Κύρια Είδη · 2013-10-26 · ΜΕΡΟΣ Β΄1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 397 . 1. 1...

ΜΕΡΟΣ Β΄1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 397

1. 1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου – Είδη τριγώνων.

Σε κάθε τρίγωνο οι πλευρές και οι γω-νίες του ονομάζονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Οι πλευρές ενός τριγώ-νου ΑΒΓ που βρίσκονται απέναντι από τις γωνίες του συμβολίζο-ˆ ˆ ˆA,B,Γνται αντιστοίχως α, β, γ.

Για τις γωνίες κάθε τριγώνου ΑΒΓ ισχύει . 0180ΓΒΑ =++∧∧∧

Η γωνία του τριγώνου που περιέχεται μεταξύ δύο πλευρών λέγεται περιε-χόμενη γωνία των πλευρών, π.χ. περιεχόμενη γωνία των πλευρών ΑΒ, ΑΓ είναι η γωνία . AΟι γωνίες του τριγώνου που έχουν κορυφές τα άκρα μιας πλευράς λέγονται προσκείμενες γωνίες της πλευράς, π.χ. προσκείμενες γωνίες της πλευράς ΒΓ είναι οι γωνίες και . B ΓΣε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η πλευρά που βρίσκεται απέναντι από την ορθή γωνία ονομάζεται υποτείνουσα, ενώ οι άλλες δύο ονομάζονται κάθετες πλευρές . Ένα τρίγωνο ανάλογα με τις σχέσεις που συνδέονται οι πλευρές του ονομά-ζεται : Σκαληνό, όταν έχει και τις τρεις πλευρές του άνισες . Ισοσκελές, όταν έχει δύο πλευρές ίσες . Ισόπλευρο, όταν έχει και τις τρεις πλευρές του ίσες .


Αν δύο τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία και τις αντί-στοιχες γωνίες τους ίσες, τότε είναι ίσα.

Ισχύει ακόμη και το αντίστροφο. Δηλαδή Αν δύο τρίγωνα είναι ίσα, τότε θα έχουν τις πλευρές τους και τις αντί-στοιχες γωνίες τους ίσες μία προς μία. Ένα τρίγωνο ανάλογα με το είδος των γωνιών του ονομάζεται : Οξυγώνιο, όταν έχει όλες τις γωνίες του οξείες . Αμβλυγώνιο, όταν έχει μια γωνία αμβλεία . Ορθογώνιο, όταν έχει μια γωνία ορθή.

Σ’ ένα τρίγωνο, εκτός από τα κύρια στοιχεία, υπάρχουν και τα δευτερεύο-ντα στοιχεία, που είναι οι διάμεσοι, οι διχοτόμοι και τα ύψη. Διάμεσος ενός τριγώνου ονομάζε-ται το ευθύγραμμο τμήμα που ενώ-νει μια κορυφή του τριγώνου με το μέσο της απέναντι πλευράς. Διχοτόμος ενός τριγώνου ονομάζεται το ευθύγραμμο τμήμα που ξεκινά από μια κορυφή, χωρί-ζει τη γωνία σε δύο ίσες γωνίες και καταλήγει στην απέναντι πλευρά .


Ύψος ενός τριγώνου ονομάζεται το κάθετο ευθύγραμμο τμήμα από μια κορυφή του τριγώνου προς την ευ-θεία της απέναντι πλευράς .

Υπάρχουν προτάσεις με τις οποίες διαπιστώνουμε ότι και με λιγότερα στοι-χεία από τα έξι είναι δυνατόν να διακρίνουμε αν δύο τρίγωνα είναι ίσα. Οι προτάσεις αυτές λέγονται κριτήρια ισότητας τριγώνων.

Κριτήρια ισότητας τριγώνων 1ο κριτήριο ισότητας

( Π - Γ-Π ) Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και την περιε-χόμενη γωνία τους ίση, τότε είναι ίσα (Σε ίσα τρίγωνα απένα-ντι από ίσες πλευρές βρίσκονται ίσες γωνίες)

2ο κριτήριο ισότητας ( Γ- Π - Γ )

Αν δύο τρίγωνα έχουν μία πλευρά ίση και τις προσκείμενες στην πλευ-ρά αυτή γωνίες ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα. (Σε ίσα τρίγωνα απένα-ντι από ίσες γωνίες βρί-σκονται ίσες πλευρές)

3ο κριτήριο ισότητας ( Π - Π -Π )

Αν δύο τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα.


Κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν δύο αντίστοιχες πλευρές τους ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα . Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν μία αντίστοιχη πλευρά ίση και μία αντίστοιχη οξεία γωνία ίση, τότε είναι ίσα. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1. Να εξηγήσετε γιατί είναι ίσα τα τρί-

γωνα ΑΒΓ και ΑΕΔ και να συμπλη-ρώσετε τις ισότητες

. , . και ΒΓ = …. ...=ΒΛ

...=ΓΛ

ΑΠΑΝΤΗΣΗ Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔΕ είναι ίσα γιατί έχουν : ΑΒ = ΑΕ(υπόθεση) ,

ΑΓ = ΑΔ (υπόθεση) και ακόμα ∧∧

= ΔΑΕΒΑΓ (ως κατακορυφήν γωνίες), δη-

λαδή ισχύει ότι απαιτεί το κριτήριο Π - Γ – Π, οπότε . , και ∧

=ΕΒΛ ∧

=ΔΓΛ

ΒΓ = ΔΕ. 2. Να εξηγήσετε γιατί δεν είναι ίσα τα

τρίγωνα του διπλανού σχήματος , αν και έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και μια γωνία ίση.


ΑΠΑΝΤΗΣΗ Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ δεν είναι ίσα , γιατί ενώ είναι ΑΓ = ΔΖ = 6cm και

ΒΓ = ΔΕ = 7cm η γωνία που σχηματίζεται από τις πλευρές ΑΓ και ΒΓ

δεν ισούται με την γωνία του ΔΕΖ που σχηματίζεται από τις ΔΕ και ΔΖ .

ΛΓΛΔ

3. Να εξηγήσετε γιατί είναι ίσα τα τρίγωνα του διπλανού σχήματος και να συμπληρώσετε τις ισότη-τες ΑΒ = ……και ΑΓ = ……

ΑΠΑΝΤΗΣΗ Αρχικά παρατηρούμε ότι στο τρίγωνο ΑΒΓ είναι Γ = 1800 − ( Α + Β) = 1800 − (700 + 800) = 1800 − 1500 = 300 η οποία ισούται με την γωνία Ζ του ΔΕΖ . Επομένως ικανοποιούνται οι απαιτήσεις του κριτηρίου Γ - Π - Γ, αφού είναι ΒΓ = ΕΖ και οι προσκείμενες γωνίες στις πλευρές αυτές είναι αντίστοιχα ίσες . Τέλος είναι ΑΒ = ΔΕ και ΑΓ = ΔΖ.

4. Να βρείτε το ζεύγος των ίσων τριγώνων. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας .

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Στο τρίγωνο ΑΒΓ η γωνία = 1800− (600 + 450) = 1800 − 1050= 750 ∧

Α

Αντίστοιχα στο ΔΕΖ η γωνία = 1800 − (600 + 450) = 1800 − 1050 = 750 ∧

Ε

και τέλος στο ΚΛΜ η γωνία = 1800 − (600 + 750) = 1800 − 1350 = 450 .Παρατηρούμε λοιπόν ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ , ΔΕΖ και ΚΛΜ έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία . Οι προϋποθέσεις όμως του κριτηρίου

∧

Μ

Γ- Π - Γ πληρούνται από τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΚΛΜ . 5. Είναι ίσα τα τρίγωνα

του διπλανού σχήματος ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας .

ΑΠΑΝΤΗΣΗ


Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ δεν είναι ίσα αφού = 700 ≠ 600 = . ∧

Β∧

ΕΕπομένως δεν πληρούνται οι συνθήκες του κριτηρίου Γ – Π – Γ. 6. Να εξηγήσετε γιατί είναι

ίσα τα τρίγωνα του δι-πλανού σχήματος και να συμπληρώσετε τις ισό-

τητες ...Β... και

...=Γ

Α ==∧∧

Λ

ΑΠΑΝΤΗΣΗ Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ είναι ίσα γιατί έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία αφού : ΑΒ = ΔΖ = 5cm , ΒΓ = ΕΖ = 8cm , ΓΑ = ΔΕ = 7cm . Τότε

είναι : = , = , = ∧

A∧

Δ∧

Β∧

Ζ∧

Γ∧

Ε 7. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με

(Λ), αν είναι λανθασμένες : α) Aν δύο τρίγωνα έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία , τότε είναι ίσα β) Aν δύο τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία , τότε είναι ίσα γ ) Σε δύο τρίγωνα απέναντι από ίσες πλευρές βρίσκονται ίσες γωνίες . δ ) Σε δύο ίσα τρίγωνα απέναντι από ίσες γωνίες βρίσκονται ίσες πλευρές. ε ) Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο γωνίες ίσες μία προς μία , τότε θα έχουν και την τρίτη τους γωνία ίση . στ) Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία , τότε θα έχουν και την τρίτη τους πλευρά ίση . ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) Η α είναι Λάθος (Λ) , γιατί δεν είναι πάντα ίσα. Για παράδειγμα δύο ισό-πλευρα με διαφορετικές πλευρές ενώ έχουν τις γωνίες τους ίσες μια προς μια(600) έχουν διαφορετικές πλευρές και επομένως δεν είναι ίσα. β) Η β είναι Σωστή (Σ) λόγω του πρώτου κριτηρίου ισότητας. γ) Η γ είναι Λάθος (Λ), γιατί τα τρίγωνα πρέπει να είναι ίσα. δ) Η δ είναι Σωστή (Σ) ,γιατί τα τρίγωνα είναι ίσα.

