Μιγαδικοί (2013)

Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 2013-2014

-1-

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης

Α’ ΜΕΡΟΣ (ΑΛΓΕΒΡΑ)

ΚΕΦ 2ο: Μιγαδικοί Αριθμοί

Φυλλάδιο 1ο

Α) § 2.1: Η Έννοια του Μιγαδικού Αριθμού

Σημαντικές παρατηρήσεις

1. Ισχύουν : α βi γ δi α γ ή β δ και α βi 0 α 0 ή β 0 .

2. Δεν υπάρχει ανισοτική σχέση μεταξύ μιγαδικών αριθμών. Δηλαδή:

Η γραφή 1 2

z z δεν έχει νόημα και απαγορεύεται.

3. Στο επίπεδο των αξόνων ο z α βi παριστάνεται με δύο τρόπους :

i) με το σημείο Μ(α, β), το οποίο λέγεται εικόνα του z και συμβολίζεται Μ(z)

ii) με το διάνυσμα ΟΜ

όπου Ο η αρχή των αξόνων) το οποίο λέγεται διανυσματική

ακτίνα του z.

Όταν δουλεύουμε με τις εικόνες των μιγαδικών, χρησιμοποιούμε Αναλυτική Γεωμετρία

(συντεταγμένες).

Όταν δουλεύουμε με τις διανυσματικές ακτίνες των μιγαδικών, χρησιμοποιούμε διανυ-

σματική Γεωμετρία.

Μέθοδοι

1. Δίνεται ο μιγαδικός z α βi και ζητείται πότε ο z είναι

πραγματικός: Λύνουμε την εξίσωση α=0.

φανταστικός: Λύνουμε την εξίσωση β=0.

μηδέν: Λύνουμε το σύστημα α=0 και β=0.

ίσος με τον w γ δi : Λύνουμε το σύστημα α=γ και β=δ.

2. Από την αναλυτική μορφή του z α βi προκύπτουν απλοί γεωμετρικοί τόποι. Π.χ.

z 2 βi, β , κατακόρυφη ευθεία με εξίσωση ε : x 2 .

z α 3i, α , οριζόντια ευθεία με εξίσωση ε : y 3 .

α 2 το ημιεπίπεδο δεξιά της ευθείας ε : x 2 .

α β η διχοτόμος του 1ου και 3ου τεταρτημορίου ε : y x .


Κεφ. 2.1: Η Έννοια του Μιγαδικού Αριθμού

Κεφ. 2.2: Πράξεις στο Σύνολο C των Μιγαδικών


-2-

Β) § 2.2: Πράξεις στο Σύνολο C των Μιγαδικών


1. Στις πράξεις, οι μιγαδικοί αριθμοί λειτουργούν όπως τα διώνυμα αx + β.

2. Στους μιγαδικούς ισχύουν όλες οι γνωστές ταυτότητες. Π.χ

2 22 2 2α βi α 2αβi βi α 2αβi β

22 2 2α βi α βi α βi α β

3 2 33 2 3 2 2 3α βi α 3α βi 3α βi βi α 3α βi 3αβ β i

Προσέξτε την παραγοντοποίηση!

3. Ισχύουν οι ισοδυναμίες:

z w 0 z 0 ή w 0

z w 0 z 0 και w 0

Αν z 0 , τότε z w z u w u .

4. Αν 2 2z w 0 τότε z w i ή z w i . [Γιατί;]

5. Ισχύουν οι ισότητες:

z z

Αν 1 2

z z , τότε 1 2

z z

Ο συζυγής του i είναι ο –i.

6. Προσοχή : 2

z z 0 και 2

z z 0 .

7. Η επίλυση γραμμικού συστήματος 2x2 με αγνώστους μιγαδικούς μπορεί να γίνει με τη

μέθοδο των οριζουσών. [Γιατί;]

Μέθοδοι

1. Ασκήσεις που έχουν παραστάσεις με πραγματικούς αριθμούς και τον i. Εκτελούμε

τις πράξεις και τις ταυτότητες. Αν υπάρχουν κλάσματα πολλαπλασιάζουμε αριθμητή

και παρονομαστή με την συζυγή παράσταση του παρονομαστή.

2. Ασκήσεις στις οποίες μας ζητάνε να δείξουμε ότι ένας αριθμός z (ή μια παράσταση

z=f(w)) είναι πραγματικός ή τις συνθήκες ώστε να είναι πραγματικός.

Δείχνουμε (ή απαιτούμε): [Γιατί;]

Γράφουμε τον μιγαδικό σε αναλυτική μορφή και απαιτούμε Im(z) 0 .

z z

z w w


-3-

z w w

2 2z z

Παρατηρούμε ότι η εικόνα του z βρίσκεται στον άξονα x’x. Π.χ. αν έχουμε (κατα-

λήξουμε) στο 1 1

z z z z , τότε z . [Γιατί;]

3. Ασκήσεις στις οποίες μας ζητάνε να δείξουμε ότι ένας αριθμός z (ή μια παράστα-

ση z=f(w)) είναι φανταστικός ή τις συνθήκες ώστε να είναι φανταστικός. Δείχνου-

με (ή απαιτούμε):

Γράφουμε τον μιγαδικό σε αναλυτική μορφή και απαιτούμε Re(z) 0 ή

z z

2 2z z

z w w

Παρατηρούμε ότι η εικόνα του z βρίσκεται στον άξονα y’y. Π.χ. αν έχουμε (κατα-

λήξουμε) στο 1 1

z z z z , τότε z Ι . [Γιατί;]

4. Ασκήσεις στις οποίες μας ζητάνε να λύσουμε μια εξίσωση στο που είναι ή ανά-

γεται στη μορφή αz+β=γ. Θέτουμε z x yi και προσδιορίζουμε x,y ή εργαζόμα-

στε όπως στο για την επίλυση της αx+β=0.

5. Ασκήσεις στις οποίες μας ζητάνε να λύσουμε ένα σύστημα στο ℂ. Εργαζόμαστε

όπως στο .

6. Ασκήσεις στις οποίες ζητείται να βρούμε τον γεωμετρικό τόπο (γ.τ.) των εικόνων

Μ(x,y) κάποιου μιγαδικού z = x + yi ώστε να ικανοποιείται κάποια συνθήκη. Γράφουμε

τους μιγαδικούς με την αναλυτική μέθοδο και αφού εκτελέσουμε πράξεις – ιδιότητες

εφαρμόζουμε τις συνθήκες.

Καθ’ όλη τη διάρκεια των πράξεων πρέπει να διατηρούνται οι ισοδυναμίες ώστε να

εξασφαλίσουμε ότι κάθε σημείο των γραμμών θα είναι εικόνα ενός z.

Αν υπάρχουν περιορισμοί για τον z τότε ο γεωμετρικός τόπος είναι μέρος των παραπά-

νω γραμμών.

7. Για να βρούμε τον γεωμετρικό τόπο του μιγαδικού z , που ορίζεται συναρτήσει μίας

πραγματικής παραμέτρου λ , θέτουμε z = x + yi και βρίσκουμε τα x, y συναρτήσει του λ

. Απαλείφοντας το λ από τις σχέσεις αυτές προκύπτει μία σχέση μεταξύ x, y . Η σχέση

αυτή είναι η εξίσωση του γεωμετρικού τόπου του z .

8. Ασκήσεις στις οποίες ζητείται να βρούμε τις γραμμές στις οποίες κινείται η εικόνα

Μ(x,y) ενός μιγαδικού αριθμού z = x + yi στο μιγαδικό επίπεδο, τότε δουλεύουμε όπως

προηγούμενα χωρίς να είναι απαραίτητο να διατηρείται η ισοδυναμία καθ’ όλη τη

διάρκεια των πράξεων.


-4-

9. Αν οι εικόνες του z α βi , για τις διάφορες τιμές των α,β βρίσκονται πάνω σε

γνωστή ευθεία, τότε, οι εικόνες του z για τις διάφορες τιμές των α,β , θα βρίσκονται

στην ευθεία τη συμμετρική της αρχικής ως προς xx΄. [Γιατί;]

Σημαντικές προτάσεις

1. Για ένα μιγαδικό z να αποδείξετε ότι:

z z

z z 2Re(z) Re(z)2

z z

z z 2Im(z) i Im(z)2i

2 2

z z Re(z) Im(z)


Re z w Re z Re w

Im z w Im z Im w


Ο z είναι πραγματικός αν και μόνο αν z z . [Άσκηση Β’8, σελ.96-97]

Ο z είναι φανταστικός αν και μόνο αν z z . [Άσκηση Β’8, σελ.96-97]

4. Αν για τους μιγαδικούς z,w ισχύει z w R και z w I , τότε αυτοί είναι συζυγείς μι-

γαδικοί.

