0> H0d y =>

• >i y|> iy|> 3α >7?$ !| 0 1

G)Να M$AN$9$ L93 =iy0> E0 1

GG)Να M$AN$9$ L93 f $A6α3 6#ADJ α<NB5#α #9B ) +∞0 1

GGG)Να 5B%BA#$9$ 9B L83B+

−

−→ −

|

|| 0

1LIE4-[

iy|>4 E0

ΛΥΣΗ

G)9ύμφωνα με τα δεδομ!να κ"ίση της d στο = είναι η ( )d = . Nητούμε την ( )−d = και από

υπόθεση ( ) = −=

d =D

.

-

Η ]d είναι συμμετρική ως προς τον κατακόρυφο αξονα hh αρα είναι περιττή στο ℝ οπότε ( ) ( )− = −d | d | y=> για κ#θε ∈ ℝ| .

- ~χουμεb( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )→− →− →−

− − − − − − + −− −= =

− − + +

y= >

| = | = | =

d | d = d | d =d | d =-[ -[ -[

| = | = | = @!τουμε το

| h− = οπότε όταν | = h =→ − @A → . }ρα

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

→− → →

− −− − −= = =

− − − + −

y= >

| = h = h =

d h i =d | d = d h d =-[ -[ -[ d =

| = h = h =.

}ρα ( )

( ) ( )

( ) ( )→−

− −

− = =− −| =

d | d =

d = -[ d =| = οπότε και ( )− =−

y1> =

d = D

'ρα = − − = −

− =

iy0> H0d y => H0=

E0D

--> ( )− >

− − − −> ⇔ − > ⇔ − > ⇔ + > ⇔|4 0

| | | |i y|> iy|> i y|> iy|> 0 i y|> iy|> 0 i y|> iy|> 04 4 4 4

( )− >|iy|> 04 για κ#θε !| 0 .

'ρα η συναρτηση −= |iy|>`y|> 4 είναι γνησιως αυξουσα στο ) +∞0 .Aτσι

( )− − −

! % ! ⇔ ! ⇔ ! ⇔ ! >

ր`| 0 | |

| 0 |> 0> iy|> iy0> iy|> E0 iy|> E0`y `y 4 4 4 4 0 1 'ρα >iy|> 0 για καθε !| 0 όμως από υποθεση >i y|> iy|> για καθε !| 0 οποτε

(c)Ο6B47[B54$ >%A# 43αJ

#56789#J E → ℝi b #$

>7B3B 0| ∈ E 96 >%A#

9J $α9B4H6J 9B5

M3α8744α9LJ 9J #9B

#4$AB ( )( )0 0| i |: 1

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1=H

>i y|> 0 για καθε !| 0 δη"αδη η i είναι γνησιως αυξουσα στο ) +∞0

--->+ + +

− −

− −→ → →− − −

= = = +∞| |

| | | || 0 | 0 | 0

1LIE4 1LIE4 1LIE-[ -[ -[

iy|>4 E0 4 iy|> E04 iy|> E04y >

*ιοτι από y1> οταν >| 0 ισχυει − >|iy|> E04 0 και ( )→

− =|

| 0iy|> E0-[ 4 0

!)A6$9α3 #56789# f 4$ ( ) =+

Gi |

| D1 Να αBM$AN$9$ L93 $α9B4H6 9J

8α3>KJ α87#9α#J 9J f #9B #4$AB ( )( ):0 0

| i | #;4α9A[$3 4$ 96 $5?$Aα = −| D

>α3 9B6 7NB6α xmx 98AD6B 4$ #9α?$8L $4@αML61

ΛΥΣΗ

-

Η i !χει πεδίο ορισμού ; <k DE = − − .

-

%ια κ#θε 0| ∈ E η εξίσωση εφαπτομ!νης της γραφικής παρ#στασης της i στο τυχαίο

σημείο της ( )( )0 0| i |: είναι ηb ( ) ( ) ( )0 0 0h i | i | | |N− = − y1>. '""#

( ) ( ) ( )( ) ( )

= =G | D G | D Gi |

| D | D

NN ⋅ + − ⋅ +N = = −

+ +. ~τσι η y1> γρ#φεταιb

( ) ( )0=

0 0

G Gh | |

| D | D

−− = ⋅ −

+ + y=>.

-

Το κοινό σημείο B της εφαπτομ!νης στο ? με τον || !χει h 0= και από τη y=> είναιb

( )

( )

− ⋅ −− =

+ +

0

=

0 0

G | |G

| D | D και διαιρ7ντας με

0

G

| D−

+

είναιb−

= ⇔ − = + ⇔ = +

+

0

0 0 0

0

| |1 | | | D | =| D

| D

#ρα ( )H +0

=| D 0 .

-

Η κατακόρυφη ευθεία | D= − τ!μνει τον || #ρα ( )D 0E − .

-

Το κοινό σημείο % της ευθείας | D= − με την εφαπτομ!νη στο ? θα "υθεί από τη "ύση

του συστήματοςb

( )( )

= −

−− = ⋅ −

+ +

0=

0 0

| D

G Gh | |

| D | D

#ρα

( )

( ) ( )

( )

− ⋅ − −−− = ⋅ − − ⇔ = + = + =

+ + + + ++ +

0

0= =

0 0 0 0 00 0

G D |G G G G G 10h D | h

| D | D | D | D | D| D | D

#ρα

G −+

0

10D

| D.

- Το $ητούμενο τρίγωνο 'B% θα !χει εμ)αδόνb ( ) ( )1

e4g cr=

EHG = EG

.




ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1=I

'""# ( ) ( )EH = + + = + ()* EG = − + =+ +

0 0

0 0

10 10=| D D0 =| H0 D D 0

| D | D οπότεb

( ) ( ) ( )+

EHG = = + ⋅ − = ⋅ + ⋅ = ⋅+ +

+

0

0 0

0 0

0

=| H 01 1 10 1 10 1

– – =| H 0 = | D =0100= = | D = | D =

| D

. }ρα

( )EHG = @ '10 . . σταθερό.

)Η #56789# f $A6α3 B83#4H6 >α3 #56$;KJ #9B " # ) 5 >α3 578;$3 α87DBJ

( )i |N 3α >7?$ ( )| ∈ ) 5 1 Α6 ( ) ( )i i) = 5 M$AN9$ L93 578;B56 ( )1 =| | ∈ ) 5 9H9B3α

I#9$ ( ) ( )1 =i | i | 0N N+ = 1

ΛΥΣΗ- 'πό τη μορφή της ισότητας που θ!"ουμε να αποδείξουμε υποπτευόμαστε ότι πρ!πει

να εφαρμόσουμε για την i δύο φορ!ς το @. ?. Τ. σε υποδιαστήματα του" # ) 5 . :

αριθμητικός μ!σος=

) + 5 των α ) χωρί$ει το δι#στημα αυτό σε δύο ισομήκη

υποδιαστήματα που είναι τα πιο πιθαν#.

- Η i συνεχής στο " # =

) + 5 ) ) 5 "όγω της υπόθεσης.

- Η i παραγωγίσιμη στο ( )

=

) + 5 ) ) 5

"όγω της υπόθεσης.

}ρα από @. ?. Τ. υπ#ρχει 1| =

) + 5 ∈ )

τ!τοιο 7στε

( ) ( ) ( ) ( )1 1i i i | i i i |= = = =

) + 5 ) + 5 ) + 5 5 − ) N N− ) = ⋅ − ) ⇔ − ) = ⋅

y1>

?ε όμοιο τρόπο από θε7ρημα @. ?. Τ. στο δι#στημα =

) + 5 5 παίρνουμεb

( ) ( )=i i i |= =

) + 5 5 − ) N5 − = ⋅

y=> για κ#ποιο =| =

) + 5 ∈ 5

. ?ε πρόσθεση κατ# μ!"η

των y1> y=> παίρνουμεb ( ) ( ) ( ) ( )1 =i i i | i | =

5 − )

N N5 − ) = + και αφού ( ) ( )i i5 = ) και

5 , ) παίρνουμεb ( ) ( )1 =i | i | 0N N+ = .

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1=J

/)A6B69α3 B3 #56α89K#$3J f0 g #56$;$AJ #9B M37#94α #9B M37#94α " # ) 5 >α3

α8αDA#34$J #9B ( ) ) 5 4$ ( )i | 0> 3α >7?$ " #| ∈ ) 5 1 Α6 $A6α3

( ) ( ) ( )

( )

id d 3

i

)) − 5 =

5 6α αBM$3;?$A L93 578;$3 ( )0| ∈ ) 5 9H9B3B I#9$ 6α 3#;<$3

( )( ) ( )0 0

0

i |d |i |

NN= 1

ΛΥΣΗ

-

~χουμε

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

id d 3 d d 3 i 3 i d 3 i d 3 i

i

)) − 5 = ⇔ ) − 5 = ) − 5 ⇔ ) − ) = 5 − 5

5

y1>

-

@εωρούμε τη συν#ρτηση ` με ( ) ( ) ( ) " #` | d | 3 i | | = − ∈ ) 5 . Η συν#ρτηση ( )3 i |

είναι συνεχής στο " # ) 5 ως σύνθεση της ( )i | και 3 | που είναι συνεχείς στο

δι#στημα αυτό. Aπομ!νωςb-> Η ` είναι συνεχής στο " # ) 5 ως διαφορ# των συνεχ7ν συναρτήσεων ( )d | και ( )3 i | .

--> Η ` παραγωγίσιμη στο ( ) ) 5 ως διαφορ# των παραγωγίσιμων συναρτήσεων ( )d |

και ( )3 i | .

---> ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y1>

` d 3 i d 3 i `) = ) − ) = 5 − 5 = 5 . }ρα από το θε7ρημα k24

υπ#ρχει ( )0| ∈ ) 5 τ!τοιο 7στε ( )0` | 0N = . '""# ( ) ( ) ( )

( )

i |` | d |

i |

NN N= − οπότεb

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

0 00 0 0

0 0

i | i |` | 0 d | 0 d |

i | i |

N NN N N= ⇔ − = ⇔ = .

*)Η #56789# f $A6α3 #56$;KJ #9B " # ) 5 0 α8αDA#34 #9B ( ) ) 5 0 4M$6A[$9α3

#9α α0 @ >α3 4L6B #$ α5971 "$D8B<4$ >α3 9 #56789# g 4$

( ) ( )|d | 4 i | k−(= ⋅ ' ( ∈ 0 Να αBM$AN$9$ L93 3α >7?$ k( ∈ 578;$3 ( ) 4∈ ) 5 9H9B3B

I#9$( )

( )

i

i

N 4= (

41

ΛΥΣΗ

'πό υπόθεση ( ) ( )i i 0) = 5 = οπότε και ( ) ( )d d 0) = 5 = . 'υτό μας οδηγεί στο να

εφαρμόσουμε το θε7ρημα k24 για τη d. 6ραγματικ#b-> Η d είναι συνεχής στο" # ) 5 ως γινόμενο των συνεχ7ν συναρτήσεων στο δι#στημα

αυτόb |4−( και i. yη |4−( συνεχής ως σύνθεση συνεχ7ν>.

--> Η d είναι παραγωγίσιμη στο( ) ) 5 ως γινόμενο των παραγωγίσιμων συναρτήσεων |4−(

και i στο δι#στημα αυτό.

---> ( ) ( ) ( )| |d 4 i 4 0 d−( −() = ⋅ ) = ⋅ = 5 .

Aπομ!νως από το θε7ρημα k24 για τη d υπ#ρχει ( ) 4∈ ) 5 τ!τοιο 7στε ( )d 0N 4 = . '""#b

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )| | | | | | |d | 4 i | 4 i | 4 i | 4 | i | 4 i | 4 i | 4 i |−( −( −( −( −( −( −(N N NN N N N = ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ −( ⋅ + ⋅ = −( ⋅ + ⋅

#ρα ( ) ( ) ( )" #|

d | 4 i | i |−(

N N= ⋅ − ( .

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1=L

~τσι ( ) ( ) ( )" # ( ) ( )d 0 4 i i 0 i i 0−(4N N N4 = ⇔ ⋅ 4 − ( 4 = ⇔ 4 − ( 4 = αφού 4 0− (4 , .

}ρα ( ) ( )i iN 4 = ( 4 . Cόγω όμως υπόθεσης είναι μόνο ( ) ( )i i 0) = 5 = και αφού 4 , ) 5 είναι

( )i 04 , οπότε από την τε"ευταία ισότηταb( )

( )

i

i

N 4= (

4.

&)A6$9α3 #56789# " #i b 0 kπ → BBAα $A6α3 α8αDA#34 #9B" #0.π 4$

( )i | 0, 3α >7?$ " #| 0∈ π 1 "$D8B<4$ >α3 43α #56789# g 3α 96 BBAα 3#;<$3:

( ) ( )i | d | |⋅ = &' 1

α)1 Να α393B%BK#$9$ L93 g B8A[$9α3 #9B M37#94α" #0.π >α3 L93 3m α59K 3#;<$3 9B

?$I84α WUPPQ #9B M37#94α α59L1

@)1 ΑBM$AN9$ L93 578;$3 ( )04∈ π 9H9B3B I#9$( )

( )

i

i

N 4= 14

41

ΛΥΣΗ

α>. 'πό υπόθεση ( )i | 0, για κ#θε " #| 0∈ π #ρα από ( ) ( )i | d | |⋅ = &' παίρνουμε

( )( )

|d |

i |

&'= για κ#θε " #| 0∈ π #ρα η d ορί$εται στο δι#στημα αυτό.

- Η d είναι συνεχής στο δι#στημα αυτό ως πη"ίκο των συνεχ7ν στο " #0.π συναρτήσεων

( )| i |&' ()* .

-

Η d είναι παραγωγίσιμη στο ( )0 π ως πη"ίκο παραγωγίσιμων συναρτήσεων

y ( )| i |&' ()* >.

- ( )( )

( )( ) ( )

0 0d 0 0 d 0

i 0 i i

&' &'π= = ()* π = = =

π π. }ρα ( ) ( )d 0 d= π . 6αρατηρούμε ότι η d

ικανοποιεί τις προ’ποθ!σεις του θεωρήματος k24 στο " #0.π .

)>. 9ύμφωνα με το θε7ρημα k24 θα υπ#ρχει ( )04∈ π τ!τοιο 7στε ( )d 0N 4 = . '""#

( )( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( )= =

| i | i | | i | | i ||d |

i | i | i |

N N N N&' ⋅ + &' ⋅ 1υ0 ⋅ − &' ⋅&'N = = =

. ~τσι

( )d 0N 4 = ⇔ ( ) ( )

( ) ( ) ( )=

i i0 i i

i

N1υ04 ⋅ 4 − &'4 ⋅ 4N= ⇔ 1υ04 ⋅ 4 = &'4 ⋅ 4

4. tμως ( )04∈ π οπότε

( )i 0 04 , ()* &'4 , #ρα( )

( )

i

i

N 41υ04=

&'4 4 και !τσι

( )

( )

i

i

N 414 =

4 με ( )04 ∈ π .

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1D0

)A6$9α3 #56789# → ℝi b 01 M$>834H6α

(M%αMK M3αB8$93>7 4$9αN< 9B5J) #4$Aα ( )∈1 =

| | 01 9H9B3α I#9$ ( ) ( )N N=1 =

i | i | 1

ΛΥΣΗ

-

Η i ως παραγωγίσιμη στο " #01 είναι και συνεχής.-

Η i παραγωγίσιμη στο ( )01 αφού είναι δύο φορ!ς παραγωγίσιμη.

}ρα από το @. ?. Τ. υπ#ρχει ( )1 014 ∈ τ!τοιο 7στεb

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )1 1

i 1 i 0 i 0 i 0i i

1 0 1

− + ' −N N4 = = ⇔ 4 = '

− y1>.

-

Η i είναι συνεχής στο " #0 1 ως παραγωγίσιμη.

-

Η i είναι παραγωγίσιμη στο ( )01 αφού η i είναι δύο φορ!ς παραγωγίσιμη.

Aπομ!νως η i είναι συνεχής και παραγωγίσιμη σε καθ!να από τα διαστήματα

" # " #1 10 14 ()* 4 . Aπειδή ακόμη ισχύουνb ( ) ( ) ( ) ( )y1> y1>

1 1i 0 i i i 1N N N N= 4 = ' ()* 4 = ' = ισχύει το

θε7ρημα k24 σε καθ!να από τα διαστήματα" # " #1 10 14 4 . }ρα

υπ#ρχουν ( ) ( )1 1 = 1| 0 | 1∈ 4 ∈ 4 τ!τοια 7στε ( ) ( )1 =i | 0 i | 0NN NN= ()* = . *η"αδή

( ) ( )1 = 1 =i | i | | |NN NN= ' , και ( )1 =| | 01∈ .

-)C#9D #56789# f Mα3 3#;<$3

( ) ( )i = =i 1= 1

α)1 Να αBM$AN$9$ L93 578;$3 H6αJ 9B5%7;3#9B6 α83?4LJ ( )0| 1=∈ 9H9B3BJ I#9$ 6α

3#;<$3 ( )

( )0

00

i |

i | |N

= 1

@)1 Να αBM$AN$9$ L93 578;$3 ( )0| 1=∈ 9H9B3BJ I#9$ $α9B4H6 #9 8α3>K

α87#9α# (b) 9J f #9B #4$AB ( )( )0 0| i | 0 6α M3H8;$9α3 αL 96 α8;K 9D6 αNL6D61

ΛΥΣΗ

α>. @εωρούμε τη συν#ρτηση d με ( ) ( )

" #i |

d | | 1=|

= ' ∈ .

- Η d είναι συνεχής στο" #1= ως πη"ίκο συνεχ7ν συναρτήσεων.

-

Η d είναι παραγωγίσιμη στο ( )1= ως πη"ίκο παραγωγίσιμων συναρτήσεων.

-

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )i 1 i = =i 1d 1 i 1 d = i 11 = == = ()* = = = #ρα ( ) ( )d 1 d == .

6αρατηρούμε ότι ισχύει το θε7ρημα k24 για τη d #ρα υπ#ρχει ( )0| 1=∈ τ!τοιο 7στε

( )0d | 0N = .

'""# ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )N NN N⋅ − ⋅ ⋅ −

N = = =

= =

i | i | | i | | i | | i |d |

| | | οπότε

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0

0 0 0 0 0=0 0

i | | i | i |d | 0 0 i | | i | 0 i |

| |

N ⋅ −N N N= ⇔ = ⇔ ⋅ − = ⇔ = αφού 0| 0,

)>. Η εξίσωση εφαπτομ!νης της i] σε !να σημείο ( )( )0 0| i | είναιb( ) ( ) ( )0 0 0h i | i | | |N− = ⋅ − y1>.

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1D1

%ια να δι!ρχεται η εφαπτομ!νη αυτ# από την αρχή των αξόνων θα πρ!πει το ( )0 0 να

επα"ηθεύει την y1> δη"αδή

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0

0 0 0 0 0 0 0

0

i |0 i | i | 0 | i | | i | i |

|N N N− = ⋅ − ⇔ − = − ⇔ = αφού 0| 0, επειδή

( )0| 1=∈ . '""# τ!τοιο 0| υπ#ρχει και είναι εκείνο που προσδιορίσαμε στο ερ7τημα yα>.

+)Γ3α 43α α8αDA#34 #56789# #9B ( )0 +∞ 3#;<B56:

( )= =i | E| GN = + 3α >7?$ | 0> >α3 @)1 ( )i 1 J= 1 Να @8$A9$ 9B6 9 . ~τσι η δοσμ!νη σχ!ση γρ#φεταιb

( )( ) ( ) ( ) ( ) (

= E == = = = D = E

i | | |E| PG i | =| E| PG i | J| P10| J P10 i | =| PG|

=| E =

N N N N N = ⇔ = ⇔ = = ⋅ ⋅ ⇔ =

}ρα υπ#ρχει σταθερ# ^ k∈ τ!τοια 7στε ( )= E =i | =| G| ^= + + y1>.

@!τουμε =| 0= P P > και η y1> γίνεται ( ) =i = G ^P = P + P + y=>.

%ια ω ‚ 1 είναι ( ) =i 1 = 1 G 1 ^= ⋅ + ⋅ + και από υπόθεσηb J = G ^ J = G ^ ^ 1= + + ⇔ − − = ⇔ = .

~τσι από τη y=>b ( ) =i = G 1 0P = P + P+ P > και ισοδύναμα ( ) =i | =| G| 1 | 0= + + > .

V)Γ3α 43α #56789# ( )i b 0 k+∞ → 3#;<$3: ( )1

|i | i 0|

N − =

3α >7?$ ( )| 0∈ +∞ 1

α)1 Να αBM$AN$9$ L93 #56789# g 4$ ( ) ( )= = 1d | i | i

| = +

$A6α3 #9α?$8K #9B

( )0 +∞ 1

@)1 Α6 ( )| 0

D|i 1 -[|→

&'= 0 6α @8$A9$ 9B6 9.

- Η συν#ρτηση1

i|

είναι παραγωγίσιμη στο ( )0 +∞ ως σύνθεση της παραγωγίσιμης

συν#ρτησης1

| με την i. }ρα η d παραγωγίσιμη στο ( )0 +∞ αφού αποτε"είται από

πρ#ξεις μεταξύ παραγωγίσιμων συναρτήσεων. %ια να είναι σταθερή αρκεί να !χει

παρ#γωγο μηδ!ν. Aίναιb

( ) ( ) ( ) ( ) ( )=

1 1 1 1 1 1d | =i | i | =i i =i | i | =i i

| | | | | |

N N N N N N= ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ −

#ρα

( ) ( ) ( )=

1 1 1d | =i | i | =i i

| | | N N N= ⋅ − ⋅ ⋅

y1>

-

'πό υπόθεσηb ( ) ( )1 1

|i | i 0 i |i || |

N N− = ⇔ =

και από την y1>b

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )=

1 1 1 1d | =i | i | =|i | i =i | i | i

| | | |

N N N N N N= ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ y=>.

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1D=

Η σχ!ση ( )1

|i | i 0|

N − =

ισχύει για κ#θε ( )| 01@A +∞ #ρα θα ισχύει και αν θ!σουμε

αντί | το1

| οπότεb ( )

1 1i i | 0

| | N⋅ − =

οπότε από τη y=>b ( ) ( )d | =i | 0 0N N= ⋅ = #ρα η d

σταθερή στο ( )0 +∞ . 9υνεπ7ς υπ#ρχει σταθερ# ^ !τσι 7στεb ( )d | ^ ^ 0= ! αφού

( )= = 1i | i 0|

+ !

.

)>.

- %ια να )ρούμε τον τύπο της d αρκεί να )ρούμε το ^.

Aίναι ( ) ( )= = 1d | i | i ^

| = + =

για κ#θε ( )| 0∈ +∞ #ρα θα ισχύει και | 1= . Τότε

( ) ( )= = =1i 1 i ^ =i 1 ^

1 + = ⇔ =

yD>.

- tμως ( )| 0 | 0 | 0

D| D| D|i 1 -[ -[ D D -[ D 1 D

| D| D|→ → →

&' &' &' = = ⋅ = ⋅ = ⋅ =

. y@!τουμε D| _= .

tταν

| 0 _ 0→ → #ρα| 0 _ 0

D| _-[ -[ 1

D| _→ →

&' &'= = >. ~τσι από την yD>b == D ^ ^ 1J⋅ = ⇔ = . (αι

τε"ικ# ( ) ( )d | 1J | 0= ∈ +∞ .

.)Η 934K ( )i g $6LJ 8B{L69BJ #56α89K#$3 9B5 ;8L6B5 " #g 0D∈ $A6α3 A# 4$ 9B

M3%7#3B 9B5 85?4B< 4$9α@B%KJ 9J DJ 8BJ 9B ;8L6B1 Α6 α8;3>K 934K 9B5

8B{L69BJ $A6α3 | 9L9$:

α)1 Να @8$?$A B 9<BJ 9J f1

@)1 Να @8$?$A ;8B63>K #934K >α97 96 BBAα 934K 9B5 8B{L69BJ ?α

983%α#3α#9$A #$ #;H# 4$ 96 α8;3>K 934K1)1 $AN9$ L93 #$ >7B3α ;8B63>K #934K αNAα 9B5 8B{L69BJ ?α $A6α3 | (MA6$9α3

4 =IQ )1

ΛΥΣΗ

α>. 9ύμφωνα με το πρό)"ημα είναι ( ) ( ) ( )

( )

i g 1i g =i g

i g =

NN= ⇔ = „η τιμή του προ5όντος είναι

( )i g 0, … #ρα ( )" # ( ) ( )1

g ^=

1 13 i g g 3 i g g ^ i g 4

= =

+N N = ⋅ ⇔ = + ⇔ =

y1> με ^ k∈ σταθερ#.

'""# η αρχική τιμή του προ5όντος είναι G δη"αδή ( )i 0 G= και από y1>b

( )1

0 ^^=i 0 G 4 4 G

+= = ⇔ = οπότε ( ) ( ) " #

1 1y1> g g^ = =i g 4 4 i g G 4 g 0D= ⋅ ⇔ = ⋅ ∈ .

)>. Η τιμή του προ5όντος θα τριπ"ασιαστεί τη χρονική στιγμή 0g κατ# την οποία

( ) ( )0 0 0g g g

0= = =0 0

gi g Di 0 G 4 D G 4 D 34 3 D 3 D g = 3 D

== ⇔ ⋅ = ⋅ ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = .

γ>. Η i είναι συνεχής στο " #0 D ως σύνθεση των συνεχ7νg

= με την gG4 . Aπειδή

( ) ( )D

=i 0 G i D G 4= ()* = ⋅ είναι ( ) ( )i 0 i D, #ρα από το θε7ρημα ενδι#μεσων τιμ7ν η i θα

παίρνει ό"ες τις ενδι#μεσες τιμ!ς μεταξύ ( ) ( )

D

D=i 0 G i D G 4 G 4 G4 4= ()* = ⋅ = ⋅ = .

'""# Q ⋅ ⋅ >G4 4 G =I =I 11 . *η"αδή υπ#ρχει ( )1g 0D∈ τ!τοιο 7στε ( )1i g 11= —.

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1DD

/!)Γ3α 93J #56α89K#$3J f0 g 3#;<B56:

G) ΕA6α3 M7?$ x 3#;<$3 ( ) ( )i | d |NN NN= 1

GGG) ( ) ( )i 0 d 0= 1 Να αBM$AN$9$ L93:

α1 Υ78;$3 #9α?$87 ` 9H9B3α I#9$ 3α >7?$ | k∈ 6α 3#;<$3 ( ) ( )i | d | ^|− = 1

@1 Α6 1 = 1 = 06 6 ' 6 < < 6 $A6α3 8A[$J 9J f0 9L9$ g H;$3 4Aα 9B5%7;3#9B6 8A[α #9B

M37#94α

" #1 = 6 6 1

ΛΥΣΗ

α>. ~χουμε ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )NNNN NN NN NN NN NN= ⇔ − = ⇔ − = ⇔ − =i | d | i | d | 0 i d | 0 i d | 0 για κ#θε

∈ ℝ| #ρα η ( )i d N− είναι σταθερή συν#ρτηση στο k συνεπ7ς ισχύει ( ) ( )i d | ^N− = για

κ#θε ∈ ℝ| και ^ σταθερ#.

Aπειδή ( )1^| ^ ^

N+ = παίρνουμε ότιb ( )( ) ( )1 1i d | ^| ^ y1> ^^− = + ' σταθερ!ς και

∈ ℝ| .

'πό την y1>b ( ) ( ) 1i | d | ^| ^− = + y=> και για | ‚ 0 είναι ( ) ( ) 1i 0 d 0 ^0 ^− = + και "όγω

υπόθεσης είναι 1^ 0= . 'πό τη y=>b ( ) ( )i | d | ^| | k− = ∈ yD>.

)>. Aπειδή 1 = 6 6 είναι ρί$ες της i !χουμε ( ) ( )1 =i i 06 = 6 = . 'πό την yD>

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )1 1 1 1 1

= = = = =

i d ^ 0 d ^

i d ^ 0 d ^

6 − 6 = ⋅6 − 6 = ⋅67 7⇔8 8

6 − 6 = ⋅6 − 6 = ⋅69 9 6ο""απ"ασι#$ουμεb

( ) ( ) =1 = 1 =d d ^6 ⋅ 6 = ⋅6 6 . '""# 1 =06 < < 6 #ρα ( ) ( )1 = 1 =0 d d 06 6 < ⇔ 6 ⋅ 6 $ . Η d ως

παραγωγίσιμη στο k είναι και συνεχής. ~τσιb

" #( ) ( )

1 =

1 =

d

d d 0

-R 1υ0S&? 1@A 6 6 78-TA 6 ⋅ 6 $ 9

Aπομ!νωςb

-> 'ν ( )1d 06 = ή ( )=d 06 = τότε 0 1| = 6 ή 0 =| = 6 είναι ρί$ες της d στο" #1 = 6 6 .

--> 'ν ( ) ( )1 1d d 06 ⋅ 6 , τότε ( ) ( )1 1d d 06 ⋅ 6 < #ρα από θε7ρημα r2‹/32 η d !χει

στο ( )1 = 6 6 .

Τε"ικ# η d !χει μία του"#χιστον ρί$α στο" #1 = 6 6 .

N∆ε) 'υ)ο)ται 7'α µε .Μ.Τ. Πα-α1εί2µατο

ά-η), τα κο-17)ια o

<ο-)4'ιο EF ετ3), υ*οG4+ιο *α)ε''η)ί5)

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1DE

/)Η #56789# f $A6α3 M7?$ | k∈ 1 Να αBM$AN$9$ L93 f $A6α3 6#ADJ α<NB5#α #9B (−∞ 1 >α3 6#ADJ

?A6B5#α #9B )+∞1 1

ΛΥΣΗ

-

Aπειδή ( )i | 0NN <

για κ#θε | k∈

η i είναι γνησίως φθίνουσα στο k και απόυπόθεση ( )i 1 0N = .

-

~τσι για | 1< είναι ( ) ( ) ( )i | i 1 i | 0N N N> ⇔ > #ρα η i γνησίως αύξουσα στο ( # 1−∞ .

- %ια | 1> είναι ( ) ( ) ( )i | i 1 i | 0N N N< ⇔ < #ρα η i γνησίως φθίνουσα στο " )1+∞ .

//)Η #56789# " )i b 0 k+∞ → $A6α3 #56$;KJ #9B " )0 +∞ 0 α8αDA#34 #9B ( )0 +∞

>α3 ( )i 0 0= 1 Α6 fm $A6α3 6#ADJ α<NB5#α #9B M37#94α ( )0 +∞ 6α αBM$AN$9$ L93

#56789# j 4$ ( ) ( )

=i |

` ||

$A6α3 6#ADJ α<NB5#α #9B M37#94α ( )0 +∞ 1

ΛΥΣΗ

-

Η συν#ρτηση ` είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της ως πη"ίκο παραγωγίσιμων

συναρτήσεων και ( ) ( ) ( )

=

i | | i |` |

|

N ⋅ −N = y1>. Kρεια$όμαστε το πρόσημο της

παρ#στασης ( ) ( )i | | i |N ⋅ − .

- %ια τυχαίο | 0> !χουμεb

-> Η i συνεχής στο" # " )0| 0 +∞ .

--> Η i παραγωγίσιμη στο( ) ( )0| 0 +∞ .

'πό @. ?. Τ. υπ#ρχει ( )0 |4∈ τ!τοιο 7στε

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )i | i 0 i | 0 i | i |

i i| 0 | | |

− −

N N4 = = = ⇔ 4 =− y=>.

- Η i είναι γνησίως αύξουσα ( )0 +∞ . ~τσι αφού |4 < είναι ( ) ( )i i |N N4 < και από τη y=>b

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

y| 0>i |i | i | |i | |i | i | 0

|

>

N N N< ⇔ < ⇔ − > . Τ7ρα από την y1>b ( )` | 0N > για κ#θε

( )| 0∈ +∞ . #ρα η ` είναι γνησίως αύξουσα στο ( )0 +∞ .

/*)Ο3 #56α89K#$3J f0 g $A6α3 #56$;$AJ >α3 α8αDA#34$J #9B " # ) 5 4$ ( ) ( )i d) = ) 1

Α6 $A6α3 ( ) ( )i | d |N N> 3α >7?$ ( )| ∈ ) 5 M$AN9$ L93 ( ) ( )i | d |> 3α >7?$ ( )| ∈ ) 5 1

ΛΥΣΗ

-

@εωρούμε τη συν#ρτηση w με ( ) ( ) ( ) " #w | i | d | | = − ∈ ) 5 . Η w συνεχής και

παραγωγίσιμη

στο" # ) 5 ως διαφορ# συνεχ7ν και παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο δι#στημα αυτό.

6ροφαν7ς ( ) ( ) ( ) " #w | i | d | | N N N= − 3*) ()U ∈ ) 5 .

-

Cόγω της υπόθεσης είναι ( ) ( ) ( ) ( ) ( )w i d d d) = ) − ) = ) − ) #ρα ( )w 0) = y1>. Aπίσης

αφού

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )i | d | i | d | 0 w | 0 | N N N N N> ⇔ − > ⇔ > 3*) ()U ∈ ) 5 οπότε η w γνησίως

αύξουσα στο " # ) 5 . 9υνεπ7ς για κ#θε | με |) < < 5 είναι

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )) < ⇔ < − ⇔ > 3*) ()U ∈ ) 5y1>

w w | 0 i | d | i | d | | .

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1DG

/&)A6$9α3 #56789# f α8αDA#34 #9B W 4$ ( )i | | | kN > 3*) ()U ∈ 1 Να

αBM$AN$9$ L93 $NA#D# ( )i | == H;$3 4Aα 9B5%7;3#9B6 8A[α #9B M37#94α( )= =− 1

ΛΥΣΗ

-

Aίναι ( ) ( ) ( )N N> ⇔ − > ⇔ − >

=|i | | i | | 0 i | 0

=. @εωρούμε τη συν#ρτηση d με

( ) ( ) =1d | i | |

== − y1>. Η d είναι παραγωγίσιμη στο k με ( ) ( )d | i | |N N= − όμως από

υπόθεση είναι ( ) ( )i | | i | | 0N N> ⇔ − > #ρα ( )d | 0 | kN > 3*) ()U ∈ . 'υτό σημαίνει ότι η

d είναι γνησίως αύξουσα στο k. ~τσι αφού O= ‘ 0 ‘ = είναι

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= = =1 1 1

d = d 0 d = i = = i 0 0 i = = i = = 0 i = == = =

− < < ⇔ − − ⋅ − < − ⋅ < − ⋅ ⇔ − − < < −

y=> αφού ( )i 0 0= .

- @εωρούμε τη συν#ρτηση ` με ( ) ( ) " #` | i | = | === − ∈ − .

->

Η ` συνεχής στο" #= =− ως διαφορ# συνεχ7ν συναρτήσεων.

--> ( ) ( ) ( )" # ( )" #` = ` = i = = i = = 0− ⋅ = − − ⋅ − < "όγω της y=> οπότε από το θε7ρημα r2‹/32

υπ#ρχει μία του"#χιστον ρί$α της ` στο ( )= =− π.χ. η ξ

οπότε ( ) ( ) ( )` 0 i = 0 i =4 = ⇔ 4 − = ⇔ 4 = δη"αδή η ( )i | == !χει μία του"#χιστον ρί$α στο

( )= =− .

/)Ο3 #56α89K#$3J f0 g H;B56 >B36L $MAB B83#4B< 9B " #0 ) >α3 $A6α3 98$3J B8HJ

α8αDA#34$J #9B M37#94α α59L1 Α6 3#;<B56:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )D Di 0 d 0 i 0 d 0 i 0 d 0 i | d |N N NN NN= = = ()* > 3α >7?$ ( )| 0∈ ) M$AN9$

L93 ( ) ( )i | d |> 3α >7?$ ( )| 0∈ ) 1

ΛΥΣΗ

-

@εωρούμε τη συν#ρτηση ` με ( ) ( ) ( ) " #` | i | d | | 0= − ∈ ) . %ια κ#θε ( )| 0∈ ) είναιb

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )D D yD >` | i | d | ` | i | d | ` | i | d |N N N NN NN NN= − = − = −

-

'πό υπόθεση είναι ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )D D D D Di | d | i | d | 0 ` | 0> ⇔ − > ⇔ > για

κ#θε ( )| 0∈ ) . }ρα

η ` είναι γνησίως αύξουσα στο" #0 ) οπότε για 0 |< < ) είναι ( ) ( ) ( )` 0 ` | `NN NN NN< < ) .

'""# ( ) ( ) ( )` | i | d | 0NN NN NN= − = yυπόθεση> και !τσι ( ) ( )0 ` | | 0NN< ∈ ) .

-

Aπειδή ( ) ( )` | 0 | 0NN > ∈ ) η ` είναι γνησίως αύξουσα στο" #0 ) #ρα για 0 |< < )

είναι( ) ( ) ( )` 0 ` | `N N N< < ) . '""# ( ) ( ) ( )` 0 i 0 d 0N N N= − yυπόθεση> και

!τσι ( ) ( ) ( )0 ` | ` | 0N N< < ) ∈ ) .

-

Aπειδή ( ) ( )` | 0 | 0N > ∈ ) η ` γνησίως αύξουσα στο" #0 ) #ρα για 0 |< < ) είναι

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )` 0 ` | ` ` 0 i 0 d 0 0< < ) ()* = − = yυπόθεση>.

Τε"ικ# ( ) ( )` | 0 | 0> ∈ ) δη"αδή ( ) ( ) ( ) ( ) ( )i | d | 0 i | d | | 0− > ⇔ > ∈ ) .

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1DH

/-)C#9D #56789# f M 3*) ()U ∈ +∞

1 Να 4$%$9?$A DJ 8BJ 9 4B6B9B6Aα #56789# g 4$ ( ) ( )

|

i |d | | k ˆ

4= 3*) ∈

ΛΥΣΗ

α. Aίναι ( ) ( ) ( ) ( )" #i | i | 0 i | i | 0NN NN N− < ⇔ − < y1>.

@εωρούμε "οιπόν τη συν#ρτηση ` με ( ) ( ) ( )` | i | i | | kN= − ∈ . Aπειδή υπ#ρχει στο k η i

οι συναρτήσεις i i παραγωγί$ονται #ρα υπ#ρχει η παρ#γωγος της ` και είναι

( ) ( ) ( )` | i | i |N NN= − οπότε "όγω της y1>b ( )` | 0 | kN < 3*) ()U ∈ .

9υμπεραίνουμε "οιπόν ότι η ` είναι γνησίως φθίνουσα στο k. ?#"ιστα "όγω υπόθεσηςείναι ( ) ( ) ( ) ( )` 0 i 0 i 0 0 0 ` 0 0N= − = − ⇔ = y=>.

-

%ια ( )| 0∈ −∞ είναι | 0< και ` γνησίως φθίνουσα #ρα

( ) ( ) ( ) ( ) ( )y= >

` | ` 0 ` | 0 i | i | 0N> ⇔ > ⇔ − > #ρα ( ) ( ) ( )i | i | | 0N < ∈ −∞ yD>.

). %ια ( )| 0∈ +∞ ομοίως είναι | 0> #ρα ( ) ( ) ( ) ( ) ( )` | ` 0 ` | 0 i | i | 0N< ⇔ < ⇔ − < #ρα

( ) ( ) ( )i | i | | 0N > ∈ +∞ yE>.

| −∞ 0 +∞

( )` |N O O

( )` | γν. φθιν. γν. αυξ.

γ. ~χουμε

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )" #

( )( )

( ) ( )| | || |

= = = || | |

i | 4 Oi | 4 4 i | Oi |i | 4 Oi | 4 i | Oi |d | d | ‚

44 4 4

NN N⋅ ⋅ N N⋅ ⋅N N= = = ⇔ yG>.

-

%ια | 0< "όγω της yD> είναι ( ) ( ) ( ) ( )i | i | i | i | 0N N< ⇔ − < και από την yG> είναι

( )d | 0N < #ρα

d είναι γνησίως φθίνουσα στο ( ) 0−∞ .

-

%ια | 0> "όγω της yE> είναι ( ) ( ) ( ) ( ) ( )yG >

i | i | i | i | 0 d | 0N N N> ⇔ − > ⇔ > #ρα d είναι

γνησίως

αύξουσα στο ( )0 +∞ yπροφαν7ς |4 0> >.

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1DI

/+)Α1C#9D α8αDA#34 #56789# ( )+∞ → ℝd b 0 0 BB3α 3>α6BB3$A 93J

#;H#$3J :

• + =dyd y|>> dy|> 0 03α >7?$ >| 0 ()

• >d y|> 0 03α >7?$ >| 0 (/)

• =dy1> 0 03α >7?$ >| 0 (*)

G)Να @8$39$ 9B =d y1> 0

GG)Να αBM$3N$9$ L93 =d yd y|>> | 03α >7?$ >| 0

GGG)Να αBM$3N$9$ L93 =dy|> 3 | 0 >| 0

Β1A6$9α3 #56789# f 4$ ( ) = + −i | dy|> | 1 1

G) Να 4$%$9?$A f DJ 8BJ 9 4B6B9B6Aα >α3 6α $N$9α#9$A α6 α693#98H$9α31

GG) Να @8$A9$ 9B #<6B%B 934I6 9J f >α3 6α %<#$9$ 96 $NA#D# | 3 | 1+ = 1

GGG) Να %5?$A α6A#D# ( ) ( )= =3 | | | | 3 D | D |+ + + < − + − 1

GX) Να $N$9α#9$A DJ 8BJ 9 4B6B9B6Aα 8I9 >α3 M$<9$8 α87DBJ 9J f1

CS9Ηc -> 'πό την σχ!ση y=> προκύπτει ότι η συν#ρτηση d είναι γνησίως αύξουσα στο ( )+∞0

#ρα και 1O1.

'πό την σχ!ση y1> που ισχύει για κ#θε >| 0 θα ισχύει και για =| 1−

+ = % = % = % =d1 1yD >

dyd y1>> dy1> 0 dyd y1>> 0 dyd y1>> dy1> d y1> dy1>

-->'πό την σχ!ση y1> θα θ!σουμε όπου | το dy|> και θα !χουμεb−+ = ⇔ =−

+ = ⇔ − = ⇔ = %d 1 1dydy|>> dy|> 0 dydy|>> dy|>

dyd yd y|>>> dyd y|>> 0 dyd yd y|>>> dy|> 0 dyd yd y|>>> dy|>−

% =

d 1 1

dydy|>> | για κ#θε >| 0 --->Η συν#ρτηση d είναι δυο φορ!ς παραγωγίσιμη στο δι#στημα ( )+∞0 #ρα η

συν#ρτηση d είναι παραγωγίσιμη στο ( )+∞0 οοτε και η συν#ρτηση dydy|>> είναι

παραγωγίσιμη ως σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων.6αραγωγί$οντας και τα δύο

μ!"η της σχ!σης y1> b

( )=

+ = % + = % + = ⇔dyd y|>> |

dyd y|>> dy|> 0 d yd y|>>d y|> d y|> 0 d y|> d y|> 0 |

( ) ( ) ( )+ = ⇔ = ∈ +∞ ∈= % ℝd y|> d y|> 0 |d y|> |d y|> ^ | 0 ^| | 0 (&)

'""# για |‚1 η παραπ#νω γίνεται

= ⇔ =1d y1> ^ ^ 1

:πότε η σχ!ση yE> γίνεται

( )= ∈ +∞|d y|> 1 | 0

~χουμεb( )

( ) ( )∈ +∞

= ⇔ = =% ∈ +∞| 0

1|d y|> 1 d y|> d y|> 3 | | 0

| αρα

( )= + ∈ +∞ ∈ ℝdy|> 3 | ^ | 0 ^

'""# για |‚1 η παραπ#νω γίνεται= + ⇔ =dy1> 31 ^ ^ 0

Τε"ικ# =dy|> 3 | >| 0

r ->.

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1DJ

-

Aπειδή ο 3 | ορί$εται μόνο για | 0> η i !χει πεδίο ορισμού ( )c 0= +∞ .

-

Η i είναι παραγωγίσιμη στο ' και ( ) ( ) ( )1

i | 3 | | 1 i | 1|

NN N= + − ⇔ = + y1>. Aπειδή

| 0> είναι

( )1

i | 1 0

|

N = + > #ρα i γνησίως αύξουσα στο '. Η i ως γνησίως μονότονη είναι +1 F 1Œ #ρα

αντιστρ!φεται.

--.

-

Η i είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής στο ( )c 0= +∞ #ρα σύνο"ο τιμ7ν

( ) ( ) ( )( )|| 0

i -[ i | -[ i |+ →+∞→

E = .

'""# ( ) ( )| 0 | 0-[ i | -[ 3 | | 1

+ +→ →= + − = −∞ επειδή

| 0-[3|

+→= −∞ και ( )

| 0-[ | 1 1

+→− + = . Aπίσης

αφού|-[ 3 |→+∞

= +∞ θα είναι ( )|-[ i |→+∞

= +∞ #ρα ( ) ( )E = −∞ +∞i δη"αδή ( )i kE =

- Aίναι ( )+ = ⇔ + − = ⇔ =| 3 | 1 3 | | 1 0 i | 0 . ?ια προφανής ρί$α της i είναι η | 1=

επειδή

( ) = + − =i 1 31 1 1 0 . Η i !χει μία ρί$α την | 1= και είναι γνησίως μονότονη στο ' #ρα δεν

!χει #""η ρί$α. 9υνεπ7ς η εξίσωση ( )i | 0 | 3 | 1= ⇔ + = !χει μοναδική ρί$α τη | 1= .

---. 6αρατηρούμε ότι

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= = = =3 | | | | 1 3 D | D | i | | i D | | | D |+ + + − < − + − ⇔ + < − ⇔ + < − αφού i

γνησίως αύξουσα =| =| D 0⇔ + − < . ~χει ρί$ες OD και 1 #ρα επα"ηθεύεται για D | 1− < < .

tμως και | 0> #ρα 0 | 1< < .

-,. Cόγω της y1>b ( )=

1i | 0

|

NN = − < . 'φού ( )i | |NN < 3*) ()U ∈ E θα είναι και i γνησίως

φθίνουσα στο ( )0 +∞ . Aίναι ( ) ( )D

= D

1 =i | 0

| |

N = − = >

#ρα i γνησίως αύξουσα στο

( )0 +∞ .

/V)ΥB?H9B54$ L93 9B >L#9BJ ( )j | #$ | 3α 96 α8αDK x ;3%37MD6 4B67MD6

$6LJ @3B4;α63>B< 8B{L69BJ $A6α3 ( )j | 01 =|= + >α3 934K I%#J 9J 4B67MBJ

$A6α3 ( )| E 4 | —: = − ⋅ 1

α1 ΠB3B $A$MB α8αDKJ 4$3#9BB3$A 9B >H8MBJh

@1 ΠB3α $A6α3 9L9$ 934K I%#J 9J 4B67MBJh1 ΠB3B $A6α3 9B >H8MBJ 3m α59L 9B $A$MB α8αDKJh

M1 Α6 >5@H86# B8B%BK#$3 9B >7?$ >B44793 B5 D%$A9α3 4$ t |0 6α #;B%37#$9$

9 M3αB87 9J α8;3>KJ 934KJ I%#J >α3 $>$A6J B5 ?α M3α4B8D?$A 4$97 96

$3@B%K 9B5 L8B51

ΛΥΣΗ

α. ~στω ( )Y | η συν#ρτηση κ!ρδους και ( )|F η συν#ρτηση εσόδων. Τότεb

( ) ( ) ( )Y | | |= F − V y1>

'""# !σοδα ‚ yπ"ήθος μον#δων> ˆ yτιμή μον#δος> #ρα

( ) ( ) ( ) ( )= =| | | | E 4| E| 4| | E| 4 |F = ⋅: = ⋅ − = − ⇔ F = − ⋅ y=>.

( ) ( ) ( )= = =Y | E| 4| 01 =| E| 4| 01 =| Y | 4| =| 01= − − + = − − − ⇔ = − + − yD>.

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1DL

'ρκεί να )ρούμε το μ!γιστο της ( )Y | . Η ( )Y | ως πο"υωνυμική είναι παραγωγίσιμη και

( )Y | =4| =N = − + . ~στω ( )1

Y | 0 =4| = 0 =4| = |4

N ! ⇔ − + ! ⇔ − ! − ⇔ $ . ~τσι

σχηματί$ουμε τον παρακ#τω πίνακα μετα)ο"7ν της ( )Y | από όπου συμπεραίνουμε ότι

η παραγωγή1

|4

= χι"ι#δων μον#δων μεγιστοποιεί το κ!ρδος.

| 0 1

4 +∞

( )Y |N P O

( )Y | γν. αυξ. γν. φθιν.

). Aίναι τότε1 1

X E 44 4

= − ⋅

#ρα1

X D—4

=

τιμή π7"ησης της μον#δος.

γ. 'πό τη συν#ρτηση κ!ρδους yD>b=

=

1 1 1 4 = 1 = 1 1Y 4 = 01 01 01 Y 01

4 4 4 4 4 4 4 4 4

= − ⋅ + ⋅ − = − + − = − + − ⇔ = −

ή

1 1Y 0DI 01 Y 0=I—

4 4 Q − ⇔ Q

.

δ. 'ν το κ#θε κομμ#τι φορο"ογηθεί με g — τότε ο φόρος που αντιστοιχεί με | κομμ#τια

είναι g| και η συν#ρτηση κ!ρδους είναιb

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y= >

= = =| | | g| E| 4| 01 =| g| E| 4| 01 =| g| | 4| = g | 0M = F − V − = − − + − = − − − − ⇔ M = − + − −

}ρα ( ) ( )| =4| = gNM = − + − .

~στω ( ) ( ) ( )= g

| 0 =4| = g 0 =4| = g |=4

−NM ! ⇔ − + − ! ⇔ − ! − − ⇔ $ .

Τ7ρα η τιμή π7"ησης της μον#δος που μεγιστοποιεί το κ!ρδος είναι= g = g = g J = g g = g g

X E 4 E D X D=4 =4 =4 = = =4 =

− − − − + − = − = − = = + ⇔ = +

.

}ρα η τιμή π7"ησης της μον#δος είναι αυξημ!νη κατ#g

= από αυτή της αρχικής.

/.)A6$9α3 B8?B>α6B63>L #<#94α αNL6D6 |xh >α3 9B B8?BI63B #9B Α 98AD6B

ΑΒΓ 4$ >B85HJ ( )E 0G − 0 9B Α 6α α6K>$3 #9B M37#94α " #0 E >α3 96 >B85K Β 6α

α6K>$3 #96 α8α@B%K ( ) =i | | E|= − + 1

α1 ΠB3$J $A6α3 B3 #569$9α4H6$J 9B5 Β L9α6 9B $4@αML6 9B5 983I6B5 ΑΒΓ $A6α3

4H3#9Bh@1 Να @8$A9$ 9B 85?4L 4$9α@B%KJ 9B5 $4@αMB< 9B5 983I6B5 ΑΒΓ (4$ 4$9α@%9K 9B x)

L9α6 9B Β @8A#>$9α3 #96 >B85K 9J α8α@B%KJ1

ΛΥΣΗ

α. Το εμ)αδόν του τριγ7νου 'B% είναιb ( ) ( )1

e4g =

EHG = EH EG

y1>.

'""# ( ) ( ) ( )=|0 |E| | E0E H − ()* G − οπότε

( ) ( ) ( )= =|O|E|O| O0 0E|O| OEO|0EH = = ()* EG =

οπότε από την y1>b

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1E0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )=

=0 E| |1 1 1– – E | E| | E | | E |

E | 0= = =

−EHG = = − − − ⋅ − = + ⋅ −

− − και αφού

0 | E$ $ είναι | 0 E | 0! ()* − ! #ρα ( ) ( )=1| 1H |

=EHG = ⋅ − .

@!τουμε y'B%> ‚ Ay|> οπότεb ( ) ( )=1| | 1H | 0 | E

=F = ⋅ − $ $ y=>.

-

@α )ρούμε το μ!γιστο της ( )|F . %ια ( )0 | E |< < & F παραγωγίσιμη με

( )D =| D|

f | ‚ J|O ‚JO= =

N N

yD>. ~στω

( )=

= =D| 1H 1H E D E Df | 0 JO 0 1H D| 0 | | |

= D D D DN ! ⇔ ! ⇔ − ! ⇔ $ ⇔ $ ⇔ − $ $ . '""#

| 0> οπότεE D

0 |D

< $ . 'πό τον πίνακα μετα)ο"7ν )"!πουμε ότι στο ( )0 E

παρουσι#$ει μ!γιστο γιαE D

|D

H = . '""# η ( )|F ορί$εται στο " #0 E . }ρα πρ!πει να

εξετ#σουμε τα ακρότατ# της και στα #κρα 0 και E. %ια | 0= είναι ( ) ( )y= >

0 0 EF = = F . Τε"ικ#

c%

B

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1E1

το ( )|F εμφανί$ει ο"ικό μ!γιστο στο " #0 E γιαE D

|D

H = και αφού =h | E|H H H= − + είναι

( )=

E D E D 1H 1H D 1Hh ‚O PE ‚O P ‚ DO1

D D D D DH

⋅

#ρα

( )1H D 1E D

D D

− H

.

| 0 E DD

E

( )|NF P O

( )|F γν. αυξ. γν. φθ.

).

-

: ρυθμός μετα)ο"ής του εμ)αδού είναι ( )=y= > D|

| J=

NF = − .

-

Η κορυφή της παρα)ο"ής είναι το μ!γιστό της. '""#

( ) ( ) ( )=i | | E| =| E i | 0 =| E 0 | =N N= − + = − + ()* ! ⇔ − + ! ⇔ $ . Η i "οιπόν !χει

μ!γιστο για

| == το ( ) ( )=h i = = E = =E= = − + ⋅ ⇔ V . 9το σημείο αυτό ο ρυθμός μετα)ο"ής του

εμ)αδού του τριγ7νου είναιb ( )=yD > D =

= J=

⋅NF = − #ρα ( )

. .= =

@ 'NF =

'A0)W)S6A0Aυ.

| −∞ = +∞

( )i |N P O

( )i | γν. αυξ. γν. φθιν.

*!)Γ3α 43α #56789# " #i b k) 5 → MA6$9α3 L93:

α1 ΕA6α3 α8αDA#34 #9B " # ) 5 1

@1 Η fm $A6α3 #56$;KJ #9B " # ) 5 1

1 Η i] 9H46$3 9B6 xmx #$ H6α α>83@IJ #4$AB 9B5 ( ) ) 5 1

M1 Ι#;<$3: ( ) ( )i i 0) = 5 = 1 Να αBM$AN$9$ L93 $NA#D# ( ) ( )i | i | 0N + = H;$3 4Aα

9B5%7;3#9B6 8A[α #9B ( ) ) 5 1

ΛΥΣΗ

9ύμφωνα με τα δεδομ!να η i] θα !χει +ποιοτικ#Œ τη γραφική παρ#σταση του σχήματος

yή την συμμετρική της ως προς τον ||>.

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1E=

-

'πό τη υπόθεση είναι ( ) ( ) ( )i i i 0) = 5 = 3 = #ρα η i !χει τρεις ακρι)7ς ρί$ες τι α ) γ

με

) < 3 < 5 . Η i ως παραγωγίσιμη στο " # ) 5 είναι και συνεχής.

-

Η i συνεχής στο " # ) 3 και δεν !χει σε αυτό #""η ρί$α #ρα διατηρεί πρόσημο. :μοίως

διατηρεί πρόσημο και στο " # 3 5 . ?#"ιστα αφού η i] τ!μνει τον || στο γ αν είναι

( ) ( )i | 0 > 1@A ) 3 θα είναι ( ) ( )i | 0 < 1@A 3 5 όπως δη"αδή στο σχήμα.

-

Η i ως συνεχής στο " # ) 5 !χει μ!γιστη και ε"#χιστη τιμή. }ρα υπ#ρχουν ( )1 = 4 4 ∈ ) 5

7στε

( ) ( ) ( )1 =i i [ [ i |4 = : 4 = ()* $ $ : για κ#θε " #| ∈ ) 5 . ?#"ιστα αφού η i παίρνει

αρνητικ!ς τιμ!ς θα είναι ( ) ( )1 =i 0 i [ 04 = : > ()* 4 = < .

- 6αρατηρούμε ότιb

-> Το 14 εσωτερικό σημείο του ( ) ) 5 .

--> Η i παραγωγίσιμη στο 14 yυπόθεση>.

---> Η i !χει ακρότατο στο 14 . }ρα από θε7ρημα w4[/g θα είναι ( )1i 0N 4 = . %ια τον ίδιο"όγο

( )=i 0N 4 = .

- @εωρούμε τη συν#ρτηση d με ( ) ( ) ( )d | i | i |N= + .

-> Η d συνεχής στο " #1 = 4 4 ως #θροισμα συνεχ7ν συναρτήσεων.

--> ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 = 1 1 = =d d i i i i 0 0 [ X[ 0N N4 ⋅ 4 = 4 + 4 ⋅ 4 + 4 = + : ⋅ + = < . }ρα από

θε7ρημα

r2‹/32 υπ#ρχει !να του"#χιστον ( ) " #1 = 4 ∈ 4 4 ) 5 τ!τοιο

7στε ( ) ( ) ( )d 0 i iN4 = = 4 + 4 πρ#γμα που σημαίνει ότι η εξίσωση ( ) ( )i | i | 0N + = !χει μία

του"#χιστον ρί$α στο ( ) ) 5 .

*)A6$9α3 #56789# f Mα3 ( ) ( )i |

i | =|

N = + 3α

>7?$ ( )| 0∈ +∞ 1 Να αBM$AN$9$ L93 f $A6α3 >589K #9B ( )0 +∞ 1

ΛΥΣΗ

-

'ρκεί να δείξουμε ότι ( )i | 0NN > για κ#θε ( )| 0∈ +∞ .

-

Aίναιb

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )( )

( ) ( )( )

=

= = = =

i | i | | i | |i | i | = 0| |

i |= | i |

i | | i | i | =| i | =| =|i |

| | | | |

N NN ⋅ − ⋅ NNN N= = + = + =

+ − N ⋅ − + − NN= = = = ⇔ =

'""# | 0> οπότε ( )i | 0NN > για κ#θε ( )| 0∈ +∞ #ρα i κυρτή.

*/)Μ3α #56789# f $A6α3 98$3J B8HJ α8αDA#34 #$ H6α M37#94α >α3 3α

>7B3B 0| ∈ . $A6α3 ( ) ( )yD >0 0i | 0 i | 0NN = ()* , 1 Να αBM$AN$9$ L93 9B #4$AB

( )( )0 0| i |X $A6α3 #4$AB >α4KJ 9J f1ΛΥΣΗ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1ED

Aίναι ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0 0 0

0yD >0

| | | | | |0 0 0

i | i | i | 0 i |i | -[ -[ -[

| | | | | |→ → →

NN NN NN NN− −= = =

− − − y1>

*ιακρίνουμε τις περιπτ7σειςb

α. ( )yD >0i | 0> . Τότε από την y1>b

( )

0| |0

i |-[ 0

| |→

NN>

−.

}ρα για τα | +κοντ#Œ στο 0| είναι( )

0

i |0

| |

NN>

− y=>.

| 0|

( )i |NN O P

-

'ν 0 0| | | | 0< ⇔ − < από τη y=> προκύπτει ( )i | 0NN < .

-

'ν 0 0| | | | 0> ⇔ − > από τη y=> προκύπτει ( )i | 0NN > .

6αρατηρούμε ότι η i μηδενί$εται στο 0| και α""#$ει πρόσημο εκατ!ρωθεν του 0| #ρα το

σημείο 0| είναι σε θ!ση σημείου καμπής της i.). ( )yD >

0i | 0< . Aργα$όμαστε όπως προηγουμ!νως.

**)A6$9α3 #56789# f BBAα $A6α3 #56$;KJ #9B " # ) 5 >α3 #98H$3 9α >BA%α 76D

#9B ( ) ) 5 1 Να αBM$AN$9$ L93 #56789# g 4$ ( ) ( ) ( )i | i

d ||

− )=

− ) $A6α3 6#ADJ

α<NB5#α #9B ( ) ) 5 1

ΛΥΣΗ

-

Aπειδή η i στρ!φει τα κοί"α #νω στο ( ) ) 5 η i είναι γνησίως αύξουσα στο ( ) ) 5 .

-

Η συν#ρτηση d είναι παραγωγίσιμη στο ( ) ) 5 ως πη"ίκο παραγωγίσιμων

συναρτήσεων και ισχύειb

( ) ( ) ( )" # ( ) ( ) ( )" # ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )" #( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( )

= =

= =

i | i | i | i | i | | i | id |

| |

i | | i | i i | i1d | i | y1>.

| || |

N N− ) ⋅ − ) − − ) ⋅ − ) ⋅ − ) − − )N = = =

− ) − )

N ⋅ − ) − ) − ) N N= − ⇔ = ⋅ − − ) − )− ) − )

-

Το πη"ίκο( ) ( )i | i

|

− )

− ) θυμί$ει @. ?. Τ. στο " # |) .

6ραγματικ# για τυχαίο σημείο ( )| ∈ ) 5 !χουμεb

-> Η i συνεχής στο" # " # | ) ) 5 yυπόθεση>.

--> Η i παραγωγίσιμη στο( ) ( ) | ) ) 5 .

'πό @.?.Τ. υπ#ρχει ξ ( ) |∈ ) τ!τοιο 7στε ( ) ( ) ( )i | i

i

|

− )N 4 =

− )

οπότε τ7ρα η y1> γίνεταιb

( ) ( ) ( )" #1

d | i | i|

N N N= ⋅ − 4− )

y=>

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1EE

'""#b

-

| | 0> ) ⇔ −) > .

- Η i γνησίως αύξουσα και |4 < #ρα ( ) ( ) ( ) ( )i i | i | i 0N N N N4 < ⇔ − 4 > οπότε από τη y=>

είναι

( )d | 0N > για κ#θε ( )| ∈ ) 5 #ρα η d γνησίως αύξουσα στο ( ) ) 5 .

*&)Να M$3;?$A L93 α#<49D9 (%73α) 9J 8α3>KJ α87#9α#J 9J f 4$

( ) ( )( ) ( )− − −

= +=01I

| 1 | = ... | =01Hi | |

| H;$3 /!- >B367 #4$Aα 4$ 9 i] 1

ΛΥΣΗ

- Η i !χει πεδίο ορισμού ( ) ( ) 0 0E = −∞ ∪ +∞ . 'να$ητούμε π"#για ασύμπτωτη

h |= 2 + 5 y1>.

Aίναιb

( )( )( ) ( )

( )( ) ( )→+∞ →+∞ →+∞

− − −+ − − −

2 = = = + = +

=01I

=01J| | |

| 1 | = ... | =01H|i | | 1 | = ... | =01H|-[ -[ -[ 1 1 0

| | |

γιατί ο αριθμητής του κ"#σματος !χει )αθμό =01H δη"αδή μικρότερο από το )αθμό του

παρονομαστή. ~τσι 12 = οπότεb

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

→+∞ →+∞ →+∞

5 = = =

=01I =01I| | |

|O1 |O= ... |O=01H |O1 |O= ... |O=01H-[ i | O"| -[ |P O| -[ ‚0

| | #ρα

π"#για ασύμπτωτη στο +∞ είναι η h |= .

Aπειδή τα παραπ#νω όρια είναι ίδια και στο −∞ η i] !χει ίδια ασύμπτωτη και στο −∞ .

-

Τα κοιν# σημεία της i] με την h |= θα )ρεθούν από τη "ύση του συστήματοςb

( ) ( ) ( ) =

− − −= +

=01I

h | y=>

| 1 | = ... | =01Hh |

|

οπότε

( )( ) ( ) ( )( ) ( )− − − − − −+ = ⇔ = ⇔

=01I =01I

| 1 | = ... | =01H | 1 | = ... | =01H| | 0

| |

( ) ( ) ( )⇔ − − − = ⇔ =| 1 | = ... | =01H 0 | 1 ή | == ή z ή =| =01H .

}ρα η i] !χει με την h |= =01H κοιν# σημεία τα

( ) ( ) ( )11 = = ... =01H =01H .

*)Η #56789# " #i b 11 k− → $A6α3 α8αDA#34 #9B $MAB B83#4B< 9J >α3

3#;<B56:

α1 ( ) ( )

( )| 0 | 0

i |i 0 0 .-[ k -[ i | 0

|→ →

NN= ()* 5 ∈ ()* = 1

"$D8B<4$ 9 #56789# g 4$ ( )( )

" ) ( #i |

| 10 01d | |

0| 0

∈ − ∪

= =

1

Να αBM$AN$9$ L93 578;$3 ( )114∈ − 9H9B3B I#9$ ( ) ( ) ( )i 1 i 1d=

+ −N 4 = 1

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1EG

ΛΥΣΗ

-

'ρκεί να δείξουμε ότι ισχύει για την d το @.?.Τ. στο " #11− .

- Η i ως παραγωγίσιμη είναι συνεχής.

O %ια " ) ( #| 10 01∈ − ∪ είναι ( ) ( )i |

d ||

= #ρα συνεχής ως πη"ίκο συνεχ7ν συναρτήσεων.

%ια 0| 0= είναι ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

00

| 0 | 0 | 0 | 0

i | i |-[d | -[ -[ -[ i | 0 d 0

| |

→ → → →

NN= = = = =

N #ρα η d είναι

συνεχής στο 0| 0= και τε"ικ# συνεχής στο " #11− .

O%ια | 0, είναι( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

0

0

=| 0 | 0 | 0 | 0 | 0

i |d | d 0 d | i | i ||-[ -[ -[ -[ -[ k

| 0 | | | =|

→ → → → →

N−= = = = ∈

− „είναι

( ) ( )| 0-[ i | i 0 0

→= = "όγω της συνεχείας της i…. Aπομ!νως η d είναι παραγωγίσιμη στο

0

| 0= εν7 για | 0, είναι ( ) ( )i |

d ||

= παραγωγίσιμη ως πη"ίκο παραγωγίσιμων

συναρτήσεων. Τε"ικ# η d παραγωγίσιμη στο " #11− #ρα από @.?.Τ. υπ#ρχει ( )114∈ −

τ!τοιο 7στεb ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )( ) ( )

i 1 i 1d 1 d 1 i 1 i 11 1d

1 1 = =

−−− − + −−N 4 = = =

− −.

*-)Η #56789# f B8A[$9α3 #9B ( )11− 0 #56789# g B8A[$9α3 #9B W >α3 3m α59HJ

3#;<B56:

α1 ΕA6α3 α8αDA#34$J #9B $MAB B83#4B< 9B5J1@1 ( ) ( )i 0 d 0 0= = >α3 fm #56$;KJ1

1 ( ) ( )1 d | 1 d | 0 | 0N− < < ()* , 3*) , 1

M1 Η f α8B5#37[$3 9B3>L α>8L9α9B #9B 4MH61

Να @8$A9$ 9B( )( )

( )| 0

i d |-[

d |→1

ΛΥΣΗ

-

Το 0| 0= είναι εσωτερικό σημείο του ( )11− η i είναι παραγωγίσιμη στο μηδ!ν και

παρουσι#$ει ακρότατο. }ρα από θε7ρημα w4[/g είναι ( )i 0 0N = y1>.

-

Aίναι ( )( ) ( )( )i d | i2d |= συνεχής στο πεδίο ορισμού της ως σύνθεση συνεχ7ν

συναρτήσεων. }ρα ( )( ) ( )( ) ( )| 0-[ i d | i d 0 i 0 0

→= = = .

- Η d ως παραγωγίσιμη είναι και συνεχής. }ρα ( ) ( )| 0-[d | d 0 0

→= = . ~τσι το $ητούμενο

όριο

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1EH

οδηγεί σε απροσδιοριστία του τύπου0

0. %ι αυτό εφαρμό$ουμε τον κανόνα s4 ‡2\V-g/b

( )( )( )

( )( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( )( )( )

→ → → →

→

N N N⋅N N N= = = = = =

N N

⇔ =

0

y1>0

| 0 | 0 | 0 | 0

| 0

i d |i d | i d | d |-[ -[ -[ -[ i d | i d 0 i 0 0

d | d | d |

i d |-[ 0d |

*-1@("H4α $3#αD3>I6 $N$97#$D6 αL Σ>D9Aα ) C6αR >8B>LM$3%BJ2B ΣKJ2

>α8αMB>$A 43α [H@8α1Β8A#>$9α3 #96 α69A$8α L;? 9B5 B9α4B< αL 96 [H@8α >α3

α6 M3α#;A#$3 >7?$9α 9B6 B9α4L >α3 @8$?$A #96 3M3α B;? 4$ 96 [$@8α ?α αH;$3

αL 9B ?<4α 9B5 /! 4H98α1ΕA6α3 6D#9L L93 B >8B>LM$3%BJ >B%547 #9B 6$8L K

#H86$9α3 #9B HMαBJ 4$ M3αB8$93>K #9α?$8K 9α;<99α1Ο ;8L6BJ B5 αα39$A9α3 3α

6α 97#$3 B >8B>LM$3%BJ 96 [H@8α α6 α59K α8α4$A6$3 #9B AM3B #4$AB

$%α;3#9BB3$A9α3 α6 >B%54<#$3 4H;83 H6α #4$AB } #96 α69A$8α B;? >α3

>α9L36 #58?$A #9B $MαBJ 4H;83 96 [H@8α1ΤB } αH;$3 x 4H98α αL 9B #4$AB B5 B

>8B>LM$3%BJ ?α H9α6$ α6 >B%54B<#$ >7?$9α #9B B97431

Ο ;8L6BJ Τ 4$983H9α3 #$ MH>α9α 9B5 M$59$8B%H9B5 (~) >α3 MA6$9α3 αL 96

#56789#:

= − + −=my|> G DH | Ey=0 |>

G)Να 5B%BA#$9$ 9B ;8L6B B5 αα39$A9α3 3α 6α 97#$3 B >8B>LM$3%BJ 96 [H@8α α6

M$6 >36?$A >α?L%B5 #96 N871

GG) Να 5B%BA#$9$ 9B ;8L6B B5 αα39$A9α3 3α 6α 97#$3 B >8B>LM$3%BJ 96 [H@8α

α6 >B%54K#$3 96 %3B9$8 M56α9 αB#9α#1

GGG) Να @8$A9$ 9B $%7;3#9B ;8B63>L M37#94α B5 αα39$A9α3 3α 6α 97#$3 B

>8B>LM$3%BJ 96 [H@8α1

Cύση

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1EI

-> x χρόνος που απαιτείται να φτ#σει ο κροκόδει"ος την $!)ρα αν δεν κινηθεί καθό"ου

στην ξηρ# προκύπτει από τον τύπο της συν#ρτησης για |‚0b

= − + − = ==my0> G DH 0 Ey=0 0> .. 110 δ!κατα του δευτερο"!πτου ή 11 δευτερό"επτα.

-> x χρόνος που απαιτείται για να φτ#σει ο κροκόδει"ος την $!)ρα αν διανύσει τηνε"#χιστη απόσταση κο"υμπ7νταςOδη"αδή κ#θετα στον ποταμοOκαι κατόπιν κατ# μήκος

της όχθης προκύπτει από τον τύπο της συν#ρτησης για |‚=0b

= − + − = = Q=my=0> G DH =0 Ey=0 =0> .. = EDH 10E δ!κατα του δευτερο"!πτου ή 10E δευτερό"επτα

--->%ια >| 0 .@α )ρούμε το ακρότατο της συν#ρτησης m.6αραγωγί$ουμε την ( )T x

( ) ( )2

2

2 2 2

36 ' 2 5'( ) 5 36 4(20 ) ' 5 (80 4 ) ' 5 4 4

2 36 2 36 36

x x xT x x x x

x x x

+= + + − = + − = − = −

+ + +2

2 2

5 5'( ) 0 4 4 5 4 36 ( 0)

36 36

x xT x x x x

x x

= ⇔ − ⇔ = ⇔ = + >+ +

( )2 2 2 2 2

2 2

5 4 36 25 16 36 25 16 36 16

16 36 4 69 16 36 8

9 3

x x x x x x

x x x x

= + ⇔ = + ⇔ = ⋅ + ⇔

⋅ ⋅⇔ = ⋅ ⇔ = ⇔ = / ⇔ = /

tμως 0 20 x< < #ρα 8 x = . '(8) 0T =

† '( ) 0T x < οταν 8 x <

† '( ) 0T x > οταν 8 x >

:πότε η ε"#χιστη απόσταση που μπορεί να κ#νει ο κροκόδει"ος για να φτ#σει την $!)ρα

είναι J μ!τρα και ο ε"#χιστος χρόνος που θα απαιτηθεί

2(8) 5 36 8 4(20 8) 5 36 64 4(12) 5 100 4(12) 50 48 98T = + + − = + + = + = + = δεκατα του

δευτερο"!πτου ή 9.8 δευτερό"επτα.

NΕ5 τη) *ε*οίθη/η 7τι τι α/κ4/ει 2ια το

/*ίτι,*-(*ει )α τι κά)ει το /*ίτι µ7)ο του.P

Πα/ά'η EF ετ3), υ*οG4+ιο *α)ε''η)ί5)

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1EJ

*+)36$9α3 #56789# |dy|> 4 | G= + − 0

G)Να 4$%$9K#$9$ 96 g DJ 8BJ 96 4B6B9B6Aα >α3 9α >BA%α1

GG)Να M$AN$9$ L93 $NA#D# dy|> 0= H;$3 4B6αM3>K %<# @ #9B ℝ 1

GGG)Να 4$%$9K#$9$ #9B $MAB B83#4B< 9J 96 #56789# iy|> 3yG |>= −

DJ 8BJ 96 4B6B9B6Aα >α3 >α9L36 6α @8$A9$ 9α L83α|| G

-[ iy|>-[ iy|>− →−∞→

1

GX)Να αBM$AN$9$ L93 iy)> )= 1

X)Να @8$A9$ 96 $NA#D# 9J $α9B4H6J 9J bg #9B #4$AB 9J 4$ 9$944H6

3 αα 0> 1

XG)Να αBM$AN$9$ :

+ ! + − + +|4 | yα 1>y| 3 α> α 3 α 3α >7?$ | ∈ ℝ

Cύση

->Η d είναι παραγωγίσιμη στο ℝ #ρα|d y|> 4 1 0= + > |dy|> 4 0= > οπότε η d είναι γνησίως αύξουσα και κυρτή στο ℝ .

--> ( )|

| |-[ dy|> -[ 4 | G→−∞ →−∞

= + − = −∞ ( )|

| |-[ dy|> -[ 4 | G→+∞ →−∞

= + − = +∞ οπότε το σύνο"ο τιμ7ν της d

είναι το ( ) −∞ +∞ = ℝ 0 ∈ ℝ #ρα "όγω της συν!χειας της d από το θε7ρημα ενδιαμ!σων

τιμ7ν υπ#ρχει ) ∈ ℝ τ!τοιο 7στε dy)> 0= .Η ρί$α ) είναι μοναδική διότι η d είναι γνησίως

αύξουσα στο ℝ .yενα""ακτικ# θα μπορούσαμε να εφαρμόσουμε θε7ρημα r2‹/32 σε

κατ#""η"ο δι#στημα π.χ 0 = )

--->Το πεδίο ορισμού της i είναι ( ) GE = −∞ και η i είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο '.

~τσιb1

i y|> 0G |

= − <−

οπότε η i είναι γνησίως φθίνουσα στο '.| | G-[ iy|> -[ iy|>

−→−∞ →= +∞ = −∞

-,>Tσχύει

( ) ( )

G ) 0) ) )dy)> 0 4 ) G 0 4 G ) 3 4 3 G ) ) 3 G ) ) iy)>

− >

= ⇔ + − = ⇔ = − ⇔ = − ⇔ = − ⇔ =

,> Η εξίσωση της εφαπτομ!νης είναιb

( ) ( )( ) ( ) ( )

3 α 3 αε b h dy3 α> d y3 α>y| 3 α> h 4 3 α G 4 1 y| 3 α>

h α 3α G α 1 y| 3 α> h α 1 y| 3 α> α 3 α G

− = − ⇔ − + − = + − ⇔

⇔ − + − = + − ⇔ = + − + + −

,->Η d είναι κυρτή στο ℝ #ρα η παραπ#νω εφαπτομ!νη της )ρίσκεται ˜κ#τω από την ]d

!τσι για κ#θε | ∈ ℝ ισχύειb

( ) ( )| |dy|> h 4 | G α 1 y| 3 α> α 3 α G 4 | α 1 y| 3 α> α 3 α! ⇔ + − ! + − + + − ⇔ + ! + − + +

yενα""ακτικ# θα μπορούσαμε να θεωρήσουμε ν!α συν#ρτηση και να χρησιμοποιήσουμε

την μονοτονία >

NΕίµαι *ο'0 α-ο0µε)ο,/4µε-α µάθαµε /το

/ο'είο 2ια το θε3-ηµα Μ(/η τιµ4 και ο

µαθηµατικ7, µα 1ιαBεBαί5/ε 7τι θα α*οτε'(/ει

Bα/ικ7 και /υ)ε( ε+71ιο D54.P

Α'(6α)1-ο EF ετ3), υ*οG4+ιο *α)ε''η)ί5)

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1EL

*V)(Μ$[$M7>3α Q vmiURwGt_P 1.+&)

Α1A6$9α3 #56789# f α8αDA#34 #9B ( )0 +∞ 9H9B3B I#9$:

• ˆ

|-[ iy|>→+∞

∈ ℝ

•|-[ iy|> |i y|> 1LIE→+∞

− =

Να @8$A9$ 9B L83B |-[ iy|>→+∞ Β1 Α6 α0@0 9α 4K> 9D6 %$58I6 983I6B5 ΑΒΓ >α3 #56789# f 4$ 9<B:

=

=

συνy)|> συνyα|> | 0

LJI|iy|> γ

| 01LIE

−,

= =

ΕA6α3 #56$;KJ #9B #4$AB 0| 0= 6α M$AN$9$ L93 9B 98AD6B ΑΒΓ $A6α3 B8?BI63B

( 0c L0= )

Γ1 C#9D 43α #56789# f α8αDA#34 #9B ℝ >α3 M5B L8$J α8αDA#34 #9B

0| 1=

4$

1

iy1> 1LIE=

1 Να @8$A9$ 9B L83B:

( )

=

` 0

`n -[

= iy1 `> ì y1> iy1>→=

+ − −

Cύση

'. 'πό υπόθεση|-[ iy|> nn 0→+∞

= , #ρα

( ) ( )| | |-[ iy|> |i y|> -[ | iy|> |i y|> -[ |iy|> 1LIE→+∞ →+∞ →+∞

− = − = = y1>

~τσι( )

( )y1>

| | | |

|iy|> |iy|>-[ iy|> -[ -[ -[ |iy|> 1LIE

| |

∞∞

→+∞ →+∞ →+∞ →+∞= = = =

B. Η i συνεχής στο 0 #ρα| 0

-[ iy|> iy0>→

=

( )

( )

0

0

= =| 0 sf n‡xUYlmcn | 0

συνy)|> συνyα|> συνy)|> συνyα|>-[ -[

LJI| LJI| → →

−−= =

( )( )

0

0

| 0 sf n‡xUYlmcn | 0

)ημy)|> αημyα|> )ημy)|> αημyα|>-[ -[

1LIE| 1LIE| → →

− +− += = =

= = = =

| 0

) συνy)|> α συνyα|> ) α-[

1LIE 1LIE→

− + − += =

}ρα = == υθαγορειο εωρημα

= = = 0) α γα ) γ L0

1LIE 1LIE

M Y− += ⇔ = + % E =

%. Aπειδή η i είναι παραγωγίσιμη στο ℝ θα είναι και συνεχής. 'ρα η i θα είναι συνεχής

και στο0| 1= .9υνεπ7ςb

` 0-[ iy1 `> iy1>

→+ = και ( )

` 0-[ = iy1 `> ì y1> iy1> =yiy1> 0 iy1>> 0

→+ − − = − − =

:πότε !χουμεb

( ) ( )

0= 0

` 0 ` 0 ` 0

` =` `n -[ -[ -[

i y1 `> i y1>= iy1 `> ì y1> iy1> = i y1 `> i y1>→ → →= = =

+ −+ − − + − y1>

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1G0

Η i είναι δυο φορ!ς παραγωγίσιμη στο 0| 1= δη"αδή η i είναι παραγωγίσιμη στο

0| 1= οπότε η i είναι συνεχής στο0| 1= .~τσιb

` 0-[ i y1 `> i y1>

→+ = #ρα ( )

` 0-[ i y1 `> i y1> 0

→+ − =

'πό την y1> !χουμε π#"ι απροσδιοριστία .tμως η i δεν είναι παραγωγίσιμη σε δι#στημα

και επομ!νως δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε τον κανόνα s4 n ‡2\V-g/.

