كتاب الانشطة مصر - ترم ثانى -2013-2014

äÉ«°VÉjôdGäÉ«°VÉjôdG≈fÉãdG ≈°SGQódG π°üØdG iƒfÉãdG ∫hC’G ∞°üdG≈fÉãdG ≈°SGQódG π°üØdG iƒfÉãdG ∫hC’G ∞°üdG

äÉÑjQóàdG h á£°ûfC’G ÜÉàcäÉÑjQóàdG h á£°ûfC’G ÜÉàc

OGóYEGh ¿óªdG §«£îJh iQÉÑμdGh ¥ô£dG AÉ°ûfEG É¡æe IOó©àe ä’Éée ≈a á«∏ªY äÉ≤«Ñ£J äÉ«°VÉjô∏d

∫ƒ£dG ø«H Ö°SÉæJ ≥ah É¡d á©WÉ≤dG äÉª«≤à°ùªdG h äÉª«≤à°ùªdG iRGƒJ ≈∏Y óªà©J ≈àdG É¡£FGôN

.º°SôdG ≈a ∫ƒ£dGh ≈≤«≤ëdG

¢ùjƒ°ùdG IÉæb ≈àØ°V ø«H §Hôj iòdG ΩÓ°ùdG iôHƒμd IQƒ°üdGh

جميع الحقوق محفوظة ال يجور نشر أ جزء من هذا الكتاب أو تصويره أو تخزينه أو تسجيله بأ وسيلة دون موافقة خطية من الناشر.

شركة سقارة للنشرΩ .Ω .¢T

الطبعــة األولى ٢٠١٤/٢٠١٣رقم اإليــداع ٧٩٥٠ / ٢٠١٣

الرقم الدولى 5 - 003 - 706 - 977 - 978

OGóYEG

ˆG ÜÉL OGDƒa ôªY /CG

™Ñ°†dG ≥«aƒJ π«Ñf /O.CG ídÉ°U ìƒàØdG ƒHCG ±ÉØY /O.CG

Qóæμ°SEG ¢SÉ«dEG º«aGÒ°S /CG π«FÉahQ ≈Ø°Uh ΩÉ°üY /O.Ω.CG

á°ûÑc ¢ùfƒj ∫Éªc /CG

بيانات الطالب

......................................................................................................................................................................... االســـم:

المدرسة:......................................................................................................................................................................

الفصل:............................................................................................................................................................................

بسم الله الرحمن الرحيميسعدنا ونحن نقدم هذا الكتاب أن نوضح الفلسفة التى تم فى ضوئها بناء المادة التعليمية ونوجزها فيما يلى:

التأكيد عىل أن الغاية األساسية من هذه الكتب هى مساعدة املتعلم عىل حل املشكالت واتخاذ القرارات ىف حياته 1اليومية، والتى تساعده عىل املشاركه ىف املجتمع.

التأكيد عىل مبدأ استمرارية التعلم مدى الحياة من خالل العمل عىل إكساب الطالب منهجية التفكري العلمى، وأن 2يمارسوا التعلم املمتزج باملتعة والتشويق، وذلك باالعتماد عىل تنمية مهارات حل املشكالت وتنمية مهارات االستنتاج

والتعليل، واستخدام أساليب التعلم الذاتى والتعلم النشط والتعلم التعاونى بروح الفريق، واملناقشة والحوار، وتقبل

آراء اآلخرين، واملوضوعية ىف إصدار األحكام، باإلضافة إىل التعريف ببعض األنشطة واإلنجازات الوطنية.

تقديم رؤى شاملة متماسكة للعالقة بني العلم والتكنولوجيا واملجتمع(STS) تعكس دور التقدم العلمى ىف تنمية 3املجتمع املحىل، باإلضافة إىل الرتكيز عىل ممارسة الطالب الترصف الواعى الفعال حيال استخدام األدوات التكنولوجية.

تنمية اتجاهات إيجابية تجاه الرياضيات ودراستها وتقدير علمائها. 4تزويد الطالب بثقافة شاملة لحسن استخدام املوارد البيئية املتاحة. 5

االعتماد عىل أساسيات املعرفة وتنمية طرائق التفكري، وتنمية املهارات العلمية، والبعد عن التفاصيل والحشو، 6واإلبتعاد عن التعليم التلقينى؛ لهذا فاالهتمام يوجه إىل إبراز املفاهيم واملبادئ العامة وأساليب البحث وحل املشكالت

وطرائق التفكري األساسية التى تميز مادة الرياضيات عن غريها.

:≈∏j Ée ÜÉàμdG Gòg ≈a ≈YhQ ≥Ñ°S Ée Aƒ°V ≈ahتقديم تمارين تبدأ من السهل إىل الصعب، وتشمل مستويات تفكري متنوعة.

تنتهى كل وحدة بتمارين عامة عىل الوحدة واختبار للوحدة واختبار تراكمى يشمل العديد من األسئلة التى تنوعت

بني األسئلة املوضوعية، واملقالية وذات اإلجابات القصرية، وتتناول الوحدات السابق دراستها وشمل الكتاب اختبارات

نهاية كل فصل دراىس.

بالسنوات دراسته ماسبق عىل معتمدا والحياتية الرياضية املسائل كتابة ىف مناسبة لغة استخدام روعى كما السابقة، وىف ضوء املحصول اللغوى لطالب هذا الصف.

وأخيرا ..نتمنى أن نكون قد وفقنا فى إنجاز هذا العمل لما فيه خير لأولادنا، ولمصرنا العزيزة.والله من وراء القصد، وهو يهدى إلى سواء السبيل

المقدمة

تنظيم البيانات فى مصفوفات.......................................................................................................................................................................................... 2 1 -1جمع وطرح المصفوفات......................................................................................................................................................................................................... 4 2 -1ضرب المصفوفات............................................................................................................................................................................................................................. 5 3 -1المحددات......................................................................................................................................................................................................................................................... 6 4 -1المعكوس الضربى للمصفوفة........................................................................................................................................................................................... 8 5 -1تمارين عامة ......................................................................................................................................................................................................................................... 10

اختبار الوحدة ...................................................................................................................................................................................................................................... 12

االختبار التراكمى ............................................................................................................................................................................................................................ 13

المتباينات الخطية.......................................................................................................................................................................................................................... 16 1 - 2حل أنظمة من المتباينات الخطية بيانيا......................................................................................................................................................... 18 2 - 2البرمجة الخطية والحل األمثل........................................................................................................................................................................................ 19 3 - 2تمارين عامة ......................................................................................................................................................................................................................................... 21

اختبار الوحدة ...................................................................................................................................................................................................................................... 22


الكميات القياسية والكميات المتجهة، والقطعة المستقيمة الموجهة.............................................................. 26 1 - 3المتجهات.................................................................................................................................................................................................................................................... 28 2 - 3العمليات على المتجهات........................................................................................................................................................................................................ 30 3 - 3تطبيقات المتجهات..................................................................................................................................................................................................................... 32 4 - 3تمارين عامة ......................................................................................................................................................................................................................................... 35

اختبار الوحدة ...................................................................................................................................................................................................................................... 36


IóMƒdG≈dhC’Gالمصفوفاتالمصفوفات

IóMƒdGá«fÉãdGمجة الخطيةمجة الخطيةالال

IóMƒdGáãdÉãdGاـتجهاتاـتجهات

äÉjƒàëªdG

تقسيم قطعة مستقيمة.........................................................................................................................................................................................................40 1 - 4معادلة الخط المستقيم..........................................................................................................................................................................................................41 2 - 443...................................................................................................................................................................................... قياس الزاوية بين مستقيمين 3 - 445....................................................................................................................... طول العمود المرسوم من نقطة إلى خط مستقيم 4 - 4المعادلة العامة للمستقيم المار بنقطة تقاطع مستقيمين .............................................................................................47 5 - 448......................................................................................................................................................................................................................................... تمارين عامة

اختبار الوحدة ......................................................................................................................................................................................................................................49

االختبار التراكمى ............................................................................................................................................................................................................................50

المتطابقات المثلثية...................................................................................................................................................................................................................52 1 - 553............................................................................................................................................................................................................ حل المعادالت المثلثية. 2 - 5حل المثلث القائم الزاوية.....................................................................................................................................................................................................54 3 - 5زوايا االرتفاع وزوايا االنخفاض ..................................................................................................................................................................................56 4 - 5القطاع الدائرى.....................................................................................................................................................................................................................................57 5 - 5القطعة الدائرية.................................................................................................................................................................................................................................58 6 - 5المساحات.................................................................................................................................................................................................................................................59 7 - 561......................................................................................................................................................................................................................................... تمارين عامة

اختبار الوحدة ......................................................................................................................................................................................................................................62

االختبار التراكمى ............................................................................................................................................................................................................................63

اختبارات عامة.........................................................................................................................................................................................................................................................................65

إجابات بعض التمارين..................................................................................................................................................................................................................................................71

IóMƒdGá©HGôdGالخط المستقيمالخط المستقيم

IóMƒdGá°ùeÉÿGحساب اـثلثاتحساب اـثلثات

المصفوفاتالمصفوفاتMatricesMatrices

دروس الوحدة

الدرس (١ - ١): تنظيم البيانات فى مصفوفات. الدرس (١ - ٢): جمع وطرح المصفوفات.

الدرس (١ - ٣): ضرب المصفوفات .الدرس (١ - ٤): المحددات .

الدرس (١ - ٥): المعكوس الضربى للمصفوفة

11IóMƒdG

الجبر

�� − ��

D ، C، جـ ، E أربع مدن ، فإذا كانت المسافة بالكيلو مترات بين أي مدينتين موضحة فى الجدول المقابل. 1

اكتب مصفوفة تمثل هذه المعلومات. أ

بفرض أن M هى المصفوفة المطلوبة فى ( أ ) أوجد مايلي: ب

، ماذا يعنى ذلك? .................................................................................................. ٣٢١- س

................................................................................................... ، ماذا يعنى ذلك?٢٣٢- س

........................................................................................ ?٢٣، س

٣٢٣- ما العالقة بين س

............................................................................................................ .M اكتب جميع عناصر الصف الثاني للمصفوفة ج

اكتب جميع عناصر العمود الثاني للمصفوفة M. ماذا تستنتج من البندين (٤)، (٥)? د

.......................................................................................................................................................................................................................

عندما ك = ١، ٢، ٣ ماذا تالحظ? .......................................................................................................................ك ك

أوجد س ه

أكمل مايأتى: و

............................................................................................................................................................. ١- M مصفوفة على النظم

......................................................................................................................................................... لجميع قيم هـ ي= س

ي هـ٢- س

ما عدد عناصر كل من المصفوفات اآلتية: 2

مصفوفة على النظم ٢ * ٣ ................................................................................................................................................................ أ

مصفوفة على النظم ٢ * ٢ ................................................................................................................................................................ ب

مصفوفة على النظم ٣ * ٢ ................................................................................................................................................................ ج

أوجد قيم C، ب، جـ، E إذا كان: 3

................................................................................................................... l٢ - Cجـ

٢ب + ١١٦

b = l٣٣ - C

٥-٢ - E٣b أ

................................................................................................................... lC٣E-٢ب

١٠١٠

b = l١٥٠

٢بC٢b + جـ ب

األهلية المصانع عدد المقابل الجدول يبين بالصناعة: الربط 4

العاملة فى قطاعي صناعة األغذية والمصنوعات الجلدية فى ثالث

مدن مختلفة من مدن بعض محافظات جمهورية مصر العربية.

نظم البيانات فى مصفوفة. أ

.........................................................................................................................................

CجـبC٠٧٥٨٠٧٥٠٥٦ب٨٠٥٦٠جـ

��

��

�� ٤٤٦٨�� ٢٨٥٢

�� !� �"#��٣٧١٤

تنظيم البيانات فى مصفوفاتOrganizing Data in Matrices 1 - 1

�� − �� M�� !"

��#�� $ �# �� %�&'(

ب اجمع عناصر كل عمود، ما تفسيرك للنتائج التى حصلت عليها?

......................................................................................................................................................................................................................

اجمع عناصر كل صف. هل النتائج التى حصلت عليها يمكن أن تزودنا ببيانات ذات معنى? فسر إجابتك. ج

..............................................................................................................................................................................................................................

l٤٣

١-٧

b = l٤١ - C٢

١-٣ب + ١b أوجد قيمة كل من D ،C إذا كان 5

..................................................................................................................................................................................................................................

l حيث C = بمدE٢٣هـ

١-٤

b l ، ب = ٢١-

٣-٤

b = C إذا كان 6

فأوجد قيمة كل من E ، هـ.

..................................................................................................................................................................................................................................

p٣٢-٤-

٠٣٥-

٢-٣٥

f p ، ب =١٢٤

٠١٥

٢٣-١-

f = C إذا كانت 7

C٢ب ، ب -٣+ C ، ب - C ، ب + C أوجد

= ص - س، س ص

Cإذا علم أن Cلكل س، ص ∈{ ١، ٢، ٣} اكتب المصفوفة (س ص

C) = C تفكير ناقد: إذا كانت 8 ثم أوجد Cمد

..................................................................................................................................................................................................

نشاط

صفوفها عناصر ومجاميع معنى، ذات أعمدتها عناصر مجاميع تكون حياتية بيانات باستخدام مصفوفة أنشئ

التى المجاميع صحة من وتحقق اإللكترونية الجداول برنامج على المصفوفة بيانات أدخل معنى. لها ليس

حصلت عليها، ثم فسر ماذا تعنى مجاميع األعمدة.

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

�� − �� )

جمع وطرح المصفوفاتAdding and subtracting Matrices

C٢C، ك

١ = -١ فأوجد كال من المصفوفات اآلتية: ك

٢ = ٢ ، ك

١l وكانت ك

٢-٤

٠٥

١-٠b = C إذا كان 1

..................................................................................................................................................................................................................................

p فأوجد ناتج العمليات اآلتية إن أمكن، مع ذكر السبب فى ٨-٠٦-

٤٧٥-f ، ب = l

٧-٤

٠٧

٥-٥b = C إذا كان 2

حالة تعذر إجراء العملية

C مد + ب ج C + ب مد ب C + ب أ

p فأوجد المصفوفة ٣ N - M + ع٢-٣-٦

٤-٢٠f ، ع = p

٥٠٤

١٢-٣-f = N ، p

٤-٣٠

٢-٦٤f =M إذا كان 3

..................................................................................................................................................................................................................................

p فأوجد المصفوفة M بحيث : M = C٢ - ٣ب٢٤١-

٦-١٠-٨

٢٠٤-f ، ب = p

٤٢٦

٨٤-١٢

٦-٨٠f =C :إذا كان 4

..................................................................................................................................................................................................................................

تفكير ناقد : أوجد قيم أ، ب، جـ، E التى تحقق المعادلة: 5

lجـ٠

٣أ

b ٤ - lأجـ

E٢-b ٣ = l

أ٦

٣بb ٢

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

6 مسألة مفتوحة : اختر من عندك مصفوفتين C، ب لهما نفس النظم ، ثم أثبت أن :

(C - ب) مد = Cمد - بمد ج (C + ب) مد = Cمد + بمد ب C - ب = C + (-ب) أ

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

نشاط

اكتب مسألة حياتية من عندك يمكن حلها باستخدام جمع أو طرح المصفوفات. 1

ابحث فى مكتبتك المدرسية أو على الشبكة الدولية لإلنترنت تطبيقات المصفوفات فى العلوم األخرى. 2

1 - 2

�� − �� M�� !*

ضرب المصفوفاتMatrix Multiplication

l فأوجد كال ممايأتى: ١-٣

٣٩

b l ، ب =٣٦

١٢

b = C إذا كان 1

.......................................................................................................................................................................... C ب أ

.......................................................................................................................................................................... C ب ب

.......................................................................................................................................................................... C(ب + C) ج

أوجد قيمة كل من س، ص: l٧١١

٨١٨b = l

س٣

٧صb l

٢٤

٣٥

b 2 إذا كان

..................................................................................................................................................................................................................................

، فهل هذا يعنى تفكير ناقد: إذا كان C، ب مصفوفتين، وكانت هى المصفوفة الصفرية ، C ب = 3

l ثم اعرض لرأيك بعد ذلك.٣٢

٦٤

b l ، ب = ٢-٢

٣٣-b = C أو ب = اتخذ = C دائما أن

............................................................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................................................

اللحوم من اآلتية الكميات السياحية الغردقة مدينة فى الفنادق أحد يستهلك بالسياحة: الربط 4

والخضراوات والفاكهة بالكيلو جرام، فى وجبتى الغداء والعشاء، وذلك تبعا للجدول التالى:

$�%��&��'�(�)*��+�� ,-&٢٠٠١٠٠١٥٠

*.#�� ,-&١٢٠٨٠١٠٠

الخضراوات من جرام الكيلو سعر ومتوسط جنيها ٦٥ اللحوم من جرام الكيلو سعر متوسط كان فإذا

ضرب باستخدام فأوجد ، جنيهات خمسة هو الفاكهة من جرام الكيلو سعر ومتوسط جنيهات أربعة

المصفوفات التكاليف الكلية للوجبتين.

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

1 - 3

�� − �� +

1 أوجد قيمة كل من المحددات اآلتية:

٦١٩

٣-٧-

ج ١٣

٢١-

ب ٧٣

٥٢

أ

.............................................. .............................................. ..............................................

١١-٠

٢٤٧

٣٤٨

و س + ١ ص + ١

س٢ + ١ص٢ + ١

ه C + س ب + ص

Cب

د

.............................................. .............................................. ..............................................

١٣٣٠٠

٣٧٠

٢٣٥١

ط ٣٢٥

٤-٠٠

٣-٣١-٢

ح ٠٢٠

٤٢١٨٢٨

٣٧٣

ز

.............................................. .............................................. ..............................................

حل كل نظام من المعادالت الخطية التالية بطريقة كرامر: 2

س + ٣ ص = ٥ ج س + ص = ٥ ب ٢ س - ٣ ص = ٥ أ

٢ س + ٥ ص = ٨ ٢ س + ٥ ص = ١٦ ٣ س + ٤ ص = -١

٢ س = ٣ + ٧ ص و ٣ س = ١ - ٤ ص ه ٣ س + ٢ ص = ٥ د

ص = ٥ - س ٥ س + ١٢ = ٧ ص ٢ س + ص = ٣

ط ص +٢س +٣ع = ٦ س + ٢ص - ٣ع = ٦ ح ٢س +ص - ٢ع =١٠ ز

٢ س - ص - ٤ ع = ٢ ٢س - ص +ع = -٣ ٣س + ٢ص + ٢ع =١

س - ٢ص + ٢ع= -١١ ٤س + ٣ص - ٢ ع = ١٤ ٥س + ٤ص + ٣ع = ٤

................ الربط بالهندسة: أوجد مساحة سطح المثلث C ب جـ الذى فيه C(٢، ٤)، ب (-٢، ٤) جـ(٠، -٢). 3

أوجد مساحة سطح المثلث س ص ع الذى فيه س (٣، ٣)، ص (-٤، ٢)، ع ( ١، -٤). 4

..................................................................................................................................................................................................................................

باستخدام المحددات أثبت أن النقط (٣، ٥)، (٤، -١)، (٥، ٧) تقع على استقامة واحدة. 5

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

1 - 4 المحددات

Determinants

�� − �� M�� !,

��-�./��

نشاط٥٦٧

٧٢٥٥٢

٤١١٢١

إليجاد قيمة المحدد 6

/%�� 0) �1�� 2��M�� 456 الحظ أننا كتبنا األعمدة الثالثة للمحدد وكررنا العمودين

األولين.

كالمبين عناصر ثالثة كل عبر قطرية خطوطا ارسم

خط كل من الناتجة الحدود فتكون المنقطة باألسهم

أسفل إلى المتجهة واألسهم المفكوك فى حدودا هى

تكون حدودها المناظرة موجبة، بينما تلك المتجهة إلى

أعلى تكون سالبة.

المحدد = ٥ * ٢٥ *٢١ + ٧ * ١١ * ٧ + ٤ *٦*٥٢ - ٤ *٢٥ * ٧ - ٥ * ١١ * ٥٢ - ٧ * ٦ *٢١

٢٦٢٥ + ٥٣٩ + ١٢٤٨ - ٧٠٠ - ٢٨٦٠ - ٨٨٢ =

٣٠- =

حاول أن تحل

استخدم الطريقة السابقة فى فك كل محدد مما يلى وإيجاد قيمته:

١٣٣٠٣٩

٣٧٩

٢٣٥٣٧٠

=9 ب ٣١١١٥

٥٩١٧

٧١٣١٩

=9 أ

٣٢٥

٤-٧٩-

٣-٣١-٢

=9 د ١١٦

٢-٢٤

١٣٣

=9 ج

تأكد من صحة إجاباتك بإيجاد قيمة كل محدد بالطريقة المعتادة ومقارنة نتائجك .

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

78978�:7;;�:787::;87:

�� − �� 0

بين المصفوفات التى لها معكوسات ضربية، والمصفوفات التى ليس لها معكوسات ضربية فيما يلى، وأوجد 1

المعكوس إن وجد.

l٢٢

٢٢b د l

١-٣

٠٤b ج l

٢١-

٦٣b ب l

٢١-

١١b أ

.............................................. .............................................. .............................................. ..............................................

l٢٥

٣٦b ح l

٣٢

٩٦b ز l

٢٠

٠١b و l

٤٣

٢١b ه

.............................................. .............................................. .............................................. ..............................................

