τσεκούρας θέματα προσομοίωσης 2008 - 2012
-
Upload
mak-chatzopoulos -
Category
Education
-
view
1.212 -
download
2
description
Transcript of τσεκούρας θέματα προσομοίωσης 2008 - 2012
ï
îððè
ï
íð îððè
æ øì÷
ï±
ò º ± Ž ò
Ú º ô
Ù ø¨÷ ã Ú ø¨÷ õ½ô ½ ô
º
Ù º
Ù ø¨÷ ã Ú ø¨÷ õ½ô ½ ò
ò ò
ò ô
ïò º ø ÷
º ò
îò º ø ô ÷ ô º
ø ô ÷ ³ò
î
îððè
î
íò Ì ô º
ô
º ò
ìò º Ž ø ô ÷
¨ðò º
ø ô¨ð÷ ø¨ðô ÷ ô
ø¨ðôº ø¨ð÷÷
º ò
ëò º Ž Å ô Ãò
Û ¨ð ø ô ÷ º ø¨ð÷ ã ðô º ø ÷ ã º ø ÷ò
î±
ßò
¦ï ã øí Š ë÷ õ ø Š î÷· ¦î ã øî Š ï÷ õ ø Š ï÷·ò
ß ø©ï÷ ©ï ã ¦ï õ ¦î
ø ï÷æ § ã ¨ õ îô ø©î÷
©î ã ¦ï Š ¦î
ø î÷æ § ã ¨ò
Ò ô ò
Þò º ÅŠ ïôïÃ
º øŠ ï÷ ã Š ï º øï÷ ã ïô
º ø¨÷ ïô ¨ øŠ ïôï÷ò
Ò º
øðôð÷ò
í
îððè
í
í±
¦ïô ¦î
îîï î ï¦ ¦ îøï λø¦ ¦ ÷÷ ï î
ïëîø î ¦ í ¦ ÷
îò
ø·÷ ¦ïô ¦îò
ø·· ÷ º
© ã ï
ï
ð
º ø ¦ ÷ ¼¨ Š îððèź ø ¤¦î ¤÷ õ º ø ¤¦ï ¤õ ¤¦î ¤÷÷ ô
λø©÷ ã ï
îððè׳ø©÷ò
ø ÷ Ò º ø¨÷ ã ðô
øîôë÷ò
ø ÷ ð
º ø¬÷ ¼¬ ã ô
øðô ÷æ º ø ÷ ã ò
ø·· ·÷
¹ ø¨÷ ã ¨ í Š î¨ ¹
øŠ ïô¹ øŠ ï÷÷ò
ì
îððè
ì
ì±
ò º
Ù ø¨÷ ã ¨ ï
¨
º ø¬÷ ¼¬ ô ¨ ò
ø·÷ Ò Ù ò
ø·· ÷ ô ¨
º ø¨ õ î÷ Š º ø¨ õ ï÷ ä ¨ î
¨ ï
º ø¬÷ ¼¬ Š ¨ ï
¨
º ø¬÷ ¼¬ ä º ø¨ õ ï÷ Š º ø¨÷ò
ò º ô ¹ Å ô Ã
¸ ø¨÷ ã
î¨
º ø¬÷ ¹ø¬÷ ¼¬ Š ¨
îº ø¬÷ ¼¬¨
î¹ ø¬÷ ¼¬ ô ¨ ò
Ò ¸ ø ô ÷ò
ò Ò ¨ ï

ï´·³ ¼¬
ï ¬ò
Õ
ï
Ì îððç
ï
îððç
ò ß í îððç
æ Ž
æ øì÷
ï±
ò º ô ¹ Ž ò
º ô ¹
º ø¨÷ ã ¹ ø¨÷ô ¨ ô
½ ¨
º ø¨÷ ã ¹ ø¨÷ õ ½ò
ïî
ò ò
è
ò ô
ïò º Å ô à º ø¨÷¼¨ ðô º ø¨÷ ðô
¨ Å ô Ãò
ß ï
î
Ì îððç
î
îò º ô ¹ ¨ð
º ø¨÷ ¹ ø¨÷ô ¨ðô 𨠨
´·³ º ø¨÷ 𨠨
´·³ ¹ ø¨÷ò
ß ï
íò î ¨ í Š ï
¨ô ¨ øðô õ ÷ò
ß ï
ìò Û º ø¨÷ ã » ¨ ø¨ î Š ë¨ õ ÷ô ¨ ô
ïô ã èò
ß ï
ëò 𨠨
´·³ º ø¨÷ ã Š ô º ø¨÷ ä ðô ¨ðò
ß ï
î±
º ø¦÷ ã ¦ î Š ¦ õ çô ò
¦ïô ¦î º ø¦÷ ã ðô ¦ïô ¦î
ò