Το χειρι$όμαστε διαφορετικ#

` 0 ` 0

` 1 1 1n -[ -[ 1LIE

i y1 `> i y1> 1i y1 `> i y1> i y1>

` 1LIE

→ →= = = = =

+ −+ −

*.)B Τοτό * νέ &"έτ"N

L?>$ #9B6 ΤB9L α8α>79D 7#># :

oA6$9α3 #56789# f α8αDA#34 #9B ( )α) 3α 96 BBAα 3#;<B56 B3 3M3L99$J:

• iy|> 0, 3α >7?$ ( )| α)∈

•i f α8B5#37[$3 9B3>L 4H3#9B #9B ( )0| α)∈ 1

Να M$AN$9$ L93 #56789#1

dy|>iy|>

= α8B5#37[$3 #9B 0| 9B3>L $%7;3#9B 9B0

1

iy| >1p

Ο ΤB9LJ2B 6D#9LJ 4α?4α93>LJ Aα69αJ2H8α\$:

...' ( α&ου*"$4" το"#ό μέ!"*το *το ( )0| α)∈ $&α αό το T.U:rmat

0i y| > 0= EDG

V g )να" α&α!+!)*"μ' *το ( )α) $&α !"α #$% ( )| α)∈

( )

=

1 i y|>d y|>

iy|> iy|>

= = −

EWG

K EWG "*χ-" !"α0| |=

( )0

0 =

0

i y| >d y| > 0

iy| >= − = $&α ' g α&ου*"$4" το"#ό α#&ότατο *το

0|

#α" *υ!##&"μένα το"#ό λ$χ"*τοNX

y4DJ %<# 9B5 $A6α3 %α6?α#4H61 Να @8$A9$ 9B %7?BJ >α3 6α %<#$9$ 96 7#>#

#D#971

Cύση

x Τοτός θε7ρει εσφα"μ!να ότι ισχύει το αντίστροφο του θεωρήματος w4[/g .:

μηδενισμός της d δεν εξασφα"ί$ει το ακρότατο σε σημείο.

;α δούμε μια ορθή "ύση της #σκησηςb

Η i είναι παραγωγίσιμη στο ( )α) με iy|> 0, για κ#θε ( )| α)∈ #ρα διατηρεί πρόσημο στο

( )α) .Η i παρουσι#$ει τοπικό μ!γιστο στο ( )0| α)∈ #ρα υπ#ρχει δ‰0 τ!τοιο 7στε για

κ#θε ( ) ( )0 0| | δ| δ α)∈ − + ισχύειb0iy|> iy| >$ y1>

:ι αριθμοί0iy|>iy| > είναι ομόσημοι #ρα

0iy|> iy| > 0⋅ > .'πό την y1>b

00 0

0 0 0

iy| >iy|> 1 1iy|> iy| > dy| > dy|>

iy|>iy| > iy|>iy| > iy| > iy|>$ ⇔ $ ⇔ $ ⇔ $ για κ#θε ( ) ( )0 0| | δ| δ α)∈ − +

#ρα η d παρουσι#$ει τοπικό ε"#χιστο το0

1

iy| >.

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1G1

&!)C#9D ˆα)γ •1€+∈ −ℝ 4$ α)γ 1= 1?$D8B<4$ 96 #56789#| | |iy|> α ) γ= + + 0 | ∈ ℝ

G)Να M$AN$9$ L93 f $A6α3 >589K #9B ℝ 1

GG)Να 4$%$9K#$9$ 96 f DJ 8BJ 96 4B6B9B6Aα >α3 6α M$AN$9$ L93 iy|> D! 3α >7?$

| ∈ ℝ 1

GGG)Να M$AN$9$ L93:D D Dπ π π 4 4 4α ) γ α ) γ+ + < + +

GX)Να M$AN$9$ L93:

| 0

iy|> D-[ 0

|→

−=

X)(Ε8I94α SUZTR)Να M$AN$9$ L93: π π π 4 4 4π4 4 4 π πα ) γ α ) γ+ + < + +

CS9Η

->Aίναιb

( )

| | | | | |i y|> α ) γ α 3 α ) 3) γ 3 γ= + + = + +

( ) ( ) ( ) ( )= = =| | | | | |i y|> α 3 α ) 3) γ 3 γ α 3 α ) 3) γ 3 γ 0= + + = + + > για κ#θε | ∈ ℝ


-->Aπειδή είναι i y|> 0> για κ#θε | ∈ ℝ προκύπτει ότι η i είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ .

6αρατηρούμε ότι ( )0 0 0i y0> α 3 α ) 3) γ 3 γ 3 α 3) 3 γ 3 α)γ 31 0= + + = + + = = =

Aπειδή η i είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ !πεται ότι

Š για κ#θε | 0> ισχύει i y|> i y0> 0> = #ρα i γνησίως αύξουσα στο )0 +∞

Š για κ#θε | 0< ισχύει i y|> i y0> 0< = #ρα i γνησίως φθίνουσα στο ( 0−∞

:πότε η i παρουσι#$ει στο0| 0= ο"ικό ε"#χιστο το 0 0 0iy0> α ) γ D= + + = .

Aπομ!νως για κ#θε | ∈ ℝ ισχύειbiy|> iy0> iy|> D! ⇔ !

--->Aίναι ( ) ( )H H

= DD Dπ 4 π 4 π 4< ⇔ < ⇔ < που ισχύει

~τσιD D D

iπ π π 4 4 4D D0 π 4 iy π> iy 4 > α ) γ α ) γ< < % < ⇔ + + < + +

ր

GX)Aίναι

( )

( ) ( )

0

0| | |

| 0 | 0 | 0 | 0

iy|> D iy|> D i y|>-[ -[ -[ -[ α 3 α ) 3) γ 3 γ 3 α 3) 3 γ 3 α)γ 31 0

| | 1→ → → →

−−= = = + + = + + = = =

,>6ρ!πει να )ρούμε αρχικ# την σχ!ση αν#μεσα στους αριθμούς 4 ππ 4

@εωρούμε την συν#ρτηση3

dy|>‚ %

% και με χρήση παραγ7γων )ρίσκουμε ότι είναι

γνησίως φθίνουσα στο δι#στημα ) +∞ e .

:ι αριθμοί π4 ανήκουν στο δι#στημα ) +∞ e όπου από υπόθεση η i γνησίως φθίνουσα

Aπειδή 4 ‘π ισχύειb( )y > 3 0

3 3y > y > 3 3 3 3

= +∞

< ⇔ < ⇔ < ⇔ < ⇔ < g % %

e ee g g e e e e e

e

30&1*P? )υ4Aυ1) 1@A

π π π π π π π π

π

}ρα y > y >< % < ⇔ + + < + +ր

e f

e e e ee eee f f eπ π π π π π π π π π ) 5 3 ) 5 3

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1G=

&)( Πα8α%%αK #96 8BB<4$6 αL 4α?4α93>7 $63>KJ 9L9$ B5 K9α6 #9α

69B5[H63α 9J11) C#9D ˆ •1€ 1 = D...1LIE +∈ − =ℝi i i) 5 9H9B3α I#9$ 6α 3#;<$3:

() 1 1 = = 1LIE 1LIE 1 = 1LIE.... ....+ + + ! + + +% % %) 5 ) 5 ) 5 ) ) ) 3α >7?$ ∈ ℝ%

Να αBM$AN$9$ L931LIE1 =

1 = 1LIE..... 1⋅ ⋅ ⋅ =) ) ) 5 5 5

Cύση

@εωρούμε συν#ρτηση 1 1 = = 1LIE 1LIEy > ....= + + +% % % f % ) 5 ) 5 ) 5 όπου παρατηρούμε ότι

0 0 01 1 = = 1LIE 1LIE 1 = 1LIEy0> .... ....= + + + = + + + f ) 5 ) 5 ) 5 ) ) ) .

*η"αδή η y1> παίρνει την μορφήb

y > y0>! f % f για κ#θε ∈ ℝ%

}ρα η i παρουσι#$ει ακρότατο στο 0 !τσι από το θε7ρημα w4[/g !πεται ότιby0> 0= f

6αραγωγί$ουμε την i.

( )1 1 = = 1LIE 1LIE 1 1 1 = = = 1LIE 1LIE 1LIEy > .... 3 3 .... 3= + + + = + + +% % % % % % f % ) 5 ) 5 ) 5 ) 5 5 ) 5 5 ) 5 5

0 0 01 1 1 = = = 1LIE 1LIE 1LIE 1 1 = = 1LIE 1LIEy0> 3 3 .... 3 3 3 .... 3= + + + = + + + = f ) 5 5 ) 5 5 ) 5 5 ) 5 ) 5 ) 5

( )1LIE 1LIE1 = 1 =

1 = 1LIE 1 = 1LIE3 3 .... 3 3 ...= + + + = ⋅ ⋅) ) ) ) ) ) 5 5 5 5 5 5

~τσι

( )1LIE 1LIE1 = 1 =

1 = 1LIE 1 = 1LIE3 ... 0 ... 1⋅ ⋅ = ⇔ ⋅ ⋅ =) ) ) ) ) ) 5 5 5 5 5 5

&/)($A9$ >α3 α59L) C#9D #56789# f >α3 α8αDA#34 #9B M37#94α 01 1Να

αBM$AN$9$ L93 :

G)α6 f αA86$3 $%7;3#9 934K #9B !09B9$ y0> 0! f 0$6I α6 f αA86$3 $%7;3#9 934K

#9B 9L9$ y1> 0$ f 1

GG)α6 y0> 0 y1>< < f f 09L9$ 578;$3 ( )0 01∈% 9H9B3B0 I#9$ 0y > 0= f % 1

Cύση

->~στω ότι η i παίρνει ε"#χιστη τιμή στο 0τοτε για κ#θε 01∈ % θα είναιb

y > y0> y > y0> 0! ⇔ − ! f % f f % f

~τσι για 0>% θα είναιby > y0>

00

−!

−

f % f

% οπότε b

0

y > y0>-[ 00→

− !−%

f % f %

ή y0> 0! f

'ν η i παίρνει ε"#χιστη τιμή στο 1τοτε για κ#θε 01∈ % θα είναιb

y > y1> y > y1> 0! ⇔ − ! f % f f % f

~τσι για 1<% θα είναιby > y1>

01

−$

−

f % f

% οπότε b

0

y > y1>-[ 0

1→

−$

−%

f % f

% ή y1> 0$ f

-->Aπειδή η i είναι συνεχής στο 01 θα παίρνει ε"#χιστη τιμή στο 01 .'ν την ε"#χιστη

τιμή την παίρνει στο 0 τότε από το ερ7τημα y-> θα ήταν y0> 0! f #τοπο. 'φού

y0> 0< f .tμοια αποκ"είουμε η i να παίρνει στο 1 την ε"#χιστη τιμή γιατί θα ήταν

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1GD

y1> 0$ f που είναι #τοπο αφού y1> 0> f .~τσι η i θα παρουσι#$ει ε"#χιστη τιμή σε !να

εσωτερικό σημείο ( )0 01∈% .}ρα από το θε7ρημα w4[/g θα ισχύει b0

y > 0= f %

y%ιατί δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε r2‹/32““>

&*)36$9α3 #56789# =y > =y > += g % f % e 1Α6 #56789# g $A6α3 M5B B8$J

α8αDA#34 #9B ℝ >α3 3#;<$3 3M3L99α :

() ( )=

= = = == „ y > y >… y > 0+ + ,% g % g % g % 3α >7?$ ∈ ℝ%

Να M$AN$9$ L93 f H;$3 9B B%< H6α α>8L9α9B1

Cύση

~στω ότι η i !χει δυο θ!σεις ακρότατων !στω1 = % % με

1 =<% % .Aφόσον η i θα είναι

παραγωγίσιμη θα ισχύει το θε7ρημα w4[/g οπότε θα !χουμε1 =y > y > 0= = f % f %

Aπίσης

( ) ( )= == = =y > = y > = y > =y > y > = = y >+ + += = + = ⋅ g % g % g %

f % e e g % % e g %

Τ7ρα )"!πουμε ότι

Š i είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο1 = % % με

( ) ( )=

= = = = = == =y > = y > =

y > = y > .. y= y > E y > E y > >+ += ⋅ = = + + g % g %

f % % e g % e g % % g % % g %

Š1 =y > y >= f % f %

:πότε από το θε7ρημα k24 υπ#ρχει ( )1 = ∈ % %4 τ!τοιο 7στεb

( ) ( )= =

= = = = = = = = = ==y > =

y > 0 = y y > = y > = y > > 0 y > = y > = y > 0+= ⇔ + + = ⇔ + + = g

f e g % g g g g g4

4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

( )== = = =y > = y > y > 0 ⇔ + + = g g g4 4 4 4 #τοπο από την y1>.

&&)36$9α3 #56789# y > 3 0=

= − >%e

f % % %

G)Να M$AN$9$ L93 578;$3 #4$AB 9J bf #9B BBAB $α9B4H6 9J 6α $A6α3

α87%%% #9B6 xmx1

GG)Να αBM$AN$9$ L93 y > 1> f % 3α >7?$ 1!% 1

GGG)Να αBM$AN$9$ L93=

=01H =01G =01H3

=01G

− >

e e 1

GX)Να @8$A9$ 9B L83B1

-[ y >→+∞

+

%

f % f %

1

Cύση

->Η i είναι παραγωγίσιμη στο ( )0 +∞ #ρα

1 =y > 0

= =

−= − = >

% %e %e f % %

% %

@α δείξουμε ότι υπ#ρχει0

0>% τ!τοιο 7στε0

0

=y > 0 0 = 0

=

>−= ⇔ = ⇔ − =

% %%%e

f % %e%

@εωρούμε συν#ρτηση y > == −% g % %e 1 1

E

∈

% .~χουμεb

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1GE

1

E1 1

y > = 0E E

= − < g e 1y1> = 0= − > g e η d συνεχής στο1 1

E

#ρα από το θε7ρημα r2‹/32

υπ#ρχει του"#χιστον !να0

1 1

E

∈

% τ!τοιο 7στε b 0

0 0 0y > = 0 y > 0= − = ⇔ =% g % % e f %

-->%ια κ#θε 1>%

1

= => % >

%% e ee e y1> και 1 11 1< ⇔ − > −

% %y=>

y1> Py=>1

1 0 y > 0= =

− > − > % >%e e

f %%

για κ#θε 1>% οπότε η i είναι γνησίως αύξουσα στο

)1 +∞ #ρα y > y1> y > 1=

! ⇔ ! >e

f % f f % για κ#θε )1∈ +∞% .

---> 'πό την μονοτονία της i=01H =01G =01H =01G =01H =01G =01H

y=01H> y=01G> 3 =01H 3 =01G 3 =01H 3 =01G 3= = = = = =01G

−> % − > − ⇔ − > − ⇔ >

e e e e e e f f

=

=01H =01G =01H =01G=01H =01H=3 3

=01G =01G

− > ⇔ − >

e e e e

-,>~χουμεb1 1 1 1

1 1-[ y > -[ 3 3 -[ 3 3 -[ -[

= = = = = = =→+∞ →+∞ →+∞ →+∞ →+∞

+ + = − + − = − + + = + = =

% % % %% % % %

% % % % %

e e e e e e e e f % f % % %

% %

1

-[=→+∞

+= = +∞

% %

%

e e

&) Να %5?$A #9B ℝ 0 $NA#D# L 1E 1I H+ = +% % % % 1

Cύση

@εωρούμε συν#ρτηση με τύπο y > = f % %( 0> ∈ ℝ% ( με πεδίο ορισμού ( )0= +∞ f

+

Aίναι παραγωγίσιμη στο ( )0 +∞ ως πο"υωνυμική με παρ#γωγο b

1y > −= f % %( (

Η εξίσωση παίρνει την μορφήb

+ = + ⇔ − = − ⇔ − = −L 1E 1I H L H 1I 1E yL> yH> y1I> y1E> f f f f ( ( ( ( ( ( ( ( y1>

*υο απανωτ# @.?.Τ για την i στα διαστήματα L H 1I1E ικανοποιούνται ό"ες οι

προ’ποθ!σεις y συν!χεια στο κ"ειστό παραγωγισιμότητα στο ανοιχτό> #ρα υπ#ρχουν

( )1 1 1

yL> yH> yL> yH>LH b y > y > y=>

L H D

− −∈ = ⇔ =

−

f f f f f f 4 4 4

( )= = =

y1I> y1E> y1I> y1E>1I1E b y > y > yD>

1I 1E D

− −∈ = ⇔ =−

f f f f f f 4 4 4

tμως από την σχ!ση y1> προκύπτει

( )1 =

1 1 1 1

1 = 1 = 1 =

111 1 1 1

1 = 1==

1

1

=

y > y > 0

0 1 0 1 0

0 0

1 01

− − − −

−− ,− −

−

−

= ⇔ = ⇔ − = ⇔

⇔ − = ⇔ − = ⇔ − =

= = ⇔ ⇔

− = =

f f

(

( ( ( (

( ( 4 4

( (

(

(

4 4 (4 (4 (4 (4

4 4 ( 4 4 ( (

4 4

( (

4

( 4

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1GG

&-)36$9α3 #56789# ( )b 0 +∞ → ℝ f 3α 96 BBAα 3#;<$3 :

() ( ) ( )D = Dy > y > y > J 0+ + = > f % f % f % % %

G)Να αBM$AN$9$ L93 0 y > =< < f % % 3α >7?$ 0>%

GG)Να @8$A9$ 96 %73α α#<49D9 9J bf #9B +∞ 1

GGG)(YUZTR $8I94α) Α6

y >

-[→+∞= %

f %

%2 9L9$ 6α M$AN$9$ L93 M3αB87 9D6 9$98αD63>I6

83[I6 M5B M3αMB;3>I6 5#3>I6 α83?4I6 B5 $A6α3 4$α%<9$8B3 αL =2 0 $A6α3

43>8L9$8 9B51

=2 1

Cύση

->Η σχ!ση y1> για 0>% γρ#φεται

( ) ( ) ( ) ( )( )D = =D Dy > y > y > J y > y > y > 1 J+ + = ⇔ + + = f % f % f % % f % f % f % % y=>

tμως ( ) ( )=

y > y > 1 0+ + > f % f % για κ#θε 0>% .}ρα η y=> παίρνει την μορφή

( ) ( ) ( ) ( )

DD = D

=

Jy > y > y > J y > 0

y > y > 1+ + = ⇔ = >

+ +

% f % f % f % % f %

f % f % για κ#θε 0>%

Mαναγυρί$ουμε στην y1> b

( ) ( ) ( ) ( )D = D =D Dy > y > y > J J y > y > y > 0+ + = ⇔ − = + > f % f % f % % % f % f % f % για κ#θε 0>%

:πότε ( ) ( ) ( )( )D =D =J y > 0 = y > E E y > y > 0− > ⇔ − + + >% f % % f % % %f % f % για κ#θε 0>% yD>

tμως ( )==E E y > y > 0+ + >% %f % f % για κ#θε 0>% .~τσι = y > 0 = y >− > ⇔ >% f % % f %

Τε"ικ# 0 y > =< < f % % για κ#θε 0>% .

-->'ρχικ# θα υπο"ογίσουμε το όριοy >

-[→+∞%

f %

%

Η y1> b

( ) ( ) ( ) ( )

D = D =D0D = D

D D =

y > y > y > y > y > y >J 1 1y > y > y > J J

> + + + + = ⇔ = ⇔ + ⋅ + ⋅ =

% f % f % f % f % f % f %% f % f % f % %

% % % %% % %

:πότεD =

=

y > y > y >1 1-[ J→+∞

+ ⋅ + ⋅ = %

f % f % f %

% % % % % ή

Dy > y >

-[ J -[ =→+∞ →+∞

= ⇔ =

% %

f % f %

% %

}ρα για την ασύμπτωτηy >

-[ =→+∞

= =%

f %

%2

(αι( )

( )

=

==

y > y >yD> b y > D

y > E y > E

− −− =

+ +

f % f % f % %

f % %f % %

}ρα

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

= =

== = =

= = == = =

= = = =

y > y > y > y >y > y >

-[ y > = -[ -[ -[y > E y > E y > E y > E y > E y > E

→+∞ →+∞ →+∞ →+∞

− − −−− −

− = = = =+ + + +

+ +% % % %

f % f % f % f % f % f % % % % f % %

f % %f % % f % %f % % f % %f % %

% % % %

( )=

=

=

y > y > 1E 0 1

-[E J E Ey > E y >

E→+∞

−−

− −= = = −

+ + + +

%

f % f %

% %%

f % f %

% %

}ρα η $ητούμενη π"#για ασύμπτωτη στο +∞ είναι1

=E

= − ) % .

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1GH

--->'πό το προηγούμενο ερ7τημαy >

-[ =→+∞

= =%

f %

%2

~στω ότι ˆ∈ ℕ0 με = E> % >0 2 0 yˆ> και 1 E+ >0 πρ!πει να αποδείξουμε την ανισότητα1

1 EE

+ − < >0 0 0 y αυτό μας γυρί$ει σε γνωστ# μοτί)α z@.?.Τ>

@εωρούμε την συν#ρτηση y > = g % % είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο ( )0 +∞ .

%ια την d ικανοποιούνται οι προ’ποθ!σεις του @.?.Τ στο δι#στημα 1 + 0 0 #ρα υπ#ρχει

( ) 1∈ +4 0 0 τ!τοιο 7στε by 1> y > 1

y > 1 yE>1 =

+ −= ⇔ = + −

+ −

g g g

0 0 4 0 0

0 0 4

tμωςyˆ> yE>1 1 1 1 1 1 1

E 1E = E E=

< % < % > % > % > % > + −0 4 4 0 0 4 4 4

E>0

&+)(Α#549D93>74$[$M7>3α)

)Η $5?$Aα =01H 1LIE= + ) % $A6α3 α#<49D9 9J 8α3>KJ α87#9α#J 9J $8399KJ

#56789#J f L9α6 → +∞% 1Να @8$A9$ 96 α#<49D9 9J f L9α6 → −∞% 1

/)Α6 #56789# f $A6α3 43α B%5D6543>K #56789# 6α M$AN$9$ L93 $5?$Aα = ) %

$A6α3 α#<49D9 9J #56789#J g 4$ 9<By > 1LIE

y >y >

+=

%f % g %

f % >α3 M$6 9H46$3 96

8α3>K α87#9α# 9J g1

Cύση

1>'πό θεωρία είναι γνωστό ότιby >

-[ =01H→+∞

=%

f %

% και ( )-[ y > 1LIE

→+∞− =

% f % %2

'πό υπόθεση όμως η i είναι περιττή #ρα για κ#θε ∈ ℝ% ισχύει y > y >− = − f % f % y1>

~στω τ7ρα ότι η ασύμπτωτη της i όταν → −∞% είναι = + ) '% 5 τότεby1>y > y > y > y >

-[ -[ -[ -[ =01H=−

→−∞ →−∞ →−∞ →+∞

− −= = = =

− −

& %

% % % &

f % f % f % f &

% % % &

( ) ( )( ) ( )-[ y > =01H -[ y > =01H -[ y > =01H 1LIE=−

→−∞ →−∞ →+∞− = − − + = − − = −

& %

% % & f % % f % % f & &

}ρα η ασύμπτωτη της i όταν → −∞% είναι =01H 1LIE= − ) %

=>‡ i είναι μια πο"υωνυμική συν#ρτηση και !στω %0

0 ) ο μεγιστο)#θμιος όρος της τότε

θα !χουμε b

-[ y > -[→∞ →∞

= = ⋅ /∞ = /∞% %

f % %0

0 0 ) )

~στω = + ) '% 5 η ασύμπτωτη της d όταν → +∞% .Aίναιy > 1LIE

y > y > y > 1LIE 1LIE-[ -[ -[ -[ 1 1 0 1

y > y >→+∞ →+∞ →+∞ →+∞

+ +

= = = + = + = % % % %

%f %

g % f % %f %

% % %f % %f %

( )y > 1LIE y > 1LIE y > 1LIE

-[ y > -[ -[ -[ 0y > y > y >→+∞ →+∞ →+∞ →+∞

+ + −− = − = = =

% % % %

%f % %f % %f % g % % %

f % f % f %

:πότε η ασύμπτωτη της d όταν → +∞% είναι η = ) % .Την ίδια ασύμπτωτη )ρίσκουμε και

όταν → −∞% .

'ν τ7ρα η ασύμπτωτη = ) % !τεμνε την ]d στο σημείο0 0

y >% ) θα ίσχυε0 0

y > = g % % ή

0 0

00

y > 1LIE

.... 1LIE 0y >

+

= ⇔ ⇔ =

% f %

% f % #τοπο.

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1GI

&V)Η #56789# (b 1G → ℝ f $A6α3 α8αDA#34 #9B M37#94α ( )1G >α3 #9B

M3%α6L #;K4α αA6$9α3 8α3>K α87#9α# 9J α8αIB5 fm 9J f1

ΕA#J 3#;<$3

•1

-[ y > =+→

=%

f %

• y=> 1= − f

• yD> 1= f

• yE> D= f

• yG> == − f

G)Να 4$%$9K#$9$ 96 4B6B9B6Aα

>α3 9α >BA%α 9J f1

GG)Να @8$A9$ 9α M3α#9K4α9α #9α BBAα

f $A6α3 >589K >BA%1

GGG)Να @8$A9$ 9α #4$Aα >α4KJ 9J bf1

GX)Να @8$A9$ 9B #<6B%B 934I6 9J f1

C;$3 f B%3>L 4H3#9B >α3 B%3>L $%7;3#9Bh

X)(YUZTR)Να M$AN$9$ L93 578;$3 4B6αM3>L (01=∈ % B5 6α 3>α6BB3$A 96 3#L99α

( ) ( )D =

0 0 0= y > D y > I y > D 0− + − = f % f % f %

Cύση

->'πό την ]i )ρίσκουμε το πρόσημο της i και από το πρόσημο της i την μονοτονία της i.

(ατασκευ#$ουμε τον πίνακα

}ρα η i είναι γνησίως φθίνουσα στα διαστήματα (1= EG και γνησίως αύξουσα στο

δι#στημα = E .

Η συν#ρτηση i παρουσι#$ει στο σημείοb

Š1

==% τοπικό ε"#χιστο το y=> 1= − f

Š=

E=% τοπικό μ!γιστο το yE> D= f

ŠD

G=% τοπικό ε"#χιστο το yG> == − f

-->'πό την ]i )ρίσκουμε τα διαστήματα μονοτονίας της i και από την μονοτονία της i

)ρίσκουμε την κυρτότητα της i.

}ρα η i είναι κυρτή στο δι#στημα (1D και κοί"η στο δι#στημα D G .

P

|

iy|>

iy|>

Τ.A

1 = E G

− −

ց ր ց

Τ.? Τ.A

=

1 G

D E0

h

|

bfm

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1GJ

--->Το σημείο0

D=% είναι θ!ση σημείου καμπής της i y δη"αδή στο σημείο ( )D yD> f η ]i

δ!χεται εφαπτομ!νη ως παραγωγίσιμη στο0

D=% και η i είναι κυρτή αριστερ# του0

D=%

και κοί"η δεξι# του0

D=% > Aίναι yD> 1= f οπότε το σημείο καμπής είναι yD1>

-,>'πό τα διαστήματα μονοτονίας της i και επειδή η i είναι συνεχής στο (1G b

Š ( ) )1y 1= > y=> -[ y > 1=+→

= = − % f f f %

Š y =E > y=> yE> 1D = = − f f f

Š y EG > yG> yE> =D = = − f f f

}ρα το σύνο"ο τιμ7ν της i είναι ( )y 1G > 1= 1D =D =D = − ∪ − ∪ − = − f

'πό το σύνο"ο τιμ7ν είναι σαφ!ς ότι η i !χει ο"ικό μ!γιστο το yE> D= f και ο"ικό ε"#χιστο

το yG> == − f .

,> ( ) ( )D =

0 0 0= y > D y > I y > D 0 ...− + − = ⇔ ⇔ f % f % f %

( ) ( )( ) ( ) (

=

0 0y > y > D 0 1G=

0 0 0 11 0= y > 1 y > y > D 0

f % f % %

f % f % f %3*) ()U> − + > ∈

. =− <⇔ − − + = ⇔

( ) ( )( )=

0 0 0 0 0

1= y > 1 y > y > D 0 = y > 1 0 y >

= f % f % f % f % f %− − + = ⇔ − = ⇔ =

'πό το σύνο"ο τιμ7ν της i προκύπτει ότι η εξίσωση1

y >=

= f % !χει μοναδική "ύση0

% με

(01=∈ % .

&.) A6B69α3 B3 #56α89K#$3J f >α3 g α8αDA#34$J #9B ) 5 4$ y > y >= f g) ) >α3

y > y >= f g 5 5 1Α6 y > 0> f % >α3 y > 0< g % 3α >7?$ ∈ % ) 5 1

G)Να αBM$AN$9$ L93 578;$3 4B6αM3>L ( )0 ∈% ) 5 9H9B3B I#9$ B3 $α9L4$6$J #9α

#4$Aα0 0

y y >>E % f % >α30 0

y y >>B % g % 6α $A6α3 α87%%%$J 1

GG)Τ5;αAα $5?$Aα ($) α87%%% #9B6 7NB6α lml 9H46$3 96 bf >α3 96 bg #9α #4$Aαy y >> f 4 4 >α3 y y >> Z g4 4 1Να αBM$AN$9$ L93 αL#9α# (ΜΝ) A6$9α3 $%7;3#9 L9α6

0= %4 1

Cύση

->'ρκεί να δείξουμε ότι υπ#ρχει μοναδικό σημείο ( )0 ∈% ) 5 τ!τοιο 7στε

0 0y > y >= f % g % .@εωρούμε συν#ρτηση y > y > y >= −h % f % g % και !χουμεb

Η h είναι συνεχής στο ) 5

Η h είναι παραγωγίσιμη στο ( ) ) 5

y > y > y > y > y > y >= − = − =h f g f g h) ) ) 5 5 5

}ρα από το θε7ρημα k24 υπ#ρχει ( )0 ∈% ) 5 τ!τοιο 7στε

0 0 0 0 0y > 0 y > y > 0 y > y >= ⇔ − = ⇔ =h % f % g % f % g %

%ια την μοναδικότητα !χουμεb

Η y > y > y > 0= − >h % f % g % για κ#θε ∈ % ) 5 . }ρα η ` είναι γνησίως αύξουσα οπότε το

( )0 ∈% ) 5 είναι μοναδικό .

-->~στω η ευθεία =% 4 παρ#""η"η στον #ξονα hh η οποία τ!μνει την ]i και την ]d στα

σημεία y y >> f 4 4 και y y >> Z g4 4

Τότε

( ) ( )= ==

y > y > y > y > y > y > y > y > y >= − + − = − = − = $N f g f g f g h4 4 4 4 4 4 4 4 4 %ια την συν#ρτηση ` !χουμεb

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1GL

y > y > y >= −h % f % g %

0y > 0=h %

y > y > y > 0= − >h % f % g %

}ρα η ` είναι γνησίως αύξουσα οπότε προκύπτει ότιb

'ν0

<% % τότε0

y > y > 0< =h % h % ` γνησίως φθίνουσα στο0

%)

'ν 0>% % τότε 0y > y > 0> =h % h % ` γνησίως αύξουσα στο 0 % 5 Η ` παρουσι#$ει ε"#χιστο στο

0% δη"αδή η απόσταση y?;> γίνεται ε"#χιστη όταν

0= %4 .

!)A6$9α3 #56789#E D = =y > = D 1= H= + + − + f % % % % %2 ( ( (

LB5 >0% 4 4M$63>BA 8α4α93>BA #9α?$8BA α83?4BA

Α1 Α6 f H;$3 98Aα M3α>$>834H6α 9B3>7 α>8L9α9α 9L9$ 6α M$AN$9$ L931

=⋅ <( 2

Β1 Α6 0=2 0H#9D Α0Β0Γ B3 8B@B%HJ 9D6 9B3>I6 α>8L9α9D6 >α3 9B5 #4$AB5 >α4KJ

9J f #9B6 xmx α69A#9B3;α1

G)Να M$AN$9$ L93 9B #4$AB Γ M3;B9L4$3 9B 94K4α ΑΒ 3α >7?$ 0,( 1

GG)Να M$AN$9$ L93 $5?$Aα ΑΒ >α3 $α9B4H6 ($) 9J bf #9B #4$AB >α4KJ

#;4α9A[B56 4$ 9B6 xmx α4@%$Aα D6Aα1 ΠB3α αL 93J M5B D6A$J( ($0xmx)0(xmx0^Y) $A6α3

4$α%<9$8h

Cύση

'.Η i είναι παραγωγίσιμη και συνεχής στο ℝ ως πο"υωνυμική. Η i !χει τρία

διακεκριμ!να τοπικ# ακρότατα με τετμημ!νες1 = D| | | με

1 = D< <% % % .'πό το θε7ρημα

w4[/g σε καθ!να από τα1 = D| | | ισχύειb

1 = Di y| > i y| > i y| > 0= = = y1>

Aίναι D = =y > E H H 1== + + − f % % % %2 ( ( y=>

Η i είναι συνεχής στο 1 =| | ως πο"υωνυμική

Η i είναι παραγωγίσιμη στο ( )1 =| | ως πο"υωνυμική

1 =i y| > i y| >=

}ρα από το θε7ρημα k24 υπ#ρχει ( )E 1 =| | |∈ bE

y > 0= f %

Η i είναι συνεχής στο= D| | ως πο"υωνυμική

Η i είναι παραγωγίσιμη στο ( )= D| | ως πο"υωνυμική

= Di y| > i y| >=

}ρα από το θε7ρημα k24 υπ#ρχει ( )G = D| | |∈ bG

y > 0= f %

'ν#"ογα=y > 1= 1= H= + + f % % %2 ( και

G Ey > y > 0= = f % f %

G E,% %

}ρα η y > 0= f % ως τρι7νυμο !χει δυο διακεκριμ!νες ρί$ες όταν

= 10 1= E 1= H 0 1EE =JJ 0 1EEy1 = > 0 1 = 0

=. > ⇔ − ⋅ ⋅ > ⇔ − > ⇔ − > ⇔ − > ⇔ <2 ( (2 (2 (2 (2

B. 'ν 0=2 η i παίρνει την μορφή D = =y > = D 1= H= + − + f % % % %( ( ( = =y > H H 1== + − f % % %( ( ∈ ℝ%

y > 1= H= + f % % ( ∈ ℝ%

:ι ρί$ες της y > 0= f % είναι == = −% %( (

}ρα η i παρουσι#$ει τοπικ# ακρότατα στα σημεία με τετμημ!νες1 =

== = −% %( ( και

σημείο καμπήςD =

= −% (

.Kωρίς )"#)η της γενικότητας είναι b

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1H0

y 0> y = 0> y 0>=

E H − G −(

( ( και επειδή=

=

=

−= %

( ( #ρα το % διχοτόμει το τμήμα 'B για 0,(

D D D=y > y = > =H =I

L 0= D DEH

− − − − −= = = = − <

+

f f ( ( ( ( ( 2 (

( ( ( ( για κ#θε 0,( #ρα σχηματί$ει αμ)"εια

γωνία με % %

==I

y > 0= == − < f

(

( η εφαπτομ!νη yε> της ]i στο σημείο καμπής σχηματί$ει με τον ||αμ)"εία γωνία.

~χουμε

y >=

= =

y >=

=IL y > y > y > y >

=

< <

< EH <

− < − ⇔ > ⇔ >% %

% %

% % *B % % % % *B % %

π > π

π π

( ( >D >D > >

)A6$9α3 #56789# b →ℝ ℝ f M5B B8HJ α8αDA#34 4$ y0> 1 y0> 0= = f f >α3

9H9B3α0 I#9$

=y y > y >> y >+ = − f % %f % f % 3α >7?$ ∈ ℝ%

A6B69α3 $A#J 9α #4$Aα

y 0> y y >> y y >> y 0>G − . − * % B % f % % f % % 4$ 0>%

G)Να αBM$AN$9$ L93=

1y >%

f %e

=

GG)Να @8$A9$ 9α #4$Aα >α4KJ 9J 8α3>KJ α87#9α#J 9J f1

GGG)Να αBM$AN$9$ L93 9B $4@αML Ε 9B5 B8?BD6AB5 ΑΒΓ MA6$9α3 αL 9B6 9 =

%

%! %

e 3α >7?$ 0>%

GX)Να αBM$AN$9$ L93 9B $4@αML 9B5 B8?BD6AB5 ΑΒΓ A6$9α3 4H3#9B0 L9α6 9α

#4$Aα Β >α3 Γ $A6α3 #4$Aα >α4KJ 9J bf1

X)(YUZTR $8I94α) Γ3α 93J α8αDA#34$J #56α89K#$3J j0g 3#;<$3=1 1

y >

y > y >

% %e f %

h % g %

++ = () 4$ y > y > 0, g % h % 3α >7?$ ∈ ℝ% 1

Να M$AN$9$ L93:

( ) ( )= =

y > „ y > y >… y > „ y > y >… 0+ + + =h % g % g % g % h % h %

Cύση

->~χουμεb

( )=y y > y >> y > = y > = y > y > 0 = y > = y > y > 0+ = − ⇔ + + = ⇔ + + = ⇔ f % %f % f % f % %f % f % % f % %f % f %

( ) ( )= y > y > 0 = y > y > 0⇔ + = ⇔ + =%f % f % %f % f % για κ#θε ∈ ℝ% .*η"αδήb

= y > y >+ =%f % f % c για κ#θε ∈ ℝ% με ^ σταθερό πραγματικό αριθμό.

@!τουμε όπου | το 0 και "αμ)#νουμε

= 0 y0> y0> 0⋅ ⋅ + = ⇔ = f f c c ~τσι( ) ( )

= == == y > y > 0 y > y > 0 y > y > 0+ = ⇔ + = ⇔ + = ⇔% %%f % f % % f % f % e % f % e f %

( ) ( )= = =

y > y > 0 y > 0+ = ⇔ =% % %e f % e f % e f %

}ρα=

=y > y >= ⇔ =%

%

ce f % c f %

e για κ#θε ∈ ℝ% με ^ σταθερό πραγματικό αριθμό.

@!τουμε όπου | το 0 και "αμ)#νουμε

= =0 0y0> 1 1= ⇔ = ⇔ =

c c f c

e e

Τε"ικ#=

=

1y > = = − %

% f % e

e

για κ#θε ∈ ℝ% με ^ σταθερό πραγματικό αριθμό.

--> ( ) ( )= = ==y > =− − −= = − = −% % % f % e e % %e

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1H1

( )= = ==y > = = E− − −= − = − +% % % f % %e e % e

( )= = == = =

1 =

= =y > 0 = E 0 = E 0 = E 0

= =− − −= ⇔ − + = ⇔ − + = ⇔ − + = ⇔ = − =% % % f % e % e e % % % ( %

Τα σημεία1 =

= =

= == − =% ( % είναι θ!σεις σημείου καμπής της i καθ7ς η ]i σε αυτ#

δ!χεται εφαπτομ!νη ως παραγωγίσιμη και

i είναι κυρτή αριστερ# του1

=

== −% και κοί"η δεξι# του

1

=

== −%

i είναι κοί"η αριστερ# του1

=

==% και κυρτή δεξι# του

1

=

==%

}ρα τα σημεία καμπής της ]i είναι= 1 = 1

y > y >= =

−^ _e e

--->= =

1 =y > y >y > y >„ y >… = y > == . = − − = = =

% %

%! % *B * f % % % %f % %

e e

-,>Η μ!γιστη τιμή του εμ)αδού είναι=

y >=

!

,>=

=

=

1 1 1 1 1 1y >

y > y > y > y > y > y >

% %% % %

%

ee f % e

h % g % h % g % h % g %e

+++ = ⇔ + = ⇔ + = με y > y > 0, g % h % για κ#θε ∈ ℝ%

Η προς απόδειξη σχ!ση γρ#φεται

( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

= =

= = = = = =

y > „ y > y >… y > „ y > y >… „ y > y >… „ y > y >…0 0

y > y > y > y > y > y >

+ + + ++ = ⇔ + = ⇔

h % g % g % g % h % h % g % g % h % h %

h % g % h % g % g % h %

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

= = = = = =

= =

y > y > y >y > y > 1 1 y >0 0

y > y >y > y > y > y > y > y >

y >1 1 y > 1 1 1 1 yD>

y > y > y > y > y > y >y > y >

+ + + = ⇔ + + + = ⇔

⇔ + = − − ⇔ + = +

g % g % g %h % h % h %

g % h % g % g % h % h % g % h %

g % h %

g % h % g % h % g % h % g % h %

Η yD> ισχύει διότι1 1

y > y >+ = %e

h % g %

/)Η 8α3>K α87#9α# 9J #56789#J f 4$ 9 α | 3 | =yJ) α> E) 1I

M3H8;$9α3 αL 9B #4$AB Α(0) 1

G)Να @8$A9$ 9B $MAB B83#4B< 9J >α3 6α M$AN$9$ L93 = −α 1 0 =) = 1

GG)Να M$AN$9$ L93 f α693#98H$9α3 >α3 6α @8$A9$ 9B $MAB B83#4B< 9J −1i 1

GGG)Να M$AN$9$ L93 −1i $A6α3 6#ADJ α<NB5#α #9B ( )+∞ = ℝiy 0 > 1

GX)Α6 $A6α3 6D#9L L93 −1i $A6α3 #56$;KJ #9B ( )+∞ = ℝiy 0 >

α) Να @8$A9$ 9α L83α :−

→−∞

1

|

3yi y|>>-[

| >α3 ( )−

→−∞

1

|-[ |i y|>

@) Να M$AN$9$ L93 578;$3

∈

D

1ξ 1

4 I#9$ − =1i yημξ> ξ 1

Cύση

-> ( )= +∞is 0

= ⇔ + − − + + = ⇔ − + + + = ⇔ + + + − + = ⇔= = = = = =iy1> 1 α 31 =yJ) α> E) 1I 1 α 1H) =α E) 1I 0 α =α 1 E) 1H) 1H 0

⇔ + + + − + = ⇔ + + − + = ⇔ + + − = ⇔= = = = = =yα =α 1> Ey) E) E> 0 yα 1> Ey) E) E> 0 yα 1> Ey) => 0

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1H=

+ = + = = − + + − = ⇔ ⇔ ⇔ − = =− =

=

= =

=

yα 1> 0 α 1 0 α 1

yα 1> Ey) => 0 και και και

) = 0 ) =Ey) => 0

--> %ια = −α 1 =) = ο τύπος της συν#ρτησης είναι = +iy|> | 3 | με ( )= +∞si 0

Η i είναι παραγωγίσιμη #ρα = + = + >

1

i y|> | 3 | 1 0| για κ#θε >| 0 οπότε η i είναι γνησίωςαύξουσα στο ( )+∞0 ως γνησίως μονότονη είναι 1O1 #ρα αντιστρ!φεται.

Το πεδίο ορισμού της −1i είναι το σύνο"ο τιμ7ν της i το ( )+∞iy 0 >

Aίναι+ +→ →

= + = −∞| 0 | 0-[ iy|> -[y| 3 |> 0

→+∞ →+∞= + = +∞

| |-[ iy|> -[y| 3 |>

Aπειδή η i είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο ( )+∞0 προκύπτει ότιb

( ) ( )+ →+∞→+∞ = = ℝ

|| 0iy 0 > -[ iy|> -[ iy|>

}ρα το πεδίο ορισμού της −1i είναι το ℝ .

--->Sποθ!τουμε ότι η −1i δεν είναι γνησίως αύξουσα στο ( )+∞ = ℝiy 0 >

Τότε θα υπ#ρχουν ∈ ℝ1 =| | με <1 =| | και − −!1 1

1 =i y| > i y| >

~χουμε όμωςb( )+∞

− − − −! % ! % !րi 0

1 1 1 1

1 = 1 = 1 =i y| > i y| > iyi y| >> iyi y| >> | |

9υνεπ7ς η −1i είναι γνησίως αύξουσα στο ( )+∞ = ℝiy 0 >

-,>Aπειδή η −1i είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο ( )+∞ = ℝiy 0 > προκύπτει ότιb

( )− − −

→−∞ →+∞=ℝ

1 1 1

| |i y > -[ i y|> -[ i y|>

Aίναι όμως − −

→−∞ →+∞= = +∞1 1

| |-[ i y|> 0 -[ i y|>

'κόμη ισχύει b( )− ∈ = +∞1

ii y|> s 0 για κ#θε ( )∈ +∞ = ℝ| iy 0 >

*η"αδή ισχύει b − >1i y|> 0

α>

%ια το−

→−∞

1

|

3yi y|>>-[

|θ!τουμε −= 1_ i y|> οπότε είναι =iy_> | .Aπειδή −

→−∞=1

|-[ i y|> 0 και

− >1i y|> 0 για κ#θε ∈ ℝ| !πεται ότι όταν → −∞| !χουμε +→_ 0

}ρα

( )

( )+ + + + +

∞− ∞

→−∞ → → → → →

= = = = = =

+ ++ +

1

| s.n.‡_ 0 _ 0 _ 0 _ 0 _ 0

13 _ 3yi y|>> 3 _ 3 _ 1_-[ -[ -[ -[ -[ -[ 1

1| iy_> _ 3 _ _ 1_ 3 _ 1_

%ια το ( )−

→−∞

1

|-[ |i y|> !χουμε ότι +→_ 0

}ρα

( ) ( ) ( )+ + + + + +

∞∞

−

→−∞ → → → → → →

++ += = + = = = = − − =

−

1 =

| s.n.‡_ 0 _ 0 _ 0 _ 0 _ 0 _ 0

=

11

_ 3 _ y_ 3 _> _-[ |i y|> -[ iy_>_ -[ y_ 3 _>_ -[ -[ -[ -[y _ _> 01 11

_ __

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1HD

)> @εωρούμε την συν#ρτηση = − = + − >dy|> iy|> ημ| | 3 | ημ|| 0

Η d συνεχής στο +∞y0 > y ως #θροισμα συνεχ7ν συναρτήσεων > οπότε η d είναι συνεχής

στο

D

1 1

4

Tσχύειb

−= + − = − − = − <D

D D D D D D D D1 1 1 1 1 1 1 D4 1dy > 3 ημ D ημ ημ 04 4 4 4 4 4 4 4

y −

< − ⇔ − < − ⇔ − <D

D D D

D

1 D41 1 D4 4 1 =4 0

4 που ισχύει>

= + − = − > <dy1> 1 31 ημ1 1 ημ1 0 yημ1 1>

}ρα από το θε7ρημα r2‹/32 υπ#ρχει του"#χιστον !να

∈

D

1ξ 1

4 τ!τοιο 7στε

−= ⇔ − = ⇔ = ⇔ =1dyξ> 0 iyξ> ημξ 0 iyξ> ημξ i yημξ> ξ




ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1HE

ΟΛΟΛΗΡ,ΤΙΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1HG

) "$D8B<4$ 96 #56789# ( ) |

|i | |

4= ( + 1

G)Να 8B#M3B8A#$9$ 96 934K 9B5 ( ∈ ℝ 0 I#9$ 8α3>K α87#9α# 9J f 6α H;$3

#9B #4$AB (!0f(!)) $α9B4H6 α87%%% 8BJ 96 $5?$Aα $: h =| I= + 1

GG)Να αBM$AN$9$ L93 f $A6α3 6#ADJ α<NB5#α #9B ℝ 1

GGG)Να αBM$AN$9$ L93 $5?$Aα l=x $A6α3 %73α α#<49D9 9J bf1GX)Να 5B%BA#$9$ 9B $4@αML ( )f ' 9B5 >α45%L8α44B5 ;D8AB5 0 B5 B8A[$9α3 αL

96 8α3>K α87#9α# 9J f 0 96 $5?$Aα l=x >α3 93J $5?$A$J x=! >α3 x=4(4!)

X)Να 5B%BA#$9$ 9B L83B -[ Ay >'→+∞

' 1

XG)A6$9α3 #56789# d b →ℝ ℝ 4$ #56$;K M$<9$8 α87DB BBAα α8B5#37[$3

9B3>L α>8L9α9B #9B 0| == >α3 bg M3H8;$9α3 αL 9B #4$AB cy0 iy0> 1>+ 1Α6 3#;<$3:=

0

J„|dy|> =dy|>…e|

D+ = −∫

Να M$AN$9$ L93 bg M3H8;$9α3 αL 9B #4$ABG

ry= >

D

−

Cύση

->'ν " ο συντε"εστής διεύθυνσης της εφαπτομ!νης της ]i στο σημείο της y0iy0>> τότε

iy0>2 = .

( )| |

=| |

4 |4 1 |i |

4 4

− −= ( + = ( +

0

1 01

4

−2 = ( + = ( + και =2 = "όγω παρα""η"ίας

1 = 12 = 2 ⇔ ( + = ⇔ ( =

-->%ια 1( = ο τύπος της i γρ#φεται ( )|

| |

1 | 4 | 1i | 1 0

4 4

− − += + = !

y |4 | 1! − για κ#θε | ∈ ℝ γιατί“> }ρα η i είναι γνησίως αύξουσα.

--->~χουμεb( ) ( ) ||

| || | | | |

||i | i | 4 1 14-[ -[ -[ -[ -[ 1 1| | | 4 4→+∞ →+∞ →+∞ →+∞ →+∞

+ + ) = = = = = + =

~χουμε ακόμα( )| | ||| | | | |

| | | 1-[ iy|> | -[ | | -[ -[ -[ 0

4 4 44

+∞+∞

→+∞ →+∞ →+∞ →+∞ →+∞

5 = − ) = + − = = = =

yˆ>

}ρα h 1 | 0 h |= ⋅ + ⇔ =

-,>Aπειδή ( ) |

|i | | 0

4− = > για κ#θε | 0> το $ητούμενο εμ)αδό δίνεται από τον τύπο

( ) ( )

( ) ( )

| |

|

0 0 0 0 0

| | | |

00 00

|f „iy|> h…e| „iy|> |…e| e| |4 e| | 4 e|

4

| 4 4 e| | 4 4 4 4 1

' ' ' ' '− −

'' ' '− − − − −' −'

' = − = − = = = − =

= − + = − − = −' − +

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫

,> ( )yˆ>

-[ Ay > -[ 4 4 1 .. 0 0 1 1−' −'

'→+∞ '→+∞' = −' − + = = − + =

,->Η d παρουσι#$ει τοπικό ακρότατο στο0| == #ρα από θ.w4[/g ισχύειb d y=> 0=

η ]d δι!ρχεται από το σημείο cy0 iy0> 1> cy01>+ = #ρα dy0> 1= = = = = =

=

00 0 0 0 0

J J J„|d y|> =d y|>…e| |d y|>e| =d y|>e| |d y|> d y|>e| = dy|>e|

D D D+ = − ⇔ + = − ⇔ − + = − ⇔ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

== = =

0 0 00

J J J|d y|> d y|>e| |d y|> dy|> =d y=> 0d y0> dy=> dy0>

D D D + = − ⇔ + = − ⇔ − + − = − ⇔ ∫

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1HH

J J Gdy=> 1 dy=> 1 dy=>

D D D− = − ⇔ = − ⇔ = − .}ρα η ]d δι!ρχεται από το σημείο

Gry= >

D− .

/)(Μ$[$M7>3α)

G)C#9D #56$;KJ #56789# f #9B ℝ I#9$:= E H

1 = E

iy|>e| D iy|>e| 1= iy|>e| =0= = =∫ ∫ ∫

Να α693#9B3;A#$9$ >7?$ B%B>%K8D4α 9J #9K%J Α #9B6 α83?4L B5 $>87[$3

#9K% Β 1

GG)A6$9α3 α8αDA#34 #56789# f B83#4H6 #9B 01 9H9B3α I#9$:

==iy|>i y|> 1 i y|>= + 3α >7?$ | 01∈

Να M$AN$9$ L93

( )

( )

=

=

1 iy1>4

1 iy0>

+=

+

GGG)Να αBM$AN$9$ L93 1LIE

0

y |> |e| 0=

π π− 1υ0 =∫

GX)Να @8$A9$ 96 934K 9B5 0=

π 2 ∈

H9#3 I#9$ 6α 3#;<$3:

= |

0

y | |>4 e| 12

D + D =∫

Cύση

->E = =

1 1 E

iy|>e| iy|>e| iy|>e| D = 1G= + = + =∫ ∫ ∫ #ρα 1 %→

= H E H

H = = E

iy|>e| iy|>e| y iy|>e| iy|>e|> D== − = − + = −∫ ∫ ∫ ∫ #ρα = '→

H = E H

1 1 = E

iy|>e| iy|>e| iy|>e| iy|>e| D 1= =0 DG= + + = + + =∫ ∫ ∫ ∫ #ρα D B→

ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β

1E

1

iy|>e|∫

/1=

H

iy|>e|∫

*1

H

1

iy|>e|

∫

&1=

1

= y1 iy|>>e|−∫

'.OD=

B.DG

%.1G

*.OE

A.O=D

9Τ.O1G




ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1HI

= = = =

=

11 1 1 1

= y1 iy|>>e| =y 1e| iy|>e|> =y | iy|>e|>> =yy= 1> D> E− = − = − = − − = − ∫ ∫ ∫ ∫ 0 E *→

-->Tσχύειb=

=

= =

=iy|>i y|> y1 i y|>>=iy|>i y|> 1 i y|> 1 1

1 i y|> 1 i y|>

+= + ⇔ = ⇔ =

+ +

}ρα1 1

= 1= = =

= 00 0

= =

= =

y1 i y|>> e| 1e| 3y1 i y|>> 1 3y1 i y1>> 3y1 i y0>> 11 i y|>

1 i y1> 1 i y1>3 1 4

1 i y0> 1 i y0>

+ = ⇔ + = ⇔ + − + = ⇔ +

+ +⇔ = ⇔ =

+ +

∫ ∫

---> 1LIE

0

y |> |e| 0=

π π− 1υ0 =∫

θ!τουμε _ |=

π= − οπότε e_ e|= −

%ια | ό _= =

π π= π @ @ = − π = −

%ια | 0 ό _= =π π= @ @ = =

0= = =1LIE 1LIE 1LIE 1LIE 1LIE

0 0

= = =

y |> |e| _ y _>e_ _ _e_ _ _e_ _ _e_= =

π π ππ

π π π− − −

π π− 1υ0 = 1υ0 − = &' = &' + &'∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ή

0 =1LIE 1LIE 1LIE

0 0

=

y |> |e| _ _e_ _ _e_=

ππ

π−

π− 1υ0 = &' + &'∫ ∫ ∫ y1>

01LIE

=

l _ _e_π

−

= &'∫ θ!τουμε _ = −) οπότε e_ e= − )

%ια _ ό= =

π π= − @ @ ) =

%ια _ 0 ό 0= @ @ ) =

0 = =1LIE 1LIE 1LIE

0 0

=

l _ _e_ y > y >e e

π π

π−

= &' = −) &' −) ) = − ) &') )∫ ∫ ∫ y=>

'πό y1>y=>

= = = =1LIE 1LIE 1LIE 1LIE 1LIE

0 0 0 0 0

y |> |e| e _ _e_ _ _e_ _ _e_ 0=

π π π ππ π

− 1υ0 = − ) &') ) + &' = − &' + &' =∫ ∫ ∫ ∫ ∫

-,>6αρατηρούμε ότι

( )

= | = | = | | |

0 0 0

| | | | |

00

y | |>4 e| 1 y | 1 1 |>4 e| 1 yy | 1>4 4 4 |>e| 1

yy |>4 4 | 4 >e| 1 | 4 4 1 4 4 y 1> 1

2 2 2

22 2 2

D + D = ⇔ D + − + D = ⇔ D + − + D =

⇔ D + D − = ⇔ D ⋅ − = ⇔ D2 ⋅ − − − = ⇔

∫ ∫ ∫

∫

0=

4 4 1E

π 2∈

2 2 π

D2 ⋅ = ⇔ D2 = ⇔ 2 =

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1HJ

* GECα ντλ3 αντ"α"2α!+!"#1;;G A6$9α3 #56789#D =y > = 0= + + + , g % % % %) 5 3 W ) α0@00M #9α?$8BA 8α4α93>BA α83?4BA1

Α1G)Να αBM$AN$9$ L93 bg H;$3 α>83@IJ H6α #4$AB >α4KJ1

GG) Α6 g H;$3 M5B ?H#$3J α>8B979D6 #9α1

% >α3=

% 6α αBM$AN$9$ L93

1 =y > y > 0 g % g %+ =

Β1 Να αBM$AN$9$ L93 3α 96 #56789#=

y >=

=h %%

) 0 0,% 9B $4@αML B5 #;4α9A[$9α3

αL >7?$ $α9B4H6 9J >α3 9B5J 7NB6$J $A6α3 #9α?$8L1

Γ1 "$D8B<4$ 96 #56789#= D= =y 1> y >

y > DD

+ + + −= ,

−

% % g % f % %

%

) W

ΕA6α3 6D#9L L93 $5?$Aα = ) % $A6α3 %73α

α#<49D9 9J bf #9B +∞

G)Να M$AN$9$ L93 1= 5 >α3 =*1

GG)Υ78;$3 9B5%7;3#9B6 H6αJ α83?4LJ ( )1=∈4

#9B6 BBAB $α9B4H6 9J bf $A6α3

α87%%% #9B6 7NB6α % % 1

1(YUZTR )A6$9α3 #56789# ` 3α 96 BBAα 3#;<$3:

•#56$;KJ #9B 10−

• ( ) ( )DDyE> G = y > y > J− + = + f % % ` % f 4 3α >7?$ 10−

Να αBM$AN$9$ L93 #56789# f M3α98$A 8L#4B #9B M37#94α ( )10− 1

€1Α6 3α 43α #56789# #56$;K #9B ℝ BB< 3#;<$3 3M3L99αyE>

y > = y= > G=

+ = + f

% % %D D 3α >7?$ ∈ ℝ%

Να 5B%BA#$9$ 9BE

1

y >∫ % d%D 1

Cύση

'.-> Η d δυο φορ!ς παραγωγίσιμη και συνεχής στο ℝ ως πο"υωνυμική !τσιb=y > D == + + g % % %) 5 3 y > H == + g % %) 5

y > 0 H = 0D

= ⇔ + = ⇔ = − g % % % 5

) 5 )

.Η d εκατ!ρωθεν τουD

= −% 5

) α""#$ει πρόσημο #ρα

σημείο καμπής.

-->:ι αριθμοί1

% και=

% είναι θ!σεις τοπικ7ν ακροτ#των της d από το θε7ρημα w4[/g

ισχύειb1 =

y > y > 0= = g % g % #ρα1

% =

% είναι ρί$ες της =y > D == + + g % % %) 5 3 δη"αδή από τύπο -4g/

1 =

=

D+ = −% %

5

) y1>

( )y1>

1 = 1 = 1 =

=y > y > H = H = H E H E 0

D g % g % % % % %

5 ) 5 ) 5 ) 5 ) 5

)

+ = + + + = + + = − + =

B.Η ` είναι παραγωγίσιμη ως ρητή για κ#θε 0,% !τσιb= =

=y >

= =h %

% %

) ) = = −

Η εφαπτομ!νη της ` στο τυχαίο σημείο της γραφικής της παρ#στασης0 0

y y >>E % h % !χει

τύποb

εb 0 0 0y > y >y >− = − ) h % h % % % #ρα

= =

0=0 0

y >= =

) % %% %

) ) − = − −

Εί)αι *ο''ά τα

ε-5τ4µατα,

W-η;;;

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1HL

ŠΗ ε τ!μνει τον #ξονα || στο σημείο με τεταγμ!νη 0 δη"αδή= =

0 0=0 0

0 y > .. == =

% % % %% %

) ) − = − − ⇔ ⇔ = #ρα είναι το σημείο

0y= 0>B %

ŠΗ ε τ!μνει τον #ξονα hh στο σημείο με τετμημ!νη 0 δη"αδή= = =

0=

0 00

y0 > ...

= =

) % )

% %%

) ) ) − = − − ⇔ ⇔ = #ρα είναι το σημείο

=

0

y0 >G

%

)

:πότε το $ητούμενο εμ)αδό είναι b=

=

0

0

1=

== =! %

%

) ) ανεξ#ρτητο του |.

%.= D = D D == =y 1> y > = =y 1> =

y >D D

+ + + − + + + − − − −= = =

− −

% % g % % % % % % f %

% %

) W ) W ) 5 3 W

( ) == D D = = == = = =

D D

− − ++ + + − − − −= =

− −

% %% % % % %

% %

5 3 ) W ) 5 3 W

}ρα τε"ικ#( ) == =

y > DD

− − += ,

−

% % f % %

%

5 3 .'πό υπόθεση η ευθεία = ) % είναι π"#για

ασύμπτωτη της ]i στο +∞ .}ρα

( ) ( ) == =-[ y > 0 -[ 0

D→+∞ →+∞

− − + − = ⇔ − = −

% %

% % f % % %

%

5 3

~τσι

( ) ( ) ( )= = = == = = = D 1 y D> =-[ -[ -[ 0

D D D% % %

% % % % % % % %%

% % %

5 3 5 3 5 3

→+∞ →+∞ →+∞

− − + − − + − + − − − + − = = = − − −

tμως αν 1O)‰ 0 ή 1O) ‘0 το παραπ#νω όριο απειρί$εται !τσι ισχύει 1 0 1− = ⇔ = 5 5

~τσι = y D> =

y >D

% % f %

%

3 − − +=

−δη"αδή

( ) ( )= = = D =y D> = y D> = D-[ y > 0 -[ 0 -[ 0 -[ 0

D D D% % % %

%% % % % % % f % % %

% % %

3 3 3

→+∞ →+∞ →+∞ →+∞

− + − − + − − + − +− = ⇔ − = ⇔ = ⇔ = − − −

( )D =-[ 0 D 0 D

D→+∞

− += ⇔ − = ⇔ =

− %

%

%

3 3 3 .

Τε"ικ# η συν#ρτηση !χει τύπο= D =

y > DD

− += ,

−% %

f % %%

--> Η i συνεχής στο 1= ως ρητή

Η i παραγωγίσιμη στο ( )1= ως ρητή

y1> y= 0= = f f

}ρα από θε7ρημα k24 υπ#ρχει του"#χιστον !νας αριθμός ( )1=∈4 τ!τοιος 7στε

y > 0= f 4 δη"αδή η εφαπτομ!νη της ]i είναι παρ#""η"η στον #ξονα % % .

*. 'πό τα προηγούμενα ερωτήματα !χουμε =E D E =

yE> H y > 0E D

− ⋅ += = =

− f f 4 οπότε η δοθείσα ισότητα παίρνει την μορφήb

( ) ( ) ( )D DD DH G = y > J = y > J− + = ⇔ + =% % % % % % y=>

~στω ότι η συν#ρτηση W δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο στο ( )10− .

Τότε υπ#ρχουν ( )D E 10∈ −% % με

D Ey > y > 0⋅ <` % ` %

Kωρίς )"#)η της γενικότητας μπορούμε να υποθ!σουμε ότιD E

<% % τότε η W είναι συνεχής

στοD E % % και

D Ey > y > 0⋅ <` % ` % #ρα από το θε7ρημα r2‹/32 υπ#ρχει ( )0 D E

∈% % % τ!τοιο 7στε

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1I0

0y > 0=` % και η y1> b ( )

DD D

0 0 0 0 0= y > J J =+ = ⇔ = ⇔ =% % % % % #τοπο διότι ( )0

= 10= J −%

}ρα η W διατηρεί πρόσημο στο ( )10− .y το ερ7τημα y*> αντιμετωπί$εται και α"γε)ρικ#.>

A. 'πό το ερ7τημα % ->=E D E =

yE> HE D

− ⋅ += =

− f η δοθείσα ισότητα γίνεται

Hy > = y= > G y > = y= > G D

=+ ⋅ = + ⇔ + ⋅ = +% % % % % %D D D D

Tσχύειb== = = = =

1 1 1 1 1

Gy > = y= > G D y > = y= > D

=

+ ⋅ = + ⇔ + = + ⇔

∫ ∫ ∫ ∫

%% % d% % d% % d% % d% %D D D D

= = = == =

1 1 1 1

= = = =

1 1 1 1

G = G 1 11y > = y= > y D => y D 1> y > = y= > 1H

= = =

D= 11 =1y > = y= > y > = y= > yˆ ˆ ˆ>

= =

⋅ ⋅+ = + ⋅ − + ⋅ ⇔ + = − ⇔

−⇔ + = ⇔ + =

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

% d% % d% % d% % d%

% d% % d% % d% % d%

D D D D

D D D D

9το ο"οκ"ήρωμα=

1

= y= >∫ % d%D θ!τουμε = =% & #ρα = =d% d&

%ια 1=% προκύπτει ==&

%ια ==% προκύπτει E=&

}ρα= E

1 =

1y= > y >

==∫ ∫% d% & d&D D οπότε η yˆˆˆ> γίνεται

= E = E = E E

1 = 1 = 1 = 1

1 =1 =1 =1 =1y > = y > y > y > y > y > y >

= = = = =+ = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫% d% & d& % d% & d& % d% % d% % d%D D D D D D D

NΓ-άGαµε τε/τ /το /ο'είο και /το τ-ίτο θ(µα

Dητ4θηκε µε'(τη /υ)ά-τη/η. Xά'τε µε )α /κάG5

κι7'α;;P

<ο-)4'ιο EF ετ3), υ*οG4+ιο *α)ε''η)ί5)

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1I1

&)(Υ$6?543# >85BM3α83B83>B<%$J11)

Να @8$A9$ 9B6 9i y|> D| iy|> 0+ + = 03α >7?$ | ∈ ℝ 0 iy1> 1=

GG) J Iy| J>i y|> J| iy|> =| |+ + = + 1υ0 03α >7?$ | ∈ ℝ 0 iy0> 1=

GGG) = =y=| | 1>i y|> yE| 1>iy|> y=| | 1>iy|>+ + − + = + + 0 3α >7?$ | ∈ ℝ 0 iy0> 0=

GX) iy|> |i y|>4 |4= 0 3α >7?$ | ∈ ℝ 0 iy1> 3 == 0 | 1! 1Cύση

-> ( )D = D D Dy| 1>i y|> D| iy|> 0 y| 1>i y|> y| 1>iy|> 0 y| 1>iy|> 0+ + = ⇔ + + + = ⇔ + =

'πό θε7ρημα σταθερής συν#ρτησης Dy| 1>iy|> ^+ = ^ σταθερός πραγματικός

'""# iy1> 0= οπότε η παραπ#νω γίνεται Dy1 1>iy1> ^ ^ =+ = ⇔ = #ραD

=iy|>

| 1=

+

--> J I J Jy| J>i y|> J| iy|> =| | y| J>i y|> y| J> iy|> =| |+ + = + 1υ0 ⇔ + + + = + 1υ0 ⇔

( )J =y| J>iy|> y| |>⇔ + = + &' .'πό θε7ρημα ίσων παραγ7γων J =y| J>iy|> | | ^+ = + &' + ^

σταθερός πραγματικός '""# iy0> 1= οπότε η παραπ#νω γίνεται

J =y0 J>iy0> 0 0 ^ ^ J+ = + &' + ⇔ = #ρα=

J =

J

| | Jy| J>iy|> | | J iy|>

| J

+ & ' ++ = + &' + ⇔ =+

.

--> = =

= = = = =

y=| | 1> 0 = =

= = = = =

y=| | 1>i y|> yE| 1>iy|> y=| | 1>iy|> y=| | 1>i y|> y=| | 1>iy|> y=| | 1>iy|>

y=| | 1>i y|> y=| | 1> iy|> iy|> iy|> iy|>

y=| | 1> =| | 1 =| | 1 =| | 1

W*)*6 1& ' + + >

+ + − + = + + ⇔ + + − + + = + +

+ + − + + ⇔ = ⇔ = + + + + + + + +

}ρα από εφαρμογή του σχο"ικού υπ#ρχει σταθερός πραγματικός ^ τ!τοιος 7στε

|

=

iy|>^4

=| | 1=

+ +'""# iy0> 0= οπότε η παραπ#νω γίνεται 0

=

iy0>^4 ^ 1

= 0 0 1= ⇔ =

⋅ + +

#ρα | | =

=

iy|>4 iy|> 4 y=| | 1>

=| | 1= ⇔ = + +

+ +.

-,> iy|> |i y|>4 |4= ο"οκ"ηρ7νουμε

( )iy|> | iy|> | iy|> | |i y|>4 e| |4 e| y4 >e| | 4 e| 4 |4 |4 e|= ⇔ = ⇔ = −∫ ∫ ∫ ∫ ∫

#ρα i y|> | |4 |4 4 ^= − + tμως iy1> 3 == οπότε iy1> 1 14 1 4 4 ^ ^ == ⋅ − + ⇔ =

Τότε| 1

iy|> | |4 |4 4 =!

= − + % |iy|> 3yy| 1>4 =>= − + | 1!

6αρ# το γεγονός ότι οι διαφορικ!ς εξισ7σεις είναι εκτός ύ"ης αποτ!"εσαν κατ# καιρούς αγαπημ!νο

θ!μα των εισηγητ7ν θεμ#των στην πανε""ήνιες. 9ε ό"ες τις περιπτ7σεις για την "ύση αρκούσε το

θε7ρημα ίσων παραγ7γων ή ο"οκ"ήρωση μετ# από χωρισμό των μετα)"ητ7ν. %ια κ#θε ενδεχόμενο μια

μικρή αναφορ# στις γραμμικ!ς διαφορικ!ς πρ7της τ#ξης. Y&αμμ"#1 2"α@ο&"#1 )*+*' &3τ' τ$'

"!γεται κ#θε εξίσωση της μορφής i y|> y|>iy|> y|>+ ) = 5 όπου iy|> μια #γνωστη παραγωγίσιμη συν#ρτηση

και y|> y|>) 5 γνωστ!ς συνεχείς συναρτήσεις.

%ια να "ύσουμε τ!τοιες εξισ7σεις

† 'να$ητούμε μια παρ#γουσα 'y|>της συν#ρτησης αy|>

† πο""απ"ασι#$ουμε τα μ!"η της εξίσωσης με cy|>4

Τότε αυτή γρ#φεταιb

( )

cy|> cy|> cy|> cy|> cy|> cy|>

cy|> cy|>

4 i y|> 4 y|>iy|> 4 y|> 4 i y|> 4 cy|>iy|> 4 y|>

4 i y|> 4 y|>

+ ) = 5 ⇔ + = 5 ⇔

= 5

:"οκ"ηρ7νοντας τα μ!"η της παίρνουμε

cy|> cy|>4 i y|> 4 y|>e|= 5

∫και από αυτή )ρίσκουμε την iy|>

iy|>Pαy|>iy|>‚)y

|>

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1I=

)36$9α3 #56789#3 |

iy|> | 1|

= >

G) Να M$AN$9$ L93 iy|> 0> 3α | 1> 1

GG) Να M$AN$9$ L93: = =3 | i y|> i y|>y3 | 1> 0⋅ + − = 0 | 1> 1

GGG) Να 5B%BA#$9$ 9B=4

=4

3 | 1e|

3 |

−∫ 1

GX) C#9D= y |>0 | 1

dy|>iy|> 1 | 1

1υ0 π $ $= + >

Να M$AN$9$ L93 g $A6α3 #56$;KJ #9B 0 4 >α3 >α9L36 6α 5B%BA#$9$ 9B

B%B>%K8D4α4

0

l dy|>e|= ∫

Cύση

-> για | 1 3 | 0> ⇔ > #ρα iy|> 0> .

--> = = =

1| 3 |

3 | y3 |>| 3 | | 1 3 ||i y|> | | | |

− − ⋅ −= = = =

( )= = == = =

= = =

3 | 1 3 |1 3 | 3 | 3 |y3 | 1>3 | i y|> i y|>y3 | 1> 3 | y3 | 1> 0

|| | |

−− −⋅ + − = + − = + =

---> 'πό το ερ7τημα y--> = =

= =

i y|> 3 | 13 | i y|> i y|>y3 | 1> 0

i y|> 3 |

− −⋅ + − = ⇔ = y1>

== = 44 4 =y1>

= = =4 4 4

3 | 1 i y|> 1 1 1 4 =4e| e|

iy|> iy4> =3 | i y|> iy4 >

− − −= = = − =

∫ ∫

-,>

= y |>0 | 1dy|> 3 |

1 | 1|

1υ0 π $ $=

+ >

Η d είναι συνεχής στο ) (01 14 ∪ ως πρ#ξεις συνεχ7ν

εξετ#$ουμε την συν!χεια στο0| 1=

| 1 | 1 | 1

3 |-[ dy|> -[y 1> 1 dy1> 1 -[ dy|> 1

|+ + −→ → →= + = = = .

}ρα η d είναι συνεχής στο 0 4 .

4 1 4 1 4 4

0 0 1 0 1 1

1 4 441 1 4=

0 0 110 1 1

3 | 1 y= |> 3 |l dy|>e| y |>e| y 1>e| e| e| 1e|

| = |

1 y= |> 1 1 1e| y3 |> 3 |e| 1e| | y= |> y3 |> | .. 4= = E =

+ 1υ0 π= = 1υ0 π + + = + + =

+ 1υ0 π = + + = + &' π + + = = π

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

?ν%υμ)4ουμ ότ"..

SH; 7A;?@(7HD @2A @=2A 0

0

y >y >

y >

<=

!

g % % % f %

h % % %I;H

a2APgPh 7A>9D 7A;?@(7HD I;H ∈ ℝ) 5 3

0< <%) 5 .SH; ; A282K972A3 @2 l iy|>e|5

)

= ∫ :

]O2HI=2A3 Q@H 6 f 9;H 7A>(D 7@2 0%

]S?<2A3 :0 0

0 0

| |

| |

l iy|>e| iy|>e| iy|>e| dy|>e| `y|>e|5 5 5

) ) )

= = + = +∫ ∫ ∫ ∫ ∫

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1ID

-) i #56789# f BBAα $A6α3 M5B B8HJ α8αDA#34 B83#4H6 #9B ℝ 9H9B3α0

I#9$:

• =y > = y > y > f % f % f % 03α >7?$ ∈ ℝ%

• = =y0> = y0> 1 f f

G)Να αBM$AN$9$ L93 : = +=y > y > 1 f % f % 03α >7?$ ∈ ℝ%

GG)Να αBM$AN$9$ L93 f $A6α3 6#ADJ 4B6L9B61GGG)Να %<#$9$ 96 $NA#D# =y > 1 f % 1

GX)Να αBM$AN$9$ L93 = =+ −∫

1

0

y > 1

y > y1 > =

f % d%

f % f %1

X)(YUZTR)Να M$AN$9$ L93 + − ,y > y1 > 0 f % f % 03α >7?$ ∈ 01% 1

Cύση

->~χουμεb

( ) ( )= ⇔ = ⇔ = += =y > = y > y > y > y > y > y > f % f % f % f % f % f % f % c ∈ ℝ% ^ σταθερός πραγματικός

αριθμός.

'""# = =y0> = y0> 1 f f οπότε η y1> για = 0% b = + ⇔ = + ⇔ ==y0> y0> = 1 1 f f c c c #ρα = +=y > y > 1 f % f % για κ#θε ∈ ℝ% .

--> = + >=y > y > 1 0 f % f % για κ#θε ∈ ℝ% #ρα η i είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ .

--->6αρατηρούμε ότι =y0> 1 f η i είναι γνησίως αύξουσα #ρα παίρνει την τιμή 1 ακρι)7ς μια

φορ# οπότε η χ‚0 είναι μοναδική ρί$α της εξίσωσης =y > 1 f % 1

-,>@!τουμε

− =1 % & #ρα − =d% d& με τα ν!α #κρα b

Š = 0% τότε = 1&

Š = 1% τότε = 0&

− − + − − + −= = − = = + =+ − − + − + − + − +∫ ∫ ∫ ∫ ∫1 0 1 1 1

0 1 0 0 0

y > y1 > y1 > y > y > y1 > y > y >y > y1 > y1 > y > y1 > y > y1 > y > y1 > y >

f % f & f & f & f & f & f & f & d% d& d& d& d& f % f % f & f & f & f & f & f & f & f &

− = − + = −− + − +∫ ∫ ∫

1 1 1

0 0 0

y > y >1 1 0 1

y1 > y > y1 > y >

f & f %d& d& d%

f & f & f % f %

*η"αδή = − ⇔ = ⇔ =1

1 = 1=

,>?ε #τοπο. ~στω ότι υπ#ρχει του"#χιστον !να ∈ 101% τ!τοιο 7στε + − =1 1y > y1 > 0 f % f % yˆ>

*ιακινούμε περιπτ7σεις

O'ν ( )∈1

01% τότε + − = ⇔ = − −1 1 1 1y > y1 > 0 y > y1 > f % f % f % f %

'ν < − ⇔ <1 1 111=

% % % στο δι#στημα − 1 1 1% % ισχύουν οι προ’ποθ!σεις του @.r2‹/32 ρα

υπ#ρχει !να ( )∈ −1 1 1% %4 y < < < − <

1 10 1 1% %4 > τ!τοιο 7στε =y > 0 f 4

'""# > % > ⇔ >ր

0 y > y0> 0 1 f

f f 4 4 #τοπο.

'ν#"ογα αν > −1 1

1% %

O'ν =1

0% τότε η yˆ> b + = ⇔ =y0> y1> 0 y1> 0 f f f δη"αδή =y0> y1> f f #τοπο η i είναι γνησίως

αύξουσα #ρα 1O1

O'ν =1

1% ομοίως.

}ρα σε κ#θε περίπτωση δεν θα υπ#ρχει ∈ 101% τ!τοιο 7στε + − =1 1y > y1 > 0 f % f %

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1IE

+)(_PP tGeQ `P_RRG` 4$[$M7>3α)

G)C#9D #56$;KJ #56789# f 3α 9 BBAα 3#;<$3 iy |> iy |> =) + + ) − = 5 3α >7?$

| ) 5 ∈ ℝ 6α αBM$AN$9$ L93=

0

iy|>e| =)

= )5∫ 1

GG)Α6 #56789# f $A6α3 #56$;KJ #9B ) 5 >α3 3#;<$3 iy|> iy |> ^+ ) + 5 − = 03α >7?$

| ∈ ) 5 0LB5 ^ #9α?$870 6α M$AN$9$ L93 :

( )iy|>e| y >i iy > iy >= =

5

)

5 + ) 5 −)= 5 − ) = ) + 5

∫

GGG)Α6 #56789# f H;$3 #56$;K α87DB #9B ) 5 >α3 α693#98H$9α30 6α

αBM$AN$9$ L93:iy >

1

iy >

i y|>e| |i y|>e|5 5

−

) )

=∫ ∫

Cύση

-> :"οκ"ηρ7νουμε την σχ!ση που μας δόθηκε στο δι#στημα 0 )

0 0 0

iy |>e| iy |>e| = e|) ) )

) + + ) − = 5∫ ∫ ∫ y1>

%ια το ο"οκ"ήρωμα0

iy |>e|)

) +∫ θ!τουμε _ |= ) + #ρα e_ e|= και τα ν!α όρια ο"οκ"ήρωσης

είναι

1 =_ _ == ) = ) #ρα=

0

iy |>e| iy_>e_) )

)

) + =∫ ∫

%ια το ο"οκ"ήρωμα0

iy |>e|)

) −∫ θ!τουμε _ |= ) − #ρα e_ e|= − και τα ν!α όρια

ο"οκ"ήρωσης είναι1 =_ _ 0= ) = #ρα

0

0

iy |>e| iy_>e_)

)

) − = −∫ ∫

Η y1>παιρνει την μορφή b= 0

0 0 0 0

iy |>e| iy |>e| = e| iy_>e_ iy_>e_ = e|) ) ) ) )

) )

) + + ) − = 5 ⇔ − = 5 ⇔∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

= = =

00 0 0 0

iy_>e_ = e| iy_>e_ = | iy_>e_ =) ) ) )

)= 5 ⇔ = 5 ⇔ = 5) ∫ ∫ ∫ ∫

--> iy|>e| y^ iy |>>e|5 5

) )

= − ) + 5 −∫ ∫ y1>

θ!τω | _ e| e_) + 5 − = ⇔ − =

%ια | ό _= ) @ @ = 5 %ια | _= 5 @A@ = )

y1>

iy|>e| y^ iy |>>e| iy|>e| y^ iy_>>e_ iy|>e| ê_ iy_>e_

iy|>e| ê| iy|>e| = iy|>e| ê| = iy|>e| ^y > iy|>e| ^y > y=>=

5 5 5 5 5 5 5

) ) ) ) ) ) )

5 5 5 5 5 5 5

) ) ) ) ) ) )

= − ) + 5 − ⇔ = − ⇔ = − ⇔

5 − )⇔ = − ⇔ = ⇔ = 5 − ) ⇔ =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Η iy|> iy |> ^+ ) + 5 − = ισχύει για κ#θε | ∈ ) 5

Š%ια | = ) τότε iy > iy > ^ iy > iy > ^) + ) +5 −) = ⇔ ) + 5 =

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1IG

}ρα η y=> γίνεται b iy|>e| yiy > iy >>=

5

)

5 − )= ) + 5∫

Š%ια |=

) + 5= τότε iy > iy > ^ iy > iy > ^ =iy > ^

= = = = =

) + 5 ) + 5 ) + 5 ) + 5 ) + 5+ ) + 5 − = ⇔ + = ⇔ =

}ρα η y=> γίνεταιb iy|>e| iy >y >

=

5

)

) + 5= 5 − )∫

y%ια δοκιμ#στε να "ύσετε με την χρήση της παραπ#νω ιδιότητας το

ο"οκ"ήρωμα=

=01I

0

|e|π

&'∫ )

--->Aίναιbiy >

1

iy >

i y|>e|5

−

)∫

@!τω 1| iy_> i y|> _−= ⇔ = τότε e| i y_>e_=

%ια | iy >= ) τότε _ = )

%ια | iy >= 5 τότε _ = 5 iy >

1

iy >

i y|>e| _i y_>e_ |i y|>e|5 5 5

−

) ) )

= =∫ ∫ ∫

V)Ε#9D #56789# f04$1 1

iy|> 3y1 >| 1 |

= + −+

B83#4H6 #9B ( )0 +∞ 1

G)Να $α84L#$9$ 9B "$I84α ΜH#J Τ34KJ 3α 96 #56789# y|> 3 |D = #9B

M37#94α || 1 + 3α | 0> 1 Να M$AN$9$ L93 iy|> 0> 3α >7?$ | 0> 1

GG)Να M$AN$9$ L93 #56789# |1`y|> y1 >

|= + $A6α3 6#ADJ α<NB5#α #9B M37#94α

( )0 +∞ 1

GGG)Να %<#$9$ 96 α6A#D#=| 1 10

=

1y1 > 11| 1

++ <+

GX)Να 5B%BA#$9$ 9α `y1>`y=> 1Α6 $A6α3 6D#9L L93=

1

I`y|>e|

==∫

6α 5B%BA#$9$ 9B

L

E1

=

l ` y|>e|−= ∫

Cύση

->@εωρούμε την συν#ρτηση φ με y|> 3 |D = .Η φ είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο

δι#στημα || 1 + | 0> .Aπομ!νως για την φ ισχύουν οι προ’ποθ!σεις του @.?.Τ στο

|| 1 + .}ρα υπ#ρχει ( )|| 14 ∈ + με | | 1< 4 < + y1> τ!τοιο 7στε

y| 1> y|> 1 1 | 1y > 3y| 1> 3 | 3

| 1 | |

D + − D +D 4 = ⇔ = + − ⇔ =

+ − 4 4y=>

Η y1> δίνειb1 1 1

| | 1> >

4 + yD>

'πόy=>yD> προκύπτει1 | 1 1

3| | | 1

+> >

+ για κ#θε ( )| 0∈ +∞

}ραb| 1 1

3 0 iy|> 0| | 1

+− > ⇔ >

+ για κ#θε | 0> .