ما قيم C التى تجعل لكل من المصفوفات التالية معكوسا ضربيا 2

l١-C١

٢-٢-Cb د lC

٢٤٢-Cb ج lC

٤٩C

b ب lC٦

١٣b أ

.............................................. .............................................. .............................................. ..............................................

l١٢١

٠١٢

b = ١- M فأثبت أن l٢٠

٠٢b = M إذا كانت 3

..................................................................................................................................................................................................................................

l١٠

٠١b = l

٢-٣

٠١b C :إذا كان Cأوجد المصفوفة 4

..................................................................................................................................................................................................................................

١-M١-N = ١- (NM) = أثبت أن l١١-

١-٣b = N ، l

٢٠

٣-١b = M إذا كانت 5

..................................................................................................................................................................................................................................

حل كل نظام من المعادالت الخطية التالية باستخدام المصفوفات، ثم تحقق من صحة الناتج: 6

٢ س - ٧ ص = ٣ ، س - ٣ ص = ٢ ب ٤ س + ٣ ص = ٢٦ ، ٥ س - ص = ٤ أ

...................................................................................................................... ......................................................................................................................

...................................................................................................................... ......................................................................................................................

٢ ص = ٥ - ٣س ، ٢ س = ٣ - ص د ٢ س = ٣ + ٧ ص، ص = ٥ - س ج

...................................................................................................................... ......................................................................................................................

...................................................................................................................... ......................................................................................................................

1 - 5 المعكوس الضربى للمصفوفة

Multiplicative Inverse of a Matrix

�� − �� M�� !1

2#�� /3� �4�5�� 6�78/��

الربط بالهندسة: الخط المستقيم الذى معادلته ص + C س = حـ يمر بالنقطتين (١، ٥)، (٣، ١)، استخدم 7

المصفوفات إليجاد قيمة الثابتين C، حـ .

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

جنيها ٥٦ بمبلغ الزيت من لترات ٥ و البنزين من لترا ٢٤ بخارية دراجة سائق يشترى بالحياة: الربط 8

لتموين دراجته، بينما يشترى سائق دراجة بخارية أخرى ١٨ لترا من البنزين، ١٠ لترات من الزيت بمبلغ

٦٧ جنيها لتموين دراجته، استخدم المصفوفات فى إيجاد ثمن كل من لتر البنزين ولتر الزيت، إذا علمت

أنهما يستخدمان نفس النوعية من البنزين والزيت.

.......................................................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................

الربط بالهندسة: يمر المنحنى ص = Cس٢ + ب س بالنقطتين (٢، ٠) ، (٤، ٨)، استخدم المصفوفات إليجاد 9

الثابتين C، ب ........................................................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................

تفكير ناقد: نصف الفرق بين عددين هو ٢ ومجموع العدد األكبر وضعف العدد األصغر هو ١٣. باستخدام 10

المصفوفات أوجد العددين.

.......................................................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................

نشاط

اكتب مسألة من عندك يحتاج حلها إلى تكوين نظام من المعادالت الخطية ، ثم حلها باستخدام المصفوفات.

.............................................................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................................................

�� − �� 9:

متارين عامةl

٥٤

٢٠

١-١

b = C إذا كانت 1

......................................................................................................................................................................... ?C ما نظم المصفوفة أ

................................................................................................................................. .C اكتب عناصر الصف األول للمصفوفة ب

....................................................................................................................... .C اكتب عناصر العمود الثالث فى المصفوفة ج

..................................................................................................................................................... ١٢C ،٣١C ،٢٢C ،١١C :اكتب العناصر د

عبر عن إحداثيات النقط التالية بمصفوفة من النظم ١ * ٢ 2

C (٢، ٣) ، ب (-١، ٠)، جـ(-٢، -٣)

..................................................................................................................................................................................................................................

ما عدد عناصر كال مصفوفة ممايلى? 3

................................................................................................................. مصفوفة من النظم ٣ * ٢ أ

................................................................................................................. مصفوفة مربعة من النظم ٢ * ٢. ب

4 حل كل من المعادالت اآلتية:

................................................................................................................. l٩٤b = l

س +٥س - صb أ

................................................................................................................. l٠٤

١٢b = l٣ب - C

C+ ب

ب٢b ب

الربط بالصناعة: ينتج مصنع لشاشات التليفزيون ثالثة أنواع ٣٢ بوصة ، ٤٢ بوصة ، ٤٨ بوصة، وللمصنع 5

فرعان أ، ب، وكان عدد الشاشات التى أنتجها كل فرع من كل نوع خالل شهرى يناير وفبراير عام ٢٠١٣

كما يوضح ذلك فى الجدولين التاليين ، عبر عن إنتاج الشهرين معا باستخدام المصفوفات.

أlب

٣٢بوصة٨٠٠٨٤٠

٤٢ بوصة٦٥٠٧٠٠

٤٨ بوصة٥٥٠٦٠٠

b

شهر يناير ٢٠١٣

أlب

٣٢بوصة٨٥٠٧٥٠

٤٢ بوصة٧٠٠٦٠٠

٤٨ بوصة٦٠٠٥٥٠

b

شهر يناير ٢٠١٣

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

. l٢٠

١-٥b = l

١٣

٢-٤-b + C :حل المعادلة 6

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

�� − �� M�� !99

متارين عامةأوجد أ، ب، جـ، د حيث 7

................................................................................................................. l٢-٤

١٣-b = l

أجـ

بدb + l

٣-١

٢-٥b أ

................................................................................................................. p٠١-١f = p

أبجـf - p

١٠١-f ب

p فأوجد :١٢-٠

٢٣-٢

٣١-١f = N ، p

١٦٠

٢٤١-

٣٢-٦-f = M :إذا كان 8

................................................................................................................. I ٢ - N ٣ + M ٢ أ

................................................................................................................. ( I ٥ - N) - M ب

l٠١b = l

سصb l

٣١

٢٤b أوجد س، ص حيث: 9

10 بين ما إذا كان لكل من المصفوفات التالية معكوس ضربى ثم أوجده

l٣٢

٩٦b د l

أأ

-ببb ج l

٠٣

٢٠b ب l

١٣

٢٤b أ

.......................................... .......................................... .......................................... ..........................................

حل كل نظام من المعادالت الخطية التالية باستخدام المصفوفات 11

ص = ١١ - ٥س ج ٢ س - ٣ ص -٣ = ٠ ب س + ص = ٣ أ

س = ٣ - ٥ ص ٥ س + ٤ ص - ١٩ = ٠ س - ص = ٥

...................................................... ...................................................... ......................................................

l فأوجد ب - ١.٤١

٣٢b = C وكان l

١١-

٢-٣b إذا كان (Cب)-١=١٥ 12

..................................................................................................................................................................................................................................

حل نظام المعادالت اآلتية باستخدام طريقة كرامر: ١٦ س + ٢٠ ص = ٦٩ ، ١٢ س + ٤ ص =٢٧. 13

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

�� − �� 9�

اختبار الوحدة

l أوجد:٢٦

١-٣-b l ، ج =

١-٣-

٢٤b l ، ب =

٣٢-

١٥b = C إذا كان 1

C ب ، ب C :كال من المصفوفتين ب C + ٢ ب - ٣ ج أ تحقق ان (Cب)مد = بمد Cمد د تحقق أن: C (ب + ج) = C ب + C ج ج

،CD's المدمجة األسطوانات من مجموعات ٣ مكتبة 2 تبيع

بيعها، وسعر مجموعة كل تكلفة التالى الجدول ويبين

المدمجة األسطوانات من مجموعة ٤٠ المكتبة باعت فإذا

المدمجة األسطوانات من مجموعة ٦٤ علمية، لموضوعات

مدمجة أسطوانات من مجموعة ٤٥ ثقافية، لموضوعات

لقصص عالمية.

أ نظم البيانات فى مصفوفتين، ثم استخدم ضرب المصفوفات إليجاد التكلفة الكلية لألسطوانات المدمجة.

المجموعات بيع من المكتبة عليه ستحصل الذى الكلى المبلغ إليجاد المصفوفات ضرب ب استخدم

المشار إليها من األسطوانات المدمجة.

استخدم العمليات على المصفوفات إليجاد ربح المكتبة من بيع مجموعات األسطوانات المشار إليها. ج

استخدم طريقة كرامر لحل كل نظام ممايلى: 3

٢ س + ص - ع = ٣ ج ٣ س - ص + ٥ = ٠ ب س + ص = ٤ أ

٢س - ص = ١ س + ٢ص +١ = ٠ - ٣س + ٢ ص + ع = ٤

٤ س + ٢ ص - ع = ٨

بين ما إذا كان لكل مصفوفة ممايلى معكوس ضربى أم ال، وفي حالة ما إذا كان لها معكوس ضربي أوجده: 4

l١١-

١١-b د l

١٢

٢١b ج l

٣٤

٥٦b ب l

٢٣

١-٢b أ

حل كل نظام ممايلى باستخدام المصفوفات: 5

٤ س = - ٦ص ج ٣ س - ص = ٠ ب أ س + ٢ص = ٨

٨ س - ٧ = ٢ ص ٥ س + ٢ ص = ٢٢ ٢ س - ص = -٩

حل نظام المعادالت اآلتية باستخدام طريقة كرامر. أ 6

٣ص = ١ + ع - س ، ٢ س = -٢ص + ع ، ٣ س + ص + ٢ ع = -١

ب مع خالد ٢٥ قطعة نقدية من فئة أرباع وانصاف الجنيه، وكان قيمة ما معه ٨٫٥ من الجنيه، استخدم

المصفوفات فى إيجاد عدد األرباع واألنصاف التى معه.

�� <�=�� =��M>6��?�@�� A1,�� #>

BC1��D�1��٨٠١٠٠

�1)2E٦٥٨٥

�1�� F�G٩٠١١٠

�� − �� M�� !9"

اختبار تراكمى

:≈JCÉj Ée πªcCG :’hCG.......................................................................................................................... ، ب = (٢ ٥) فإن (بC)مد = l

٢٢-b = C إذا كانت 1

......................................................................................................................... I = l فإن س = ١٣-

١-سb l

٤٣

١١b إذا كان 2

.............................................................................................................................................................. = ٢C فإن

l١٣

٢-٢b = C إذا كان 3

:Oó©àe øe QÉ«àN’G á∏Ä°SCG :É k«fÉKl فإن ب مد Cمد = ......................................................................................

٣٤

١-٥b إذا كانت C، ب مصفوفتين حيث Cب = 4

l٥١-

٤٣b د l

٥٤

١-٣b ج l

٣١-

٤٥b ب l

٣٤

١-٥b أ

.................................................................................................................................. = ١ فإن س تساوى ٢ - س٣-

٢س + ٢ إذا كان: 5

٤! د ج !٣ ٣ ب ٣- أ

≈JCÉj Ée øY ÖLCG :É kãdÉKأوجد قيمة كل من المحددات اآلتية: 6

٣٥٢

١٠٢

٤-١-٠

د ٢٤١

٢-١٢

٣١-١-

ج ٢٥

٢-٤

ب ٣-٢

٤٥-

أ

حل كل من أنظمة المعادالت اآلتية بطريقة كرامر 7

٣ س = ٢ ص + ٣ + ع د س - ٢ ص - ع =٠ ج ٣س + ص = ٥ ب ٢ س - ٤ = -ص أ

٢ س - ص + ٤ = ع س + ص - ٢ع = -١ ٢س + ٣ ص = ٨ ص = ٣ س - ٦

ص + ع = -س + ٣ -س + ٤ص +٧ع = ٦

استخدم المصفوفات C، ب، ج لتحدد ما إذا كان كل ممايأتى صحيحا أم ال. 8

l٤٣

١٢b ، ج = l

٠١-

٥٣-b l ، ب =

٢٦

٣١-b = C

C(ب + ج) = Cب + Cج. ب C(ب ج) = (C ب) ج. أ

حل نظام المعادلتين اآلنيتين التاليتين باستخدام المصفوفات 9

٥ص = ١ - ٢س ، ٣س = ٢ - ٧ص

l فأوجد كال من:١١-

٣٢b l ، ب =

٢٠

١١-b = C إذا كانت 10

٢C ج C ب ب C ب أ C ب مد و ه Cمد ب ب٢ د

�� − �� 9)


أجر العمليات التالية إن أمكن مع ذكر السبب فى حالة تعذر إجراء العملية: 11

l٤-٣

٦-٩b - l

٤٣-

٦٢-b ب l

- س- ع

- ص- لb + l

سع

صbل أ

l١٤

٢-٥

٣٦b l

١٠٣-

٢-١٢

٣٤١b د l

١٢

٠١

٣٠b l

٢٤

٣-٥b ج

M N ! N M :أثبت أن l١١-

١١b = N ، l

١-٠

٢٣b = M إذا كانت 12

l حيث C ب ! ٠C٠

٠bب = N ، l

٣٠

٠٤b = M إذا كانت 13

اثبت أنه لكل من المصفوفات N M ، N ، M معكوس ضربى وأوجده.

زميله اشترى رصاص، أقالم ٤ جاف، ٦أقالم ،(CD)مدمجة أسطوانات ١٠ المكتبات إحدى من كريم اشترى 14

كان فيما كريم، اشتراها التى األنواع نفس من رصاص أقالم ٣ جاف، أقالم ٥ مدمجة، أسطوانات ٨ سامى

سعر البيع هو جنيهين لألسطوانة المدمجة، ١٫٥٠ من الجنيه للقلم الجاف، ٠٫٧٥ من الجنيه للقلم الرصاص.

اكتب مصفوفة تمثل مشتريات كريم وسامى، ثم اكتب مصفوفة توضح أسعار كل سلعة تم شراؤها. أ

اكتب مصفوفة توضح المبالغ التى دفعها كل من كريم وسامى ثمنا لمشترواتهم. ب

ما المبلغ الذي دفعه كل من كريم وسامى ثمنا لمشترواتهم? ج

لعب إلنتاج مصنع من مختلفة أقسام ثالثة إنتاج كان 15 إذا

كما المقابل، بالجدول مدونا متتالية شهور ٣ فى األطفال

يوضح الجدول سعر بيع كل لعبة ، ما المصفوفة التى تمثل

الشهور فى الثالثة األقسام منتجات من المصنع دخل

الثالثة بفرض أنه قد تم بيع إنتاج المصنع بالكامل?

ما مقدار الدخل الكلي للمصنع?

:0�� I&�� !#�>� �2�� J>�� !� K� /5 AM��L M� �NO �P�& ١٢٣٤٥٦٧٨٩١٠١١١٢١٣١٤١٥ رقم السؤال

-٣رقم الدرس١

٣-١

٣-١

٢ -١

٢-١

٤-١

٤ -١

٣-١

٤-١

٣ -١

٣-١

٥-١

٥ -١

٣-١

٣-١

�(.��B;D

�(.��B:D

�(.��BQD

A1� �#>�,#��

B�D M�2٢٨ جنيه��٣٦٠٤٠٠٣٨٠

BRD M�2٣٧ جنيه��٤٨٠٥٠٠٤٥٠

BS-D M�2٣٢ جنيه��٥٧٠٦٠٠٥٥٠

�� − �� M��

-

��

��

��

� �

البرمجة الخطيةالبرمجة الخطيةLinear ProgramingLinear Programing

المتباينة الخطية. الدرس (٢ - ١): حل أنظمة من المتباينات الخطية بيانيا. الدرس (٢ - ٢):

البرمجة الخطية والحل األمثل. الدرس (٢ - ٣):


22IóMƒdG

الجبر

�� − ��!��"�� #

صل كل متباينة بالرسم البياني الذي يمثل مجموعة حلها (اختبر النقطة (٠، ٠) فى كل متباينة). 1 د ج ب أ

��

��

ص G س + ١ -٤ ص > س + ١ -٣ ص < س + ١ -٢ ص H س + ١ -١

اختبر أيا من النقط هو حل للمتباينة: 2

.........................................................................................[ (١، ٠–) ، (٣، ٩) ، (٠، ١) ] ص G ٢ س +٣ أ

.........................................................................................[ (١، ٠–) ، (٣، ٩) ، (٠، ١) ] ص < ٢ س + ٣ ب

أوجد مجموعة حل كل من المتباينات التالية: 3

٦ H س + ٣ ص ج ص > ٢ س – ٣ ب ص H س + ٢ أ

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

الربط بالمستهلك: افترض أنك تريد شراء ورق زينة؛ لتزين فصلك الدراسي لعمل حفلة ألوائل الطلبة، 4

فإذا كان ثمن اللفة من ورق الزينة ذهبي اللون هو ٥ جنيهات، وثمن اللفة من ورق الزينة األزرق اللون

هو ٣ جنيهات، وأنك تريد صرف ٤٨ جنيها على األكثر؛ لشراء ورق الزينة، فكم لفة من كل نوع يمكنك

.......................................................................................................................................................................... شراؤها? فسر إجابتك.

..................................................................................................................................................................................................................................

نشاط (١)

صف لزميلك الذى كان غائبا أثناء شرح هذا الدرس لمرضه، كيف يمكن تمثيل المتباينة س - ص G ٢ بيانيا

والتحقق من صحة اإلجابة.

المتباينات الخطيةLinear Inequalities 2 - 1

�� − �� M�� $

%�M&�� '��(��

الربط بالتكنولوجيانشاط (٢)

�� :�� Draw فى اآللة الحاسبة البيانية graphing colculator لرسم يمكنك استخدام خاصية المتباينات، حيث يعتمد ترتيب ادخال البيانات على ما إذا كنت ستظلل فوق الخط ،(y

min, y

1y استخدم التظليل (

1الحدى أم أسفله؛ إذا كان التظليل أسفل الخط الحدى

y) ولست فى حاجة ال ستخدام األقواس 1, y

maxy استخدم التظليل (

1وعندما تظلل فوق

ENTER المغلقة قبل الضغط على مفتاح

مـثـال

مثل كل متباينة بيانيا: 5 A y < 2x + 3 B y = 0.5x – 1

y لوجود عالمة أقل من1التظليل أسفل y لوجود عالمة أكبر من

1التظليل فوق الخط الحدى

0Y= Y=

2nd2nd

2nd

2nd

52

77

11

11 51

14 ,,

13 –+ X,T,iX,T,i .

DrawDraw

VARS

VARS

ENTRERENTRER

Y-VARS

Y-VARS

# �� F�� "� #$�% $# #�&'�� ( $ ) $�* $

(y1, y

max) ) $�* $# (y

min, y

1) ) $�*

× (Comma) فاصلة أضف ،8(Light) إلى 1(Dark) من صحيح عدد بإدخال التظليل درجة فى التحكم يمكنك . ENTRER والعدد الصحيح قبل الضغط على مفتاح

ال تضع اآللة الحاسب البيانية تميزا بين الخط الحدى المتصل والمقطع؛ لذا يجب عليك أن تحدد إذا كان ×الخط الحدى متصال أم متقطعا عند رسمك للمتباينة فى كراستك.

حاول أن تحل

استخدم اآللة الحاسبة البيانية؛ لرسم كل متباينة مما يلي: 1

A y < x B y > 2x + 1 C y H -x + 3

D y G 5 E x - y H 4 F 2x + 3y G 12

الحظ +�,- x , ,�/��&� +�,- y

� ,�/��&�0�1- � + �� > 345�6

y < 2x + 3

�� − ��!��"�� )

2 - 2 ا حل أنظمة من المتباينات الخطية بياني

Solving systems of Linear Inequalities Graphcally

فى الموضحة الحل منطقة له يأتى مما نظام أى 1

الشكل المقابل:

س + ص > ٣ ب ٣ H س + ص أ

ص H س - ٣ ص > س - ٣

س + ص < ٣ د ٣ G س + ص ج

ص G س - ٣ ص < س - ٣

حل كل نظام من المتباينات الخطية بيانيا: 2

س + ٤ ص > ٤ ج ص - س > ٠ ب ٤ H س أ

٢ G ٤ س + ص ١٢ H ٢ س + ٢ ص ص < س + ٢

س - ص < ١ ص < ٦ + ٢ س ٢- G س + ٢ ص

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

أعطى األستاذ كريم لتالميذه زمنا قدره ٦٠ دقيقة إلجابة اختبار فى الرياضيات، يجب أن يجيب التالميذ 3

عن ٤ أسئلة على األقل من القسم (أ)، ٣ أسئلة على األقل من القسم (ب)، بحيث التقل عدد األسئلة المجابة

من القسمين معا عن ١٠ أسئلة. فإذا استغرقت هناء ٤ دقائق إلجابة كل سؤال فى القسم (أ)، ٥ دقائق إلجابة

كل سؤال فى القسم (ب). كم سؤاال فى كل قسم حاولت هناء اإلجابة عنه?.................................................................

التفكير الناقد: 4

........................................................ اكتب نظاما من المتباينات الخطية، والتي يكون حلها هو خط مستقيم. أ

٣ G ب بدون تمثيل بياني، فسر لماذا نقطة تقاطع المستقيمين الحديين فى النظام: ٢ س + ص > ٢، س - ص

............................................................................................................................................................................ ليست حال لهذا النظام.

