Α΄ Λυκείου Άλγεβρα - Σημειώσεις (2015 - 2016)

62

Click here to load reader

  • Upload

    -
  • Category

    Education

  • view

    17.393
  • download

    4

Transcript of Α΄ Λυκείου Άλγεβρα - Σημειώσεις (2015 - 2016)

Page 1: Α΄ Λυκείου Άλγεβρα - Σημειώσεις (2015 - 2016)

Θεόδωρος Παγώνης

μαθηματικός

2015-2016

α΄ λυκείου άλγεβρα

Page 2: Α΄ Λυκείου Άλγεβρα - Σημειώσεις (2015 - 2016)

Κυκλοφορούν επίςησ

Μαθηματικά Κατεύθυνςησ Γ΄ Λυκείου

Μαθηματικά Κατεύθυνςησ Β΄ Λυκείου

Μαθηματικά Γενικήσ Παιδείασ, Άλγεβρα Β΄ Λυκείου

Θεόδωροσ Παγώνησ e-mail: [email protected] https://www.facebook.com.theodoros.pagones http://lisari.blogspot.gr/

2015-2016

Page 3: Α΄ Λυκείου Άλγεβρα - Σημειώσεις (2015 - 2016)

- 1 -

2015-2016

μαθηματική λογική

Ασκήσεις

Παγώνης Θεόδωρος

Μαθηματικός

Page 4: Α΄ Λυκείου Άλγεβρα - Σημειώσεις (2015 - 2016)

μαθηματική λογική & σύνολα εισαγωγικό κεφάλαιο

- 2 -

§1. λεξιλόγιο λογικής 1) Να βξείηε πνηεο από ηηο παξαθάησ θξάζεηο είλαη

ινγηθέο πξνηάζεηο . α. Ο αξηζκόο 7 είλαη πξώηνο .

β. Ο 3 είλαη ξεηόο αξηζκόο .

γ. Αύξην ε κέξα ζα είλαη ειηόινπζηε .

δ. Η Δύβνηα είλαη λεζί . ε. Τν 2012 ν Παλαηησιηθόο ζα είλαη ζηελ Α εζληθή .

ζη. Μηα θιεηζηή γξακκή είλαη λ – γσλν.

2) Γίλνληαη νη πξνηάζεηο p :« 7 0x » θαη

q :« 2 49 0x » .

α. Να δηαηππώζεηε ηηο ζπλεπαγσγέο p q , q p .

β. Να εμεηάζεηε αλ αιεζεύνπλ ή όρη απηέο νη ζπλεπαγσγέο .

3) Γίλνληαη νη πξνηάζεηο p : «

1 2 4 0x x x » θαη q : «ν x είλαη

δηαηξέηεο ηνπ 4» .

α. Να δηαηππώζεηε ηηο ζπλεπαγσγέο p q , q p .

β. Να εμεηάζεηε αλ αιεζεύνπλ ή όρη απηέο νη ζπλεπαγσγέο .

4) Γίλνληαη νη πξνηάζεηο p : «ν x είλαη πεξηηηόο

θπζηθόο αξηζκόο» θαη q : «ν x είλαη θπζηθόο

αξηζκόο θαη πνιιαπιάζην ηνπ 3» . α. Να δηαηππώζεηε ηηο ζπλεπαγσγέο p q , q p .

β. Να εμεηάζεηε αλ αιεζεύνπλ ή όρη απηέο νη

ζπλεπαγσγέο .

5) Γίλνληαη νη πξνηάζεηο p : «ην ηξίγσλν ΑΒΓ είλαη

ηζόπιεπξν» θαη q : «ην ηξίγσλν ΑΒΓ είλαη

ηζνζθειέο» .

α. Να δηαηππώζεηε ηηο ζπλεπαγσγέο p q , q p .

β. Να εμεηάζεηε αλ είλαη αιεζείο ή ςεπδείο .

6) Γίλνληαη νη πξνηάζεηο p : «ην ηεηξάπιεπξν

ΑΒΓΓ είλαη παξαιιειόγξακκν» θαη q : «ην

ηεηξάπιεπξν ΑΒΓΓ έρεη ηηο απέλαληη πιεπξέο

ηνπ παξάιιειεο» . α. Να δηαηππώζεηε ηελ ηζνδπλακία p q .

β. Να εμεηάζεηε αλ ε ηζνδπλακία απηή είλαη αιεζήο .

7) Γίλνληαη νη πξνηάζεηο p : « 2 49 0x » θαη

q : « 7x ή 7x » .

α. Να δηαηππώζεηε ηελ ηζνδπλακία p q .

β. Να εμεηάζεηε αλ ε ηζνδπλακία απηή είλαη αιεζήο .

8) Γίλνληαη νη πξνηάζεηο p : « 2 36x » θαη

q : « 6x » .

α. Να δηαηππώζεηε ηελ ηζνδπλακία p q .

β. Να εμεηάζεηε αλ ε ηζνδπλακία απηή είλαη αιεζήο .

9) Να γξάςεηε ηηο αξλήζεηο ησλ παξαθάησ

πξνηάζεσλ : α.

1p : x y β. 2p : 2x

γ. 3p : 0x δ.

4p : γηα θάζε x , 2 0x

10) Να ζπκπιεξώζεηε ηνλ πίλαθα :

Πρόηαζε p Πρόηαζε p

a

a

a

0a ή 0

0a ή 0

11) Γίλνληαη νη πξνηάζεηο p : «Σε ηξίγσλν ΑΒΓ

είλαη » θαη q : «Σε ηξίγσλν ΑΒΓ είλαη

» .

α. Να δηαηππώζεηε ηηο πξνηάζεηο p , q , p q θαη

q p .

β. Να δηαηππώζεηε ηελ πξόηαζε πνπ είλαη ηαπηνινγία.

12) Γίλνληαη νη πξνηάζεηο p : « 2 2 0x y ,

,x y » θαη q : « 0x θαη 0y , ,x y ».

Να δηαηππώζεηε ηελ πξόηαζε p q θαη ηελ

αληηζεηναληίζηξνθή ηεο .

Page 5: Α΄ Λυκείου Άλγεβρα - Σημειώσεις (2015 - 2016)

μαθηματική λογική & σύνολα εισαγωγικό κεφάλαιο

- 3 -

§2. σύνολα

13) Να εμεηάζεηε αλ είλαη ζσζηνί νη παξαθάησ ηζρπξηζκνί :

α. 3 β. 0 γ. 0,5

δ. 3 ε. 3 8 ζη. 1

14) Να γξάςεηε κε αλαγξαθή ησλ ζηνηρείσλ ηνπο

ηα ζύλνια :

α. :| | 3x x β. : 3 1 10x x

γ. 3: 5x x x δ.

: 2 1k k

ε. 2: 4x x ζη. : 12x x ί

15) Να γξάςεηε κε αλαγξαθή ησλ ζηνηρείσλ ηνπο

ηα ζύλνια :

α. : 4x x β. , : 4x y xy

γ. : 0x x δ. : 4x x ί

ε. 2: 9x x ζη. : 8x x ί

16) Να γξάςεηε κε αλαγξαθή ησλ ζηνηρείσλ ηνπο

ηα ζύλνια :

α. : 3 1 26x x x ά

β. , : , 2x y x y x y

γ. , : , 6x y x y xy

δ. , : , 2x y x y xy

17) Να γξάςεηε κε αλαγξαθή ησλ ζηνηρείσλ ηνπο ηα ζύλνια :

α. : 3 32x x x ά

β. : 5 45x x x ό

18) Αλ 1, 2 , , * θαη

: 5 , λα γξάςεηε κε αλαγξαθή

ησλ ζηνηρείσλ ηνπ ην ζύλνιν Β .

19) Πνην από ηα παξαθάησ ζύλνια είλαη ην θελό :

α. 2: 1 0x x

β. : 2 1 0 3 0x x x

20) Να γξάςεηε όια ηα ππνζύλνια ησλ ζπλόισλ :

α. ,a β. , ,a

21) Να βξείηε όια ηα ππνζύλνια ηνπ ζπλόινπ

: 1 1x x .

22) Να εμεηάζεηε αλ είλαη ζσζηνί νη παξαθάησ

ηζρπξηζκνί :

α. , , , ,a a β.

0

γ. a a δ. , ,a a

23) Γίλνληαη ηα ζύλνια 2 , 0 , 2 , 4 , 6 , 8 ,

: 2 3 6x x . Να επαιεζεύζεηε ηηο

ζρέζεηο :

α. β.

γ. δ.

24) Σε πνηα από ηηο παξαθάησ πεξηπηώζεηο έρνπκε

:

α. 2 , 1,1, 2 θαη : 3 2x x

β. 1, 2 , 3 , 4 θαη : 4x x ί

25) Γίλεηαη ην ζύλνιν 1, 2 , 3 , 4 , 5 . Να

πάξεηε έλα νπνηνδήπνηε ππνζύλνιν ηνπ Β , λα

ην νλνκάζεηε Α θαη λα επαιεζεύζεηε ηηο ζρέζεηο θαη . Καηόπηλ λα

απνδείμεηε όηη , αλ , ηόηε

.

26) Γίλνληαη ηα ζύλνια

: 1 2 ... 2010 0x x x x θαη

*: 1 2 ... 0 ,x x x x v v Αλ

λα βξείηε ηηο ηηκέο πνπ παίξλεη ην v .

27) Γίλνληαη ηα ζύλνια

231326ί ύ ,

0 ,1, 2 , 5 , 7 , 1,1, 3 , 5 , 8 , 9 . Να

βξείηε ηα ζύλνια :

α. β.

γ. δ.

ε. ( ) ζη. ( )

Page 6: Α΄ Λυκείου Άλγεβρα - Σημειώσεις (2015 - 2016)

μαθηματική λογική & σύνολα εισαγωγικό κεφάλαιο

- 4 -

28) Έζησ 0 , 2 , 4 , 6 , 8 ,10 ,12 ην ζύλνιν

αλαθνξάο θαη ηα ππνζύλνια ηνπ

0 , 4 , 8 ,12 , 0 , 2 , 6 ,10 . Να βξείηε

ηα ζύλνια : α. β. γ.

δ. ε. ζη. ( )

δ. ( )

29) Αλ 4 , 1, 0 , 2 , 3 ην ζύλνιν αλαθνξάο

θαη ηα ππνζύλνια ηνπ 0 , 4 , 3 ,

1, 3 , 2 θαη 1, 0 , 2 . Να βξείηε ηα

ζύλνια :

α. β.

γ. δ. ( )

ε. ( ) ζη.

30) Αλ 2 , 1, 0 ,1 ην ζύλνιν αλαθνξάο θαη

ηα ππνζύλνια ηνπ 2 ,1, 0 ,

2 , 1,1 λα δείμεηε όηη ( ) .

31) Σην παξαθάησ ζρήκα έρνπκε ην δηάγξακκα

ηνπ Venn γηα ηα ζύλνια Α θαη Β . Να βξείηε ηα

ζύλνια :

i. ii. iii.

iv. ( ) v. ( ) vi.

32) Σην παξαθάησ ζρήκα έρνπκε ην δηάγξακκα ηνπ Venn γηα ηα ζύλνια Α θαη Β . Να βξείηε ηα

ζύλνια :

i. A ii. B iii.

iv. v. vi.

vii. viii.

33) Σην παξαθάησ ζρήκα δίλεηαη ην ζύλνιν

αλαθνξάο Ω θαη ηα ππνζύλνια ηνπ Α , Β . Να

ραξαθηεξίζεηε κε ζσζηό (Σ) ή ιάζνο (Λ) ηηο παξαθάησ πξνηάζεηο :

α. β.

γ. δ.

ε. ζη.

34) Με ζύλνιν αλαθνξάο

: 12x x έ , ζεσξνύκε ηα

ζύλνια : 3x x ά ,

: 4x x ά .

α. Να ηα παξαζηήζεηε ζην ίδην δηάγξακκα ηνπ Venn . β. Να πξνζδηνξίζεηε ηα ζύλνια :

i. ii. iii.

iv. v.

35) Γίλνληαη ηα ζύλνια

ά έ ά ,

ά έ ή ,

ά έ ά .

α. Να γξάςεηε ηα ζύλνια Α , Β , Γ κε αλαγξαθή ησλ

ζηνηρείσλ ηνπο θαη λα ηα παξαζηήζεηε ζην ίδην δηάγξακκα ηνπ Venn.

β. Να πξνζδηνξίζεηε ηα ζύλνια:

i. ii. iii.

iv. v.

γ. Να επαιεζεύζεηε όηη :

i. ii.

36) Αλ ηα ζύλνια 3 , , 2 , 2 , 1, 4

είλαη ίζα λα βξείηε ηα , .

37) Να βξείηε ηα a , ώζηε ηα ζύλνια

21, , 2a , 1, , 4 λα είλαη ίζα .

38) Γίλνληαη ηα ζύλνια 2 , 2 θαη

22 , . Να βξείηε ηελ ηηκή ηνπ

ώζηε λα είλαη .

Page 7: Α΄ Λυκείου Άλγεβρα - Σημειώσεις (2015 - 2016)

μαθηματική λογική & σύνολα εισαγωγικό κεφάλαιο

- 5 -

39) Γίλεηαη ην ζύλνιν 1, , 2x . Να βξείηε ηηο

δπλαηέο ηηκέο ηνπ x .

40) Να βξείηε ην x , ώζηε λα νξίδεηαη ην

ζύλνιν | | , 1x .

41) Σηηο παξαθάησ πεξηπηώζεηο λα βξείηε ην ζύλνιν Α .

α. 2 , 3 1, 5 β. 2 , 3 1, 5

γ. 5 , , 7 δ. 5 , , 7

ε. , 2 3 , 4

42) Αλ 5 , , ,10 θαη , λα

βξείηε ηα ζύλνια :

α. β. γ.

δ. ( ) ε.

43) Να βξείηε ην ζύλνιν ησλ ιύζεσλ ηεο :

α. εμίζσζεο 1 2 3 ... 2010 0x x x x ,

β. αλίζσζεο 1 2 | | 0x .

44) Έζησ Ω ην ζύλνιν πνπ έρεη σο ζηνηρεία ηνπο

αξηζκνύο πνπ είλαη νη ελδείμεηο ελόο δαξηνύ θαη

a . Αλ ε εμίζσζε 2 2 2 0x x a δελ έρεη

θακία πξαγκαηηθή ξίδα , λα βξείηε ην ζύλνιν

πνπ έρεη ζηνηρεία ηηο ηηκέο ηνπ a .

45) Σην δηπιαλό ζρήκα έρνπκε ην δηάγξακκα ηνπ

Venn γηα ηα ζύλνια Α θαη Β . Να βξείηε ηα ζύλνια :

46) Αλ θαη , λα απνδείμεηε όηη :

α. β.

47) Αλ Α , Β είλαη δπν κε θελά ζύλνια , λα

απνδείμεηε όηη .

Page 8: Α΄ Λυκείου Άλγεβρα - Σημειώσεις (2015 - 2016)

- 6 -

2015-2016

οι πραγματικοί αριθμοί

Ασκήσεις

Παγώνης Θεόδωρος

Μαθηματικός

Page 9: Α΄ Λυκείου Άλγεβρα - Σημειώσεις (2015 - 2016)

οι πραγματικοί αριθμοί κεφάλαιο 2

- 7 -

§1. οι πράξεις & οι ιδιότητες τους

1) Να ππνινγίζεηε ηελ ηηκή ησλ παξαθάησ παξαζηάζεσλ :

α.

13

351

23

β.

1 21

2 31 1

36 2

γ.

11

21

21

2

2) Να γίλνπλ νη πξάμεηο:

α. 3 1

125

2

β.

11

31

22

23

γ.

12

12

21

21

22

δ.

35

2 21 1

3 51 2

1 41 312

52

3) Να βξείηε ηηο ηηκέο ηνπ x γηα ηηο νπνίεο

νξίδνληαη νη πην θάησ παξαζηάζεηο:

α. 2

2

x

x

β.

1

1

x

x

γ.

3 2

1

x

x

δ. 5 10x

x

ε.

1

1

x x

x x

ζη.

2 4

2 4x x

4) Να βξείηε ηηο ηηκέο ηνπ x γηα ηηο νπνίεο

νξίδνληαη νη πην θάησ παξαζηάζεηο:

α. 1 5

x

x x β.

24 1

3 2

x

x x

γ.

3

1 2 7

x

x x

δ.

4

3

x

x x

ε.

2

2 3

x

x x x

ζη.

3 5

1 2 3 1

x x

x x x x

5) Να βξείηε ηηο ηηκέο ηνπ x γηα ηηο νπνίεο

νξίδνληαη νη πην θάησ παξαζηάζεηο:

α. 2

2

5 6

x

x x

β.

2

5 2

5 1

x

x x

γ. 2 2

5 2

2010 2011

x

x x

δ.

2

13

1x

ε.

3

21

1

x

x

ζη.

21

63

1

x

x

6) Να βξείηε ηνπο πεξηνξηζκνύο γηα ην a ώζηε λα

νξίδνληαη νη παξαζηάζεηο :

α. 2

5 3

1

a

a

β.

12

25

a

a

γ.

3

52

12 1

a

a

7) Να βξείηε ηνλ αληίζεην θαη ηνλ αληίζηξνθν ηνπ

αξηζκνύ

13

221

23

a

.

8) Να απινπνηεζνύλ νη παξαζηάζεηο:

α. 3 2 1x y x y x

β. 2 1 3 1 5x y x

γ. 3 1 2 2 ( 4)x x x y

δ. 6 5 3 1 4 4 1x x

9) Να θάλεηε ηηο πξάμεηο

3 2 1 3 3 3 2 1 4 3 5 2 1x x x x .

10) Να δείμεηε όηη y x x z y z .

11) Να θάλεηε ηηο πξάμεηο:

α. 2 2 3a a

β. 2 3a

12) Να απινπνηεζνύλ νη παξαζηάζεηο Α , Β θαη

ζηελ ζπλέρεηα λα ππνινγίζεηε ηελ αξηζκεηηθή

ηηκή ηνπο :

α. 3 3 1 2 2x y x y γηα 2x , 3y

β. 4 3 1 ( 2)x x y x y γηα 3x , 1y

Page 10: Α΄ Λυκείου Άλγεβρα - Σημειώσεις (2015 - 2016)

οι πραγματικοί αριθμοί κεφάλαιο 2

- 8 -

13) Να βξείηε ηελ αξηζκεηηθή ηηκή ηεο παξαθάησ

παξάζηαζεο γηα 1x θαη 2y :

2 2 3 2 3 2 2 2x y x x y xy y x .

14) Να θάλεηε ηηο πξάμεηο ζηελ παξάζηαζε

3 2 2 4 5 2 3 4 3 2x y y x y xy y x

θαη λα βξείηε ηελ αξηζκεηηθή ηεο ηηκή γηα 1x

θαη 2

3y .

15) Να θάλεηε ηηο πξάμεηο ζηηο παξαθάησ

παξαζηάζεηο θαη λα βξείηε ηελ αξηζκεηηθή ηνπο

ηηκή γηα 1

2x θαη 0,01y :

α. 3 2 3 4 3 2 2 1x y x x y

β. 2 2 2 1 3 2 2 4 3y x y x y x y

16) Αλ 543x θαη 457y λα βξεζεί ε

αξηζκεηηθή ηηκή ηεο παξάζηαζεο

3 3 1 4 3xy x y x y y .

17) Αλ 6,37x θαη 0,63y λα βξεζεί ε

αξηζκεηηθή ηηκή ηεο παξάζηαζεο

3 2 1 2 2 3x y xy x y xy .

18) Αλ 2010x y , λα βξεζεί ε αξηζκεηηθή ηηκή

ηεο παξάζηαζεο

3 2 2 2 3 2 19 7x y y x x y .

19) Αλ 2011a , λα βξεζεί ε αξηζκεηηθή ηηκή

ηεο παξάζηαζεο

3 2 2 3 2 2 11a a a .

20) Αλ 2010x y , λα απνδείμεηε όηη ε

αξηζκεηηθή ηηκή ηεο παξάζηαζεο

6 10 2 4 3 12

3 3 3

x x yx y

x w y w

δηαηξείηαη

κε ην 2010 .

21) Αλ ε πεξίκεηξνο ελόο ηζόπιεπξνπ ηξηγώλνπ

πιεπξάο x είλαη 13 η.κ. θαη ε πεξίκεηξνο ελόο

ηεηξάγσλνπ πιεπξάο y είλαη 15 η.κ. , λα

απνδείμεηε όηη ε παξάζηαζε

3 2 1 5 1 1x y y y καο δίλεη ηελ

πεξίκεηξν ηεηξαγώλνπ κε πιεπξά 2y .

22) Αλ ηζρύεη 4 6 2 λα

ππνινγίζεηε ηηο ηηκέο ησλ παξαζηάζεσλ : α. 2 2 3 β. 11 2 3 1 3

23) Αλ 1x θαη 2y λα βξείηε ηηο αξηζκεηηθέο

ηηκέο ησλ παξαζηάζεσλ :

α. 2 3 1x x y x y y β. 3

x yy xy

y x

γ.

1

x

x

y

δ.

1

32

xy

xy

24) Αλ 0,3x θαη 1,17y λα βξείηε ηνλ

αληίζηξνθν ηνπ αξηζκνύ 5 3 2 2

1

x y xa

x

y

.

25) Αλ ( ) ( )x a θαη ( )y a , λα

απνδείμεηε όηη νη αξηζκνί x , y είλαη αληίζεηνη.

26) Αλ νη αξηζκνί x θαη 2y είλαη αληίζηξνθνη , λα

ππνινγίζεηε ηηο ηηκέο ησλ παξαζηάζεσλ :

α. 2 1xy β. 4 3xy γ.

53

2xy

27) Αλ νη αξηζκνί a , 2 είλαη αληίζεηνη λα

ππνινγίζεηε ηελ παξάζηαζε

3a a .

28) Αλ νη αξηζκνί 1

a , , κε 0a είλαη αληίζεηνη

λα δείμεηε όηη θαη νη αξηζκνί

2 3 2x a a θαη

2 4 2 1y a είλαη αληίζεηνη .

29) Αλ νη αξηζκνί 1a , 1 κε 1a θαη 1

είλαη αληίζηξνθνη λα δείμεηε όηη :

α. a a

β. νη αξηζκνί 4 2 1x a a θαη 2 4y a a

είλαη αληίζεηνη .

30) Αλ νη αξηζκνί 1x , 1y κε ,x y θαη

1x , 1y είλαη αληίζηξνθνη λα δείμεηε όηη :

α. x y xy

β. νη αξηζκνί 4 2 1a x y x θαη

2 2 4 1x y είλαη αληίζεηνη .

Page 11: Α΄ Λυκείου Άλγεβρα - Σημειώσεις (2015 - 2016)

οι πραγματικοί αριθμοί κεφάλαιο 2

- 9 -

31) Αλ νη αξηζκνί 1

2a , 2 κε

1

2a θαη 2

είλαη αληίζηξνθνη λα δείμεηε όηη :

α. 4 2a a

β. νη αξηζκνί 2 4

ax

θαη

1

2 2 2y a

είλαη

αληίζεηνη .

32) Αλ

23

344

33

a

θαη

53

221

22

, λα

απνδείμεηε όηη νη αξηζκνί a

θαη

2015

2a

είλαη

αληίζεηνη.

33) Αλ

2

1 317

19

a

θαη

2

317

79

, λα

απνδείμεηε όηη νη αξηζκνί απηνί έρνπλ ηνλ ίδην

αληίζηξνθν , ηνλ νπνίν λα βξείηε.

34) Αλ νη αξηζκνί a θαη είλαη αληίζηξνθνη ,

λα βξείηε ηελ ηηκή ηεο παξάζηαζεο

1

1

a

a

35) Αλ 0xy θαη 1 1x y y x , λα

απνδείμεηε όηη νη αξηζκνί x , y είλαη

αληίζηξνθνη .

36) Αλ 0x y x z , λα απνδείμεηε όηη ν x

είλαη αληίζεηνο ηνπ y ή ηνπ z .

37) Αλ 2

3

a

, λα ππνινγίζεηε ηηο παξαζηάζεηο :

α. 3a

β.

2 3

2

a

a

38) Αλ 3

2

a

, λα ππνινγίζεηε ηηο παξαζηάζεηο :

α. 6 3

5

a

β.

5

3

a

a β.

3 5

2

a

a

39) Αλ 1

2

x

y , λα ππνινγίζεηε ηηο παξαζηάζεηο :

α. 2 3x y

y

β.

4

2

x

x y β.

4

2 5

x y

x y

40) Αλ 1x

y , λα ππνινγίζεηε ηηο παξαζηάζεηο :

α. 3

2

x y

x y

β.

2

2 2

2y xy

x y

41) Αλ 3 4 1

5 6 3

x y

x y

, λα βξείηε ην ιόγν

y

x .

42) Αλ 2 3

2

x y x y

x y x y

, λα βξείηε ην ιόγν

y

x .

43) Αλ 2

3

x

y θαη

3

4

y

z , λα βξείηε ην ιόγν

x y

y z

.

44) Αλ 2

3

x

y , λα ππνινγίζεηε ηηο παξαζηάζεηο :

α. 2

3

x

y

β.

x y

x y

β.

5

3

x y

y

45) Αλ 3 4

x y θαη 14x y , λα βξείηε ηνπο

αξηζκνύο x , y .

46) Αλ 4 5

x y θαη 2 28x y , λα βξείηε ηνπο

αξηζκνύο x , y .

47) Αλ 18x y z θαη 2 3 4

x y z λα ππνινγίζεηε

ηνπο x , y , z .

48) Αλ 10x y θαη 2 3 4

x y z λα ππνινγίζεηε

ηνπο x , y , z .

49) Αλ 2 3 4

x y z θαη 2 3 20x y z , λα

απνδείμεηε όηη νη αξηζκνί x , y είλαη πξώηνη ,

ελώ ν αξηζκόο z είλαη ζύλζεηνο .

50) Αλ a

λα απνδείμεηε όηη

5 2 5 2

2 2

a

a

.

51) Αλ a

λα απνδείμεηε όηη

3 4

3 4

a a

.

52) Αλ a

, λα δείμεηε όηη

2 2a a

a

.

Page 12: Α΄ Λυκείου Άλγεβρα - Σημειώσεις (2015 - 2016)

οι πραγματικοί αριθμοί κεφάλαιο 2

- 10 -

53) Αλ a

κε 0 , λα απνδείμεηε όηη

2 2 2 2

2 2

a

a

.

54) Αλ a

κε 0 , λα απνδείμεηε όηη

2

2

aa

.

55) Αλ a

, λα απνδείμεηε

2

a a

.

56) Αλ x z

y w κε 0xyz , λα απνδείμεηε όηη

2 2 2 2

2 2 2 2

1 1 1 1x y z w xyzw

x y z w

.

57) Αλ 2

3

x

y ,

2 3x y

x y

,

x y

x y

θαη

y x

x y

λα απνδείμεηε όηη :

α. νη αξηζκνί Α , Β είλαη αληίζεηνη .

β. νη αξηζκνί Α , Γ είλαη αληίζηξνθνη .

58) Να βξείηε δπν αθέξαηνπο αξηζκνύο πνπ είλαη

αλάινγνη ησλ αξηζκώλ 3 , 8 θαη έρνπλ άζξνηζκα

33 .

59) Να βξείηε δπν αθέξαηνπο αξηζκνύο πνπ είλαη

αλάινγνη ησλ αξηζκώλ 5 , 2 θαη έρνπλ δηαθνξά

12 .

60) Αλ νη αξηζκνί x , y , z είλαη αλάινγνη ησλ

αξηζκώλ 5 , 7 , 3 θαη ηζρύεη 45x y z λα

βξείηε ηνπο x , y , z .

61) Αλ νη αξηζκνί a , , είλαη αλάινγνη ησλ

αξηζκώλ 2 , 3 , 5 θαη ηζρύεη 3 2 10a λα

ππνινγίζεηε ηνπο a , , .

62) Αλ νη αξηζκνί x , y , z είλαη αλάινγνη ησλ

αξηζκώλ 4 , 2 , 3 θαη ηζρύεη 3 2 10x y z λα

βξείηε ηνπο x , y , z .