Γ) § 2.2: Δύναμη μιγαδικού (ειδικές περιπτώσεις) – Η εξίσωση 2αz βz γ 0, α 0


1. Στις δυνάμεις των μιγαδικών αριθμών ο εκθέτης έχει τη δυνατότητα να είναι μόνο ακέ-

ραιος (στην ύλη της Γ' Λυκείου). Επομένως, …

2. Οι γραφές 3

22α βi , α βi δεν έχουν νόημα και απαγορεύονται.

3. Ο αντίστροφος του z α βi είναι ο 1

2 2 2 2

β1 αz i

z α β α β

.

4. Ισχύει: 2α βi i α βi i β αi .

5. Τετραγωνική ρίζα μιγαδικού αριθμού.

α) Σε παλαιότερα σχολικά εγχειρίδια υπήρχε ο ορισμός της τετραγωνικής ρίζας ενός

μιγαδικού αριθμού, και ίσως γι’ αυτό εμφανίζεται σε αρκετά βιβλία.


-5-

Ορισμός: Τετραγωνική ρίζα ενός μιγαδικού αριθμού z α βi, α,β λέμε κάθε

μιγαδικό αριθμό w x yi, x,y τέτοιο ώστε: 2(x yi) α βi .

β) Η τελευταία εξίσωση για κάθε z 0 αποδεικνύεται ότι έχει δύο λύσεις, άρα κάθε

μιγαδικός z 0 έχει δύο τετραγωνικές ρίζες (που είναι αντίθετοι αριθμοί).

γ) Π.χ. Οι τετραγωνικές ρίζες του μιγαδικού αριθμού z 3 4i , είναι οι μιγαδικοί

1z 1 2i και

2z 1 2i . [Γιατί;]

δ) Είναι λάθος να χρησιμοποιούμε το συμβολισμό z για να δηλώσουμε την τετρα-

γωνική ρίζα ενός μιγαδικού αριθμού z γιατί το σύμβολο αυτό δεν έχει (ή δεν μπο-

ρούμε να του δώσουμε ) μονοσήμαντη έννοια.

ε) Οι γραφές, λοιπόν, 5α βi , α βi δεν έχουν νόημα και απαγορεύονται.

6. Στους μιγαδικούς τα πολυώνυμα με πραγματικούς συντελεστές έχουν πλήθος ριζών

ίσο με τον βαθμό τους.

7. Για τα πολυώνυμα με πραγματικούς συντελεστές ισχύει το σχήμα Horner.

Μέθοδοι

1. Στον υπολογισμό δυνάμεων μιγαδικών αριθμών συναντούμε συνήθως τις επόμενες πε-

ριπτώσεις:

Όταν θέλουμε να υπολογίσουμε το νi τότε κάνουμε τη διαίρεση ν:4 και βρίσκουμε

υπόλοιπο υ με δυνατές τιμές 0, 1, 2, ή 3. Τότε σύμφωνα με την ταυτότητα της διαίρε-

σης το νi ισούται με ν 4κ υ υ

1 ,ν 4κ

i ,ν 4κ 1i i i

1 ,ν 4κ 2

i ,ν 4κ 3

.

Όταν θέλουμε να υπολογίσουμε το νz με z , τότε υπολογίζουμε κάποιες από τις

δυνάμεις 2 3z , z , με σκοπό να πάρουμε έναν πραγματικό ή φανταστικό αριθμό.

Μετά εφαρμόζουμε ιδιότητες των δυνάμεων και υπολογίζουμε, όπου εμφανίζεται, τη

δύναμη του i.

Όταν έχουμε δυνάμεις της μορφής ν ν

α βi β αi ή

ν

α βi

β αi

τότε μετασχηματί-

ζουμε την μία βάση ή τον ένα όρο του κλάσματος σύμφωνα με την ισότητα

2α βi i α βi i β αi .

Υπενθύμιση: στην Αριθμ πρόοδο ν 1α α ν 1 ω , ν 1

νS 2α ν 1 ω

2

Γεωμ. πρόοδος ν 1

ν 1α α λ ,

ν

ν 1

λ 1S α

λ 1


-6-

2. Όταν έχουμε εξίσωση 2ου βαθμού 2αz βz γ 0 με α,β,γ R,α 0 τότε βρίσκουμε τη

διακρίνουσα 2Δ β – 4αγ και ανάλογα με το πρόσημό της η εξίσωση έχει δύο άνισες

πραγματικές ρίζες ή μια διπλή ρίζα ή δύο συζυγείς μιγαδικές ρίζες.

3. Όταν η εξίσωση είναι πολυωνυμική, βαθμού μεγαλύτερου του 2ου , τότε κάνουμε παρα-

γοντοποίηση ή χρησιμοποιούμε το σχήμα του Hörner.

Σημαντικές προτάσεις

1. Αν το πολυώνυμο ν ν 1 ν 2

ν ν 1 ν 2 1 0α z α z α z α z α 0

, με πραγματικούς συντελε-

στές έχει ρίζα τον μιγαδικό w, θα έχει ρίζα και τον συζυγή του.

Ασκήσεις

ΘΕΜΑ Β

1. Για τον μιγαδικό z δίνεται ότι ισχύει: 3z 2 4i z i 6i . Να βρεθεί ο z.

2. Να λύσετε την εξίσωση: 3z 4 (2z 5) i 2iz

3. Να λύσετε την εξίσωση: 2z z 2 0

4. Να λύσετε την εξίσωση: z z 3iz 3i 5 0

5. Να λύσετε την εξίσωση: 3z z 10 0

6. Αν *z , λ και λ 2z

Im 0λ 2z

, όπου

λz

2 , να δείξετε .ότι ο z είναι πραγματικός.

7. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α, β, γ ώστε οι μιγαδικοί z α β 2αβi και

2w 1 γ (1 γ )i να είναι ίσοι.

8. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z για τους οποίους

ισχύει 2Re z z 1 Re z

ΘΕΜΑ Γ

9. Να βρείτε το *ν Ν , ώστε να ισχύει: ν ν ν

2 3 2i 2 3i 2 3i 0 .

10. Δίνεται ο μιγαδικός z ημθ 1 (συνθ 2) i , θ [0,2π] . Να αποδείξετε ότι οι εικόνες

M(z) ανήκουν σε κύκλο για τον οποίο να βρεθούν το κέντρο και η ακτίνα.

11. Αν οι εικόνες των μιγαδικών z στο μιγαδικό επίπεδο βρίσκονται στην ευθεία ε : y x - 3

να βρείτε που βρίσκονται οι εικόνες των μιγαδικών w 2iz (2 i) z 3 .

12. Δίνεται η εξίσωση 2z 2z συνθ 1 0, θ [0,2π) .

α) Να λύσετε την εξίσωση

β) Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των ριζών της εξίσωσης ανήκουν στο μοναδιαίο κύκλο.


-7-

13. Να αναλύσετε το μιγαδικό z 5 3i σε άθροισμα δύο μιγαδικών 1

z και 2

z που οι εικό-

νες τους βρίσκονται στις ευθείες 1

ε : y x 1 , 2

ε : y 2x -1 αντίστοιχα.

14. Να γράψετε το μιγαδικό z 1 6i ως διαφορά δύο μιγαδικών 1

z και 2

z που οι εικόνες

τους βρίσκονται στις ευθείες 1

ε : y x 3 , 2

ε : y x αντίστοιχα.

15. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί 1 2 3

z ,z και z για τους οποίους ισχύει 1 1 2 2 3 3

z z z z z z 1

και 1 2 3

z z z 0 . Να αποδείξετε ότι:

α) 1 2 2 3 3 1

z z z z z z 0

β) 2 2 2

1 2 3z z z 0

γ) 3 3 3

1 2 3z z z

16. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο (γ.τ.) των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z, αν οι εικό-

νες των μιγαδικών αριθμών 21,iz,1 z είναι σημεία συνευθειακά.

17. Έστω μιγαδικός αριθμός z x yi . Αν ο αριθμός 3i z

wz 2

είναι πραγματικός, να βρε-

θεί ο γ.τ. των εικόνων M(x,y) του z στο μιγαδικό επίπεδο.