نشاط

اكتب مسألة من عندك يحتاج حلها إلى كتابة نظام من متباينتين خطيتين فى مجهولين ثم حل هذا النظام. 5

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

� 7� � 8�− �−

��

�

�−�−�−

�−

�

� 9�;�

;

�� − �� M�� *

2 - 3 البرمجة الخطية والحل ا$مثل

Linear programing and optimization

اختر اإلجابة الصحيحة من بين اإلجابات المعطاة: 1

............ النقطة التى تنتمي إلى مجموعة حل المتباينات: س > ٢ ، ص > ١ ، س + ص G ٣ هى: أ

`(١، ٣) ، (٣، ٢) ، (١، ٢) ، (٣، ١) j

................................................................. النقطة التى تكون عندها للدالة S = ٤٠س + ٢٠ص قيمة عظمى هى: ب

`(٢٥، ٠) ، (١٥، ١٠) ، (٠، -٤) ، (٠، ٠) j

النقطة التى تكون عندها للدالة م = ٣٥س + ١٠ص قيمة صغرى هى: ................................................................... ج

`(٢٠، ١٠) ، (٠، ٤٠) ، (٠، ١٠) ، (٠، ٠) j

باستخدام الرسم البياني المقابل، أوجد قيمتي س، ص التى تجعل قيمة 2

دالة الهدف S = ٣س + ٢ص قيمة صغرى، ثم أوجد هذه القيمة.

....................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................

القيمة أو العظمى القيمة أوجد ثم بيانيا، التالية األنظمة من كال مثل 3

الصغرى لدالة الهدف تبعا لما هو معطى.

س + ص H ٥أ

١ G ص

٢ G س

قيمة صغرى لدالة الهدف S = ٢س + ٣ص

٢س + ص H ٦ب

١ G س

٢ G ص

قيمة عظمى لدالة الهدف S = ٢س + ٣ص

يستلزم العادى المرطب عبوة تصنيع كان وإذا للجلد، مرطبا وتبيع تصنع أنك افترض بالصناعة: الربط 4

١سم٣ يستلزم الممتاز النوع من المرطب عبوة تصنيع وكان الكاكاو، زبدة من ١سم٣ الزيت، من ٢سم٣

من الزيت، ٢سم٣ من زبدة الكاكاو، سوف يكون ربحك هو ١٠ جنيهات لكل عبوة من النوع العادى، ٨

جنيهات لكل عبوة من النوع الممتاز. فإذا كان لديك ٢٤ سم٣ من الزيت، ١٨ سم٣ من زبدة الكاكاو، فما

عدد العبوات التى يمكنك تصنيعها من كل نوع؛ حتى تحصل على أكبر ربح ممكن، وما هذا الربح?

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

��−

�

�

8

� 8�;�

;

< =>

C

E

�� − ��!��"�� +,

الربط بالمهن: لدى أحد الخياطين ١٠ أمتار من قماش الكتان، ٦ أمتار من قماش قطنى، ويريد الخياط 5

من واحد متر إلى المالبس يحتاج من األول النوع لديه، المتوافرة المواد من المالبس من نوعين تفصيل

من متر ٢ إلى الثانى النوع يحتاج بينما جنيهات، ٣ قدره ربحا ويحقق القطن، من واحد ومتر الكتان،

الكتان ومتر واحد من القطن، ويحقق ربحا قدرة ٤ جنيهات. ما الكمية التى يجب عليه تفصيلها من كل

نوع حتى يحقق الخياط أكبر ربح ممكن? .....................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

الربط بالموسيقى: ينتج أحد مصانع اآلالت الموسيقية نوعين من آالت النفخ، يحتاج تصنيع النوع األول 6

٨ النحاس، من وحدة ١٥ الثاني النوع تصنيع ويحتاج النيكل، من وحدات ٤ النحاس، من وحدة ٢٥ إلى

وحدات من النيكل، فإذا كانت الكمية المتاحة فى المصنع فى أحد األيام ٩٥ وحدة من النحاس، ٣٢ وحدة

من النيكل، وكان ربح المصنع فى اآللة من النوع األول هو ٦٠ جنيها وربحه فى اآللة من النوع الثاني ٤٨

جنيها، فما عدد اآلالت التى يجب أن ينتجها المصنع من كل نوع حتى يحقق أكبر ربح ممكن?

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

الربط بالسياحة: أقامت إحدى شركات السياحة جسرا جويا لنقل السائحين. ذلك لنقل ١٦٠٠ سائح، ٩٠ 7

طنا من األمتعة بأقل تكلفة، وكان المتاح نوعين من الطائرات C، ب وكان عدد الطائرات المتاحة من النوع

C ١٢ طائرة، وعدد الطائرات المتاحة من النوع ب ٩ طائرات، وكانت الحمولة كاملة للطائرة من النوع ،C٢٠٠ شخص، ٦ أطنان من األمتعة، والحمولة الكاملة للطائرة من النوع ب ١٠٠ شخص، ١٥ طنا من األمتعة،

وكان إيجار الطائرة من النوع C هو ٠٠٠ ٣٢٠ جنيه، ومن النوع ب هو ٠٠٠ ١٥٠ جنيه، فكم طائرة من كل نوع يمكن للشركة استئجارها?

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

أنشطة

استخدامات يوضح مثاال واكتب للمعلومات (اإلنترنت) الدولية الشبكة أو المدرسية مكتبتك إلى ارجع 8

البرمجة الخطية فى كل من المجاالت التالية:

بحوث العمليات د إدارة الوقت ج الصناعة ب االقتصاد أ

..................................................................................................................................................................................................................................

دالة اكتب بيانيا. الحل منطقة مثل ثم خطية، متباينات أربع كتابة حلها يتطلب عندك من مسألة اكتب 9

الهدف لمسألتك، وحدد متى يكون لها قيمة عظمى، أو قيمة صغرى، ثم أوجد هاتين القيمتين.

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

�� − �� M�� +�

تمارين عامةحدد صحة أو خطأ كل من العبارات التالية، وإذا كانت العبارة خطأ، وضح سبب الخطأ وإذا كانت صوابا 1

أعط أمثلة توضحها.

........................................ ( ) إذا كان C، ب ∈ ح وكان C > ب ، C، ب موجبان معا فإن ٢C > ب٢. أ

........................................ ( ) إذا كان C، ب ∈ ح وكان C > ب ، C، ب سالبان معا فإن ٢C > ب٢. ب

........................................ ( ) .١ب >

١C

إذا كان C، ب ∈ ح وكان C > ب ، C، ب متحدان فى اإلشارة فإن ج

........................................ ( ) .١ب >

١C

إذا كان C، ب ∈ ح وكان C > ب ، C، ب مختلفتان فى اإلشارة فإن د

حل كال من المتباينات اآلتية، ومثل الحل على خط األعداد: 2

.......................................................................................................................................................................... ٢س + ٤ < ٥س - ٥ أ

.......................................................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................... ١٢ H ٧ < ٥س + ٢ ب

.......................................................................................................................................................................................................................

مثل بيانيا مجموعة حل كل من المتباينات التالية: 3

ص < -٢س + ٣ ج ص G -س - ٤ ب ص H ٢س + ١ أ

حل كل نظام من المتباينات بيانيا: 4

١٢ H ٢س + ٣ص ج س + ص > ٢ ب ص < س + ٣ أ

٢ G س ٢س - ص < ١ ص > ٦ + س

١ G ص

أوجد من الشكل المقابل قيمتى س، ص التى تجعل قيمة 5

١٢ س + ص قيمة صغرى. ................................................................... = S الدالة

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

الربط بالصناعة ورشة صغيرة لعمل األواني المعدنية، تصنع نوعين من األوانى C، ب، وتحتاج اآلنية C إلى 6 ١٠ دقائق عمل من الماكينة األولى، ١٢ دقيقة عمل من الماكينة الثانية، بينما تحتاج اآلنية ب إلى ١٥ دقيقة

عمل من الماكينة األولى، ١٠ دقائق من الثانية، فإذا كان ربح اآلنية (أ) ٤ جنيهات وربح اآلنية (ب) هو

٥ جنيهات، فما عدد األواني من كل نوع حتى يكون الربح أكبر ما يمكن، علما بأن كال من الماكينتين

التعمل أكثر من ثماني ساعات?

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

��

�

8

�

�

7

9?

� 7 9� � � 8 ?�

�� − ��!��"�� ++

اختبار الوحدةحل كل نظام من المتباينات اآلتية بيانيا: 1

س - ٢ص < ٣ ، ٢س + ص > ٨ أ

٨ H ٥ ، ٤س + ص H ٠ ، س + ص G ٠ ، ص G س ب

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

أوجد القيمتين العظمى و الصغرى لدالة الهدف ر = ٤س + ص تحت القيود: 2

٠ G ٠ ، ص G ١٠ ، س G ٦ ، ٢س + ص H س + ص

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

األقدام، على سيرا المشى رياضة ممارسة عند دقيقة حرارى/ سعر ٤ سامى يحرق بالصحة: الربط 3

١٠ سعر حرارى/دقيقة عند ممارسة رياضة الجرى، يمشى سامى ما بين ١٠، ٢٠ دقيقة يوميا، ويجرى ما

بين ٣٠، ٤٥ دقيقة يوميا، وال يستغرق أكثر من ساعة يوميا فى ممارسة كل من المشى أو الجرى، ما الوقت

الذى يجب أن يستغرقه سامى فى كل نشاط؛ ليحرق أكبر قدر ممكن من السعرات الحرارية?

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

�#: أوجد قيمتى س، ص@�� #1A�� B� 4

والتي تجعل دالة الهدف S = ٢س + ٣ص أكبر ما يمكن

ثم أوجد هذه القيمة.

..........................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................

الربط بالصناعة: تنتج إحدى الورش الصغيرة المكتبى نوعين من كراسى المكتب إحداهما من الخشب 5

الزان، واآلخر من الخشب األبيض، ويلزم إلنتاج كل منهما تشغيل نوعين من الماكينات أ، ب، فإذا كان

وإنتاج ساعتين، لمدة ب والماكينة ساعات، ثالث لمدة أ الماكينة تشغيل يقتضى الزان الكرسى إنتاج

الكرسى من الخشب األبيض يقتضى تشغيل الماكينة أ لمدة ساعتين والماكينة ب لمدة ٣ ساعات، وكانت

الورشة تربح ٢٠ جنيها فى الكرسى من الخشب الزان، ١٢ جنيها فى الكرسى من الخشب األبيض. فأوجد

عدد الكراسى من كل نوع، والتي ينبغى على الورشة إنتاجها يوميا؛ حتى تحقق أكبر ربح ممكن، علما بأن

الورشة التعمل أكثر من ١٥ ساعة يوميا.

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

� ?�−��8?

��

� ��8�;�

;

<

�

=>

E

�� − �� M�� +-

اختبار تراكمىاختيار من متعدد: 1

اختر المتباينة التى تمثل المنطقة الملونة حال لها:

١٢ س ص > ب ١٢ س G ص أ

١٢ س ص < د ١٢ س H ص ج

صواب أم خطأ: 2

هل الجملة التالية صحيحة أم خطأ. فسر إجابتك"النظام المكون من متباينتين خطيتين إما أن يكون ليس

له حل، أو أن يكون له عدد النهائي من الحلول".

مثل مجموعة حل كل متباينة ممايلى بيانيا: 3

٣- G س أ

٦ G س - ٣ ص ب

حل كل نظام من المتباينات الخطية التالية بيانيا: 4

٣ ص > ٤ س ، ٢س -٣ص > -٦ أ

س + ص >٦ ، ص < - ٥س + ١٢ ، ص < ٥ س + ١٢ ب

أوجد القيمة العظمى للدالة S = ٢ س + ص تحت القيود: 5

.٨- G ١٨ ، - ٤س + ص H ٠ ، ٢س + ٣صG ٠ ، صG س

مثل مجموعة حل كل من المتباينات التالية بيانيا: 6 ٣٤ G ٣٢ ص ١٢ س + ج ٦ H س + ٣ ص ب ٢ G س + ص أ

٨ G ٤ س - ٢ ص و ٢ س + ٣ ص < ٦ ه ٤ ص > ٦ س +٢ د

حل كل نظام من المتباينات الخطية التالية بيانيا: 7

ص > ٤ س -١ ج ١٢ H ٣ س + ٢ ص ب ص G ٢ س -١ أ

ص H - س +٤ ٣ H س - ص ٢ G س

٠ G س و ٠ G س ه ٠ G س د

٠ Gص ٠ G ص ٠ Gص

س + ص < ٨ ١Hص - س س + ٢ص > ٤

س + ٢ص < ١١ ١٢ H ٤س + ٣ص ٤س + ص > ٩

v

�� −�− �−�−

��

�

�−�−

�−

�−

�

��

�

�� − ��!��"�� +.

اختبار تراكمىثمن القدم كرة لعبة كرات من نوعين شراء الرياضية لألدوات متجر صاحب يريد اضة: بال الربط 8

الكرة الواحدة من النوع (أ) ٣٠ جنيها، وثمن الكرة الواحدة من النوع (ب) ٦٠ جنيها إذا علمت أن صاحب

فى الكرات لعرض المخصص المكان أن كما الكرات، لشراء جنيه ١٨٠٠ من أكثر دفع اليريد المتجر

المتجر اليسمح بعرض أكثر من ٥٠ كرة، فكم كرة من كل نوع يستطيع صاحب المتجر شراءها وعرضها.

ينتج مصنع نوعين من المفارش المطرزة، يحتاج النوع األول مترا واحدا من القماش و أربعة ساعات عمل 9

٨ بمكسب ويباع عمل وساعتين القماش من متر ١٫٥ يحتاج الثاني والنوع جنيها، ١٢ بمكسب ويباع

ساعة ٤٥ المتاحة العمل وساعات مترا، ١٥٠ هى للمصنع المتاحة القماش كمية أن علمت فإذا جنيهات،

عمل، وأن المصنع يمكنه بيع كل إنتاجه من المفارش، فأوجد عدد المفارش من كل نوع والتي يجب أن

ينتجها المصنع؛ لكى يحقق أقصى ربح.

الربط بالسياحة: أقامت إحدى شركات السياحة جسرا جويا لنقل السائحين. ذلك لنقل ١٦٠٠ سائح، ٩٠ 10

طنا من األمتعة بأقل تكلفة وكان المتاح نوعين من الطائرات C، ب وكان عدد الطائرات المتاحة من النوع

C ١٢ طائرة، وعدد الطائرات المتاحة من النوع ب ٩ طائرات وكانت الحمولة كاملة للطائرة من النوع ،C٢٠٠ شخص، ٦ أطنان من األمتعة، والحمولة الكاملة للطائرة من النوع ب ١٠٠ شخص، ١٥ طنا من األمتعة،

وكان إيجار الطائرة من النوع C هو ٠٠٠ ٣٢٠ جنيه ومن النوع ب هو ٠٠٠ ١٥٠ جنيه، فكم طائرة من كل نوع يمكن للشركة استئجارها?

يقوم مصنع بعمل نوعين مختلفين من السبائك المكونة من خليط من الحديد والزهر، بحيث يتكون النوع 11

وثالث الحديد من وحدة من الثاني النوع ويتكون الزهر، من ووحدتين الحديد من وحدتين من األول

وحدات من الزهر، فإذا كانت الكمية المتاحة فى المصنع من الحديد ١٠ كجم ومن الزهر ١٨ كجم وكان

عدد فما جنيهات. ١٠ الثاني النوع من السبيكة بيع وسعر جنيها ١٥ األول النوع من السبيكة بيع سعر

السبائك التى ينتجها المصنع من كل نوع؛ ليحقق أكبر دخل ممكن?

?á«aÉ°VEG IóYÉ°ùªd êÉàëJ πgإن لم تستطع حل أى من األسئلة السابقة استعن بالجدول التالي:

)�C�� DEF١٢٣٤٥٦٧٨٩١٠١١

�F�� DEF�−��−��−��−��−��−��−��−��−��−��−�

المتجهاتالمتجهاتVectorsVectors

الكميات القياسية، والكميات المتجة، والقطعة المستقيمة الموجهة الدرس (٣ - ١): المتجهات. الدرس (٣ - ٢):

العمليات على المتجهات. الدرس (٣ - ٣): تطبيقات على المتجهات. الدرس (٣ - ٤):


الهندسة 33التحليلية

IóMƒdG

�� − ��

:�� 1

ا معرفة .................................. الكمية القياسية يلزم لتعريفها تعريفا تام أ

ا معرفة .................................. الكمية المتجهة يلزم لتعريفها تعريفا تام ب

القطعة المستقيمة الموجهة هى قطعة مستقيمة لها ..................................، ..................................، ................................. ج

تتكافأ القطعتان المستقيمتان الموجهتان إذا كان لهما.................................. د

س ص جـ ه وكل منهما اليوازى C ب يوازى فى الشكل المقابل: 2

صل كال من العبارات التالية بما يناسبها.

س ص١- متحدا االتجاهأ C ، E C ب و س ، ب

جـ هـ ، C ب٢- مختلفا االتجاهج CE ، هـ ح د

س ص٣- متضادا االتجاهه ب E ، ص و ، جـ ح و

فى الشكل المقابل C ب جـ E هـ و، سداسى منتظم، مركزه النقطة م. 3

أكمل مايأتى:

تكافئ ........................... وتكافئ ........................... وتكافئ ........................... C ب أ

تكافئ ........................... وتكافئ ........................... وتكافئ ........................... E ب م

جـ E تكافئ ........................... وتكافئ ........................... وتكافئ ........................... ج

C ب جـ E مربع تقاطع قطراه فى م. اكتب جميع القطع المستقيمة الموجهة والمتكافئة التى يعينها الشكل. 4

..................................................................................................................................................................................................................................

فى مستوى إحداثى متعامد: إذا كانت C( ٤، -٣) ، ب (٤، ٤)، جـ (-٣، -١)، وكانت كل من القطع المستقيمة 5

ن و متكافئة، حيث و نقطة األصل. أوجد إحداثيات كل من E ، م ، ن. ، و م ، E جـ ، C ب الموجهة

..................................................................................................................................................................................................................................

C

E

�

��

��

�

�

�

�

��

E �

��

C

الكميات القياسية والكميات المتجهة، والقطعة المستقيمة الموجهة

Scalars, Vectors and Directed Line Segment 3 - 1

�� − �� M�� !��"�#

$%&�' $'�(�)' $*M(� ,$%+�' ��'-� $��( ��'-

: (٤، ٧) E ، (١، ٣) (٣، -٢)، ب (٦، ٢) ، جـC : فى مستوى إحداثى متعامد 6

|| E جـ أوجد || C ب || ، || أ

.......................................................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................

E جـ أثبت أن C ب تكافئ ب

.......................................................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................

و S متكافئة، أوجد إحداثيى كل ، E ن C م ، ب جـ ، ج إذا كان كل من القطع المستقيمة الموجهة

من م، ن، S حيث و نقطة األصل.

.......................................................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................

فى مستوى إحداثيى متعامد: C(٢، ٣) ، ب (-٣، ١)، جـ (٥، -١) 7

.E ب وعين إحداثى النقطة C تكافئ ، E جـ ارسم أ

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

ب جـ ثم حدد القطع المستقيمة الموجهة التى تكافئ كال من: عين إحداثى النقطة م منتصف ب

E ب :� �� C جـ :��!�" C م :��#�" ب م :�$��

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

هل الشكل C جـ E ب متوازى أضالع ? فسر إجابتك. ج

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

�.�� − ��

فى مستوى إحداثى متعامد : C( ٣، -٤) ، ب ( -١٢، ٥) ، جـ ( -٣، -٦)، أوجد متجه الموضع لكل من النقط 1

C ، ب ، جـ بالنسبة لنقطة األصل و (٠، ٠)، ثم أوجد معيار كل منها. ..................................................................................................................................................................................................................................

عبر عن كل من المتجهات التالية بداللة متجهى الوحدة األساسيين، ثم أوجد معيار كل منها: 2

............................................................. ن = (٨، -٦) ب ............................................................... (٤، -٣-) = W أ

............................................................. ( ٢ ٠، ٢)= C د ............................................................... (٥، -١٢-) = X ج

............................................................. ( ٢ ٣- ، ٢ جـ =( و ............................................................... (٣ ، ٠ ب =(-٣ ه

أوجد الصورة القطبية لكل من المتجهات التالية: 3

...................................................................................................... N ٨ + M ٣ ٨ = W أ

................................................................................................................. N ٢ ٣+ M ٢ ن =٣ ب

جـ = (٠، ١١): ، (٢، ٥-) = ب ، (٣، -٢) = C إذا كان 4

اكتب كال من المتجهات التالية بداللة متجهى الوحدة األساسيين أ

( جـ ب + ) ١٢ جـ ، ب - + C ، جـ ٣، ب ٢

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

ب ، C جـ بداللة عبر عن ب

.......................................................................................................................................................................................................................

أوجد بداللة متجهى الوحدة األساسيين المتجه الذى يعبر عن: 5

........................................................ سرعة منتظمة مقدارها ٦٠ كم/س فى اتجاه الغرب. أ

........................................................ قوة مقدارها ٢٠ ث كجم تؤثر على جسم فى اتجاه c٣٠ جنوب الشرق. ب

........................................................ إزاحة جسم مسافة ٤٠سم فى اتجاه الشمال الغربى. ج

3 - 2 المتجهات

Vectors

�� − �� M�� !��"�/

��%+�'

= (-١٠، -٢) أثبت أن: ل ن = (٤، -٢٠)، ،(٥، ١) = W إذا كان 6

ل ن = ج ل // W ب ن = W أ

N ٨ - M ن = -٦ ، N ٤ + N ٣ = W إذا كان 7

N M + ب ٤ = X ، N ٨ - M C = ل

ن // W أثبت أن أ

.......................................................................................................................................................................................................................