63) Αλ νη αξηζκνί x , y , z είλαη αλάινγνη ησλ

αξηζκώλ 1 , 3 , 4 θαη ηζρύεη 2 3 33x y z λα

βξείηε ηηο ηηκέο ησλ x , y , z .

64) Να βξείηε ηνπο αξηζκνύο a , , ώζηε λα

ηζρύνπλ νη ζρέζεηο 24a θαη

5 3 4

a

65) Η πεξίκεηξνο ελόο ηξηγώλνπ είλαη 27 cm . Να βξείηε ηα κήθε ησλ πιεπξώλ ηνπ , αλ είλαη

γλσζηό όηη είλαη αλάινγα ησλ αξηζκώλ 2 , 3 , 4 .

66) Σε ηξία παηδία ειηθίαο 5 , 8 θαη 10 εηώλ κνηξάζηεθαλ 230 € αλάινγα κε ηελ ειηθία ηνπο .

Να βξείηε πόζα € πήξε ην θαζέλα .

67) Αλ v

a a

, λα απνδείμεηε όηη

v .

68) Αλ γηα ηνπο πξαγκαηηθνύο αξηζκνύο a , κε

3a θαη 4 ηζρύεη ε ζρέζε 3 4

3 4a

,

λα απνδείμεηε όηη νη αξηζκνί a , είλαη

αλάινγνη πξνο ηνπο αξηζκνύο 3 , 4 .

69) Χσξίο λα θάλεηε ηνπο πνιιαπιαζηαζκνύο , λα

απνδείμεηε όηη 22010 2009 2011 1 .

70) Να απνδείμεηε όηη 35 3535 353535

99 9999 999999 .

71) Αλ a αθέξαηνο θαη 2a πεξηηηόο αθέξαηνο , λα

δείμεηε όηη ν a είλαη πεξηηηόο .

72) Αλ ν 2a είλαη άξηηνο , ηόηε λα δείμεηε όηη θαη ν

a είλαη άξηηνο .

73) Αλ ξεηόο αξηζκόο θαη a άξξεηνο αξηζκόο ,

λα δείμεηε όηη νη αξηζκνί :

a , a , a , a

,

a

κε 0a είλαη άξξεηνη

αξηζκνί.

74) Να δείμεηε όηη ην ηεηξάγσλν ελόο πεξηηηνύ

αξηζκνύ είλαη πεξηηηόο .

75) Να απνδείμεηε όηη : α. Τν άζξνηζκα ελόο αξηίνπ θαη ελόο πεξηηηνύ είλαη

πεξηηηόο αξηζκόο .

β. Η δηαθνξά δπν πεξηηηώλ είλαη άξηηνο αξηζκόο . γ. Τν ηεηξάγσλν άξηηνπ αξηζκνύ είλαη άξηηνο αξηζκόο .

Page 13: Α΄ Λυκείου Άλγεβρα - Σημειώσεις (2015 - 2016)

οι πραγματικοί αριθμοί κεφάλαιο 2

- 11 -

76) Να απνδείμεηε όηη :

α. Τν γηλόκελν δπν δηαδνρηθώλ αθεξαίσλ είλαη άξηηνο αξηζκόο .

β. Τν γηλόκελν 4 δηαδνρηθώλ αθεξαίσλ δηαηξείηαη κε ην 4 .

77) Να απνδείμεηε όηη :

α. Τν άζξνηζκα δπν πεξηηηώλ αξηζκώλ είλαη άξηηνο .

β. Τν γηλόκελν ελόο άξηηνπ θαη ελόο πεξηηηνύ είλαη άξηηνο .

γ. Τν γηλόκελν δπν πεξηηηώλ αξηζκώλ είλαη πεξηηηόο .

78) Να απνδείμεηε όηη νη αξηζκνί 2 1a v v θαη 4 2 1v v είλαη πεξηηηνί γηα θάζε v .

79) Αλ ,a , λα απνδείμεηε όηη ν αξηζκόο

2

a a

είλαη αθέξαηνο .

§2. δυνάμεις

ταυτότητες

80) Να βξείηε ηνπο αξηζκνύο:

α.

22

3

β.

3 42 2 γ.

32

3

δ. 3

2( 2) ε.

21

2

ζη.

3 22 0,5

δ.

25 223 4

:4 3

ε. 3

3 210,1 : 10

2

81) Να γξάςεηε θαζεκία από ηηο παξαθάησ παξαζηάζεηο κε κνξθή κηαο δύλακεο.

α. 3 82 2 β. 693 : 3 γ.

7 35 5

δ. 537 7

ε. 3 3

2

4 2

8

ζη.

2 3

1 2

4

7 7

7

δ.

22 4

2 5

3 3 3

3 3

ε.

12 1 2

1 2

5 5 5

25 25

82) Να γξάςεηε θαζεκία από ηηο παξαθάησ

παξαζηάζεηο κε κνξθή κηαο δύλακεο.

α. 5 511 2 5 2 β. 4 45 3 4 3

γ. 4 2 34 5 3 25 10 5

83) Αλ *x , λα γξάςεηε κε ηελ κνξθή κηαο

δύλακεο ηηο παξαθάησ παξαζηάζεηο:

α. 2

3 7x x

β. 1

2 5:x x

γ.

2 31 2

10

x x

x

δ.

23 5

2 323

x x

x x

ε.

22 3

2 44 1

x x

x x

ζη.

43 5 2

3 6

x x x

x x

84) Με ηελ βνήζεηα ησλ ηδηνηήησλ ησλ δπλάκεσλ

λα ππνινγίζεηε ηα γηλόκελα :

α. 15 170,2 5

β. 19

10 32,25

2

85) Να ππνινγηζηνύλ νη παξαζηάζεηο :

α. 48 3 221 3 2 3

β. 3 5 53 03 2 1 2

γ. 010 3 2 3 52 5 12 12 19

86) Αλ 0xyz , λα απνδείμεηε όηη ε ηηκή ηεο

παξάζηαζεο

2 2 21 1 1x x y y z z x y z

x y z

είλαη αλεμάξηεηε από ηηο ηηκέο x , y , z .

87) Να ππνινγηζηνύλ νη παξαζηάζεηο:

α. 2

1114 3

2

β. 3 2

22 33

3 2

88) Να βξείηε ηελ αξηζκεηηθή ηηκή ηεο παξάζηαζεο 2 3 32 3a a a γηα:

α. 1a θαη 2 β. 2a θαη

1

2

89) Να βξείηε ηελ αξηζκεηηθή ηηκή ηεο παξάζηαζεο 3 22 3 1x x x γηα :

α. 1x β. 2x γ.

1

2x

Page 14: Α΄ Λυκείου Άλγεβρα - Σημειώσεις (2015 - 2016)

οι πραγματικοί αριθμοί κεφάλαιο 2

- 12 -

90) Να βξεζεί ε ηηκή ηεο παξάζηαζεο

3 12 2

71 :

xy x y

y y

γηα 2010x θαη

1

2010y .

91) Αλ 2011a θαη 1

2011 , λα βξεζεί ε ηηκή

ηεο παξάζηαζεο

12

7 31 2:

a

a

.

92) Γίλεηαη ε παξάζηαζε

12

2 5 1 4 2

3 3 11

:x y x y xy

xy xxy

, κε *,x y .

α. Να γξαθεί κε ηελ κνξθή κηαο δύλακεο .

β. Να ππνινγηζηεί ε ηηκή ηεο , όηαλ 2011x θαη

1

2011y .

93) Να δείμεηε όηη νη αξηζκνί

1

2 0

21

3

3 3

2 4

a

θαη 1

2011 : 3 2

7

είλαη

αληίζηξνθνη.

94) Γίλνληαη νη παξαζηάζεηο

34

52

2 11 3

7 2

θαη

113

20

31

2

35

2

. Να απνδείμεηε όηη νη

αξηζκνί Α , Β είλαη αληίζηξνθνη.

95) Αλ 2x , 3y θαη 1z λα

ππνινγηζηνύλ νη παξαζηάζεηο:

α. 10 2 3z xy x β.

3

5 42z

z xx

γ. 2

1 3 22

x x y xx y z x

y

96) Αλ v αθέξαηνο λα ππνινγηζηνύλ νη

παξαζηάζεηο :

α. 1 2 1

1 1 1v v v

β. 3 1 2 5 1

1 1 1v v v

γ. 1 3 2 7 3

5 1 1 2 1v v v

97) Να απνδείμεηε όηη , γηα θάζε *v , είλαη

1 2 3

1 1 1 1 0v v v v

.

98) Να απινπνηεζνύλ νη παξαζηάζεηο :

α.

5 62 4

2

x y

y x

β.

12 1 2

3 3

3 2:

2 2

x y xy

xy x y

99) Αλ 0,1x θαη 0,01y , λα γξάςεηε κε

ηππνπνηεκέλε κνξθή ηνλ αξηζκό

3

212 3

2 1 2 2

4

42 :

yx y y x

x

.

100) Αλ , 0x y θαη 1 1xy x y x y λα

δείμεηε όηη x y .

101) Αλ νη αξηζκνί x , y είλαη αληίζηξνθνη λα

βξείηε ηηο ηηκέο ησλ παξαζηάζεσλ :

α. 3 2

2 2 1 2x y x y x β.

2 4

3 41 2

: 2x y

y x y

102) Να βξείηε ηνλ αθέξαην αξηζκό a ώζηε λα

ηζρύνπλ νη ζρέζεηο :

α. 3 81a β. 2 16a γ.

2 9

3 4

a

δ. 2 45 1a ε.

18

2

a

ζη.

125

5

a

δ. 1 1

2 4

a

ε.

3 16

4 9

a

103) Αλ ,x y θαη ηζρύεη ε ζρέζε

2016 2014

2 16 3 21 0x y , ηόηε :

α. λα βξείηε ηηο ηηκέο ησλ x , y ,

β. λα απνδείμεηε όηη νη αξηζκνί x , y είλαη πξώηνη

κεηαμύ ηνπο .

104) Αλ ,x y θαη ηζρύεη ε ζρέζε

4 4

4 12 2 6 0x y , λα απνδείμεηε όηη νη

2 3x y ή 2 9x y .

Page 15: Α΄ Λυκείου Άλγεβρα - Σημειώσεις (2015 - 2016)

οι πραγματικοί αριθμοί κεφάλαιο 2

- 13 -

105) Να βξείηε ηα αλαπηύγκαηα:

α. 2

1a β. 2

2 3a

γ. 2

3 1x δ. 2

2 3x

ε.

21

2a

ζη.

2

2 41

4x y

δ.

23

22

x

ε.

23

22

xy x

106) Να θάλεηε ηηο πξάμεηο:

α. 1 1x x β. 2 2x x

γ. 2 3 3 2x y y x δ. 5 2 5 2x y x y

ε. 1 1

3 3x x

ζη. 2 22 1 2 1x x

δ. 1 1xy xy ε. x y z x y z

107) Να βξείηε ηα αλαπηύγκαηα :

α. 3

1x β. 3

2 1x γ. 3

1x δ. 3

2x y

ε. 3

2 1x ζη.

3

2 32x y

δ. 3

2x ε. 3

3x

108) Να βξείηε ηα γηλόκελα:

α. 21 1x x x

β. 22 2 4x x x

γ. 2 2x y x xy y δ. 2 4 23 3 9x x x

109) Να βξείηε ηα αλαπηύγκαηα:

α. 2

x y z β. 2

x y z

γ. 2

2 2x x δ. 2

2 x xy

110) Να βξείηε ηα δηώλπκα ησλ νπνίσλ ηα

αλαπηύγκαηα ηνπο είλαη ηα παξαθάησ:

α. 24 4 1x x β. 2 6 9x x

γ. 29 6 1x x δ. 3 26 12 8x x x

ε. 3 23 3 1x x x ζη. 3 28 36 54 27x x x

111) Να θάλεηε ηηο πξάμεηο:

α. 3 2 2 1x x x β. 1 2 2 4x x x

γ. 2

2 3 2a a a

112) Να θάλεηε ηηο πξάμεηο:

α. 2 2

3 2 3 2x x β. 3 3

2 1 2 1x x

γ. 3 3

3 2 3 2a a

113) Να θάλεηε ηηο πξάμεηο:

α. 2

2 5 3 1 3 1x x x

β. 3

3 2 2 3 2x x x

γ. 2 21 1 1x x x x x

δ. 2 22 2 4 2x x x x x

114) Να θάλεηε ηηο πξάμεηο:

α. 2 2

2 3 2 3 3x x x x

β. 2 2 2

3 2 1 2 5x x x

γ. 2 2

3 2 4 3 3 2 2x x x x

δ. 2 2

2 3 2 3 4x y x y x y x y

ε. 3 3 2 23 2 2x y x y x y x xy y

ζη. 3 3

2 2 2 22 2 2x y x y x x y x y

115) Να δείμεηε όηη νη παξαθάησ παξαζηάζεηο είλαη

αλεμάξηεηεο ηνπ x :

α. 321 1 1 3 1x x x x x x

β. 3

2 2 2 2 4 21 3 1 1 1x x x x x x

116) Να δείμεηε όηη:

α. 32 2 3a a a a a a

β. 32 2 3a a a a a a

117) Να απνδείμεηε ηηο ηαπηόηεηεο:

α. 3 4 4 2x y x y x y xy x y x y

β. 2 2 22 4a a a a

118) Να δείμεηε όηη

2 2

2 2x y x y x y x y x y x y x y

119) Να απνδείμεηε ηηο ηαπηόηεηεο:

α. 2 222 2 2 22x y xy x y

β. 2 2

2 2 2 2 4 42 2x y x y x y

γ. 3 2 2 25 2x y x x y x y y x y

δ. 2 2 61 1 1 1 1x x x x x x x

ε. 3 2 2 33 3 2 2 2 23 2x y x y x y x y xy

ζη. 3 2 2

3 3x y x x y y y x

120) Να δείμεηε όηη

2 2 2 2

8x y z x y z x y z x y z xy .

Page 16: Α΄ Λυκείου Άλγεβρα - Σημειώσεις (2015 - 2016)

οι πραγματικοί αριθμοί κεφάλαιο 2

- 14 -

121) Να απνδείμεηε όηη

2 22 2

21 1

2 2

x xx

.

(ηαπηόηεηα ηνπ Ππζαγόξα)

122) Να δείμεηε όηη:

α.

2 21 1

4a aa a

β.

2 2999 1000 999 1000

41000 999 1000 999

123) α. Γηα θάζε a , λα απνδείμεηε όηη

2 2

2 2

2 13

1

a a

a a

.

β. Να ππνινγίζεηε ηελ ηηκή ηεο παξάζηαζεο

2 2

2 2

2012 2009

2011 2010

.

124) α. Να θάλεηε ηηο πξάμεηο 2

2 1a a a .

β. Να ππνινγίζεηε ηελ παξάζηαζε

22012 2010 2010 .

125) α. Αλ 2x a θαη 2y a , λα απνδείμεηε

όηη 222 6 3 7x a a y .

β. Να ππνινγίζεηε ηελ ηηκή ηεο παξάζηαζεο 2 22 1002 1000 1004 1001 .

126) Αλ 2x a θαη 2y a , λα απνδείμεηε όηη

222 4 4 4x a a y .

127) Αλ 3x y λα ππνινγηζηνύλ νη

παξαζηάζεηο:

α. 2 23 3 2x y x y xy

β. 3 2 2 33 3 5 5 2x x y xy y x y

128) Αλ 1xy , λα απνδείμεηε όηη

2 2

4x y x y .

129) Αλ *,a θαη 1 1

4aa

, λα

απνδείμεηε όηη a .

130) Δάλ 3a θαη 1 1 1 1

a a λα

ππνινγίζεηε ηελ ηηκή ηεο παξάζηαζεο 2 2 2a .

131) Δάλ 0a λα απνδείμεηε όηη :

α. 2 2 2 2a a β.

2 2 2

2a

a

132) Δάλ 1 1 1

0a λα απνδείμεηε όηη :

α. 0a a β. 2 2 2 2( )a a

133) Δάλ 0a λα δείμεηε όηη 2

2 2 2

1 1 1 1 1 1

a a

.

134) Αλ 3x y θαη 2xy λα βξείηε ηηο ηηκέο

ησλ παξαζηάζεσλ :

α. 2 2x y β. 3 3x y γ. 4 4x y

135) Αλ 5x y θαη 4xy λα βξείηε ηηο ηηκέο

ησλ παξαζηάζεσλ :

α. 2 2x y β. 3 3x y γ. 4 4x y δ. 6 6x y

136) Αλ 1

5xx

λα ππνινγίζεηε ηηο παξαζηάζεηο:

α. 2

2

1x

x β. 3

3

1x

x

137) Αλ 2

3xx

θαη 2xy λα βξείηε ηηο ηηκέο

ησλ παξαζηάζεσλ :

α. 2

2

4x

x β. 3

3

8x

x γ. 5

5

32x

x

138) Αλ x y a θαη xy , λα απνδείμεηε όηη :

α. 2 2 2 2x y a β. 3 3 3 3x y a a

139) Δάλ 1

xa

, 1

y a

, .1

z a

.

θαη 1ax y z λα απνδείμεηε όηη :

α. 2

3a β.

1

18xyz

140) Αλ 21

2

xa

x

θαη

2

2

1

1

x

x

, κε

0 ,1, 1x , λα απνδείμεηε όηη

2 2

1 11

a .

Page 17: Α΄ Λυκείου Άλγεβρα - Σημειώσεις (2015 - 2016)

οι πραγματικοί αριθμοί κεφάλαιο 2

- 15 -

141) Αλ 2

2

10

4

a a

κε 0 , λα βξείηε ηελ

ηηκή ηνπ ιόγνπ a

.

142) Αλ 2 2x a , 2y a θαη 2 2z a λα

δείμεηε όηη 2 2 2x y z .

143) Αλ 2 2x a , 2y a θαη 2 2z a λα

δείμεηε όηη 2 2 2x y z .

144) Αλ 3 2 2x a , 2 2y a ,

2 2z a θαη 2 2 2a λα απνδείμεηε

όηη 2 2 2x y z .

145) Αλ 2a x yz , 2y xz θαη 2z xy

λα δείμεηε όηη 2a x ax y z .

146) Αλ 7 3 6x a , 6 2 6y a ,

3 3 2z a θαη 2 2 2a λα απνδείμεηε

όηη : 2 2 2x y z .

147) Αλ 2 2 1a , λα βξείηε ηελ ηηκή ηεο

παξάζηαζεο 2 2

3 33 4 3 4y a a .

148) Αλ 0a θαη 0a , λα δείμεηε όηη 2 2 2

3 3 3

2 1 1 10

3

a

aa

.

149) Αλ 5

2a θαη 3 3 65

8a λα δείμεηε όηη

νη αξηζκνί a , είλαη αληίζηξνθνη .

150) Αλ 1

1a

θαη 3

3

17

a λα δείμεηε όηη

2a .

151) Αλ 2

2a a , λα ππνινγίζεηε ηελ ηηκή

ηεο παξάζηαζεο 1896 2004a .

152) Αλ 2 2

a a , λα ππνινγίζεηε ηελ

ηηκή ηεο παξάζηαζεο 999

1a .

153) Να βξείηε ζε πόζα κεδεληθά ηειεηώλεη ν

αξηζκόο 2 2

2011 2010 2011 20105 2 5 2 .

154) Να παξαγνληνπνηήζεηε ηηο παξαζηάζεηο:

α. 23 6x x β. 12 6x

γ. 28 4a a δ. 5 x y y x

ε. 2 2a x y a x y ζη. 2

1 1a x x

δ. 3

2 2x x ε. 2

1 1x x

ζ. 2 2 2 24 36 9a x x a η. 3 23 6 18x x x

ηα. 2a a a ηβ. 3 2 1x x x

ηγ. 3 3ax ay x y ηδ. 2 2 4 8ax ax x

ηε. 5 4 3 2 1x x x x x ηζη. 3 2 1x x x

ηδ. 2 3 3 3 3a x y a x y

ηε. 3 3 2 24 27 108x x y y

155) Να παξαγνληνπνηήζεηε ηηο παξαζηάζεηο:

α. 2 29 49x y β. 2 4 216 25a x y

γ. 4 4x δ. 2 23 9x y y

ε. 2 2

2 2 3x y x y ζη. 2 7x

δ. 2 2

3 3 1 27 2x x ε. 2 2

12 3 2 3 1 2a a

ζ. 2

2 21 4a a

156) Να παξαγνληνπνηήζεηε ηηο παξαζηάζεηο:

α. 2

2 2 2 2 24x y w x w β. 2

2 417 1 64a a

157) Να παξαγνληνπνηήζεηε ηηο παξαζηάζεηο:

α. 31 27x β. 6 327 8a x γ. 38 64x

δ. 3

18

x

ε. 340 5x ζη.

3 3

27 125

x y

158) Να παξαγνληνπνηήζεηε ηηο παξαζηάζεηο:

α. 2 2 1x x β. 29 12 4x x

γ. 24 4 1x x δ. 2 24 9 12x y xy

ε. 4 2 24 12 9x x y y ζη. 2 2 4 4a a

159) Να αλαιύζεηε ζε γηλόκελν ηα ηξηώλπκα:

α. 2 3 2x x β. 26 1x x

γ. 24 20 25x x δ. 22 5 7x x

ε. 2 3 2x x ζη. 26 2 8x x

δ. 29 8x x ε. 2 22 6x xy y

160) Να γίλνπλ γηλόκελν νη παξαζηάζεηο:

α. 2 2 22x xy y a β. 2 2 2 1a

γ. 2 22 3x xy y δ. 2 23 4 1 2x x xy y

Page 18: Α΄ Λυκείου Άλγεβρα - Σημειώσεις (2015 - 2016)

οι πραγματικοί αριθμοί κεφάλαιο 2

- 16 -

161) Αθνύ βξείηε πξώηα γηα πνηεο ηηκέο ηνπ x

νξίδνληαη νη παξαθάησ παξαζηάζεηο , ζηελ ζπλέρεηα λα ηηο απινπνηήζεηε:

α. 3

24 4

x x

x

β.

2

2

6 9

8 15

x x

x x

γ. 4 2

2

2 1

1 2

x x

x x

δ.

4 2

3 2

2 1

3 3

x x

x x x

162) Να απινπνηεζνύλ ηα θιάζκαηα:

α. 2

2 1

x x

x

β.

2 2

2 2

2a a

a

γ. 3 2

2 2

3

9

x x y

x y

δ.

3

2

4

4 4

163) Να απινπνηεζνύλ ηα θιάζκαηα:

α. 2

2

25

6 5

x

x x

β.

2

2

3 18

4 12

a a

a a

γ. 3 2 2

2 3

2x ax a x

ax a

δ.

3

4 2

1

1

x

x x

ε. 2 5 10

2

ax x a

ay y

ζη.

3 3

2 2

x y

x xy y

164) Να θάλεηε ηηο πξάμεηο:

α. 2

1 3 3

4 2 2 2 2x x x x

β.

2 2

2x xy y

x y x yx y

γ. 2

2

2 4 4 1

2 1 4

x x x

x x

δ.

2

2

x xy y

x y xy

ε. 2 3

1 2:

2 4

x

x x x x

ζη.

2

4 4:

x y x y

x yx xy

165) Να θάλεηε ηηο πξάμεηο:

α. 2 2 3 3

2 2

x y x y

x y x y

β.

2

2 2 4 4

y x yx

x y x y

γ. 2 2 2

1 1 3

3 2 4 2a a a a a

δ. 2 2 2 2

3 3

1 1:

x y x yx

y y x x y

166) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο :

α. 3 23 2 0x x x β. 4 2 34 4x x x

γ. 2 7x x δ. 23 27 0x

167) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο

α. 2 2

2 1 2x x β. 2 25 2 1 4 1x x x

γ. 2 22 3 1 1 1x x x x

δ. 2 22 4 2 5 4 0x x x

168) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο :

α. 3 2 0x x β. 4 1 0y

γ. 3 22 2 0a a a δ. 3 23 4 12 0z z z

169) Αλ 2 a λα δείμεηε όηη

2

2

aa

.

170) Αλ 1a λα δείμεηε όηη

3 3

2 21 1

aa

a

.

171) α. Να δείμεηε όηη

3 3

2

aa

a a

.

β. Να ππνινγίζεηε ηελ ηηκή ηεο παξάζηαζεο 3 3

2

123 23

146 123 23

.

172) α. Να γίλεη γηλόκελν παξαγόλησλ ε

παξάζηαζε 4 44a .

β. Να δείμεηε όηη

4 4

2 2

2 2

4aa

a

γ. Να ππνινγίζεηε ηελ ηηκή ηεο παξάζηαζεο 4

2

2

2010 42011

2009 1

.

173) Αλ 7 1x a θαη 7 1y κε *,a , λα

απνδείμεηε όηη ε δηαθνξά ησλ ηεηξαγώλσλ ηνπο

είλαη πνιιαπιάζην ηνπ 7 .

174) Να απνδείμεηε όηη ην ηεηξάγσλν θάζε

πεξηηηνύ αξηζκνύ , είλαη πεξηηηόο .

175) Να απνδείμεηε όηη θάζε θπζηθόο πεξηηηόο

αξηζκόο είλαη δηαθνξά ηεηξάγσλσλ δπν δηαδνρηθώλ θπζηθώλ αξηζκώλ .

176) Να απνδείμεηε όηη πξόηαζε p : «αλ

,a , κε 1a , ηόηε 2 2 1 2a » .

177) Να απνδείμεηε όηη ην ηεηξάγσλν ελόο

θπζηθνύ πεξηηηνύ αξηζκνύ , δηαηξνύκελν κε ην 4 , δίλεη ππόινηπν 1 .

178) Να απνδείμεηε όηη ην ηεηξάγσλν ελόο θπζηθνύ πεξηηηνύ αξηζκνύ , δηαηξνύκελν κε ην 4

, δίλεη ππόινηπν 1 .

Page 19: Α΄ Λυκείου Άλγεβρα - Σημειώσεις (2015 - 2016)

οι πραγματικοί αριθμοί κεφάλαιο 2

- 17 -

179) Αλ v είλαη πεξηηηόο , λα δείμεηε όηη ν

αξηζκόο 2 23 7v v είλαη πνιιαπιάζην ηνπ

16 .

180) Να απνδείμεηε όηη πξόηαζε p : «αλ *v

θαη 4 4v πξώηνο , ηόηε 1v » .

181) Αλ έλαο θπζηθόο αξηζκόο v δηαηξνύκελνο κε

ην 5 αθήλεη ππόινηπν 3 , λα απνδείμεηε όηη ν

αξηζκόο 23 3 1v v είλαη πνιιαπιάζην ηνπ 5 .

182) Να απνδείμεηε όηη πξόηαζε p : «αλ ν 2x

είλαη πεξηηηόο , ηόηε ν x είλαη πεξηηηόο» .

183) Να απνδείμεηε όηη αλ ν 2x δελ είλαη

πνιιαπιάζην ηνπ 7 , ηόηε θαη ν x δελ είλαη

πνιιαπιάζην ηνπ 7 .

184) Να απνδείμεηε όηη αλ ν θπζηθόο αξηζκόο 2 4 5v v είλαη πεξηηηόο , ηόηε ν v είλαη

άξηηνο .

185) Να απνδείμεηε όηη γηα θάζε *,a κε

2a

aa

.

186) Να απνδείμεηε όηη γηα θάζε , 2a κε

5 3 5 3

2 2

aa

a

.

187) Να απνδείμεηε όηη γηα θάζε 3a , 3 κε 2 25 5a a a .

188) Να απνδείμεηε όηη γηα θάζε 0a , 0 κε

2 3 2 3

4 4

aa

a

.

189) Να απνδείμεηε όηη γηα θάζε ,a κε

1 2a a .

190) Να απνδείμεηε όηη δελ ππάξρνπλ δπν

δηαδνρηθνί αξηζκνί ζπλόινπ * , πνπ λα είλαη

ηέιεηα ηεηξάγσλα θπζηθώλ αξηζκώλ .

