Ευκλειδης Β 16

[ii]�rPO@lΔ\0� ο !ΙΌ& 'i.J'@

&'Wιλ\�[@

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Τι είvαι σημεία; Τι είvαι ευθεία; .............. ........................................................................... 3 Ισαηεριμεφικά Προβλήματα ............. ....................................... ........................................ 12 Α· Λυκείου Άλγεβρα. Γεvικ� Ασ_!<ήσεις ········ · · · · · · · :::····.::··················· ································ 16 Ασκήσεις σε φίγωvο ΑΒΓ (Β > Γ) με τη διαφορά Β- Γ .................................................. 22 Η βοηθητική ευθεία ........................................................................................................ 28 Ασκήσεις Άλγεβρας Β' Λυκείου ....................................... ............................................... 30 Γεωμετρία Β· Λυκείου (Ασκήσεις Εηαvάληψης) ............................................................... 33 Τετράεδρο- Πυραμίδα ................................................................................................... 38 Άρτιες- Περιπές- Περιοδικές Συναρτήσεις στοv Ολοκληρωμαηκό Λογισμό .................. 42 Έvα "ΠΛΕΚΤΟ" με τέσσερεις συναρτήσεις ..................................................................... 50 Συvαρτήσεις ηου ορίzοvται με ολοκληρώματα και μια ηροσέγγιση mς lnx ως εμβαδού .......... ..

Μιγαδικοί αριθμοί ....... ..... ....... ................................ .... ................................................... 56 Προβλήματα Πιθαvοτήτωv ......... ....................................................... .............................. 60 Σης ασκήσεις λέμε "ΝΑΙ" ! ............................................................................................ 62 Αλληλογραφία ........................................... ...................................................................... 63

Έκδοση της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας Υπεύθυνοι Σύνταξης: Παπαδόπουλος Νίκος, Τυρλής Γιάννης.

Συντακτική Επιτροπή: Βακαλόπουλος Κώστας, Βλαχάκης Γιάννης, Γεωργακόπουλος Κώστας, Γράψας Κώστας, Δαμιανός Πέτρος, Δούναβης Αντώνης, Καμπούκος Γιώργος, Καρακατσάνης Βασίλης, Κατσούλης Γιώργος, Κηπουρός Χρήστος, Κοvτογιάννης Δημήτρης, Κοτσιφάκης Γιώργος, Κυριακόπουλος Θανάσης, Λαμπρόπουλος Τάσος, Μαλαφέκας Θανάσης, Μώκος Χρήστος, Σα'fτη Εύα, Σκούρας Θανάσης, Τούρλας Λεωvιδας, Τσικαλουδάκης Γιώργος.

Επιμέλεια Έκδοσης: Μαραγκάκης Σ.

Σχήματα: Μαραγκάκης Σ.

Φιλολογική Επιμέλεια: Γεωργούδη Μ.

Συνεργάστηκαν: Τουμάσης Μπάμπης, Καλίκας Σταμάτης, Παπαϊωάννου Α., Μαδεμτzόγλου Ι., Σταυρόπουλος Σταύρος, Φωηάδης Γρηγόρης, Λαzαρίδης Χρήστος, Ρεκούμης Παναγιώτης, Λογοθέτης Ηλίας, Ντρίzος Δημητρής, Χριστόπουλος Παναγιώτης, Χρίστοπουλος Θανάσης, Μπουνάκης Δημήτρης.

ΙΔΙΟΚΤΗΤΗΣ: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ ΊΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου 34-Αθήνα 106 79 Τηλ. 36 16 532-36 17 784- FAX: 36 41 025 ISSN 1105-8005 Εκδότης: Ν. Αλεξανδρής Διεvθvντής: Κ. Σάλαρης

ΣΥΝΔΡΟΜΕΣ: Τεύχος: Ετήσια συνδρομή: Οργανισμοί: Εξωτερικού Ταχ. Επιταyές

350 δρχ. 1.600 δρχ. 3.000 δρχ.

40$ Τ. Γραφείο Αθήνα 54, Τ.Θ. 30044

11 Δύο ερωτήματα

βρίσκουν

απαντήσεις

Καλή Επιτυχία στις

Εξετάσεις σας!

Οι ασκήσεις του Ευκλείδη Β· απαραίτητο βοήθημα στην

προσπάθειά σας

m Αναζητώντας το

μεγαλύτερο εμβαδό

Η mήλη "Ένα πρόβλημα πολλές λύσεις" συνεχίzεται mo 1ο τεύχος 1995-96

Τα θέματα της Μαθηματικής Ολυμπιάδας 1995

θα δημοσιευθούν mo 1ο τεύχος 1995-96

Φωτοστοιχειοθεσία Σελιδοποίηση: "ΚΛΕΙΝΙΑΣ ΕΠΕ"

Γορδίου 1, Τ.Κ. 17 121 Αθήνα-Τηλ. 93 34 930 Εκτύπωση: ΙΝΥΕΡΠΡΕΣ Α.Ε., Ιερά οδός 81 - 83 Υπεύθ. Τυπογραφείου: Ν. Αδάκτυλος -τηλ. 34 74 654

Καθώς ξεφύλλιzα ένα παλιό τεύχος του Ευκλείδη Β' και συγκεκριμένα το τεύχος 3 του 1989, έπεσε το μάη μου στη στήλη της αλληλογραφίας (σελ. 59), όπου δυο μαθήτριες από τη Θεσσαλονίκη έθεταν δυο πολύ σημανηκά ερωτήματα, που είχαν σχέση με τη βαθύτερη κατανόηση των δύο αρχικών γεωμετρικών εννοιών, του σημείου και της ευθείας. Τα ερωτήματα ήταν τα εξής:

α. Παραδεχόμαστε πως η ευθεία αποτελείται από άπειρα σημεία. Η ευθεία όμως έχει μια διάσταση, το μήκος. Η εύλογη απορία λοιπόν που προκύmει είναι πώς από το τίποτα - που είναι το σημείο, αφού δεν έχει διαστάσεις - προκύmει το κάη - δηλαδή η ευθεία με μια διάσταση - και κατ' επέκταση οποιοδήποτε άλλο σημειοσύνολο.

β. Παραδεχόμαστε όη η ευθεία εκτείνεται απεριόριστα και αποτελείται από άπειρα σημεία. Πώς όμως μπορούμε να παραδεχτούμε το ίδιο για το ευθύγραμμο τμήμα, το οποίο έχει καθορισμένα άκρα, δηλαδή αρχή και τέλος, συνεπώς ορισμένο μήκος, κι αν τα θεωρούμε άπειρα, επειδή δεν είναι δυνατόν να τα μετρήσουμε, γιατί δεν είναι δυνατή η μέτρηση τους;

Απλά, πράγμαη, ευi'.ογοφαvή ερωτήματα, που όμως έχουν να κάνουν με την καρδιά των μαθημαηκών, με τα θεμέλιά τους, με τον τρόπο που αυτά δημιουργούνται και αναmύσσονται και επομένως δεν είναι εύκολο να δοθεί αντίστοιχα μια απάντηση απλή όσο και κατανοητή σε άτομα μη μυημένα στη βαθιά μαθημαηκή σκέψη, όπως οι δυο μας μαθήτριες. Όμως αυτό ακριβώς το γεγονός αποτελεί και μια δυνατή πρόκληση για κάθε δάσκαλο, ο οποίος θεωρεί καθήκον του και υποχρέωση συνάμα να εκλαϊκεύει την επιστήμη του, προσαρμόzοντας τη διδασκαλία του στο αντιληmικό επίπεδο κάθε φορά των μαθητών του. Εξάλλου, ο μεγάλος παιδαγωγός J. Bruηer, ισχυριzόταν όη μπορούμε να διδάξουμε οηδήποτε σε οποιονδήποτε αρκεί να το κάνουμε με έναν έντιμο τρόπο, σεβόμενοι ης ιδιαιτερότητες του ατόμου και λαμβάνοντας υπόψη το γνωστικό του επίπεδο. Η απάντηση πάντως του Ευκλείδη Β' στα ερωτήματα αυτά ήταν: ''Αφήνουμε τα ερωτήματα και στους αναγνώστες μια και το θέμα παρουσιάzει ιδιαίτερο ενδιαφέρον" .

An' όσο έψαξα στα επόμενα τεύχη δε βρήκα πουθενά κάποια απάντηση, γεγονός που με παρακίνησε να γράψω το μικρό αυτό άρθρο, όχι τόσο πολύ από την επιθυμία να απαντήσω - αν μπορεί να χρησιμοποιηθεί αυτή η λέξη και μάλιστα με καθυστέρηση 5 χρόνων - όσο από την ανάγκη να ξεκαθαρίσω και εγώ μέσα μου τις έννοιες αυτές και να βάλω σε μια τάξη τα zητήματα, ακόμη και τις παραδοξολογίες αν το θέλετε, που προκύmουν από την πολυσήμαντη φύση των εννοιών αυτών. Αξίzει πάντως να σημειωθεί όη στο ίδιο ακριβώς τεύχος υπάρχει ένα πολύ κατατοπιστικό άρθρο του κ. Δ. Τ σιμπουράκη με τίτλο 'Ή Μάχη της Αρχαίας Ελληνικής Γεωμετρίας με το Άπειρο" , που καταπιάνεται, ως ένα σημείο, με τα ερωτήματα αυτά και αναmύσσει έναν πλούσιο προβλημαησμό γύρω από τα ερωτημαηκά και τα παράδοξα, που δημιουργήθηκαν από ης διαφορετικές αντιλήψεις των αρχαίων Ελλήνων γεωμετρών σχετικά με ης έννοιες του σημείου και της ευθείας. Παρακάτω θα χρησιμοποιήσουμε ορισμένες από ης πληροφορίες που περιέχονται στο άρθρο αυτό.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' κη. τ. 4/3

Τι είναι σapεfo; Τι είναι ε"βεfα;

Τι είναι το σnpείο;

Τ ο σημείο είναι θεμελιώδης ορχική έννοια στην aξιωματική θεμελίωση της Ευκλείδειος γεωμετρίας και περιγράφεται οπό τον Ευκλείδη με τον πρώτο οπό τους εικοσηρείς ορισμούς, που ποροθέrει συνολικά στην aρχή του βιβλίου Ι των "Στοιχείων" του. "Σημείόν εστιν ο-δ μέρος οΜέν". Δηλαδή, Σημείον είναι εκείνο το οποίο δεv έχει μέρος, δεν έχει διαστάσεις. Έτσι aυτό που λέει στην ουσία ο Ευκλείδης είναι ότι ένα σημείο δεν έχει ούτε μήκος ούτε πλάτος ούτε πάχος. Με άλλο λόγιο είναι ένα άυλο aντικείμενο. Η άποψη aυτή δημιουργεί ομολογουμένως ένα ισχυρό σοκ στον αθώο μελετητή της γεωμετρίας, γιατί έρχεται σε πλήρη aντίθεση με mν κοινή του αίσθηση, με τη διαίσθησή του περί σημείου. Αυτή ακριβώς η διαισθητική του aντίληψη θέλει το σημείο να μοιάzει με μια πάρα πολύ μικρή σφαίρα, η οποίο έχει μια τόσο πολύ μικρή διάμετρο, που θα ·

μπορούσε κάλλιστο να αγνοηθεί στην πράξη, όπως γιο παράδειγμα, οι χημικοί αγνοούν τη διάμετρο, ενός πρωτονίου ή ενός ηλεκτρονίου, που είναι περίπου της τάξεως του χιλιοστού του δισεκατομμυριοστού του εκοτοστομέrρου. Αυτή ακριβώς η διαισθητική aντίληψη δημιουργεί και το βασικό δίλημμα που εκφράzετοι στο ερώmμο (ο) , που είναι ερώτημα όχι μόνο των δυο μας μαθητριών αλλά και όσων μυούνται γιο πρώτη φορά στην aξιωματική Ευκλείδειο γεωμετρία. Πώς είναι δυνατόν, δηλαδή, ακόμη και ένας άπειρος aριθμός άυλων σημείων, με μήκος μηδέν, να προστίθεται και να μας δίνει ένα ευθύγραμμο τμήμα μήκους π.χ. 1Μ. Έτσι δημιουργείται το παράδοξο του σχήματος 1 .

lM

0+0+0+0+0+ . . . =1

Σχήμα 1 Εξάλλου, εάν το σημείο είναι άυλο, τότε μεταξύ δύο σημείων, οσοδήποτε κοντινών, θα υπάρχουν πάντα

και άλλο σημείο, κάτι που μας οδηγεί στο ότι δεν υπάρχουν γειτονικά σημείο. ·Και aφού δεv υπάρχουν γειτονικά σημείο, πώς θα τοποθετηθούν το ένα δίπλα στο άλλο γιο να δώσουν το ευθύγραμμο τμήμα. Πώς είναι δυνατόν, επίσης, να εφάmοντοι δυο κύκλοι στο σημείο Α, aφού ανάμεσα στο σημείο επαφής του πρώτου κύκλου με κέντρο Κ και το aντίστοιχο του δεύτερου κύκλου με κέντρο Λ, θα υπάρχουν και άλλο σημείο; (οχ. 2).

Σχήμο2 Οδηγούμαστε, επομένως, σε ένα κατ' aρχήν διαισθητικό μπέρδεμα. Το κοινό μας αίσθημα, που δημι

ουργείται οπό τις καθημερινές μας εμπειρίες, δε συμβιβάzετοι με τον ορισμό του άυλου σημείου, του σημείου χωρίς διαστάσεις. Όμως τι γίνεται με τη λογική μας; Ο ορισμός του άυλου σημείου δημιουργεί και λογικό μήπως μπέρδεμα; Δημιουργεί μήπως λογική aντίφαση; Κατά μια πρώτη άποψη ναι. Και η aντίφαση είναι η εξής, σύμφωνο με το πνεύμα της ερώτησης (ο): "Αφού το ευθύγραμμο τμήμα μήκους 1Μ οπορτίzετοι οπό σημείο και κάθε σημείο έχει μηδενικό μήκος, τότε εάν το προσθέσουμε, πρέπει να μας δώσουν ολικό μήκος του ευθύγραμμου τμήματος μηδέν και όχι 1Μ" .

Ας εξετάσουμε όμως κάπως πιο aυστηρά το παραπάνω επιχείρημα. Γιατί άραγε, οπό το γεγονός ότι κάθε σημείο έχει μηδενικό μήκος, θα έπρεπε να συμπεράνει κάποιος ότι ολόκληρο το τμήμα θα έχει μήκος μηδέν; Η κοινή αίσθηση - διαίσθηση - εvώ aποτελεί, είναί αλήθεια, την πιο γόνιμη και δημιουργική πηγή των aφηρημένων μαθηματικών ιδεών, εντούτοις δεv τουτίzετοι με τη μαθηματική δημιουργία, δεν οπορτίzει ολόκληρο


Τι είναι σapείο; Τι είναι εv8εία;

το διανοητικό εξοπλισμό της μαθηματιής σκέψης. Λειτουργεί απλώς συμπληρωματικά με τη λογική, η οποία σε τελευταία ανάλυση ελέγχει τα επιτεύγματα της πρώτης. Η ιστορία των Μαθηματικών έχει να επιδείξει εκατοντάδες παραδείγματα, όπου η διαίσθηση από μόνη της οδήγησε σε παραπλανητικά αποτελέσματα και χρειάστηκε ο συνδυασμός και των δυο για να υπάρξει πρόοδος. Πολλές φορές ακόμη η λογική χρειάστηκε να πάει κόντρα στη διαίσθηση για να δημιουργήσει λαμπρά επιτεύγματα όπως, για παράδειγμα, οι μη Ευκλείδειες γεωμετρίες που τόσο πολύ βοήθησαν στην ανάmυξη της μοντέρνας φυσικής.