18. Αν ο αριθμός 3i z

wz 2

είναι πραγματικός αριθμός, όπου z μιγαδικός αριθμός με z 2

, να δείξετε ότι οι εικόνες M(x,y) του z ανήκουν στην ευθεία ε : 3x 2y 6 0 .

Ερωτήσεις Σωστού - Λάθους

1. Αν z α βi ένας μιγαδικός, τότε Im(z) βi .

2. Αν για τους μιγαδικούς z και w ισχύει w z 3i , τότε Re(w) z .

3. Αν 1

z α βi και 2

z γ δi δύο μιγαδικοί για τους οποίους ισχύει 1 2

Im(z z ) 0 , τότε

1 2Im(z ) Im(z ) 0 .

4. Κάθε μιγαδικός με πραγματικό μέρος μηδέν θα είναι φανταστικός.

5. Αν z τότε θα ισχύει Re(3z 2) 3Re(z) 2

6. Αν z με z 0 , τότε ισχύει Re(z) 0 και Im(z) 0 .

7. Αν z,w με 2 2z w 0 , τότε z w 0 .

8. Αν 2 2z (x 1) (x x) i με z 0 , τότε x 1 .

9. Υπάρχει τιμή του θ έτσι ώστε ο μιγαδικός αριθμός z ημθ i συνθ να είναι ίσος

με το μηδέν.

10. Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόνες των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει Re(z) Im(z)

είναι σημεία της ευθείας y x .

11. Αν 1 2

z ,z , τότε Re(z Re(z Re(1 2 1 2

z ) ) z ) .

12. Τα σύνολα και είναι ξένα μεταξύ τους.

13. Αν z μιγαδικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε Re (z) = 2, τότε οι εικόνες των z στο μιγαδικό επί-

πεδο βρίσκονται πάνω στην ευθεία x = 2.


-8-

14. Αν ισχύει Im(z i) 8 , τότε οι εικόνες των μιγαδικών z στο μιγαδικό επίπεδο βρίσκο-

νται στην ευθεία y 8 .

15. Όλα τα σημεία της ευθείας y x στο μιγαδικό επίπεδο είναι εικόνες των μιγαδικών α-

ριθμών z α αi, α .

16. Η διανυσματική ακτίνα της διαφοράς δύο μιγαδικών είναι η διαφορά των διανυσματι-

κών τους ακτινών.

17. Οι εικόνες των μιγαδικών z,z, z, z είναι κορυφές ορθογωνίου παραλληλογράμμου.

18. Οι εικόνες των μιγαδικών 1 2 3

z 3 4i,z 3 4i,z 3 4i είναι κορυφές ορθογωνίου

τριγώνου.

19. Οι εικόνες των z,z είναι συμμετρικές ως προς τον y y .

20. Η εικόνα του μιγαδικού z 2 3i ανήκει στην ευθεία ε : y x 4 .

21. Οι εικόνες των μιγαδικών z, z βρίσκονται πάνω σε μια ευθεία που περνάει από την

αρχή των αξόνων.

22. Αν 1 2

Im(z .z ) 0 , τότε θα ισχύει πάντα 1 2

Im(z ) Im(z ) 0 ,όπου 1 2

z ,z δύο μη μηδενικοί

μιγαδικοί.

23. Ισχύει: 2 2(α βi) (α βi) α β .

24. Ισχύει: z z 0 αν και μόνο αν z .

25. Ισχύει: z z 2 Im(z) .

26. Αν 1 2

z z , τότε 1 2

z z .

27. Ισχύει 22 2z z z z 2zz .

28. Ισχύει: 40 40(2 3i) (2i 3) .

29. Αν vi 1 τότε v 4k 1,k .

30. Αν z α βi και w β αi τότε ισχύει: z iw .

31. Για τους μιγαδικούς z,w θα ισχύει z w z w .

32. Αν για το μιγαδικό z ισχύει z z 4 , τότε η εικόνα του z θα βρίσκεται πάνω στην ευ-

θεία x 4 .

33. Αν για τον z ισχύει z z 1 , τότε η εικόνα του βρίσκεται πάνω στον μοναδιαίο κύκλο.

34. Αν 1 2

z ,z είναι οι ρίζες της εξίσωσης 2αz βz γ 0 με α 0 και Δ 0 , τότε ισχύουν

1 1 2 2

β γz z ,z z

α α .

35. Αν η εξίσωση 2x 2x 10 0 έχει για ρίζα το1 3i τότε θα έχει ρίζα και το 3 i

i

.


-1-





Α) Γενικά


1. Το z εκφράζει την απόσταση της εικόνας του z από την αρχή Ο, επομένως είναι z 0 .

2. Αν z w z w , ενώ το αντίστροφο δεν ισχύει (γενικά).

3. z 0 z 0

4. z iz iz iz iz

5. 2

z , ενώ 2z .

6. λ z λ z , λ .

7. Ισχύει

2 2z 0

2 z zz z z z z

z z

. Ειδικά αν z 1 , τότε 1 1

z , zz z

8. Αν ν ν

1 2z z z z , ν , τότε

1 2z z z z άρα και

2 2

1 2z z z z .

9. Αν 2 2

1 2z z 0 , τότε

1 2z z (γιατί;).

Παραδείγματα

1. Αν οι μιγαδικοί *z, w C και 2 2z w 0 , τότε z w z w

2. Στο σύνολο του C να λύσετε την εξίσωση: 5

9z z 1

3. Αν για τον μιγαδικό z ισχύει: ν ν

z 1 z 1 , ν N* , τότε ο z είναι φανταστικός.

4. Αν για τον μιγαδικό z ισχύει: z z z z

z2 2

, τότε ο z είναι πραγματικός

Κεφ. 2.3α: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού – Ιδιότητες του Μέτρου Αριθμού



-2-

Β) Μιγαδικοί και Αναλυτική Γεωμετρία


1. 1 2 1 2

z z z z σημαίνει ομόρροπες διανυσματικές ακτίνες

2. 1 2 1 2

z z z z σημαίνει αντίρροπες διανυσματικές ακτίνες

3. Οι διανυσματικές ακτίνες δύο μιγαδικών 1 2

z , z δημιουργούν ένα παραλληλόγραμμο, όπου:

α) το 1 2

z z παριστάνει το μήκος της κύριας διαγωνίου, ενώ

β) ο 1 2

z z παριστάνει το μήκος της δευτερεύουσας διαγωνίου (που αντιστοιχεί και στην

απόσταση των εικόνων 1 2

M(z ),M(z ) των δύο μιγαδικών)

Σημαντικές προτάσεις (χρειάζονται απόδειξη)

4. Για τους μιγαδικούς 1 2

z , z ισχύει:

Α) 2 2 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2z z z z 2Re z z z z 2Re z z

Β) 2 2 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2z z z z 2Re z z z z 2Re z z

5. Κανόνας παραλληλογράμμου: Αν 1 2

z , z , τότε 2 2 2 2

1 2 1 2 1 2z z z z 2 z 2 z .

[Άσκηση Ά9, σελ 101]

6. Αν Α(x1,y1) , Β(x2,y2) οι εικόνες των μη μηδενικών μιγαδικών z1, z2 με z1≠z2 , τότε:

α) Α, Ο, Β συνευθειακά αν και μόνο αν υπάρχει λ R έτσι ώστε 1 2

z λ z ή 1 1

2 2

x y0

x y .

β) Α, Ο, Β συνευθειακά αν και μόνο αν 1

2

zR

z .

γ) Α, Ο, Β συνευθειακά αν και μόνο αν 21z z R .

7. Αν Α(x1,y1) , Β(x2,y2) οι εικόνες των μη μηδενικών μιγαδικών z1, z2 με z1≠z2 , τότε:

α) ΟΑ ΟΒ αν και μόνο αν υπάρχει *λ R έτσι ώστε 1 2z λi z δηλαδή

1 2 1 2 1 2x x y y 0 z λi z .

β) ΟΑ ΟΒ αν και μόνο αν *1

2

zΙ

z

γ) ΟΑ ΟΒ αν και μόνο αν *21

z z Ι

8. Αν Α(x1,y1) , Β(x2,y2) οι εικόνες των μη μηδενικών μιγαδικών z1, z2 , τότε:

α) 1 2 1 2ΟΑ ΟΒ Re z z Re z z

β) Το συνημίτονο της γωνίας των ΟΑ,ΟΒ είναι 1 22 1

1 2

z z z zσυνθ

2 z z


-3-

Παραδείγματα

1. Έστω *

1 2z , z C , με 2 2

1 1 2 2z z z z 0 . Αποδείξτε ότι, οι εικόνες των

1 2z , z στο μιγαδικό

επίπεδο και η αρχή των αξόνων είναι συνευθειακά σημεία.