ε) Η ε είναι Σωστή (Σ) γιατί γνωρίζουμε ότι . 0180=++∧∧∧

ΓΒΑστ) Η στ είναι Λάθος (Λ) . Αυτό συμβαίνει μόνο στα ορθογώνια τρίγωνα .


8. Είναι ίσα τα ορθογώ-νια τρίγωνα του διπλα-νού σχήματος ; Να αι-τιολογήσετε την απά-ντησή σας

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Στο τρίγωνο ΑΒΓ είναι : = 900 − 550 = 350 , η οποία ισούται με την γωνία

του ΔΕΖ . Επομένως είναι ίσα αφού έχουν μία πλευρά και μία γωνία α-ντίστοιχα ίσες .

∧

Γ∧

Ζ

9. Να βρείτε το ζεύγος των ίσων τριγώνων. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας .

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Επειδή στο τρίγωνο ΚΛΜ είναι = 900 − 400 = 500 , τα ορθογώνια ΑΒΓ και ΚΛΜ είναι ίσα γιατί έχουν μία πλευρά και την αντίστοιχη οξεία γωνία ίση.

∧

Μ

10. Τα ορθογώνια τρί-γωνα του διπλανού σχήματος έχουν δύο πλευρές ίσες . Να εξηγήσετε γιατί δεν είναι ίσα .

ΑΠΑΝΤΗΣΗ Τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ δεν είναι ίσα παρά το γεγονός ότι έ-χουν δύο πλευρές ίσες γιατί αυτές δεν είναι αντίστοιχες. Η κάθετη πλευρά ΑΓ του ΑΒΓ ισούται με την υποτείνουσα ΕΖ του ΔΕΖ. 11. Να αιτιολογήσετε

γιατί είναι ίσα τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΓΔ.


ΑΠΑΝΤΗΣΗ Τα τρίγωνα είναι ίσα γιατί έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία . Τις κάθε-τες ΑΒ και ΑΔ και τις υποτείνουσες . ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΗ 1

Στο διπλανό σχήμα είναι ΑΒ = ΑΓ και ΑΔ = ΑΕ. Να αποδείξετε ότι ΒΔ = ΓΕ .

ΛΥΣΗ

Παρατηρούμε ότι τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΕ είναι ίσα γιατί :

ΔΔ

ΑΓΕΑΒΔ =1. ΑΔ = ΑΕ (Υπόθεση) 2. ΑΒ = ΑΓ (Υπόθεση)

3. ∧

(ως κατακορυφήν γωνίες) ∧

= ΓΑΕΒΑΔΑπό το κριτήριο Π – Γ – Π προκύπτει ότι τα τρίγωνα είναι ίσα επομένως έχουν όλα τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα , άρα και ΒΔ = ΓΕ .

ΑΣΚΗΣΗ 2

Στο διπλανό σχήμα η Οδ εί-ναι διχοτόμος της γωνίας

Αν ΟΑ = ΟΒ και Σ τυ-χαίο σημείο της διχοτόμου, να αποδείξετε ότι ΣΑ = ΣΒ.

∧

xOy

Παρατηρούμε ότι τα τρίγωνα ΟΑΣ και ΟΒΣ είναι ίσα γιατί : ΛΥΣΗ

ΔΔ

ΟΒΣΟΑΣ =1. ΟΑ = ΟΒ (Υπόθεση) 2. ΟΣ = ΟΣ ( κοινή πλευρά )


3. ∧

(επειδή η Οδ είναι διχοτόμος της ∧

xOy ) ∧

= ΒΟΣΑΟΣΑπό το κριτήριο Π – Γ – Π προκύπτει ότι τα τρίγωνα είναι ίσα επομένως έχουν όλα τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα , άρα και ΣΑ= ΣΒ . Στη βάση ενός ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ παίρνουμε σημεία Δ , Ε , ώστε ΒΔ = ΓΕ. Να αποδείξετε ότι ΑΔ = ΑΕ.

ΑΣΚΗΣΗ 3

Παρατηρούμε ότι τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΕ είναι ίσα γιατί :

1. ∧

ΑΒΔ = ∧

ΑΓΕ (παρά τη βάση γωνίες ισοσκελούς τριγώνου)

2. ΑΒ = ΑΓ (υπόθεση) 3. ΒΔ = ΓΕ (υπόθεση)

Από το κριτήριο Π – Γ – Π προκύ-πτει ότι τα τρίγωνα είναι ίσα επο-μένως έχουν όλα τα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα , άρα και ΑΔ= ΑΕ . (Τα σημεία Δ, Ε μπορούμε να τα πάρουμε και εξωτερικά του ΒΓ)

ΛΥΣΗ

Α

Γ ΒΔ Ε

Στο διπλανό σχήμα είναι ΟΑ = ΟΓ και ΟΒ = ΟΔ Να αποδείξετε ότι ΒΓ = ΑΔ .

