βιβλίο β γυμνασίου 2015 2016 - askisiologio.gr

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Βασικά στοιχεία θεωρίας Λυμένα παραδείγματα Ασκήσεις προς λύση

Έκδοση: ΑΣΚΗΣΙΟΛΟΓΙΟ

Επιμέλεια: Μποζατζίδης Βασίλης

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α

β’ γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ


ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

ΜΕΡΟΣ Α

Κεφάλαιο 1: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Να θυμάσαι ότι …………………..………………………………………………………………σελ. 4 Λυμένα παραδείγματα …………… ……………………………………………………σελ. 5-12 Α 1.1 Η έννοια της μεταβλητής – Αλγεβρικές παραστάσεις ……………σελ. 14 Α1.2 Εξισώσεις πρώτου βαθμού ………………………………………………….σελ. 15-17 Α 1.3 Επίλυση τύπων …………………….................................................................σελ. 18 Α 1.4 Προβλήματα με χρήση εξισώσεων …………………………………….σελ. 19-20 Α 1.5 Ανισώσεις πρώτου βαθμού ……………………………………………………..σελ. 21 Κεφάλαιο 2: ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Να θυμάσαι ότι …………………..…………………………………………………………….σελ. 25 Λυμένα παραδείγματα ………………………………………………………………..σελ. 26-27 Α 2.1 Τετραγωνική ρίζα πραγματικού αριθμού ………………………….σελ. 29-30 Α 2.2 Άρρητοι αριθμοί – Πραγματικοί αριθμοί ………………………………..σελ. 31 Α 2.3 Προβλήματα ……………………………………………………………………………σελ. 32 Κεφάλαιο 3: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Να θυμάσαι ότι …………………..……………………………………………………….σελ. 36-37 Λυμένα παραδείγματα ………………………………………………………………..σελ. 39-51 Α 3.1 Η έννοια της συνάρτησης .………………………………………………….σελ. 53-54 Α 3.2 Καρτεσιανές συντεταγμένες – Γραφική παράσταση συνάρτησης ................................................................................................................................σελ. 55 Α 3.3 Η συνάρτηση y=αx ……….…………………………………………………….σελ. 56-57 Α 3.4 Η συνάρτηση y=αx+β ………………………………………………………………σελ. 58 Α 3.5 Η συνάρτηση y=

હܠ – Η υπερβολή ………………………………………………σελ. 59

Κεφάλαιο 4: ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Να θυμάσαι ότι …………………..…………………………………………………………….σελ. 63 Α 4.1 Βασικές έννοιες στατιστικής ………………………………………………….σελ. 64 Α 4.2 Γραφικές παραστάσεις ……………………………………………………………σελ. 65 Α 4.3 Κατανομή συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων ...………..σελ. 66-67 Α 4.5 Ομαδοποίηση παρατηρήσεων …………………………………………………σελ. 68 Α 4.6 Μέση τιμή – Διάμεσος ……………………………………………………………..σελ. 69

ΜΕΡΟΣ Β Κεφάλαιο 1: ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ Να θυμάσαι ότι …………………………………………………………………………………σελ. 74 Β 1.1 Εμβαδό επίπεδης επιφάνειας Β 1.2 Μονάδες μέτρησης επιφανειών ………………..…………………………….σελ. 76 Β 1.3 Εμβαδά επίπεδων σχημάτων …………………………………………………..σελ. 77 Β 1.4 Πυθαγόρειο θεώρημα …………………………………………………………σελ. 78-79


Κεφάλαιο 2: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ - ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Να θυμάσαι ότι …………………………………………………………………………………σελ. 84 Β 2.1 Εφαπτομένη οξείας γωνίας ……………………………………………………..σελ. 86 Β 2.2 Ημίτονο, συνημίτονο οξείας γωνίας ……………………………………….σελ. 87 Β 2.3 Μεταβολές ημιτόνου, συνημιτόνου και εφαπτομένης ……………σελ. 88 Β 2.4 Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί 30ο, 45ο και 60ο …………………………..σελ. 89 Β 2.5 Η έννοια του διανύσματος ………………………………………………………σελ. 90 Β 2.6 Άθροισμα και διαφορά διανυσμάτων ……………………………………..σελ. 91 Β 2.7 Ανάλυση διανύσματος σε δύο κάθετες ……………………………………σελ. 92 Κεφάλαιο 3: ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ Να θυμάσαι ότι ……………………………………………………………………………σελ. 97-98 Β 3.1 Εγγεγραμμένες γωνίες …………………………………………………..σελ. 100-101 Β 3.2 Κανονικά πολύγωνα ……………………………………………………………..σελ. 102 Β 3.3 Μήκος κύκλου ……………………………………………………………………….σελ. 103 Β 3.4 Μήκος τόξου ………………………………………………………………………….σελ. 104 Β 3.5 Εμβαδό κύκλου ……………………………………………………………………...σελ. 105 Β 3.6 Εμβαδόν κυκλικού τομέα ………………………………………………σελ. 106-107

ΜΕΡΟΣ Α: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

askisiologio.gr 1


askisiologio.gr 2

ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ – ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ


askisiologio.gr 3


askisiologio.gr 4

Να θυμάσαι ότι…

1. Ρίζα ή λύση εξίσωσης

Η τιμή του αγνώστου για την οποία επαληθεύεται η εξίσωση ονομάζεται λύση ή

ρίζα της εξίσωσης.

2. Διαδικασία επίλυσης εξίσωσης

αν υπάρχουν παρονομαστές κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών.

Αν υπάρχουν παρενθέσεις κάνουμε απαλοιφή παρενθέσεων.

Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους.

Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων.

Διαιρούμε με το συντελεστή του αγνώστου.

3. Επαλήθευση λύσης εξίσωσης

Επαλήθευση είναι η διαδικασία με την οποία εξετάζουμε αν τα μέλη της

εξίσωσης έχουν την ίδια τιμή αν όπου χ θέσουμε τη λύση της εξίσωσης.

4. Αδύνατη εξίσωση

Μία εξίσωση λέγεται αδύνατη όταν δεν έχει λύση. Δηλαδή όταν εκφράζει μια

σχέση που δεν μπορεί να ισχύει. Π.χ. 0x = 2015

5. Αόριστη εξίσωση ή ταυτότητα

Μία εξίσωση λέγεται αόριστη ή ταυτότητα όταν αληθεύει για κάθε τιμή του

άγνωστου χ. Δηλαδή όταν εκφράζει μια σχέση που ισχύει πάντα. Π.χ. 0x = 0

6. Λύσεις ανίσωσης Οι τιμές για τις οποίες αληθεύει μια ανίσωση ονομάζονται λύσεις της

ανίσωσης.

7. Αλλαγή φοράς ανίσωσης Η φορά μιας ανίσωσης αλλάζει όταν:

Πολλαπλασιάζουμε ή διαιρούμε τα δύο μέλη της ανίσωσης με αρνητικό αριθμό

Αντιστρέφουμε τα δύο μέλη της ανίσωσης Όταν τα δύο μέλη της ανίσωσης είναι αρνητικά και τα υψώνουμε στο

τετράγωνο


askisiologio.gr 5

ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

1. Δίνεται ορθογωνίου με πλευρές x + 4y και 3x + 7y – 2. α) Να γράψετε σε συνάρτηση των x και y την περίμετρό του β) Να υπολογίσετε την περίμετρο όταν x = -1 και y = 3

ΛΥΣΗ

α) Το ορθογώνιό μας έχει δύο πλευρές με μήκος x + 4y και δύο πλευρές με μήκος 3x + 7y – 2. Άρα η περίμετρός του θα είναι:

Π = 2(x + 4y) + 2(3x + 7y – 2) = 2x + 8y + 6x + 14y – 4 = 8x + 22y – 4

β) Η περίμετρος για x = -1 και y = 3 γίνεται:

Π = 8(-1) + 22∙3 – 4 = -8 + 66 – 4 = 54

2. Να δείξετε ότι η αλγεβρική παράσταση K σταθερή, όταν δίνεται ότι: Κ = 2 – [3x – 2(y – 5) -8 + x – 4(x – y – 3)] + 2y

ΛΥΣΗ

Για να δείξουμε ότι η παράσταση Κ είναι σταθερή, αρκεί να δείξουμε ότι είναι ανεξάρτητη από τα x και y. Έχουμε ότι:

Κ = 2 – [3x – 2y + 10 – 8 + x – 4x + 4y + 12] + 2y = = 2 – 3x + 2y – 10 + 8 – x + 4x – 4y – 12 + 2y = -12

Άρα η παράσταση Κ είναι σταθερή.

3. Να εξετάσετε αν οι αριθμοί x = -1 και x = 2 είναι λύσεις της εξίσωσης 2(x – 3) – (5 – 2x) + x = -16.


askisiologio.gr 6

ΛΥΣΗ Ένας αριθμός είναι λύση μιας εξίσωσης όταν την επαληθεύει. Δηλαδή όταν αντικαθιστώντας τον στη θέση της μεταβλητής, προκύπτει κάτι που ισχύει. Αντικαθιστώντας x = -1 έχουμε:

2(-1 – 3) – (5 – 2(-1)) + (-1) = -16 2∙(-4) – (5 + 2) – 1 = -16

-8 – 7 – 1 = -16 -16 = -16 ισχύει

Άρα το -1 είναι λύση της εξίσωσης γιατί την επαληθεύει. Αντικαθιστώντας x = 2 έχουμε:

2(2 – 3) – (5 - 2∙2) + 2 = -16 2∙(-1) – (5 – 4) + 2 = -16

-2 – 1 + 2 = -16 -1 = -16 που προφανώς δεν ισχύει

Άρα το 2 δεν είναι λύση της εξίσωσης.

4. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 2(x – 3) = 0 β) (2x – 4)∙(x + 5) = 0 ΛΥΣΗ Όταν ένα γινόμενο ισούται με μηδέν τότε κάποιος από τους παράγοντές του είναι μηδέν. Άρα έχουμε: α) 2 = 0 (ΑΔΥΝΑΤΟ) ή x – 3 = 0 x = 3 β) 2x – 4 = 0 x = 2 ή x + 5 = 0 x = -5

5. Να λυθεί η εξίσωση 2 – [-3(x – 5) + 2x – (3 – 4x)] – (x – 2) = -x + 5. ΛΥΣΗ Εκτελώντας κατάλληλα τις πράξεις έχουμε:

2 – [-3(x – 5) + 2x – (3 – 4x)] – (x – 2) = -x + 1 2 – [-3x + 15 + 2x – 3 + 4x] – x + 2 = -x + 1

2 + 3x – 15 – 2x + 3 – 4x – x + 2 = -x + 1 και χωρίζοντας γνωστούς από αγνώστους έχουμε:

3x – 2x – 4x – x + x = 1 – 2 + 15 – 3 – 2 -3x = 9

οπότε διαιρώντας με τον συντελεστή του αγνώστου έχουμε: x = -3

6. Να λυθεί η εξίσωση - = ΛΥΣΗ


askisiologio.gr 7

Το ΕΚΠ των αριθμών 2, 5 και 10 είναι το 10. Άρα πολλαπλασιάζοντας με το ΕΚΠ έχουμε:

10 - 10 = 10

2(χ – 3) – (2χ + 4) = 5(χ + 7) 2χ – 6 – 2χ – 4 = 5χ + 35 2χ – 2χ – 5χ = 35 + 6 + 4 -5χ = 45 χ = -9

Είναι σημαντικό, κατά την διαδικασία απαλοιφής παρονομαστών, να βάζουμε παρενθέσεις, για να αποφεύγουμε λάθη προσήμων. Για παράδειγμα, κατά την απαλοιφή του παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος, είναι συνηθισμένο λάθος να γράφουμε -2x + 4 και όχι –(2x + 4) βγάζοντας έτσι λάθος αποτέλεσμα.

7. Να λυθεί η εξίσωση (1 - x) + (x – 5) = (x + 2) -

ΛΥΣΗ Σε εξισώσεις αυτής της μορφής αρχικά κάνουμε απαλοιφή παρενθέσεων, οπότε έχουμε:

- + - = + - =

3 – 3x + 4x – 20 = x + 2 – 2x 2x = 19 x =

8. Να λυθεί η εξίσωση 2 – ( x2 - ) = x + 2( + ). ΛΥΣΗ Αρχικά κάνουμε απαλοιφή παρενθέσεων και προκύπτει:

2 - + = x + + 3 – x - + = - + =

-3x + 2x – 2 = 8 -x = 10 x = -10

9. Δίνεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με πλευρές AB = x + 5 και ΒΓ = x - 3. Να βρείτε την τιμή του θετικού αριθμού x σε κάθε μία από τις παρακάτω περιπτώσεις: α) Η μία πλευρά είναι τριπλάσια της άλλης β) Η περίμετρός του είναι 32 ΛΥΣΗ α) Προφανώς η μεγαλύτερη από τις δύο πλευρές θα είναι η ΑΒ. Άρα θα έχουμε:

ΑΒ = 2ΒΓ x + 5 = 3(x – 3) x + 5 = 3x – 9 2x = 14 x = 7 β) Αφού η περίμετρος Π ισούται με 32 θα ισχύει:

Π = 2(x + 5) + 2(x – 3) 2x + 10 + 2x – 6 = 32 4x = 28 x = 7


askisiologio.gr 8

10. Δίνεται η εξίσωση 2(x – k) - 1 = -3[5x – k(x – 1)], k∈R. Να βρείτε την τιμή του k ώστε το -2 να είναι λύση της εξίσωσης. ΛΥΣΗ Αφού το x = -2 είναι λύση της εξίσωσης θα πρέπει να της επαληθεύει. Δηλαδή θα ισχύει:

2(-2 – k) - 1 = -3[5(-2) – k(-2 – 1)] -4 – 2k - 1 = -3(-10 + 2k + k) -4 – 2k -1 = 30 – 6k – 3k 7k = 35 k = 5

11. Ο τύπος που δίνει το εμβαδόν του κυκλικού τομέα μο ενός κύκλου

(Ο, ρ) είναι Ε = . Να λύσετε τη σχέση ως προς μ.