191) Να απνδείμεηε όηη δελ ππάξρεη αξηζκόο a

ηέηνηνο , ώζηε δηαηξνύκελνο κε ην 10 λα αθήλεη ππόινηπν 3 θαη δηαηξνύκελνο κε ην 8 λα αθήλεη

ππόινηπν 4 .

192) Να απνδείμεηε όηη πξόηαζε p : «γηα θάζε

11 1a

a » δελ είλαη πάληα αιεζήο .

193) Να απνδείμεηε όηη πξόηαζε p : «γηα θάζε *v , ηζρύεη 22 3v v » δελ είλαη πάληα αιεζήο.

194) Να απνδείμεηε όηη πξόηαζε p : «γηα θάζε

0x , ηζρύεη 3 2x x » δελ είλαη πάληα αιεζήο .

§3. διάταξη

πραγματικών

αριθμών

195) Να ηνπνζεηήζεηε ζηνλ άμνλα ησλ

πξαγκαηηθώλ αξηζκώλ ηνπο αξηζκνύο:

2

3 ,

6

7 ,

3

4 ,

7

8 .

196) Αλ 2x λα απνδείμεηε όηη :

α. 3 5 1x β. 5 2 1x γ. 2 1 3 10x

197) Αλ 2a , λα δείμεηε όηη :

α. 2 2 0a a β. 2 2 2a a a

198) α. Αλ 0a , λα απνδείμεηε όηη 2 2a .

β. Αλ 0 a , λα απνδείμεηε όηη 2 2a .

199) Αλ a , λα δείμεηε όηη ( 1)a a .

200) Αλ 1x , λα δείμεηε όηη:

α. 2x x β. 3 2 1x x x

γ. 3 2 1x x x δ. 3 2 1x x x

Page 20: Α΄ Λυκείου Άλγεβρα - Σημειώσεις (2015 - 2016)

οι πραγματικοί αριθμοί κεφάλαιο 2

- 18 -

201) Να απνδείμεηε όηη:

α. 2 4 4a a β. 2

4a a

γ. 2 2 2 0a a δ. 22 2 1 0a a

ε. 22 4 3 0a a ζη. 2 2 6 9 0a a

δ. 2 6 10 0a a ε. 2 2 22 2a a

202) Να απνδείμεηε όηη:

α. 22 2 1 0a a β. 2 8 17 0a a

γ. 2 2 8 4a a

203) Να απνδείμεηε όηη

22 2 2 2a x y ax y .

204) Αλ 1x θαη 1y , λα απνδείμεηε όηη

1 0x y xy .

205) Αλ 0x y , λα απνδείμεηε όηη

3 3x y xy x y .

206) α. Αλ a , εηεξόζεκνη λα απνδείμεηε όηη

2a

a

.

β. Αλ a , νκόζεκνη λα απνδείμεηε όηη 2a

a

.

207) Αλ a θαη 0 , λα απνδείμεηε όηη

1 1a

.

208) Γηα θάζε 0a , λα απνδείμεηε όηη :

α. 2

2

1 1a a

aa β. 3 2

3 2

1 1a a

a a

209) Γηα θάζε a , λα απνδείμεηε όηη :

α. 2

21

1

a

a

β.

2

12 54

1

a

a

210) Αλ 1x λα απνδείμεηε όηη :

α. 11

x

x

β.

11

1

x

x

γ.

2 1

1x x

211) Αλ 0a λα απνδείμεηε όηη :

α. 2

2

a

a

β.

2

1 2 1

a a

a

212) Γηα θάζε ,a , λα απνδείμεηε όηη :

α. 2 2

2 2

2

aa a

β.

22 2 3

4a a a

Πόηε ηζρύεη ην = ;

213) Αλ , 0a , λα απνδείμεηε όηη

2 2

1 1a

aa

.

214) Αλ 3a λα απνδείμεηε όηη 2 22 2 9a .

215) Αλ , 0a θαη 2a λα απνδείμεηε όηη :

α. 2 β. 1a γ. 2 2 2a

216) Αλ , 0a κε 1a λα απνδείμεηε όηη :

α. 1

4a β. 2 2 1

2a γ. 4 4 1

8a

217) Αλ 4a , λα απνδείμεηε όηη :

α. 4a β. 2 2 8a

218) Αλ 0a , 0 , 0 , λα απνδείμεηε όηη

ηζρύνπλ νη ηζνδπλακίεο :

α. 1a a a

β. 1

a a a

219) Να βξείηε ηνπο x , y ώζηε λα ηζρύεη :

α. 2 2

3 1 0x y β. 2 2 10 4 29x y x y

γ. 2 22 4 2 0x x δ. 2 22 1 2 2 0x xy x y

220) Αλ 1 3x θαη 4 7y , λα βξείηε κεηαμύ

πνηώλ αξηζκώλ πεξηέρνληαη νη παξαζηάζεηο :

α. 2 3x y β. x y γ. 2 3 1x y

δ. x

y

ε. 2 22 3x y ζη.

3 5

2

x y

x y

221) Αλ 1 2x θαη 2

13

y , λα βξείηε

κεηαμύ πνηώλ αξηζκώλ πεξηέρνληαη νη παξαζηάζεηο :

α. x y β. 3 2 5y x γ. 3 31

9 12

x y

Page 21: Α΄ Λυκείου Άλγεβρα - Σημειώσεις (2015 - 2016)

οι πραγματικοί αριθμοί κεφάλαιο 2

- 19 -

222) Αλ 2 3x θαη 5

12

y , λα βξείηε κεηαμύ

πνηώλ αξηζκώλ πεξηέρνληαη νη παξαζηάζεηο : α. x y β. 2 3x y γ. 2 4 5x y

δ. 2 2x y ε. 23 2 4x y xy ζη.

2 2

3 2

x y

x y

223) Να ζπκπιεξώζεηε ηα θελά ώζηε λα ηζρύνπλ

νη ηζνδπλακίεο ζηηο παξαθάησ πξνηάζεηο :

α. 1

22

x x ………………………

β. 1,3 1......... ...........3x x

γ. 0x x ……………………

δ. 3x x ……………………

224) Αλ 1, 4x , λα βξείηε ηα όξηα κεηαμύ ησλ

νπνίσλ πεξηέρεηαη ε ηηκή θάζε κηαο από ηηο

παξαθάησ παξαζηάζεηο : α. 4x β. 3 10x γ. 1 4x

225) Αλ 2 ,1x θαη 2 , 4y , λα βξείηε ηα

όξηα κεηαμύ ησλ νπνίσλ πεξηέρεηαη ε ηηκή θάζε κηαο από ηηο παξαθάησ παξαζηάζεηο:

α. 12

x

β. 2x y

γ. x y δ. 2x y

226) Αλ 2 , 1x θαη 1, 2y , λα απνδείμεηε

όηη ε παξάζηαζε 2 3 1x y παίξλεη κόλν κε

αξλεηηθέο ηηκέο .

227) Αλ 1, 3x , λα ζπγθξίλεηε ηνπο αξηζκνύο

3x θαη 23 3x x .

228) Αλ 3x θαη 2 4 4x x , λα ζπγθξίλεηε

ηνπο αξηζκνύο Α θαη Β όηαλ :

α. 2 ,1x β. , 2 1, 2x

229) Αλ 1

x

x

θαη

1

2

x

x

, λα ζπγθξίλεηε

ηνπο αξηζκνύο Α θαη Β όηαλ :

α. 1, 2x β. ,1 2 ,x

230) Αλ 0 ,x y κε 0y , λα ζπγθξίλεηε ηνπο

αξηζκνύο 1

2

y

y

θαη

1

2

x

x

.

231) Να απνδείμεηε όηη :

α. 2 1 0x x , γηα θάζε x .

β. Η παξάζηαζε 2( )f x x x είλαη αξλεηηθή , γηα θάζε

0 ,1x .

§4. διάταξη

πραγματικών

αριθμών

232) Να γξάςεηε ρσξίο ην ζύκβνιν ηεο απόιπηεο

ηηκήο ηηο παξαζηάζεηο :

α. 1

2 , 3 , 3 , | 2 | 1

β. 4 , 2 1 , 3 3

γ. 1 2 , 2 2

δ. 4 2x , 2 2 1x x , 200 1x

ε. 2a , 2 2010a , | | 1a

ζη. 22 1x x , 2

2

12x

x

233) Δάλ 2x λα απινπνηήζεηε ηηο παξαζηάζεηο:

α. ( ) 2f x x β. ( ) 3 2f x x

γ. ( ) 2 2f x x δ. ( ) 2f x x x

234) Δάλ 3x λα απινπνηήζεηε ηηο παξαζηάζεηο:

α. 3 9x x β. 1 2x x

γ. 2 27 8x x δ. 2 22x x x x

ε. 2 21 2x x ζη. 21 2x x x

235) Δάλ 2 1a λα απινπνηήζεηε ηηο

παξαζηάζεηο:

α. | 2 | | 1|a a β. | 3 | | 2 |a a

236) Να γξάςεηε ηηο παξαθάησ παξαζηάζεηο ρσξίο

ην ζύκβνιν ηεο απόιπηεο ηηκήο .

α. ( ) 1 2f x x x ,

όηαλ 1 2x

β. ( ) 2 3 3f x x x ,

όηαλ 3 1x

γ. ( ) 2 2 4f x x x ,

όηαλ 2 4x

δ. 2( ) 9 5f x x x

,όηαλ 3 5x

Page 22: Α΄ Λυκείου Άλγεβρα - Σημειώσεις (2015 - 2016)

οι πραγματικοί αριθμοί κεφάλαιο 2

- 20 -

237) Δάλ 2x y λα απινπνηήζεηε ηηο

παξαζηάζεηο:

α. 2 2x y x y

β. 23 4x y y x

γ. 24 2x y y x

238) Δάλ 2 8x λα βξείηε κεηαμύ πνησλ

αξηζκώλ πεξηέρεηαη ε ηηκή ηεο παξάζηαζεο

5 | 1| 3 | 9 | 4 | 2 | 5 | 10 |x x x x .

239) Δάλ 3 1x , λα απνδείμεηε όηη νη ηηκέο

ησλ παξαθάησ παξαζηάζεσλ είλαη αλεμάξηεηεο ηεο κεηαβιεηήο x .

α. | | | | | | | |x y x y x y

β. 2 2 2 2x y xy x xy y

γ. 2 2

2 2 2 y xx y x

x y

240) Δάλ 0x y , λα απινπνηήζεηε ηηο

παξαθάησ παξαζηάζεηο:

α. ( ) 3 4 3 1f x x x x

β. ( ) 2 1 3 1f x x x x

γ. 2 2( ) 9 1f x x x

241) Δάλ 2 , 3x , λα απνδείμεηε όηη ε

( ) 3 2 2f x x x x δηαηεξεί ζηαζεξή ηηκή .

242) Να απινπνηεζνύλ νη παξαζηάζεηο :

| 1| 2 | 2 1|x x | 3 1| 2 3B x x

| | |1 | 3C x x 3 | 2 1| 4 | 1|D x x

3 | 1| 2 | 1| 2E x x

2 |1 2 | 3 | | 2 | 3 6 | 4 2F x x x x

3 | 2 1| 3 | | |1 |G x x x

| 5 | | 6 | | 7 |H x x x

243) Να γξάςεηε ηηο παξαθάησ παξαζηάζεηο ρσξίο ην ζύκβνιν ηεο απόιπηεο ηηκήο .

α. ( ) | 1|f x x β. ( ) | 2 |f x x x

γ. ( ) | 4 | | 2 |f x x x δ. ( ) | | | 1| 1f x x x

ε. ( ) 3 | 1| | 2 |f x x x

ζη. ( ) | 2 | | 4 |f x x x x

244) Αλ 2x θαη 1y , λα απνδείμεηε όηη:

α. 3x y β. 3 7x y

γ. 2 3 1 8x y δ. 2 22 9x y x y

245) Αλ *,x y , λα βξείηε ηηο ηηκέο πνπ κπνξεί

λα πάξεη ε παξάζηαζε yx xy

x y xy .

246) Γηα θάζε *x , λα απνδείμεηε όηη ε

παξάζηαζε xx

x x έρεη ζηαζεξή ηηκή .

247) Γίλεηαη ε παξάζηαζε

( ) | 1| 2 | 2 |f x x x x .

α. Να γξάςεηε ηελ παξάζηαζε απηή ρσξίο ην ζύκβνιν ηεο απόιπηεο ηηκήο .

β. Να βξείηε γηα πνηεο ηηκέο ηνπ x , νη ηηκέο ηεο

( )f x είλαη αλεμάξηεηεο ηνπ x .

248) Να παξαγνληνπνηεζνύλ νη παξαζηάζεηο :

α. 2x xy β. 2 22 2x x y y

249) Αθνύ πξώηα βξείηε ην ζύλνιν ζην νπνίν

νξίδνληαη , ζηελ ζπλέρεηα λα απινπνηήζεηε ηηο παξαζηάζεηο :

α. 2

( )1

x xf x

x

β.

2 4 4( )

2

x xf x

x

γ. 3 9

( )3

x xf x

x

δ.

3

2

1( )

1

xf x

x x

250) Γίλεηαη ε παξάζηαζε 2

2 2

2 | | | | 2( )

4 4 | | 4

x x xf x

x x x

.

α. Να βξείηε γηα πνηεο ηηκέο ηνπ x νξίδεηαη ε ( )f x .

β. Να απινπνηήζεηε ηελ ( )f x .

γ. Να βξείηε γηα πνηεο ηηκέο ηνπ x , ε ( )f x είλαη

αξλεηηθή .

251) Να απνδείμεηε ηηο ηζόηεηεο :

α. 2 2| 2 3 | | 2 3 |x y y x β.

| |

| |

a a

a a

252) Αλ x θαη 2 9 3 2x x , λα απνδείμεηε

όηη 3x .

Page 23: Α΄ Λυκείου Άλγεβρα - Σημειώσεις (2015 - 2016)

οι πραγματικοί αριθμοί κεφάλαιο 2

- 21 -

253) Αλ 1x , λα απνδείμεηε όηη ηζρύεη ε

ηζνδπλακία 16

4 41

aa

a

.

254) Γηα θάζε x , λα απνδείμεηε ηελ

ηζνδπλακία 0x x x x x .

255) Να δείμεηε όηη:

α. 2 2| | | |x xy x xy β. | | | | | |xy xy x y x y

γ. x y y x xy xy

256) Γηα θάζε a , λα απνδείμεηε όηη2

2 12

1

a

a

257) Αλ *,x y κε 2 225x y , λα απνδείμεηε όηη

25

4

x y

y x .

258) Αλ ,x y κε 1x θαη 2y , λα

απνδείμεηε όηη 1 2

3 4 71 2

x y

x y

.

259) Γηα θάζε *, ,x y z , λα απνδείμεηε όηη

z x yx y z

x y z .

260) α. Γηα θάζε ,x y , λα απνδείμεηε ό

2 2 22x y x y .

β. Αλ ,x y κε 2 2 1x y , λα απνδείμεηε όηη

2x y .

261) Γηα θάζε *,x y , λα απνδείμεηε ηελ

ηζνδπλακία | | | |

2 2x y y x

xyxy

.

262) Γηα θάζε *,x y , λα απνδείμεηε ηελ

ηζνδπλακία | | | | 0 | | | |x y y x x y x y .

263) Γηα θάζε ,x y , λα απνδείμεηε όηη ηζρύνπλ

νη ηζνδπλακίεο: α. | | | | | | 0x y x y xy

β. | | | | | | 0x y x y xy

γ. | | | | | | 0x y x y xy

δ. | | | | 0 | | | |x y y x x y x y

264) Γηα θάζε x , κε 4x , λα απνδείμεηε όηη

16 4 1x x .

265) Αλ *, ,a x θαη 0a , λα απνδείμεηε

όηη

2axx x

x

.

266) Να βξείηε ηελ κέγηζηε ή ηελ ειάρηζηε ηηκή

ησλ παξαζηάζεσλ:

α. ( ) 2f x x β. ( ) 3 5f x x

γ. ( ) 3f x x δ. ( ) 9 3 1f x x

267) Γίλεηαη ε παξάζηαζε

, | 2 | | 1| | 3 | | 1|f x y x x y y . Αλ

2 1x θαη 1 3y , ηόηε :

α. Να απινπνηήζεηε ηελ παξάζηαζε .

β. Να βξείηε ηελ κέγηζηε θαη ηελ ειάρηζηε ηηκή ηεο .

268) Να βξείηε ηελ απόζηαζε ,d a ζε θαζεκία

από ηηο παξαθάησ πεξηπηώζεηο: α. 6a , 2 β. 4a , 1

γ. 2a , 5 δ. 0a , 3

ε. 5a , 0 ζη. a , ,

269) Να απνδείμεηε όηη:

α. 1 1x y x y β. 2 2 2 1x y x y

γ. , , 2 , 2d x y d x d y

270) Αλ ε απόζηαζε ηνπ x από ην – 2 είλαη

κηθξόηεξε από 4 , λα βξείηε ην δηάζηεκα ζην νπνίν κεηαβάιιεηαη ν x .

271) Γίλεηαη ηζνζθειέο ηξίγσλν ΑΒΓ κε

x θαη y . Αλ 5 0,2x θαη

3 0,1y , λα ππνινγίζεηε ηα όξηα ηεο

πεξηκέηξνπ ηνπ .

272) Να απνδείμεηε ηελ ηζνδπλακία

1, 2 2 , 0 , 1d x d x d x .

273) Γηα θάζε , ,a , λα απνδείμεηε όηη

, , ,d a d a d .

Page 24: Α΄ Λυκείου Άλγεβρα - Σημειώσεις (2015 - 2016)

οι πραγματικοί αριθμοί κεφάλαιο 2

- 22 -

274) Αλ , ,a , λα απνδείμεηε ηελ

ηζνδπλακία

, , ,d a d d a a .

275) Αλ 0a , λα απνδείμεηε όηη

2 2 3 31, , , 1 ,d a d a a d a a d a .

276) Να γξάςεηε κε αλαγξαθή ησλ ζηνηρείσλ

ηνπο ηα ζύλνια :

/ 1 2x x / 1 3x x

277) Γίλνληαη ηα ζύλνια / 2 2x x θαη

/ 1 5x x . Να γξάςεηε κε αλαγξαθή

ησλ ζηνηρείσλ ηνπο ην ζύλνιν .

278) Γίλνληαη ηα ζύλνια / 3 7x x θαη

/ 2 1x x . Να γξάςεηε κε κνξθή

δηαζηήκαηνο ηα ζύλνια :

α. β.

279) Να απνδείμεηε όηη ηα ζύλνια

/ 1 1x x θαη / 1 3x x

είλαη μέλα κεηαμύ ηνπο .

280) Να βξείηε ηηο ηηκέο ηνπ a , ώζηε νη

αξηζκνί 2 , 3 , 1a , λα είλαη ζηνηρεία ελόο

ζπλόινπ .

281) Να απνδείμεηε όηη ππάξρνπλ δπν κόλν ηηκέο

ηνπ a , γηα ηηο νπνίεο νη αξηζκνί – 1 , 1a

, 2 δελ κπνξνύλ λα απνηεινύλ ζηνηρεία ηνπ ίδηνπ ζπλόινπ .

282) Γίλνληαη νη πξνηάζεηο p : « 1a ,

,a » θαη q : « 1a θαη 1 ,

,a » . Να απνδείμεηε ηελ ζπλεπαγσγή

p q .

283) Γίλνληαη νη πξνηάζεηο p : « 1a ,

,a » θαη q : « 1a θαη 1 ,

,a » . Να απνδείμεηε ηελ ζπλεπαγσγή

p q .

284) Γίλνληαη νη πξνηάζεηο p :

« 2 3 3 2a a , ,a » θαη q :

« a , ,a » . Να απνδείμεηε ηελ

ηζνδπλακία p q .

285) Γίλνληαη νη πξνηάζεηο p : « a a ,

*,a » θαη q : «a a

, *,a » . Να

απνδείμεηε ηελ ηζνδπλακία p q .

286) Να ζπκπιεξώζεηε ηνλ παξαθάησ πίλαθα :

Απόλυηε

Τημή

Απόζηαζε Δηάζηεμα

ή Ένωζε

Δηαζηεμάηων

1 2x

1 3x

, 0 5d x

1, 5

3 1x

, 4 4 ,

§5. ρίζες

πραγματικών

αριθμών

287) Γηα πνηεο ηηκέο ηνπ x νξίδνληαη νη

παξαζηάζεηο:

α. 1x β. 21 3 1x x

γ. 2 4 4x x δ. 1x x

ε. 2 (2 )x x ζη. | 1| 2x

δ. | | 2x ε. 3 | |x

288) Να γξάςεηε ηηο παξαθάησ παξαζηάζεηο ρσξίο ηηο ξίδεο .

α. 2

10 β. 2

3 γ. 2

1x

δ. 2

9

a

ε. 2x ζη. 2

2 1x

Page 25: Α΄ Λυκείου Άλγεβρα - Σημειώσεις (2015 - 2016)

οι πραγματικοί αριθμοί κεφάλαιο 2

- 23 -

289) Να απινπνηεζνύλ νη παξαζηάζεηο : 5 38x y 518x

2( 1)( 1)x x

, 1x 2a

a

22 ( 1)

1

xx

x x

2

| |

x x

x x

290) Να απινπνηεζνύλ νη παξαζηάζεηο:

2 2

2 2 2 2A

4 22 1B x x

4 2 2 4C x y x y

2 49 16D a b

2 2

1 2 3 1 2 3E

2 2F x y x y

291) Αλ 0x , 0y λα βάιεηε κέζα ζην ξηδηθό

ηνπο παξάγνληεο πνπ είλαη έμσ :

α. 2 3 β. x yx γ. x y x y δ. 22 3x x

292) Να απνδείμεηε όηη :

α. 2 2

1 3 2 3 1

β. 2 1 2 1 3a a a a , 2a

γ. 2 2 2 3 12 2

δ. 2 2

2 1 2 1 6

293) Να δείμεηε όηη:

α. 8 3 2 6 2 4

β. 6 3

3 6 3 6 012

294) Αλ 3x , λα απνδείμεηε όηη

2 26 9 6 9 6x x x x .

295) Να βξεζεί ε ηηκή ησλ παξαθάησ

παξαζηάζεσλ : 2 22 3 5A a a , όπνπ 3 2a θαη

3 2

2 22 2 2B a a , όπνπ 5 2a θαη

5 2

3 3 2 22 3C x y x y xy , όπνπ 1 2x θαη

1 2y

296) Να ππνινγηζηνύλ νη παξαζηάζεηο:

α. 21 13 7 4

β. 41 29 19 9

γ. 21 13 7 4

297) Αλ 13 7 3 1x θαη

4 16 36 16 34 4y , λα

ππνινγίζεηε ηελ ηηκή ηεο παξάζηαζεο 2

5

xy x

y x

.

298) Να απνδείμεηε όηη:

α. 6 3 3 3 3 6

β. 3 5 3 6 5 3 6 5 2

γ. 2 2 5 2 5 2 5 2 1

δ. 2 2 3 2 3 2 2 3 1

299) Να απινπνηεζνύλ νη παξαζηάζεηο :

α. 3 2 2 β. 8 2 15

γ. 5 24 5 24 δ. 4 15 4 15

300) Να βξείηε ηα αζξνίζκαηα:

α. 3 8 5 18 2 72 5 50

β. 13 8 5 32 128 7 18

γ. 3 4 3

5 12 8 27 104 3 16

δ. 1 5 3

27 48 1082 3 9

301) Να απινπνηεζνύλ νη παξαζηάζεηο :

α.20 2 8 3 12

45 2 18 3 27

β.

8 12 50 75

18 27 32 48

302) Να κεηαηξέςεηε ηηο παξαθάησ παξαζηάζεηο

ζε ηζνδύλακεο κε ξεηό παξνλνκαζηή (ξεηνπνίεζε) :

α.2

3 β.

3

2 γ.

a

a

δ. 2 2

5 2 2

ε.

3

2 1 ζη.

4

3 2

δ. 3

5 7

ε.

2 3

3 2 1

ζ.

4 6

3 2 2 1

Page 26: Α΄ Λυκείου Άλγεβρα - Σημειώσεις (2015 - 2016)

οι πραγματικοί αριθμοί κεφάλαιο 2

- 24 -

303) Να απνδείμεηε όηη 2 7 9

57 2 7 2

.

304) Αλ 0a , 0 θαη a , λα απνδείμεηε

όηη 2

2a

aa a

.

305) Να απνδείμεηε όηη νη αξηζκνί Α , Β , Γ είλαη

ξεηνί:

5 7

7 5 7 5

2 2

3 3

2 3 2 3

1 1

5 2 6 5 2 6

306) Αλ , 0 ,x y θαη x y , λα

κεηαηξέςεηε ηηο παξαθάησ παξαζηάζεηο ζε ηζνδύλακεο κε ξεηό παξνλνκαζηή :

α.2

x y

x y xy

β.

2

x y

x y xy

307) Αλ 2 2

2 2 2 2 θαη

2 2

1 1

2 5 2 5

, λα απνδείμεηε όηη

.

308) Έζησ 5 2 6 5 2 6a .

α. Να δείμεηε όηη 0a .

β. Να βξείηε ην 2a .

γ. Να βξείηε ην a .

309) Να απνδείμεηε όηη :

α. 5 2 6 3 2 θαη 5 2 6 3 2 .

β. 5 2 6 5 2 6 2

35 2 6 5 2 6

.

310) Να ζπγθξηζνύλ νη αξηζκνί:

α. 8 θαη 5 3 β. 6 7 θαη 13

γ. 3 2 θαη 2 7 δ. 2 3 θαη 2 1

311) Να απνδεηρζεί όηη:

α. 1 2 3 2 2 5 β. 5 8 6 7

γ. 2 6 8 7 δ. 6 2 5 1 3

ε. 2 5 2 2 6 ζη. 5 2 3 1 3

312) Να δείμεηε όηη ν 3 2 1 είλαη ε ηεηξαγσληθή

ξίδα ηνπ 19 6 2 .

313) Να απνδείμεηε όηη:

α. 2 2 2 2 β. 2 2 2 2

γ. 2 3 2

314) Γίλεηαη ε παξάζηαζε 3 5 3 5 .

α. Να απνδείμεηε όηη 3 5 0 θαη 0 .

β. Να ππνινγίζεηε ηελ ηηκή ηεο παξάζηαζεο Α .

315) Να βξείηε γηα πνηεο ηηκέο ηνπ x ηζρύεη ε

ηζόηεηα 2 1 2 1x x x x .

316) Γηα θάζε x , λα απνδείμεηε όηη :

α. 2 1 0x x β. 2 1 0x x

317) Αλ 2 2 1a , λα απνδεηρζεί όηη

4 2 2 44 4 3a a .

318) α. Γηα θάζε , 0 ,x y , λα απνδείμεηε

όηη 2x y

xy

.

β. Γηα θάζε x , λα απνδείμεηε όηη 2

2

22

1

x

x

.

319) Αλ 1a , λα απνδείμεηε όηη 21

a

a

.

320) Αλ , 0 ,x y , λα απνδείμεηε όηη

x y x y .

321) Γηα θάζε , 0 ,x y , λα απνδείμεηε όηη :

α. 1 1 2

x y xy β.

1

1 1 2

x yxy

x y

322) Γίλεηαη ε παξάζηαζε ( ) 2 1f x x κε

2 , 7x .

α. Να βξείηε ην δηάζηεκα ζην νπνίν παίξλεη ηηκέο ε

( )f x .

β. Να βξείηε ηελ κέγηζηε θαη ηελ ειάρηζηε ηηκή ηεο ( )f x θαζώο θαη ηηο ηηκέο ηνπ x πνπ ηηο παξνπζηάδεη.

Page 27: Α΄ Λυκείου Άλγεβρα - Σημειώσεις (2015 - 2016)

οι πραγματικοί αριθμοί κεφάλαιο 2

- 25 -

323) Να γξάςεηε ηηο παξαθάησ παξαζηάζεηο κε

ηελ βνήζεηα κηαο ξίδαο:

α. 4 3

5 2

7

7 β.