ΑΣΚΗΣΗ 4

ΛΥΣΗ Παρατηρούμε ότι τα τρίγωνα ΟΑΔ και ΟΓΒ είναι ίσα γιατί :

ΔΔ

ΟΓΒΟΑΔ =1. ΟΑ = ΟΓ (υπόθεση) 2. ΟΔ = ΟΒ (υπόθεση)

3. ∧

(κοινή γωνία) ∧

= ΓΟΒΑΟΔΑπό το κριτήριο Π – Γ – Π προκύπτει ότι τα τρίγωνα είναι ίσα επομένως έχουν όλα τα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα , άρα και ΒΓ= ΑΔ .


Κάθε πλευρά του ισοπλεύρου τριγώνου ΑΒΓ είναι 8 cm . Αν είναι ΑΖ = ΒΔ = ΓΕ = 3 cm , να αποδείξετε ότι το τρίγω-νο ΔΕΖ είναι ισόπλευρο.

ΑΣΚΗΣΗ 5

Παρατηρούμε ότι : ΒΖ = ΓΔ = ΑΕ γιατί καθένα από τα τμήματα αυτά ισού-ται με : 8cm − 3cm = 5cm . Θα δείξουμε τώρα ότι τα τρίγωνα ΑΖΕ , ΒΔΖ , ΓΔΕ είναι ίσα γιατί :

ΛΥΣΗ

ΔΔΔ

ΓΔΕΒΔΖΑΖΕ == 1. ΑΖ = ΒΔ = ΓΕ = 3cm 2. ΑΕ = ΒΖ = ΓΔ = 5cm

3. ∧

A = ∧

Β = ∧

Γ = 600 . Από το κριτήριο Π – Γ – Π προκύπτει ότι τα τρίγωνα είναι , ίσα επομένως έχουν όλα τα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα , άρα και ΖΕ = ΔΖ = ΔΕ , άρα το τρίγωνο ΔΕΖ είναι ισόπλευρο . Στις προεκτάσεις των ίσων πλευρών ΑΒ , ΑΓ ενός ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ παίρνουμε αντιστοίχως τμήματα ΒΔ =

ΓΕ . Να αποδείξετε ότι . ∧∧

= ΕΔ

ΑΣΚΗΣΗ 6

Επειδή ΑΒ = ΑΓ και ΛΥΣΗ

ΒΔ = ΓΕ ( προσθέτουμε τις ισότητες κατά μέλη ) ΑΒ+ΒΔ = ΑΓ+ΓΕ ή ΑΔ = ΑΕ , ( 1 )

Για να δείξουμε ότι Θα δείξουμε ότι τα τρίγωνα που περιέχουν αυτές τις γωνίες , δηλαδή τα ΑΔΓ και ΑΒΕ ότι είναι ίσα :

∧∧

= ΕΔ

ΔΔ

ΑΒΕΑΔΓ =1. ΑΓ = ΑΒ (υπόθεση) 2. ΑΔ = ΑΕ (σχέση 1)


3. ∧

(κοινή γωνία) ∧

= ΒΑΕΓΑΔΑπό το κριτήριο Π – Γ – Π προκύπτει ότι τα τρίγωνα είναι ίσα επομένως

έχουν όλα τα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα , άρα και ∧∧

= ΕΔ .

Α

Δ

Β

Γ

Δ

Β

Γ

ΑΣ ’ ένα τετράπλευρο ΑΒΓΔ η διαγώνιος ΑΓ

διχοτομεί τις γωνίες και ΛΑ .

ΛΓ

Να αποδείξετε ότι ΑΒ = ΑΔ και ΒΓ = ΓΔ .

ΑΣΚΗΣΗ 7

Για να δείξουμε ότι ΑΒ = ΑΔ και ΒΓ = ΓΔ αρκεί να δείξουμε ότι τα τρίγω-να ΑΒΓ και ΑΔΓ είναι ίσα :

ΛΥΣΗ

ΔΔ

ΑΔΓΑΒΓ =

1. ( ΑΓ είναι διχοτόμος της γωνίας Α) ∧∧

= ΔΑΓΒΑΓ

2. ∧

(ΑΓ είναι διχοτόμος της γωνίας Δ ) ∧

= ΔΓΑΒΓΑ3. ΑΓ κοινή πλευρά Αφού ικανοποιούνται οι απαιτήσεις του κριτηρίου ισότητας τριγώνων Γ – Π – Γ τα τρίγωνα είναι ίσα , επομένως έχουν τις αντίστοιχες πλευρές τους ίσες άρα : ΑΒ = ΑΔ και ΒΓ = ΓΔ