ø·÷ ò
ê
ø·· ÷ « ã ¦ï î ð ð ç õ ¦î
î ðð ç ò
ì
ø·· ·÷ ¦ïô ¦îò
í
ø·ª÷ ï
î
¦
¦ õ î
ï
¦
¦ ã Š îô ò
ë
í
Ì îððç
í
øª÷ ã ðô
©
¤© Š ¦ï ¤ õ ¤© Š ¦î ¤ ã ïðò
©ïô ©î
ô
ô
¤©ï Š ©î¤ò
é
í±
º æÅðôõ ÷ º øð÷ ã ð
¨ º ø¨÷ â º ø¨÷ô ¨ â ðò
ø·÷
¹ ø¨÷ ã º ø¨÷
¨ øðôõ ÷ ò
ì
ø·· ÷ ô ¨ â ð
øðô¨÷æ îº ø¨÷ ã ¨î º ø ÷ ò
é
ø·· ·÷ ô øðôõ ÷
¸ ø¨÷ ã î
º ø¨÷
¨ò
ïð
ø·ª÷ ¨ î º ø¨÷ â º ø¨î÷ øðôõ ÷ò
ì
ì
Ì îððç
ì
ì±
ò ºæ
Ú ø¨÷ ã ¨
ï
º ø¬÷ ¼¬
¹ ø¨÷ ã ¨
ð
Úø«÷ ¼« õ » ¨ Š ï ðô ¨ ò
ø·÷ ï
ð
º ø¬÷ ¼¬ ã ïò
ë
ø·· ÷ ¨ð øðôï÷æ ð¨
ð
ïíº ø¬÷ ¼¬
¬ ï ã ïò
í
ø·· ·÷ øðôï÷æ º ø ÷ ã ê î Š ïò
ê
ò ô º æ
º øð÷ ã ðô
º ø ¬ ÷¨«
ð ð
» º ø«÷ ¼« ¼¬ ã îððç¨ õ ¨
ð
º ø¬÷ ¼¬ ô ¨ ò
ø·÷ Ò ¹ ø¨÷ ã ¨ î Š ¨ õ º ø¨÷ô ¨
Š ò
è
ø·· ÷ Ò
¹ô ¨ ¨ ¨ ã ïò
í
Õ
ß ÈØ ï
Ì ò îðïð
ú ò òø ÷ ïç îðïð
æ Ž
æ øì÷
ï±
ò º ø¨÷ ã ¨ ô ¨ Åðôõ ÷ò
º
øðôõ ÷
º ø¨÷ ã ï
î ¨ò
ïî
ò ±´¦¿²± ø í÷
ø í÷ ô ô
ø³·´´·³»¬®»÷ô
Š ø î÷ ò
è
ò ô
ïò º ¹ uïŠïe ¹ uïŠïeò
ï
îò º Å ô Ã º ø ÷ ã º ø ÷ ã ô
ø ô ÷ æ º ø ÷ ã îò
ï
ß ÈØ î
Ì ò îðïð
íò ºô ¹ Ž ô
º ¹ ò
ï
ìò ¦ïô ¦î ï
© ã ï î ï î
ï î ï î
¦ ¦ ¦ ¦ ï
¦ ¦ ¦ ¦ ïô ¤©¤ ã îò
ï
ëò º
Åðôïà º øð÷ â ðò
¹ ÅðôïÃ
¹ ø¨÷ â ðô ¨ ÅðôïÃò
Ú ø¨÷ ã ¨
ð
º ø¬÷ ¹ø¬÷ ¼¬ ô ¨ ÅðôïÃ
Ú ø¨÷ â ðô ¨ øðôïÃò
ï
î±
©ï ã ï Š · ©î ã ï õ î·ò
ø·÷
© ã ©ïî õ ©î
îò
î
ø··÷
º ø¦÷ ã ¦ ï
¦ ·ô ¦ ·ò
ø ÷ º ø©÷ò
í
ø ÷ º ø¦÷ ô
¦ò
ë
ß ÈØ í
Ì ò îðïð
ø ÷ ¤º øº ø¦÷÷¤ ã ïô
¦ò
é
ø···÷ ± ¦ï
ø·· ÷ ± ¦î
ø·· ÷ ô
¤¦ï Š ¦î ¤ò
è
í±
ºæ øðôõ ÷
º øï÷ ã ð º øï÷ ã ïô
º ø¨ §÷ ¨ º ø§÷ õ § º ø¨÷ô ¨ô § øðôõ ÷ò
ø·÷ º ø¨÷ ã ¨ ´²¨ô ¨ â ðò
ë
ø··÷ Ò º ô
º øïôº øï÷÷ò
î
ø···÷
¨ ´²¨ â ¨ Š ïô ¨ øïôõ ÷ò
ì
ø·ª÷ Û ¨î â ¨ï â ðô
ï¨ï¨ î¨
î¨ â ï î¨ ¨
ï î¨ ¨
î
è
ß ÈØ ì
Ì ò îðïð
øª÷ Ò
ºô ¨
¨ ã ï
»ô ¨ ã »ò
ê