->‡ ` είναι παραγωγίσιμη στο ( )0 +∞ .Aίναι

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1IH

| |1 1 1 `y|> 1 1 | 1`y|> y1 > 3 `y|> 3y1 > 3 `y|> | 3y1 > 3y1 > |

1| | | `y|> | |1

|

+ = + ⇔ = + ⇔ = + ⇔ = + + ⇔

+

=

=

=

1|

`y|> 1 1 1 ` y|> 1 `y|> 1 1|3y1 > | 3y1 > 3y1 >

| 1`y|> | `y|> | | 1 `y|> | | 1|

|

− = + + − ⇔ = + + ⇔ = + − ⇔ + + +

1 1` y|> `y|> 3y1 >

| | 1

= + − +

yE>

tμως |1`y|> y1 > 0

|= + > στο δι#στημα ( )0 +∞ και από το ερ7τημα y->

| 1 13 0

| | 1

+− >

+ στο

δι#στημα ( )0 +∞ #ρα `y|> 0> για | 0> οπότε η ` είναι γνησίως αύξουσα στο δι#στημα

( )0 +∞ .

--->

( )

= = =

10 10

| 1 10 | 1 | 1

= = =

` 0= = =

1 1 11 1 1y1 > 11 y1 > y1 > 1

10 10| 1 | 1 | 1

`y| 1> `y10> | 1 10 | L D | D

+ + +

1@A +∞

+ < ⇔ + < ⇔ + < + ⇔

+ + +

⇔ + < ⇔ + < ⇔ < ⇔ − < <ր

-,> 11`y1> y1 > =

1= + = = =1 D L

`y=> y1 > y >= = E

= + = =

=1

1

l ` y|>e|−= ∫

@!τω 1| `y_> ` y|> _−= ⇔ = τότε e| ` y_>e_=

%ια ν!α όρια ο"οκ"ήρωσης` 1 1

` 1 1

L| `y_> `y=> _ =E

| = `y_> `y1> _ 1

−

−

= ⇔ = ⇔ =

= ⇔ = ⇔ =

L== = = =E

1 1

= 1 1 1 11

` y|>e| ` y`y_>> `y_>e_ _ `y_>e_ _ `y_> `y_>e_ =`y=> 1`y1> `y_>e_− −= ⋅ = ⋅ = ⋅ − = − − = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

L I= 1 = 1

E == − ⋅ − = −

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1II

.)(Εα6α%93>$J $N$97#$3J /!!.)A6$9α3 43α #56789# i b 0= → ℝ 0 BBAα $A6α3

M5B B8HJ α8αDA#34 >α3 3>α6BB3$A 93J #56?K>$J :=|i y|> Ei y|> Eiy|> |4− + = ( ⋅ 0 0 | =$ $ ()

i y0> =iy0>= 0 Ei y=> =iy=> 1=4= + 0 =iy1> 4=

yB5 > H6αJ 8α4α93>LJ α83?4LJ1

G) Να αBM$AN$9$ L93 #56789#=

=|

i y|> =iy|>dy|> D| 0 | =

4

−= − $ $

Ι>α6BB3$A 93J 5B?H#$3J 9B5 ?$D8K4α9BJ WUPPQ #9B M37#94α 0 =

GG)Να αBM$AN$9$ L93 578;$3 ( )0 =4 ∈ 9H9B3B0 I#9$ 6α 3#;<$3:

=i y > Eiy > H 4 Ei y >44 + 4 = 4 + 4

GGG)Να αBM$AN$9$ L93 >=- >α3 3#;<$3 dy|> 0= 3α >7?$ | 0=∈

GX)Να αBM$AN$9$ L93 D =|iy|> | 4 = 0 | =$ $ 1

X)Να 5B%BA#$9$ 9B B%B>%K8D4α

=

=1

iy|>

e||∫ .

Cύση

->‡ d είναι συνεχής στο 0 = παραγωγίσιμη στο ( )0 = και

=

= 0

i y0> =iy0>dy0> D 0 0

4 ⋅

−= ⋅ − =

E E Ei y=> =iy=> 1=4 i y=> =iy=> 1=4=

= = E

i y=> =iy=> 1=4dy=> D = 1= 0

4 4

= + ⇔ − =

⋅

−= ⋅ − = − =

}ρα ισχύουν οι προ’ποθ!σεις του θεωρήματος k24 .

--> 'πό το ερ7τημα y-> υπ#ρχει ( )0 =4 ∈ τ!τοιο 7στε να ισχύει d y > 04 =

==| =|

i y|> =iy|> i y|> Ei y|> Eiy|>d y|> D| H|4 4

− − += − = −

y=>

~τσι=d y > 0 .. i y > Eiy > H 4 Ei y >44 = ⇔ ⇔ 4 + 4 = 4 + 4 yD>

--->@!τουμε | = 4 στην y1>

( )

yD >= = =

0 == =

i y > Ei y > Eiy > 4 H 4 Ei y > Ei y > 4

H 4 4 H H

4 4 4

4∈4 4

4 − 4 + 4 = ( ⋅ 4 ⇔ 4 + 4 − 4 = ( ⋅4 ⇔

⇔ 4 = ( ⋅ 4 ⇔ 4 = ( ⋅4 ⇔ ( =

-,>~χουμεb

( )

( )

=| =|=| =|= = = D

=| E| = =|=|

i y|>4 4 iy|>i y|> =iy|> i y|>4 =4 iy|> iy|>dy|> 0 D| 0 D| 0 D| 0 | 04 4 44

−− − = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ − =

D D

=| =|

iy|> iy|>| 0 | ^

4 4

− = ⇔ − =

^ πραγματικός | 0=∈ yE>

%ια |‚1 η yE>b= =i y1> 4

D

= 1 =

iy1> 41 ^ 1 ^ ^ 0

4 4

=

⋅− = ⇔ − = ⇔ =

}ρα D

=|

iy|>| 0 ...

4− = ⇔ ⇔ D =|iy|> | 4 = 0 | =$ $

X)

= == = = = = =D =| =| =| =| =| =|

=|

= =1 1 1 1 1 11 1

iy|> | 4 4 4 4 4 4e| e| |4 e| | e| | | e| | e|

= = = = =| |

= = = = − = − =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1IJ

=E = =| = E = E = E = E =

E

1

4 4 4 4 4 4 E4 =4 4 4 D4 4= 1 4

= = E = E E E E E E E E

= − − = − − − = − − + = −

-!)A6B69α3 B3 #56α89K#$3J b →ℝ ℝ f g 4$ f α8αDA#34 9H9B3$J I#9$:

• y y > >y y > 1> + + = f % % f % % 3α >7?$ ∈ ℝ% • y0> 1= f

• D =y > D 1= + − g % % %

G)Να αBM$AN$9$ L93 :=y > 1= + − f % % % 0 ∈ ℝ%

GG)Να @8$A9$ 9B %K?BJ 9D6 8α4α93>I6 83[I6 9J $NA#D#Jy y >> 1= f g %

GGG)Να 5B%BA#$9$ 9B B%B>%K8D4α1 =

| D =0

dy|> G| | 1e|

4 | | | 1

− − +

+ + + +∫

Cύση

->%ια κ#θε ∈ ℝ% b ( ) ( )= =y y > >y y > 1> =y y > >y y > 1> = y > + + = ⇔ + + = ⇔ + =

f % % f % % f % % f % % f % % %

}ρα από συν!πειες @.?.Τ ( )= =y > + = + f % % % c όπου ^ σταθερός πραγματικός αριθμός

%ια 0=% b =y0> 0 0 1+ = + ⇔ = f c c

}ρα για κ#θε ∈ ℝ% ( )= =y > 1+ = + f % % % y1>

Η συν#ρτηση y > + f % % ∈ ℝ% είναι συνεχής ως #θροισμα συνεχ7ν ισχύειb

( )= =y > 1 0+ = + > f % % % για κ#θε ∈ ℝ% δη"αδή η y > 0+ , f % % για κ#θε ∈ ℝ% !τσι η y > + f % %

διατηρεί πρόσημο στο ℝ .Aπειδή όμως y0> 0 1 0+ = > f #ρα για κ#θε ∈ ℝ% y > 0+ > f % % οπότε

από την y1> = =y > 1 y > 1+ = + ⇔ = + − f % % % f % % % ∈ ℝ%

-->

==

=

1

y > 1 ... y > 1

− +

= + − ⇔ ⇔ = +

% %

f % % % f % % για ∈ℝ

% = = = =1 1 1 0+ > ⇔ + > ! % − + <% % % % % % % για ∈ ℝ% #ρα η i είναι γνησίως φθίνουσα στο

ℝ #ρα και 1O1.Η εξίσωση1 1

y y >> 1 y y >> y0> y > 0−

= ⇔ = ⇔ = f

f g % f g % f g % =y > D H y > 0 .. 0 1= + = ⇔ ⇔ = = − g % % % g % % ( %

'ν ( 1∈ −∞ − % η d είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα

D-[ y > -[→−∞ →−∞

= = −∞% %

g % % 1

y 1>=

− = − g #ρα (( )1

1 =

−∞ − = −∞ −

g

'ν ( 10∈ − % η d είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα

1

1-[ y >

=+→−= −

% g % y0> 1= − g #ρα (( )

110 1

=

− = − −

g

'ν ( )0∈ +∞% η d είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα

0-[ y > 1

+→= −

% g % -[ y >

→+∞= +∞

% g % #ρα ( )( ) ( )0 1+∞ = − +∞ g

10 = J −∞ − #ρα δεν υπ#ρχει ρί$α στο ( 1−∞ −

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1IL

10 1

=

J − −

#ρα δεν υπ#ρχει ρί$α στο ( 10−

( )0 1∈ − +∞ οπότε !χει ρί$α στο ( )0 +∞ η οποία είναι μοναδική αφού d γνησίως αύξουσα

στο ( )0 +∞ .

Τε"ικ# η εξίσωση y y >> 1= f g % !χει ακρι)7ς μια ρί$α.

--->1 1 1= D = = D =

| D = | D = | D =0 0 0

dy|> G| | 1 | D| 1 G| | 1 | =| |e| e| e|

4 | | | 1 4 | | | 1 4 | | | 1

− − + + − − − + − −= = =

+ + + + + + + + + + + +∫ ∫ ∫

1 1 1| D = | = | =

| D = | D =0 0 0

y4 | | | 1> y4 D| =| 1> 4 D| =| 1e| 1e| e|

4 | | | 1 4 | | | 1

+ + + + − + + + + + += = − =

+ + + + + + + +∫ ∫ ∫

1 = | D =11 | D =

| D = 0 00 1

y4 | | | 1>1e| e| | 3 4 | | | 1 ...

4 | | | 1

+ + + + = − = + + + + + = + + + +∫ ∫

-/) G)C#9D #56789# g 0 BBAα $A6α3 #56$;KJ #$ H6α M37#94α ) 5 >α3

α8αDA#34 #9B M37#94α ( ) ) 5 1Α6 3#;<$3 #;H#

dy|>e| dy > dy >

5

) = 5 − )∫

Να αBM$AN$9$ L93 578;$3 H6α 9B5%7;3#9B6 ( ) 4∈ ) 5 9H9B3B I#9$ dy > d y >4 = 4 1

GG)A6$9α3 #56789# i b →ℝ ℝ BBAα $A6α3 #56$;KJ >α3 6#ADJ α<NB5#α 1Να

αBM$AN$9$ L93:|

0

|iy|> iyg>eg> ∫ 3α >7?$ | 0> 1

(ΜB8$A9$ 6α 9B $846$<#$9$ $D4$983>7h)

Cύση

->Η συν#ρτηση d συνεχής στο ) 5 #ρα υπ#ρχει παρ#γουσα p της d στο παραπ#νω

δι#στημα. :πότε σύμφωνα με το θε7ρημα ο"οκ"ηρωτικού "ογισμού

ισχύειb dy|>e| py > py >5

)

= 5 − )∫

tμως από υπόθεση dy|>e| dy > dy >5

)

= 5 − )∫

}ρα py > py > dy > dy > py > dy > py > dy >5 − ) = 5 − ) ⇔ 5 − 5 = ) − ) y1>


`y|> py|> dy|>= − | ∈ ) 5

Τότε

ŠΗ ` είναι συνεχής στο ) 5 y διαφορ# συνεχ7ν>ŠΗ ` είναι παραγωγίσιμη στο ( ) ) 5 με

`y|> py|> d y|> dy|> d y|>= − = − για κ#θε ( )| ∈ ) 5

`y > py > dy > py > dy > `y >) = ) − ) = 5 − 5 = 5

}ρα σύμφωνα με το θε7ρημα k24 υπ#ρχει !να του"#χιστον ( ) 4∈ ) 5 τ!τοιο 7στε

0

0 0 0y > = 0 y > 0% g % % e f %= − = ⇔ = .

-->Η $ητούμενη ανισότητα για | 0> γρ#φεται| | | | | |

0 0 0 0 0 0

|iy|> iyg>eg iy|> eg iyg>eg iy|>eg iyg>eg 0 „iy|> iyg>…eg 0> ⇔ > ⇔ − > ⇔ − >∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Η τε"ευταία ανισότητα είναι α"ηθής αφού για κ#θε | 0> !χουμε g 0|∈ δη"αδή 0 g |$ $

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1J0

Τ7ρα επειδή η i είναι γνησίως αύξουσα συμπεραίνουμε ότι iyg> iy|>$ .}ρα η συνεχής

συν#ρτηση `yg> iy|> iyg> g 0|= − ∈ είναι αρνητική και όχι παντού μηδ!ν στο δι#στημα

0 | .

Aπομ!νως| |

0 0

`yg>eg 0 „iy|> iyg>…eg 0> ⇔ − >∫ ∫

Τι σημαίνει γεωμετρικ# η παραπ#νω

ανισοτική σχ!ση“ tτι το εμ)αδό του

χωρίου που περικ"είεται από την ]i τον

αξ2να || τον #ξονα hh και την ευθεία

cr είναι μικρότερο από το εμ)αδό του

ορθογωνίου :*'B.

-*)A6$9α3 #56789# y > 3 0=

= − >%e

f % % %

G)Να M$AN$9$ L93 578;$3 #4$AB 9J bf #9B BBAB $α9B4H6 9J 6α $A6α3

α87%%% #9B6 xmx1

GG)Να αBM$AN$9$ L93 y > 1> f % 3α >7?$ 1!% 1

GGG)Να αBM$AN$9$ L93=

=01H =01G =01H3

=01G

− >

e e 1

GX)Να @8$A9$ 9B L83B1

-[ y >→+∞

+

% f % f

%1

,> Η #56789# g H;$3 #56$;K M$<9$8 α87DB #9B ℝ 1Α6 #9B 0 0= >% 2 α8B5#37[$3

9B3>L $%7;3#9B A#B 4$ 9B !06α αBM$AN$9$ L93

=

0 0

= y >

y > = y >= 3 =−∫ ∫%

% f %

g % d% g % d%e %

2 2

Cύση

->Η i είναι παραγωγίσιμη στο ( )0 +∞ #ρα

1 =y > 0

= =

−= − = >

% %e %e f % %

% %

@α δείξουμε ότι υπ#ρχει0 0>% τ!τοιο 7στε

0

0

=y > 0 0 = 0

=

>−= ⇔ = ⇔ − =

% %%%e

f % %e%

@εωρούμε συν#ρτηση y > == −% g % %e 1 1

E

∈

% .~χουμεb

1

E1 1y > = 0E E= − < g e 1y1> = 0= − > g e η d συνεχής στο 1 1E #ρα από το θε7ρημα r2‹/32

υπ#ρχει του"#χιστον !να0

1 1

E

∈

% τ!τοιο 7στε b 0

0 0 0y > = 0 y > 0= − = ⇔ =% g % % e f %

-->%ια κ#θε 1>%

1

= => % >

%% e e

e e y1> και1 1

1 1< ⇔ − > −% %

y=>

y1> Py=>1

1 0 y > 0= =

− > − > % >%e e

f %%

για κ#θε 1>% οπότε η i είναι γνησίως αύξουσα στο

)1 +∞ #ρα y > y1> y > 1

=

! ⇔ ! >e

f % f f % για κ#θε )1∈ +∞% .




ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1J1

---> 'πό την μονοτονία της i=01H =01G =01H =01G =01H =01G =01H

y=01H> y=01G> 3 =01H 3 =01G 3 =01H 3 =01G 3= = = = = =01G

−> % − > − ⇔ − > − ⇔ >

e e e e e e f f

=

=01H =01G =01H =01G=01H =01H=3 3

=01G =01G

− > ⇔ − >

e e e e

-,>~χουμεb1 1 1 1

1 1-[ y > -[ 3 3 -[ 3 3 -[ -[

= = = = = = =→+∞ →+∞ →+∞ →+∞ →+∞

+ + = − + − = − + + = + = =

% % % %% % % %

% % % % %

e e e e e e e e f % f % % %

% %

1

-[=→+∞

+= = +∞

% %

%

e e

,> Η συν#ρτηση d στο0 0= >% 2 παρουσι#$ει τοπικό ε"#χιστο y > 0= g 2 #ρα από το

θε7ρημα w4[/g είναι y > 0= g 2 .

==

= =

0 0 0 00

y > 0= =

0 00 0 y > 00 0

= 3== y >

y > y > y > y > = y >= 3 = 3

y > y = y > = y > > y > = y > = y > = y >

%

% %

g

g

e% %% f %

g % d% g % d% % g % d% % g % %g % d%e % e %

% g % %g % g % d% % g % %g % g % d% g % d

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

2

=

=

− = = = − = − −

= − − = − + =

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫0

%2

∫

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1J=

-)C6αJ 4B9B#3>%$93#9KJ0 U ΜK9#BJ 0>36$A9α3 #9B $A$MB 87B69αJ 43α >α4<%1

Ο3 #569$9α4H6$J 9B5 >α97 96 ;8B63>K #934K t MA6B69α3 αL 9B5J 9<B5J:

( )= ==

| 3 g h 3 g

G) Να @8$A9$ 96 #56789# f 09J BBAαJ 8α3>K α87#9α# bf $A6α3 98B;37

B5 87$3 B 4B9B#3>%$93#9KJ ΜK9#BJ1

GG)Να @8$A9$ 96 $α9B4H6 9J 98B;37J α59KJ #9B 95;αAB #4$AB 9J bf Μ(x0l)GGG)Η $α9B4H6 9J bf #9B #4$AB Μ(x0l)0 !x* 9H46$3 #9B #4$AB Π H6α 9BA;B Τ

α87%%%B 8BJ 9B6 7NB6α lml B5 9α #4$Aα 9B5 3>α6BB3B<6 96 $NA#D# x=*

(#;K4α)1 Να @8$A9$ 9B6 85?4L 4$9α@B%KJ 9J ?H#$DJ 9B5 Π #9B6 9BA;B Τ (9α;<99α)0

L9α6 9B #4$AB Μ @8A#>$9α3 #96 ?H# x=1

GX)5B L%$3J Α0Β αH;B56 4$9αN< 9B5J αL#9α# /- e1O ΜK9#BJ 4$ 96

4B9B#3>%H9α 9B5 >α3 B I9#BJ2 H6αJ A%BJ 9B52 $A#J 4$ 4B9B#3>%H9α N$>36B<6

9α59L;8B6α B H6αJ αL 96 L% Α >α3 B 7%%BJ αL 96 L% Β >α9$5?56L4$6B3 B

8I9BJ #96 L% Β >α3 M$<9$8BJ #96 L% Α 0B3 9α;<99$J 9B5J α69A#9B3;α $A6α3=

1_ g Dg W[ ” `= + >α3 =_ Gg W[ ” `= α69A#9B3;α 1Να @8$?$A 4$97 αL L#B ;8L6B B3 M5B

4B9B#3>%$93#9HJ ?α #56α69?B<6 >α3 #$ B3B #4$AB 4$9αN< 9D6 M5B L%$D6h

Cύση

->( )

= = ⇔ ==

= =

| 3 g | 3 g

h |h 3 g #ρα = >=iy|> | | 0

-->Η εφαπτομ!νη της γραφικής παρ#στασης της ]i στο

X είναι

− = − ⇔ − = − ⇔ = −= =

1 1 1 1 1 1 1 1h iy| > i y| >y| | > h | =| y| | > h =| | |

--->Η ευθεία αυτή τ!μνει τον τοίχο Τ στο σημείο όπου χ‚D

δη"αδή

= − ⇔ = −= =

1 1 1 1h =| yD> | h H| | #ρα οι συνταγμ!νες του

μετα)"ητού σημείου 6 είναιb M − =

1 1 1y| H| | >

=

= −1

=

1

| yg> 3 g

h yg> H 3 g 3 g

6αραγωγί$ουμε εφόσον ανα$ητούμε τον ρυθμό μετα)ο"ής της θ!σεως του 6

( )= =

= −

1

1

1| yg> 3 g

gH = 3 g

h yg>g g

'πό υπόθεση όμως =1| 1 #ρα = ⇔ =3 g 1 g 4

(αι με αντικατ#σταση = − =H = 3 4 E

hyg>4 4 4

-,>~στω0g η δι#ρκεια της κίνησης των δυο μοτοσικ"ετιστ7ν μ!χρι την συν#ντησης τους

στο σημείο %. Aίναι τότε

Xy|1 h1>

]i

6

Dx

=1H W[

' B%

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1JD

00

gg D =D == 0 0

0 0

g Dgg Dgyc > yg Dg>eg W[

D = D =

G = + = + = +

∫

00gg ==

0

0 0

GgGgyr > Ggeg W[

= =

G = = =

∫

tμως= D =

0 0 00

Gg g Dgyc > yr > =1H =1H ... g H `

= D =G + G = ⇔ + + = ⇔ ⇔ =

%ια0

g H `= προκύπτειD =H D H

yc > 1=H W[D =

⋅G = + =

=G Hyr > L0 W[

=

⋅G = =

-&)36$9α3 α8αDA#34 #56789# b →ℝ ℝ f 3α 96 BBAα 3#;<B56

k =0 y > 1-[% f % %%→

− −∈ ℝ

k = = =y y >> y y >> y y >>+ $ f % f % f %2 2 03α >7?$ ∈ ℝ%

G)Να αBM$AN$9$ L93 y0> 1= f

GG)Να αBM$AN$9$ L93 y > = % f % e2 0 0>2

GGG)Να @8$A9$ 96 $NA#D# 9J $α9B4H6J 9J 8α3>KJ α87#9α# #9J f BBAα

M3H8;$9α3 αL 96 α8;K 9D6 αNL6D61

GX)Να αBM$AN$9$ L93 9B $4@αML y >! 2 9B5 ;D8AB5 B5 $83>%$A$9α3 αL 96 bf096

α8α76D $α9B4H6 >α3 9B6 7NB6α xmx $A6α3=

y >=

−=

e! 2

2

Cύση->Η d είναι παραγωγίσιμη #ρα και συνεχής στο ℝ !τσι

θ!τω = =

=

y > 1y > y > y > 1 y > 1 y >

− −= ⇔ = − − ⇔ + + =

f % % g % % g % f % % % g % % f %

%

Cαμ)#νουμε όρια και εφαρμό$ουμε ιδιότητες ορίων γνωρί$οντας ότι τα όρια υπ#ρχουν

( )= =

0 0 0 0-[ y > 1 -[ y > 0 y0> 0 1 -[ y > -[ y > 1

→ → → →+ + = ⇔ + + = ⇔ =

% % % %% g % % f % g f % f % α""# i συνεχής στο 0 οπότε

0y0> -[ y > 1

→= =

% f f %

-->~χουμεb= = = = = = =y y >> y y >> y y >> y y >> y y >> = y > y > y y >> y y >> = y > y > 0+ $ ⇔ + $ ⇔ + − $ ⇔ f % f % f % f % f % f % f % f % f % f % f %2 2 2 2 2 2

=

y y > y >> 0 y > y > 0 y > y > 0 y > y > y > 0− − − −

− $ ⇔ − = ⇔ − = ⇔ + = ⇔% % % %

f % f % f % f % e f % e f % e f % e f %2 2 2 2

2 2 2

( )y > 0 y > y >− −= ⇔ = ⇔ =% % %e f % e f % c f % ce2 2 2

'""# y0> 1= f !τσι 0y0> 1⋅= ⇔ = f ce c2 τε"ικ# y > = % f % e2 0>2 .

--->~στω0 0y y >> * % f % το σημείο επαφής τότε η εξίσωση της ]i στο σημείο ' είναιb

0 0

0 0 0 0y > y >y > y >− = − ⇔ − = −% % ) f % f % % % ) e e % %2 2

2

Η εφαπτομ!νη δι!ρχεται από την αρχή των αξόνων

0 0 0 0

0 0 0 0

10 y0 > 1% % % %e e % e e % % %2 2 2 2

2 2 2 2

− = − ⇔ − = − ⇔ = ⇔ =

}ρα η εξίσωση της εφαπτομ!νης είναι1 1

1 1y > y >− = − ⇔ − = − ⇔ − = − ⇔ = ) e e % ) e e % ) e e% e ) e%2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

9;H @Q72 3HI?4D 2H @;>=@6@D

@C 32@27HI8@L P?<K3;

2A 763;9H Q@H 2 (@72D I;H2 L@72D 26K2= 7;?<Z;8;..




ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1JE

-,>Η i είναι κυρτή διότι =y > 0= >% f % e2 2 #ρα η εφαπτομ!νη στο ' )ρίσκεται +κ#τωŒ από

την ]i δη"αδήy > y > 0! ⇔ − ! f % e% f % e%2 2

~χουμε1 1 1

=

0 0 0

=

10 =

y y > > y > =

1

0 1 = = =

= = = = = = =

⋅

− = − = − =

− = − − + = − − = − − =

∫ ∫

%% e %

f % e% d% e e% d% e

e e e e e e ee e

2 2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

-)C#9D ( )b 0 +∞ → ℝ f 6#ADJ 4B6L9B6 #56789# 4$ y1> 0= f 0 LB3α 3>α6BBA$3

96 #;H#: y y >> y > 0+ = f f % f % 3α >7?$ 0>% 1


G) y1> 1= f

GG) =y >y > f o f % % 03α >7?$ 0>% GGG) y > y > 0%f % f %+ = 03α >7?$ 0>%

GX) y > 3= f % % 0 3α >7?$ 0>%

X) Να @8$?$A 9B $4@αML y >! 2 9B5 ;D8AB5 B5 $83>%$A$9α3 αL 96 bf09B6 7NB6α xmx

>α3 96 $5?$Aα 4$ $NA#D# =% 2 0 1>2

XG)Να @8$?$A 9B=1

DLEJ y >-[

y 1>+→ −%

! 2

2

XGG) Να αBM$AN$9$ L93 3 1! −% % % 3α >7?$ 1!% 1

XGGG)Α6 0>2 6α αBM$AN$9$ L93=

=

D E 13

=

− +!

2 2 2

2 1

( ΥLM$3N : ;8#34BB3K#9$ 9B $8I94α (XGGG))

Cύση

->'πό υπόθεση !χουμεb y y >> y > 0+ = f f % f % y1>

%ια 1=% b y y1>> y1> 0 y y1>> 0 y=>+ = ⇔ = f f f f f

tμως η i είναι γνησίως αύξουσα #ρα είναι και 1O1 οπότε1 1

y y1>> 0 y y1>> y1> y1> 1−

= ⇔ = ⇔ = f f f f f f

-->Aπειδή ισχύει η y1> για κ#θε 0>% και ορί$εται η y >y > fof % στο ( )0 +∞ συμπεραίνουμε ότιb

y > 0> f % για κ#θε 0>% .@!τουμε στην y1> όπου | το y > f % και παίρνουμεb

y1>

1 1

y y y >>> y y >> 0 y y y >>> y > 0

y y y >>> y > y y >> y >y >> yD>−

+ = ⇔ − = ⇔

⇔ = ⇔ = ⇔ =

f f f % f f % f f f % f %

f f f % f % f f % % f of % %

--->6αραγωγί$ουμε την y1>yD >

y y >> y > y > 0 y > y > 0 yE>+ = ⇔ + = f f % f % f % %f % f % για κ#θε 0>%

-,>'πό την yE> !χουμεb

( )y > y > 0 y > y > 0 y > 0 y >+ = ⇔ + = ⇔ = ⇔ =%f % f % %f % % f % %f % %f % c yG>

'""# y1> 1= f οπότε η yG> γίνεται 1 y1> 1= ⇔ = f c c 0

1

1y > 1 y > y > 3

>

= ⇔ = ⇔ = +%

%f % f % f % % c

%

.tμως y1> 0= f #ρα1 1y1> 31 0= + ⇔ = f c c

Τε"ικ# y > 3= f % % για κ#θε 0>% .




ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1JG

,>Η γραφική παρ#σταση της y > 3= f % % φαίνεται στο σχήμα

Aπειδή η i είναι συνεχής στο 1 2 και με θετικ!ς τιμ!ς σε αυτό ή μηδ!ν αφού 3 0!% για

κ#θε 1!% !χουμεb

1 1 1 1 11 1 1 1

1y > 3 3 3 3 1 3 3

3 131 1 3 1

! %d% % %d% % % % d% % % d% % % % % % %%

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2 2 2 2 2 2

= = = − = − = = − = − =

= − − + = − +∫ ∫ ∫ ∫

,->Tσχύειb

( )

0

0

= = = =. .1 1 1 1

DLEJ y > DLEJy 3 1> y 3 1> y 3 1>-[ -[ DLEJ -[ DLEJ -[

y 1> y 1> y 1> y 1> + + + +→ → → →

− + − + − += = = =

− − − −+ " ospit'l% % % %

! 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

( )

0

0

. .1 1 1 1 1

1y3 1 1> 3 y3 > 1 1

DLEJ -[ DLEJ -[ DLEJ -[ DLEJ -[ DLEJ -[ DLEJ 1LIE=y 1> y=y 1>> = = ==y 1>+ + + + +→ → → → →

− += = = = = =

− −− + " ospit'l% % % % %

2 2 2 2

2 2 2 2

,-->θεωρούμε συν#ρτηση y > 3 1= − + g % % % % με 1!% την εξετ#$ουμε ως προς την μονοτονία

και τα ακρόταταy τετριμμ!νο> και διαπιστ7νουμε ότι παρουσι#$ει ε"#χιστο στο 0 1=% #ρα για κ#θε 1!% ισχύει y > y1> 3 1 131 1 1 3 1 0 3 1! ⇔ − + ! − + ⇔ − + ! ⇔ ! − g % g % % % % % % % % %

,--->'πό το ερ7τημα y,--> ισχύει για κ#θε 1!% ισχύει 3 1! −% % % yˆ>

:"οκ"ηρ7νουμε την yˆ>με #κρα 0"= = = =

11 1 1 11 1

3 13 y 1> 3 1

= = = =

! − ⇔ ! − ⇔ − ⋅ ! − ⇔

∫ ∫ ∫ ∫

% % % % %% %d% % d% %d% % d% %

%

2 2 2 2 2 2

2

= = = = =

11 1 1 1 1

3 3

= = = = E =

⇔ − ! − ⇔ − ! − ⇔

∫

% % % % % % % %d% % %

2 2 2 2 2 2

= = = = = = = = =3 1 31 1 1 3 1 11

= = E E = = = E = =

−⇔ − − − ! − − − ⇔ − ! − +

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

== = = = =

=

D E 1= 3 1 = E = = 3 D E 1 3

=

− +− + ! − + ⇔ ! − + ⇔ !

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1JH

--) (B%B>%8D93>7 4$[$M7>3α)

^1 A6$9α3 #56789# b →ℝ ℝ f M5B B8HJ α8αDA#34 3α 96 BBAα 3#;<$3

y > 0> f % 3α >7?$ ∈ ℝ% 1Α6 ∈ ℝ) 5 04$ <) 5 09L9$ 6α αBM$AN$9$ L93:

G) y > y > y >y >− $ − f % f f %) 5 ) 3α >7?$ ∈ % ) 5

GG)

=

= y > y >y > = y >y >$ − + −∫ f % f f

5

) 5 5 ) ) 5 )

Y1A6$9α3 #56789# y > −= % f % %e 0 0 ∈ ℝ% >α3 ˆ∈ ℕ0

G)Να 4$%$9K#$9$ 96 f DJ 8BJ 96 4B6B9B6Aα >α3 9α α>8L9α9α1

GG)Να 4$%$9K#$9$ 96 f DJ 8BJ 96 >589L99α >α3 9α #4$Aα >α4KJ 1

GGG)Να αBM$AN$9$ L93:

=

= =

1

= −$ $∫ %e %e d% e0

0

0

0

Cύση

Α.->Η $ητούμενη σχ!ση ισχύει ως ισότητα για =% ) .~στω ( ∈ % ) 5 από το @.?.Τ για την i

στο %) υπ#ρχει ( ) ∈ %4 ) τ!τοιο 7στεby > y >

y > −

=−

f % f f

%

) 4

)

tμως η i είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ και επειδή είναι < $ $%) 4 5 θα εχουμεb

y > y >y > y > y > y > y > y >y >

−< ⇔ < ⇔ − $ −

−

f % f f f f f % f f %

%

) 4 5 5 ) 5 )

)

-->%ια κ#θε ∈ % ) 5 ισχύει ότι

y > y > y >y > y > y >y > y >− $ − ⇔ $ − + f % f f % f % f % f ) 5 ) 5 ) )

:πότε=

y > y > y > y > y > y > y >=

$ − + ⇔ $ − + ⇔

∫ ∫ ∫ ∫ ∫% f % d% f % d% f d% f % d% f % f d%

5 5 5 5 5 5

) ) ) ) ) )

5 ) ) 5 ) )

= = = ==y > y >yy > y >> y >y > y > y >y > y >y >

= = = =⇔ $ − − − + − ⇔ $ − + + − ⇔∫ ∫ f % f f f % f f

5 5

) )

5 ) 5 ) 5 )5 ) ) 5 ) 5 )5 ) 5 )

= = = ==y > y >y > y >y > y > y >y > y >y >

= = =

− +$ − + + − ⇔ $ + − ⇔∫ ∫ f % f f f % f f

5 5

) )

5 ) 5 )5 ) 5 )5 ) 5 ) 5 ) 5 )

== y > y >y > = y >y >$ − + −∫ f % f f 5

)

5 5 ) ) 5 )

Β.->%ια κ#θε ∈ ℝ% είναι ( )y > y1 >− − − −= = − = −% % % % f % %e e %e e %0 0 0 0 0 0 .

Η i είναι γνησίως αύξουσα στο 1 −∞ 0

και γνησίως φθίνουσα στο 1 +∞ 0

εν7 !χει ο"ικό

μ!γιστο το1 1

y > = f e0 0

.

-->%ια κ#θε ∈ ℝ% είναι ( )y > y1 > .. y =>− −= − = = −% % f % e % e %0 0 0 0 0 .Η i είναι κοί"η στο=

−∞ 0

και

κυρτή στο=

+∞

0 εν7 !χει σημείο καμπής το

=

= =y > *

e0 0

--->Η i είναι γνησίως φθίνουσα στο1 =

0 0

#ραb

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1JI

= = =

1 1 1

1 = 1 = 1 =y > y > y > y > y > y >$ $ ⇔ ! ! ⇔ ! ! ⇔∫ ∫ ∫% f f % f f d% f % d% f d%

0 0 0

0 0 0

0 0 0 0 0 0

= = = = = =

1 =

=1 1 1 1 1 1

1 = 1 =y > y >

− −⇔ ! ! ⇔ ! ! ⇔∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫e d% f % d% e d% d% f % d% d%

e e

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0

= = = =

= = = =

1 1 1 1

= 1 = 1y > = y > =

! ! ⇔ − ! ! − ⇔

∫ ∫ ∫ ∫ed% e f % d% d% e e f % d%0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

=

= =

1

=−! !∫ %e e %e d%0

0

0

0

-+) A6$9α3 #56789# ( )b 0→ +∞ℝ f 3α 96 BBAα 3#;<$3 L93

y >3 y >

=%e

f % f %

03α >7?$ ∈ ℝ%

G)Να αBM$AN$9$ L93 y > 1> f % 1

GG)Να αBM$AN$9$ L93 f $A6α3 6#ADJ α<NB5#α1

GGG)Να αBM$AN$9$ L93 3 y > y >< f % f % 03α >7?$ ∈ ℝ% 1

GX)Να αBM$AN$9$ L93 -[ y >→+∞

= +∞%

f % >α3 6α @8$A9$ 9B3 y >

-[y >→+∞%

f %

f %1

X)Να @8$A9$ 9B

y > 3 y >

3 y > 13 y >-[ 1

y >

+

−

→+∞

+

f % f %

f %

%

f %

f %1

XG)Α6 f H;$3 #56$;K 8I9 α87DB0 6α M$AN$9$ L93:1

y >0

1y1> y0>y > 3 y > = −+∫

%

f %e ed% f f f % f %

1

Cύση

->Aίναι y > 3 y > 0 3 y > 0 y > 13 y > y >

= ⇔ = > ⇔ > ⇔ >% %e e

f % f % f % f % f % f %

-->~στω1 = ∈ ℝ% % με

1 =<% % θα δείξουμε ότι1 =

y > y >< f % f % με #τοπο.

~στω ότι 1 =y > y >! f % f % y1>.Τοτε !χουμεb

1 =3 y > 3 y >! f % f % y=>

Τα μ!"η στις ανισότητες y1> και y=> είναι θετικ# οπότε πο""απ"ασι#$οντας κατ# μ!"η τις

ανισότητες αυτ!ς προκύπτει ότιb1 =

1 1 = = 1 =y > 3 y > y > 3 y >! ⇔ ! ⇔ !% % f % f % f % f % e e % % #τοπο

-->'πό εφαρμογή του σχο"ικού )ι)"ίου ισχύει ότιb

3 1$ − <% % % για κ#θε ( )0∈ +∞%

}ρα ισχύει και 3 y > y >< f % f % για κ#θε ∈ ℝ% .

-,> %ια κ#θε ∈ ℝ% ισχύειy > 0

= =

y > 0= = =

3 y > y > y > 3 y > y > y >

y > y > y >

>

>

< ⇔ < ⇔ < ⇔

⇔ < ⇔ > ⇔ >

f %%

% % f %%

f % f % f % f % f % e f %

e f % f % e f % e

tμως είναι=

-[→+∞ = +∞

%

% e #ρα -[ y >→+∞ = +∞% f % 1Aπίσης !χουμε




ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1JJ

y >

. .

13 y > 3 y3 > 1

-[ -[ -[ -[ -[ 0y > 1

∞= ∞

→+∞ →+∞ →+∞ →+∞ →+∞= = = = =

f % &

% & + " ospit'l & & &

f % & & & f % & & &

X)

y > 3 y > y > 3 y > 3 y > y > 3 y > 3 y > y > 3 y >3 1 3 13 y > 1 3 y > 1 y > y > 3 y > 13 y > y >3 y >

1y >

+ + ++ +− − −

+ = =

% f %% f % f % f % f % f % f % f %

f % f % f % f % f % f % f % f %e e

f %

tμως

Šy > 3 y >

-[ 1y >→+∞

+=

%

f % f %

f %

•3 y >3 y >

-[ -[ 13 y > 1 1

=

→+∞ →+∞= =

− −

& f %

% &

f % &

f % &

•

3 y >

y >

0 . .

y > 3 y > 3y1 >-[ 3 1 -[ .. 1

3 y > y >

=

→+∞ →

+⋅ + = = =

f %&

f %

% & + " ospit'l

f % f % &

f % f % &

'πό τα παραπ#νω προκύπτει ότιb

1 1 1

y > 3 y >

3 y > 1-[ 3 y >1

y >⋅ ⋅

→+∞

+

− =

+ =%

% f %

f %e f % e

f %

,->Η i είναι παραγωγίσιμη #ρα μπορούμε να παραγωγίσουμε την αρχική σχ!ση. ~τσιb

y > 3 y > y > y >y1 3 y >> y >1 3 y >

+ = ⇔ + = ⇔ =+

%% % e

f % f % f % e f % f % e f % f %

Το ο"οκ"ήρωμα παίρνει την μορφήb1 1 1

y >0 0 0

y > 3 y >11 3 y > y >

1

00

y > y >3 y > y >y1 3 y >>y > 3 y >

y > 1

3 y > 3 y1> 3 y0>y > y1> y0>

= =+

= = =+ ++

= = = − = −

∫ ∫ ∫

∫

% %

% % %

f %

e e f % f %

f % f %

e e ed% d% d%

f % f % f % f % f % f % f %

f % e

d% f % f f f % f f

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1JL

-V)(@α#3>7 874α9α)

Α1 Να @8$A9$ #56789# b →ℝ ℝ g 3α 96 BBAα 3#;<$3

y0> 1= g >α31

0

y > y >= ∫ g % g % d%

Β1Η #56789# b →ℝ ℝ f $A6α3 α8αDA#34 >α3 >589K #9B ℝ 1Η $5?$Aα y > 1= − − ) g % %

$79$9α3 #96 8α3>K α87#9α# 9J f #9B #4$AB y1 y1>> * f 1

G)Να 5B%BA#$9$ 9B L83B=

1

y > y >-[

1→

−

−%

f % f %

%

GG)Να αBM$AN$9$ L93=

0

y > =>∫ f t dt

GGG)Να αBM$AN$9$ L93 578;$3 ( )1=∈4 9H9B3BJ I#9$=

0

y > = y >=∫ f t dt f 4

Cύση

'. θ!τουμε1

0

y > =∫ g % d% ( οπότε για κ#θε ∈ ℝ% η δοθείσα σχ!ση γρ#φεταιb

( )y > y > y > = ⇔ = ⇔ = + ∈ ℝ g % g % % g % % c c( ( ( σταθερός .tμως y0> 1= g ετσι

0 1 1⋅ + = ⇔ =c c( .Aπομ!νως y > 1= + g % %( για κ#θε ∈ ℝ%

~χουμε "οιπόνb11 1 1 =

0 0 0 0

y > y 1> y 1> 1 == =

= + ⇔ = + ⇔ = + ⇔ = + ⇔ =

∫ ∫ ∫

% g % d% % d% % d% %

( ( ( ( ( ( ( (

}ρα y > = 1= + g % % για κ#θε ∈ ℝ% .

B.-> 'πό την γεωμετρική ερμηνεία της παραγ7γου !χουμεb

y1> 1= = f > 2 #ρα1

y > y1>-[ 1

1→

−=

−%

f % f

%

Aπίσης το σημείο επαφής y1 y1>>E f ανήκει στην

εφαπτομ!νη ευθείαy > b y > 1 = 1 1= − − ⇔ = + − − ⇔ = ) g % % ) % % ) %>

:πότε y1> 1= f .'πό τα παραπ#νω το $ητούμενο

όριο=

1 1

y > y > y >y y > 1>-[ -[ y1> y1> 1

1 1→ →

− −= = =

− −% %

f % f % f % f % f f

% %

-->Η συν#ρτηση i της ]i στο σημείο 'y1iy1>> !χει

εξίσωση = ) % γνωρί$ουμε ότι η i είναι κυρτή.

Aπομ!νως η ]i )ρίσκεται π#νω από την ευθεία yε>

με εξαίρεση το σημείο καμπής. *η"αδήy > ! f % % για κ#θε ∈ ℝ% y η ισότητα ισχύει για |‚1>

}ρα η συνεχής συν#ρτηση y > − f % % είναι μη αρνητική

και όχι παντού μηδ!ν στο δι#στημα 0 = .:πότε = = =

0 0 0

= = = =

0 0 0 0

y y > > 0 y > 0

y > y > = y > =

− > ⇔ − > ⇔

⇔ > ⇔ > ⇔ >

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

f % % d% f % d% %d%

f % d% %d% f % d% f t dt

--->~στω w μια παρ#γουσα της i στο ℝ .}ρα=

0

y=> y0>y > y=> y0> == 0−= − = −∫ E E f t dt E E

8αλό )να" να έ&+..

7@C 3H; 7A<?@676 f 7A>(D7 4; H<7@63; α) PE 3H;

;?<K2A7; @6D f 7@2 H<7@63;

α) .2 38HLD L?63;

282I86?C@HI2= 82KH732= I;H @2

L?63; 3476D @H3(D 3;D 92A)

α

iyg>eg wy)> wyα>

wy)> wyα>y) α> ) α

y) α>wyξ> y) α>iyξ>

= − =

−= − =−

= − = −

∫

KH; I<2H2 ( )ξ α)∈

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1L0

Aπίσης η w είναι συνεχής ως παραγωγίσιμη στο 0 = .}ρα από το @.?.Τ υπ#ρχει ( )0 =∈4

τ!τοιο 7στεy=> y0>

y > y >= 0

−= =

−

E EE f 4 4

*η"αδή υπ#ρχει ( )0 =∈4 b=

0

y > = y >=

∫ f t dt f 4 .'ρκεί να δείξουμε ότι 1>4 ή y > y1> 1> > f f 4

εφόσον i είναι γνησίως αύξουσα. 6ραγματικ#= y >

0

y > = y > 1> ⇔ >∫ii

f t dt f 4

-.)(Εα6α%93>HJ $N$97#$3J /!)

C6α >369L Μ >36$A9α3 >α97 4K>BJ 9J >α4<%J = ) % 0 0!% 1C6αJ α8α989KJ

@8A#>$9α3 #96 ?H# Π(!0) $6LJ

#5#9K4α9BJ #569$9α4H6D6 Οxl

>α3 α8α98$A 9B >369L αL 96

α8x Ο0 LDJ αA6$9α3 #9B

$L4$6B #;K4α1

A6$9α3 L93 B 85?4LJ 4$9α@B%KJ

9J 9$944H6BJ 9B5 >369B< 3α

>7?$ ;8B63>K #934K t0

$A6α3 y > 1H ” [-3=% t m 0 0!t

G) Να αBM$AN$9$ L93 9$944H6

9B5 >369B< 3α >7?$ ;8B63>K

#934K t0 4$ 0!t 0 MA6$9α3 αL 9B6

9 1H=% t t 1

GG)Να αBM$AN$9$ L93 9B #4$AB 9J

>α4<%J 4H;83 9B BBAB B α8α989KJ H;$3 B93>K $αK 4$ 9B >369L $A6α3 9B

Α(&0/) >α3 0 #96 #56H;$3α 06α 5B%BA#$9$ L#B M3α8>$A B93>K $αK1

GGG)Να 5B%BA#$9$ 9B $4@αML 9B5 ;D8AB5 , B5 M3α87$3 B93>K α>9A6α ΠΜ 9B5

α8α989K αL 9B #4$AB Ο 4H;83 9B #4$AB Α1

GX)Να αBM$AN$9$ L93 578;$3 ;8B63>K #934K 0

10

E

∈

t 0>α97 96 BBAα αL#9α#

y >= Md $ 9B5 α8α989K αL 9B >369L A6$9α3 $%7;3#91 Να ?$D8K#$9$ L93 9B

>369L Μ >α3 B α8α989KJ Π $A6α3 #4$Aα 9B5 #5#9K4α9BJ Οxl1

Cύση

->είναι ( )y > 1H y > 1H = ⇔ =% t % t t #ρα y > 1H= +% t t c ^ σταθερός πραγματικός αριθμός

tμως y0> 0=% και με αντικατ#σταση !πεται ότι 0=c #ρα y > 1H% t t= 0!t .-->@εωρούμε την συν#ρτηση y > = f % % ανα$ητούμε την εφαπτομ!νη της ]i που δι!ρχεται

από σημείο 6y01>.'ν0 0

y y >>% f % είναι το σημείο επαφής τότεb

0 0 0b y > y >y >− = − ) f % f % % %> ή0 0

0

1y >

=− = − ) % % %

%

Η yε> δι!ρχεται από το σημείο 6y01> #ρα

0 0 0 0 0

0 0

1 11 y0 > 1 ... E

= =− = − ⇔ − = − ⇔ ⇔ =% % % % %

% %

:πότε το σημείο επαφής είναι το 'yEiyE>> ή 'yE=>

0 0 01y > E 1H E [-3E

= ⇔ = ⇔ =% t t t

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1L1

}ρα η οπτική επαφή διαρκεί 1G δευτερό"επτα.

--->Aίναι εb1

E y E>= E

− = − ) % ή εb1

1E

= + ) %

Το $ητούμενο εμ)αδό είναιE

=

0

1 =y 1 > ...

E D

= + − = −∫! % % dt m

-,>Το σημείο y >% % συναρτήσει του χρόνου g είναι y1H E >t t .Η απόσταση 6? είναι

= = =y > y > y1H 0> yE 1> =GH 1H J 1M = = − + − = + − + $ d t t t t t t

%ια κ#θε 0>t

=

=

==GH J

y > =GH 1H J 1 =GH 1H J 1

+ − = + − + = + − +

tt

d t t t tt t t

Aξετ#$ουμε το πρόσημο του αριθμητή θεωρ7ντας την συν#ρτηση=

y > =GH J 0= + − > g t t tt

1y > =GH 0= + > g t

t t

}ρα η d είναι γνησίως αύξουσα στο ( )0 +∞ οπότεb

(0

1 1y 0 > -[ y > y > HJ

E E+→

= = −∞

t g g t g

Το (0 HJ∈ −∞ #ρα η d !χει μια του"#χιστον ρί$α0

10

E

∈

t η οποία "όγω της μονοτονίας

είναι και μοναδική.

Aπίσης !χουμεb

0

0 0

0 0

y > 0 y > 0

y > 0 y > 0 y > y >y > 0 y > 0 y > y >

= ⇔ = ⇔ =

< ⇔ < ⇔ < ⇔ <> ⇔ > ⇔ > ⇔ >

d t g t t t

d t g t g t g t t td t g t g t g t t t

}ρα η απόσταση y >d t γίνεται ε"#χιστη για την χρονική στιγμή0

10

E

∈

t

+!)Να ;α8α>98A#$9$ 93J 8B97#$3J B5 α>B%B5?B<6 087B69αJ #9B 9$987M3B #αJ

0MA%α #9B 8744α B5 α693#9B3;$A #$ >7?$ 8L9α# 96 %HN ΣD#9L0 α6

8L9α# $A6α3 #D#9K0 K Λ7?BJ0α6 8L9α# $A6α3 %α6?α#4H61

)Η #56789#1

y > =E %%

$A6α3 43α α87B5#α 9J #56789#J y > 3= f % % L9α6 x!1 Σ Λ

/)Ο3 α87B5#$J 9J #56789#J y > D= % f % #9B ℝ $A6α3 B3 #56α89K#$3J

Dy >

3 D= +

%

E % c 0 ∈ ℝc Σ Λ

*)Α6 43α #56789# f H;$3 α87B5#α #$ H6α M37#94α 9L9$ f H;$3 7$38$J

α87B5#$J 1 Σ Λ

&)Α6 43α #56789# f $A6α3 #56$;KJ #$ H6α M37#94α ) 5 >α3 3#;<$3 y > 0! f % 3α

>7?$ ∈ % ) 5 9L9$ y > 0!∫'

f % d% 5

1 Σ Λ

) y > y >− =∫ ∫'

f % d% f % d% 5 )

5

Σ Λ

Cύση1>C => 9 D>9 E> 9 G>9

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1L=

+)C#9D α8αDA#34 #56789# b 01 → ℝ f 4$ #56$;K α87DB 3α 96 BBAα

3#;<B56 9α $NKJ:

• y1> 1= f

•1

=

0

Jyy y >> E y >>

D+ =∫ f % f % d%

G)Να αBM$AN$9$ L931

=

0

y y > = > 0− =∫ f % % d%

GG)Να αBM$AN$9$ L93 =y > = ∈ ℝ f % % % 1

GGG) Να 5B%BA#$9$ 9B L83B= D

-[=

=→−∞

−=

%

% %

%%

&' )

1υ0

GX) Να @8$?$A 9B $4@αML 9B5 ;D8AB5 , B5 $83>%$A$9α3 αL 96 8α3>K

α87#9α# 9J f >α3 96 $5?$Aα = ) %) 1

X)Να @8$?$A 9B ( )01∈2 0 I#9$ $5?$Aα =% 2 6α ;D8A[$3 9B ;D8AB , #$ M5B 3#$4@αM3>7

;D8Aα1

Cύση

->Aίναι 1 1 1 1 1

= = = = =

0 0 0 0 0

y y > = > y y >> E y > E > y y >> E y > E− = − + = − + =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ f % % d% f % %f % % d% f % d% %f % d% % d%

1 11 1 1 1D D1= =

00 0 0 00 0

E Ey y >> E y > E y > y y >> yE 1 y1> E 0 y0>> E y >

D D

= − + + = − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + + =

∫ ∫ ∫ ∫

% % f % d% %f % f % d% f % d% f f f % d%

1=

0

Jyy y >> E y >>

D 1 1=

0 0

E J Ey y >> E E y > E 0

D D D

+ =∫

= − + + = − + =∫ ∫ f % f % d%

f % d% f % d%

-->@εωρούμε την συν#ρτηση =y > y y > = > 01= − ∈ g % f % % %

'πό το ερ7τημα y-> είναι1

0

y > 0=∫ g % d%

%ια την συν#ρτηση d ισχύουν b

Šd συνεχής στο 01

Š για κ#θε 01∈ % είναι y > 0! g %

'ν η d δεν είναι παντού μηδ!ν στο 01 τότε θα είναιb

1

0

y > 0>∫ g % d% #τοπο αφού1

0

y > 0=∫ g % d%

:πότε για κ#θε 01∈ % ισχύειb

( )= =y > 0 y y > = > 0 y > = 0 y > = y > 01= ⇔ − = ⇔ − = ⇔ = ⇔ = ∈ g % f % % f % % f % % f % % %

}ρα =y > = + f % % c ^ σταθερός πραγματικός 01∈ %

tμως y1> 1= f #ρα με αντικατ#σταση στην παραπ#νω προκύπτει 0=c και τε"ικ#=y > 01= ∈ f % % %

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1LD

™

|‚"

---> 0

D Dy= > == D = D = 0

-[ -[ -[ -[ -[ 1= = = = = 1

= = y= > =

→−∞ <

→−∞ →−∞ →−∞ →−∞ →−∞=−

− + +− − − += = = = = =

⋅− −

% %

% % % % %% %

% %%% % % % % %

% % %% % % %

@>2*()

&' &' &' &'

)

1υ0 1υ0 1υ0 1υ0

*ιότιDD 1%%

% % %

&' &' = $ 0

1-[ 0→−∞

=% %

#ρα D

-[ 0→−∞

=%

%

%

&'

( )

=

0

=-[ -[ 1

=

→−∞ →

= =

&%

% &&

%1υ0 1υ0

-,>Cύνουμε την εξίσωση y > = f % % 01∈ %

=y > ... 0 1= ⇔ = ⇔ ⇔ = = f % % % % % ( %

~τσι για α‚1 η ]i και η ευθεία = ) % !χουν δυο κοιν# σημεία

:y00> 'y11>Aπομ!νως το $ητούμενο εμ)αδό είναι b=

= =

0 011 1=

y >0 0

1=

0

y > y >

1y > ....

H

− $ ∈

− =− −[ = − = − =

= − − = =

∫ ∫

∫

% % %

% % % %! f % % d% % % d%

% % d% 4 <

A@)0

@>@6)3P0*( ? 'A0 W>?

,>~στω ™1 το χωρίο που περικ"είεται από την ]i

την ευθεία h‚| και τις ευθείες |‚0 και 01= ∈ % 2 2 1

Aφόσον για κ#θε 01∈ % είναι = 0− $% % .

Aπομ!νως και για κ#θε 0∈ % 2 =

= =

0 0 = D= =

y >0 0 0

y > y > y > ..= D

− $ ∈

− =− −[ = − = − = − − = = −∫ ∫ ∫

% % %

% % % %! f % % d% % % d% % % d%

A@)0 2 2 2 2 2 2

τετραγωνικ!ς μον#δες

%ια να χωρί$ει η ευθεία =% 2 το χωρίο ™ σε

δυο ισεμ)αδικ# χωρία πρ!πει01= D

1

1 1 1 1y > y > ....

= = D = H =

∈

[ = [ ⇔ − = ⋅ ⇔ ⇔ =! !2

2 2 2

™

h‚|

]i

1

1x

h

|

h‚|

]i

1

1x

h

™

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1LE

+/)(UZ tjQ nU_d)C6α L;4α >36$A9α3 #$ H6α $5?< M8L4B 4$ 9α;<99α B5

4$9α@7%%$9α3 #96 M378>$3α 9B5 ;8L6B51 Η ?H# #96 BBAα @8A#>$9α3 96 #934K t

MA6$9α3 αL 96 #56789# y > t 1Η #9343αAα 9α;<99α 9B5 >369B< $A6α3 y > y >=& t t 0

$6I 4H# 9α;<99α 4$ 96 BBAα M3H98$N$

96 αL#9α# ΑΒ = y > y >−B * t t

$A6α3:

y > y >=

−

−B *

B *

& t t

t t

Να M$AN$9$ L93 578;B56 M5B ;8B63>HJ #934HJ 1 = t t 9H9B3$J0 I#9$ 9B 7?8B3#4α 9D6

#9343αAD6 9α;59K9D6 #93J #934HJ α59HJ $A6α3 M3%7#3B 9J 4H#J 9α;<99αJ 9B5 #9B M37#94α B

t t 1

Cύση

'πό υπόθεση συμπεραίνουμε ότι η y > t είναι συνεχής κα παραγωγίσιμη στο δι#στημα

Bt t .Aφαρμό$ουμε το θε7ρημα μ!σης τιμής για την συν#ρτηση y > t στα διαστήματα

=

+

* B *

t tt και

=

+

* Bt t

t .:πότε υπ#ρχουν

1 =

= =

+ + ∈ ∈

* B * B * B

t t t tt t t t

Τ!τοια 7στε

1

y > y > y > y > y > y >= = =y > =

= =

+ + +− − −

= = =+ − −

−

* B * B * B * * *

* B * B * B *

t t t t t ts t s s t s s t s

s tt t t t t t

t

=

y > y > y > y > y > y >= = =y > =

= =

+ + +− − −

= = =+ − −

−

* B * B * BB B B

* B B * B *B

t t t t t ts t s s t s s t s

s tt t t t t t

t

'""#1 1y > y >=s t & t

= =y > y >=s t & t όπου1 =y > y >& t & t οι στιγμιαίες ταχύτητες τις χρονικ!ς στιγμ!ς

1 = t t

~τσι

1 = 1 =

y > y > y > y > y > y > y > y >= = = =y > y > y > y > = = =

+ + + + − − − −

+ = + = + = − = − − − −

* B * B * B * B * B * B

* B B * * B * B

t t t t t t t ts t s s t s s t s s t s

& t & t s t s tt t t t t t t t

y > y >= =

−= =

− * B

* B

s t s t&

t t δη"αδή

1 =y > y > =+ =& t & t &

: ' B( h

|

Uyg>

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1LG

+*)( Μ1]_Zg_)

C#9D b → ℝ f ) 5 #56$;KJ #56789# #9B M37#94α ) 5 0 y ><) 5 I#9$ 6α 3#;<$3:

• =y > > f ) )

•D D

y >D

−<∫ f % d%

5

)

5 )

Να αBM$AN$9$ L93 578;$3 ( ) ∈4 ) 5 H9#3 I#9$ =y > = f 4 4

Cύση

@εωρούμε την συν#ρτηση a με τύπο =y > y > I = − ∈ % f % % % ) 5

Η a είναι συνεχής στο ) 5 και !χουμε =y > y > 0I = − > f ) ) ) και

D D

y > y > 0D

−I = − <∫ ∫% d% f % d%

5 5

) )

5 ) y1>

'πό την y1> προκύπτει ότι υπ#ρχει ( )0 ∈% ) 5 με0y > 0I <% αφού αν

0y > 0I !% στο ) 5 θα

είναι y > 0I !∫ % d% 5

)

.

}ρα εφόσον0y > 0 y > 0I > I <%) a συνεχής στο

0 \ %) ) 5 #ρα από θε7ρημα r2‹/32

υπ#ρχει ( )0 ∈ %4 ) τ!τοιο 7στε = =y > 0 y > 0 y >I = ⇔ − = ⇔ = f f 4 4 4 4 4 .

+&)( 793 4B5 ?54A[$311) A6$9α3 #56789# y > 0=

= − ∈ >ℝ%e

f % %(

2 ( 2 '> 2

G)Α6 3#;<$3 = = =y > y= > E+ $% % %&' ( &' ( 0 3α >7?$ ˆ∈ ℝ% 1Να @8$A9$ 96 934K 9B5 >1

GG)Α6 ==( 06α @8$A9$ 96 $%7;3#9 934K 9J #56789#J f #56α89K#$3 9B5 %1

GGG)Να @8$A9$ 96 4$α%<9$8 934K 9B5 0>2 3α 96 BBAα 3#;<$3 !%e %2 03α >7?$

∈ ℝ% 1

GX)Γ3α = e2 6α M$AN$9$ L93 $5?$Aα = ) %2 $79$9α3 9J 8α3>KJ α87#9α#J 9J

#56789#J g LB5 y > = % g % e 1

X)Να @8$A9$ 9B $4@αML 9B5 ;D8AB5 B5 $83>%$A$9α3 αL 96 bg 0 9B6 7NB6α xmx0 96

$5?$Aα = ) e% >α3 96 $5?$Aα 1= −% 1

Cύση

->%ια κ#θε 0,% !χουμεb= =

= = =

= =

= =

=

y > y= >y > y= > E E

y > y= >E E

=

% %% % %

% %

% %

% %

&' ( &' &' ( &' ( (

&' ( &' ( (

(

+ $ ⇔ + $ ⇔

⇔ + $

Cαμ)#νουμε όρια στο 0= =

=

0 0

y > y= >-[ E -[ E

=→ →

+ $

% %

% %

% %

&' ( &' ( (

( ή

= =

=

0 0 0

y > y= >-[ E -[ -[ E

=→ → →

+ $

% % %

% %

% %

&' ( &' ( (

( ή

= = = = =1 E 1 E E E 0 y => 0 = 0 =⋅ + ⋅ $ ⇔ + − $ ⇔ − $ ⇔ − = ⇔ =( ( ( ( ( ( (

-->%ια ==( ο τύπος της συν#ρτησης γίνεται y > 0= − >% f % e %2 2 . Η συν#ρτηση i είναι

παραγωγίσιμη στο ℝ με y > = −% f % e 2 .Aίναι y > 0 0 3= ⇔ − = ⇔ =% f % e %2 2

Το πρόσημο της i η μονοτονία και τα ακρότατα φαίνονται στον πίνακαb




ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1LH

Aπομ!νως η i παρουσι#$ει ε"#χιστη τιμή για 3=% 2 την

3y3 > 3 3 y1 3 >= − = − = − f e 2 2 2 2 2 2 2 2 2

--->~χουμε τις εξής ισοδυναμίεςb0

y > y 0 > y y > 0 > [-3 y > 0 y1 3 > 0 1 3 0

1 3

>

! ∈ ⇔ − ! ∈ ⇔ ! ∈ ⇔ ! ⇔ − ! ⇔ − ! ⇔

⇔ ! ⇔ $

ℝ ℝ ℝ% %e % % e % % f % % f %

e

2

2 2 2 2 2

2 2

}ρα η μεγα"ύτερη τιμή του " για την οποία ισχύει ! ∈ ℝ%e % %2 είναι η = e2

-,>%ια να εφ#πτεται η ευθεία = ) e% στην γραφική παρ#σταση της y > = % g % e αρκεί να

υπ#ρχει σημείο0 ∈ ℝ% τ!τοιο 7στε η εφαπτομ!νη της ]d στο

0 0y y >> * % g % να ταυτί$εται με

την = ) e% .%ια να ισχύει αυτό αρκείb0

0

0 0 00

0

y >1

y >

= ⋅ = ⋅ ⇔ ⇔ =

= =

%

%

g % e % e e %%

g % e e e

(ατ# συν!πεια η h‚4| εφ#πτεται της ]d στο σημείο y1 > * e .6ραγματικ# η εξίσωση της

εφαπτόμενης της ]d στο ' είναι 0 0

0y > y 1>− = − ⇔ − = − ⇔ =% % ) e e % % ) e e % ) e%

-,>Nητούμε το εμ)αδό του χωρίου που περικ"είεται από την ]d0 τον #ξονα || την ευθεία

= ) e% και την ευθεία 1= −% .

Tσχύει y > 0= >% g % e #ρα η d είναι κυρτή στο ℝ οπότε η ευθεία = ) e% ως εφαπτόμενη της

]d )ρίσκεται κ#τω από την ]d y με εξαίρεση το σημείο επαφής>

Aπίσης παρατηρούμε ότι η = ) e% τ!μνει τους #ξονα των || στο σημείο :y00>.:ποτε το$ητούμενο εμ)αδό είναι ίσο με το εμ)αδό του χωρίου που ορί$εται από την ]d τον #ξονα

των || και τις ευθείες |‚1|‚O1 μείον το εμ)αδό του τριγ7νου :'B όπου By10>.*η"αδηb

1 =1

11

y >y > 1 =y >= = =−

−

− = − = − = − − = ∫ % % B *B e e! e d% *B e ee e

τετραγωνικ!ς μον#δες .

Α(0Q)

x r

h‚4|




ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1LI

+)Ε#9D b →ℝ ℝ f #56789# #56$;KJ >α3 9H9B3α I#9$ 6α $A6α3

y > y >+ − = f % f %) 5 3 3α >7?$ ∈ ℝ%

yB5 ∈ ℝ) 5 3 4$ 0+ ,) 5 06α M$AN$9$ L93=

y >−

=+∫ f % d%

)

)

)3

) 5

Cύση

~χουμε y > y >+ − = f % f %) 5 3 για κ#θε ∈ ℝ% .:"οκ"ηρ7νουμε και )ρίσκουμε

y y > y >> y y > y >> = y > y > =− − − − −

+ − = ⇔ + − = ⇔ + − =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ f % f % d% f % f % d% f % d% f % d%) ) ) ) )

) ) ) ) )

) 5 3 ) 5 )3 ) 5 )3 y1>

Aίναι όμως y > y > y >−=−

− −

− = − =∫ ∫ ∫& %

f % d% f & d& f & d&) ) )

) ) )

#ρα y > y >− −

− =∫ ∫ f % d% f % d%) )

) )

Η y1> γίνεται τότε=

y > y > = y >− −

+ = ⇔ =+∫ ∫ f % d% f % d%

) )

) )

)3 ) 5 )3

) 5

+-)( Μ1]_Zg_) A6$9α3 #56789# f α8αDA#34 #9B 01 τ!τοια 7στε να ισχύουνb

Š y > 1$ f % για κ#θε 01∈ %

Š

1

=

0

y > 0=∫ f % d%

Να M$AN$9$ L93:

G) 1

0

y > 0=

% f d% =∫ GG) y >

= =

− $

% % f % f )0∈ +∞% GGG)

1

0

1y >

E$∫ f % d%

Cύση

-> θ!τουμε

=

=%

& #ρα =

=

= ⇔ =d%

d& d% d&

%ια 0 0= ⇔ =% &

%ια1

1=

= ⇔ =% &

~τσιb

11 =

0 0

y > = y > = 0 0=

% f d% f & d&= = ⋅ =∫ ∫

-->'ν 0>% από @.?.Τ στην συν#ρτηση i στο δι#στημα =

%% προκύπτει ότι υπ#ρχει

=

∈

%%4 τ!τοιο 7στε

y > y > y > y >= =y >

= =

− −= =

−

% % f % f f % f

f % %%

4 #ρα

y > y > y > 1 y > y >= = = = =

− = $ ⋅ % − $% % % % %

f % f f f % f 4

'ν 0% = ισχύει σαν ισότητα

--->%ια κ#θε 01∈ % b y > y > y > y >= = = =

− $ ⇔ $ +% % % %

f % f f % f

:"οκ"ηρ7νουμε1

0

y > 0=1 1 1 1

0 0 0 0

1y > y > y >

= = E

=∫

$ + % $∫ ∫ ∫ ∫

% f d%

% % f % d% f d% f % d%

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1LJ

++)(‚1^ZdnQQR`T)A6$9α3 #56789# ( )b 0 +∞ → ℝ f 0 BBAα $A6α3 #56$;KJ >α3 F 43α

α87B5#α 9J f 3α 96 BBAα 3#;<$3:

•1

y1>=

=E

•1

y >

=

E % f %

%

0 3α >7?$ 0>%


G) ( )1 1

=

E f %% %

0 3α >7?$ ∈ ℝ%

GG) #56789# ( )1

y > 0

= >

g % E % E %%

$A6α3 #9α?$8K1

GGG)y > E

y >=

f %

E % % 3α >7?$ 0>% 1

GX) Dy > == f % % 3α >7?$ 0>% 1

Cύση

->%ια κ#θε 0>% ισχύει1

0>%

.Aπομ!νως θ!τουμε στην δοθείσα σχ!ση1

y > =

E % f %%

όπου %

το1

% και παίρνουμε ( )

1 1 =

E f %

% % για κ#θε 0>% .

-->Aπειδή η w είναι παρ#γουσα της i στο δι#στημα ( )0 +∞ ισχύειb

( ) ( ) =E % f % για κ#θε ( )0∈ +∞%

~χουμε "οιπόνb

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =

1 1 1 1 1 1 1y >

= = + = + − =

g % E % E E % E E % E f % E E % f

% % % % % % %

( ) ( )= =

1 1 1 1 10 = − = − =

f % E E % f %

% % %% % για κ#θε 0>% .}ρα η d είναι σταθερή .

--->Aίναι ( )1

y >

= ⇔ =

g % c E % E c%

για κ#θε 0>% .%ια 1=% παίρνουμε

( ) ( )1

1 1E

⋅ = ⇔ =E E c c .Aπομ!νως ( )1 1

E

=

E % E

% για κ#θε 0>% .'πό την τε"ευταία σχ!ση

προκύπτει ότι ( ) 0,E % για κ#θε 0>% .}ρα η w ως συνεχής διατηρεί πρόσημο στο

δι#στημα ( )0 +∞ .tμως ( )1

1 0=

= >E .

'πό τα παραπ#νω συμπεραίνουμε ότι

( ) 0>E % για κ#θε 0>% .

'πό τις σχ!σεις ( )1 1

E

=

E % E

% ( )

1 1 =

E f %

% % διαιρ7ντας κατ# μ!"η παίρνουμε

y > E

y >=

f %

E % % για κ#θε 0>%

-,>Η σχ!ση που αποδείξαμε στο προηγούμενο ερ7τημα γρ#φεταιb

( ) ( )y > E y > 1

E 3 y > E 3 y > y >

= ⇔ = ⇔ = f % E %

E % %E % % E % %

~τσι 3 y > E 3= +E % % c για κ#θε 0>% .%ια 1=%

13 y1> E 31 3 3 ==

= + ⇔ = ⇔ = −E c c c

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1LL

}ραE

E3 y > E 3 3 = 3 y > 3 3 = 3 y > 3=

= − ⇔ = − ⇔ = %

E % % E % % E % για κ#θε 0>% .

Aπομ!νωςE

y >=

= %

E % και συνεπ7ςD

Dy > E y > ==

= ⇔ =%

E % f % % για κ#θε 0>% .

+V)36$9α3 6#ADJ α<NB5#α #56789# b →ℝ ℝ f 4$ 9

D =

+ += − + f % % % %

) ) 5 0 =∈ ∈ <ℝ ℤ) 5 5

Η f α8B5#37[$3 #4$AB >α4KJ #96 ?H# 0

1

D=% 1

G)Να M$AN$9$ L93 1 1= =) 5 1

GG)Να αBM$AN$9$ L93 f $A6α3 2 >α3 L93 9B #4$AB Α(0) $A6α3 >B36L #4$AB 9D6

,f 0 1−,f 1

GGG)Να @8$A9$ 96 $NA#D# 9J $α9B4H6J 9J ,f #9B #4$AB Α(0) >α3 6α

αBM$AN$9$ L93 α59K H;$3 >α3 M$<9$8B >B36L #4$AB 4$ 96 1−,f 1

GX)Να @8$A9$ 96 $NA#D# 9J $α9B4H6J 9J 8α3>KJ α87#9α#J 9J1−

f #9B#4$AB Α(0)1

X)Να 5B%BA#$9$ 9B L83B1

1

y > 1-[

1

−

→

−

−%

f %

%1

XG)($8α#7>3111) Γ3α #56789# b 11− → ℝ g 0 α8αDA#34 #9B 11− 4$ α<NB5#α

α87DB #9B 11− 06α M$AN$9$ L93:

1

1

y1>y > y 1> y1>

= −

$ − +∫ f

g % d% g g

Cύση

-> =ℝ

+f i είναι δυο φορ!ς παραγωγίσιμη στοℝ

yπο"υωνυμική>D = == 1

y > y => y 1>D =

+ + = − + = + − + +

f % % % % % %

) ) 5 ) ) 5

( )= =y > y => y 1> =y => y 1>= + − + + = + − + f % % % %) ) 5 ) )

Η i από υπόθεση παρουσι#$ει σημείο καμπής στο0

1

D=% #ρα

1y > 0

D= f και εκατ!ρωθεν του

0

1

D=% η i α""#$ει πρόσημο.

1 1y > 0 =y => y 1> 0 =y => Dy 1> 0

D D

= E D D 0 1 0 1

= ⇔ + − + = ⇔ + − + = ⇔

⇔ + − − = ⇔ − = ⇔ =

f ) ) ) )

) ) ) )

6ραγματικ# για 1=) η y > H == − f % % !χει ρί$α το0

1

D=% και εκατ!ρωθεν του α""#$ει

πρόσημο. Aπίσης η συν#ρτηση i από υπόθεση είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ #ρα

y > 0 f % ! για κ#θε ∈ ℝ% .*η"αδή1

= =y => y 1> 0 D = 0=

+ − + + ! ⇔ − + !% % % %)

) ) 5 5 για κ#θε ∈ ℝ%

tμως το τρι7νυμο =D =− +% % 5 είναι π#ντα θετικό όταν

= = E 10 E 0 y => E D 0 E 1= 0 E 1=

1= D. $ ⇔ H − EG $ ⇔ − − ⋅ ⋅ $ ⇔ − $ ⇔ $ ⇔ $ ⇔ $ 5 5 5 5 5

'""# από υπόθεση ∈ ℤ 5 και =< 5 οπότε 1= 5 .

Τε"ικ# ης συν#ρτηση !χει τύπο b D =y > = − + f % % % % και =y > D = 1 y > H == − + = − f % % % f % %

-->i γνησίως αύξουσα #ρα 1O1 οπότε αντιστρ!φεται επίσης ισχύειb D =y1> 1 1 1 1= − + = f οπότε

και 1y1> 1− = f δη"αδή το σημείο 'y11> είναι κοινό σημείο των ,f 1−,f .

--->Η εφαπτομ!νη yε> της ]i στο 'y11> !χει εξίσωσηy1> y1>y 1> 1 =y 1> 1 = = = 1− = − ⇔ − = − ⇔ − = − ⇔ = − ) f f % ) % ) % ) %

Η εξίσωση D = D = =y > = 1 = 1 1 0 y 1> y 1> 0= − ⇔ − + = − ⇔ − − + = ⇔ − − − = ⇔ f % % % % % % % % % % % %

=y 1>y 1> 0 1 1− − = ⇔ = = −% % % ( % }ρα και το σημείο ByO1OD> είναι το δεύτερο κοινό σημείο της ]i με την 1−,f .

-,>:ι ,f 1−,f είναι συμμετρικ!ς ως προς την ευθεία = ) % .6ροφαν7ς το ίδιο ισχύει και με

την εφαπτομ!νη yε> της ,f στο 'y11> και την $ητούμενη εφαπτομ!νη yη> της 1−,f στο

'y11>.Aπειδη η εξίσωση της yε> είναι = 1= − ) % συμπεραίνουμε ότι η εξίσωση της yη> είναι

1 1= 1

= == − ⇔ = −% ) ) %

,>Το $ητούμενο όριο γρ#φεταιb1 1 1

1 1

y > 1 y > y1>-[ -[

1 1

− − −

→ →

− −=

− −% %

f % f % f

% %

και ισούται με την παρ#γωγο της

1−

f στο σημείο 0 1=% .tμως η παρ#γωγος της 1− f στο

0 1=% ισούται με τον συντε"εστή διεύθυνσης της

εφαπτομ!νης yη> που είναι1

==2 .*η"αδή

1 1

1

y > y1> 1-[

1 =

− −

→

−=

−%

f % f

%

,> y1> 1= f #ρα η προς απόδειξη ανισοτική σχ!ση γίνεται1 1

1 1

y1> 1y > y 1> y1> y > y 1> y1>

= =− −

$ − + ⇔ $ − +∫ ∫ f

g % d% g g g % d% g g

~στω τυχαίο % με 1 1− < $% .Aφαρμό$ουμε το @.?.Τ για την συν#ρτηση d στο δι#στημα

1− % οπότε υπ#ρχει ( )1∈ − %4 τ!τοιο 7στε

y > y 1> y > y 1>y > y > y >y 1> y > y 1>

y 1> 1

− − − −= ⇔ = ⇔ + = − −

− − +

g % g g % g g g g % g % g

% %4 4 4 y1>

tμως 1$% οπότε 1 1− < <4 θα !χουμε "οιπόν y > y1>$ g g4 εφόσον η παρ#γωγος είναι

γνησίως αύξουσα στο ℝ .

~τσι 1 1− < $% !χουμε y > y 1> y >y 1> y1>y 1>− − = + $ + g % g g % g %4 y=>

Η τε"ευταία σχ!ση ισχύει και για |‚O1.

‡ y=> γίνεται y > y 1> y1>y 1> y > y1>y 1> y 1>− − $ + ⇔ $ + + − g % g g % g % g % g

:"οκ"ηρ7νουμε την τε"ευταία στο 11−

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1

1 1

y > y y1>y 1> y 1>> y > y1> y 1> y 1>

1y > y1> = y 1> = y > y1> y 1>

=

− − − − −

− −

$ + + − ⇔ $ + + − ⇔

⇔ $ ⋅ + − ⋅ ⇔ $ + −

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

g % d% g % g d% g % d% g % d% g d%

g % d% g g g % d% g g

+.)(ΕN$97#$3J /!!/) C#9D M5B #56α89K#$3J j0g #56$;$AJ #9B ) 5 1Α6 3#;<$3

y > y >>h % g % 3α >7?$ ∈ % ) 5 06α αBM$AN$9$ L93 y > y >>∫ ∫h % d% g % d% 5 5

) )

1

GG)A6$9α3 α8αDA#34 #56789# b →ℝ ℝ f 0 BBAα 3>α6BB3$A 93J #;H#$3J:

y0> 0= f >α3 y >y > 1−− = − f % f % e % 3α >7?$ ∈ ℝ%

G)Να $>87#$9$ 96 #56789# fm #56α89K#$3 9J f 1

GG)Να αBM$AN$9$ L93 y > y >=

< <%

f % %f % 3α >7?$ 0>% 1

GGG)Α6 Ε $A6α3 9B $4@αML 9B5 ;D8AB5 , 0 B5 B8A[$9α3 αL 96 8α3>K α87#9α#

9J f093J $5?$A$J 0 1= =% % >α3 9B6 7NB6α xmx0 6α αBM$AN$9$ L93

1 1y1>

E =< <! f

Cύση

-> y > y > y > y > 0> ⇔ − >h % g % h % g % #ρα y y > y >> 0 y > y > 0 y > y >− > ⇔ − > ⇔ >∫ ∫ ∫ ∫ ∫h % g % d% h % d% g % d% h % d% g % d% 5 5 5 5 5

) ) ) ) )

-->

( ) ( )y >

y > y > y >

y > y >

1y > 1 y > y > 1 y >y1 > 1 y > y >

1 1

− − −

−− = − ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = ⇔ =

+ +

f % f % f % f %

% f %

e f % e % f % f % e f % e f % f %

e e

--->@α δείξουμε ότι

y > y > y0>1 1y > y > y > y >

= = = 0

−< < ⇔ < < ⇔ < <

−

f % f % f % f % %f % f % f %

% %

Η i είναι συνεχής στο 0 %

Η i είναι παραγωγίσιμη στο ( )0 %

'πό το @.?.Τ υπ#ρχει του"#χιστον !να ( )0∈ %4 τ!τοιο 7στεy > y0>

y >

0

−=

−

f % f f

%

4

y0 > 0

y0> 0

1y0>

=11= = =

++

f

f

e e f

ee

}ρα αρκεί να δείξουμε y0> y > y >< < f f f %4 με 0 < < %4

*η"αδή αρκεί να δείξουμε ότι i είναι γνησίως αύξουσαy > y > y > y > y > y > y > y > y > y >y >

y > y > y > y >

y > y1 > y > y > y > y > y >y > 0

1 1 1 1

+ − + −= = = = >

+ + + +

f % f % f % f % f % f % f % f % f % f % f %

f % f % f % f %

f % e e f % e e f % e f % e e f % e e f % ee f %

e e e e

για κ#θε ∈ ℝ% y διότι y > 0> f % για κ#θε ∈ ℝ% >

-->Aίναι y > y >=

$ $%

f % %f % για κ#θε 0!% #ρα y > 0! f % για κ#θε 0!% και1

0

y >= ∫! f % d%

Š11 1 1 1=y >

0 0 0 0

1 1y > y > y > y >

= = E E E

$ % $ ⇔ $ ⇔ $ ⇔ $

∫ ∫ ∫ ∫i

o

% % % f % d% f % d% f % d% f % d% !