Να αποδείξετε ότι οι απέναντι πλευρές ενός παραλληλογράμμου είναι ίσες . ΑΣΚΗΣΗ 8

ΛΥΣΗ

Για να αποδείξουμε ότι οι απέ-ναντι πλευρές ενός παραλλη-λογράμμου είναι ίσες θα δεί-ξουμε ότι τα τρίγωνα που τις περιέχουν δηλαδή τα ΑΒΔ και ΓΒΔ είναι ίσα :

ΔΔ

ΓΒΔΑΒΔ =1. ΒΔ = ΒΔ (κοινή πλευρά)


2. ∧

(ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων ΑΒ//ΔΓ τεμνομένων από την ΒΔ)

∧

= ΓΔΒΑΒΔ

3. ∧

( ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων ΑΔ//ΒΓ τεμνομένων από την ΒΔ)

∧

= ΓΒΔΑΔΒ

Αφού ικανοποιούνται οι απαιτήσεις του κριτηρίου Γ – Π – Γ τα τρίγωνα είναι ίσα , επομένως έχουν τις αντίστοιχες πλευρές τους ίσες άρα : ΑΒ = ΓΔ και ΒΓ = ΑΔ .

Τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α΄Β΄Γ΄ του διπλανού σχήματος έχουν τις διχοτόμους ΑΔ και Α΄Δ΄ ίσες . Να αποδείξετε ότι: α) ΑΒ = Α΄Β β) τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α΄Β΄Γ΄ είναι ίσα .

ΑΣΚΗΣΗ 9

α) Επειδή ΑΔ και Α΄Δ΄ διχοτόμοι των γωνιών και αντίστοιχα , είναι

: (1).

∧

Α∧

΄Α030΄΄΄ ==

∧∧

ΔΑΒΒΑΔ

ΛΥΣΗ

Για να αποδείξουμε ότι ΑΒ = Α΄Β΄ θα δείξουμε ότι τα τρίγωνα ΒΑΔ και Β΄Α΄Δ΄ που περιέχουν αυτές τις πλευρές ότι είναι ίσα :

ΔΔΔΑΒΒΑΔ ΄΄΄=

1. 030΄ (σχέση 1) ΄΄ ==∧∧

ΔΑΒΒΑΔ

2. 070΄ (υπόθεση) ΄΄ ==

∧∧

ΑΔΒΒΔΑ3. ΑΔ = Α΄Δ΄ (υπόθεση) Αφού ικανοποιούνται οι απαιτήσεις του κριτηρίου Γ – Π – Γ τα τρίγωνα είναι ίσα , επομένως έχουν τις αντίστοιχες πλευρές τους ίσες άρα : ΑΒ = Α΄Β΄. β) Παρόμοια αποδεικνύουμε ότι και τα τρίγωνα ΑΓΔ και Α΄Γ΄Δ΄ είναι ίσα , οπότε πάλι θα έχουμε ΑΓ = Α΄Γ΄ . Τότε όμως και τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α΄Β΄Γ΄ είναι ίσα γιατί έχουν δύο πλευρές τους ίσες μία προς μία , αφού ΑΒ = Α΄Β΄, ΑΓ = Α΄Γ΄ και τις μεταξύ αυτών περιεχόμενες γωνίες ίσες .


Στο διπλανό σχήμα το ση-μείο Α ισαπέχει από τα ση-μεία Β και Γ ενός κύκλου που έχει κέντρο το σημείο Ο. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΟΑΒ και ΟΑΓ είναι ίσα .

ΑΣΚΗΣΗ 10

ΛΥΣΗ

Τα τρίγωνα ΟΑΒ και ΟΑΓ είναι ίσα γιατί έχουν :

ΔΔ

ΟΑΓΟΑΒ =1. ΟΒ = ΟΓ (ως ακτίνες του κύκλου) 2. ΑΒ = ΑΓ (αφού τα Α ισαπέχει από τα σημεία Β και Γ) 3. ΟΑ = ΟΑ (κοινή πλευρά )

Αφού ικανοποιούνται οι απαιτήσεις του κριτηρίου Π – Π – Π τα τρίγωνα είναι ίσα . Αν Ο , Α είναι τα κέντρα τωνκύκλων του διπλανού σχήμα-τος , να αποδείξετε ότι η ΑΟ

διχοτομεί τη γωνία .ΓΑΒΛ

ΑΣΚΗΣΗ 11

Τα τρίγωνα ΟΑΒ και ΟΑΓ είναι ίσα γιατί έχουν : ΛΥΣΗ

ΔΔ

ΟΑΓΟΑΒ =1. ΟΒ = ΟΓ (ως ακτίνες του κύκλου κέντρου Ο) 2. ΑΒ = ΑΓ (ως ακτίνες του κύκλου κέντρου Α) 3. ΟΑ= ΟΑ (κοινή πλευρά ).

