ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ Ονοματεπώνυμο……………………………OMAΔA A ΘΕΜΑ 1 Να εξετάσετε το αληθές των προτάσεων

Για κάθε z1,z2 μιγαδικούς ισχύει 2121 zzzz Σ Λ

Ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών για τους οποίους ισχύει rzz 0 είναι κύκλος ακτίνας r Σ Λ

Αν 1 2z z τότε 1 2z z Σ Λ

Ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z για τους οποίους

ισχύει: zzz

είναι ευθεία Σ Λ

Αν z 1 τότε 1z

z Σ Λ

ΘΕΜΑ 2 ¨Εστω μιγαδικοί z που η εικόνα τους ανήκει στον κύκλο με εξίσωση

1z (1).

Α)Αν z

zw

1

1 με να δείξετε ότι ο ΓΤ των εικόνων του είναι ο

άξονας ψψ’

1z w

Β1¨Εστω z1,z2 δύο μιγαδικοί που ανήκουν στον κύκλο (1) με την

ιδιότητα z1+z2=z1z2. Nα δείξετε ότι 1

1 i 3z

2

και 2

1 i 3z

2

Β2 Να δείξετε ότι 10 101 2z z 1

ΘΕΜΑ3 Δίνονται οι μιγαδικοί , και u με εικόνες αντίστοιχα τα σημεία Α,Β,Γ

ώστε

z w2014)

3

4(7)5(2

i

iziwz

4

33

Α)Να δείξετε ότι z 3 και 5w

Β)Αν επιπλέον 2

5)Re(

wz να δείξετε ότι 6 wz

ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ Ονοματεπώνυμο……………………………………ΟΜΑΔΑ Β ΘΕΜΑ 1 Να εξετάσετε το αληθές των προτάσεων

Ισχύει z (z) για κάθε μιγαδικό z Σ Λ

Αν 1 2z iz τότε 1 2z z Σ Λ

Αν 1 2z z τότε 1 2z z Σ Λ

Για κάθε z μιγαδικό ισχύει z z z zz i

2 2

Σ Λ

Αν z 2 z 2 τότε ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των

μιγαδικών z είναι ευθεία Σ Λ

ΘΕΜΑ 2 Δίνονται οι μιγαδικοί , και u με εικόνες αντίστοιχα τα σημεία Α,Β,Γ

ώστε

z w2014)

3

4(7)5(2

i

iziwz

4

33

Α)Να δείξετε ότι 4z και 5w

Β)Αν επιπλέον 2

5)Re(

wz να δείξετε ότι 6 wz

ΘΕΜΑ 3 ¨Εστω μιγαδικοί z που η εικόνα τους ανήκει στον κύκλο με εξίσωση

1z (1).

Α) Αν =4+4i να βρείτε την ελάχιστη και μέγιστη τιμή της παράστασης

w

z w

Β) ¨Εστω z1,z2 δύο μιγαδικοί ( 21 zz ) που ανήκουν στον κύκλο (1). Να δείξετε ότι

α) Rzz

zz

21

21

1και I

zz

zz

21

21

1

β) Aν επιπλέον ισχύει να δείξετε ότι z1 2z z R* 1z2=1

γ)Nα δείξετε ότι 2

21

21 )1

(zz

zz 2

21

21 )1

(zz

zz

=1

3ο ΛΥΚΕΙΟ ΑΙΓΑΛΕΩ ΣΧΟΛ.ΕΤΟΣ 2014-2015 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ Ονοματεπώνυμο…………………………………………ΟΜΑΔΑ Α 21-1-2015 ΘΕΜΑ 1 1.Να εξετάσετε το αληθές των προτάσεων ΜΟΝ20 Α)Αν το σύνολο τιμών μιάς συνάρτησης f(x) είναι το R τότε η εξίσωση f(x)=0 έχει τουλάχιστον μια ρίζα Σ Λ Β)Αν τότε κοντά στο Σ Λ 0)(lim

0

xfxx

0)( xf 0x

Γ)Αν για κάθε χ R ισχύει ( ) ( ) 0f x g x τότε f=g Σ Λ

Δ)Ισχύει ότι 0lim

x Σ Λ

Ε)Κάθε γνησίως μονότονη συνάρτηση στο R είναι 1-1 Σ Λ 2.Δίνεται συνάρτηση f(x) συνεχής στο [α,β].Αν f(α)<f(β) και f(α)<η<f(β) να δείξετε ότι υπάρχει ξ στο (α,β) ώστε f(ξ)=η ΘΕΜΑ 2 ΜΟΝ 40

f(x)

12 2x Αν για κάθε χ )1,0()0,1( ισχύει 0

Α)Να αποδείξετε ότι 0

lim ( )x

f x

0

Β)Να υπολογίσετε το όριο

1

6)(4lim

2

0

xxfxx

Γ)Αν

)(lim1

xfx

να υπολογίσετε τα όρια

)(

1lim

1 xfx και

1)(

2)(lim

21

xf

xfx

.

