τσεκούρας θέματα προσομοίωσης 2008 - 2012

20
ï îððè ï íð îððè æ øì÷ ï ± ò º ± Ž ò Ú º ô Ù ø¨÷ ã Ú ø¨÷ õ½ô ½ ô º Ù º Ù ø¨÷ ã Ú ø¨÷ õ½ô ½ ò ò ò ò ô ïò º ø ÷ º ò îò º ø ô ÷ô º ø ô ÷ ³ò

description

lisari.blogspot.com

Transcript of τσεκούρας θέματα προσομοίωσης 2008 - 2012

Page 1: τσεκούρας   θέματα προσομοίωσης 2008 - 2012

ï

îððè

ï

íð îððè

æ øì÷

ï±

ò º ± Ž ò

Ú º ô

Ù ø¨÷ ã Ú ø¨÷ õ½ô ½ ô

º

Ù º

Ù ø¨÷ ã Ú ø¨÷ õ½ô ½ ò

ò ò

ò ô

ïò º ø ÷

º ò

îò º ø ô ÷ ô º

ø ô ÷ ³ò

Page 2: τσεκούρας   θέματα προσομοίωσης 2008 - 2012

î

îððè

î

íò Ì ô º

ô

º ò

ìò º Ž ø ô ÷

¨ðò º

ø ô¨ð÷ ø¨ðô ÷ ô

ø¨ðôº ø¨ð÷÷

º ò

ëò º Ž Å ô Ãò

Û ¨ð ø ô ÷ º ø¨ð÷ ã ðô º ø ÷ ã º ø ÷ò

î±

ßò

¦ï ã øí Š ë÷ õ ø Š î÷· ¦î ã øî Š ï÷ õ ø Š ï÷·ò

ß ø©ï÷ ©ï ã ¦ï õ ¦î

ø ï÷æ § ã ¨ õ îô ø©î÷

©î ã ¦ï Š ¦î

ø î÷æ § ã ¨ò

Ò ô ò

Þò º ÅŠ ïôïÃ

º øŠ ï÷ ã Š ï º øï÷ ã ïô

º ø¨÷ ïô ¨ øŠ ïôï÷ò

Ò º

øðôð÷ò

Page 3: τσεκούρας   θέματα προσομοίωσης 2008 - 2012

í

îððè

í

í±

¦ïô ¦î

îîï î ï¦ ¦ îøï λø¦ ¦ ÷÷ ï î

ïëîø î ¦ í ¦ ÷

îò

ø·÷ ¦ïô ¦îò

ø·· ÷ º

© ã ï

ï

ð

º ø ¦ ÷ ¼¨ Š îððèź ø ¤¦î ¤÷ õ º ø ¤¦ï ¤õ ¤¦î ¤÷÷ ô

λø©÷ ã ï

îððè׳ø©÷ò

ø ÷ Ò º ø¨÷ ã ðô

øîôë÷ò

ø ÷ ð

º ø¬÷ ¼¬ ã ô

øðô ÷æ º ø ÷ ã ò

ø·· ·÷

¹ ø¨÷ ã ¨ í Š î¨ ¹

øŠ ïô¹ øŠ ï÷÷ò

Page 4: τσεκούρας   θέματα προσομοίωσης 2008 - 2012

ì

îððè

ì

ì±

ò º

Ù ø¨÷ ã ¨ ï

¨

º ø¬÷ ¼¬ ô ¨ ò

ø·÷ Ò Ù ò

ø·· ÷ ô ¨

º ø¨ õ î÷ Š º ø¨ õ ï÷ ä ¨ î

¨ ï

º ø¬÷ ¼¬ Š ¨ ï

¨

º ø¬÷ ¼¬ ä º ø¨ õ ï÷ Š º ø¨÷ò

ò º ô ¹ Å ô Ã

¸ ø¨÷ ã

î¨

º ø¬÷ ¹ø¬÷ ¼¬ Š ¨

îº ø¬÷ ¼¬¨

î¹ ø¬÷ ¼¬ ô ¨ ò

Ò ¸ ø ô ÷ò

ò Ò ¨ ï



ï´·³ ¼¬

ï ¬ò

Õ

Page 5: τσεκούρας   θέματα προσομοίωσης 2008 - 2012

ï

Ì îððç

ï

îððç

ò ß í îððç

æ Ž

æ øì÷

ï±

ò º ô ¹ Ž ò

º ô ¹

º ø¨÷ ã ¹ ø¨÷ô ¨ ô

½ ¨

º ø¨÷ ã ¹ ø¨÷ õ ½ò

ïî

ò ò

è

ò ô

ïò º Å ô à º ø¨÷¼¨ ðô º ø¨÷ ðô

¨ Å ô Ãò

ß ï

Page 6: τσεκούρας   θέματα προσομοίωσης 2008 - 2012

î

Ì îððç

î

îò º ô ¹ ¨ð

º ø¨÷ ¹ ø¨÷ô ¨ðô 𨠨

´·³ º ø¨÷ 𨠨