ل // W أوجد C ∈ ح إذا كان ب

.......................................................................................................................................................................................................................

ن = X أوجد ب ∈ ح إذا كان ج

.......................................................................................................................................................................................................................

? فسر إجابتك W = X هل د

.......................................................................................................................................................................................................................

بداللة التالية الموجهة المستقيمة القطع من كل عن عبر متطابقة. أضالع لمتوازيات المقابلة الشبكة 8

ن ، W المتجهين

ب ص ............................ ب ............................ C ب أ

............................ E هـ د ............................ هـ جـ ج

س ص ............................ و ............................ س هـ ه

............................ ل م ح ............................ ص م ز

............................ هـ و ى ............................ ب م ط

............................ E و ل ............................ و ل ك

نشاط

r٤)فى مستوى إحداثى متعامد، ثم مثل هندسيا كال من متجهات الموضع التالية بقطع مستقيمة ،٢) = W ارسم

W جـ = -٢ ، W ب = - ، W ٣ = C موجهة فى نفس المستوى:

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

C

�

�

�

��

� E��

% �

W

ن

01�� − ��

3 - 3 العمليات على المتجهاتOperations on Vectors

�&��: C ب جـ E متوازى أضالع ، م نقطة تقاطع قطراه. ��:� ��'� () 1

ب جـ = .......................... ب C ب = .......................... أ

.......................... = E جـ C جـ + د Cب + ب جـ = .......................... ج

.......................... = E C + C جـ و E جـ = .......................... + E ب ه

E جـ = .......................... ب جـ + ح .......................... = E C C ب + ز

م جـ = .......................... C م + ى E جـ = .......................... + CE ط

..........................٢ = Eجـ + E C ل ..........................٢ = E C C ب + ك

ب م = .......................... C ب + ٢ ن م ب = ........................ + C م م

٠ ع س = ص ع + س ص + فى أى مثلث س ص ع، أثبت أن: 2

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

. E C = E جـ ب جـ + C ب + فى أى شكل رباعى C ب جـ E أثبت أن : 3

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

. E جـ C ب ، و ∈ �&��: C ب جـ E شكل رباعى هـ ∈ � ��'� () 4

E و + E C + C هـ جـ و = ب جـ + هـ ب + أثبت أن:

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

C ب أثبت أن: C ب جـ E متوازى أضالع. E ب = ٢ C جـ + C ب جـ E شكل رباعى إذا كان 5

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

C

��

E

�

C

��

�

E

��

�� − �� M�� !��"02

��%+�' �34 ��3'*

. C E هـ ب + = E جـ C هـ + C ب ، هـ منتصفC جـ أثبت أن : C ب جـ مثلث فيه E منتصف 6

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

جـ C على الترتيب. ب جـ ، فى المثلث C ب جـ : E ، هـ ، و منتصفات األضالعC ب ، 7

E جـ ب و = C هـ + أثبت أن:

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

E C ٥٢ = E ب C جـ + ٢٣ أثبت أن: = E Cب جـ ب جـ ، // E C C ب جـ E شبه منحرف فيه 8

N ٤ - M- ب =- ، N ٢ - M ٣ = C إذا كان 9

:*��

.......................................................................................................................................................................... ب + C أ

.......................................................................................................................................................................... ب - C ب

.......................................................................................................................................................................... || ب + C || ج

.......................................................................................................................................................................... ب ٣ + C ٢ د

.......................................................................................................................................................................... ب ٣ - C ه

.......................................................................................................................................................................... C ٣ - و

C ب جـ E متوازى أضالع، حيث C(٣، ٠) ، ب (٠، ٤) ، E( -٢، -١) أوجد إحداثيا نقطة جـ. 10

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

C ب جـ E شبه منحرف فيه C( -٢، -٣) ، ب (٤، -١) ، جـ ( ٢، ٥)، E( -١ ، ك). 11

Eجـ أوجد قيمة ك. C ب // إذا كان أ .......................................................................................................................................................................................................................

C ب جـ ب = أثبت أن ب

.......................................................................................................................................................................................................................

.E ب جـ C أوجد مساحة شبه المنحرف ج

.......................................................................................................................................................................................................................

0�� − ��

:��&�� '� () 1

باستخدام أثبت أضالع. متوازيا ص س Cب ،E جـ ب C

المتجهات أن الشكل جـ س ص E هو متوازى أضالع.

..............................................................................................................................

..............................................................................................................................

..............................................................................................................................

:��&�� '� () 2

C جـ . C ب جـ مثلث فيه C∋ E ب ، هـ∈

، W ٢ = Eب ، ن = Cهـ ، W = CE

ن ، W ب جـ بداللة ن أوجد جـ هـ = ٢

E هـ ب جـ // ثم برهن أن

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

ب جـ حيث ب E : E جـ = ٣ : ٢ ∋ E ، ب جـC فى المثلث 3

E C C جـ = ٥ C ب + ٣ أثبت أن: ٢

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

E جـ فأثبت أن: C ب جـ E متوازى أضالع E ب = ٢ C جـ + Cب جـ E شكل رباعى، إذا كان 4

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

C

�

��

E

C

��

E��ن W

ن ٢ W ٢

3 - 4 تطبيقات على المتجهات

Applications on Vectors

�� − �� M�� !��"00

��%+�' �34 ��(��M5

ب جـ // E C C ب جـ E شبه منحرف فيه 5

ن C ب = ، W = E C ، E C ب جـ = ٣

ن عن كل من: ، W �: عبر بداللة $��

E جـ ، E ب C جـ ، ب جـ ،

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

Eب حيث E س =١٣ س ب ��: إذا كانت س∈ �#�"

أثبت أن النقط C ، س ، جـ تقع على استقامة واحدة .

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

فى الشكل المقابل: 6

٢ سم وC ب مثلث فيه وC = ٧ سم ، وب = ٥

.c١٣٥ = (و ب C c) X

C ب أوجد باستخدام المتجهات طول

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

(٥ ، -٤-) E ، (٢، ٣-) (٥، ١) ، ب (٢، ٥) ، جـC إذا كانت 7

فأثبت باستخدام المتجهات أن الشكل C ب جـ E شبه منحرف.

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

إذا كانت C(٦، ٥)، ب(٨، -٣)، جـ (-٢، -٥) هى رؤوس المثلث C ب جـ، فأوجد باستخدام المتجهات 8

إحداثيى نقطة تقاطع متوسطاته.

................................................................................................................................................................................................................................. .

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

C

�

� ��

E

ن

W

Cc+,-

./0./ ٢ -

�

�

�� − �� 06

نشاط (١)

ى محصلة القوى الموضحة بكل شكل : اكتب بداللة متجه الوحدة أوالج ب أ

12��#3412��#+3ى

.5� 6 3-ى34 6 �5.

.� 6 ,4

.� 6 74 ى

.......................................................................................................................................................................................................................

تؤثران فى نقطة مادية، وضح مقدار واتجاه محصلة كل قوتين منها.٢X ،

١X ثانيا: فى كل مما يأتى، القوتان

= ٤٠ نيوتن فى اتجاه الغرب.٢X ، ١٥ نيوتن فى اتجاه الشرق =

١X أ

.......................................................................................................................................................................................................................

= ٣٤ ث جم فى اتجاه الجنوب الغربى.٢X ، ٣٤ ث جم فى اتجاه الشمال الشرقى =

١X ب

.......................................................................................................................................................................................................................

= ٥٠ داين تعمل فى اتجاه c٣٠ جنوب الشرق.٢X ، غرب الشمال c٥٠ داين تعمل فى اتجاه ٦٠ =

١X ج

.......................................................................................................................................................................................................................

= ٣٠ نيوتن تعمل فى اتجاه ٧٠ cشمال الشرق.٢X ، شرق الشمال c٣٠ نيوتن تعمل فى اتجاه ٢٠ =

١X د

.......................................................................................................................................................................................................................

ثالثا:

N (٣ - + (ب M ٤- = ٣X ، N ٣ + M C =

٢X ، N ٥ - M ٧ =

١X القوى:

أوجد قيمتى C ، ب إذا كانت: تؤثر فى نقطة مادية

ب مجموعة القوى متزنة. N٧ - M محصلة مجموعة القوى تساوى ٤ أ

.......................................................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................

نشاط (٢)

تتحرك سيارة مخصصة لمراقبة السرعة على أحد الطرق الصحراوية بسرعة ٤٠كم/س. راقبت هذه السيارة 9

حركة سيارة قادمة فى االتجاه المضاد، فبدت وكأنها تتحرك بسرعة ١٣٥ كم/س. فإذا كانت أقصى سرعة

مسموح بها على هذا الطريق ١٠٠ كم/س . هل السيارة القادمة مخالفة للسرعة المقررة أم ال? فسر إجابتك.

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

�� − �� M�� !��"07

متارين عامة ،٣) جـ ،(٣- ،٠) ٠) ، ب ،٤-)C النقط عين (٠ ،٠) و فيه األصل نقطة متعامد إحداثى نظام فى 1

١) ، E (٢، ٨) ثم أوجد:

متجه الموضع بالنسبة لنقطة األصل (و) لكل من النقط C، ب، جـ بداللة متجهى الوحدة األساسيين. أ

متجه الموضع للنقطة E بالنسبة لنقطة األصل (و) بالصورة القطبية. ب

C ب. معيار القطعة المستقيمة الموجهة ج

. ب جـ E C = ك قيمة ك التى تجعل د

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

أوجد بداللة متجهى الوحدة األساسيين المتجه الذى يعبر عن: 2

........................................................ قوة مقدارها ٢٠ نيوتن تؤثر على جسم، وتعمل فى اتجاه الشمال. أ

........................................................ إزاحة جسم مسافة ٥٠سم فى اتجاه c٣٠ شمال الغرب . ب

........................................................ السرعة المنتظمة لسيارة تقطع مسافة ٧٠كم/س فى اتجاه الغرب ج

جـ = (-٣، -٢) ب = (-٦، ٩) ، ، (٤، -٦) = C إذا كان 3

C جـ = ، جـ ب = ، ب // C أثبت أن: أ

جـ C + ب - ٣ ١٢ ، جـ ب - ٢ ، ب + C ٢ :*�� ب

.......................................................................................................................................................................................................................

. E (٢، -٢) ، ب (٤، -٢) ، جـ (٢، ٣) أوجد إحداثيا نقطة C متوازى أضالع حيث E ب جـ C إذا كان 4

..................................................................................................................................................................................................................................

باستخدام المتجهات أثبت أن : قطرى متوازى األضالع ينصف كال منهما اآلخر. 5

..................................................................................................................................................................................................................................

C جـ = (٦، ١١). أوجد: ب + جـ ب = (-٦، -٤)،٢ ، (٢، ٣-) = C ب فى مستوى إحداثى متعامد ، 6

أوال: إحداثيى كل من النقط C ، ب ، جـ

ثانيا: مساحة سطح المثلث C ب جـ (باستخدام المتجهات)

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

�� − �� 0�

اختبار الوحدة.(١، ٥)E ،(٢، ١-) (١، -٤) ، ب(٤، ٠) ، جـ C فى مستوى إحداثى متعامد، نقطة األصل و (٠، ٠) ، إذا كانت 1

...................................................................................................... .|| E جـ C ب||، || أوجد || أ

...................................................................................................... . E جـ C ب تكافئ أثبت أن ب

...................................................................................................... هـ E أوجد إحداثيى هـ. ب جـ تكافئ إذا كان ج

جـ = (١، ١٢): ب = (-١، ٦) ، ، (٤، ١) = C إذا كان 2

.( جـ ب + ) ١٢ ب - جـ ، أوجد بداللة متجهى الوحدة األساسيين كال من أ

. ب ، C جـ بداللة عبر عن ب

.......................................................................................................................................................................................................................

N ١٠ + M C = ل ، N ١٠ - M ن = - ٥ ، N ٢ + M = W إذا كان 3

N M + ب ٢= X

ن // W أثبت أن: أ

................................................................................................................. ل // W أوجد C ∈ح إذا كان ب

................................................................................................................. . ن = X أوجد ب ∈ح إذا كان ج

................................................................................................................. ? فسر إجابتك W = X هل د

4 فى الشكل المقابل : C ب جـ E متوازى أضالع م نقطة تقاطع

قطريه. أكمل:

............................... = ـ ب ج C ب + أ

............................... = Eجـ + CE ب

............................... = جـ م C م + ج

............................... = ب م C ب + ٢ د

C م ٢ = C ب + ............................... ه

............................... = C م C ب - و

جـ ب = C - م C ب = (١، -٤)، C (٢، ٣) ، جـ ( -١، ١٥)، أوجد قيمتى ل ، م إذا كان: ل إذا كان 5

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

C ب جـ E مستطيل حيث C (-١، -٢)، ب (٥، ١) ، جـ (٣، ك). أوجد: 6

E ثانيا: إحداثيى نقطة أوال: قيمة ك

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

C

��

E

�

�� − �� M�� !��"0#

اختبار تراكمىOó©àe øe QÉ«àN’G á∏Ä°SCG

.................................................................................................. ميل المستقيم المار بالنقطتين C (٣، ٤) ، ب ( -١، ٢) يساوى 1

١٤- د ١٢ ج ٢ ب أ -٢

فى المثلث C ب جـ: X(Cc) = c٩٠، حتا جـ = ٠٫٦ فإن ظا ب يساوى: ........................................................................... 2

٤٣- د ٤٣ ج ٣٤ ب ٠٫٤ أ

ب C فإن ١٢سم جـ = ب ، ب جـ = E C المقابل الشكل فى 3

يساوى ......................................................................................................................

٣ ٦ ب ٢ ٨ أ

١٠ د ٢ ٤ ج

C جـ عدا العبارة: فى الشكل المقابل جميع العبارات التالية تعبر عن 4

E جـ + E C ب C م ٢ أ

E جـ ب جـ + د E ب C ب + ج

.................................................. r٤) يعبر عنه بداللة متجهى الوحدة األساسيين بالصورة ، ٢ ١٢) = W المتجه 5

N ١٢- M ١٢ ب N ٦ + M ٦ أ

N ١٢+ M ١٢ د N ١٢ - M ج -٦

:Iô«°üb äÉHÉLEG äGP á∏Ä°SCGب جـ // E هـ فى الشكل المقابل : 6

أوجد قيم ك ، ل، م ، ن العددية إذا كان:

....................................................................................... CE ب E= ك أ

....................................................................................... Cجـ جـ هـ = ل ب

....................................................................................... E هـ ب جـ = م ج

............................................................................................................................................................... Cجـ E هـ = ن + E C د

ب = (٢، ٧) أوجد : ، (٣، -٢) = C إذا كان 7

.......................................................................................................................................................................... ب + C أ

.......................................................................................................................................................................... C ب - ب

.......................................................................................................................................................................... ب ٣ - C ٢ ج

C

�� E./8

C

��

E

�

C

��

E��./,

./,

./3

�� − �� 0.

اختبار تراكمى٠ = Cجـ ب جـ + C ب + C ب جـ مثلث. أثبت أن 8

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

E C C ب جـ E متوازى أضالع تقاطع قطراه فى م . إذا كان ن∈ 9

. ن م ٤ = E ن ن جـ + ن ب + + C ن أثبت أن :

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

فى مستوى إحداثى متعامد ، نقطة األصل و (٠، ٠)، إذا كان C (-١، -٤) ، ب (١، ١) ، جـ (٦، -١) 10

ب جـ بداللة متجهى الوحدة األساسيين C ب ، أوجد كل من أ

.......................................................................................................................................................................................................................

ب جـ C ب = أثبت أن ب

.......................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

á∏jƒW äÉHÉLEG äGP á∏Ä°SCG

، N ٣ ٤+ M - = W ، N ٣ ٢ - M ل = ٢ 11 فى مستوى إحداثى متعامد،إذا كان

ن + W ل + جـ = جـ فى الصورة القطبية حيث N أوجد ٣ ٢+ M ن = ٣

..................................................................................................................................................................................................................................

باستخدام المتجهات أثبت أن النقط C (٥، ١)، ب (٧، ٢)، جـ (٤، -٤)، E(-١، -٢) هى رؤوس مربع، وأوجد 12

مساحته

:(�� %�*5�� 1�/� ,�&��;� �<=/>� 1? @� �A BM;2 . �DE �F�� ١٢٣٤٥٦٧٨٩١٠١١١٢رقم السؤال

رقم الدرس

تراهام

تراهام

تراهام

٣-٣

٢-٣

٤-٣

٢-٣

٣-٣

٣-٣

٢-٣

٢-٣

٤ -٣

�� − �� M��

-

الخط المستقيمالخط المستقيمStraight LineStraight Line

تقسيم قطعة مستقيمة. الدرس (٤ - ١): معادلة الخط المستقيم. الدرس (٤ - ٢):

قياس الزاوية بين مستقيمين. الدرس (٤ - ٣): طول العمود المرسوم من نقطة إلى خط مستقيم. الدرس (٤ - ٤):

المعادلة العامة للخط المستقيم المار بنقطة تقاطع مستقيمين. الدرس (٤ - ٥):


الهندسة 44التحليلية

IóMƒdG

�� − ��!��"�� #$

≈JCÉjÉe πªcCG :k’hCGE C متوسط فى C 9 ب جـ ، م نقطة تالقى :�� 1

المتوسطات، حيث C (٠، ٨)، ب (٣، ٢)، جـ (-٣، ٥)

(......................... ،.........................) . إحداثيى نقطة E هى أ

(......................... ،.........................) ب إحداثيى نقطة م هى

� ��: إذا كانت C (٢، ٣)، ب (-١، ٧)، جـ ، E نقطتين �� 2

تقعان على محورى اإلحداثيات

C ب من ...................... ونسبة التقسيم هى ...................... : ...................... جـ تقسم أ

C ب من ...................... ونسبة التقسيم هى ...................... : ...................... E تقسم ب

(................... ،...................) إحداثى نقطة جـ هى ج

(................... ،...................) إحداثى نقطة د هى د

á«JB’G á∏Ä°SC’G øY ÖLCG :É k«fÉKC ب إلى ثالثة أجزاء متساوية فى إذا كانت C (٨ ، -٤)، ب (-١، ٢) فأوجد إحداثى النقطتين اللتين تقسمان 3

الطول .......................................... ، ..........................................

C ب من الداخل بنسبة ٢ : ٣ إذا كانت C (٣، ١) ، ب (- ٢، ٥) أوجد إحداثيات النقطة جـ التى تقسم 4

..................................................................................................................................................................................................................................

C ب بحيث ٣ Cجـ = ٢جـ ب إذا كانت C (١، ٣)، ب (-٤، -٢) أوجد إحداثي النقطة جـ إذ كانت جـ ∈ 5

..................................................................................................................................................................................................................................

C ب من الخارج بنسبة ٣ : ٢ إذا كانت C (٢، ٥) ، ب (٧، -١)، أوجد إحداثى النقطة جـ التى تقسم 6

..................................................................................................................................................................................................................................

........... C ب وكانت C (٣، ١)، ب (٤، ٢) وكان Cجـ = ٢ Cب. أوجد إحداثى نقطة جـ. ، جـ∉ C ب إذا كانت جـ ∈ 7

إذا كانت C، ب، جـ ثالث نقط تقع على استقامة واحدة حيث C (٢، ٥)، ب (٥، ٢)، جـ (٤، ص). أوجدالنسبة 8

C ب مبينا نوع التقسيم، ثم أوجد قيمة ص. التى تقسم بها النقطة جـ القطعة المستقيمة الموجهه

........................................................................................................................ ، .........................................................................................................................................

C

��

E

�� ,��

�� ,�� ,�−�

�

E

��C

�

�� ,�−�

�� ,�� ,��

�� ,��

تقسيم قطعة مستقيمةDividing a line segment 4 - 1

�� − �� M�� #%

معادلة الخط المستقيمEquation of the straight line 4 - 2

:≈JCÉj Ée πªcCG : k’hCG

................................ إذا توازى المستقيم المار بالنقطتين (٣، ٠) ، (٠، ٢) والمستقيم ص = C س – ٣ فإن C تساوى 1

المعادلة المتجهة للمستقيم الذى يمر بالنقطة (٣، ٥) ويوازى محور السينات هى .................................................... 2

......................................... المعادلة الكارتيزية للمستقيم الذى يمر بالنقطة (-٢، ٧) ويوازى محور الصادات هى 3

المعادلة المتجهة للمستقيم الذى يمر بنقطة األصل وبالنقطة (١، ٢) هى ........................................................................ 4

معادلة المستقيم الذى يصنع مع االتجاه الموجب لمحور السينات زاوية قياسها c٤٥ ويقطع جزءا موجبا 5

....................................................................................................................................... من محور الصادات مقداره ٥ وحدات هى

المعادلة الكارتيزية للمستقيم الذى يقطع من المحورين السينى والصادى جزأين موجبين مقدارهما ٢ ، ٣ 6

على الترتيب هى .............................................................................................................................................................................................

مساحة سطح المثلث المحدد بمحور السينات ومحور الصادات والمستقيم٢س + ٣ ص = ٦ تساوى 7

..................................................................................................................................................................................................................................