4 33

6 5

a a a

a

γ. 2 23 32 3

9 43 2

y xx y

x y

324) Να απινπνηεζνύλ νη παξαζηάζεηο:

α. 3 6 123 x y z β. 4 84 81a

γ. 3 43 4 δ. 3

2 9 1

3 2 4

325) Να ππνινγίζεηε ηα γηλόκελα :

α. 3 51

2 36

β. 5 102 4a a γ. 3 62 4 32

326) Να ππνινγίζεηε ηα πειίθα :

α. 12 5 42 : 2 β. 9 68 55 : 5 γ. 15 1010 33 : 3

327) Να απνδείμεηε όηη :

α. 5 54 8 2 β. 3 4 464 2 γ. 3 63 9 243 9

328) Να απνδείμεηε όηη:

α. 3 4 122 3 567 7 7 7 7 49 7

β. 43 134 43 2 2 2 2 6 2 5 4 4

γ.

3 3 33 3

3 33 3 3

7 2 49 14 43

5 2 25 10 4

δ. 3 63 5 1 5 7 3 5 2

329) Να ππνινγηζηνύλ νη παξαζηάζεηο:

α. 3 35 54 12 5 3 16 β. 32 1 3 2

γ. 6 33 3 34 5 8 4 27x y x y y

δ. 8 6 43 50 256 2916 2 324

330) Αλ , 0a , λα απνδείμεηε όηη

2 3

3 4 24 1a

a a a

.

331) Να απινπνηεζεί ε παξάζηαζε 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 22 1 2 1 7 6 7 6

.

332) Αλ , 0x y , λα απνδείμεηε όηη:

α. 1 1 2 1 1 2

3 3 3 3 3 3x y x x y y x y

β. 1 1 2 1 1 2

3 3 3 3 3 3x y x x y y x y

333) Να βξείηε ηελ ηηκή ησλ παξαθάησ παξαζηάζεσλ:

α. 3 3 2 22 3 5x y x y xy , όπνπ 31 2x θαη

31 2y

β. 2 2x y , όπνπ 43 3 2x θαη 43 3 2x

γ. 3 3x y , όπνπ 3 2x θαη 3 2y

334) Αλ 2

2x θαη

3

1

2y , λα ππνινγίζεηε ηελ

ηηκή ηεο παξάζηαζεο 3

2 1 32 13 2 2x y xy x

335) Να ζπγθξίλεηε ηνπο αξηζκνύο:

α. 3 3 θαη 2 β. 3 10 θαη 5

γ. 34 5 θαη 1 5 2 δ. 32 2 θαη 1 2

ε. 35

6 θαη 4

3

4 ζη. 4

2

3 θαη 6

3

5

δ. 4

5 θαη 3

2

3 ε. 3

3

2 θαη

2

3

ζ. 3 14 θαη 6

336) α. Να ζπγθξίλεηε ηνπο αξηζκνύο 9 3 θαη

11 2 .

β. Να απνδείμεηε όηη 3 9 3 11 2 3 2 .

337) Να κεηαηξέςεηε ηα παξαθάησ θιάζκαηα ζε

ηζνδύλακα κε ξεηό παξνλνκαζηή :

α. 3

1

2 β.

2

3

x

x γ.

3 1

x

x

338) Γηα θάζε , 0x y , λα απνδείμεηε όηη

3 3 32 4x y x y x y x y .

Page 28: Α΄ Λυκείου Άλγεβρα - Σημειώσεις (2015 - 2016)

- 26 -

2015-2016

εξισώσεις

Ασκήσεις

Παγώνης Θεόδωρος

Μαθηματικός

Page 29: Α΄ Λυκείου Άλγεβρα - Σημειώσεις (2015 - 2016)

εξισώσεις κεφάλαιο 3

- 27 -

§1. η εξίςωςη αx+β=0

1) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο :

α. 1 4x β. 7 6x γ. 6 4 x

δ. 2 1 4x ε. 1 3 7x ζη. 9 4 9x

2) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο:

α. 2 4 5 5 4x x β. 5 2 3 4y y

γ. 3 1 1 6 1t t t δ. 4 3 1 3 1x x

ε. 2 2 1 3 5 1 4x x ζη. 9 1 10x x x

3) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο:

α. 2 11 1 2

3 2 4

x x β.

3 12 1

3 4

xxx

γ. 3 5 1

5 10 10

y y δ.

3 5 13 1

3 6 2

t t t

ε. 1 7

1 32 5

x x ζη.

1 1 3

3 4

a a

4) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο:

α. 9 8 10 9 4 1 1 8x x x x

β. 5 3 10 2 5 10 15 10x x x x

γ. 4 4 3 1

23 5 15

x x x

δ. 7 4 3 5

5 2

y yy

ε. 1 23 4

77 5 4

u u u

ζη. 3 1 2 1 5 1 5

12 104 3 4 6

v v v v

5) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο:

α. 5 1 2 1 3

16 4 3 4

x x x x

β. 3 2 8

4 23 6 3

x xx

γ. 3 13 1 15

02 4 2

xx x

δ. 2 2 3 2 3 21

3 1 5 23 2 3 2

x x xxx

6) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο:

α. 21 1

5 4 1 2 3 02 2

x x x x x

β. 2

21 1 1 52

3 4 2 3

ww x

7) Να απνδείμεηε όηη νη εμηζώζεηο

3 1 2 1

4 8 2

x x x θαη

2 3 3 1 2 12

3 6 2

x x x

είλαη ηζνδύλακεο .

8) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο :

α. 2 10 0x x β. 2 4 0x γ. 3 1 0x

δ. 3 2 0x x ε. 3

3 0x x ζη. 4 1 0x

δ. 1 4 0x x ε. 21 9 0x x

ζ. 22 22 4 0x x

9) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο :

α. 2 1 2 1 1x x x x x β. 2 3 24 2 0x x x x

γ. 2 23 3 9 0x x x δ.

2 21 2 1x x x x

10) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο:

α. 3 22 4 8 0x x x β. 6 32 1 0x x

γ. 2 2

2 23 2 9 2 9x x x x δ. 2 2

1 1 0x x

ε. 2 2

2 2 4 0x x ζη. 22 3 1 0x x

11) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο:

α. 1

23

x

x

β.

2 1

1 2

x x

x x

γ. 2

12

xx

x

δ.

2

1

2 2

x

x x x

ε. 2

1

11

x

xx

ζη.

2

5 30

525

x

xx

12) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο:

α. 1 6

21 2

x x

x x

β.

2

3 2 1 6

( 1) 2 3 2

x

x x x x x

γ. 2 3

22 3

x x

x x

δ.

2

1 4 2

1 32 3

x x

x xx x

ε. 3 1 5 3

3 3 1

x x

x x

ζη.

2

1 2

24 4 xx x

Page 30: Α΄ Λυκείου Άλγεβρα - Σημειώσεις (2015 - 2016)

εξισώσεις κεφάλαιο 3

- 28 -

13) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο:

α. 1 2 5 6

02 3 6 7

x x x x

x x x x

β. 1 1 1 1

08 6 6 8x x x x

γ. 8 1 9

2 6 1 7

x x x x

x x x x

δ. 15 5 6 4

016 4 7 5

x x x x

x x x x

14) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο :

α.

1 1

31 1 01 14

11

a a

a aa a

a

β.

1 1 22

3 31 1

3 3

y y

y y

§2. παραμετρικέσ εξιςώςεισ

15) Γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηεο παξακέηξνπ ,

λα ιύζεηε ηηο εμηζώζεηο :

α. 3 3x β. 1 x

γ. 2 2 2x δ. 21 1x

ε. 21 1x ζη. 8 2 1 10x x

16) Γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηεο παξακέηξνπ ,

λα ιύζεηε ηηο εμηζώζεηο :

α. 2 23 9x x

β. 2 33 2 2x x

γ.

2 2 3 1x x

δ. 2 1 5 4 4 1x x

ε. 21 4 5

5 15 3

x x

ζη. 22 4 2 1 4 1x x

17) Γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ησλ παξακέηξσλ ,a , λα ιύζεηε ηηο εμηζώζεηο :

α. ax a x β. 2 2a x a x

γ. 1 2 3a x x δ. 1 6 5 1a ax x ax

18) Να Δίλεηαη ε παξακεηξηθή εμίζσζε

22 3 1x x . Να πξνζδηνξίζεηε ηελ

ηηκή ηνπ , ώζηε ε εμίζσζε απηή λα έρεη

κνλαδηθή ξίδα ην 1 .

19) Δίλεηαη ε εμίζσζε 2

2 3 1x x .

Να εμεηάζεηε αλ ππάξρεη ηηκή ηνπ , ώζηε

ε εμίζσζε λα έρεη : α. κνλαδηθή ξίδα ην κεδέλ,

β. ξίδα ην κεδέλ.

20) Δίλεηαη ε εμίζσζε 2 16 4x x . Να

πξνζδηνξίζεηε ην , ώζηε ε εμίζσζε λα

έρεη ηνπιάρηζηνλ δπν ξίδεο δηαθνξεηηθέο κεηαμύ ηνπο .

21) Να βξείηε ηηο ηηκέο ηνπ , ώζηε ε

εμίζσζε 2 4 1 0x λα είλαη αδύλαηε.

22) Αλ ε εμίζσζε 2 24 2x είλαη

ηαπηόηεηα , λα βξείηε ην .

23) Αλ ε εμίζσζε 2 23 9x είλαη

αδύλαηε , λα δείμεηε όηη ε εμίζσζε

1 5x έρεη κνλαδηθή ιύζε .

24) Αλ ε εμίζσζε

2 1 3 4 4 4x x x είλαη αδύλαηε

, λα δείμεηε όηη ε εμίζσζε 2 1 3 3x x

είλαη ηαπηόηεηα.

25) Αλ ε εμίζσζε 2 39 27x είλαη

ηαπηόηεηα , λα βξείηε ην ώζηε ε εμίζσζε

2 24 x λα είλαη αδύλαηε.

26) Να βξεζεί ε ηηκή ηνπ αξηζκνύ a ώζηε ε 3 23 3 0y y ay a λα έρεη ξίδα ηνλ αξηζκό 2.

Μεηά λα βξείηε όιεο ηηο ξίδεο ηεο εμίζσζεο.

27) Δίλεηαη ε εμίζσζε :

4 3 22 5 2 2 0x a x x a x .

α. Γηα πνηα ηηκή ηνπ a ε εμίζσζε έρεη ξίδα ην –1 ;

β. Να ιύζεηε ηελ εμίζσζε γηα ηελ παξαπάλσ ηηκή ηνπ a .

Page 31: Α΄ Λυκείου Άλγεβρα - Σημειώσεις (2015 - 2016)

εξισώσεις κεφάλαιο 3

- 29 -

28) Δίλεηαη ε εμίζσζε : 3 3 2 0x x (1)

α. Να βξείηε ηελ εμίζσζε πνπ πξνθύπηεη αλ ζηελ ( 1 ) ζέζνπκε όπνπ x ην 1y θαη λα ηελ ιύζεηε .

β. Με ηελ βνήζεηα ηεο λέαο εμίζσζεο , λα ιύζεηε θαη

ηελ (1).

29) Να εμεηαζζεί γηα πνηεο ηηκέο ησλ a θαη ε

εμίζσζε 33 2

ax xx a

,

α. έρεη κία ιύζε , β. είλαη ηαπηόηεηα (δειαδή έρεη άπεηξεο ιύζεηο) ,

γ. είλαη αδύλαηε (δελ έρεη ιύζεηο) .

30) Να εμεηαζζεί γηα πνηεο ηηκέο ησλ a θαη ε

εμίζσζε 2 2

2 2x a x x x a ,

α. έρεη κία ιύζε ,

β. είλαη ηαπηόηεηα (δειαδή έρεη άπεηξεο ιύζεηο) ,

γ. είλαη αδύλαηε (δελ έρεη ιύζεηο) .

31) Αλ ε εμίζσζε 4 0a x a έρεη

ηνπιάρηζηνλ δπν ιύζεηο , λα βξείηε ηηο ηηκέο ησλ ,a .

32) Γηα πνηεο ηηκέο ησλ παξακέηξσλ θαη ε

εμίζσζε 5 5 3 3

8 44 4

y yy

αιεζεύεη

γηα θάζε πξαγκαηηθό αξηζκό y ;

33) Υπάξρνπλ ηηκέο ησλ θαη ώζηε ε εμίζσζε

1 1 1x x x x x λα

είλαη αδύλαηε ; Πόηε έρεη κηα ιύζε θαη πνηα είλαη

απηή ;

34) Αλ ε εμίζσζε 2 2 2 1x είλαη

αόξηζηε , λα δείμεηε όηη ε εμίζσζε

2012 20091 x είλαη αδύλαηε .

35) Αλ ε εμίζσζε 2 0x y x y κε

άγλσζην ην έρεη πεξηζζόηεξεο από κηα ιύζεηο

λα βξείηε x , y .

36) Δίλνληαη νη εμηζώζεηο :

3 3 32 3 3x x x (1)

2 20114 2x (2)

2x x (3)

Αλ είλαη ε κηθξόηεξε ξίδα ηεο (1) θαη ε (2) είλαη

αδύλαηε , ηόηε λα δείμεηε όηη ε (3) είλαη αόξηζηε .

37) Δίλνληαη νη εμηζώζεηο :

3 3 32 5 5x x x (1)

2 20109 3x (2)

3 3x x (3)

Αλ είλαη ε κηθξόηεξε ξίδα ηεο (1) θαη ε (2) είλαη

αδύλαηε , ηόηε λα δείμεηε όηη ε (3) είλαη αόξηζηε.

38) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο :

α.1 1

2x x

x x

β. 2 2

2 2

x x

x x x

§3. επίλυςη τύπων

39) Να ιπζνύλ νη παξαθάησ ηύπνη σο πξνο ηελ κεηαβιεηή πνπ δεηείηαη :

α. 0v v at , σο πξνο

t κε 0a

β. 1 1va a v , σο

πξνο

γ. 1 2

1 1 1

R R R , σο

πξνο R κε 1 2 0RR R

δ. 2 R

, σο πξνο R

ε. 0

0

at t

, σο πξνο

ζη. 1

2

v

v

a aS v

, σο πξνο

1a

δ. 2 1 1

a , σο πξνο

κε 0a

ε. 1 1 2 2

1 21 1

PV PV

a a

, σο

πξνο 1P

40) Αλ 2

0

1

2S v t at θαη

0v v at λα δείμεηε όηη

0

2

v vS t

.

Page 32: Α΄ Λυκείου Άλγεβρα - Σημειώσεις (2015 - 2016)

εξισώσεις κεφάλαιο 3

- 30 -

§4. εξιςώςεισ

που ανάγονται

ςε 1ου βαθμού

41) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο: α. | | 2x β. 3 | | 5x γ. 3 | 1| 6x

δ. 4 | 1| 2 0x ε. 2 |1 | 0x ζη. 1 | 2 | 0x

δ. 2| 3 3 | 1x x ε. 2| 5 5 | 1x x ζ. || 2 | 5 | 3x

42) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο:

α. || 1| 2 | 1x β. | 6 | 3 1|| 5x

γ. 5 | 7 | 3 2 || 8x

43) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο:

α.| | 4 | | 3 4 | | 1

5 2 3

x x x β.

| 2 | 52 | 2 | 4

3 3

xx

γ.2 25 | 1| 2 2 | 1|

53 4

x x δ.

| 3 | 2 | 3 | 11

3 2

x x

ε.2

2 | 1| 1| 1| 1

2

xx

ζη.19 2 | | 2 | | 11

2 | |2 3

x xx

44) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο:

α. | 2 | | 2 1|x x β. 3 | 1| 2 | 1|x x

γ. | 2 | 3 |1 4 |x x δ. | 2 5 | | |x x

ε. 4 | 2 | 3 | 2 1|x x ζη. 2 23 | 3 2 | 2 | 4 |x x x

δ. | 3 2 | | 5 2 |x x ε. 2 |1 | | 2 |x x

ζ. 22 | 1| | 1|x x η.

| 2 || 4 |

| 1 |

xx

x

ηα. | 3 |

2| 1|

x

x

ηβ.

| 3 |0

| 1|

x

x

ηγ. 2|1 3 | | 5 2 |x x ηδ. 2 2| 4 6 | | 12 26 |x x x x

ηε. 20112010 | 3 | 2009 | |x x x

45) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο:

α. 3 | 1|

2

xx

β. | 2 3 | 1 0x x

γ. | 5 |x x δ. 2 2| 4 | 4 4x x x

ε. 4 | 2 | 1x x ζη. ||1 3 | 2 | | 5 2 |x x

46) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο:

α. | 1| 2 | 2 |x x x β. | 2 | 2 0x x

γ. | 2 | | 2 1| 3x x δ. 2 | | 3 1 0x x

ε. | 2 | 2 | 1| 1x x ζη. | 2 | | 2 | | 3 1|x x x

δ. | | | 1| | 2 1| 8x x x ε. 2 | | 5 6x x

ζ. 2

2

2 | | 1

34 | | 3

x x

x x

η. 2 3 | | 1 0x x

ηα. 3 | | 2x x ηβ. 3 4 | |x x

ηγ. | | | 1| 3x x ηδ. 3 | 2 | 5 | 1| 0x x

ηε. | 5 | 1|| | 1 | 2 1||x x

47) Να απνδείμεηε όηη ε εμίζσζε

1 5 | | | | 1| |

3 6 2

x xx

είλαη αδύλαηε ζην ζύλνιν

.

48) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο:

α. | | 3 2 | | 1x x β. | | 2 | |x x x

γ. | | 3 | | 15 2x x x

49) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο:

α. 2 2| 4 | | 2 | 0x x x β. 2 3| | | | 0x x x x

γ. 2| 9 | | 2 | 0x x δ. 22 | 1| 3 | 1| 0x x

ε. | 3 | | 1| 1 0x x ζη. 2

2| 2 | 2 0x x x

50) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο:

α. 3 2| | 3 | | 3 0x x x β. 3 2| | 7 12 | | 0x x x

γ. 3 2| | 2 2 | | 4 0x x x

51) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο:

α. 2| 1| 2 1 0x x x β. 2 6 9 | 2 7 |x x x

γ. 2 2| 4 | 4 4 0x x x

52) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο:

α. 5x β. 3x

γ. 2 4x δ. 4 5x

ε. 1 2 5x x ζη. 2 1 1x x

δ. 3 2 2 1 0x ε. 3 33 2x x

Page 33: Α΄ Λυκείου Άλγεβρα - Σημειώσεις (2015 - 2016)

εξισώσεις κεφάλαιο 3

- 31 -

§5. επίλυςη

προβλημάτων

53) Σε έλα ηξαπέδην ε κεγάιε βάζε είλαη ηξηπιάζηα

από ηε κηθξή θαη ην ύςνο ηνπ είλαη 12 cm . Αλ ην εκβαδόλ ηνπ είλαη 144 cm2 , λα ππνινγίζεηε

ην κήθνο ησλ βάζεσλ ηνπ .

54) Έλαο παηέξαο είλαη ζήκεξα 43 εηώλ θαη ε θόξε

ηνπ είλαη 19 εηώλ . α. Να βξείηε κεηά από πόζα ρξόληα ε ειηθία ηνπ

παηέξα ζα είλαη ηξηπιάζηα ηεο ειηθίαο ηεο θόξεο ηνπ . β. Τη δειώλεη ε ιύζε ηεο εμίζσζεο πνπ βξήθαηε;

55) Να βξείηε ηξεηο δηαδνρηθνύο θπζηθνύο

αξηζκνύο πνπ ην άζξνηζκα ηνπο λα είλαη ίζν κε ην ηξηπιάζην ηνπ κεζαίνπ .

56) Οη καζεηέο ηεο Α Λπθείνπ ελόο ζρνιείνπ

ζπγθέληξσλαλ ρξήκαηα γηα κηα εθδξνκή ηεο ηάμεο ηνπο. Αλ θάζε καζεηήο πιεξώζεη 220 € ,

ηόηε ιείπνπλ 1320 € γηα λα ζπκπιεξώζνπλ ην

πνζό . Αλ όκσο θάζε καζεηήο πιεξώζεη 250 € , ηόηε πεξηζζεύνπλ 1320 € . Να βξείηε :

α. πόζνη είλαη νη καζεηέο ηεο Α Λπθείνπ απηνύ ηνπ ζρνιείνπ ;

β. από πόζα ρξήκαηα αθξηβώο πιήξσζε ν θάζε

καζεηήο θαη πόζα ρξήκαηα ζηνίρηζε απηή ε εθδξνκή ;

57) Όηαλ έλα αεξνπιάλν πεηάεη ζε ύςνο h πόδηα

κε 700h , ε ζεξκνθξαζία 0C , έμσ από απηό

δίλεηαη από ηνλ ηύπν 20400

h .

α. Να ιύζεηε ηνλ ηύπν σο πξνο h .

β. Να βξείηε ην ύςνο ζην νπνίν πεηάεη ην αεξνπιάλν ,

όηαλ :

i. 015 C ii. 03 C

γ. Να βξείηε πνηα είλαη ε ζεξκνθξαζία έμσ από ην

αεξνπιάλν όηαλ απηό πεηάεη ζε ύςνο 8000h πόδηα .

§6. η εξίςωςη

vx a

58) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο:

α. 7 0x β. 3 1x γ. 532 1 0x

δ. 5 153 0x ε. 38 27 0x ζη. 52 128 0x

59) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο:

α. 5 1 0x β. 3 64 0x γ. 5 5 0x

δ. 7 811 0x ε. 532 1 0x ζη. 3 0,027 0x

60) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο:

α. 2 100 0x β. 4 16 0x γ. 6 31 0x

δ. 8 1 0x ε. 2 0,04 0x ζη. 481 16 0x

61) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο:

α. 9 27 0x β. 10 16x γ. 5 332 0x

δ. 3 527x ε. 3 311 0x ζη. 2010 10059x

62) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο:

α. 3 4

4 34 0x β. 2 5

5 23x γ. 3

3 327x

δ. 2 2x ε.

1

5 35x ζη. 1

4 53x

63) Να απνδείμεηε όηη νη εμηζώζεηο 9 27 0x θαη 3 3 0x είλαη ηζνδύλακεο .

64) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο:

α. 42 16 0x x β. 6 3 0x x γ. 4 24 0x x

δ. 7 48 0x x ε. 5 316 25x x ζη. 6 23 2 0x x

δ. 5 33 18 0x x ε. 8 481x x ζ. 6 12 27 0x x

65) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο:

α. 3

1 27x β. 5

2 1 243x

γ. 10

2 1024 0x δ. 3

2 9 2 0x x

ε. 3 3 332 5x x x ζη. 2 2 4 22 3 4 5x x x x

Page 34: Α΄ Λυκείου Άλγεβρα - Σημειώσεις (2015 - 2016)

εξισώσεις κεφάλαιο 3

- 32 -

66) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο:

α. 3 41 16 0x x β. 4 51 32 0x x

γ. 10 41 9 202 2 4 2 0x x

67) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο:

α. 5

2 21 16 1 0x x β. 4

2 22 27 2 0x x

γ. 4

2 21 1 0x x

68) Δίλνληαη ηα ζύλνια 4/ 1 0x x θαη

7 5/ 0x x x . Να απνδείμεηε όηη

.

69) Δίλνληαη ηα ζύλνια * / 10x x ,

3 2/ 8 2 3 0x x x θαη

* 6 3/ 1 27 0x x x x .

α. Να βξείηε ηα ζύλνια θαη .

β. Με ζύλνιν αλαθνξάο ην Ω , λα βξείηε ηα ζύλνια

θαη .

γ. Να απνδείμεηε όηη .

70) Γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηνπ , λα ιύζεηε

ηηο εμηζώζεηο :

α. 2 3x β. 4

2 3 16x γ. 4 0x x

δ. 2x ε. 3

2 2 2 0x ζη. 3

2 3 27x

δ. 2 4x ε. 32 2x ζ.

33 1x

71) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο:

α. 1 0vvx

, *v

β. 1

1 0vvx

, *v

γ. 1 1 0vvx

, *v

72) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο:

α. 7 4| | 0x x β. 5 2| | 3 0x x

γ. 4

| | 1 16x δ. 3

| 1| 2 8x

ε. 3

| 2 1| 6 27x ζη. 4

| 2 | 3 256 0x

73) Να ιπζεί ε εμίζσζε 3 181 0v vx x , *v .

74) Να ιύζεηε ζην ηελ εμίζσζε 7 3 47 7 0x x x .

75) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο:

α. 2011 20116 0x x β.

2012 20124 0x x

γ. 2013 2013

2 1 1 0x x

76) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο:

α. 8

6 36 2 2 2x

β.

105

3 3

1 2 1 12 2

2 1 5 2 7 5 2 7x

γ. 33 33 3 3 1 24 0x

δ. 3 3 55 2 5 2 32x

§7. εξιςώςεισ 2ου βαθμού

77) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο:

α. 2 4 12 0x x β. 2 4 4 0x x

γ. 2 2 3 0x x δ. 22 3 1 0x x

ε. 23 1 0x x ζη. 23 2 6 2 0x x

78) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο :

α. 2 81 0x β. 22 3 0x x γ. 25 2011 0x

δ. 23 1 0x ε. 22 2 0x x ζη. 2

2 1x x

79) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο :

α. 26 3 2 0x x β. 22 2x x γ. 29 6 1 0x x

δ. 26 ( 1) 8x x ε. 2 3 5 0x x ζη. ( 1) 2x x

80) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο:

α. 23 0x x β. 22 7 0x

γ. 23 5 8 0x x δ. 2 6 0x x

ε. 29 30 25 0x x ζη. 22 10 12 0x x

δ. 24 15 7 0x x ε. 2 1 0x x

81) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο :

α. 3 1 2 1 6x x β. 4 6 2x x x

Page 35: Α΄ Λυκείου Άλγεβρα - Σημειώσεις (2015 - 2016)

εξισώσεις κεφάλαιο 3

- 33 -

82) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο:

α. 2 4 3 9 0x x β. 2 1 2 2 0x x

γ. 2 2 1 2 3 0x x δ. 2 1 3 3 0x x

ε. 22 2 2 1 3 3 2 0x x

ζη. 2 2 5 10 0x x

83) Να βξείηε ηηο ξίδεο ησλ παξαθάησ εμηζώζεσλ

θαη λα ηηο γξάςεηε κε ξεηό παξνλνκαζηή :

α. 2

5 5x β. 21 3 1 3 0x x

γ. 22 3 2 3x x δ. 26 2 2 0x x

84) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο:

α. 2 2 3 3 0x x β. 2 2 2 5 5 0x y y

γ. 2 22 4 3 6 0x y x

85) Να απνδείμεηε όηη νη ξίδεο ηεο εμίζσζεο

2 2 3 6 0x x είλαη άξξεηνη αξηζκνί .

86) Να ιπζεί ε εμίζσζε 2 3 2 0x x (1) , όπνπ

Δ ε δηαθξίλνπζα ηεο (1) .

87) Να ιύζεηε ηελ εμίζσζε 2 0x x , όπνπ

Δ ε δηαθξίλνπζά ηεο .

88) Να ιπζεί ε εμίζσζε 2 1 0x x , όπνπ Δ

ε δηαθξίλνπζά ηεο .

89) Να βξείηε ηηο ηηκέο ηνπ , ώζηε νη

παξαθάησ εμηζώζεηο λα είλαη 2νπ βαζκνύ:

α. 2 26 7 0x x

β. 2 24 7 5 1 1 0x x

90) Να βξείηε γηα πνηα ηηκή ηνπ , ε εμίζσζε

2 2 3 0x x έρεη δηπιή ξίδα .

91) Να βξείηε ην a ώζηε ε εμίζσζε

22 1 | | 0a x a x a λα είλαη δεπηέξνπ

βαζκνύ θαη λα έρεη ξίδα ην – 1 .

92) Να βξεζεί ν a ώζηε ε εμίζσζε

23 5 4 2 5 0a x a x a , λα έρεη κηα

δηπιή ξίδα , ηελ νπνία θαη λα βξείηε .

93) Να βξεζεί ν ώζηε ε εμίζσζε

2 2 1 1 2 0x x , λα έρεη κηα δηπιή ξίδα,

ηελ νπνία θαη λα βξείηε .