´·³ ¹ ø¨÷ò

ß ï

íò î ¨ í Š ï

¨ô ¨ øðô õ ÷ò

ß ï

ìò Û º ø¨÷ ã » ¨ ø¨ î Š ë¨ õ ÷ô ¨ ô

ïô ã èò

ß ï

ëò 𨠨

´·³ º ø¨÷ ã Š ô º ø¨÷ ä ðô ¨ðò

ß ï

î±

º ø¦÷ ã ¦ î Š ¦ õ çô ò

¦ïô ¦î º ø¦÷ ã ðô ¦ïô ¦î

ò

ø·÷ ò

ê

ø·· ÷ « ã ¦ï î ð ð ç õ ¦î

î ðð ç ò

ì

ø·· ·÷ ¦ïô ¦îò

í

ø·ª÷ ï

î

¦

¦ õ î

ï

¦

¦ ã Š îô ò

ë

Page 7: τσεκούρας   θέματα προσομοίωσης 2008 - 2012

í

Ì îððç

í

øª÷ ã ðô

©

¤© Š ¦ï ¤ õ ¤© Š ¦î ¤ ã ïðò

©ïô ©î

ô

ô

¤©ï Š ©î¤ò

é

í±

º æÅðôõ ÷ º øð÷ ã ð

¨ º ø¨÷ â º ø¨÷ô ¨ â ðò

ø·÷

¹ ø¨÷ ã º ø¨÷

¨ øðôõ ÷ ò

ì

ø·· ÷ ô ¨ â ð

øðô¨÷æ îº ø¨÷ ã ¨î º ø ÷ ò

é

ø·· ·÷ ô øðôõ ÷

¸ ø¨÷ ã î

º ø¨÷

¨ò

ïð

ø·ª÷ ¨ î º ø¨÷ â º ø¨î÷ øðôõ ÷ò

ì

Page 8: τσεκούρας   θέματα προσομοίωσης 2008 - 2012

ì

Ì îððç

ì

ì±

ò ºæ

Ú ø¨÷ ã ¨

ï

º ø¬÷ ¼¬

¹ ø¨÷ ã ¨

ð

Úø«÷ ¼« õ » ¨ Š ï ðô ¨ ò

ø·÷ ï

ð

º ø¬÷ ¼¬ ã ïò

ë

ø·· ÷ ¨ð øðôï÷æ ð¨

ð

ïíº ø¬÷ ¼¬

¬ ï ã ïò

í

ø·· ·÷ øðôï÷æ º ø ÷ ã ê î Š ïò

ê

ò ô º æ

º øð÷ ã ðô

º ø ¬ ÷¨«

ð ð

» º ø«÷ ¼« ¼¬ ã îððç¨ õ ¨

ð

º ø¬÷ ¼¬ ô ¨ ò

ø·÷ Ò ¹ ø¨÷ ã ¨ î Š ¨ õ º ø¨÷ô ¨

Š ò

è

ø·· ÷ Ò

¹ô ¨ ¨ ¨ ã ïò

í

Õ

Page 9: τσεκούρας   θέματα προσομοίωσης 2008 - 2012

ß ÈØ ï

Ì ò îðïð

ú ò òø ÷ ïç îðïð

æ Ž

æ øì÷

ï±

ò º ø¨÷ ã ¨ ô ¨ Åðôõ ÷ò

º

øðôõ ÷

º ø¨÷ ã ï

î ¨ò

ïî

ò ±´¦¿²± ø í÷

ø í÷ ô ô

ø³·´´·³»¬®»÷ô

Š ø î÷ ò

è

ò ô

ïò º ¹ uïŠïe ¹ uïŠïeò

ï

îò º Å ô Ã º ø ÷ ã º ø ÷ ã ô

ø ô ÷ æ º ø ÷ ã îò

ï

Page 10: τσεκούρας   θέματα προσομοίωσης 2008 - 2012

ß ÈØ î

Ì ò îðïð

íò ºô ¹ Ž ô

º ¹ ò

ï

ìò ¦ïô ¦î ï

© ã ï î ï î

ï î ï î

¦ ¦ ¦ ¦ ï

¦ ¦ ¦ ¦ ïô ¤©¤ ã îò

ï

ëò º

Åðôïà º øð÷ â ðò

¹ ÅðôïÃ

¹ ø¨÷ â ðô ¨ ÅðôïÃò

Ú ø¨÷ ã ¨

ð

º ø¬÷ ¹ø¬÷ ¼¬ ô ¨ ÅðôïÃ

Ú ø¨÷ â ðô ¨ øðôïÃò

ï

î±

©ï ã ï Š · ©î ã ï õ î·ò

ø·÷

© ã ©ïî õ ©î

îò

î

ø··÷

º ø¦÷ ã ¦ ï

¦ ·ô ¦ ·ò

ø ÷ º ø©÷ò

í

ø ÷ º ø¦÷ ô

¦ò

ë

Page 11: τσεκούρας   θέματα προσομοίωσης 2008 - 2012

ß ÈØ í

Ì ò îðïð

ø ÷ ¤º øº ø¦÷÷¤ ã ïô

¦ò

é

ø···÷ ± ¦ï

ø·· ÷ ± ¦î

