ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΟΜΟΔΟΥΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2011 – 2012

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2012ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β΄ΛΥΚΕΙΟΥ

Χρόνος : 2:30΄ Ημερομηνία : 28/05/2012

ΟΔΗΓΙΕΣ: Να γράφετε μόνο με μπλε πέννα (τα σχήματα με μολύβι). Δεν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υγρού. Το γραπτό αποτελείται από 5 σελίδες. Επιτρέπεται η χρήση μη προγραμματιζόμενης υπολογιστικής μηχανής. Χορηγείται τυπολόγιο Μαθηματικών.

ΜΕΡΟΣ Α΄: Από τα 15 θέματα να απαντήσετε ΜΟΝΟ σε 12. Κάθε θέμα βαθμολογείται με 5 μονάδες στις 100.

1. Να αναλύσετε το κλάσμα σε άθροισμα απλών κλασμάτων.

2. Να βρείτε τα όρια: (α)

(β) 3. Να βρείτε την πρώτη παράγωγο των πιο κάτω συναρτήσεων με τύπους:

(α)

(β)

4. Να αποδείξετε την ταυτότητα .

5. Να λύσετε την εξίσωση .

1

6. Ο 6ος όρος αριθμητικής προόδου είναι 21 και το άθροισμα του 10ου και 11ου όρου της είναι 87. Να βρείτε το άθροισμα των 11 πρώτων όρων της προόδου. 7. Κανονική τετραγωνική πυραμίδα έχει παράπλευρο ύψος και εμβαδόν

παράπλευρης επιφάνειας .

Να υπολογίσετε τον όγκο και το εμβαδόν ολικής επιφάνειάς της πυραμίδας.

8. Αν , με , να αποδείξετε ότι .

9. Θεωρούμε τη συνάρτηση με τύπο .

Να λύσετε την εξίσωση .

10. Να λύσετε στο διάστημα την εξίσωση .

11. Θεωρούμε τα μη μηδενικά διανύσματα και , .

Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα και είναι κάθετα

12. Να λύσετε την εξίσωση .

13. Η ευθεία που περνά από το σημείο και έχει κλίση τέμνει τον άξονα των y στο

σημείο Β. Συμβολίζουμε το εμβαδόν της επιφάνειας που παράγεται από την πλήρη

περιστροφή του ευθύγραμμου τμήματος γύρω από τον άξονα των x και το εμβαδόν της επιφάνειας που παράγεται από την πλήρη περιστροφή του ευθύγραμμου

2

τμήματος γύρω από τον άξονα των y. Να αποδείξετε ότι .

14. Κύλινδρος έχει ακτίνα βάσης και ύψος . Κώνος έχει ακτίνα βάσης και ύψος . Αν ο όγκος του κυλίνδρου είναι τριπλάσιος από τον όγκο του κώνου και η κυρτή επιφάνεια του κυλίνδρου είναι διπλάσια της κυρτής επιφάνειας του κώνου, να αποδείξετε ότι η

γενέτειρα του κώνου είναι ίση με .

15. Σε κύκλο παίρνουμε διαδοχικές χορδές και .

Να αποδείξετε ότι: (α)

(β) Το εμβαδόν του τριγώνου είναι .

( Δίνονται: και )

ΜΕΡΟΣ Β΄: Από τα 6 θέματα να απαντήσετε ΜΟΝΟ σε 4. Κάθε θέμα βαθμολογείται με 10 μονάδες στις 100.

1. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο και πεδίο ορισμού το

(α) Να βρείτε το πεδίο τιμών (β) Να αποδείξετε ότι η είναι «ένα προς ένα» (γ) Να ορίσετε την αντίστροφη συνάρτηση της .

2. Δίνεται η καμπύλη (κ) : με .

i) Να αποδείξετε ότι .

3

ii) Να βρείτε το σημείο της (κ) στο οποίο η εφαπτομένη (ε) είναι κάθετη στην

ευθεία (δ) :

iii) Να βρείτε την εξίσωση της (ε).

3. Δίνονται τα σημεία και . Να προσδιορίσετε σημείο της ευθείας

, ώστε το τρίγωνο να έχει εμβαδόν 3 τετραγωνικές μονάδες.

4. Στο διπλανό σχήμα δίνονται οι κύκλοι

και που εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο Δ. Αν ΑΒ το κοινό εξωτερικό εφαπτόμενο τμήμα τους και η κοινή εφαπτομένη των δυο κύκλων στο Δ τέμνει το ΑΒ στο σημείο Γ, να αποδείξετε ότι

,

όπου το εμβαδόν του μικτόγραμμου

τριγώνου ΑΓΔ και το εμβαδόν του μικτόγραμμου τριγώνου ΒΓΔ.

5. Ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με υποτείνουσα

ΒΓ=2cm και γωνία περιστρέφεται πλήρη στροφή περί άξονα xΑy , που σχηματίζει με κάθε μια από τις κάθετες

πλευρές ΑΒ και ΑΓ γωνία (σχήμα).

yx

Γ

Α

Β

3ρρ

Γ

Β

ΛΚ Δ

Α

4

Να υπολογίσετε τον όγκο και την ολική επιφάνεια του στερεού που παράγεται.

6. Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση , να αποδείξετε ότι οι πλευρές του αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου.

Διευθυντής

Ιωάννου Παντελής

5