ΘΕΜΑ 3 ΜΟΝ 40 ¨Έστω συνάρτηση συνεχής και γνησίως αύξουσα για την οποία ισχύει: για κάθε χ>0

Rf ),0[:

fx 12 xex )(

Α)Να δείξετε ότι το σύνολο τιμών είναι [1, )

Β)Αν x

xg1

1)( να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον χ0 )1,0( στο

οποίο τέμνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f,g Γ)Να βρείτε τα α,β για τα οποία ισχύει f(α)+f(β)=2

3ο ΛΥΚΕΙΟ ΑΙΓΑΛΕΩ ΣΧΟΛ.ΕΤΟΣ 2014-2015

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΜΑΔΑ Β

το αληθές των προτάσεων ΜΟΝ20

α)Αν τότε

ΔΟνοματεπώνυμο…………………………………………Ο21-1-2015 ΘΕΜΑ 1 1.Να εξετάσετε

0

lim ( )x x

f x

0

1lim 0

( )x x f x Σ Λ

β)Ισχύει για κάθε χ R Σ Λ

εξίσωση ψγ)Αν την =f(x) την λύσουμε ως προς χ Σ Λ και προκύψουν δύο λύσεις τότε η συνάρτηση f(χ) αντιστρέφεται Σ Λ δ)Αν η συνάρτηση Raf ],[: είναι γνησίως αύξουσα τότε το σύνολο τιμώ [f(α),f(β)] ν της είναι Σ Λ

τηση f(x εχής στο [α

ΕΜΑ2 ΜΟΝ40

Δίνεται συνάρτηση f(x)=

ε)Ισχύει ότι αν 0)( 0 xf τότε 0)(lim

xfxx

Σ Λ 0

2.Δίνεται συνάρ ) συν ,β].Αν f(α)<f(β) και f(α)<η<f(β) να δείξετε ότι υπάρχει ξ στο (α,β) ώστε f(ξ)=η Θ

1ln(1 )

1 e

x

α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο R ς

) Να δείξετε ότι για κάθε χ

)(xf

β) Να βρείτε το σύνολο τιμών τη γ )()( xfxxfx eee R ΘΕΜΑ 3 ΜΟΝ40 Δίνεται η αντιστρέψιμη συνάρτηση )(xf για την οποία

ισχύουν xxfxf 2)()( 1 για κάθε χ R και 0)(

lim xf

α)Να δεί

xx

ξετε ότι

)(lim xfx

β) Να δείξετε ότι )(2))(( xfxxff

γ) Να δείξετε ότι 1)(

lim x

xf

και 1)(

lim1

x

xfx

3 ΛΥΚΕΙΟ ΑΙΓΑΛΕΩ ΤΑΞΗ Γ΄

ο

Δίνεται η συνάρτηση:

Διαγώνισμα στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης (Παράγωγος)

17-03-2015 Διά ς ο…………………

ρκεια 2 ώρεΟνοματεπώνυμ ………………

ΘΕΜΑ Α

( ) ln , 0f x x x x2 .

Α1) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα

ακρότατα.

Α2) Βρείτε την εξίσωση εφαπτομένης της fc στο σημείο χ =e.

Α3) Βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης

0

( ) 0f x .

Α4) Να δείξετε ότι 0 22 ln 1ex x για κάθε x > 0

A5)Nα δείξετε ότι 2 2ln 3 2x x ex e για κάθε χ>32e

ΘΕΜΑ Β Δίνεται η παραγωγίσιμη συν :f

άθε άρτηση για την οποία

ισχύει ότι: ( ) ( ) 1f xe f x x , για κ x και η ( ) xg x e 1x .

( ) 0g x Α) Λύστε την εξίσωση . Β) Να αποδείξετε ότι (0) 0f .

τ στο σημείο 0, (0)f fC Γ) Βρείτε ην εφαπτομένη της .

Δ) Μελετήστε την f ως προς τ ονοτονία καη μ ι την κυρτότητα.

Ε) Αποδείξτε ότι ( ) ( )2x

xf x f x για κάθε x .

ΣΤ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει (0,2) ώστε

2 ( ) ( 1)f e . ΘΕΜΑ Γ

Για την παραγωγίσιμη συνάρτηση : (0, )f ισχύει 2 2 (( ) ( ) 1xf x)x f x xf x x e x για κάθε 0x

Αν υπάρχουν με 0,a , ώστε να ισχύει ( ) ( )) ln(f a f a , τότε:

Α. Να αποδειχθούν τα εξής:

I Υπάρχει , ώστε 0 [ , ] 00

0

ln( )

xf x

x

Ii Για τη συνάρτηση ( )1( ) xf xg x e

x ισχύει:

( ) '( ) 1g x g x

με 0x

Iii ln

( )x

f xx

με x 0

Β. Να μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και να βρεθεί η μικρότερη τιμή του

0 για την

οποία ισχύει e , για κάθε x .

Γ. Να βρεθούν οι αριθμοί , , 0 για τους οποίους

ισχύει: 3

e. . e