ΛΥΣΗ Έχουμε ότι:

Ε = 360Ε = πρ2μ μ =

12. Αν από το πενταπλάσιο ενός αριθμού αφαιρεθεί το μισό του το αποτέλεσμα είναι 45. Να βρεθεί ο αριθμός αυτός. ΛΥΣΗ Έστω x ο ζητούμενος αριθμός. Τότε προκύπτει η εξίσωση:

5x - = 45

Οπότε πολλαπλασιάζοντας με το ΕΚΠ = 2 έχουμε:

2∙5x - 2∙ = 2∙45 10x – x = 90 9x = 90 x = 10

13. Σε ισοσκελές τρίγωνο η μία γωνία του είναι διπλάσια καθεμιάς από τις δύο ίσες γωνίες. Να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. ΛΥΣΗ


askisiologio.gr 9

Έστω x η καθεμιά από τις ίσες γωνίες. Τότε η άλλη γωνία θα είναι ίση με 2x. Γνωρίζουμε όμως ότι το άθροισμα των γωνιών τριγώνου είναι 180ο. Οπότε έχουμε την εξίσωση:

2x + x + x = 180 4x = 180 x = 45o Άρα οι γωνίες που πρόσκεινται στη βάση θα είναι από 45ο και η άλλη γωνία θα είναι 90ο. Άρα το τρίγωνο, εκτός από ισοσκελές είναι και ορθογώνιο.

14. Σε ένα κλάσμα δίνεται ότι ο παρονομαστής του είναι 4-πλάσιος από τον αριθμητή του. Αν προσθέσουμε και στους δυο όρους του κλάσματος το 1 το

κλάσμα ισούται με το . Να βρεθεί το αρχικό κλάσμα.

ΛΥΣΗ Έστω χ o αριθμητής του κλάσματος. Οπότε ο παρονομαστής του θα είναι 4x. Τότε προσθέτοντας σε αριθμητή και παρονομαστή το 1 προκύπτει η εξίσωση:

= x≠- οπότε πολλαπλασιάζοντας με το ΕΚΠ=4x+1 έχουμε:

5(χ + 1) = 2(4χ + 1) 5χ + 5 = 8χ + 2 -3χ = -3 χ = 1

Άρα το ζητούμενο κλάσμα είναι .

15. Να λυθεί η ανίσωση 2 – (x – 3) – 2(3 – 5x) > x. ΛΥΣΗ Κάνοντας τις απαιτούμενες πράξεις έχουμε:

3 – χ + 3 – 6χ + 10χ > χ -χ – 6χ + 10χ – χ > -3 – 3 2χ > -6 χ > -3

16. Να λυθεί η ανίσωση ( )

- ≥ 2 + 3x.

ΛΥΣΗ Έχουμε ΕΚΠ=6. Οπότε πολλαπλασιάζοντας όλους τους όρους με το ΕΚΠ προκύπτει:

6( )

- 6 ≥ 6∙2 + 6∙3x 2∙2(x - 3) – (x – 1) ≥ 12 + 18x


askisiologio.gr 10

4x – 12 – x + 1 ≥ 12 + 18x -15x ≥ 23 x ≤ -

17. Να βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων:

2(x + 6) – (7 – 2x) > -3 και x - ≤ + ( )

ΛΥΣΗ

Λύνοντας την πρώτη ανίσωση έχουμε:

2x + 12 – 7 + 2x > -3 4x > -8 x > -2

και από την δεύτερη προκύπτει:

10x – 2(x – 1) ≤ 25 + 5∙3(1 – 2x) 10x – 2x + 2 ≤ 25 + 15 – 30x

38x ≤ 38 x ≤ 1

Άρα, τοποθετώντας τις λύσεις πάνω στον άξονα των πραγματικών αριθμών έχουμε:

και τελικά οι κοινές λύσεις των δύο ανισώσεων είναι -2 < x ≤ 1

18. Να βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων:

-2(2x – 3) + x ≤ 0 και + 2 > x

ΛΥΣΗ Λύνοντας την πρώτη ανίσωση έχουμε:

-4χ + 6 + x ≤ 0 -3x ≤ -6 x ≥ 2 και από την δεύτερη προκύπτει:

x – 2 + 6 > 3x -2x > -4 x < 2


askisiologio.gr 11

Τοποθετώντας τις λύσεις των ανισώσεων στον άξονα των πραγματικών αριθμών έχουμε:

Από όπου παρατηρούμε ότι δεν υπάρχουν κοινές λύσεις.

ΠΡΟΣΟΧΗ! Αν στην δεύτερη ανίσωση αντί για x < 2 ήταν x ≤ 2 τότε θα υπήρχε κοινή λύση στις δύο ανισώσεις και θα ήταν το x = 2.

Γενικότερα μπορούμε να διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις:

Για α < β:

i) Αν x < α και x > β

Δεν υπάρχουν κοινές λύσεις.

ii) Αν x < α και x < β

Οι κοινές λύσεις είναι x < α.

iii) Αν x > α και x < β


askisiologio.gr 12

Οι κοινές λύσεις είναι α < x < β.

iv) Αν x > α και x > β

Οι κοινές λύσεις είναι x > β.

Παρόμοια συμπεράσματα προκύπτουν αν αντί για < ή > έχουμε ≤ ή ≥.


askisiologio.gr 13


askisiologio.gr 14

Α1.1: Η έννοια της μεταβλητής – Αλγεβρικές παραστάσεις

1. Να εκφράσετε χρησιμοποιώντας μεταβλητή, σαν αλγεβρική παράσταση τις παρακάτω εκφράσεις: α) Στο διπλάσιο ενός αριθμού προσθέτουμε 6 β) Από το τριπλάσιο ενός αριθμού αφαιρούμε 10 γ) Η διαφορά δύο αριθμών διαιρούμενη με 6 δ) Η περίμετρος ενός ορθογωνίου του οποίου το μήκος είναι κατά 7 μεγαλύτερο από το πλάτος του

2. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: 1– (-10 + 3 –20) + [-7 + (-10 –1)+ + 45] – {-5 –[ -20 + (-10 +5) ] - 2}

3. Να εκτελεστούν οι δυνατές πράξεις στις παρακάτω αλγεβρικές παραστάσεις: α) 7x – 2x + 10x – 5x β) -10x – 22x + 14x – x γ) x + x + x – 3x δ) 12x – 8x + 5x – x ε) 4x – 2 + 8x – x + 16x ζ) 15 – 5x + 2x + 7 – x

4. Να εκτελεστούν οι δυνατές πράξεις στις παρακάτω αλγεβρικές παραστάσεις: α) -5x + y – 12y + 7x – 2 β) 2y – 3x + 5x + y – 6 + 2x – 1 γ) -12y + y -8x – 6 – 2y + x – 8 δ) x – y + x + y + 7x – 8x – 8 + 6y ε) -10x + 8y – 2 + 7y – x + 12 – x

ζ) –x + y + x – 7x + 12 – 7y + 1

5. Δίνονται οι παραστάσεις Κ=2(x – 3y) – (7x – y + 1) και Λ=-(7y – 2x + 3) – 3(x – 1)(y – x)+ + x(x – 5) + y2. Να εκτελέσετε τις δυνατές πράξεις και στη συνέχεια να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων για x=-1 και y=-2.

6. Να υπολογίσετε τις τιμές των παρακάτω παραστάσεων αν γνωρίζετε ότι α + β = -6 και x – y = 7 α) A = -α – β - x + y β) B = - (-α –β) – (-x +y) γ) Γ = α – (y – 2) + (x – 1) +β

7. Να βρείτε την περίμετρο ισόπλευρου τριγώνου με πλευρά 2(x + 5).

8. Να βρείτε την περίμετρο ισοσκελούς τριγώνου με βάση 2x + 9 και με τις ίσες πλευρές του ίσες με 5(4x + 7).

9. Να βρείτε την περίμετρο ορθογωνίου παραλληλογράμμου με πλευρές 2x + 3y + 8 και –x + 9y + 15.

10. Να δείξετε ότι η παράσταση Α=-3 + x-[x - [y – x - (y - x)] - 3] έχει τιμή ανεξάρτητη από τους αριθμούς x και y.


askisiologio.gr 15

Α1.2: Εξισώσεις α’ βαθμού

11. Να εξετάσετε αν οι δοσμένοι αριθμοί x είναι λύσεις των αντίστοιχων εξισώσεων: α) 2x – 6 = x, x = 6 β) -5x + 2 = 10, x = 2 γ) –(x + 5) + 2(3x – 1) = 3, x=2 δ) -3(2x + 7)–(x + 2) = -4, x = 1 ε) 2χ – 4 = χ, χ = 4 ζ)- (χ + 1) + 2(χ – 3) = 0, χ = 7 η) -3(2χ – 1) = -(χ + 3), χ = 1

12. Να λύσετε τις εξισώσεις : α) 2x = 8 β) 7x = 0 γ) -12x = 0 δ) 5x = -25 ε) –10x = 1 ζ) –x = 100

13. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 3x + 2x – 4 = -4 β) -2x + 5 – 6x + 15x = 12 γ) 12 – x + 1 – 4x = -2x + 5 δ) -8 + 5x – 2x = x – 3 + 9x ε) 6x - 2(-x + 5) = 20 - 3(x - 1) ζ) 6x - 4(-5 - χ) + 4 = 2(3χ - 4) η) 12x - 4(3x - 2) = 6(-2x − 3) θ) 2(2 −2x) = 2(−6− 2x)

14. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 2(x – 5) – (8 – 6x) + 1 = -8x β) -3(2x + 8) – (5 + 6x)=1 – 2x γ) x – 3(2x + 7)=1 – 5(x – 6)+x δ) 10x – (4x + 5)=-(4 – 2x) + 5x ε) 9(8 – x) – 7(9 – x) – (x – 1)=1 ζ) 3(x – 2) + 2(1 + x)=3(2x – 1) η) 3(x + 4) = 15

θ) -5(-2x + 1) = -45 ι) 2(3x + 2) = 4 - x κ) 5 + 6(x + 3) = 4(x – 1) + 7 λ) 8x + 4(-2x – 1) = x – (4x + 1) μ) x + 3 + 3(x + 2) = 9 – 2x ν) 16(x + 1) – 2(3 – x)=-3(x + 6) ξ) 2(3x + 4)+5(3x – 5)=3(x – 7) ο) -7 +24(x – 2) = 2(5x + 9) - x π) 2x + 3 = 3x – (x + 7) ρ) 4x – 1 = 2(2x + 4) + 3 σ) -2(-3x + 1) = 6(x + 3_ - 12 τ) 3(x + 1) = 5 – 3x + 2 υ) -2(2x – 1) = 6 – 4(x + 1)

15. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: α) (2x – 8)(3x + 12) = 0 β) (6x – 1)(12 + 6x) = 0 γ) –(2x + 14)(-5x + 25) = 0 δ) –(8x + 36)(9 – 27x) = 0

16. Να λυθούν οι εξισώσεις:

α) x - = 3 - 3(x - 2)

β) + =

γ) 6 - =


askisiologio.gr 16

δ) - =

ε) =

ζ) –χ =

η) - + = 0

θ) - = y – 5

ι) - = 3x – 14

κ) - = 2 +

λ) + = 7 -

μ) (8-χ) + (χ – 1)= (χ+6) -

ν) 2χ - (19 – 2χ) = (2χ – 11)

ξ) = 10( x14 + 1)

ο) ( ) – 27 = 24χ

π) - = 4 +

ρ) + + 5 = +2

σ) - = +1

τ) - = ( )

υ) 2χ – 5 = +

φ) – 5 + χ = + 2χ

χ) ( )

+ ( )

= 2χ + 6

ψ) - + =

ω) 5 + x−1

2 + x+13 =-

x2 − x

3

17. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις:

α) - - − = 0

β) - = ( )