94) Να βξείηε ηα , ώζηε ε εμίζσζε

2 | 2 | 2x x x , λα έρεη κηα ξίδα δηπιή.

95) Να βξεζεί ν a ώζηε ε εμίζσζε

2 2 2 1 0a x ax , λα έρεη ξίδα ην 1

2 θαη κεηά

λα δείμεηε όηη ε έρεη δηπιή ξίδα ην 1

2 .

96) Δίλεηαη ε εμίζσζε

2 2 23 2 2 2 0x x (1) .

α. Να βξείηε ηηο ηηκέο ησλ , , ώζηε ν αξηζκόο

– 1 , λα είλαη ξίδα ηεο (1). β. Αθνύ αληηθαηαζηήζεηε ηηο ηηκέο ησλ , , λα

βξείηε ηελ άιιε ξίδα ηεο.

97) Φσξίο λα βξείηε ηελ δηαθξίλνπζα , λα

απνδείμεηε όηη νη παξαθάησ εμηζώζεηο έρνπλ δπν ξίδεο άληζεο:

α. 22016 1821 2015 0x x

β. 2 2 41 3 7 1 0a x a x

98) Να απνδείμεηε όηη γηα θάζε , νη

παξαθάησ εμηζώζεηο έρνπλ δπν πξαγκαηηθέο θαη

άληζεο ξίδεο :

α. 2 2 0x x β. 2 1 0x x x

γ. 2 3 5x x δ. 2 22 1x x

99) Να δείμεηε όηη γηα θάζε a νη παξαθάησ

εμηζώζεηο έρνπλ δπν ξίδεο άληζεο:

α. 2 2 23 5 1 0x a a x a

β. 213 7 3 | | 2 0x x a

100) Να δείμεηε όηη γηα θάζε a νη παξαθάησ

εμηζώζεηο δελ κπνξνύλ λα έρνπλ δηπιή ξίδα :

α. 2 21 0x a x a β. 2 2 0x ax a

101) Να απνδείμεηε όηη νη παξαθάησ εμηζώζεηο

έρνπλ ξίδεο πξαγκαηηθέο:

α. 2 4 0x x

β. 21 1a a x x a a

Page 36: Α΄ Λυκείου Άλγεβρα - Σημειώσεις (2015 - 2016)

εξισώσεις κεφάλαιο 3

- 34 -

102) Να δείμεηε όηη ε εμίζσζε 2 0x x ,

όπνπ Δ ε δηαθξίλνπζά ηεο , έρεη ξίδεο

πξαγκαηηθέο .

103) Δίλεηαη ε εμίζσζε 2 0x x , κε

Να δείμεηε όηη ε εμίζσζε έρεη ξίδεο πξαγκαηηθέο.

104) Δίλεηαη ε εμίζσζε 2 0ax x , 0a .

Αλ a λα δείμεηε όηη ε έρεη ξίδεο

πξαγκαηηθέο.

105) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο :

α. 2 22 0x x β. 26 2 3 0x a x a

γ. 2 22 0x ax a δ. 2 0x x

ε. 2 22 1 0x ax a ζη. 2 2 2 2 1 0a x ax

δ. 2 2 24 3 5 2x a x a a

ε. 2 1 2 2 0ax a x , 0a

106) Να βξεζεί ν a ώζηε ε εμίζσζε

23 2 1 5 0x x a :

α. λα έρεη δπν ξίδεο άληζεο , β. λα έρεη κηα δηπιή ξίδα ,

γ. λα είλαη αδύλαηε .

107) Να βξεζεί ν ώζηε ε εμίζσζε

22 2 1 2 0x x :

α. λα έρεη δπν ξίδεο άληζεο , β. λα έρεη κηα δηπιή ξίδα ,

γ. λα είλαη αδύλαηε .

108) Να βξεζεί ν ώζηε ε εμίζσζε 2 22 1 0x x :

α. λα έρεη δπν ξίδεο άληζεο ,

β. λα έρεη κηα δηπιή ξίδα ,

γ. λα έρεη πξαγκαηηθέο ξίδεο , δ. λα κελ έρεη θακία πξαγκαηηθή ξίδα .

109) Δίλεηαη ε εμίζσζε 2 24 4 1 0x x (1).

α. Να ιπζεί ε εμίζσζε (1).

β. Να βξείηε ην ώζηε νη ξίδεο ηεο (1) λα

αλήθνπλ ζην δηάζηεκα 1, 3 .

110) Δίλεηαη ε εμίζσζε 2 26 9 1 0x x (1).

α. Να ιπζεί ε εμίζσζε (1) . β. Να βξείηε ην ώζηε νη ξίδεο ηεο (1) λα

αλήθνπλ ζην δηάζηεκα 0 , 3 .

111) Δίλεηαη ε εμίζσζε 2 2 2 0x x (1).

Γηα θάζε ηηκή ηνπ , από ηελ πξνθύπηεη θαη

κηα εμίζσζε 2νπ βαζκνύ. Έηζη όηαλ ην

δηαηξέρεη ην , δεκηνπξγείηαη έλα ζύλνιν Α

πνπ ηα ζηνηρεία ηνπ είλαη νη εμηζώζεηο πνπ πξνθύπηνπλ από ηελ (1).

α. Να απνδείμεηε όηη όιεο νη εμηζώζεηο ηνπ ζπλόινπ Α

έρνπλ κηα θνηλή ιύζε . β. Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηνπ Α , πνπ έρεη δηπιή ξίδα

ην 2 .

112) Αλ ππάξρεη ώζηε λα ηζρύεη ε ηζόηεηα 2 2 0a , λα δείμεηε όηη 2a .

113) Δίλεηαη ε εμίζσζε 2 0x x κε

δηαθξίλνπζα 22 3 2 . Να βξείηε

ηα , θαζώο επίζεο θαη ην πιήζνο ησλ ξηδώλ

ηεο εμίζσζεο .

114) Αλ ππάξρεη ώζηε λα ηζρύεη ε ηζόηεηα 2 0a , λα δείμεηε όηη 2 4a .

115) Αλ ε εμίζσζε 2 2 2 0x x δελ έρεη

θακία ξίδα λα δείμεηε όηη:

α. 0 ,

β. ε εμίζσζε 2 3 5 0x x δελ έρεη πξαγκαηηθέο

ξίδεο .

116) Αλ 2 3a λα δείμεηε όηη ε εμίζσζε 2 0x ax (1) δελ έρεη θακία ξίδα

πξαγκαηηθή.

117) Δίλεηαη ε εμίζσζε 2 0ax x (1) θαη

0a . Αλ | | | | | |a a λα δείμεηε όηη ε (1)

έρεη δπν ξίδεο πξαγκαηηθέο θαη άληζεο .

118) Φσξίο λα βξείηε ηηο ξίδεο 1x , 2x ηεο

εμίζσζεο 2 5 3 0x x , λα ππνινγίζεηε ηηο

παξαζηάζεηο:

α. 2 2

1 2x x β. 3 3

1 2x x

γ. 4 4

1 2x x δ. 3 2 3 2

1 1 2 2 1 22 3 2 3x x x x x x

ε. 1 2

2 1

x x

x x ζη.

1 2

2 2

1 3 1 3x x

Page 37: Α΄ Λυκείου Άλγεβρα - Σημειώσεις (2015 - 2016)

εξισώσεις κεφάλαιο 3

- 35 -

119) Αλ 1x ,

2x είλαη νη ξίδεο ηεο εμίζσζεο 2 2 1 0x x , λα ππνινγηζηνύλ νη

παξαζηάζεηο:

α. 2 2

1 2x x β. 2

1 2x x γ. 1 2| |x x

δ. 2 2

1 2| |x x ε. 3 3

1 2| |x x

120) Φσξίο λα βξείηε ηηο ξίδεο 1x ,

2x ηεο

εμίζσζεο 22 5 4 0x x , λα ππνινγίζεηε ηηο

παξαζηάζεηο:

α. 2 2

1 2 1 2x x x x β. 4 4

1 2x x γ. 1 22 1 2 1x x

δ. 1 2

1 1

x x ε.

2 2

1 2

2 1

x x

x x

ζη.3 2 3 2

1 1 2 2 1 23 2 3 2x x x x x x

121) Να βξείηε ηηο εμηζώζεηο 2νπ βαζκνύ πνπ

έρνπλ ξίδεο: α. a θαη a β. – 1 θαη 3

γ. 2 3 2 θαη 2 3 2 δ. 3 θαη

1

4

ε. a

a

θαη

a

a

ζη.

1 2

1 2

θαη

2

1 2

1 2

122) Να βξείηε δπν αξηζκνύο νη νπνίνη λα έρνπλ

άζξνηζκα θαη γηλόκελν αληίζηνηρα:

α. 7 θαη 12 β. 2 θαη – 2 γ. 2 θαη 2 2

123) Αλ 1x , 2x είλαη νη ξίδεο ηεο εμίζσζεο 22 3 4 0x x , λα ζρεκαηίζεηε εμίζσζε 2νπ

βαζκνύ κε ξίδεο:

α. 1

1

x θαη

2

1

x

β. 3

1x θαη 3

2x

γ. 1

2

2

3

x

x

θαη 2

1

2

3

x

x

δ.

3

1

2

x

x θαη

3

2

1

x

x

124) Αλ 1x ,

2x είλαη νη ξίδεο ηεο εμίζσζεο 2 1 0x x , λα ζρεκαηίζεηε εμίζσζε 2νπ

βαζκνύ κε ξίδεο:

α. 12 1x θαη 22 1x β. 2

1x θαη 2

2x

γ. 1

2

1

1

x

x

θαη 2

1

1

1

x

x

δ. 1 2

2

x x

x

θαη 1 2

2

x x

x

125) Δίλεηαη ε εμίζσζε 2 0ax x κε 0a

(1). Να βξεζνύλ νη εμηζώζεηο κε ξίδεο:

α. ηα αληίζηξνθα ησλ ξηδώλ ηεο (1) , β. ηα ηεηξάγσλα ησλ ξηδώλ ηεο (1) ,

γ. θαηά 3 κηθξόηεξεο από ηα δηπιάζηα ησλ ξηδώλ ηεο

(1) .

126) Να βξεζεί ν ώζηε ε κηα ξίδα ηεο

εμίζσζεο 2 2 3 1 0x x λα είλαη

δηπιάζηα ηεο άιιεο .

127) Να βξεζεί ν ώζηε ην άζξνηζκα ησλ

ηεηξαγώλσλ ησλ ξηδώλ ηεο εμίζσζεο

22 3 1 3 4 0x x , λα είλαη ίζν κε

5 .

128) Να βξείηε ηηο ηηκέο ηνπ a ώζηε ε

εμίζσζε 2 22 1 4 0x a x a λα έρεη δπν

ξίδεο:

α. εηεξόζεκεο β. ζεηηθέο γ. αξλεηηθέο δ. αληίζεηεο ε. αληίζηξνθεο

129) Να βξείηε ηηο ηηκέο ηνπ a ώζηε ε

εμίζσζε 2 1 0x ax a λα έρεη δπν ξίδεο :

α. αληίζεηεο β. αληίζηξνθεο

130) Να βξείηε ηηο ηηκέο ηνπ a ώζηε ε

εμίζσζε 2 2 2 0x x a λα έρεη δπν ξίδεο:

α. εηεξόζεκεο β. ζεηηθέο άληζεο γ. αξλεηηθέο

131) Έζησ ε εμίζσζε 2 0ax x , 0a

(1). Αλ | | | | | |a a λα δείμεηε όηη ε (1)

έρεη δπν ξίδεο εηεξόζεκεο .

132) Δίλεηαη ε εμίζσζε 2 2 1 0x ax a (1).

α. Να δείμεηε όηη ε (1) έρεη δπν ξίδεο άληζεο γηα θάζε

a .

β. Αλ 1x ,

2x ξίδεο ηεο (1) λα βξείηε ην a ώζηε 2 2

1 2 4x x .

133) Να βξεζεί ν a ώζηε νη ξίδεο 1x ,

2x

ηεο εμίζσζεο 2 25 3 2 0x a x a λα

επαιεζεύνπλ ηελ ζρέζε 1 24 3 5 0x x .

134) Δίλεηαη ε εμίζσζε 2 22 1 0x x

(1).

α. Να βξείηε ην ώζηε ε (1) λα έρεη δπν ξίδεο άληζεο.

β. Αλ 1, λα δείμεηε όηη ε (1) δελ έρεη ξίδεο

αληίζηξνθεο. γ. Αλ 1x , 2x ξίδεο ηεο (1) θαη 1 22 2 5x x λα βξείηε

ην .

Page 38: Α΄ Λυκείου Άλγεβρα - Σημειώσεις (2015 - 2016)

εξισώσεις κεφάλαιο 3

- 36 -

135) Αλ 1x ,

2x είλαη νη ξίδεο ηεο εμίζσζεο 2 3 0x x a , λα βξεζεί ν a ώζηε λα

ηζρύεη 3 3 2 2

1 2 1 2 1 2 1 25 5 4 4 3 2x x x x x x x x a .

136) Δίλεηαη ε εμίζσζε 2 23 5 2 0x x (1) .

α. Να δείμεηε όηη ε (1) έρεη δπν ξίδεο πξαγκαηηθέο θαη άληζεο γηα θάζε .

β. Να βξείηε ην ώζηε ε (1) λα έρεη δπν ξίδεο

αληίζεηεο.

137) Δίλεηαη ε εμίζσζε 21 2 0x x (1) .

α. Να βξείηε ην ώζηε ε (1) λα είλαη δεπηέξνπ

βαζκνύ θαη λα έρεη δπν ξίδεο πξαγκαηηθέο θαη άληζεο . β. Αλ

1x , 2x πξαγκαηηθέο θαη άληζεο ξίδεο ηεο (1) λα

βξείηε ην ώζηε 1 2

12 1 2 1

2x x .

138) Δίλεηαη ε εμίζσζε 2 2 0x x (1) .

α. Να βξείηε ην ώζηε ε (1) λα έρεη ξίδεο

πξαγκαηηθέο.

β. Αλ 1x ,

2x ξίδεο ηεο (1) θαη ηζρύεη 1 23x x λα βξείηε

ηηο ξίδεο 1x ,

2x θαη ην .

139) Δίλεηαη ε εμίζσζε 2 6 5 4 0x x (1).

α. Να βξείηε ην ώζηε ε (1) λα έρεη ξίδεο

πξαγκαηηθέο .

β. Αλ 1 θαη νη ξίδεο ηεο (1) 1x θαη

2x είλαη

αλάινγεο ησλ αξηζκώλ 2 θαη 4 λα βξείηε ην .

140) Δίλεηαη ε εμίζσζε 2 | 1| 1 0x a x (1) .

α. Να δείμεηε όηη ε εμίζσζε (1) έρεη δπν ξίδεο πξαγκαηηθέο θαη άληζεο γηα θάζε πξαγκαηηθή ηηκή ηνπ

a .

β. Αλ 1x ,

2x νη ξίδεο ηεο (1) λα βξείηε ην a ώζηε

1 2

1 11

x x .

141) Δίλεηαη ε εμίζσζε 2 1 3 0x x

(1) . α. Να βξείηε ηελ ηηκή ηνπ , ώζηε ε εμίζσζε (1)

λα έρεη δπν ξίδεο εηεξόζεκεο κε ηελ αξλεηηθή ξίδα λα έρεη κηθξόηεξε απόιπηε ηηκή από ηελ ζεηηθή.

β. Γηα ηελ ηηκή ηνπ πνπ βξήθαηε θαη ρσξίο λα βξείηε

ηηο ξίδεο 1x ,

2x ηεο (1) λα ππνινγίζεηε ηηο ηηκέο ησλ

παξαζηάζεσλ :

i. 1 2| | | |x x ii. 1 2| | | |x x

142) Δίλεηαη ε εμίζσζε 2 | | 1 0x ax a (1) κε

εηεξόζεκεο ξίδεο ηηο 1x θαη

2x .

α. Να βξείηε ην a .

β. Αλ 1 23 3 1x x λα βξείηε ην .

143) Δίλεηαη ε εμίζσζε 22 3 0x x (1) . Αλ

1x , 2x είλαη πξαγκαηηθέο ξίδεο ηεο εμίζσζεο (1)

, λα απνδείμεηε όηη δελ ππάξρεη , ώζηε λα

ηζρύεη 1 2

1 2

5 51x x

x x

.

144) Αλ κηα ξίδα ηεο εμίζσζεο 2 0ax x

είλαη δηπιάζηα ηεο άιιεο , λα δείμεηε όηη 22 9 0a .

145) Αλ νη ξίδεο 1x ,

2x ηεο εμίζσζεο 2 0ax x επαιεζεύνπλ ηελ ζρέζε

1 22 3 0x x , λα απνδείμεηε όηη 26 0a .

146) Αλ ν αξηζκόο a , είλαη θνηλή ξίδα ησλ

εμηζώζεσλ 2 3 0x x θαη 2 3 0x x , λα

βξείηε ηνλ αξηζκό a θαη ηηο ξίδεο ησλ

εμηζώζεσλ.

147) Να βξείηε ηα , ώζηε νη ξίδεο ηεο

εμίζσζεο 2 0x x , αλ ειαηησζνύλ θαηά 1

, λα γίλνληαη ξίδεο ηεο εμίζσζεο

2 2 3 7 4 8 0x x .

148) Αλ , είλαη νη ξίδεο ηεο εμίζσζεο 2 1 0x ax θαη , v νη ξίδεο ηεο 2 1 0x x , λα απνδείμεηε όηη

2 2v v a .

149) Να δείμεηε όηη ε εμίζσζε 2 2( ) 0x x έρεη ξίδεο

1x , 2x

πξαγκαηηθέο θαη όηη ηα , είλαη ξίδεο ηεο

εμίζσζεο 2

1 2( )( ) 0x x x x .

150) Αλ 1x , 2x ξίδεο ηεο εμίζσζεο 2 0x ax θαη 1x , 2x ξίδεο ηεο

εμίζσζεο 2 0x x , λα απνδείμεηε όηη

2 2 4a .

Page 39: Α΄ Λυκείου Άλγεβρα - Σημειώσεις (2015 - 2016)

εξισώσεις κεφάλαιο 3

- 37 -

151) Οη πιεπξέο ελόο ηξηγώλνπ έρνπλ κήθε 3 cm

, 6 cm θαη 8 cm . Αλ απμήζνπκε ηηο πιεπξέο ηνπ θαηά x cm ηόηε ην ηξίγσλν απηό γίλεηαη

νξζνγώλην. Να ππνινγίζεηε ηνλ x .

152) Τν ηεηξάγσλν ηεο ζεκεξηλήο ειηθίαο ελόο

καζεηή ην ειαηηώλνπκε θαηά ην πεληαπιάζην

ηεο ειηθίαο ηνπ θαη έηζη γίλεηαη ίζν κε ην δεθαπιάζην ηεο ζεκεξηλήο ηνπ ειηθίαο. Να βξείηε

ηελ ζεκεξηλή ειηθία ηνπ καζεηή.

§8. εξιςώςεισ που ανάγονται ςε 2ου βαθμού

153) Δίλεηαη ε εμίζσζε

4 3 22 2 1 3 0a x a x x a x a (1).

α. Να βξείηε ηα a , ώζηε ε (1) λα είλαη

δηηεηξάγσλε .

β. Γηα 1a θαη 1 , λα ιπζεί ε (1) .

154) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο:

α. 4 2 1 0x x β. 6 39 8 0x x

γ. 8 415 16 0x x δ. 10 534 64 0x x

ε. 6 4 23 16 5 0x x x ζη. 4 2

2 3 2 10 0x x

155) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο :

α. 2

2 1 | 2 1| 6x x

β. 2

2 1 3 | 2 1| 4 0x x

γ. 2

1 5 | 1| 6 0x x

δ. 2 23 6 9 7x x x

156) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο:

α. 4

4

72 9x

x β. 2

2

86 0x x

x x

γ. 2

2

1 14x x

xx

δ. 2

2

1 12 1x x

xx

ε. 3

3

1 1x x

xx ζη.

6 31 1

216 35x xx x

157) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο:

α. 2 6 0x x β. 2 211 11 42x x

γ. 4 33 10x x x δ. 2 2 3 5 3 7x x x x

ε. 1 1

421

x x

x

ζη.

2( 1) 7 2

2 2 2( 1)

x x

x x

158) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο:

α. 5 6 0x x β. 6 0x x

γ. 2 0x x δ. 2 1 2 1 0x x

ε. 3 2 0x x ζη. 1 7 1 12 0x x

159) Δίλεηαη ε εμίζσζε

4 3 22 | 3 1|

2 | | 1 | 3 | 0

x x x

x

α. Να βξείηε ηα , ώζηε ε εμίζσζε λα είλαη

δηηεηξάγσλε. β. Γηα 1 θαη 4 , λα ιπζεί ε παξαπάλσ

εμίζσζε.

160) Αλ αθέξαηνο , λα ιύζεηε ηηο εμηζώζεηο :

α. 4 9 2 8 0 β. 3 9 4 3 1 0

γ. 5 25 7 10 2 4 0 δ. 4 9 13 6 9 4 0

161) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο:

α. 2

2

2 2 3 20

2 2

x x

x x x x

β.

2 2 1 2

2 2 1 3

x x

x x

γ. 2

2 1 50

22

x x

x xx x

δ.

3 42

3 2x x

ε.2

2

6 5 2 5 6 30

7 749

x x x

x xx

ζη.

3 3 11

3 3 1

x x

x x

162) α. Αλ 1

x yx

λα δείμεηε όηη

2 2

2

12x y

x .

β. Να ιύζεηε ηελ εμίζσζε 2

2

1 22 5x x

xx .

Page 40: Α΄ Λυκείου Άλγεβρα - Σημειώσεις (2015 - 2016)

- 38 -

2015-2016

ανισώσεις

Ασκήσεις

Παγώνης Θεόδωρος

Μαθηματικός

Page 41: Α΄ Λυκείου Άλγεβρα - Σημειώσεις (2015 - 2016)

ανισώσεις κεφάλαιο 4

- 39 -

§1. οι ανιςώςεισ 0ax &

0ax

1) Να ιπζνύλ νη αληζώζεηο: α. 2 3 4 1x x β. 2( 1) 3 5x x x

γ. 3 (2 1) 2(1 )x x

2) Να ιπζνύλ νη αληζώζεηο:

α. 2 23 2 7x x x β. 2 2( 2) ( 2) 0x x

γ. 3 3 3(2 1) (2 1) 16 12x x x

3) Να βξείηε ηηο θνηλέο ιύζεηο ηωλ αληζώζεωλ :

α. 1 2 3

32 3 4

xx θαη

7 2 1 50

4 3 2

x x x

β. 11

27( 1) 7 5( 2)2

y y y θαη

2 2(2 1) ( 2) 5 ( 3)y y y y

4) Να ιπζνύλ νη αληζώζεηο :

α.5 1 1 1

26 2 2 3

a a a

β.

2 1 3

2 2 4

y y yy

5) Να ιπζνύλ νη αληζώζεηο :

α. 1 3 2 2x β. 3(3 5) 12 4(1 )x x x

6) Να βξείηε ηα δηαζηήκαηα πνπ αιεζεύνπλ νη

αληζώζεηο :

α. 3 5x β. 1x θαη 2x

γ. 1 2x θαη 0x δ. 1x ή 3x

7) Να ιπζνύλ νη παξακεηξηθέο αληζώζεηο :

α. ( 5) 4x x β. 3x

γ. 2( 2) 4x δ. 2 2( 1) ( 1)x

8) Να ιπζνύλ νη παξακεηξηθέο αληζώζεηο :

α. ( 5) 4x x β. 3x

γ. 2( 2) 4x δ. 2 2( 1) ( 1)x

9) Να ιπζνύλ νη παξακεηξηθέο αληζώζεηο:

α.1 2 3

12 3 4

x x x β. 2 3

( 1)4 2

xx

γ. 2

33 2

xx

10) Να βξεζνύλ νη ηηκέο ηωλ παξακέηξωλ a θαη

γηα ηηο νπνίεο ε αλίζωζε ( 5) 1a x x a

αιεζεύεη γηα θάζε x .

11) Αλ ε αλίζωζε ( 2) 2 3a x x είλαη

αδύλαηε , λα βξείηε ηηο ηηκέο ηωλ a θαη .

12) Γηα πνηεο ηηκέο ηωλ , ε αλίζωζε

4 ( 2)x x αιεζεύεη γηα θάζε x ;

13) Γηα πνηεο ηηκέο ηνπ ε αλίζωζε

( 2) 3x είλαη αδύλαηε ;

14) Να βξείηε ηελ κέγηζηε ή ειάρηζηε ηηκή ηωλ

παξαζηάζεωλ:

α. 27 x β. 2

2 2x

γ. 2

2 3 2 5x δ. 27 x

ε. 2

5 2a ζη. 2

5 3 x

15) Να βξείηε ηελ κέγηζηε ή ειάρηζηε ηηκή ηωλ

παξαζηάζεωλ:

α. 2 2 1x x β. 2 2 1x x

γ. 2 2x x

16) Να βξείηε ηελ κέγηζηε ή ειάρηζηε ηηκή ηωλ

παξαζηάζεωλ :

α. 2 2( 1)x y β. 2 2( 2) 3x y

17) Να βξείηε ηνλ κεγαιύηεξν θπζηθό αξηζκό πνπ

ην ηξηπιάζην ηνπ δελ ππεξβαίλεη ην 77 .

18) Να βξείηε ηνλ κηθξόηεξν θπζηθό αξηζκό πνπ ην

δηπιάζην ηνπ απμεκέλν θαηά 5 ππεξβαίλεη ην 40.

19) Δίλεηαη ε παξάζηαζε 3 2x . Να βξείηε

ηελ ηηκή ηνπ x αλ ε παξάζηαζε Α παίξλεη :

α. ηνπιάρηζηνλ ηελ ηηκή 13 ,

β. ην πνιύ ηελ ηηκή 19 ,

γ. ηνπιάρηζηνλ ηελ ηηκή 1 θαη ην πνιύ ηελ ηηκή 7.

Page 42: Α΄ Λυκείου Άλγεβρα - Σημειώσεις (2015 - 2016)

ανισώσεις κεφάλαιο 4

- 40 -

§2. ανιςώςεισ

με απόλυτεσ τιμέσ

20) Να ιπζνύλ νη αληζώζεηο:

α. | | 1x β. 2 | | 4x γ. 2 | 2 1| 6x

δ. 3 | 1| 9x δ. | 1| 2x ε. | 2 | 3x

ζ. 1

| 3 1|2

x η. 15

| 5 2 |2

x

21) Να ιπζνύλ νη αληζώζεηο:

α. | 1 | 4 5 | 1|

2 3 3

x x

β. | 5 | 1|| 4x

γ. | 3 | 2 1|| 2x

δ. | 1| 1 2 | 1| 1 | 1|

2 3 3

x x x

ε. | 2 | 4 3 | 2 | | 2 | 4

23 15 5

x x x

ζη. 2 | 3 | 1 | 3 | 8

| 3 | 13 3

x xx

22) Να ιπζνύλ νη αληζώζεηο:

α. 1 | | 4x β. 1 | 2 1| 3x

γ. 1 |1 3 | 4x δ. 0 | 3 2 | 4x

ε. 1 | | 7x ζη. 5 | 3 | 2 | 3 | 7x x

δ. 2 | 3 | 1

1 23

x ε.

| 1| 1 2 | 1|4 8

2 3

x x

ζ. 1 3

| 2 | 12 2

x η. | 1| 1 2 | 1|

1 42 3

x x

ηα. 1 | 1| 4 5

3 2 3

x ηβ.