Για να γίνουμε όμως πιο σαφείς θα αναφέρουμε δυο παραδείγματα, ένα από την άλγεβρα και ένα από τη γεωμετρία όπου η πραγματικότητα αποκλίνει από τη διαίσθηση.

Dαράδειypα I: Θεωρούμε το σύστημα:

(Σι): { 3,6χ + 5,2y = 8,8 3,3χ + 4,8y = 8,1

του οποίου η λύση είναι προφανώς χ = 1, y = 1 . Ας πάρουμε τώρα το σύστημα

(Σz): { 3,6χ + 5,253y: 8,8 3,29χ + 4,8y- 8,1

το οποίο προκύmει από το (Σι) με μια ελαφρά τροποποίηση δύο μόνο συντελεστών κατά 0,053 και 0,01. Πόσο επηρεάzει άραγε αυτή n αλλαγή το μέγεθος της λύσης; Η διαίσθηση λέει ότι η λύση του δευτέρου συστήματος (Σ2) ελάχιστα θα διαφέρει από τη λύση του (Σι). δηλαδή, θα είναι περίπου χ= 1 , y = 1 . Κι όμως δεν είναι έτσι!! Η λύση του τροποποιημένου συστήματος (Σ2) είναι περίπου χ=- 83,59, y = 56,21 και απέχει πολύ από τη λύση του αρχικού.

Dαράδειypα 2: Στο σχήμα 3α, το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ σταθερού μήκους l κινείται έτσι, ώστε τα άκρα του Α και Β να

βρίσκονται πάνω στους θετικούς ημιάξονες ΟΧ και ΟΨ ενός ορθογωνίου συστήματος. Μπορείτε να προβλέψετε τι είδους καμπύλη θα διαγράψει το μέσο Μ του ΑΒ;

ψ ψ ψ

Β Β • •

Μ • • •

•• • •••

χ χ χ

ο Α ο ο Α (α) (β) (γ)

Σχήμα 3 Η απάντηση των περισσοτέρων σ' αυτή την ερώτηση θα είναι ότι το Μ θα διαγράψει μια καμπύλη όπως

αυτή του σχήματος 3β, παρασυρόμενοι προφανώς από την απλή παρατήρηση. Κι όμως αφού ΟΜ = ΑΒ/2 = l/2, το Μ απέχει πάντα σταθερή απόσταση από την αρχή των αξόνων Ο. Επομένως, θα διαγράφει ένα τεταρτοκύκλιο κέντρου Ο και ακτίνας l/2 (σχ. 3γ).

Ξαναγυρίzοντας στο αρχικό μας θέμα θα λέγαμε ότι υπάρχουν δύο τύποι σκέψεων: η διαισθητική, η οποία αντλεί το υλικό της από την κοινή παρατήρηση, την εμπειρία και τη φαντασία και η λογική σκέψη, η οποία ξεκινά από παραδοχές κοινώς αποδεκτές και με τη βοήθεια των κανόνων της συμπερασματολογίας, καταλήγει σε άλλες αληθινές προτάσεις. Στην περίmωσή μας, το βασικό επιχείρημα του ερωτήματος (α) βασίzεται περισσότερο στη διαίσθηση παρά στη λογική για τον κύριο λόγο ότι η κεντρική του ιδέα είναι ότι το μήκος ενός ευθύγραμμου τμήματος είναι κάποιος μαθηματικός συνδυασμός, το άρθοισμα θα λέγαμε, των μηκών των σημείων από τα. οποιά απαρτίzεται. Όμως στα μαθηματικά υπάρχουν πάντα περιορισμοί στις μεθόδους και στις


Τι εivαι σnpεio; Τι εivαι εuθεiα;

τεχvικές που χρπσιμοποιούνrαι. Δεv είvαι δυvατόv, για παράδειγμα, va προσθέσεις nόvra μια συλλογή από μη πεπερασμέvα ανrικείμεvα, ποίΊύ δε περισσότερο τα άπειρα σημεία εvός ευθύγραμμου τμήματος. Η γvωστή απλή πράξη της πρόσθεσης, όπως και του πολλαπλασιαμού άλλωστε, μπορεί va εφαρμοστεί μόvο σε έvα πεπερασμέvο πλήθος όρωv.

Υπόρχουv, βέβαια, κάποιες εξαιρέσεις, όπου έχει vόημα το άθροισμα απείρωv όρωv, όπως, για παράδειγμα, γvωρίzουμε στηv περίmωση του αθροίσματος τωv απείρωv όρωv μιας γεωμετρικής προόδου με λόγο λ, lλl<1. Στηv περίmωση αυτή έχουμε ότι

S = οι + a2 + α3 + . . . = �. όπως π.χ. S = 1 + 1 + 1 + .l + . . . = 3.. 1 - λ 3 9 27 2

Η ιδιομορφία της περίmωσης αυτής έγκειται στο ότι οι άπειροι όροι της γεωμετρικής προόδου απαρτίzουv έvα άπειρο, το οποίο οι μαθηματικοί οvομόzουv aριθμήσιμο 6πειρο και είvαι σαφώς "μικρότερο" από το άπειρο του συvόλου τωv πραγματικώv αριθμώv. Ο μεγάλος Γερμαvός μαθηματικός Κανrόρ (G. Caηtor, 1845 - 1919), έvας από τους θεμελιωτές της θεωρίας Συvόλωv, ήταv ο πρώτος που ασχολήθηκε συστηματικό με τα μεγέθη τωv απειροσυvόλωv. Έvα σύvολο λοιπόv Σ λέμε ότι είvαι aριθμήσιμο, όταv μεταξύ τωv στοιχείωv του Σ και τωv στοιχείωv του συvόλου τωv φυσικώv αριθμώv ΙΝ υπάρχει μια αμφιμοvοσήμανrη ( 1-1) ανrιστοιχία. Έτσι το σύvολο Α τωv όρτιωv φυσικώv αριθμώv είvαι aριθμήσιμο, αφού σε κάθε στοιχείο v Ε ΙΝ ανrιστοιχούμε το 2v Ε ΙΝ.

Α = {2, 4, 6, 8, 10, 12, .. . 2v, ... } �� ΙΝ = {1 , 2, 3, 4, 5 , 6, v, ... }

Πολλά άπειρα σύvολα είvαι aριθμήσιμα, αλλά όχι όλα. Τ ο σύvολο τωv ρητώv. Q αποδεικvύεται ότι είvαι aριθμήσιμο, εvώ το σύvολο τωv αρρήτωv IR-Q ή το σύvολο τωv πραγματικώv IR δεv είvαι, αφού δεv είvαι δυvατόv va τεθούv σε ανrιστοιχία ( 1-1) με τους φυσικούς αριθμούς. Για το μέγεθος του συvόλου τωv φυσικώv αριθμώv, καθώς και οποιουδήποτε άλλου aριθμήσιμου απειροσυvόλου, ο Κανrόρ υιοθέι:ησε το σύμβολο !'\0, που διαβόzεται όλεφ-μηδέv ( !'\ είvαι το πρώτο γράμμα του Εβραϊκού αλφαβήτου). Στα απειροσύvολα λοιπόv δεv ισχύει αυτό που ισχύει στα πεπερασμέvα σύvολα, όπου έvα γvήσιο υποσύvολο εvός συvόλου έχει μικρότερο πλήθος στοιχείωv από το αρχικό σύvολο. Εδώ μολοvότι, για παράδειγμα, ACIN τα Α και ΙΝ έχουv το ίδιο πλήθος στοιχείωv Χ0• Τ ο μέγεθος του συvόλου IR εκφρόzεται με τοv αριθμό C (C είvαι το αρχικό γράμμα της Αγγλικής λέξης coηtiηuous, που σημαίvει συvεχές) . Το μέγεθος C είvαι μεγαλύτερο από το μέγεθος !'\0 με τηv έννοια ότι υπάρχει μια ανrιστοιχία ( 1-1) μεταξύ του ΙΝ και μέρους του IR, αλλά όΧΙ και το ανrίστροφο. Επομέvως μπορούμε va γράφουμε C > !'\0, όπως ακριβώς γράφουμε 8 > 5 . Ο Κανrόρ απέδειξε ότι εκτός από το !'\0 και το C υπόρχουv άπειρα στο πλήθος τέι:οια μεγέθη, που εκφρόzουv πληθυκούς αριθμούς απειροσυvόλωv. Τα μεγέθη αυτό ovoμόzovraι υπερπερασμέvοι αριθμοί.

Στο βασικό λοιπόv επιχείρημα του ερωτήματος (α) εvόνrια στηv αποδοχή τωv όυλωv σημείωv, γίvεται μια λαvθασμέvη παραδοχή η οποία βασίzεται καθαρό στη διαίσθηση, αφού επεκτείvεται αβασόvιστα η πρόσθεση μεταξύ πεπερασμέvωv αριθμώv, στηv πρόσθεση μιας συλλογής όπειρωv σημείωv. Όταv αvαφερόμαστε σε μήκη τωv σημείωv τα οποία συvεvώvονrαι μαθηματικώς στο μήκος του ευθύγραμμου τμήματος, η αριθμητική πράξη της πρόσθεσης πόvω στηv οποία βασίzεται ο συλλογισμός αυτός απλώς δεv έχει vόημα, γιατί αποδεικvύεται, όπως θα δούμε παρακάτω, ότι το άπειρο του συvόλου τωv σημείωv εvός ευθύγραμμου τμήματος έχει το μέγεθος του συvεχούς c και επομέvως δεv είvαι aριθμήσιμο.

Ας δούμε όμως το θέμα μας και από μια άλλη οmική γωvία. Ας πάρουμε, για παράδειγμα, έvav ηλεκτροvικό υπολογιστή. Ο υπολογιστής αποτελείται αφεvός από έvα πολύπλοκο δίκτυο ηλεκτρικώv κυκλωμότωv και στοιχείωv απ' όπου περvό μια σύvθετη ακολουθία πλεκτρικώv παλμώv. Αυτό το ηλεκτρομηχαvιl(ό επίπεδο περιγραφής οvομόzεται hardware (μηχαvικός, υλικός εξοπλισμός). Από τηv άλλη μεριά, έχουμε προγράμματα, χειρισμούς, συμβολικές γλώσσες, αλγόριθμους κ.λπ. που συvιστούv έvα δεύτερο επίπεδο περιγραφής, που οvομόzεται software (λογισμικό) . Το αποτέλεσμα της λειτουργίας του υπολογιστή, για παράδειγμα, η επίλυση μιας μαθηματικής εξίσωσης είvαι το αποτέλεσμα της συvδυασμέvης, συλλογικής δράσης και τωv δυο επιπέδωv και δεv μπορεί va αποδοθεί μόvο στη μια από τις δυο λειτουργίες. Και οι δυο περιγραφές, η μηχαvική και η λογισμική, εκθέι:ουv αυτό που συμβαίvει στο εσωτερικό του υπολογιστή· καθεμιά είvαι συvεπώς στο δικό της πλαίσιο, εvώ βρίσκονrαι σε ενrελώς διαφορετικό επίπεδα vόησης.

Ίσως, τώρα, έvα ευθύγραμμο τμήμα va μοιόzει με έvav ηλεκτροvικό υπολογιστή με δυο βασικό συστατικό ή επίπεδα περιγραφής, τα σημεία και τη συvεχή διευθέι:ησή τους. Όπως ακριβώς δεv μπορεί καvείς va μας πει ποιο ακριβώς επίπεδο περιγραφής (μηχαvικό ή λογισμικό) του υπολογιστή ευθύvεται περισσότερο για τηv

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' κπ. τ. 4/6

Τι είvαι σapείο; Τι είvαι ειιβεία;

επίλυση της μαθηματικής εξίσωσης, έτσι δεν μπορεί κανείς να μας πει ποιο επίπεδο περιγραφής του ευθύγραμμου τμήματος (σημεία ή συνεχής διευθέτησή τους) ευθύνεται περισσότερο για το χαρακτηριστικό, που εμφανίzεται ως μήκος του ευθύγραμμου τμήματος. Αν, για παράδειγμα, τα άπειρα σημεία που αποτελούν ένα ευθύγραμμο τμήμα μήκους lM τα "ρίχναμε" με κάποιο τυχαίο τρόπο πάνω στην επιφάνεια ενός τετραγώνου διαστάσεων lxl (σχ. 4) , αντί να τα διευθετούμε ευθύγραμμα, κατά μια διεύθυνση, τότε πώς θα μετρούσαμε το μήκος τους; Ασφαλώς μια οποιαδήποτε διαδικασία μέτρησης του μήκους τους δε θα είχε νόημα.

Επομένως, δεν είναι μόνο τα σημεία που συνεισφέρουν στο φαινόμενο του μήκους ενός ευθύγραμμου τμήματος, αλλά και η διευθέτησή τους κατά ένα συνεχή τρόπο και μια συγκεκριμένη διεύθυνση. Η αριθμητική πρόσθεση λοιπόν των διαστάσεων των σημείων είναι ανεπαρκής από μόνη της να αποδώσει το μήκος, επειδή βασικά δε λαμβάνει υπόψη της τη συνεχή διευθέτηση, δηλαδή, τη γεωμετρική πλευρά.

1

1

Σχήμα 4 Έτσι καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι το ερώτημα (α) περιγράφει ένα διαισθητικό επιχείρημα, το οποίο

βασίzεται πάνω στην κοιvή μας αντίληψη σχετικά με την έννοια του σημείου, ενώ στην ουσία δε δημιουργείται καμιά λογική αντίφαση, καμιά παραδοξολογία. Στην πραγματικότητα δεν παραβιάzεται καμιά λογική αρχή και αυτό είναι που μετράει περισσότερο στα μαθηματικά. Αλλά ούτε και για τον ίδιο τον Ευκλείδη το επιχείρημα του ερωτήματος (α) φαίνεται να δημιουργούσε κάποιο πρόβλημα. Αυτή η άποψη ενισχύεται από το γεγονός ότι την εποχή του (γύρω στο 300 π.χ.) υπήρχαν μόνο θετικοί αριθμοί, δεν είχε νόημα το μηδέν. Το μηδέν ως αριθμητικό σύμβολο χρηmμοποιήθηκε πολύ μεταγενέστερα από τους Ινδούς μαθηματικούς. Επομένως ισχυριzόμενος ότι το σημείο δεv έχει διαστάσεις δεν εννούσε αυτό που αντιλαμβανόμαστε ίσως σήμερα, ότι, δηλαδή, έχει ένα μήκος, αλλά το μήκος είναι μηδέν. Για τον Ευκλείδη, το σημείο δεν είχε μήκος όπως, για παράδειγμα, η αρεrή δεv έχει χρώμα ή όπως η καρέκλα δεν έχει εντιμότητα.

rιατί ο Εvκλείδaς οροτίpaσε το άvΑο σaμείο;

Το πιο πιθανό είναι οι πρώτοι γεωμέτρες να αντιλαμβάνονταν το σημείο σαν ένα aπείρως μικρό τμήμα της ύλης, το οποίο δεν μπορεί να διαιρεθεί παραπέρα και η επανάληψη του οποίου γεννούσε τις γραμμές, τα σχήματα, τις επιφάνειες. Η ατομική θεωρία που αναmύχθηκε από τον Λεύκιππο και το μαθητή του Δημόκριτο στα μέσα του Sου αιώνα π.χ., θα μπορούσε να ενισχύσει αυτήν την άποψη. Ωστόσο, υπάρχουν μαρτυρίες ότι η αποδοχή του σημείου ως άτομο, ως την aπείρως μικρή και άτμητη υλική οντότητα, δημιουργούσε ορισμένες θεωρητικές δυσκολίες. Για παράδειγμα, ποιο θα ήταν το μέσον ενός ευθύγραμμου τμήματος με άρτιο πλήθος σημείων; (σχ. Sa) . Ή ποιο θα ήταν το μέσον ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΓ το οποίο είναι το αποτέλεσμα της πρόσθεσης δυο ίσων τμημάτων ΑΒ και ΒΓ; (σχ. 56).