á«JB’G á∏Ä°SC’G øY ÖLCG :É k«fÉK

إذا كانت C (٣، -٢)، ب (٥، ٦)، جـ (١، -٢) فأوجد ميل كل من المستقيمات اآلتية: 8

ب جـ ......................................................................، ...........................................................................، ............................................................ C جـ ، C ب ،

هما على الترتيب ٢ س – ٣ ص + C = ٠ ، ٣ س + ب ص – ٦ = ٠ فأوجد:٢ ، ل

١إذا كانت معادلتا المستقيمين ل 9

................................................................................................................................................................................... ١ميل المستقيم ل أ

متوازين ...........................................................................................................................................٢، ل١قيمة ب التى تجعل ل ب

متعامدين..........................................................................................................................................٢، ل١قيمة ب التى تجعل ل ج

............................................................................................. .C فأوجد قيمة ١إذا كانت النقطة (١، ٣) تمر بالمستقيم ل د

إذا كان المستقيم Cس – ٤ ص + ٥ = ٠ يصنع مع االتجاه الموجب لمحور السينات زاوية ظلها ٠٫٧٥ فأوجد 10

.................................................................................................................................................................................................................. . C قيمة

�� − ��!��"�� #&

............................................................... ١٣ ويمر بالنقطة (٢، -١). أوجد المعادلة المتجهة للخط المستقيم الذى ميله 11

cأوجد المعادلتين البارمتريتين للمستقيم الذى يصنع مع االتجاه الموجب لمحور السينات زاوية قياسها ٤٥ 12

ويمر بالنقطة (٣، -٥). ................................................................................................................................................................................

............................................................................ أوجد المعادلة المتجهة للمستقيم الذى يمر بالنقطتين (٢، -٣)، (٥، ١) 13

أوجد المعادلة العامة للمستقيم الذى يمر بالنقطتين (٥، ٠)، (٠، -٧) ................................................................................. 14

إذا كانت C (٠، ٢)، ب (٢، ١)، جـ (-٢، ٣) ثالث نقط فى المستوى، فأوجد المعادلة المتجهة للخط المستقيم 15

C ب ، ثم أثبت أن النقط C، ب، جـ تقع على استقامة واحدة.

..................................................................................................................................................................................................................................

ب جـ. إذا كانت C (٥، -٦)، ب (٣، ٧)، جـ (١، -٣)، فأوجد معادلة المستقيم الذى يمر بالنقطة C وينصف 16

..................................................................................................................................................................................................................................

أوجد المعادلة الكارتيزية للمستقيم المار بالنقطة (٣، -٥) ويوازى المستقيم س + ٢ ص – ٧ = ٠ 17

..................................................................................................................................................................................................................................

S = (٣ ، ٠) + ك(٤ ، ٣) أوجد المعادلة المتجهة للمستقيم المار بالنقطة (٥، ٧) وعمودى على المستقيم 18

..................................................................................................................................................................................................................................

C ب من الداخل بنسبة إذا كانت C (١، ٤) ، ب (- ٤، ٦) فأوجد معادلة المستقيم الذى يمر بنقطة تقسيم 19

٢ : ٣ ويكون عموديا على المستقيم ٥ س – ٤ ص – ١٢ = ٠

..................................................................................................................................................................................................................................

معادلة فأوجد (٣ ، ٢ م (- ، (١١ ، ٧ ب (- كان فإذا م مركزها دائرة فى قطر C ب بالهندسة: الربط 20

.C المماس للدائرة عند نقطة

..................................................................................................................................................................................................................................

فى والصادى السينى اإلحداثيات محورى ٠ = ١٢ ص – ٤ + س ٣ المستقيم قطع إذا بالهندسة: الربط 21

النقطتين C، ب على الترتيب فأوجد:مساحة سطح 9 وC ب حيث و نقطة األصل. ...................................................................................................................... أ

........................................................................................ C ب ويمر بنقطة منتصفها. معادلة المستقيم العمودى على ب

�� − �� M�� #�

4 - 3 قياس الزاوية بين مستقيمين

Measure the angle between two straight lines

≈JCÉj Ée πªcCG : k’hCGقياس الزاوية الحادة بين المستقيمين الذين ميالهما ٢ ، -١٢ تساوى .................................................................................. 1

قياس الزاوية الحادة بين المستقيمين س = ٣ ، ص = ٤ تساوى ............................................................................................. 2

S = (٢، ٢) + ك(١،١) والمستقيم س = ٠هى ................................................. قياس الزاوية الحادة بين المستقيم 3

......................................................... إذا توازى المستقيمان C س + ٣ ص – ٧ = ٠ ، ٢ س – ٣ ص + ٥ = ٠ فإن C تساوى 4

إذا تعامد المستقيمان C س + ٧ ص – ٩ = ٠ ، ٧ س – ٢ ص + ١٢ = ٠ فإن C تساوى ........................................................ 5

•É°ûf :Ék«fÉKهى رؤوسها إحداثيات الشكل مثلثة أرض قطعة :�� !

C (٦، ٠) ، ب (-٦، ٠) ، جـ (٠، ٦) أكمل مايأتى:

C جـ ومحور السينات تساوى ....................................... قياس الزاوية الحادة بين 6

ب جـ تساوى ............................... ، C جـ قياس الزاوية بين المستقيمين 7

C جـ هى ............................................................................................ المعادلة المتجهة للمستقيم 8

ب جـ هى .............................................................................................................................................. المعادلة المتجهة للمستقيم 9

C ب هى ................................................................................ المعادلة الكارتيزية للمستقيم المار بالنقطةجـ ، ويوازى 10

................................................................................................................................................. مساحة سطح المثلث C ب جـ تساوى 11

IÉ£©ªdG äÉHÉLE’G ø«H øe áë«ë°üdG áHÉLE’G ôàNG :É kãdÉKقياس الزاوية الحادة المحصورة بين المستقيم المار بالنقطتين (٠، ١) ، (-١، ٠) واالتجاه الموجب لمحور 12

السينات تساوى: .............................................................................................................................................................................................

c٩٠ د c٦٠ ج c٤٥ ب cصفر أ

..................................... S = (٠، ٣) + ك(١، ١) والمستقيم س = ٠ تساوى: قياس الزاوية الحادة بين المستقيم 13

c٩٠ د c٦٠ ج c٤٥ ب c٣٠ أ

C��"�#�

�−�−�−"−�−#− � � " �

��

� �#

�� − ��!��"�� ##

٣ س – ص = ٤ ، ص = ٣ تساوى .............................................. 14 قياس الزاوية الحادة المحصورة بين المستقيمين

c٩٠ د c٦٠ ج c٤٥ ب c٣٠ أ

٣ ، ١) يصنع مع االتجاه الموجب لمحور السينات S = (٠، ٥) + ك( المستقيم العمودى على المستقيم 15

زاوية قياسها

c١٥٠ د c١٢٠ ج c٦٠ ب c٣٠ أ

á«JB’G á∏Ä°SC’G øY ÖLCG :É k©HGQأوجد قياس الزاوية الحادة بين أزواج كل من المستقيمات اآلتية: 16

...................................................................................................... S = (٥، ٠) ، س – ص + ٤ = ٠ أ

...................................................................................................... S = (٠، ١) + ك(١، ١) ، ٢ س – ص – ٣ = ٠ ب

...................................................................................................... ٣ ص – ٦ = ٠ ٣ س – ٥ = ٠ ، س - ص - ج

أثبت أن المثلث Cب جـ قائم الزاوية فى ب حيث C (٥ ، ٢) ، ب (٢ ، -٢) ، جـ (- ٢، ١)، ثم احسب مساحة 17

سطحه. .................................................................................................................................................................................................................

إذا كانت هـ هى قياس الزاوية الحادة بين المستقيمين س – ٦ ص + ٦ = ٠ ، C س – ٢ ص + ٤ = ٠ وكانت 18

............................................................................................................................................................................. .C ظا هـ =٣٤ فأوجد قيمة

= ٣ فأوجد قيمة C التى تجعل: ص٢ -

س٣ :

٣ : ٤ س + ٦ ص – ٥ = ٠ ، ل

٢: C س – ٣ ص + ٧ = ٠ ، ل

١إذا كان ل 19

................................................................................................................................................................................................... ٣ // ل

١ل أ

.................................................................................................................................................................................................. ٢ = ل

١ل ب

r٤ فأوجد إذا كان قياس الزاوية الحادة بين المستقيمين س + ك ص – ٨ = ٠ ،٢ س – ص – ٥ = ٠ يساوى 20

................................................................................................................................................................................................................ قيمة ك.

إذا كان المثلث Cب جـ قائم الزاوية فى ب حيث C (٢، ٣) ، ب (٥، ٧) ، جـ (١، ص) ، فأوجد قيمة ص ، ثم 21

................................................................................................................. أوجد قياس كل من الزاويتين األخريين.

C 9 ب جـ فيه C (٥، ٧) ، ب (١، ٥) ، جـ (٤، ٢) 22

ب جـ من الداخل بنسبة ١ : ٢ أوجد إحداثى نقطة E التى تقسم أ

............................................................................................................................................................... ب جـ = E C أثبت أن ب

............................................................................................................................................................... أثبت أن EC = ب جـ ج

.......................................................................................................................................................................... أوجد X(cب) د

................................................................................................................. أوجد مساحة سطح المثلث Cب جـ. ه

�� − �� M�� #'

4 - 4 طول العمود المرسوم من نقطة إلى خط مستقيم

Length of the perpendicular drawn from a point to a straight line

نشاط

:»JCÉj Ée πªcCG : k’hCG

(٠ ،٧) ب والمدرسة (٠ ،٢) C كريم منزل ��! �� 1

والمسجد جـ (٤، ٦): أكمل مايأتى:

C ب هى .................................................................................................. معادلة أ

C ب يساوى ................................................................................................. طول ب

.............................................. أقصر بعد من المسجد جـ إلى الطريق الواصل بين المنزل والمدرسة يساوى ج

.............................................................. ، ص = ٠ تساوى C جـ قياس الزاوية الحادة المحصورة بين المستقيمين د

....................................................................................................................................................................... م (C 9ب جـ) تساوى ه

Oó©àe øe QÉ«àN’G :É k«fÉKطول العمود المرسوم من النقطة (- ٣ ، ٥) إلى محور الصادات يساوى ............................................................................ 2

٨ د ٥ ج ٣ ب ٢ أ

البعد بين المستقيمين ص – ٣ = ٠ ، ص + ٢ = ٠ يساوى ......................................................................................................... 3

٥ د ٣ ج ٢ ب ١ أ

طول العمود المرسوم من النقطة (١ ،١) إلى المستقيم س + ص = ٠ يساوى .................................................................... 4

٢ ٢ د ٢ ج ٢ ب ١ أ

إذا كان طول العمود المرسوم من النقطة (٣ ، ١) إلى المستقيم ٣ س - ٤ ص + جـ = ٠ يساوى ٢ وحدة طول 5

................................................................................................................................................................................................. فإن جـ تساوى

٧ د ٥ ج ٣ ب صفرا أ

د أ إلى أوجد طول العمود المرسوم من النقطة C إلى المستقيم ل فى التمارين من 6

........................................................................................ S = (٠ ، ٥) + ك (٣ ، ٤) ، ل : ( ٠ ، ٠ ) C أ

، ل : ١٢ س + ٥ ص – ٤٣ = ٠ .................................................................................................. (٢ ، - ٤ ) C ب

��

�

�

�

�

"

"

�

� # �

# ��

� C �

�

�� − ��!��"�� #(

....................................................................................................... C ( ٥ ، ٢ ) ، ل : ٨ س + ١٥ ص – ١٩ = ٠ ج

S = (٠ ، - ٧) + ك (١ ، ٢) .......................................................................................... C (- ٢ ، - ١) ، ل : د

أوجد طول نصف قطر الدائرة التى مركزها النقطة (- ٢ ، ٥)، وتمس المستقيم ٣ س + ٤ ص + ١ = ٠ 7

..................................................................................................................................................................................................................................

أوجد بعد النقطة (١ ، ٥) إلى المستقيم الواصل بين النقطتين (٥ ، - ٣) ، (١ ، ٠) 8

..................................................................................................................................................................................................................................

أثبت أن المستقيمين ٣ س – ٤ ص – ١٢ = ٠ ، ٦ س – ٨ ص + ٢١ = ٠ متوازيان، ثم أوجد البعد بينهما. 9

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

C جـ . ب د = إذا كانت C (٤ ، ٣) ، ب (- ٢ ، ٥) ، جـ (- ١ ، - ٢) هى رؤوس المثلث Cب جـ ، رسم 10

أ أثبت أن C 9 ب جـ متساوى الساقين

E ب أوجد معادلة ب

E ب أوجد طول ج

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

C ب جـ E متوازى أضالع، فإذا كانت C (- ٣ ، ٢)، ب (٢ ، ٣) ، جـ (٥، ٧) أوجد إحداثيى الرأس د ، ثم أوجد 11

مساحة سطح متوازى األضالع.

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

،٠ = ١٠ + ص ٣ – س ٤ معادلتيهما وتران فيها األصل نقطة مركزها دائرة بالهندسة: الربط 12

٥ س – ١٢ ص + ٢٦ = ٠ أثبت أن الوترين متساويان فى الطول.

..................................................................................................................................................................................................................................

ب جـ ، فإذا كانت C (٢، ١)، ب (٥، ٣)، جـ (٦، ١)، // E C الربط بالهندسة: C ب جـ E شبه منحرف فيه 13

.E ب جـC (٤، ص). أوجد قيمة ص، ثم أوجد مساحة شبه المنحرف E

�� − �� M�� #)

4 - 5 المعادلة العامة للخط للمستقيم المار بنقطة تقاطع مستقيمين

General equation of the straight line passing through the point of intersection of two lines

أوجد المعادلة المتجهة للمستقيم الذى يمر بنقطة األصل وبنقطة تقاطع المستقيمين س = ٣ ، ص = ٤ 1

..................................................................................................................................................................................................................................

أوجد المعادلة المتجهة للمستقيم الذى يمر بالنقطة (٣ ، ١)، وبنقطة تقاطع المستقيمين ٣ س + ٢ ص – ٧ = ٠، 2

س + ٣ ص = ٧ ............................................................................................................................................................................................................

S = ك (-٣ ، ٢) ،٣ س - ٢ ص = ١٣ ويوازى أوجد معادلة المستقيم المار بنقطة تقاطع المستقيمين 3

............................................................................................................................................................................................. محور الصادات .

أوجد معادلة المستقيم المار بنقطة تقاطع المستقيمين ٢ س + ص = ٥ ، س + ٥ ص = ١٦ وعمودى على 4

................................................................................................................................................................................ المستقيم س – ص = ٨

أوجد معادلة المستقيم المار بنقطة تقاطع المستقيمين ٢ س – ٧ ص + ٩ = ٠ ، ٣ س + ٢ ص – ٤ = ٠ والذى 5

.................................................................................................................................... يكون عموديا عمودى على المستقيم األول.

٠ = ١٤ ص – س – ٣ ،٠ = ٢ ص – ٣ + س ٢ المستقيمين تقاطع بنقطة يمر الذى المستقيم معادلة أوجد 6

....................................................................... .cوالذى يصنع مع االتجاه الموجب لمحور الصادات زاوية قياسها ١٣٥

نشاط

الربط بالحياة: طريقان مستقيمان 7

معادلة مسار األول ٣س -٤ص–١٤=٠

ومعادلة مسار الثانى ٤ س+٣ ص - ٢=٠

أثبت أن الطريقين متعامدان، ثم أوجد :

......................................................................................... أ نقطة تقاطعهما

ب معادلة المستقيم الذى يمر بنقطة التقاطع والنقطة (٣، -٢)

...........................................................................................................................

طريق على الطريقين تقاطع نقطة من بعد أقصر ج طول

.................................................................. آخر معادلته ٤ س + ٣ = ٠

..................................................................... د مساحة سطح المنطقة المثلثة المحددة بالطريقين ومحور الصادات

��−�−

�−�−�−

�−"−�−

�

�

�

�

"

" � # �

�� − ��!��"�� #*

تمارين عامة:≈JCÉj Ée πªcCG k’hCG

.............................................................................................................. ميل المستقيم الذى معادلة ٢س - ٣ص + ٥ = ٠ يساوى 1

................................................................................ S = (٢، -١) + ك(٣، -٥) هو متجه اتجاه العمودى على المستقيم 2

(٠ ،٤) بالنقطة ويمر c١٣٥ قياسها زاوية السينات لمحور الموجب االتجاه يصنع الذى المستقيم معادلة 3

هو .................................

.............................................................................. المستقيم ٣س + ٤ص - ١٢ = ٠ يقطع محورى اإلحداثيات فى النقاط 4

......................... قياس الزاوية الحادة بين المستقيم المار بالنقطتين (٠، ٢)، (-٢، ٠) والمستقيم ص = ٠ تساوى 5

:Oó©àe øe QÉ«àN’G :É k«fÉKقياس الزاوية الحادة بين المستقيمين: س - ٣ص + ٥ = ٠، س + ٢ص - ٧ = ٠ ................................................................ 6

c٦٠ د c٤٥ ج c٣٠ ب c١٥ أ

معادلة المستقيم الذى يمر بالنقطة (٢، -٣) ويوازى محور السينات هو: ....................................................................... 7

ص - ٣ = ٠ د س - ٢ =٠ ج ص + ٣ = ٠ ب س + ٣ =٠ أ

..................................................... طول العمود المرسوم من نقطة األصل إلى المستقيم ٣س - ٤ص - ١٥ = ٠ يساوى 8

١٥ د ٥ ج ٤ ب ٣ أ

.......................... جميع المعادالت اآلتية تمثل معادلة المستقيم المار بالنقطتين (٣، ٠)، (٠، ٢) ما عدا المعادلة: 9

S = (٠، ٢) + ك (٣، -٢) ب S = (٣، ٠) + ك (٣، -٢) أ

S = (٠، ٢) + ك (-٦، ٤) د S = (٣، ٠) + ك (٢، ٣) ج

طول العمود المرسوم من النقطة (٠، -٥) إلى الخط المستقيم س + ٧ = ٠ يساوى ....................................................... 10

١٢ د ٧ ج ٥ ب ٢ أ

:É kãdÉK

C ب مع محور السينات مبينا نوع التقسيم. إذا كانت C (٥، ٢)، ب (-٣، ١) فأوجد النسبة التى تنقسم بها 11

..................................................................................................................................................................................................................................

S = (١، -٢) + ك (٣، ٤). أوجد طول العمود المرسوم من النقطة C (٢، ٥) إلى المستقيم 12

..................................................................................................................................................................................................................................

أثبت أن المثلث C ب جـ قائم الزاوية فى ب حيث C (٥، ٢)، ب (٢، -٢)، جـ (-٢، ١) 13

ثم احسب مساحته.

..................................................................................................................................................................................................................................

�� − �� M�� #�

اختبار الوحدة:∫ÉªcE’G á∏Ä°SCG : k’hCG

.................................................................................................... متجه اتجاه العمود على المستقيم ٨س - ٧ص + ١٢ = ٠ هو 1

................ S = (٠، ٢) + ك (١، ٣) متوازيين فإن ب تساوى إذا كان المستقيمان: ٢س + ب ص + ٣ = ٠ ، 2

.......................................................................... المعادلة المتجه للمستقيم الذى يمر بنقطة األصل وبالنقطة (٢، ١) هى 3

المعادلتان البارامتريتان للمستقيم الذى يصنع مع االتجاه الموجب لمحور السينات زاوية قياسها ٤٥ ويمر 4

بالنقطة (٠، ٥) هى .........................................................................................................................................................................................