5 | | 7 3 | | 12 2

2 4

x x

ηγ. 2 | 2 3 | | 3 2 | 2x x

ηδ. 0 | 2 | 4 | 2 | 3 1x x

ηε. 1 | 2 1| |1 2 | 3 2x x

23) Να ιπζνύλ νη αληζώζεηο:

α. | 1| 2 | 2 |x x x β. | 3 2 | 1 0x x

γ. | 2 | | 1| 1x x x δ. 2 | | 5x x

ε. | 2 1| 3 2x x ζη. | 3 | 2 1|| 2x

δ. | | | 3 1| 1x x ε. 3 | 2 | 5 | 1| 0x x

24) Να ιπζνύλ νη αληζώζεηο:

α. 3 | 1| 2 | 1| | | 2x x x β. 3 | | 1x x

γ. 2 | | 3 | 1| 5 2x x x δ. | 2 | | 1| 2x x

ε. 2 | 3 6 | 2 | |x x x ζη. | | 3 2 | 4 | 4x

δ. 3 | 1| 2 | 1|x x x

ε. 2011 2010| 2 | | 2 | 2012x x

25) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο :

α. 4 4x x β. 2 5 2x x γ. 3 4 6x x

δ. 2 3 1x x ε. 3 1 2x x ζη. | | 2 1x x

26) Να βξείηε ηα x γηα ηα νπνία ζπλαιεζενύλ

νη αληζώζεηο :

α. | | 4

| | 2

x

x

β.

| | 3

| | 5

x

x

γ.

| 1 | 3

| 1 | 2

x

x

27) Να βξείηε ηηο ηηκέο ηνπ x γηα ηηο νπνίεο

ηζρύεη :

α.

12 ,1

2

, 5 2

d x

d x

β.

3 , 2 1

2 , 3 4 ,1

d x x

d x x d

§4. πρόςημο

τριωνύμου

28) Δίλεηαη ε εμίζωζε 2 4 0x x .

α. Αλ 1x ,

2x ο

παξαζηάζεηο 1 2S x x θαη 1 2P x x .

β. Να ιύζεηε ηελ αλίζωζε 1Sx x P .

29) Δίλεηαη ην ηξηώλπκν 2( ) 3 2f x x x . Να

βξείηε ην πξόζεκν ηωλ αξηζκώλ :

α. 2009

2008f

β. ( 123)f

γ. 123 124

124 123f

Page 43: Α΄ Λυκείου Άλγεβρα - Σημειώσεις (2015 - 2016)

ανισώσεις κεφάλαιο 4

- 41 -

30) Να θάλεηε ηνλ πίλαθα πξνζήκωλ ηωλ

ζπλαξηήζεωλ:

α. 2( ) 5 3 2f x x x β. 2( ) 2f x x x

γ. 2 1( )

2f x x δ. 21

( )2

f x x x

ε. 2( ) 4 4 1f x x x ζη. 2( ) 2 1f x x x

δ. 2( ) 2f x x x ε. 2( ) 2 1f x x x

ζ. 2( ) 2 3f x x η. 2( ) 4 3f x x

ηα. 2( ) 3 2f x x x ηβ. 2( ) 3f x x

ηγ. 2( ) 2 1f x x x ηδ. 2( ) 2 2f x x x

ηε. 2( ) 3 1f x x ηζη. 2( ) 2 1f x x x

31) Να βξεζνύλ νη ηηκέο ηνπ x γηα ηηο νπνίεο νη

ηηκέο ηωλ παξαθάηω ζπλαξηήζεωλ :

α. 2( ) 2f x x x β. 2( ) 2 32g x x

είλαη i. ζεηηθέο ii. αξλεηηθέο

32) Να βξεζνύλ νη ηηκέο ηνπ x γηα ηηο νπνίεο νη

ηηκέο ηωλ παξαθάηω ζπλαξηήζεωλ:

α. 2( ) 4 17 4f x x x β. 2( ) 2 7g x x x

γ. 2( ) 4 4h x x x δ. 2( ) 6 5x x x

είλαη i. ζεηηθέο ii. αξλεηηθέο

33) Να πξνζδηνξίζεηε ην πξόζεκν ηωλ ηηκώλ ηωλ ηξηωλύκωλ:

α. 2( ) 3 10 3f x x x β. 2( ) 4 7 20g x x x

γ. 2( ) 3 6 3h x x x δ. 2( ) 2 7 3x x x

ε. 2( ) 16t x x ζη. 2( ) 4 3 5s x x x

δ. 2( ) 3 2r x x x ε. 2( ) 1k x x x

ζ. 2( ) 3 5d x x x η. 2( ) 2 1x x x

ηα. 2( ) 0,5 5m x x x

ηβ. 2( ) ( )z x x a x a

34) Να βξείηε ηηο ηηκέο ηνπ x γηα ηηο νπνίεο ην

ηξηώλπκν 2( ) 7 10f x x x παίξλεη ηηκέο κε

αξλεηηθέο .

35) Να ιπζνύλ νη αληζώζεηο:

α. 2 10 9 0x x β. 23 10 3 0x x

γ. 2 7 10 0x x δ. 2 6 9 0x x

ε. 2 4 5 0x x ζη. 26 12 0x x

δ. 2 9 14 0x x ε. 23 2 0x x

ζ. 2 3 0x x η. 2 30 0x x

ηα. 24 3 5 0x x ηβ. 24 12 9 0x x

ηγ. 21 1 50

3 2 6x x

ηδ. 2 3 5 0x x

ηε. 22 7 13 0x x ηζη. 25 1 2x x

36) Να βξείηε ην πξόζεκν ηνπ ηξηωλύκνπ 2 2( ) 7 3f x x ax a , a .

37) Να ιπζνύλ νη αληζώζεηο:

α. 25 4x x β. (1 2 ) 1x x

γ. 2( 1) 4x x δ. 22

23

x x

38) Να ιπζνύλ νη αληζώζεηο :

α. 2 3 1 3 0x x β. 2 2 3 6 0x x

39) Να ιπζνύλ νη αληζώζεηο:

α. 2 4x x β. 23

2

xx γ.

25 21

2

xx

δ. 22x x ε. 2 3 0x x ζη. 22x x

δ. 23 5x x ε. 24 16x x

40) Να ιπζνύλ νη αληζώζεηο :

α. 2 1x β. 29 4x γ. 2 2012x δ. 21 2 0x

41) Να ιπζνύλ νη αληζώζεηο:

α. 2

1 1x β. 2

4 2 16x

γ. 2

3 2 9x δ. 2

5 3 1x

42) Να ιπζνύλ νη αληζώζεηο:

α. 2 6 9 0x x β. 225 10x x

γ. 24 4 1x x δ. 22 1x x

ε. 29 6 1x x ζη. 28 16x x

δ. 2 2 1x x ε. 212 36x x

ζ. 2 2 1 0x x η. 2 4 4x x

ηα. 2 2 3 3 0x x ηβ. 29 25 30x x

43) Να ιπζνύλ νη αληζώζεηο :

α. 2 4 0x β. 23 1 5x x γ. 4 2 (3 1)x x x

δ. 22 1x ε. 23 3 1x x ζη. 24 2 (1 )x x x

44) Έζηω ε ζπλάξηεζε 2( ) 2 1f x x x . Να

ιπζεί ε αλίζωζε 3

( 1)2 4

xf f x

.

45) Να βξείηε ηηο ηηκέο ηνπ x ώζηε ην ηξηώλπκν 22 7 7x x λα παίξλεη ηηκέο κηθξόηεξεο ηνπ 2 .

46) Έζηω ε ζπλάξηεζε 2( ) 2 3 1f x x x . Να

ιύζεηε ηηο αληζώζεηο : α. ( ) 1f x β. (1 )f x x γ. ( ) (2 ) 1 6f x f x x

Page 44: Α΄ Λυκείου Άλγεβρα - Σημειώσεις (2015 - 2016)

ανισώσεις κεφάλαιο 4

- 42 -

47) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο:

α. 2 2| 4 | 4x x β. 2 2| 3 | 3x x x x

γ. 2 2| 6 5 1| 1 5 6x x x x δ. 2| 3 | 3x x x

ε. 2| 2 | 2x x x ζη. 2 2| 5 | 1 4 5x x x x

48) Να ιπζνύλ νη αληζώζεηο :

α. 2| 2 | 3x x x β. 2| 3 | 3x x x

49) Να ιπζνύλ νη αληζώζεηο:

α. 2 5 | | 6 0x x β. 2(2 1) 3 | 2 1| 2 0x x

γ. 2 22 1 0x x δ. 2(3 2) | 3 2 | 2 0x x

ε. 2 2 | 1| 3x x ζη. 2 3 | | 2 0x x

50) Να ιπζεί ε αλίζωζε 2 3 | | 2 0x x .

51) Να ιπζνύλ νη αληζώζεηο : α. | 2 1| | 1|x x β. | 3 2 | | 2 |x x

γ. 23 1 | |x x x δ. 2| 1| | 1|x x x

52) Να ιπζεί ε αλίζωζε 2| 3 2 | 2 2x x x .

53) Γηα πνηεο ηηκέο ηνπ x έρνπλ έλλνηα

πξαγκαηηθνύ αξηζκνύ νη παξαθάηω ξίδεο :

α. 2 1x x β. 2 6 9x x γ. 4 2 5 4x x

δ. 2 5x x ε. 2 12 36x x ζη. 2 3x x

54) Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ηεο ζπλάξηεζεο

22012( ) 4 3

3f x x x

x

.

55) Να βξείηε ηα πεδία νξηζκνύ ηωλ ζπλαξηήζεωλ:

α. 2( ) 6 1f x x x β. 2

2 2012( )

12

xf x

x x

γ. 2

2

1( )

3

xf x x x

x x

56) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε 2( ) 3 2f x x x . Να

βξείηε ηα δηαζηήκαηα ηνπ x πνπ ε γξαθηθή ηεο

παξάζηαζε ηεο f βξίζθεηαη πάλω από ηνλ

άμνλα x x .

57) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε 2( ) 5 3 2f x x x . Να

βξείηε ηα δηαζηήκαηα ηνπ x πνπ ε γξαθηθή ηεο

παξάζηαζε ηεο f βξίζθεηαη θάηω από ηνλ

άμνλα x x .

58) Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε 2( ) 3 2f x x x θαη ε

επζεία : 3y x . Να βξείηε ηα δηαζηήκαηα

πνπ ε fC βξίζθεηαη πάλω από ηελ επζεία .

59) Δίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο 2( ) 3 5f x x x θαη 2( ) 2 4g x x x . Να βξείηε ηα δηαζηήκαηα ηνπ

x πνπ ε fC δελ είλαη πάλω από ηελ

gC .

60) Να δείμεηε όηη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο

ζπλάξηεζεο 2 2 2( )f x x x

δελ βξίζθεηαη θάηω από ηνλ άμνλα x x .

61) Να βξείηε ην ώζηε νη παξαθάηω

εμηζώζεηο λα έρνπλ δπν ξίδεο πξαγκαηηθέο θαη

άληζεο:

α. 23 1 0x x , 3

β. 22 1 3 1 0x x , 1

2

γ. 21 2 3 3 0x x , 1

δ. 2 22 2 1 5 3 0x x

62) Να απνδείμεηε όηη νη παξαθάηω εμηζώζεηο έρνπλ ξίδεο άληζεο:

α. 2 2 1 0x ax a β. 22 10 1 7x ax a

γ. 2 4 1ax x a , 0a

63) Να απνδείμεηε όηη ε εμίζωζε

22 1 3 1 0x x , 1

2 έρεη δπν

ξίδεο πξαγκαηηθέο θαη άληζεο .

Page 45: Α΄ Λυκείου Άλγεβρα - Σημειώσεις (2015 - 2016)

- 43 -

2015-2016

πρόοδοι

Ασκήσεις

Παγώνης Θεόδωρος

Μαθηματικός

Page 46: Α΄ Λυκείου Άλγεβρα - Σημειώσεις (2015 - 2016)

πρόοδοι κεφάλαιο 5

- 44 -

§1. ακολουθίες

1) Να γξαθνύλ νη 4 πξώηνη όξνη ηεο αθνινπζίαο

2

3 1v

va

v

, 1, 2 , 3 , ...v

2) Να γξαθνύλ νη 5 πξώηνη όξνη ησλ αθνινπζηώλ : α. 2 1va v β. 2 2va v v

γ. 1

v

va

v

3) Να γξαθνύλ νη 5 πξώηνη όξνη ησλ αθνινπζηώλ :

α. 1 1a , 1

2v

v

aa

β.

1 1a , 2

1 1v va a

4) Να γξαθνύλ νη 6 πξώηνη όξνη ησλ αθνινπζηώλ :

α. 1 2a ,

1 1 2v va a β. 1 3a ,

2 1a ,

2 1v v va a a

γ. 3 2( 1)v

va δ.

1 5a , 1

7

8 1v

v

aa

5) Να γξαθνύλ νη 5 πξώηνη όξνη ηεο αθνινπζίαο

1 1 1...

1 2 2va

v v v

.

6) Δίλεηαη ε αθνινπζία 14 5va v . Να απνδεηρζεί

όηη ε δηαθνξά ησλ δηαδνρηθώλ όξσλ ηεο

αθνινπζίαο απηήο είλαη ζηαζεξόο αξηζκόο .

7) Σην παξαθάησ ζρήκα θαίλεηαη ε γξαθηθή

παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο ( ) 3 2f x x . Να

βξεζεί ε αθνινπζία va , ηεο νπνίαο ν ληνζηόο

όξνο εθθξάδεη ην εκβαδόλ ηνπ γξακκνζθηαζκέλνπ ρσξίνπ.

8) Δίλεηαη ε αθνινπζία 2 1v

va .

α. Να παξαζηαζεί γξαθηθά . β. Να βξεζεί ν αλαδξνκηθόο ηύπνο ηεο αθνινπζίαο .

9) Δίλνληαη νη αθνινπζίεο 2 2

1v

va

v

θαη

2 5v v , *v .

α. Να βξείηε ηνπο όξνπο ηεο αθνινπζίαο ( )va πνπ είλαη

θπζηθνί αξηζκνί .

β. Να βξείηε ηνπο θνηλνύο όξνπο ησλ δπν αθνινπζηώλ.

10) Δίλεηαη ε αθνινπζία 14 5va v . Να

απνδεηρζεί όηη ε δηαθνξά ησλ δηαδνρηθώλ όξσλ ηεο αθνινπζίαο απηήο είλαη ζηαζεξόο αξηζκόο .

11) Να δείμεηε όηη νη αθνινπζίεο 3 3 3( 1) ( 1)va v v v θαη 3v v έρνπλ

άπεηξνπο θνηλνύο όξνπο .

12) Θεσξνύκε ηελ αθνινπζία κε 1 1a ,

2 1a

θαη 2

3

1v v

va a

v

κε 3v . Να ππνινγίζεηε

ηνλ όξν 2016a .

§2. αριθμητική

πρόοδος

13) Να γξαθνύλ νη 3 επόκελνη όξνη ησλ παξαθάησ

αξηζκεηηθώλ πξνόδσλ:

α. 2 , 4

3 , …

β. x , 2 1x , 3 2x , …

14) Να γξαθεί ν ληνζηόο όξνο θάζε αξηζκεηηθήο

πξνόδνπ από ηηο παξαθάησ:

α. 1 2a , 1

3 β. 1

1

2a , 2

γ. 1 3a x , 1 x

Page 47: Α΄ Λυκείου Άλγεβρα - Σημειώσεις (2015 - 2016)

πρόοδοι κεφάλαιο 5

- 45 -

15) Σε κηα αξηζκεηηθή πξόνδν είλαη 1 2a θαη

3 . Να βξείηε ηνπο όξνπο 10a ,

20a , 100a

θαη 200a .

16) Να βξεζεί ην πιήζνο v ησλ όξσλ ζηηο

παξαθάησ αξηζκεηηθέο πξνόδνπο :

α. 2 , 5 , 8 , … , 326

β. 75 , 69 , 63 , … , – 75

γ. a , 3a ,

6a , … , 2a

17) Σε κηα αξηζκεηηθή πξόνδν είλαη 1 6a θαη

12 94a . Να βξείηε ηελ δηαθνξά θαη ηνλ 10ν

όξν ηεο πξνόδνπ .

18) Ο 1νο όξνο κηαο αξηζκεηηθήο πξνόδνπ είλαη – 3

θαη ν 11νο είλαη 17 . Να βξεζεί ε δηαθνξά ηεο

πξνόδνπ .

19) Σε κηα αξηζκεηηθή πξόνδν ν 7νο όξνο είλαη

ηξηπιάζηνο ηνπ 2νπ θαη ν 3νο όξνο είλαη 14 . Να

βξεζνύλ ν 1νο όξνο 1a θαη ε δηαθνξά ηεο

πξνόδνπ .

20) Να βξεζεί ε αξηζκεηηθή πξόνδνο ζηελ νπνία ν

5νο όξνο είλαη 11 θαη ν 8νο όξνο είλαη 17 .

21) Να βξείηε ηελ αξηζκεηηθή πξόνδν ζηελ νπνία

είλαη 10 65a θαη

16 113a .

22) Σε κηα αξηζκεηηθή πξόνδν ηζρύεη 1 3a θαη

21 11 25a a . Να βξείηε ηελ δηαθνξά ηεο θαη

ηνλ ληνζηό όξν ηεο πξνόδνπ .

23) Ο ληνζηόο όξνο κηαο αθνινπζίαο είλαη

7 3va v . Να απνδεηρζεί όηη ε αθνινπζία απηή

είλαη αξηζκεηηθή πξόνδνο θαη λα βξεζνύλ ν 1νο όξνο θαη ε δηαθνξά ηεο πξνόδνπ .

24) Να δείμεηε όηη νη αθνινπζίεο 2 3va v θαη

v pv q κε ,p q είλαη αξηζκεηηθέο

πξόνδνη θαη λα βξείηε ηνλ 1νο όξν θαη ηε

δηαθνξά θάζε κηαο .

25) Σε κηα αξηζκεηηθή πξόνδν ηζρύεη 73 97a a . Να

απνδείμεηε όηη 17 34a a .

26) Να βξεζεί ν αξηζκεηηθόο κέζνο ησλ:

α. 12 θαη 30 β. x θαη 7x

γ. x y θαη 3x y

27) α. Να απνδείμεηε όηη νη αξηζκνί – 5 , 8 , 21

είλαη δηαδνρηθνί όξνη αξηζκεηηθήο πξνόδνπ . β. Σηελ παξαπάλσ πξόνδν , αλ

1 5a , λα βξείηε ηνλ

20a .

28) Αλ νη αξηζκνί – 2 , x , y , 28 είλαη δηαδνρηθνί

όξνη αξηζκεηηθήο πξνόδνπ , λα βξεζνύλ νη αξηζκνί x θαη y .

29) Αλ νη αξηζκνί 9 , x , y , 1 απνηεινύλ

αξηζκεηηθή πξόνδν , λα βξείηε ηα x , y . Πνηα

είλαη ε δηαθνξά ηεο πξνόδνπ ;

30) Αλ νη αξηζκνί a , , είλαη δηαδνρηθνί όξνη

αξηζκεηηθήο πξνόδνπ , λα απνδείμεηε όηη νη αξηζκνί a , a , a είλαη

επίζεο δηαδνρηθνί όξνη αξηζκεηηθήο πξνόδνπ .

31) Να απνδείμεηε όηη γηα θάζε , ,a νη

αξηζκνί 2( )a , 2 2a θαη 2( )a είλαη

δηαδνρηθνί όξνη αξηζκεηηθήο πξνόδνπ .

32) Αλ νη αξηζκνί 2

,

2

a ,

2

a είλαη

δηαδνρηθνί όξνη αξηζκεηηθήο πξνόδνπ , λα δείμεηε

όηη ην ίδην ηζρύεη θαη γηα ηνπο αξηζκνύο 2a , 2 , 2 .

33) Αλ νη ζεηηθνί αξηζκνί a , , είλαη

δηαδνρηθνί όξνη αξηζκεηηθήο πξνόδνπ , λα δείμηε

όηη θαη νη αξηζκνί 1

a ,

1

a ,

1

είλαη επίζεο δηαδνρηθνί όξνη

αξηζκεηηθήο πξνόδνπ .

34) Να βξείηε ην x ώζηε νη αξηζκνί 4 x , 3 2x

, 6 7x λα είλαη δηαδνρηθνί όξνη αξηζκεηηθήο

πξνόδνπ .

35) Να ππνινγηζζεί ν x ώζηε ηα ηεηξάγσλα

ησλ αξηζκώλ 1 x , a x , 2a x λα απνηεινύλ

αξηζκεηηθή πξόνδν .

36) Δίλνληαη νη αξηζκνί 3 θαη 30 . Να

παξεκβιεζνύλ 8 λένη αξηζκνί ώζηε καδί κε ηνπο

3 θαη 30 λα απνηεινύλ αξηζκεηηθή πξόνδν . (Παραηήρηζη : Οη αξηζκνί απηνί νλνκάδνληαη

αξηζκεηηθνί ελδηάκεζνη)

Page 48: Α΄ Λυκείου Άλγεβρα - Σημειώσεις (2015 - 2016)

πρόοδοι κεφάλαιο 5

- 46 -

37) Μεηαμύ ησλ αξηζκώλ – 6 θαη 48 λα

παξεκβάιεηε 1x ,

2x , … , x αξηζκεηηθνύο

ελδηακέζνπο , ώζηε λα ηζρύεη 7 42x x .

38) Να παξεκβιεζνύλ :

α. 6 αξηζκεηηθνί ελδηάκεζνη κεηαμύ ησλ αξηζκώλ 4 θαη 25 .

β. 10 αξηζκεηηθνί ελδηάκεζνη κεηαμύ ησλ αξηζκώλ 4 θαη

26 . γ. 5 αξηζκεηηθνί ελδηάκεζνη κεηαμύ ησλ αξηζκώλ 5 θαη

29 . δ. 9 αξηζκεηηθνί ελδηάκεζνη κεηαμύ ησλ αξηζκώλ 9 θαη

10 .

ε. 4 αξηζκεηηθνί ελδηάκεζνη κεηαμύ ησλ ξηδώλ ηεο

εμίζσζεο 2 24 44 0x x .

39) Να παξεκβιεζνύλ κεηαμύ ησλ αξηζκώλ 3 θαη

34 άιινη αξηζκνί , ώζηε λα γίλνπλ 11 δηαδνρηθνί όξνη αξηζκεηηθήο πξνόδνπ .

40) Αλ νη αξηζκνί a , , είλαη δηαδνρηθνί όξνη

αξηζκεηηθήο πξνόδνπ , λα απνδείμεηε όηη ε

εμίζσζε 2( ) ( ) 0x a x a έρεη κηα

ξίδα δηπιή .

41) Πνηα ζρέζε πξέπεη λα ππάξρεη κεηαμύ ησλ

θαη ώζηε νη ξίδεο ηεο εμίζσζεο 4 2 0x x λα απνηεινύλ αξηζκεηηθή

πξόνδν .

42) Δίλεηαη ε εμίζσζε 2 12 0x ax κε ξίδεο 1x ,

2x θαη a . Αλ νη αξηζκνί 1x , 2 3a ,

2x

είλαη δηαδνρηθνί όξνη αξηζκεηηθήο πξνόδνπ , ηόηε:

α. λα βξείηε ηνλ αξηζκό a ,

β. λα βξείηε ηηο ξίδεο 1x θαη 2x .

43) Οη αξηζκνί a , , , είλαη ζεηηθνί θαη

δηαδνρηθνί όξνη αξηζκεηηθήο πξνόδνπ . Να δείμεηε όηη :

α. a

β. 4

2

aa

44) Να βξεζεί ην άζξνηζκα ησλ 20 πξώησλ όξσλ

ηεο αξηζκεηηθήο πξνόδνπ:

α. 7 , 10 , 13 , … β. 30 , 28 , 26 , … γ. 2 , 3 x , 4 2x , …

45) Να ππνινγηζζεί ν ληνζηόο όξνο θαη ην

άζξνηζκα ησλ v πξώησλ όξσλ ησλ πξνόδσλ :

α. 1 , 1v

v

,

2v

v

, …

β. 2 1v

v

, v ,

2 1v

v

, …

46) Ο 1νο όξνο κηαο αξηζκεηηθήο πξνόδνπ είλαη ε

κηθξόηεξε ξίδα θαη ε δηαθνξά ε κεγαιύηεξε ξίδα

ηεο εμίζσζεο 22 5 2 0x x . Να γξαθνύλ νη 5

πξώηνη όξνη ηεο πξνόδνπ θαη λα βξεζεί ην

άζξνηζκα ησλ 40 πξώησλ όξσλ ηεο .

47) Ο 1νο όξνο κηαο αξηζκεηηθήο πξνόδνπ είλαη ε

κηθξόηεξε ξίδα θαη ε δηαθνξά ε κεγαιύηεξε ξίδα

ηεο εμίζσζεο 22 7 3 0x x . Να βξεζεί ε

πξόνδνο θαη λα ππνινγηζζεί ην άζξνηζκα ησλ 21

πξώησλ όξσλ ηεο .

48) Να βξείηε ην άζξνηζκα ησλ v πξώησλ όξσλ

ηεο αθνινπζίαο : 1 , – 3 , 5 , – 7 , 9 , – 11 , …

49) Μεηαμύ δπν αξηζκώλ , νη νπνίνη έρνπλ

άζξνηζκα 36

5 , παξεκβιήζεθαλ αξηζκεηηθνί

ελδηάκεζνη , ησλ νπνίσλ ην άζξνηζκα είλαη ίζν κε 18 . Να βξεζεί πόζνη αξηζκεηηθνί ελδηάκεζνη

παξεκβιήζεθαλ .

50) Σε κηα αξηζκεηηθή πξόνδν ηζρύεη :

( 1)va a v

1 3 5 7 9 17a a a a a

2 4 6 8 10 15a a a a a

Να βξείηε ηελ δηαθνξά .

51) Η δηαθνξά κηαο αξηζκεηηθήο πξνόδνπ είλαη 4

θαη ην άζξνηζκα ησλ 10 πξώησλ όξσλ ηεο 270 . Να βξεζεί ν 1νο όξνο ηεο .

52) Ο 14νο , ν 134νο θαη ν ηειεπηαίνο όξνο κηαο

αξηζκεηηθήο πξνόδνπ είλαη αληίζηνηρα 66 , 666 , 6666 . Να βξεζνύλ ν 1νο όξνο θαη ην πιήζνο ησλ

όξσλ .

53) Να βξεζνύλ 4 αθέξαηνη αξηζκνί πνπ απνηεινύλ αξηζκεηηθή πξόνδν , αλ ην άζξνηζκα ηνπο είλαη

20 θαη ην άζξνηζκα ησλ αληηζηξόθσλ ηνπο είλαη

25

24 .

Page 49: Α΄ Λυκείου Άλγεβρα - Σημειώσεις (2015 - 2016)

πρόοδοι κεφάλαιο 5

- 47 -

54) Να βξεζνύλ 5 αξηζκνί νη νπνίνη ζρεκαηίδνπλ

αξηζκεηηθή πξόνδν , αλ ην άζξνηζκα ηνπο είλαη 45 θαη ην άζξνηζκα ησλ αληηζηξόθσλ ηνπο είλαη

137

180 .

55) Να βξείηε ην πιήζνο θαη ην άζξνηζκα :

ησλ δηςήθησλ πεξηηηώλ αξηζκώλ ,

ησλ δηςήθησλ άξηησλ αξηζκώλ ,

ησλ δηςήθησλ θπζηθώλ αξηζκώλ ,

ησλ δηςήθησλ πνιιαπιαζίσλ ηνπ 4 .

56) Να βξείηε πόζα πνιιαπιάζηα ηνπ 7 πεξηέρνληαη

κεηαμύ ηνπ 15 θαη ηνπ 300 .

57) Να ππνινγηζζνύλ ηα αζξνίζκαηα :

α. 4 9 14 ... 404 β. 7

2 5 ... 622

γ. 100 97 94 ... ( 200) δ. 3 1

1 ... ( 41)5 5

58) Να ιπζεί ε εμίζσζε : ( 1) ( 4) ( 7) ... ( 28) 155x x x x .

59) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο: α. ( 2) ( 5) ( 8) ... ( 29) 165x x x x

β. 1 7 13 ... 280x , 0x

60) α. Να απνδείμεηε όηη νη όξνη ηνπ αζξνίζκαηνο 2 2 2 24 7 ... 58x x x x απνηεινύλ αξηζκεηηθή

πξόνδν ηεο νπνίαο λα βξείηε ην πιήζνο.

β. Να ιύζεηε ηελ εμίζσζε 2 2 2 24 7 ... 58 1180x x x x .