===a:x:x:j==== Β

Α .__ _______ __. Γ I I

(α)

Σχήμα S ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κη; τ. 417

(6)

Τι είναι σapείο; Τι είναι ε\!βεία;

Α Β Γ Δ κ Λ

Σχήμα 6 Οι πρώτοι Πυθαγόρειοι (γύρω στα 500 π.χ.) πίστευαν (διαισθητική αντίληψη) ότι εάν δοθούν δυο ευθύ

γραμμα τμήματα ΑΒ και ΓΔ (οχ. 6), πάντα μπορεί να βρεθεί ένα κοινό μέτρο τους, δηλαδή, πάντα θα υπάρχει ένα άλλο ευθύγραμμο τμήμα ΚΛ το οποίο με την επανάλrιψή του μ φορές θα έδινε το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ και με την επανάληψή του ν φορές θα έδινε το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ. Δηλαδή, ΑΒ = μ · ΚΛ, ΓΔ = ν· ΚΛ, όπου μ,ν Ε .JNI'.

Η άποψη αυτή συνεπάγεται ότι ο λόγος δυο ευθυγράμμων τμημάτων θα είναι πάντα ένας ρητός αριθμός, αφού

ΑΒ = Αβ'ΚΛ = � ΓΔ ΓΔ'ΚΛ ν

Όταν όμως ανακαλύφθηκε το Πυθαγόρειο θεώρημα, διαπίστωσαν ότι ο λόγος του μήκους της διαγωνίου προς το μήκος της πλευράς ενός τετραγώνου είναι Γ2 και σύμφωνα με την άποψη τους θα έπρεπε ο Γ2 να είναι ρητός αριθμός. Αργότερα όμως αποδείχτηκε ότι ο Γ2 είναι άρρητος αριθμός, ένα γεγονός που οδήγησε στην αναθεώρηση της αρχικής, διαισθητικής θέσης των Πυθαγορείων ότι δυο ευθύγραμμα τμήματα έχουν πάντα ένα κοινό μέτρο. Άλλο ένα παράδειγμα όπου η λογική κυριαρχεί επί της διαίσθησης και αναθεωρεί τα συμπεράσματα της τελευταίας.

Ο Ευκλείδης, πολύ μεταγενέστερος των Πυθαγορείων, γvώριzε τον προβληματισμό γύρω από τις απόψεις των Πυθαγορείων και τον αριθμό Γ2 και του έμενε μια μόνο λογική δυνατότητα, να ορίσει, δηλαδή, το σημείο ως κάτι το οποίο δεν έχει διαστάσεις. Η συλλογιστική που οδήγησε τον Ευκλείδη σ' αυτόν τον ορισμό θα μπορούσε να ήταν κάπως έτσι: Εάν τα σημεία ήταν υλικά άτομα, τότε θα έμοιαzαν με πολύ μικρά σφαιρίδια των οποίων η διάμετρος, αν και εξαιρετικά μικρή, δε θα ήταν πάντως μηδέν. Ας υποθέσουμε ότι κάθε σημείοάτομο θα είχε την ίδια θετική διάμετρο δ. Για να επεξηγήσουμε καλύτερα το μοντέλο των σημείων-aτόμων που έχουμε στο νου μας, aς υποθέσουμε ότι εστιάzουμε το φακό ενός ισχυρού μικροσκοπίου σε ένα πολύ μικρό τμήμα του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ με σκοπό να δούμε τη δομή του. Αυτό που θα βλέπαμε θα έμοιαzε κάπως με το σχήμα 7.

ι; A .-----------e Β

Σχήμα 7

Έστω τώρα ότι ΑΒ = μ· δ, όπου μ είναι κάποιος φυσικός aριθμός ο οποίος aντιπροσωπεύει, θα λέγαμε, τον aριθμό των σημείων του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ. Εάν ΓΔ είναι ένα άλλο ευθύγραμμο τμήμα, τότε και aυτό σχημaτίzετaι aπό σημεία διαμέτρου πάλι δ, οπότε ΓΔ = ν · δ, όπου ν είναι κάποιος φυσικός aριθμός ο οποίος aντιπροσωπεύει παρομοίως τον aριθμό των σημείων του ευθύγραμμου τμήματος ΓΔ. Στη συνέχεια θα έχουμε

ΑΒ = Αβ'δ = � ΓΔ ΓΔ'δ ν

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κη. τ. 4/8

Τι είναι σnpείο; Τι είναι ειιθεία;

που σημαίνει ότι ο λόγος δυο οποιωνδήποτε ευθυγράμμων τμημάτων, άρα και της διαγωνίου προ την πλευρά ενός τετραγώνου, θα είναι πάντοτε ένας ρητός αριθμός. Και επομένως, οδηγούμαστε στο συμπέρασμα ότι και ο Γ2 θα είναι ρητός αριθμός!!! 'Ετσι είναι λογικό να καταλήξουμε στο συμπέρασμα ότι ο Ευκλείδης περιέγραψε το σημείο σαν κάτι το οποίο δεν έχει διαστάσεις, επειδή γvώριzε ότι ο Γ2 είναι άρρητος.

Τι είναι n εvθεία;

Ο Ευκλείδης περιγράφει την ευθεία με τον εξής ασαφή ορισμό 4 του βιβλίου 1: "Εύθεία γραμμή έστιν, ήτις, έξ' ϊσου τοίς έφ' έαυτής σημείοις κείται". Δηλαδή, ευθεία γραμμή είναι αυτή, η οποία κείται εξ' ίσου προς τα εφ' εαυτής σημεία!! Δύσκολο να καταλάβει κάποιος τι πραγματικά εννοούσε ο Ευκλείδης μ' αυτόν τον ορισμό. Εκείνο πάντως που καταλαβαίνουμε σε γενικές γραμμές, όταν χρησιμοποιούμε τη λέξη ευθεία είναι ένα σύνολο από σημεία, τα οποία είναι διευθετημένα κατά μια συγκεκριμένη διεύθυνση κάθε φορά, με ένα συνεχή τρόπο, χωρίς κεvά. Η υιοθέτηση των άυλων, χωρίς διαστάσεις σημείων, διευκολύνει πολύ τα πράγματα, γιατί επιτρέπει έτm κάτι πολύ σημαντικό· την ένα προς ένα (1-1) αντιστοιχία των σημείων μιας ευθείας με τα στοιχεία του συνόλου IR. Επειδή ακριβώς τα σημεία δεν έχουν διαστάσεις, δεν υπάρχουν στην ουσία γειτονικά σημεία, δηλαδή μεταξύ δυο σημείων, οσοδήποτε κοντά κι αν βρfσκονται, υπάρχει πάντα ένα ενδιάμεσο σημείο. Τ ο γεγονός αυτό έρχεται σε συμφωνία με τις ιδιότητες που αφορούν την πυκνότητα του 1R και επιτρέπει να aντιστοιχίσουμε έναν πραγματικό αριθμό γ, ο οποίος βρίσκεται μεταξύ των α και β σε ένα σημείο Γ της ευθείας το οποίο βρίσκεται μεταξύ των εικόνων Α και Β των αριθμών α και β αντιστοίχως ( σχ. 8) .

R = { f 6 � }

Α Γ Β (ε)

Σχήμα 8

Στην πράξη, βέβαια, μια ευθεία κατασκευάzεται με τη βοήθεια ενός χάρακα και ενός μολυβιού το οποίο σύρεται κατά ένα συνεχή τρόπο στην άκρη του χάρακα, χωρίς να σηκωθεί καθόλου από το χαρτί. Εάν φτιάξουμε μια τέτοια ευθεία γραμμή (ε) και εστιάσουμε το μικροσκόπιό μας σε ένα πολύ μικρό τμήμα της, θα δούμε ότι η ευθεία γραμμή αποτελεfrαι από κόκκους μελανιού, που το μέγεθός τους εξαρτάται, αφενός μεν από την ποιότητα του μελανιού, που διαμορφώνει τα μόρια που το συνθέτουν και αφετέρου από την υφή του χαρτιού σχεδίασης (σχ. 9).

I (ε)

Σχήμα 9

Όσο περισσότερο μεγενθύνουμε, τόσο μεγαλύτερα κενά θα παρατηρούμε μεταξύ των μορίων του μελανιού. Γενικεύοντας, θα λέγαμε ότι στο φυσικό χώρο όλες οι ευθείες γραμμές δεν μπορεί παρά να αποτελούνται

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κn. τ. 4/9

Τι είvαι σnpείο; Τι είναι εuθεία;

από πεπερασμένο πλήθος διακριτών σημείων, που στην καλύτερη περίπτωση μπορεί να είναι τα έσχατα σωματίδια της ύλης. Είμαστε αναγκασμένοι λοιπόν να παραδεχθούμε ότι όταν μιλάμε για ευθεία πρέπει να κάνουμε μια διάκριση μεταξύ της ιδεατός ό yεωμετρικός εvθείας και της φvσικός εvθείας.

Ιδεατό ό yεωμετρικό εvθεία: Αποτελείται από άυλα σημεία, διευθετημένα στην ίδια διεύθυνση κατά ένα συνεχή τρόπο, χωρίς κενά.

Φvσικό εvθεία: Αποτελείται από φυσικά σημεία, έσχατα σωματίδια της ύλης, τα οποία μπορεί να είναι άτομα ή υποατομικά σωματίδια, για παράδειγμα κουάρκς.

Για τον Ευκλείδη, αλλά και για όλους τους μαθηματικούς, οι μαθηματικές ιδέες δεν αντιπροσωπεύουν πιστά κάποια φυσικά αντικείμενα καθαυτά, αλλά έννοιες που δημιουργούνται από αυτά τα αντικείμενα με τη χρήση της δύναμης της αφαίρεσης. Στην πραγματικότητα, μερικές μόνον ιδιότητες των φυσικών αντικειμένων ανακλώνται στις αφηρημένες ιδέες που βασίzονται σ' αυτά. Έτσι η ιδέα της ευθείας γραμμής μπορεί να βασίστηκε στον τεντωμένο σπόγγο, όμως ούτε το χρώμα, ούτε το υλικό του σπόγγου είναι ιδιότητες της ιδεατής ευθείας. Η ιδεατή γεωμετρική ευθεία έχει ιδιότητες οι οποίες έρχονται σε συμφωνία με τις βασικές μαθηματικές .αρχές και γίνεται δυνατή η ( 1-1 ) αντιστοιχία των σημείων της με τα στοιχεία του συνόλου ffi των πραγματικών αριθμών. Η φυσική ευθεία απεναντίας είναι ένα φυσικό μοντέλο ερμηνείας της ιδεατής ευθείας.

Τ ο ερώτημα, βέβαια, τώρα που δημιουργείται είναι πόσο κοντά βρίσκεται το μοντέλο της φυσικής ευθείας με την έννοια της ιδεατής ευθείας. Πόσο καλά, δηλαδή, η ιδεατή ευθεία αντιπροσωπεύεται από το φυσικό της μοντέλο ή ακόμη σε ποιο βαθμό η ιδέα της ευθείας αντιπροσωπεύεται στην πραγματικότητα από τη φυσική ευθεία. Αν υποθέσουμε ότι η φυσική ή υλική ευθεία αποτελείται από υποατομικά σωματίδια, για παράδειγμα, πρωτόνια, μεσόνια, λεπτόνια, αδρόνια ή ακόμη και κουάρκς, τότε είναι δυνατόν να εφαρμοστούν οι αρχές της κβαντικής θεωρίας και να ερμηνευτεί η διπλή φύση της ευθείας.

τ α κουάρκς είναι οι μικρότερες δομικές μονάδες που γνωρίzουμε μέχρι σήμερα και βρίσκονται σ' έναν κόσμο 1015 φορές μικρότερο από τον κόσμο του ατομικού πυρήνα και αυτός ο κόσμος δεν είναι μακριά από το έσχατο όριο, όπου ο χώρος παύει να έχει νόημα. Τ α κουάρκς είναι ουσιαστικά χωρίς δομή θεμελιώδη σωματίδια-αντικείμενα σημειακά χωρίς εσωτερικά μέρη. Με τη βοήθεια της κβαντικής προοπτικής μπορούμε να πούμε ότι η αντιπροσώπευση της γεωμετρικής ευθείας από τη φυσική ευθεία είναι πολύ ικανοποιητική. Αυτό προκύπτει εάν αποδεχθούμε την ιδέα του κυματοσωματιδιακού δυϊσμού στα υποατομικά σωματίδια. Σύμφωνα μ' αυτή την ιδέα, ένα μικροσκοπικό πράγμα, όπως, για παράδειγμα, ένα κουάρκ ή ένα φωτόνιο, άλλοτε συμπεριφέρεται ως σωματίδιο κι άλλοτε ως κύμα· αυτό εξαρτάται από το είδος και την προοπτική του εκτελούμενου πειράματος.

Η βασική αρχή της συμπληρωματικότητας στην κβαντομηχανική μας εΠιτρέπει να αντιληφθούμε ένα πράγμα ταυτόχρονα και ως σωματίδιο και ως κύμα, όπως, για παράδειγμα, μπορούμε να αντιληφθούμε ένα μυθιστόρημα ταυτόχρονα και ως μύθο και ως μια συλλογή λέξεων ή τον ηλεκτρονικό υπολογιστή ταυτόχρονα και ως μηχανικό εξοπλισμό και ως λογισμικό. Τ ο σωματίδιο είναι κάτι το εντελώς διαφορετικό από το κύμα: είναι ένας μικρός βόλος συγκεντρωμένου υλικού που αντιπροσωπεύει τη διακριτή-σημειακή φυση της ευθείας, ενώ το κύμα είναι μια διαταραχή που μπορεί να απλώνεται και να σκορπίzει και μ' αυτήν την έννοια μπορεί να αντιπροσωπεύει τη συνεχή φύση της ευθείας. Έτσι, κάτω απ' αυτό το πρίσμα, μπορούμε να μιλάμε για διπλή φύση της ευθείας, όπως ακριβώς κάνουμε με το φώς, ανάλογα με το τι θέλουμε κάθε φορά να παρατηρήσουμε.

Ας ξαναγυρίσουμε όμως στο ερώτημα (β) των δυο μας μαθητριών σχετικά με την ευθεία και το ευθύγραμμο τμήμα. Πράγματι, δεχόμαστε ότι η ευθεία εκτείνεται απεριόριστα και αποτελείται από άπειρα σημεία. Τ ο ευθύγραμμο τμήμα πάλι έχει άπειρα σημεία, αλλά καθορισμένα άκρα, δηλαδή, αρχή και τέλος, συνεπώς ορισμένο μήκος. Εντούτοις, το άπειρο σύνολο των σημείων της ευθείας και του ευθύγραμμου τμήματος είναι ισοδύναμα, με την έννοια ότι και τα δυο έχουν το μέγεθος του συνεχούς C. Αυτό δεν πρέπει να μας προξενεί εντύπωση, γιατί ας μην ξεχνάμε ότι μιλάμε για πληθυκούς αριθμούς απειροσυνόλων και όχι συνόλων με πεπερασμένα στοιχεία. Το ίδιο συνέβη όπως είδαμε παραπάνω και με το σύνολο Α των άρτιων φυσικών αριθμών και το σύνολο IN των φυσικών αριθμών. Μολονότι το Α είναι γνήσιο υποσύνολο του IN (ACIN), υπάρχει μια (1-1) αντιστοιχία μεταξύ των δύο συνόλων, που σημαίνει ότι και το Α είναι aριθμήσιμο σύνολο και το μέγεθος του είναι �ο όπως και του IN. Αυτή η χαρακτηριστική ιδιότητα εμφανίzεται μόνο στα aπειροσύνολο. Έτσι ο Καντόρ χρησιμοποίησε αυτήν ακριβώς την ιδιότητα για να χαρακτηρίσει ένα aπειροσύνολο. Είπε, δηλαδή, ότι κάθε aπειροσύνολο είναι ισοδύναμο (έχει τον ίδιο πληθυκό αριθμό) με έvα γνήσιο υποσύνολό του. Τώρα γίνεται κατανοητό γιατί ενώ, π.χ. ΑΓ <ΑΒ (δηλ. το ΑΓ ως aπειροσύνολο σημείων είναι γνήσιο υποσύνολο του ΑΒ), μπορούμε να βρούμε μια (1-1) αντιστοιχία των δυο αυτών συνόλων έτσι, ώστε να εμφανίzονται ότι έχουν το ίδιο πλήθος στοιχείων μεγέθους C (Σχ. 10) .