γ) ( )

+ =

δ) - + - =

ε) = ( )

+( )

+

ζ) = +

η) = -

18. Ποιου αριθμού το μισό του ισούται με το διπλάσιό του;

19. Το διπλάσιο ενός αριθμού αυξημένο κατά 5 ισούται με το τριπλάσιό του. Ποιος είναι αυτός ο αριθμός;

20. Δίνεται τρίγωνο με πλευρές ΑΒ = 2x + 1 , ΒΓ = x − 1 και ΓΑ = 4x − 3 Nα βρείτε το x σε κάθε μία από τις παρακάτω περιπτώσεις: α) Η περίμετρός του είναι 11 β) Είναι ισοσκελές με βάση την ΒΓ

21. Δίνεται ορθογώνιο παραλ/μο με πλευρές AB = x + 1 και ΒΓ = 4x - 2. Να βρείτε την τιμή του θετικού αριθμού x σε κάθε μία από τις παρακάτω περιπτώσεις:


askisiologio.gr 17

α) Η μία πλευρά είναι διπλάσια της άλλης β) Η περίμετρός του είναι 38

22. Δίνεται η παρακάτω εξίσωση x + α

3 +2x − α

2 = 1

α) Να βρεθεί το α , ώστε η εξίσωση να έχει λύση το 1 β) Να λυθεί η εξίσωση, αν δίνεται ότι α = 2

23. Nα βρείτε τον αριθμό α ώστε η εξίσωση (α - 3)x = 6 να είναι αδύνατη.

24. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές ΑΒ = 2x + 1, AΓ = x + 5 και ΒΓ = 8 – x. α) Να βρείτε την τιμή του x, ώστε να είναι ισοσκελές με βάση τη ΒΓ. Ποιο είναι σ’ αυτή την περίπτωση το μήκος κάθε πλευράς; β) Να βρείτε την τιμή του x, ώστε να είναι ισοσκελές με βάση την ΑΓ. Ποιο είναι σ’ αυτή την περίπτωση το μήκος κάθε πλευράς;

25. Δίνονται οι παραστάσεις Κ = 2x – 3, Λ = -2(x + 4) + 8x και Μ = 3(4x + 1) – 8. Να βρείτε την τιμή του x σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις: α) 2Μ = 5 + Κ – Λ β) 2Κ – 3Λ + 6 = Μ γ) K – 3M + Λ = -9


askisiologio.gr 18

Α1.3: Επίλυση τύπων

26. Να λύσετε την εξίσωση P · V = n · R · T ως προς: α) V β) n γ) Τ

27. Να λύσετε τον τύπο της περιμέτρου του κύκλου L = 2πρ ως προς ρ.

28. Να λυθεί ο τύπος l = , ο

οποίος δίνει το μήκος κύκλου ακτίνας R: α) ως προς R Β) ως προς μ

29. Να λύσετε την εξίσωση y = λx + β ως προς: α) x β) β

30. Να λύσετε τον τύπο της περιμέτρου ορθογωνίου παραλληλογράμμου

Π = 2x + 2y ως προς x.


askisiologio.gr 19

Α1.4: Προβλήματα με χρήση εξισώσεων

31. Ο πατέρας του Βασίλη είναι κατά 26 χρόνια μεγαλύτερος απ’ αυτόν. Αν πριν 5 χρόνια οι ηλικίες τους είχαν άθροισμα 40 να βρεθεί η ηλικία του Βασίλη και του πατέρα του.

32. Ο Γιώργος έχει υπολογίσει ότι το 2020 θα έχει τριπλάσια ηλικία από αυτή που είχε το 2004. Να υπολογίσετε πότε έχει γεννηθεί.

33. Ο πατέρας της Μαρίας έχει τετραπλάσια ηλικία από αυτή. Αν μετά από 5 χρόνια έχει τριπλάσια ηλικία από την κόρη του, να βρείτε πόσο χρονών είναι σήμερα η Μαρία.

34. Η Μαρία έχει τη διπλάσια ηλικία από τον Δημήτρη. Αν γνωρίζετε ότι σε 4 χρόνια το άθροισμα των ηλικιών τους θα είναι 32 χρόνια, να βρείτε τις ηλικίες των δύο παιδιών σήμερα.

35. Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο η καθεμιά από τις ίσες γωνίες του είναι 150 μικρότερη από την τρίτη γωνία. Να υπολογιστούν οι γωνίες του τριγώνου.

36. Το άθροισμα των ψηφίων ενός διψήφιου αριθμού είναι 11. Να υπολογίσετε το άθροισμα αυτού

του διψήφιου και του διψήφιου που προκύπτει, από αυτόν, αν αλλάξουμε την θέση των ψηφίων του.

37. Αν στο τετραπλάσιο ενός αριθμού προσθέσουμε 10 βρίσκουμε το πενταπλάσιό του. Να βρείτε τον αριθμό.

38. Να βρεθούν τρεις διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί ώστε το μισό

του μικρότερου και το του

μεγαλύτερου να είναι ίσο με τον μεσαίο ελαττωμένο κατά 3.

39. Ένα ορθογώνιο έχει περίμετρο 20. Να βρείτε τις διαστάσεις του, αν γνωρίζετε ότι η μία είναι τετραπλάσια της άλλης.

40. Αν στο τετραπλάσιο ενός αριθμού προσθέσουμε 10 βρίσκουμε το πενταπλάσιό του. Να βρείτε τον αριθμό.

41. Σε ένα τρίγωνο έχουμε Α = 90ο, ενώ η Β γωνία είναι πενταπλάσια από τη Γ. Να βρείτε τις γωνίες Β και Γ.

42. Δύο αριθμοί διαφέρουν κατά 35 και ο λόγος τους είναι 2/7. Να βρείτε τους αριθμούς αυτούς.


askisiologio.gr 20

43. Σε ένα κλάσμα δίνεται ότι ο παρονομαστής του είναι 4-πλάσιος από τον αριθμητή του. Αν προσθέσουμε και στους δυο όρους του κλάσματος το 1

το κλάσμα ισούται με το . Να

βρεθεί το αρχικό κλάσμα.

44. Δίνεται ορθογώνιο παραλ/μο για το οποίο γνωρίζετε ότι η μία πλευρά είναι τριπλάσια της άλλης. Να βρείτε τις πλευρές, αν δίνεται ότι: α) Η περίμετρός του είναι 40. β) Το εμβαδόν του είναι 48.

45. Ο Βασίλης έχει στην τσέπη του χαρτονομίσματα των 10 και 20 ευρώ. Αν γνωρίζετε ότι τα χαρτονομίσματα των 10€ είναι διπλάσια από αυτά των 20€ και ότι το συνολικό ποσό που έχει στην τσέπη του είναι 160€, να βρείτε πόσα χαρτονομίσματα των 10€ και πόσα των 20€ έχει.

46. Δίνονται ένα τρίγωνο με πλευρά x και ένα ορθογώνιο παραλ/μο με πλευρές x και 6cm. Αν γνωρίζετε ότι η περίμετρος του τετραγώνου είναι 6cm μικρότερη από την περίμετρο του ορθογωνίου, να βρείτε: α) Τα μήκη των πλευρών των δύο σχημάτων β) Τα εμβαδά τους γ) Ποια η σχέση των εμβαδών;

47. Σε ένα γραφείο υπάρχουν μπλε και κόκκινα στυλό. Δίνεται ότι τα κόκκινα είναι 4 περισσότερα από τα μπλε. Αν γνωρίζετε ότι όλα τα στυλό είναι 36, να βρείτε πόσα στυλό από κάθε χρώμα υπάρχουν στο γραφείο.

48. Σε μια μάντρα αυτοκινήτων και μηχανών υπάρχουν συνολικά 55 οχήματα. Αν γνωρίζετε ότι όλα τα οχήματα έχουν 190 ρόδες, να βρείτε πόσα αυτοκίνητα και πόσες μηχανές υπάρχουν στη μάντρα.


askisiologio.gr 21

Α1.5: Ανισώσεις α’ βαθμού

49. Να λύσετε τις ανισώσεις και να σημειώσετε τις λύσεις τους πάνω στον άξονα των πραγματικών αριθμών: α) 5x + 3 ≤ 10 + 4x β) 4x + 5 < −3 γ) −(8 − 3x) > 4x − 2 δ) −(5 + 3x) < 4x − 2 ε) 2(3x − 2) > 4x − 2 ζ) 5x + 3 − (x − 1) ≥ −6 − x η) 6x – 1 – (x + 12) < 4x + 5 δ) −2(−4 − 3x) < x − 2

50. Να λυθούν οι ανισώσεις:

α) + <

β) + ≥ +

γ) - ≤ 2 - χ

δ) - ≤ -

ε) 1 - ≤ - χ

ζ) + 1 > 0

η) ( )

+ ≤ ( )

θ) ( )

+ ( )

>

ι) ( )

+ χ ≥ + ( )

κ) ( )

+ > ( )

51. Να βρεθούν οι τιμές του κ αν γνωρίζετε ότι το χ = 1 επαληθεύει την ανίσωση 3κχ – 7 < 2χ + 5.

52. Δίνεται η ανίσωση 2x − 1

3 +α2 <

x + α6

α) Να βρεθούν οι τιμές του α, ώστε η ανίσωση να έχει λύση τον αριθμό χ = -1. β) Να λυθεί η ανίσωση, αν γνωρίζετε ότι α = 2.

53. Να βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων: α) x – 3 < 2 και 4 – x < 3 β) 4x – 1 > 3(1 – x) + 10 και 2(1 – χ) ≥ 8 γ) 2(x- 3) + x < -3(5x – 1) - 12 και 4(2x – 1) – 3(x – 1) > 0 δ) 5χ – 3(χ – 8) > 1 – (χ – 2) και χ + 2(3 – 5χ)≤2χ–(9χ – 3) ζ) 4(χ – 2) < 3χ - 9 και -3(2 – 3χ) < 9 – 5(χ – 3)

η) 2χ – 8 > (χ + 1) και

+ < x - 2

θ) + > και

+ 1 <

ι) -3χ + ≥ 7 και

– 1 <

κ) χ – 2 < 2(χ – 3) και 2(χ – 2) + χ > χ - 5 και χ – 2 < 7 λ) 4χ – 3 < 5 και 2(χ – 3)>-4 και 2χ ≥ 3(χ – 1) μ) 2x – 3 > x - 5 και x – 1 > 7x - 5 και 3 < x – 1


askisiologio.gr 22

ΜΕΡΟΣ Α: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

askisiologio.gr 23


askisiologio.gr 24

ΜΕΡΟΣ Α

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ


askisiologio.gr 25

Να θυμάσαι ότι… 1. Τετραγωνική ρίζα μη αρνητικού αριθμού α

Τετραγωνική ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α ονομάζουμε έναν άλλο μη αρνητικό αριθμό χ τον οποίο αν τον υψώσουμε στο τετράγωνο μας δίνει τον αριθμό α.


askisiologio.gr 26


1. Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης √ √ √

√ √.

ΛΥΣΗ Γνωρίζοντας ότι √64 = 8, √125 = 15, √169 = 13, √25 = 5 και √81 = 9 έχουμε:

√ √ √√ √

= ∙ ∙ ∙ = =

2. Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης 5 ∙ 4 + √25 9 + 4.