ì±
ò Ò ± ã î ì
î
ï í
ï ¼¬ ¼¨
¨ ¬ò
ë
Þò º Å ô Ã º ø ÷ ä ð
º ø¬÷ ¼¬ â ðò
ø ô ÷ æ º ø ÷ ã ðò
è
ò
ø¨÷ ã
í
î
¨
¨
ï ¼¬´² ¬
ò
ø·÷ ø¨÷ò
é
ø··÷ Ò Ø ø¨÷ Š ò
ë
Õ
ß ÈØ ï
ò Ì îðïï
ï
îðïï
ú ò ò ç îðïï
æ Ž
æ øì÷
ï ò ¨ð º ô ¹ º õ ¹ ¨ð
øº õ ¹÷ ø¨ð÷ ã º ø¨ð÷ õ ¹ ø¨ð÷ò
ïð
î ò º Ž
ò º
å
ë
í ò ô
ïò º uïóïe Ž ô º
ò
î
îò ¹ ô
ï øŠ ïôîðïï÷ î øîôîðïî÷
¹ ø¨÷ â ðô ¨ ò
î
ß ÈØ î
ò Ì îðïï
î
íò
¦ n õ ¦ õ ã ðô
¦ï ô ¦î
¦ï õ ¦îã Š ¦ï ¦î ã ò î
ìò º ô ¹ô ¸
¸ ø¨÷ º ø¨÷ ¹ ø¨÷ô ¨ ¨ð
𨠨´·³ ¸ø¨÷ ã
𨠨´·³ ¹ ø¨÷ ô
𨠨´·³ º ø¨÷ ã
𨠨´·³ ¹ ø¨÷ò
î
ëò º ÅðôîðïïÃô
îðïïï
ð
º øîðïï¬÷ ¼¬ ã îðïï
ð
º ø¬÷ ¼¬ ò
î
¦ ô ©
·¦© õ î© ã ¦ õ î· ¤øï õ î·÷¦ õì Š î· ¤ ã î ë ò
ï ò
¦ï ã ï Š ì· ¦î ã Š î õ î· ô
¦ïô ¦î
¦ ò
ò Ø ¦ï ¦
ò Ø ¦ î
¦
ô
ò
î
î ò Ò ¦ò
ì
ß ÈØ í
ò Ì îðïï
í
í ò Ò ô
ø¦ï÷ ø¦î÷ ò
ì
ì ò Ò ¦ô
ô ø í÷ ò
ø ç
îðî
÷
é
ë ò « ã ¦ ¦
© ©ô «
ò
è
º ø¨÷ ã íø¨î Š î¨ Š î÷» ¨ Š ø¨ í Š ïî¨ Š ïè÷ ¨
ïò Ò º
ò
î
îò
íø¨î Š î¨ Š î÷» ¨ ¨í Š ïî¨ õ ïê Š ê»îô ¨
í
íò Ò øŠ îôî÷æ º ø ÷ ã ð ò
é
ìò º ø¨÷ ã ð ò
è
ëò Ò
º ¨
¨ ã Š ï ¨ ã ðò
ë
ß ÈØ ì
ò Ì îðïï
ì
ï ò
º ø¨÷ ã ø î¨ ï Š ¨÷ ¨ô ¨ ò
ø·÷ Ò ¨´·³ º ø¨÷ò
î
ø· ·÷ Û ã ¨´·³ º ø¨÷ º
¨
î
º ø¬÷ ¼¬ õ ¨
î
º ø¬÷ ¼¬ ã ô ¨ øŠ ô ÷
Ò
ã ¨î
î
î î
ø ¬ ï ¬÷ ¬ ¼¬ ¼¨ ò
ê
î ò º Åðôõ ÷
Ž
¨ô ¨ øðôõ ÷ ò
ø·÷ ï ô î ô í øð ôîðïì÷ îðïì
ð
º ø¬÷ ¼¬ ã º ø ï÷ õ º ø î÷ õ îðïîº ø í÷ ò
ì
ø· ·÷ Ò ¨ «
ð ð
º ø¬÷ ¼¬ ¼« ä ¨
ð
¨ º ø¬÷ ¼¬ ô ¨ øðôõ ÷ ò
é
ø· · ·÷ Ò îðïï «
ð ð
îðïîº ø¬÷ ¼¬ ¼« ä îðïî «
ð ð
îðïïº ø¬÷ ¼¬ ¼« ò
ê
Õ
AΡXH 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ
ΔΙΑΜΑΝΤΗΣ Α. TΣΕΚΟΥΡΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ
ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 2012
ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ & Β΄ΟΜΑΔΑΣ ΕΠΑ.Λ.
Μεγάλη Δευτέρα 9 Απρίλη 2012
ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ:
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ’ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4)
ΘΕΜΑ Α
Α1 . Eάν f είναι μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα Δ και α
είναι ένα σημείο του Δ, τότε η συνάρτηση F (x) =
x
f (t) dt
, xΔ ,
είναι μια παράγουσα της f στο Δ, να αποδείξετε ότι
x
f (t)dt f (x)
, για κάθε xΔ .
ΜΟΝΑΔΕΣ 10
Α2 . Πότε μια συνάρτηση ονομάζεται κυρτή και πότε μια συνάρτηση
ονομάζεται ή κοίλη;
ΜΟΝΑΔΕΣ 5
Α3 . Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας
στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος
1. Εάν η f παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα Δ, με f ΄(x) ≠ 0, για
κάθε xΔ, τότε η f είναι γνησίως μονότονη στο Δ.
ΜΟΝΑΔΕΣ 2
2. Εάν η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο x 0 , τότε
ισχύει 0x x
lim
f ΄΄(x) = f ΄΄(x0) .
ΜΟΝΑΔΕΣ 2
AΡXH 2ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ
ΔΙΑΜΑΝΤΗΣ Α. TΣΕΚΟΥΡΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ
3. Εάν
β
α
f (x) dx = β
α
g (x) dx , τότε f (x) = g (x) για κάθε x [α, β].
ΜΟΝΑΔΕΣ 2
4. Εάν η f είναι γνησίως αύξουσα στο [α,β], τότε η f δεν έχει
ακρότατα στο [α,β]
ΜΟΝΑΔΕΣ 2
5. Εάν ισχύει z12 + z2
2 = 0 τότε και μόνο τότε z1 = z2 = 0, όπου
z1 , z2C.
ΜΟΝΑΔΕΣ 2
ΘΕΜΑ Β
Θεωρούμε τους μη μηδενικούς μιγαδικούς z1 , z2C , για τους
οποίους ισχύουν
|z1 | = 1, |z2 | = 2 και |z1 + z2 | = 3.
(i) Να αποδείξετε ότι 1
1
z +
2
4
z =
1 2
9
z z.