Τι είναι σαpείο; Τι είναι εvβεία;

ο Α� Α Ιt:-, 11\\ ' ΙΙ'' ', 11 \\ '

' ' 11 \ ' ' I I \ \ ' , I I \ \ ', I I \ ' ""

κ·� κ

Ι I \ '.Κ' ', Α'� � \, \ ',Γ I I \ , Ι ',

Α

I I \ \ Ι '"" r�s 1 ι ' ... Ι ι \ \ 1 ',(Α'Γ'= ΑΓ)

Ι I \ '\ I ' Ι I \ \ ',

κ Γ Β Σχήμα 10

Μας μένει τώρα να απαντήσουμε στο τελευταίο σκέλος του ερωτήματος (β), γιατί, δηλαδή, δεν μπορούμε να μετρήσουμε τα σημεία μιας ευθείας. Την απάντηση στο ερώτημα αυτό την έδωσε πριν από 100 περίπου χρόνια ο ίδιος ο μάγος του απείρου, ο Καντόρ, χρησιμοποιώντας μια τεχνική η οποία ονομάzεται συνήθως διαyώvια μέθοδος. Η κεντρική ιδέα της απόδειξης αυτής είναι η εξής: Επειδή υπάρχει μια (1-1) αντιστοιχία μεταξύ των στοιχείων του IR με τα σημεία μιας ευθείας, εάν αποδειχθεί ότι οι πραγματικοί αριθμοί δεν είναι δυνατόν να μετρηθούν, τότε θα συμβαίνει το ίδιο και για τα σημεία μιας ευθείας. Ξεκινάμε από την παραδοχή ότι κάθε πραγματικός αριθμός αντιπροσωπεύεται κατά μοναδικό τρόπο με τη μορφή ενός απειροψήφιου δεκαδικού αριθμού, π.χ.:

5. = 2,49999 . . . ' 2 '{3 = 1,73205α3 . . . , 8. = 2,fUjfjj . . . , κ.λπ.

3 Ας παραδεχτούμε τώρα ότι μπορούμε να μετρήσουμε τους πραγματικούς αριθμούς. Αυτό σημαίνει ότι

υπάρχει μια αντιστοιχία (1-1) μεταξύ του IR και του ΙΝ, η οποία μας επιτρέπει να δώσουμε σε κάθε πραγματικό αριθμό α ένα όνομα, το όνομα, ας πούμε, Ov· Το σύνολο λοιπόν των πραγματικών αριθμών μπορεί να παρασταθεί ως εξής:

IR = {οι, a2, a3, CJ;ι, .•. Ov· . . . } . Το επόμενο βήμα είναι να θεωρήσουμε τα δεκαδικά μέρη των αριθμών αυτών και να τα συμβολίσουμε ως εξής: Δεκαδικό μέρος του 0v = Ο,δy δ2 δ3 . . . , ν = 1 ,2, 3 . . . . . Ο πάνω δείκτης ν δείχνει ότι πρόκειται για ψηφίο του πραγματικού αριθμού Ov· Τ α δ Υ, δ2, δ3 κ.λπ. παριστάνουν ένα από τα ψηφία Ο, 1 ,2,3, . . . , 9. Έτσι μπορούμε να τοποθετήσουμε όλους τους πραγμ. αριθμούς σε έναν πίνακα ως εξής:

(Δεκαδικό μέρος του οι) : Ο,δ} δ� δ§ δl . . . δ� .. . (Δεκαδικό μέρος του a2) : Ο,δ� δ� δ� δ� . . . δ� .. . (Δεκαδικό μέρος του a3) : Ο,δ� δ� δ� δ� . . . δ�

. .

.

(Δεκαδικό μέρος του Ov) : Ο,δy δ2 δ3 δ4 . . . δ� . . . . . .

Σχπματίzουμε τώρα έναν πραγματικό αριθμό ρ, επιλέγοντας το δεκαδικό του μέρος Ο;ριρ2ρ3 • . . ρv . . . με τον

εξής τρόπο: Το ρι να είναι διαφορετικό από το δ}, το ρ2 να είναι διαφορετικό από το δ� ,το ρ3 διαφορετικό από το δ�, . . . , το ρv διαφορετικό από το δ�, κ.λπ. Δηλαδή, το δεκαδικό μέρος του αριθμού ρ διαφέρει από τα δεκαδικά μέρη όλων των πραγματικών αριθμών αι,α2,α3, ••. Ov···· τουλάχιστον κατά ένα δεκαδικό ψηφίο. Επομένως, ο πραγματικός αριθμός j:> δεν μπορεί να συμπίmει με κανένα στοιχείο του IR, πράγμα που είναι άτοπο. Η παραδοχή λοιπόν ότι οι πραγματικοί αριθμοί και κατά συνέπεια και τα σημεία μιας ευθείας, είναι δυνατόν να μετρηθούν, οδηγεί σε αντιφάσεις και πρέπει να απορριφθεί.

Τελειώνοντας, οφείλουμε να ομολογήσουμε ότι τα δυο αυτά αθώα ερωτήματα των δυο μας μαθητριών, μας οδήγησαν κατ' ευθείαν στο μαγευτικό κόσμο του απείρου, έξω από το χώρο που αντιλαμβάνονται οι αισθήσεις μας. Ένας ο οποίος δεν έχει ασχοληθεί με τη μαθηματική επιστήμη και τις εφαρμογές της είναι πολύ πιθανόν να αμφιβάλει για το ότι μπορεί να υπάρξει κάποια "χρήση" του απείρου με την έννοια ότι είναι δυνατόν να ασκηθεί κάποιος έλεγχος πάνω σ' αυτό. Όμως δε θα ήταν υπερβολή να πούμε ότι προσπάθεια για κατανόηση, έλεγχο και τιθάσευση του απείρου συνιστά την καρδιά της δραστηριότητας των μαθηματικών. Αυτό που λίγο ή πολύ κάνουν οι επαyγελματίες μαθηματικοί είναι να βρίσκουν τρόπους va δαμάzουν και να κατακτούν το άπειρο.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κη. τ. 4/1 1

Ισοnεριμετρικά Προβλήματα

Στο βιβλίο της Άλγεβρας Α' Λυκείου σελ. 31 υπάρχει το παρακάτω πρόβλημα:

«Να αποδειχθεί ότι (χ+ψ)2 - (χ - ψ)2 = 4χψ. Στη συνέχεια να βρείτε ποιό από όλα τα ορθογώνια με την ίδια περίμετρο έχει το μέγιστο εμβαδό». Αποδεικνύεται δε ότι το «κανονικό» ορθογώνιο δηλ. το τετρόγωνο έχει το μέγιστο εμβαδό.

Προβλήματα σον το παραπάνω λέγονται ισοπεριμετρικά.

Γενικότερα ισοπεριμετρικά προβλήματα, λέμε το προβλήματα aκροτάτων, που αφορούν κυρτά σώματα.

Αναφέρονται σε θέματα της καθημερινής zωής και έχουν εφαρμογές σε zητήματa της επιστήμης και της τεχνολογίας. Τα πρώτο ισοπεριμετρικά προβλήματα το συναντάμε στην Αρχαίο Ελλάδα. Οι Μαθηματικοί που aσχολήθηκαν μ' aυτά το προβλήματα, ήταν ο Αρχιμήδης, ο Ζηνόδωρος και ο Πάππος.

Ο Αρχιμήδης έγραψε έργο, που δυστυχώς δε διασώθηκε με τίτλο 'Ίσοπεριμετρικά" . Το σύγγραμμα αυτό αναφέρεται aπό τον Σιμπλίκιο στο παρακάτω απόσπασμα:

«Διότι δέδεικται καί πρό 'Αριστοτέλους μέν πάντως, είπερ αύτός ώς δεδειγμένω συγκέχρηται καί παρά 'Αρχιμήδους καί παρά Ζηνοδώρου μέν τοίς επιπέδοις ό κύκλος εν δέ τοίς στερεοίς ή σφαίρα>>.

(Γιατί πάντως έχει μεν aποδειχθεί και πριν aπό τον Αριστοτέλη, aφού βέβαιο αυτός το χρησιμοποιεί ως aποδεδειγμένο, και aπό τον Αρχιμήδη και ευρύτερο aπό τον Ζηνόδωρο, ότι aπό το ισοπερίμετρa σχήματα για μεν το επίπεδα το μεγaίΊύτερο εμβaδό έχει ο κύκλος γιο δε το στερεά τον μεγaίΊύτερο όγκο έχει η σφαίρα).

Ο Ζηνόδωρος απέδειξε τουλάχιστον 14 θεωρήματα, aπό το οποίο αναφέρουμε μερικά:

1 . Από δύο κανονικά πολύγωνο με την ίδιο περίμετρο, μεγaίΊύτερο σε εμβaδό είναι εκείνο, που έχει τις περισσότερες γωνίες, άρα και κορυφές.

2. Ένας κύκλος είναι μεγαλύτερος σε εμβaδό aπό κάθε κανονικό πολύγωνο με την ίδιο περίμετρο.

3. Από όλο το πολύγωνο με την ίδιο περίμετρο και τον ίδιο αριθμό πλευρών, το κανονικό πολύγωνο έχει το μεγaίΊύτερο εμβaδό.

Καλίκας Σταμάτης

Ο Πάππος aπέδειξε την παρακάτω πρόταση: «Από όλο τα κυκλικά τμήματα με το ίδιο μήκος τό

ξου, το ημικύκλιο έχει το μεγaίΊύτερο εμβaδό». Ο Πάππος επίσης στο V βιβλίο της «Συναγωγής>> ,

αναφέρεται στη σοφία των μελισσών, οι οποίες γιο να aποθηκεύσουν το μέλι, διaίΊέγουν το σχήμα των κελιών των κερήθρων, ώστε με δεδομένη περίμετρο να επιτύχουν τη μεγaίΊύτερη έκταση. Οι μέλισσες λοιπόν, φτιάχνουν τις κερήθρες σε σχήμα κανονικού εξαγώνου. (Δες και στο τεύχος κγ1 του Ευκλείδη Β' σελ. 3 το άρθρο του Μ. Τουμάση «Γνωρίzουν οι μέλισσες μαθηματικά;>> )

Οι aποδείξεις των θεωρημάτων του Ζηνόδωρου είναι δύσκολες.

Μπορούμε όμως να aποδείξουμε με γνώσεις Λυκείου την παρακάτω πρόταση:

«Από το εγγεγραμμένα ν-γωνa σε κύκλο το μεγαλύτερο εμβaδό το έχει το κανονικό ν-γωνο>> .

Το 1884 ο Η. Α Schwarz μπόρεσε να δώσει μια εντελώς aυστηρή aπόδειξη των ισοπεριμετρικών ιδιοτήτων του κύκλου και της σφαίρας, όπως διατυπώνονται στο βασικά θεωρήματα Αρχιμήδη - Ζηνοδώρου.

Τα Ισοnεριμετρικά Προβλιίμaτα στην Αρ:ιι:aίa Ελληνικό Βιβλιοyραφίa

Η σύγκριση εμβαδών σχημάτων με ίδιο περίμετρο aπασχολούσε τους 'Ελληνες Μαθηματικούς της Αρχαίας Ελλάδος, γιατί είχαν δημιουργηθεί αρκετές παρανοήσεις, που εμφανίzονται στην κλασική βιβλιογραφία και φιλολογία.

Ο Θουκυδίδης υποίΊόγιzε την έκταση (το εμβαδό) της Σικελίας aπό το χρόνο που χρειazότaν γιο τον περίπίΊου της, δηίΊaδή σε συνάρτηση με την περίμετρο.

Ο Πολύβιος θεωρεί ακατανόητο, στρατόπεδο με την ίδιο περίμετρο, να έχουν διαφορετική έκταση.

Ο Πλίνιος γιο να συγκρίνει το μεγέθη διάφορων γήινων εκτάσεων, πρόσθετε το μήκη και το πλάτη τους.

Ο Πρόκλος αναφέρεται στο θεωρήματα 36, 37 του Ι βιβλίου των Στοιχείων του Ευκλείδη, γιο την ισό-

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κπ. τ. 4/12

Ισοοεpιpετpιιιά Πpοβλιipατα

τητα των εμβαδών ισοϋψών τριγώνων ή παραλληλογράμμων με ίσες βάσεις: θεωρεί ότι στον «κοινό θνητό» η ισότητα αυτή των εμβαδών, φαίνεται σαν κάτι το παράδοξο εφόσον δε λαμβάνονται υπόψη τα μήκη των άλλων πλευρών. Μας αναφέρει επίσης ότι ορισμένα μέλη κοινοβίων της εποχής του, εξαπατούσαν τους συνδημότες τους παραχωρώντας τους μεν γη με μεγαλύτερη περίμετρο αλλά με το εμβαδό μικρότερο από το μερίδιο που κρατούσαν για τον εαυτό τους. Έτσι αυτοί φημίzονταν για την «εντιμότητα» τους, ενώ ουσιαστικά απολάμβαναν οι ίδιοι τα πιο πολλά.

Τα Ισοnεριμετρικά Προβλάματα στον Λατινικά Λοyοτεχvία

Στην Αινειάδα του Βιργίλιου αναφέρεται ότι η πριγκίπισσα Διδώ, αφού έφυγε από την Τύρο για να γλυτώσει από την εγκληματική τυραννία του αδελφού της, βασιλιά της Τύρου Πυγμαλίωνα, έφτασε μαzί με άλλους Τύριους στη Λιβύη. Εκεί η Διδώ zήτησε από το βασιλιά της Νουμιδίας lάρβα να αγοράσει γη. Ο lάρβας της παραχώρησε τόση έκταση γης, όση μπορεί να «Περικυκλωθεί από δέρμα ταύρου>> . Η Διδώ, έκοψε το δέρμα σε λεπτές λουρίδες, ης ένωσε σε σχήμα κύκλου και έrm μπόρεσε να περικυκλώσει τη μεγαλύτερη δυνατή έκταση. Στην έκταση αυτή η Διδώ έχrισε την Καρχηδόνα. (Αινειάδα Ι 365-368).

Τα Ισοnεριμετρικά Προβλάpατα στον Ρώσικο Λοyοτεχvία

Ένα τέτοιο πρόβλημα αντιμετώπισε επίσης ο χωρικός Παχόμ στο «Πόση γη χρειάzεται ο άνθρωπος;>> του Τολστόι. Ο προεστός των Βασκιρίων του είπε, ότι θα έχει όσπ γη μπορέσει να περπατήσει σε μια μέρα. Ο Παχόμ δεv μπόρεσε να κλείσει τον υπερβολικά μεγάλο κύκλο εγκαίρως και έrm βρήκε τραγικό τέλος. Φαίνεται καθαρά εδώ η θέση του Τολστόι, για το πόση γη χρειάzεται ο άνθρωπος.