........................ معادلة المستقيم الذى يمر بنقطة األصل وبنقطة تقاطع المستقيمين س = ٣ ، ص = ٣ هى 5

:Oó©àe øe QÉ«àN’G á∏Ä°SCG :É k«fÉKC بحيث C (٣، ٧)، ب (١، ٥) هى: ....................................................................................................................... نقطة منتصف 1

(٢، ٦) د (٢، ٥) ج (٥، -٢) ب (٣، ٥) أ

................................................................................ معادلة المستقيم المار بالنقطة (٢، -٣) ويوازى محور السينات هو: 2

ص = ٣ د س = ٢ ج ص = -٣ ب س = -٣ أ

............................................... قياس الزاوية الحادة بين المستقيمين س - ٣ص + ٥ = ٠، س + ٢ص - ٧ = ٠ تساوى: 3

١٣٥ د ١٢٠ ج ٦٠ ب ٤٥ أ

S = (٥، ٠) + ك (٤، ٣) يساوى .......................................... طول العمود المرسوم من نقطة األصل إلى المستقيم 4

١٥ د ٥ ج ٤ ب ٣ أ

.................................................................................................................. معادلة المستقيم المار بالنقطتين (٣، ٠)، (٠، ٢) هو: 5

٣ص + ٢س = ٠ د ٢س + ٣ص = ٠ ج ٣س + ٢ص = ٦ ب ٢س + ٣ص = ٦ أ

:á«JB’G á∏Ä°SC’G øY ÖLCG :É kãdÉK.E (٢، ٢)، ب(٣، ٨)، جـ (٨، ١٠) أوجد إحداثى نقطةC متوازى أضالع فيه E ب جـ C أ 1

أوجد معادلة الخط المستقيم المار بالنقطة (٧، ٤) وموازيا للمستقيم الذى معادلته ٣س = ٢ص. ب

أ أثبت أن النقط C (١، ٤)، ب (٣، -٢)، جـ (-٣، ١٦) تقع على استقامة واحدة ثم أوجد النسبة التى تقسم 2

C جـ مبينا نوع التقسيم. بها النقطة ب القطعة

: ٢س + ص + ٢ = ٠ متوازيان، وأوجد البعد بينهما.٢ : ٢س + ص - ٤ = ٠، ل

١أثبت أن المستقيمين ل ب

١٣) + ك (-٣، ٤). ،٠) = S أوجد طول العمود المرسوم من النقطة (٨، -٢) على المستقيم: أ 3

C ب من الداخل بنسبة ١ : ٢. إذا كان C (-١، ٤)، ب (٥، -٢)، أوجد إحداثي نقطة جـ التى تقسم ب

إذا كان C (٢، ٤)، ب (-٧، ٥)، جـ (-٣، ٠)، E (-٢، ٩) هى رءوس مربع فأوجد مساحة سطحه. أ 4

أوجد معادلة المستقيم المار بنقطة تقاطع المستقيمين ٢س + ص = ٥، س - ص = ١ وبالنقطة (٥، ٣). ب

�� − ��!��"�� '$

اختبار تراكمىأوجد قياس الزاوية الحادة بين المستقيمين س + ٢ص - ٥ = ٠ ، س - ٣ص + ٢ = ٠. 1

C ب بالنقطة جـ (٨، ص) ثم أوجد قيمة ص. إذا كان C (٣، -٢)، ب (-٢، ٤) أوجد النسبة التى تنقسم بها 2

أثبت أن المثلث الذى رؤوسه C (-٤، ٢)، ب (١، -٢)، جـ (١، ٦) متساوى الساقين ثم أوجد مساحته. 3

أوجد معادلة الخط المستقيم المار بالنقطة (٢، ٥) وعمودى على المستقيم الذى معادلته ٢س + ٣ص + ٧ =٠. 4

٧٣) + ك (٣، ٤)، ٤س - ٣ص + ١٧ = ٠ متوازيان، ثم أوجد البعد بينهما. ،٠) = S أثبت أن المستقيمين 5

أوجد معادلة الخط المستقيم المار بنقطة تقاطع المستقيمين 6

٢س + ٣ص - ٥ = ٠ ، س + ٣ص = ٧ وبالنقطة (٢، ٤).

أثبت أن النقاط C (-٢، ٥)، ب (٣، ٣)، جـ (-٤، ٢) ليست على استقامة واحدة 7

وإذا كانت E (-٩، ٤) فأثبت أن الشكل C ب جـ E متوازى أضالع.

S = (٠، ٣) + ك (١، -١) أوجد كال من: : ٢: ٣س + ٤ص - ٥ = ٠، ل


.٢، ل١قياس الزاوية الحادة بين ل أ

.١أوجد طول العمود المرسوم من النقطة (٠، -٢) إلى المستقيم ل ب

أثبت أن النقاط C (٢، ٣)، ب (-١، -١)، جـ (٣، -٤)، E (٦، ٠) هى رؤوس مربع ثم أوجد مساحة سطحه. 9

C ب جـ مثلث فيه C (١، ٢)، ب (٥، ٢)، جـ (٧، ٥)، أوجد 10

. ب جـ المعادلة الكارتيزية للمستقيم أ

. ب جـ طول العمود المرسوم من C على ب

مساحة سطح المثلث C ب جـ. ب

، (٢ ،٥) ١ن النقطتان مركزيهما اللتين الدائرتين من كال يمس ٠ = ٣ + ٤ص - ٣س المستقيم: أن اثبت 11

(-٢، ٣) واللتان طوال نصف قطريهما ٢، ٣ وحدة طول على الترتيب. بين هل الدائرتان تقعان على جانب ٢ن

واحد أم فى جانبى هذا المستقيم.

?á«aÉ°VEG IóYÉ°ùªd êÉàëJ πgأن لم تستطع اإلجابة عن أى من األسئلة السابقة ارجع للجدول التالى:

$�%&�� '()١٢٣٤٥٦٧٨٩١٠١١ جـبأ

�)*�� '()�−"�−""−"�−""−"�−"�−"�−""−"

"−"�−"�−"�−"�−��−"

"−"

حساب المثلثاتحساب المثلثاتTrigonometryTrigonometry

55IóMƒdG

الدرس (٥ - ١): المتطابقات المثلثية.الدرس (٥ - ٢): حل المعادلة المثلثية.

الدرس (٥ - ٣): حل المثلث القائم الزاوية.الدرس (٥ - ٤): تطبيقات تشمل زوايا االرتفاع واالنخفاض.

.الدرس (٥ - ٥): القطاع الدائرالدرس (٥ - ٦): القطعة الدائرية.

الدرس (٥ - ٧): مساحة المثلث و مساحة الشكل الرباعى و مساحة المضلع المنتظم.


�� − ��

Oó©àe øe QÉ«àN’G : k’hCG

: فى أبسط صورة يساوى: .................................................................................................................................. iظتا iظاiقا

المقدار 1

i قتا د i قا ج i جتا ب i جا أ

المقدار: جا i جتا i ظا i فى أبسط صورة يساوى: 2

i ١ – جا٢ د iظا٢ ج i جتا٢ ب i جا٢ أ

.................................................................................................. المقدار: جا(i - c٩٠)قتا(i - c٩٠) فى أبسط صورة يساوى: 3

i جتا i جا د i جتا٢ ج i جا٢ ب ١ أ

................................................................................................................................... b فى أبسط صورة يساوى: ١ - جتا٢١ - bجا٢

المقدار: 4

bظتا٢ د b ظا٢ ج b ظتا٢ - ب b ظا٢ - أ

á«JB’G á∏Ä°SC’G øY ÖLCG :É k«fÉK

أثبت صحة المتطابقات اآلتية: 5

a ظتا a جتا = aجا - aقتا ب n قتا n قا = n ظتا + nظا أ

aجا٢ aظا٢ = aجا٢ - aظا٢ د n جتا٢ n ظتا٢ = n جتا٢ - nج ظتا٢

n١– جا٢ = nجتا (n – جا (٩٠ و aظا٢ = aجا٢ aظا٢ + aجا٢ ه

أثبت صحة المتطابقات اآلتية: 6

١ = i ظا٢ - ١

(i -c٩٠)جا٢ب iظتا = (i١ – جا٢) i قتا

i جتاأ

i١ - جا٢ = i ١ + ظا٢iقا٤

د bجتا٢ - aجتا٢ = ١

b١ + ظا٢ -

١a١ + ظا٢

ج

iظاi١ + ظا =

١i ١ + ظتا

و z١ - جاz١ + جا

= ٢(z ظا - z قا) ه

i قا - i قتا = iجا٢ - i جتا٢iجا٢ iجتا + iجتا٢ iجا

ز

المتطابقات المثلثيةTrigonometric Identities 5 - 1

�� − �� M�� !��"�#

5 - 2 حل المعادالت المثلثية

Solving Trigonometric Eiuations

≈JCÉj Ée πªcCG : k’hCG

الحل العام للمعادلة جتا i = ١ لجميع قيم i هو .................................. 1

الحل العام للمعادلة جا i = ١ حيث r] ∋ i، r٢[ هو.................................. 2

الحل العام للمعادلة جا i = جتا i لجميع قيم i هو .................................. 3

٣ حيث r] ∋ i، r٢[ هى .................................. = i مجموعة حل المعادلة ظتا 4

Oó©àe øe QÉ«àN’G :É k«fÉKإذا كانت i H c٠ < c٣٦٠وكانت جا i + ١ = ٠ فإن i تساوى.............................................................................................. 5

c٢٧٠ د c١٨٠ ج c٩٠ ب c٠ أ

إذا كانت i H c٠ < c٣٦٠ وكانت جتاi + ١ = ٠ فإن i تساوى............................................................................................ 6

c٣٦٠ د c٢٧٠ ج c١٨٠ ب c٩٠ أ

٣ ظا i - ١ = ٠ فإن i تساوى................................................................................... إذا كانت i H c٠ < c١٨٠ وكانت 7

c١٥٠ د c١٢٠ ج c٦٠ ب c٣٠ أ

إذا كانت i H c١٨٠ < c٣٦٠ وكانت ٢ جتاi+ ١ = ٠ فإن i تساوى................................................................................... 8

c٣٣٠ د c٣٠٠ ج c٢٤٠ ب c٢١٠ أ

á«JB’G á∏Ä°SC’G øY ÖLCG :É kãdÉKأوجد الحل العام لكل من المعادالت اآلتية . 9

................................................................................................................. ١٢ = iجا أ

................................................................................................................. ٣ =٠ - i٢جتا ب

................................................................................................................. ١= ٠ – i ٣ ظا ج

:] r٣٢ أوجد حل كل من المعادالت اآلتية فى الفترة [٠، 10

................................................................................................................. ٠ = iظا - i ظا٢ أ

................................................................................................................. ٠ = i جتا - i جتا i ٢جا ب

................................................................................................................. ٢ = ٠ - i٣جا - i ج ٢جا٢

�� − �� $

أوجد قيمة كل من س ، ص فى كل شكل من األشكال اآلتية 1

أ��

�c��

� ��cب

��

ج

��

c��

................................................

................................................

.............................................

.............................................

............................................

............................................

أوجد قيمة كل من الزاويتين b ،a بالقياس الستينى فى كل شكل من األشكال اآلتية: 2

أ

��

�� a

bب

b

a��

��

ج

��

�� b

a

................................................

................................................

.............................................

.............................................

............................................

............................................

حل المثلث C ب جـ القائم الزاوية فى ب مقربا الزاويا ألقرب درجة والطول ألقرب سم حيث: 3

C ب = ١٢٫٥ سم ، ب جـ = ١٧٫٦ سم ب C ب = ٤ سم، ب جـ = ٦ سم أ

ب جـ = ٣١ سم، C جـ = ٤٢ سم د C ب= ٥٫٣ سم ، C جـ = ١٢٫٢ سم ج

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

حل المثلث القائم الزاويةSolving the Right Angled Triangle 5 - 3

�� − �� M�� !��"��

%��&�� '(�)�� *+�,�� -

والطول الراديان من عشرية أرقام ثالثة ألقرب الزوايا مقربا ب فى الزاوية القائم جـ ب Cالمثلث حل 4

ألقرب ثالثة أرقام عشرية من السنتميترات حيث:

X (Cc) = C ، E١٫١٦٩ ب = ١٨ سم ب X (Cc) = E٠٫٩٢٥، ب جـ = ٨ سم أ

X (c جـ) = C ، E١٫٠٨٢ جـ = ٣٥٫٨ سم د X (c جـ) = C ، E٠٫٦٤٦ جـ = ١٥٫٧ سم ج

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

=ب جـ فإذا كان E C = ٦ سم، X(cب) = X c٥٢ (cجـ) = c٢٨ فأوجد طول E C C ب جـ مثلث رسم 5

ب جـ ألقرب سنتيمتر.

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

C جـ وترا فيها طوله ١٢ سم . أوجد قياسات C ب يساوى ٢٠ سم رسم الربط بالهندسة: دائرة طول قطرها 6

زوايا المثلث C ب جـ.

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

الربط بالهندسة: قطعة أرض على شكل معين C ب جـ E طول ضلعه ١٢ مترا، X (Cc ب جـ) = c١٠٠ أوجد 7

ب E ألقرب متر. C جـ ، طول كل من قطريه

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

//ب جـ، C ب = جـ E = ٥سم، E C الربط بالهندسة:C ب جـ E شبه منحرف متساوي الساقين فيه 8

E C = ٤سم، ب جـ = ١٠سم. أوجد قياس كل من زواياه األربعة.

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

�� − �� .

.cطائرة ورقية طول خيطها ٤٢ مترا، فإذا كانت الزاوية التى يصنعها الخيط مع األرض األفقية تساوى ٦٣ 1

.................................................................................................................... أوجد ألقرب متر ارتفاع الطائرة عن سطح األرض.

وجد راصد أن قياس زاوية ارتفاع قمة مئذنة على سطح األرض تبعد ٤٢ مترا عن قاعدتها يساوى c٥٢ فما 2

ارتفاع المئذنة ألقرب متر?.........................................................................................................................................................................

3 جبل ارتفاعه ١٨٢٠ مترا وجد راصد من قمته أن قياس زاوية انخفاض نقطة على األرض c٦٨ فما هى المسافة

بين النقطة والراصد ألقرب متر..............................................................................................................................................................

سلم يستند بأحد طرفيه على حائط رأسى، ويرتفع عن سطح األرض ٣٫٨ متر والطرف السفلى للسلم على 4

األرض وقياس زاوية ميل السلم على األرض c٦٤. أوجد ألقرب رقمين عشريين كال من :

طول السلم ب بعد الطرف السفلى عن الحائط أ

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

من سطح منزل ارتفاعه ٨ أمتار رصد شخص زاوية ارتفاع أعلى عمارة أمامه فوجد أن قياسها c٦٣ ورصد 5

زاوية انخفاض قاعدتها، فوجد أن قياسها c٢٨، أوجد ارتفاع العمارة ألقرب متر.

..................................................................................................................................................................................................................................

إذا كان قياس زاوية ارتفاع مئذنة من نقطة على بعد ١٤٠ مترا من قاعدتها يساوى ٤٦ c٢٦ فما هو ارتفاع 6

المئذنة ألقرب متر? وإذا قيست زاوية ارتفاع المئذنة نفسها من نقطة تبعد ١١٠ أمتار من قاعدتها، فأوجد

ألقرب دقيقة قياس زاوية ارتفاعها عندئذ. .......................................................................................................................................

، ولما سار الراصد فى مستوى أفقى نحو المنطاد r٦ شاهد راصد أن قياس زاوية ارتفاع منطاد مثبت هى 7

.................................. . أوجد ارتفاع المنطاد ألقرب متر. r٤

مسافة ٨٠٠ متر شاهد أن قياس زاوية االرتفاع هى

تقترب سفينة من منارة ارتفاعها ٥٠ مترا، رصدت قمة المنارة فى لحظة ما فوجدت أن قياس زاوية ارتفاعها 8

سرعة احسب .E٠٫٢٢ ارتفاعها زاوية قياس أن فوجدت ثانية المنارة قمة رصدت دقيقة ١٥ وبعد E٠٫١١

السفينة علما بأنهاتسير بسرعة منتظمة.

..................................................................................................................................................................................................................................

زوايا االرتفاع وزوايا االنخفاضAngles of Elevation and Angles of Depression 5 - 4

�� − �� M�� !��"�/

القطاع الدائرىCircular Sector 5 - 5

≈JCÉj Ée πªcCG : k’hCG....................................................................................... مساحة القطاع الدائرى الذى فيه ل = ٦ سم، H = ٤ سم يساوى 1

مساحة القطاع الدائرى الذى طول نصف قطر دائرته يساوى ٤ سم، ومحيطه ٢٠ سم تساوى .................. سم٢. 2

محيط القطاع الدائرى الذى مساحته ٢٤ سم٢، طول قوسه ٨ سم يساوى ................................. 3

Oó©àe øe QÉ«àNG :É k«fÉKمساحة القطاع الدائرى الذى قياس زاويته E١٫٢ وطول نصف قطر دائرته ٤ سم يساوى ................................. 1

١٩٫٦ سم٢ د ١٢٫٨ سم٢ ج ٩٫٦ سم٢ ب ٤٫٨ سم٢ أ

محيط القطاع الدائرى الذى طول قوسه ٤ سم وطول قطر دائرته ١٠ سم يساوى ................................. 2

د سم ٣٠ سم ج ٢٠ سم ب ١٤ سم أ

مساحة القطاع الدائرى الذى قياس زاويته c١٢٠ وطول نصف قطر دائرته ٣ سم تساوى ................................. 3 ١٢ r سم٢ د ٩ r سم٢ ج ٦ r سم٢ ب ٣ r سم٢ أ

مساحة القطاع الدائرى الذى محيطه ١٢ سم وطول قوسه ٦ سم تساوى ................................. 4 ١٨ سم٢ د ١٢ سم٢ ج ٩ سم٢ ب ٦ سم٢ أ

إذا كانت مساحة قطاع دائرى تساوى ١١٠سم٢ وقياس زاويته E٢٫٢ فإن طول نصف قطر دائرته يساوى: ............................... 5

٢٠ سم د ١٠ سم ج ٥ سم ب ٢ سم أ

á«JB’G á∏Ä°SC’G øY ÖLCG :É kãdÉK................................................................cأوجد مساحة القطاع الدائرى الذى قطر دائرته ٢٠ سم وقياس زاويته ١٢٠ 1

قطاع دائرى طول قوسه ١٦ سم وطول نصف قطر دائرته ٩ سم. أوجد مساحته.......................................................... 2

قطاع دائرى طول قوسه ٧ سم ، محيطه ٢٥ سم. أوجد مساحته. .......................................................................................... 3

محيطه أوجد . م ٦ قوسه وطول م٢ ٤٨ مساحته دائرى قطاع شكل على زهور حوض اعة: بال الربط 4

......................................................................................................................................................................... وطول نصف قطر دائرته .

قطاع دائرى محيطه ٢٤ سم وطول قوسه ١٠ سم. أوجد مساحة سطح الدائرة التى تحوى هذا القطاع. 5

..................................................................................................................................................................................................................................

�� − �� 0

:�� 1

C ب ، م جـ = ٣ سم. = م جـ م دائرة طول نصف قطرها ٦ سم

ارتفاع القطعة الدائرية الصغرى E C ب = ................................. سم أ

ارتفاع القطعة الدائرية الكبرى C وب = ................................. سم ب

c ................................. = ب E C ج قياس زاوية القطعة الدائرية الصغرى

c ................................. = و ب C قياس زاوية القطعة الدائرية الكبرى د

مساحة سطح المثلث م C ب = ................................. سم٢. ه

مساحة القطاع الدائرى م C د ب بداللة r = ................................. سم٢. و

مساحة القطعة الصغرى بداللة r = ................................. سم٢. ز

أوجد مساحة القطعة الدائرية التى 2

.................................................................................... .Eطول نصف قطر دائرتها ١٢ سم وقياس زاويتها يساوى ١٫٤ أ

.cأوجد مساحة القطعة الدائرية التى طول نصف قطر دائرتها ٨ سم، وقياس زاويتها تساوى ١٣٥ ب ..................................................................................................................................................................................................................................

أوجد مساحة القطعة الدائرية التى طول نصف قطر دائرتها ١٤ سم وطول قوسها ٢٢ سم. ج ..................................................................................................................................................................................................................................

:�� 3

طول التى م الدائرة داخل مرسوم، األضالع متساوى مثلث جـ ب C

نصف قطرها ٨ سم. أوجد مساحة كل جزء من القطع الدائرية المظللة. ......................................................................................................................................................

أوجد مساحة القطعة الدائرية الكبرى التى طول وترها يساوى طول 4

نصف قطر دائرتها يساوى ١٢ سم. ..................................................................................................................................................................................................................................

أوجد مساحة القطعة الدائرية التى: 5

...................................................................................................... طول وترها ٦ سم ، وطول نصف قطر دائرتها ٥ سم. أ

.............................................................................................................. ارتفاعها ٥ سم وطول نصف قطر دائرتها ١٠ سم. ب

وتر فى دائرة طوله ٨ سم على بعد ٣ سم من مركزها . أوجد مساحة القطعة الدائرية الصغرى الحادثة من 6

........................................................................................................................................................ تقاطع هذا الوتر مع سطح الدائرة.

C��

��

�E

�

�

��

C

��

�

5 - 6 القطعة الدائرية

Circular Segment

�� − �� M�� !��"�1

5 - 7 المساحات

Areas

أوجد مساحة كل شكل من األشكال اآلتية باعتبار أن هى وحدة المساحة. 1

ج بأ

وه د

طحز

أوجد مساحة المثلث C ب جـ فى كل من الحاالت اآلتية: 2

........................................................ c٩٠ = (بc)X ،ب = ٦سم، ب جـ = ٨سم C أ

........................................................ C جـ يساوى ٧ سم. C جـ = ١٢سم وطول العمود المرسوم من ب على ب

........................................................ c٤٦ = (بc)X ،ب = ١٦سم، ب جـ = ٢٠ سم C ج

........................................................ C ب = ٨سم، ب جـ = ٧سم، C جـ = ١١سم. د

أوجد مساحة الشكل C ب جـ E فى كل من الحاالت اآلتية: 3

c٦٠ = (بc)X ،ب = ٨سم، ب جـ = ١١سم C متوازى أضالع فيه أ

.......................................................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................

ب جـ يساوي ٧سم، ١١سم على الترتيب وطول العمود ، E C ب شبه منحرف طوال قاعدتيه المتوازيتين

ب جـ يساوي ٦سم. المرسوم من E على

.......................................................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................

�� − �� .2

.cب = ٨سم، وقياس الزاوية المحصورة بين ضلعين متجاورين فيه تساوي ٥٨ C معين فيه ج

........................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................