Š1 1 1 1y >

1

00 0 0 0

y > y > y > y > y > y > y >MEOEGLZT]VR L^LV^RO[XR

$ % $ ⇔ $ − ⇔ ∫ ∫ ∫ ∫i

f % %f % f % d% %f % d% f % d% %f % % f % d%

1 1 1 11

00 0 0 0

1 1 1 1

0 0 0 0

y > y > y > y > 1 y1> 0 y0> y >

y1> y1>y > y1> y > = y > y1> y >

= =

$ − ⇔ $ − − ⇔

⇔ $ − ⇔ $ ⇔ $ ⇔ $

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

f % d% %f % f % d% f % d% f f f % d%

f f f % d% f f % d% f % d% f f % d% !

}ρα 1 1 y1>E =

< <! f .

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =0=

V!) A6$9α3 α8αDA#34 #56789# b →ℝ ℝ f 3α 96 BBAα 3#;<$3

• = =y >y => y >y 1> 0+ + − − + = f % % % f % % % 03α >7?$ ∈ ℝ% 0 y > 0> f % 3α >7?$ ∈ ℝ%

•1

y0>=

= f

Α1 Να αBM$AN$9$ L93=

y >

=

=

+ +

%e f %

% %

Β1G) Να $N$97#$9$ 96 f DJ 8BJ 96 4B6B9B6Aα1

GG)Να %<#$9$ 96 α6A#D#=

E ==

=

==

1− + +

<+ +

% % % %e

% %

Γ1 Γ3α 96 α8αDA#34 #56789# b →ℝ ℝ g 3#;<$3:

•=

=

y > = y y >> y > =

E = =

− + +=

+ + g % % g % g %

e% %

3α >7?$ ∈ ℝ%

• y0> 1= g

G)Να M$AN$9$ L93 =y > 1= + g % %

GG)Να @8$A9$ 9α #4$Aα 9B5 $A$MB5 αL 9α BBAα 7B69α3 >7?$9$J $α9B4H6$J 9J

bg 11 G)Να @8$A9$ 9α #4$Aα $αKJ Α0Β 9D6 $α9L4$6D6 $0$/ 9J bg B5 7B69α3 αL

9B #4$ABD

y0 >E

* 1

GG)Να @8$A9$ 9B $4@αML 9B5 ;D8AB5 B5 $83>%$A$9α3 αL 96 bg >α3 93J $α9L4$6$J

$0$/1

Cύση

'> %ια κ#θε ∈ ℝ%

=

=y > 0= = = =

=

= 0

y > 1y >y => y >y 1> 0 y >y => y >y 1>

y > =

>

+ + ,

− ++ + − − + = ⇔ + + = − + ⇔ = ⇔

+ +

f %

% %

f % % % f % % % f % % % f % % % f % % %

f % % %

( )=

=

13 y >

=

− +⇔ =

+ +

% % f %

% % :"οκ"ηρ7νουμε την τε"ευταίαb

( )= = =

= = = =

1 1 = = 1 = 13 y > 3 y > 3 y > 1

= = = =

− + − + + + − − − − = ⇔ = ⇔ = = +

+ + + + + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

% % % % % % % % f % d% d% f % d% f % d% d%

% % % % % % % %=

=

= = =

= 1 = 1 y =>1 1 1 3y =>

= = =

− − + + += + = − = − = − + + + + + + + + +

∫ ∫ ∫% % % %

d% d% d% % % % c% % % % % %

^ σταθερός

*η"αδή =3 y > 3y =>= − + + + f % % % % c ^ σταθερός πραγματικός αριθμός α""#1

y0>=

= f

= =1 13 y0> 0 3y0 0 => 3 0 3y0 0 => 3 3 =

= =1 1

3 3 = 3 = 31 0= =

= − + + + ⇔ = − + + + ⇔ = − + ⇔

⇔ + = ⇔ = ⇔ = ⇔ =

f c c c

c c c c

}ρα = =

= =3 y > 3y => 3 y > 3 3y => 3 y > 3 y >

= == − + + ⇔ = − + + ⇔ = ⇔ =

+ + + +

% %% e e

f % % % % f % e % % f % f %% % % %

B ->( ) ( ) ( )

= = =

= = = == = =

y => y= 1> y = = 1> y 1>y > 0

= = = =

+ + − + + + − − − += = = = >

+ + + + + + + +

% % % % %e e % % e % e % % % e % % f %

% % % % % % % %0

για κ#θε ∈ ℝ% ισχύει = 1 0− + >% % ( D 0. = − < )0 = = 0+ + >% % ( I 0. = − < )0

}ρα y > 0> f % οπότε η i είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ .

B -->~χουμεb

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =0D

( )

=

= =

= =

E = E = E == =

= = = =

= ==

E = = = == =

= = ==

= 1 E = = E = =

y > y= >= E = = y= > = ==

− −+ + + + + +< ⇔ < ⇔ < ⇔

+ + + + + +

⇔ < ⇔ < ⇔ <+ + + + + ++ +

%% % % %

%

% % % %

% % % % e % %e e

% % % % e % %

e e e e f % f %

% % % % % %% %

'""# η i είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ οπότε = == = 0 y => 0 0 =< ⇔ − < ⇔ − < ⇔ < <% % % % % % %

%. ->= =

= = = =

y > y > =y > =

=

y y >> y > = y y >> y > =

E = = E = = y y >> y > = E = =

− + + + += ⇔ = ⇔ = ⇔

+ + + + + + + +

g % g % % g % %

%

g % g % g % g %e e ee

% % e % % g % g % % %

1 1=y y >> y= > y > = y >

−

= ⇔ = ⇔ = +ր f f

f g % f % g % % g % % c)DAυ

0 ∈ ℝc

'""# y0> 1 1= ⇔ = g c .~τσι =y > 1= + ∈ ℝ g % % %

-->Aίναι =y > 1= + g % % y > == g % %

Η εξίσωση της εφαπτομ!νης yη> της ]d στο σημείο επαφής0 0

y y >>^ % g % είναιb= = = =

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0y > y >y > 1 = y > 1 = = = 1 ) g % g % % % ) % % % % ) % % % % ) % % %− = − ⇔ − − = − ⇔ − − = − ⇔ = − + και ο

συντε"εστής διεύθυνσης της yη> είναι0== %& 2

%ια να δι!ρχεται η ευθεία yε> από το σημείο ;yα)> πρ!πει να ισχύει b= =

0 0 0 0= 1 = 1 0 y1>% % % % 5 ) ) 5 = − + ⇔ − + − + =

:πότε για αν δι!ρχονται από το ;yα)> δυο κ#θετες εφαπτόμενες yη1> yη=> της ]d αρκεί η

εξίσωση = = 1 0+ − + =% %) 5 να !χει δυο διαφορετικ!ς "ύσεις1 = ∈ ℝ% % y οι διαφορετικ!ς "ύσεις

1 = ∈ ℝ% % αντιστοιχούν σε διαφορετικ!ς εφαπτομ!νες της ]d εφόσον η d είναι 1O1>και να

ισχύει1 =

1⋅ = −& & 2 2 δη"αδή να ισχύουνb

1 =

1

11 =1 = 1 =

== =

1 1 1= = 11

E 1 E0 y= > Ey 1> 0

E E E 0 E E E 0

% %

Viet'

% % % % 5 5

2& 2&

) 5

) 5 ) 5

−= = − ⋅ = − ⋅ = − = − = − ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

. > − − > − + > − + >

= = = == =

D D1 D D D1 E E

E E E ED 1

E E E 0 E E E 0 E D E 0 E 1 0E E E 0E E

= = = − = = = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

− + > − + > − + > + >− + > > −

5 5 5 5 5 5

) 5 ) 5 ) ) ) )

=

DDE

1 E

E

=⇔ ⇔ = ∈

> −

ℝ

5

5 )

)

Aπομ!νως τα $ητούμενα σημεία είναι ό"α τα σημεία του επιπ!δου με τεταγμ!νηD

E δη"αδή ό"α τα σημεία της ευθείαςD

E= ) .

*.-> ~στω0 0y y >>% g % το σημείο επαφής της εφαπτομ!νης της ]d που #γεται από το

Dy0 >

E *

τότε η εφαπτομ!νη θα !χει τύπο= = = =

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0y > y >y > 1 = y > 1 = = = 1− = − ⇔ − − = − ⇔ − − = − ⇔ = − + ) g % g % % % ) % % % % ) % % % % ) % % %

tμως η εφαπτομ!νη δι!ρχεται απο το ' #ρα

= =

0 0 0 0

D 1 1= 0 1

E E == ⋅ − + ⇔ = ⇔ = /% % % % #ρα δυο εφαπτομ!νες #γονται από το ' προς την ]d

με σημεία επαφής1 1

= =

B g

1 1

= =

G − −

g ή

1 G

= E

B 1 G

= E

G −

:ι εξισ7σεις των εφαπτομ!νων είναι αντίστοιχα




ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =0E

1

1 1 1 G 1 1 G 1 Db y > = y >

= = = E = = E = E

− = − ⇔ − = − ⇔ − = − ⇔ = +

) g g % ) % ) % ) %>

=

1 1 1 G 1 1 G 1 Db y > =y >y >

= = = E = = E = E ) g g % ) % ) % ) %>

− − = − + ⇔ − = − + ⇔ − = − − ⇔ = − +

Το $ητούμενο εμ)αδό είναι b

10=

= 1

10

=

D Dy > y > y > y >

E E! ! ! g % % d% g % % d%

−

= + = − + + − − +

∫ ∫

1

0== =

10

=

D Dy 1> y > y 1> y >

E E−

= + − + + + − − + =

∫ ∫% % d% % % d%

10=

= =

10=

D D1 1 >

E E−

= + − − + + + − =

∫ ∫% % d% % % d%

10=

= =

10

=

1 1

E E−

= − + + + + =

∫ ∫% % d% % % d%

10

D = D ==

10

=

D = E D = E−

= − + + + + =

% % % % % %

10

D = D ==

10

=

1...

D = E D = E 1=−

= − + + + + = =

% % % % % %τετραγωνικ!ς μον#δες

A1 A=

c

:

]d

ByO1”=G”E> %y1”=G”E>

h‚D”E

|

h




ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =0G

V) (Ο4B$6I6 /!!.)A6B69α3 B3 #56α89K#$3J

y > 1= − f % % >α3 y > 3= g % % 0 0>%

^1Να αBM$AN$9$ L93 y > y >! f % g % 03α >7?$ 0>%

Β1 Α6 y > y > y >= −h % f % g % 0 9L9$:

G)Να αBM$AN$9$ L93 0 y > =$ $ −h % e 03α >7?$ 1∈ % e 1

GG)Να 5B%BA#α9$ 9B $4@αML6 9B5 ;D8AB5 B5 $83>%$A$9α3 αL• 96 8α3>K α87#9α# 9J #56789#J j

• 9B6 7NB6α xmx

• 93J $5?$A$J 1=% >α3 =% e

GGG)Να 5B%BA#$9$ 9B B%B>%K8D4α

y >

1

„ y > 1… y >= +∫e

h % e h % h % d%

Cύση

'. @εωρούμε τη συν#ρτηση y > y > y > 1 3= − = − −h % f % g % % % 0>% Η ` είναι παραγωγίσιμη και

συνεχής για 0>% .1 1

y > y 1 3 > 1 −

= − − = − = %

h % % %% %

‡ ` παρουσι#$ει ο"ικό ε"#χιστο το y1> 0=h #ρα για κ#θε 0>% !χουμεb

y > 0 y > y > 0! ⇔ − !h % f % g %

B.->Η ` είναι γνησίως αύξουσα στο 1 e #ρα

1 y1> y > y > 0 y > =$ $ % $ $ % $ $ −% e h h % h e h % e

-->'πό το ερ7τημα y'> !χουμε ότι y > 0!h % για 0>% #ρα

1 1 1 1 1 1 1 1

y > y 1 3 > 1 3 1 3= = − − = − − = − − =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫e e e e e e e e

! h % d% % % d% %d% d% %d% %d% d% % %d%

= = =

1 1 1 1 1 1 11 11 1 1

13 3 1 3

= = =

− − + = − − + = − − + =

∫ ∫

e e ee ee e e e e e e% % %

% % % % d% % % % d% % % % %%

= = = = = =

11

1 1 = 13 y 3 131>

= = = = = =

− −− = − − − = − − =

ee% e e e e

% % e e e τετραγωνικ!ς μον#δες

--->= =y > y >

y >

= 1 01 0 0

„ y > 1… y > „ 1…− −= =

= = − = == + = + = + =∫ ∫ ∫

e e e& h % d& h % d%h % & & &

% e & e % &e h % h % d% e & d& e & e d&

@A@> @A@>

= ==

0 0

= = = = =

0 0 0 0 0

> y =>y − − −

− − − − − = + = − + = = − + =∫ ∫ ∫ ∫ ∫

e e& & e

e e e e e& & & & & &e & e & e ee & e d& e &d& e d& e d& e d&

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =0H

V/) A6$9α3 α8αDA#34 #56789# f BBAα 9H9B3α0 I#9$:

• = Dy 1>y y > > 0− − !% f % % 03α >7?$ ∈ ℝ%

• y0> 0= f

Α1 Να M$AN$9$ L93:

G)Η 8α3>K α87#9α# 9J f $79$9α3 #9B6 7NB6α xmx #96 α8;K 9D6 αNL6D6 >α3

M3H8;$9α3 αL 9α #4$Aα Α(0) 0Β(202) 1GG)Υ78;$3 ( )11∈ −4 9H9B3B I#9$ y > 1= f 4

Β1 A6$9α3 #56789# b →ℝ ℝ g 4$ 9<B:

=y > y1> y 1>= + − − +% % g % e f f e( 2 0 ∈ ℝ% 4$ >0% #9α?$8B<J 8α4α93>B<J α83?4B<J

Α6 -[ y > 0→+∞

=%

g % 9L9$:

G)Να M$AN$9$ L93 1 0( 2 = =

GG)Να $N$97#$9$ DJ 8BJ 96 4B6B9B6Aα #9B $MAB B83#4B< 9J 96 #56789# j 4$

9 3 y >=h % g % 1

GGG)Να 5B%BA#$9$ 9B B%B>%K8D4α

y >∫ %e h % d%

Cύση

-> 'ρκεί να δείξουμε ότι =y0> 0 f

%ια κ#θε ( ) ( )∈ − ∪10 01% !χουμε b

− <= 1 0% και − $ ⇔ $D Dy > 0 y > f % % f % % y1>

'ν ( )∈ −10% τότε η y1> γίνεται $ ⇔ !D =y >y >

f % f % % %

% y=>

'ν ( )01% ∈ τότε η y1> γίνεται $ ⇔ $D =y >y >

f % f % % %

% yD>

'πό υπόθεση η i είναι παραγωγίσιμη στο =0 0% παίρνουμε από y=>yD>

− −→ →! ==

0 0

y >-[ -[ 0% %

f %%

% ή

−→!

0

y >-[ 0%

f %

%

+ +→ →$ ==

0 0

y >-[ -[ 0% %

f %%

% ή

+→$

0

y >-[ 0%

f %

%

}ρα→ →

−= = =

−0 0

y > y0> y >y0> -[ -[ 0

0% %

f % f f % f

% %

%ια ( )∈ − − ! ⇔ $= D D01 y 1>y y > > 0 y >% % f % % f % % yE>

%ια ( )∈ +∞ − − ! ⇔ != D D1 y 1>y y > > 0 y >% % f % % f % % yG>

tμως η i είναι συνεχής στο =01%

→=

1y1> -[ y >

% f f %

'πό την yE>− −→ →

= $ ==

1 1y1> -[ y > -[ 1

% % f f % %

'πό την yG>+ +→ →

= ! ==

1 1y1> -[ y > -[ 1

% % f f % %

}ρα→

= =1

y1> -[ y > 1%

f f % δη"αδή η ]i δι!ρχεται από το σημείο 'y11>

tμοια )ρίσκουμε

→−− = = −

1y 1> -[ y > 1

% f f % !τσι η ]i δι!ρχεται από το σημείο ByO1O1>

-->‡ συν#ρτηση i είναι συνεχής στο δι#στημα − 11 παραγωγίσιμη στο ( )−11 #ρα από

@.?.Τ υπ#ρχει ( )∈ −114 τ!τοιο 7στε− − − −

= = =− − − −y1> y 1> 1 y 1>y > 11 y 1> 1 y 1> f f f 4

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =0I

B. ->Η d για = − = −y1> 1 y 1> 1 f f !χει τύπο

= + + +=y > 1% % g % e e( 2 ∈ ℝ% με κ" σταθερούς πραγματικούς αριθμούς

( )→+∞ →+∞ →+∞

= + + + = + + + = +∞ +

=

=

1-[ y > -[ 1 -[ 1 y >y1 >% % %

% %% % % g % e e e

e e

2 ( 2 ( (

'ν > <1 1(( ( το όριο→+∞

-[ y >%

g % απειρί$εται #ρα πρ!πει + = ⇔ = −1 0 1( (

%ια = −1(

( ) ( )→+∞ →+∞ →+∞ →+∞

+ − − + + −= + − + = + − − = =

+ + −

= == =

=

y 1 y >>y 1 y >>-[ y > -[ 1 -[ 1 y > -[

y 1 y >>

% % % %% % % %

% % % % % %

e e e e g % e e e e

e e

2 2 2 2

2

→+∞ →+∞ →+∞ →+∞

+ −+ − − + + − + − + −

= = = =+ + − + + − + + − + + −

=

= = = = = = =

= = =

1y = >

1 y = > 1 = 1 =-[ -[ -[ -[

1y 1 y >> y 1 y >> y 1 y >>y 1 1 >

%% % % % % % % % %

% % % %% % % % % %%

% %

ee e e e e e e e e

e e e e e ee

e e

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

→+∞

+ −= = =

+ + −

=1=

=-[

=11 1

% %

%

% %

e e

e e

2 2

2 2

2

'""# από υπόθεση→+∞

=-[ y > 0%

g % #ρα = 02 .

~τσι ο τύπος της d γίνεται = + −=y > 1% % g % e e

--> > ⇔ + − > ⇔ + > ⇔ + > ⇔ >= = = =y > 0 1 0 1 1 1 0% % % % % % g % e e e e e e ισχύει για κ#θε ∈ ℝ% .

( )= = + +=y > 3 y > 3 1% %h % g % e e ∈ ℝ%

( )( )

+ − +− −

+ − + + += + − = = = = =+ − + − + − + −

= = = =

= = = ==

= = = =

y 1> y 1>

y 1 >= 1 1 1y > 3 1

1 1 1 1

% % % % %% %

% % % % %% %

% % % % % % % %

e e e e ee e

e e e e eh % e e

e e e e e e e e

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )− + − + − + − −

= = = <+ + − + + − + + − +

= = = =

= = = = = = =

y 1> y 1> y 1 >0

1 1 1 1 1 1 1

% % % % % % % % % %

% % % % % % % % % %

e e e e e e e e e e

e e e e e e e e e e

για κ#θε ∈ ℝ% .}ρα η ` είναι γνησίως φθίνουσα στο ℝ

--->

( )= = − = − = + =

−

+ +∫ ∫ ∫ ∫ ∫

=

= = y > y > y >y > y > y >

1 1

% % % %% %

% % %

% %e e h % e h % e h %

e ee h % d% h % d% e h % d% e d% d%

e e

++ = + + +

+∫ =

=

=

1>1 1y > y > 3y 1>

= =

y

1

% % %%

%e h % e h % e c

ed%

e ^ σταθερ#

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =0J

V*)(Εα6α%93>HJ /!)36$9α3 #56789# b →ℝ ℝ f BBAα $A6α3 98$3J B8HJ

α8αDA#34 >α3 9H9B3α0 I#9$:

•0

y >-[ 1 y0>

→= +

%

f % f

%

• y0> y1> y0>< − f f f

• y > 0, f % 3α >7?$ ∈ ℝ% G)Να @8$A9$ 96 $NA#D# 9J $α9B4H6J 9J 8α3>KJ α87#9α#J 9J f #9B

#4$AB 9J 4$ 9$944H6 0 0=% 1

GG)Να αBM$AN$9$ L93 #56789# f $A6α3 >589K #9B ℝ 1

Α6 $3%HB6 y > y > = − ∈ ℝ g % f % % % 0 9L9$:

GGG)Να αBM$AN$9$ L93 g α8B5#37[$3 B%3>L $%7;3#9B >α3 6α @8$A9$ 9B0

-[y >→%

%

%g %

&' 1

GX)Να αBM$AN$9$ L93=

0

y > =>∫ f % d% 1

X)Α6 9B $4@αML6 9B5 ;D8AB5 B5 $83>%$A$9α3 αL 96 8α3>K α87#9α# 9J

#56789#J g0 9B6 7NB6α xmx >α3 93J $5?$A$J 4$ $N3#I#$3J 0=% >α3 1=% $A6α3G

y >=

[ = −! e 0 9L9$ 6α 5B%BA#$9$ 9B B%B>%K8D4α

1

0

y >∫ % d%

α3 #96 #56H;$3α 6α αBM$AN$9$ L93 578;$3 ( )1=∈4 9H9B3B I#9$

0

y > ==∫ f t dt4

Cύση

-> ( )0 0 0 0

y > y >y0> -[ y > -[ -[ -[ 0y1 y0>> 0→ → → →

= = = = + = % % % %

f % f % f f % % % f % %

0 0

y > y0> y >y0> -[ -[ 1 y0> 1

0→ →

− = = = + = − % %

f % f f % f f

% %

}ρα η $ητούμενη εφαπτομ!νη είναιb y0> y0>y 0>− = − ⇔ = ) f f % ) %>

-->Aφαρμό$ουμε @.?.Τ στο δι#στημα 01 #ρα υπ#ρχει !να του"#χιστον ( )01∈4 τ!τοιο

7στεy1> y0>

y > y > y1> y0> y1>1 0

−= ⇔ = −

−

f f f f f f 4 4

Aίναι επίσης y0> y1> y0> y0> y >< − ⇔ < f f f f f 4 y=>

Aπίσης y > 0, f % για κ#θε ∈ ℝ%

(αι επίσης η i είναι συνεχής ως παραγωγίσιμη από συν!πειες r2‹/32 η i διατηρεί

σταθερό πρόσημο στο ℝ .

Aφαρμό$ουμε @.?.Τ στην i στο δι#στημα 0 4 #ρα υπ#ρχει !να του"#χιστον

( )1 0∈4 4 τ!τοιο 7στε1

y > y0>y > 0

0

−= >

−

f f f

4 4

4 από y=>

:πότε y > 0> f % για κ#θε ∈ ℝ%


--->Η εφαπτομ!νη της ^i στο σημείο :y00> είναι η b = ) %> .Η i είναι κυρτή στο ℝ #ρα η ]i

)ρίσκεται π#νω από την yε> με εξαίρεση το σημείο επαφής :y00>

y > y > 0 y > 0 y > y0>! ⇔ − ! ⇔ ! ⇔ ! f % % f % % g % g % g y )"!πουμε οτι η ισότητα να ισχύει στο |‚ 0 .

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =0L

}ρα η d παρουσι#$ει ο"ικό ε"#χιστο στο y0> 0= g .

0 0

1-[ -[

y > y >→ →

= = +∞

% %

% %

%g % % g %

&' &' (

0-[ y > 0 y > 0

→= !

% g % g % 0

0-[ 1

→=

%

%

%

&' )

-,>Aίναι y > 0! g % y με την ισότητα στο 0> #ρα == = = = = ==

0 0 0 0 0 00y > 0 y y > > 0 y > y > y > ==

> ⇔ − > ⇔ > ⇔ > ⇔ > ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫%

g % d% f % % d% f % d% %d% f % d% f % d%

,>Aίναι y > 0! g % #ρα1

0

Gy >

== = −∫! g % d% e δη"αδή

1 1 1 1

0 0 0 0

1 1

0 0

G G 1 Gy y > > y > y >

= = = =

1 Gy > y > = y1>

= =

f % % d% e f % d% %d% e f % d% e

f % d% e f % d% e

− = − ⇔ − = − ⇔ − = − ⇔

⇔ − = − ⇔ = −

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

@εωρούμε συν#ρτηση0

y > y > == −∫%

h % f t dt 1=∈ %

‡ ` είναι συνεχής στο 1= ως πρ#ξεις συνεχ7ν1

0

y1> y > = = = E 0= − = − − = − <∫h f t dt e e

=

0

y=> y > = 0= − >∫h f t dt y από ερ7τημα y-,>>

}ρα από θ.B2‹/32 προκύπτει το $ητούμενο.

V&) A6$9α3 #56789# b →ℝ ℝ f BBAα $A6α3 M5B B8HJ α8αDA#34 9H9B3α0

I#9$:

+ =Dy > = y > D f % f % % 3α >7?$ ∈ ℝ% ()

G)Να @8$A9$ 93J 934HJ y1> y0> f f 1

GG)Να $N$97#$9$ 96 f DJ 8BJ 9B 8L#4B >α3 96 4B6B9B6Aα1

GGG)Να $N$97#$9$ 96 f DJ 8BJ 96 >589L99α >α3 9α #4$Aα >α4KJ1GX)Να @8$A9$ 96 $NA#D# 9J $α9B4H6J ($) 9J 8α3>KJ α87#9α#J #9B

#4$AB 9J y0 y0>> * f 1

X)Να M$AN$9$ L93 :+→

= −∞−0

1LIE-[

= y > D% f % %

XG)Να 5B%BA#$9$ 9B $4@αML 9B5 ;D8AB5 B5 $83>%$A$9α3 αL 96 8α3>K

α87#9α# 9J f09B6 7NB6α xmx >α3 93J $5?$A$J = 1% >α3 = 0% 1

Cύση

->Η y1> ισχύει για κ#θε ∈ ℝ% τότε θα ισχύει και

για = 0% b ( )

+ ,

+ = ⋅ ⇔ + = ⇔ =

= y0> = 0D =

y0> = y0> D 0 y0> y0> = 0 y0> 0

f

f f f f f Η y1> ισχύει για κ#θε ∈ ℝ% τότε θα ισχύει και

για = 1% b

+ = ⋅ ⇔ + − = ⇔ + − − = ⇔ − + − = ⇔D D D Dy1> = y1> D 1 y1> = y1> D 0 y1> D y1> y1> D 0 y1> y1> D y1> D 0 f f f f f f f f f f

− + − = ⇔ − + + − = ⇔ − + + = ⇔=y1>y y1> 1> Dy y1> 1> 0 y1>y y1> 1>y y1> 1> Dy y1> 1> 0 y y1> 1>y y1>y y1> 1> D> 0 f f f f f f f f f f + + > ∈

. =− <− + + = ⇔ − = ⇔ =

ℝ= y1> y1> D 0=

11 0y y1> 1>y y1> y1> D> 0 y1> 1 0 y1> 1

f f %

f f f f f 3*)()U>

--> ( )+ = ⇔ + = ⇔ = !+

D =

=

Dy > = y > D y > y > = D y > 0

y > =

% f % f % % f % f % % f %

f % για κ#θε ∈ ℝ%

Š'ν > 0% τότε >y > 0 f %

Š'ν < 0% τότε <y > 0 f %

Š'ν = 0% τότε =y > 0 f %

6αραγωγί$ουμε την y1>

( ) ( ) ( )+ = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = >+

D = =

=

Dy > = y > D D y > y > = y > D y > D y > = D y > 0

D y > = f % f % % f % f % f % f % f % f %

f %

}ρα η i είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ .

--->( ) ( )

+= = − = − + + +

=

= = == =

DyD y > => 1J y > y >Dy >

D y > = D y > = D y > =

f % f % f % f %

f % f % f %

Š'ν > 0% τότε >y > 0 f % #ρα <y > 0 f % η i είναι κοί"η στο ( +∞0

Š'ν < 0% τότε <y > 0 f % #ρα >y > 0 f % η i είναι κυρτή στο (−∞ 0

Š'ν = 0% τότε =y > 0 f % #ρα =y > 0 f % η i εκατ!ρωθεν του 0 α""#$ει πρόσημο #ρα

παρουσι#$ει σημείο καμπής το 'y0iy0>>.

GX) = =+=

D Dy0>

=D y0> = f

f .Η εξίσωση της εφαπτομ!νης της ]i στο σημείο της 'y0iy0>> είναιb

− = − ⇔ =D

y0> y0>y 0>=

) f f % ) % #ρα yε> =D

= ) %

X) 'ν > 0% η i είναι κοί"η και τότε η ]i είναι κ#τω από την εφαπτομ!νη της yε>

δη"αδή < ⇔ < ⇔ − <D

y > = y > D = y > D 0

=

f % % f % % f % % όταν > 0%

}ρα το όριο+→

= −∞−0

1LIE-[

= y > D% f % %

,->'πό το ερ7τημα --> ισχύει ότι !y > 0 f % για κ#θε ∈ 01% #ρα το $ητούμενο εμ)αδό είναι

= ∫1

0

y >! f % d%

@!τουμε = y >& f % #ρα= +

= ⇔ = ⇔ = ⇔ =+ +

=y >

= =

D D D =y >

DD y > = D =

& f % &d& f % d% d& d% d& d% d& d%

f % &.

tσο για τα #κρα ο"οκ"ήρωσης%ια = 0% είναι = =y0> 0& f

%ια = 1% είναι = =y1> 1& f

= ++ +

= = = =∫ ∫ ∫ ∫1 1 1 1= D

D

0 0 0 0

>D = D = =

y > yD D D

& & & &! f % d% & d& d& & d&

= + = =

1=

0

E I..

E 1=D

& & τετραγωνικ!ς

μον#δες.

V)(*τα ό&"α τ' νομ"μότ'τα τ' -λ'.1)

G)Να @8$A9$ 96 #56$;K #56789# f 3α 96 BBAα 3#;<$3 :

− = +

∫

11

0

y > y >% %e f % d% f % e 3α >7?$ ∈ ℝ%

GG)"$D8B<4$ 96 #56789# = −−

y > y >=

e g % f %

e0Να αBM$AN$9$ L93 bg @8A#>$9α3 76D

αL 96 $α9B4H6 9J $5?$AαJ ($) #9B #4$AB Α(!0) 4$ $NαA8$# 9B #4$AB $αKJ1

GGG)C#9D , 9B ;D8AB B5 $83>%$A$9α3 αL 96 bg0 96 $5?$Aα ($) >α3 96 $5?$Aα

=% 2 0 ∈ ℝˆ2 1Να @8$A9$ 9B6 9K

9J α87#9α# 96 ;D8A[$3 9B , #$ M5B 3#$4@αM3>7 ;D8Aα 3α >7?$ 934K 9B5 ∈ ℝˆ

2 1

Cύση

->6αρατηρούμε ότι το −∫1

1

0

y >%e f % d% είναι αριθμός #ρα − =∫1

1

0

y >%e f % d% c η y1> παίρνει την μορφή

= + ⇔ = −y > y >% %c f % e f % c e y1>'ντικαθιστούμε στην y1>

− − − − − − = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ − − = ∫ ∫ ∫1 1 1

11 1 1 1 1

00 0 0

y > y > y >% % % % % % %e c e d% c e c e e d% c ce e d% c ce e% c

− −⇔ − − − − − ⋅ = ⇔ − − − − = ⇔ − − + = ⇔ − + = ⇔ − = ⇔ =−

1 1 1 0y > y 0> y > y > = y =>=

ece e ce e c c e ce c c e ce c c ce e c e e c

e

}ρα η y1> = + ⇔ = −−

y > y >=

% %ec f % e f % e

e

-->Η συν#ρτηση d !χει τύπο = − − =− −

y > y >= =

% %e e g % e e

e e

~χουμε =y > % g % e =y > % g % e για κ#θε ∈ ℝ% .}ρα η συν#ρτηση d είναι κυρτή και επομ!νως η]d είναι π#νω από την εφαπτομ!νη της yε> με εξαίρεση το σημείο επαφής.

--->Η ευθεία yε> !χει εξίσωσηb− = − ⇔ ⇔ = +y0> y0>y 0> ... 1 ) g g % ) %

Η γραφική παρ#σταση της $ητούμενης συν#ρτησης ` πρ!πει να )ρίσκεται μεταξύ της

συν#ρτηση d και της ευθείας yε>. *η"αδή

+ $ $1 y > %% g % e για κ#θε ∈ ℝ%

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =1=

:πότε για τα δυο ισεμ)αδικ# χ7ρια ισχύειb

− = − −∫ ∫0 0

y y >> y y > 1>%e h % d% h % % d%2 2

> 02

(αι

− = − − ⇔

− − = − − − ⇔

− = − −

∫ ∫∫ ∫

∫ ∫

0 0

0 0

0 0

y y >> y y > 1>

y y >> y y > 1>

y y >> y y > 1>

%

%

%

e h % d% h % % d%

e h % d% h % % d%

e h % d% h % % d%

2 2

2 2

2 2

'ν < 02

}ρα η ` ικανοποιεί την σχ!ση

− = − −∫ ∫0 0

y y >> y y > 1>%e h % d% h % % d%2 2

για κ#θε ∈ ℝˆ2

η ` ικανοποιεί την σχ!ση για κ#θε ∈ ℝ2

:ι συναρτήσεις − y >%e h % − −y > 1h % % είναι συνεχείς #ρα μπορούμε να παραγωγίσουμε την

παραπ#νω σχ!ση

− = − − % − = − − ⇔ = − −

∫ ∫0 0

1y y >> y y > 1> y > y > 1 y > y 1>

=%e h % d% h % % d% e h h h e

2 2

2 2 2 2 2 2 2 για κ#θε ∈ ℝ2

}ρα η $ητούμενη συν#ρτηση είναι η

= − −1

y > y 1>=

%h % e % για κ#θε ∈ ℝ%

V-)36$9α3 α8αDA#34 #56789# →ℝ ℝb f 0 I#9$ #$ >7?$ #4$AB Μ 9J bf

>%A# 9J f 6α $A6α3 α67%B 9J 9$944H6J 9B5 Μ1 A6$9α3 α>L4 L93 bf

M3H8;$9α3 αL 9α #4$Aα (!0&)0(/0!)1

G)Να M$AN$9$ L93 = − + ∈ ℝ=y > E f % % % 1

GG)Να 5B%BA#$9$ 9B $4@αML Ε 9B5 ;D8AB5 B5 $83>%$A$9α3 αL 96 bf09B5J 7NB6$J

xmx0lml >α3 96 $α9B4H6 9J bf #9B #4$AB 9J Α(0f())1

GGG)Α6 g α8αDA#34 #56789# #9B 01 4$ #56$;K α87DB #$ α59L 3α 96

LB3α 3#;<$3 = −∫1

0

Hy > y >

11

! g % g % d% >α3 Gy0 y0>> y1 y1>>B g g $A6α3 #4$Aα 9J bg 06α M$AN$9$ L93

578;$3 #4$AB 9J bg #9B BBAB $α9B4H6 9J $A6α3 >7?$9 #96 $5?$Aα

ΟΛ0Ο(!0!) >α3 Λ 9B 4H#B 9B5 ΒΓ1

Cύση

->'ν ?y|iy|>>τότε !χουμε από υπόθεση =y > f % %( ( σταθερός πραγματικός αριθμός #ραb

y1> = +=y >=

f % % c(

c( σταθεροί πραγματικοί αριθμοί

Aπειδή = =y0> E y=> 0 f f !χουμε ότι

=

= = ⇔ ⇔ = + = −= + =

y0>

E E0 = =y=> =

=

f c

c cc f c

( ( (

]`ε

]dh

x

c

|

|‚"




ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =1D

}ρα = − + ∈ ℝ=y > E f % % %

-->Η εξίσωση της εφαπτομ!νης της ]i στο

σημείο 'y1iy1>> είναι η

− = −b y1> y1>y 1> ) f f %> ή − = − −b D =y 1> ) %> τε"ικ#

= − +b = G ) %>

'υτή τ!μνει τους #ξονες ||hh στα σημεία

1 =

Gy 0> y0G>=

* * .Aπίσης η = − +=y > E f % %

τ!μνει τους ||hh στα σημεία

−D E Gy =0> y=0> y0E> * * * .

~τσι το $ητούμενο εμ)αδό A είναιb=

= 1 1 =

0

== D=

0 0

1y > y > y >y > y >

=

1 G =G 11G yE > E .. .

= = E D 1=

! ! f % d%

%% d% % @ '

.

= LE E − [ = LE LE − =

⋅ ⋅ − − = − − = =

∫

∫

--> 1 1 1 1

0 0 0 0

H H 11 1y > y > y > y > y > y > = y > y > 1

11 11 1= =

! g % g % d% g % g % d% g % g % d% g % g % d%= − ⇔ = − ⋅ ⇔ = − ⇔ = − ⇔∫ ∫ ∫ ∫

( ) = − ⇔ = − ⇔ − = − ⇔ − + = − ⇔ ∫1

1= = = =

00

y > 1 y > 1 y1> y0> 1 y y1> y0>>y y1> y0>> 1 g % d% g % g g g g g g

−+ = −

−

y1> y0>y y1> y0>> 1 y1>

1 0

g g g g

Aφαρμό$ουμε @.?.Τ στην συν#ρτηση d στο δι#στημα 01 και "αμ)#νουμε ότι

υπ#ρχει ( )∈ 014 b −=

−

y1> y0>y >

1 0

g g g 4

Το σημείο C ως μ!σο του B% !χει συνταγμ!νες+

^y1> y0>1

y >= =

g g #ρα ο συντε"εστής

διεύθυνσης του :C είναι L^

+−

= = +−

y1> y0>0

= y1> y0>1

0=

g g

g g2

:πότε η y1> γίνεταιb L^ = −y > 1 g 4 2

όπουL^

2 ο συντε"εστής διεύθυνσης

της :C y*είτε σχήμα>

(αι επειδή το γινόμενο των συντε"εστ7ν

διεύθυνσης εφαπτόμενης και :? είναι O1

!χουμε τα $ητούμενο.

: 'E

'

'D

'=

'1

™

B

%

C

]d

h

|x

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =1E

V+)(Μ$[$Mα>311) A6$9α3 #56789# →ℝ ℝb f BBAα $A6α3 M5B B8HJ

α8αDA#34 4$ #56$;K M$<9$8 α87DB 9H9B3α I#9$:

• ,y > 0 f % 3α >7?$ ∈ ℝ%

• =y0> 0 f

Α6 $5?$Aα =y > b D ) %> $79$9α3 #96 8α3>K α87#9α# 9J f #9B #4$AB Α(0f())0

6α αBM$AN$9$ L93 :

G) =y1> D f >α3 =y1> D f GG) f $A6α3 >589K GGG) >∫1

0

Dy >

= f % d%

Cύση

->Το σημείο επαφής y1 y1>> * f είναι σημείο της εφαπτομ!νης =y > b D ) %> #ρα

= ⋅ =y1> D 1 D f .Aπίσης ο συντε"εστής διεύθυνσης της εφαπτομ!νης είναι D .*η"αδή =y1> D f .

-->Η συν#ρτηση i είναι συνεχής και δεν μηδενί$εται σε καν!να σημείο στο ℝ . *η"αδή

>y > 0 f % για κ#θε ∈ ℝ% ή <y > 0 f % για κ#θε ∈ ℝ%

Aπομ!νως η συν#ρτηση i είναι ή γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα στο ℝ .

tμως<

0 1 και<

y0> y1> f f οπότε η i είναι γνησίως αύξουσα κατ# συν!πεια η i είναικυρτή.

-->Aπειδή η i είναι κυρτή η ]i )ρίσκεται π#νω από την εφαπτομ!νη της yε> με εξαίρεση το

σημείο επαφής .*η"αδή για κ#θε ∈ ℝ% ισχύειb! ⇔ − !y > D y > D 0 f % % f % %

Η ισότητα ισχύει στο 1 #ρα η συν#ρτηση −y > D f % % δεν είναι παντού μηδ!ν στο 01 .:πότε

− > ⇔ − > ⇔ > ⇔ > ⇔ >

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

11 1 1 1 1 1 1=

0 0 0 0 0 0 00

D Dy y > D > 0 y > D 0 y > D y > y >

= =

% f % % d% f % d% %d% f % d% %d% f % d% f % d%

VV)("H4α 4$>8K 4$[H)

A6$9α3 6#ADJ α<NB5#α #56789# ( ) ( )+∞ → +∞d b 0 0 >α3 α8αDA#34

#56789# → ℝi b 01 3α 93J BBA$J 3#;<B56 B3 3M3L99$J:

•→+∞

=|

dy|>-[ 1

|

• + = + −=01Ii y|> =01Hiy|> =01I| κ 1 3α >7?$ ∈ | 01 ()

yB5→+∞

=|

dy=01H|>κ -[

dy|>

G)Να M$AN$9$ L93 < < 1Idy|> dy=01H|> dy= |> 1

GG)Να M$AN$9$ L93 =κ 1 1

GGG)Να M$AN$9$ L93 bf M3H8;$9α3 αL 9α #4$Aα E Hy00> y11> 1

GX)Να M$AN$9$ L93 f α693#98H$9α30 6α @8$A9$ 9B $MAB B83#4B< 9J >α3 9B6 9e| iy|>e| 1 1

XG)Α6 − $1i y|> iy|> 3α >7?$ ∈ | 01 0 6α M$AN$9$ L93 9B $4@αML Ε 9B5 ;D8AB5 B5

$83>%$A$9α3 αL 93J bf0bf2 $A6α3

=⋅

=01Hf

=01I =01J

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =1G

Cύση

->%ια κ#θε ( )| 0∈ +∞ ισχύειb < < % < <րi

1I 1I| =01H| = | dy|> dy=01H|> dy= |>

--> %ια κ#θε ( )| 0∈ +∞

( )> ∈ +∞

< < ⇔ < < ⇔ < <dy|> 0 για καθε | 0 1I 1I

1I dy|> dy=01H|> dy= |> dy=01H|> dy= |>dy|> dy=01H|> dy= |> 1

dy|> dy|> dy|> dy|> dy|>

y1>

~χουμεb

→+∞ →+∞

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

1I 1I 1H 1G D

1H 1G 1E| |

dy= |> dy= |> dy= |> dy= |> dy= |> dy=|>-[ -[ ... 1 1 1 ... 1 1 1

dy|> dy=|> dy|>dy= |> dy= |> dy= |>

'πό το κριτήριο της παρεμ)ο"ής και την σχ!ση y1> προκύπτειb→+∞

= =|

dy=01H|>κ -[ 1

dy|>

--->Η y 1> γίνεταιb

+ = + − ⇔ + ==01I =01Ii y|> =01Hiy|> =01I| 1 1 i y|> =01Hiy|> =01I|

ισχύει για κ#θε | #ρα για

=| 0 b

+ ,

+ = ⋅ ⇔ + = ⇔ + = ⇔ =

=01Hi y0> =01H 0=01I =01I =01H

i y0> =01Hiy0> =01I 0 i y0> =01Hiy0> 0 iy0>yi y0> =01H> 0 iy0> 0 y%ια =| 1 ισχύει !iy1> 0 αν <iy1> 0 τότε το πρ7το μ!"ος της y1> είναι αρνητικό και το δεύτερο

θετικό #τοπο.>

%ια =| 1 η y1>b

+ = ⇔ + − = ⇔ + − − = ⇔=01I =01I =01Ii y1> =01Hiy1> =01I i y1> =01Hiy1> =01I 0 i y1> =01Hiy1> 1 =01H 0

− + − = ⇔ − + + + + − = ⇔=01I =01H =01Gi y1> 1 =01Hyiy1> 1> 0 yiy1> 1>yi y1> i y1> ... 1> =01Hyiy1> 1> 0 + + + ,

− + + + = ⇔ ==01H =01Gi y1> i y1> ... =01I 0

=01H =01Gyiy1> 1>yi y1> i y1> ... =01I> 0 iy1> 1

-,>6αραγωγί$ουμε και τα δυο μ!"η της y1> b

( ) ( ) ( )+ = ⇔ + = ⇔ + = ⇔=01I =01H =01Hi y|> =01Hiy|> =01I| =01Ii y|>i y|> =01Hi y|> =01I i y|> =01Ii y|> =01H =01I

= >+=01H

=01Ii y|> 0

=01Ii y|> =01H για κ#θε ∈ | 01

}ρα η i είναι γνησίως αύξουσα στο 01 #ρα η i είναι 1O1 στο 01 κατ# συν!πεια


Το πεδίο ορισμού της iO1 είναι το σύνο"ο τιμ7ν της i δη"αδή

− = = = 1is iyc> iy0>iy1> 01

@!τουμε στην y1> =h iy|> οπότε +

+ = ⇔ ==01I

=01I h =01Hhh =01Hh =01I| |

=01I

Aπομ!νως − − + → =

=01I1 1 | =01H|

i b 01 01 i y|>

=01I

,>@!τω −= 1| i y_> στο ο"οκ"ήρωμα ∫1

0

iy|>e|

( )−= 1e| i y_> e_ με #κρα ο"οκ"ήρωσης

%ια |‚1 b −= % = =11 i y_> _ iy1> 1

%ια |‚0 b −= % = =10 i y_> _ iy0> 0

M L− − − − − − − − = = = − = − − = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

1 1 1 1 1. 11 1 1 1 1 1 1 1

00 0 0 0 0

iy|>e| iyi y_>>yi y_>>e_ _yi y_>>e_ _i y_> _ i y_>e_ 1i y1> 0i y0> i y_>e_

−= − ⇔∫1

1

0

1 i y_>e_ − − −= − ⇔ = − ⇔ + =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫1 1 1 1 1 1

1 1 1

0 0 0 0 0 0

iy|>e| 1 i y_>e_ iy|>e| 1 i y|>e| iy|>e| i y|>e| 1

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =1H

,>'πό υπόθεση − $1i y|> iy|> για να υπο"ογίσουμε το $ητούμενο εμ)αδό τα #κρα

ο"οκ"ήρωσης είναι τα σημεία τομής

των iiO1 στο 01 .

6αρατηρούμε ότι − −= = = =1 1iy1> 1 i y1>iy0> 0 i y0>

οπότε οι iiO1 τ!μνονται στα σημεία y1iy1>>y0iy0>>

δη"αδή τα σημεία y11>y00> .

:πότε

− −= − = − =∫ ∫1 1

1 1

0 0

f i y|> iy|> e| yiy|> i y|>>e|

− −+ = ⇔ = −

−

− −

∫ ∫ ∫ ∫

− =

= − − =

∫ ∫

∫ ∫

1 1 1 11 1

0 0 0 0

iy|>e| i y|>e| 1 iy|>e| 1 i y|>e|1 1

1

y, >0 0

1 11 1

0 0

iy|>e| i y|>e|

y1 i y|>e|> i y|>e|

− += − = − = − + =

∫ ∫

11 1 =01I =01J =1

0 0 0

| =01H| = | =01H|1 = i y|>e|> 1 = e| 1

=01I =01I =01J =

⋅= − + = − + ⋅ = − + =

1=01J =01J

= =

0

= | = 1 = 1 100J =01J1 100J| 1 y 100J 1 > 1 y >

=01I =01J =01I =01J =01I =01J =01J

+ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅= − ⋅ = − = − =

⋅ ⋅ ⋅= 1 100J =01J = = 100J =01J =01I =01J = = 100J =01J

1 1=01I =01J =01I =01J =01I =01J =01I =01J

⋅ − − ⋅ ⋅ − ⋅ − −= = = =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅=01I =01J = = 100J =01J =01Jy=01I = 100J> = =01J = =01H

=01I =01J =01I =01J =01I =01J =01I =01J

V.)(ΠA#D #9α @α#3>7) A6$9α3 #56789# ( )+∞ → ℝb 1 f BBAα $A6α3

α8αDA#34 9H9B3α I#9$:

• ( ) + === y > E y > E y > y >% f % f % %f % f % 3α >7?$ ( )∈ +∞1%

•→

−= −

0y > H -[

%

% % f e

% %

&'

G)Να M$AN$9$ L93 =y > 1 f e 1

GG)ƒα αBM$AN$9$ L93 = =y > 3 f % % 0 ( )∈ +∞1% 1

GGG)Να @8$A9$ 96 $NA#D# 9J $α9B4H6J 9J bf B5 M3H8;$9α3 αL 96 α8;K 9D6

αNL6D61

GX)Να @8$A9$ 93J α#<49D9$J 9J bfm1

X)Να 4$%$9K#$9$ 96 f DJ 8BJ 96 >589L99α >α3 6α @8$A9$ 9α #4$Aα >α4KJ 9J

bf1

XG)Να 5B%BA#$9$ 9B $4@αML 9B5 ;D8AB5 B5 $83>%$A$9α3 αL 96 bf 09B6 7NB6α xmx

>α3 96 $5?$Aα =% e 1

Cύση

->@α υπο"ογίσουμε το όριο→

−0

-[%

% %

% %

&'

@!τουμε =% & οπότε = =% & όταν → 0% τότε → 0&

}ρα

h

|

f

x

]iO1

]i1

1




ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =1I

( )→ → →

→ → → →

− − −= = =

− − −= = = = − = −

0

0

D D0 0 . . 0

0

0

= =0 . . 0 0 0

y >-[ -[ -[

1 y 1> 1 1-[ -[ -[ -[

H H HD yD >

% & + " ospit'l &

& + " ospit'l & & &

% % & & & &

& &% %

& & & &

& && &

&' &' &'

1υ0 1υ0 &' &'

~τσι ( ) = − − =

1y > H 1H

f e

-->Η δοθείσα παίρνει την μορφή

( ) ( ) ( )+ = ⇔ + − = ⇔== == y > E y > E y > y > y > = y > E y > y > 0% f % f % %f % f % %f % f % %f % f %

( )− ==

y > = y > 0%f % f % για κ#θε ( )∈ +∞1%

~χουμε για κ#θε ( )∈ +∞1%

( )− = ⇔ = ⇔ = ⇔ = +y > 1

y > = y > 0 y > y3 > y > 3= y >

f %%f % f % f % % f % % c

% f % όπου ^ σταθερός

πραγματικός.'""# =y > 1 f e η παραπ#νω ισότητα γίνεται = + ⇔ = + ⇔ =y > 3 1 1 0 f e e c c c #ρα

=y > 3 f % % για κ#θε ( )∈ +∞1% τε"ικ#

= =y > 3 f % % για κ#θε ( )∈ +∞1%

--->~χουμε

( )= = == 1 =3y > 3 = 3

% f % % %

% % για κ#θε ( )∈ +∞1%

~στω0 0y y >> $ % f % το σημείο επαφής της $ητούμενης ευθείας

− = −0 0 0y > y >y > ) f % f % % %

Η ευθεία yε> δι!ρχεται από την αρχή των αξόνων :y00> αν και μόνο αν ισχύειb

− = − ⇔ − = − ⇔ − = − ⇔ = ⇔= = =0 00 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0

= 3 = 30 y > y >y0 > 0 3 y0 > 3 y > 3 = 3

% % f % f % % % % % % % %

% %>

⇔ − = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ = ⇔ =0 1

= =

0 0 0 0 0 0 03 = 3 0 3 y3 => 0 3 = 0 3 =

%

% % % % % % % e

:πότε ( ) ( )= = == == =y > 3 = 3 E f e e e

= ==

=

= =

= 3 Ey >

e f e

e e

Aπομ!νως η ευθεία yε> !χει εξίσωση

− = − ⇔ ⇔ =

=

= =

E E

E y > ... ) % e ) %e e

-,> ==3

y > %

f %%

( )∈ +∞1%

‡ συν#ρτηση i είναι συνεχής όταν |‰1 κατ# συν!πεια πιθανή κατακόρυφη ασύμπτωτη

της ]i είναι η ευθεία = 1%

+→= =

1

= 3-[ .. 0%

%

%

}ρα η ]i δεν !χει κατακόρυφη ασύμπτωτη. (ατόπιν εξετ#$ουμε αν η ]i !χει ορι$όντια

ασύμπτωτη στο +∞ .~χουμεb

→+∞ →+∞ →+∞ →+∞= = = =

0

0

. .

=

=3 y= 3 > =-[ -[ -[ -[ 0 1% + " ospit'l % % %

% % %% % %

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =1J

}ρα η ευθεία = 0 ) είναι μοναδική ορι$όντια ασύμπτωτη της ]i.Η ]i δεν !χει π"#για

ασύμπτωτη.

,>~χουμεb −

= = =

=

= 3 = = 3y > ..

% % f %

% % |‰1

~τσιb

= ⇔ ⇔ =< ⇔ ⇔ >

> ⇔ ⇔ < <

y > 0 ....y > 0 ....

y > 0 .... 0

f % % e f % % e

f % % e

}ρα η i είναι κυρτή στο δι#στημα ( 1e

}ρα η i είναι κοί"η στο δι#στημα ) +∞ e

Η ]i !χει ακρι)7ς !να σημείο καμπής το σημείο y y >> * e f e ή y 1> * e

,->~χουμεb = ⇔ ⇔ =y > 0 .. 1 f % %

}ρα το δι#στημα που θα ο"οκ"ηρ7σουμε είναι το 1e

Aπειδή !y > 0 f % για κ#θε ∈ 1% e

~τσι το $ητούμενο εμ)αδό είναιbMEOEGLZT]VR L^

= = = = − = ∫ ∫ ∫ ∫.

= = =

11 1 1 1

y > 3 3 3 = 3 y3 >e e e e

e

! f % d% %d% % %d% % % % % % d%

MEOEGLZT]VR L^

= − = − = − = ∫ ∫ ∫.

= = =

1 1 11 1 1

13 = 3 3 = 3 3 = 3

e e ee e e

% % % % d% % % %d% % % % %d%%

( )

= − − = − − = − − =

∫ ∫= = =

1 1 1 11 1 11 1

13 = 3 3 = 3 1 3 = 3

e ee e ee e e e

% % % % % d% % % % % d% % % % % %%

= − + = − + − = − =

1 113 = 3 = = =y 1> =

e e e% % % % % e e e e τετραγωνικ!ς μον#δες.

.!) Σ9α 5\A$Mα 9J ΛBNB%76MJ [$3 H6α $AMBJ 96B<0 9B Ο<>α qΠB<>α1 Ο

M3α>$>834H6BJ B863?B%LBJ ΤA9BJ Τ#39#38A>BJ M3αA#9D#$ L93 α83?4$A #K4$8α -

;3%37M$J >α3 #$ t ;8L63α αL #K4$8α 0B %?5#4LJ 9B5 y > t (#$ ;3%37M$J)

4$9α@7%%$9α3 #<4D6α 4$ 96 $NA#D#:

= − ⋅y > =y > y > 3 = t t t2 0

yB5 ∈ ℝ2 #9α?$87 1Α6 #$ H6α ;8L6B 9B %K?BJ y > t $A6α3 9B 4H3#9B 0

6α @8$?B<6 :

G) B α83?4LJ %1

GG)9B %K?BJ y > t #α6 #56789# 9B5 t1

GGG)Α6 9B α8α76D $AMBJ 96I6 $A6α3 5L $Nα763#1

Cύση

-> 'πό υπόθεση σε !να χρόνο το π"ήθος y > t είναι το μ!γιστο #ρα από το θε7ρημα

w4[/gb

= ⇔ − ⋅ = ⇔ − ⋅ = ⇔ =y1> 0 =y 1> y1> 3 = 0 =y 1>1H 3 = 0 1 2 2 2

-->%ια κ#θε ! 0t )ρίσκουμε

= − ⋅ ⇔ = −y >

y > =y1 > y > 3 = =y1 >3 =y >

t t t t t

t ο"οκ"ηρ7νουμε

= − ⇔ = −

∫ ∫ ∫ ∫

y >

=y1 > 3 = y3y y >> =y1 >3 =y >

t

dt t dt t dt t dt t #ρα

= − +=3y y > y= > 3 = t t t c ^ σταθερός πραγματικός αριθμός

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =1L

( ) −− + −= = ⋅ = ⋅

== =y= >

y= >3= y= >3 =y > =t t

t t c t tc c t e e e e

'πό υπόθεση =y0> 1H #ρα η y1> γίνεται⋅ −= ⋅ ⇔ =

=y= 0 0 >y0> = 1Hc c e e

:πότε η y1> γρ#φεται−

= ⋅

=y= >

y > 1H = t t

t ! 0t --->;αι διότι −

→+∞ →+∞= ⋅ = =

==-[ y > -[ 1H = .. 0t t

% % t

.)A6$9α3 #56789# i b k k→ 0 α8αDA#34 #9B W 3α 96 BBAα 3#;<B56:

( ) ( ) ( ) ( )==i | D|i | i | 0 | k i 0 1N = − ' , 3*) ()U ∈ ()* = 1

G) Να @8$A9$ 9B6 9 Aπειδή ( )i | 0, !χουμεb ( ) ( )

( )

( )

( )

( )=

= =

i | i |D| D|

=i | D|i | i | = i | =

N N

N = − ⇔ = − ⇔ − = #ρα

( )

( ) ( ) ( )

= =

=

i | D| 1 D | 1 D|e| e| e| ^ ^

i | = i | = = i | E

N N= ⇔ = ⋅ + ⇔ = +

∫ ∫ ∫ y=>.

@α )ρούμε τη σταθερ# ^ θ!τοντας | 0= στην y=> αφού ξ!ρουμε ότι ( )i 0 1= .

Aίναι "οιπόν( )

=1 D 0 1^ ^ ^ 1

i 0 E 1

⋅= + ⇔ = ⇔ = .

'πό y=>b( ) ( )

( )= =

=

1 D| 1 D| E E1 i | | k

i | E i | E D| E

+= + ⇔ = ⇔ = ∈

+.

--> 'πό την y1> θα κατα"ήξουμε ισοδύναμα σε προφανή σχ!σηb

( ) ( ) ( )

( )

$ ⇔ $ ⇔ − $ ⇔

− −$ ⇔ $ ⇔ $ ⇔

+

−$ ⇔ − $ ⇔ !

+ + +

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

10 10 10 10 10

0 0 0 0 0

=10 10 10

= =0 0 0

= = =10 10 10

= = =0 0 0

i | e| 10 i | e| 1e| i | e| 1e| 0

E E D| Ei | O1 e| 0 O1 e| 0 e| 0

D| PE D| E

D| | |e| 0 D e| 0 e| 0

D| E D| E D| E

που ισχύει.

6ραγματικ# η d με ( )=

=

|d |

D| E=

+ είναι συνεχής στο δι#στημα " #010 ως ρητή και

=

=| 0

D| E!

+ για κ#θε " #| 010∈ #ρα

=10

=0

| e| 0D| E

!+∫ . Tσοδύναμα "οιπόν ισχύει και η y1>.

./)Α1 C#9D #56789# f ML α>8L9α9B >α3 i]

$79$9α3 #9B6 7NB6α xmx #9B #4$AB ( )X 10 6α @8$A9$ 9α ( ) ( ) ( )i 0 i 1 i 0N N 1

Β1 A6$9α3 9B B%B>%K8D4α ( ) ( ) ( )

1 1| |

0 0l i | D e| 3 D i | D e| i 0 0N= ⋅ + ⋅ ⋅ ' ,∫ ∫ >α3 fB%5D6543>K #56789#1 $AN9$ L93:

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. ==0

G)Α6 ( )= i 0] = − ⋅ 9L9$ $NA#D# ( )i | 0= H;$3 4Aα 9B5%7;3#9B6 8A[α #9B ( )01 1

GG) Α6 ( )= i 1] = ⋅ 9L9$ $NA#D# ( )i | 0N = H;$3 4Aα 9B5%7;3#9B6 8A[α #9B ( )01 1

ΛΥΣΗ

'. Το 0| 0= είναι εσωτερικό σημείο του k η i παραγωγίσιμη στο μηδ!ν yως

παραγωγίσιμη στο k> και !χει ακρότατο σε αυτό #ρα από το θε7ρημα w4[/g είναι

( )i 0 0N = y=>.

-

Η i] δι!ρχεται από το ( )10 #ρα ( )i 1 0= yD>.

-

Aφ#πτεται του || στο ( )10 #ρα η εφαπτομ!νη της i] στο ( )10 συμπίπτει με τον ||

#ρα

( ) ( )i 1 0 i 1 0N N2 = = ⇔ = yE>.

-

'πό την y1>b

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

− − −

− − −

− − −

−

NN⋅ − ⋅ = ⇔ ⋅ − ⋅ − ⋅ = ⇔

⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ = ⇔

⋅ − ⋅ + − ⋅ = ⇔

⇔ − ⋅ + = ⇔ =

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫∫ ∫

11 1 1 1| | |

| |0 0 0 00

11 1| 1 0 |

0 00

1 1| 1 |

0 0

1

1 1i | e| i | e| 1 i | 4 e| i | 4 i | 4 e| 1

4 4

i | 4 e| i 1 4 i 0 4 i | 4 e| 1

i | 4 e| i 1 4 i 0 i | 4 e| 1

0 4 i 0 1 i 0 1

B.

- Aίναι

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

N ⋅ ⋅

N NN ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

∫ ∫

∫ ∫

1 1| |

0 0

11 1| | | | 1 0

0 0 0

l‚ i | D e|P i | D 3De|‚

i | D Pi | D e|‚ i | D e|‚ i | D ‚i 1 D Oi 0 D

#ρα ( ) ( )l Di 1 i 0= − y1>.

->'φού ( )l =i 0= − από y1>b ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= i 0 Di 1 i 0 i 0 =i 0 Di 1 i 0 Di 1− ⋅ = − ⇔ − = ⇔ = −

y=>.- Η ( )i | συνεχής στο" #01 ως πο"υωνυμική

και ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )" #y=> =

i 0 i 1 ‚ ODi 1 i 1 i 0 i 1 ‚OD i 1⋅ ⋅ ⇔ ⋅ yD>

'πό υπόθεση ( )i 0 0, οπότε από y=> είναι ( )i 1 0, #ρα από yD>b ( ) ( )i 0 i 1 0⋅ < και !τσι από

θε7ρημα r2‹/32 υπ#ρχει !να του"#χιστον ( ) ( )01 i 04∈ ' 4 = δη"αδή η i !χει μία

του"#χιστον ρί$α στο ( )01 .

--> Aπειδή ( )=i 1] = από την y1>b ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )=i 1 Di 1 i 0 i 0 Di 1 =i 1 i 0 i 1= − ⇔ = − ⇔ =

οπότεb

-

i συνεχής στο" #01 yπο"υωνυμική>

- i παραγωγίσιμη στο" #01 yπο"υωνυμική>

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. ==1

- ( ) ( )i 0 i 1=

}ρα από θε7ρημα k24 υπ#ρχει ( ) ( )01 i 0N4∈ ' 4 = .

.*)A6B69α3 B3 α8αDA#34$J #9B W #56α89K#$3J f0 g 3α 93J BBA$J 3#;<B56

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )i 0 0d 0 1 i | i | d | d | d | | kN N N= = ()* + = 3*) ()U ∈ 1 Να αBM$AN$9$ L93:

G) Ο3 #56α89K#$3J f0 g $A6α3 #9α?$8HJ1

GG) ( )

( )

1E

=10

=d |e| E

1 d |=

+∫ 1

ΛΥΣΗ

-> Η δοσμ!νη ισότητα γρ#φεταιb

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= ==i | i | =d | d | =d | i | d | =d |N NN N N N ⋅ + ⋅ = ⇔ + = . }ρα

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= = = =i | d | e| =d | e| i | d | =d | ^ N N N + = ⇔ + = + ∫ ∫ y1>.

%ια | 0= είναιb ( ) ( ) ( )= = = =i 0 d 0 =d 0 ^ 0 1 = 1 ^ ^ 1+ = + ⇔ + = ⋅ + ⇔ = − και η y1> γρ#φεταιb

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )== = = = = =i | d | =d | 1 i | d | =d | 1 0 i | d | 1 0 + = − ⇔ + − + = ⇔ + − = για κ#θε

| k∈ #ρα ( ) ( )i | 0 d | 1 0= ()* − = και τε"ικ# ( ) ( )i | 0 d | 1 | k= ()* = 3*) ()U ∈ .

-->Aίναι τ7ρα( )

( ) ( )

1E 1E 1E

= =10 10 10

= d | = 1e| e| 1 e| 1 1E 10 E

1 d | 1 1

⋅ ⋅= = ⋅ = ⋅ − =

+ +∫ ∫ ∫

.&) A6$9α3 #56789# = + +y > E G H% % % g % ) 5 3 4$ ( ) ( )∈ ∪ +∞ 01 1) 5 3 >α3

α8αDA#34 #56789# →ℝ ℝb f 3α 93J BBA$J 3#;<$3:

• !y > 1G g % 3α >7?$ ∈ ℝ%

• − =y > y > E f % f % ( 3α >7?$ ∈ ℝ% 0 LB5 = E G H( ) 5 3 •Η $α9B4H6 9J bf #9B #4$AB 9J Α(!0f(!)) M3H8;$9α3 αL 9B #4$AB (02&) 1

G) Να M$AN$9$ L93 = 1( 1

GG)Να M$AN$9$ L93 = = −y0> y0> = f f

GGG)Να M$AN$9$ L93 <y > 0 f % 3α >7?$ ∈ ℝ%

GX)Να M$AN$9$ L93 f $A6α3 6#ADJ ?A6B5#α 1

X)Να M$AN$9$ L93 #56789#

= −y > y > y >h % f % f % 0 ∈ ℝ%

$A6α3 #9α?$8K1

XG)Να M$AN$9$ L93= − ∈ ℝ

y > =

%

f % e % XGG)Να 5B%BA#$9$ 9B B%B>%K8D4α:

−

+ +=

+∫1 =01I

=01H1

y > =

1LIE

%

%

f % e % d%

% e

Cύση

-> Η d είναι παραγωγίσιμη στο ∈ ℝ% με = + +y > E 3 G 3 H 3% % % g % ) ) 5 5 3 3

Tσχύει !y > 1G g % για κ#θε ∈ ℝ% όμως =y0> 1G g #ρα !y > y0> g % g για κ#θε ∈ ℝ% #ρα η d

παρουσι#$ει ο"ικό ε"#χιστο στην θ!ση =0 0% οπότε από το θε7ρημα w4[/g =y0> 0 g

*η"αδή ( )= + + = + + = + + =0 0 0 E G H E G Hy0> E 3 G 3 H 3 E 3 G3 H 3 3 3 3 3 g ) ) 5 5 3 3 ) 5 3 ) 5 3 ) 5 3

~τσι ( ) = ⇔ =E G H E G H

3 0 1) 5 3 ) 5 3 -->‡ − =y > y > E f % f % για |‚0 b =y0> y0> E f f y1>

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. ===

Η εφαπτομ!νη της ]i στο σημείο της 'y0iy0>> !χει εξίσωση

yε> − = − ⇔ − =y0> y0>y 0> y0> y0> ) f f % ) f f %

Η yε> δι!ρχεται από το σημείο y1OE>

#ρα − − = ⋅ ⇔ + = −E y0> y0> 1 y0> y0> E f f f f y=>

Cύνουμε το σύστημα των y1> y=> και "αμ)#νουμε = = −y0> y0> = f f

---> − =y > y > E f % f % για κ#θε ∈ ℝ% y1>Tσχύει και για | το F| b − =y > y > E f % f % yD>

'πό yD> !πεται ότι ,y > 0 f % για κ#θε ∈ ℝ% η i είναι συνεχής στο ℝ ως παραγωγίσιμη στο

ℝ #ρα διατηρεί πρόσημο στο ℝ και επειδή = − <y0> = 0 f προκύπτει το $ητούμενο.

GX) − = ⇔ = <−E

y > y > E y > 0y >

f % f % f % f %

#ρα η i είναι γνησίως φθίνουσα στο ℝ .

,>Η ` είναι παραγωγίσιμη στο ℝ εφόσον είναι γινόμενο παραγωγίσιμων.

( )= − = − − + − = − + =y > y > y > y > y > y > y > E E 0h % f % f % f % f % f % f % #ρα η είναι σταθερή και επειδή

=y0> Eh !τσι =y > Eh % ∈ ℝ %

,-> = ⇔ − =y > E y > y > Eh % f % f % yE>'""# από υπόθεση − =y > y > E f % f % ∈ ℝ % yG>

*ιαιρούμε κατ# μ!"η τις yE> yG>

−= ⇔ = ⇔ = % =

−

y > y > y >E1 y > y > y >

y > y > E y >% f % f % f %

f % f % f % ce f % f % f %

∈ ℝ %

tμως = −y0> = f = ⇔ − =0y0> = f ce c

Τε"ικ# = − ∈ ℝy > = % f % e %

,---> 1 1 1 1=01I =01I=01I =01I

1 1=01H =01H =01H =01H

1 1 1 11 1

y > = y >= =y >

1LIE 1LIE 1LIE y > 1LIE

% % % & % d& d%

% % % &% &

% &

f % e % &e e % % d% d% d% d&

% e % e % e & e

−=− =−

−= − → =

− − − = → = −

+ + −− + += = = = − =

+ + + − +

∫ ∫ ∫ ∫

− − −

−= = − = − = −

+ + +∫ ∫ ∫1 1 1=01I =01I =01I

=01H =01H =01H1 1 11LIE 1LIE 1LIE

& & %

& & %d& d& d%

& e & e % e

*η"αδή

= − ⇔ = ⇔ == 0 0

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. ==D

.) (Ε1Μ1Ε) α) A6$9α3 #56$;KJ #56789# → ℝb 0 f ) 4$ − + ,y > y > 0 f % f %) 3α >7?$

∈ 0% ) 1Να M$AN$9$ L93

−=

− + − +∫ ∫0 0

y > y >

y > y > y > y >

f % f %d% d%

f % f % f % f %

) ) )

) )

@) Α6 =y > f % %1υ0 0 $ $0 =%

π

9L9$G)Να 5B%BA#$9$ 9B B%B>%K8D4α

] =+∫

=

0

%d%

% %

π

1υ0

&' 1υ0

GG)Α6 $3%HB6 g $A6α3 43α α8αDA#34 #56789# 4$ >y > 0 g % 3α >7?$ ∈ 0% ) >α3

3#;<$3 #;H# =y y > y >> y > y > f % g % f % g % 3α >7?$

∈ 0

=%

π () 9L9$ 6α αBM$AN$9$ L93

578;$3 H6α 9B5%7;3#9B6

∈

0=

π 4 9H9B3B I#9$: == y > y > g g4 4

Cύση

α> @!τουμε = −% &) στο ο"οκ"ήρωμα− +∫

0

y >

y > y >

f %d%

f % f %

)

) τότε = −& %) = −d% d&

%ια = 0% τότε =& )

%ια =% ) τότε = 0&

~τσι

− − −= − = =

− + + − + − + −∫ ∫ ∫ ∫0

0 0 0

y > y > y > y >y >

y > y > y > y > y > y > y > y >

f % f & f & f %d% d& d& d%

f % f % f & f & f & f & f % f %

) ) )

)

) ) )

) ) ) )

)>->Η συν#ρτηση

= ∈ y > 0 = f % % %

π 1υ0 είναι συνεχής και ικανοποιεί την σχ!ση

− + = − + = + ,y > y > y > 0= =

f % f % % % % %π π

1υ0 1υ0 &' 1υ0 για κ#θε

∈ 0

=%

π .

Aπομ!νως για = =y > =

f % % π

1υ0 ) από την y1> !χουμεb

−= ⇔ =

+ +− + − +∫ ∫ ∫ ∫= = = =

0 0 0 0

y >= y=>

y > y >= =

%% % %

d% d% d% d%% % % %

% % % %

π π π π π 1υ0

1υ0 1υ0 &'

π π &' 1υ0 &' 1υ0 1υ0 1υ0 1υ0 1υ0

@!τουμε = =+ +∫ ∫= =

0 0

% % d% J d%% % % %

π π

1υ0 &' &' 1υ0 &' 1υ0

Aίναι = J και

++ = + = = =

+ + +∫ ∫ ∫ ∫= = = =

0 0 0 0

1=

% % % % J d% d% d% d%

% % % % % %

π π π π

1υ0 &' 1υ0 &' π

&' 1υ0 &' 1υ0 &' 1υ0

}ρα

E=

E

J J

J

π π

π

=+ = ⇔

= =

*η"αδή = =+∫

=

0 E

% d%

% %

π

1υ0 π

&' 1υ0




ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. ==E

--->:ι συναρτήσεις id είναι παραγωγίσιμες στο δι#στημα 0

=

π #ρα η συν#ρτηση ⋅ f g

είναι παραγωγίσιμη στο δι#στημα 0

=

π

= +y y > y >> y > y > y > y > f % g % f % g % f % g % 0 ∈

0

=

% π

y=>

'πό y1>y=>b + =y > y > y > y > y > y > f % g % f % g % f % g % yD>

%ια κ#θε

∈ 0

=%

π είναι =y > f % %1υ0 και = −y > f % %&' οπότε η σχ!ση yD> γρ#φεταιb

>

− + = − ⇔ + = ⇔ + = ⇔y > 0

y > y > y > y > y > y > y > y > y > g %

%g % %g % %g % %g % %g % %g % % % g % %g %&' 1υ0 &' &' 1υ0 &' &' 1υ0 &'

= ∈ +

y > 0

y > =

g % %%

g % % %

&' π

&' 1υ0

Aίναι = =+∫ ∫

= =

0 0

y >

y > E

g % %

d% d% g % % %

π π

&' π

&' 1υ0

Aπομ!νως b = ⇔ = ⇔ − = ∫=

=0

0

y >3 y > 3 y > 3 y0> yG>

y > E E = E

g %d% g % g g

g %

π

π π π π π


= ∈

y > 3 y > 0=

h % g % % π

Η συν#ρτηση είναι παραγωγίσιμη στο 0

=

π με ( )= =

y >y > 3 y >

y >

g %h % g %

g %#ρα ικανοποίει τις

προ’ποθ!σεις του @.?.Τ οπότε υπ#ρχει !να του"#χιστον

∈

0=

π 4 τ!τοιο 7στεb

− −= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =

−

yG >y > y0> 3 y > 3 y0>y > y > y > 1= = Ey > y > = y >y > y > y > =

0= = =

h h g g g g gh g g

g g g

π π π 4 4 4

4 4 4 π π π 4 4 4

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. ==G

.-) A6$9α3 >589K #56789# ) +∞ → ℝb 0 f 0 4$ #56$;K M$<9$8 α87DB0 3α 96

BBAα 3#;<$3

• =y0> 1 f

• − + −

=∫1

0

y > y > y1> y1>%

f % f % f f ed%

ee

G)Να αBM$AN$9$ L93 =y0> 0 f 1

GG)Να αBM$AN$9$ L93 >y > 1 f % 3α >7?$ ( )∈ +∞0% 1

GG)Α6 $3%HB6 3#;<$3 L93 =y1> = f 0 6α αBM$AN$9$ L93 :

< <∫1

0

D1 y >

= f % d%

Cύση

->Tσχύειb− + − − + − + −

= ⇔ = ⇔∫ ∫1 1

0 0

y > y > y1> y1> y > y > y > y > y1> y1>% %

f % f % f f e f % f % f % f % f f ed% d%

e ee e

( )

( ) ( )

− + − + −= ⇔

− − + −+ = ⇔

∫

∫ ∫

1

=0

1 1

= =0 0

y > y > y > y > y1> y1>

y > y > y > y > y1> y1>

% % % %

%

% % % %

% %

e f % e f % e f % e f % f f ed%

ee

e f % e f % e f % e f % f f ed% d%

ee e

+ − + −+ = ⇔ + = ⇔

∫ ∫

11 1

0 0 0

y > y > y1> y1> y > y > y1> y1>

% % % %

f % f % f f e f % f % f f ed% d%

e ee e e e

=

=

+ − + −+ − + = ⇔ + − =

y0> 1

0 0 y 0> 0

y1> y1> y0> y0> y1> y1> y1> y1> y1> y1>1 f

f

f f f f f e f f f f ee e e e e ee e

που ισχύει

-->Η i είναι κυρτή #ρα και η i είναι γνησίως αύξουσα οπότε για > 0% ισχύει ότιb> ⇔ >y > y0> y > 0% f f %

}ρα και η i είναι γνησίως αύξουσα στο ) +∞0 .}ρα για > 0% ισχύει ότιb

> ⇔ >y > y0> y > 1% f f %

--->~στω < <0 1% .'πό το @.?.Τ στο δι#στημα 0 % και στο 1% υπ#ρχουν ( )∈1 0 %4 και

( )∈= 1%4 τ!τοια 7στεb

− −= =

−1 =

y > 1 = y >y > y >

1

f % f % fj fj

% %

4 4

tμως <1 =4 4 και η i είναι γνησίως αύξουσα #ρα b

< <− − − − − − − −< ⇔ < ⇔ − < ⇔ < ⇔

− − −

⇔ − − − − < ⇔ − − + − + < ⇔ − − < ⇔ + − >

0 1

1 =

y > 1 = y > y > 1 = y > y1 >y y > 1> y= y >>y > y > 0 0

1 1 y1 >

y1 >y y > 1> y= y >> 0 y > y > 1 = y > 0 y > 1 0 1 y > 0

% f % f % f % f % % f % % f % f f

% % % % % %

% f % % f % f % %f % % % %f % f % % % f %

4 4

}ρα ισχύει ότιb

+ − > ⇔ + − > ⇔ + − > ⇔

∫ ∫ ∫ ∫

11 1 1 1=

0 0 0 00

y1 y >> 0 y1 > y > 0 y > 0=

%% f % d% % d% f % d% % f % d%

− > ⇔ <∫ ∫1 1

0 0D Dy > 0 y >= = f % d% f % d%

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. ==H

Aπίσης από το ερ7τημα y--> ισχύει ότι − >y > 1 0 f % #ρα

− > ⇔ ⇔ >∫ ∫1 1

0 0

y y > 1> 0 ... y > 1 f % d% f % d%

.+) A6$9α3 #56789# →ℝ ℝb f M5B B8HJ α8αDA#34 >α3 43α #56$;K

#56789# →ℝ ℝb g I#9$ 6α 3#;<B56 B3 3M3L99$J:

• !y > y0> f % f 3α >7?$ ∈ ℝ%

• ( )− −

→= +

1

0y0> E -[ % % %

% f e %e

• + − = ∫1

=

0

y > Ey 1> y > g % % % g t dt 3α >7?$ ∈ ℝ%

•→

+ + − −=

=0

y > y > = y >-[ 1= y >h

f % h f % h f % g %

h 3α >7?$ ∈ ℝ%

G)Να αBM$AN$9$ L93 =y0> E f 1

GG)Να αBM$AN$9$ L93

= − +=y > D E E g % % % 3α >7?$ ∈ ℝ% 1

GGG) Να αBM$AN$9$ L93

= − + +E D =y > D J =E E f % % % % 3α >7?$ ∈ ℝ% 1

GX)Να M$AN$9$ L93 M$6 578;B56 98Aα #4$Aα #56$5?$3α>7 76D #96 8α3>K

α87#9α# 9J #56789#J f1

Cύση

-> ( )− −

→= +

1

0y0> E -[ % % %

% f e %e

( ) ( ) ( ) ( )− − − −

→ → →

+ = + = +

1 1 1 11

0 0 0-[ -[ 1 -[ 1% % %% % % %

% % %e %e e % e % y1>

( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )++ > ++

→ → → →∈ − ∪ +∞+ = = =

1

1 3 11 0 11 3 13 1

0 0 0 010 0 -[ 1 -[ -[ -[

%%

%% %% % %%

% % % %%% e e e y=>

( ) ( )( )→ → → →

++ += = = =+

0

0

0 . 0 0 0

13 1 3 1 11-[ -[ -[ -[ 1

1 1% + % % %

%% %% % %

}ρα από y1> y=>b ( )− − −

→= + = =

11

0y0> E -[ E E% % %

% f e %e e e

-->~χουμε + − = ⇔ + − =∫ ∫1 1

= =

0 0

y > Ey 1> y > y > Ey 1> y > g % % % g t dt g % % % g t dt για κ#θε ∈ ℝ%

@!τουμε =∫1

0

y > g t dt ) yD> όπου α σταθερός πραγματικός αριθμός.