Ας λύσουμε τώρα τq rιαρακάτω πρόβλημα:

Αοό τα εyyεy ραμpένα ν-yωνα σε κvκλο το pεyαλvτερο εpβαδό το έχει το κανονικό ν-yωνο.

Πρώτα όμως θα αναφέρουμε έναν ορισμό και μερικές προτάσεις που θα μας χρηmμεύσουν στην απόδειξη αυτή.

1. Απλός λόγος ή μερικός λόγος τριάδας (Α, Β, Μ) ομοευθειακών σημείων Α, Β, Μ, Α ;ι! Β.

Ορισμός: Ορίzουμε ως απλό ή μερικό λόγο της

διατεταγμένης τριάδας (Α, Β, Μ) ομοευθειακών σημείων και γράφουμε (ΑΒΜ) το λόγο:

(ΑΒΜ) =ΑΜ, Μ ;ι! Β. ΜΒ

2. Δίνεται το εφαρμοστό διάνυσμα (Α, Β) με τις συντεταγμένες των άκρων του. Αν για το σημείο Ρ της ευθείας ΑΒ είναι (ΑΒΡ) =λ, να βρεθούν οι συντεταγμένες του Ρ. (λ ;ι! -1 ) .

Αοόδει ο:

ο χ

(ΑΒΡ) = λ<=> ΑΡ = λ<=> ΑΡ = λ· ΡΒ ΡΒ

---+ ---+ Όμως ΑΡ // ΡΒ

----+- ----+- ----+- ----+ ----+- ----+-Άρα ΑΡ = λ · ΡΒ <=> ΟΡ - ΟΑ = λ(ΟΒ - ΟΡ) <=>

---+ ---+ ---+ ( 1 + λ) ΟΡ = ΟΑ + λ ΟΒ <=>

----+ ----+ λ ----+

ΟΡ = -1-·ΟΑ +- ·ΟΒ λ +1 λ + 1

:(� yJ, :(χs � - \ ΟΡ =-1-ΟΑ +--ΟΒ <=> 1 + λ 1 + λ 1

ΟΡ(χρ, Υρ) Χρ = _1_ΧΑ + _λ_Χι3 λ + 1 λ + 1

1 λ Υρ = --ΥΑ + --ΥΒ λ + 1 λ + 1

3. Με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ψ = ημχ δείξrε:

Για τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει:

_κ_ ημΒ + _λ_ημΓ s ημ (-κ-Β + _λ_ r), κ + λ κ + λ κ + λ κ + λ

κ > Ο, λ > Ο


Ιοοαεριpετρικά Προβmipατα

Ααόδειξa:

Β Γ π

Επειδή Β, Γ γωνίες τριγώνου, Ο < Β < π, Ο < Γ < π Αν Ρ χωρίzει το τμήμα ΜΝ σε μερικό λόγο � ,

λ> Ο, κ > Ο, οι συντεταγμένες του Ρ δίνονται από κ τους τύπους

ή κ·Β+ λ·Γ κ·πμΒ+ λ·πμΓ

Χρ = Υρ = ---=------=---

κ + λ κ + λ Η τετμημέvη του Σ είναι

κ·Β + λ·Γ χr = χρ =---κ+ λ

ενώ η τεταγμένη είναι ΥΣ. = nμ(-κ _· Β_+_λ_· _Γ)

. κ + λ Ννν5 Υρ :s ΥΣ. ή κ λ ( κ λ ) - -ημΒ+ -

. -πμΓ:snμ --Β+--Γ

κ + λ κ + λ κ + λ κ + λ

4. Αν Ο < Αι s π, ί = 1, 2, . . . , ν τότε: ημΑι + ηι.ιΑl + .. . + ημΑ._, :s

(Αι +Α.ι + . . . + Α,) :sν·nμ ' ν

Ααόδειξa: Θα αποδείξουμε την παραπάνω πρόταση με την

μέθοδο της επαγωγής (*) Για ν = 1 προφανώς ισχύει. Έστω ότι η παραπάνω πρόταση ισχύει και για

ν = κ δηλαδή ημΑι + ηι.ιΑl + . . . + ηι.ιΑκ :s; (Αι + Α.ι + . . . +Ακ) :S κ . nμ ____::__-=---__ ___:_ κ

(1)

Θα δείξουμε ότι ισχύει για ν = κ + 1 δηλαδή ημΑι + ηι.ιΑl + . . . + ηι.ιΑκ + ηι.ιΑκ + ι :s;

( 1) (Αι + Α.2 + . . . + Ακ + Ακ + ι) :s; κ + · ημ ---------κ + 1

(ι) ημΑι + ηι.ιΑl + . . . + ηι.ιΑκ + ηι.ιΑκ + ι :s (ι) (Αι +Α.ι + . . . +Ακ) Δ :s κ· nμ ημ"�< + ι = κ

= (κ + 1) [-κ- nμ (Αι + � + . . . + i\) + κ + 1 κ

+ _1_ημΑκ + ι)� (Απόπρόrασn3) κ + 1 � ( 1) . ( κ (Αι + . . . + Ακ) 1 Δ ) :s; κ + ημ -- +- -"�<+ι κ + 1 κ κ + 1

( 1) (Αι + Α.2 + . . . + Ακ + ι) = κ + ημ ___:__-=---__ ___:___c__::_ κ + 1 (*)Επαγωγή: Όταν θέλουμε να δείξουμε ότι μια

πρόταση ισχύει για κάθε φυσικό αριθμό (εφόσον η μεταβλητή είναι φυσικός αριθμός)

α) Αποδεικνύουμε πρώτα την πρόταση για ν = 1 β) Θεωρούμε ένα τυχαίο φυσικό κ και με την υπό

θεση ότι η πρόταση ισχύει για ν = κ δείχνουμε ότι η πρόταση ισχύει για ν = κ + 1

τότε συμπεραίνουμε ότι η πρόταση ισχύει για κάθε ν φυσικό

5. Από τα εyγεγραμμένα ν-γωνα σε κύκλο το μεγαλύτερο εμβαδό το έχει το κανονικό ν-γωνο.

Ααόδειξa:

Οvομάzω


Ισοοεριpετρικό Προβλιίpοι:ο

= 2l (OK) · (KPJ = l �ημΑ 2 2

v v Ε = Σ (ΟΡfϊ + 1) = Σ l�ημΑ = i = 1 i = 1 2

v = 1� Σ ημΑ 2 i = 1

s (aπόπρόrαση4) Υ..� ημ(l i Α) = Υ..� ημ(2π) 2 ν i = 1 2 ν

Τ ο � � ημ( �) είναι το εμβαδό ενός κανονικού

ν-γώνου Έτσι αποδείχθηκε αυτό που θέλαμε.

ΑΝ ΛΛΥΣR Β' ΕΚΔΟΣΗ

• Το ΒιΒλ ίο αυτό απευθύ

νεται στους υποψ1]φιους

της Α δέσμης, αλλά και στους

μαθητές της Η λυκείου

που θα ακολουθήσουν

την Α' δέσμη και περιέχει

• Θεωρία δοσμένη με τρόπο απλό,

σαφή και κατανοητό

• Α υμένες ασκήσει.ς σε δύο ομά

δες κλιμακούμενης δυσκολίας, που συνοδεύονται απο βοηθι τικά σχόλια και καθιστούν ικανό τον υποψήφιο να αναπτύξει γενικότερες μεθόδους σκέψης

• Ασκήσεις για λύση σε δύο

ομάδες, με απαντήσεις και υποδείξεις για τη λύση τους

ΤΟΝ ΟΚΤΩΒΡΙΟ ΚΥΚΛ ΟΦΟΡΕΙ ΤΟ Β ' ΤΕ ΥΧΟΣ: ΑΝΑΛ ΥΣΗ

• ΛΙΑ ΦΟΡΙΚΟΣ Λ ΟΓΙΣft10Σ

Κεντρική διάθεση : Νίκος Ροτζιώκος, τηλ. 86 42 501

Χρίστος Φραντζ1]ς, τηλ. 60 1 1 24 1

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΓΕΩΜΕΤΡ ΙΑΣ (ΙΗΣΟΥΊ'ΤΩΝ)

• Λύσεις 2.000 zητημάτων • Όλοι αι Γ εωμετρικαί Μέθοδοι

Υπό F. G. - Μ (τΟΜΟΙ 1 - 4)

Κεντρική Διάθεση: Π. ΧΙΩΤΕΛΛΗΣ Ιπποκράτους 17 - 106 79 Αθήνα

Τηλ.: 36 1 1 159

rιάνvn Δ. Στρατή

ΠΡΑΙ'ΜΑΥΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ I σελίδες: 392 τιμή 3 .800δρχ.

Διατίθεται στα κεντρικά βιβλιοnωλεία

Περιέχει: • Όλη τη θεωρία, σύμφωνα με το Αναλυπκό

Πρόγραμμα που ισχύει, με παραδείγματα και αvτιπαραδείyματα.

• Κάθε κεφάλαιο κλείνει με μια πλούσια συλλοyή ασκήσεων προοδευτικής δυσκολίας με αποτέλεσματα στο τέλος του βιβλίου και υποδείξεις νια ης πιο δύσκολες.

• Για την εμπέδωση των μεθόδων παρατfθεται ένα πλήθος από υποδειyμαηκά λυμένα θέμωα.

Για την αποστολή (με αvτικωαβολή του βιβλίου ταχυδρομείστε το παρακάτω δελτίο παραyyελίας στη διεύθυνση:

"Γιάvvη Στρατή Εσπερίδων 5 Γαλάται 1 1 1 46"

ΔΕΛΥΙΟ ΠΑΡΑrrΕΛΙΑΣ

Όνομα:

Επώνυμο:

Διεύθυνση: ______ Πόλη: ___ _

Τηλέφωνο:

Σχολείο:

Φροvτιστήριο: ------------Στους συναδέλφους μαθηματικούς yίνεται έκ

ηrωση 40% και προσφέρεται ένα βιβλιαράκι με τις λύσεις των ασκήσεων.


Α' Λvκείοv Αλyεβρα rεvικές Ασκήσεις

r. Τσικαλο.,δάκnς, Α. Παnαϊωάvvο", Ι. Μαδεμτzόyλο"

Α) r. Τσικαλο.,δάκnς

'Ά.σκnσn ln:

Δείξι:ε ότι για κάθε φυmκό ν > 1 και α > Ο ισχύει:

i) α < ι ·<=> Va < v + Va ii) ν v + 1 < (ν + 1) v

Λvon Έχουμε:

. ν. Γ ν + ! Γ (V. Γ)v (v + ! Γ)v ι) Ύ α < Ύ α <=> ·γ α < Ύ α (v + 1 Πv (v + ! Γ)v ιv + 1J <=> α < ν α } <=> αv + 1 < Ύ α <=> α v + 1 < α v <=> α < 1

ii) Είναι: ν v + 1 < (ν + l) ν

v +v v. Γ v + ! ι-<=>ν < (ν + l)v <=> Ύ ν < Ύ ν + 1 (2)

Λόγω της i) είναι: v. Γ v + !Γ Ύ ν < Ύ ν

Όμως είναι και v + ! Γ v + ! ι-Ύ ν < Ύ ν + l

και συνεπώς έχουμε:

'Ά.σκnσn 2n:

ν. Γ v + ! ιΎ ν < Ύ ν + l

Να αποδειχθούν οι ισοδυναμίες: i) xs + χ3 + χ = y5 + ψ + Υ <=> χ = Υ (χ, Υ Ε R). ii) μ, ν � IN* - {2} <=> μν -μ -ν + 2�1Ν* - {2},

(μ, ν Ε IN) .

Λvon i) Αν χ = y, τότε προφανώς είναι:

x5 + x3 + x = if + ψ + y

Αντίστροφα: Έστω ότι είναι χ5 + χ3 + χ = if + y3 + y και χ ;ι! y. Έστω π.χ. ότι είναι χ < y, τότε έχουμε χ < y,

χ3 < ψ, χ5 < if, από τις οποίες με πρόσθεση κατά μέλη προκύmει:

χ + χ3 +xs < Υ + ψ + if. Άτοπο. Ομοίως σε άτοπο καταλήγουμε για χ > y. Άρα είναι χ = y .

ii) Η δοθείσα ισοδυναμία είναι ισοδύναμη με την: /μ =ήν = 0

μ = ν = 2 μv-μ-ν + 2 Ε {0, 2} <=> \ ή

μ =ήΟ και ν = 2

μ = 2 και ν = Ο

(2)

Αρκεί να δείξουμε επομένως την ισχύ της (2) . Έχουμε: α) μν - μ -ν + 2 = Ο <=> (μ - l) (ν - 1) + 1 = Ο <=>

{1 - μ = l και ν- 1 = 1 ) (1 -μ) (ν- 1) = 1 <=> ή <=>

1 - μ = - 1 και ν- 1 = - 1 {μ = Ο �αι ν = 2

<=> η μ = 2 και ν = d'·

β) μν - μ - ν + 2 = 2 <=> μν - μ - ν + 1 = 1 <=> <=> (μ - l) (ν - 1) = 1 <=> {μ- 1 = 1 και ν- 1 = 1 ) {μ = 2 και ν = 2

<=> ή <=> ή μ- 1 = - 1 και ν- 1 = - 1 μ = Ο και ν = Ο


------------------------------ ΑΆv.είοv ��βρα ------------------------------Ασκnσn 3n:

Βρείτε για ποιές τιμές του λ Ε IR η aνίσωση: (λ - 4) χ :5 λ2 - 20

έχει σύνολο λύσεων το [5, + οο) .

Avσn: Πρέπει (δεν αρκεί) λ - 4 < Ο τότε η (2) γίνεται:

?f - 20 Χ:Ξ!:--λ-4

οπότε πρέπει να είναι: rιΖ - 20 -- = 5 λ-4

ισοδύναμα λ2 - 5λ = Ο ισοδύναμα λ = Ο ή λ = 5 και συνεπώς πρέπει λ = Ο οπότε η (2) γίνεται: - 4 χ :5 - 20 ή χ <=: 5.

Ασκnσn 4n:

Δείξτε ότι για κάθε κ Ε Ζ ισχύει: i) ηιf! κ� + � 2κ� = 1

3 3 ii) εq1 κ� = ο ή 3

Avσn: i) Είναι:

3

ηιf! κ � + αΝ'- 2κ� = nι.f κ� + � κ (π-2π) = 3 3 3 3

ηιf! κ� + � κ� = 1. 3 3

ii) Έστω κ = 3μ + υ, μ Ε Ζ, υ Ε {0, 1 , 2 } για υ = Ο

για υ = 1 ή 2 λόγω της i) είναι: εcιf!κ� = εcιf!{μπ +�) = εcιf!{μπ + 2;) =

C:ψ - = .:ι. 3

Ασκnσn Sn:

Δίνεται η εξίσωση: λχ2 + (λ - 2) χ + 2 - λ = ο

Βρείτε για ποιές τιμές του λ Ε IR έχει: i) Το πολύ μια ρίzα. ii) Δυο άνισες ρίzες.

Avσn: i) Για να έχει το πολύ μια ρίzα πρέπει και αρκεί:

Δ = Ο ή λ = Ο ισοδύναμα:

(λ - 2)2 - 4λ(2 - λ) = ο ή λ = ο <=> 5λ2 - 12λ + 4 = ο ή λ = ο <=>

λ = 2 ή λ = 2. ή λ = Ο 5

ii) Για να έχει δύο άνισες ρίzες πρέπει και αρκεί: λ ;ι! Ο και Δ > Ο

ισοδύναμα: λ ;ι! Ο και 5λ2 - 12λ + 4 >0 <=> (λ < � και λ;ι! ο) ή λ > 2

Ασκnσn 6n:

Βρείτε για ποιές τιμές του λ Ε IR η κάθε μια από τις παρακάτω ανισώσεις αληθεύει για κάθε χ Ε IR.

i) (λ - 2)χ2 + 2(2λ - 3)χ + 5λ - 6 ;::: Ο ii) (λ - 2)χ2 + (λ - 2)χ + 12 - λ ;::: ο

Avσn: i) Πρέπει και αρκεί:

λ > 2 και Δ :5 Ο ισοδύναμα: λ > 2 και 4(2λ - 3)2 - 4(λ - 2)(5λ - 6) :5 Ο <=> λ > 2 και λ2 - 4λ + 3 <=: Ο <=> λ > 3.

ii) Για λ = 2 η aνίσωση γίνεται: Ο · χ + 12 <=: Ο ή Ο · χ <=: - 12 που αληθεύει για κάθε χ Ε IR.