Αφού ικανοποιούνται οι απαιτήσεις του κριτηρίου Π – Π – Π τα τρίγωνα είναι ίσα , άρα έχουν όλα τα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα , οπότε και

άρα η ΟΑ διχοτομεί την γωνία ΒΑΓ . ∧∧

= ΟΑΓΟΑΒ


Τα ισοσκελή τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΒΓ του δι-πλανού σχήματος έχουν κοινή βάση ΒΓ . Να

αποδείξετε ότι η ΑΔ διχοτομεί τις γωνίες ΛΑ

και . ΛΔ

ΑΣΚΗΣΗ 12

Τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΔΓ είναι ίσα γιατί έχουν : ΛΥΣΗ

ΑΒ = ΑΓ (ως πλευρές του ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ) ΔΒ = ΔΓ (ως πλευρές του ισοσκελούς τριγώνου ΔΒΓ). ΑΔ = ΑΔ (κοινή πλευρά ) Αφού ικανοποιούνται οι απαιτήσεις του κριτηρίου Π – Π – Π τα τρίγωνα

είναι ίσα άρα έχουν όλα τα στοιχεία τους ίσα , οπότε και

, άρα η ΑΔ διχοτομεί τις γωνίες

∧∧

= ΔΑΓΔΑΒ∧∧

= ΑΔΓΑΔΒΛΑ και

ΛΔ .

Στα τρίγωνα ΑΒΓ και Α΄Β΄Γ΄ του διπλανού σχήματος οι διά-μεσοι ΑΜ και Α΄Μ΄ είναι ίσες . Αν ΑΒ = Α΄Β΄ και ΒΜ = Β΄Μ΄, τότε να αποδείξετε ότι:

α) ΛΛ΄Β=Β

β) τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α΄Β΄Γ΄ είναι ίσα .

ΑΣΚΗΣΗ 13

α) Τα τρίγωνα ΑΒΜ και Α΄Β΄Μ΄ είναι ίσα , αφού έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία . Είναι ΑΒ = Α΄Β΄, ΒΜ = Β΄Μ΄ και ΑΜ = Α΄Μ΄. Επομέ-

νως έχουν όλα τα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα , άρα και ΛΛ΄Β=Β .

ΛΥΣΗ

β) Από την ισότητα των τριγώνων προκύπτει ακόμα ότι ∧∧

= ΄΄΄ ΑΜΒΒΜΑ .

Τότε θα είναι και . ∧∧∧∧

=−== ΄΄΄΄΄΄180 -180 00 ΓΜΑΑΜΒΒΜΑΑΜΓΕίναι όμως και ΓΜ = ΜΒ = Μ΄Β΄= Μ΄Γ΄ . Επομένως θα είναι ίσα και τα τρίγωνα ΑΜΓ και Α΄Μ΄Γ΄ γιατί έχουν δύο πλευρές τους ίσες μία προς μία αφού ΑΜ = Α΄Μ΄ , ΜΓ = Μ΄Γ΄ και τις μεταξύ αυτών περιεχόμενες γωνίες


ίσες . Από την ισότητα των τριγώνων ΑΜΓ και Α΄Μ΄Γ΄ προκύπτει ότι και ΑΓ = Α΄Γ΄. Από όλα τα παραπάνω προκύπτει ότι και τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α΄Β΄Γ΄ είναι ίσα αφού έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία . ΑΣΚΗΣΗ 14

Στο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ το σημείο Μ είναι μέσο της βάσης ΒΓ. Αν είναι ΒΔ = ΓΕ , να απο-δείξετε ότι α) το τρίγωνο ΜΔΕ είναι ισοσκελές β) τα τρίγωνα ΑΔΜ και ΑΕΜ είναι ίσα .

α) Τα τρίγωνα ΒΜΔ και ΓΜΔ είναι ίσα γιατί : ΛΥΣΗ

1. ΜΒ = ΜΓ (επειδή το Μ είναι μέσο της πλευράς ΒΓ) 2. ΒΔ = ΓΕ (υπόθεση)

3. ΛΛΓΒ = ( ως γωνίες βάσης ισοσκελούς τριγώνου) .