ΛΥΣΗ

Έχουμε ότι 5 ∙ 4 + √25 9 + 4 = 5 ∙ (4 + 5)9 + 4 = 5 ∙ √9 ∙ 9 + 4 =

= 5 ∙ √81 + 4 = √5 ∙ 9 + 4 = √49 = 7

3. Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης √75 - 3√48 - 2√3 + √25√12 ΛΥΣΗ Αρχικά υπολογίζουμε τις επιμέρους ρίζες. Αν δεν κάποια ρίζα δεν ισούται με ακέραιο αριθμό, τότε επιλέγουμε να την γράψουμε απλούστερα χρησιμοποιώντας μικρότερη ρίζα (απλοποίηση). Οπότε έχουμε: √75 = √25 ∙ 3 = √25√3 = 5√3 √48 = √16 ∙ 3 = √16√3 = 4√3 √25 = 5 √12 = √4 ∙ 3 = √4√3 = 2√3 Άρα η παράσταση γίνεται: √75 - 3√48 - 2√3 + √25√12 = 5√3 - 3∙4√3 - 2√3 + 5∙2√3 =


askisiologio.gr 27

= 5√3 - 12√3 - 2√3 + 10√3 = √3

4. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ του οποίου οι διαγώνιες τέμνονται στο Ο. Αν γνωρίζετε ότι ΟΑ = 5, να βρείτε: α) Το μήκος της πλευράς του τετραγώνου β) Το εμβαδό του τριγώνου ΟΑΒ

ΛΥΣΗ α) Αφού ΟΑ = 5, θα είναι ΑΓ = 10. Ονομάζοντας x την πλευρά του τετραγώνου και εφαρμόζοντας Πυθαγόρειο Θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε:

ΑΓ2 = ΑΒ2 + ΒΓ2 102 = x2 + x2 2x2 = 10 x2 = 5 x = √5

ΠΡΟΣΟΧΗ! Αλγεβρικά ισχύει ότι x2 = 5 x = ±√5, όμως επειδή το x εκφράζει πλευρά τετραγώνου, δεν είναι δυνατόν να είναι αρνητική, άρα τελικά το x θα ισούται μόνο με √5 και όχι με ±√5.


askisiologio.gr 28


askisiologio.gr 29

Α2.1: Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού

1. Να υπολογίσετε τις παρακάτω τετραγωνικές ρίζες: α) √16 β) √25 γ) √49 δ) √100 ε) √121 ζ) 0,25 η) √0,64 θ) √0,144 ι) √1,21 κ) √1600

2. Να υπολογίσετε τις παρακάτω τετραγωνικές ρίζες: α) √4, √0,04, √0,00004 β) √25, 0,25, 0,0025 γ) √16, √1600, √160000

3. Να υπολογίσετε τις παρακάτω τετραγωνικές ρίζες:

α) β)

γ) ,,

δ) ,,

4. Να υπολογίσετε τις παρακάτω παραστάσεις:

α) 9 ∙ √16

β) 2 ∙ √4

γ) 4 ∙ √256

δ) 3 ∙ 1 + √9 4 + 4

ε) 4 - 10 + 9

ζ) √ + √49

5. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων:

α) √ √

√

β) √ √

√

γ) √ √ √

√

6. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων:

α) 2√64

β) 5√125

γ) 3√6√6

δ) 12 + √4 + √121

7. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: α) 3√8 + 4√8 β) √50 + 7√18 - 3√2 γ) √24 + 9√6 - 2√96

8. Δίνεται το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α = 90ο) να υπολογίσετε την Τρίτη πλευρά σε κάθε μία από τις περιπτώσεις:

α) ΑΒ = 6, ΑΓ = 8 β) ΑΒ = 7, ΑΓ = 9 γ) ΑΓ = 12, ΒΓ = 37


askisiologio.gr 30

9. Να βρείτε τους αριθμούς x που ικανοποιούν τις σχέσεις: α) x2 = 121 β) x2 = 196 γ) x2 = 1,44 δ) x2 = 0,25

ε) x2= ζ) x2=

η) x2=,

θ) x2=,,


askisiologio.gr 31

Α2.2: Άρρητοι αριθμοί – Πραγματικοί αριθμοί

10. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) x2 = 57 β) x2 = 120 γ) x2 = 320 δ) x2 = 1400

11. Να υπολογίσετε την πλευρά τετραγώνου αν δίνεται ότι η διαγώνιός του είναι 18.

12. Να υπολογίσετε το εμβαδό ενός ισόπλευρου τριγώνου πλευράς 12.

13. Να υπολογίσετε την υποτείνουσα

και το εμβαδό ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου, αν γνωρίζετε ότι μία κάθετη πλευρά του είναι 18

14. Να υπολογίσετε τις πλευρές και

το εμβαδό ισόπλευρου τριγώνου, αν γνωρίζετε ότι το ύψος του είναι 10.

15. Να υπολογίσετε το εμβαδό του ορθογωνίου τριγώνου του οποίου η υποτείνουσα είναι 25 και η μία κάθετη πλευρά του είναι διπλάσια της άλλης.


askisiologio.gr 32

Α2.3: Προβλήματα

16. Στο παρακάτω σχήμα απεικονίζεται μία ορθογώνια πλατεία. Ο δήμος αποφάσισε να καλύψει με πλακόστρωτο τους χώρους στο εσωτερικό των τριγώνων ΑΔΕ και ΒΓΕ και με γκαζόν το εσωτερικό του τριγώνου ΔΓΕ. Αν δίνεται ότι ΑΔ = 6m, ΔΕ = 10m και ΓΕ = 5m και επιπλέον γνωρίζετε ότι το ΔΓΕ είναι ορθογώνιο, να υπολογίσετε το εμβαδό του ΔΓΕ.

17. Δίνεται το παρακάτω ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και σημείο Ε της ΑΒ. Αν γνωρίζετε ότι ΑΔ = 3, ΑΕ = 4 και ΓΔ = 6, τότε: α) Να υπολογίσετε τις πλευρές ΕΔ και ΕΓ του τριγώνου ΔΕΓ β) Να εξετάσετε αν το ΔΕΓ είναι ορθογώνιο

18. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) με ΑΒ = 16 και ΒΓ = 8. α) Να υπολογίσετε το μήκος του ύψους ΑΔ β) Αν είναι Ε το μέσο του ύψους ΑΔ, να βρείτε το εμβαδό του τριγώνου ΒΕΓ και να το συγκρίνετε με το εμβαδό του τριγώνου ΑΒΓ. Τι συμπεραίνετε;

ΜΕΡΟΣ Α: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

askisiologio.gr 33


askisiologio.gr 34

ΜΕΡΟΣ Α

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ


askisiologio.gr 35


askisiologio.gr 36


1. Συντεταγμένες σημείου

Σε κάθε σημείο Μ αντιστοιχεί ένα ζεύγος αριθμών της μορφής (x, y). Το x

λέγεται τετμημένη και το y λέγεται τεταγμένη του σημείου Μ. Η τετμημένη

και η τεταγμένη του Μ λέγονται συντεταγμένες και γράφουμε Μ(x, y).

Κάθε σημείο του επιπέδου αντιστοιχεί σε ένα μόνο ζεύγος συντεταγμένων και,

αντιστρόφως, κάθε ζεύγος αριθμών αντιστοιχεί σε ένα μόνο σημείο του

επιπέδου.

2. Γραφική παράσταση συνάρτησης

Έστω ότι έχουμε μία συνάρτηση με την οποία ένα μέγεθος y εκφράζεται ως

συνάρτηση ενός άλλου μεγέθους x. Ονομάζουμε γραφική παράσταση της

συνάρτησης αυτής το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου με συντεταγμένες

(x, y).

3. Ανάλογα ποσά

Δύο ποσά λέγονται ανάλογα, όταν πολλαπλασιάζοντας τις τιμές του ενός ποσού

με έναν αριθμό, τότε και οι αντίστοιχες τιμές του άλλου πολλαπλασιάζονται με

τον ίδιο αριθμό.

4. Η συνάρτηση y = αx

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = αx είναι μία ευθεία που διέρχεται

από την αρχή Ο των αξόνων.

Ο άξονας x'x είναι η ευθεία με εξίσωση y= 0x, δηλαδή y = 0.

λόγος = α λέγεται κλίση της ευθείας y = αx.

5. Η συνάρτηση y = αx + β

Η γραφική παράσταση της y = αx + β, β≠0 είναι μια ευθεία παράλληλη της

ευθείας με εξίσωση y = αx, που διέρχεται από το σημείο (0, β) του άξονα y'y.

Μια εξίσωση της μορφής αx + βy = γ, με α≠0 ή β≠0 παριστάνει ευθεία.

6. Η συνάρτηση y = 훂퐱

H γραφική παράσταση της συνάρτησης y = , με α ≠ 0,

λέγεται υπερβολή και αποτελείται από δύο κλάδους που βρίσκονται:


askisiologio.gr 37

i) Στο 1ο και στο 3ο τεταρτημόριο των αξόνων, όταν α > 0.

ii) Στο 2ο και στο 4ο τεταρτημόριο των αξόνων, όταν α < 0.

Η γραφική παράσταση της υπερβολής έχει:

i) Κέντρο συμμετρίας την αρχή Ο των αξόνων.

ii) Άξονες συμμετρίας τις διχοτόμους των γωνιών των αξόνων, δηλαδή τις

ευθείες με εξισώσεις y = x και y = –x.


askisiologio.gr 38


askisiologio.gr 39


1. Να συμπληρώσετε τον πίνακα τιμών σε κάθε μια από τις παρακάτω συναρτήσεις:

α) y = −x + 5 β) y = x2 -3x + 4 ΛΥΣΗ α) Για να συμπληρώσουμε τον πίνακα αντικαθιστούμε κατά σειρά τους αριθμούς -3, -1, 0 και 2 στη θέση του x, στον τύπο της συνάρτησης και βρίσκουμε τα αντίστοιχα y. Άρα έχουμε: y = -(-3) + 5 = 8 y = -(-1) + 5 = 6 y = -0 + 5 = 5 y = -2 + 5 = 3 και τελικά ο πίνακας γίνεται:

x -3 -1 0 2

y

x -3 -2 0 3

y

x -3 -1 0 2

y 8 6 5 3


askisiologio.gr 40

β) Για να συμπληρώσουμε τον πίνακα αντικαθιστούμε κατά σειρά τους αριθμούς -3, -2, 0 και 3 στη θέση του x, στον τύπο της συνάρτησης και βρίσκουμε τα αντίστοιχα y. Άρα έχουμε: y = (-3)2 – 3(-3) + 4 = 9 + 9 + 4 = 22 y = (-2)2 – 3(-2) + 4 = 4 + 6 + 4 = 14 y = 02 - 3∙0 + 4 = 4 y = 32 - 3∙3 + 4 = 9 – 9 + 4 = 4 και τελικά ο πίνακας γίνεται:

2. Ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχει κάθετες πλευρές ΑΒ = 3x – 2 και ΑΓ = 2y + 10 και υποτείνουσα ΒΓ = 17 + x + y. Να γράψετε το y σαν συνάρτηση του x αν γνωρίζετε ότι η περίμετρος του είναι 100 ΛΥΣΗ Γνωρίζουμε ότι αν είναι Π η περίμετρος, έχουμε: Π = ΑΒ + ΒΓ ΓΑ = 3x – 2 + 17 + x + y + 2y + 100

4x + 3y + 15 = 100 3y = -4x – 15 + 100 3y = -4x + 85 y = 3. Για τη συνάρτηση με τύπο y = -x2 + βx – 2α + 5 δίνεται ο παρακάτω πίνακας τιμών:

Να βρείτε τα α και β και να συμπληρώσετε τον πίνακα.

x -3 -2 0 3

y 22

14 4 4


askisiologio.gr 41

4. Να βρείτε την απόσταση (ΑΒ), όταν Α(-12, 13) και Β(-2, 5) ΛΥΣΗ Αντικαθιστώντας τις συντεταγμένες των σημείων Α και Β στον τύπο της απόστασης δύο σημείων έχουμε: (ΑΒ) = (−2 − (−12)) + (5 − 13) = 10 + (−8) = √164

5. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές Α(0, 3), Β(4, 0) και Γ(8, 3) είναι ισοσκελές. ΛΥΣΗ Για να είναι το τρίγωνο ισοσκελές θα πρέπει 2 από τις πλευρές του να είναι ίσες. Βρίσκουμε λοιπόν τα μήκη των πλευρών του. (ΑΒ) = (4 − 0) + (0 − 3) = √25 = 5

(ΑΓ) = (8 − 0) + (3 − 3) = √64 = 8 (ΒΓ) = (8 − 4) + (3 − 0) = √25 = 5 Άρα αφού το τρίγωνο έχει ΑΒ = ΑΓ είναι ισοσκελές.

6. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο y = (α + 2)x – 5α, διέρχεται από το σημείο M(-4, 1). α) Να υπολογίσετε το α β) Να συμπληρώσετε τον πίνακα:

γ) Να σχεδιάσετε τη γραφική της παράσταση.

ΛΥΣΗ

α) Αφού το σημείο Μ ανήκει στην γραφική παράσταση της συνάρτησης, θα την επαληθεύει. Δηλαδή θα ισχύει:


askisiologio.gr 42

1 = (α + 2)(-4) – 5α 1 = -4α – 8 – 5α 9α = -9 α = -1

Άρα η συνάρτησή μας έχει τύπο y = x + 5 και παριστάνει ευθεία.