2. Αν Α(x1,y1) , Β(x2,y2) , Γ(x2,y2) οι εικόνες των ανά δύο διαφορετικών μιγαδικών z1, z2 , z3, τότε:

A) Α, Β, Γ συνευθειακά αν και μόνο αν *

2 1 3 1z z λ z z , λ R

B) Α, Β, Γ συνευθειακά αν και μόνο αν *2 1

3 1

z zR

z z

ή 2 1 2 1 2 1

3 1 3 1 3 1

x x y y z z0 R

x x y y z z

.

Γ) Α, Β, Γ συνευθειακά αν και μόνο αν 3 12 1z z z z R

3. Αν Α(x1,y1) , Β(x2,y2) , Γ(x2,y2) οι εικόνες των ανά δύο διαφορετικών μιγαδικών z1, z2 , z3, τότε:

A) ΑΒ ΑΓ αν και μόνο αν *3 12 1

z z z z Ι

B) ΑΒ ΑΓ αν και μόνο αν *2 1

3 1

z zΙ

z z

ή

*2 12 1 3 1 2 1 3 2

3 1

z zx x x x y y y y Ι

z z

.

Γ) ΑΒ ΑΓ αν και μόνο αν *

2 1 3 1z z λi z z , λ R

4. Αν ΟΑ,ΟΒ οι διανυσματικές ακτίνες των μιγαδικών 1 2

z , z αντίστοιχα τότε:

Α) 21ΟΑ ΟΒ Re z z 0

Β) Το τρίγωνο ΑΟΒ είναι ορθογώνιο αν και μόνο αν 2 1 2 1

z z z z .

Γ) Ανισώσεις

Μέθοδοι

1. Κάνουμε πράξεις χρησιμοποιώντας ορισμούς και ταυτότητες

2. Χρησιμοποιούμε την τριγωνική ανισότητα

3. Σε άτοπο απαγωγή

4. Με αναλυτική μέθοδο μηδενίζοντας το φανταστικό μέρος

Παραδείγματα:

1. Αν για τον μιγαδικό z ισχύει 1 1

Rez 4

, τότε z 2 2

2. Αν 1 2 3

z z z 3 , να αποδείξετε ότι 1 2 3

1 2 3

1 1 1z z z 9

z z z

3. Αν z C και 1 2

z 1 2i, z 4 2i να αποδείξετε ότι 1 2

z z z z 5

4. Αν z C δείξτε: z 1 z 2 z z 3


-4-

5. Να λυθεί στο η ανίσωση 2z 4z 3 0

6. Για τον μιγαδικό z δίνετε ότι z 3 1 . Να βρείτε την μεγίστη και ελαχίστη τιμή του w αν

w z 1 2i .

Ερωτήσεις Σωστού - Λάθους

1. Για κάθε μιγαδικό ισχύει:

α) z z β) z 0 γ) 2z z z

2. Για κάθε 1 2

z , z ισχύει 1 2 1 2

z z z z .

3. Αν z α , τότε α

zz

.

4. Ισχύει νi 1 .

5. Αν z 1 , τότε 1

zz

.

6. Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς 1 2

z , z ισχύει 1 2

z z , τότε ισχύει πάντοτε 1 2

z z .

7. Αν Α η εικόνα του z , Β η εικόνα του i z και O 0,0 , τότε το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ισοσκελές.

8. Για κάθε μιγαδικό αριθμό z ισχύει z z z .

9. Για κάθε k και z ισχύει k z k z .

10. Αν w z z , όπου z , τότε w z z .

11. Αν z τότε ισχύει z 0 z 0 .

Ερωτήσεις Σύντομης Απάντησης

1. Αν z 0 , ποιος είναι ο z;

2. Για ποιους μιγαδικούς ισχύει: α) z Im(z) ; β) z Re(z) ;

3. Υπάρχουν μιγαδικοί που είναι ίσοι με το μέτρο τους;

4. Να βρείτε τους δύο μιγαδικούς για τους οποίους ισχύει 2z zz και z 2012 .

5. Αν z 3 yi και z 5 , πόσο είναι το y;

6. Είναι σωστές οι ισότητες:

α) 2 2z z ; β) 2 2z z ; γ) 2 2z z ; δ)

2 2z z ; ε) 2

z zz ;

7. Ποια από τις παρακάτω ισότητες δεν αληθεύει για κάθε z ;

α) 2 2z z ; β) 2 2z z ; γ)

2z zz ; δ) z i z ;

8. Αν για το μιγαδικό αριθμό z , ισχύει 2z z,z 0 , τότε να βρείτε το z .

Ασκήσεις


-5-

Θέμα Β

1. Να δείξετε ότι για κάθε μιγαδικό αριθμό z ισχύουν:

α) Re(z) z και

β) Im(z) z

γ) z z Re(z)

δ) z z Im(z)

2. Δίνεται 1

2z 2zz

, όπου *z x yi, x . Να δείξετε ότι 2 1Re(z )

4 .

3. Αν για τους μιγαδικούς z,w με z w ισχύει z w 2 , να δείξετε ότι ο μιγαδικός

2012 2012

2012

z wu

(z w)

είναι φανταστικός.

4. * Αν για το μιγαδικό z ισχύει 14 11z 27z , να δείξετε ότι 25z

5. Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς z, w ισχύει z w z w , να δείξετε ότι Re(zw) 0 .

6. ** Αν z,w να δειχθεί ότι z w z w αν και μόνο αν ο αριθμός z

w είναι θετικός

πραγματικός.

7. Αν για το μιγαδικό αριθμό z ισχύει: 1 - z > z , δείξτε ότι Re (z) < 1

2.

8. Αν για το μιγαδικό αριθμό z ισχύει: z-1 z-2 , δείξτε ότι Re (z) < 3

2.

9. Για οποιουσδήποτε μιγαδικούς z,w να δείξετε ότι 2 2 2z w 1 z 1 w .

Θέμα Γ

1. Δίνονται οι μιγαδικοί z,w με 1 1

z2 4

και 3 2z

w6z 3

με

16z 3 0 z

2 . Να βρείτε το

1 3w .

2. Να βρείτε το μέτρο του μιγαδικού z , αν ισχύει: 2z i z 2i . Επίσης αν

2z 2 i z 1 2i , να βρείτε το z 1 .

3. Αν για τους μιγαδικούς z, w ισχύει: 2z 3w 2z 3w , να δείξετε ότι: 52

2z w z3

4. Αν για τους μιγαδικούς 1 2

z , z ισχύει: 22 2

1 2 1 23 z 2 z 3z 2z , να δείξετε ότι:

1 2 1 2z z z z .

5. Δίνονται οι μιγαδικοί z,w με z 1 για τους οποίους ισχύουν: z 1 1 και 2z 1

wz 1

. Να

υπολογιστεί το w .


-6-

6. Αν για το μιγαδικό z ισχύει z 1 2i 2z 2 i , να βρείτε το z 1 .

7. Αν για το μιγαδικό z ισχύει z i 2 z i , να βρείτε το 3z 5i .

8. Αν για τον z ισχύει 7 7(1 2i)z (z 2) , να δείξετε ότι:

α) 5 z z 2 β) 2z 1 5


z , z ισχύει 1 2

z z 3 , να δείξετε ότι :

α) ο 4 4

1 2

4

1 2

z zw

(z z )

με

1 2z z , είναι φανταστικός. και β) ο

ν ν

1 2

ν

1 2

z zu

(z z )

με

1 2z z ,

είναι πραγματικός.

10. * Δίνονται οι μιγαδικοί 1 2 3

z , z , z με 1 2 3

z z z 1 και 31 2

2 3 1

zz z 3Re

z z z 2

. Να δείξετε ότι

1 2 3z z z 0 .



z z 2 z z , να δείξετε ότι 1 2 1

z 2z 19 z .

12. Αν για τους μιγαδικούς 1 2 3

z , z , z ισχύει 1 2 3

z 1 z 1 z 1 3 και 1 2 3

3z z z

2 , τότε να

δείξετε ότι 1 2 2 3 1 3 1 2 3

z z z z z z 3 z z z 3 .

13. Να βρεθεί ο μιγαδικός αριθμός z για τον οποίο ισχύει: z z i 1 .

14. Να βρεθεί ο μιγαδικός αριθμός z για τον οποίο ισχύει: z 1 2i z 2 i z 1 3i i 2 2 .