ø·· ÷ ô

¤¦ï Š ¦î ¤ò

è

í±

ºæ øðôõ ÷

º øï÷ ã ð º øï÷ ã ïô

º ø¨ §÷ ¨ º ø§÷ õ § º ø¨÷ô ¨ô § øðôõ ÷ò

ø·÷ º ø¨÷ ã ¨ ´²¨ô ¨ â ðò

ë

ø··÷ Ò º ô

º øïôº øï÷÷ò

î

ø···÷

¨ ´²¨ â ¨ Š ïô ¨ øïôõ ÷ò

ì

ø·ª÷ Û ¨î â ¨ï â ðô

ï¨ï¨ î¨

î¨ â ï î¨ ¨

ï î¨ ¨

î

è

Page 12: τσεκούρας   θέματα προσομοίωσης 2008 - 2012

ß ÈØ ì

Ì ò îðïð

øª÷ Ò

ºô ¨

¨ ã ï

»ô ¨ ã »ò

ê

ì±

ò Ò ± ã î ì

î

ï í

ï ¼¬ ¼¨

¨ ¬ò

ë

Þò º Å ô Ã º ø ÷ ä ð

º ø¬÷ ¼¬ â ðò

ø ô ÷ æ º ø ÷ ã ðò

è

ò

ø¨÷ ã

í

î

¨

¨

ï ¼¬´² ¬

ò

ø·÷ ø¨÷ò

é

ø··÷ Ò Ø ø¨÷ Š ò

ë

Õ

Page 13: τσεκούρας   θέματα προσομοίωσης 2008 - 2012

ß ÈØ ï

ò Ì îðïï

ï

îðïï

ú ò ò ç îðïï

æ Ž

æ øì÷

ï ò ¨ð º ô ¹ º õ ¹ ¨ð

øº õ ¹÷ ø¨ð÷ ã º ø¨ð÷ õ ¹ ø¨ð÷ò

ïð

î ò º Ž

ò º

å

ë

í ò ô

ïò º uïóïe Ž ô º

ò

î

îò ¹ ô

ï øŠ ïôîðïï÷ î øîôîðïî÷

¹ ø¨÷ â ðô ¨ ò

î

Page 14: τσεκούρας   θέματα προσομοίωσης 2008 - 2012

ß ÈØ î

ò Ì îðïï

î

íò

¦ n õ ¦ õ ã ðô

¦ï ô ¦î

¦ï õ ¦îã Š ¦ï ¦î ã ò î

ìò º ô ¹ô ¸

¸ ø¨÷ º ø¨÷ ¹ ø¨÷ô ¨ ¨ð

𨠨´·³ ¸ø¨÷ ã

𨠨´·³ ¹ ø¨÷ ô

𨠨´·³ º ø¨÷ ã

𨠨´·³ ¹ ø¨÷ò

î

ëò º ÅðôîðïïÃô

îðïïï

ð

º øîðïï¬÷ ¼¬ ã îðïï

ð

º ø¬÷ ¼¬ ò

î

¦ ô ©

·¦© õ î© ã ¦ õ î· ¤øï õ î·÷¦ õì Š î· ¤ ã î ë ò

ï ò

¦ï ã ï Š ì· ¦î ã Š î õ î· ô

¦ïô ¦î

¦ ò

ò Ø ¦ï ¦

ò Ø ¦ î

¦

ô

ò

î

î ò Ò ¦ò

ì

Page 15: τσεκούρας   θέματα προσομοίωσης 2008 - 2012

ß ÈØ í

ò Ì îðïï

í

í ò Ò ô

ø¦ï÷ ø¦î÷ ò

ì

ì ò Ò ¦ô

ô ø í÷ ò

ø ç

îðî

÷

é

ë ò « ã ¦ ¦

© ©ô «

ò

è

º ø¨÷ ã íø¨î Š î¨ Š î÷» ¨ Š ø¨ í Š ïî¨ Š ïè÷ ¨

ïò Ò º

ò

î

îò

íø¨î Š î¨ Š î÷» ¨ ¨í Š ïî¨ õ ïê Š ê»îô ¨

í

íò Ò øŠ îôî÷æ º ø ÷ ã ð ò

é

ìò º ø¨÷ ã ð ò

è

ëò Ò

º ¨

¨ ã Š ï ¨ ã ðò

ë

Page 16: τσεκούρας   θέματα προσομοίωσης 2008 - 2012

ß ÈØ ì

ò Ì îðïï

ì

ï ò

º ø¨÷ ã ø î¨ ï Š ¨÷ ¨ô ¨ ò

ø·÷ Ò ¨´·³ º ø¨÷ò

î

ø· ·÷ Û ã ¨´·³ º ø¨÷ º

¨

î

º ø¬÷ ¼¬ õ ¨

î

º ø¬÷ ¼¬ ã ô ¨ øŠ ô ÷

Ò

ã ¨î

î

î î

ø ¬ ï ¬÷ ¬ ¼¬ ¼¨ ò

ê

î ò º Åðôõ ÷

Ž

¨ô ¨ øðôõ ÷ ò

ø·÷ ï ô î ô í øð ôîðïì÷ îðïì