أوجد مساحة كل مضلع منتظم من المضلعات اآلتية (مقربا الناتج ألقرب جزء من عشرة) 4

....................................................................................................... خماسى منتظم طول ضلعه يساوى ١٦سم. أ

....................................................................................................... سداسى منتظم طول ضلعه يساوى ١٢سم. ب

إنشاءات: الشكل المقابل يرسم مجموعة من الدرجات تؤدى إلى مدخل مجمع 5

سكنى على شكل شبه منحرف متساوى الساقين قاعدته الكبرى ألسفل وعرضها

على ساقيه من كل ويميل أمتار، ٣ وعرضها ألعلى الصغرى وقاعدتها أمتار ٧

القاعدة السفلى بزاوية قياسها ٧٥ أوجد:

طول قاعدته عند المنتصف. أ

..............................................................................................................................................................

طول كل من ساقيه (ألقرب جزء من عشرة). ب

........................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................

مساحة شبه المنحرف ألقرب متر. ج

........................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................

أوجد سم، ٧٢ قطره طول منتظم خماسى شكل على قاعدته الزينة ألسماك حوضا صمم نة: أحواض 6

ألقرب سنتيمتر مربع مساحة قاعدته.

...................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................

زهور: يصمم كريم حديقة لمنزله، ويرغب أن يكون الجزء المخصص للزهور على شكل سداسى منتظم 7

٣ متر مربع. أوجد طول ضلعه. مساحته ٥٤

...................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................

��

�� c��c��

�� − �� M�� !��".3

متارين عامة

بسط كال مما يأتى: 1

............................................................. ٢

iقتا iقا - ٢(iجتا + iجا) ب ............................................................. (i) قتا (i-)جا أ

أثبت صحة كل من المتطابقات اآلتية: 2

i جتا = iظا iجا - iقا ب ١- = (i +c ٩٠)قتا (i +c١٨٠)جتا أ

٢= ٢(iجتا - iجا) +٢(iجتا + iجا) د ٢- = (iقتا٢ + iقا٢) - iظتا٢ + iظا٢ ج

]rأوجد مجموعة حل كل من المعادالت اآلتية فى [٠، ٢ 3

٠ = iجتا + i٢جتا٢ ج ١ = i٣ ظتا ب ١ = ٠ - i٢ جا أ

............................................................. ............................................................. .............................................................

أوجد الحل العام لمجموعة المعادالت اآلتية : 4

iقتا٢ = iقا٤ ج iجا٤ = i جتا٥ ب ٣ = ٠ - iظا أ ............................................................. ............................................................. .............................................................

حل المثلث C ب جـ القائم الزاوية فى ب الذى فيه: 5

C ب = ١٢٫٨ سم ، ب جـ = ١٩٫٢ سم ب X (Cc) = c٤٣ ، ب جـ = ١٢ سم أ .......................................................................................................................................................................................................................

وقف شخص على صخرة ارتفاعها ٤٠ مترا والحظ سفينتين فى البحر على شعاع واحد من قاعدة الصخرة ، 7

وقاس زاويتى انخفاضيهما، فوجدهما ١٢ ٣٥ c، ٦ ٥٣ c أوجد البعد بين السفينتين . .......................................................................................................................................................................................................................

بحيث الترتيب على م ب ، C القطرين م نصفا فيها رسم سم، ٧٫٥ قطرها نصف طول م دائرة 9

C ب = ١٢سم . أوجد مساحة القطاع األصغر م C ب ألقرب سنتيمتر مربع ...................................................................................................................................................................................................................................

أوجد مساحة القطعة الدائرية التى طول نصف قطر دائرتها ١٠ سم وطول قوسها ٢٦٫١٩ سم. 10..................................................................................................................................................................................................................................

C ب جـ مثلث متساوى األضالع طول ضلعه ٢٤ سم ، رسمت دائرة تمر برؤوسه، أوجد طول نصف قطر 11

ب جـ . الدائرة، ثم أوجد مساحة القطعة الدائرية الصغرى التى وترها

..................................................................................................................................................................................................................................

أوجد مساحة الشكل الرباعى C ب جـ E الذى فيه Cجـ = ١٤ سم ، ب E = ١٨ سم وقياس الزاوية بين قطريه 13

c٧٨ مقربا الناتج ألقرب رقمين عشريين.

..................................................................................................................................................................................................................................

أوجد مساحة ثمانى منتظم طول ضلعه ١٠ سم مقربا الناتج لرقم عشرى واحد. 14

..................................................................................................................................................................................................................................

�� − �� .�

اختبار الوحدة

:≈JCÉj Ée πªcCG : k’hCGأبسط صورة للمقدار : (جا i + جتا i)٢ - ٢جا i جتا i يساوى ............................. 1

٣ = ٠وكانت س ∈ ]٠، r[ فإن X(cس) = ............................. إذا كان ٢ جا س - 2

إذا كان جتا (i - c٩٠) = ١ فإن الحل العام للمعادلة هو ............................. 3

مساحة القطاع الدائرى الذى محيطه ١٢سم وطول قوسه ٤سم يساوى ............................. 4

سم٢ فإن س تساوى ......................... سم. ٣ إذا كان س هو طول ضلع المثلث المتساوى األضالع الذى مساحته ٩ 5

Oó©àªdG øe QÉ«àN’G :É k«fÉK................................................................................................. أبسط صورة للمقدار جا (i - c٩٠) قتا (i - c١٨٠) تساوى: 6

iظا د i جا ج ١ ب ١- أ

المقدار جا٢ i + جتا٢ i - قتا٢ ٠i فى أبسط صورة يساوى: 7

iظا٢ د i ظتا٢- ج ١ ب صفرا أ

إذا كانت i ∈ [٠، r[، جتاi + ١ = ٠ فإن i تساوى: .................................................................................................................. 8

r٢ د r ج r٢ ب صفرا أ

نصف قطر دائرة القطاع الدائرى الذى مساحته ٤٥سم٢ وطول قوسه ٣سم يساوى: 9

٩٠سم د ٢٢٫٥ سم ج ٣٠سم ب ١٥سم أ

٣ هو .................................................................................................................................. = (i - r٢ الحل العام للمعادلة: ظتا( 10

r ٢ن + r٣ ب r ن + r٣ أ

r ٢ ن + r٤٣ r٢ + ٢ن r أو د r ٢ ن + r٤٣ ج

:á«JB’G á∏Ä°SC’G øY ÖLCG :É kãdÉKi جتا = (iظا + iقا)(i١ - جا) أثبت صحة المتطابقة أ 11

]r ،٢ = ٠ فى الفترة [٠ + i ٥جا - i أوجد مجموعة حل المعادلة ٢جا٢ ب

.c٤٢ = (جـc)X ،جـ = ٨سم C ،ب = ٦سم C ، ب جـ القائم الزاوية فى ب C حل المثلث أ 12

..................................... أوجد مساحة القطعة الدائرية التى طول نصف قطرها ١٢سم وطول قوسها ٢٠سم. ب

......................................................................................................................... i جا = i أوجد الحل العام للمعادلة : جتا٥ أ 13

ب رصد شخص يقف على صخرة ارتفاعها ١٠٠ متر سيارة واقفة فى الطريق، فكان قياس زاوية انخفاضها

c٢٥. أوجد ألقرب متر بعد الراصد عن السيارة. ..................................................................................................................

أ قطاع دائرى قياس زاويته المركزية ٤٨ وطول نصف قطر دائرته ٦سم. أوجد مساحة القطاع ألقرب سم٢. 14

الناتج مقربا ٦٢ بينهما الزاوية وقياس ١٢سم ، ١٦سم قطراه الذى الرباعى الشكل مساحة ب أوجد

....................................................................................................................................................................... ألقرب سنتيمتر مربع.

�� − �� M�� !��".#


:Oó©àe øe QÉ«àN’G : k’hCG............................................................................................................................................... هى:

i ١ - جا٢i ١ - جتا٢ أبسط صورة للمقدار 1

i ظتا٢ د i ظا٢ ج ١ ب ١- أ

......................................................................................... ظاi = ١ حيث i > c٠ < c٢٧٠ هى: ٣ مجموعة حل المعادلة 2

c٢٤٠ د c٢١٠ ج c١٥٠ ب c٣٠ أ

يمكن حل المثلث القائم الزاوية فى جميع الحاالت اآلتية ما عدا : 3

طول ضلعين وقياس زاوية ب طوال ضلعين فيه أ

طوال ضلع ووتر د قياس زاويتين معلومتين ج

دائرته قطر نصف طول فإن ١٢سم، يساوى قوسه وطول ٤٨سم٢ تساوى دائرى قطاع مساحة كانت إذا 4

................................................................................................................................................................................................................ تساوى:

١٦سم د ١٢سم ج ٨سم ب ٤سم أ

مجموعة حل المتباينة س٢ > ٤ هى: .................................................................................................................................................... 5

ح - ]-٢، ٢[ د ح - [-٢، ٢] ج ]٢، ٢-[ ب [٢، ٢-] أ

......................................................................... يكون جذرا المعادلة س٢ - ب س + ٤ = ٠ مركبين إذا كانت ب تساوى 6

ح - ]-٤، ٤[ د ح - [-٤، ٤] ج ]٤، ٤-[ ب [٤، ٤-] أ

:á«JB’G á∏Ä°SC’G øY ÖLCG :É k«fÉKضع كال من العبارات اآلتية فى أبسط صورة: 7

(i-)قا (i + r٢ جا( ج iقا٠ قتا i جتا٢ ب i جتا٢ - iقتا iجا أ

........................................................ ........................................................ ........................................................

أثبت صحة كل من العبارات اآلتية فى أبسط صورة. 8

iقا = iظا + iجتاi ١ + جا٢

ب ١ = (i - c١٨٠) قتا (i - c٩٠)ظتا (i - c٩٠)جا أ

أوجد على صورة عدد نسبى قيمة كل من: 9

...................................................................................................... c٩٠ > i > c٤٥ ، ٠ = iإذا كانت جتا iجا أ

...................................................................................................... c١٨٠ > i > c١٣٥ ، ٩٠ = iإذا كانت قتا iظا ب

أوجد الحل العام لكل من المعادالت اآلتية: 10

i قتا٤ = i قا٢ ج ١ = i ٢جا ب ٣ = ٠ + i٢جا أ

.................................................... .................................................... ....................................................

�� − �� .$


قطرها لطول تبعا عادة التلفاز شاشات تقاس تلفاز: 11

باستخدام الشكل المجاور أجب عما يأتى:

أوجد قيمة س بالبوصة. أ

أوجد i بالقياسين الستينى والدائرى ب

احسب بالبوصة المربعة مساحة هذه الشاشة. ج

ارتفاع أوجد ، ٢٢ الشجرة قمة ارتفاع زاوية قياس أن وجد شجرة قاعدة من أمتار ٨ بعد على نقطة من 12

الشجرة ألقرب رقمين عشريين.

القطاع قوس طول أوجد ١٥سم يساوى دائرته قطر نصف وطول ٢٧٠سم٢ تساوى مساحته دائرى قطاع 13

وقياس زاويته المركزية بالراديان.

أوجد مساحة القطعة الدائرية الكبرى التى طول نصف قطر دائرتها يساوى ٥سم، وطول وترها يساوي ٨سم. 14

ية: هندسةإحدا 15

: أوجد مساحة الشكل المقابل. �!�"

&#%$�#: أوجد أقرب رقم عشرى واحد مساحة كل من األشكال

اآلتية:

١٢سم ساقيه من كل طول الساقين متساوى أ مثلث

.cوالزاوية المحصورة بينهما ٦٤

ب شكل منتظم ذو ١٢ ضلعا وطول ضلعه ١٠سم.

'(��)�� *+, -$�. /��0� �(*�� 1�23�� 4(� (#5�6!� �� 1�23�� 4( 7$58 ��#�� 1�*9�� 4(

1�23��١٢٣٤٥٦٧٨٩١٠١١١٢١٣١٤١٥

�4(�(*��

١-٥

٢ -٥

٣ -٥

٥-٥

٦ -١

٢-١

١-٥

١ -٥

٣-٤

٢-٥

٣ -٥

٤-٥

٥-٥

٦-٥

٧-٥

∫hC’G

ΩôàdG

∫hC’G

ΩôàdG

∫hC’G

ΩôàdG

;<�= ��

;<�= �i

;<�= �>

>

� � � � � ?

� ��

�� − �� M�� !��".�

اختبارات عامة

(الجبر وحساب المثلثات) االختبار ا-ول

:IÉ£©ªdG äÉHÉLE’G ø«H øe áë«ë°üdG áHÉLE’G ôàNG : k’hCGالنقطة التى تنتمى إلى مجموعة حل المتباينات اآلتية: س > ٢ ، ص > ١ ، س + ص G ٣ هى: 1

(١، ٣) د (٣، ٢) ج (١، ٢) ب (٢، ١) أ

إذا كانت C مصفوفة على النظم ١ * ٣، ب مد مصفوفة على النظم ١ * ٣ فإنه يمكن إجراء العملية اآلتية: 2

C ب د C ب مد ج ب مد + C مد ب C + ب أ

مجموعة حل المعادلتين ٢س - ٣ص = ١ ، ٣س + ٢ص = ٧ هى: 3

(٣، ٢) د (٢، ٣) ج (٢، ١) ب (١، ٢) أ

قطاع دائرى محيطه ١٠سم وطول قوسه ٢سم فإن مساحته بالسنتيمترات المربعة تساوى: 4

٢٠ د ١٠ ج ٨ ب ٤ أ

مجموعة حل المعادلة جا س + جتا س = ٠ حيث c١٨٠ < س < c٣٦٠ تساوى: 5

{c٣١٥} د {c٢٤٠} ج {c٢٢٥} ب {c٢١٠} أ

:á«JB’G á∏Ä°SC’G øY ÖLCG :É k«fÉKحل نظام المعادالت الخطية التالية باستخدام المصفوفات. أ 6

٢س - ٣ص = ٤ ، ٣س + ٤ص = ٢٣

i ١ - جتا٢ = iظا (i - c٩٠)جا iأثبت صحة المتطابقة: جا ب

..................................... أوجد مساحة المثلث الذى رؤوسه (-٤، ٢)، (٣، ١)، (-٢، ٥) باستخدام المحددات. أ 7

............................................................................. ]rأوجد مجموعة حل المعادلة ٢جا س + ١ =٠ حيث س = ]٠، ٢ ب

...................................................................................................... ٣ = س١٥

٠س٢

٠سس

أوجد قيم س التى تحقق المعادلة أ 8

رصد قارب من قمة فنار ارتفاعه ٥٠ مترا ، فوجد أن زاوية انخفاضه c٣٥، أوجد بعد القارب عن قمة الفنار. ب

.......................................................................................................................................................................................................................

C ب وتر فى دائرة طوله ٨سم يقابل زاوية مركزية قياسها c٦٠. أوجد ألقرب رقم عشرى واحد مساحة أ 9

...................................................................................................... C ب. سطح القطعة الدائرية الصغرى التى وترها

عين مجموعة حل المتباينات اآلتية بيانيا: ب

١٤ H ٧ ، ٣س + ٤ص H ٠ ، س + ٣ص G ٠ ، ص G س

ثم أوجد من مجموعة الحل قيم س، ص التى تجعل قيمة الدالة:

S = ٣٠س + ٥٠ ص أكبر ما يمكن. .................................................................................................................................................

�� − �� ..


(الجبر وحساب المثلثات) االختبار الثانى

:IÉ£©ªdG äÉHÉLE’G ø«H øe áë«ë°üdG áHÉLE’G ôàNG : k’hCGإذا كانت C مصفوفة على النظم ٢ * ٣، ب مد مصفوفة على النظم ١ * ٣ فإن المصفوفة C ب تكون على النظم: 1

١ * ٢ د ٢ * ١ ج ٣ * ١ ب ٣ * ٣ أ

النقطة التى تنتمى إلى مجموعة حل المتباينات اآلتية هى: 2

س G ٠ ، ص G ٠ ، ٢س + ص < ٤ ، س + ٣ص < ٦ هى:

(١، ١) د (٢، ٣) ج (٣، ٠) ب (١، -٣) أ

= ١٠ فإن س تساوى:٢س٤

٢٣ إذا كان 3

٥ د ٤ ج ٣ ب ٢ أ

أبسط صورة للمقدار ١ + ظتا٢ i هى: 4

i قتا٢ د i قا٢ ج i جتا٢ ب i جا٢ أ

:á«JB’G á∏Ä°SC’G øY ÖLCG :É k«fÉKحل نظام المعادالت الخطية التالية باستخدام طريقة كرامر: أ 5

٢س - ٣ص = ٣ ، س + ٢ص = ٥

جتا س * ظا س = ١ - جتا٢ سقتا س أثبت صحة المتطابقة ب

l١٢٨

٢٣١٣b = l

٢-٤

٢٣b * C : التى تحقق العالقة C أوجد المصفوفة أ 6

....................................................................................................................................................................................................................... ١٢ = (i - r٢ أوجد الحل العام للمعادلة: جتا ( ب

.......................................................................................................................................................................................................................

= I٢ + C٢ - ٥C فأثبت أن l٢٤

٤-٣b إذا كان C مد = أ 7

قطعة دائرية قياس زاويتها المركزية c٩٠ ومساحة سطحها ٥٦ سم٢. أوجد طول نصف قطرها. ب

.......................................................................................................................................................................................................................

قمة ارتفاع زاوية قياس أن وجد رأسى، عمود قاعدة عن متر ٥٠ تبعد األرض سطح على نقطة أ من 8

العمود هى ٢٤ c١٩. أوجد ألقرب متر ارتفاع العمود عن سطح األرض.

.......................................................................................................................................................................................................................

أوجد القيمة العظمى لدالة الهدف S = ٢س + ص تحت القيود: ب

٠ G ٠ ، ص G س

٨- G ١٨ ، -٤س + ص H ٢س + ٣ص

.......................................................................................................................................................................................................................

�� − �� M�� !��"./


(الجبر وحساب المثلثات) االختبار الثالث

:IÉ£©ªdG äÉHÉLE’G ø«H øe áë«ë°üdG áHÉLE’G ôàNG : k’hCGإذا كانت المصفوفة C على النظم ٣ * ٣ فإن عدد عناصر C يساوى: 1

١٢ د ٩ ج ٦ ب ٣ أ

النقطة التى تنتمى إلى مجموعة حل المتباينتين اآلتيتين: 2

٢س + ص < ٤ ، س + ٣ص < ٦ هى:

(٣، -١) د (١، ٢) ج (٢، ١) ب (١، -٤) أ

النقطة التى تنتمى إلى مجموعة حل المتباينات اآلتية هى: 3

س > ٢ ، ص > ١ ، س + ص G ٣ هى:

(١، ٣) د (٣، ٢) ج (١، ٢) ب (٣، ١) أ

الحل العام للمتباينة جتا i = ١ هو: 4

r ٢ن + r٢ د r ن + r٢ ج r ٢ن ب r ن أ

مساحة المثلث المتساوى األضالع الذى طول ضلعه ٦سم يساوى: 5 سم٢ ٣ ١٨ د سم٢ ٣ ١٢ ج سم٢ ٣ ٩ ب سم٢ ٣ ٦ أ

:á«JB’G á∏Ä°SC’G øY ÖLCG :É k«fÉK.................................................................................... l

١٢

٠٣b = lC

جـ

بEb + l

٢-٤

٣١-b أوجد C ، ب، جـ، E إذا كان: أ 1

= جا جـ * جتا جـ ظتا جـ١ + ظتا٢ جـ

أثبت صحة المتطابقة: ب

أوجد مساحة المثلث الذى رؤوسه (٢، ٤)، (٥، ٢)، (-٣، -٢) باستخدام المحددات. أ 2

.......................................................................................................................................................................................................................

iجا = iأوجد الحل العام للمعادلة جتا ٢ ب

.......................................................................................................................................................................................................................

= I ٣ - N ٢ - ٢N فأثبت أن l١-٠

٢٣b = N إذا كانت أ 3

أوجد مساحة الشكل الخماسى المنتظم الذى طول ضلعه ١٠سم ألقرب سنتيمتر مربع. ب

.......................................................................................................................................................................................................................

.................................................................................. قطاع دائرى طول قوسه ٧سم ومحيطه ٢٥سم. أوجد مساحته. أ 4

ب ينتج أحد المصانع نوعين من آالت النفخ الموسيقية، النوع األول يحتاج إلى ٢٥ وحدة من النحاس،

فإذا النيكل، من وحدات ٨ النحاس، من وحدة ١٥ إلى يحتاج الثانى والنوع النيكل. من ٤ وحدات

كانت الكمية المتاحة فى المصنع من النحاس ٩٥ وحدة ومن النيكل ٣٢ وحدة وكان الربح فى اآللة

من النوع األول ٦٠ جنيها والربح فى اآللة من النوع الثانى ٤٨ جنيها. فما عدد اآلالت التى يجب أن

ينتجها المصنع من كل نوع؛ حتى يحقق أكبر ربح.