15. * Για οποιουσδήποτε μιγαδικούς z,w να δείξετε ότι 2 2 2

2 z w 6 z 3 w .

16. Αν για τους μιγαδικούς z,w ισχύει z 1 και w 1 , να δείξετε ότι z w 1 zw .

17. Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς z,w ισχύει: 3

z 32 και

5z 2w

2z 3

, να βρείτε το 5 2w .

18. Αν για το μιγαδικό z ισχύει η σχέση z 7 3 z 1 , να υπολογίσετε το z 2 .

19. Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς z για τους οποίους ισχύει: z = 1

z = z - 1 .

20. Αν για το μιγαδικό z ισχύουν οι σχέσεις 2z 1 1 και z 1 1 , να αποδείξετε ότι z 1 .

21. Αν για z ισχύει: 8 8 8z (z) 128 , να δείξετε ότι z 2 .


-1-






Στηριζόμαστε στις εξής δύο βασικές παρατηρήσεις:

z OM (OM) , όπου M M(z) η εικόνα του z και O O(0,0) .

1 1 1 2 1 2

z z M M (M M ) , όπου 1 1

M M(z ) η εικόνα του 1

z και 2 2

M M(z ) η εικόνα του 2

z

(δηλαδή το μέτρο της διαφοράς δύο μιγαδικών αριθμών εκφράζει την απόσταση των εικό-

νων τους).

Οι γεωμετρικοί τόποι (γ.τ.) που προκύπτουν συνήθως είναι

Μιγαδική σχέση Γεωμετρική σχέση Γεωμετρικός τόπος

Εξίσωση

1 2z z z z όπου

1 1 1z x y i και

2 2 2z x y i σταθεροί

μιγαδικοί αριθμοί

ΜΑ ΜΒ ή ΜΑ ΜΒ

Όπου M Μ z , 1Α Α z , 2

Β Β z

Η εικόνα Μ του μιγαδικού αριθμού z ισα-

πέχει από τα σταθερά σημεία 1 1Α x , y

και 2 2Β x , y .

Άρα ο γ.τ. των εικόνων του z είναι η μεσο-

κάθετος του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ .

1 2z z z z , όπου

1 1 1z x y i και

2 2 2z x y i σταθεροί

μιγαδικοί αριθμοί

[ανάλογα

1 2z z z z

1 2z z z z

1 2z z z z ]

ΜΑ ΜΒ ή ΜΑ ΜΒ

Όπου M Μ z , 1Α Α z , 2

Β Β z

Η εικόνα Μ του μιγαδικού αριθμού z απέ-

χει από το σταθερό σημείο 1 1Α x , y από-

σταση μικρότερη ή ίση από την απόσταση

που απέχει από το σημείο 2 2Β x , y .

Άρα ο γ.τ. των εικόνων του z είναι το ημιε-

πίπεδο (ε, Α), όπου ε η μεσοκάθετος του

ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ .

Κεφ. 2.3β: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ - ΤΡΙΓΩΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

ΜΕΓΙΣΤΑ - ΕΛΑΧΙΣΤΑ



-2-

0z z ρ , όπου

ρ>0 και 0 0 0

z x y i

σταθερός

μιγαδικός αριθμός.

[ειδικά z ρ αν 0

z 0 ]

ΜΚ ρ ή ΜΚ ρ

Όπου M Μ z και 0Κ Κ z

Παρατηρούμε ότι η εικόνα Μ του μιγαδικού

αριθμού z απέχει από το σταθερό σημείο Κ,

σταθερή απόσταση ρ.

Άρα ο γ.τ. των εικόνων του z είναι ο κύκλος

με κέντρο Κ και ακτίνα ρ.

2 2 2

0 0x x y y ρ

[ Ειδικά 2 2 2x y ρ ]

0z z ρ , όπου ρ>0 και

0 0 0z x y i σταθερός

μιγαδικός αριθμός.

[ανάλογα

0z z ρ

0z z ρ

0z z ρ ]

[ειδικά z ρ αν 0

z 0 ]

ΜΚ ρ ή ΜΚ ρ

Όπου M Μ z και 0Κ Κ z

Παρατηρούμε ότι η εικόνα Μ του μιγαδικού

αριθμού z απέχει από το σταθερό σημείο Κ,

απόσταση μικρότερη ή ίση του ρ.

Άρα ο γ.τ. των εικόνων του z είναι ο κυκλι-

κός δίσκος με κέντρο Κ και ακτίνα ρ.

2 2 2

0 0x x y y ρ

[ Ειδικά 2 2 2x y ρ ]

1 2z z z z 2α

Όπου

1z γ 0i

2z γ 0i

και

α,γ θετικοί πραγματικοί

αριθμοί με α>γ

ΜΕ΄ ΜΕ 2α ή ΜΕ΄ ΜΕ 2α

Όπου M Μ z , 1E΄ Ε΄ z και

2E Ε z

Το άθροισμα των αποστάσεων της εικόνας

Μ του μιγαδικού αριθμού z από τα σταθε-

ρά σημεία E΄(–γ,0) και E(γ, 0) είναι σταθερό

και μεγαλύτερο του Ε΄Ε .

Άρα ο γ.τ. των εικόνων του z είναι η έλλει-

ψη με εστίες τα σημεία Ε΄, Ε και μήκος με-

γάλου άξονα 2α .

22

2 2

yx1

α β

1 2z z z z 2α

Όπου

1z 0 γi

2z 0 γi

και


αριθμοί με α>γ



2E Ε z

Το άθροισμα των αποστάσεων της εικόνας

Μ του μιγαδικού αριθμού z από τα σταθε-

ρά σημεία E΄(0,-γ) και E(0,γ) είναι σταθερό

και μεγαλύτερο του Ε΄Ε .

Άρα ο γ.τ. των εικόνων του z είναι η έλλει-

ψη με εστίες τα σημεία Ε΄, Ε και μήκος με-

γάλου άξονα 2α .

22

2 2

yx1

β α


-3-

1 2z z z z 2α

Όπου

1z γ 0i

2z γ 0i

και α, γ θετικοί πραγμα-

τικοί αριθμοί με γ>α

[Ομοίως προκύπτει ο α-

ριστερός κλάδος αν

2 1z z z z 2α ]



2E Ε z

Η διαφορά των αποστάσεων της εικόνας Μ

του μιγαδικού αριθμού z από τα σταθερά

σημεία Ε΄(−γ, 0) και Ε(γ , 0) είναι σταθερή,

μικρότερη του Ε΄Ε και ΜΕ΄ ΜΕ .

Άρα ο γ.τ. των εικόνων του z είναι ο δεξιός

κλάδος της υπερβολής με εστίες τα σημεία

Ε΄, Ε .

22

2 2

yx1, x 0

α β

1 2z z z z 2α

Όπου

1z γ 0i

2z γ 0i

και


αριθμοί με γ>α


Όπου M Μ z , 1E΄ Ε΄ z και 2E Ε z

Η απόλυτη τιμή της διαφοράς των απο-

στάσεων της εικόνας Μ του μιγαδικού α-

ριθμού z από τα σταθερά σημεία Ε΄(−γ,0)

και Ε(γ ,0) είναι σταθερή, μικρότερη του

Ε΄Ε.

Άρα ο γ.τ. των εικόνων του z είναι η υπερ-

βολή με εστίες τα σημεία Ε΄, Ε .

22

2 2

yx1

α β

1 2z z z z 2α

Όπου

1z 0 γi ,

2z 0 γi

και

α, γ θετικοί πραγματικοί


[Ομοίως προκύπτει ο κά-

τω κλάδος αν

2 1z z z z 2α ]



Η διαφορά των αποστάσεων της εικόνας Μ

του μιγαδικού αριθμού z από τα σταθερά

σημεία Ε΄(0, -γ) και Ε(0 , γ) είναι σταθε-

ρή, μικρότερη του Ε΄Ε και ΜΕ΄ ΜΕ .

Άρα ο γ.τ. των εικόνων του z είναι ο πάνω

κλάδος της υπερβολής με εστίες τα σημεία

Ε΄, Ε . 2 2

2 2

y x1, y 0

α β

1 2z z z z 2α

Όπου

1z 0 γi

2z 0 γi

και





Η απόλυτη τιμή της διαφοράς των απο-

στάσεων της εικόνας Μ του μιγαδικού α-

ριθμού z από τα σταθερά σημεία Ε΄(0,-γ)

και Ε(0 ,γ) είναι σταθερή, μικρότερη του

Ε΄Ε.