β) Αντικαθιστώντας τις τιμές -2, -1, 0, 1 και 2 στο x, βρίσκουμε τις αντίστοιχες τιμές του y και ο πίνακας γίνεται:

γ) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι η ευθεία που φαίνεται στην παρακάτω εικόνα:

7. Γνωρίζοντας ότι τα ποσά x και y στον παρακάτω πίνακα είναι ανάλογα: α) να βρείτε τον συντελεστή αναλογίας α β) να συμπληρώσετε τον πίνακα:

x -2 -1 0 1 2

y 3 4 5 6 7


askisiologio.gr 43

γ) να κάνετε την γραφική παράσταση ΛΥΣΗ

α) Για να βρούμε τον συντελεστή αναλογίας των παραπάνω ποσών επιλέγουμε το «ζεύγος» του οποίου γνωρίζουμε και τις δύο τιμές (στην προκειμένη περίπτωση το (x, y) = (-1, 3) ) και αντικαθιστούμε στη σχέση που δίνει τα ανάλογα ποσά. Δηλαδή:

y = αx 3 = α(-1) α = -3 Άρα ο συντελεστής αναλογίας είναι α = -3 και η σχέση αναλογίας των ποσών αυτών είναι η y = -3x. β) Οπότε ο πίνακας γίνεται:

x -2

-1

0 2

y 6 3 0 -6

γ) Η γραφική παράσταση της σχέσης y = -3x είναι:


askisiologio.gr 44

8. Δίνεται ότι τα ποσά που εκφράζονται από τα x και y είναι ανάλογα: α) αν δίνεται ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης διέρχεται από το σημείο Α(-8, -2), να εκφράσετε το y ως συνάρτηση του x. β) να κάνετε τη γραφική παράσταση ΛΥΣΗ α) Αφού τα ποσά x και y είναι ανάλογα η σχέση που τα εκφράζει είναι η y = αx. Το σημείο Α(-8, -2) επαληθεύει τη σχέση επομένως έχουμε:

-2 = α(-8) α = Άρα η σχέση γίνεται y = x

β) Για να κάνουμε την γραφική παράσταση της συνάρτησης y = x πρέπει να

κάνουμε αρχικά πίνακα τιμών.


askisiologio.gr 45

Βέβαια γνωρίζουμε ότι η γραφική παράσταση της σχέσης της μορφής y = αx παριστάνει ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

x -4 0 4

y -1 0 1

και η γραφική παράσταση θα είναι:


askisiologio.gr 46

9. Να παραστήσετε γραφικά στο ίδιο σύστημα αξόνων της συναρτήσεις y = -5x και y = -5x +3. ΛΥΣΗ Αρχικά κατασκευάζουμε πίνακες τιμών για τις δύο συναρτήσεις:

x 0 1 2

y 3 -2

-7

Οπότε οι γραφικές παραστάσεις θα είναι:

10. Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση y = 2x – 3 για -1 ≤ χ ≤ 3.

ΛΥΣΗ

x -1

0 1

y

5 0 -5


askisiologio.gr 47

Αρχικά κατασκευάζουμε πίνακα τιμών βάζοντας για αρχική και τελική τιμή το -1 και 3 αντίστοιχα.

Οπότε η γραφική παράσταση θα είναι:

11. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α(0, -3) και Β(3, 0). ΛΥΣΗ Θεωρούμε την ευθεία y = αx + β. Αφού η ευθεία διέρχεται από το σημείο Α, θα επαληθεύεται από αυτό, δηλαδή θα ισχύει:

-3 = α∙0 + β β = -3

x -1 0 3

y -5 -3 3


askisiologio.gr 48

Αντίστοιχα, αφού το σημείο Β ανήκει στην ευθεία, θα την επαληθεύει, δηλαδή θα ισχύει:

0 = α∙3 + β 0 = 3α – 3 α = 1 Άρα η ζητούμενη ευθεία θα είναι η y = x – 3.

12. α) Να βρείτε τα σημεία τομής της ευθείας y = 2x – 6 με τους άξονες. β) Να υπολογίσετε το εμβαδό του τριγώνου που σχηματίζει η ευθεία με τους άξονες. ΛΥΣΗ α) Για να βρούμε το σημείο στο οποίο η ευθεία τέμνει τον άξονα x’x θέτουμε y = 0 και λύνουμε την εξίσωση που προκύπτει βρίσκοντας το x, δηλαδή την τετμημένη του ζητούμενου σημείου. Άρα έχουμε:

0 = 2x – 6 x = 3 Άρα το σημείο τομής της ευθείας με τον άξονα x’x είναι το Α(3, 0). Αντίστοιχα για να βρούμε το σημείο τομής της ευθείας με τον άξονα y’y θέτουμε x = 0 και λύνοντας την εξίσωση που προκύπτει θα βρούμε το y, δηλαδή την τεταγμένη του ζητούμενου σημείου. Άρα έχουμε:

y = 2∙0 – 6 y = -6 Άρα το σημείο τομής της ευθείας με τον άξονα y’y είναι το Β(0, -6). β) Η ευθεία y = 2x – 6 έχει την παρακάτω γραφική παράσταση:


askisiologio.gr 49

(Η ευθεία είναι πλέον εύκολο να σχεδιαστεί αφού γνωρίζουμε δύο σημεία της, τα Α και Β.) Το τρίγωνο που σχηματίζει η ευθεία με τους άξονες είναι το ΑΟΒ. Στο συγκεκριμένο ορθογώνιο τρίγωνο, θεωρούμε βάση το ΟΑ=3 και ύψος το ΟΒ=6, άρα το εμβαδό θα είναι ίσο με:

Ε = ∙ =

∙ = 9 τ.μ.

13. Γνωρίζοντας ότι τα ποσά x και y είναι αντιστρόφως ανάλογα: α) Να εκφράσετε το y ως συνάρτηση του x, αν δίνεται ότι η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο Α(-2, 4). β) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης. ΛΥΣΗ α) Αφού τα ποσά x και y είναι αντιστρόφως ανάλογα η σχέση που τα εκφράζει είναι

η y = .


askisiologio.gr 50

To σημείο Α ανήκει στην συνάρτηση, άρα την επαληθεύει. Οπότε έχουμε:

4 = - α = -8

Άρα η συνάρτηση θα είναι η y = - β) Αρχικά κατασκευάζουμε πίνακα τιμών:

x -4

-2

-1

1 2 4

y 2 4 8 -8

-4

-2

Οπότε η γραφική παράσταση θα είναι:

14. Δίνεται η συνάρτηση y = . Να βρείτε το α, αν γνωρίζετε ότι η

γραφική συνάρτηση της υπερβολής αυτής διέρχεται από το σημείο Α(1, 5). ΛΥΣΗ


askisiologio.gr 51

Αφού η γραφική παράσταση της υπερβολής διέρχεται από το Α, θα επαληθεύεται από αυτό το σημείο, άρα θα ισχύει:

5 = 3 – 2α = 5 α = -1

Άρα η υπερβολή είναι η y =


askisiologio.gr 52


askisiologio.gr 53

Α3.1: Η έννοια της συνάρτησης

1. Να συμπληρώστε τους πίνακες τιμών των παρακάτω συναρτήσεων: α) y = −2x + 3

β) y =

2. Να συμπληρώσετε τους πίνακες τιμών των παρακάτω συναρτήσεων: α) y = x2 + 2

β) y = x2 – 2x + 1

3. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο με πλευρές AB = ΑΓ = x και ΒΓ = y. Να εκφράσετε την πλευρά y ως συνάρτηση του x , αν γνωρίζετε ότι το τρίγωνο έχει περίμετρός του είναι 20.

4. Δίνεται ΑΒΓΔ ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με πλευρές ΑΒ = 2x - 1 και ΒΓ = 4y - 3. Να εκφράσετε το y ως συνάρτηση του x , αν γνωρίζετε ότι η περίμετρος του είναι 12.

5. Να συμπληρώσετε τους πίνακες τιμών των παρακάτω συναρτήσεων: α) y = -2x + 5

β) y = x2 - 1

6. Ένας υπάλληλος μιας τράπεζας έχει μισθό 900 € το μήνα και 2% του μηνιάτικου για κάθε ώρα υπερωρίας. Να εκφράσετε τον συνολικό του μισθό y, ως συνάρτηση των ωρών υπερωρίας x.

7. Ένα πολυκατάστημα κάνει εκπτώσεις 20% στις τιμές του για όλα του τα προϊόντα. Να εκφράσετε το ποσό που θα πληρωθεί για ένα αντικείμενο ως συνάρτηση της τιμής που είχε αρχικά.

x -2 -1 0 1

y

x -4 0 2 5

y

x -2 -1 0 1 2

y

x -2 -1 0 1 2

y

x -2 -1

y 7 5

x -3 0

y 0 3


askisiologio.gr 54

8. Για τη συνάρτηση με τύπο y = (3 – 2α)x + 2β δίνεται ο παρακάτω πίνακας τιμών:

x -2 -1 0

y -8 1 10

Να βρείτε τα α και β.

9. Για τη συνάρτηση με τύπο y = x2 + 2βx + 3α δίνεται ο παρακάτω πίνακας τιμών:

x -2 0 2

y 19 3 -5

Να βρείτε τα α και β.


askisiologio.gr 55

Α3.2: Καρτεσιανές συντεταγμένες – Γραφική παράσταση συνάρτησης

10. Να κατασκευάσετε ένα σύστημα αξόνων και να σημειώσετε τα παρακάτω σημεία Α(-2, -3), Β(-2, 3), Γ(2, 4), Δ(4, -1).

11. Να βρείτε το συμμετρικό του σημείου Α(-2, -3) ως προς: α) τον άξονα x΄x β) τον άξονα y΄y γ) την αρχή των αξόνων

12. Να βρείτε τις αποστάσεις των σημείων Κ(-3, 15) και Λ(7, -7): α) από τον άξονα x’x β) από τον άξονα y’y γ) από την αρχή Ο των αξόνων

13. Nα βρείτε την απόσταση του σημείου Α(-3, -5) από: α) τον άξονα x΄x β) τον άξονα y΄y γ) την αρχή των αξόνων

14. Να υπολογίσετε την απόσταση ΑΒ σε κάθε μία από τις παρακάτω περιπτώσεις: α) Α(0, 1), Β(5, 0) β) Α(0, 0), Β(3, −2) γ) Α(−2, −1), Β(4, −1) δ) Α(3, −2), Β(3, −5) ε) Α(−1, −2), Β(−2, −3) ζ) Α(−3, 4), Β(4, −3)

15. Πάνω σ’ ένα σύστημα αξόνων παίρνουμε τα σημεία Α(-9, -2),

Β(-9, 2), Γ(9, -2), Δ(9, 2). Να βρείτε το είδος του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ και να υπολογίσετε το εμβαδόν του.

16. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές Α(-1, 1), Β(3, 1) και Γ(-1, 5) είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.

17. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο y = (2 – 3α)x + 1, διέρχεται από το σημείο M(-1, -16). α) Να υπολογίσετε το α β) Να συμπληρώσετε τον πίνακα:

γ) Να σχεδιάσετε τη γραφική της παράσταση, όταν -2 ≤ x ≤ 2.

x -2 -1 0 1 2

y


askisiologio.gr 56

Α3.3: Η συνάρτηση y = αx

18. Δίνεται ο πίνακας τιμών δύο ποσών x και y:

χ 12 15 18

y -24 -30 -36

Να εξεταστεί αν τα ποσά είναι ανάλογα. Αν ναι, να εκφράσετε το y ως συνάρτηση του χ.

19. Γνωρίζοντας ότι τα ποσά x και y στον παρακάτω πίνακα είναι ανάλογα: α) να εκφράσετε το y ως συνάρτηση του x β) να συμπληρώσετε τον πίνακα:

x -2 -1 0 1

y 4

γ) να κάνετε την γραφική παράσταση

20. Γνωρίζοντας ότι τα ποσά x και y είναι ανάλογα: α) αν γνωρίζετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης διέρχεται από το σημείο Α(-2, 6), να εκφράσετε το y ως συνάρτηση του x. β) να κάνετε τη γραφική παράσταση

21. Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

y = x και y = -x στο ίδιο σύστημα αξόνων.


y = x και y = - x στο ίδιο

σύστημα αξόνων.

23. Να παραστήσετε γραφικά την συνάρτηση y = -4x όταν -2 ≤ x ≤ 4.

24. Να παραστήσετε γραφικά την ευθεία, η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων και έχει

κλίση - .

25. Δίνεται η συνάρτηση y αx . Να βρεθεί το α, αν η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο Μ(-3, 9).

26. Να βρείτε την κλίση της ευθείας, που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και από το σημείο Α(-2, 4).

27. Μια ευθεία ε διέρχεται από την αρχή των αξόνων και από το σημείο M(-2, 8). Να σχεδιάσετε την ευθεία αυτή και να βρείτε ποια συνάρτηση έχει την ευθεία αυτή για γραφική παράσταση.


askisiologio.gr 57

28. Με 10 κιλά αλεύρι γίνονται 36 κιλά ψωμί. Πόσα κιλά αλεύρι χρειάζονται για να γίνουν την παραγωγή 85 κιλών ψωμί; Ποια είναι η συνάρτηση που εκφράζει την ποσότητα y των κιλών ψωμιού συναρτήσει της ποσότητας χ του αλευριού;

29. Αν για 6 κιλά μήλα δίνουμε 5,40 €, να βρείτε πόσο θα πληρώσουμε για 9 κιλά μήλα. Στη συνέχεια να εκφράσετε την αξία y των μήλων ως συνάρτηση του βάρους χ.

30. Ένα αυτοκίνητο κινείται με σταθερή ταχύτητα. Αν ταξιδέψει 2 ώρες, διανύει απόσταση150 km. α) Πόσα χιλιόμετρα θα διανύσει, αν κινηθεί για 4,5 ώρες; β) Πόσες ώρες πρέπει να κινηθεί, για να διανύσει απόσταση 500 km;


askisiologio.gr 58

Α3.4: Η συνάρτηση y = αx + β

31. Στο ίδιο σύστημα αξόνων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις: α) y = -3x β) y = -3x - 2 γ) y = -3x + 3

32. Nα παραστήσετε γραφικά την συνάρτηση y = -2x + 2 όταν: α) x ≥ -2 β) x ≤ 3 γ) 0 ≤ x ≤ 4

33. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας, που διέρχεται από τα σημεία Α(-2, 0) και Β(0, 6).

34. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας, η οποία έχει κλίση -5 και διέρχεται από το σημείο Α(-1, 10).

35. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας, η οποία τέμνει τον άξονα y΄y στο σημείο Α(0, -4) και διέρχεται από το σημείο Β(4, -2).

36. Να βρείτε τα σημεία που τέμνουν τους άξονες οι συναρτήσεις: α) y = −2x + 8 β) y = −x + 2 γ) y = 3x − 6 δ) 2x + y − 6 = 0

37. Δίνεται η εξίσωση y = αx + β.

α) Να βρείτε τα α και β, αν γνωρίζετε ότι η ευθεία τέμνει τον άξονα y΄y στο Α(0, -2) και διέρχεται από το σημείο Β(1, 4). β) Να βρείτε το σημείο Γ, στο οποίο η παραπάνω ευθεία τέμνει τον άξονα x΄x. γ) Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΟΓ , όπου Ο η αρχή των αξόνων.

38. Δίνεται η συνάρτηση y αx β . α) Να βρείτε τα α, β, αν είναι γνωστό ότι η ευθεία που την παριστάνει έχει κλίση -4 και ότι διέρχεται από το σημείο K(0, 8). β) Να βρείτε σε ποιο σημείο η παραπάνω ευθεία τέμνει τον άξονα x x . γ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης.


askisiologio.gr 59

Α3.5: Η συνάρτηση y = 훂퐱 – Η υπερβολή

39. Γνωρίζοντας ότι τα ποσά x και y του παρακάτω πίνακα είναι αντιστρόφως ανάλογα:

α) Να εκφράσετε το y ως συνάρτηση του x . β) Nα συμπληρώσετε τον πίνακα. γ) Να παραστήσετε γραφικά την συνάρτηση.

40. Γνωρίζοντας ότι τα ποσά x και y είναι αντιστρόφως ανάλογα: α) Να εκφράσετε το y ως συνάρτηση του x, αν δίνεται ότι η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο Α(2, 6). β) Να παρουσιάσετε γραφικά την συνάρτηση.


y = και y = - στο ίδιο

σύστημα αξόνων.

42. Δίνεται η συνάρτηση y = .

Να βρείτε το α αν η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο Μ(5, 1).

43. Δίνεται η συνάρτηση y = Αν η .

y διέρχεται από το σημείο Κ(-3, -1), να βρείτε τη συνάρτηση και να κάνετε τη γραφική της παράσταση.

44. Δίνεται η συνάρτηση y = .

Να βρείτε το α, αν η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο Ν(3, 5).

45. Ένα αυτοκίνητο κινείται με σταθερή ταχύτητα από μια πόλη Α σε μια πόλη Β . Όταν το αυτοκίνητο κινείται με ταχύτητα 120 χιλιόμετρα ανά ώρα, χρειάζεται 3 ώρες, για να φτάσει από την πόλη Α στην πόλη Β. Να υπολογίσετε: α) Σε πόσες ώρες θα φτάσει, αν κινηθεί με 180 χιλιόμετρα ανά ώρα; β) Με τι ταχύτητα πρέπει να κινηθεί, για να φτάσει στην πόλη Β σε 2 ώρες;

x -3 -1 1 3

y 3

ΜΕΡΟΣ Α: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

askisiologio.gr 60


askisiologio.gr 61

ΜΕΡΟΣ Α

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ


askisiologio.gr 62


askisiologio.gr 63

Να θυμάσαι ότι… 1. Πληθυσμός

Ένα σύνολο του οποίου τα στοιχεία μελετάμε ως προς κάποιο χαρακτηριστικό τους, λέγεται πληθυσμός.

2. Μεταβλητή Το χαρακτηριστικό (π.χ. η ομάδα προτίμησης στο ποδόσφαιρο) ως προς το

οποίο μελετάμε τα στοιχεία ενός πληθυσμού, ονομάζεται μεταβλητή.

3. Σχετική συχνότητα

Για να βρούμε τη σχετική συχνότητα μιας τιμής, διαιρούμε τη συχνότητα της

τιμής αυτής με το πλήθος όλων των παρατηρήσεων. Στη συνέχεια, εκφράζουμε

τον αριθμό αυτό ως ποσοστό επί τοις εκατό (%).

4. Πίνακας κατανομής συχνοτήτων

Ένας πίνακας στον οποίο φαίνονται οι τιμές, οι συχνότητες και οι σχετικές

συχνότητες των παρατηρήσεων της έρευνας ονομάζεται πίνακας κατανομής συχνοτήτων.

5. Μέση τιμή

Για να βρούμε τη μέση τιμή ενός συνόλου παρατηρήσεων, προσθέτουμε όλες

τις παρατηρήσεις και διαιρούμε με το πλήθος των παρατηρήσεων αυτών.

6. Διάμεσος

Διάμεσος v παρατηρήσεων ονομάζεται η μεσαία παρατήρηση όταν αυτές

τοποθετηθούν κατά αύξουσα σειρά.

Όταν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι περιττός αριθμός, παίρνουμε ως

διάμεσο τη μεσαία παρατήρηση.

Όταν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι άρτιο, παίρνουμε ως διάμεσο το μέσο

όρο των δύο μεσαίων παρατηρήσεων.


askisiologio.gr 64

Α4.1: Βασικές έννοιες στατιστικής: Πληθυσμός - Δείγμα

1. Να υπολογίσετε: α) το 100% του 265 β) το 50% του 42 γ) το 20% του 60 δ) το 5% του 30 ε) το 7% του 100

2. Σε μια δημοσκόπηση ρωτήθηκαν 1200 άτομα. Οι 600 ήταν άντρες, οι 400 ήταν γυναίκες και τα υπόλοιπα ήταν παιδιά. Να βρείτε τι ποσοστό του δείγματος ήταν: α) οι άντρες β) τα παιδιά γ) οι μεγάλοι (άντρες και γυναίκες)

3. Στο γυμνάσιο Λαγκαδικίων φοιτούν 200 παιδιά. Τα 120 από αυτά είναι αγόρια και τα υπόλοιπα κορίτσια. Να βρείτε το ποσοστό των αγοριών στο γυμνάσιο Λαγκαδικίων.

4. Σε ένα γυμνάσιο της Θεσσαλονίκης ρωτήθηκαν 500 παιδιά για το άθλημα που τους

αρέσει, μεταξύ μπάσκετ και βόλεϊ. Αν ρωτήθηκαν 350 αγόρια και 150 κορίτσια και απάντησαν ότι τους αρέσει το μπάσκετ, 175 παιδιά, τότε: α) Ποιο είναι το ποσοστό των αγοριών στο γυμνάσιο; β) Ποιο είναι το ποσοστό των παιδιών που τους αρέσει το μπάσκετ;


askisiologio.gr 65

Α4.2: Γραφικές παραστάσεις

5. Ένα εργοστάσιο κατασκευάζει 4 τύπους μπαταριών Α, Β, Γ και Δ, σε ποσοστά 10%, 20%, 30% και 40%. Να φτιάξετε το κυκλικό διάγραμμα και να βρείτε πόσες μπαταρίες τύπου Β κατασκευάζονται αν δίνεται ότι ο συνολικός αριθμός παραγωγής ετησίως είναι 50000.

6. Στο κυκλικό διάγραμμα φαίνονται κατανεμημένοι οι 200 μαθητές του Γυμνασίου Λαγκαδικίων. Να βρείτε:

α) Σε ποια τάξη βρίσκονται οι περισσότερους μαθητές. β) Πόσοι είναι όλοι οι μαθητές της Γ Γυμνασίου. γ) Ποιο είναι το ποσοστό των μαθητών της Α Γυμνασίου.

Μαθητές

Α ΓυμνασίουΒ ΓυμνασίουΓ Γυμνασίου


askisiologio.gr 66

Α4.3: Κατανομή συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων

7. Να συμπληρωθούν κατάλληλα οι παρακάτω πίνακες: α) Αριθμός παιδιών ανά οικογένεια των μαθητών ενός γυμνασίου

β) Βαθμοί μαθητών μιας τάξης στο διαγώνισμα μαθηματικών

Βαθμοί Συχν. Σχετική συχν. %

20 6 19 10 18 15 17 10 16 9

8. Οι βαθμοί 20 μαθητών σε ένα τεστ μαθηματικών της Β Γυμνασίου ήταν 13, 18, 12, 15, 20, 14, 14, 15, 20, 17, 18, 17, 11, 10, 20, 11, 15, 15, 16, 20. α) Να παρουσιαστούν τα παραπάνω δεδομένα σε πίνακα συχνοτήτων κα σχετικών συχνοτήτων. β) Να γίνει ραβδόγραμμα συχνοτήτων.

9. Δίνεται το ραβδόγραμμα των πωλήσεων αυτοκινήτων στη

Ελλάδα (σε χιλιάδες) κατά την τετραετία 2011 – 2014.

α) Να κατασκευάσετε πίνακα συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων. β) Να μετατρέψετε το παραπάνω ραβδόγραμμα σε χρονόγραμμα. γ) Να σχολιάσετε τις πωλήσεων κατά την τετραετία που εξετάζουμε. δ) Να γίνει κυκλικό διάγραμμα των παραπάνω δεδομένων.

10. Οι θερμοκρασίες στις 2μμ της

περσινής χρονιάς, στην πόλη

01020304050

Πωλήσεις αυτοκινήτων σε

χιλιάδες

Πωλήσεις αυτοκινήτων σε χιλιάδες

Αριθμός παιδιών

Συχν. Σχετική συχν. %

1 25 2 35 3 20 4 15 5 5


askisiologio.gr 67

της Θεσσαλονίκης, το πρώτο εικοσαήμερο του Μαΐου δίνονται παρακάτω:

25 26 25 22 26 24 27 24 26 21 22 23 21 23 22 26 25 24 26 26

α) Να κατασκευάσετε πίνακα κατανομής συχνοτήτων β) Πόσες ημέρες η θερμοκρασία ήταν: i) Μικρότερη από 25oC; ii) Τουλάχιστον 23oC; γ) Τι ποσοστό των ημερών η θερμοκρασία ήταν από 22oC μέχρι 25οC;

11. Οι αποστάσεις που διανύουν οι

μαθητές 20 χωριών για να πάνε στο σχολείο δίνονται στον παρακάτω πίνακα:

5 7 6 8 10 5 4 13 8 4 10 6

8 4 16 7 5 2 0 7

α) Να κατασκευάσετε τον πίνακα κατανομής συχνοτήτων β) i) Πόσα χωριά απέχουν πάνω από 3km από το σχολείο της ευρύτερης περιοχής; ii) Πόσα χωριά απέχουν το πολύ 5km;


askisiologio.gr 68

Α4.4: Ομαδοποίηση παρατηρήσεων

12. Οι υπάλληλοι μιας εταιρείας έχουν τις παρακάτω ηλικίες:

28 37 59 34 42 25 31 27 26 47 53 44 27 28 29 39 28 20 29 34 25 41 43 39 34 36 45 30 37 29 38 40 50 36 33 33 26 32 30 33 49 28 32 29 27 36 24

α) Να ομαδοποιήσετε τις ηλικίες αυτές σε 8 κλάσεις ίσου πλάτους. β) Να βρείτε πόσοι υπάλληλοι είναι: i) Μεγαλύτεροι των 44 χρόνων ii) Νεότεροι των 35 χρόνων γ) Να κατασκευάσετε το αντίστοιχο ιστόγραμμα συχνοτήτων των ηλικιών

13. Οι ηλικίες των παιδιών 50 υπαλλήλων μιας εταιρίας φαίνονται στον παρακάτω πίνακα:

1 8 13 2 19 6 3 22 7 19 2 7 7 6 3

11 1 9 18 11 3 6 13 9 6

20 1 16 10 20 8 14 6 4 12

22 15 4 4 7 9 15 12 17 7

14 10 17 3 4 α) Να ομαδοποιήσετε τις ηλικίες αυτές σε 7 κλάσεις ίσου πλάτους β) Να κάνετε ιστόγραμμα συχνοτήτων των ετών υπηρεσίας

γ) Να βρείτε πόσοι υπάλληλοι έχουν παιδιά με ηλικία: i) μεγαλύτερη από 14 χρόνια ii) μικρότερη από 18 χρόνια

14. Ο παρακάτω πίνακας παρουσιάζει το ύψος (σε cm) 50 μαθητών της Α’ Δημοτικού ενός σχολείου.