+ − = ⇔ + − = ⇔ = − += = =y > Ey 1> y > E E y > E E g % % % g % % % g % % %) ) )

}ρα με αντικατ#σταση στην yD>

( ) ⋅ ⋅

− + = ⇔ − + = ⇔ − ⋅ + − − + ⋅ = ⇔

⇔ − + = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ =

∫11 D D D

= = = =

0 0

1 0E E = E = 1 E 0 E 0

D D D

= E = H D DD D

tt t dt t t

) ) ) ) ) ) )

) ) ) ) ) ) )

}ρα

=∫

+ − = ⇔ + − = ⇔ = − +∫

1

0

y > D1

= = =

0

y > Ey 1> y > y > E E D y > D E E

g t dt

g % % % g t dt g % % % g % % % για κ#θε ∈ ℝ%

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. ==I

--->~χουμεb

( )

( )→ → →

+ + − −+ + − − + − −= = =

0

0

= =0 . 0 0

y > y > = y > y > y > = y > y > y >-[ -[ -[

=h + ospit'l h h

f % h f % h f % f % h f % h f % f % h f % h

hh h

→ →

→ →

+ − − + − − − += = =

+ − − − += + =

0 0

0 0

y > y > y > y > y > y >1 1-[ -[

= =y > y > y > y >1 1

-[ -[= =

h h

h h

f % h f % h f % h f % f % h f %

h h f % h f % f % h f %

h h

→ − →

+ − + − −= + = + =

−0 0

y > y > y y >> y >1 1 1 1-[ -[ y > y > y >

= = = =h h

f % h f % f % h f % f % f % f %

h h για κ#θε ∈ ℝ%

Aπίσης από υπόθεση b !y > y0> f % f για κ#θε ∈ ℝ% #ρα η i παρουσι#$ει ο"ικό ε"#χιστο στο

0 .:πότε από το θε7ρημα w4[/g ισχύειb =y0> 0 f .

'πό την δεύτερη ισότητα της υπόθεσης

→

+ + − − = ⇔ ==0

y > y > = y >-[ 1= y > y > 1= y >h

f % h f % h f % g % f % g %

h δη"αδή

= − + ⇔ = − += =y > 1=yD E E> y > DH EJ EJ f % % % f % % %

~τσι ( ) ( )= − +D =y > 1= =E EJ f % % % % για κ#θε ∈ ℝ% #ρα

= − + +D =y > 1= =E EJ f % % % % c

Š%ια |‚0 προκύπτει = 0c

}ρα = − +D =y > 1= =E EJ f % % % % για κ#θε ∈ ℝ% ή

( )= − +E D =y > D J =E f % % % % για κ#θε ∈ ℝ% ή

= − + +E D =y > D J =E f % % % % c για κ#θε ∈ ℝ% c σταθερός πραγματικός

Š%ια |‚0 προκύπτει = Ec

:πότε = − + +E D =y > D J =E E f % % % % για κ#θε ∈ ℝ%

,>~στω ότι υπ#ρχουν τρία σημεία π#νω στην ]i τα οποία είναι συνευθειακ#.

6ροφαν7ς η ευθεία αυτ7ν των τρι7ν σημείων δεν είναι παρ#""η"η στον #ξονα hhy η i

είναι συν#ρτηση >.~στω "οιπόν ότι αυτ# τα σημεία είναιb

H G1 1 = = D Dy y >> y y >> y y >> * % f % % f % % f % με < <1 = D% % %

Tσχύει 'B% συνευθειακ# #ρα H HG

−−= ⇔ =

− −D == 1

= 1 D =

y > y >y > y > *

f % f % f % f %

% % % %2 2

Aφαρμό$ουμε @.?.Τ στην i για τα διαστήματα 1 = = D % % % % ρα υπ#ρχουν

( ) ( )∈ ∈1 1 = = = D % % % %4 4 τ.ω

−−= =

− −D == 1

1 =

= 1 D =

y > y >y > y >y > y >

f % f % f % f % f f

% % % %4 4

Aφαρμό$ουμε θε7ρημα k24 για την i στο δι#στημα 1 = 4 4 #ρα υπ#ρχει

( )∈ =D 1 = D b y > 0 f 4 4 4 4 .*η"αδή ο αριθμόςD

4 είναι ρί$α της =y > 0 f % .}τοπο διότι

= − +=y > DH EJ EJ f % % % δεν !χει "ύσεις στο ℝ y . <y 0>

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. ==J

.V) A6$9α3 #56789# f α8αDA#34 #9B ℝˆ 3α 96 BBAα 3#;<B56 B3

3M3L99$J:

• − − ==

y > y 1> y > 0% f % % f % 3α >7?$ ∈ ℝ

ˆ

% • Η bf M3H8;$9α3 αL 9α #4$Aα Α (0Q)0Y(20Q2)

• ,y > 0 f % 3α >7?$ ∈ ℝˆ%

G)Να @8$A9$ 9B6 9 % f % %e 0 ∈ ℝˆ% 06α 4$%$9K#$9$ 96 f DJ 8BJ 9α α>8L9α9α0 96 4B6B9B6Aα 0 96

>589L99α >α3 9α #4$Aα >α4KJ1

GGG)Να 8B#M3B8A#$9$ 93J α#<49D9$J 9J bf 1

GX)Να @8$A9$ 9B #<6B%B 934I6 9J f >α3 6α 8B#M3B8A#$9$ 9B %K?BJ 9D6 83[I6 9J

$NA#D#J =y > 1LIE f % 1

X)Να M$AN$9$ L93 3#;<$3 !

1%

%e e

3α >7?$ ( )∈ +∞0% 1

XG)($8I94α SUZTR)Α6 3α 96 M5B B8HJ α8αDA#34 #56789# →ℝ ℝb g 3#;<$3:

• >y > y0> g % f 3α >7?$ ∈ ℝ%

• bg 6α M3H8;$9α3 αL 96 α8;K 9D6 αNL6D6

• g α8B5#37[$3 9B3>L α>8L9α9B #9B =0 0%

• + − =D y1>

y1> y 1> f

g ge

Να @8$A9$ 9B $4@αML 9B5 ;D8AB5 B5 $83>%$A$9α3 αL 96 8α3>K α87#9α# 9J

gm0 9B6 7NB6α xmx >α3 93J $5?$A$J = = −1 1.% %

Cύση

->Η σχ!ση μετασχηματί$εται ως εξής b

−− − = ⇔ = − ⇔ = ⇔= =

=

y > 1y > y 1> y > 0 y > y 1> y >

y >

f % %% f % % f % % f % % f %

f % %

⇔ = − ⇔ = + ∈

ℝ

ˆ

=

y > 1 1 13 y > 3

y >

f % f % % %

f % % %%

Η ισότητα ισχύει σε !νωση διαστημ#των #ρα b

− + +

+ +

+ + < − + + < < = ⇔ = ⇔ =

+ + > + + > >

1

=

13y >

1 1

13

= =

1 13 0 3y > 0 0

3 y > 3 y > y > y1>1 1

3 0 3 0 0

% c%

% c

%

% c % % c % e %% % f % f % f %

% c % % c % e %% %

Aπειδή η i είναι συνεχής και ,y > 0 f % για κ#θε ∈ ℝˆ% θα διατηρεί πρόσημο σε καθ!να από

τα διαστήματα ( ) ( )−∞ +∞ 0 0 .

'πό υπόθεση

=y1> f e και − = −1

y 1> f e

6ροκύπτει ότι είναι

>y > 0 f % για κ#θε ( )∈ −∞ 0% και <y > 0 f % για κ#θε ( )∈ +∞0%

'πό την σχ!ση y1> !χουμε

− + − + − +−− − = ⇔ = ⇔ = ⇔ =1 1 13y1> 1 1 111

1y 1> 0c c c f e e e e ce

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. ==L

+ + + += ⇔ = ⇔ = ⇔ == = =3y1> 1 1 1

=

1y1> 0c c c f e e e e c

e

:πότε

%ια < 0% είναι− + −− = = = − % =

1 1 1 13y >

3y >y > y >%

%% % % % f % e e e %e f % %e

%ια > 0% είναι

+

= =

1 13

y >

%% %

f % e %e }ρα =

1

y > % f % %e ∈ ℝˆ%

-->'πό την με"!τη των ρι$7ν και του πρόσημου των παραγ7γων

− −= = = =

1 1 1 1

D

1 1 1y > y > % % % %

% % f % %e e f % e e

% % %

6ροκύπτει ο πίνακας

'πό τον πίνακα !χουμε ότι η i παρουσι#$ει τοπικό ε"#χιστο το =y1> f e και δεν !χει

σημείο καμπής.

--->~χουμε− −→ →

= =

1

0 0-[ y > -[ 0%

% % f % %e

+ + + + + +→ → → → → →

− = = = = = = +∞ −

1 1

11 1=

0 0 0 0 0 0

=

1

-[ y > -[ -[ -[ -[ -[1 11

% %

%% %

% % % % % %

e ee %

f % %e e

% %%

}ρα η ευθεία = 0% είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της i.

Aπίσης

→+∞ →+∞ →+∞

= = =

11

-[ y > -[ -[ 1%

%

% % %

%e f % e

%

(αι→+∞ →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ →+∞

− − − − = − = − = = = = = −

11

11 1 1=

. .

=

11 1

-[ y y > > -[ -[ 1 -[ -[ -[ -[ 11 11

%%

%% % %

% % % % + " % % %

e ee % f % % %e % % e e

% %%

:πότε η ευθεία = + 1 ) % είναι π"#για ασύμπτωτη της i στο +∞ .tμοια αποδεικνύεται ότι η ευθεία = + 1 ) % είναι π"#για ασύμπτωτη της i και στο −∞

-,>Aίναι

→−∞ →+∞= −∞ = +∞-[ y > -[ y >

% % f % f % ρα το σύνο"ο τιμ7ν της i είναι ( ) )= −∞ ∪ +∞y > 0 f

f + e

Aπειδή )∈ +∞1LIE e από τον πίνακα μετα)ο"7ν της i ότι υπ#ρχει ακρι)7ς !νας αριθμός

( )∈1014 7στε =1y > 1LIE f 4

(αι ακρι)7ς !νας ( )∈ +∞= 14 7στε ==y > 1LIE f 4

}ρα η εξίσωση =y > 1LIE f % !χει ακρι)7ς δυο "ύσεις .

,>'πό τον πίνακα μετα)ο"7ν και το σύνο"ο τιμ7ν της i προκύπτει ότι για κ#θε > 0%

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =D0

ισχύειb !y > f % e δη"αδή

! ⇔ ! ⇔ ! ⇔ ! ⇔ $

1 1 1 1% % % %

% % %e e e %

%e e e e e% % % e e

,->Aπειδή=

! ⇔ !y0> 0

y > y0> y > 0 f

g % f g % για κ#θε ∈ ℝ% d είναι γνησίως αύξουσα. tμως

=y0> 0 g y η d παρουσι#$ει ακρότατο στο 0> οπότε η d είναι αρνητική στο )− 10 και θετική

στο ( 01 .}ρα το $ητούμενο εμ)αδό είναιb

( )−

−

+ − = =

=

= − + = − + = − − − + − =

= − + − + − = − + − + =

∫ ∫0 1

0 1

1 01 0

D y1>y1> y 1> D

y0> 0

y > y > y > y > y0> y 1> y1> y0>

y0> y 1> y1> y0> = y0> y 1> y1> D .

f g g

e

,g g

! g % d% g % d% g % g % g g g g

g g g g g g gW*>6S>@)*)πA@&0 )6S&@P0 )4A0P0 )6)

@ '

..)(YUnGR n_gUR_ZG ☺☺☺☺) A6$9α3 #56$;KJ #56789# ) → +∞ b 01 0 g 3α 96 BBAα

3#;<$3

•

=

∫ ∫= 1

1 0

y > D%g t dt d% (

•+

−→+∞

+=+

1

1

=-[

=

% %

% %%

e

e(

Α6 3α 96 #56789# ( )+∞ → ℝb 0 f 3#;<$3

+= ∫

1

0

3 y >y >

% g t f % dt

%

G)Να M$AN$9$ L93 = 1( >α3 =∫1

0

y > = g t dt

GG) Να M$AN$9$ L93+

== 3

y > %

f %%

0 > 0%

GGG)Να 4$%$9K#$9$ 96 f DJ 8BJ 9α >BA%α >α3 $N$97#$9$ $76 578;B56 #4$Aα>α4KJ 9J bf

GX)Να @8$A9$ 93J α#<49D9$J 9J bf

X)Να 5B%BA#$9$ 9B B%B>%K8D4α

= >∫1

y > y > 0 f t dt)

) )

XG)Να M$AN$9$ L93+→] = +∞

0-[ y >

)

)

XG)(YUZTR)Α6 $3%HB6 g $A6α3 α8αDA#34 4$ #56$;K α87DB >α3 $y > g % % 03α

>7?$ ∈ 01% 1Να M$AN$9$ L93

$ −+∫

1

0

y >1 y=> 1= 1

g %d% f %

Cύση

->→+∞

+ +

− −→+∞ →+∞ →+∞ →+∞< <

++ + + + ⋅ = = = = = =

+ + ⋅+ + ⋅ + ⋅

1=

-[1

1 1 =0 1

== = 1 =y1 > 1 == 1 = 0

-[ -[ -[ -[ 11= = 1 = 1 = 1 0y1 > 1 1 == =

%

%

%% %

%% % e% %

% % % % %% % % %%

e% %

eee e e

ee

e e e

(

:πότε

= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ − = ⇔ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

== 1 = 1 1 = 1 1= = =

1 0 1 0 0 1 0 01

= 1

y > D y > D y > D y > D y > y > D= = =

%

%g t dt d% % g t dt d% g t dt %d% g t dt g t dt

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =D1

− = ⇔ = ⇔ =∫ ∫ ∫1 1 1

0 0 0

E 1 Dy > y > D y > D y > =

= = = g t dt g t dt g t dt

-->%ια > 0%

=∫+

= ⇔ = + ⇔ = + ⇔∫ ∫ ∫ ∫ ∫

1

0

y > =1 1 1 1 1

0 0 0 0 0

3 y > y >3 3 1y > y > y > 1 y >

g t dt

% g t g t% % f % dt f % dt dt f % dt g t dt

% % % % %

+= + ⇔ = − + ⇔ =

1

0

3 1 3 = 3 =y > = y > y1 0> y >

% % % f % % f % f %

% % % % %

--->‡ i είναι δυο φορ!ς παραγωγίσιμη στο ( )+∞0

+ − −= = =

=

3 = 3 1y > ..

% % f %

% %

− − += = =

= D

3 1 = 3 1y > ..

% % f %

% %

>

= ⇔ ⇔ =0 1

y > 0 ...%

f % %

e

•>

< ⇔ ⇔ < <0 1

y > 0 ... 0%

f % %e

•>

> ⇔ ⇔ >0 1

y > 0 ...%

f % %e

}ρα η i είναι κοί"η στο

10

e και κυρτή στο

+∞

1

e

?ε

= =

1 D...

=

e f

e οπότε !χουμε σημείο καμπής

1 D

=

e

e

-,> (ατακόρυφες ασύμπτωτες

( )+→

= = −∞0

-[ ...%

f % #ρα η ευθεία = 0% είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της ]i.

:ρι$όντιεςOπ"#γιες ασύμπτωτες

( )→+∞

= = =-[ ... 0%

f %

%2

( )→+∞

− = = =-[y > ... 0%

f % %2 5

}ρα η ευθεία = 0 ) είναι ορι$όντια ασύμπτωτη της ]i στο +∞

X)+

= = = + = + = + =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫1 1 1 1 1 1 1

3 = 3 = 3 = 1y > y > y > 3 = y3 >

t t t f t dt dt dt dt dt tdt t dt

t t t t t t

) ) ) ) ) ) )

)

= + = + = − + − = +

∫ ∫

= = = =

11 1 1

3 3 3 1 3y3 > 3 = y3 > = 3 =y3 31> = 3

= = = =

tt tdt t dt t

) ) )

) ) ) ) ) 0 > 0)

XG)+ +

=

→−∞ →−∞ →−∞→ →

] = + = + = = +∞

= = =3

0 0

3-[ y > -[ =3 -[ = -[

= = =

&

& & &

& &&

)

) )

) ) )

XG)+

== 3 =

y=>=

f #ρα η αποδεικτ!α παίρνει την μορφήb

+ + $ − ⇔ $ − ⇔ $ + − ⇔ $ + + + +

∫ ∫ ∫ ∫1 1 1 1

0 0 0 0

y > y > y > y >1 = 3 = = 3 =1 = 1 = 3 = = 3 =

= 1 = 1 = 1 1

g % g % g % g %d% d% d% d%

% % % %

~τσι




ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =D=

( ) ( )

MEOEGLZT]VR L^LV^ = = − − = − − − + + + + +

∫ ∫ ∫ ∫11 1 1 1.

= =0 0 0 00

y > y > y1> y >1 1y > y > y0>

1 1 1 =1 1

g % g % g g %d% g % d% g % d% g d%

% % % % %

'""# από υπόθεση $y > g % % για κ#θε ∈ 01% *η"αδή $ $y0> 0 y1> 1 g g

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+ −− − − $ − − − = + = + + =

+ + + + +

∫ ∫ ∫ ∫ ∫1 1 1 1 1

= = = = =

0 0 0 0 0

y1> y > 1 1 1 1 1y0> 0

= = = =1 1 1 1 1

g g % % % % g d% d% d% d% d%

% % % % %

( )

+ + = + + + = + − + − = + − = + + + ∫ ∫

11 11

00 0 0

1 1 1 1 1 1 1 1 1 3y 1> 3 = 31 1 3 = 3 =

= 1 1 = 1 = = = =d% d% %

% % %




ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =DD

"ΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙ,Ν ΗΜΕΡΗΣΙΑ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =DE

)(ΕN$9α#$3J /!!!) Τ ;8B63>K #934K t = ! ;B8$A9α3 #m H6α6 α#?$6K H6α 784α>B1 Η

#5>H698D# 9B5 α847>B5 #9B αA4α 9B5 α#?$6B<J MA6$9α3 αL 9 #56789#:

2

αtf(t) , t 0

t1

β

= !

+

LB5 α >α3 @ $A6α3 #9α?$8BA ?$93>BA 8α4α93>BA α83?4BA >α3 B ;8L6BJ t 4$9879α3 #$

I8$J1 Η 4H3#9 934K 9J #5>H698D#J $A6α3 A# 4$ 4B67M$J >α3 $395;76$9α3 -

I8$J 4$97 9 ;B8K# 9B5 α847>B51

α1 Να @8$A9$ 93J 934HJ 9D6 #9α?$8I6 α >α3 @1

@1 Μ$ M$MB4H6B L93 M87# 9B5 α847>B5 $A6α3 αB9$%$#4α93>K L9α6 934K 9J

#5>H698D#J $A6α3 9B5%7;3#9B6 A# 4$ / 4B67M$J0 6α @8$A9$ 9B ;8B63>L M37#94α

B5 9B 784α>B M8α αB9$%$#4α93>71Cυση

Η i είναι παραγωγίσιμη στο „0 Pš> ως πη"ίκο παραγωγίσιμων συναρτήσεων μεb

( )

2 2

2 22 2

t t 1 tα 1 αt 2 α 1

β β β βf t , t 0

t t1 1

β β

⋅ + − ⋅ ⋅ −

N = = !

+ +

α) 'φού σε g ‚ H 7ρες επιτυγχ#νεται η μ!γιστη τιμή iyg> ‚ 1G μον#δες θα !χουμεb

( )

( )

22

2

2

2

6α15 540

36 6α 151f 6 15 β

β36f 6 0

16α 1 0 β

β

= = ++= ⇔ ⇔ ⇔

N = − = −− =

5406α 30 α 56α 15

36β 6 β 6

β 6

= == + ⇔ ⇔

= / = / = /

'φού ) ‰ 0 η τιμή ) ‚ FH απορρίπτεται #ρα ) ‚ H. Aπομ!νωςb ( ) 2 2

5t 180tf t , t 0

t 36 t1

36

= = !

++

@) 'φού το φ#ρμακο !χει αποτε"εσματική δρ#ση όταν η τιμή της συγκ!ντρωσης είναι

του"#χιστον ίση με 1= μον#δες &#χνουμε τις τιμ!ς του g !τσι 7στεb iyg> › 1= με g › 0. Τότεb

2 2 2

2

180t12 180t 432 12t 12t 180t 432 0 t 15t 36 0 3 t 12

36 t! ⇔ ! + ⇔ − + $ ⇔ = − + $ ⇔ $ $

+

}ρα το φ#ρμακο δρα αποτε"εσματικ# από D 7ρες !ως 1= 7ρες.

/)(ΕN$9α#$3J /!!)C#9D f 43α 8α4α93>K #56789# 4$ 9<B:

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =DG

2

x-3

αx , x 3

f(x) 1 e, x 3

x 3

$

= −> −

α1 Α6 f $A6α3 #56$;KJ0 6α αBM$AN$9$ L93 α = q„.1

@1 Να @8$A9$ 96 $NA#D# 9J $α9B4H6J 9J 8α3>KJ α87#9α#J bf 9J

#56789#J f #9B #4$AB Α(&0 f(&))1

1 Να 5B%BA#$9$ 9B $4@αML6 9B5 ;D8AB5 B5 $83>%$A$9α3 αL 9 8α3>K

Fα87#9α#: 9:J #56789:#:J f0 9B6 7NB6α xrx >α3 93J $5?$A$J x = >α3 x = /1

Cύση

α1 'φού i συνεχής είναιb ( ) ( ) ( )x 3 x 3lim f x lim f x f 3 9α

− +→ →= = =

tμωςb ( ) ( )2

x 3 x 3lim f x lim f αx 9α− −→ →= =

( ) ( )

( )

x 3 x 3

x 3 x 3 x 3

1 e elim f x lim lim 1

1x 3+ + +

− −

→ → →

N− −= = = − N −

~τσιb Lα ‚ F1. }ρα α ‚ F1”L

@1 %ια | ‰ D με i παραγωγίσιμη ως πη"ίκο παραγωγίσιμων συναρτήσεων

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )

( ) ( )( )

x 3 x 3 x 3 x 3x 3

2 2

1 e x 3 1 e x 3 e x 3 1 e1 e

f x x 3 x 3 x 3

− − − −− N NN − − − − − − − − − −N = = = = − − −

( ) ( )

( )

( )

x 3x 3 x 3 x 3 x 3 x 3

2 2 2

4 x e 1xe 3e 1 e xe 4e 1

x 3 x 3 x 3

−− − − − − − −− + − + − + −= = =

− − −

~τσιb ( )( )

2

1f 4 1

4 3

−N = = −−

και αφούb ( )4 31 e 1 e

f 4 1 e

4 3 1

−− −= = = −

−

η εξίσωση της εφαπτομ!νης είναιb h F y1 F 4> ‚ F1y| F E>⇔ h ‚ F| F 4 P G

1 Aπειδή για " #x 1, 2∈ είναι ( ) 21f x x 0

9= − <

~χουμεb

2 23 3

22

11 1

1 1 x 1 x 1 8 1 1 7 7E x dx

9 9 3 9 3 9 3 3 9 3 27

= − − = − − = = − = ⋅ = ∫ τ. μον#δες.

k;?;@(?676

Aπειδή στην εκφ7νηση του θ!ματος δεν διευκρινί$εται αν στο ερ7τημα γ η τιμή του α

πρ!πει να "ηφθεί ως F1”L παρατηρούμε ότιb

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =DH

(G) αν το α "ηφθεί ως F1”L τότε η τιμή του εμ)αδού είναιb A ‚7

27τ. μον#δες.

(GG) αν όμως δεν υπονοείται κ#τι τ!τοιο τότε η "ύση θα !χει ως εξήςb

Š αν α › 0 τότε iy|> › 0 οπότεb2

2

1

7αE αx dx

3

= =

∫τ. μον#δες.

Š αν α ‘ 0 τότε iy|> ‘ 0 οπότεb2

2

1

7αE αx dx

3= − = −∫ τ. μον#δες.

*)(ΕN$9α#$3J /!!/)C#9D B3 #56α89K#$3J f0 g 4$ $MAB B83#4B< 9B ℝ 1

A6$9α3 L93 #56789# 9J #<6?$#J fUg $A6α3 q1

α1 Να M$AN$9$ L93 g $A6α3 q1

@1 Να M$AN$9$ L93 $NA#D#: g(f(x) … x* 2 x) = g(f(x) … /x 2) H;$3 α>83@IJ MHJ >α3

4Aα α8693>K 8A[α1

Λ5#

α1 Aπειδή η i είναι συν#ρτηση !χουμε ότι για κ#θε1 2x , x ∈ ℝ με dy|1> ‚ dy|=> !πεται iydy|1>>

‚ iydy|=>> ή yi2d>y|1> ‚ yi2d>y|=> y1>

Aπειδή όμως η i2d είναι 1 F 1 στο ℝ προκύπτει από την y1> ότι |1 ‚ |=. ~τσι δείξαμε ότιb

1 2x , x_ ∈ ℝ με dy|1> ‚ dy|=> προκύπτει |1 ‚ |=.

}ρα η d είναι 1 F 1.

@1 ~χουμεb dyiy|> P |D F |> ‚ dyiy|> P =| F 1>

Aπειδή η d είναι 1 F 1 στο k προκύπτει ότιb

iy|> P |D F | ‚ iy|> P =| F 1 ή

|D F | ‚ =| F 1 ή

|D F D| P 1 ‚ 0

@εωρούμε την συν#ρτησηb `y|> ‚ |D F D| P 1 x ∈ ℝ

‡ ` είναι παραγωγίσιμη ως πο"υωνυμική μεb

`Žy|> ‚ D|= F D ‚ Dy|= F 1> ‚ Dy| F 1>y| P 1>

‡ μονοτονία της `y|> φαίνεται στον παρακ#τω πίνακαb




ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =DI

Η ` στο δι#στημα „F= F1… ικανοποιεί τις προ’ποθ!σεις του @. r2‹/32 αφούb

Š Η ` συνεχής στο „F= F1… ως πο"υωνυμική και

Š `yF=>œ`yF1> ‚ yF1>œyPD> ‚ FD ‘ 0

}ρα υπ#ρχει !να του"#χιστον ( )1x 2, 1∈ − − τ!τοιο 7στε `y|1> ‚ 0. fπειδή η ` στο yF

šF1… είναι γνησίως αύξουσα η παραπ#νω ρί$α |1 είναι μοναδική στο yFšF1….

~χουμε `y0> ‚ 1 και `y1> ‚ F1.

Aπειδή η ` είναι συνεχής στο „0 1… και `y0>œ`y1> ‚ 1œyF1> ‚ F1 ‘ 0

προκύπτει ότι στο δι#στημα y0 1> η `y|> ‚ 0 !χει μια του"#χιστον ρί$α |=. Aπειδή ακόμα η `

είναι γνησίως φθίνουσα στο „F1 1… προκύπτει ότι η ρί$α αυτή είναι μοναδική στο „F1 1….

~χουμε `y1> ‚ F1 και `y=> ‚ D

Aπειδή η ` είναι συνεχής στο „1 =… και `y1>œ`y=> ‚ yF1>œD ‚ FD ‘ 0

προκύπτει ότι στο δι#στημα y1 => η `y|> ‚ 0 !χει μια του"#χιστον ρί$α |D. Aπειδή ακόμα η `

είναι γνησίως φθίνουσα στο „1 Pš> προκύπτει ότι η ρί$α αυτή είναι μοναδική στο „1 Pš>.

Aπειδήb

- ( )1x 2, 1∈ − − είναι |1 ‘ 0

- ( )2x 0,1∈ είναι |= ‰ 0

-

( )3x 1,2∈ είναι |D ‰ 0

~τσι η `y|> ‚ 0 !χει ακρι)7ς δύο θετικ!ς και μία αρνητική ρί$α στο k.

&)(ΕN$9α#$3J /!!*)C#9D #56789# f(x) = x … x* … x 1

α1 Να 4$%$9K#$9$ 96 f DJ 8BJ 96 4B6B9B6Aα >α3 9α >BA%α >α3 6α αBM$AN$9$ L93 f

H;$3 α69A#98B #56789#1

@1 Να αBM$AN$9$ L93 f(Qx) † f(…x) 3α >7?$ x ∈ ℝ 1

1 Να αBM$AN$9$ L93 $α9B4H6 9J 8α3>KJ α87#9α#J 9J f #9B #4$AB (!0!)

$A6α3 B 7NB6αJ #544$98AαJ 9D6 8α3>I6 α8α#97#$D6 9J f >α3 9J f q1

M1 Να 5B%BA#$9$ 9B $4@αML6 9B5 ;D8AB5 B5 $83>%$A$9α3 αL 9 8α3>K

α87#9α# 9J f q0 9B6 7NB6α 9D6 x >α3 96 $5?$Aα 4$ $NA#D# x = *1

Cυση

α1 Η συν#ρτηση iy|> ‚ |G P |D P | είναι ορισμ!νη και παραγωγίσιμη = φορ!ς σε ό"ο το ℝ μεb

iŽy|> ‚y|G P |D P |>Ž ‚ G|E P D|= P 1 και

iŽŽy|> ‚ yG|E P D|= P 1>Ž‚ =0|D P H|




ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =DJ

- Aπειδή είναι iŽy|> ‚ G|E P D|= P 1 ‰ 0 για κ#θε x ∈ ℝ προκύπτει ότι η i είναι γνησίως

αύξουσα σε ό"ο το ℝ .

-

iŽŽy|>‚0 ⇔ =0|D P H| ‚ 0 ⇔ =|y10|= P D>‚0 ⇔ |‚0 εφόσον 10|= P D ‰ 0 για κ#θε x ∈ ℝ .

Aποµ!νως η i είναιb

-

κοί"η στο δι#στηµα yFš 0… και

-

κυρτή στο δι#στηµα „0 Pš>.

Aπειδή η συν#ρτηση i είναι γνησίως µονότονη στο ℝ θα είναι 1F1 σε αυτό και συνεπ7ς η i

είναι αντιστρ!&ιµη στο ℝ .

@1 Η συν#ρτηση i είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ yερ7τηµα α>. 6ροκειµ!νου να δείξουµε

ότι iy4|> › iy1P|> για κ#θε x ∈ ℝ αρκεί να δείξουµε ότιb

4| ›1P | για κ#θε x ∈ ℝ .

6ρ#γµατι θεωρούµε τη συν#ρτηση dy|>‚4| F 1 F | στο ℝ η οποία είναι παραγωγίσιµη σ•

αυτό µε dŽy|> ‚ 4| F 1. 'πό την εξίσωση dŽy|>‚0 !χουµε 4| F 1‚0 ⇔ 4| ‚ 1 ⇔ | ‚ 0.

~χουµεb

Aποµ!νως dy|> › dy0> ‚ 0 για κ#θε x ∈ ℝ ή 4| F 1 F | › 0 για κ#θε x ∈ ℝ και #ραb 4| › 1 P |

για κ#θε x ∈ ℝ .

1 Η εφαπτοµ!νη της ]i στο σηµείο y00> !χει εξίσωση

h F iy0> ‚ iŽy0>y| F 0> ή h F 0 ‚ 1y| F 0> ή h ‚ |

που είναι η διχοτόµος της πρ7της και τρίτης γωνίας των αξόνων. Aπειδή τ7ρα η i είναι

αντιστρ!&ιµη yερ7τηµα α> προκύπτει ότι υπ#ρχει η i O1 ή οποία y"όγω πρότασης σε". 1GG

σχο". )ι)".> !χει 1f C − συµµετρική την ]i ως προς #ξονα συµµετρίας την ευθεία h ‚ |.

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =DL

M1 %ια κ#θε " #x 0,3∈ είναιb | › 0 και επειδή η iF1 είναι γνησίως αύξουσα στο δι#στημα αυτό

θα είναι iF1y|> › iF1y0> ⇔ iF1y|> › 0 yαφού iF1y0> ‚ 0>.

~τσι το εμ)αδόν του $ητουμ!νου χωρίου ισούται μεb ( )3

-1

0E f y dy= ∫ .

@!τουμε iF1yh>‚| ⇔ h ‚ iy|>. y1>

*ιαφορί$οντας την y1> "αμ)#νουμεb eh ‚ e„iy|>… ‚ iŽy|>e| και

( )

( ) 5 3

5 3

3 f x 3 x x x 3 1

0 f x 0 x x x 0 0y x x x

= + + =

= + + =→ → → #ρα

( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1

5 3 5 3 5 3

0 0 0 0 0 0E xf x dx x x x x dx 5x 3x x dx 5 x dx 3 x dx xdx

NN= = + + = + + = + + =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

1 1 16 4 2

0 0 0

x x x 1 1 1 255 3 5 3 τ.µ.

6 4 2 6 4 2 12

= + + = ⋅ + ⋅ + =

)(ΕN$9α#$3J /!!*)C#9D 43α #56789# f #56$;KJ #m H6α M37#94α ‡α0@ˆ B5 H;$3

#56$;K M$<9$8 α87DB #9B (α0@)1 Α6 3#;<$3

f(α) = f(@) = ! >α3 578;B56 α83?4BA ∈(α0@)0 M∈(α0@)0 H9#3 I#9$ f()‰f(M) !0 6α

αBM$AN$9$ L93:

α1 Υ78;$3 4Aα 9B5%7;3#9B6 8A[α 9J $NA#D#J f(x) = ! #9B M37#94α (α0@)1

@1 Υ78;B56 #4$Aα N0 N/ ∈ (α0@) 9H9B3α I#9$ frr(N) ! >α3 frr(N/) !1

1 Υ78;$3 H6α 9B5%7;3#9B6 #4$AB >α4KJ 9J 8α3>KJ α87#9α#J 9J f1

Cυση

α1 'φού η i είναι συνεχής στο κ"ειστό δι#στημα με #κρα γ δ και iyγ>œiyδ> ‘ 0 εφαρμό$εται

το θε7ρημα r2‹/32 από το οποίο συν#γεται ότι υπ#ρχει μία του"#χιστον ρί$α |0 που

ανήκει στο ανοιχτό δι#στημα με #κρα γ δ 7στε iy|0> ‚ 0.

@1 Kωρίς )"#)η της γενικότητας υποθ!τουμε ότι γ ‘ δ και iyγ> ‰ 0 iyδ> ‘ 0 οπότε α ‘ γ ‘ |0

‘ δ ‘ ).

G) 9το δι#στημα „α γ… είναιb

iyα> ‚ 0 iyγ> ‰ 0 #ρα iyα> ‘ iyγ> και επειδή είναι α ‘ γ συν#γεται ότιb

( ) ( )f α f γ0

α γ

−>

− y1>

tμως από το θε7ρημα μ!σης τιμής y@.?.Τ> για την i στο δι#στημα „αγ… υπ#ρχει

( )1κ α,γ∈ 7στε ( ) ( ) ( )

1

f α f γf κ α γ

−N = − και "όγω της y1> iŽyκ1> ‰ 0.

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =E0

GG) Aργα$όμενοι ομοίως στο δι#στημα „γ |0… !χουμεb

iyγ> ‰ 0 iy|0> ‚ 0 #ρα iyγ> ‰ iy|0> και επειδή είναι γ ‘ |0 συν#γεταιb

( ) ( )0

0

f γ f x0

γ x

−<

− y=>

'πό το @.?.Τ για την i στο δι#στημα „γ |0… !χουμε ότι υπ#ρχει ( )2 0κ γ,x∈ 7στε

( ) ( ) ( )0

2

0

f γ f xf κ

γ x

−N =

−

και "όγω της y=> είναι iŽyκ=> ‘ 0.

GGG) %ια το δι#στημα „|0 δ… όμοια !χουμε ότι υπ#ρχει ( )3 0κ x ,δ∈ 7στε

( ) ( )( )0

3

0

f δ f xf κ 0

δ x

−N= <

−

GX) %ια το δι#στημα „δ )… όμοια !χουμε ότι υπ#ρχει ( )4κ δ,β∈ 7στε

( ) ( )( )4

f β f δf κ 0

β δ

−N= >

−

X) Aίναι iŽyκ1> ‰ 0 iŽyκ=> ‘ 0 #ρα iŽyκ1> ‰ iŽyκ=> και επειδή κ1 ‘ κ= είναιb( ) ( )1 2

1 2

f κ f κ 0

κ κ

N N−<

−

tµως για την iŽ εφαρµό$εται το @.?.Τ στο δι#στηµα „κ1 κ=… οπότε υπ#ρχει ( )1 1 2ξ κ , κ ∈

7στε ( ) ( ) ( )1 2

1

1 2

f κ f κ f ξ 0

κ κ

N N−NN = <

−

XG) Aίναι iŽyκD> ‘ 0 iŽyκE> ‰ 0 #ρα iŽyκD> ‘ iŽyκE> και επειδή κD ‘ κE είναι( ) ( )3 4

3 4

f κ f κ 0

κ κ

N N−>

−

tµως για την iŽ εφαρµό$εται το @.?.Τ στο δι#στηµα „κD κE… οπότε υπ#ρχει ( )2 3 4ξ κ , κ ∈

7στε ( ) ( ) ( )3 4

2

3 4

f κ f κ f ξ 0

κ κ

N N−NN = >

−.

*είξαµε !τσι ότι υπ#ρχουν ( )1 2ξ , ξ α,β∈ 7στε iŽŽyξ1> ‘ 0 και iŽŽyξ=> ‰ 0.

OZ τ&ό0ο,

'πό το θε7ρηµα µ!γιστης F ε"#χιστης τιµής για την i που είναι συνεχής στο „α)…

εξασφα"ί$εται ότι υπ#ρχουν δύο σηµεία |1 |= ∈„α)… µε |1 ‘ |= 7στε iy|1> • iy|> • iy|=> για

κ#θε |∈„α)….

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =E1

Aφόσον η i παίρνει μία του"#χιστον αρνητική τιμή και μία του"#χιστον θετική yπρ#γμα

που συνεπ#γεται από την δοσμ!νη σχ!ση iyγ>œiyδ> ‘ 0> η ε"#χιστη τιμή iy|1> θα είναι

αρνητική εν7 η μ!γιστη τιμή iy|=> θα είναι θετική.

Η i είναι παραγωγίσιμη στο yα)> #ρα και στα εσωτερικ# σημεία |1 |= που επειδή είναι

θ!σεις ακρότατων από το θ. w4[/g συν#γεται ότι iŽy|1> ‚ iŽy|=> ‚ 0.

9το δι#στηµα „|1 |=… η iŽ δεν μπορεί να είναι η σταθερή μηδενική διότι τότε η i θα ήταν

σταθερή και #ρα iy|1> ‚ iy|=> ή i[/| ‚ i[-3 F #τοπο διότι υπ#ρχουν τα δοσµ!να γ δ για τα

οποία ισχύει από υπόθεση iyγ>œiyδ> ‘ 0.

9υνεπ7ς υπ#ρχει σηµείο |D ∈y|1 |=> 7στε iŽy|D> ‰ 0 ή iŽy|D> ‘ 0. ~στω πχ iŽy|D> ‰ 0.

Τότε

-

από @.?.Τ για την iŽ στο „|1 |D… υπ#ρχει ( )1 1 3ξ x , x∈ 7στεb

( ) ( ) ( ) ( )3 1 3

1

3 1 3 1

f x f x f xf ξ 0

x x x x

N N N−NN = = >

− −.

-

από @.?.Τ για την iŽ στο „|D |=… υπ#ρχει ( )2 3 2ξ x , x∈ 7στεb

( ) ( ) ( ) ( )2 3 3

2

2 3 2 3

f x f x f xf ξ 0

x x x x

N N N− −NN = = <

− −.

'ν υποθ!ταµε iy|D> ‘ 0 θα προ!κυπτε iŽŽyξ1> ‘ 0 iŽŽyξ=> ‰ 0.

1 'πό το ) ερ7τηµα µε )#ση το θε7ρηµα r2‹/32 για την iŽŽ στο κ"ειστό δι#στηµα µε

#κρα ξ1 ξ= προκύπτει ότι υπ#ρχει !να του"#χιστον σηµείο ξ0 που ανήκει στο ανοικτό

δι#στηµα µε #κρα ξ1 ξ= 7στε iŽŽyξ0> ‚ 0.

Το σηµείο ξ0 θα ήταν σηµείο καµπής της συν#ρτησης εφόσον η iŽŽ #""α$ε πρόσηµο

εκατ!ρωθεν αυτού. tµως κ#τι τ!τοιο δεν εξασφα"ί$εται από τα δεδοµ!να του θ!µατος.

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =E=

-)(ΕN$9α#$3J /!!&)A6$9α3 #56789# f 4$ 9α3 6α @8$A9$ 9α α>8L9α9α1

@1 Να 4$%$9K#$9$ 96 f DJ 8BJ 96 >589L99α >α3 6α @8$A9$ 9α #4$Aα >α4KJ1

1 Να @8$A9$ 9B #<6B%B 934I6 9J f1

Λ5#

α1 6ρ!πει | ‰ 0. }ρα 'i ‚ y0Pš>.

‡ i είναι παραγωγίσιμη στο δι#στημα y0Pš> ως γινόμενο παραγωγίσιμων συναρτήσεων

σ αυτό με

iŽy|> ‚ y|=œ3|>Ž ‚ y|=>Žœ3| P |=y3|>Ž ‚ =|œ3| P |=œ 1

x‚ =|œ3| P | ‚ |œy=3| P 1>

~χουμεb iŽy|> ‚ 0 ⇔ |œy=3| P 1> ‚ 0. :πότεb | ‚ 0 απορρίπτεται αφού 'i ‚ y0Pš> ή

=3| P 1 ‚ 0 ⇔ 3| ‚ F1

2⇔ | ‚

1

2e−

.

Aπομ!νως η συν#ρτηση i είναιb

-

%νησίως φθίνουσα στο1

20,e−

αφού είναι συνεχής στο1

20,e−

και ισχύει ότι iŽy|>

‘ 0 στο1

20,e−

.

-

%νησίως αύξουσα στο1

2e ,−

+∞

αφού είναι συνεχής στο1

2e ,−

+∞

και ισχύει ότι

iŽy|> ‰ 0 στο1

2e ,−

+∞

.

}ρα παρουσι#$ει ο"ικό ε"#χιστο για | ‚1

2e−

το

21 1 1

12 2 2 1 1

f e e ln e e2 2e

− − − − = ⋅ = − ⋅ = −

@1 Η i είναι και = η φορ# παραγωγίσιμη στο y0Pš> ως γινόμενο δις παραγωγίσιμων

συναρτήσεων σε αυτό με

iŽŽy|> ‚ y=|œ3| P |>Ž ‚ =3| P = P 1 ‚ =3| P D.




ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =ED

~χουμεb iŽŽy|> ‚ 0 ⇔ =3| P D ‚ 0 ⇔ 3| ‚ F 3

2⇔ | ‚

3

2e−

.

23 3 3

32 2 23

3 3f e e ln e e

2 2e

− − − − = ⋅ = − ⋅ = −

.

Aπομ!νως η συν#ρτηση i είναιb

Š κοί"η στο3

20,e−

Š κυρτή στο3

2e ,−

+∞

.

}ρα παρουσι#$ει σημείο καμπής το3

23

3M e ,

2e

− −

.

1 Aίναιb

- ( )( ) 4 2DeL΄Hospital

2

2x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0

2 4

1ln x x xxlim f x lim x ln x= lim lim lim lim 01 2x 2x 2

x x

+ + + + + +→ → → → → →

= = = − = − =

−

- ( ) ( )2

x xlim f x lim x ln x→+∞ →+∞

= ⋅ = +∞ .

Aπειδή η i είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο δι#στημα1

20,e−

είναι

1

2 1

f 0,e ,02e

− = − .

Aπειδή η i είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής στο δι#στημα1

2e ,−

+∞

είναι

1

2 1

f e , ,2e

− +∞ = − +∞ .

}ρα το σύνο"ο τιμ7ν της i είναι ( )( ) 1 1 1

f 0, ,0 , ,2e 2e 2e

+∞ = − ∪ − +∞ = − +∞ .




ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =EE

~τσι το τοπικό ακρότατο από το ερ7τημα α μπορεί να χαρακτηριστεί και ως ο"ικό

ε"#χιστο.

+)(ΕN$9α#$3J /!!&)A6$9α3 #56789# g(x)=Qx f(x)0 LB5 f #56789# α8αDA#34

#9B W >α33

f (0) f 02

= =

1

α1 Να αBM$AN$9$ L93 578;$3 H6α 9B5%7;3#9B63

ξ 0,2

∈

9H9B3B I#9$ f r(N)= 2f(N)1

@1 Ε76 f(x)=/x/2*x0 6α 5B%BA#$9$ 9B B%B>%K8D4α

0

αI(α) g(x)dx, α= ∈∫ ℝ 1

1 Να @8$A9$ 9B L83B αlim I(α)→−∞ 1

Cυση

α1 'φού i παραγωγίσιμη στο k τότε και η d είναι παραγωγίσιμη στο k ως γινόμενο

παραγωγίσιμων συναρτήσεων σε αυτό. }ρα η d είναι και συνεχής στο k.

~τσι η d είναι συνεχής στο3

0, R2

και παραγωγίσιμη στο

30, R

2

με dŽy|> ‚ 4|iy|> P

4|iŽy|>.

Aπίσης είναι

( ) ( )0

3

2

g 0 e f 0 0

3 3g e f 0

2 2

= =

= =

#ρα ( ) 3

g 0 g2

=

.

:πότε από θε7ρημα k24 υπ#ρχει !να του"#χιστον3

ξ 0,2

∈

7στε

dŽyξ> ‚ 0 ⇔ 4ξiyξ> P 4ξiŽyξ> ‚ 0 ⇔ 4ξyiyξ> P iŽyξ>> ‚ 0.

tμως 4ξ ž 0 #ρα προκύπτει ότι υπ#ρχει του"#χιστον !να 3

ξ 0, 2

∈ 7στε iŽyξ> ‚ Fiyξ>.

@1 'φού iy|> ‚ =|= F D| είναι

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0

x 2 x 2

α α αI α g x dx e 2x 3x dx e 2x 3x dx

N= = − = − =∫ ∫ ∫( ) ( )

0 0x 2 x 2

ααe 2x 3x e 2x 3x dx

N − − − = ∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 00 0

x 2 x x 2 x

α αα αe 2x 3x e 4x 3 dx e 2x 3x e 4x 3 dx

N = − − − = − − − = ∫ ∫

( ) ( ) ( )0 00

x 2 x x

α ααe 2x 3x e 4x 3 e 4x 3 dxN = − − − + − = ∫

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =EG

( ) ( )0 00

x 2 x x

α ααe 2x 3x e 4x 3 e 4dx = − − − + ⋅ = ∫ ( ) ( )

0 0 0x 2 x x

α ααe 2x 3x e 4x 3 4 e − − − + =

( ) ( ) ( )α 2 0 α 0 αe 2α 3α e 3 e 4α 3 4e 4e= − − − − + − + − =

( ) ( ) ( )α 2 α α α 2e 2α 3α 3 e 4α 3 4 4e 7 e 4α 3 2α 3α 4= − − + + − + − = + − − + − = ( )α 27 e 2α 7α 7+ − + −

.

}ρα Tyα> ‚ I P 4α yF=α= P Iα F I> α ∈ ℝ .

1 Aίναι για α ‘ 0 ( ) α 2

2

7 7I α 7 e a 2

a a

= + ⋅ − + − .

~χουμε ( )2

α 2α αα α α α

α

α 2α 2αlim e α lim lim lim 01 e e

e

+∞ +∞+∞ −∞

− −→−∞ →−∞ →−∞ →−∞⋅ = = = =−

και2α

7 7lim 2 2

α α→−∞

− + − = −

}ρα ( ) ( )αlim I α 7 0 2 7→−∞

= + − = .

V)(ΕN$9α#$3J /!!)A6$9α3 #56789# f 4$ 9KJ α87#9α#J 9J f0 BBAα

M3H8;$9α3 αL 96 α8;K 9D6 αNL6D60 $A6α3 l = %Qx1

Β8$A9$ 93J #569$9α4H6$J 9B5 #4$AB5 $αKJ Μ1

1 $AN9$ L93 9B $4@αML6 Ε(%) 9B5 ;D8AB50 9B BBAB $83>%$A$9α3 4$9αN< 9J 8α3>KJ

α87#9α#J 9J f0 9J $α9B4H6J 9J #9B #4$AB Μ >α3 9B5 7NB6α lrl0 $A6α3

e 2E(λ )

2λ

−= 1

M1 ΥFB%BA#9$ 9B2

λ

λ E(λ )lim

2 µλ →+∞

⋅+

1

Cύση

α1 ‡ i είναι παραγωγίσιμη στο ℝ ως σύνθεση παραγωγισίμων συναρτήσεων σ αυτό με

iŽy|> ‚ y4"|>Ž ‚ 4"| œ y"|>Ž ‚ "4"| x ∈ ℝ .

Aίναι " ‰ 0 4"| ‰ 0 για κ#θε x ∈ ℝ οπότε iŽy|> ‰ 0 για κ#θε x ∈ ℝ . }ρα i γνησίως αύξουσα

στο ℝ .




ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =EH

@1 ~στω y|0 iy|0>> οι συντεταγμ!νες του σημείου ?. Τότε η εξίσωση της εφαπτομ!νης στο

? είναι

yε>b h F iy|0> ‚ iŽy|0>y| F |0> ⇔ h F 4"|0 ‚ "4"|0y| F |0>.

%ια να δι!ρχεται η yε> από την αρχή των αξόνων πρ!πει και αρκείb

0 F 4"|0 ‚ "4"|0y0 F |0> ⇔ F1 ‚ "yF|0> ⇔ |0 ‚1

λ .

~τσι η yε> γίνεταιb h F 4 ‚ "4y| F1

λ > ⇔ h ‚ "4|.

:ι συντεταγμ!νες του ? είναιb ?y 1

λ 4>.

1

Το $ητούμενο εμ)αδόν όπως φαίνεται από το σχήμα ισούται μεb

y:'?B> F y:'?> ‚

11

λ λ x λ xλ

00

1 1 1 e 1 1 e 2e 2 e e 2e dx e e e

2 λ λ 2λ λ λ 2λ 2λ 2λ

− − − − ⋅ ⋅ = − = ⋅ − − = = ∫ .

M1 Aίναι( ) ( )

( )

22

e 2λ λ E λ e 2 λ e 2 12λ

2 µλ 2 ηµλ 2 ηµλ 2 2 ηµλ 2

λ

−⋅⋅ − −

= = = ⋅++ + +

.

%ια κ#θε " ‰ 0 είναιb

F1 ημ" 1 ⇔ 1 = P ημ" D ⇔ 0 ‘1

λ

2 µλ

λ

+

3

λ .

tμωςλ λ

1 3lim lim 0

λ λ →+∞ →+∞

= =

οπότε με )#ση το κριτήριο παρεμ)ο"ής είναι

λ

2 ηµλ lim 0

λ →+∞

+= εν7

2 ηµλ 0

λ

+> .

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =EI

~τσιλ

1lim

2 ηµλ

λ

→+∞= +∞

+ και αφού

e 20

2

−> προκύπτει τε"ικ# ότι

( )2

λ

λ Ε λ lim

2 ηµλ →+∞

⋅= +∞

+.

k;?;@(?676:

%ια την εύρεση του εμ)αδού του χωρίου Ay"> είναι δυνατόν να μη χρησιμοποιηθεί το

σχήμα ως εξήςb

%ια την iy|> ‚ 4"| είναι iŽy|> ‚ "4"| και iŽŽy|> ‚ "=4"| ‰ 0 για κ#θε x ∈ ℝ .

~τσι η i είναι κυρτή στο ℝ οπότε η εφαπτομ!νη της γραφικής παρ#στασης της i σε κ#θε

σημείο της )ρίσκεται κ#τω από τη γραφική παρ#σταση με εξαίρεση το σημείο επαφής.

y9χό"ιο σε"ίδα =IE σχο"ικού )ι)"ίου>.

~τσι iy|> › "4| ⇔ iy|> F "4| › 0 για κ#θε x ∈ ℝ . Η συν#ρτηση dy|> ‚ iy|> F "4| είναι συνεχής

ως διαφορ# συνεχ7ν συναρτήσεων στο1

0,λ

οπότε το $ητούμενο εμ)αδόν ισούται μεb

( ) ( )( ) ( )

11 1 2 λ

λ x λ xλ λ

0 00

1 λ ex e 2Ε λ f x λ ex dx e λ ex dx e ...

λ 2 2λ

−= − = − = − = =

∫ ∫ .

.) (ΕN$9α#$3J /!!-)"$D8B<4$ 9 #56789# f(x) = / … (x q /)/ 4$ x † /1

α1 Να αFBM$AN$9$ L93 f $A6α3 21

@1 Να αFBM$AN$9$ L93 5F78;$3 α69A#98Bd #56789# f2

9J f >α3 6α @8$A9$ 9B69<FB 9J1

1 G1 Να @8$A9$ 9α >B367 #4$Aα 9D6 8αd3>I6 Fα8α#97#$D6 9D6 #56α89K#$D6 f >α3

f2 4$ 96 $5?$Aα l = x1

GG1 Να 5FB%BA#$9$ 9B $4@αML 9B5 ;D8AB5 FB5 F$83>%$A$9α3 αFL 93J 8αd3>HJ

Fα8α#97#$3J 9D6 #56α89K#$D6 f >α3 f21

Λ5#

α1 iy|> ‚ = P y| F =>= | › =.

Η i είναι παραγωγίσιμη στο „=Pš> με iŽy|> ‚ =y| F => ‰ 0 για κ#θε ( )x 2,∈ +∞ .

}ρα i γνησίως αύξουσα στο „=Pš> και επομ!νως είναι και 1 F 1.

@1 'φού η i είναι 1 F 1 υπ#ρχει η iF1 αντίστροφη συν#ρτηση της i με iF1b iyc> → ℝ .

'φού η i είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής στο ' ‚ „=Pš> !πεται ότι iyc> ‚ „iy=>

( )xlim f x→+∞ > ‚ „=Pš>.

Τ7ρα αν h ‚ iy|> ⇔ h ‚ = P y| F =>= ⇔ h F = ‚ y| F =>=.

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =EJ

Aπειδή | F = › 0 h F = › 0 !χουµε | F = ‚ y 2− " )x 2,∈ +∞ " )y 2,∈ +∞

ή | ‚ = P y 2− " )x 2,∈ +∞ " )y 2,∈ +∞

ή iF1yh> ‚ = P y 2− " )y 2,∈ +∞

Τε"ικ# iF1y|> ‚ = P x 2− " )x 2,∈ +∞ .

1G1 ~χουμεb

y f(x)

y x

= 7⇔ 8

= 9

( ) ( ) ( )2 2 2

x 2 x 3y 2 x 2 2 x 2 x x 2 x 2ή

y 2 y 3y x y x y x

7 7 7 = = 7 = + − + − = − = − ⇔ ⇔ ⇔ 8 8 8 8 = == = = 9 9 9 9

( ) ( )21y f x x 2 x 1y 2 x 2 2 x 2 x x 2 x 2

y x y x y xy x y x

− 7 7 7 7 7= − = −= + − + − = − = − ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 8 8 8 8 8

= = == = 9 9 9 9 9

x 2 x 3ή

y 2 y 3

= = 7 ⇔ 8 = = 9

.

Τα κοιν# σημεία των γραφικ7ν παραστ#σεων i και iF1 με την h ‚ | είναι τα 'y==> ByDD>.

1GG1 :ι συναρτήσεις i και iF1 είναι συνεχείς #ρα και η διαφορ# τους είναι συνεχής.

iy|> F iF1y|> ‚ „= P y| F =>=… F „= P x 2− … ‚ y| F =>= F x 2− ‚ x 2− œ y3

x 2− F 1>.

6ροκύπτει iy|> F iF1y|> ‚ 0 ⇔ x 2− ‚ 0 ή y x 2− >D ‚ 1 ⇔ | ‚ = ή | ‚ D.

*η"αδή τα κοιν# τους σημεία είναι τα 'y==> ByDD>.

Aπειδή = | D ⇔ 0 | F = 1 ⇔ x 2− 1 ⇔ 3

x 2− 1 ⇔ y x 2− >D F 1 0.

Aπίσης είναι x 2− › 0 για " #x 2,3∈ .

}ρα iy|> F iF1y|> 0 για " #x 2,3∈ .

:πότε το εμ)αδόν του $ητούμενου χωρίου είναιb

( ) ( )( ) ( )( )3 3 21

2 2

1E f x f x dx x 2 x 2 dx τ.µ.

3

−= − = − − − =∫ ∫

!) (ΕN$9α#$3J /!!-)A6$9α3 #56789#x 1

f(x) ln xx 1

+= −

−1

α1 Να @8$A9$ 9B F$MAB B83#4B< >α3 9B #<6B%B 934I6 9J #56789#J f1

@1 ƒα αFBM$AN$9$ L93 $NA#D# f(x)=! H;$3 α>83@IJ / 8A[$J #9B F$MAB B83#4B< 9J1

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =EL

1 Α6 $dαF9B4H6 9J 8αd3>KJ Fα87#9α#J 9J #56789#J g(x)=PZx Š#9B

#4$AB ^ (α0 PZα) 4$ α! >α3 $dαF9B4H6 9J 8αd3>KJ Fα87#9α#J 9J

#56789#J j(x)=Qx #9B #4$AB Y (@0 Q@) 4$ β ∈ ℝ 0 9α59A[B69α30 9L9$ 6α M$AN$9$ L93 B

α83?4LJ α $A6α3 8A[α 9J $NA#D#J f(x)=!1

M1 Να α393B%BK#$9$ L93 B3 8αd3>HJ Fα8α#97#$3J 9D6 #56α89K#$D6 g >α3 j H;B56

α>83@IJ MB36HJ $dαF9L4$6$J1

Cύση

α1 6ρ!πει | ‰ 0 και | ž 1. }ρα 'i ‚ y01> ∪ y1Pš>.

Η i είναι παραγωγίσιμη στο 'i ως διαφορ# παραγωγίσιμων συναρτήσεων με

( )( )

22 1f x 0

xx 1 N = − + <

− για κ#θε

f x A∈ .

}ρα η i είναι γνησίως φθίνουσα σε κ#θε !να από τα διαστήματα y01> και y1P š>.

Aπειδή τ7ρα ( )x 0lim f x

+→= +∞ ( )

x 1lim f x

−→= −∞ και η i συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο

y01> είναι iyy01>> ‚ ℝ .

Aπίσης επειδή ( )x 1lim f x

+→= +∞ ( )

xlim f x→+∞

= −∞ και η i συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο

y1P š> είναι iyy1P š>> ‚ ℝ .

~τσι συνο"ικ# το σύνο"ο τιμ7ν της i είναι iyy01> ∪ y1P š>> ‚ ℝ .

@1 Aπειδή iyy01>> ‚ ℝ !πεται ( )( )O f 0,1∈ δη"αδή υπ#ρχει ( )1x 0,1∈ 7στε iy|1> ‚ 0. Η ρί$α

αυτή είναι μοναδική στο y0 1> αφού η i είναι γνησίως φθίνουσα και #ρα 1 F 1.

:μοίως επειδή iyy1P š>> ‚ ℝ !πεται ( )( )O f 1,∈ +∞ δη"αδή υπ#ρχει ( )2x 1,∈ +∞ 7στε iy|=>

‚ 0.

Η ρί$α αυτή είναι επίσης μοναδική στο y1P š> αφού η i είναι γνησίως φθίνουσα και #ρα 1

F 1.

~τσι η i !χει ακρι)7ς = ρί$ες.

1 Η εξίσωση της εφαπτομ!νης της γραφικής παρ#στασης της dy|> ‚ 3| στο σημείο 'yα

3α> α ‰ 0 είναιb

1

1y x 1 lnα (ε )

α= − +




ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =G0

Η εξίσωση της εφαπτομ!νης της γραφικής παρ#στασης της iy|> ‚ 4| στο σημείο By) 4)>

β ∈ ℝ είναιb

h ‚ 4)| P 4) F )4) yε=>.

:ι yε1> yε=> ταυτί$ονται αν και μόνο αν ( )β1

e β lnα 1α = ⇔ = − και ( )β β

lnα 1 e β e 2− = − ⋅ .

Τότε η y=> γρ#φεταιb

( ) ( )1 1

lnα 1 lnα αlnα α 1 lnα α 1 lnα 1 αα α

− = + ⇔ − = + ⇔ − − = − ⇔

( )α 1 α 1

lnα lnα 0 f α 0α 1 α 1

+ += ⇔ − = ⇔ =

− −

M1 'πό το Eγ προκύπτει ότι οι γραφικ!ς παραστ#σεις των dy|> `y|> !χουν κοινή

εφαπτομ!νη στα σημεία τους 'yα 3α> και By) 4)> αντίστοιχα αν και μόνον ανb

( )

β lnα

f α 0

= −

=

Aπειδή η iy|> ‚ 0 !χει δύο διακεκριμ!νες ρί$ες ( )1α 0,1∈ και ( )2α 1,∈ +∞ προκύπτουν δύο

εφαπτόμενες οι

yε1> b 1

1

1y x 1 lnαα= − +

yε=> b2

2

1y x 1 lnα

α= − +

:ι εφαπτόμενες αυτ!ς είναι ακρι)7ς δύο yδιακεκριμ!νες> αφού !χουν δύο διακεκριμ!νους

συντε"εστ!ς διεύθυνσης1 2

1 1,

α α αντίστοιχα.

( ) ( )1 2

1 11, , 0,1α α

∈ +∞ ∈

.

) (ΕN$9α#$3J /!!+)A6$9α3 #56789#: f(x) = x* q *x q /4/?0 LFB5 θ ∈ ℝ 43α #9α?$87

4$π

θ κπ , κ 2

, + ∈ ℤ 1

α1 Να αFBM$3;?$A L93 f Fα8B5#37[$3 H6α 9BF3>L 4H3#9B0 H6α 9BF3>L $%7;3#9B >α3

H6α #4$AB >α4FKJ1

@1 Να αFBM$3;?$A L93 $NA#D# f(x) = ! H;$3 α>83@IJ 98$3J F8α4α93>HJ 8A[$J1




ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =G1

1 Α6 x0 x/ $A6α3 B3 ?H#$3J 9D6 9BF3>I6 α>8B979D6 >α3 x* ?H# 9B5 #4$AB5 >α4FKJ

9J f0 6α αFBM$3;?$A L93 9α #4$Aα Α(x0 f(x))0 Y(x/0 f(x/)) >α3 Γ(x*0 f(x*)) @8A#>B69α3 #96

$5?$Aα l = q/x q /4/?1

M1 Να 5FB%B3#?$A 9B $4@αML6 9B5 ;D8AB5 FB5 F$83>%$A$9α3 αFL 9 8αd3>K

Fα87#9α# 9J #56789#J f >α3 96 $5?$Aα l = q/x q /4/?1

Cυση

α1 ‡ i είναι παραγωγίσιµη στο ℝ ως πο"υωνυµική µε

iŽy|> ‚ D|= F D ‚ Dy| F 1>y| P 1>.

:πότε iŽy|> ‚ 0 ⇔ | ‚ 1 ή | ‚ F1.

'πό τον πίνακα μετα)ο"7ν της i προκύπτει ότι η i !χει τοπικό μ!γιστο στο |1 ‚ F1 το iyF1>

‚ =συν=θ ‰ 0 και !χει τοπικό ε"#χιστο στο |= ‚ 1 το iy1> ‚ F=y1 P ημ=θ>.

Aπίσης είναιb iŽŽy|> ‚ H|.

:πότε iŽŽy|> ‚ 0 ⇔ H| ‚ 0 ⇔ | ‚ 0.

6ροκύπτει ότι η i !χει σηµείο καµπής στο |D ‚ 0 το iy|D> ‚ F=ηµ=θ.

@1 G1 Aπειδή ( )xlim f x→−∞

= −∞ iyF1> ‚ =συν=θ ‰ 0 και η i είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής

στο yFšF1… προκύπτειb iyyFšF1…> ‚ yFš =συν=θ….

Aπειδή 0∈ iyyFšF1…> υπ#ρχει ρ1∈yFšF1> 7στε iyρ1> ‚ 0. Η ρί$α ρ1 είναι και µοναδική στο yF

šF1… αφού η i είναι γνησίως αύξουσα στο δι#στηµα αυτό.

GG1 Aπειδή iyF1> ‚ =συν=θ ‰ 0 iy1> ‚ F=y1 P ηµ=θ> ‘ 0 και i γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο

„F11… προκύπτειb iy„F11…> ‚ „F=y1 P ηµ=θ> =συν=θ….

Aπειδή 0 ∈ iy„F11…> υπ#ρχει ρ=∈yF11> 7στε iyρ=> ‚ 0. Η ρί$α ρ= είναι και µοναδική στο „F11…

αφού η i είναι γνησίως φθίνουσα στο δι#στηµα αυτό.

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =G=

GGG1 Aπειδή iy1> ‚ F=y1 P ηµ=θ> ‘ 0 ( )xlim f x→+∞

= +∞ και η i είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής

στο „1Pš> προκύπτειb iy„1Pš>> ‚ yF=y1 P ηµ=θ> Pš>.

Aπειδή 0 ∈ iy„1Pš>> υπ#ρχει ρD∈y1Pš> 7στε iyρD> ‚ 0. Η ρί$α ρD είναι και αυτή µοναδική στο

„1Pš> αφού η i είναι γνησίως αύξουσα.}ρα η εξίσωση iy|> ‚ 0 !χει ακρι)7ς D ρί$ες στο ℝ .

1 ~χουµε

'yF1 =συν=θ>> By1 F=y1 P ηµ=θ>> %y0 F=ηµ=θ>

' ∈ yε> αφούb =συν=θ ‚ F=yF1> F =ηµ=θ ⇔ =y1 F ηµ=θ> ‚ = F =ηµ=θ ⇔ = F =ηµ=θ ‚ = F =ηµ=θ.

B ∈ yε> αφούb F=y1 P ηµ=θ> ‚ yF=> œ 1 F =ηµ=θ ή F= F =ηµ=θ ‚ F= F =ηµ=θ.

% ∈ yε> αφούb F=ηµ=θ ‚ = œ 0 F =ηµ=θ ή F=ηµ=θ ‚ F=ηµ=θ.

M1 Bρίσκουµε τα κοιν# σηµεία των ]i εb

i y|> ‚ h ⇔ |D F D| F =ηµ=θ ‚ F=| F =ηµ=θ ⇔ |D F | ‚ 0 ⇔ |y|= F 1> ‚ 0 ⇔

|y| F 1>y| P 1> ‚ 0 ⇔ | ‚ 0 ή | ‚ 1 ή | ‚ F1.

Aπομ!νως το $ητούμενο εμ)αδόν A του χωρίου είναιb

( )

( )

( ) ( )

*1 1 0 1

3 3 3

1 1 1 0

1

E f x ydx x x dx x x dx x x dx τ.µ.2− − −= − = − = − − − =∫ ∫ ∫ ∫

yˆ> |D F | ‚ |y| F 1>y| P 1>.

|D F | ‰ 0 για ( )x 1,0∈ − .

|D F | ‘ 0 για ( )x 0,1∈ .

/)(ΕN$9α#$3J /!!V)A6$9α3 #56789#xlnx, x 0

f(x)=0 , x 0

>

=1

α1 Να αFBM$AN$9$ L93 #56789# f $A6α3 #56$;KJ #9B !1

@1 Να 4$%$9K#$9$ DJ F8BJ 9 4B6B9B6Aα 9 #56789# f >α3 6α @8$A9$ 9B #<6B%B

934I6 9J1

1 Να @8$A9$ 9B F%K?BJ 9D6 M3αdB8$93>I6 ?$93>I6 83[I6 9J $NA#D#Jα

xx e= 3α

L%$J 93J F8α4α93>HJ 934HJ 9B5 α1

M1 Να αFBM$AN$9$ L93 3#;<$3 f r(x…) t f (x…) q f (x) 0 3α >7?$ x t !1

Cυση




ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =GD

α1 ( ) ( ) ( )

( )DelHospitalx 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0

2

1ln xln x xlim f x lim x ln x lim lim lim lim x 0

1 11

x xx

+ + + + + +

−∞+∞

→ → → → → →

N= ⋅ = = = = − =

N −

.

Aπίσης iy0> ‚ 0. 9υνεπ7ς i συνεχής στο 0.

@1 Η i είναι συνεχής στο y0 Pš> ως γινόµενο συνεχ7ν και συνεχής στο 0 "όγω του α.

}ρα η i είναι συνεχής στο „0 Pš>.

%ια | ‰ 0b iŽy|> ‚ y|3|>Ž ‚ y|>Ž3| P |œy3|>Ž ‚ 3| P | 1

x‚ 3| P 1.

iŽy|> ‚ 0 ⇔ 3| P 1 ‚ 0 ⇔ 3| ‚ F1 ⇔ | ‚1

e.

~χουμε τον παρακ#τω πίνακα μετα)ο"7νb

-

9το 10,e

η i είναι γνησίως φθίνουσα #ραb ( ) ( )1x

e

1 1f 0, lim f x , f 0 ,0e e→

= = −

.

-

9το1

,e

+∞ η i είναι γνησίως αύξουσα #ραb

( )x

1 1 1f , f , lim f x ,

e e e→+∞

+∞ = = − +∞ .

Aπομ!νωςb " )( ) 1 1 1f 0, ,0 , ,e e e

+∞ = − ∪ − +∞ = − +∞ .

1 Aπειδήα

xe 0> για κ#θε | ž 0 για τη εξίσωσηα

xx e= προκύπτει ο περιορισμός |∈y0Pš>.

?ε τον περιορισμό αυτό η εξίσωσηα

xx e= γρ#φεται ισοδύναμαb

3| ‚ 3α

xe ⇔ 3| ‚α

x⇔ |3| ‚ α ⇔ iy|> ‚ α | ‰ 0 y1>.

Aπειδή το σύνο"ο των τιμ7ν της i )ρ!θηκε 1 ,e

− +∞ προκύπτουν οι περιπτ7σειςb




ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =GE

G) 'ν1

α ,e

∈ −∞ −

η y1> είναι αδύνατη.

GG) 'ν1

αe

= − η τιµή1

e− είναι η ε"#χιστη τιµή της i την οποία παίρνει µόνον για

1x

e= .

~τσι η y1> !χει την ρί$α 1xe

= .

GGG) 'ν1

α ,0e

∈ −

επειδή1 1

,0 f 0,e e

− =

και η i είναι γνησίως φθίνουσα στο1

0,e

προκύπτει ότι η y1> !χει ακρι)7ς µία ρί$α στο1

0,e

που είναι θετική.

Aπίσης επειδή1 1

, f ,e e

− +∞ = +∞

και η i είναι γνησίως αύξουσα στο1

,e

+∞

προκύπτει ότι η y1> !χει ακρι)7ς #""η µία ρί$α στο1

,e

+∞ που είναι επίσης θετική.

GX) 'ν α ‚ 0 η y1> γίνεται |3| ‚ 0 ⇔ | ‚ 0 yαπορρίπτεται> ή 3| ‚ 0 ⇔ | ‚ 1. y?ία ρί$α θετική>.

X) 'ν α∈y0Pš> επειδή y0Pš> 1 1

, f ,e e

− +∞ = +∞ και η i γνησίως αύξουσα στο

1,

e

+∞

προκύπτει ότι η y1> !χει ακρι)7ς µία ρί$α στο1

,

e

+∞

που είναι θετική.

M1 Aίναι iŽŽy|> ‚1

x‰ 0 για κ#θε | ‰ 0.

}ρα iŽ γνησίως αύξουσα στο y0 Pš>.

Η i ικανοποιεί τις προ’ποθ!σεις του @.?.Τ. στο „| | P 1… για κ#θε | ‰ 0.

}ρα υπ#ρχει ξ∈y| | P 1>b( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )f x 1 f x

f ξ f x 1 f x f ξx 1 x

+ −N N= ⇔ + − =

+ − y=>.

tµως ξ ‘ | P 1f γν.αύξουσαN

% iŽyξ> ‘ iŽy| P 1>( )2

% iy| P 1> F iy|> ‘ iŽy| P 1>.

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =GG

*) (ΕN$9α#$3J /!!.)'A6$9α3 #56789#:

f (x) = αx q PZ(x … )0 x 2 0 LFB5 α ! >α3 α ‹ 1

^1 Α6 3#;<$3 f (x) † 3α >7?$ x 2 6α αFBM$AN$9$ L93 α = Q1

Β1 Γ3α α = Q0

α1 6α αFBM$AN$9$ L93 #56789# f $A6α3 >589K1

@1 6α αFBM$AN$9$ L93 #56789# f $A6α3 6#ADJ d?A6B5#α #9B M37#94α (20 !ˆ

>α3 6#ADJ α<NB5#α #9B M37#94α ‡!0 …Œ)1

1 α6 @0 ∈ (20 !) ∪ (!0 …Œ)0 6α αFBM$AN$9$ L93 $NA#D#:

f(β) 1 f(γ) 10

x 1 x 2

− −+ =

− −

H;$3 9B5%7;3#9B6 43α 8A[α #9B (0 /)1

Λ5#

Α1 Tσχύει ότι iy|> › 1 για κ#θε | ‰ F1. *η"αδή α| F 3y| P 1> › 1 για κ#θε | ‰ F1.

tµως iy0> ‚ 1 οπότε iy|> › iy0> για κ#θε | ‰ F1.

Aποµ!νως η i παρουσι#$ει στη θ!ση | ‚ 0 yο"ικό #ρα και τοπικό> ε"#χιστο το iy0> ‚ 1.

'κόµη η i είναι παραγωγίσιµη στο δι#στηµα yF1Pš> ως διαφορ# παραγωγίσιµων

συναρτήσεων.

}ρα σύµφωνα µε το θε7ρηµα w4[/g είναι iŽy0> ‚ 0.

tµως ( ) x 1f x α lnα

x 1N = −

+ οπότε iŽy0> ‚ 0⇔ 3α ‚ 1 ⇔ α ‚ 4.

Β1 α1 %ια α ‚ 4 είναι iy|> ‚ 4| F 3y| P 1>.

Η i είναι δύο φορ!ς παραγωγίσιµη στο δι#στηµα yF1 Pš> µε ( ) x 1f x e

x 1N = −

+ και

( )

( )

x x

2

1 1f x e e 0

x 1 x 1

N NN = − = + > + + για κ#θε ( )x 1,∈ − +∞ .

}ρα η i είναι κυρτή.

@1 'φού η i είναι κυρτή στο yF1 š> προκύπτει ότι η i Ž είναι γνησίως αύξουσα στο yF1 š> µε

προφανή ρί$α | ‚ 0 που είναι και µοναδική αφού η i Ž είναι γνησίως αύξουσα.

~τσι αν F1 ‘ | ‘ 0 % iŽy|> ‘ iŽy0> ‚ 0 εν7 αν | ‰ 0 % iŽy|> ‰ iŽy0> ‚ 0.

*η"αδή η i είναι γνησίως φθίνουσα στο δι#στηµα yF1 0… και γνησίως αύξουσα στο

δι#στηµα „0 Pš>.

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =GI

@!τονταςκ λ

0x 1 x 2

+ =− −

( )x 1, 2∈ προκύπτει( ) ( )( ) ( )

κ x 2 λ x 10

x 1 x 2

− + −= ⇔

− −

( ) ( ) ( ) 2κ λ

κ x 2 λ x 1 0 κ λ x 2κ λ xκ λ

+− + − = ⇔ + = + ⇔ =

+.

Η τιµή αυτή είναι αποδεκτή ως ρί$α της εξίσωσης αφού

κ λ 2κ λ 2κ 2λ 1 2

κ λ κ λ κ λ

+ + += < < =

+ + + yκαι είναι µ#"ιστα µοναδική ρί$α>.

&) (ΕN$9α#$3J /!!.)'A6$9α3 #56789# f(x) = /x … PZ(x/ … )0 x ∈ ℝ 1

Γ1 Να 4$%$9K#$9$ DJ F8BJ 9 4B6B9B6Aα 9 #56789# f1

Γ/1 Να %<#$9$ 96 $NA#D#:

( )

( )2

2

4

3x 2 1

2 x 3x 2 ln x 1

− +

− + = +

Γ*1 Να αFBM$AN$9$ L93 f H;$3 Mα4FKJ >α3 L93 B3 $dαF9L4$6$J 9J

8αd3>KJ Fα87#9α#J 9J f #9α #4$Aα >α4FKJ 9J 9H46B69α3 #$ #4$AB 9B5 7NB6α

\r\1

Γ&1 Να 5FB%BA#$9$ 9B B%B>%K8D4α

( )1

1I xf x dx

−= ∫

Cύση

Γ1 Η i είναι συνεχής και παραγωγίσιµη στο ℝ ως αποτ!"εσµα πρ#ξεων συνεχ7ν και

παραγωγίσιµων συναρτήσεων µε παρ#γωγοb

( ) ( ) ( )22

2

2 2 2 2

2 x x 11 2x 2x 2x 2f x 2 x 1 2

x 1 x 1 x 1 x 1

+ ++ +NN = + + = + = =+ + + +

.

Aπειδή |= P | P 1 ‰ 0 καθ7ς και |= P 1 ‰ 0 για κ#θε x ∈ ℝ είναι iŽy|> ‰ 0 για κ#θε x ∈ ℝ . }ρα

η i είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ .

Γ/1 Η δοσμ!νη εξίσωση γρ#φεται ισοδύναμαb

=y|= F D| P => ‚ 3„yD| F =>= P 1… F 3y|E P 1> ⇔ =|= F =yD| F => ‚ 3„yD| F =>= P 1… F 3y|E P 1> ⇔

⇔ =|= P 3y|E P 1> ‚ 3„yD| F =>= P 1… P =yD| F => ⇔ =|= P 3y|E P 1> ‚ =yD| F => P 3„yD| F =>= P 1… ⇔

⇔ iy|=> ‚ iyD| F => y1>

Aπειδή η i είναι γνησίως αύξουσα θα είναι και 1 F 1.

Aπομ!νως από την y1> προκύπτειb |=

‚ D| F = ⇔ |=

F D| P = ‚ 0. }ρα | ‚ 1 ή | ‚ =.

Γ*1




ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =GJ

Aίναιb ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

2 2 22 2

2 2 22 2 2 2 2

x x 1 x x 1 2 1 x2x x x 1 2xf x 2 2 2 2

x 1 x 1 x 1 x 1 x 1

NN N N + − + −+ − NN = + = = = = + + + + +.

Aίναι iŽŽy|> ‚ 0 ⇔ | ‚ F1 ή | ‚ 1 εν7 είναι iŽŽy|> ‰ 0 ⇔ ( )x 1,1∈ − και iŽŽy|> ‘

0 ⇔ ( ) ( )x , 1 1,∈ −∞ − ∪ +∞ .

~τσι η ]i !χει σηµεία καµπής στα σηµεία µε τετµηµ!νες |1 ‚ F1 |= ‚ 1.

-

Η εφαπτόµενη της ]i στο |1 ‚ F1 !χει εξίσωση yε1>b

h F iyF1> ‚ iŽyF1>y| P 1> ⇔ h F yF= P 3=> ‚ 1y| P 1> ⇔ h ‚ | P 3= F 1

%ια | ‚ 0 προκύπτει h ‚ 3= F 1.

-

Η εφαπτόµενη της ]i στο |= ‚ 1 !χει εξίσωση yε=>bh F iy1> ‚ iŽy1>y| F 1> ⇔ h F y= P 3=> ‚ Dy| F 1> ⇔ h ‚ D| F 1 P 3=

%ια | ‚ 0 προκύπτει h ‚ 3= F 1.

:ι yε1> και yε=> τ!µνονται στο σηµείο ?y0 3= F 1> του #ξονα hŽh.

Γ&1 ( ) ( )( ) ( ) ( )1 1 1 1

2 2 2 2 2

1 1 1 1

1xf x dx 2x x ln x 1 dx 2 x dx x 1 ln x 1 dx=

2− − − −

N= + + = + + +∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( )11 1

2 2 2 2 2

1 11

1 12 x dx x 1 ln x 1 x 1 ln x 1 dx

2 2− −−

N = + + + − + + = ∫ ∫

( ) ( ) ( )( )

11 12 2 2 2

2-1 11

1 1 2x2 x dx x 1 ln x 1 x 1 dx

2 2 x 1−− = + + + − + = +∫ ∫

( )1

31

2

11

x 1 1 2 1 42 0 x 2 1 1

3 2 2 3 2 3−−

= + ⋅ − = − − =

.