Άρα ο γ.τ. των εικόνων του z είναι η υπερ-

βολή με εστίες τα σημεία Ε΄, Ε . 2 2

2 2

y x1

α β


-4-

Άλλες παρατηρήσεις (να συμπληρωθούν)

1. Η ανίσωση 1 0 2

ρ z - z ρ παριστάνει στο μιγαδικό επίπεδο ….......................................................

………………………………………………………………………………………………………………...

2. Αν ισχύει 1 1

z - z z - z , με 1 2

z , z , σημαίνει ότι οι εικόνες M(z) του z ανήκουν

…………....

………………………………………………………………………………………………………………...

3. Αν ισχύει 1 1

z - z z + z , με 1 2

z , z , σημαίνει ότι οι εικόνες M(z) του z ανή-

κουν……………

………………………………………………………………………………………………………………...

4. Αν ισχύει z - α z + α , με *α και z , σημαίνει ότι οι εικόνες M(z) του z ανήκουν

………………………………………………………………………………………………………………...

5. Η εξίσωση 1 2

z - z z - z 2α , όπου z1, z2 μιγαδικοί και α 0 με 1 2

z - z 2α παριστάνει

………………………………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………………………………...

6. Αν ισχύει 1 2 2 3 1 3

z z z z z z και Α, Β, Γ οι εικόνες των 1 2 3

z ,z ,z με 1 2 3 1

z z z z

αντίστοιχα, τότε το τρίγωνο ……… είναι …………………..

7. Αν ισχύει 1 2 1 2

z z z z και Ο(0,0) η αρχή των αξόνων, καθώς και 1 2M(z ),M(z ) οι εικόνες

των μιγαδικών αντίστοιχα, τότε το τρίγωνο ……. είναι ………………………….

8. Αν ισχύει 1 2 3

z z z z z z με 1 2 3

z z , z , z και Α, Β, Γ οι εικόνες των 1 2 3

z ,z ,z αντί-

στοιχα, τότε η εικόνα του z είναι ……………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………...

9. Αν ισχύει 2 2 2

1 2 2 3 1 3z z z z z z , τότε οι εικόνες των 1 2 3

z ,z ,z με 1 2 3 1

z z z z

σχηματίζουν ……………………………………..

Ερωτήσεις Σωστού (Σ) – Λάθους (Λ)



z z z z .



z z z z .



z z z z .

4. Για κάθε z , ισχύει z z 2 z .

5. Για κάθε z και θ ισχύει z i z 1 .

6. Αν z , z 3 και θ , τότε ισχύει 2 z i 4 .

7. Αν z , z 1 , τότε ισχύει z 12 5i 13 .

8. Αν z και z 2 , τότε ισχύει 2z 4iz 12 .

9. Η εξίσωση 0

z z 2 παριστάνει κύκλο με ακτίνα 2ρ 2 4 .


-5-

10. Το σύστημα 1 2 3

z z z z z z έχει πάντα μία λύση.

11. Η ανίσωση 1 2

z z z z παριστάνει ημιεπίπεδο.

12. Αν Μ1, Μ2 είναι οι εικόνες των μιγαδικών z1 και z2 αντιστοίχως στο μιγαδικό επίπεδο και ο

άξονας x΄x είναι η μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος Μ1Μ2, τότε είναι z1 = 2

z .

13. Η εξίσωση z 2 z i παριστάνει την μεσοκάθετο του τμήματος με άκρα (2,0) και (0,1) .


z - z = 2

z - z με άγνωστο το z C και z1, z2 C έχει μόνο μια λύση.


z - z = ρ, ρ > 0 παριστάνει στο μιγαδικό επίπεδο κύκλο

με κέντρο Κ (z0) και ακτίνα ρ.

16. Στο μιγαδικό επίπεδο η εικόνα του μιγαδικού αριθμού 2 3i είναι

εσωτερικό σημείο του κύκλου z 4 .

17. Στο μιγαδικό επίπεδο του διπλανού σχήματος η εξίσωση του κύκλου

είναι z-2 1 .

Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής

1. Αν οι εικόνες δύο μη μηδενικών μιγαδικών αριθμών z1 και z2 στο μιγαδικό επίπεδο είναι στο

ίδιο τεταρτημόριο, ποια από τις παρακάτω σχέσεις μπορεί να ισχύει;

Α. z1 = - z2 B. z1 = 2

z Γ. z1 = - 2

z

Δ. Ιm (z1) + Im (z2) = 0 E. κανένα από τα παραπάνω

2. Ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού αριθμού z στο μιγαδικό επίπεδο για τον

οποίο ισχύει

z - 2 = z - i είναι:

Α. ο άξονας y΄y B. η ευθεία y = x Γ. ο άξονας x΄x

Δ. η μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος με άκρα τα σημεία (2, 0) και (0, 1)

E. η μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος με άκρα τα σημεία (0, 2) και (1, 0)

3. Στο μιγαδικό επίπεδο ο κύκλος με κέντρο το σημείο Κ (2, 1) και ακτίνα 3 είναι ο γεωμετρικός

τόπος των εικόνων του μιγαδικού z για τον οποίο ισχύει

Α. z - (2 - i) = 3 B. z - (1 2i) = 3

Γ. z - (2 i) = 9 Δ. z - (2 i) = 3 E. z (2 i) = 3

4. Οι μιγαδικοί αριθμοί z που οι εικόνες τους στο μιγαδικό επίπεδο βρίσκονται στο γραμμοσκι-

ασμένο τμήμα του σχήματος είναι αυτοί για τους οποίους ισχύει

Α. z 1 < 1 και z i < 1

B. z 1 < 1 και z i < 1 Γ. z 1 > 1 και z i > 1

Δ. z 1 < 1 και z i < 1 Ε. z 1 < 1 και z i < 1


-6-

5. Οι μιγαδικοί αριθμοί z που οι εικόνες τους στο μιγαδικό επίπεδο βρίσκονται στο γραμμοσκι-

ασμένο τμήμα του σχήματος είναι αυτοί για τους οποίους ισχύει

Α. z 2 < 2 και z 3 < 1 B. z 2 < 2 και z 3 > 1

Γ. z 2 < 2 και z 3 > 1 Δ. z 2 < 2 και z 3 > 1

Ε. z 2 > 2 και z 3 < 1

6. Αν η εξίσωση z 2 = z κi επαληθεύεται από τους μιγαδικούς αριθμούς που η εικόνα

τους στο μιγαδικό επίπεδο βρίσκεται στην ευθεία y = x, ο πραγματικός αριθμός κ ισούται με

Α. 1 B. - 1 Γ. 2 Δ. - 2 E. 4

7. Αν οι εικόνες των μιγαδικών z1, z2, z3 στο μιγαδικό επίπεδο δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία,

τότε το πλήθος των λύσεων του συστήματος 1

z z = 2

z z = 3

z z με άγνωστο τον z

είναι

Α. 2 B. 3 Γ. 1 Δ. 4 Ε. 0

Ερωτήσεις Σύντομης Απάντησης

1. Τι παριστάνει η ανίσωση:

α) z 1 2 ; β) z 1 2 ; γ) 1 z 2 ;

2. Τι παριστάνει το σύστημα z 1 1 & z i 1 ;

3. Να παραστήσετε στο μιγαδικό επίπεδο τα σύνολα που εκφράζουν οι σχέσεις:

α) z 2 , Im(z) 0 & Re(z) 0 . β) z 2 & Re(z) 0 .

γ) z 2 & Im(z) 0 . δ) z 2 2 & Re(z) 0 .

4. Αν 1

z 3 και 2

z 4 3i , ποια είναι η μεγαλύτερη τιμή του 1 2

z z ;

5. Αν 1

z 2 και 2

z 5 , ποια είναι η ελάχιστη τιμή του 1 2

z z ;

6. Ποιο είναι το ελάχιστο και ποιο το μέγιστο μέτρο του μιγαδικού που

η εικόνα του ανήκει στον διπλανό κύκλο;

7. Ποια ευθεία έχουν ως άξονα συμμετρίας οι εικόνες των μιγαδικών

2 3i και 3 2i στο μιγαδικό επίπεδο;

8. Αν η διανυσματική ακτίνα του μιγαδικού αριθμού z στο μιγαδικό

επίπεδο έχει φορέα τη διχοτόμο της 2ης και 4ης γωνίας των αξόνων του μιγαδικού επιπέδου,

τότε ο z θα είναι της μορφής…


-7-

Ασκήσεις

1. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος (γ.τ.) των εικόνων των z για τους οποίους ισχύει: z 4 z .