61) Σηηο πξνόδνπο )( va : 17 , 21 , 25 , … θαη

)( v : 16 , 21 , 26 , … εκθαλίδνληαη θνηλνί όξνη

(όπσο ν 21) . Να βξείηε :

α. ηνλ επόκελν θνηλό ηνπο όξν , β. ην άζξνηζκα ησλ 20 πξώησλ θνηλώλ όξσλ ηνπο .

62) Σε κηα αθνινπζία ην άζξνηζκα ησλ v πξώησλ

όξσλ είλαη ( 1)( 2)vS v v v . Να βξείηε ηνλ 10a

63) Τν άζξνηζκα ησλ v πξώησλ όξσλ κηαο

αθνινπζίαο ( )va είλαη (3 1)vS v v .

α. Να δεηρζεί όηη ε αθνινπζία ( )va είλαη αξηζκεηηθή

πξόνδνο .

β. Να βξείηε πόζνη ηνπιάρηζηνλ όξνη ηεο ( )va

ηθαλνπνηνύλ ηελ αληζόηεηα 3

vS v .

64) Θεσξνύκε αθνινπζία κε 28vS v v .

α. Να βξεζεί ν va ζπλαξηήζεη ηνπ v .

β. Να δεηρζεί όηη είλαη αξηζκεηηθή πξόνδνο .

γ. Να βξεζεί ε ηάμε ηνπ όξνπ 263 .

65) Η αθνινπζία ( )va είλαη αξηζκεηηθή πξόνδνο κε

δηαθνξά 1

2 θαη 1ν όξν

1 3a .

α. Να βξείηε ηνλ όξν 101a .

β. Να ιύζεηε ηελ αλίζσζε 50va .

γ. Να ππνινγίζεηε ην άζξνηζκα 25S .

δ. Να ππνινγίζεηε ην άζξνηζκα 25 26 61...S a a a .

66) α. Να απνδείμεηε όηη ην άζξνηζκα ησλ v

πξώησλ θπζηθώλ αξηζκώλ είλαη ίζν ( 1)

2v

v vS

.

β. Να βξείηε ην άζξνηζκα 200 201 ... 500 .

γ. Να βξεζεί ην άζξνηζκα ησλ αξηζκώλ από ην 200

κέρξη ην 500 νη νπνίνη δελ δηαηξνύληαη κε ην 4.

67) Φσξίδνπκε ηνπο θπζηθνύο αξηζκνύο ζε

νκάδεο έηζη ώζηε ε θάζε νκάδα λα έρεη γηα

ηειεπηαίν όξν ηεο έλα ηέιεην ηεηξάγσλν , σο εμήο :

1 2 , 3 , 4

5 , 6 , 7 , 8 , 9

10 , 11 , 12 , 13 , 14 , 15 , 16 …………………………….

α. Να βξεζεί ν 1νο όξνο ηεο ληνζηήο νκάδαο β. Να βξεζεί ην πιήζνο ησλ όξσλ ηεο ληνζηήο νκάδαο

θαη ην άζξνηζκα ησλ όξσλ ηεο ληνζηήο νκάδαο .

68) Σε αξηζκεηηθή πξόνδν δίλεηαη 1 1a θαη

2

2

S

S

. Να βξείηε ηνλ

va .

69) Δίλεηαη ε αξηζκεηηθή πξόνδνο a , a ,

2a , 3a , … , a v . Σρεκαηίδνπκε

νκάδεο όξσλ ηεο πξνόδνπ . Η 1ε νκάδα πεξηέρεη

1ν όξν a , ε 2ε νκάδα πεξηέρεη ηνπο επόκελνπο

2 όξνπο a , 2a , ε 3ε νκάδα πεξηέρεη

ηνπο 3 επόκελνπο όξνπο 3a , 4a ,

5a θ.ν.θ.

α. Να βξεζεί ν 1νο όξνο θαη ν ηειεπηαίνο όξνο θάζε

νκάδαο . β. Να γξαθεί ε ληνζηή νκάδα ζηε κνξθή a ,

όπνπ θαη είλαη αθέξαηνη ζπληειεζηέο .

Page 50: Α΄ Λυκείου Άλγεβρα - Σημειώσεις (2015 - 2016)

πρόοδοι κεφάλαιο 5

- 48 -

§4. γεωμετρική

πρόοδος

70) Να βξεζνύλ νη παξαθάησ γεσκεηξηθνί πξόνδνη κε:

α. 1 5a θαη 3

β. 1

2

3a θαη

1

4

γ. 1 20a θαη

1

2

71) Να βξεζνύλ νη παξαθάησ γεσκεηξηθνί

πξόνδνη κε:

α. 1 4a θαη 3

β. 1

2

3a θαη

1

2

γ. 1 3a a θαη

1

72) Να γξαθνύλ νη επόκελνη ηξεηο όξνη ησλ

παξαθάησ γεσκεηξηθώλ πξνόδσλ: α. 4 , 2 , 1 , … β. 1 , 2 , 2 , …

γ. 3x , 26x , 312x , … δ. 2x , 2x , 4 , …

73) Να βξεζνύλ :

α. ν 10νο όξνο ηεο γεσκεηξηθήο πξνόδνπ 3 , 6 , 12 , …

β. ν 6νο όξνο ηεο γεσκεηξηθήο πξνόδνπ 1 , 1

2 ,

1

4 , …

γ. ν 5νο όξνο ηεο γεσκεηξηθήο πξνόδνπ 1

2 , 1 , 2 , …

74) Να βξεζνύλ:

α. ν 6a εάλ 1 2a θαη 1

3 ,

β. ν 1a εάλ 6 448a θαη 2 ,

γ. ν εάλ 1 9a θαη 5 144a ,

δ. ν v εάλ 1 2a , 3 θαη 162va ,

ε. ν v εάλ 1 3a , 2 θαη 1536va .

75) Να γξαθνύλ νη 5 πξώηνη όξνη γεσκεηξηθήο

πξνόδνπ όηαλ : α. 2 θαη

6 448a β.

1

2 θαη

5

1

16a

76) Να βξεζεί ν 1νο όξνο θαη ν ιόγνο ηεο

γεσκεηξηθήο πξνόδνπ ζηηο παξαθάησ πεξηπηώζεηο:

α. 3 10a θαη

6 80a β. 5 2a θαη

7 18a

γ. 5

4a x θαη 3

8a x

77) Σηελ γεσκεηξηθή πξόνδν κε 1

1

2a ,

1

64va

θαη 1

2 λα βξείηε ην πιήζνο v .

78) Δίλνληαη νη πξόνδνη ( )va : a , a , 2a

, … θαη ε ( )v : a , a , 2a , … . Να

ππνινγηζζνύλ νη , , ώζηε λα ηζρύεη 3 3a

θαη 4 4a . Να γξαθνύλ νη 4 πξώηνη όξνη ησλ

πξνόδσλ .

79) Δίλεηαη ε αθνινπζία ( )va πνπ νξίδεηαη σο

εμήο 1

1

5

2

3 1v v

a

a a

.

α. Να δείμεηε όηη ε αθνινπζία ( )v κε 1

2v va είλαη

γεσκεηξηθή πξόνδνο θαη λα βξείηε ηνλ ιόγν ηεο .

β. Να εθθξάζεηε ηνλ όξν va σο ζπλάξηεζε ηνπ

v .

80) Δίλεηαη ε αθνινπζία ησλ αξηζκώλ va κε

όξνπο 2 , 3 , 5 , 9 , 17 , 33 , … .

α. Να παξαηεξήζεηε όηη νη δηαδνρηθέο δηαθνξέο ησλ όξσλ ηεο αθνινπζίαο νξίδνπλ γεσκεηξηθή πξόνδν.

β. Να βξείηε ηνλ ληνζηό όξν ηεο αθνινπζίαο.

81) Μηα γεσκεηξηθή πξόνδνο 1a ,

2a , 3a , …

έρεη | | 1 . Να απνδείμεηε όηη 2

1a , 2

2a , 2

3a , …

είλαη θαη απηή γεσκεηξηθή πξόνδνο , λα βξείηε

ηνλ ιόγν ηεο θαη λα δείμεηε όηη είλαη απνιύησο κηθξόηεξνο ηνπ 1 .

82) Θεσξνύκε ηελ γεσκεηξηθή πξόνδν ( )v ηεο

νπνίαο δπν δηαδνρηθνί όξνη 1v θαη

v

ηθαλνπνηνύλ ηελ ζρέζε 1 0,05v v

v

. Να

εθθξαζηεί ν v σο ζπλάξηεζε ηνπ v εάλ

1 100 .

83) Έζησ va κηα γεσκεηξηθή πξόνδνο κε ιόγν

θαη 1ν όξν 1a . Αλ 1 , λα εθθξάζεηε ηελ

δηαθνξά 1v va a σο ζπλάξηεζε ησλ v , 1a θαη

.

Page 51: Α΄ Λυκείου Άλγεβρα - Σημειώσεις (2015 - 2016)

πρόοδοι κεφάλαιο 5

- 49 -

84) Να ζρεκαηηζζεί ε γεσκεηξηθή πξόνδνο , ε

νπνία έρεη σο 1ν όξν ηελ κεγαιύηεξε ξίδα ηεο

εμίζσζεο 212 17 6 0x x θαη σο ιόγν ηελ

κηθξόηεξε ξίδα ηεο .

85) Να βξεζεί ν x ώζηε νη αξηζκνί 6x , 2x θαη

8 20x λα απνηεινύλ γεσκεηξηθή πξόνδν .

86) Να βξεζεί ν x ώζηε νη αξηζκνί 3 x , 5 x

θαη 6 x λα είλαη δηαδνρηθνί όξνη γεσκεηξηθήο

πξνόδνπ .

87) Σηελ αθνινπζία 6 , – 9 , x , y νη 3 πξώηνη

όξνη απνηεινύλ δηαδνρηθνύο όξνπο αξηζκεηηθήο

πξνόδνπ θαη νη ηειεπηαίνη 3 , γεσκεηξηθήο πξνόδνπ . Να βξεζνύλ νη x , y .

88) Αλ νη αξηζκνί 3 , x , y θαη 64

9 είλαη

δηαδνρηθνί όξνη γεσκεηξηθήο πξνόδνπ , λα

βξεζνύλ νη x , y .

89) Πνηόλ αξηζκό πξέπεη λα πξνζζέζνπκε ζε

θάζε έλα από ηνπο αξηζκνύο – 1 , 1 θαη 7 ώζηε

λα γίλνπλ δηαδνρηθνί όξνη γεσκεηξηθήο πξνόδνπ .

90) Ο αξηζκεηηθόο κέζνο 2 αξηζκώλ είλαη 13

2

θαη ν γεσκεηξηθόο κέζνο ησλ ίδησλ αξηζκώλ είλαη

6 . Να βξείηε ηνπο αξηζκνύο απηνύο .

91) Αλ νη αξηζκνί 2a , θαη 2 είλαη

δηαδνρηθνί όξνη γεσκεηξηθήο πξνόδνπ , λα

απνδεηρζεί όηη νη αξηζκνί 1

a ,

1

θαη

1

είλαη

δηαδνρηθνί όξνη αξηζκεηηθήο πξνόδνπ .

92) α. Αλ a a

a a

, λα απνδεηρζεί όηη νη a

, , είλαη δηαδνρηθνί όξνη γεσκεηξηθήο

πξνόδνπ.

β. Αλ νη a , , είλαη δηαδνρηθνί όξνη γεσκεηξηθήο

πξνόδνπ , λα απνδεηρζεί όηη 2

2

( )

( )

a a

.

93) Αλ a , , θαη είλαη ζεηηθνί αξηζκνί

θαη δηαδνρηθνί όξνη γεσκεηξηθήο πξνόδνπ , ηόηε ζα είλαη | | 3 | |a .

94) Αλ 0a θαη 3 3 3 0a , λα

απνδεηρζεί όηη νη αξηζκνί a , θαη 3

2

είλαη

δηαδνρηθνί όξνη γεσκεηξηθήο πξνόδνπ .

95) Αλ ζε αξηζκεηηθή πξόνδν νη όξνη ηάμεσο

, , v θαη απνηεινύλ δηαδνρηθνύο όξνπο

γεσκεηξηθήο πξνόδνπ , λα δείμεηε όηη νη αξηζκνί

, v θαη v απνηεινύλ γεσκεηξηθή

πξόνδν .

96) Αλ ζε κηα γεσκεηξηθή πξόνδν είλαη 1 8a

θαη 1

4 λα βξείηε ην άζξνηζκα ησλ 4 πξώησλ

όξσλ ηεο .

97) Να βξεζνύλ ηα παξαθάησ αζξνίζκαηα :

α. 1

81 27 9 ...81

β. 8 4 2 27

...81 27 9 16

γ. 1 1 1

... 2568 4 2 δ.

1 1 1 1... 243 32

9 4 3 2

98) Να βξείηε ην 4S ζηελ γεσκεηξηθή πξόνδν

κε 10 48 2a , 7 24a .

99) Δίλεηαη ε αθνινπζία – 1 , 2 , – 4 , 8 , … .

Να βξεζνύλ: α. Τν άζξνηζκα ησλ 6 πξώησλ όξσλ ηεο .

β. Τν πιήζνο ησλ δηαδνρηθώλ όξσλ πνπ πξέπεη λα πξνζζέζνπκε , γηα λα πάξνπκε άζξνηζκα 85 .

100) Να ππνινγηζηεί ην άζξνηζκα 2 3 4 5 ...S a x ax x ax x κε 2v

όξνπο .

101) Να βξείηε ην άζξνηζκα ησλ v αξηζκώλ ηεο

κνξθήο : 2 , 22 , 222 , 2222 , … , 22...2v ό

.

102) Να δείμεηε όηη

11

23 3 3... 3 3

v

v ό

.

103) Να ιπζεί ε εμίζσζε 2 32 2 2 ... 2 2046x .

104) Να ιπζεί ε εμίζσζε 2 2 41 ... (1 )(1 )(1 )xa a a a a a .

Page 52: Α΄ Λυκείου Άλγεβρα - Σημειώσεις (2015 - 2016)

πρόοδοι κεφάλαιο 5

- 50 -

105) Έζησ *a θαη ε αθνινπζία v κε

2 1v

a v

a

, 1v . Να δείμεηε όηη ε

v

απνηειεί αξηζκεηηθή πξόνδν θαη λα ππνινγίζεηε

ην άζξνηζκα 1 2 ... vS .

106) Να βξεζεί ε γεσκεηξηθή πξόνδνο εάλ :

α. 4 2 24a a θαη

2 3 6a a β.

4 64a a θαη 2 8

1

4a a

107) Τν άζξνηζκα ησλ 6 πξώησλ όξσλ γεσκεηξηθήο πξνόδνπ είλαη 9 θνξέο ην άζξνηζκα

ησλ 3 πξώησλ όξσλ ηεο . Να βξεζεί ν ιόγνο ηεο

πξνόδνπ .

108) Αλ 1x ,

2x είλαη νη ξίδεο ηεο εμίζσζεο 2 3 0x x a θαη

3x , 4x νη ξίδεο ηεο εμίζσζεο

2 12 0x x θαη νη αξηζκνί 1x ,

2x , 3x ,

4x

απνηεινύλ δηαδνρηθνύο όξνπο γεσκεηξηθήο

πξνόδνπ κε 1 , ηόηε λα βξεζεί ε πξόνδνο

θαζώο θαη ηα a , .

109) Να βξεζνύλ 3 αξηζκνί πνπ είλαη δηαδνρηθνί

όξνη γεσκεηξηθήο πξνόδνπ , αλ γλσξίδνπκε όηη

ην άζξνηζκα ησλ 2 πξώησλ είλαη 8 θαη ησλ 2 ηειεπηαίσλ είλαη 24 .

110) Να βξεζνύλ 3 αξηζκνί πνπ είλαη δηαδνρηθνί

όξνη αύμνπζαο γεσκεηξηθήο πξνόδνπ , αλ ην άζξνηζκά ηνπο είλαη 26 θαη ν κεγαιύηεξνο

ππεξβαίλεη θαηά 10 ην άζξνηζκα ησλ άιισλ δπν.

111) Να βξεζνύλ 4 αξηζκνί πνπ είλαη δηαδνρηθνί όξνη γεσκεηξηθήο πξνόδνπ , αλ γλσξίδνπκε όηη

ην άζξνηζκα ηνπο είλαη 15 θαη ην άζξνηζκα ησλ

ηεηξαγώλσλ ηνπο 85 .

112) Μηα γεσκεηξηθή πξόνδνο έρεη 5 όξνπο . Ο

ιόγνο ηεο είλαη ίζνο κε ην 1

3 ηνπ 1νπ όξνπ θαη ην

άζξνηζκα ησλ 2 πξώησλ όξσλ είλαη 18 . Να

βξεζνύλ νη 5 όξνη ηεο .

113) α. Να βξείηε αξηζκεηηθή πξόνδν κε 1ν όξν

1 1a θαη δηαθνξά 0 ηεο νπνίαο ν 2νο , ν

10νο θαη ν 34νο όξνο είλαη αληηζηνίρσο νη 3

πξώηνη όξνη κηαο γεσκεηξηθήο πξνόδνπ .

β. Ο 4νο όξνο ηεο παξαπάλσ γεσκεηξηθήο πξνόδνπ είλαη ν ληνζηόο όξνο ηεο αξηζκεηηθήο πξνόδνπ. Να

βξείηε ην v .

114) Σε κηα αξηζκεηηθή πξόνδν κε δηαθνξά

ζεηηθή ( 0 ) ν 1νο , ν 3νο θαη ν 6νο όξνο ηεο

είλαη δηαδνρηθνί όξνη γεσκεηξηθήο πξνόδνπ . Αλ

ν 1νο όξνο ηεο αξηζκεηηθήο πξνόδνπ είλαη 8 , λα βξεζνύλ ε δηαθνξά ηεο αξηζκεηηθήο πξνόδνπ

θαη ν ιόγνο ηεο γεσκεηξηθήο πξνόδνπ .

115) Οη αξηζκνί 3 1x θαη 6 1x είλαη νη 2

πξώηνη όξνη αξηζκεηηθήο πξνόδνπ θαη νη αξηζκνί 1x θαη 3x είλαη νη 2 πξώηνη όξνη γεσκεηξηθήο

πξνόδνπ . Αλ ε δηαθνξά ηεο αξηζκεηηθήο πξνόδνπ είλαη δηπιάζηα ηνπ ιόγνπ ηεο

γεσκεηξηθήο πξνόδνπ , λα βξεζεί ν x .

116) Να παξεκβάιεηε 4 γεσκεηξηθνύο κέζνπο

κεηαμύ ησλ αξηζκώλ 2 θαη 64 .

117) Μεηαμύ ησλ ξηδώλ ηεο εμίζσζεο 216 33 20 0x x λα παξεκβιεζνύλ 4

γεσκεηξηθνί

118) Δίλνληαη νη ζεηηθνί αξηζκνί a θαη .

α. Να βξεζνύλ ν αξηζκεηηθόο κέζνο θαζώο θαη ν

γεσκεηξηθόο κέζνο .

β. Να απνδεηρζεί όηη ν αξηζκεηηθόο κέζνο είλαη κεγαιύηεξνο ή ίζνο ηνπ γεσκεηξηθνύ κέζνπ .

γ. Να απνδεηρζεί όηη 2 2 2a a a .

119) Να εμεηάζεηε αλ νη 3 πξώηνη όξνη 1a ,

2a

θαη 3a κηαο αθνινπζίαο ( )va είλαη ηαπηόρξνλα

δηαδνρηθνί όξνη αξηζκεηηθήο θαη γεσκεηξηθήο

πξνόδνπ .

120) Έζησ νη όξνη κηαο αθνινπζίαο a θαη

a κε . Να βξείηε ηνλ όξν a όηαλ :

α. ε αθνινπζία είλαη αξηζκεηηθή πξόνδνο.

β. ε αθνινπζία είλαη γεσκεηξηθή πξόνδνο κε ζεηηθνύο όξνπο .

Page 53: Α΄ Λυκείου Άλγεβρα - Σημειώσεις (2015 - 2016)

πρόοδοι κεφάλαιο 5

- 51 -

§5. προβλήματα

121) Σην παξαθάησ ζρήκα δίλεηαη κηα γξακκή πνπ πξνέξρεηαη από εκηθύθιηα κε ην ίδην θέληξν

θαη αθηίλεο 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 . Να βξείηε ην

κήθνο ηεο γξακκήο . Σηελ ζπλέρεηα λα γεληθεύζεηε γηα v εκηθύθιηα .

122) Να δείμεηε όηη ε αθνινπζία ησλ εκβαδώλ

1 , 2 ,

3 , … , v ηνπ δηπιαλνύ ζρήκαηνο

απνηειεί γεσκεηξηθή πξόνδν ηεο νπνίαο λα βξείηε ηελ δηαθνξά .

123) Ο αξρηθόο κεληαίνο κηζζόο ελόο εξγάηε ζε

κηα εηαηξεία είλαη 600 € . Κάζε κήλα ν κηζζόο ηνπ απμάλεηαη θαηά 15 € . Με

1a ζπκβνιίδνπκε

ηνλ κηζζό ηνπ ηνλ 1ν κήλα θαη κε va ηνλ κηζζό

ηνπ ηνλ ληνζηό κήλα . Να ππνινγίζεηε ην ύςνο

ησλ απνδνρώλ ηνπ ζην ηέινο ησλ 2 ρξόλσλ εξγαζίαο ζηελ εηαηξεία απηή .

124) Έλα ξνιόη ζεκαίλεη ηηο ώξεο από 1 κέρξη

12. Πόζα ρηππήκαηα θάλεη ζε έλα 24σξν ;

125) Σε έλα νπξαλνμύζηε 17 νξόθσλ , ηα

γξαθεία ηνπ ηδίνπ νξόθνπ έρνπλ ην ίδην ελνίθην . Κάζε γξαθείν ηνπ 1νπ νξόθνπ ελνηθηάδεηαη 550 €

ην κήλα . Κάζε γξαθείν ελόο νξόθνπ ελνηθηάδεηαη 35 € ην κήλα αθξηβόηεξα από έλα

γξαθείν ηνπ πξνεγνύκελνπ νξόθνπ .

α. Πνην είλαη ην κεληαίν ελνίθην ελόο γξαθείνπ ηνπ 5νπ νξόθνπ ;

β. Πόζν αθξηβόηεξν είλαη ην γξαθείν ηνπ 15νπ νξόθνπ από έλα ηνπ 7νπ νξόθνπ ;

γ. Σε πνηνπο νξόθνπο ην ελνίθην μεπεξλά ηα 1000 € ην

κήλα ; δ. Αλ ην πιήζνο ησλ γξαθείσλ ελόο νξόθνπ είλαη

κηθξόηεξν θαηά 2 από ην πιήζνο ησλ γξαθείσλ ακέζσο επόκελνπ νξόθνπ θαη ν 17νο όξνθνο έρεη 12

γξαθεία , πόζα γξαθεία έρεη ν 1νο όξνθνο ;

126) Έλα ζέαηξν έρεη 12 ζεηξέο θαζηζκάησλ . Η 1ε ζεηξά έρεη 10 θαζίζκαηα θαη θάζε επόκελε

έρεη 3 θαζίζκαηα πεξηζζόηεξα από ηελ

πξνεγνύκελή ηεο . α. Πόζα θαζίζκαηα έρεη ε ηειεπηαία ζεηξά ;

β. Πόζα θαζίζκαηα έρεη όιν ην ζέαηξν ; γ. Σε κηα παξάζηαζε ηα εηζηηήξηα ηεο 7εο ζεηξάο

δηαλεκήζεθαλ δσξεάλ θαη όια ηα ππόινηπα

πνπιήζεθαλ πξνο 10 € ην έλα . Πόζα ρξήκαηα εηζέπξαμε ην ζέαηξν από ηελ παξάζηαζε απηή ;

127) Σε κηα ακθηζεαηξηθή αίζνπζα ζεάηξνπ κε

20 ζεηξέο θαζηζκάησλ , ην πιήζνο ησλ θαζηζκάησλ θάζε ζεηξάο ζρεκαηίδεη αξηζκεηηθή

πξόνδν . Η 1ε ζεηξά έρεη 16 θαζίζκαηα θαη ε 7ε ζεηξά έρεη 28 θαζίζκαηα .

α. Πόζα θαζίζκαηα έρεη ε 10ε ζεηξά ;

β. Πόζα θαζίζκαηα ππάξρνπλ από ηελ 4ε έσο θαη ηελ 10ε ζεηξά ;

Αλ ζηελ 1ε ζεηξά ηεο αίζνπζαο απηήο ππάξρνπλ 6 θελά θαζίζκαηα , ζηελ 2ε ππάξρνπλ 9 θελά θαζίζκαηα ,

ζηελ 3ε ζεηξά 12 θ.ν.θ. , α. από πνηα ζεηξά θαη πέξα ζα ππάξρνπλ κόλν θελά

θαζίζκαηα ;

β. πόζνη είλαη νη ζεαηέο ;

128) Έλαο αζζελήο παίξλεη δόζε ησλ 10 mg

ελόο θαξκάθνπ θάζε 4ώξν . Σην ρξνληθό απηό

δηάζηεκα δηαζπάηαη ην 1

4 ηεο πνζόηεηαο ηνπ

θαξκάθνπ πνπ βξίζθεηαη ζηελ αξρή ηνπ 4ώξνπ ζην αίκα ηνπ αζζελνύο ελώ ην ππόινηπν

παξακέλεη ζην αίκα ηνπ αζζελνύο . α. Να βξείηε ηελ πνζόηεηα ηνπ θαξκάθνπ πνπ έρεη

ζην αίκα ηνπ ν αζζελήο κόιηο πάξεη ηελ 2ε δόζε ηνπ

θαξκάθνπ . β. Να βξείηε ηελ πνζόηεηα ηνπ θαξκάθνπ πνπ έρεη

ζην αίκα ηνπ ν αζζελήο ζην ηέινο ηνπ 12 ώξνπ .

Page 54: Α΄ Λυκείου Άλγεβρα - Σημειώσεις (2015 - 2016)

πρόοδοι κεφάλαιο 5

- 52 -

129) Η ηηκή αγνξάο ελόο ειεθηξνληθνύ

ππνινγηζηή είλαη κεγαιύηεξε από 1860 € θαη κηθξόηεξε από 1920 € . Καηά ηελ αγνξά

ζπκθσλήζεθαλ ηα εμήο: Να δνζεί πξνθαηαβνιή 360 € . Η εμόθιεζε ηνπ ππόινηπνπ πνζνύ λα

γίλεη ζε 10 κεληαίεο δόζεηο . Κάζε δόζε λα είλαη

κεγαιύηεξε από ηελ πξνεγνύκελε θαηά € ,

όπνπ άξηηνο . Η 4ε δόζε λα είλαη 144 € .

α. Να εθθξάζεηε ην πνζό ηεο 1εο δόζεο σο ζπλάξηεζε

ηνπ .

β. Να εθθξάζεηε ηελ ηηκή αγνξάο σο ζπλάξηεζε ηνπ

.

γ. Να βξείηε ηελ ηηκή ηνπ .

δ. Να βξείηε ην πνζό ηεο ηειεπηαίαο δόζεο .

130) Τνλ Ινύιην ηνπ 2009 , ζηελ Δηεύζπλζε

Δεπηεξνβάζκηαο Εθπαίδεπζεο Αγξηλίνπ , έγηλε ε

παξαιαβή Μεραλνγξαθηθώλ Δειηίσλ ησλ ππνςεθίσλ γηα ηελ εηζαγσγή ηνπο ζηα Α.Ε.Ι. θαη

Τ.Ε.Ι. ηεο ρώξαο . Η πξνζεζκία θαηάζεζεο ησλ

Μεραλνγξαθηθώλ Δειηίσλ νξίζηεθε από ην ΥΠ.Ε.Π.Θ. θαη είρε δηάξθεηα 10 εκεξώλ . Τελ 1ε

εκέξα πξνζήιζαλ 42 ππνςήθηνη από ηνπο νπνίνπ νη 40 ζπκκεηείραλ ζηηο εμεηάζεηο θαη νη 2

θαηέζεζαλ ην Μεραλνγξαθηθό ηνπο Δειηίν γηα λα θαηαιάβνπλ ην 10 % ησλ ζέζεσλ (ρσξίο λα

ζπκκεηέρνπλ ζε λέεο εμεηάζεηο) . Τελ 2ε εκέξα

πξνζήιζαλ 49 ππνςήθηνη θαη δηαπηζηώζεθε όηη νη 45 ήηαλ κε εμεηάζεηο θαη νη 4 κε ην 10 % .