ð

º ø¬÷ ¼¬ ã º ø ï÷ õ º ø î÷ õ îðïîº ø í÷ ò

ì

ø· ·÷ Ò ¨ «

ð ð

º ø¬÷ ¼¬ ¼« ä ¨

ð

¨ º ø¬÷ ¼¬ ô ¨ øðôõ ÷ ò

é

ø· · ·÷ Ò îðïï «

ð ð

îðïîº ø¬÷ ¼¬ ¼« ä îðïî «

ð ð

îðïïº ø¬÷ ¼¬ ¼« ò

ê

Õ

Page 17: τσεκούρας   θέματα προσομοίωσης 2008 - 2012

AΡXH 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

ΔΙΑΜΑΝΤΗΣ Α. TΣΕΚΟΥΡΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 2012

ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ & Β΄ΟΜΑΔΑΣ ΕΠΑ.Λ.

Μεγάλη Δευτέρα 9 Απρίλη 2012

ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ’ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4)

ΘΕΜΑ Α

Α1 . Eάν f είναι μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα Δ και α

είναι ένα σημείο του Δ, τότε η συνάρτηση F (x) =

x

f (t) dt

, xΔ ,

είναι μια παράγουσα της f στο Δ, να αποδείξετε ότι

x

f (t)dt f (x)

, για κάθε xΔ .

ΜΟΝΑΔΕΣ 10

Α2 . Πότε μια συνάρτηση ονομάζεται κυρτή και πότε μια συνάρτηση

ονομάζεται ή κοίλη;

ΜΟΝΑΔΕΣ 5

Α3 . Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος

1. Εάν η f παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα Δ, με f ΄(x) ≠ 0, για

κάθε xΔ, τότε η f είναι γνησίως μονότονη στο Δ.

ΜΟΝΑΔΕΣ 2

2. Εάν η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο x 0 , τότε

ισχύει 0x x

lim

f ΄΄(x) = f ΄΄(x0) .

ΜΟΝΑΔΕΣ 2

Page 18: τσεκούρας   θέματα προσομοίωσης 2008 - 2012

AΡXH 2ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

ΔΙΑΜΑΝΤΗΣ Α. TΣΕΚΟΥΡΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

3. Εάν

β

α

f (x) dx = β

α

g (x) dx , τότε f (x) = g (x) για κάθε x [α, β].

ΜΟΝΑΔΕΣ 2

4. Εάν η f είναι γνησίως αύξουσα στο [α,β], τότε η f δεν έχει

ακρότατα στο [α,β]

ΜΟΝΑΔΕΣ 2

5. Εάν ισχύει z12 + z2

2 = 0 τότε και μόνο τότε z1 = z2 = 0, όπου

z1 , z2C.

ΜΟΝΑΔΕΣ 2

ΘΕΜΑ Β

Θεωρούμε τους μη μηδενικούς μιγαδικούς z1 , z2C , για τους

οποίους ισχύουν

|z1 | = 1, |z2 | = 2 και |z1 + z2 | = 3.