2. Να βρεθεί γ.τ. των εικόνων των z για τους οποίους ισχύει:

α) z 5 z 5 8 ; β) z 5 z 5 8 ; γ) z 5 z 5 8

3. Να βρείτε το σύνολο των σημείων του μιγαδικού επιπέδου που είναι εικόνες των μιγαδικών

z οι οποίοι έχουν την ιδιότητα: «ο λόγος των αποστάσεών τους από τα σταθερά σημεία

1z 3 και

2z 3 , να είναι σταθερός και ίσος με

2

1.

4. Να βρείτε το γ.τ. των εικόνων Μ των μιγαδικών z, για τους οποίους ισχύει: z 1 z 4i .

Από τους μιγαδικούς που ανήκουν στον προηγούμενο γ.τ., να βρεθεί εκείνος με το ελάχιστο

μέτρο.

5. α) Να βρεθεί γ.τ. των εικόνων των z για τους οποίους ισχύει: z 2i 3 z 2i .

β) Αν για τους μιγαδικούς 1 2

z , z 2i ισχύει 1 2

1 2

z 2i z 2i3

z 2i z 2i

, να βρεθεί η μέγιστη τιμή

του 1 2

z z .

6. Έστω z x yi 0 και z

wz

. Να βρεθεί ο γ.τ. των εικόνων Μ του w.

7. Να δείξετε ότι αν z i z i , τότε Im(z) 0 .

8. Για τον z ισχύει: 22 2z z 2 z z z 0 . Αν Μ είναι η εικόνα του z στο μιγαδικό επίπεδο,

να δείξετε ότι ο γ.τ. του Μ είναι παραβολή.

9. Αν η εικόνα του μιγαδικού z ανήκει στον κύκλο κέντρου Ο(0,0) και ακτίνας ρ = 1, να δείξετε

το ίδιο ισχύει και για την εικόνα του μιγαδικού 2z i

wiz 2

.

10. Αν x , να βρείτε το γ.τ. της εικόνας του μιγαδικού z, όπου 1 xi

zx i

.

11. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z,w με z 5 και w 12 9i . Να αποδείξετε ότι:

α) 10 z w 20

β) 5 2z w 25 .

12. Αν z μιγαδικός και z 3 2i 7 , να αποδειχθεί ότι 2 z 2i 12 .

13. Έστω z C . Να βρείτε το , για τους οποίους ισχύει:

Α) 2 2

z 2i z 2 5 Β) 2 2

z 2i z 2 5

***********

14. Έστω ο μιγαδικός z (2x 3) (2y 1)i,x,y . Να αποδείξετε ότι στο μιγαδικό επίπεδο ο

γ.τ. των σημείων M(x, y) που είναι τέτοια ώστε 2z 1 3i 3 , είναι κύκλος του οποίου να

βρείτε το κέντρο και την ακτίνα.


-8-

15. α) Να βρεθεί ο γ.τ. των εικόνων των z για τους οποίους ισχύει: (1 i)z 2 2 .

β) Να βρεθεί ο γ.τ. των εικόνων των w για τους οποίους ισχύει: w 2i

1w 2 4i

.

γ) Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του z w .

16. Έστω z,w . Να βρείτε:

α) το γ.τ. των εικόνων των z ώστε ο αριθμός z 2

z 2i

να είναι πραγματικός.

β) το γ.τ. των εικόνων των w για τους οποίους ισχύει: w w 1 i .

γ) την ελάχιστη τιμή του z w .

17. Αν για το μιγαδικό z ισχύει z 3 4i 2 , τότε:

α) Να βρεθεί ο γ.τ. των εικόνων των z.

β) Να αποδείξετε ότι 3 z 7 .

γ) Ποιος μιγαδικός αριθμός z έχει το ελάχιστο και ποιος το μέγιστο μέτρο;

δ) Αν 1 2

z , z είναι δύο μιγαδικοί του προηγούμενου γ.τ., να αποδείξετε ότι 1 2

z z 4 .

18. Αν για το μιγαδικό z ισχύει z 4 z 4 10 , τότε:

α) Να βρεθεί ο γ.τ. των εικόνων των z.

β) Να αποδείξετε ότι 3 z 5 .

γ) Αν 1 2

z , z είναι δύο μιγαδικοί του προηγούμενου γ.τ., που οι εικόνες τους είναι σημεία

συμμετρικά ως προς την αρχή των αξόνων Ο(0,0), τότε να αποδείξετε ότι 1 2

6 z z 10 .

δ) Να αποδείξετε ότι z 4z 15 .

19. Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί z λ 3 (5λ 1)i,λ και w z (2 i) .

α) Να βρείτε τους γ.τ. των εικόνων των καθώς και τη σχέση που τους συνδέει.

β) Να βρείτε τον μιγαδικό z που έχει την πλησιέστερη εικόνα στην αρχή των αξόνων Ο(0,0).

γ) Να βρείτε την ελάχιστη απόσταση των εικόνων των μιγαδικών z, w για κάθε λ .

20. Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z, w και w1 τέτοιους ώστε w z zi και

*

1

1w αi,α

α .

α) Να δείξετε ότι: αν ο α μεταβάλλεται στο * , και ισχύει η σχέση 1

w w , τότε η εικόνα Ρ

του z στο μιγαδικό επίπεδο κινείται πάνω σε μια υπερβολή.

β) Να βρείτε το ελάχιστο μέτρο του μιγαδικού αριθμού z.

21. Αν για τους μιγαδικούς z,w ισχύουν:

1 1 30

z 9i z 9i z 9i z 9i

w 9i w 9i w 9i w 9i 324

Να δειχθεί ότι 3 z w 24


-9-

22. Έστω z και 2iz 2 6i 2 z 5 3i (1).

α) Να βρείτε τον Γ.Τ. των εικόνων του z για τον οποίο ισχύει η σχέση (1).

β) Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του z .

23. Αν z C με 1 2z 4i 2z , να υπολογίσετε το ελάχιστη τιμή του 3z i 2 .

24. Από όλους τους μιγαδικούς z με την ιδιότητα 3

z 2z

, να βρεθεί αυτός του οποίου η εικόνα

απέχει λιγότερο από την αρχή των αξόνων του μιγαδικού επιπέδου.

25. Από όλους τους μιγαδικούς z με την ιδιότητα 1

3z 2z

, να βρεθεί αυτός του οποίου η εικό-

να απέχει περισσότερο από την αρχή των αξόνων του μιγαδικού επιπέδου.

***********

26. Αν για το μιγαδικό z ισχύει z 3i 2z 3i , τότε:

α) Να βρεθεί ο Γ.Τ. των εικόνων των z.

β) Να αποδείξετε ότι 7 z 6 5i 13 .

γ) Να βρεθούν οι μιγαδικοί z για τους οποίους ισχύουν οι ισότητες του ερωτήματος β).

δ) Αν 1 2

z , z είναι δύο μιγαδικοί του προηγούμενου Γ.Τ., να αποδείξετε ότι 1 2

z z 6 .

ε) Αν 1 2

z , z είναι δύο μιγαδικοί του προηγούμενου Γ.Τ. τέτοιοι, ώστε 1 2

z z 6 , να αποδεί-

ξετε ότι 1 2

z z 6 .

27. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z w τέτοιοι, ώστε (z 5) 2(z 5)i 6 5 και iw 2 5i 4

α) Να βρεθεί ο Γ.Τ. των εικόνων των z.

β) Να βρεθεί ο Γ.Τ. των εικόνων των w.

γ) Να αποδείξετε ότι οι παραπάνω Γ.Τ. έχουν μοναδικό σημείο τομής, το οποίο και να βρείτε.

δ) Να αποδείξετε ότι z w 20 .

ε) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν μοναδικοί μιγαδικοί αριθμοί z w , τους οποίους και να προσ-

διορίσετε, τέτοιοι ώστε z w 20 .

28. Έστω z,w με zw 0 και 2 2z zw w 0 (1). Να αποδείξετε ότι:

α) z w και 3 3z w .

β) z w z w .

γ) Η γωνία που σχηματίζουν οι διανυσματικές ακτίνες των μιγαδικών z w ισούται με 120 .

δ)

2011 2011z w

1w z

.

29. Α. Να βρεθεί ο Γ.Τ. των μιγαδικών αριθμών zμε την ιδιότητα 2 z 5i 2 .