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =GL

)(ΕN$9α#$3J /!)'A6$9α3 #56789# f : →ℝ ℝ 0 Mα6BFB3$A 9 #;H#:

Qx (f r(x) … f rr(x) q ) = f r(x) … xf rr(x) 3α >7?$ x ∈ ℝ 1

Γ1 Να αFBM$AN$9$ L93: f(x) = PZ(Qx q x)0 x ∈ ℝ 1

Γ/1 Να 4$%$9K#$9$ 9 #56789# f DJ F8BJ 9 4B6B9B6Aα >α3 9α α>8L9α9α1

Γ*1 Να αFBM$AN$9$ L93 8αd3>K Fα87#9α# 9J f H;$3 α>83@IJ Mα4FKJ1

Γ&1 Να αFBM$AN$9$ L93 $NA#D# PZ(Qx q x) = #56x H;$3 α>83@IJ 4Aα %<# #9B M37#94α

π0,

2

1

Cυση

Γ1 Η δοσµ!νη σχ!ση γρ#φεταιb

y4|>Žœ iŽy|> P 4| œ iŽŽy|> F y4|>Ž ‚ y|œiŽy|>>Ž ⇔ y4| œ iŽy|> F 4|>Ž ‚ y|œiŽy|>>Ž ⇔ 4| œ iŽy|> F 4| ‚ |œiŽy|> P ^1

1c ∈ ℝ .

%ια | ‚ 0 προκύπτειb 40 œ iŽy0> F 40 ‚ 0œiŽy0> P ^1

και "όγω των δεδοµ!νων αρχικ7ν συνθηκ7ν είναι ^1 ‚ Ÿ1.

Η τε"ευταία σχ!ση !τσι γρ#φεταιb

4| œ iŽy|> F 4| ‚ |œiŽy|> F 1 ⇔ iŽy|>y4| F |> ‚ 4| F 1( )*

⇔ iŽy|> ‚x

x

e 1

e x

−

−

⇔

⇔ iŽy|> ‚ „3y4| F |>…Ž ⇔ iy|> ‚ 3y4| F |> P ^=.

%ια | ‚ 0 προκύπτει ^= ‚ 0.

~τσι iy|> ‚ 3y4| F |>.

yˆ> 'ν θ!σουµε `y|> ‚ 4| F | x ∈ ℝ είναιb `Žy|> ‚ 4| F 1 x ∈ ℝ .

`Žy|> ‚ 0 ⇔ 4| ‚ 1 ⇔ 4| ‚ 40

xe 1 1−

⇔ | ‚ 0.

`Žy|> ‰ 0 ⇔ 4| ‰ 1 ⇔ 4| ‰ 40

xe `

⇔ | ‰ 0.

`Žy|> ‘ 0 ⇔ 4| ‘ 1 ⇔ 4| ‘ 40

xe `

⇔ | ‘ 0.

~τσι η ` !χει ο"ικό ε"#χιστο στη θ!ση | ‚ 0 την τιµή `y0>‚ 40 Ÿ 0‚1.

*η"αδή `y|> ›1 ‰ 0 για κ#θε x ∈ ℝ .




ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =H0

Γ/1 Aίναι iŽy|> ‚ „3y4| F |>…Ž ‚x

x

e 1

e x

−−

.

Cόγω της παρατήρησης yˆ> του ερωτήµατος %1 οι ρί$ες και το πρόσηµο συνεπ7ς ο

πίνακας µετα)ο"7ν της i εξαρτ#ται µόνον από τις ρί$ες και το πρόσηµο του αριθµητού

`Žy|> ‚ 4| F 1.

9υνεπ7ςb iŽy|> ‚ 0 ⇔ | ‚ 0.

iŽy|> ‰ 0 ⇔ | ‰ 0.

iŽy|> ‘ 0 ⇔ | ‘ 0.

}ρα η i είναιb γνησίως φθίνουσα στο yŸš 0… γνησίως αύξουσα στο „0 P š> και παρουσι#$ει

ο"ικό ε"#χιστο στη θ!ση | ‚ 0 την τιµή i y0>‚ 3y40 Ÿ 0> ‚ 31 ‚ 0.

Γ*1 Aίναιb ( ) ( ) ( ) ( )( )( )

x x x xx

2xx

e 1 e x e 1 e xe 1f xe x e x

N NN − − − − − −NN = = = − −

( ) ( )( )

( )

( ) ( )

( )

2x x x x x x x

2 2x x

e e x e 1 e 1 e e x e 1

e x e x

− − − − − − −= = =

− −

( )

( )

( )

( )

2x x 2x x x

2 2x x

e xe e 2e 1 2 x e 1

e x e x

− − − + − −=

− −

@!τουµε φy|> ‚ y= F |>4| F 1 x ∈ ℝ .

Aίναιb φŽy|> ‚ F4| P y= F |> œ 4| ‚ 4| y1 F |>

φŽy|> ‚ 0 ⇔ | ‚ 1

φŽy|> ‰ 0 ⇔ | ‘ 1

φŽy|> ‘ 0 ⇔ | ‰ 1

6ροκύπτει ότι η φ είναι γνησίως αύξουσα στο yFš 1… γνησίως φθίνουσα στο „1 Pš> και

!χει ο"ικό μ!γιστο φ y1> ‚ 4 F 1 ‰ 0. Bρίσκουμε τ7ρα τα όρια της φ στα Fš Pšb

( ) ( ) x

x xlim φ x lim 2 x e 1→+∞ →+∞

= − ⋅ − = −∞

( ) ( )

( )

x

x x xx x x x xx

2 x2 x 1 1lim 2 x e lim lim lim lim 0

e e ee

+∞−∞

− − −→−∞ →−∞ →−∞ →−∞ →−∞−

N−− − −− ⋅ = = = = =

−N

~τσι ( )xlim φ x 1→−∞

= − .

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =H1

Cόγω της συν!χειας και της µονοτονίας της φ είναι

( #( ) ( ) ( )( ( #x

φ ,1 lim φ x , φ 1 1,e 1→−∞

−∞ = = − −

.

" )( ) ( ) ( )( ( #x

φ 1, lim φ x ,φ 1 , e 1→+∞

+∞ = = −∞ −

6αρατηρούµε ότιb

- 0∈φyyŸš 1…> #ρα υπ#ρχει |1∈yŸš1… 7στε φy|1> ‚ 0. Aν τω μεταξύ η φ είναι γνησίως

αύξουσα #ρα εκατ!ρωθεν του |1 α""#$ει πρόσημο. *ιότι με | ‘ |1 είναι φy|> ‘ φy|1>

⇔ φy|1> ‘ 0. Aν7 με 1 ‰ | ‰ |1 είναι φy|> ‰ φy|1> ⇔ φy|> ‰ 0. ~τσι ισοδύναμα yεπειδή

y4| F |>= ‰ 0 για κ#θε x ∈ ℝ > η iŽŽ !χει µία µόνο ρί$α στο yŸš1… εκατ!ρωθεν της

οποίας α""#$ει πρόσηµο.

tµοια τ7ρα 0∈φy„1P š…> #ρα υπ#ρχει |=∈„1P š> 7στε φy|=> ‚ 0. Aν τω μεταξύ η φ είναι

γνησίως φθίνουσα #ρα εκατ!ρωθεν του |= α""#$ει πρόσημο. *ιότι με 1 ‘ | ‘ |= είναι φy|> ‰

φy|=> ⇔ φy|> ‰ 0 Aν7 με | ‰ |= είναι φy|> ‘ φy|=> ⇔ φy|> ‘ 0. ~τσι η iŽŽ !χει επίσης μία μόνο

ρί$α |= στο „1P š> εκατ!ρωθεν της οποίας α""#$ει πρόσηµο. }ρα τε"ικ# η i !χει ακρι)7ς

δύο σηµεία καµπής στις θ!σεις |1 |=.

Γ&1 @!τουµε dy|> ‚ 3y4| F |> F συν| ‚ iy|> F συν| x ∈ ℝ .

- παρξηb Η d είναι συνεχής ως διαφορ# συνεχ7ν στο ℝ #ρα και στοπ

0,2

.

Aίναι dy0>‚ iy0> Ÿ συνy0> ‚ Ÿ1‘ 0.

π π π πg f συν f

2 2 2 2

= − =

.

tμως i ` στο „0Pš> #ρα είναι ( )π π π

0 f f 0 f 02 2 2

> % > % >

.

~τσι ( ) π

g 0 g 0

2

⋅ <

οπότε "όγω του θεωρήματος r2‹/32 η d !χει μία ρί$α στο δι#στημα

π0,

2

.

-

?οναδικότηταb

@α δείξουμε ότι η d είναι γνησίως αύξουσα στοπ

0,2

οπότε η ρί$α θα είναι

μοναδική.

~στω |1 |=∈ π0,

2

με |1 ‘ |= τότε iy|1> ‘ iy|=> διότι i ` στο „0Pš>

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =H=

συν|1 ‰ συν|= διότι συν| a στοπ

0,2

.

}ρα Fσυν|1 ‘ Fσυν|=.

~τσι όµως iy|=> Fσυν|1 ‘ iy|=> Fσυν|= #ρα dy|1> ‘ dy|=>.

}ρα d γνησίως αύξουσα στοπ

0,2

.

k;?;@(?676 2D @?Q2D KH; @6 322@29;Fb

Η µονοτονία της d στο „0 π ” =… μπορεί να προκύ&ει και ως εξήςb dŽy|> ‚ iŽy|> P ημ|.

tμως iŽy|> ‰ 0 για κ#θε |∈y0 Pš> #ρα και για κ#θε |∈y0 π ” => εν7 επίσης ημ| ‰ 0 για

κ#θε |∈y0 π ” =>.

}ρα dŽy|> ‰ 0 για κ#θε |∈y0 π ” => και επομ!νως d γνησίως αύξουσα στο „0 π ” =….

-) (ΕN$9α#$3J /!/)'A6$9α3 #56789# f(x) = (x q )PZx q 0 x !1

Γ1 Να αFBM$AN$9$ L93 #56789# f $A6α3 6#ADJ d?A6B5#α #9B M37#94α ( #1 0,1. =

>α3 6#ADJ α<NB5#α #9B M37#94α " )2 1,. = +∞ 1 Σ9 #56H;$3α 6α @8$A9$ 9B #<6B%B

934I6 9J f1

Γ/1 Να αFBM$AN$9$ L93 $NA#D# xx q = Q/!*0 x ! H;$3 α>83@IJ MHJ 8A[$J1

Γ*1 Α6 x0 x/ 4$ x • x/ $A6α3 B3 8A[$J 9J $NA#D#J 9B5 $8D9K4α9BJ Γ/0 6α αFBM$AN$9$ L93

5F78;$3 ( )0 1 2x x , x∈ 9H9B3B I#9$

( ) ( )0 0f x f x 2012N + =

Γ&1 Να @8$A9$ 9B $4@αML6 9B5 ;D8AB5 FB5 F$83>%$A$9α3 αFL 9 8αd3>K Fα87#9α#

9J #56789#J g(x) = f(x) … 4$ x !0 9B6 7NB6α xrx >α3 96 $5?$Aα x = Q1

Cυση

Γ1 Η i είναι συνεχής στο y0Pš> ως αποτ!"εσμα πρ#ξεων μεταξύ συνεχ7ν συναρτήσεων

και παραγωγίσιμη με ( ) ( )x 1 1

f x lnx lnx 1 , x 0,x x

−N = + = + − ∈ +∞ .

- tταν ( )x 0,1∈ είναι | ‘ 1 και επειδή η συν#ρτηση 3| είναι γνησίως αύξουσα

!χουμε 3| ‘ 31 ⇔ 3| ‘ 0. Aπίσης | F 1 ‘ 0 και | ‰ 0 #ραx 1

0x

−< .

~τσιx 1

lnx 0x

−+ < για κ#θε ( )x 0,1∈ #ρα η i είναι γνησίως φθίνουσα στο y01….




ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =HD

-

tταν ( )x 1,∈ +∞ είναι | ‰ 1 και επειδή 3| γνησίως αύξουσα είναι 3| ‰ 31 ⇔ 3| ‰

0. Aπίσης είναιx 1

0x

−> για κ#θε ( )x 1,∈ +∞ οπότε

x 1lnx 0

x

−+ > για κ#θε

( )x 1,∈ +∞ . *η"αδή iŽy|> ‰ 0 για κ#θε ( )x 1,∈ +∞ . ~τσι όµως η i είναι γνησίως

αύξουσα στο „1Pš>.

'πό τα προηγούµενα προκύπτει ο επόµενος πίνακας µετα)"ητ7ν για την ib

Aπειδή i γνησίως φθίνουσα στο y01… είναι iyy01…> ‚ ( ) ( ))x 0f 1 , lim f x

+→ −

.

tµως ( ) ( )x 0 x 0lim f x lim x 1 ln x 1

+ +→ →= − − = +∞ .

}ρα iyy01…> ‚ „F1Pš>. y1>

Aπίσης επειδή η i είναι γνησίως αύξουσα στο „1Pš> είναι iy„1Pš> ‚ ( ) ( ))x

f 1 , lim f x→+∞

.

tµως ( ) ( )x xlim f x lim x 1 ln x 1→+∞ →+∞

= − − = +∞ .

}ρα iy„1Pš>> ‚ „F1Pš>. y=>

'πό y1> y=> προκύπτει ότι το σύνο"ο τιµ7ν της i είναι το „F1Pš>.

k;?;@(?676b Η µονοτονία της i στα διαστήµατα y01… και „1Pš> µπορεί να προκύ&ει και

από το πρόσηµο της δεύτερης παραγ7γουb

( ) 2 2

1 1 1 1f x 0

x x x x

NN = − − = + >

για κ#θε | ‰ 0.

}ρα η iŽ είναι γνησίως αύξουσα στο y0Pš> και επειδή iŽy1> ‚ 0 η | ‚ 1 είναι µοναδική ρί$α

της iŽy|> ‚ 0. 'κόµη είναιb

-

0 ‘ | ‘ 1 ⇔ iŽy|> ‘ iŽy1> ⇔ iŽy|> ‘ 0 #ρα η i είναι γνησίως φθίνουσα στο y01….

-

| ‰ 1 ⇔ iŽy|> ‰ iŽy1> ⇔ iŽy|> ‰ 0 #ρα η i είναι γνησίως αύξουσα στο „1Pš>.

Η i παρουσι#$ει yο"ικό> ε"#χιστο στο | ‚ 1 το iy1> ‚ y1 F 1>31 F 1 ‚ F 1.

Γ/1 Η εξίσωση || F 1

‚ 4=01D

yεπειδή η συν#ρτηση h ‚ 3| είναι γνησίως αύξουσα και #ρα 1 F 1>

γρ#φεται ισοδύναµαb




ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =HE

3y|| F 1> ‚ 3y4=01D> ⇔ y| F 1>3| ‚ =01D ⇔ y| F 1>3| F 1 ‚ =01= ⇔ iy|> F =01= ‚ 0.

'πό το %1 ερ7τηµα είναιb

α> iyy01…> ‚ „F 1Pš> #ρα υπ#ρχει ( #1x 0,1∈ 7στε iy|1> ‚ =01= και επειδή η i είναι γνησίως

φθίνουσα είναι και 1 F 1 #ρα η τιµή |1 είναι µοναδική στο δι#στηµα y01….

)> iy„1Pš>> ‚ „F 1Pš> #ρα υπ#ρχει " )2x 1,∈ +∞ 7στε iy|=> ‚ =01= και επειδή η i είναι γνησίως

αύξουσα είναι και 1 F 1 #ρα η τιµή |= είναι µοναδική στο δι#στηµα „1Pš>.

'πό α> και )> προκύπτει ότι η δοσµ!νη εξίσωση !χει = ακρι)7ς θετικ!ς ρί$ες.

Γ*1 @εωρούµε τη συν#ρτηση `y|> ‚ 4|iy|> F =01= œ 4| µε ( )x 0,∈ +∞ .

-

Η ` είναι συνεχής στο „|1 |=… ως αποτ!"εσµα πρ#ξεων συνεχ7ν συναρτήσεων.

-

Η ` είναι παραγωγίσιµη στο y|1 |=> ως αποτ!"εσµα πρ#ξεων παραγωγίσιµων

συναρτήσεων µε `Žy|> ‚ yiŽy|> P iy|> F =01=>4|.

- `y|1> ‚ 4|1iy|1> F =01=4|1 ‚ =01=4|1 F =01=4|1 ‚ 0

`y|=> ‚ 4|=iy|=> F =01=4|= ‚ =01=4|= F =01=4|= ‚ 0

}ρα ισχύουν οι προ’ποθ!σεις του @. k24 για την ` στο „|1 |=… οπότε υπ#ρχει

( )0 1 2x x , x∈ 7στε

`Žy|0> ‚ 0 ⇔ 4|0yiŽy|0> P iy|0> F =01=> ‚ 0x

0e 0,⇔ iŽy|0> P iy|0> F =01= ‚ 0.

Zj @?Q2Db @εωρούμε τη συν#ρτηση `y|> ‚ iŽy|> P iy|> F =01= με | ‰ 0.

Η i είναι συνεχής στο y0Pš> ως γινόμενο συνεχ7ν.

Η iŽ είναι συνεχής στο y0Pš> ως #θροισμα συνεχ7ν.

}ρα η ` είναι συνεχής στο y0Pš> ως #θροισμα συνεχ7ν.

-

}ρα η ` είναι συνεχής στο „|1

|=

….- `y|1> ‚ iŽy|1> P iy|1> F =01= ‚ iŽy|1> P =01= F =01= ‚ iŽy|1> ‘ 0 αφού από το %1 για ( )x 0,1∈

είναι iŽy|> ‘ 0.

-

`y|=> ‚ iŽy|=> P iy|=> F =01= ‚ iŽy|=> P =01= F =01= ‚ iŽy|=> ‰ 0 αφού από το %1 για

( )x 0,∈ +∞ είναι iŽy|> ‰ 0.

*η"αδή είναι `y|=> œ `y|=> ‘ 0. 'πό το @ε7ρημα r2‹/32 θα υπ#ρχει !να του"#χιστον

( )0 1 2x x , x∈ 7στεb

`y|0> ‚ 0 ⇔ iŽy|0> P iy|0> F =01= ⇔ iŽy|0> P iy|0> ‚ =01=.

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =HG

Γ&1 Aίναιb dy|> ‚ iy|> P 1 ‚ y| F 1>3| F 1 P 1 ‚ y| F 1>3| ‰ 0 για κ#θε ( )x 0,∈ +∞ .

}ραb ( ) ( ) ( )2

e e e e e

1 1 1 1 1

xx 1 lnxdx xlnxdx lnxdx lnxdx x lnxdx

2

N NF [ = − = − = − =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

" # " #e

2 2 2e e ee e

1 11 1 11

x x 1 e 1lnx dx xlnx dx xdx e x

2 2 x 2 2

= − − + = − − + =

∫ ∫ ∫

e2 2 2 2 2 2

1

e x e e 1 e 3 e 3e e 1 1 τ.µ.

2 4 2 4 4 4 4 4

−= − − + − = − + − = − =

+) (ΕN$9α#$3J /!&)'A6$9α3 #56789# ( )xh(x) x ln e 1 , x= − + ∈ ℝ 1

Γ1 Να 4$%$9K#$9$ 96 j DJ F8BJ 96 >589L99α1Γ/1 Να %<#$9$ 96 α6A#D#

h(2h (x)) ee , x

e 1

N < ∈+

ℝ 1

Γ*1 Να @8$A9$ 96 B83[L693α α#<4F9D9 9J 8αd3>KJ Fα87#9α#J 9J j #9B …Œ0

>α?IJ >α3 96 F%73α α#<4F9D9K 9J #9B 2Œ1

Γ&1 'A6$9α3 #56789# ( )xφ(x) e h(x) ln 2 , x= + ∈ ℝ 1

Να @8$A9$ 9B $4@αML6 9B5 ;D8AB5 FB5 F$83>%$A$9α3 αFL 9 8αd3>K Fα87#9α# 9J

d(x)0 9B6 7NB6α xrx >α3 96 $5?$Aα x = 1

Cυση

Γ1 `y|> ‚ | F 3y4| P 1>

( ) ( )x

x

x x x

1 e 1h x 1 e 1 1

e 1 e 1 e 1

NN = − ⋅ + = − =+ + +

( ) ( ) ( ) ( )

xx

2 2x x

1 eh x e 1 0

e 1 e 1

NNN = − ⋅ + = − <+ +

για κ#θε x ∈ ℝ

#ρα η ` είναι κοί"η στο ℝ .

Γ/1 12D @?Q2D

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )h x 0

h 2h x h 2h x

h

e ee lne ln h 2h x 1 ln e 1 h 2h x h 1

e 1 e 1

N >N N

`N N< ⇔ < ⇔ < − + ⇔ < ⇔

+ +

( ) ( ) ( ) ( )

h κοίλη

h

12h x 1 h x h x h 0 x 02 NaN N N N< ⇔ < ⇔ < ⇔ >

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =HH

l2D @?Q2D

@εωρ7 τη συν#ρτηση { µε {y|> ‚ 4`y=`Žy|>>

Aίναι {Žy|> ‚ 4`y=`Žy|>> œ `Žy=`Žy|>> œ =`ŽŽy|> ‘ 0 διότι 4`y=`Žy|>> ‰ 0 `Žy=`Žy|>> ‰ 0 και `ŽŽy|> ‘ 0.

}ρα { γνησίως φθίνουσα στο ℝ .

( )( ) ( ) ( )q

h 2h x ee q x q 0 x 0

e 1

aN < ⇔ < ⇔ >

+

2D @?Q2D

( )( )( )

( )

2h xh 2h x

2h x

e e ee

e 1 e 1e 1

NN

N< ⇔ <+ ++

@εωρ7 τη συν#ρτηση \ µε ( )

x

x

e

s x e 1= + .

Aίναι ( )( )

x

2x

2es x 0

e 1N = >

+ #ρα \ γνησίως αύξουσα στο ℝ .

( )( ) ( )( ) ( ) ( )s

h 2h x x x x 0

x

e 2e s 2h x s 1 2h x 1 1 2 e 1 e 1 e e x 0

e 1 e 1

`N N N< ⇔ < ⇔ < ⇔ < ⇔ < + ⇔ > ⇔ > ⇔ >

+ +.

Γ*1 ( ) ( )x

x x x

xx x x

elim x ln e 1 lim lne ln e 1 lim ln

e 1→+∞ →+∞ →+∞

− + = − + = +

@!τωx

x

eu

e 1=

+ µε

0

x x0

x xx DLH x

e elim lim 1

e 1 e

→+∞ →+∞= =

+

#ρα ( ) ( )x u 1lim f x lim lnu ln1 0→+∞ →

= = = εποµ!νως η ]i !χει ορι$όντια ασύµπτωτη στο Pš την h ‚

0 y|Ž|>.

( ) ( ) ( )x x

x x x

x ln e 1 ln e 1f xlim lim lim 1

x x x→−∞ →−∞ →−∞

− + + = = −

Aίναι( )

0x x0

xx DLH x

ln e 1 elim lim 0

x e 1

→−∞ →−∞

+= =

+ αφού x

xlim e 0→−∞

=

#ρα( )

x

f xlim 1 λ

x→−∞= =

( ) ( ) ( )x x

x x xlim f x λ x lim x ln e 1 x lim ln e 1 0 β→−∞ →−∞ →−∞ − = − + − = − + = = αφούx

xlim e 0→−∞ =




ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =HI

#ρα η ]i !χει π"#για ασύµπτωτη στο Fš την h ‚ |.

Γ&1 'να$ητ7 τις ρί$ες της φ.

φy|> ‚ 0 ⇔ 4|

œ y`y|> P 3=> ‚ 0 ⇔ `y|> P 3= ‚ 0 ⇔ `y|> ‚ F3= ⇔ `y|> ‚ `y0>

h

h "1 1"

`

−⇔ | ‚ 0.

'να$ητ7 το πρόσηµο της φ στο „01…

0 | 1h `

⇔ `y0> `y|> `y1> ⇔ F3= `y|> ⇔ `y|> P 3= › 0 ⇔ 4| œy`y|> P 3=> › 0 ⇔ φy|> › 0.

Sπο"ογισµός εµ)αδού

12D @?Q2D

( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 1 1x x

0 0 0E φ x dx e h x ln2 dx e h x ln2 dx =N= = ⋅ + = ⋅ +∫ ∫ ∫

( )( ) ( )( )11

x x

0 0e h x ln2 e h x ln2 dxN = ⋅ + − ⋅ + = ∫

( )( ) ( ) ( )1 1

x x

x0 0

1e h 1 ln2 0 e h x dx e 1 ln e 1 ln2 e dx

e 1N= ⋅ + − − ⋅ = ⋅ − + + − ⋅ = +∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( )1

x

0e eln e 1 eln2 ln e 1 e eln e 1 eln2 ln e 1 ln2 = − + + − + = − + + − + + =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2

e e 1 ln2 e 1 ln e 1 e e 1 ln2 ln e 1 e e 1 ln τ.µ.e 1

= + + − + + = + + − + = + + ⋅ +

2D @?Q2D

( ) ( )( ) ( )1 1 1 1

x x x

0 0 0 0E φ x dx e h x ln2 dx e h x dx ln2 e dx= = ⋅ + = ⋅ + ⋅ =∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 11 1

x x x x

0 00 0e h x dx ln2 e e h x e h x dx ln2 e 1

NN = ⋅ + ⋅ = ⋅ − ⋅ + ⋅ − = ∫ ∫

( ) ( ) ( )1 x

x0

1e h 1 h 0 e dx ln2 e 1e 1

= ⋅ − − ⋅ + ⋅ − =+∫

( ) ( ) ( )1

x

0e 1 ln e 1 ln2 ln e 1 ln2 e 1 ⋅ − + + − + + ⋅ − =

( ) ( )e eln e 1 ln2 ln e 1 ln2 eln2 ln2= − + + − + + + − =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )e eln e 1 ln2 ln e 1 eln2 e e 1 ln2 e 1 ln e 1= − + + − + + = + + − + + =

( ) ( ) ( ) 2

e e 1 ln2 ln e 1 e e 1 ln τ.µ.e 1

= + + − + = + + ⋅ +

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =HJ

m2D @?Q2D

( ) ( )( ) ( )( )1 1 1

x x x

0 0 0E φ x dx e h x ln2 dx e x ln e 1 ln2 dx= = ⋅ + = ⋅ − + + =∫ ∫ ∫

( )1 2 3

1 1 1x x x x

0 0 0I I I

e xdx e ln e 1 dx ln 2 e dx= ⋅ − ⋅ + + ⋅∫ ∫ ∫

( ) ( )1 1 11

x x x x

1 00 0 0I e xdx e x e x dx e 0 e dx =

NN = ⋅ = ⋅ − ⋅ = − − ∫ ∫ ∫ ( )1

x

0e e e e 1 e e 1 1 − = − − = − + = .

( )1

x x

20

I e ln e 1 dx= ⋅ +∫ y@!τω 4| P 1 ‚ _ ” 4|e| ‚ e_ ” | ‚ 0 → _ ‚ = ” | ‚ 1 → _ ‚ 4 P 1>

( )e 1 e 1

2 2lnudu u lnudu

+ + N= = ⋅ =∫ ∫ " # ( )e 1e 1

2 2u lnu u lnu du

++ N⋅ − ⋅ =∫

( ) ( ) ( ) ( ) " #e 1 e 1

22e 1 ln e 1 2ln2 1du e 1 ln e 1 2ln2 u

+ += + ⋅ + − − = + ⋅ + − − =∫

( ) ( )e 1 ln e 1 2ln2 e 1= + ⋅ + − − +

1 1x x

3 00I e dx e e 1 = = = − ∫

A ‚ T1 F T= P 3= œ lD ‚ 1 F y4 P 1> œ 3y4 P 1> P =3= P 4 F 1 P 3= œ y4 F 1> ‚

‚ 4 F 43y4 P 1> P 3= F 3y4 P 1> P 3= P 43= F 3= ‚ 4 P y4 P 1>„3= F 3y4 P 1>… ‚ „4 P y4 P 1>

œ 2

lne 1+

…τ.µ.

V) (ΕN$9α#$3J /!&)'A6$9α3 #56789#

xe 1, αν x 0

f(x) x

1 , αν x 0

−,

= =

1 Να αFBM$AN$9$ L93 f $A6α3 #56$;KJ #9B #4$AB x! = ! >α30 #9 #56H;$3α0 L93 $A6α3

6#ADJ α<NB5#α1

/1 A6$9α3 $F3F%HB6 L93 f $A6α3 >589K1

α) Να αFBM$AN$9$ L93 $NA#D#

( )2f x

1f(u)du 0

N=∫

H;$3 α>83@IJ 4Aα %<#0 BFBAα $A6α3 x = !1

@) C6α 5%3>L #4$AB N$>367 9 ;8B63>K #934K t = ! αFL H6α #4$AB Α(x!0 f(x!)) 4$

x! • ! >α3 >36$A9α3 >α97 4K>BJ 9J >α4F<%J l = f(x)0 x † x! 4$ x = x(t)0 l = l(t)0 t † !1 Σ$

FB3B #4$AB 9J >α4F<%J B 85?4LJ 4$9α@B%KJ 9J 9$944H6J x(t) 9B5 #4$AB5

$A6α3 M3F%7#3BJ 9B5 85?4B< 4$9α@B%KJ 9J 9$9α4H6J 9B5 l(t)0 α6 5FB9$?$A L93 x '(t)

! 3α >7?$ t † !1

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =HL

'*1 "$D8B<4$ 9 #56789#

( ) ( ) ( )2 2

g(x) xf(x) 1 e x 2 , x 0,= + − − ∈ +∞

Να αFBM$AN$9$ L93 #56789# g H;$3 MI6 $%α;A#9D6 >α3 4Aα ?H#

9BF3>B< 4$A#9B51Cυση

'1 ( ) ( )

0

x x0

x 0 x 0 DLH x 0

e 1 elimf x lim lim 1 f 0

x 1

→ → →

−= = = =

#ρα i συνεχής στο |0 ‚ 0.

%ια | ž 0b ( ) ( )x x x x

2 2

e x e 1 xe e 1f x

x x

⋅ − − − +N = =

@εωρ7 συν#ρτηση µε y|> ‚ |4| F 4| P 1.

Aίναι Žy|> ‚ |4| x ∈ ℝ

- | ‘ 0r a

⇔ y|> ‰ y0> ⇔ y|> ‰ 0 ⇔ iŽy|> ‰ 0

-

| ‰ 0

r `

⇔ y|> ‰ y0>

⇔y|> ‰ 0

⇔iŽy|> ‰ 0

Aίναι iŽy|> ‰ 0 στα yFš0> y0Pš> και επειδή i συνεχής στο |0 ‚ 0 η i είναι γνησίως αύξουσα

στο ℝ .

'/1 ( ) ( ) ( )x

x

x x x x

e 1 1lim f x lim lim e 1 lim 1 0 0

x x→−∞ →−∞ →−∞ →−∞

−= = − ⋅ = − ⋅ =

( )x x

x

x x DLH x x

e 1 elim f x lim lim lim e

x 1

+∞ +∞

→+∞ →+∞ →+∞ →+∞

−= = = = +∞

Aίναι i γνησίως αύξουσα #ρα !χει σύνο"ο τιµ7ν το y0Pš> #ρα iy|> ‰ 0 για κ#θε x ∈ ℝ .

Aπίσης( ) ( )

( )

x0 0

x x x0 0

2x 0 x 0 x 0 DLH x 0 DLH x 0

e 11f x f 0 e 1 x e 1 e 1xlim lim lim lim lim f 0

x 0 x x 2x 2 2

→ → → → →

−−− − − − N= = = = = =

−

α) 12D @?Q2D

k?Q@;76b ~στω η συν#ρτηση ¡ με ¡y|> ‰ 0.

-

αν α ‘ ) τότε ( )β

α Q x dx 0>∫

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =I0

-

αν α ‰ ) τότε ( ) ( )α β

β αQ x dx 0 Q x dx 0> ⇔ <∫ ∫

- αν α ‚ ) τότε ( ) ( )β α

α αQ x dx Q x dx 0= =∫ ∫

( ) ( ) ( )

xx

x x x x

e 1 1

lim f x lim lim e 1 lim 1 0 0x x→−∞ →−∞ →−∞ →−∞

−= = − ⋅ = − ⋅ =

( )x x

x

x x DLH x x

e 1 elim f x lim lim lim e

x 1

+∞ +∞

→+∞ →+∞ →+∞ →+∞

−= = = = +∞ .

9το ο"οκ"ήρωµα ( )( )2f x

1f t d t

N

∫ τα #κρα είναι θετικοί αριθµοί και επειδή iy|> ‰ 0 στο

ℝ σύµφωνα µε την παραπ#νω πρόταση που αποδείξαµε

=iŽy|> ‚ 1 ⇔ iŽy|> ‚1

2⇔ iŽy|> ‚ iŽy0>

f κυρτή

f , f 1 1N N` −

⇔ | ‚ 0.

2D @?Q2D

Η i είναι συνεχής στο ℝ . ~στω w µια αρχική της i. Aίναι wŽy|> ‚ iy|> ‰ 0 #ρα η w είναι

γνησίως αύξουσα στο ℝ .

( )( )

( ) ( )

( )( ) ( )2f x 2f x

11f t dt 0 F x 0 F 2f x F 1

N NN= ⇔ = ⇔ = ∫

και επειδή η w είναι 1 F 1 ως γνησίως αύξουσα

=iŽy|> ‚ 1 ⇔ iŽy|> ‚1

2⇔ iŽy|> ‚ iŽy0>

f κυρτή

f , f 1 1N N` −⇔ | ‚ 0.

@) Aίναι iy|yg>> ‚ hyg> g › 0.

}ρα iŽy|yg>> œ |Žyg> ‚ hŽyg> και για g ‚ g0

( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( )

( )

( )( ) ( )( )0 0 0

0

x t 2y t x t 0

0 0 0 0 0 0 0 0y t 0

1f x t x t y t f x t 2y t y t 2f x t 1 f x t

2

N N N= >

N >N N N N N N N N⋅ = ⇔ ⋅ = ⇔ = ⇔ = ⇔

( )( ) ( ) ( )f κυρτή

0 0f f 1 1

f x t f 0 x t 0N`N −

N N= ⇔ = και

hyg0> ‚ iy|yg0>> ‚ iy0> ‚ 1 #ρα το $ητούµενο σηµείο είναι το ?y01>.

'*1 %ια | ‰ 0 !χουµεb

-

dy|> ‚ „| œ iy|> P 1 F 4…= œ y| F =>= ‚ ( )2

x2e 1x 1 e x 2

x −⋅ + − ⋅ − =




ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =I1

( ) ( ) ( ) ( )2 22 2x xe 1 1 e x 2 e e x 2= − + − ⋅ − = − ⋅ −

-

dŽy|> ‚ =y4| F 4> œ 4| œ y| F =>= P y4| F 4>= œ = œ y| F => ‚ =y4| F 4> œ y| F =>„4| œ y| F => P 4| F 4… ‚

‚ =y4|

F 4> œ y| F => y|4|

F 4|

F 4>

1 η "ύση

@εωρούµε συν#ρτηση ` µε `y|> ‚ |4| F 4| F 4 | ‰ 0

@α αποδείξουµε ότι η ` !χει µια µόνο ρί$α.

12D @?Q2D

` συνεχής στο „1=… ως πρ#ξεις συνεχ7ν

`y1> ‚ F 4 ‘ 0

`y=> ‚ 4= F 4 ‚ 4y4 F 1> ‰ 0

από @. r2‹/32 υπ#ρχει !να του"#χιστον ( )0x 1,2∈ τ!τοιο 7στε `y|0> ‚ 0.

2D @?Q2D

d συνεχής στο „1=… ως πρ#ξεις συνεχ7ν

d παραγωγίσιµη στο y1=> dy1> ‚ dy=> ‚ 0

από @. k24 υπ#ρχει !να του"#χιστον ( )0x 1,2∈ τ!τοιο 7στε dŽy|0> ‚ 0 και επειδή 4|0 F 4 ž 0

και |0 F = ž 0 θα είναι `y|0> ‚ 0.

- 4| F 4 ‚ 0 ⇔ 4| ‚ 41 ⇔ | ‚ 1.

4| F 4 ‰ 0 ⇔ 4| ‰ 41 ⇔ | ‰ 1.

4| F 4 ‘ 0 ⇔ 4| ‘ 41 ⇔ | ‘ 1.

~τσι προκύπτει ο ακό"ουθος πίνακας μετα)ο"7νb

6ροκύπτει ότι η d !χει δύο θ!σεις τοπικ7ν ε"αχίστων και μία θ!ση τοπικού μεγίστου.

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =I=

.)(ΕN$9α#$3J /!)C#9D Fα8αDA#34 #56789# f: →ℝ ℝ 3α 96 BFBAα 3#;<B56:

- ( ) ( ) ( )f x f xf x e e 2

− N ⋅ + = 3α >7?$ x ∈ ℝ >α3

-

f(!) = !1

'1 Να αFBM$AN$9$ L93 ( ) ( )2f x ln x x 1 , x= + + ∈ ℝ 1

'/1 α) Να @8$A9$ 9α M3α#9K4α9α #9α BFBAα #56789# f $A6α3 >589K K >BA% >α3 6α

F8B#M3B8A#$9$ 9B #4$AB >α4FKJ 9J 8αd3>KJ Fα87#9α#J 9J f1

@) Να 5FB%BA#$9$ 9B $4@αML6 9B5 ;D8AB5 FB5 F$83>%$A$9α3 αFL 9 8αd3>K

Fα87#9α# 9J #56789#J f0 96 $5?$Aα l = x >α3 93J $5?$A$J x = ! >α3 x = 1

Λ5#1 %ια κ#θε x ∈ ℝ είναιb

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )f x f x f x f x f x f xf x e f x e 2 e e 2x e e 2x c, c

− − −N NN N⋅ + ⋅ = ⇔ − = ⇔ − = + ∈ ℝ .

%ια | ‚ 0 είναιb 4iy0> F 4Fiy0> ‚ ^ και επειδή iy0> ‚ 0 προκύπτει ^ ‚ 0.

}ρα ( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )2

f x f x f x f x f x

f x

1e e 2x e 2x e 1 2x e

e

−− = ⇔ − = ⇔ − = ⋅ ⇔

( )

( ) ( ) ( )

( )

2 2f x f x f x2 2 2

e 2x e x x 1 e x x 1 0, x⇔ − ⋅ + = + ⇔ − = + , _ ∈ ℝ

και επειδή η 4iy|> F | συνεχής στο ℝ προκύπτει ότι η 4iy|> F | διατηρεί πρόσηµο στο ℝ .

tµως 4iy0> F 0 ‚ 1 ‰ 0.

}ρα ( )f x 2e x x 1− = + για κ#θε ( )f x 2

x e x x 1∈ ⇔ = + +ℝ για κ#θε x ∈ ⇔ℝ

( ) ( )2f x ln x x 1⇔ = + + για κ#θε x ∈ ℝ .

/1α) Aίναι ( ) ( )( )2

2 2

1 2xf x ln x x 1 1

x x 1 2 x 1

N N = + + = ⋅ + =

+ + +

2

2 2 2

1 x 1 x 1, x

x x 1 x 1 x 1

+ += ⋅ = ∈

+ + + +ℝ

και ( )( ) ( )2 2 2 2

2x xf x , x

2 x 1 x 1 x 1 x 1

− −NN = = ∈

+ ⋅ + + +ℝ .

'πό τον παρακ#τω πίνακα προσήµωνb




ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =ID

προκύπτει ότι η i είναιb κυρτή στο yŸš0… κοί"η στο „0Pš> εν7 παρουσι#$ει σηµείο καµπής

στο σηµείο y0iy0>> ‚ y00>.

@) Aίναι | F iy|> › 0 για κ#θε " #x 0,1∈ . 6ρ#γµατιb

αZ τ&ό0ο,>

@εωρούµε τη συν#ρτηση dy|> ‚ | F iy|> στο „01…. Η d είναι παραγωγίσιµη στο „01… µε

( ) ( )( ) ( ) " #2

2 2

1 x 1 1g x x f x 1 f x 1 0 x 0,1

x 1 x 1

+ −NN N= − = − = − = ! _ ∈

+ +

µε την ισότητα dŽy|>‚0

να ισχύει µόνον για |‚0.

Aποµ!νως η d είναι γνησίως αύξουσα στο „01….

:πότε ( ) ( ) " #g x g 0 x 0,1! _ ∈ . tµως dy0> ‚ 0 F iy0> ‚ 0.

}ρα ( ) " #g x 0 x 0,1! _ ∈ #ρα ( ) " #x f x 0 x 0,1− ! _ ∈ .

OZ τ&ό0ο,

Η ανισότητα | F iy|> › 0 για κ#θε " #x 0,1∈ μπορεί να αποδειχθεί και ως εξήςb

Aπειδή iy0> ‚ 0 iŽy0> ‚ 1 η εφαπτόμενη της ]i στο „0Pš> !χει εξίσωσηb h F iy0> ‚ iŽy0>œy| F

0> ⇔ h ‚ |.

Η i όμως είναι κοί"η στο „0Pš> #ρα η ] i )ρίσκεται +κ#τωŒ από την εφαπτομ!νη της h ‚ |

στο :y00> για το δι#στημα „0Pš> #ρα και το „01….

~τσι iy|> | για " # ( )x 0,1 x f x 0∈ ⇔ − ! για " #x 0,1∈ .

~τσι είναι ( )( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1

2

0 0 0 0 0E x f x dx xdx f x dx xdx ln x x 1 dx 1= − = − = − + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ .

Aίναι

-

12

1

00

x 1 1xdx 0

2 2 2

= = − =

∫ .

- ( ) ( ) ( ) 1

1 1 12 2 2

20 0 00

1ln x x 1 dx x ln x x 1 dx x ln x x 1 x dx

x 1

N+ + = ⋅ + + = + + − = +∫ ∫ ∫




ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =IE

( ) ( ) ( )1 1

2 2

00

xln x x 1 x 1 ln 1 2 2 1 ln 1 2 2 1 = + + − + = + − − = + − + .

:πότε η y1> γρ#φεταιb

( )( )

( ) ( )1 1 1

E ln 1 2 2 1 ln 1 2 2 1 2 ln 1 2 τ.µ.

2 2 2

= − + − + = − + + − = − + −




ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =IG

"ΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙ,Ν ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΕΣ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =IH

)(ΕFα6α%F93>HJ /!!*)'A6$9α3 #56789# 2f(x) x 1 x= + − 1

α1 Να αFBM$AN$9$ L93xlim f(x) 0→+∞

= 1

@1 Να @8$A9$ 96 F%73α α#<4F9D9 9J 8αd3>KJ Fα87#9α#J 9J f0 L9α6 9B x

9$A6$3 #9B −∞ 1

1 Να αFBM$AN$9$ L93 ( ) 2f x x 1 f(x) 0N ⋅ + + = 1

M1 Να αFBM$AN$9$ L93 ( )1

20

1dx ln 2 1

x 1= +

+∫ 1

CS9Η

α1 ( ) ( ) ( ) ( )2 2

2

2x x x

x 1 x x 1 xlim f x lim x 1 x lim

x 1 x→+∞ →+∞ →+∞

+ − ⋅ + += + − = =

+ +

2x x x2

2 2

1 1 1lim lim lim 0

1 1x 1 xx 1 x x 1 1

x x

→+∞ →+∞ →+∞= = = =

+ + + + ⋅ + +

@1 \=?76 8<KH;D ;7=3@C@6D

-

( )2

22 2

x x x x

1 1x 1 x x 1 xf x xx 1 x xλ lim lim lim lim

x x x x→−∞ →−∞ →−∞ →−∞

+ − − + − + − = = = = =

2x

1lim 1 1 2

x→−∞

− + − = −

λ = [ W

- ( )( ) ( )( ) ( ) ( )2 2

x x x xl im f x λ x lim f x 2x lim x 1 x 2x lim x 1 x→−∞ →−∞ →−∞ →−∞

− = + = + − + = + + =

( ) ( )2 2

2 2x x x

2

x 1 x x 1 x 1 1lim lim lim 0

1x 1 x x 1 x x 1 1x

→−∞ →−∞ →−∞

+ + ⋅ + −= = =

+ − + − − ⋅ + +

O = 0

}ρα π"#για ασύµπτωτη της ]i στο Fš είναι η ευθεία h ‚ "| P ) % h ‚ F=|.

1 ( ) ( ) ( )2 2 2 2f x x 1 f x x 1 x x 1 x 1 xN

N ⋅ + + = + − ⋅ + + + − =

2 2 2 2

2 2

1 x2x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x

2 x 1 x 1

= ⋅ − ⋅ + + + − = − ⋅ + + + − =

+ +

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =II

2 2x x 1 x 1 x 0= − + + + − =

M1 Aίναι iy|> ‰ 0 x_ ∈ ℝ διότι

( )2 2 2 2

x x 1 x x 1 x 1 x 0 f x 0< + % < + % + − > % >

:πότε από το ερ7τηµα % προκύπτειb

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )2

2 2

f x 1 1f x x 1 f x 0 lnf x

f x x 1 x 1

N NN ⋅ + + = % − = % − =+ +

}ρα

( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1

1 1

20 00

1dx lnf x dx lnf x lnf 1 lnf 0 ln 2 1

x 1

N= − = − = − − = − − = +

∫ ∫

( )1 2 1

ln ln ln 2 112 1

+= = = +

−

/)(ΕFα6α%F93>HJ /!!*)'A6$9α3 43α #56789# f B83#4H6 #9B aW 4$ #56$;K F8I9

Fα87DB0 3α 96 BFBAα 3#;<B56 B3 #;H#$3J:

f(x) f (2 x)= − − >α3 ( )f x 0N , 3α >7?$ x ∈ ℝ 1

α1 Να αFBM$AN$9$ L93 f $A6α3 6#ADJ 4B6L9B61

@1 Να αFBM$AN$9$ L93 $NA#D# f(x) = ! H;$3 4B6αM3>K 8A[α1

1 C#9D #56789#f(x)

g(x)f (x)

=N

1

Να αFBM$AN$9$ L93 $dαF9B4H6 9J 8αd3>KJ Fα87#9α#J 9J g #9B #4$AB #9B

BFBAB α59K 9H46$3 9B6 7NB6α xrx0 #;4α9A[$3 4$ α59L6 D6Aα &Ž1

CS9Η

α1 Aίναι iŽy|> ž 0 x_ ∈ ℝ και iŽ συνεχής στο ℝ #ρα η iŽ διατηρεί σταθερό πρόσημο στο ℝ

συνεπ7ς η i είναι γνησίως μονότονη.

@1 Η σχ!ση iy|> ‚ Fiy= F |> για | ‚ 1 δίνει

iy1> ‚ Fiy1> % =iy1> ‚ 0 % iy1> ‚ 0.

}ρα | ‚ 1 ρί$α της i και μ#"ιστα μοναδική αφού η i είναι γνησίως μονότονη στο ℝ

1 ( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

x 1 x 1 x 1 x 1

f x0

g x g 1 f x f x f x1lim lim lim lim

x 1 x 1 f x x 1 f x x 1→ → → →

−N−

= = = ⋅ =N N− − − −

( )( ) ( )

( ) ( )

x 1

f x f 11 1lim f 1 1

f x x 1 f 1→

− N⋅ = ⋅ =N N−

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =IJ

}ρα dŽy1> ‚ 1.

tµως

-

" ‚ dŽy1> ‚ 1

-

" ‚ εφω

#ραπ

εφω 1 ω4

= % =

*)(ΕFα6α%F93>HJ /!!&)"$D8B<4$ 9 #56789# f: →ℝ ℝ 4$ f(x) = /x … ex q &x q x0

LFB5 m ∈ ℝ 0 e !1

α1 Να @8$A9$ 9B6 e I#9$ f(x) † ! 3α >7?$ x ∈ ℝ 1

@1 Α6 e = !0 6α 5FB%B3#?$A 9B $4@αML6 9B5 ;D8AB5 FB5 F$83>%$A$9α3 αFL 9 8αd3>K

Fα87#9α# 9:J f0 9B6 7NB6α xrx >α3 93J $5?$A$J x = ! >α3 x = 1

CS9Η

α1 ( ) ( ) ( )f x 0 f x f 0! % !

και ( ) x x x xf x 2 ln 2 m lnm 4 ln4 5 ln 5N = ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅

οπότε "όγω θ. w4[/g είναι

( ) 0 0 0 0f 0 0 2 ln2 m lnm 4 ln4 5 ln5 0 ln2 lnm ln4 ln5 0N = % ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ = % + − − = %

( )ln2 lnm ln4 ln5 0 ln2m ln20 0 ln2m ln20 2m 20 m 10+ − + = % − = % = % = % =

@1 %ια [ ‚ 10 είναιb iy|> ‚ =| P 10| F E| F G|.

( ) ( )1 1 1 1

x x x x1 1

x x x x

0 00 0 0 0

2 10 4 5 1 9 4E f x dx 2 10 4 5 dx

ln2 ln10 ln 4 ln 5 2ln2 ln10 ln 5

−= = + − − = + − − = + −

∫ ∫

&) (ΕFα6α%:F93>HJ /!!)'A6$9α3 : #56789:#: f0 : BFBAα $A6α3 Fα8αDA#34: #9B aW

4$ f r(x) ‹ ! 3α >7?$ x ∈ ℝ 1

α1 Να M$AN$9$ L93 : f $A6α3 21

@1 Α6 : 8αd3>K Fα87#9α#: bf 9:J f M3H8;$9α3 αFL 9α #:4$Aα Α(0/!!) >α3 Β(2/0)0 6α

%<#$9$ 9:6 $NA#D#:

( )( )1 2f 2004 f x 8 2− − + − = − 1

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =J0

)(ΕFα6α%F93>HJ /!!)'A6$9α3 #56$;KJ #56789# f: →ℝ ℝ 0 3α 96 BFBAα 3#;<$3

2x 0

f(x) xlim 2005

x→

−= 1

α1 Να M$AN$9$ L93:

G1 f(!)=! GG1 fr(!)=1

@1 Να @8$A9$ 9B λ ∈ ℝ H9#30 I#9$:( )( )

( )( )

22

22x 0

x λ f xlim 3

2x f x→

+=

+1

1 Α6 $F3F%HB6 f $A6α3 Fα8α=D=A#34 4$ #56$;K Fα87=D=B #9B aW >α3 f r(x) t f(x) =3α

>7?$ x ∈ ℝ 0 6α M$AN$9$ L93:

G) xf(x) 0> =3α >7?$ x 0, 1

GG)1

0f(x)dx f (1)<∫ 1

CS9Η

α1G) @!τω ( ) ( )

2

f x xh x

x

−= με ( )

x 0limh x 2005

→=

}ρα iy|> F | ‚ |= œ `y|> % iy|> ‚ |= œ `y|> P | y1>

:πότε ( ) ( )( )2

x 0 x 0lim f x lim x h x x 0 2005 0 0

→ →= ⋅ + = ⋅ + =

tµως i συνεχής στο ℝ #ρα και στο 0 συνεπ7ς ( ) ( )x 0lim f x f 0→ = #ρα iy0> ‚ 0.

α1GG) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )21

x 0 x 0 x 0 x 0

x x h x 1f x f 0 f x x h x xlim lim lim lim

x 0 x x x→ → → →

⋅ ⋅ +− ⋅ += = = =

−

( )( )x 0lim x h x 1 0 2005 1 1

→= ⋅ + = ⋅ + =

}ρα iŽy0> ‚ 1.

>Q8H2b 6αρατηρούµε ότι από το ερ7τηµα αυτό προκύπτει και ( )x 0

f xlim 1x→

= y=>.

@1 ( )( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )2

22 2 2

2 2 2:x 2 2

2 2 2 22 2x 0 x 0 x 0 x 0

2 2

f xx λ f x f x 1 λ 1 λ xx λ f x x xlim 3 lim 3 lim 3 lim 32x f x f x2x f x f x

2 2x x x

→ → → →

+ + ++ = % = % = % = %++ + +

2

21 λ 1 1 λ 3 3 1 λ 9 λ 8

2 1 3+ ⋅ += % = % + = % =

+.

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =J1

1G) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xe

x x x xf x f x f x e f x e f x e f x e 0

−⋅− − − −N N N> % ⋅ > ⋅ % ⋅ − ⋅ > %

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )x x x xf x e f x e 0 f x e 0 f x e− − − −N NN% ⋅ + ⋅ > % ⋅ > % ⋅ `

- ( ) ( ) ( ) ( )x 0 xx 0 f x e f 0 e f x e 0 f x 0− −< % ⋅ < ⋅ % ⋅ < % < #ρα |iy|> ‰ 0.

- ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 x x0 x f 0 e f x e 0 f x e 0 f x f x 0− −< % ⋅ < ⋅ % < ⋅ % < % > #ρα |iy|> ‰0.

}ρα για κ#θε | ž 0 είναι |iy|> ‰0.

1GG) ( ) ( ) ( ) ( )f x f x f x f x 0N N> % − >

9υνεπ7ς

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 11

00 0 0 0f x f x dx 0 f x dx f x dx 0 f x f x dx 0N N− > % − > % − > % ∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1

0 0 0f 1 f 0 f x dx 0 f 1 0 f x dx 0 f 1 f x dx− − > % − − > % >∫ ∫ ∫ .

-)(ΕFα6α%F93>HJ /!!-)'A6$9α3 #56789#x

x+1

1 ef(x) , x

1 e

+= ∈

+ ℝ 1

α1 Να 4$%$9K#$9$ 9 #56789# f DJ F8BJ 9 4B6B9B6Aα 9J #9B aW 1

@1 Να 5FB%BA#$9$ 9B B%B>%K8D4α1

dxf(x)∫ 1

1 Γ3α >7?$ x • ! 6α αFBM$AN$9$ L93: f(x) … f(+x) • f(-x) … f(Vx) 1

CS9Η

α1 ( )

( ) ( )

( )

( )

xx x 1 x x

2 2 2x 1 x 1 x 1

e e 1e e e e ef x 0

1 e 1 e 1 e

+

+ + +

− ⋅ −− − ⋅N = = = <

+ + +

#ρα i ↓ στο ℝ .

@1 ( )

x 1 x 1 x x

x x x

x 1

1 1 1 e e e 1 edx dx dx dx

1 ef x 1 e 1 e

1 e

+ +

+

+ − + += = = =

+ + ++

∫ ∫ ∫ ∫

( )xx 1 x x x x

x x x x

e e 1e e 1 e e e edx dx dx 1dx dx 1dx

1 e 1 e 1 e 1 e

+ ⋅ −− + ⋅ −+ = + = + =

+ + + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( )x

x

x

ee 1 dx 1dx e 1 ln e 1 x c

1 e= − ⋅ + = − ⋅ + + +

+∫ ∫

1 %ια | ‘ 0 είναι

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =J=

( ) ( )f

x x x x6 5 f 6 f 5a

< % >

( ) ( )f

x x x x8 7 f 8 f 7a

< % >

9υνεπ7ς ( ) ( ) ( ) ( )x x x xf 6 f 8 f 5 f 7+ > +

+) (ΕFα6α%F93>HJ /!!+)'A6$9α3 #56789#

2

ηµ3x, x 0

f(x) x

x αx βσυνx, x 0

<=

+ + !

α1 Να αFBM$3;?$A L93x 0lim f(x) 3

−→= 1

@1 Α6π

f π2

N =

>α3 #56789# f $A6α3 #56$;KJ #9B #4$AB x! = !0 6α αFBM$3;?$A L93

α = @ = *1

1 Α6 α = @ = *0 6α 5FB%B3#?$A 9B B%B>%K8D4απ

0f(x)dx∫ 1

ΑF: α1 ( )x 0 x 0 x 0

ηµ3x ηµ3xlim f x lim 3 lim 3 1 3

x 3x− − −→ → →= = ⋅ = ⋅ =

@1 Š Η i είναι συνεχής στο 0b ( ) ( ) ( )x 0 x 0lim f x f 0 lim f x

− +→ →= =

( ) ( )2

x 0 x 03 lim f x 3 lim x αx βσυνx 3 0 0 β 1 β 3

+ +→ →= % = + + % = + + ⋅ % =

Š %ια | ‰ 0 είναι iŽy|> ‚ =| P α F )ημ|

π π πf π 2 α βηµ π π α β 1 π α β

2 2 2

N = % ⋅ + − = % + − ⋅ = % =

οπότε α ‚ ) ‚ D.

1 ( ) ( )π π π π π

2 2

0 0 0 0 0f x dx x 3x 3συνx dx x dx 3 xdx 3 συνxdx= + + = + + =∫ ∫ ∫ ∫ ∫

" #π π

3 2 3 2π

0

0 0

x x π π3 3 µx 3

3 2 3 2

= + + = +

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =JD

V)(ΕFα6α%F93>HJ /!!+)'A6$9α3 #56789# 2f(x) x 2 ln x, x 0= − > 1

α1 Να αFBM$AN$9$ L93 3#;<$3: f(x) † 3α >7?$ x!1

@1 Να @8$A9$ 93J α#<4F9D9$J 9J 8αd3>KJ Fα87#9α#J 9J #56789#J f1

1 C#9D #56789#

lnx, x 0

f(x)g(x)

k , x 0

>=

=

G1 Να @8$A9$ 96 934K 9B5 H9#3 I#9$ g 6α $A6α3 #56$;KJ1

GG1 Α61

k 2

= − 0 9L9$ 6α αFBM$AN$9$ L93 g H;$3 4Aα0 9B5%7;3#9B60 8A[α #9B M37#94α (!0

Q)1

CS9Η

α1 ( ) ( )2

2 2 2x 2f x x 2lnx 2x , x 0

x x

−NN = − = − = >

( )2 x 0

22x 2f x 0 0 2x 2 x 1

x

>−N = ⇔ = ⇔ = ⇔ =

Η i παρουσι#$ει ο"ικό ε"#χιστο το iy1> ‚ 1 #ρα ( ) ( ) ( )f x f 1 f x 1! ⇔ ! για κ#θε | ‰ 0.

@1 Š ( ) ( )2

x 0 x 0lim f x lim x 2lnx

+ +→ →= − = +∞

#ρα !χει κατακόρυφη ασύµπτωτη την ευθεία | ‚ 0 yhŽh>.

Š( ) 2

x x x

f x x 2lnx lnxlim lim lim x 2

x x x→+∞ →+∞ →+∞

− = = − = +∞

διότι

( )

( )

0

0

x L΄Hospital x x

lnxlnx 1lim lim lim 0

x xx

→+∞ →+∞ →+∞

N= = =

N και

xlim x→+∞

= +∞ .

}ρα δεν !χει ορι$όντιες ή π"#γιες ασύµπτωτες.

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =JE

1G1 ( )( ) ( ) 2L Hospitalx 0 x 0 x 0 x 0 x 0

1 1lnx 1 1x xlim g x lim lim lim lim

2f x f x 2x 2 22x

x

+ + + + +

+∞ +∞

N→ → → → →= = = = = −

N −−

dy0> ‚ W.

%ια να είναι η d συνεχής στο |0 ‚ 0 πρ!πει ( ) ( )x 0

1lim g x g 0 k

2+→= ⇔ = − .

1GG1 η d είναι συνεχής στο „04…

( )

( )

( )

( ) ( )2

1g 0 0

2g 0 g e 0

lne 1g e 0

f e e 2

7= − < % ⋅ <8

= = >

− 9

'πό @. r2‹/32 υπ#ρχει μια του"#χιστον ρί$α της dy|> ‚ 0 στο y04>.

.) (ΕFα6α%F93>HJ /!!.)'A6$9α3 #56789#

( ) ( )2f(x) ln λ 1 x x 1 ln x 2 , x 1 = + + + − + > −

LFB5 % H6αJ F8α4α93>LJ α83?4LJ 4$ λ 1! − 1

Α1 Να F8B#M3B8A#$9$ 96 934K 9B5 %0 I#9$ 6α 5F78;$3 9B L83Bxlim f(x)→+∞

>α3 6α $A6α3

F8α4α93>LJ α83?4LJ1

Β1 C#9D L93 % = 2

α1 Να 4$%$9K#$9$ DJ F8BJ 9 4B6B9B6Aα 9 #56789# f >α3 6α @8$A9$ 9B #<6B%B

934I6 9J1

@1 Να @8$A9$ 93J α#<4F9D9$J 9J 8αd3>KJ Fα87#9α#J 9J #56789#J f

1 Να αFBM$AN$9$ L93 $NA#D# f(x) … α/ = ! H;$3 4B6αM3>K %<# 3α >7?$ F8α4α93>L

α83?4L α 4$ α ‹ !1

CS9Η

Α1 ~στω ( )xlim f x L→+∞

= ∈ ℝ .

( ) ( ) 2λ 1 x x 1

f x ln , x 1x 2

+ + += > −

+ και ( ) ( ) 2

f x λ 1 x x 1e

x 2

+ + +=

+

( )

( )

( )

x

f x uf x u L

x lim f x L u Llim e lim e e

→+∞

=

→+∞ = →= = ∈ ℝ #ρα και

( ) 2

x

λ 1 x x 1lim

x 2→+∞

+ + +∈

+ ℝ .

: παρονοµαστής είναι πρ7του )αθµού πο"υ7νυµο #ρα πρ!πει και ο αριθµητής να είναιεπίσης πρ7του )αθµού #ρα " P 1 ‚ 0 ⇔ " ‚ F1.

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =JG

Β1α1 %ια " ‚ F1 είναι iy|> ‚ 3y| P 1> F 3y| P => | ‰ F1

( )( ) ( )

1 1 1f x 0

x 1 x 2 x 1 x 2N = − = >

+ + + + για | ‰ F1 #ρα η i είναι γνησίως αύξουσα στο yF

1Pš>

( ) ( ) ( )x 1 x 1lim f x lim ln x 1 ln x 2

+ +→− →−= + − + = −∞

( ) ( ) ( )x

x 1u

x 2

x 1x x x u 1lim 1

x 2

x 1lim f x lim ln x 1 ln x 2 lim ln limlnu 0

x 2→ +∞

+=

+

+→+∞ →+∞ →+∞ →=+

+= + − + = = = +

#ρα το σύνο"ο

τιµ7ν της i είναι το yFš0>.

@1 ( )x 1lim f x

+→−= −∞ και ( )

xlim f x 0→+∞

= #ρα

η ]i !χει κατακόρυφη ασύµπτωτη την | ‚ F1 και

η ]i !χει ορι$όντια ασύµπτωτη την h ‚ 0 y|Ž|>.

1 Η εξίσωση γρ#φεται ισοδύναµα iy|> ‚ Fα= ‘ 0.

Το Fα= ανήκει στο σύνο"ο τιµ7ν της i. Η i είναι γνησίως αύξουσα στο yF1Pš> #ρα η

εξίσωση iy|> ‚ Fα= !χει µοναδική "ύση για κ#θε α ž 0.

!)(ΕFα6α%F93>HJ /!!.)'A6$9α3 43α #56789# f: " #0,2 → ℝ BFBAα $A6α3 Mα3 3>α6BFB3$A 93J #56?K>$J

LFB5 H6αJ F8α4α93>LJ α83?4LJ1

α1 Να αFBM$AN$9$ L93 #56789#

( ) ( )2

2x

f x 2f xg(x) 3x , 0 x 2

e

N −= − $ $

3>α6BFB3$A 93J 5FB?H#$3J 9B5 ?$D8K4α9BJ 9B5 WUPPQ #9B M37#94α ‡!0 /ˆ1

@1 Να αFBM$AN$9$ L93 5F78;$3 ( )ξ 0,2∈ 9H9B3B0 I#9$ 6α 3#;<$3:

( )2ξf (ξ) 4f(ξ) 6ξe 4f ξNN N+ = +

1 Να αFBM$AN$9$ L93 = - >α3 L93 3#;<$3 g(x) = ! 3α >7?$

" #x 0, 2∈ 1

M1 Να αFBM$AN$9$ L93:




ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =JH

3 2xf(x) x e , 0 x 2= $ $ 1

$1 Να 5FB%BA#$9$ 9B B%B>%K8D4α

2

21

f(x)dx

x∫ 1

CS9Η

( ) ( ) ( ) ( )2xf x 4f x 4f x kxe , 0 x 2 1NN N− + = $ $

( ) ( ) ( )2

2x

f x 2f xg x 3x , 0 x 2

e

N −= − $ $

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

2x 2x

2

22x2x

f x 2f x e f x 2f x 2ef x 2f xg x 3x 6x

e e

N NN N N− ⋅ − − ⋅ N − N = − = − =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2x 2x

f x 2f x 2f x 4f x f x 4f x 4f x6x 6x 2

e e

NN N N NN N− − + − += − = −

( ) ( )2x

2x

kxe6x 6x kx 6 k x 3

e= − = − = −

α1 Š Η i είναι συνεχής στο „0=… ως πρ#ξεις συνεχ7ν.

Š Η i είναι παραγωγίσιµη στο „0=… µε dŽy|> ‚ yH F W>|.

Š ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0

f 0 2f 0 2f 0 2f 0g 0 0

e 1

N − −= = =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 4

4 4 4

f 2 2f 2 2f 2 12e 2f 2 12eg 2 12 12 12 12 12 0

e e e

N − + −= − = − = − = − = .

}ρα η d ικανοποιεί τις υποθ!σεις του θεωρήµατος k24.

@1 'πό θε7ρημα k24 υπ#ρχει !να του"#χιστον ( )ξ 0,2∈ τ!τοιο 7στε

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

22ξ

2ξ

f ξ 4f ξ 4f ξ

g ξ 0 6ξ 0 6ξe f ξ 4f ξ 4f ξ 0e

NN N− +

N NN N= ⇔ − = ⇔ − + − = ⇔

( ) ( ) ( )2ξf ξ 4f ξ 6ξe 4f ξNN N+ = +

1 ( )( )

( )3 ξ 0

g ξ 0 6 k ξ 0 6 k 0 k 6>

N = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ =

yD>k 6=

% dy|> ‚ 0 για κ#θε " #x 0,2∈ #ρα d σταθερή στο „0=… και επειδή dy0> ‚ 0 θα είναι dy|>

‚ 0 για κ#θε " #x 0, 2∈ .

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =JI

M1 %ια κ#θε " #x 0,2∈ είναιb

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) συνέπειες Θ..!

2 2 3

2x 2x 2x

f x 2f x f x 2f x f xg x 0 3x 0 3x x

e e e

NN N− − N= ⇔ − = ⇔ = ⇔ = ⇔

( ) ( ) ( ) ( )3 3 2x

2xf x x c f x x c e 4e

= + ⇔ = +

( ) ( ) ( ) ( )x 1

2 2 24 f 1 1 c e e 1 c e c 0

=

% = + ⇔ = + ⇔ =

( ) ( ) " #c 0

3 2x4 f x x e , x 0, 2=

% = ∈

$1

( )

( )

23 2x 2x 2x 2x

2 2 2 2 22x

2 21 1 1 1 11

f x x e e e e

dx dx xe dx x dx x x dxx x 2 2 2

N N

= = = = − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

22 2x 2 2x 2 4 2 4 2 4 2 4 2

24 4 4

11

e e e e e e e 4e 2e e e 3e ee dx e e

2 2 2 4 2 4 4 4 4

− − + −= − − = − − = − − + = =

∫ .

)(ΕFα6α%F93>HJ /!!)'A6$9α3 #56789# f(x) = (xq/)PZx … x q *0 x !

Γ1 Να @8$A9$ 93J α#<4F9D9$J 9J 8αd3>KJ Fα87#9α#J 9J #56789#J f1

Γ/1 Να αFBM$AN$9$ L93 #56789# f $A6α3 6#ADJ d?A6B5#α #9B M37#94α (!0ˆ >α36#ADJ α<NB5#α #9B M37#94α ‡0 …Œ)1

Γ*1 Να αFBM$AN$9$ L93 $NA#D# f(x) = ! H;$3 M83@IJ ?$93>HJ 8A[$J1

Γ&1 Α6 x0 x/ $A6α3 B3 8A[$J 9B5 $8D9K4α9BJ Γ* 4$ x • x/0 6α αFBM$AN$9$ L93 5F78;$3

4B6αM3>LJ α83?4LJ ξ ∈(x0 x/) 9H9B3BJ0 I#9$ N‰fr(N) q f(N) = ! >α3 L93 $dαF9B4H6 9J

8αd3>KJ Fα87#9α#J 9J #56789#J f #9B #4$AB Μ(N0 f(N)) M3H8;$9α3 αFL 96

α8;K 9D6 αNL6D61

CS9Η

Γ1 Š ( ) ( )x 0 x 0lim f x lim x 2 lnx x 3

+ +→ →= − + − = +∞

#ρα η ]i !χει κατακόρυφη ασύµπτωτη την | ‚ 0 yhŽh>

Š ( ) ( )x xlim f x lim x 2 lnx x 3→+∞ →+∞

= − + − = +∞

#ρα η ]i δεν !χει ορι$όντιες ασύµπτωτες

Š

( ) ( )x x x

f x x 2 lnx x 3 x 2 3

lim lim lim lnx 1x x x x→+∞ →+∞ →+∞

− + − −

= = + − = +∞




ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =JJ

#ρα η ]i δεν !χει π"#γιες ασύµπτωτες.

Γ/1 ( ) x 2 2

f x lnx 1 lnx 2 , x 0x x

−N = + + = + − >

( ) 2

1 2f x 0

x xNN = + > για | ‰ 0 #ρα η iŽ είναι γνησίως αύξουσα στο y0Pš>

- 0 ‘ | ‘ 1f N`

% iŽy|> ‘ iŽy1> ⇔ iŽy|> ‘ 0

#ρα η i είναι γνησίως φθίνουσα στο y01>

-

| ‰ 1f N`

% iŽy|> ‰ iŽy1> ⇔ iŽy|> ‰ 0

#ρα η i είναι γνησίως αύξουσα στο y1Pš>

Γ*1 Š 9το *1 ‚ y01> η i είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα.

Aίναι ( )x 0lim f x

+→= +∞ ( ) ( )

f συνε"ής

x 1lim f x f 1 2

−→= = −

#ρα iy*1> ‚ yF=Pš> και επειδή ( )10 f #∈ η εξίσωση iy|> ‚ 0 !χει ακρι)7ς μία "ύση στο *1.

Š 9το *= ‚ „1Pš> η i είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα. Aίναι iy1> ‚ F= ( )xlim f x→+∞

= +∞

#ρα iy*=> ‚ „F=Pš> και επειδή ( )20 f #∈ η εξίσωση iy|> ‚ 0 !χει ακρι)7ς μία "ύση στο *=.

}ρα η εξίσωση iy|> ‚ 0 !χει ακρι)7ς δύο θετικ!ς ρί$ες.

Γ&1 Aίναι iy|1> ‚ iy|=> ‚ 0 με |1 ‘ 1 ‘ |=.

16 8=76

@εωρούμε τη συν#ρτηση ` με ( ) ( )f x

h x , x 0x

= > .

-

η ` είναι συνεχής στο „|1 |=…

- η ` είναι παραγωγίσιμη στο y|1 |=> με ( ) ( ) ( )

2

xf x f xh x

x

N −N =

-

`y|1> ‚ `y|=> ‚ 0

από @. k24 προκύπτει ότι υπ#ρχει !να του"#χιστον ( )1 2ξ x , x∈ τ!τοιο 7στε `Žyξ> ‚ 0⇔

( ) ( )( ) ( ) ( )2

ξ f ξ f ξ0 ξ f ξ f ξ 0 1

ξ

N⋅ −N= ⇔ ⋅ − =

6 8=76

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =JL

@εωρούµε τη συν#ρτηση d µε dy|> ‚ | œ iŽy|> F iy|> | ‰ 0.

- Η d είναι συνεχής στο „|1 |=… ως πρ#ξεις συνεχ7ν.

-

dy|1> ‚ |1iŽy|1> F iy|1> ‚ |1iŽy|1> ‘ 0 διότι |1 ‰ 0 και iŽy|1> ‘ 0

-

dy|=> ‚ |=iŽy|=> F iy|=> ‚ |=iŽy|=> ‰ 0 διότι |= ‰ 0 και iŽy|=> ‰ 0

από θε7ρηµα r2‹/32 προκύπτει ότι υπ#ρχει !να του"#χιστον ( )1 2ξ x , x∈ τ!τοιο 7στε

dyξ> ‚ 0 ⇔ ξ œ iŽyξ> F iyξ> ‚ 0 y1>

Η µοναδικότητα του ξ προκύπτει από τη µονοτονία της d.

dŽy|> ‚ „| œ iŽy|> F iy|>…Ž ‚ iŽŽy|> ‰ 0 #ρα η d είναι γνησίως αύξουσα.

Η εφαπτοµ!νη της ]i στο σηµείο ?yξ iyξ>> είναιb

yε>b h F iyξ> ‚ iŽyξ> œ y| F ξ>

%ια να δι!ρχεται η yε> από την αρχή των αξόνων αρκεί οι συντεταγµ!νες του : να

επα"ηθεύουν την εξίσωση της yε> δη"αδή 0 F iyξ> ‚ iŽyξ> œ y0 F ξ> ⇔ F iyξ> ‚ Fξ œ iŽyξ> ⇔ ξ œ

iŽyξ> F iyξ> ‚ 0 που ισχύει από τη σχ!ση y1>.

/)(ΕFα6α%F93>HJ /!)'A6$9α3 #56789# f: →ℝ ℝ 0 BFBAα $A6α3 * dB8HJ

Fα8αDA#34 >α3 9H9B3α0 I#9$:

G)x 0

f(x)lim 1 f (0)

x→

= +

GG) ( ) ( ) ( )f 0 f 1 f 0N < − >α3

GGG) ( )f x 0NN , 3α >7?$ x ∈ ℝ 1

'1 Να @8$A9$ 96 $NA#D# 9J $dαF9B4H6J 9J 8αd3>KJ Fα87#9α#J 9J

#56789#J f #9B #4$AB 9J 4$ 9$944H6 x!=!1

'/1 Να αFBM$AN$9$ L93 #56789# f $A6α3 >589K #9B ℝ 1

Α6 $F3F%HB6 g(x) = f(x) q x0 x ∈ ℝ 0 9L9$:

'*1 Να αFBM$AN$9$ L93 g Fα8B5#37[$3 B%3>L $%7;3#9B >α3 6α @8$A9$ 9Bx 0

µxlim

xg(x)→1

'&1 Να αFBM$AN$9$ L932

0f(x)dx 2>∫ 1

'1 Α6 9B $4@αML6 9B5 ;D8AB5 , FB5 F$83>%$A$9α3 αFL 9 8αd3>K Fα87#9α# 9J

#56789:#:J g0 9B6 7NB6α xrx >α3 93J $5?$A$J 4$ $N3#I#$3J x=! >α3 x= $A6α3 Ε(,) = Q q5

20

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =L0

9L9$ 6α 5FB%BA#$9$ 9B B%B>%K8D4α1

0f(x)dx∫ >α3 #9 #56H;$3α 6α αFBM$AN$9$ L93

5F78;$3 N∈(0/) 9H9B3B0 I#9$

ξ

0f(t)dt 2=∫ 1

CS9Η

'1 ( ) ( ) ( ) ( )

( )f συνε"ής

x 0 x 0 x 0 x 0

f x f xf 0 limf x lim x lim x lim 0 1 f 0 0

x x→ → → →

= = ⋅ = ⋅ = ⋅ + =

( ) ( ) ( ) ( )

( )x 0 x 0

f x f 0 f xf 0 lim lim 1 f 0 1

x 0 x→ →

−N = = = + =

−

yε>b h F iy0> ‚ iŽy0> œ y| F 0> ⇔ yε>b h ‚ |.

'/1 @.?.Τ. με τη συν#ρτηση i στο δι#στηµα „01…. Sπ#ρχει !να του"#χιστον ( )ξ 0,1∈

τ!τοιο 7στε

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )f 1 f 0

f ξ f ξ f 1 f 0 11 0

−N N= ⇔ = −

−.

Aίναι ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )1

f 0 f 1 f 0 f 0 f ξ 2N N N< − ⇔ < .

Aπίσης iŽŽy|> ž 0 για κ#θε x ∈ ℝ και επειδή η iŽŽ είναι συνεχής ω ς παραγω γίσιμη από

συν!πειες @. r2‹/32 η iŽŽ διατηρεί σταθερό πρόσημο στο ℝ .

12D @?Q2Db Η iŽ είναι γνησίω ς μονότονη στο ℝ .

Aίναι 0 ‘ ξ και iŽy0> ‘ iŽyξ> από y=>.

Aπομ!νω ς η iŽ είναι γνησίω ς αύξουσα στοℝ .

2D @?Q2Db @.?.Τ. με τη συν#ρτηση iŽ στο δι#στημα „0ξ….

Sπ#ρχει !να του"#χιστον ( )1ξ 0,ξ∈ τ!τοιο 7στε ( ) ( ) ( )1f ξ f 0f ξ 0

ξ 0N N−NN = >

− από

y=>

Aπομ!νω ς είναι iŽŽy|> ‰ 0 για κ#θε x ∈ ℝ .


'*1 16 8=76

Η εφαπτομ!νη της ]i στο σημείο :y00> είναι η yε>b h ‚ |.

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =L1

Η i είναι κυρτή στο ℝ #ρα η ]i )ρίσκεται π#νω από την yε> µε εξαίρεση το σηµείο επαφής

:y00>.

( ) ( ) ( )f x x f x x 0 g x 0! ⇔ − ! ⇔ ! και το + ‚ Œ ισχύει για | ‚ 0.

}ρα η d παρουσι#$ει ο"ικό ε"#χιστο την τιµή dy0> ‚ 0.

l6 8=76

Aίναι dy|> ‚ iy|> F | x ∈ ℝ .

dŽy|> ‚ iŽy|> F 1 x ∈ ℝ .

( ) ( ) ( ) ( ) ( )g x 0 f x 1 0 f x 1 f x f 0N N N N N> ⇔ − > ⇔ > ⇔ > και επειδή η iŽ είναι γνησίως αύξουσα

θα είναι | ‰ 0.

Η d παρουσι#$ει ο"ικό ε"#χιστο την τιµή dy0> ‚ iy0> ‚ 0.

( ) ( )x 0 x 0

ηµx ηµx 1lim lim

x g x x g x→ →

= ⋅ = +∞

⋅ διότι

x 0

ηµxlim 1

x→= και ( )

x 0lim g x 0

→= µε dy|> › 0.

'&1 Aίναι dy|> › 0 και το + ‚ Œ ισχύει µόνο για | ‚ 0 #ρα

( ) ( ) ( )2 2 2 2

0 0 0 0g x dx 0 f x x dx 0 f x dx xdx 0> ⇔ − > ⇔ − > ⇔ ∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( )2

22 2

0 00

xf x dx f x dx 2

2

> ⇔ >

∫ ∫

'1 Aίναι dy|> › 0 #ρα ( ) ( )

1 1

0 0

5 5

E g x dx e f x x dx e2 2= = − ⇔ − = − ⇔ ∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1

0 0 0 0

5 1 5f x dx xdx e f x dx e f x dx e 2 1

2 2 2− = − ⇔ − = − ⇔ = −∫ ∫ ∫ ∫ .

@εωρούµε συν#ρτηση ` µε ( ) ( ) " #x

0h x f t dt 2, x 1,2= − ∈∫ .

-

Η ` είναι συνεχής στο „1=… ως πρ#ξεις συνεχ7ν.

- ( ) ( )( )1

1

0h 1 f t dt 2 e 2 2 e 4 0= − = − − = − <∫ .

- ( ) ( )2

0h 2 f t dt 2 0= − >∫ από *E.

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =L=

'πό @. r2‹/32 υπ#ρχει !να του"#χιστον ( )ξ 1,2∈ τ!τοιο 7στε `yξ> ‚

0 ⇔ ( ) ( )ξ ξ

0 0f t dt 2 0 f t dt 2− = ⇔ =∫ ∫ .

*)(ΕFα6α%F93>HJ /!/)C#9D #56$;KJ #56789# f: →ℝ ℝ 0 3α 96 BFBAα 3#;<$3:

xf(x) … = Qx0 3α >7?$ x ∈ ℝ 1

Γ1 Να αFBM$AN$9$ L93:

xe 1

, x 0f(x) x

1 , x 0

−,

= =

1

Γ/1 Να αFBM$AN$9$ L93 U8A[$9α3 α69A#98Bd #56789# fq >α3 6α @8$A9$ 9B F$MAB

B83#4B< 9J1

Γ*1 Να @8$A9$ 96 $NA#D# 9J $dαF9B4H6J 9J 8αd3>KJ Fα87#9α#J 9J f #9B

#4$AB Α(!0 f(!))1 Σ9 #56H;$3α0 α6 $A6α3 6D#9L L93 f $A6α3 >589K0 6α αFBM$AN$9$ L93

$NA#D#

/f(x) = x … /0 x ∈ ℝ

H;$3 α>83@IJ 4Aα %<#1

Γ&1 Να @8$A9$ 9B " #x 0

lim x(lnx)ln(f(x))+

→

1

CS9Η

Γ1 ( ) ( )x xx f x 1 e x f x e 1⋅ + = ⇔ ⋅ = − .

-

%ια | ž 0 είναι ( )xe 1

f xx

−= .

- ( ) ( )x xf συνε"ής

x 0 x 0 DLH x 0

e 1 ef 0 lim f x lim lim 1

x 1→ → →

−= = = =

}ρα ( )xe 1, αν x 0

f x x

1, αν x 0

− ,=

=

Γ/1 Š %ια | ž 0 είναι ( )x x x

2

e 1 xe e 1f x

x x

N − − +N = =

Š( ) ( ) x x x

2x 0 x 0 DLH x 0 DLH x 0

f x f 0 e 1 x e 1 e 1lim lim lim lim

x 0 x 2x 2 2→ → → →

− − − −= = = =

−.

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =LD

}ρα ( )

x x

2

xe e 1, αν x 0

xf x1

, αν x=02

− +,N =

@εωρούµε τη συν#ρτηση d µε ( ) x x

g x xe e 1= − + µε ( ) x

g x xe , xN = ∈ℝ

.