108 116 107 114 100 102 114 119 108 97 100 94 100 104 99 96 115 100 109 112

120 116 107 108 118 103 121 110 103 103 107 105 100 114 99 98 117 111 10 107

102 111 97 109 100 109 118 98 99 109

Nα ομαδοποιήσετε τις παρατηρήσεις και κατόπιν να κατασκευάσετε: α) Τον πίνακα κατανομής συχνοτήτων. β) Το ιστόγραμμα και το πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων. γ) Το ιστόγραμμα και το πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων.


askisiologio.gr 69

Α4.5: Μέση τιμή – Διάμεσος

15. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή και τη διάμεσο των παρατηρήσεων:

5 3 2 7 1 5 4 9 1 3

16. Οι ηλικίες 15 υπαλλήλων σε μια επιχείρηση δίνονται στον παρακάτω πίνακα:

31 28 31 27 29 29 27 28 21 29 30 29 28 30 27

Να υπολογίσετε το μέσο όρο και τη διάμεσο των ηλικιών των υπαλλήλων της επιχείρησης.

17. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή

και τη διάμεσο στα παρακάτω δεδομένα: α.

xi vi 1 7 2 8 3 5

Σύνολο: 20

β. xi vi 10 4 12 4 14 2

Σύνολο: 10

18. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή και τη διάμεσο της μεταβλητής του πίνακα:

κλάσεις vi [0, 4) 3 [4, 8) 4 [8, 12) 6

[12, 16) 5 [16, 20) 2 Σύνολο: 20


askisiologio.gr 70

ΜΕΡΟΣ Β: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ1: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ

askisiologio.gr 71


askisiologio.gr 72

ΜΕΡΟΣ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ


askisiologio.gr 73


askisiologio.gr 74

Να θυμάσαι ότι… 1. Εμβαδόν

Το εμβαδόν μιας επίπεδης επιφάνειας είναι ένας θετικός αριθμός, που εκφράζει την έκταση που καταλαμβάνει η επιφάνεια αυτή στο επίπεδο. Ο αριθμός αυτός εξαρτάται από τη μονάδα μέτρησης επιφανειών που χρησιμοποιούμε.

2. Εμβαδά επίπεδων σχημάτων

Το εμβαδόν ενός τετραγώνου πλευράς α ισούται με α².

Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου με πλευρές α, β ισούται με α • β.

Το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου είναι ίσο με το γινόμενο μίας βάσης

του με το αντίστοιχο ύψος.

Το εμβαδόν ενός τριγώνου είναι ίσο με το μισό του γινομένου μιας βάσης

του με το αντίστοιχο ύψος.

Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι ίσο με το μισό του γινομένου

των δύο κάθετων πλευρών του.

Το εμβαδόν ενός τραπεζίου είναι ίσο με το γινόμενο του ημιαθροίσματος

των βάσεών του με το ύψος του.

3. Πυθαγόρειο θεώρημα

Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων

πλευρών είναι ίσο με το τετράγωνο της υποτείνουσας.

4. Αντίστροφο του Πυθαγορείου θεωρήματος

Αν σε ένα τρίγωνο, το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών, τότε η γωνία που βρίσκεται απέναντι από τη μεγαλύτερη πλευρά είναι ορθή.


askisiologio.gr 75


askisiologio.gr 76

Β1.1: Εμβαδόν επίπεδης επιφάνειας –

Β1.2: Μονάδες μέτρησης επιφανειών

1. Να μετατρέψετε σε 2m τα παρακάτω μεγέθη: α) 15cm2 β) 22km2 γ) 625dm2

2. Να μετατρέψετε σε 2mm τα παρακάτω μεγέθη: α) 18cm2 β) 185km2 γ) 0,17km2

3. Να συμπληρώσετε τον πίνακα: m2 dm2 cm2 mm2

1,8

120

8200

25000


askisiologio.gr 77

Β1.3: Εμβαδά επίπεδων σχημάτων

4. Η περίμετρος ενός τετραγώνου είναι 120. Να βρεθεί το μήκος της πλευράς του και το εμβαδόν του.

5. Να βρείτε την μία πλευρά ορθογωνίου παραλ/μου, αν γνωρίζετε ότι η άλλη πλευρά του είναι 12 και το εμβαδόν του 156.

6. Να βρείτε το εμβαδόν και την περίμετρο ορθογωνίου που έχει διαγώνιο 10cm και πλάτος 8cm.

7. Το οικόπεδο όπου είναι χτισμένο το σπίτι του Βασίλη έχει σχήμα ορθογώνιο παραλ/μο με πλευρές 35 και 25. Ενώ η βάση του σπιτιού είναι τετράγωνη με πλευρά 9. Να βρείτε: α) Το εμβαδό του οικοπέδου β) Το εμβαδό του σπιτιού γ) Το εμβαδό της αυλής

8. Ένα οικόπεδο έχει σχήμα ορθογωνίου παραλ/μου με περίμετρο 1200m. Να βρείτε το μήκος των πλευρών του αν γνωρίζετε ότι μία είναι τριπλάσια της άλλης.

9. Να υπολογίσετε το εμβαδό του παρακάτω τραπεζίου και έπειτα να κατασκευάσετε τετράγωνο με ίσο εμβαδό.

10. Σε ένα τραπέζιο η μια βάση

είναι τριπλάσια της άλλης. Αν το ύψος του τραπεζίου είναι 12cm και έχει εμβαδό 60cm2, να υπολογίσετε τα μήκη των δύο βάσεών του.

11. Ένα τετράγωνο είναι ισεμβαδικό με ορθογώνιο που έχει μία πλευρά 16 και περίμετρο 50 cm. Να βρείτε: α) την άλλη πλευρά του ορθογωνίου β) το εμβαδό του ορθογωνίου γ) την πλευρά του τετραγώνου δ) την περίμετρο του τετραγώνου ε) το εμβαδό του τετραγώνου


askisiologio.gr 78

Β1.4: Πυθαγόρειο Θεώρημα

12. Να εξετάσετε αν είναι ορθογώνια τα παρακάτω τρίγωνα.

13. Ένα ισοσκελές τραπέζιο έχει βάσεις 27 cm και 11 cm. Αν η περίμετρος του είναι 72 cm να βρείτε το εμβαδόν του.

14. Να βρείτε το εμβαδό του παρακάτω σχήματος.

15. Ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ

έχει πλευρές ΑΒ = ΑΓ = 15 και ΒΓ = 24. Να υπολογίσετε: α) το ύψος ΑΔ του τριγώνου β) το εμβαδό του τριγώνου

16. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α = 90ο) με ΑΒ = 5cm και ΑΓ = 12cm. Να υπολογίσετε: α) την πλευρά ΒΓ β) το εμβαδό του ΑΒΓ γ) το ύψος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα

17. Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς 8 cm. Αν Ε μέσο του ύψους ΑΔ να υπολογίσετε: α) το ύψος ΑΔ β) ΒΕ γ) το εμβαδόν του.

18. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ = 5 cm το ύψος ΑΔ = ΒΓ. Να βρεθούν: α) ΒΓ β) το εμβαδόν του

19. Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ με Α = Δ = 90 , ΑΒ = 12 cm, ΑΓ = 10 cm, ΔΓ = 6 cm. Να υπολογίσετε τη ΒΓ και το εμβαδόν του.

20. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α = 90) η ΒΓ είναι μεγαλύτερη κατά 3 cm από την ΑΒ και η ΑΓ = 9 cm. Να βρεθούν οι πλευρές του και το εμβαδόν του.

21. Σε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ το ύψος ΑΔ = 7 cm. Να


askisiologio.gr 79

βρεθούν η πλευρά του και το εμβαδόν του.

22. Σε τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) οι γωνίες Α και Δ είναι ορθές και δίνεται ότι ΑΒ = 8 , ΒΓ = 13 και ΔΓ = 20 να υπολογίσετε το εμβαδόν του τραπεζίου.

23. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α = 90) είναι α = 20cm και

β = ସଷ γ. Να βρεθούν οι

κάθετες πλευρές και το εμβαδόν του.

24. Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο (Α = 90ο) είναι ΑΒ = x, ΑΓ = 8 και ΒΓ = x + 4. Να υπολογίσετε το x.


askisiologio.gr 80

ΜΕΡΟΣ Β: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ - ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

askisiologio.gr 81


askisiologio.gr 82

ΜΕΡΟΣ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ – ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ


askisiologio.gr 83


askisiologio.gr 84


1. Εφαπτομένη Ο λόγος που σχηματίζεται από την απέναντι κάθετη πλευρά μιας οξείας γωνίας

ω ορθογωνίου τριγώνου διά την προσκείμενη κάθετη πλευρά, είναι πάντοτε

σταθερός και λέγεται εφαπτομένη της γωνίας ω.

2. Ημίτονο

Ο λόγος που σχηματίζεται από την απέναντι κάθετη πλευρά μίας οξείας γωνίας ω ενός ορθογωνίου τριγώνου δια την υποτείνουσα, είναι πάντοτε σταθερός και λέγεται ημίτονο της γωνίας ω.

3. Συνημίτονο

Ο λόγος που σχηματίζεται από την προσκείμενη κάθετη πλευρά μίας οξείας

γωνίας ω ενός ορθογωνίου τριγώνου δια την υποτείνουσα, είναι πάντοτε

σταθερός και λέγεται συνημίτονο της γωνίας ω.

4. Για οποιαδήποτε οξεία γωνία ω ισχύουν οι ανισώσεις 0 < ημω < 1 και

0 < συνω < 1

5. Τριγωνομετρικοί αριθμοί βασικών γωνιών

6. Ίσα διανύσματα Δύο διανύσματα λέγονται ίσα, όταν έχουν την ίδια διεύθυνση, την ίδια φορά και

ίσα μέτρα.

7. Αντίθετα διανύσματα

Δύο διανύσματα είναι αντίθετα, όταν έχουν την ίδια διεύθυνση, ίσα μέτρα και

αντίθετη φορά.


askisiologio.gr 85


askisiologio.gr 86

Β2.1: Εφαπτομένη οξείας γωνίας

Να υπολογίσετε το μήκος της 1.πλευράς x σε κάθε ένα από τα ορθογώνια τρίγωνα:

Να σχεδιάσετε γωνία ω με 2.δεδομένο ότι εφω = 0,5.

Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ 3.( Α̂ 90 ) είναι ΑΒ = 15 και εφΓ = 1. Να υπολογίσετε το μήκος της πλευράς ΑΓ.

Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ 4.(Α = 90ο) είναι εφΒ = και

ΒΓ = 10. Να υπολογίσετε τις κάθετες πλευρές και το εμβαδόν του.

Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ είναι 5.εφΓ = και ΑΒ = 120. Να

υπολογίσετε την περίμετρο του τριγώνου.


askisiologio.gr 87

Β2.2: Ημίτονο και συνημίτονο οξείας γωνίας

Να υπολογίσετε το ημίτονο και το 6.συνημίτονο των οξειών γωνιών σε κάθε ένα από τα παρακάτω ορθογώνια τρίγωνα.

Στο παρακάτω σχήμα να 7.υπολογίσετε τα x, y και φ.

Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ 8.(Α = 90ο) έχει Β = 50ο και ΒΓ = 20cm. Να βρείτε τις κάθετες πλευρές του ΑΒ και ΑΓ. Δίνεται ημ50ο = 0,766.

Αν είναι ημθ = και η 9.υποτείνουσα είναι 26, να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας θ.

Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ η 10.υποτείνουσα ΒΓ είναι 13 και η ΑΒ είναι 8. Να βρείτε: α) τις γωνίες του τριγώνου β) την πλευρά ΑΓ γ) την περίμετρό του τριγώνου δ) το εμβαδό του τριγώνου


askisiologio.gr 88

Β2.3: Μεταβολές ημιτόνου, συνημιτόνου και εφαπτομένης

Να υπολογιστούν τα υπόλοιπα 11.στοιχεία (γωνίες, πλευρές) του κάθε τριγώνου.

Στο σπίτι του παρακάτω 12.

σχήματος ένας εργάτης ακούμπησε μια σκάλα μήκους 6m. α) Σε τι ύψος πρέπει να φτάνει ο εργάτης (αν υψώσει τα χέρια του) ώστε να επισκευάσει τα κεραμίδια της πρώτης σειράς της στέγης; Δηλαδή πόσο πρέπει να είναι το μήκος x; β) Αν το ύψος που μπορεί να φτάσει είναι 2,40m, σε τι γωνία πρέπει να τοποθετήσει τη σκάλα, ώστε να φτάσει τα κεραμίδια;


askisiologio.gr 89

Β2.4: Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών 30ο, 45ο και 60ο

Δίνεται ορθογώνιο ΑΒΓΔ με 13.διαγώνιο ΒΔ = 6m και γωνία ΓΒΔ = 60Ο. Να υπολογίσετε: α) τα μήκη των πλευρών του β) το εμβαδό του τριγώνου ΑΒΓ γ) το ύψος ΓΕ του τριγώνου ΒΓΔ

Να υπολογίσετε τις τιμές των 14.παραστάσεων: α) ημ30ο∙συν60ο–4συν230ο β) συν45ο∙ημ45ο + 2εφ60ο γ) 6εφ30ο – 2συν230ο + 1

Παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ έχει 15.πλευρά ΑΒ = 120, περίμετρο 360 και γωνία Δ = 45ο. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του.