Β. Απ’ όλους τους μιγαδικούς που ανήκουν στον προηγούμενο Γ.Τ., να βρεθεί αυτός:

α) του οποίου η διανυσματική ακτίνα σχηματίζει τη μικρότερη γωνία με τον άξονα x’x,

β) που απέχει λιγότερο από τον άξονα x’x,

γ)* του οποίου η διανυσματική ακτίνα σχηματίζει τη μεγαλύτερη γωνία με τον άξονα x’x


-10-

Ασκήσεις (Ειδικές κατηγορίες)

Α. Γεωμετρικοί μετασχηματισμοί

Ορισμός: Μια συνάρτηση από το σύνολο ℇ των σημείων ενός καρτεσιανού επιπέδου Οxy

στο σύνολο ℇ , ονομάζεται γεωμετρικός μετασχηματισμός στο επίπεδο ή,

απλά, γεωμετρικός μετασχηματισμός.

Δηλαδή, γεωμετρικός μετασχηματισμός είναι μια οποιαδήποτε συνάρτηση

Τ: ℇ ℇ

Παράδειγμα: η συνάρτηση , Τ: ℇ ℇ τέτοια ώστε M(x,y) M'(x, y) , η οποία αντιστοιχίζει

κάθε σημείο Μ στο συμμετρικό του Μ’ ως προς τον άξονα x’x.

Μιγαδικοί: Σε πολλές ασκήσεις καλούμαστε να βρούμε την καμπύλη στην οποία κινούνται

η εικόνα του μιγαδικού w , όταν γνωρίζουμε:

i) ότι σχετίζεται με έναν άλλο μιγαδικό z μέσω μιας απλής συνάρτησης , και

ii) επιπλέον είναι γνωστή η καμπύλη ποτ κινείται η εικόνα του z.

30. Αν για τους μιγαδικούς z ισχύει z 2 , να βρείτε που ανήκουν οι εικόνες των μιγαδικών w

με w 3z 2 .

31. Αν για τους μιγαδικούς z ισχύει z 1 , να βρείτε που ανήκουν οι εικόνες των μιγαδικών w

με 2z i

wiz 2

.

32. Οι μιγαδικοί αριθμοί z και w συνδέονται με τη σχέση z 1

wz i

. Να βρεθεί γ.τ. των εικόνων

των z, όταν ο γ.τ. των εικόνων των w είναι:

α) ο πραγματικός άξονας

β) ο φανταστικός άξονας

γ) ο κύκλος w 1 .

33. Αν 1

Μ , 2

Μ είναι οι εικόνες των μιγαδικών 1

z , 2

z αντίστοιχα και 2 1

1

4z z

z , να δείξετε ότι:

Αν το 1

Μ κινείται σε κύκλο κέντρου Ο 0,0 και ακτίνας 4, τότε το 2

Μ κινείται σε μία έλλει-

ψη. [ασκ Β’ 9 σελ. 102]

34. Οι μιγαδικοί αριθμοί z και w συνδέονται με τη σχέση 2α

w zz

, όπου α ένας σταθερός θε-

τικός πραγματικός αριθμός. Αν η εικόνα M(z) του z στο μιγαδικό επίπεδο κινείται στον κύ-

κλο z α

, να δείξετε ότι η εικόνα του w M(w) κινείται σε κωνική της οποίας να βρείτε την

εξίσωση και την εκκεντρότητα.

35. Αν Μ , Ν είναι οι εικόνες των μιγαδικών z , w αντίστοιχα και z i 6 w 3z 2i , να δείξε-

τε ότι: Αν το Μ κινείται σε κύκλο κέντρου Ο 0,0 και ακτίνας 2, τότε

A) το Ν κινείται σε ομόκεντρο κύκλο ακτίνας 1.


-11-

Β) τα σημεία Ν, Ο, Μ είναι συνευθειακά.

Γ) Να υπολογισθεί η μεγίστη και ελάχιστη απόσταση των Μ, Ν.

36. Αν Μ , Ν είναι οι εικόνες των μιγαδικών z , w αντίστοιχα και 6i z w 3z 2i , να δείξετε

ότι: Αν το Μ κινείται σε κύκλο κέντρου Ο 0,0 και ακτίνας 2, τότε

A) το Ν κινείται σε ομόκεντρο κύκλο ακτίνας 1.

Β) ΟΝ ΟΜ τα σημεία Ν, Ο, Μ είναι συνευθειακά.

Γ) Να υπολογισθεί η μεγίστη και ελάχιστη απόσταση των Μ, Ν.

Δ) Η εικόνα του z w κινείται σε ομόκεντρο κύκλο ακτίνας 5 .

B. Μια Χαρακτηριστική Ομάδα Ασκήσεων

37. Δίνονται οι *z, w ώστε 2 2z w 0 . Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των z,w και η αρχή των

αξόνων σχηματίζουν ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο.

38. Αν Α, Β οι εικόνες των *z, w και z w

1w z , να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο ΟΑΒ (όπου Ο η

αρχή των αξόνων) είναι ισόπλευρο.

39. Έστω 1 2 3

z , z , z με 1 2 3

z z z και εικόνες Α, Β, Γ αντίστοιχα. Τα σημεία Κ, Λ, Μ είναι

οι εικόνες των 1 2 3

w z z , 2 3 1

w z z , 3 1 2

w z z αντίστοιχα. Αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισό-

πλευρο, να αποδείξετε ότι είναι και το τρίγωνο ΚΛΜ είναι ισόπλευρο.

40. Έστω 1 2 3

z , z , z ώστε 1 2 3

z z z 1 . Να δειχθεί ότι 1 2 3 1 2 2 3 3 1

z z z z z z z z z .

41. Έστω 1 2 3

z , z , z ώστε 1 2 3

z z z 0 και 2 2 2

1 2 3z z z 0 . Να δειχθεί ότι :

1 2 3z z z .

42. Έστω 1 2 3

z , z , z ώστε 1 2 3

z z z 0 και 2 1 3 2 1 3

z z z z z z . Να δειχθεί ότι

1 2 3z z z .

43. Έστω 1 2 3

z , z , z ώστε 1 2 3

z z z και 1 2 3

z z z 0 . Να αποδείξετε:

Α) 1 2 2 3 3 1

z z z z z z 0

Β) 2 2 2

3 1 2 1 2 3 2 3 1z z z , z z z , z z z

Γ) 2 1 3 2 1 3

z z z z z z [Οι εικόνες των 1 2 3

z , z , z στο μιγαδικό επίπεδο ορίζουν ισό-

πλευρο τρίγωνο].

44. Έστω 1 2 3

z , z , z ώστε 1 2 3

z z z 0 και 2 2 2

1 2 3z z z 0 . Να αποδείξετε:

Α) 2 2 2

3 1 2 1 2 3 2 3 1z z z , z z z , z z z

Β) 1 2 3

z z z

Γ) Οι εικόνες των 1 2 3

z , z , z στο μιγαδικό επίπεδο ορίζουν ισόπλευρο τρίγωνο.


-12-

45. Έστω 1 2 3

z , z , z ώστε 1 2 3

z z z ρ και 2 1 3 2 1 3

z z z z z z ρ 3 . Να δειχθεί ότι

1 2 3z z z 0 .

46. Έστω 1 2 3

z , z , z ώστε 1 2 3

z z z 1 και 1 2 3

z z z 3 . Να δειχθεί ότι : 1 2 3

z z z .

47. Έστω 1 2 3

z , z , z ώστε 1 2 3

z z z 1 , 1 2 3

z z z 1 και 1 2 3

z z z 1 .

Α) Να δειχθεί ότι 1 2 3

1 1 11

z z z ,

Β) Να δειχθεί ότι 1 2 2 3 1 3

z z z z z z 1

Γ) Να υπολογίσετε τους 1 2 3

z , z , z

48. Αν για τους μιγαδικούς z1 , z2 , z3 ισχύει 2 2 2

1 2 3 1 2 2 3 3 1z z z z z z z z z να αποδειχθεί ότι

1 2 2 3 3 1z z z z z z .

49. Δίνονται οι μη μηδενικοί μιγαδικοί αριθμοί z1 , z2 , z3 με 1 2 3

z z z ρ και

31 2

2 3 1

zz z 1Re =Re =Re

z z z 2

. Να αποδείξετε ότι:

Α) 1 2 3

z z z 0

Β) Το τρίγωνο με κορυφές τις εικόνες των z1 , z2 , z3 είναι ισόπλευρο.

Μιγαδικοί (2013)

Documents

Transcript of Μιγαδικοί (2013)