Επομένως αφού ικανοποιούνται οι απαιτήσεις του κριτηρίου ισότητας τρι-γώνων Π – Γ – Π τα τρίγωνα είναι ίσα , άρα ΜΔ = ΜΕ . β) Είναι : ΑΒ = ΑΓ ΒΔ = ΓΕ αφαιρούμε τις ισότητες κατά μέλη και έχουμε .ΑΒ − ΒΔ = ΑΓ − ΓΕ ή ΑΔ = ΑΕ . Τα τρίγωνα λοιπόν ΑΔΜ και ΑΕΜ είναι ίσα , αφού έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία , γιατί ΑΔ = ΑΕ , ΜΔ = ΜΕ και ΑΜ είναι κοινή πλευρά .

Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) φέρουμε ΑΔ ⊥ ΑΒ και ΑΕ ΑΓ. Αν είναι ΑΔ = ΑΕ , να

ίξετε ότι ΒΔ = ΓΕ . ⊥

αποδε

ΑΣΚΗΣΗ 15

Τα ορθογώνια ΑΒΔ και ΑΓΕ είναι ίσα αφού έχουν τις κάθετες πλευρές τους ίσες μία προς μία .Επομένως είναι και ΒΔ = ΓΕ .

ΛΥΣΗ


Σε τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι ΛΒ =

ΛΔ = 900 και ΑΒ = ΑΔ . Να αποδείξετε ότι

ΒΓ = ΓΔ και ότι η ΑΓ είναι η μεσοκάθετος του ΒΔ .

ΑΣΚΗΣΗ 16

Επειδή δίνεται ότι ΑΒ = ΑΔ και η ΑΓ είναι κοινή πλευρά των δύο ορθογωνίων τριγώνων ΑΒΓ και ΑΔΓ αυτά είναι ίσα . Τότε όμως είναι και ΓΒ = ΓΔ . Παρατηρού-με τώρα ότι τα σημεία Α και Γ ισαπέχουν από τα άκρα του ευθυγράμμου τμήματος ΒΔ αφού ΑΒ = ΑΔ και ΓΒ = ΓΔ , επομένως τα σημεία αυτά είναι σημεία της μεσοκάθετης του ΒΔ ,άρα η ΑΓ είναι η μεσοκάθετή του .

ΛΥΣΗ

A B

Δ

Γ

Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (ΛΑ = 900 ) φέρουμε τη διχοτόμο ΒΔ . Αν

ΔΕ ΒΓ, να αποδείξετε ότι ΑΒ = ΒΕ . ⊥

ΑΣΚΗΣΗ 17

Β

A ΓΔ

Ε

ΛΥΣΗ

Τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΔ και ΕΒΔ είναι ίσα γιατί έχουν κοινή υποτείνουσα την ΒΔ και ίσες τις οξείες γωνίες : ΑΒΔ και ΕΒΔ αφού η ΒΔ είναι διχοτόμος

ΑΣΚΗΣΗ 18

Μια ευθεία (ε) διέρχεται από το μέσον Μ ενός τμήματος ΑΒ. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α , Β ισαπέχουν από την ευθεία (ε).


ε

ΜΑ Β

Δ

Ε

ΛΥΣΗ Από τα σημεία Β και Δ φέρ-νουμε τις κάθετες ΑΔ και ΒΕ στην ευθεία ( ε ) . Παρατηρού-με ότι τα ορθογώνια τρίγωνα ΜΑΔ και ΜΒΕ είναι ίσα γιατί : 1. ΜΑ = ΜΒ (υπόθεση)

2. ∧

(ως κατακο-ρυφήν) .

∧

= ΒΜΕΑΜΔ

Επομένως (κριτήριο Π-Γ) είναι και ΑΔ = ΒΕ , δηλαδή τα ση-μεία Α και Β ισαπέχουν από την ευθεία ε .

Τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α΄Β΄Γ΄ έχουν

και ΑΒ = Α΄Β΄. Αν και τα ύψη τους ΑΔ και Α΄Δ΄ είναι ίσα , να αποδείξετε ότι

ΛΛ΄Α=Α

α) ΛΛ΄Β=Β

β) τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α΄Β΄Γ΄ εί-ναι ίσα .

ΑΣΚΗΣΗ 19

α) Τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΔΒ και Α΄Δ΄Β΄ ΛΥΣΗ

είναι ίσα αφού έχουν δύο αντίστοιχες πλευρές τους ίσες .

ΔΔΒΔΑΑΔΒ ΄΄΄=

1. ΑΒ = Α΄Β΄ (υπόθεση) 2. ΑΔ = Α΄Δ΄ (υπόθεση)

Επομένως ΛΛ΄Β=Β .

β) Τότε τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α΄Β΄Γ΄ είναι ίσα γιατί έχουν:

ΔΔΓΒΑΑΒΓ ΄΄΄=

1. ΑΒ = Α΄Β΄ (υπόθεση)

2. (υπόθεση) ΛΛ΄Α=Α

3. (από το προηγούμενο ερώτημα) ΛΛ΄Β=Β


Άρα σύμφωνα με το κριτήριο ισότητας Γ-Π-Γ των τριγώνων τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α΄Β΄Γ΄ είναι ίσα. ΑΣΚΗΣΗ 20

Αν οι χορδές ΑΒ , ΓΔ ενός κύκλου είναι ίσες, να απο-δείξετε ότι και τα αποστήματά τους ΟΜ , ΟΝ είναι ίσα και αντιστρόφως .