Τραπέζιο ΑΒΓΔ με βάσεις ΑΒ και 16.ΓΔ έχει μήκη πλευρών ΑΒ = 12, AΔ = 13 και γωνίες Γ = 30ο και Δ = 45ο. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του.


askisiologio.gr 90

Β2.5: Η έννοια του διανύσματος

Στο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ 17.να βρείτε ένα διάνυσμα:

α) ίσο με το ΑΒ⃗ β) ίσο με το ΔΑ⃗ γ) αντίθετο με το ΒΓ⃗ δ) αντίθετο με το ΑΓ⃗

Στον παρακάτω ρόμβο να 18.βρείτε ένα διάνυσμα:

α) ίσο με το ΑΒ⃗ β) ίσο με το ΔΟ⃗ γ) αντίθετο με το ΒΟ⃗ δ) αντίθετο με το ΟΓ⃗


askisiologio.gr 91

Β2.6: Άθροισμα και διαφορά διανυσμάτων

Στο τετράπλευρο να γίνουν οι 19.πράξεις:

α) ΑΒ⃗ + ΒΓ⃗ + ΓΔ⃗ β) ΑΒ⃗ - ΑΓ⃗ + ΒΓ⃗ γ) ΒΔ⃗ - ΒΓ⃗ + ΔΑ⃗

Στο παραλληλόγραμμο, αν 20.είναι Ε και Ζ τα μέσα των ΑΔ και ΒΓ αντίστοιχα, να γίνουν οι πράξεις:

α) ΑΒ⃗ + ΑΔ⃗ β) ΟΑ⃗ + ΟΓ⃗ γ) ΟΑ⃗ + ΟΔ⃗ δ) ΟΑ⃗ + ΟΔ⃗ ε) ΟΒ⃗ - ΟΔ⃗ ζ) ΟΓ⃗ - ΟΒ⃗


askisiologio.gr 92

Β2.7: Ανάλυση διανύσματος σε δύο κάθετες

Στο παρακάτω σχήμα το 21.διάνυσμα ΑΒ⃗ αναλύεται σε δύο κάθετες συνιστώσες.

Αν το μέτρο του διανύσματος ΑΒ⃗ ισούται με 10, να βρείτε το μέτρο των δύο συνιστωσών ΑΓ⃗ και ΑΔ⃗.

Στο παρακάτω σχήμα 22.απεικονίζεται ένα κιβώτιο που κατηφορίζει κατά μήκος μιας ράμπας.

α) Να βρείτε τη γωνία θ που σχηματίζει το διάνυσμα του βάρους Β του κιβωτίου με την ευθεία της κίνησής του. β) Να υπολογίσετε το μέτρο της κάθετης συνιστώσας Β1 που προκαλεί την κίνηση, αν γνωρίζετε ότι το βάρος του κιβωτίου είναι 100 Ν.


askisiologio.gr 93

ΜΕΡΟΣ Β: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ

askisiologio.gr 94


askisiologio.gr 95

ΜΕΡΟΣ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ


askisiologio.gr 96


askisiologio.gr 97


1. Εγγεγραμμένη γωνία

Μια γωνία xΑy που η κορυφή της Α ανήκει στον κύκλο (Ο, ρ) και οι πλευρές της Ax, Ay τέμνουν τον κύκλο, λέγεται εγγεγραμμένη γωνία στον κύκλο (Ο, ρ).

Κάθε εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο είναι ορθή. Κάθε εγγεγραμμένη γωνία ισούται με το μισό της επίκεντρης που έχει ίσο

αντίστοιχο τόξο. Οι εγγεγραμμένες γωνίες ενός κύκλου που βαίνουν στο ίδιο τόξο ή σε ίσα

τόξα είναι μεταξύ τους ίσες. Κάθε εγγεγραμμένη γωνία έχει μέτρο ίσο με το μισό του μέτρου του

αντίστοιχου τόξου της.

2. Κανονικά πολύγωνα Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, αν όλες οι πλευρές του είναι μεταξύ τους ίσες και όλες οι γωνίες του είναι μεταξύ τους ίσες.

3. Περιγεγραμμένος κύκλος ν-γώνου Ο κύκλος που διέρχεται από τις κορυφές ενός ν-γώνου λέγεται περιγεγραμμένος κύκλος του ν-γώνου.

4. Κεντρική γωνία ν-γώνου

Η επίκεντρη γωνία με πλευρές δύο ακτίνες σε διαδοχικές κορυφές του ν-γώνου λέγεται κεντρική γωνία του ν-γώνου.

Κάθε κεντρική γωνία ω ενός ν-γώνου ισούται με .

5. Γωνία ν-γωνου

Κάθε εγγεγραμμένη γωνία φ με κορυφή μια κορυφή ενός ν-γώνου λέγεται γωνία του ν-γώνου.

Η γωνία φ ενός ν-γώνου είναι παραπληρωματική της επίκεντρης γωνίας του. Δηλαδή ισχύει φ = 180 - ω.

6. Μήκος κύκλου Το μήκος ενός κύκλου (Ο, ρ) δίνεται από τη σχέση L = πδ ή L = 2πρ, όπου δ η διάμετρος του κύκλου.

7. Μήκος τόξου

Το μήκος τόξου l, γωνίας μο, ενός κύκλου (Ο, ρ) ισούται με l = .

Το μήκος τόξου l, α rad, ενός κύκλου (Ο, ρ) ισούται με l = αρ


askisiologio.gr 98

8. Σχέση μοιρών και ακτινίων

Η αναλογία = εκφράζει τη σχέση μεταξύ μοιρών και ακτινίων.

9. Εμβαδόν κυκλικού δίσκου Το εμβαδόν κυκλικού δίσκου ακτίνας ρ, ισούται με Ε = πρ2.

10. Εμβαδόν κυκλικού τομέα

Το μέρος ενός κυκλικού δίσκου (Ο, ρ) που περιέχεται εντός μιας επίκεντρης γωνίας μο, λέγεται κυκλικός τομέας.

Το εμβαδόν κυκλικού τομέα μο, κυκλικού δίσκου (Ο, ρ) δίνεται από τη

σχέση Ε = . Αν το τόξο έχει μετρηθεί σε ακτίνια το εμβαδόν του κυκλικού τομέα θα

ισούται με Ε = αρ2.


askisiologio.gr 99


askisiologio.gr 100

Β3.1: Εγγεγραμμένες γωνίες

1. Να βρεθούν οι ζητούμενες γωνίες σε καθένα από τα παρακάτω σχήματα.

α)

β)

2. Να υπολογίσετε τη γωνία φ του παρακάτω σχήματος.

3. Να βρεθούν οι ζητούμενες γωνίες του παρακάτω σχήματος.

4. Να βρεθούν οι ζητούμενες γωνίες του σχήματος.

5. Σε κύκλο (0, ρ) να πάρετε δύο διαδοχικές επίκεντρες γωνίες AOB = 120o και BOΓ = 100o και να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ.

6. Σε ένα κύκλο (0, ρ) να φέρετε δύο κάθετες διαμέτρους ΑΓ και ΒΔ. Αν Ε είναι ένα σημείο του τόξου ΑΒ, να συγκρίνετε τις γωνίες ΒΕΓ και ΓΕΔ.


askisiologio.gr 101

7. Να γράψετε κύκλο (0, ρ) και να πάρετε τα τόξα ΑΒ = 60o και ΓΔ = 40o. Αν οι χορδές ΑΓ και ΒΔ τέμνονται στο Κ, να υπολογίσετε τη γωνία ΑΚΒ.


askisiologio.gr 102

Β3.2: Κανονικά πολύγωνα

8. Να υπολογιστεί η κεντρική γωνία ω και η γωνία φ ενός κανονικού εξαγώνου.

9. Να υπολογιστεί η κεντρική γωνία ω και η γωνία φ ενός κανονικού οκταγώνου.

10. Να υπολογιστεί η κεντρική γωνία ω και η γωνία φ ενός κανονικού δωδεκαγώνου.

11. Να βρεθεί ποιο κανονικό πολύγωνο έχει κεντρική γωνία: α) 36ο β) 12ο γ) 120ο

12. Δίνεται κανονικό 12-γωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ = 10cm. Να υπολογιστούν: α) η πλευρά του β) το εμβαδόν του

13. Ένα κανονικό οκτάγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας 4. Να υπολογίσετε την πλευρά του.

14. Δίνεται κανονικό οκτάγωνο έχει απόστημα 5. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του.

15. Κανονικό πολύγωνο έχει κεντρική γωνία ω = 30ο και είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ = 2cm. Να βρείτε:

α) το πλήθος των κορυφών του β) τη γωνία του πολυγώνου γ) το εμβαδόν του

16. Σε κύκλο ακτίνας ρ = 3cm να σχεδιάσετε κανονικό εξάγωνο.

17. Σε κύκλο ακτίνας ρ = 3cm να σχεδιάσετε κανονικό 9-γωνο.

18. Σε ένα κανονικό πολύγωνο η γωνία του φ είναι διπλάσια της κεντρικής του γωνίας ω. Να βρεθούν: α) η κεντρική γωνιά ω β) η γωνία του πολυγώνου γ) το πλήθος των πλευρών του πολυγώνου


askisiologio.gr 103

Β3.3: Μήκος κύκλου

19. Ένας κύκλος έχει μήκος 1248cm. Να βρεθεί η ακτίνα του.

20. Οι περίμετροι δύο κύκλων έχουν λόγο 1/5. Να βρεθεί ο λόγος: α) των ακτινών τους β) των διαμέτρων τους

21. Οι ρόδες ενός ποδηλάτου έχουν ακτίνα 20cm. Να βρεθεί πόσες στροφές θα κάνουν αν διανύσουν διάστημα 3768m.

22. Οι περίμετροι δύο κύκλων διαφέρουν κατά 75,6cm. Να βρείτε πόσο διαφέρουν οι ακτίνες των κύκλων.


askisiologio.gr 104

Β3.4: Μήκος τόξου

23. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα:

Μοίρες 30 100

Ακτίνια π3 2π

3

24. Να υπολογίσετε το μήκος του

κύκλου ακτίνας 10cm.

25. Να υπολογίσετε το μήκος του τόξου 80ο κύκλου ακτίνας 24cm.

26. Ένα τόξο 120ο έχει μήκος 314cm, να βρεθεί η ακτίνα του κύκλου.


askisiologio.gr 105

Β3.5: Εμβαδό κύκλου

27. Να βρεθεί η επιφάνεια μιας κυκλικής πλατείας διαμέτρου 12m.

28. Να βρεθεί η επιφάνεια δίσκου βινυλίου με ακτίνα 5cm και με ακτίνα εσωτερικού κυκλικού κενού ακτίνας 0,5cm

29. Ένα κυκλικό πάρκο έχει εμβαδό 452,16m2. Να βρείτε: α) την ακτίνα του β) την περίμετρό του

30. Το μήκος ενός κύκλου είναι 12,56 cm. Να βρείτε: α) την ακτίνα του β) το εμβαδό του γ) το μήκος ενός κύκλου με 4-πλάσια ακτίνα


askisiologio.gr 106

Β3.6: Εμβαδό κυκλικού τομέα

31. Να βρεθεί ο κυκλικός τομέας 45ο κύκλου ακτίνας 12cm.

32. Να βρεθεί ο κυκλικός τομέας 60ο κύκλου μήκους 62,8cm.

33. Να βρεθεί ο κυκλικός τομέας 120ο κύκλου με εμβαδό 28,26cm.

34. Κυκλικός τομέας 90ο έχει εμβαδό 12,56cm, να βρείτε το μήκος και το εμβαδό του κύκλου.

35. Αν οι δύο ομόκεντροι κύκλοι του σχήματος έχουν ακτίνες ρ1 = 12 και ρ2 = 20, να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου ΑΒΓΔ.

36. Στο παρακάτω σχήμα απεικονίζεται ένας τροχός άμαξας που κινείται μέσα σε μικρή ποσότητα νερού. Να βρείτε το εμβαδό της επιφάνειας του τροχού που βρίσκεται εντός του νερού.

37. Να βρείτε το εμβαδό του γραμμοσκιασμένου χωρίου του παρακάτω σχήματος.

38. Να υπολογίσετε το εμβαδό γραμμοσκιασμένου χωρίου, καθώς και την περίμετρό του.


askisiologio.gr 107

39. Να υπολογίσετε το εμβαδό και την περίμετρο του λευκού χωρίου του παρακάτω σχήματος, αν γνωρίζετε ότι το ΑΒΓΔ είναι τετράγωνο με πλευρά 8.


askisiologio.gr 108

βιβλίο β γυμνασίου 2015 2016 - askisiologio.gr

Education

Transcript of βιβλίο β γυμνασίου 2015 2016 - askisiologio.gr