ΜΟΝΑΔΕΣ 2
(i i) Θεωρούμε επίσης τις συναρτήσεις
f (x) = |z1 + xz2 | + |z1 – xz2 | , x και
g (x) = 4Re(z1 z 2)x 3 + x + 1, x .
(α) Να μελετηθεί η g ως προς τη μονοτονία στο .
ΜΟΝΑΔΕΣ 4
(β) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των f , g τέμνονται
σ’ ένα τουλάχιστον σημείο στο (0,1).
ΜΟΝΑΔΕΣ 6
(γ) Να αποδείξετε ότι η f δεν είναι «1 -1» στο και στη συνέχεια
να αποδείξετε ότι υπάρχει πραγματικός αριθμός ξ
τέτοιος ώστε να ισχύει f ΄(ξ) = 0 .
ΜΟΝΑΔΕΣ 3
(δ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g είναι «1 -1» και στη συνέχεια
να υπολογίσετε τα ολοκλήρωματα
Ι1 =
10
1
1
g (t) dt
και Ι2 =
1
1
f ( t ) dt
.
ΜΟΝΑΔΕΣ 10
AΡXH 3ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ
ΔΙΑΜΑΝΤΗΣ Α. TΣΕΚΟΥΡΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ
ΘΕΜΑ Γ
Γ1 . Θεωρούμε συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο [0,+ ∞) με
f (0) = 0,επίσης η f είναι κοίλη στο (0,+ ∞),
εάν ισχύει
(x + 1) f (x) + 2012g (x) = x f (x + 1), για κάθε x(0,+ ∞).
(i) Nα αποδείξετε ότι η g συνεχής στο (0,+ ∞).
ΜΟΝΑΔΕΣ 2
(i i)Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ(1,3):
(ξ – 2) g (ξ) = 2012ξ(ξ – 1) .
ΜΟΝΑΔΕΣ 8
Γ2 . Θεωρούμε τη συνάρτηση
f (x) = 3x
3 –
25x
4 + 2x +
1
2(x
2 – 2x)lnx, x > 0
(i) Να υπολογίσετε το όριο
xlim
x2012e 2x
f (x)
.
ΜΟΝΑΔΕΣ 4
(i i) Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και να βρεθούν τα
ακρότατα της .
ΜΟΝΑΔΕΣ 6
(i i i) Nα βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f (x) = α, εάν
ισχύει – 2012 < α < 2012 .
ΜΟΝΑΔΕΣ 5
ΘΕΜΑ Δ
Δ1 . Θεωρούμε τη παραγωγίσιμη συνάρτηση f:[0,+ ) για την
οποία ισχύει
x f ΄(x) > f (x) , για κάθε x(0,+ ) . (i) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση
g (x) = f (x)
x είναι γνησίως αύξουσα στο (0,+ ) .
ΜΟΝΑΔΕΣ 2
AΡXH 4ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ
ΔΙΑΜΑΝΤΗΣ Α. TΣΕΚΟΥΡΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ
(ii) Να αποδείξετε ότι , για κάθε x > 0 υπάρχει ένα τουλάχιστον
ξ(0,x): x
0
2f (t) dt = x 2f (ξ) .
ΜΟΝΑΔΕΣ 5
(iii) Να μελετήσετε, στο (0,+ ) ως προς την μονοτονία τη συνάρτηση
h (x) = x
2
0
f (t) dt
x .
ΜΟΝΑΔΕΣ 6
(iv) Να λυθεί η ανίσωση x
2
0
x f (t) dt >
2x
0
f (t) dt στο (0,+ ).
ΜΟΝΑΔΕΣ 3
Δ2 . Θεωρούμε συνάρτηση f συνεχή στο διάστημα [0,2], για την
οποία ισχύει
f (x) + 2f (2 – x) = x3 + x , για κάθε x[0,2].
(i) Nα βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της συνάρτησης
G (x) =
x
0
f ( t ) dt στο σημείο της Μ(2 ,G(2)).
ΜΟΝΑΔΕΣ 3
(i i) Nα αποδείξετε ότι υπάρχει ξ ,x0(0,2):
0
f (x) dx
= 2 – ξ και (2 – ξ)f (x0) = ξ .
ΜΟΝΑΔΕΣ 6
KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