( )ming g 0 0= = #ρα dy|> ‰ 0 για κ#θε | ž 0.

Aποµ!νως iŽy|> ‰ 0 για κ#θε x ∈ ℝ #ρα i γνησίως αύξουσα στο ℝ #ρα i +1 F 1Œ #ρα i

αντιστρ!&ιµη.

( )

( )

x

f x x

x x

x x DLH x

e 1lim f x lim 0x

e 1 elim f x lim lim

x 1

`→−∞ →−∞

→+∞ →+∞ →+∞

7−= = %8

− = = = +∞9

( ) ( ) ( )( ) ( )-1f x xD f lim f x , lim f x 0,

→−∞ →+∞= = = +∞ℝ .

Γ*1 yε>b h F iy0> ‚ iŽy0> œ y| F 0> ⇔ yε>b h F 1 ‚1

2

| ⇔ yε>b h ‚1

2

| P 1

12D @?Q2D

Η i είναι κυρτή στο ℝ #ρα η ]i )ρίσκεται π#νω από την εφαπτοµ!νη yε> µε εξαίρεση το

σηµείο επαφής 'y01> #ρα ( ) ( )21

f x x 1 2f x x 22

⋅

! + ⇔ ! + και το + ‚ Œ ισχύει µόνο για | ‚ 0.

Aπομ!νως η εξίσωση =iy|> ‚ | P = !χει ακρι)7ς μία "ύση την | ‚ 0.

2D @?Q2D

@εωρούμε τη συν#ρτηση ` με `y|> ‚ =iy|> F | F = x ∈ ℝ .

Aίναι `Žy|> ‚ =iŽy|> F 1 x ∈ ℝ .

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f κυρτή

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2f

x x f x f x 2f x 2f x 2f x 1 2f x 1 h x h xN`

N N N N N N N N< ⇔ < ⇔ < ⇔ − < − ⇔ <

#ρα η `Ž είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ .

Aίναι `Žy0> ‚ =iŽy0> F 1 ‚ =1

2

F 1 ‚ 0

-

| ‘ 0hN`

% `Žy|> ‘ 0 #ρα ` γνησίως φθίνουσα στο yFš0>

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =LE

-

| ‰ 0hN`

% `Žy|> ‰ 0 #ρα ` γνησίως αύξουσα στο y0Pš>

( ) ( )

( )

( )

h

h

h 0 2f 0 2 0

x 0 h x 0

x 0 h x 0

a

`

= − = 7

< % > 8

> % > 9

#ρα η `y|> ‚ 0 !χει µοναδική ρί$α το 0.

Aπομ!νως η εξίσωση =iy|> ‚ | P = !χει ακρι)7ς μία "ύση την | ‚ 0.

Γ&1 Š ( ) ( )DL Hx 0 x 0 x 0 x 0

2

1lnx xlim x lnx lim lim lim x 01 1

x x

+ + + +N→ → → →⋅ = = = − =

−

Š ( )( )( )

( )

x 0

f x u

lim f x 1 u 1x 0lim ln f x lim lnu 0

++→

=

= →→ = =

#ρα ( )( ) ( ) ( )( )x 0 x 0 x 0lim x lnx ln f x lim x lnx lim ln f x 0 0 0

+ + +→ → → ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = .

&)(ΕFα6α%F93>HJ /!&)C#9D Fα8αDA#34 #56789#

( )f : A , A 0,→ = +∞ℝ

4$ #<6B%B 934I6 f(^)= ℝ 0 9H9B3α0 I#9$( ) ( ) ( )( )f x 2e f x 2f x 3 x− + = 0 3α >7?$ ( )x 0,∈ +∞

'1 ƒα αFBM$AN$9$ L93 #56789# f α693#98Hd$9α3 >α3 6α @8$A9$ 96 α69A#98Bd

#56789# f‘ 9J f1

Γ3α 9α $8D9K4α9α '/ >α3 '*0 MA6$9α3 L93

( ) ( )

1 x 2f x e x 2x 3 , x− = − + ∈ ℝ

'/1 Να 4$%$9K#$9$ 9 #56789# f‘ DJ F8BJ 96 >589L99α1 Σ9 #56H;$3α0 6α @8$A9$

9B $4@αML6 9B5 ;D8AB5 FB5 F$83>%$A$9α3 αFL 9 8αd3>K Fα87#9α# 9J

#56789#J f‘0 96 $dαF9B4H6 9J 8αd3>KJ Fα87#9α#J 9J f‘ #9B #4$AB FB5

α59K 9H46$3 9B6 7NB6α lrl 0 >α3 96 $5?$Aα x = 1

'*1 Γ3α >7?$ x ∈ ℝ ?$D8B<4$ 9α #4$Aα Α(x0 fq(x))0 Y(fq(x)0 x) 9D6 8αd3>I6

Fα8α#97#$D6 9D6 #56α89K#$D6 f‘ >α3 f α69A#9B3;α1

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =LG

G) Να αFBM$AN$9$ L930 3α >7?$ x ∈ ℝ 0 9B 36L4$6B 9D6 #569$%$#9I6 M3$<?56#J 9D6

$dαF9B4H6D6 9D6 8αd3>I6 Fα8α#97#$D6 9D6 #56α89K#$D6 f‘ >α3 f #9α #4$Aα ^

>α3 Y α69A#9B3;α0 $A6α3 A#B 4$ 1

GG) Να @8$A9$ 3α FB3α 934K 9B5 x ∈ ℝ αFL#9α# 9D6 #4$AD6 ^ 0 Y A6$9α3

$%7;3#90 >α3 6α @8$A9$ 96 $%7;3#9 αFL#9α#K 9B5J1

ΑF: '1 12D @?Q2Db 6αραγωγί$ουμε κατ# μ!"η τη σχ!ση

( ) ( ) ( )f x 2e f x 2f x 3 x ⋅ − + = για κ#θε | ‰ 0 y1> και !χουμεb

( ) ( ) ( ) ( )f x 2e f x 2f x 3 xN N ⋅ − + = ⇔

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x f x2 2e f x 2f x 3 e f x 2f x 3 1N N ⋅ − + + ⋅ − + = ⇔

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x f x2e f x f x 2f x 3 e 2f x f x 2f x 1N N N ⋅ ⋅ − + + ⋅ ⋅ − = ⇔

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x f x2e f x f x 2f x 3 e f x 2f x 2 1N N ⋅ ⋅ − + + ⋅ ⋅ − = ⇔

( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x 2e f x f x 2f x 3 2f x 2 1N ⋅ ⋅ − + + − = ⇔

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x 2

f x 2

1e f x f 1 1 f x

e f x 1 xN N ⋅ ⋅ + = ⇔ = ⋅ +

.

Aίναι iŽy|> ‰ 0 #ρα η i είναι γνησίως αύξουσα στο y0 Pš> #ρα η i είναι 1 F 1 #ρα η i


2D @?Q2D

( ) ( ) ( )f x 2e f x 2f x 3 x ⋅ − + = για κ#θε | ‰ 0 y1>

~στω ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1 2f x f x

2 2

1 2 1 2

1 2

e e 2

f x f x f x f x

2f x 2f x

=

= % =− = −

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )2 2

1 2 2 2

1 1 2 2

1 2

f x f xf x 2f x f x 2f x

2f x 2f x

+7= % − = − %8

− = − 9

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

1 1 2 2f x 2f x 3 f x 2f x 3 3− + = − +

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2f x f x2 2

1 1 2 22 , 3 e f x 2f x 3 e f x 2f x 3⋅

% − + = − + ( )1

1 2x x⇔ =

#ρα η i είναι 1 F 1 #ρα η i αντιστρ!φεται.




ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =LH

9την σχ!ση y1> αν θ!σουµε όπου iy|> ‚ h θα !χουµε

( )y 2e y 2y 3 x⋅ − + = #ρα ( ) ( )1 y 2f y e y 2y 3− = ⋅ − + ή

( ) ( ) ( )1 x 2f x e x 2x 3 , x f A− = ⋅ − + ∈ =ℝ .

'/1 ( ) ( )1 x 2f x e x 2x 3 , x− = ⋅ − + ∈ ℝ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 x 2 x 2 x x 2 x 2f x e x 2x 3 e x 2x 3 e 2x 2 e x 2x 3 2x 2 e x 1

− NN = ⋅ − + = ⋅ − + + ⋅ − = ⋅ − + + − = ⋅ +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )21 x 2 x 2 x x 2 x

f x e x 1 e x 1 e 2x e x 2x 1 e x 1 0− NNN = ⋅ + = ⋅ + + ⋅ = ⋅ + + = ⋅ + !

και το + ‚ Œ ισχύει µόνο για | ‚ F1.

}ρα η iF1 είναι κυρτή στο ℝ .

( ) ( )1 0 2f 0 e 0 2 0 3 3− = ⋅ − ⋅ + =

( ) ( ) ( )1 0 2f 0 e 0 1 1− N = ⋅ + =

ε b ( ) ( ) ( ) ( )1 1y f 0 f 0 x 0 y 3 x y x 3− − N− = ⋅ − ⇔ − = ⇔ = +

η εφαπτοµ!νη της 1f C − στο σηµείο της 'y0D>.

Η iF1 είναι κυρτή στο ℝ #ρα η 1

f

C − )ρίσκεται π#νω από την yε> µε εξαίρεση το σηµείο

επαφής '.

( ) ( ) ( ) ( )1 1

1 x 2

0 0E f x x 3 dx e x 2x 3 x 3 dx− = − + = ⋅ − + − + = ∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( )1

21 1 1

x 2 x 2

0 0 00

xe x 2x 3 dx x 3 dx e x 2x 3 dx 3x

2

N= ⋅ − + − + = ⋅ − + − + =

∫ ∫ ∫

( ) ( )1 1

x 2 x 2

00

1e x 2x 3 e x 2x 3 dx 3

2

N = ⋅ − + − ⋅ − + − − = ∫

( ) ( ) ( )1 1

x x

0 0

1 12e 3 e 2x 2 dx 3 2e 3 e 2x 2 dx 3

2 2

N= − − ⋅ − − − = − − ⋅ − − − =∫ ∫

( ) ( )11 1

x x x

0 00

1 12e 3 e 2x 2 e 2x 2 dx 3 2e 3 2 2 e 3

2 2N = − − ⋅ − + ⋅ − − − = − − + − − = ∫

1 212e 3 2 2e 2 3 4e τ.µ.

2 2

= − − + − − − = −

'*1G) 12D @?Q2D




ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =LI

( ) ( ) ( )1 x 2

1λ f x e x 1− N= = ⋅ +

( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )1

1

2 x 22f f x 1

1 1λ f f x

e x 1e f f x 1−

−

−N= = =

⋅ +⋅ +

Aποµ!νως "1 œ "= ‚ 1.

l2D @?Q2D

Aίναι ( )( )1f f x x− = για κ#θε x ∈ ℝ

6αραγωγί$ουμε κατ# μ!"η και !χουμεb

( )( ) ( ) ( ) ( )1 1

2 1f f x f x x λ λ 1− − N NN ⋅ = ⇔ ⋅ = .

GG) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )2 2 2

1 1 1AB d x x f x f x x 2 f x x− − −= = − + − = −

12D @?Q2D

~χουµε αποδείξει ότι ( ) ( )1f x x 3 0− − + ! για κ#θε x ∈ ⇔ℝ ( )1f x x 3− − ! για κ#θε x ∈ ℝ

και το + ‚ Œ ισχύει µόνο για | ‚ 0.

( ) ( ) ( )( ) ( )( )2

1 1AB d x 2 f x x 2 f x x 3 2

− −= = − = ⋅ − ! .

2D @?Q2D

@εωρ7 τη συν#ρτηση d µε ( ) ( )1g x f x x, x−= − ∈ ℝ .

Aίναι ( ) ( ) ( )1g x f x 1− NN = − και ( ) ( ) ( )1g x f x 0− NNNN = ! και το + ‚ Œ ισχύει µόνο για | ‚ F1.

}ρα η dŽ είναι γνησίως αύξουσα και επειδή dŽy0> ‚ 0 η dŽ !χει μοναδική ρί$α το 0.

( ) ( ) ( )

g

g x 0 g x g 0 x 0

N`

N N N> ⇔ > ⇔ > .

Aίναι ( ) ( ) ( )g x g 0 g x 3! ⇔ !

#ρα ( ) ( ) ( ) ( )2AB d x 2g x g x 2 3 2= = = ⋅ ! .

Aπομ!νως η απόσταση 'B γίνεται ε"#χιστη όταν | ‚ 0 και η ε"#χιστη αυτή απόσταση

είναιmind 3 2= .




ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =LJ

ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. =LL

) (B4B$6$AJ /!!/)'A6$9α3 #56789#1

f(x) 2x 42x 4

= + ++

1

α) Να @8$A9$ 96 $NA#D# 9J $dαF9B4H6J 9J 8αd3>KJ Fα87#9α#J 9J f #9B

#4$AB FB5 9H46$3 9B6 7NB6α lrl 1

@) Να @8$A9$ 93J α#<4F9D9$J 9J 8αd3>KJ Fα87#9α#J 9J #56789#J f1

) Να 5FB%BA#$9$ 9B $4@αML6 9B5 ;D8AB5 FB5 F$83>%$A$9α3 αFL 9 8αd3>K

Fα87#9α# 9J #56789#J f0 9B6 7NB6α 9D6 x >α3 93J $5?$A$J x=!0 x=1

Cύση

α) ( ) 1 17

f 0 44 4

= + =

( )( )

2

2f x 2

2x 4

N = −

+

και ( ) 2 1 15

f 0 2 2

16 8 8

N = − = − = .

yε>b h F iy0> ‚ iŽy0>œy| F 0> ⇔ yε>b h F17

4‚

15

8| ⇔ yε>b h ‚

15

8| P

17

4.

@) si ‚ ℝ Ÿ•=€

- ( )x 2 x 2

1lim f x lim 2x 4

2x 4+ +→− →−

= + + = +∞ +

#ρα η ]i !χει κατακόρυφη ασύµπτωτη την ευθεία | ‚ Ÿ=.

-

( )2

2 2

2 2x x x x x

1 4x 16x 16 12x 4f x 4x 16x 17 4x2x 4 2x 4lim lim lim lim lim 2 λ

x x x 2x 4x 2x→+∞ →+∞ →+∞ →+∞ →+∞

+ + ++ + + ++ += = = = = =+

( )x x x

1 1lim f x λ x lim 2x 4 2x lim 4 4 β

2x 4 2x 4→+∞ →+∞ →+∞

− = + + − = + = = + +

#ρα η ]i !χει π"#για ασύµπτωτη στο Pš την ευθεία h ‚ =| P E.

tµοια στο Ÿš

) Aίναι iy|> › 0 στο δι#στημα „0 1….

( ) ( )

11 1

2

0 00

ln 2x 41 ln 6 ln 4 ln 6E f x dx 2x 4 dx x 4x 1 4 5 ln 2 τ.µ.

2x 4 2 2 2 2

+ = = + + = + − = + + − = + − + ∫ ∫

/)(B4B$6$AJ /!!/)C#9D Fα8αDA#34 #56789# ( )f : 0, +∞ → ℝ 3α 96 BFBAα

3#;<B56 f() = ! >α3 xfr(x) q/f(x) = x0 3α >7?$ ( )x 0,∈ +∞ 1

α) Να αFBM$AN$9$ L93 #56789#2

f(x)h(x)=

x $A6α3 6#ADJ α<NB5#α #9B ( )0,+∞ 1

@) Να @8$A9$ 9B6 9<FB 9J #56789#J f1

Cύση

α) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

2 4 4 3 2

x x f x 2f xf x f x x f x 2x x 1h x 0

x x x x x

N N⋅ − N ⋅ − ⋅ N = = = = = >

#ρα η ` είναι γνησίως αύξουσα στο y0 Pš>.

@) Aίναι ( ) ( )

2 2

f x1 1h x

x x x

N N N = ⇔ = −

#ρα από συν!πειες @.?.Τ.( )

2

f x 1c

x x= − + ⇔ iy|> ‚

Ÿ| P ^œ|= |‰0

%ια | ‚ 1b iy1> ‚ Ÿ1 P ^ ⇔ 0 ‚ Ÿ1 P ^ ⇔ ^ ‚ 1.

Aπομ!νως iy|> ‚ |= F | | ‰ 0.

*)(B4B$6$AJ /!!*)'A6$9α3 #56789#4

x 3, x3

f(x)4

2x 1, x3

− − $ −=

+ > −

α) Να αFBM$AN$9$ L93 f $A6α3 #56$;KJ #9B 0

4x

3= − 1

@) Να $N$97#$9$ α6 f $A6α3 Fα8αDA#34 #9B 0

4x

3

= − 1

) Γ3α4

x3

, − 0 6α @8$A9$ 96 f r(x) >α3 6α %<#$9$ 96 $NA#D# f(x) … f r(x) =1

21

Cύση

α)

( ) ( )

( ) ( )

4 4x x

3 3

04 4

x x3 3

4 5lim f x lim x 3 3

3 3

8 5 4lim f x lim 2x 1 1 f συνε"ής στο x

3 3 3

4 4 5f 3

3 3 3

− −

+ +

→− →−

→− →−

7= − − = − = −

= + = − + = − % = −8

− = − = − 9

@)

( )

4 4 4x x x

3 3 3

4 45f x f xx 33 33lim lim lim 1

4 4 4x x x

3 3 3

− − −

→− →− →−

− − − +− − + = = = −

+ + +

( )

4 4 4x x x

3 3 3

4 45f x f 2 x2x 13 33

lim lim lim 24 4 4x x x3 3 3

+ + +→− →− →−

− − ++ +

= = =+ + +

#ρα η i δεν είναι παραγωγίσιµη στο0

4x

3= − .

) ( )

41, x

3f x

42, x

3

− < −N = > −

- ( ) ( )4 1 1 9x : f x f x x 3 1 x

3 2 2 2N< − + = ⇔ − − − = ⇔ = −

( ) ( )4 1 1 5

x : f x f x 2x 1 2 x3 2 2 4

N> − + = ⇔ + + = ⇔ = −

&)(B4B$6$AJ /!!*)'A6$9α3 #56789# f Mα3 L93 f r $A6α3 6#ADJ α<NB5#α #9B M37#94α

(!0 …Œ):

α) Να αFBM$AN$9$ L93 3α >7?$ x t ! 5F78;$3 ( )ξ 0,x∈ 9H9B3BJ I#9$ f(x) = x ‰ f r(N)1

@) Να αFBM$AN$9$ L93 #56789# xf(x)h(x) e , x 0

x= + > $A6α3 #56789# q #9B

M37#94α (!0 …Œ)1

) Α6 j(x) = Qx … x … x0 6α 5FB%BA#$9$ 9B B%B>%K8D4α : ( )e 1

1I f x+1 dx

−= ∫ 1

Cύση

α) ~στω | ‰ 0. Aφαρμό$ουμε @.?.Τ. με την i στο „0 |….

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. D0=

Sπ#ρχει ( )ξ 0,x∈ τ!τοιο 7στε ( ) ( ) ( ) ( )f x f 0 f x

f ξx 0 x

−N = =

− #ρα iy|> ‚ |œiŽyξ>.

@) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

x x x

2 2 2

x f x f ξf x x f x x f x x f ξh x e e e

x x x

N N⋅ − N N N⋅ − ⋅ − ⋅ N = + = + = + =

( ) ( ) xf x f ξe 0

x

N N−= + > y ( ) ( ) ( ) ( )f

x ξ f x f ξ f x f ξ 0`

N N N N> ⇔ > ⇔ − > >

#ρα η ` είναι γνησίως αύξουσα στο y0 Pš> #ρα η ` είναι +1 F 1Œ στο y0 Pš>.

) ( ) ( ) ( )

( )x 5 x x 5 5 6 2f x f x

h x e x x e e x x x x f x x xx x

= + + ⇔ + = + + ⇔ = + ⇔ = +

( ) ( ) ( )

e7 3 7 3 7 3

e 1 e e6 2

1 2 22

u u e e 2 2I f x 1 dx f u du u u du

7 3 7 3 7 3

− = + = = + = + = + − −

∫ ∫ ∫

y_ ‚ | P 1 ” e_ ‚ e|

Š | ‚ 1 → _ ‚ =

Š | ‚ 4 F 1 → _ ‚ 4>

) (B4B$6$AJ /!!&)'A6$9α3 #56789#

2x , x 0

f(x) αx β, 0 x 1

1 xlnx, x 1

− $

= + < < + !

LFB5 α,β ∈ ℝ 1

α) Να @8$A9$ 9α α >α3 @ H9#3 I#9$ f 6α $A6α3 #56$;KJ #9B F$MAB B83#4B< 9J1

@) Α60 3α 9B5J F8α4α93>B<J α83?4B<J α >α3 @0 3#;<$3: α = >α3 @ = !0 9L9$:

G) Να 5FB%BA#$9$ 9B2x

f(x)lim

x→+∞1

GG) Να 5FB%BA#$9$ 9α L83α :x 1 x 1

f(x) f(1) f(x) f(1)lim , lim

x 1 x 1+ −→ →

− −− −

1

Cύση

α)

( ) ( )

( ) ( )

( )

2

x 0 x 0

x 0 x 0

lim f x lim x 0

lim f x lim αx β β β 0

f 0 0

− −

+ +

→ →

→ →

7= − =

= + = % =8

= 9

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. D0D

( ) ( )

( ) ( )

( )

β 0

x 1 x 1

x 1 x 1

lim f x lim αx β α β α

lim f x lim 1 xlnx 1 α 1

f 1 1

− −

+ +

=

→ →

→ →

7= + = + =

= + = % =8

= 9

@) %ια α ‚ 1 και ) ‚ 0 είναι ( )

2x , x 0

f x x, 0 x 1

1 xlnx, x 1

− $

= < < + !

G1( )

2 2x x DL H x DL H x

1f x 1 xlnx 1 lnx xlim lim lim lim 0

x x 2x 2

+∞ +∞ +∞ +∞

N N→+∞ →+∞ →+∞ →+∞

+ += = = = .

GG1( ) ( )

x 1 x 1

f x f 1 x 1lim lim 1

x 1 x 1− −

→ →

− −= =

− −

( ) ( )0

0

DL Hx 1 x 1 x 1

f x f 1 1 xlnx 1 1 lnxlim lim lim 1

x 1 x 1 1+ + +

N→ → →

− + − += = =

− −.

H>(B4B$6$AJ /!!)"$D8B<4$ 9 #56789#

xα e , x 0f(x)

xlnx , x 0

+ $=

> LFB5 α ∈ ℝ 1

^) Να 5FB%BA#$9$ 9B6 F8α4α93>L α83?4L α I#9$ #56789# f 6α $A6α3 #56$;KJ

#9B x!=! 1

Y) Α6 3α 9B6 F8α4α93>L α83?4L α 3#;<$3 α = 2 :

G) Να $N$97#$9$ α6 f $A6α3 Fα8αDA#34 #9B x!=! 1

GG) Να @8$A9$ 9α M3α#9K4α9α 4B6B9B6AαJ 9J f1

GGG) Να 5FB%BA#$9$ 9B $4@αML6 9B5 ;D8AB5 FB5 F$83>%$A$9α3 αFL 9 8αd3>K

Fα87#9α# 9J f0 9B6 7NB6α xrx >α3 93J $5?$A$J x = >α3 x = Q1

Cύση

Α)

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

x

x 0 x 0

DL Hx 0 x 0 x 0 x 0 x 0

2

lim f x lim α e α 1

1lnx xlim f x lim x lnx lim lim lim x 0 α 1 0 α 11 1

x x

f 0 0

− −

+ + + + +

→ →

+∞ +∞

N→ → → → →

7= + = +

= ⋅ = = = − = % + = ⇔ = −8−=9

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. D0E

Β)G)

( ) ( )

( ) ( )

0

x x0

DL Hx 0 x 0 x 00

x 0 x 0 x 0

f x f 0 e 1 elim lim lim 1

x 0 x 1 f δεν είναι παραγωγίσιµη στο x =0

f x f 0 xlnxlim lim lim lnx

x 0 x

− − −

+ + +

N→ → →

→ → →

7− − = = = − %8

−= = = −∞

− 9

GG) ( )xe , x 0

f x1 lnx, x 0

<N =

+ >

Η i είναι γνησίως αύξουσα στα yŸš 0… και „4Ÿ1 Pš> εν7 η i είναι γνησίως φθίνουσα στο „0

4Ÿ1….

GGG) 9το δι#στημα „1 4… είναι iy|> ‚ |3| › 0.

( ) ( )e

2 2 2 2e e e e e

1 1 1 1 11

x x x e xE f x dx xlnxdx lnxdx lnx lnx dx 0 dx

2 2 2 2 2

N N= = = = − = − −

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

e2 2 2 2 2

1

e x e e 1 e 10 0 τ.µ.

2 4 2 4 4 4

+= − − = − − + =

+)(B4B$6$AJ /!!)"$D8B<4$ 9 #56789#

f(x) = x q PZx … Qx 0 ( )x 1,∈ +∞ 1

α) Να αFBM$AN$9$ L93 f $A6α3 6#ADJ α<NB5#α #9B M37#94α (0…Œ)1

@) Να @8$?B<6 9α L83α:

x

x x x

lnx elim , lim , lim f(x)

x x→+∞ →+∞ →+∞

) ƒα αFBM$AN$9$ L93 $NA#D# f(x)=/!! H;$3 4B6αM3>K %<# #9B M37#94α (0…Œ)1

M) C#9De f(e)

-1

2 f(2)f(x)dx f (x)dxM = +∫ ∫ 1 Να 5FB%BA#$9$ 96 934K 9J Fα87#9α#J Π q

/PZ/ 1

Cύση

α) ( ) ( )x x x1 x 1f x x lnx e 1 e e 0

x x

−NN = − + = − + = + > για | ‰ 1 #ρα η i είναι γνησίως

αύξουσα στο y1 Pš>.

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. D0G

@) ( ) ( )x

x

x x x

lnx elim f x lim x lnx e lim x 1

x x→+∞ →+∞ →+∞

= − + = − + = +∞

διότιb Šxlim x→+∞

= +∞

Šx DL H x

1lnx xlim lim 0x 1

+∞ +∞

N→+∞ →+∞= =

Šx x

x DL H

e elim lim

x 1 x

+∞ +∞

N→+∞ →+∞= = +∞ .

) ( ) ( )x

x 1 x 1lim f x lim x lnx e 1 e

+ +→ →= − + = +

#ρα iyy1 Pš>> ‚ y1 P 4 Pš>

( )( )2005 f 1,∈ +∞ και η i είναι γνησίως αύξουσα στο y1 Pš> #ρα η εξίσωση iy|> ‚ =00G !χει

µοναδική "ύση στο y1 Pš>.

M) ( ) ( )( )

( )e f e1

2 f 2f x dx f x dx−M = +∫ ∫

y_ ‚ iŸ1y|> ” | ‚ iy_> ” e| ‚ iŽy_>e_

Š | ‚ iy=> → _ ‚ =

Š | ‚ iy4> → _ ‚ 4>

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )e e e e e

22 2 2 2f x dx uf u du f x xf x dx xf x du xf x ef e 2f 2NN N= + = + = = = − = ∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( )e 2 2 1 e 2 1 e 2e e lne e 2 2 ln2 e e e e 4 2ln2 2e e e e 4 2ln2+ += − + − − + = − + − + − = − − − +

#ρα 1 e 22ln2 e e e 4+M − = − − − .

V)(B4B$6$AJ /!!-)'A6$9α3 #56789# f(x) = PZ(x q ) … /x q /1

α) ΠB3B $A6α3 9B F$MAB B83#4B< 9J #56789#J fh

@) Να αFBM$AN$9$ L93 #56789# f $A6α3 6#ADJ α<NB5#α1

) Να @8$A9$ 9B #<6B%B 934I6 9J #56789#J f1

M) Να αFBM$AN$9$ L93 $NA#D# f(x)=/!!- H;$3 4B6αM3>K %<# #9B F$MAB B83#4B< 9J

#56789#J i.

Cύση

α) 6ρ!πει | ‰ G #ρα si ‚ yG Pš>.

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. D0H

@) ( ) ( ) 1

f x ln x 5 2x 12 2 0x 5

NN = − + − = + > − για | ‰ G

#ρα η i είναι γνησίως αύξουσα στο yG Pš>.

) ( ) ( )x 5 x 5lim f x lim ln x 5 2x 12

+ +→ →= − + − = −∞

διότι ( )x 5lim ln x 5

+→− = −∞ και ( )

x 5lim 2x 12 2

+→− = − .

Š ( ) ( )x xlim f x lim ln x 5 2x 12→+∞ →+∞

= − + − = +∞

διότι ( )xlim ln x 5→+∞

− = +∞ και ( )xlim 2x 12→+∞

− = +∞ .

Το σύνο"ο τιμ7ν της i είναι το iyyG Pš>> ‚ ℝ .

M) ( )2006 f 5,∈ +∞ και η i είναι γνησίως αύξουσα στο yG Pš> #ρα η εξίσωση iy|> ‚ =00H !χει

µοναδική "ύση στο yG Pš>.

.) (B4B$6$AJ /!!+) 'A6$9α3 #56789# ( )1

f(x) ln x , x 0,4x

= + ∈ +∞ 1

α1 Να αFBM$AN$9$ L93:5

1 1f 0, f 0

e 4

> <

>α3 ( )5f e 0> 1

@1 Να @8$A9$ 96 $NA#D# 9J $dαF9B4H6J 9J 8αd3>KJ Fα87#9α#J 9J

#56789#J f #9B #4$AB Μ(0 f())1

1 Να @8$A9$ 9α M3α#9K4α9α 4B6B9B6AαJ 9J f1

M1 Να αFBM$AN$9$ L93 $NA#D# f(x) = ! H;$3 α>83@IJ M

21 1 1f ln ln2 1 2ln2 1 0

14 44

4

− = + = + = − + <

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. D0I

( )5 5

5 5

1 1f e lne 5 0

4e 4e= + = + > .

@1 ( ) 1 1

f 1 ln1

4 4

= + =

( ) ( ) 2 2

1 1 1 1 1 4x 1f x lnx lnx , x 0

4x 4 x x 4x 4x

N N − NN = + = + = − = >

( ) 3

f 14

N =

yε>b h F iy1> ‚ iŽy1> œ y| F 1> ⇔ yε>b h F1

4‚

3

4y| F 1> ⇔ yε>b h ‚

3

4| F

1

2.

1

Η i είναι γνησίως φθίνουσα στο1

0,4

εν7 η i είναι γνησίως αύξουσα στο1

,4

+∞ .

M1 Η i είναι γνησίως φθίνουσα στο1

0,4

εν7 η i είναι γνησίως αύξουσα στο1

,4

+∞

#ρα η i !χει = το πο"ύ ρί$ες y1>.

-

Η i είναι συνεχής στα5

1 1,

e 4

51,e

4

.

-

5

1 1f 0, f 0

e 4

> <

και iy4G> ‰ 0.

'πό @. r2‹/32 υπ#ρχει !να του"#χιστον1 5

1 1x ,

e 4

∈

και !να του"#χιστον 5

2

1x ,e

4

∈

τ!τοια 7στε iy|1> ‚ iy|=> ‚ 0 y=>.

'πό y1> και y=> η εξίσωση iy|> ‚ 0 !χει ακρι)7ς δύο ρί$ες στο δι#στημα y0 Pš>.

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. D0J

!) (B4B$6$AJ /!!+) C#9D f 4Aα Fα8αDA#34 #56789# #9B ℝ 0 3α 96 BFBAα

3#;<$3 ( ) ( ) -3xf x f x 4eN − = − >α3 f(!) = /1

α1 Να αFBM$AN$9$ L93 #56789# j(x) = Qq x f(x) q Qq &x $A6α3 #9α?$8K1

@1 Να αFBM$AN$9$ L93:x

3x

1f(x) e e= + 1

1 Να 5FB%BA#$9$ 9B B%B>%K8D4α:x

0I(x) f(t)dt= ∫ 1

M1 Να @8$A9$ 9B2x

I(x)lim

x→+∞1

Cύση

α1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x 4x x 4x x 4x x 4xh x e f x e e f x e e f x 4e e f x f x 4e− − − − − − − −NN N N = ⋅ − = − ⋅ − + ⋅ + = ⋅ − + =

( )x 3x 4x 4x 4xe 4e 4e 4e 4e 0− − − − −= ⋅ − + = − + =

#ρα η ` είναι σταθερή στο ℝ .

@1 `y0> ‚ 40 œ iy0> F 40 ‚ = F 1 ‚ 1 #ρα `y|> ‚ 1 για κ#θε x ∈ ℝ .

Aίναι ( ) ( ) ( )

( )xe

x 4x x 4x x

x 4x 3x

f x 1 1e f x e 1 e f x 1 e 1 f x e

e e e

⋅− − − −⋅ − = ⇔ ⋅ = + ⇔ = + ⇔ = + .

1 ( ) ( ) ( )x x3t

x xt 3t t t

3t0 000

e 1I x f t dt e e dt e e

3 3e

−− = = + = − = − =

∫ ∫

x 0 x

3x 0 3x

1 1 1 2e e e

3e 3e 3e 3

= − − − = − −

.

M1 ( )

x 3xx 3x x 3x

2 2x x DL H x DL H x

1 2e e

I x e e e 3e3 3lim lim lim limx x 2x 2

+∞ +∞ − − −+∞ +∞

N N→+∞ →+∞ →+∞ →+∞

− −+ −= = = = +∞ .

) (B4B$6$AJ /!!V) 'A6$9α3 #56789# f 4$x lnx

f(x) , x 0x

+= > 1

α1 Να 4$%$9?$A #56789# f DJ F8BJ 9 4B6B9B6Aα >α3 9α α>8L9α9α1

@1 Να 5FB%BA#$9$ 9U L83Uxlim f(x)→+∞

1

1 Να 5FB%BA#$9$ 9B B83#4H6B B%B>%K8D4α:2e

1I f(x)dx= ∫ 1

Cύση

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. D0L

α1 Š ( ) 2

1 lnxf x

x

−N =

Š iŽy|> ‚ 0 % 1 F 3| ‚ 0 % | ‚ 4.

@1 ( )DLH

x x x

11

x lnx xlim f x lim lim 1x 1→+∞ →+∞ →+∞

++= = = .

1

( ) ( )2 2 2 2 2 2 2e e e e e e e

1 1 1 1 1 1 1

x lnx lnx lnxI f x dx dx 1 dx 1dx dx 1dx lnx lnx dx

x x x

+ N= = = + = + = + ⋅ = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

" # ( )

( )

2

2

e2

e 2 2

1

1

lnxx e 1 2 e 1

2

= + = − + = +

.

/)(B4B$6$AJ /!!V) 'A6$9α3 #56789# f 4$ f(x) = 4x0 LFB5 x ∈ ℝ 1

α1 Να @8$A9$ 96 $NA#D# 9J $dαF9B4H6J $5?$AαJ #9B #4$AB (!0 f(!)) 9J 8αd3>KJ

Fα87#9α#J 9J f1

@1 Να 5FB%BA#$9$ 9B $4@αML6 9B5 ;D8AB5 FB5 F$83>%$A$9α3 αFL 9 8αd3>K

Fα87#9α# 9J f >α3 93J $5?$A$J l = x >α3 l = 1

1 Να αFBM$AN$9$ L93 3α >7?$ x ! 3#;<$3 α63#L99α 23µx x x2

> − 1

Cύση

α1 h F iy0> ‚ iŽy0>y| F 0>% h F 0 ‚ 1y| F 0> % h ‚ |.

@1 " #π π

2 2τραπ 00

π 1 π 1 π 3E E µxdx συνx 1 τ.µ.

2 2 2

− − −= − = − − = − =∫

1 @!τω ( ) 23h x µx x x , x 0

2= − + >

`Žy|> ‚ συν| F 1 P D|

`ŽŽy|> ‚ Fημ| P D ‰ 0 #ρα `Ž $ οπότε 0 ‘ | % `Žy0> ‘ `Žy|>% 0 ‘ `Žy|> #ρα ` $ για | ‰ 0

:πότε

( ) ( ) ( ) 2 2 23 3 30 x h 0 h x 0 h x 0 µx x x x x ηµx ηµx x x

2 2 2< % < % < % < − + % − < % > − .

*) (B4B$6$AJ /!!.) 'A6$9α3 #56789# f(x) = xQx q α 0 LFB5 α ∈ ℝ 1

α1 Να @8$?$A 934K 9B5 α0 I#9$ $dαF9B4H6 9J bf #9B #4$AB Α(!0f(!)) 6α $A6α3

Fα87%%% #96 $5?$Aα l=Qx1

@1 Γ3α α= ‘0

G1 6α 4$%$9K#$9$ 9 #56789# f DJ F8BJ 9 4B6B9B6Aα >α3 9α α>8L9α9α0GG1 6α αFBM$AN$9$ L93 B 7NB6αJ xrx $A6α3 B83[L693α α#<4F9D9 9J bf #9B 2Œ1

Cύση

α1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x α x α x α x α x α x αf x x e x e x e e x e x 1 e− − − − − −N NNN = ⋅ = ⋅ + ⋅ = + ⋅ = + ⋅

6ρ!πει ( ) αf 0 e e e α 1 α 1−N = ⇔ = ⇔ − = ⇔ = −

@1G1 %ια α ‚ Ÿ1

iy|> ‚ | œ 4| P 1

iŽy|> ‚ y| P 1> œ 4| P 1

Η i είναι γνησίως φθίνουσα στο yŸšŸ1… εν7 η i είναι γνησίως αύξουσα στο „Ÿ1 Pš>.

:"ικό ε"#χιστο iyŸ1> ‚ Ÿ1.





GG1 ( ) ( ) ( )x 1 x 1

x 1 x 1x x x L Hospital x x

x 1lim f x lim x e lim lim lim e 0

e e

−∞ +∞

+ +− − − −N→−∞ →−∞ →−∞ →−∞ →−∞

= ⋅ = = = − =−

#ρα η ]i !χει ορι$όντια ασύμπτωτη στο Ÿš την ευθεία h ‚ 0 y#ξονας |Ž|>.

&) (B4B$6$AJ /!!.) 'A6B69α3 B3 #56α89K#$3J

f(x) = x q >α3 g(x) = PZx0 x!1

α1 Να αFBM$AN$9$ L93:

f(x) † g(x)0 3α >7?$ x !1

@1 Α6 j(x) = f(x) q g(x)0 9L9$:

G1 Να αFBM$AN$9$ L93:

! ’ j(x) ’ Q q /0 3α >7?$ " #x 1, e∈ 1

GG1 Να 5FB%BA#$9$ 9B $4@αML 9B5 ;D8AB5 FB5 F$83>%$A$9α3 αFL 9 8αd3>K

Fα87#9α# 9J #56789#J j0 9B6 7NB6α xrx >α3 93J $5?$A$J x = >α3 x = Q1

GGG1 Να 5FB%BA#$9$ 9B B%B>%K8D4α " #e

h(x)

1I e h(x) 1 h (x)dxN= +∫ 1

Cύση

α1 12D @?Q2D

@εωρούμε τη συν#ρτηση ` με `y|> ‚ iy|> F dy|> ‚ | F 1 F 3| | ‰ 0.

( ) ( ) 1 x 1

h x x 1 lnx x , x 0x x

−NN = − − = − = >

Η ` παρουσι#$ει ο"ικό ε"#χιστο το `y1> ‚ 0 #ρα για κ#θε | ‰ 0 είναι `y|> › 0 ⇔ iy|> F dy|> ›

0⇔

iy|> › dy|>.

2D @?Q2D

Bρίσκουμε την εφαπτομ!νη της ]d στο σημείο 'y1 0>.

( ) 1

g x , x 0x

N = >

yε>b h F dy1> ‚ dŽy1>œy| F 1> ⇔ h ‚ | F 1.

( ) 21g x , x 0xNN = − > #ρα η d είναι κοί"η στο y0 Pš>.

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. D1D

Γ*1 @εωρούμε τη συν#ρτηση d με dy|> ‚ iy|> F = " #x 1, e∈ .

dy|> ‚ |D F D3| F = " #x 1, e∈

-

η d είναι συνεχής στο „14… ως πρ#ξεις συνεχ7ν

-

dy1> ‚ 1D

F D31 F = ‚ F1 ‘ 0

- dy4> ‚ 4D F D34 F = ‚ 4D F G ‰ 0

από @. r2‹/32 υπ#ρχει μία του"#χιστον ρί$α της d στο δι#στημα y1 4> και επειδή

( ) ( )( )2

2 3 x 1 x x 13

g x 3x 0x x

− + +N = − = > για ( #x 1,e∈

#ρα η d είναι γνησίως αύξουσα στο „1 4… η ρί$α αυτή είναι µοναδική #ρα η εξίσωση iy|> ‚

= !χει µοναδική ρί$α στο y1 4>.

-) (B4B$6$AJ /!!) C#9D Fα8αDA#34 #9B ℝ #56789# f 3α 96 BFBAα

3#;<B56 B3 #;H#$3J

f r(x) = 2 f(x) … x0 x ∈ ℝ >α3 f (!) = !

'1 Να αFBM$AN$9$ L93 #56789#

g(x) = Qx (f(x) q x … )0 x ∈ ℝ 0 $A6α3 #9α?$8K1

'/1 Να αFBM$AN$9$ L93 f(x) = Qq x … x q 0 x ∈ ℝ 1

'*1 Να αFBM$AN$9$ L93 f(x) † !0 3α >7?$ x ∈ ℝ 1

'&1 Να @8$A9$ 9B $4@αML6 9B5 ;D8AB5 FB5 F$83>%$A$9α3 αFL 9 8αd3>K Fα87#9α#

9J f0 9B6 7NB6α xrx >α3 96 $5?$Aα x = 1

Cύση

'1 Aίναι iŽy|> P iy|> F | ‚ 0 x ∈ ℝ y1>

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x x xg x e f x x 1 e f x x 1 e f x x 1 e f x 1N NN N= − + + − + = − + + − =

( ) ( ) ( ) ( )x xe f x x 1 f x 1 e f x f x x 0N N= − + + − = + − = από την y1>

#ρα η d είναι σταθερή στο ℝ .

'/1 ( ) ( )0g 0 e f 0 0 1 1= − + = #ρα dy|> ‚ 1 x ∈ ℝ ή

( ) ( ) ( )x x xe f x x 1 1 f x x 1 e f x e x 1, x− −− + = ⇔ − + = ⇔ = + − ∈ ℝ .

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. D1E

'*1 ( )x

x

x x

1 e 1f x e 1 1

e e

− −N = − + = − =

Η i παρουσι#$ει ο"ικό ε"#χιστο το iy0> ‚ 0 #ρα για κ#θε x ∈ ℝ είναι iy|> › 0.

'&1 ( ) ( )1

21 1

x x 1

0 00

x 1 1 1 e 2E f x dx e x 1 dx e x e 1 1 τ.µ.

2 2 2 e 2e

− − − −= = + − = − + − = − + − + = − =

∫ ∫

+)(B4B$6$AJ /!) 'A6$9α3 #56789# f(x) = x q PZ(Qx … ) 0 x ∈ ℝ 1

Γ1 Να αFBM$AN$9$ L93 #56789# f $A6α3 6#ADJ α<NB5#α1

Γ/1 Να αFBM$AN$9$ L93 #56789# f $A6α3 >BA%1

Γ*1 Να αFBM$AN$9$ L93:

xf r(x) • f(x) … PZ/ 0 3α >7?$ ( )x 0,∈ +∞ 1

Cύση

Γ1 ( ) ( )x x x

x

x x x

e e 1 e 1f x x ln e 1 1 0

e 1 e 1 e 1

+ −N N = − + = − = = > + + +


Γ/1 ( ) ( )

( ) ( )

x x

2 2xx x

e 11 ef x 0

e 1 e 1 e 1

NN + NN = = − = − < + + + #ρα η i είναι κοί"η στο ℝ .

Γ*1 12D @?Q2D

%ια κ#θε | ‰ 0 η i είναι παραγωγίσιμη στο „0 |… #ρα από @.?.Τ. υπ#ρχει

( )0

x 0, x∈

τ!τοιο 7στε

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0

f x f 0 f x ln2 f x ln2f x

x 0 x x

− − − +N = = =

−

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x 0

0 0

f x ln20 x x f x f x f x f x ln2 x f x x f x f x ln2

x

Na >+N N N N N< < ⇔ > ⇔ > ⇔ + > ⋅ ⇔ ⋅ < +

.

2D @?Q2D

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. D1G

@εωρούμε τη συν#ρτηση d με ( ) ( ) ( )g x x f x f x ln2, x 0N= ⋅ − − !

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )g x x f x f x ln2 f x x f x f x x f x 0NN N N NN N NN= ⋅ − − = + ⋅ − = ⋅ < για | ‰ 0

#ρα η d είναι γνησίως φθίνουσα στο „0 Pš>.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )g

x 0 g x g 0 x f x f x ln2 0 x f x f x ln2a

N N> ⇔ < ⇔ ⋅ − − < ⇔ ⋅ < + .

V)(B4B$6$AJ /!) C#9D #56$;KJ #56789#( )ln x 1

f(x) , x 1x 1

+= > −

+1

'/1 Να 4$%$9K#$9$ 9 #56789# f DJ F8BJ 9 4B6B9B6Aα >α3 9α α>8L9α9α >α3 6α

αFBM$AN$9$ L93:

( )e

x 1x 1 e ++ $ 0 3α >7?$ x 1> − 1

'*1 Να @8$A9$ 9B $4@αML6 9B5 ;D8AB5 FB5 F$83>%$A$9α3 αFL 9 8αd3>K Fα87#9α#

9J f0 9B6 7NB6α xrx >α3 96 $5?$Aα x = Q q 1

'&1 Να αFBM$AN$9$ L93:

(x…)/ = /x… ⇔ f(x) = f() 0 x t 2

>α3 #9 #56H;$3α 6α αFBM$AN$9$ L93 $NA#D#

(x…)/ = /x… 0 x t 2

H;$3 M83@IJ %<#$3J0 93J x = >α3 x = *1

Cύση

'/1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )2

ln x 1 x 1 ln x 1 x 1ln x 1f x

x 1 x 1

NN N+ ⋅ + − + ⋅ + + N = = = + +

( ) ( )

( )

( )

( )

2 2

1x 1 ln x 1 1 1 ln x 1x 1 , x 1

x 1 x 1

⋅ + − + ⋅ − ++= = > −+ +

( ) ( )

( )( ) ( )2

1 ln x 1f x 0 0 1 ln x 1 0 ln x 1 1 x 1 e x 1 e

x 1

− +N = ⇔ = ⇔ − + = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = −

+

Η i παρουσι#$ει ο"ικό μ!γιστο το iy4 F 1> ‚1

e

#ρα για κ#θε | ‰ Ÿ1 είναιb




ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. D1H

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )ee eln x 1 x 1 x 1

ln x 11 1f x e ln x 1 x 1 ln x 1 x 1 e e x 1 e

e x 1 e

+ + ++$ ⇔ $ ⇔ ⋅ + $ + ⇔ + $ + ⇔ $ ⇔ + $

+.

'*1 ( ) ( ) ( )ln x 1f x 0 0 ln x 1 0 x 0x 1

+= ⇔ = ⇔ + = ⇔ =+

'να$ητ7 το πρόσημο της i στο „0 4 F 1….

( ) ( ) ( ) ( )f 1

0 x e 1 f 0 f x f e 1 0 f xe

`

$ $ − ⇔ $ $ − ⇔ $ $

( ) ( ) ( )

e 12

e 1 e 1

0 0

0

ln x 1 ln x 1 1E f x dx dx τ.µ.

x 1 2 2

−− − + +

= = = = +

∫ ∫

'&1 %ια | ‰ Ÿ1 !χουµεb

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )2 2x 1 x 1

ln x 1 ln 2x 1 2 ln x 1 ln 2 2 ln x 1 x 1 ln 2 f x f 1

x 1 2

+ + ++ = ⇔ + = ⇔ + = + ⇔ = ⇔ =

+

16 8=76

@εωρούμε τη συν#ρτηση d με dy|> ‚ iy|> F iy1>

~στω ότι η d !χει D ρί$ες ρ1 ρ= ρD με ρ1 ‘ ρ= ‘ρD

Η d είναι παραγωγίσιμη στα „ρ1 ρ=… και „ρ= ρD… #ρα από @. k24 υπ#ρχουν ( )1 1 2x ρ , ρ∈ και

( )2 2 3x ρ ,ρ∈ τ!τοια 7στε dŽy|1> ‚ dŽy|=> ‚ 0

tµως dŽy|> ‚ iŽy|> και η iŽ !χει μοναδική ρί$α το 1 F 4.

'Τ:6: #ρα η d !χει το πο"ύ δύο ρί$ες. Aίναι dy1> ‚ dyD> ‚ 0 #ρα η εξίσωση iy|> ‚ iy1> !χει

ακρι)7ς δύο "ύσεις τις | ‚ 1 και | ‚ D.

6 8=76

-

9το δι#στημα *1 ‚ yŸ1 4 F 1>

η εξίσωση iy|> ‚ iy1> !χει προφανή "ύση την | ‚ 1 και επειδή η i είναι γνησίως αύξουσα στο

*1 η εξίσωση iy|> ‚ iy1> !χει μοναδική "ύση στο *1 την | ‚ 1.

-

9το δι#στημα *= ‚ „4 F 1 Pš>

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. D1J

Η i είναι κυρτή.

Η ]i )ρίσκεται π#νω από την εφαπτοµ!νη µε εξαίρεση το σηµείο επαφής #ρα iy|> ›

1 ⇔ 4=| F =| F 1 › 0.

}ρα ( )

12x 2 2

1 12x 2

0 00

e e 1 e 5E f x 1 dx e 2x 1 dx x x 2 τ.µ.2 2 2 2

− = − = − − = − − = − − = ∫ ∫

/!)(B4B$6$AJ /!/) C#9D Fα8αDA#34 #56789# f: →ℝ ℝ 3α 96 BFBAα

3#;<B56:

-

x 2

f(x) 2lim 2

x 2→

−=

−

- f(!) = / >α3

- f r $A6α3 6#ADJ α<NB5#α1

'1 Να αFBM$AN$9$ L93 f(/) = f r(/) = /1

'/1 Να αFBM$AN$9$ L93 5F78;$3 4B6αM3>L ( )ξ 0,2∈ 9H9B3B0 I#9$ $dαF9B4H6 9J

8αd3>KJ Fα87#9α#J 9J f #9B #4$AB (N0 f(N)) 6α $A6α3 Fα87%%% F8BJ 9B6 7NB6α

xrx1

'*1 Να αFBM$AN$9$ L93 f(x) † f(N) 3α >7?$ x ∈ ℝ 1

'&1 Α6 $F3F%HB6 MA6$9α3 L93 f(N) t !0 9L9$ 6α αFBM$AN$9$ L93 $NA#D#

x2

1f(t)dt x 2x, x= − ∈∫ ℝ

H;$3 4Aα 9B5%7;3#9B6 8A[α #9B M37#94α (!0 )1

Cύση

'1 @εωρούµε συν#ρτηση φ µε ( ) ( )f x 2

φ x

x 2

−=

−

.

Tσχύει ( )x 2lim φ x 2

→= .

Aίναι iy|> ‚ y| F =>œφy|> P =

Š ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f συνε"ής

x 2 x 2 x 2 x 2f 2 lim f x lim x 2 φ x 2 lim x 2 lim φ x 2 0 2 2

→ → → →= = − ⋅ + = − ⋅ + = ⋅ =

Š ( ) ( ) ( ) ( )

x 2 x 2

f x f 2 f x 2f 2 lim lim 2

x 2 x 2→ →

− −N = = =

− −

'/1 Š Η i είναι συνεχής στο „0 =….

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. D1L

Š Η i είναι παραγωγίσιµη στο y0 =>.

Š iy0> ‚ iy=> ‚ =

από @. k24 υπ#ρχει !να του"#χιστον ( )ξ 0,2∈ τ!τοιο 7στε iŽyξ> ‚ 0 και επειδή η iŽ είναι

γνησίως αύξουσα το ξ είναι μοναδικό. Aπομ!νως υπ#ρχει μοναδικό ( )ξ 0,2∈

τ!τοιο 7στε

η εφαπτομ!νη της ]i στο ?yξ iyξ>> είναι παρ#""η"η στον |Ž|.

'*1 Η iŽ είναι γνησίως αύξουσα #ρα η i είναι κυρτή.

Η εφαπτομ!νη της ]i στο |0 ‚ ξ είναι η h ‚ iyξ>. Η ] i )ρίσκεται π#νω από την εφαπτομ!νη

με εξαίρεση το σημείο επαφής #ρα iy|> › iyξ>.

'&1 @εωρούμε συν#ρτηση d με ( ) ( )x

2

1g x f t dt x 2x, x= − + ∈∫ ℝ .

- Η d είναι συνεχής στο „0 1… ως πρ#ξεις συνεχ7ν.

- ( ) ( ) ( )0 1

1 0g 0 f t dt f t dt= = −∫ ∫ .

-

dy1> ‚ 1 ‰ 0

iy|> › iyξ> ‰ 0 στο „0 1… #ρα ( ) ( )1 1

0 0f t dt 0 f t dt 0> ⇔ − <∫ ∫

Aπομ!νως dy0> œ dy1> ‘ 0.

'πό @. r2‹/32 η εξίσωση dy|> ‚ 0 !χει μια του"#χιστον ρί$α στο y0 1>.

Aπομ!νως η εξίσωση ( )x

2

1f t dt x 2x= −∫ !χει μια του"#χιστον ρί$α στο δι#στημα y0 1>.

/) (B4B$6$AJ /!*) 'A6$9α3 #56789# 2xf(x) ln x x, x 0

2= + > 1

Γ1 Να αFBM$AN$9$ L93 #56789# f $A6α3 6#ADJ α<NB5#α #9B M37#94α (!0 …Œ)0 >α3

6α 4$%$9K#$9$ 96 f DJ F8BJ 96 >589L99α1

Γ/1 Να @8$A9$ H6α6 ?$93>L α>H8α3B α83?4L α 9H9B3B0 I#9$ #9B M37#94α (α0 α … )

$NA#D#

f(x& … /x) = f(&)

6α H;$3 4Aα 9B5%7;3#9B6 8A[α1

Γ*1 Να %<#$9$ #9B M37#94α (!0 …Œ) 96 α6A#D#

2xln x 2 2x< − 1

Cύση

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. D=0

Γ1

( ) ( )

222 2 2

lnx 1 1x 1 x 1 1 ln x 2lnx 2f x ln x x ln x 2lnx 1 ln x lnx 1 0

2 2 2 x 2 2 2

N + ++ + N = + = ⋅ + ⋅ ⋅ + = ⋅ + + = = >

#ρα η i είναι γνησίως αύξουσα στο y0 Pš>.

( ) 21 1 1 lnx 1f x ln x lnx 1 lnx

2 x x x

N + NN = ⋅ + + = ⋅ + =

( ) 1lnx 1 1f x 0 0 lnx 1 x e x

x e

−+NN = ⇔ = ⇔ = − ⇔ = ⇔ =

Η i είναι κοί"η στο1

0,e

εν7 είναι κυρτή στο1

,e

+∞ .

Γ/1 Η i είναι γνησίως αύξουσα #ρα και +1 F 1Œ.

( ) ( )f "1 1"

4 4 4f x 2x f 4 x 2x 4 x 2x 4 0−

+ = ⇔ + = ⇔ + − =

@εωρούμε τη συν#ρτηση d με dy|> ‚ |E P =| F E | ‰ 0.

- Η d είναι συνεχής στο „1 =… ως πο"υωνυμική.

- dy1> ‚ F1 ‘ 0 και dy=> ‚ 1H ‰ 0.

'πό @. r2‹/32 η dy|> ‚ 0 !χει μία του"#χιστον ρί$α στο y1 =>. }ρα α ‚ 1.

/6309C76: Aπειδή η d είναι γνησίως αύξουσα στο y0 Pš> είναι dy|> ‰ 0 για κ#θε | ‰ = #ρα η

τιµή του α είναι µοναδική. Aπίσης είναι dŽy|> ‚ E|D P = ‰ 0 για | ‰ 0 #ρα η d είναι γνησίως

αύξουσα στο y0 Pš> επομ!νως η ρί$α επίσης είναι μοναδική.

Γ*1 ( ) ( )f

2 2 2

x 0

x xxln x 2 2x ln x 1 x ln x x 1 f x f 1 0 x 1

2 2

`

>< − ⇔ < − ⇔ + < ⇔ < ⇔ < < .

//)(B4B$6$AJ /!*) C#9D Fα8αDA#34 #56789# ( )f : 0, +∞ → ℝ 3α 96 BFBAα

3#;<$3:

( )

2

2

x 1f x x

−N = 1 ( )f 1 2=

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. D=1

'/1 Να αFBM$AN$9$ L93

( )2x 1

f x , x 0x

+= >

>α?IJ $FA#J L93 $5?$Aα 4$ $NA#D# l = x $A6α3 α#<4F9D9 9J 8αd3>KJ

Fα87#9α#J 9J f #9B …Œ1

'*1 Να @8$A9$ 9B $4@αML6 9B5 ;D8AB5 FB5 F$83>%$A$9α3 αFL 9 8αd3>K Fα87#9α#

9J f0 96 α#<4F9D9 (l = x) 9J 8αd3>KJ Fα87#9α#J 9J f #9B …Œ >α3 93J $5?$A$J x

= >α3 x = Q/1

'&1 Να αFBM$AN$9$ L93:

( ) f(x) 2

f xx 1

−N >

− 3α >7?$ x t 1

Cύση

'/1 ( )2

2 2

x 1 1 1f x 1 x

x x x

N− N = = − = +

'πό συν!πειες @.?.Τ. ( ) ( )1

f x x c, x 0 2x

= + + >

( ) ( ) ( ) ( )x 1 1

11 3 2t f t dt 1 3f 1 3 8 f 1 2

=

% ⋅ + = + − ⇔ =∫

( ) ( )x 1

2 f 1 2 c 2 2 c c 0=% = + ⇔ = + ⇔ =

( ) ( ) ( )2c 0 1 x 1

2 f x x f x , x 0x x

= +% = + ⇔ = >

( )x x x

1 1lim f x x lim x x lim 0

x x→+∞ →+∞ →+∞

− = + − = =

#ρα η ευθεία h ‚ | είναι η π"#για ασύμπτωτη της ]i στο Pš.

'*1 ( ) 1 1

f x x x x 0x x

− = + − = > στο „1 4=…

#ρα ( ) " #2 2 2e e e 2

11 1

1E f x x dx dx lnx lne ln1 2τ.µ.

x= − = = = − = ∫ ∫

'&1 16 8=76

%ια | ‰ 1 !χουμεb

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. D==

( ) ( ) ( )

( )

2

22 2 2

2 2 2

1 x 1 2xx 2f x 2 x 1x 1 x 1 x 1x xf x

x 1 x x 1 x x 1 x x x 1

+ −+ −− −− − −N > ⇔ > ⇔ > ⇔ > ⇔

− − − ⋅ −

22 x 02 2

2

x 1 x 1x 1 x x x 1

x x

⋅ >− −> ⇔ − > − ⇔ > που ισχύει.

l6 8=76

%ια | ‰ 1 !χουμεb

@.?.Τ. με την i στο δι#στηµα „1 |…

Sπ#ρχει !να του"#χιστον ( )ξ 1, x∈ τ!τοιο 7στεb ( ) ( ) ( ) ( )f x f 1 f x 2

f ξx 1 x 1

− −N = =

− −.

Aίναι ( ) 2 3

1 2f x 1 0

x x

N NN = − = >

για | ‰ 0 #ρα η iŽ είναι γνησίω ς αύξουσα στο y0 Pš>

( ) ( ) ( ) ( )f f x 2

x ξ f x f ξ f xx 1

N` −N N N> ⇔ > ⇔ >

−.

/*) (B4B$6$AJ /!&) 'A6$9α3 #56789# ( ) lnx

f x , x 0x

= > 1

Γ1 Να @8$A9$ 93J α#<4F9D9$J 9J 8αd3>KJ Fα87#9α#J 9J #56789#J f 1

Γ/1 Να 4$%$9K#$9$ 9 #56789# f DJ F8BJ 96 4B6B9B6Aα >α3 #9 #56H;$3α 6α

αFBM$AN$9$ L93:

Qf(x) ’ 3α >7?$ x !

Γ*1 Να 5FB%BA#$9$ 9B $4@αML6 9B5 ;D8AB5 FB5 F$83>%$A$9α3 αFL 9 8αd3>K

Fα87#9α# 9J #56789#J f 0 9B6 7NB6α xrx >α3 96 $5?$Aα1

xe

= 1

Cύση

Γ1 si ‚ y0 Pš>

- ( )x 0 x 0 x 0

lnx 1lim f x lim lim lnx

x x+ + +→ → →

= = ⋅ = −∞

διότιx 0lim lnx

+→= −∞ και

x 0

1lim

x+→= +∞

#ρα η ]i !χει κατακόρυφη ασύμπτω τη την | ‚ 0 yhŽh>.

- ( )

0

0

x x DL H x x

1lnx 1xlim f x lim lim lim 0x 1 x

N→+∞ →+∞ →+∞ →+∞= = = =

#ρα η ]i !χει ορι$όντια ασύμπτω τη την h ‚ 0 y|Ž|>.

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. D=D

Γ/1 ( ) 2 2

1x lnx 1

lnx 1 lnxxf xx x x

⋅ − ⋅N − N = = =

( ) 21 lnxf x 0 0 1 lnx 0 lnx 1 x e

x−N = ⇔ = ⇔ − = ⇔ = ⇔ =

( ) 2

1 lnxf x 0 0 1 lnx 0 lnx 1 x e

x

−N > ⇔ > ⇔ − > ⇔ < ⇔ <

Η i είναι γνησίως αύξουσα στο y0 4… εν7 είναι γνησίως φθίνουσα στο „4 Pš>.

Η i παρουσι#$ει ο"ικό μ!γιστο το ( ) lne 1f ee e

= = .

Aίναι ( ) ( )e

e 0

1f x e f x 1

e

⋅

>$ ⇔ ⋅ $ για κ#θε | ‰ 0.

Γ*1 ( ) lnx

f x 0 0 lnx 0 x 1x

= ⇔ = ⇔ = ⇔ = .

'να$ητούμε το πρόσημο της i στο δι#στημα1

,1e

.

( ) ( )( )

( )f 1 0f 1 1

x 1 f f x f 1 f x 0e e

=` $ $ % $ $ % $

}ρα ( ) ( ) ( )

21 2 22 21 1

1 11e ee

1ln ln1 lne 0 1lnx ln x ln 1 1eE f x dx dx τ.µ.

x 2 2 2 2 2 2

− − = − = − = − = − + = = =

∫ ∫

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. D=E

/&) (B4B$6$AJ /!&) 'A6$9α3 #56789# f(x) = /x … x/ ‘ /x ‘0 x ∈ ℝ 1

'1 Να αFBM$AN$9$ L93 #56789# f $A6α3 >589K #9B ℝ 1 Σ9 #56H;$3α 6α αFBM$AN$9$

L93 $NA#D#:

f(x) = !

H;$3 α>83@IJ Mα3 x/ = 1

'/1 Να αFBM$AN$9$ L93 5F78;$3 4B6αM3>LJ α83?4LJ ( )0x 0,1∈ 9H9B3BJ0 I#9$

$dαF9B4H6 9J 8αd3>KJ Fα87#9α#J 9J #56789#J f #9B #4$AB Α(x!0f(x!)) 6α

$A6α3 Fα87%%:%: #9B6 7NB6α xrx1

'*1 Να αFBM$AN$9$ L93 f(x) • ! 3α >7?$ ( )x 0,1∈ >α30 #9: #56H;$3α0 6α %<#$9$ #9B

M37#94α (!0 ˆ 96 $NA#D#:

( )x

1f t dt x 1= −∫ 1

Cύση

'1 iy|> ‚ =| P |= F =| F 1

iŽy|> ‚ y=| P |= F =| F 1>Ž ‚ =| œ 3= P=| F =

iŽŽy|> ‚ y=| œ 3= P=| F =>Ž ‚ =| œ y3=>= P = ‰ 0 #ρα i κυρτή στο ℝ .

iy0> ‚ iy1> ‚ 0 #ρα η i !χει ρί$ες το 0 και το 1 y1>.

~στω ότι η iy|> ‚ 0 !χει D ρί$ες ρ1 ρ= ρD με ρ1 ‘ ρ= ‘ ρD.

-

η i είναι παραγωγίσιμη στα „ρ1 ρ=… και „ρ= ρD…

-

iyρ1> ‚ iyρ=> ‚ iyρD> ‚ 0

από @. k24 υπ#ρχουν ( )1 1 2ξ ρ , ρ∈ και ( )2 2 3ξ ρ ,ρ∈ τ!τοια 7στε iŽyξ1> ‚ iŽyξ=> ‚ 0

-

η iŽ είναι παραγωγίσιµη στο „ξ1 ξ=…

-

iŽyξ1> ‚ iŽyξ=> ‚ 0

από @. k24 υπ#ρχει

( )1 2

ξ ξ , ξ∈ τ!τοιο 7στε iŽŽyξ> ‚ 0

'Τ:6: διότι iŽŽy|> ‰ 0 για κ#θε x ∈ ℝ εποµ!νως η iy|> ‚ 0 !χει = το πο"ύ ρί$ες y=>.

'πό y1> και y=> !χουµε ότι η iy|> ‚ 0 !χει ακρι)7ς = ρί$ες τις |1 ‚ 0 και |= ‚ 1.

'/1 Š η i είναι παραγωγίσιµη στο „0 1…

Š iy0> ‚ iy1> ‚ 0

από @. k24 υπ#ρχει ( )0x 0,1∈ τ!τοιο 7στε iŽy|0> ‚ 0 και επειδή iŽ είναι γνησίως αύξουσα yi

κυρτή> το |0 είναι µοναδικό.

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. D=G

Aποµ!νως υπ#ρχει µοναδικός αριθµός ( )0x 0,1∈ τ!τοιος 7στε η εφαπτοµ!νη της ]i στο

σηµείο 'y|0 iy|0>> να είναι παρ#""η"η στον #ξονα |Ž|.

'*1 'πό συν!πειες θεωρήµατος r2‹/32 η συνεχής i διατηρεί σταθερό πρόσημο μεταξύ

των διαδοχικ7ν ρι$7ν της 0 και 1.

21

21 1 1 1

f 2 2 1 2 2 02 2 2 4

= + − ⋅ − = + − <

#ρα iy|> ‘ 0 για κ#θε ( )x 0,1∈ .

Το |0 ‚ 1 είναι προφανής ρί$α της εξίσωσης ( )x

1f t dt x 1= −∫ .

%ια ( )x 0,1∈ !χουµεb

iy|> ‘ 0⇔

Ÿ iy|> ‰ 0 #ρα

( ) ( ) ( )1 1 x

x x 1f t dt 0 f t dt 0 f t dt 0 x 1− > ⇔ − > ⇔ > > −∫ ∫ ∫ .

Aπομ!νως η εξίσωση ( )x

1f t dt x 1= −∫ !χει µοναδική ρί$α στο y0 1… την |0 ‚ 1.

/) (B4B$6$AJ /!) 'A6$9α3 #56789# ( ) 1

f x lnx , x 0x

= − > 1

Γ1 Να @8$A9$ 93J B83[L693$J >α3 >α9α>L85d$J α#<4F9D9$J 9J 8αd3>KJFα87#9α#J 9J f0 $76 5F78;B561

Γ/1 Να αFBM$AN$9$ L93 $NA#D# f(x) = ! H;$3 4B6αM3>K 8A[α #9B M37#94α (0Q)1

Γ*1 Να 5FB%BA#$9$ 9B $4@αML6 9B5 ;D8AB5 FB5 F$83>%$A$9α3 αFL 9 8αd3>K

Fα87#9α# 9J #56789#J f0 9B6 7NB6α xrx >α3 93J $5?$A$J x = Q0 x = /Q1

Cύση

Γ1 si ‚ y0Pš>

- ( )x 0 x 0

1lim f x lim lnx

x+ +→ →

= − = −∞

διότιx 0lim lnx

+→= −∞ και

x 0

1lim

x+→= +∞

#ρα η ]i !χει κατακόρυφη ασύµπτωτη την | ‚ 0 yhŽh>

- ( )x x

1lim f x lim lnx

x→+∞ →+∞

= − = +∞

διότιxlim lnx→+∞

= +∞ καιx

1lim 0

x→+∞=

#ρα η ]i δεν !χει ορι$όντια ασύµπτωτη

Γ/1 Š i συνεχής στο „14… ως διαφορ# συνεχ7ν

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. D=H

- ( ) 1

f 1 ln1 0 1 1 01

= − = − = − <

( ) 1 1

f e lne 1 0e e

= − = − >

από @. r2‹/32 η εξίσωση iy|> ‚ 0 !χει μία του"#χιστον ρί$α στο δι#στημα y14>. y1>

( ) 2

1 1 1f x lnx 0

x x x

N N = − = + >

για | ‰ 0

#ρα η i είναι γνησίως αύξουσα στο y0Pš>.

Aπομ!νως η εξίσωση iy|> ‚ 0 !χει μια το πο"ύ ρί$α. y=>

( ) ( )1 , 2 % η εξίσωση iy|> ‚ 0 !χ ει μοναδική ρί$α στο δι#στημα y14>.

Γ*1 'να$ητούμε το πρόσημο της i στο δι#στηµα „4 =4…

( ) ( ) ( )( )

( )

1f e 1 0

f e

e x 2e f 2e f x f 2e f x 0

= − >`

$ $ % $ $ % >

}ρα ( ) ( )2e 2e 2e 2e

e e e e

1 1E f x dx lnx dx x ln xdx dx

x x

N= = − = ⋅ − = ∫ ∫ ∫ ∫

" # ( ) " # ( )2e 2e2e 2e

e ee ex lnx x lnx dx lnx 2e ln2e e lne 1dx ln2e lneN= ⋅ − ⋅ − = ⋅ − ⋅ − − − =∫ ∫

( ) " # ( )2e

e2e ln2 lne e x ln2 2eln2 2e e 2e e ln2 2e 1 ln2τ.µ.= ⋅ + − − − = + − − + − = −

/-)(B4B$6$AJ /!) C#9D Fα8αDA#34 #56789# f : →ℝ ℝ 0 3α 96 BFBAα

3#;<B56:

- ( ) ( )xf x 2xe f x−N = − 3α >7?$ x ∈ ℝ >α3

- ( ) 1f 1 e−= 1

'1 Να αFBM$AN$9$ L93 ( )2

x

xf x , x

e= ∈ ℝ 1

'/1 Να 4$%$9K#$9$ 96 f DJ F8BJ 9 4B6B9B6Aα >α3 6α αFBM$AN$9$ L93 9B #<6B%B 934I6

9J $A6α3 9B M37#94α ‡!0…Œ)1

'*1 Να αFBM$AN$9$ L93 $NA#D# 2 x 2x 2e −= H;$3 α>83@IJ 98$3J 8A[$J #9B #<6B%B 9D6

F8α4α93>I6 α83?4I61




ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. D=I

'&1 '$MB4H6B5 L93 #56789# f $A6α3 >589K #9B M37#94α (qŒ0!ˆ0 6α @8$A9$ 96

$NA#D# 9J $dαF9B4H6J 9J 8αd3>KJ Fα87#9α#J 9J f #9B #4$AB 9J (q0f(q))

>α3 6α αFBM$AN$9$ L93

( )f x 2e 3ex 0+ + ! 3α >7?$ x ’ !1

Cύση

'1 ( ) ( ) ( ) ( )xe

x xf x 2x e f x f x f x 2x e⋅

− −N N= ⋅ − ⇔ + = ⋅ ⇔

( ) ( ) ( ) ( )x x x 2f x e f x e 2x f x e x NNN ⋅ + ⋅ = ⇔ ⋅ =

από συν!πειες @.?.Τ. !χουμεb ( ) x 2f x e x c, x⋅ = + ∈ ℝ .

%ια | ‚ 1b ( ) 1 2f 1 e 1 c 1 1 c c 0⋅ = + ⇔ = + ⇔ = .

Aπομ!νως ( ) ( )2

x 2

x

xf x e x f x , x

e⋅ = ⇔ = ∈ ℝ .

'/1 ( ) ( )2 2

x

x x x

2x x 2x xf x 2x e f x , x

e e e

− −N = ⋅ − = − = ∈ ℝ .

Η i είναι γνησίως φθίνουσα στα yFš0… και „=Pš> εν7 η i είναι γνησίως αύξουσα στο „0=….

-

*1 ‚ yFš0…

( ) ( )

( )

( ) " )

1

22 x

1xx x x

% f είναι συνε"ής και γν.φθίνουσαστο#

xlim f x lim lim x e f # 0,

e

f 0 0

−

→−∞ →−∞ →−∞

7

= = ⋅ = +∞ = +∞8= 9

-

*= ‚ y0=>

( )

( )

( )

2

2

2x 2x 0 x 0

2

x 2x 2 x 2

% f είναι συνε"ής και γν.αύξουσαστο# .

x 4lim f x lim 0 f # 0,

e e

x 4lim f x lim

e e

+ +

− −

→ →

→ →

7 = = =8

= = 9

- *D ‚ „= Pš>




ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. D=J

( )

( )

( )

3

32 2

2

x x xx x DL H x DL H x

% f είναι συνε"ής και γν.φθίνουσαστο# .

4 4f 2 f # ,

e e

x 2x 2

lim f x lim lim lim 0e e eN N→+∞ →+∞ →+∞ →+∞

7 = = +∞8

= = = = 9

Aποµ!νως το σύνο"ο τιµ7ν της i είναι τοb ( ) ( ) ( ) ( ) " )1 2 3f A f # f # f # 0,= ∪ ∪ = +∞ .

'*1 ( ) ( )x 2

2 x 2 2

2 x 2 2

e x 2 2x 2e x 2 f x 1

e e e e

−= ⇔ = ⇔ = ⇔ =

- ( ) ( )1f στο#

1 12

2f # η 1 έ"ει ακριβ&ςµια ρί'α στο #

e

a

∈ %

- ( ) ( )2f στο#

2 22

2f # η 1 έ"ει ακριβ&ς µια ρί'α στο #

e

`

∈ %

- ( ) ( )3f στο#

3 32

2f # η 1 έ"ει ακριβ&ς µια ρί'α στο #

e

a

∈ %

Aπομ!νως η εξίσωση 2 x 2x 2e −= !χει ακρι)7ς D ρί$ες στο ℝ .

'&1 ( )

( )2

1 1

1 1

f 1 ee e− −

−

− = = =

( ) ( ) ( )

2

1 1

2 1 1 3f 1 3e

e e− −

− − − −N − = = = −

yε>b η εφαπτομ!νη της ]i στο σημείο ?yF1iyF1>>

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ε : y f 1 f 1 x 1 ε : y e 3e x 1N− − = − ⋅ + ⇔ − = − ⋅ + ⇔

( ) ( )ε : y e 3ex 3e ε : y 3ex 2e− = − − ⇔ = − −

Η i είναι κυρτή στο yFš0… #ρα στο δι#στηµα yFš0… η ]i )ρίσκεται π#νω από την yε> µε

εξαίρεση το σηµείο επαφής ?.

( )f x 3ex 2e! − − για κ#θε | 0 #ρα

( )f x 2e 3ex 0+ + ! για κ#θε | 0.




ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. D=L

Ο1Ε1Φ1Ε

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. DD1

( ) ( )

( )x x x x x x

1lnxlnx 2 x 2xlim f x lim lim lim lim lim 0

1 xx xx

2 x

→+∞ →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ →+∞

N= = = = = =

N

}ρα (( )2 2

f 0,e , e

= −∞ και )( )

2 2

f e , ,0e

+∞ = .

Η | ‚ 0 είναι κατακόρυφη ασύµπτωτη και η h ‚ 0 ορι$όντια ασύμπτωτη.

) ( ) ( )κ 1 κ

ln κ ln κ 1 κ 1 ln κ κ ln κ 1+

> + ⇔ + ⋅ > ⋅ + ⇔

( ) ( )

( ) ( )ln κ 11 lnκ

κ 1 lnκ κ ln κ 1 f κ f κ 12 κ κ 1

++ ⋅ > ⋅ + ⇔ > ⇔ > +

+ ισχύει διότι

κ P 1 ‰ κ › J ‰ 4= και i ↓ στο „4= Pš>.

/)(Ο1Ε1Φ1Ε /!!&)Ο3 #56α89K#$3J f 0 g $A6α3 B83#4H6$J >α3 Fα8αDA#34$J #9B ℝ 4$ f r(x)

q gr(x) = 0 f r(x) ‹ 3α >7?$ x ∈ ℝ 1

Α6 #9B L83Bx

g(x) 2L lim

f(x) x 2→+∞

+=

− − $dα84L#B54$ 9B6 >α6L6α 9B5 B8AB5 F%A>B50

Fα8B5#37[$9α3 αF8B#M3B83#9Aα 9J 4B8dKJ0

01

α1 G) Να 5FB%BA#$9$ 9B L83B v1

GG) Να @8$A9$ 93J α#<4F9D9$J 9D6 8αd3>I6 Fα8α#97#$D6 9D6 #56α89K#$D6 f >α3

g #9B …Œ1

@1 Να αFBM$AN$9$ L93 g H;$3 9B FB%< 43α 8A[α #9B aW1

1 Να αFBM$AN$9$ L93: f(x) q g(x) = x …& 3α >7?$ x ∈ ℝ 1

CS9Η

α1G) ~χουμεb ( )( ) ( )x

lim g x 2 0 1

→+∞

+ = και ( )( ) ( )x

lim f x x 2 0 2

→+∞

− − = .

Το κ"#σµα( )

( )

g x

f x 1

N

N − ορί$εται σε δι#στηµα * της µορφής yα Pš> αφού iŽy|> ž 1. 9το * είναι

( )( )

( )( )

( )( )

g x 2 g x

f x 1f x x 2

N+ N=

N −N− −

'κόμαb ( ) ( ) ( ) ( )f x g x 1 g x f x 1N N N N− = ⇔ = − οπότε( )

( )x

g xlim 1

f x 1→+∞

N=

N −.

'πό το πρ7το θε7ρημα του s4 • ‡2\V-g/ προκύπτειb




ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. DD=

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )x x x

g x 2g x 2 g xL lim lim lim 1

f x x 2 f x 1f x x 2→+∞ →+∞ →+∞

N+ N+= = = =

N− − −N− −.

GG) Aίναι ( )( ) ( )x xlim g x 2 0 lim g x 2→+∞ →+∞

+ = ⇔ = − #ρα η ]i !χει στο Pš ορι$όντια ασύμπτωτη

την ευθεία h ‚ Ÿ=.

6#"ι ( )( ) ( ) ( )x xlim f x x 2 0 lim f x x 2 0→+∞ →+∞

− − = ⇔ − + = #ρα η ]i !χει στο Pš π"#για

ασύμπτωτη την ευθεία h ‚ | P =.

@1 ~στω ότι η d !χει δύο διαφορετικ!ς ρί$ες ρ1 ρ= στο ℝ με ρ1 ‘ ρ=. yαπόδειξη με #τοπο>.

Aφαρμό$εται το θε7ρημα του k24 για την d στο „ρ1 ρ=… γιατί ως παραγωγίσιμη στο ℝ

-

η d είναι συνεχής στο „ρ1 ρ=…

-

η d είναι παραγωγίσιµη στο yρ1 ρ=> και ακόµα

-

dyρ1> ‚ dyρ=> ‚ 0.

Aποµ!νως υπ#ρχει ( )1 2ξ ρ , ρ∈ τ!τοιο 7στε dŽyξ> ‚ 0. Τότεb iŽyξ> F dŽyξ> ‚ 1 ⇔ iŽyξ> ‚ 1.

}τοπο γιατί iŽy|> ž 1. ~τσι η d !χει το πο"ύ μία ρί$α στο ℝ .

1 ~χουμε iŽy|> F dŽy|> ‚ | ⇔ yiy|> F dy|>>Ž ‚ y|>Ž #ρα από τις συν!πειες του @.?.Τ. του

διαφορικού "ογισμού υπ#ρχει αριθμός c ∈ ℝ τ!τοιος 7στε iy|> F dy|> ‚ | P y1> ή iy|> F | F

= ‚ dy|> P = P ^ F E. y=>

Aπειδή υπ#ρχουν τα όρια ( )( )xlim f x x 2 0→+∞

− − = και ( )( )xlim g x 2 c 4 0 c 4→+∞

+ + − = + − από

την y=> είναι ίσα. 6ροκύπτει επομ!νωςb 0 ‚ ^ F E ή ^ ‚ E. }ρα είναιb iy|> F dy|> ‚ | F E x ∈ ℝ .

„9την y1> κατα"ήγουμε και με ο"οκ"ήρωση των δύο με"7ν της iŽy|> F dŽy|> ‚ |.…

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. DDE

}ρα η d ως συνεχής στο |0 ‚ 0 είναι γνησίως αύξουσα στο δι#στημα yŸš0… και γνησίως

φθίνουσα στο „0P š> και !χει ακρότατο yο"ικό μ!γιστο> το dy0> ‚ 1 το οποίο αποδεικνύει το

$ητούμενο.