�� − �� .0

(الهندسة) االختبار الرابع


:≈JCÉj Ée πªcCG : k’hCGب = .................................. - C٢ N فإن - M٣ ب = ،N٣ + M٢ = C إذا كان 1

جـ = (-٣، ك) متوازيين فإن ك = .................................. ،(٢، ١-)= C إذا كان 2

C ب بحيث C جـ : جـ ب = ٢ : ١ فإن جـ = (...................، ..................) إذا كانت C = (-٤، ٤)، ب = (٥، -٨) جـ ∈ 3

.................................. = C س + ٣ص + ٥ = ٠ متعامدين فإن C ، إذا كان المستقيمان ٣س - ٢ص + ٧ = ٠ 4

المعادلة المتجهة للمستقيم الذى يمر بالنقطة (٢، -٣) ومتجه االتجاه له (٣، ٤) هى .................................. 5

:á«JC’G á∏Ä°SC’G øY ÖLCG :É k«fÉK

|| فأوجد قيمة ك. C || = ٥ ||ك C إذا كان ||-٨ أ 6

.......................................................................................................................................................................................................................

أوجد طول العمود المرسوم من النقطة (١، ٢) على المستقيم الذى معادلته ٥س - ١٢ص - ٧ = ٠ ب

.......................................................................................................................................................................................................................

هـ و ٢ = E C ب جـ + جـ E. أثبت أن: ، و منتصف C ب C ب جـ E شكل رباعى، هـ منتصف أ 7

أوجد معادلة المستقيم الذى يمر بنقطة تقاطع المستقيمين ٢س + ص = ٥ ب

S = (١، ٠) + ك (١، ١) ويمر بالنقطة (٥، ٣). والمستقيم

C ب بنسبة ٤ : ١ وكانت C (٨، ٣) فأوجد إحداثيى نقطة ب. إذا كانت نقطة جـ (٢، ٥) تقسم أ 8

ثم ص، فى الزاوية قائم (١- ع(-٥، ،(٥ س(٣، ،(٢ ،٤) ص النقط رؤوسه الذى المثلث أن ب أثبت

احسب مساحة الدائرة المارة برؤوسه.

..................................................................................................................................................................................................................................

: ٢س - ٣ص + ٤ =٠ فأوجد :٢ : ٣س + ٢ص - ٧ = ٠، ل


.٢، ل١قياس الزاوية الحادة بين ل أ

.......................................................................................................................................................................................................................

والنقطة (٣، ٤).٢، ل١المعادلة المتجهة للمستقيم الذى يمر بنقطة تقاطع المستقيمين ل ب

.......................................................................................................................................................................................................................

�� − �� M�� !��".1


(الهندسة) االختبار الخامس

:≈JCÉj Ée πªcCG : k’hCGC ب = .................................. ب = (-١، ٢) فإن ،(٢، ٣) = C إذا كان 1

.................................. = || ب - C ب = (١، -٢) فإن || ،(٤، ٢) = C إذا كان 2

C ب بنسبة ............... : ................ إذا كانت C (-٣، ٤)، ب (٦، -٨) فإن محور السينات يقسم 3

١٢، -٢ يساوى .................................. قياس الزاوية الحادة بين المستقيمين الذين ميالهما 4

طول العمود المرسوم من النقطة (١، ١) إلى المستقيم س + ص = ٠ يساوى .................................. 5

:á«JC’G á∏Ä°SC’G ÖLCG :É k«fÉK|| فأوجد قيمة ك. C ٣- || = || C ٤ إذا كان ك || أ 6

.......................................................................................................................................................................................................................

أوجد معادلة الخط المستقيم الذى يمر بالنقطة (-١، ٠)، ونقطة تقاطع المستقيمين ب

٢س - ص + ٤ = ٠ ، س + ص + ٥ = ٠

.......................................................................................................................................................................................................................

أ إذا كانت C = (٣، ٤)، ب = (٥، -١)، جـ = (٢، -٢) ثالثة رؤوس لمتوازى أضالع C ب جـ E فأوجد 7

............................................................................................................................................................................... .E إحداثيى الرأس

S = (٠، ٤) + ك (١، -٢)، ٢س + ص + ٢ =٠ متوازيان، ثم أوجد أقصر بعد بينهما. أثبت أن المستقيمين ب

C ب من الداخل بنسبة ١ : ٢ إذا كان C = (-١، ٤) ، ب = (٥، -١) أوجد إحداثيي نقطة جـ التى تقسم أ 8

دائرة مركزها نقطة األصل أثبت أن الوترين المرسومين فى الدائرة واللذان معادلتاهما ب

٣س + ٤ص + ١٠ = ٠ ، ٥س - ١٢ص + ٢٦ = ٠ متساويان فى الطول.

.......................................................................................................................................................................................................................

//ب جـ فإذا كانت C (٧، -١)، ب (٣، -١)، جـ (٢، ١)، E (٥، ص) E C C ب جـ E شبه منحرف فيه 9

أوجد قيمة ص. أ

.......................................................................................................................................................................................................................

.E ب جـ C أوجد مساحة سطح شبه المنحرف ب

.......................................................................................................................................................................................................................

�� − �� /2


(الهندسة) االختبار السادس

:≈JCÉj Ée πªcCG : k’hCG.................................. = || C ب ب = (٢، ١) فإن || ،(١، ٥-) = C إذا كان 1

|| فإن ك = .................................. C ١٥-|| = || C إذا كان ||٣ك 2

C ب حيث C(-٣، ٧) فإن إحداثيى نقطة ب هى (..........،..........) إذا كانت النقطة (٣، ٦) هى نقطة تنصيف 3

إذا كان (٦، ٤)، (٣، م) متجهى اتجاه لمستقيمين متعامدين فإن م = .................................. 4

معادلة الخط المستقيم الذى يمر بالنقطتين (٢، ٠)، (٠، -٣) هى .................................. 5

:á«JC’G á∏Ä°SC’G øY ÖLCG :É k«fÉK ، جـ ب متعامدين فأوجد قيمة ك. C E أ إذا كان C (٢، ٢)، ب (٤، -٢)، جـ (-٢، ٠)، E (١، ك) وكان 6

.......................................................................................................................................................................................................................

C ب محور السينات، ثم أوجد إحداثيى ب إذا كانت C(٢، ٣)، ب(-٢، ١) فأوجد النسبة التى تقسم بها

نقطة التقسيم.

.......................................................................................................................................................................................................................

C ب جـ E متوازى أضالع تقاطع قطراه فى ن، م نقطة فى مستويه. أ 7

. م ن ٤ = E م م جـ + م ب + + C م أثبت أن :

٤ =٠ - ٢ص + ٣س ، ٩ =٠ + ٧ص - ٢س المستقيمين تقاطع بنقطة المار المستقيم معادلة ب أوجد

. r٤ ويصنع مع االتجاه الموجب لمحور السينات قياسها

.......................................................................................................................................................................................................................

|| = ٤ فأوجد قيمة م. C ب إذا كان C(٣، ٥)، ب (-١، م)، || أ 8

.......................................................................................................................................................................................................................

C ب قطر فى دائرة مركزها م ، إذا كانت ب (-٧، ١١)، م (-٢، ٣) فأوجد معادلة المماس للدائرة عند ب

.C نقطة.......................................................................................................................................................................................................................

إذا قطع المستقيم ٤س - ٣ص = ١٢ محورى اإلحداثيات فى النقطتين C، ب فأوجد: 9

مساحة سطح المثلث و C ب حيث و نقطة األصل. أ

.......................................................................................................................................................................................................................

. C ب أقصر مسافة من نقطة األصل إلى الخط المستقيم ب

.......................................................................................................................................................................................................................

�� − �� M�� !��"/3

إجابات بعض التمارين@#��AB�� :��C� '*D��

E−F �(*��١- ٥٦، المسافة بين المدينتين ب، جـ ، ب 1

٢- صفر، المسافة بين المدينة جـ ونفسها ،

٣- القيمة هى نفسها

٠ = ٣٣ = ٠، س

٢٢ = ٠، س

١١س ه

٢- لكل ى، هـ∈ {١، ٢، ٣} ١- ٣ * ٣ و

١٠ = E ، ٥، ب = ٥، جـ = ٠ = C ب ٦ = E ،٠، ب = ٢، جـ = ٢ = C أ 3

E = ١ ، هـ =١ 6 C = ٢ ، ب = ٢ 5

p

٠

١

٢

١-

٠

١

٢-

١-

٠

f C ، pمد =

٠

١-

٢-

١

٠

١-

٢

١

٠

f = C 8

E�−F �(*��l

١-

٨

٠

١٤

١-

٠b ممكن، ب غير ممكن أ 2

أ C = ١٦، ب = ٦ ، جـ = ٤ ، د = ٨ 5

− 78(#�Gl ولكن ليس C أو ب هو المصفوفة الصفرية

٠

٠

٠

٠b C ب = 3

� − 78(#�Gج ١٥ ٧- ب أ -١ 1

د ب (C + س) -C(ب +ص) = ب س - C ص (س +١)(ص٢+١)-(ص+١)(س٢+١)=س ص٢+س+ص٢+ص س٢+ص -س٢ ه

١- ط ٦٣٦ ح ٨٤ - ز ١- و

أ س = ١ ، ص = -١ فيكون مجموعة الحل = {(١، -٢)} 2

س = ٣ ، ص = ٢ فيكون مجموعة الحل = {(٣، ٢)} ب

س = -١ ، ص = ٢ يكون مجموعة الحل = {(-١، ٢)} ج

٢٢١٢ وحدة مربعة 4 ١٢ وحدة مربعة 3

� − 78(#�G٢= C ١ أو= C د ٤ = C ، ٢- = C ج ٦ ! = C ب ٢ = C أ 2

أ س = ٢، ص = ٦ مجموعة الحل = {(٢، ٦)} 6

ب س = ٥، ص = ١ مجموعة الحل = {(٥، ١)}

ج س = ٤٨، ص = -٨ مجموعة الحل = {(٤٨، -٨)}

نعوض عن النقط فى المعادلة فيكون: ٥ + C = جـ ، ١ + ٣ C = جـ 7

بحل المعادلتين، فنحصل على C = ٢، جـ =٧

:;�#H�� 78(#�� @#=#�.C = ٣ ، ب = ١ ب أ س = ٤ ، ص = -١ 4

٦- = E ،١ ، ب = ٣، جـ = ٣ = C أ 7 l١٣-

١٩b = C 6

مجموعة الحل {(٣، -١)} ب مجموعة الحل = {(٤، -١)} أ 11

{(١٠٦

،١٣٦

مجموعة الحل = {( ج

;$MJ�� ;9��5�� :;$%#K�� '*D��E − �F �(*�� @#=#�.

(٠، ١) ب (٣، ٩) أ 2E� − �F �(*�� @#=#�.

افرض أن س هى عدد األسئلة فى القسم ( C )، ص عدد األسئلة فى القسم (ب) اكتب 4نظام المتباينات الخطية الذى يمثل هذا الموقف وهى كاآلتى:

(( C ) يجب أن تجيب عن ٤ أسئلة على األقل من القسم) ٤ G س

ص G ٣ (يجب أن تجيب عن ٣ أسئلة على األقل من القسم (ب))

س + ص G ١٠ (يجب أن تجيب عن ١٠ أسئلة على األقل من القسمين C، ب)

٤س + ٥ص H ٦٠ (زمن إجابات االختبار ال يزيد عن ٦٠ دقيقة)

حيث إن س، ص يمثل أعداد األسئلة، لذا يجب أن يكون كل منهما موجبا وكل نقطة

موضحة فى نقطة الحل تمثل التباديل المختلفة بين عدد أسئلة القسم ( C ) والقسم ب،

ويوجد ٢٣.

إجابات متنوعة؛ كمثال أ 4ص G س ، ص H س

الن نقط المستقيم الحدى ٢س - ص = ٢ ليست حال لهذا النظام ب

E − �F �(*�� @#=#�.القيمة الصغرى : ٧ أ 3القيمة العظمى : ١٤ ب

'*D�� 0, ;�#, 78(#�Gصواب؛ كمثال: ٥ > ٣ فيكون ٢٥ > ٩ أ 1

خطأ؛ الصواب فإن ٢C > ب٢ فمثال - ٥ > -٨ فيكون ٢٥ < ٦٤ ب ١صواب؛ كمثال : ٥ > ٣ فيكون ١٥ < ٣ ج

١-٩ > -١٢ فيكون - ١٥ < - ١٢

١ب < ١

Cد خطأ؛ عالمة التباين ال تتغير فى هذه الحالة، أى أن الصواب

١كمثال؛ ٢ > -٢ فيكون ١٢ > -٢

[١, ٢[ ب ]∞ ،٣[ أ 2'*D�� (#5�6�

القيمة الصغرى صفر، القيمة العظمى ٢٠ 2٤٥ دقيقة لممارسة رياضة الجرى، ١٥ دقيقة لممارسة رياضة المشى 3

@#L9�� :;K�#K�� '*D��E− F �(*��

و ٢ ه ٢ د ١ ج ٣ ب ٣ أ ١ 2

و هـ ب جـ ، C م ، ب E هـ م جـ ، ، و م أ 3

C و م هـ ، ب م ، ج

E C تكافئب جـ ، E تكافئ جـ Cب ، Eجـ Cب تكافئ 4

E م م ب تكافئ ، E م جـ ب ، ب م تكافئ CE تكافئ

جـ م م C تكافئ ، م جـ Cم تكافئ

E = ( -٣ ، -٨) ، م ( ٠، -٧) ، ن(٠، ٧) 5

ج م(-٢، -١) ، ن (٩، ٦) ، ر (-٥، ١) ٥ = || Eجـ || ، ٥ = || C ب || أ 6

E�− F �(*��ب || = ١٣ ب = (-١٢، ٥)، || ٥ = || C || ،(٣، -٤) = C 1

٥ جـ || = ٣ جـ = (-٣، -٦)، ||

٥ = || W || ،N ٣ - M ٤- = W أ 2

١٠ = || ن || ،N ٦ - M ن = ٨ ب

١٣ = || ق || ،N ١٢ - M ق = -٥ ج

٢ ٢ = || C || ، N ٢ ٢ = C د

( r٦ ، ٤) = ب ن ( r

٦ ، ١٦) = W أ 3

N ١٠ - M ٣ ق = ١٠ ب M ٦٠- = ع أ 5

ب = -٣ ج أ = -٦ ب 7

W - د ن ٢- ج ن ٤ ب W ٢ أ 8

E − F �(*�� E C د Cجـ ج E C ب E جـ أ 1

١٠ ٢ ج N ٢ - M ٤ ب N ٦ - M ٢ أ 9

٣٠ وحدة مساحة ج ك = ٤ أ 11 10 جـ ( -٥ ، ٣)

E�− F �(*��( ن - W ب جـ = ٣ ( 2

�� − �� /�

إجابات بعض التمارين

١٣ سم 6

(٤، -١) 8

;�#H�� 78(#�� @#=#�.٥= || Cب || ج (c١٧ ، ٧٦ ٢) = E ب 1

M ع = - ٧٠ ج N ق = ٢٠ أ 2

(٠، ٣) 4 (٥، ١٢) ، (٠، ١٣) ، (٢، -٣) ب 3

ثانيا: ١٣ وحدة مربعة 6 أوال: C (٣، -١)، ب (١، ٢)، جـ (٧، ٦)

:'*D�� (#5�6� @#=#�.هـ (٧ ، ٤) ج ٥ = || E جـ || ، ٥ = || C ب أ || 1

ب ٤٧٢٥ + C ١٨٢٥

جـ = ب N ٩ ، N ٦ - M أ -٢ 2

١- ج أ = ٥ ب 3

(٣، ٢-) E :أوال: ك = ٥ ثانيا 6 ل = -٤ ، م = ٣ 5

��M�� (#5�6!� @#=#�.د 5 جـ 4 ب 3 2 ب جـ 1

د ن = ٢٥ م = - ٥٢ ج ل = ٣٥ ب ك = ٣٢ أ 6

( r٨، ٣) 11 أ (٢، ٥) ، (٥، -٢) 10

٥ وحدة مربعة ٣ 12

�$N�3�� FJ�� :;H=�� '*D��:E−�F �(*��

ب (٠ ،٥) ( ٧٢

، ٠) أ 1

ب من الداخل بنسبة ٢ : ١ من الخارج بنسبة ٣ : ٧ أ 2

(١٣٢

د (٠، (١٧ ، ٠٤

) ج

5 جـ = (-١ ، ١) (١٣٥جـ = (١ ، 4 (٢ ،٠) ، (٥ ، -٢) 3

٢ : ١ ، ٣ 8 (١ ، -١) 7 (١٧ ، -١٣) 6

:E� − �F �(*��S = ك(١، ٢) 4 س + ٢ = ٠ 3 (٠ ، ٥) = S 2 ٢-

٣ 1

٣ 7 ٣س + ٢ص – ٦ = ٠ 6 ص = س + ٥ 5

٣ 10 ٩ ، -٢ ، ٧٢

- ، ٢٣

9 ٤ ، صفر ، ٢ 8

س = ٣ + ك ، ص = -٥ + ك 12 S = (٥ ، ٠) + ك(٣ ، ١) 11

٧س – ٥ ص - ٣٥ = ٠ 14 S = (٥ ، ١) + ك(٣ ، ٤) 13

س + ٢ ص + ٧ = ٠ 17 ٨ س + ٣ ص – ٢٢ = ٠ 16

:E − �F �(*��٢- 4 c٤٥ 3 c٩٠ 2 c٩٠ 1

S = (٦ ، ٠) + ك(١ ، -١) 8 c٩٠ 7 c٤٥ 6

٣٦ وحدة مساحة 11 ص = ٦ 10 S = (-٦، ٠) + ك(١، ١) 9

جـ 15 جـ 14 ب 13 ب 12

c٣٠ ج c٢٦ ١٨ ب c٤٥ أ 16١٣

20 ٩٢

،٢ 19 ٢٨-٧

18 ١٢,٥ 17

(٢ ، ٤) ، ١٢ ٥٢ ٣٦ ، ٩ وحدات مساحة 22 ١٠ ، ٤٥ ، ٤٥ 21

:E�−�F �(*��ه ١٥ cد ٥٤ ٣٣ ٧١ ج ٦ وحدات ب ٥ ص = ٠ أ 1

جـ 5 ب 4 د 3 ب أ 2

٥ ٢ د ج ٣ ٣ ب ٣ أ 6

طول كل وتر وحدتان 12 (٠،٦) ، ١٧ 11 ٢ 10 س + ص – ٣ = ٠ ، ٤

٩٢

٣ ، المساحة = ٥

ك = ٢، ص= -٣ طول العمود = 13

:E� − �F �(*��س – ٣ = ٠ 3 S = (٣،١) + ك (-١،٢) 2 S = ك (٣، ٤) 1

س + ص – ٢ = ٠ 6 ٣٥س + ١٠ص – ٢٨ = ٠ 5 س + ص – ٤ = ٠ 4

@#K0K�� #3D :;3�#J�� '*D�� E − �F�(*��

ج 4 د 3 أ 2 ب 1

١ د ١ ج ١- ب ١- أ 5

i جتا د ١- ج i جتا ب i جتا٢ أ 6

i ظتا٢ ح i ظا٢ ز ٢ و ٢- ه

E� − �F�(*��أ 8 أ 7 د 6

N ∋ حيث ن r٥٦ + r٢ن أ r٦ + r٢ن ، 9

N ∋ حيث ن r٦ r٢ن ! ب

N ∋ حيث ن r + r٦ن ج r٥٤ ، r٤ ، rأ ٠، ٢ 10

r٧٦ ج r٥

٦ ، r٠ ، ٦ ب

E − � F �(*��ص = ٩٫٤سم ، س = ١٠٫٧سم ب س = ٥سم ، ص = ٩٫٤سم أ 1

c٥٩ ٥٠ ٣٤ = b ، c١ ٩ ٥٥= a ب c٤٥ = b ، c٤٥ = a أ 2

c٣٤ = (جـc)X ،c٥٦ = (Cc)X ،جـ = ٧سم C أ 3

E� − �F �(*��١٫٨٥م، ٤٫٢٣ م 4 ٧٣٥ م 3 ٥٤ م 2 ٣٧ م 1

البعد األفقى = ١٥ متر، أرتفاع العمارة = ٣٠ + ٨ = ٣٨ متر 5

أرتفاع المئذنة = ٧١ مترا، ٥٠ ٣٣ 6

E� − �F �(*��٢٠سم 3 ٢٤سم٢ 2 ١٤سم 1

ب 7 أ 6 أ 5 ب ٩٫٦ سم٢ 4

� − � 78(#�G ;=#�.c٢٤٠ د c١٢٠ ج ٩سم ب ٣سم أ 1

٩٫٠٦ سم٢ 4 ، المساحة = ٥٦سم٢ E١١٧ = Eهـ 3

١١٫١٨سم٢ 10 ٦١٫٤٢سم٢ 9 ٨٫٥٨٨سم٢ 8 ٤٣٫٣٤سم٢ 7

� − � 78(#�G ;=#�.٣ وحدة مساحة ٤ ب ٨ وحدات مساحة أ 1

٤٢ وحدة مساحة ب ٢٤ وحدات مساحة أ 2

;�#, 78(#�G ;=#�.iظا ٢ - ج ١ ب ١- أ 1

r٢ ن + r ٤٣r + ٢ نr أو

٣أ 4

��M�� (#5�6C� @#=#�"ج قياس زاويتين معلومتين 3 cج ٢١٠ 2 i د ظتا٢ 1

ب ]-٢، ٢[ 6 ج ١٢سم 5 ٨سم ب 4١ ج i ظتا ب i جا٢ أ 8

كتاب الانشطة مصر - ترم ثانى -2013-2014

Education

Transcript of كتاب الانشطة مصر - ترم ثانى -2013-2014