Για λ > 2 πρέπει να είναι και: Δ :5 Ο <=> (λ - 2)(λ - 10) :5 Ο <=> 2 < λ :5 10.

Συνεπώς η aνίσωση αληθεύει για κάθε χ Ε R όταν είναι 2 :5 λ :5 10.

ί\σκnσn 7n:

Δίνονται οι ευθείες: ελ: λχ - y - 1 = Ο δλ: χ + λy - λ = ο Δείξτε ότι για κάθε λ Ε IR τέμνονται και το σημείο

τομής τους βρίσκεται σε κύκλο με κέντρο την· αρχή των αξόνων.


Α' Α"aείο" 'Άλyεβρa ---------------Λ.Sσο: {λχ-y= 1 Το σύοmμα:

χ + {y = λ (ε)

έχει ορίzουσες: D = λ2 + 1, Οχ = 2λ, Dy = λ2 - 1 και συνεπώς για

κάθε λ Ε R οι ευθείες εί\, δί\ τέμνονται στο σημείο:

Μ (�. rf - 1 ). λΕ R

rf + 1 rf + 1

Θ , 2λ rf- 1 , εrοvτας χ=--, Υ = -- εχουμε: rf + 1 rf + 1

χ2 + y2 = 4ft + (rf- 1)2 = (rf + 1)2 = 1 (rf + 1)2 (rf + 1)2

και συνεπώς το Μ ανήκει στον κύκλο με εξίσωση χ2 + y2 = 1 .

ί\σκοσο 8ο:

Έστω χι, χ2 δύο διαφορετικές ρίzες της εξίσωσης: αχ3 + βχ2 + yx + δ = ο (1 )

με α · δ ;ι! Ο. Δείξrε ότι ο χι + χ2 δεν είναι ρίzα της εξίσωσης:

Λ.Sσο: Είναι:

αχ2 + Βχ + γ = Ο (2)

αχι3 + βχι2 + VΧι + δ = Ο αχ23 + βχ22 + VX2 + δ = Ο

από τις οποίες με αφαίρεση κατά μέλη προκύπτει: α(χι2 + χιχ2 + χ22) + β(χι + χ2) + ν = Ο

ισοδύναμα: α(χι + χ2)2 + β(χι + χ2) + ν = αχιχ2.

Επομένως για να είναι η χι + χ2 ρίzα της (2) πρέπει να είναι χι = Ο ή χ2 = Ο που είναι άτοπο γιατί τότε από την (1) προκύπτει δ = Ο.

ί\σκοσο 9ο:

i) Αν η εξίσωση: αχ2 + βχ + γ = Ο (i) έχει τρεις διαφορετικές ρίzες δείξrε ότι α = β = γ = Ο.

ii) Δείξrε ότι οι ευθείες: εί\ : (2λ2 + 3λ + 3) χ + (3λ2 + 2λ + 2)y - 13λ2 -

10λ - 10 = Ο (2) λΕ IR διέρχονται όλες από ένα κοινό σημείο.

αχι2 + Βχι + ν = Ο (3) αχ22 + βχ2 + Υ = Ο αχ3 2 + βχ3 + Υ = Ο

από τις οποίες με αφαίρεση ανά δύο κατά μέλη προκύπτει:

α(χι + χ2) + β = Ο (4) α(χι + χ3) + β = Ο

οπότε αχ2 = αχ3 και επειδή είναι χ2 ;ι! χ3 έπεται ότι α = Ο και από τις (4) και (3) προκύπτει β = Ο, γ = Ο.

ii) Η εξίσωση (2), με κατάταξη ως προς τις δυνάμεις του λ γίνεται: λ2(2χ + 3y-13) + λ(3χ + 2y-10) + 3x + 2y-10 = Ο (5) ή Α · λ2 + Β · λ + Β = Ο (6)

Επομένως οι ευθείες εί\ θα διέρχονται από ένα κοινό σημείο, Μ(χσ, y0) , αν και μόνο αν υπάρχουν Χο· Υ ο Ε R για τους οποίους είναι Α = Β = Ο γιατί μόνο τότε η (5) έχει ως προς λ απείρες λύσεις.

Δηλαδή οι εί\ διέρχονται από ένα κοινό σημείο αν και μόνο αν το σύστημα:

(ε) {2x + 3y = 13 3x + 2y= 10

έχει (μοναδική) λύση η οποία λύση θα μας προσδιορίσει και το κοινό σημείο τομής των εί\.

Πραγματικά λύνοντας το (Σι) βρίσκουμε Χο = 4/5 και y0 = 19/5.

Άρα οι εί\ διέρχονται από το σημείο Μ (4/5, 19/5).

ί\σκοσο 10ο:

Αν για κάθε χ Ε IR είναι χ2 + βχ + γ ;ι! Ο και

(β - α)χ2 + 2yx + αν s Ο δείξrε ότι για κάθε χ Ε IR ισχύει:

(β2 - 4y)x2 + (4y - 2αβ)χ + α1 < Ο

Λ.Sσο:

(1 )

Επειδή για κάθε χ Ε IR είναι χ2 + βχ + ν ;ι! Ο θα είναι β2 -4ν < Ο και ν > Ο (2)

Ομοίως επειδή είναι: (β -α)χ2 + 2yx + αγ s Ο για κάθε χ Ε R θα είναι β < α (λόγω (2)) και:

(2γ)2 - 4(β - α) · αν s Ο (2} 2 <=> α - αβ + ν s Ο

Όμως επειδή είναι χ2 + βχ + γ ;ι! Ο για κάθε χ Ε IR θα είναι:

Λ.Sσο: α2 - αβ + ν < Ο i) Έστω Χι, Χ2, χ3 τρεις διαφορετικές ρίzες της (1 ) και συνεπώς η (1 ) έχει διακρίνουσα Δ < Ο οπότε

τότε είναι: αληθεύει για κάθε χ Ε R (λόγω της (2)) . ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β . κη. τ. 4/18

Α' Α\Ιιιείο\1 1\λyεβρα

Aσiιaoa ι ι σ:

Να λυθεί η aνίσωση: (Jf-21f + χ) (χ2 -2χ-8) -'----------'--'----_..!... s ο (1)

χ2-3χ

Λ.Soa: Η (1) είναι ισοδύναμη με:

(χ-3-2χ2 + χ){χ2-2χ-8){χ2-3χ) s Ο και χ;οιι 0 και χ ;οιι 3.

<=> ι· χ2 (χ- 1)2 (χ+ 2) {χ-4) (χ-3) s ο ) <=> με χ;οιι 0 και χ;οιι 3

<=> { (χ+ 2) {χ-4) {χ-3) s O και χ;οιι Ο και }<=> χ;οιι 3 ή χ= 1 (xs -2 ή 3 < xs 4 ή χ= 1)

Ασκaσa ι2σ:

Βρείτε για ποιές τιμές του ν Ε Ν η aνίσωση: 4χ2 + (4ν - 36)χ + 97 2: 12ν (1 )

αληθέύει για κάθε χ Ε R.

Λ.Soa: Πρέπει και αρκεί η ( 1) να έχει διακρίνουσα Δ s Ο

ισοδύναμα:

Β) �Αννελος Κ. Παπαϊωάννον j Ασκaσa ι

Να λυθεί η εξίσωση Ιχ1996 - 4 · χ998 + 2 1 = 2.

Λ.Soa Θέτω χ998 =y οπότε y2 = χ1996.

Άρα η εξίσωση γίνεται Ιy2 - 4y + 2 1 = 2 <=> y2 - 4y + 2 = 2 ή !l - 4y + 2 = -2 <=> y2 - 4y = O ή y2 - 4y + 4 = 0 <=> y(y - 4) = ο ή (y - 2)2 = ο <=> y = O ή y = 4 ή y = 2

Για y = 0: χ998 = Ο <=> χ = Ο. Για y = 4: χ998 = 4 <=> 99ξΙΓ 99ξΙΓ χ= Ύ 4 ή χ = - Ύ 4 Για y = 2: χ998 = 2 <=> 99ξΙΓ 99ξΙΓ χ= Ύ2 ή χ=- Ύ 2

16(ν - 9)2 - 16(97 - 12ν) s Ο <=> if - 6ν - 16 :S Ο

<=> (ν + 2)(ν - 8) s Ο <=> -2 :S ν :S 8 και επειδή ν Ε Ν θα έχουμε: ν = Ο, 1 , 2, . . . , 8. Ασκaσa ι3a:

Να λυθούν οι εξισώσεις: ί) X3v = 3v ίί) x2v = 24v ίίί) x4v - {4v + 1)x2v - 4v = Ο, ν Ε Ν*

Λ.Soa: i) Διακρίνουμε τις περιmώσεις: α) αν ν - άρτιος, τότε είναι:

x3v = 3v <=> χ3 = ± 3 <=> χ = ± V3 β) αν ν - περιπός, τότε είναι:

x3v = 3v <=> χ3 = 3 <=> χ = V3 ίί) Είναι: x2v = 24v <=> (x2)v = (24)v <=> χ2 = 24 <=>

<=> χ = ± 4.

iii) Είναι: (x2v)2 - (4v + 1)x2v - 4v = Ο <=> (x2v - 1)(x2v - 4v) = Ο <=>

x2v = 1 ή x2v = 4v <=> χ = ±1 ή χ = ± 2

Ασκaσa 2

Να λυθεί η εξίσωση 11 + χ + χ2 + . . . + χ1001 = 1 , χ 2: ο.

Λ.Soa 1 1 + χ + χ2 + . . . + xlool = 1 <=> <=> 1 + χ + χ2 + . . . + xlOO = 1 ή 1 + χ + χ2 + . . . + xlOO = -1 .

Η δεύτερη, δηλ. η 1 + χ + χ2 + . . . + χ100 = -1 είναι αδύνατη γιατί χ 2: Ο.

Απ' την πρώτη έχουμε: 1 + χ + χ2 + . . . + xlOO = 1 <=> <=> xlOO + χ99 + χ98 + . . . + χ = 0 <=> <=> χ(χ99 + χ98 + . . . + 1 ) = ο <=> χ = ο γιaτί χ99 + χ98 + . . . + 1 ;οι Ο.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κn. τ. 4/ι9

-------------- Α' Α"ιιείο" 1\Δyεβρa --------=--------

Γ) Γιάννης Μαδεμτzόyλο"

ί\σιιaσa ι

Αν χι. χ2 οι ρίzες της εξίσωσης: χ2 + αχ + β = Ο και lαl � 2β και β > 1 δείξrε ότι:

1 1 2 lxιl + IX21 � Λ.Sσa Είναι Δ = α2 - 4β � 4β(β - 1) > Ο άρα η εξίσωση

έχει ρίzες πραγματικές και άνισες με Χι + χ2 = -α και ΧιΧ2 = β

Άρα είναι: fι + Χ21 = lq � 2β = 2

χι Χ2 β β

ΑΝιά Ιχι + χ21 = Ιχι l + lx21 διότι χιχ2 = β > Ο άρα lxιl + IX21 � 2 � ____Ei_ + _1i_ � 2 � lxιi · IX21 lxιi · IX21 lxιi · IX21

ί\σιιaσa 2

Να λυθεί η εξίσωση:

Λ.Sσa

πμl� +σwl� =-1-σwl� Θέτουμε Ιχl = y, y � Ο οπότε η εξίσωση γίνεται:

nμy + σwy = _1_ σwy ή nμyσυvy + συvΎ = 1 � nμyσυvy + 1 - nμ2y = 1 � nμy(συvy- nμy)= Ο.

Από αυτήν προκύmει είτε nμy = Ο ( 1) είτε συvy - nμy = Ο.

Από την (1 ) έχουμε y = κπ. Επειδή y � Ο πρέπει ο κ Ε Ζ να πληρεί την κ� Ο. Επειδή Ι χΙ = y � χ = ± Υ � χ = ± κπ όπου κ � Ο.

Η (2) wάφεrαι: nμy = σwy ή nμy = 1 ή σwy π εφy= 1 ή y= λπ +- (λ� Ο). 4

Αφού I� = y�x= ± (m +�). λ� ο.

ί\σιιaσa 3

Να βρεθούν οι λ, μ Ε Ζ (λ ;ι! μ) οι οποίοι θέι:ουν την εξίσωση χ2 - 24 = Ο σrn μορφή (χ-λ)2 =·�

χ-μ μ και επαληθεύουν την χ2 + 10χ + 2i < Ο

�

Λ.Sσa

Η (χ-λ)2 = � μετά την εκrέλεση πράξεων παίρνει χ-μ μ

τη μορφή (μ - λ)χ2 - λμ(μ - λ) = Ο

� (μ - λ)(χ2 - λμ) = ο � χ2 - λμ = ο (αφού μ ;ι! λ) .

Άρα λμ = 24 (1)

Εξάλλου η λύση της χ2 + 10χ + 21 < Ο είναι to [-7, -3] μέσα σrο οποίο βρίσκονται οι ακέραιοι λ, μ που ικανοποιούν και την (1) άρα λ = - 6 και μ = - 4 ή λ = -4 και μ = - 6.

ί\σκaσa ιι

Δίνεται η εξίσωση (Ε): (χ- 1)2 - (2χ-3)εφα = Ο με π π -- < α < -2 2 i) Αν χι. χ2 οι ρίzες της (Ε) δείξrε ότι:

ίί) Βρείτε για ποιές τιμές του α η (Ε) έχει ρίzες πραγματικές

Λ.Sσa (i) Η (Ε) γράφεται: Υ! - 2(1 + εφα)χ + 1 + 3εφα =

Ο, οπόrε χι + χ2 = 2(1 + εφα) και χιχ2 = 1 + 3 εφα. 'Ετσι (χι -�}- (�-�)=

= χι Χ2 -3.(χι + �) + 2 = 0,25. 2 4

(ii) Θα πρέπει Δ � Ο � εφ2α - εφα � Ο � εφα s Ο ή εφα � 1. ΝΜ αΕ(-�. �) επφως αΕ (-�. ο] ή αΕ [�. �}

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β . κη. τ. 4/20

Οι νέες μας εκδόσεις. 1994 - �95 Για το Γυμνάσιο

ΜΑΘΗΜΑτΙΚΑ Β' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΑΝΑΣΗ Π. ΞΕΝΟΥ σελ.392 - Δρχ. 3.200

ΜΑθΗΜΑ τΙ ΚΑ Γ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ θΑΝΑΣΗ Π. ΞΕΝΟΥ σελ:376 - Δρχ. 3.000

;,;.ιι.ψ,a;;

ΑΛΓΕΒΡΑ 41}ς ί1�ΣΜΗΣ . · ΧΡ.Γ. ΣΙΩΖΟΠΟΥΛΟΥ. . σέλ. 344 c Δρχ. 3:�09 .,

ΑΛΓΕΒΡΑ Β' Λ ΥΚΕΙΟΥ α' τεuχ. ΝΙΚ; Αθ. ΛΑΜΠΡΟΠΟΥΛΟΥ

σ�,. 416 - Αρχ. 3�300

�-ΓΕΩΜΕτΡΙΑ Β' Λ ΥΚΕΙΟΥ

θΑΝΑΣΗ Π. Ε:ΕΝΟΥ . σ�; i��θ ,, L\px· 2.800

ΠόΛΙΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ . · e. κοvτrοvκΗ . ' , σελ. 1�6 - ΔRΧ· 1500

Μαθήμα-ία. ΦυοιΚής- Ηλεκτρισμός Ηλεκτρονικά Εξαρτήματα ΤΟΜ.Β> ΔΗΜ. ΠΙΛΙΚΑ γι4 τ.ξ:Λ, l�Κ, TEl

ΈΚθΕΣΗ ΙΔΕΩΝ ΝΙΚΟΥ ΦΡΑΓΚΟΥ

σέλ. 344 - Δρχ. 3.000

· σ�: 344, Δρχ. 4000, σελ. 242, Δρχ; 3300 :

ΙΣΤΟΡΙΑ Γ' Sc Δ' δέσμης ΚΩΝ. ΓΕΡΟΦΩΤΗΣ σελ. 176 - L\ρχ. 2.300

ΣυντακτιΚό Αρχαίας �νικής Αθ. ΓΙΑΓΚΟΠΟΥΑΟΥ, Β ΕΚΔ.