(i) Να αποδείξετε ότι 1

1

z +

2

4

z =

1 2

9

z z.

ΜΟΝΑΔΕΣ 2

(i i) Θεωρούμε επίσης τις συναρτήσεις

f (x) = |z1 + xz2 | + |z1 – xz2 | , x και

g (x) = 4Re(z1 z 2)x 3 + x + 1, x .

(α) Να μελετηθεί η g ως προς τη μονοτονία στο .

ΜΟΝΑΔΕΣ 4

(β) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των f , g τέμνονται

σ’ ένα τουλάχιστον σημείο στο (0,1).

ΜΟΝΑΔΕΣ 6

(γ) Να αποδείξετε ότι η f δεν είναι «1 -1» στο και στη συνέχεια

να αποδείξετε ότι υπάρχει πραγματικός αριθμός ξ

τέτοιος ώστε να ισχύει f ΄(ξ) = 0 .

ΜΟΝΑΔΕΣ 3

(δ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g είναι «1 -1» και στη συνέχεια

να υπολογίσετε τα ολοκλήρωματα

Ι1 =

10

1

1

g (t) dt

και Ι2 =

1

1

f ( t ) dt

.

ΜΟΝΑΔΕΣ 10

Page 19: τσεκούρας   θέματα προσομοίωσης 2008 - 2012

AΡXH 3ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

ΔΙΑΜΑΝΤΗΣ Α. TΣΕΚΟΥΡΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

ΘΕΜΑ Γ

Γ1 . Θεωρούμε συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο [0,+ ∞) με

f (0) = 0,επίσης η f είναι κοίλη στο (0,+ ∞),

εάν ισχύει

(x + 1) f (x) + 2012g (x) = x f (x + 1), για κάθε x(0,+ ∞).

(i) Nα αποδείξετε ότι η g συνεχής στο (0,+ ∞).

ΜΟΝΑΔΕΣ 2

(i i)Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ(1,3):

(ξ – 2) g (ξ) = 2012ξ(ξ – 1) .

ΜΟΝΑΔΕΣ 8

Γ2 . Θεωρούμε τη συνάρτηση

f (x) = 3x

3 –

25x

4 + 2x +

1

2(x

2 – 2x)lnx, x > 0

(i) Να υπολογίσετε το όριο

xlim

x2012e 2x

f (x)

.

ΜΟΝΑΔΕΣ 4

(i i) Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και να βρεθούν τα

ακρότατα της .

ΜΟΝΑΔΕΣ 6

(i i i) Nα βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f (x) = α, εάν

ισχύει – 2012 < α < 2012 .

ΜΟΝΑΔΕΣ 5

ΘΕΜΑ Δ

Δ1 . Θεωρούμε τη παραγωγίσιμη συνάρτηση f:[0,+ ) για την

οποία ισχύει

x f ΄(x) > f (x) , για κάθε x(0,+ ) . (i) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση

g (x) = f (x)

x είναι γνησίως αύξουσα στο (0,+ ) .

ΜΟΝΑΔΕΣ 2

Page 20: τσεκούρας   θέματα προσομοίωσης 2008 - 2012

AΡXH 4ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

ΔΙΑΜΑΝΤΗΣ Α. TΣΕΚΟΥΡΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

(ii) Να αποδείξετε ότι , για κάθε x > 0 υπάρχει ένα τουλάχιστον

ξ(0,x): x

0

2f (t) dt = x 2f (ξ) .

ΜΟΝΑΔΕΣ 5

(iii) Να μελετήσετε, στο (0,+ ) ως προς την μονοτονία τη συνάρτηση

h (x) = x

2

0

f (t) dt

x .

ΜΟΝΑΔΕΣ 6

(iv) Να λυθεί η ανίσωση x

2

0

x f (t) dt >

2x

0

f (t) dt στο (0,+ ).

ΜΟΝΑΔΕΣ 3

Δ2 . Θεωρούμε συνάρτηση f συνεχή στο διάστημα [0,2], για την

οποία ισχύει

f (x) + 2f (2 – x) = x3 + x , για κάθε x[0,2].

(i) Nα βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της συνάρτησης

G (x) =

x

0

f ( t ) dt στο σημείο της Μ(2 ,G(2)).

ΜΟΝΑΔΕΣ 3

(i i) Nα αποδείξετε ότι υπάρχει ξ ,x0(0,2):

0

f (x) dx

= 2 – ξ και (2 – ξ)f (x0) = ξ .

ΜΟΝΑΔΕΣ 6

KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