@1G) Cόγω της yD> ισχύει η ισοδυναμίαb

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

1 2 1 2 1 2g x g x g x g x f x f xN N< ⇔ < ⇔ < για κ#θε 1 2x , x ∈ ℝ που σημαίνει

τε"ικ# ότι η iŽ !χει ίδια μονοτονία με την d. Aπομ!νως η i είναι κυρτή στο yŸš0… κοί"η

στο „0Pš> και !χει σηµείο καµπής το y0iy0>> ‚ y00>.

882D @?Q2Db Aπειδή η d είναι παραγωγίσιµη είναι παραγωγίσιµη και η d= #ρα από την

y=> και η iŽ που σηµαίνει ότι υπ#ρχει η iŽŽ. Τότεb

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )2f x f x g x 2g x g xNNNN N N= = = !τσι από την yD> η iŽŽy|> για κ#θε | ž 0 !χει ίδιο

πρόσηµο µε την dŽy|>b

-

για | ‘ 0 είναι dŽy|> ‰ 0 ⇔ iŽŽy|> ‰ 0 και

-

για | ‰ 0 είναι dŽy|> ‘ 0 ⇔ iŽŽy|> ‘ 0 και

Aπειδή η i είναι συνεχής και παραγωγίσιµη στο |0 ‚ 0 προκύπτει ότι είναι κυρτή στο

yŸš0… κοί"η στο „0Pš> και !χει σηµείο καµπής το y0iy0>> ‚ y00>.

GG) Η $ητούμενη εξίσωση είναιb h F iy0> ‚ iŽy0>y| F 0> ⇔ h ‚ iŽy0>œ| ⇔ h ‚ | αφού από την y=>

!πεται iŽy0> ‚ 1.

1 Aπειδή η i είναι κοί"η στο „0Pš> τα σηµεία της ] i είναι κ#τω από τα σηµεία της

εφαπτοµ!νης της h ‚ | για κ#θε ( )x 0,∈ +∞ εποµ!νωςb ( ) ( )x f x x f x 0! ⇔ − ! για κ#θε

" )x 0,∈ +∞ .

Aίναι ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

12(αi)1 1 1

0 0 00

g x xE x f x dx x f x dx x dx ln g x

g x 2

N = − = − = + = + =

∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( )1 0 1 1

ln g 1 ln g 0 ln g 1 ln1 ln g 12 2 2 2

= + − − = + − = + . yγιατί dy1> ‰ 1 από την yD>>.




ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. DDG

&) (Ο1Ε1Φ1Ε /!!)C#9D #56789# ( )f(x) 2 x ln x 2 , x 0= ⋅ − > 1

α) Να αFBM$AN$9$ L93: ( ) ln x

f x , x 0x

N = >

@) Να @8$A9$ 9B ( )x 0

lim f x+

→

N 1

) Να 4$%$9K#$9$ 9α >BA%α 9J f >α3 6α @8$A9$ 9B #4$AB 9J >α4FKJ 9J1

M) Να 5FB%BA#$9$ 9B $4@αML6 9B5 ;D8AB5 FB5 F$83>%$A$9α3 αFL 9 8αd3>K

Fα87#9α# 9J #56789#Jln x

g(x)x

= 0 9B6 7NB6α xrx >α3 93J $5?$A$J1

xe

= >α3 x = Q/1

CS9Η

α) %ια κ#θε | ‰ 0

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 1 lnx

f x lnx 2 2 x lnx 2 lnx 2 2xx x x x x

N = ⋅ − + ⋅ = ⋅ − + = − + = .

@) ( )x 0 x 0

1lim f x lim lnx

x+ +→ →

N = ⋅ = −∞

διότιx 0

1lim

x+→

= +∞ καιx 0lim lnx

+→= −∞ .

) %ια κ#θε | ‰ 0 ( )( ) ( )

( )2

x 1 1 lnxlnxlnx x lnx x 2 lnxx 2 x x 2 xf xx x 2x xx

NN − ⋅ −⋅ − −NN = = = = .

Aίναι = F 3| › 0 ⇔ 3| = ⇔ 3| 34= ⇔ 0 ‘ | 4=.

iy4=> ‚ =4y34= F => ‚ 0

?y4= 0> το σηµείο καµπής.

M) ( ) ( )22 2 1 ee 1 e

1 1 11 1e e e

lnx lnx lnxE dx dx dx 2 x lnx 2 2 x lnx 2

x x x = = − + = − − + − = ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 1 2 62 2 ln 2 2e lne 2 2 2 8 1 2 2e 2 2 8 τ.µ.

ee e e

= − − + − + ⋅ − − − = + − − + − = −

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. DDH

)(Ο1Ε1Φ1Ε/!!)'A6$9α3 #56789# f Fα8αDA#34 #9B ℝ 3α 96 BFBAα 3#;<B56

1f(0)

2= >α3 " #x

e f(x) f (x) µx f (x)N N+ + = − 3α >7?$ x ∈ ℝ 1

α) Να αFBM$AN$9$ L93 B 9<FBJ 9J f $A6α3x

συνxf(x) , x

1 e

= ∈

+

ℝ >α3 L93 3#;<$3

f(x) f(-x) συνx+ = 3α >7?$ x ∈ ℝ 1

@) Να @8$A9$ 9Bxlim f(x)→+∞

1

) Να 5FB%BA#$9$ 9B B%B>%K8D4α:π

2

π-2

I f(x)dx= ∫ 1

M) Να αFBM$AN$9$ L93:π

2

0

π0 f(x)dx

4$ $∫ 1

CS9Η

α) 4| œ iy|> P 4| œ iŽy|> P iŽy|> ‚ Fημ| ⇔ „4| œ iy|> P iy|>…Ž ‚ yσυν|>Ž

}ρα υπ#ρχει c ∈ ℝ τ!τοιο 7στεb 4| œ iy|> P iy|> ‚ συν| P ^ x ∈ ℝ ⇔ y4| P 1> œ iy|> ‚ συν| P ^.

%ια | ‚ 0 είναι ( ) 1

2f 0 συν0 c 2 1 c c 02

= + ⇔ ⋅ = + ⇔ = .

Aποµ!νως ( ) x

συνxf x , x

1 e= ∈

+ ℝ .

~χουμε ( ) ( ) ( )x xσυνx συνxf x f x ... συνx 11 e 1 e−+ − = + = =+ +

.

@) x x x

1 συνx 1, x

1 e 1 e 1 e− $ $ ∈

+ + + ℝ διότι Ÿ1 συν| 1

Aπειδήxx

1lim 0

1 e→+∞=

+ σύµφωνα µε το κριτήριο παρεµ)ο"ής είναι ( )

xlim f x 0→+∞

= .

) ?ε ο"οκ"ήρωση των με"7ν της y1> παίρνουμε

( ) ( ) ( )π π π

2 2 2

π π π2 2 2

f x dx f x dx συνxdx 2− − −

+ − =∫ ∫ ∫

9το ( )π

2

π2

f x dx−

−∫ θ!τουμε | ‚ Ÿ_ οπότε e| ‚ Ÿe_.

%ια | ‚ Ÿπ ” = είναι _ ‚ π ” = και για | ‚ π ” = είναι _ ‚ Ÿπ ” =.

}ρα ( ) ( ) ( )π π π

2 2 2

π π π2 2 2

f x du f u du f u du−

− −

− = − =

∫ ∫ ∫.

Η y=> γρ#φεταιb

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. DDI

" #π

2π

2

I I µx 2I ηµπ / 2 ηµ( π / 2) 1 1 2−

+ = ⇔ = − − = + = εποµ!νως T ‚ 1.

M) Bρίσκουµε την ε"#χιστη και µ!γιστη τιµή της i στοπ

0,2

.

( ) ( )( )

( )( )

x x x x

2 2x x

ηµx 1 e συνx e ηµx 1 e e συνxf x 01 e 1 e

− ⋅ + − ⋅ ⋅ + + ⋅N = = <+ +

για κ#θε πx 0,2

∈ . }ρα i ↓

στο „0 π”=… οπότε iy0> ‚1

2 η µ!γιστη τιµή και iyπ”=> ‚ 0 η ε"#χιστη.

Tσχύει 0 iy|> 1

2 απ• όπου προκύπτει ότι ( )

π2

0

π0 f x dx

4$ $∫ .

-)(Ο1Ε1Φ1Ε /!!-)'A6$9α3 #56789# f(x) = Qx q αx q 0 LFB5 α 1

α) Να @8$A9$ 96 $NA#D# 9J $dαF9B4H6J 9J 8αd3>KJ Fα87#9α#J 9J f #9B

#4$AB (!0f(!))1

@) Να αFBM$AN$9$ L93 f Fα8B5#37[$3 $%7;3#9B 9B BFBAB $A6α3 α8693>L1

) C#9D Ε(α) 9B $4@αML6 9B5 ;D8AB5 FB5 F$83>%$A$9α3 αFL 9 8αd3>K Fα87#9α#

9J f 0 96 $dαF9B4H6 9J #9B (!0f(!)) >α3 96 $5?$Aα x = α 1

G) Να αFBM$AN$9$ L93:2

α αE(α) e α 1

2= − − − 1

GG) Να @8$A9$ 9Bαlim E(α)→+∞

1

CS9Η

α) iŽy|> ‚ 4| F α οπότε iŽy0> ‚ 1 F α

ε b h F iy0> ‚ iŽy0>y| F 0> ⇔ h ‚ y1 F α>|

@) Aίναι iŽy|> › 0 ⇔ 4| › α ⇔ | › 3α

Η i στο |0 ‚ 3α παρουσι#$ει ε"#χιστο το dyα> ‚ 43α F α3α F 1 ‚ α F α3α F 1.

Aπειδή dŽyα> ‚ 1 F 3α F 1 ‚ F 3α ‘ 0 για κ#θε ( )α 1,∈ +∞ και d συνεχής στο „1Pš> η d είναι ↓

στο „1Pš> οπότε για κ#θε α ‰ 1 ισχύει dyα> ‘ dy1> ‚ 0.

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. DDJ

)G) ( ) ( ) ( )α

0E α f x 1 α xdx= − −∫ . Aπειδή η i είναι κυρτή διότι iŽŽy|> ‚ 4| ‰ 0 και η & ‚ y1 F α>|

εφαπτοµ!νη της ]i στο y0iy0>> ισχύειb iy|> › y1 F α>| για κ#θε x ∈ ℝ .

}ρα ( ) ( ) ( )α

2 2α α

x x x α

0 0 0

x αE α e αx 1 x αx dx e x 1 dx e x e α 1 τ.µ.

2 2

= − − − + = − − = − − = − − −

∫ ∫

GG) ( )α

2

2 2

e 1 1 1E α α

α 2 α α

= − − −

. Aίναι

( )

( )

( )

( )

α αα α α

2α α α α α2

e ee e elim lim lim lim lim

α 2α 22αα→+∞ →+∞ →+∞ →+∞ →+∞

N N= = = = = +∞

N N.

Aποµ!νως ( )αlim E α→+∞ = +∞ .

+)(Ο1Ε1Φ1Ε /!!+) C#9D #56789# ( )2 -xf(x) x α e , x= + ⋅ ∈ ℝ 1 Α6 $5?$Aα l = 2/x … /

$d7F9$9α3 #9 8αd3>K Fα87#9α# 9J f #9B #4$AB Μ(!0f(!)) 9L9$:

α) Να αFBM$AN$9$ L93: α = /1

@) Να 4$%$9K#$9$ 9 4B6B9B6Aα 9J f 1

) Να 5FB%BA#$9$ 9α L83α:

G)xlim f(x)→−∞

GG)xlim f(x)→+∞

M) Να αFBM$AN$9$ L93 $NA#D# f(x) = /!!+ H;$3 α>83@IJ 43α %<# #9B ℝ 1

CS9Η

α) ( ) ( ) ( ) ( )x 2 x 2 x 2 xf x 2x e x α e 2x x α e x 2x α e− − − −N = ⋅ − + = − − = − + −

iy0> ‚ α και iŽy0> ‚ Ÿα

ε b h F α ‚ Ÿα| ⇔ h ‚ Ÿα| P α η εξίσωση της εφαπτομ!νης στο ?y0iy0>>. Ταυτί$εται με την h

‚ Ÿ=| P = όταν Ÿα ‚ Ÿ= και α ‚ = δη"αδή όταν α ‚ =.

@) %ια α ‚ = είναι iy|> ‚ y|= P =>4Ÿ| και iŽy|> ‚ yŸ|= P =| F =>4Ÿ| ‘ 0 για κ#θε x ∈ ℝ διότι Ÿ|= P =| F

= ‘ 0 και 4Ÿ| ‰ 0 για κ#θε x ∈ ℝ . }ρα η iy|> είναι γνησίως φθίνουσα στο ℝ .

)G) ( ) ( )2 x

x xlim f x lim x 2 e−

→−∞ →−∞ = + = +∞

διότι ( )2

xlim x 2→−∞

+ = +∞ και x

xlim e−

→−∞= +∞




ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. DDL

GG)

( ) ( )( ) ( )

( )

( )

( )

2202 x

x x xx x x x x x xx x

x 2 2xx 2 2x 2lim f x lim x 2 e lim lim lim lim lim 0

e e ee e

+∞ +∞ +∞⋅ +∞ +∞

−

→+∞ →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ →+∞

N N++ = + ⋅ = = = = = = N N

.M) 'πό y)> και yγ> συµπεραίνουµε ότι το σύνο"ο τιµ7ν της iy|> είναι iyc> ‚ y0Pš> ο οποίοπερι!χει το =00I. Η iy|> ↓ στο ℝ #ρα η εξίσωση iy|> ‚ =00I !χει ακρι)7ς μία ρί$α στο ℝ .

V)(Ο1Ε1Φ1Ε /!!V)'A6$9α3 #56789# f 4$( )

µx λ , αν x 0f(x)

µ 1 x 1, αν x 0

+ >=

− + $ 4$ λ ,µ ∈ ℝ 1

α1 Να @8$A9$ 96 934K 9B5 %0 I#9$ f 6α $A6α3 #56$;KJ1

@1 Να @8$A9$ 96 934K 9B5 40 I#9$ f 6α $A6α3 Fα8αDA#34 #9B x! = !1

1 Να αFBM$AN$9$ L93 f M$6 $A6α3 q1

M1 Γ3α % = >α3 4 = /0 6α 5FB%BA#$9$ 9B B%B>%K8D4απ

2f(x)dx

−∫ 1

CS9Η

α1 Η i είναι συνεχής για | ‘ 0 ως πο"υωνυµική και για | ‰ 0 ως #θροισμα της

τριγωνοµετρικής ηµ| µε την σταθερή ^y|> ‚ ". 9το |0 ‚ 0 !χουµεb

( ) ( )x 0 x 0lim f x lim µx λ λ

+ +→ →= + =

( ) ( )( )x 0 x 0

lim f x lim µ 1 x 1 1− −

→ →

= − + =

'κόµα iy0> ‚ 1. %ια να είναι η συν#ρτηση συνεχής στο |0 ‚ 0 πρ!πει και αρκείb

( ) ( ) ( )x 0 x 0lim f x lim f x f 0 λ 1

+ −→ →= = ⇔ =

Aπομ!νως η $ητούμενη τιμή είναι " ‚ 1.

@1 %ια | ‰ 0 !χουμεb

( ) ( )x 0 x 0 x 0 x 0

f x f 0 ηµx λ 1 ηµx 1 1 ηµxlim lim lim lim 1

x 0 x x x+ + + +→ → → →

− + − + −= = = =

−

%ια | ‘ 0 !χουμεb

( ) ( ) ( ) ( )x 0 x 0 x 0

f x f 0 µ 1 x 1 1 µ 1 xlim lim lim µ 1

x 0 x x− − −→ → →

− − + − −= = = −

−

%ια να είναι η συν#ρτηση παραγωγίσιμη στο |0 ‚ 0 πρ!πει και αρκείb

( ) ( ) ( ) ( )x 0 x 0

f x f 0 f x f 0lim lim µ 1 1 µ 2

x 0 x 0+ −→ →

− −= ⇔ − = ⇔ =

− −

Aπομ!νως η $ητούμενη τιμή είναι μ ‚ =.

1 Aίναι π.χ. iy=π> ‚ iyπ> ‚ " #ρα η συν#ρτηση δεν είναι 1 F 1.

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. DE0

M1 Aίναι ( ) µx 1, αν x 0

f xx 1 , αν x 0

+ >=

+ $ και

( ) ( ) ( ) ( ) ( )π 0 π 0 π

2 2 0 2 0f x dx f x dx f x dx x 1 dx µx 1 dx

− − −= + = + + + =∫ ∫ ∫ ∫ ∫

" #0

2 π

0

2

x x συνx x π 22

−

= + + − + = +

.

.)(Ο1Ε1Φ1Ε /!!V)'A6$9α3 #56789# f 4$ f(x) =x1 e

e − 0 x ∈ ℝ 1

α1 G1 Να 96 4$%$9K#$9$ DJ F8BJ 96 4B6B9B6Aα1

GG1 Να αFBM$AN$9$ L93 ( ) ( ) xx 1+x-e

f x e 1 eNN = − ⋅ 0 6α 4$%$9K#$9$ 96 f DJ F8BJ 96

>589L99α >α3 6α @8$A9$ 9B #4$AB >α4FKJ 9J 8αd3>KJ 9J Fα87#9α#J1

@1 Να @8$A9$ 93J B83[L693$J α#<4F9D9$J 9J 8αd3>KJ Fα87#9α#J 9J f1

1 Να Fα8α#9K#$9$ 8αd3>7 96 f1

M1 Να @8$A9$ 9B $4@αML6 9B5 ;D8AB5 FB5 B8A[$9α3 αFL 96 8αd3>K Fα87#9α# 9J f

r(x)0 9B5J 7NB6$J xrx0 lrl >α3 9:6 $5?$Aα1

x ln2

= 1

CS9Η

α1G1 %ια κ#θε x ∈ ℝ είναιb

( ) ( ) ( )x x x x1 e x 1 e x 1 e 1 x e

f x e 1 e e e e e− − − + −N NN = = − ⋅ = − = −

Aπειδήx1 x ee 0+ − > είναι iŽy|> ‘ 0 στο ℝ #ρα η i είναι γνησίως φθίνουσα στο ℝ .

GG1 %ια κ#θε x ∈ ℝ είναιb

( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x x x1 x e x 1 x e x 1 x e x 1 x e

f x e 1 x e e 1 e e e 1 e+ − + − + − + −N NNN = − = − + − ⋅ = − − ⋅ = − ⋅

~τσιb ( ) ( ) xx 1 x e x xf x 0 e 1 e 0 e 1 0 e 1 x 0+ −NN = ⇔ − ⋅ = ⇔ − = ⇔ = ⇔ =

και ( ) ( )f x 0 x 0, f x 0 x 0NN NN> ⇔ > < ⇔ < .

Η i είναι συνεχής στο ℝ µε iŽŽy|> ‘ 0 στο δι#στηµα yŸš0> #ρα στρ!φει τα κοί"α κ#τω στο

δι#στηµα yŸš0…. 'κόμα είναι iŽŽy|> ‰ 0 στο δι#στημα y0Pš> #ρα η i στρ!φει τα κοί"α #νω

στο „0Pš>. Τ!"ος η συν#ρτηση !χει σημεί ο καµπής το y0 iy0>> γιατί εκατ!ρωθεν του

α""#$ει κυρτότητα και υπ#ρχει η εφαπτοµ!νη της γραφικής της παρ#στασης σ• αυτό

αφού είναι παραγωγίσιµη.

Aίναι iy0> ‚ 41 F 1

‚ 40

‚ 1 !τσι η συν#ρτηση !χει σηµείο καµπής το y01>. @1 @α )ρούμε αν υπ#ρχουν τα όριαb

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. DE1

( ) ( )x1 e

x xlim f x lim e −

→+∞ →+∞= και ( ) ( )

x1 e

x xlim f x lim e −

→−∞ →−∞=

@!τουμε _ ‚ 1 F 4| οπότεb

( )x

x xlim u lim 1 e→+∞ →+∞

= − = −∞ και ( )x

x xlim u lim 1 e 1 0 0→−∞ →−∞

= − = − =

Τότε είναιb ( ) ( )x1 e u

x x ulim f x lim e lim e 0−

→+∞ →+∞ →−∞= = =

και ( ) ( ) ( )x1 e u

x x u 1lim f x lim e lim e e−

→−∞ →−∞ →= = = .

Aποµ!νως η γραφική παρ#σταση της συν#ρτησης !χει ορι$όντια ασύμπτωτη την h ‚ 0 στο

Pš και την h ‚ 4 στο Ÿš.

1 ?ε )#ση τις π"ηροφορίες των προηγούµενων ερωτηµ#των σχεδι#$ουµε την γραφική

παρ#σταση της συν#ρτησηςb

M1 9το α ερ7τηµα )ρήκαµε iŽy|> ‘ 0 οπότε ( ) ( )f x f xN N= − και !τσιb

( ) ( ) ( ) ( )1

ln0 2

10 0 0 1 e 1 e 2

11 1lnln ln

22 2

1E f x dx f x dx f x f 0 f ln e e 1 e τ.µ.

2

− − N N= = − = − = − + = − + = − + ∫ ∫

!)(Ο1Ε1Φ1Ε /!!.)'A6$9α3 #56789# f(x) = x … / …/PZx 1

Α1 Να 4$%$9?$A DJ F8BJ 96 4B6B9B6Aα >α3 6α @8$A9$ 9α M3α#9K4α9α #9α BFBAα $A6α3

>589K K >BA%1

Β1 Να @8$A9$ 9B #<6B%B 934I6 >α3 9B F%K?BJ 9D6 83[I6 9J f1

Γ1 Α6x lnx

g(x)x 2

⋅=

+ 6α M$AN$9$ L93 5F78;$3 x! ! I#9$: g(x) † g(x!) 3α >7?$ x !1

'1 Να M$AN$9$ L93 3α >7?$ x / 3#;<$3: f(x q /) • /f(x … ) q f(x … &)1

CS9Η

Α1 iy|> ‚ | P = P =3| με π.ο. si ‚ y0Pš>

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. DE=

( ) ( )2

f x 1 0 f 0,x

N = + > % ` +∞

( )2

2f x 0 f

x

−NN = < % κοί"η στο y0 Pš>

Β1 ( ) ( )x 0 x 0lim f x lim x 2 2lnx 0 2+ +→ →= + + = + − ∞ = −∞

( ) ( )x xlim f x lim x 2 2lnx 2→+∞ →+∞

= + + = +∞ + + ∞ = +∞ δη"αδή iy'> ‚ yŸš Pš>

'φού το ( )0 f A∈ !χει η iy|> ‚ 0 ρί$α |0 στο y0 Pš> µοναδική γιατί i $ y0 Pš>.

Γ1 @!"ω dy|> › dy|0> δη"αδή η d να !χει ε"#χιστο στο |0. ~χω

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( )2 2 2 2

lnx 1 x 2 xlnx f xxlnx 2lnx x 2 xlnx 2lnx x 2g x

x 2 x 2 x 2 x 2

+ + − + + + − + +N = = = =

+ + + +

'ν ( ) ( )

( )( )2

f xg x 0 0 f x 0

x 2N = ⇔ = ⇔ =

+.

#ρα η dy|> !χει ε"#χιστο στο |0 δη"αδή dy|> › dy|0>.

'1 @!"ω iy| F => ‘ =iy| P 1> F iy| P E> ⇔ iy| P E> F iy| P 1> ‘ iy| P 1> F iy| F => ⇔

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

f x 4 f x 1 f x 1 f x 2

x 4 x 1 x 1 x 2

+ − + + − −⇔ <

+ − + + − −

!χω από @.?.Τ. ότι υπ#ρχουν ( )1ξ x 1, x 4∈ + + και ( )2ξ x 2, x 1∈ − + 7στε

( ) ( ) ( )

( ) ( )1

f x 4 f x 1f ξ

x 4 x 1

+ − +N =

+ − + και ( )

( ) ( )( ) ( )

2

f x 1 f x 2f ξ

x 1 x 2

+ − −N =

+ − − δη"αδή θ!"ω iŽyξ1> ‘ iŽyξ=>.

tµως i κοί"η στο y0Pš> δη"αδή iŽ ↓ y0Pš> και 0 ‘ | F = ‘ ξ1 ‘ | P 1 ‘ ξ= ‘ | P E.

@α είναι iŽyξ1> ‰ iŽyξ=> δη"αδή ισχύει το $ητούµενο.

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. DED

)(Ο1Ε1Φ1Ε /!!.)C#9D #56789# f B83#4H6 >α3 Fα8αDA#34 #9B (!0 …Œ) 3α 96

BFBAα 3#;<B56 B3 #;H#$3J:

x

1 x 1f

x e

+ N =

>α31

f (1)e

=

Α1 Να M$AN$9$ L93 f(x) = x‰Q 2„x1

Β1 1 Να @8$A9$ 96 $NA#D# 9J $dαF9B4H6J 9J 8αd3>KJ Fα87#9α#J 9J f(x) #9B

#4$AB 4$ 9$944H6 x = 1

/1 Να M$AN$9$ L932

1

2f(x)dx

e>∫ 1

Γ1 Α63

f(x)g(x)

x= 0 6α @8$A9$ 9B $4@αML6 Ε(t) 9B5 ;D8AB5 FB5 F$83>%$A$9α3 αFL 9 bg0 9B6

xrx >α3 93J $5?$A$J x= >α3 x = t 4$ t 1

'1 Να @8$A9$ 9Btlim E(t)→+∞

1

CS9Η

Α1 %ια κ#θε ( )x 0,∈ +∞ είναιb

x x

x 2 x 2

1 x 1 1 1 x 1 1 1 1 1 1f f f e f e c

x e x x e x x x x x

− −N N+ + N N= % − = − % = % = +

%ια | ‚ 1 είναι ( ) 1f 1 c c 0e

= + % =

}ρα x1 1f e

x x

− =

~στω1

ωx

= τότε1

xω

= ( )ω 0,∈ +∞ . }ρα ( ) 1/ ωf ω ωe−= .

Τε"ικ# ( ) ( )1/xf x xe , x 0,−= ∈ +∞ .

l6 8=76

x

1 x 1f , x 0

x e

+ N = >

@!τω1 1

ω x 0x ω

= % = >

}ρα ( ) ( ) ( ) ( )1/ ω 1/ ω 1/ ω1f ω 1 e f ω ωe f ω ωe c

ω

− − − NN N= + % = % = +

%ια | ‚ 1 είναι ω ‚ 1 #ρα iy1> ‚ 4Ÿ1

P ^% ^ ‚ 0}ρα ( ) 1/ ωf ω ωe , ω 0−= > ή ( ) 1/x

f x xe , x 0−= > .

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. DEE

Β11 Aίναι ( ) 1/x 1/x 1/x

2

1 1f x e xe e 1

x x

− − − N = + = +

( ) ( )2 1

f 1 , f 1e e

N = =

Η εφαπτοµ!νη στο |0 ‚ 1 είναιb ( ) ( ) ( ) ( )2 1y f 1 f 1 x 1 y x εe e

N− = − % = − .

/1 Aίναιb ( ) 1/x

3

1f x e 0

x

−NN = > για | ‰ 0.

}ρα η iy|> είναι κυρτή στο y0Pš> και η ]i )ρίσκεται π#νω από την yε> εκτός του σηµείου

επαφής.

Aίναι ( ) ( )2 1 2 1

f x x f x x 0e e e e

! − % − + ! για κ#θε " #x 1, 2∈

}ρα ( ) ( )2 2 2

1 1 1

2 1 2 1f x x dx 0 f x dx x dx 0

e e e e

− + > % + − + > % ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( )2

2 2 2

1 1 11

2 1 2 2f x dx x 0 f x dx 0 f x dx

e e e e

+ − + > % − > % > ∫ ∫ ∫ .

Γ1 ( ) ( ) 1/x

3 2

f x eg x 0

x x

−

= = > στο „1g…

}ρα ( )

t t t1/x 1/x 1/ t 1

2 11 1

1

E g x dx e dx e e e τ.µ.x

− − − −

= = = = − ∫ ∫

'1 ( ) ( ) ( )1/t 1 ω 1 1

t t ω 0lim E t lim e e lim e e 1 e− − − −

→+∞ →+∞ →= − = − = −

y~στω1

ωt

− = όταν g → Pš τότε ω → 0>.

/)(Ο1Ε1Φ1Ε /!!)C#9D Fα8αDA#34 #56789# ( )f : 0, +∞ → ℝ 9H9B3α0 I#9$ 3α

>7?$ x ! 3#;<B56 ( ) f(x)

x 1xf x

e 1

+N =

+

>α3 f() = !1

α) Να M$AN$9$ L93 #56789# g(x) = Qx … x $A6α3 q 1

@) Να M$AN$9$ L93 f(x) = PZx 3α >7?$ x !1

) Να 4$%$9K#$9$ 9 #56789#f(x) 1

h(x)x

−= DJ F8BJ 96 4B6B9B6Aα >α3 6α @8$?$A

9B #<6B%B 934I6 9J1

M) Να %<#$9$ 96 $NA#D#

συνx ηµxηµx συνx

e e

=

α6 x 0,2

π ∈

1

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. DEG

$) Να $N$9α#?$A j DJ F8BJ >589L99α >α3 6α M$AN$9$ L93 3α >7?$ x0 x/ 4$ x/x!

3#;<$3 2 1

5

2 1

h(x ) h(x ) 1

x x 2e

−! −

−1

CS9Η

α) Aίναι dy|> ‚ 4| P | y1>. Τότε dŽy|> ‚ 4| P 1 ‰ 0 για κ#θε ( )x 0,∈ +∞ .

}ρα η συν#ρτηση d είναι 1 F 1 ως γνησίως αύξουσα.

@) ~χουμε

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )f x f x

f x

x 1 1xf x xf x e 1 x 1 f x e f x 1

xe 1

+N N N N= ⇔ + = + ⇔ + = + ⇔

+

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )f x f x

e f x x lnx e f x x lnx cN

N⇔ + = + ⇔ + = + + .

%ια | ‚ 1 !χουμεb 4iy1> P iy1> ‚ 1 P ^ με ^ ‚ 0. }ρα

4iy|> P iy|> ‚ | P 3| ‚ 4 3| P 3| και "όγω της y1> !χουμε

dyiy|>> ‚ dy3|>. '""# η d είναι 1 F 1. }ρα iy|> ‚ 3|.

) Aίναι ( ) ( )f x 1

h xx

−= .

Τότε ( ) ( )2 2

1

x lnx 1lnx 1 2 lnxxh xx x x

⋅ − −N− − N = = =

.

'ν `Žy|> ‚ 0 ⇔ = F 3| ‚ 0 ⇔ 3| ‚ = ⇔ | ‚ 4=.

Η ` είναι γνησίως αύξουσα για κ#θε ( 2x 0,e ∈ .

Η ` είναι γνησίως φθίνουσα για κ#θε )2x e ,∈ +∞ .

~χουμε ( )2

2

max 2 2

lne 1 1h h e

e e

−= = =

6εδίο τιμ7νb ( ) ( ) ( ) ( )x 0 x 0

1lim h x lim lnx 1

x+ +→ →= − = +∞ −∞ = −∞

( ) ( )

( )x x x x

lnx 1lnx 1 1lim h x lim lim lim 0

x xx→+∞ →+∞ →+∞ →+∞

N−−= = = =

N




ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. DEH

( ) ( ) ( )( ( ) ( )(2 2

2 2 2xx 0

1 1 1h A lim h x , h e lim h x , h e , 0, ,

e e e+ →+∞→

= ∪ = −∞ ∪ = −∞ .

M) ~χουμε

συνx ηµxηµx συνx

e e

= .

%ια κ#θεπ

x 0,2

∈

ισχύειηµx συνx

0, 0e e

> >

Cογαριθμί$ουμε τη σχ!ση και !χουμεb

συνx ηµxηµx συνx ηµx συνx

ln ln συνx ln ηµx lne e e e

= ⇔ ⋅ = ⋅ ⇔

( )( ) ( )( ) ( ) ( )ln µx 1 ln συνx 1

συνx ln ηµx lne ηµx ln συνx lne ηµx συνx

− −

⋅ − = ⋅ − ⇔ = ⇔

( ) ( ) ( )h µx h συνx 2⇔ =

%ια κ#θεπ

x 0,2

∈

ισχύουν οι σχ!σεις 0 ‘ ηµ| ‘ 1 0 ‘ συν| ‘ 1 και ( ) ( )20,1 0,e\ .

Η ` είναι 1 F 1 ως γνησίως αύξουσα στο δι#στημα y04=…. 'πό τη y=> !χουμεb ημ| ‚ συν| ή

εφ| ‚ 1 ή | ‚π

4.

$) ~χουμε ( ) 2

2 lnxh x

x

−N = και

( )( ) ( )

2

4 4 4 3

1x 2x 2 lnx x 2lnx 5x 4x 2x lnx 2lnx 5xh x

x x x x

− ⋅ − ⋅ − −− − + ⋅ −NN = = = =

( )5

25

h x 0 2lnx 5 0 lnx x e2

NN = ⇔ − = ⇔ = ⇔ = .

Η ` είναι κοί"η στο δι#στηµα y04G”=….Η ` είναι κυρτή στο δι#στηµα „4G”= Pš>.

( )( )

5/25/2

min 2 5 55/2

52

2 ln e 12h ee 2ee

−−N = = = − .

Τότε ( ) 5

1h x 2eN ! − για κ#θε | ‰ 0.




ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. DEI

Η ` είναι συνεχής στο „|1 |=… ως πη"ίκο συνεχ7ν συναρτήσεων.

Η ` είναι παραγωγίσιμη στο y|1 |=> ως πη"ίκο παραγωγίσιμων συναρτήσεων με

( ) 2

2 lnxh x

x

−N = . 'πό το @.?.Τ. υπ#ρχει !να του"#χιστον ( )1 2ξ x ,x∈ 7στε

( ) ( ) ( ) ( )2 1

2 1

h x h xh ξ 3

x x

−N =−

.'""# για κ#θε | ‰ 0 επομ!νως και για το ξ ‰ 0 ισχύει

( ) ( )5

1h ξ 4

2eN ! − .'πό τις yD> και yE> !χουμε

( ) ( )2 1

5

2 1

h x h x 1

x x 2e

−! −

−.

*)(Ο1Ε1Φ1Ε /!)'A6$9α3 #56789# f : →ℝ ℝ 4$ ( )3 2f(x) 4x 12λ x λ 1 x= + + − 0 3α

>7?$ x ∈ ℝ 1

LFB5 λ ∈ ℝ 0 BFBAα Fα8B5#37[$3 #9B x! = 2 >α4FK1

α1 G1 Να αFBM$AN$9$ L93 % = 1

GG1 Να @8$A9$ 9α M3α#9K4α9α #9α BFBAα f $A6α3 >589K K >BA%1

@1 Να @8$A9$ 9B L83Bx 3

µf(x)lim

f(x)→−1

1 G1 Να @8$A9$ 96 α8;3>K 9J f 9J BFBAαJ 8αd3>K Fα87#9α# M3H8;$9α3 αFL 9B

#4$AB (!0 )1

GG1 Να 5FB%BA#$9$ 9B $4@αML6 9B5 ;D8AB5 FB5 F$83>%$A$9α3 αFL 96 8αd3>KFα87#9α# 9J f >α3 9B6 7NB6α xrx1

CS9Η

α1G1 Η i ως πο"υωνυµική είναι συνεχής και δύο φορ!ς παραγωγίσιµη στο ℝ µε

iŽy|> ‚ 1=|= P =E"| P " F 1

iŽŽy|> ‚ =E| P =E"

Aπειδή στο |0 ‚ Ÿ1 παρουσι#$ει καμπή είναι iŽŽyF 1> ‚ 0b

iŽŽyF 1> ‚ 0 ⇔ Ÿ=E P =E" ‚ 0 ⇔ " ‚ 1.

GG1 Aπειδή " ‚ 1 είναι iy|> ‚ E|D P 1=|= και

iŽŽy|> ‰ 0 ⇔ =E| P =E ‰ 0 ⇔ | ‰ Ÿ1

iŽŽy|> ‘ 0 ⇔ =E| P =E ‘ 0 ⇔ | ‘ Ÿ1

Aποµ!νως η i είναι κοί"η στο δι#στηµα yŸšŸ1… και κυρτή στο „Ÿ1Pš>.

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. DEJ

@1 @!τουμε _ ‚ iy|>. Aπειδή ( ) ( )3 2

x 3 x 3lim f x lim 4x 12x 0→− →−

= + = είναι( )

( )x 3 u 0

ηµf x ηµulim lim 1

f x u→− →= = .

1G1 Η $ητούμενη αρχική είναι ηb wy|> ‚ |E P E|D P ^ x ∈ ℝ με ^ σταθερ# γιατί για κ#θε

x ∈ ℝ

wŽy|> ‚ y|E P E|= P ^>Ž ‚ E|D P 1=|= ‚ iy|>

Το σημείο y01> ανήκει στην γραφική παρ#σταση της w οπότε wy0> ‚ 1b wy0> ‚ 1 ⇔ ^ ‚ 1.

Aπομ!νως wy|> ‚ |E P E|D P 1 x ∈ ℝ .

GG1 Bρίσκουμε τις ρί$ες της συν#ρτησηςb

iy|> ‚ 0 ⇔ E|D

P 1=|=

‚ 0 ⇔ E|=

y| P D> ‚ 0 ⇔ | ‚ 0 ή | ‚ ŸD

Το $ητούμενο εμ)αδόν A ισούται με το ο"οκ"ήρωμα ( )0

3E f x dx

−= ∫ .

9το δι#στημα „ŸD0… είναι iy|> ‚ E|=y| P D> › 0 #ρα ( )0

3E f x dx

−= ∫ .

Τότεb A ‚ wy0> F wyŸD> ‚ 1 P =H ‚ =Iτ.μ.

&)(Ο1Ε1Φ1Ε /!)C#9D 43α #56$;KJ #56789# f : →ℝ ℝ 3α 96 BFBAα 3#;<$3

f( µx) f(συνx) 1+ = 0 3α >7?$ x ∈ ℝ 1

α1 Να αFBM$AN$9$ L93:

G)2 1

f 2 2

=

>α3 f(!) … f() = 1

GG) ΥF78;$3 " #0x 0,1∈ 9H9B3B0 I#9$: f(x!) … x! = 1

@1 C#9D0 $F3F%HB60 L93 f $A6α3 Fα8αDA#34 >α31

f(x) 2x2

! − 0 3α >7?$ x ∈ ℝ 1

G) Να @8$A9$ 962

f 2

N

>α3 6α 87\$9$ 96 $NA#D# 9J $dαF9B4H6J 9J bf #9B

#4$AB 9J 4$ 9$944H62

21

GG) Να 5FB%BA#$9$ 9B L83B:x 0

f (1) f(συνx)lim

ηµx→

−1

CS9Η




ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. DEL

α1G) @!τουμε στη δοσμ!νη σχ!σηπ

x4

= και παίρνουμεb

π π 2 2 2 2 1f ηµ f συν 1 f f 1 2f 1 f

4 4 2 2 2 2 2

+ = ⇔ + = ⇔ = ⇔ = .

6#"ι με | ‚ 0 παίρνουµεb iyηµ0> P iyσυν0> ‚ 1 ⇔ iy0> P iy1> ‚ 1

GG) @εωρούμε την συν#ρτηση db„01…→ ℝ με dy|> ‚ iy|> P | F 1 για κ#θε " #x 0,1∈ .

- Η d είναι συνεχής ως #θροισµα συνεχ7ν συναρτήσεων της i και της | F 1.

-

Aίναι dy0> ‚ iy0> F 1 και dy1> ‚ iy1>αi

= 1 F iy0> οπότε dy0> œ dy1> ‚ F„iy0> F 1…= y1>

*ιακρίνουµε τις περιπτ7σειςb

16 ?9@C76b 'ν iy0> ‚ 1 τότε από y1> ⇔ dy0> ‚ 0 ή dy1> ‚ 0. Η d θα !χει ρί$α το |0 ‚ 0 ή το |0 ‚

1.

= η περίπτωσηb 'ν iy0> ž 1 τότε από την y1> είναιb dy0> œ d y1> ‘ 0. Aφαρμό$εται επομ!νως το

θε7ρημα του r2‹/32 για την d στο „01… !τσι θα υπ#ρχει του"#χιστον !να ( )0x 0,1∈

τ!τοιο 7στε dy|0> ‚ 0.

9ε κ#θε περίπτωση "οιπόν υπ#ρχει " #0x 0,1∈ τ!τοιο 7στεb dy|0> ‚ 0 ⇔ iy|0> P |0 F 1 ‚

0 ⇔ iy|0> P |0 ‚ 1 το οποίο απόδειξε το $ητούμενο.

@1G) @εωρούμε την συν#ρτηση `b →ℝ ℝ με ( ) ( ) 1

h x f x 2x , x2

= − + ∈ ℝ .

- Η ` είναι παραγωγίσιμη στο ℝ ως #θροισμα της i η οποία από υπόθεση είναι

παραγωγίσιµη και της πο"υωνυµικής1

2x2

− + µε παρ#γωγο ( ) ( )h x f x 2N N= − .

-

Η ` !χει ε"#χιστο στο0

2x

2= . 6ραγµατικ# είναι

2 2 2 1 1 1h f 2 1 0

2 2 2 2 2 2

= − ⋅ + = − + =

'κόµα για κ#θε x ∈ ℝ ( ) ( ) ( )1 1 2

f x 2x f x 2x 0 h x h2 2 2

! − ⇔ − + ! ⇔ !




ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. DG0

- Το0

2x

2= είναι εσωτερικό σηµείο του πεδίου ορισµού της `. Aποµ!νως

εφαρμό$εται το θε7ρημα του w4[/g σύμφωνα με το οποίο2

h 02

N =

b

2 2 2h 0 f 2 0 f 2

2 2 2

N N N= ⇔ − = ⇔ =

. Η εξίσωση της εφαπτομ!νης της i

στο σημείο με τετμημ!νη2

2 είναιb

2 2 2 1 2 1y f f x y 2 x y 2x

2 2 2 2 2 2

N− = ⋅ − ⇔ − = − ⇔ = −

.

GG) Aίναι iy0> P iy1> ‚ 1 ⇔ iy1> ‚ 1 F iy0>

και iyημ|> P iyσυν|> ‚ 1 ⇔ iyσυν|> ‚ 1 F iyημ|>.

'ντικαθιστούμε στο όριο και !χουμεb

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )

x 0 x 0 x 0

1 f 0 1 f ηµxf 1 f συνx f ηµx f 0lim lim lim 2

ηµx ηµx ηµx 0→ → →

− − −− −= =

−.

(#νουμε την αντικατ#σταση h ‚ ημ|. Aπειδή ( )x 0lim µx ηµ0 0

→= = το h τείνει στο 0. ~τσι

( ) ( ) ( ) ( )( )

x 0 y 0

f ηµx f 0 f y f 0lim lim 3

ηµx 0 y 0→ →

− −=

− −.

Aπειδή η συν#ρτηση είναι παραγωγίσιµη στο 0 από τον ορισµό της iŽy0> είναι

( ) ( )( ) ( )

y 0

f y f 0lim f 0 4

y 0→

−N=

−.

9τη συν!χεια θα υπο"ογίσουµε την iŽy0>.

6αραγωγί$ουμε και τα δύο μ!"η της δοσμ!νης iyημ|> P iyσυν|> ‚ 1 και παίρνουμεb

„iyημ|> P iyσυν|>…Ž ‚ y1>Ž ⇔ „iyημ|>…Ž P „iyσυν|>…Ž ‚ 0 ⇔ yημ|>ŽiŽyημ|> P yσυν|>ŽiŽyσυν|> ‚

0 ⇔ συν| œ iŽyημ|> F ημ| œ iŽyσυν|> ‚ 0

'πό εδ7 για | ‚ 0 !χουμεb συν0 œ iŽyημ0> F ημ0 œ iŽyσυν0> ‚ 0 ⇔ iŽy0> ‚ 0.

Aπομ!νως σύμφωνα με τις y=> yD> και yE>b

( ) ( ) ( ) ( )( )

x 0 x 0

f 1 f συνx f ηµx f 0lim lim f 0 0

ηµx ηµx→ →

− −N= = = .

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. DG1

) (Ο1Ε1Φ1Ε /!/)'A6B69α3 B3 #56α89K#$3J f(x) = Qx2/ >α3 g(x) = PZx…/1

Y1 Να @8$A9$ 93J #56?H#$3J fUg >α3 gUf >α3 6α $N$97#$9$ α6 $A6α3 A#$J1

Y/1 Να αFBM$AN$9$ L93 f H;$3 α69A#98Bd >α3 6α @8$A9$ 96 f 21

Y*1 Να αFBM$AN$9$ L93 $NA#D# Qx2/ = PZx … / H;$3 4Aα0 9B5%7;3#9B60 8A[α #9B M37#94α

(Q2/0 /)1

Y&1 Να αFBM$AN$9$ L93:

x x

f(x) g(x)lim lim 0

(gof)(x) (fog)(x)→−∞ →+∞= = 1

CS9Η

Β1 Τα πεδία ορισµού των i d είναι αντίστοιχα τα 'i ‚ ℝ και 'd ‚ y0Pš>.

-

Η i2d !χει πεδίο ορισµού το σύνο"ο

( ); < ( ); < ( )g f x A και g x A x 0 και g x 0,∈ ∈ = > ∈ = +∞ℝ

%ια τ!τοιες τιµ!ς του | !χουµεb

( ) ( ) ( )( ) ( )g x 2 lnxfog x f g x e e x−= = = =

¢στε yi2d>y|> ‚ | με ( )x 0,∈ +∞ .

-

Η d2i ορί$εται στο σύνο"ο

( ); < ; <x 2

f gx A και f x A x και e 0

−

∈ ∈ = ∈ > =ℝ ℝ

%ια τ!τοιες τιμ!ς του | !χουμεb

( ) ( ) ( ) ( )x 2gof x lnf x 2 ln e 2 x 2 2 x−= + = + = − + =

¢στε yd2i>y|> ‚ | με x ∈ ℝ .

6αρατηρούµε ότι οι συναρτήσεις i2d και d2i δεν !χουν το ίδιο πεδίο ορισµού εποµ!νως

δεν είναι ίσες.

Β/1 %ια κ#θε1 2x , x ∈ ℝ !χουµε

( ) ( )1 2x 2 x 2

1 2 1 2 1 2x x x 2 x 2 e e f x f x− −, % − , − % , % ,

Aποµ!νως η i είναι 1 F 1 και !χει αντίστροφη. ~χουμε

h ‚ iy|> ⇔ h ‚ 4| F = ⇔ | F = ‚ 3h h ‰ 0⇔ | ‚ 3h P = h ‰ 0.

}ρα iF1y|> ‚ 3| P = | ‰ 0.

Β*1 @εωρούμε την συν#ρτηση ( ) x 2 2h x e lnx 2, x e , 2− − = − − ∈ .

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. DG=

- Η ` είναι συνεχής. 6ρ#γµατι η συν#ρτηση 4| F = είναι συνεχής ως σύνθεση της

πο"υωνυµικής | F = µε την εκθετική 4| οι οποίες είναι συνεχείς. Aποµ!νως η ` είναι

συνεχής γι ατί προκύπτει από πρ#ξεις των συνεχ7ν συναρτήσεων 4| F = 3|

y"ογαριθµική> και = yσταθερή>.

-

Aίναι

( ) 2 2 22 e 2 2 e 2 e 2

h e e ln e 2 e 2 2 e 0− − −− − − − −= − − = + − = >

και

`y=> ‚ 4= F = F 3= F = ‚ F1 F 3= ‘ 0

:πότεb

( ) ( ) ( )22 e 2

h e h 2 e 1 ln2 0−− −⋅ = − − <

Aφαρμό$εται επομ!νως το @ε7ρημα του r2‹/32 για την ` στο δι#στηµα „4Ÿ= =… οπότε

υπ#ρχει ( )2

0x e , 2−∈ µε `y|0> ‚ 0. Τότε

( ) 0 0x 2 x 2

0 0 0h x 0 e lnx 2 0 e lnx 2− −= ⇔ − − = ⇔ = +

'υτό σημαίνει ότι η εξίσωση 4| F = ‚ 3| P = !χει ως ρί$α τον αριθμό ( )2

0x e , 2−∈ και

αποδεικνύει το $ητούμενο.

Β&1 Aίναι ( )( ) ( )

x 2

x x

f x elim lim 0

gof x x

−

→−∞ →−∞= = γιατί

xx 2 x

2 2 2x x x

e 1 1lim e lim lim e 0 0

e e e

−

→−∞ →−∞ →−∞= = = ⋅ = και

xlim x→−∞

= −∞ .

'κόμα( )

( ) ( )x x

g x lnx 2lim lim

fog x x→+∞ →+∞

+= . Aπειδή ( )

xlim lnx 2→+∞

+ = +∞ καιxlim x→+∞

= +∞ !χουµε

απροσδιόριστη µορφή∞

∞

. Aίναι( )

( )x x

lnx 2 1lim lim 0

xx→+∞ →+∞

N+= =

N

οπότε από το αντίστοιχο

θε7ρηµα του s4 n• ‡2\V-g/ !χουµεb

( )( ) ( )

( )

( )x x x

g x lnx 2lnx 2lim lim lim 0

fog x x x→+∞ →+∞ →+∞

N++= = =

N.

¢στε( )

( ) ( )( )

( ) ( )x x

f x g xlim lim 0

gof x fog x→−∞ →+∞= = .

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. DGD

-) (Ο1Ε1Φ1Ε /!/)'A6$9α3 #56789#2 2

1f(x)

x 3α=

+ LFB5 α ∈ ℝ 2 “!”10 3α >7?$ x ∈ ℝ 1

Γ/1 Να αFBM$AN$9$ L93 934K 9B5 B%B>%8I4α9BJα

0tf(t)dt∫ $A6α3 α6$N7899 9B5 α1

Γ*1 Να 4$%$9K#$9$ >α3 6α Fα8α#9K#$9$ 8αd3>7 96 f1

Γ&1 Α6 Ε $A6α3 9B $4@αML 9B5 ;D8AB5 FB5 B8A[$9α3 αFL 9B5J 7NB6$J0 96 8αd3>K

Fα87#9α# 9J f >α3 96 $5?$Aα x = α0 6α αFBM$AN$9$ L93:

1 1E

4 α 3 α< < 1

ΛΥΣΗ

Γ/1 ~χουμεb

( ) ( )2 2 αα α α

2 2 2 2

2 2 2 20 0 00

t 3αt 1 1 1 1 1 4tf t dt dt dt ln t 3α ln 4α ln 3α ln

t 3α 2 t 3α 2 2 2 2 3

N+ = = = + = − = + + ∫ ∫ ∫

Η τιµή αυτή είναι ανεξ#ρτητη του α.

Γ*1 Η i ως ρητή είναι συνεχής και δύο φορ!ς παραγωγίσιµη στο ℝ µε

( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 22 2 2 2 2 2

x 3α1 2xf x

x 3αx 3α x 3α

NN + N = = − = − + + +

Το πρόσηµο της iŽ µε την µονοτονία και το ακρότατο της i φαίνονται στον επόµενο

πίνακαb

Η i είναι γνησίως αύξουσα στο δι#στημα yŸš0… γνησίως φθίνουσα στο „0Pš> και !χει

ο"ικό μ!γιστο το ( ) 2

1f 0

3α= .

%ια την iŽŽ !χουμεb

( )( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

2 222 2 2 2

2 2 2 2 2

2 4 42 2 2 2 2 2

x 3α x x 3α x 3α 4x x 3αxf x 2 2 2

x 3α x 3α x 3α

NN + − + + − + NN = − = − = − = + + +

( ) ( )

2 2 2 2 2

3 32 2 2 2

x 3α 4x x α2 6x 3α x 3α+ − −= − =

+ +.




ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. DGE

Το πρόσηµο της iŽŽ με την κυρτότητα της i και τα σημεία καμπής της φαίνονται στον

επόμενο πίνακαb

Η i είναι κυρτή σε καθ!να από τα διαστήματα yŸšŸ α … „ α Pš> και κοί"η στο δι#στημα

„Ÿ α α …. ~χει σημεία καμπής τα yŸ α 1”Eα=> και y α 1”Eα=>.

Η i ως συνεχής στο ℝ δεν !χει κατακόρυφες ασύμπτωτες. 9τα Pš και Ÿš !χουμεb

( ) 2 2 2x x x

1 1lim f x lim lim 0

x 3α x→+∞ →+∞ →+∞= = =

+

( ) 2 2 2x x x

1 1lim f x lim lim 0

x 3α x→−∞ →−∞ →−∞= = =

+

}ρα !χει ορι$όντια ασύμπτωτη στο Pš και στο Ÿš τον #ξονα των |.

9ύμφωνα με τα παραπ#νω συμπ"ηρ7νουμε τον επόμενο πίνακα μετα)ο"7νb

Η γραφική παρ#σταση της i δίνεται στο επόμενο σχήμαb

k;?;@(?676b Η i είναι #ρτια αφού για κ#θε x ∈ ℝ το x− ∈ ℝ και

( )( )

( )2 2 22

1 1f x f x

x 3αx 3α− = = =

+− +

Aπομ!νως μπορούμε να την με"ετήσουμε στο δι#στημα „0Pš> και να επεκτείνουμε τα

συμπερ#σματα στο ℝ .

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. DGG

Γ&1 Το $ητούµενο εµ)αδό y)"!πε τη γραφική παρ#σταση της i> είναι µεγα"ύτερο από το

εµ)αδό 1 2

1 1E α

4α 4 α= = του ορθογωνίου που ορί$εται από τους #ξονες και τις ευθείες |

‚ α2

1y

4α= και µικρότερο από το εµ)αδό

2 2

1 1E α

3α 3 α= = του ορθογωνίου που ορί$εται

από τους #ξονες και τις ευθείες | ‚ α2

1y

3α= . Aποµ!νως

1 1E

4 α 3 α< < .

O88HLDb ?ε α ‰ 0 επειδή iy|> ‰ 0 είναι ( ) ( )α α

0 0E f x dx f x dx= =∫ ∫ . Η i είναι γνησίως

φθίνουσα στο δι#στημα „0α… οπότε για " #x 0,α∈ είναι

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2

1 1 1f α f x f 0 f x f x 0

4α 3α 4α

$ $ ⇔ $ $ ⇔ − ! και ( )2

1f x 0

3α

− !

Aπειδή οι αντίστοιχες ισότητες δεν ισχύουν σε ό"ο το „0α… !χουμεb

( )α

20

1f x dx 0

4α

− > ∫ και ( )α

20

1f x dx 0

3α

− > ∫

( )α

α

200

xf x dx 0

4α

⇔ − > ∫ και ( )α

α

2 00

xf x dx 0

3α

− > ∫

1 1 1 1 1 1E 0 και E 0 E E

4α 3α 4α 3α 4 α 3 α

⇔ − > − > ⇔ < < ⇔ < <

?ε α ‘ 0 θα εργαστούμε ομοίως.

+)(Ο1Ε1Φ1Ε /!*)'A6$9α3 #56789# x

x, αν x 0

f(x) e 1

ln α , αν x 0

,= −

=

1

Γ1 Β8$A9$ 9B6 ( )α 0,∈ +∞ I#9$ f 6α $A6α3 Fα8αDA#34 >α3 M$AN9$ L93 ( ) 1

f 02

N = − 1

C#9D α = Q1Γ/1 α) Να 4$%$9K#$9$ 96 f DJ F8BJ 9 4B6B9B6Aα1

@) Να @8$A9$ 9B #<6B%B 934I6 9J >α3 93J α#<4F9D9$J 9J 8αd3>KJ 9J

Fα87#9α#J0 $dL#B6 5F78;B561

Γ*1 Να αFBM$AN$9$ L93 $NA#D#x

0

1 12x dt

f(t) 1 2013− =

+∫ H;$3 4B6αM3>K 8A[α #9B (!0 )1

CS9Η

Γ1 'φού η i είναι παραγωγίσιµη θα είναι και συνεχής.




ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. DGH

Aίναι ( )( )

0

0

x x 0x 0 x 0 x 0 x 0x

x x 1 1limf x lim lim lim 1

e 1 e ee 1

→ → → →

N= = = = =

− N−.

6ρ!πει ( ) ( )x 0

f 0 limf x lnα 1 lne α e→

= ⇔ = = ⇔ = .

%ια την παρ#γωγο στο 0 !χουµεb

( ) ( ) ( )

( )

0 0x x xx 0 0

x x xxx 0 x 0 x 0 x 0 x 0

x1f x f 0 x e 1 x e 1 1 ee 1f 0 lim lim lim lim lim

x 0 x xe x e xe 1x e 1→ → → → →

−− − + − + −−N = = = = = =− − + −−

x 0

x x x 0 0 0x 0

e e 1lim

e e xe e e 0 e 2→

− −= = −

+ + + + ⋅.

Γ/1α) ( )

( )

( ) ( )

x x x x

2 2x x x

1 e 1 x ex e 1 xe

f x , x 0e 1 e 1 e 1

N ⋅ − − ⋅ − −

N = = = , − − − .

@!τω dy|> ‚ 4| F 1 F |œ4|.

Τότε dŽy|> ‚ 4| F 4| F |œ4| ‚ F|4|.

'ν dŽy|> ‚ 0 ⇔ | ‚ 0.

Το πρόσηµο και η µονοτονία των dy|> και iy|> φαίνονται στον παρακ#τω πίνακαb

'φού η dy|> παρουσι#$ει μ!γιστο στο |0 ‚ 0 το dy0> ‚ 0 θα είναι αρνητική για | ž 0.

}ρα η iŽy|> είναι αρνητική για κ#θε x ∈ ℝ δη"αδή i a ℝ .

@) Aίναι ( ) ( )

( )x xx x x xx

xx 1lim f x lim lim lim 0e 1 e

e 1

+∞

+∞

→+∞ →+∞ →+∞ →+∞N= = = =

− N− αφού x

xlim e→+∞

= +∞ .

}ρα η ]i !χει ορι$όντια ασύμπτωτη στο Pš την ευθεία h ‚ 0 y#ξονας |Ž|>.

'κόμη ( ) xx x

xlim f x lim

e 1 0 1→−∞ →−∞

−∞= = = +∞

− −.

}ρα το σύνο"ο τιµ7ν της iy|> είναι iy'> ‚ y0Pš>.

A"!γχουµε για ασύµπτωτη στο Ÿš.

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. DGI

Aίναι( ) x

xx x x

xf x 1 1e 1lim lim lim 1

x x e 1 0 1→−∞ →−∞ →−∞

−= = = = −− −

και

( ) ( ) ( )( )x x

x x xx x x x

x x x e x x ef x x lim f x x lim x lim lim

e 1 e 1 e 1→−∞ →−∞ →−∞ →−∞

+ ⋅ − ⋅ − − = + = + = = − − − .

~χουμε ( )( ) 0

x

x xx x x

x 1lim x e lim lim 0

e e

−∞−∞ ⋅ +∞

− −→−∞ →−∞ →−∞⋅ = = =

− οπότε

x

xx

x e 0lim 0

e 1 0 1→−∞

⋅= =

− −.

}ρα η ευθεία h ‚ Ÿ| είναι π"#για ασύμπτωτη της ]i στο Ÿš.

Γ*1 @εωρούμε την συν#ρτηση ( )( )

x

0

1 1g x 2x dt

f t 1 2013= − −

+∫ συνεχή στο „01… σαν

πρ#ξεις συνεχ7ν συναρτήσεων µε ( )

( )

0

0

1 1 1g 0 2 0 dt 0

f t 1 2013 2013

= ⋅ − − = − <

+

∫ και

( )( )

1

0

1 1g 1 2 1 dt

f t 1 2013= ⋅ − −

+∫ .

tµως iyg> ‰ 0 οπότε iyg> P 1 ‰ 1 δη"αδή( )

10 1

f t 1< <

+.

}ρα( ) ( )

( )( )

1 1 1 1 1

0 0 0 0 0

1 1 10 dt dt 1 dt 0 dt 1 1 0 0 1

f t 1 f t 1 f t 1⋅ < < ⋅ ⇔ < < − ⇔ < <

+ + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ .

}ρα dy1> ‰ 0 οπότε από το θε7ρηµα r2‹/32 υπ#ρχει του"#χιστον µία ρί$α της dy|> ‚ 0 στο

y01>. Η ρί$α είναι µοναδική γιατί η dy|> $ „01… αφούb

( )( )

1g x 2 0

f x 1N = − >

+ αφού

( )1

0 1f x 1

< <+

.

V)(Ο1Ε1Φ1Ε /!&)Ο3 #56α89K#$3J f0 g $A6α3 Fα8αDA#34$J #9B ℝ 4$ f() = 0 g() = !

>α3 3>α6BFB3B<6 93J #;H#$3J:

( ) ( ) ( )xf x f x e g x 1N N− = − >α3 22f(x) x 2x 1+ − ! 0 3α >7?$ x ∈ ℝ 1

Γ1 Να αFBM$AN$9$ L93 f(x) = Qxg(x) … 1

Γ/1 α) Να 5FB%BA#$9$ 9B gr()1

@) Να αFBM$AN$9$ L93: ( )x

x 2lim x 1 g 0

x 1→+∞

+ + = + 1

Γ*1 Α60 $F3F%HB6 g(x) = (x q )/ 3α >7?$ x ∈ ℝ 0 9L9$

α) Να @8$A9$ 9B #<6B%B 934I6 9J f1

@) Να αFBM$AN$9$ L930 3α >7?$ λ ∈ ℝ 0 αFL 9B #4$AB Μ(0 %) 7B69α3 9B FB%< 98$3J

$dαF9L4$6$J #9 8αd3>K Fα87#9α# 9J #56789#J j 4$ j(x) = Qx( q x) … 1




ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. DGJ

CS9Η

Γ1 Aίναι

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x x x x x x x xf x f x e g x 1 e f x e f x e e g x e e f x e f x g x e− − − − − − −N N N N N N− = − ⇔ − = − ⇔ − = −

( ) ( ) ( ) ( )x x x xf x e g x e f x e g x e c− − − −N N ⇔ = + ⇔ = + + y1> µε c ∈ ℝ

'ν στη σχ!ση y1> θ!σουµε όπου | ‚ 1 !χουµε

( ) ( )1 1 1 1f 1 e g 1 e c e e c c 0− − − −= + + ⇔ = + ⇔ =

Aποµ!νως η y1> δίνει iy|> ‚ 4|dy|> P 1 x ∈ ℝ .

Γ/1α) 'πό την σχ!ση iŽy|> F iy|> ‚ 4|dŽy|> F 1 | ‚ 1 !χουµε

iŽy1> F iy1> ‚ 4dŽy1> F 1 ⇔ iŽy1> ‚ 4dŽy1> y=>

'κόμα

=iy|> P |= F =| › 1 ⇔ =iy|> P |= F =| F 1 › 0 yD> για κ#θε x ∈ ℝ .

'ν θεωρήσουµε =iy|> P |= F =| F 1 ‚ φy|> τότε επειδή

=iy1> P 1 F = F 1 ‚ φy1> ⇔ φy1> ‚ 0

η yD> γρ#φεται φy|> › φy1>. 9υνεπ7ς η φy|> παρουσι#$ει για | ‚ 1 yο"ικό> ε"#χιστο. 'κόµη η

φy|> είναι παραγωγίσιµη στοℝ

µεbφŽy|> ‚ =iŽy|> P y|= F =| F 1>Ž ⇔ φŽy|> ‚ =iŽy|> P =| F =.

%ια την φy|> ισχύουν οι υποθ!σεις του θεωρήµατος w4[/g #ρα φŽy1> ‚ 0 ή ισοδύναµα

=iŽy1> P = F = ‚ 0 ⇔ iŽy1> ‚ 0

Aποµ!νως από την y=> !χουµεb 4dŽy1> ‚ 0 ⇔ dŽy1> ‚ 0.

@) ~στω | ‰ 0. @!τουμεx 2

t

x 1

+=

+

οπότε

x 1 1 1 1t t 1 x 1

x 1 x 1 x 1 t 1

++ = ⇔ = − ⇔ + =

+ + + −

Aπειδήx

x 2lim 1

x 1→+∞

+=

+ το g τείνει στο 1. ~χουμε

( ) ( ) ( ) ( )

( )x t 1 t 1

g t g 1x 2 1lim x 1 g lim g t lim g 1 0

x 1 t 1 t 1→+∞ → →

− + N+ = = = = + − − .

Γ*1α) Aίναι iy|> ‚ 4|dy|> P 1 και dy|> ‚ y| F 1>= x ∈ ℝ οπότεb




ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. DGL

iy|> ‚ 4|y| F 1>= P 1 x ∈ ℝ .

Η i είναι παραγωγίσιµη στο ℝ µε

iŽy|> ‚ „4|y| F 1>= P 1…Ž ‚ 4|y| F 1>= P =4|y| F 1> ‚ 4|y| F 1>y| P 1>

: πίνακας με τις ρί$ες και το πρόσημο της iŽy|> τη µονοτονία και τα ακρότατα της i είναιb

Η i είναι συνεχής στα διαστήµατα yFšF1… „F11… „1Pš> και iŽy|> ‰ 0 για | ‘ F1 iŽy|> ‘ 0 για F

1 ‘ | ‘ 1 iŽy|> ‰ 0 για | ‰ 1.

}ρα η i είναι γνησίως αύξουσα στο yFšF1… γνησίως φθίνουσα στο „F11… και γνησίωςαύξουσα στο „1Pš>.

~χουμε

( ) ( )2x

x xlim f x lim e x 1 1 0 1 1→−∞ →−∞

= − + = + =

αφού

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

22

2x x

x x xx x DLH x x DLH x x xx x

x 1x 1 2 x 1 2 x 1 2lim e x 1 lim lim lim lim lim lim 2e 0

e e ee e

+∞ −∞+∞ −∞

− − −→−∞ →−∞ →−∞ →−∞ →−∞ →−∞ →−∞− −

N N−− − − − = = = = = = =

−N N−

'κόμη

( ) ( )2x

x xlim f x lim e x 1 1→+∞ →+∞

= − + = +∞

αφού

( )2

xlim x 1→+∞

− = +∞ και x

xlim e→+∞

= +∞ .

Aπομ!νως η i παρουσι#$ει τοπικό μ!γιστο για | ‚ F1 το ( ) 4

f 1 1e

− = + και ο"ικό ε"#χιστο

για | ‚ 1 το iy1> ‚ 1. 'ν '1 ‚ yŸšŸ1> '= ‚ „Ÿ11… και 'D ‚ y1Pš> τότε

( ) ( )1x

4 4f A lim f x , 1 1, 1

e e→−∞

= + = +

( ) ( ) ( )2

4f A f 1 , f 1 1, 1

e

= − = + και

( ) ( )( ) ( )3x

f A 1, lim f x 1,→+∞

= = +∞ .




ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. DH0

Aποµ!νως το σύνο"ο τιµ7ν της i είναι το

( ) ( ) ( ) ( ) " )1 2 3f f A f A f A 1,= ∪ ∪ = +∞ℝ

@) Η `y|> ‚ 4|y1 F |> P 1 x ∈ ℝ είναι παραγωγίσιµη στο ℝ µε

`Žy|> ‚ „4|y1 F |> P 1…Ž ‚ 4|y1 F |> F 4| ‚ F|4| x ∈ ℝ

~στω ε η εφαπτομ!νη που φ!ρουμε στη ]` από το σημείο ?y1"> και y|0 `y|0>> το σηµείο

επαφής. Η εξίσωση της εφαπτοµ!νης είναι h F `y|0> ‚ `Žy|0>y| F |0> η οποία γρ#φεται

h F 4|0y1 F |0> F1 ‚ F|04|0y| F |0>

Aπειδή το ?y1"> είναι σημείο της εφαπτομ!νης για | ‚ 1 και h ‚ " η τε"ευταία σχ!ση δίνει

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 02x x x x2

0 0 0 0 0 0 0 0λ e 1 x 1 x e 1 x λ 1 e 1 x x x e x 1 1 λ f x λ − − − = − − ⇔ = + − − + ⇔ − + = ⇔ =

tπως δείξαμε στο προηγούμενο ερ7τημα η i είναι γνησίως μονότονη σε καθ!να από τα

διαστήματα '1 '= 'D οπότε η εξίσωση iy|> ‚ " !χει το πο"ύ μία "ύση σε καθ!να από

αυτ# και συνεπ7ς συνο"ικ# !χει το πο"ύ τρεις "ύσεις στο ℝ . 'υτό αποδεικνύει ότι από

το σημείο ?y1"> #γονται το πο"ύ τρεις εφαπτόμενες στη ]`.

l2D @?Q2D απόδειξης ότι η εξίσωση iy|> ‚ " !χει το πο"ύ τρεις ρί$ες. Sποθ!τουμε ότι !χει

τ!σσερις διαφορετικ!ς ρί$ες τις ρ1 ρ= ρD ρE και !στω χωρίς )"#)η της γενικότητας ρ1 ‘ ρ= ‘

ρD ‘ ρE. 'υτ!ς είναι ρί$ες και της συν#ρτησης

φy|> ‚ iy|> F "

Η φ είναι συνεχής σε καθ!να από τα διαστήματα „ρ1 ρ=… „ρ= ρD… „ρD ρE… και παραγωγίσιμη

σε καθ!να από τα yρ1 ρ=> yρ= ρD> yρD ρE> με φŽy|> ‚ iŽy|> και ακόμα

φyρ1> ‚ φyρ=> ‚ φyρD> ‚ φyρE> ‚ 0

}ρα εφαρμό$εται το θε7ρημα k24 σε καθ!να από τα διαστήματα yρ1 ρ=> yρ= ρD> yρD ρE>

οπότε υπ#ρχουν ( )1 1 2κ ρ ,ρ∈ ( )2 2 3κ ρ ,ρ∈ ( )3 3 4κ ρ ,ρ∈ τ!τοια 7στε

φŽyκ1> ‚ φŽyκ=> ‚ φŽyκD> ‚ 0

6ροφαν7ς κ1 ‘ κ= ‘ κD. Aπειδή φŽy|> ‚ iŽy|> προκύπτει ότι η εξίσωση iŽy|> ‚ 0 !χει τρεις

διαφορετικ!ς ρί$ες τις κ1 κ= κD που είναι #τοπο διότι όπως αποδείχτηκε στο προηγούμενο

ερ7τημα !χει δύο ακρι)7ς ρί$ες τις | ‚ 1 | ‚ F1.

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. DH1

.)(Ο1Ε1Φ1Ε /!)•A6B69α3 B3 #56α89K#$3J f:(‘0…Œ) →ℝ >α3 ]:(‘0…Œ) →ℝ 3α 93J

BFBA$J 3#;<B56

- Η f $A6α3 Fα8αDA#34 3α >7?$ x ‘1

- f(!) = /

- ( ) ( ) ( )1

f x f x ln x 1 3x 1

N − = − + −+

0 3α >7?$ x ‘1

- ( ) ( ) ( )

x

2 f x ln x 1G x

x e 1

− + +=

⋅ +0 3α >7?$ x ‘1

Γ11 Να M$AN$9$ L93 f(x) = * q Qx … PZ(x … )0 3α >7?$ x ‘1

Γ1/1 α1 Να M$AN$9$ L93 $NA#D#

Qx q PZ(x … ) = *

H;$3 α>83@IJ M<B $9$8L#4$J 8A[$J 80 8/ #9B M37#94α (‘0…Œ)1

@1 Να M$AN$9$ L93 $NA#D#

* … PZ(x … ) = Qx … αx* 4$ α ∈ ℝ

H;$3 43α 9B5%7;3#9B6 %<# #9B M37#94α ‡80 8/ˆ1

1 Να %<#$9$ 96 α6A#D# PZ(PZx … ) … Qx q PZx … x0 3α >7?$ x 1

Γ1*1 Να M$AN$9$ L93 5F78;$3 4B6αM3>LJ F8α4α93>LJ α83?4LJ x! ‘ 9H9B3BJ I#9$

#56789# ] 6α Fα8B5#37[$3 #9 ?H# x! 9BF3>L 4H3#9B >α3 3#;<$3 #;H#

Qx! = x! … /

CS9Η

Γ1 6αρατηρούµε ότι για κ#θε | ‰ F1 !χουµεb

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1

f x f x ln x 1 3 f x f x ln x 1 3x 1 x 1

N N− = − + − ⇔ − − + + = − ⇔+ +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x ln x 1 f x ln x 1 3 1N⇔ − + − − + = − .

@εωρούμε τη συν#ρτηση wy|> ‚ iy|> F 3y| P 1> y=>. Τότε η y1> γίνεταιb

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )xe 0

x x x x xF x F x 3 F x e F x e 3e F x e 3e

− ,− − − − −N NN N− = − ⇔ ⋅ − ⋅ = − ⇔ ⋅ = .

Τότε ( ) ( )( )

( ) ( )2

x x x xF x e 3e c F x 3 ce f x ln x 1 3 ce− −⋅ = + ⇔ = + ⇔ − + = + .

%ια | ‚ 0 !χουμε ( ) ( ) 0f 0 ln 0 1 3 ce 2 3 c c 1− + = + ⇔ = + ⇔ = − .

}ρα iy|> ‚ D F 4| P 3y| P 1>.

/BJ 98LFBJ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. DH=

%ια κ#θε | ‰ F1 !χουµεb

( ) ( ) ( )1

f x f x ln x 1 3x 1

N − = − + − ⇔+

( ) ( ) ( )x x x x x1e f x e f x e e ln x 1 3e

x 1

− − − − −N⇔ ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ + − ⇔

+

( ) ( ) ( ) ( )x x x xe f x e ln x 1 3e c f x ln x 1 3 c e− − − −⋅ = ⋅ + + + ⇔ = + + + ⋅

%ια | ‚ 0 !χουµε ( ) ( ) 0f 0 ln 0 1 c e 2 3 c c 1= + + ⋅ ⇔ = + ⇔ = − .

}ρα iy|> ‚ D F 4| P 3y| P 1>.

Γ/1 α1 ~χουμε ( ) ( ) ( )x xe ln x 1 3 3 e ln x 1 0 f x 0− + = ⇔ − + + = ⇔ =

Aίναιb

( ) x 1f x e

x 1N = − +

+ και ( )

( )x

2

1f x e 0

x 1NN = − − <

+.

}ρα η iŽ είναι γνησίως φθίνουσα και ισχύει ( ) 0 1f 0 e 0

0 1N = − + =

+.

Τότεb

- %ια | ‘ 0 ⇔ iŽy|> ‰ iŽy0> ⇔ iŽy|> ‰ 0

-

%ια | ‰ 0 ⇔ iŽy|> ‘ iŽy0> ⇔ iŽy|> ‘ 0

Σ<6B%B 934I6

- 'ν ( #1x A 1,0∈ = − τότε επειδή η i είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής ισχύει

( ) ( #( ) ( ) ( )( ( #1x 1

f A f 1,0 lim f x , f 0 , 2+→−

= − = = −∞ γιατί

( ) ( )( )x

x 1 x 1lim f x lim 3 e ln x 1

+ +→− →−= − + + = −∞ και iy0>‚=.

- 'ν " )2x A 0,∈ = +∞ τότε επειδή η i είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής ισχύει

( ) " )( ) ( ) ( )( ( #2x

f A f 0, lim f x , f 0 ,2→+∞

= +∞ = = −∞

γιατί

( ) ( )( )

( )x x x

xx x x

ln x 1lim f x lim 3 e ln x 1 lim e 3e 1

e

−

→+∞ →+∞ →+∞

+ = − + + = − + = −∞

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆Ο!ΓΑΣ Α.,"Α∆ΟΣ ".,ΓΕΜΑΝΟΣ #.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. DHD

όπου( )

x xx DLH x

ln x 1 1 1lim lim 0 0 0

e x 1 e

∞∞

→+∞ →+∞

+= ⋅ = ⋅ =

+ και x

xlim e 0−

→+∞=

}ρα υπ#ρχουν ( )1ρ 1,0∈ − και ( )2ρ 0,∈ +∞ µοναδικ# y"όγω µονοτονίας> τ!τοια 7στε iyρ1>

‚ iyρ=

> ‚ 0 δη"αδή η εξίσωση 4|

F 3y| P 1> ‚ D !χει ακρι)7ς δύο ετερόσηµες ρί$ες ρ1

ρ=

στοδι#στηµα yF1Pš>.

@1 Aίναι

( ) ( ) ( )x 3 x 3 33 ln x 1 e αx 3 e ln x 1 αx 0 f x αx 0+ + = + ⇔ − + + − = ⇔ − =

@εωρούμε τη συν#ρτηση Wy|> ‚ iy|> F α|D.

%ια την συν#ρτηση W ισχύουνb

-

Aίναι συνεχής στο δι#στηµα „ρ1 ρ=… ως #θροισμα συνεχ7ν συναρτήσεων.

Wyρ1> ‚ iyρ1> F αρ1D ‚ F αρ1D

Wyρ=> ‚ iyρ=> F αρ=D ‚ F αρ=D

Τότε Wyρ1> œ Wyρ=> ‚ α=ρ1Dρ=D y1>

-

'ν α ‚ 0 τότε ( ) ( ) ( )

( )1 1

1 2

2 2

k ρ 0 ρ ρί'αk ρ k ρ 0

k ρ 0 ρ ρί'α

= ⇔⋅ = ⇔

= ⇔

-

'ν α ž 0 τότε Wyρ1> œ Wyρ=> ‘ 0 από τη σχ!ση y1> γιατί ρ1ρ= ‘ 0.

'πό @. r2‹/32 υπ#ρχει του"#χιστον !να ( )1 2ρ ρ , ρ∈ 7στε Wyρ>‚0.

Τε"ικ# υπ#ρχει του"#χιστον µια "ύση στο δι#στηµα „ρ1 ρ=….

1 6αρατηρούμε ότιb

( ) ( ) ( )x 1 x 1ln lnx 1 e lnx x ln lnx 1 x 3 ln x 1 1 e 3− −+ + > + ⇔ + − + > − + − + ⇔

( ) ( )f γν.φθίν.

f lnx f x 1 lnx x 1> − ⇔ < − yαπό το ερ7τηµα yα>> που ισχύει για κ#θε | ‰ 1 "όγω

εφαρµογής = του σχο"ικού σε"ίδα =HH.

Γ*1 Aίναιb

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )x x

x x x

2 3 e ln x 1 ln x 12 f x ln x 1 e 1G x

x e 1 x e 1 x e 1

− − + + + +− + + −= = =

⋅ + ⋅ + ⋅ +

Τότε

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( )( )( )

x x x x x x x x x

2 2x x

e 1 x e 1 e 1 x e 1 e x e 1 e 1 e x eG xx e 1 x e 1

N N

− ⋅ + − − ⋅ + ⋅ + − − + ⋅N = =⋅ + ⋅ +

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

x x x x x x x x x

2 2 2x x x

e x e 1 e 1 1 x e x e 1 e x e 1 x e x e 2G x

x e 1 x e 1 x e 1

⋅ + − − + ⋅ + − − ⋅ + + − + N = = =⋅ + ⋅ + ⋅ +

Aίναι

( )

x

2x

e0

x e 1

>

⋅ +

για κ#θε x ∈ ℝ .

@εωρούμε τη συν#ρτηση ( ) xg x x e 2, x= − + ∈ ℝ οπότε ( )

( )( )

x

2x

eG x g x

x e 1N = ⋅

⋅ +

Aίναι

- ( ) xg x 1 eN = − και αν ( ) x x

g x 0 1 e 0 e 1 x 0N = ⇔ − = ⇔ = ⇔ =

-

'ν ( ) x xg x 0 1 e 0 e 1 x 0N > ⇔ − > ⇔ < ⇔ < . }ρα η d είναι γνησίως αύξουσα.

-

'ν ( ) x xg x 0 1 e 0 e 1 x 0N < ⇔ − < ⇔ > ⇔ > . }ρα η d είναι γνησίως φθίνουσα.

%ια κ#θε | ‰ F1 !χουμεb

Η d παρουσι#$ει μ!γιστη τιμή την dy0> ‚ 1.

Σ<6B%B 934I6 9J g

- 'ν ( #1x A 1,0∈ = − τότε επειδή η d είναι γνησίως αύξουσα ισχύει

( ) ( #( ) ( ) ( )(1x 1

1g A g 1,0 lim g x ,g 0 1 ,1

e→−

= − = = − γιατί ( ) ( )x

x 1 x 1

1lim g x lim x e 2 1 0

e→− →−= − + = − >

Τότε δεν υπ#ρχει "ύση γιατί ( ) ( )g x 0 G x 0N, % , για κ#θε ( #x 1,0∈ − .

-

'ν " )2x A 0,∈ = +∞ τότε η d είναι γνησίως φθίνουσα και ισχύει

( ) " )( ) ( ) ( )( ( #2x

g A g 0, lim g x ,g 0 ,1→+∞

= +∞ = = −∞ γιατί

( ) ( )x

x

x x x

e 1lim g x lim x e 1 lim x 1

x x→+∞ →+∞ →+∞

= − + = − + = −∞

όπου

x x

x DLH x

e elim lim

x 1

∞∞

→+∞ →+∞= = +∞ και

xlim x→+∞

= +∞ .

Τότε υπ#ρχει μοναδικό |0 ‰ 0 τ!τοιο 7στε ( ) ( )0 2g x 0 g A= ∈ .

Μαθη...Μαγικά - Οδηγός Επανάληψης 2015-6 8.3.16

Documents

Transcript of Μαθη...Μαγικά - Οδηγός Επανάληψης 2015-6 8.3.16