σελ •. 336 - Δρχ. 4.50Q,

" >.Ι!ι.�, ·1,J:J..Jι..J. f .... p!μ1<ι · .,.�-!α;-!; • l'4;.uιLu..ι�

Γενικά θέματα Μαθηματικών 1ης Δέσμης- ΘΑΝ. Π. ΞΕΝΟΥ · σεΧ. .320- Δρχ. 3.300

ΛΥΣΕIΣ ΜΑθ/ΚΩΝ θΕΜΑΤΩΝ 1974-' 94 • ΧΑΡΗ ΠΑΠΑ ΠΙΚ ΟΥ

σελ. 256 - Δρχ. 3000

ΣΥΝτΑΚτΙΚΟ ΛΑ τΙΝΙΚΩΝ Α θ. ΓΙΑ.ΓΚΟΠΟΥ ΛΟΥ σέλ. 600 - Δρχ. 5.500

ΦΥΣΙΚΗ Β' ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΣΤΕΡΓΙΟΥ Α. ΣΑΒΒΙΔΙ

σελ. 176 - Δρχ. 2400 .

Γενικά θέματα Μαθηματίκi 4ης Δέσμης- ΘΑΝ. ή. ΞΕΝΙ

σελ. 184 - Δρχ. 2.400

ΟΡΓΑΝJΚΗ ,ΧΗΜΕ1Α ΠΕ'ΓΡΟ\' ΙAΚfl'βpy . ·· σελ.480 � Δρχ. 4'800

G!!i I'OIOIYDEI .j.� ΝJΛ lrίU .:tΙΙΜΛΙΙΙΣΙΕΙΙ . I

ιΗι� λιΧΑJΑ Ειwuιιiυι

-Πρωτοτυπες Συντακτικες Σημάνσεις στην Αρχαία Ελλην

ΗΛ. ΡΕτΣΟΥ σέλ.120 - Δρχ. 1700

• Στους κ.κ. καθηγητές γίνεται έκπτωση και δίνονται δωρεάν οι λύσεις των ασ · σεων · · ·

Ασκήσεις σε Ιρίyωνο ΑΒΓ (Β > Γ) με In διαφορά Β - r

Ασκaσa 1.

Σε τρίγωνο ΑΒΓ με Β > Γ η γωνία που σχηματίzει το ύψος με τη διχοτόμο που αντιστοιχούν στην πλευρά

8-f ΒΓ ισούται με --2

Λvoa

Α

- - - -Είναι ΔΑΕ = 180° -ΑΔΕ - ΔΕΑ Αλλά ΑΔΕ = 90°

και ΔΡΑ = EAr + f = Δ + f (εξωτερική του τριγώ-2 νου ΑΕΓ} . Άρα

� Α � Α � ΔΡΕ = 180° -90° -�- Γ = 90° ---Γ = 2 2

ο 180° -8-f � = 90 - Γ = 2

ο ο 8 f � 8-f = 90 -90 + - + -- Γ = --2 2 2

� ν 13 -= 31 �� . α; lt.CΙ. "" �E%-OS "' ο.�Α 1 Ι . .χστ.c:> " 0 · �f f-1 vε.ι Α Γ σ-z.ο 6 � \Λ t Ασκaσa 2. sw τ.εe' � "" ό\ ιω z_ '/::λ"S ι:\ "ZMIV Ι?> r �z.c:ι Δ

Σε τρίγωνο ΑΒΓ με Β > Γ φέρνουμε τη διχοτόμο ΑΔ καθώς και τη ΒΚ κάθετη στην ΑΔ. Δείξτε ότι:

� 8-f ΚΒΓ = -· 2

Σταvρος Σταvρόποvλος

κΒr = Β- (κ8Γ + f) = 8-κΒΓ -f <=> � � � � 8-f <=> 2ΚΒΓ = Β- Γ <=> ΚΒΓ = --

2

Α

Β.��L_ __

_iΔ----�� Γ

Α 11 1\.= GC> � · ι ._.., �z.οι ο' ��,ucrz.ε.

6� (' -= I!.:;.J ιι.::.. ι t-ιC\ o τ,ν�ο..J �"- ' /?. G tt �c...., Ασκaσa 3. �Ν .l �Γj M �J. Ar 1 ΜΛj. ι\13 �

Μ 1\-\ 14" - t-'\N "' V'ί'OS c.ι.C'Q U) Β. Σε τρίγωνο ΑΒΓ με Β > Γ φέρνουμε τη διχοτόμο

του ΑΔ. Να υπολογι�ού_J οι γωνίες ΑΔΒ, ΑΔΓ συναρτήσει της διαφοράς Β - Γ.

Λvoa

Α

Β'-------�--------�Γ

f:!ι8-t86� ΑΔ Από το τρίγωνο ΑΒΔ έχουμε:

� � � � Α ΑΔΒ = 180° -Β- ΒΑΔ = 180° -Β-- = 2

= 1soo -8- 180• -B-f = 1so· -8-90· + Β. + r = 2 2 2

Λvoa ο �Β f ο B-f � • � - - - - - = � - - + - = 5)() ---καιΑΔΓ= 180 -ΑΔΒ= Είναι ΚΒΓ = ΑΒΓ - ΑΒΚ = Β - ΑΒΚ (1) . Αλλά το 2 2 2

τρίγωνο ΑΒΕ είναι ισ_2σκελέ<i.. γιατί η _t\1{ είy_αι διχοτό- ( � �) � � μος και ύψος, άρα ΑΒΚ = ΑΕΒ = ΚΒΓ + Γ (εξωτερι- = 180• - 90° -Β-Γ = 90° + Β-Γ. κή του τριγώνου ΒΕΓ} . 'Ετσι από τη σχέση ( 1) έχουμε: Α ΙJ Β _ \ .,. ιa � \?""-'- Μ2 -z-ν i'<> v �"' ς Α Δ � '

f Q - r� � !άΙ. ' � ια.ι.Θ ε z:..ο� c::J:.�O z._o ' K �t l A� Θ no v � "l.v \'f ll\ Μ � μt � 1 _

· ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β κn. τ. 4/22 z..,. τ.. 'i- Μ �t,. -.. Μ � σ-& tΛ Ι/ QB � � ,A Q crz_o 1, το �2 {)_ Λ \ A- t\ .. .,.. 7.-t Λ 0. 1<!- Λ i\

Αοιιιίοεις οε τpίyωvο ABI' (Β > r) με το Διαφορά i - ί'

Ασκnσn 4.

Σε τρίγωνο ΑΒΓ με Β > Γ φέρνουμε την εξωτερική δ , ΑΔ Δ (S:,. , � B-f ιχοτομο του . ει�ιε οτι: ΜΒ = --

A.Jσn

Α

� � �

2

Είναι ΑΔΒ = 180• -ΔΑΒ -ΔΒΑ =

= 180. -λ-ς -Βες= 180· -Β + f - (180° -Β)= 2 2

ο Β f ο � B-f 180 ----- 180 + Β = -2 2 2

Α ν eι ('Ισ -z.o Β 4 f-.€ VJ 'Ρ:, Ει/) Α Δ

Λ.Jσn

(Σχ. 1)

(Σχ. 2)

�Στο <!_χήμα 1 έχου�ε: ΚΑΓ = ΚΑΒ + ΒΑΓ = ΚΑΒ + Α ( 1 ) . Αλλά ΚΑΒ :;: 2�Β γι�ί το τρίyωνο � ε�αι ι�ο�ελές και ΑΒΓ = ω + ΔΑΒ <=> ΔΑΒ = ΑΒΓ - ω = Β - ω (εξωτερική του τριγώνου ΑΔΒ). Έτm από τη σχέση (1 ) έχουμε:

κΑr � 2(B..: ;;;L + Α = 2Β - 2;;; + 180° - Β -f = 180° - 2ω + (Β - Γ) . � �Στο σχή�α 2 έχουμε: ΚΑΓ = ΚΑΒ - ΒΑΓ (2). Αλλά ΚΑΒ = 2ΒΑΔ γιατί το τρίγωνο ΒΑΚ είναι ισοσκελές

- . - - - - - ·

και ω = ΒΑΔ + Β <=> ΒΑΔ = ω - Β (εξωτερική του φι- · � f'ο υ b G Α \ z. o -z� Α � -:: Α Β Ασκnσn 5.

Α -ι Β� 3 r \? ύ'' CAro w r cι� ι..ι l. r� f\Θ.J � (Γ"Ζ,.ο 6 • ω. "U. � 6ef_ \ σ'ΌCί φt .. .').

γώνοJ} ΑΔΒ):..:Ετ� απ_9 τη �έσn .J.2) έχουμε:� � � ΚΑr�= 2(ω - Β) -__Α = �ω - �Β - (180° -� - IJ =

2ω - 2Β - 180° + Β + Γ = 2ω - 180° - Β + Γ = Z.&o(\"t\ �·2ε τριγωνο Atil με Β > Γ προεκτεινουμε την ΑΓ � ' ' ΑΔ ΑΒ Δ (S:,. ' � B-f κατα τμημα = . ει�ιε οτι:. ΔΒΓ = 9()0 + _. _

2 A.Jσn

Β Γ Επειδή το τρίγωνο ΑΔΒ είναι ισοσκελές είναι

ΑΔΒ = ΔΒΑ = ω. Ακόμα Α = 2ω (εξωτερική του τριγώνου ΑΒΔ). Οπότε

� � � Α� � 180° -B-f � ΔΒΓ = ω + Β = - + Β = + Β = 2 2

� � � 2ω - 18ο· - (Β - Γ).

At;!.KDO!I 7. ..,.. ""7 t λ. Μ l Α Β. \'6-r , �ο . , ο "" μ . � Σε τρίγωνο ΑΒΓ με Β > f φέρνουμε το ύψος ΑΔ. Αν Μ το μέ<!_ο της fl' �αι η ΜΔ τέμνει την ΑΒ στο Κ, δείξrε ότι: ΔΚΒ = Β - Γ.

Λ.Jσn Α

Επειδή η ΔΜ είναι διάμεσος του ορθογωνίου τρίγωνου ΑΔΓ είναι

ΔΜ = Ν' = ΜΓ, 2

Σε τρίγωνο ΑΒΓ με Β > Γ φέρνουμε από την κο- άρα το τ_pίγωνο �ΔΜΓ είναι ισοσκελές με Γ � ΜΔ!:_ κι ρυφή Α ευθεία ε που τέμνει τη ΒΓ στο Δ. Αν Κ το αφού ΜΔΓ = ΒΔΚ J.ως κατακορυφήν), είναι Γ = ΒΔΚ. συμμετρικό _ΈΟυ Β ως προς την ε _l{αι Mr = ω, βρείτε Ακόμα η γωνία ΑΒΓ είναι εξωτερική του τριγώνου τη γωνία ΚΑΓ συναρτήσει της ω και της διαφοράς ΒΔΚ, οΕότε: Β - f. (Να δι�ρίν�ε περιmώσεις) . ΑΒΓ = Κ + ΒΔκ <=> Κ = Β- ΒΔΚ = Β- Γ.

ί�ι \"""0 ft� Γ R > r f' Qo f t-zo. \J vι A r ""

Α 1\. _ � Β Σ . Λ. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κη. τ. 4/23 J. Δ Β IHJ ιι: ΑΓ 1-J - '' • �""' ι...:ι � ε_σ-z,.c.ιJ M"'t-�_.<σv """ ι εu�ιCλ � �e�� "�o 7.D Μ c.� ' Λ"'""τ L:Ι Ν J Θ , L ι'5 7..� h �τ ι...ι.... ;".J..C Α Γ' -- · �- � -- ... ... � n . rl"' .. � ... ...... A .ι. ι.J ..L U-t:'I !:!. R f:.

Ασιuiσεις σε τρiyωvο ΑΒΓ (Β > r) pε το Διαφορά i - ί'

Ασκaσa 8.

Σε τρίγωνο ΑΒΓ με Β > Γ φέρνουμε το ύψος ΑΔ. Α� Μ, Ν .!α Η_έσα των ΑΓ, ΒΓ αντίστοιχα, δείξτε ότι: ΔΜΝ = Β - Γ.

Λvoa

Α

Επειδή Μ, Ν μέσα τ�ν πλε�ρών ΑΓ, ΒΓ αντίστοιχα, είναι ΜΝ/ I ΑΒ οπότε ΜΝΓ = Β ως εντός εκτός και επί τα αυτά των παραλλήλων ΜΝ, ΑΒ που τέμνονται από τη ΒΓ. Ακόμα ΔΜ = ΑΓ = ΜΓ (ως διάμεοος του ορθσyωνίου

2

τριγώ_:rου �), άρα τ� τρίγων� ΔΜΓ ε�αι ισοσκελές με ΜΔΓ = Γ. Αλλά ΜΝΓ� = ΔΜΝ �+ ΜΔι:_ (εξω�ρι� του τριγώνου ΜΔΝ) ή ΔΜΝ = ΜΝΓ - ΜΔΓ = Β - Γ. Ασκaσa 9.

Σε τρίγωνο ΑΒΓ με Β > Γ φέρνουμε από την κορυφή Α ευθεία χψ παράλληλη στη ΒΓ. Αν Δ το συμμετρικό του Γ ως πρ.-9ς την xy, δε�ε όΕ:

ΒΑΔ = 180• - (Β - Γ) .

Λvoa

χ ψ

Είναι ΒΓΑ = ΓΑψ ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων χψ, ΒΓ �ου τέμ�ονται από την ΑΓ.

Ακόμα Γ Α ψ = ψΑΔ γιατί το Δ είναι συμμετρικό του Γ ως προς τη χψ.

- - - -Οπότε ΓΑΔ = ΓΑψ + ψΑΔ = 2ΓΑψ = 2ΒΓΑ = 2Γ.

- - - - - - - -Έτσι ΒΑΔ = Α + ΓΑΔ = Α + 2Γ = 180° - Β - Γ + 2Γ

- - - -

Ασκaσa 10.

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Β- Γ = 90 •. Αν Η είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου, δείξτε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΗΒΓ είναι ίσα.