Σηελ ζπλέρεηα δηαπηζηώζεθε όηη νη ππνςήθηνη κε εμεηάζεηο απμάλνληαλ θαηά 5 ηελ εκέξα ελώ νη

ππνςήθηνη ηνπ 10 % 2πιαζηάδνληαλ θάζε

εκέξα. α. Πόζνη θαηέζεζαλ ην Μεραλνγξαθηθό ηνπο ηελ 5ε

εκέξα ; β. Πόζνη ππνςήθηνη ηνπ 10 % θαηέζεζαλ ην

Μεραλνγξαθηθό ηνπο ηελ 7ε εκέξα ; γ. Πόζνη ζπλνιηθά θαηέζεζαλ Μεραλνγξαθηθό Δειηίν

σο ην ηέινο ηεο 10ήο εκέξαο ;

131) Έλαο πιεζπζκόο βαθηεξηδίσλ 3πιαζηάδεηαη

ζε αξηζκό θάζε 1 ώξα . α. Αλ αξρηθά ππάξρνπλ 100 βαθηεξίδηα , λα βξείηε ην

πιήζνο ησλ βαθηεξηδίσλ ύζηεξα από 9 ώξεο . β. Σην ηέινο ηεο 9εο ώξαο ν πιεζπζκόο ησλ

βαθηεξηδίσλ ςεθάδεηαη κε κηα νπζία , ε νπνία ζηακαηά ηνλ πνιιαπιαζηαζκό ηνπο θαη ζπγρξόλσο πξνθαιεί ηελ

θαηαζηξνθή 2700 βαθηεξηδίσλ θάζε 1 ώξα.

i. Να βξείηε ηνλ πιεζπζκό ησλ βαθηεξηδίσλ πνπ απνκέλνπλ 20 ώξεο κεηά ηνλ ςεθαζκό .

ii. Μεηά από πόζεο ώξεο από ηελ ζηηγκή ηνπ ςεθαζκνύ ζα θαηαζηξαθνύλ όια ηα βαθηεξίδηα ;

Page 55: Α΄ Λυκείου Άλγεβρα - Σημειώσεις (2015 - 2016)

- 53 -

2015-2016

βασικές έννοιες συναρτήσεων

Ασκήσεις

Παγώνης Θεόδωρος

Μαθηματικός

Page 56: Α΄ Λυκείου Άλγεβρα - Σημειώσεις (2015 - 2016)

βασικές έννοιες των συναρτήσεων κεφάλαιο 6

- 54 -

§1. η έννοια τησ ςυνάρτηςησ

1) Έζησ ε ζπλάξηεζε f πνπ παξηζηάλεηαη κε ην

δηπιαλό βειινδηάγξακκα . Να βξείηε :

α. Τν πεδίν νξηζκνύ ηεο f .

β. Τα (0)f , (2)f .

γ. Τν ζύλνιν ηηκώλ ηεο f .

2) Να εμεηάζεηε πνηα από ηα παξαθάησ βειεδηαγξάκκαηα παξηζηάλνπλ ζπλάξηεζε:

α.

β.

γ.

δ.

3) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε 2( ) 2 1f x x x . Να

ππνινγίζεηε ηα : (0)f , (1)f , (1 2)f ,

( 2)f x , 2(3 )f x , ( )f x , ( (1))f f .

4) Αλ 2( ) 2f x x x , λα βξείηε ηηο ηηκέο:

α. 1

( )2

f β. 2( )f x

γ. (2 )f x δ. (1 ) (1 )f x f x

5) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε 2( ) | | 2f x x x . Να

ππνινγίζεηε ηνπο αξηζκνύο :

α. (0)f β. ( 1)f γ. (| |)f x δ. 2( )f x

6) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε ( ) 2 1f x x .

α. Να ππνινγίζεηε ηηο παξαζηάζεηο :

i. (3) ( 1)

4

f f ii.

(2 ) (2)f h f

h

β. Να ιπζεί ε εμίζσζε 6 (1) (30) (3)x f f f .

γ. Να βξείηε ην a ώζηε 2( ) 2f a .

7) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε 1

( )3

xf x

. Να ιπζεί ε

εμίζσζε 3[ ( ) 2] 2[ ( ) 1] 12 ( ) 2f x f x f x .

8) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε 3( ) 2f x x x . Να ιύζεηε:

α. ηελ εμίζσζε ( ) 0f x .

β. ηελ εμίζσζε ( 1) ( ) 1f x f x .

γ. ηελ αλίζσζε 2(2 ) 8 ( )f x f x x ζην 0 , .

9) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε 2( ) 1f x x . Να βξείηε ην

ώζηε :

α. ( 1) 3f β. (2) 3 5f

10) Αλ 2( )f x ax , λα βξείηε ηα a θαη

ώζηε λα ηζρύεη ( 2) 7f θαη (3) 3f .

11) Αλ ( ) 2 1f x a x x , λα βξείηε ηα a θαη

ώζηε λα ηζρύεη (0) 0f θαη ( 1) 6f .

12) Αλ

23 1 , 1

( ) 2, 1

1

x x

f xx

x

, λα βξείηε ηηο ηηκέο

(0)f , (1)f , ( 2)f . Σηελ ζπλέρεηα λα ιπζεί ε

εμίζσζε ( ) 2f x .

Page 57: Α΄ Λυκείου Άλγεβρα - Σημειώσεις (2015 - 2016)

βασικές έννοιες των συναρτήσεων κεφάλαιο 6

- 55 -

13) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε

2

3 1 , , 2

( ) 2 , 2 , 5

1 , 5 ,10

x x

f x x

x x

.

α. Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ηεο f .

β. Να βξείηε αλ ππάξρνπλ ηα ( 1)f , (5 2)f , (3)f

, (12)f .

γ. Να ιύζεηε ηελ εμίζσζε (2) 3 (0) 0fx f .

14) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε 2

2

1 , 0( )

1 , 0

x xf x

x x

.

α. Υπνινγίζηε ηνπο αξηζκνύο (0)f , (1)f , ( 1)f .

β. Αλ ηζρύεη 22 ( 1) (2) (0)f af a f , λα πξνζδηνξίζεηε

ηνλ a .

15) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε

, | | 1

( ) 1, | | 1

x x

f xx

x

. Να

βξείηε ηνπο αξηζκνύο 1

2f

, ( 2)f , ( 2)f ,

4f

, (1)f .

16) Αλ είλαη ζπλάξηεζε ε 2 , 1

( )3 2 , 1

ax xf x

ax x

,

λα βξείηε :

α. ην a ,

β. ηνλ ηύπν ηεο f ,

γ. ηα 5 1f , 1

5 1f

,

δ. λα ιύζεηε ηελ εμίζσζε ( ) 4f x

17) Αλ 2

1 , 0( )

2 , 0

ax xf x

x x

, λα βξείηε ηα a θαη

ώζηε λα ηζρύεη (1) 3f θαη ( 2) 1f . Σηελ

ζπλέρεηα λα βξείηε ηελ ηηκή ηεο παξάζηαζεο

1 12 (0) 3 (1) 3 ( ) 5 ( )

2 2f f f f .

18) Αλ

2

2

( 1) , 0

( ) , 0 1

3 , 1

x x

f x x x

x x

, λα βξείηε ηα

θαη ώζηε λα ηζρύεη ( 2) 5 (2)f f θαη

12 (1) 3 ( )

2f f . Σηελ ζπλέρεηα λα βξείηε ηελ ηηκή

ηεο παξάζηαζεο

1(0) 3 (1) 3 ( 2) 2 ( )

2f f f f .

19) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε 4

1 , 1( ) 2

, 1

axx

f x

ax x

.

α. Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ηεο f .

β. Να βξείηε ηα a θαη ώζηε (0) (1) 0f f θαη

(2) 64f .

γ. Γηα 4a θαη 0 λα ιύζεηε ηελ εμίζσζε

3( 1)

2f x f

.

20) Έζησ ε ζπλάξηεζε

3

3 1 , 1( )

2 , 1

ax xf x

x x x

. Αλ (2) 10f , λα

βξείηε ηα a θαη .

21) Να βξεζεί ην πεδίν νξηζκνύ ησλ παξαθάησ

ζπλαξηήζεσλ:

α. 3( ) 5 6f x x x β. 2( ) 2 7 10f x x x

γ. 4( ) 1f x x x δ.

2 1 1( )

3 2

x xf x

ε. 2 5 1

( )3 2

x xf x

ζη.

1 2( )

4 5

x xf x

22) Να βξεζεί ην πεδίν νξηζκνύ ησλ παξαθάησ

ζπλαξηήζεσλ:

α. 2

1( )

3 2

xf x

x x

β. ( )

| | 1

xf x

x

γ. 20 19 3

( )x x x

f xx

δ.

2

2

1( )

1

xf x

x

ε. 2 9

( )3

xf x

x

ζη.

3

1 2( )

4

xf x

x x

δ. 2

3 | |( )

2 1

x xf x

x x

ε.

1 | |( )

1 | |

xf x

x

ζ. 2

2

1( )

1

xf x

x

23) Να βξεζεί ην πεδίν νξηζκνύ ησλ παξαθάησ

ζπλαξηήζεσλ:

α. ( ) 1f x x β. 2( ) 1f x x

γ. ( ) 2 3f x x δ. 3 1

( )2 1

f x xx

ε. 2

( )1 1

xf x

x x

ζη.

1 2( )

4

xf x

x

Page 58: Α΄ Λυκείου Άλγεβρα - Σημειώσεις (2015 - 2016)

βασικές έννοιες των συναρτήσεων κεφάλαιο 6

- 56 -

24) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε 2 4

( )| | 2

xf x

x

.

α. Να βξεζεί ην πεδίν νξηζκνύ ηεο ζπλάξηεζεο f .

β. Να απινπνηεζεί ν ηύπνο ηεο f .

γ. Να ιπζεί ε αλίζσζε ( ) 3f x .

25) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε 2

| |( )

2 | |

xf x

x x

.

α. Να βξεζεί ην πεδίν νξηζκνύ ηεο ζπλάξηεζεο f .

β. Να απινπνηεζεί ν ηύπνο ηεο f .

γ. Να ιπζεί ε εμίζσζε 1

( )2

f x .

δ. Να βξείηε ην ( 3)f κε ξεηό παξνλνκαζηή .

26) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε 2

2

2 | | 1( )

1

x xf x

x

.

α. Να βξεζεί ην πεδίν νξηζκνύ ηεο ζπλάξηεζεο f .

β. Να δείμεηε όηη | | 1

( )| | 1

xf x

x

.

γ. Να ιπζεί ε εμίζσζε 1

( )3

f x .

δ. Να ιύζεηε ηελ αλίζσζε 1( ) 2f x .

27) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε 2

1, 2

( ) 2

3 , 2

xf x x

x x

.

α. Να βξείηε ην ( 3)f θαη λα ην γξάςεηε κε ξεηό

παξνλνκαζηή .

β. Να βξείηε ην 1

f aa

, 0a .

γ. Αλ 2005(2)f f , ηόηε λα βξείηε ην .

δ. Να ιύζεηε ηελ αλίζσζε 1( ) 2f x .

28) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε ( )f x ax , 0a ,

x . Να απνδείμεηε όηη

( ) ( )

2 2

x y f x f yf

, γηα θάζε ,x y .

29) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε 2( )f x ax , 0a ,

x . Να απνδείμεηε όηη

( ) ( )

2 2

x y f x f yf

, γηα θάζε ,x y .

30) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε :f , γηα ηελ νπνία

ηζρύεη (3 1) 2 3f x x , γηα θάζε x . Να

βξείηε ην ( )f x .

31) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε :f , γηα ηελ νπνία

ηζρύεη 2( 2) 2f x x x , γηα θάζε x . Να

βξείηε ην ( )f x .

32) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε :f , γηα ηελ νπνία

ηζρύεη ( ) ( ) ( )f xy f x f y , γηα θάζε ,x y .

Να απνδείμεηε όηη :

α. (1) 0f .

β. 1

( )f f xx

, γηα θάζε 0x .

33) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε :f , γηα ηελ νπνία

ηζρύεη 3 ( ) (1 ) 1f x f x x , γηα θάζε x .

Να βξείηε ηα (0)f θαη (1)f .

34) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε :f , γηα ηελ νπνία

ηζρύνπλ ( ) 3f a θαη ( ) 7f f a . Να βξείηε ην

(3)f .

35) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε :f , γηα ηελ νπνία

ηζρύεη ( ) ( ) ( )f xy f x f y , γηα θάζε ,x y .

α. Να εθθξάζεηε ζπλαξηήζεη ηνπ ( )f x ηνπο αξηζκνύο:

2( )f x , 3( )f x , ( )f x

β. Να δείμεηε όηη (1) 0f .

γ. Να εθθξάζεηε ζπλαξηήζεη ηνπ ( )f x ην 1

fx

.

β. Αλ (10) 1f , λα ππνινγίζεηε ηηο ηηκέο (100)f ,

(1000)f , (0,1)f , ( 10)f .

36) Γίλεηαη νξζνγώλην παξαιιειόγξακκν ηνπ νπνίνπ νη πιεπξέο δηαθέξνπλ θαηά 2 κνλάδεο .

α. Να εθθξάζεηε ζπλαξηήζεη ηνπ x ηηο πιεπξέο ηνπ

θαη θαηόπηλ ηελ πεξίκεηξν θαη ην εκβαδόλ ηνπ .

β. Να βξείηε ηηο ηηκέο ηνπ x ώζηε ε πεξίκεηξνο λα

είλαη ηνπιάρηζηνλ 32 .

Page 59: Α΄ Λυκείου Άλγεβρα - Σημειώσεις (2015 - 2016)

βασικές έννοιες των συναρτήσεων κεφάλαιο 6

- 57 -

§2. γραφική

παράςταςη ςυνάρτηςησ

37) Έλα ζεκείν ,x y θηλείηαη ζην

γξακκνζθηαζκέλν κέξνο ηνπ θαξηεζηάλνπ επηπέδνπ ηνπ δηπιαλνύ ζρήκαηνο. Τη πεξηνξηζκνί

ηζρύνπλ γηα ηα x θαη y .

38) Αλ ην ζεκείν 3 2 ,1 5x x βξίζθεηαη ζην 3ν

ηεηαξηεκόξην λα βξείηε ηηο ηηκέο ηνπ x .

39) Να βξείηε ην ώζηε ην ζεκείν :

α. 1, 3 , λα αλήθεη ζηνλ άμνλα x x .

β. 2 1, , λα βξίζθεηαη ζηνλ εκηάμνλα Oy .

γ. 2 , 1 , λα βξίζθεηαη ζην 4ν ηεηαξηεκόξην .

40) Να βξείηε ην ζπκκεηξηθό ηνπ ζεκείνπ

3 , 2 σο πξνο :

α. ηνλ άμνλα y y .

β. ηελ δηρνηόκν ηεο 1εο θαη 3εο γσλίαο ησλ αμόλσλ .

γ. ηνλ άμνλα x x .

δ. Τελ αξρή ησλ αμόλσλ .

41) Να βξείηε ηηο απνζηάζεηο ησλ ζεκείσλ:

α. 2 , 0 , 1, 3 β. 6 ,1 , 6 , 2

γ. 3 , 2 , 3 , 2 δ. 1, 2 , 0 , 0

42) Να απνδείμεηε όηη ην ηξίγσλν ΑΒΓ κε

1, 3 , 1, 1 , 1, 1 είλαη

νξζνγώλην θαη ηζνζθειέο .

43) Να βξείηε ην είδνο ηνπ ηεηξαπιεύξνπ πνπ

ζρεκαηίδνπλ ηα ζεκεία 3 , 3 , 1, 3 ,

1, 2 θαη 1, 2 .

44) Σε έλα νξζνθαλνληθό ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ

λα ζεκεηώζεηε ηα ζεκεία 1, 3 , 1, 3 ,

1, 3 θαη 1, 3 . Να βξείηε ην είδνο ηνπ

ηεηξαπιεύξνπ πνπ ζρεκαηίδεηαη θαη λα

ππνινγίζεηε ηελ πεξίκεηξν ηνπ .

45) Αλ 4 , 0 , 0 , x , 0x θαη ( ) 5 , λα

βξείηε ην x θαη ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΟΑΒ .

46) Έζησ ην ζεκείν 2 , 0 . Να βξείηε ζεκείν

Α ηνπ εκηάμνλα Oy , ώζηε :

α. Τν ηξίγσλν ΟΑΜ λα είλαη ηζνζθειέο . β. Τν εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΟΑΜ λα είλαη 4 .

γ. ( ) 3 .

47) Γίλεηαη ην ζεκείν ,a a κε 0a . Να

θαηαζθεπάζεηε ηεηξάγσλν ΑΒΓΓ πνπ έρεη θέληξν ηελ αξρή Ο ησλ αμόλσλ θαη λα

ππνινγίζεηε ηελ πεξίκεηξν , ηελ δηαγώλην θαη ην

εκβαδόλ ηνπ .

48) Να απνδείμεηε όηη ηα ζεκεία 2 , 4 ,

3 , 1 , 7 , 9 είλαη θνξπθέο ηζνζθεινύο

ηξηγώλνπ.

49) Να βξείηε ην x , ώζηε ην ηξίγσλν κε θνξπθέο

3 , 2 , , 1x θαη 5 , 0 , λα είλαη

νξζνγώλην ζην Β .

50) Σην παξαθάησ ζρήκα είλαη ε γξαθηθή

παξάζηαζε κηαο ζπλάξηεζεο f . Να βξείηε ηα

(1)f , (0)f , ( 3)f .

51) Σην παξαθάησ ζρήκα είλαη ε γξαθηθή παξάζηαζε κηαο ζπλάξηεζεο f . Να βξείηε ηα

δηαζηήκαηα ηνπ x πνπ ε fC βξίζθεηαη :

Page 60: Α΄ Λυκείου Άλγεβρα - Σημειώσεις (2015 - 2016)

βασικές έννοιες των συναρτήσεων κεφάλαιο 6

- 58 -

α. πάλσ από ηνλ άμνλα x x

β. θάησ από ηνλ άμνλα x x .

52) Σην παξαθάησ ζρήκα είλαη ε γξαθηθή

παξάζηαζε κηαο ζπλάξηεζεο f . Να βξείηε :

α. ηα (0)f , ( 1)f , ( 2)f ,

β. ην πεδίν νξηζκνύ ηεο f ,

γ. ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο f ,

δ. ηηο ξίδεο ηεο εμίζσζεο ( ) 0f x ,

ε. ηα δηαζηήκαηα ηνπ x πνπ ε fC βξίζθεηαη :

i. πάλσ από ηνλ άμνλα x x

ii. θάησ από ηνλ άμνλα x x .

53) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε 3 2

( )2

xf x

x

.

α. Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ηεο f .

β. Να βξείηε ηα ζεκεία ηνκήο ηεο fC κε ηνπο άμνλεο .

54) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε ( ) | | 2f x x . Να βξείηε:

α. ην πεδίν νξηζκνύ ηεο f ,

β. ηα ζεκεία ηνκήο ηεο fC κε ηνπο άμνλεο ,

γ. ηα δηαζηήκαηα ηνπ x πνπ ε fC βξίζθεηαη :

i. πάλσ από ηνλ άμνλα x x

ii. θάησ από ηνλ άμνλα x x .

55) Έζησ νη ζπλαξηήζεηο , :f g κε

( ) 3 1f x x θαη ( ) 5g x x . Να βξείηε :

α. ην θνηλά ζεκεία ησλ fC θαη

gC ,

β. ηα δηαζηήκαηα ηνπ x πνπ ε fC βξίζθεηαη :

i. πάλσ από ηελ gC

ii. θάησ από ηελ gC .

56) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε 2

2 1 , 1( )

1 , 1

x xf x

x x

.

Να βξείηε ηα ζεκεία ηνκήο ηεο fC κε ηνπο

άμνλεο .

57) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε 3 2( ) ( 1) 2f x ax a x x . Αλ ε

fC δηέξρεηαη

από ηα ζεκεία 1, 2 θαη 1, 3 , λα

βξείηε ηα a θαη θαζώο θαη ηνλ ηύπν ηεο f .

58) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε 2 , 1

( ), 1

1

x a x

f x ax x

x

. Αλ ε γξαθηθή

παξάζηαζε ηεο f δηέξρεηαη από ηα ζεκεία

1, 0 θαη 2 , 5 , λα βξείηε :

α. ηα a θαη ,

β. ηελ ζπλάξηεζε f ,

γ. ηελ απόζηαζε ησλ ζεκείσλ 0 , , 2 , ,

όηαλ , fC .

59) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε

4, 0

( )

1 , 0

axx

xf x

a x x

. Αλ ε γξαθηθή

παξάζηαζε ηεο f ηέκλεη ηνλ άμνλα x x ζην – 2

θαη ηνλ άμνλα y y ζην 3 , λα βξείηε :

α. ηα a θαη ,

β. ηελ ζπλάξηεζε f ,

γ. ην ώζηε ην ζεκείν 2 , 2 λα είλαη ζεκείν

ηεο fC .

60)

Σην παξαθάησ ζρήκα είλαη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο f . Να θάλεηε ηελ γξαθηθή παξάζηαζε

ηεο ζπλάξηεζεο :

α. ( ) ( )g x f x .

β. ( ) | ( ) |g x f x .

γ. ( ) ( )g x f x .

Page 61: Α΄ Λυκείου Άλγεβρα - Σημειώσεις (2015 - 2016)

βασικές έννοιες των συναρτήσεων κεφάλαιο 6

- 59 -

§4. η ςυνάρτηςη f(x)=αx+β

61) Σην ίδην ζύζηεκα αμόλσλ λα ζρεδηάζεηε ηηο

επζείεο 1 : 2 1y x θαη 2 : 2 2y x . Πνηα

είλαη ε ζρεηηθή ζέζε ησλ επζεηώλ απηώλ ;

62) Αλ νη επζείεο 2

1

3: 1

2y x

θαη

2 : 2y x είλαη παξάιιειεο , λα βξείηε ην .

63) Γίλνληαη νη επζείεο 1 : 3(2 | |) 2y x θαη

2

1 : ( 2) 5y x . Να βξείηε ην ώζηε νη

επζείεο 1 θαη

2 λα είλαη παξάιιειεο .

64) Να βξείηε ην ώζηε ε επζεία

: (| | 2) 2y x λα είλαη παξάιιειε ζηνλ

άμνλα x x .

65) Να βξείηε ηελ επζεία πνπ ηέκλεη ηνλ άμνλα

x x ζην 2 θαη έρεη ζπληειεζηή δηεύζπλζεο – 3 .

66) Αλ ε επζεία : y x ηέκλεη ηνπο άμνλεο

x x θαη y y ζηα ζεκεία Α θαη Β αληίζηνηρα ώζηε

( ) 1 , λα βξείηε ;

α. ην ,

β. ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ πνπ ζρεκαηίδεη ε επζεία

κε ηνπο άμνλεο .

67) Αλ ε επζεία : y x ζρεκαηίδεη κε ηνπο

άμνλεο ηξίγσλν κε εκβαδόλ 4 , λα βξείηε ηελ

επζεία .

68) Σην παξαθάησ ζρήκα είλαη ε γξαθηθή

παξάζηαζε κηαο ζπλάξηεζεο f .

α. Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ηεο ζπλάξηεζεο f .

β. Να ιύζεηε : i. ηελ εμίζσζε ( ) 0f x ii. ηελ εμίζσζε ( ) 2f x

iii. ηελ αλίζσζε ( ) 0f x iv. ηελ αλίζσζε ( ) 2f x

69) Σην παξαθάησ ζρήκα είλαη ε γξαθηθή

παξάζηαζε κηαο ζπλάξηεζεο f .

α. Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ηεο ζπλάξηεζεο f .

β. Να ιύζεηε : i. ηελ εμίζσζε ( ) 2f x ii. ηελ αλίζσζε ( ) 2f x

iii. ηελ αλίζσζε ( ) 2f x

70) Έζησ ε ζπλάξηεζε ( ) | |f x x .

α. Να γίλεη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f .

β. Να ιύζεηε ηελ : i. εμίζσζε ( ) 2f x

ii. αλίζσζε ( ) 2f x

iii. αλίζσζε ( ) 2f x

71) Σην παξαθάησ ζρήκα ζην ίδην ζύζηεκα αμόλσλ είλαη ε γξαθηθή παξάζηαζε κηαο

ζπλάξηεζεο f θαη ε επζεία : 2 1y x .

α. Να βξείηε ηα (1)f , (1)f .

β. Να ιύζεηε ηελ εμίζσζε ( ) 2 1f x x .

γ. Να ιύζεηε ηελ εμίζσζε ( ) 2 1f x x .

Page 62: Α΄ Λυκείου Άλγεβρα - Σημειώσεις (2015 - 2016)

βασικές έννοιες των συναρτήσεων κεφάλαιο 6

- 60 -

72) Σην παξαθάησ ζρήκα ζην ίδην ζύζηεκα

αμόλσλ είλαη ε γξαθηθή παξάζηαζε κηαο ζπλάξηεζεο f θαη ε επζεία : 2y . Να

ιύζεηε : α. ηελ εμίζσζε ( ) 2f x ,

β. ηελ αλίζσζε ( ) 2 0f x .

73) Να βξείηε ηελ επζεία ηνπ παξαθάησ

ζρήκαηνο .

74) Να βξείηε ηελ επζεία ηνπ παξαθάησ

ζρήκαηνο.

75)

Να βξείηε ηελ επζεία ηνπ παξαθάησ ζρήκαηνο .

76) Να βξείηε ηελ επζεία πνπ δηέξρεηαη από

ηελ αξρή ησλ αμόλσλ θαη

α. ζρεκαηίδεη κε ηνλ άμνλα x x γσλία 150ν ,

β. από ην ζεκείν 4 , 4 . Μεηά λα βξείηε ην

ζπκκεηξηθό ηνπ ζεκείνπ 1, 2 σο πξνο ηελ επζεία

.

77) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε 2( ) 4 4f x x x x .

α. Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ηεο f .

β. Να απινπνηήζεηε ηνλ ηύπν ηεο f .

γ. Να γίλεη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f .

δ. Να βξείηε ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο f .

ε. Να ιπζεί ε αλίζσζε ( ) 2f x .

78) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε | 3 6 |

( )2

xf x

x

.

α. Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ηεο f .

β. Να απινπνηήζεηε ηνλ ηύπν ηεο f .

γ. Να γίλεη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f .

79) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε | 2 | | 2 |

( )2

x xf x

.

α. Να απινπνηήζεηε ηνλ ηύπν ηεο f .

β. Να γίλεη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f .

γ. Να εμεηάζεηε αλ ην – 4 είλαη ηηκή ηεο f .

80)

Να βξείηε ηελ ζπλάξηεζε f πνπ έρεη γξαθηθή

παξάζηαζε ζην παξαθάησ ζρήκα .

81) Να δείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε 2 22

2 2

1 2( )

1 1

x xf x

x x

είλαη ζηαζεξή .

82) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε 3

2( ) 3

1

x xf x x

x

.

α. Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ηεο f .

β. Να δείμεηε όηη ε f είλαη ζηαζεξή .

γ. Να θάλεηε ηελ γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f .

83) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε 2 3

( )3

x xf x ax

x

.

α. Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ηεο f .

β. Να βξείηε ηα a , ώζηε ε f λα είλαη ζηαζεξή κε

ηηκή 2 .

84) Έζησ ε ζπλάξηεζε ( ) ( 1)f x a x . Να

βξείηε ηα a , ώζηε ε f λα είλαη ζηαζεξή κε

ηηκή 3 .