Είναι ΑΒ = ΓΔ (υπόθεση) ΛΥΣΗ

Τα ορθογώνια τρίγωνα ΜΟΑ και ΝΟΓ είναι ίσα: ΔΔ

ΝΟΓΜΟΑ = 1. ΓΝ = ΑΜ (Επειδή και Μ , Ν τα μέσα των ΑΒ και ΓΔ αντίστοιχα) 2. ΟΑ = ΟΓ (ως ακτίνες του κύκλου)

Οπότε και τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία τους είναι ίσα άρα ΟΜ = ΟΝ. ΑΣΚΗΣΗ 21

Στο διπλανό σχήμα η ΑΒ είναι διάμετρος του κύκλου. Αν οι χορδές ΑΓ και ΑΔ είναι ίσες , να αποδείξετε ότι και οι χορδές ΒΓ και ΒΔ είναι ίσες .

Επειδή η ΑΒ είναι διάμετρος οι γωνίες ΑΓΒ και ΑΔΒ είναι ορθές γιατί βλέ-πουν σε ημικύκλιο .Τότε όμως τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΓΒ και ΑΔΒ είναι ίσα:

ΛΥΣΗ

ΔΔ

ΑΔΒΑΓΒ =1. ΑΓ = ΑΔ(υπόθεση) 2. ΑΒ (κοινή πλευρά) αφού έχουν δύο πλευρές αντίστοιχα ίσες . Άρα και ΒΓ = ΒΔ .


10 ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

ΘΕΜΑ 1Ο Α. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ) αν είναι σωστές ή με (Λ) αν είναι λανθασμένες. α) Δύο τρίγωνα που έχουν δύο πλευρές ίσες και μία γωνία ίση είναι ίσα. β) Δύο τρίγωνα που έχουν τις οξείες γωνίες τους ίσες είναι ίσα. γ) Δύο τρίγωνα που έχουν μια πλευρά ίση και δύο αντίστοιχες γωνίες ίσες μία προς μία είναι ίσα. (3μονάδες) Β. Αν δύο ισοσκελή τρίγωνα έχουν τις βάσεις τους ίσες και τις γωνίες της κορυφής ίσες, τότε να αποδείξετε ότι είναι ίσα. (3μονάδες) ΘΕΜΑ 2Ο

Σε ένα κύκλο κέντρου Ο να χαράξετε μια χορδή του ΑΒ . Αν Γ, Δ είναι σημεία της χορδής ΑΒ τέτοια ώστε ΑΓ=ΒΔ , τότε να αποδείξετε ότι το τρί-γωνο ΟΓΔ είναι ισοσκελές. (7μονάδες) ΘΕΜΑ 3Ο

1121

Α

Β ΓΔ

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ τέτοιο ώστε για ένα εσωτερικό του σημείο Δ, να ισχύ-

ουν και Δ . Να αποδεί-ξετε ότι:

∧∧

= 11 ΓΒ∧∧

= 21 Δ

α) Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές. β) Το σημείο Δ ισαπέχει από τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ .

(7μονάδες)


20 ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

ΘΕΜΑ 1Ο Α. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ) αν είναι σωστές ή με (Λ) αν είναι λανθασμένες. α) Δύο τρίγωνα που έχουν μία πλευρά ίση και δύο γωνίες ίσες μία προς μία είναι ίσα. β) Δύο τρίγωνα που έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και μία γωνία ίση ,τότε είναι ίσα. γ) Δύο ορθογώνια τρίγωνα που έχουν τις οξείες γωνίες τους ίσες είναι ίσα. (3μονάδες) Β. Αν δύο ισοσκελή τρίγωνα έχουν δύο οποιεσδήποτε πλευρές ίσες και δύο γωνίες της κορυφής ίσες, τότε είναι ίσα ; (3μονάδες) ΘΕΜΑ 2Ο

Να δείξετε ότι οι διχοτόμοι των παρά τη βάση γωνιών ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες (7μονάδες) ΘΕΜΑ 3Ο Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρουμε το ύψος ΑΔ και το προεκτείνουμε προς το μέρος του Δ κατά τμήμα ΔΕ = ΑΔ . Να αποδείξετε ότι ΑΓ = ΓΕ

(7μονάδες)

Κύρια Είδη · 2013-10-26 · ΜΕΡΟΣ Β΄1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 397 . 1. 1...

Documents

Transcript of Κύρια Είδη · 2013-10-26 · ΜΕΡΟΣ Β΄1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 397 . 1. 1...