Α Λvoa

Φέρνουμε τα ύψη ΑΔ, ΒΕ, ΓΖ που τέμνονται στο Η. Τότε η γωνία Β του τριγώνου ΑΒι:_ είναι.!ξωτερ�ή του ορθογωνίου τριγώνου ΑΔΒ, άρα Β = ΑΔΒ + ΔΑΒ = 20· +�ΔΑΒ. Αλλά 8-f = 9σ· Ε i3 = �ο· + f, οπότε Γ = ΔΑΒ (1). Ακόμα οι γωνίες Γ και ΑΗΒ είναι οξείες κ� έχο�ν τις πλευρές τους κάθετες μία προς μ.fα, άρα!' = ΑΗΒ (2). Από τις σχ!σεις (1), (2) έχουμε ΔΑΒ = ΑΗΒ, οπότε το τρίγωνο ΑΒΗ είναι ισοσκελές κι έrσι ΑΒ = ΒΗ. Όμως το ΒΔ είναι ύψος του ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΗ οπότε θα είναι και διάμεσος κι έrσι η ΔΓ είναι μεσοκάθετος του τμήματος ΑΗ, άρα ΓΑ = ΓΗ. Επομένως τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΗΒΓ είναι ίσα γιατί έχουν κοινή m ΒΓ, ΑΒ = ΒΗ, ΑΓ = ΓΗ.

Ασιuισa 11.

Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α = 90 •) φέρνουμε το ύψος ΑΔ κα�η διά_!Ι.εσ�.ΑΜ.

Δείξτε ότι ΔΑΜ = Β - Γ. [

Λvoa

Επειδή η ΑΜ είναι διάμεσος έχουμε ΒΓ ΑΜ = - = Blvf, 2

άρα το τρί�νο �Μ είναι ισοσκελές κι έrσι ΒΑΜ = Β (1). Ακόμα ΒΑΔ = Γ (2) γιατί είναι οξείες κι έχουν τις πλευρές τους κάθετες 2ια προ� μια. Ί��σι απ_9 τι'i. σχέ-= 1so· - Β + Γ = 1so· - (Β - Γ).

Λ \l σεις (1), (2) έχουμε ΔΑΜ = ΒΑΜ - ΒΑΔ = Β -�. \ d't� �\ lr\J"'-'Θ AQ v � ' ιι �ι..ι l A r t\ ·-r� �o ='> b th -=- � ι Α k:. • Λ f3 �·'- ο � 0 ι 0 � . ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κn. τ. 4/24

� L.\ Λ. f A r . Α Ι\ \ Α α tl..\ Α .... ... ,ι:ι. ι .- ' n r t�) Λ Α. ::: f\ι..

Ασιuίσεις σε τpίyωvο ABI' (Β > I') με '[D Διαφορά Β - i'

Ασκnσn 12.

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ (Β > Γ) εyγεγραμμέvο σε κύκλ_.9 (0, �). !!ν ΑΔ το ύψος του τριγώνου, δείξι:ε ότι: ΔΑΟ = Β - Γ.

Λvσn Α

Β

Φέρνουμε τη διάμετρ9_ ΑΚ,_!ότε ΑΓΚ = 90° γιατί Βαίνει σε ημικύκλιο και ΑΚΓ = Β γιατί Βαίνουν στο τό-ξ�ΑΓ. Έτ�:

�

ΔΑΟ = ΔΑΙ.:_- � = (180° - ΑΔΓ - Γ) -- (180° -� -�) =

� �

= 1soo - ΑΔΓ - Γ - 180° + ΑΚΓ + ΑΓΚ = = - ΑΔΓ - Γ + ΑΚΓ + ΑΓΚ =

� � �

= - 90" - Γ + ΑΚΓ + 90° = ΑΚΓ - Γ = Β - Γ. Α-ι � -r � �ο τ..o -z.. ii.. � f'h ? /\� -.;:

Ασιιnσn 13.

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ (Β > Γ) εyγεγραμμέvο σε κύκλο (0, R). Από το Α φέρνουμε την ευθεία ε παράλληλη στη ΒΓ πο� τέμν�ι το_:ι κύκλο στο Δ.

Δείξι:ε ότι: ΑΓΔ = Β - Γ.

Λvσn Α

Είναι ΔΑΓ = ΑΓΒ = Γ (1 ) ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων ΑΔ, ΒΓ 'nου τέμνονται από την ΑΓ. Άρα

Ασιmσn 14.

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ (Β > Γ) εyγεγραμμέvο σε κύκλο (Q, R). Αν ΑΔ 'l δι<!_μεσος του τριγώνου, δείξι:ε ότι: ΑΟΔ = 180° - (Β - Γ) .

Λvσn Α

Β

Φέρνουμε !{ΟΙ το ύψος ΑΚ. Επειδή Δ �έσο της �Γ είναι ΟΔ .l ΒΓ κι έτσι ΑΚ I I ΟΔ, άρα ΑΔΟ = ΚΑΔ (εντός εναλλάξ των παραλλήλων ΑΚ, ΟΔ που τέμνο-νται από την ΑΔ).

� �

Όμως απ� το τρίγ�νο ΑΟΔ είναι ACJΔ = �

= 180° - (ΑΔΟ + ΔΑΟ) = 180° - (ΚΑΔ + ΔΑΟ) = = 1soo - κΑο = 1soo - (Β - fJ. γιατί κΑο = Β - f από την άσκηση 12.

Ασκnσn 15.

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ ( Β > Γ.) εyγεγραμμένο σε κύκλο (0, R). Αν η εφαrnομ� του �ύκ2ου στο Α τέμνει τη ΒΓ στο Δ, δείξι:ε ότι: ΑΔΒ = Β - Γ.

Λvσn

Δ

� � �

Α

Είναι ΔΑΒ = Γ γιατί η γωνίε;_ ΔΑΒ σχηματίzεται από χορδή και εφαπτομένη και η Γ είναι η αντίστοιχη εγ-γεγραμμένη yωvία.__

�

Ακόμα ΑΒΓ = Β =�

ΑΔΒ �

+ �Β (εξ�τε�κή του τρ;γώνου ΑΒΔ), άρα ΑΔΒ = Β - ΔΑΒ = Β - Γ.

τα τόξα ΑΒ, ΓΔ είναι ίσα κι έτσι είναι ίσες και οι αντί- Ασκnσn 16. στοιχες χορδές ΑΒ και Γ Δ. Επομένως το ΑΒΓ Δ ι:_!ναι ισ�σκελές τραπέzιο (αφού και ΑΔ 11 ΒΓ) κι έτσι Β = Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Β > Γ . . Με κέντρο το Α ΒΓ Δ (2) . Άρα �ό τις �έσεις__( 1) , (� έ�ουμε: και ακτίνα ΑΒ yράφο�με _!tύκλο που τέμνει τη ΒΓ στο

ΑΓΔ = ΒΓΔ - ΑΓΒ = Β - Γ. Δ. Δείξι:ε ότι: ΔΑΓ = Β - Γ. &crztλl Α- \3 \ � Cλ <IΊ Ο '2D Γ CfLQvJ ι7στ.ι.ι Α �\ �� V\ 8, �0-z-�0� -c.-tιS β., �,

, , Α ."' z;ι::>CΑ""<,ΕΥΚΛΕΙΔΗΣΒ ' κη. τ. 4125 �ν rιec.e . (λ("\ο "U) f: βσ"'� Δ. ε; (\�ι:Λ-�"' ""'"'\J\ . Ιό � "VV\. u \ ';<-� \. ' ι-ι. � :!\ , J • ·-z. ""' s Α e�...-. vσlf-z.c.v\ Δ it.t λ�'Γ Δ=� r 4 ) c-1 "' . �ο ο..\ ο ..... 1.1 :; �ο - � • λ) Β. Α -: (""' Δ

Ασκιiσεις σε τρίyωvο ABI' (Β > f) με τα Διαφορά Β - ί'

Λvon J � � � �

19. Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α = 2Γ και Β - Γ = 36 ο . Δείξτε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές. LΥπό_§ειξ!l � � �

Α + Β + Γ = 180° <=> 2Γ + 36° + Γ + Γ = 180° κτλ. ) .

20. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ (Β > Γ) εyγεγραμμένο σε κύκλο (0, R) . Αν ΑΔ η διχοτόμος του τριγώνου, δείξτε ότι:

ΜΟ = Β- Γ 2

(Υπόδειξη: Φέρτε το ύψος ΑΚ και προεκτείνετε την ΑΔ ώστε να τέμνει τον κύκλο στο Ε. Τότε το τρίγωνο

Επειδή ΑΒ = ΑΔ ως ακτί�ς κύ�ου, το τρίγωνο ΑΟΕ είναι ισοσκελές και συνεχίστε έχοντας υπόψη ΑΒΔ είναι ι�οσκελέ2 κι έr� ΑΔΒ = Β. και την άσκηση 12) .

Αλλά ΑΔΒ �= ΔΑΓ� + Γ J..εξω!_ερ�ή του τριγώνου 21. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ (Β > Γ) εyγεγραμμένο σε ΑΔΓ), οπότε ΔΑΓ = ΑΔΒ - Γ = Β - Γ. κύκλο (0, R). Αν η διχοτόμος ΑΔ τέμνει τον κύκλο στο

a) ειrttJ �-r�'30 }tc.A-1 � Πι1 .. Αδ ;;;ez.tt Ε, δείξτε ότι: ΑΟΕ = 180° - {Β - f) . (Υποδείξη: άσκη-r�� Af . � , � t\ 1.. Ar -.) 1).. 1\ 1' � ση 14) . Ασιιnσn 17. 'i) Α v � t r:fto \l.Cλ' \ f\ � -= ο

zo "tί.. νο-- e,et.EXJ":_v �0 ' �' 'i.,� ν22. Σετρίγωνο ΑΒΓμεΑΒ < ΑΓείναι B-f. = 40° . Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι Β - Γ = 90 ο . Αν ΑΔ το ύψος Στην πλευρά ΑΓ παίρνουμε τμήμα ΑΔ = ΑΒ. Να βρεfrε

του, δείξτε ότι ΑΔ2 = ΔΒ · ΔΓ. σε μοίρες τη γωνία ΔΒΓ. {Υπόδειξη: άσκηση 2).

Λvon

Α

� �

ΈχουμεΑΒΓ = Β = Δ + ΔΑΒ = 9_.9° � ΔΑΒ (εξω-τερική του τριγώνου ΑΔΒ) κι αφού Β - Γ = 90ο <=> Β = 90ο + f είναι ΔΑΒ = f. Άρα τα τρίγων� ΑΔΒ και ΑΔΓ είναι όμοια γιατί έχουν και την γωνία Δ κοινή.

'Ετσι: Μ = ΔΒ <=> Μ2 = ΔΒ · ΔΓ. ΔΓ Μ

Ασκιiσεις yια λvon

18. Σε τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ < ΑΓ παίρνουμε επί της πλευράς ΑΓ τμήμα ΑΔ = ΑΒ. Δείξτε ότι

" � �

23. Σε τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ < ΑΓ είναι Β - Γ =80ο . Να βρείτε την οξεία γωνία που σχηματίzει η διχοτόμος ΑΔ με την πλευρά ΒΓ. (Υπόδειξη: άσκηση 3).

Παρατιiρnσn: Υπάρχει μια ορισμένη ομάδα ασκήσεων στις κατ�σκ�υές τριγώνων που χρησιμοποιείται η διαφορά Β - Γ. Συγκεκριμένα θεωρούμε το σύνολο των στοιχείων του τριγώνου : Α = { υ α (ύψος), μα (διάμεσος), δα (εσωτερική διχοτόμος), δα ' (εξωτερική δι�οτ�ος) , R (ακτίνα περιγεγραμμένου κύκλου) , Β - Γ = φ} . Έχοντας υπόψη τις παραπάνω ασκήσεις καθώς κι ότι για κάθε κατασκευή τριγώνου απαιτούνται τρία στοιχεία, αν αυτά τα στοιχεία δίνονται από το σύνολο Α, τότε η κατασκευή του ΑΒΓ πραγματοποιείται.

Εφαρμοyιί. Να κατασκευαστεί τρίγωνο ΑΒΓ αν δίνονται: α) μα, υα, !? - !:_ =φ, γ) μα, δα, Β - Γ = φ, ε) δα ' , μα, B - f = φ.

β) δα, R, Β- Γ = φ, δ) δα ' , R, Β - f = φ,

Υnόδειξn: Αν ΑΗ το ύψος, ΑΜ η διάμεσος, ΑΔ η εσωτερική διχοτόμος και ΑΔ ' η εξωτερική διχοτόμος του τριγώνου ΑΒΓ να κατασκευάσετε αρχικά ένα από τα τρίγωνα ΑΗΜ, ΑΗΔ, ΑΔ ' Η, ΑΔΔ ' (όποιο φυσικά είναι δυνατό κάθε φορά) . Στη συνέχεια να

ΔΒΓ = Β- Γ (Υπόδειξη: άσκηση 2). προσδιορίσετε το περίκεντρο Ο και τέλος να γράψετε 2 τον κύκλο (0, ΟΑ) που θα σας δίνει τις κορυφές Β, Γ.

ILOV Α Z,.f..) ;χ o'll 'Ζ- ο'\ � fb r Cι...ν ΓΙ ..... σc,νι\1 "€ @ �� Β ( r5 ,.. rΔ � cfV"' r lλ Ι? V\ � Μ ΖΡ \"- f.στ::> V'" S Ι' Δ �=ι. , J?e... , � ""'- � � vι ΑΒ \'1 ε 1'1 ι.. '.?Co\\ f\ Α Γ \1 ε.

f.v ό �cx . '? f\ δ' Ι �:;ζΕ ��Σ� κρ;�� . -u> '-' Μ Γ

ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΤΑΚΗ

ΜΑΘ Η Μ ΑΤ Ι Κ Ά Γ Ι Α ΤΟ ΛΥ Κ Ε Ι Ο ΗΛΙΑΣ ΝΤΖΙΩΡΑΣ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ I Κ Α

Α Ν Α 'ς' Η "' !:101 ο

Γ Ι Α Τ Ι Σ: Δ Ε Ι: Μ Ι! Σ Α, β οο. ο ι Δ

ΓΙΩΡΓΟΣ ΣΚΑΝΔΑΛΗΣ

Μαθηματικά-Ανάλυση Γ' Λυκείου · Δέσμες Α', Β', Δ'

Μαθηματικά Α' Λυκείου Μαθηματικά Β' Λυκείου Μαθηματικά Γ' Λυκείου

ΣΤΕΛΙΟΣ ΕΥΡΙΠΙΩΤΗΣ

Θέματα Ανάλυσης

'----------' Γ' Λυκείου

ΑΙΜΙΛΙΟΣ ΤΣΟΥΛΦΑΝΙΔΗΣ 11 1 ·\ CiΣ Ι 1l. 0 'f ' ΦλΝ!δ -J Σ • Όριο

συνάρτησης,

ΓΙΑ !ΉΝ Α ΔΕΣΜΗ �o-Mt.� 260 λψι;νtς Q:)«Mtl(i :!$0 σλιntς οο•κουι:

Ακολουθίες για την Α' Δέσμη

• Συνέχεια

συνάρτησης, • Ακολουθίες

• Πίνακες

• Ορίζουσες

• Γραμμικά

.. nn1 '�'"�� ., ;:y=η- �,·�� .. ι':"�.υ,ι ' 1 1 ;:;; \ �.�t:-τ;-τ:'� �� '

συστήματα ..__ ______ _.

ΑΙΜΙΛΙΟΣ ΤΣΟΥΛΦΑΝΙΔΗΣ

. Α Ρ Α Γ Ω Γ Ο Ι

Ολοκληρώματα Παράγωγοι

Κεντρική Διάθεση: Σ. Πατάκης ΑΕ. Εμμ. Μπενάκη 1 6, 1 06 78 Αθήνα. Τηλ.: 38. 3 1 .078, Fax: 36.28.950

/

Η βοnθn"Ιικό εvθεία

Στις ασκήσεις της Γεωμετρίας γvωρίzουμε ότι είναι απαραίτητο ένα καλό σχήμα. Πολλές φορές όμως δεν φτάνει αυτό. Χρειάzεται να φέρουμε κάποια βοηθητική ευθεία που θα απλοποιήσει την άσκηση και θα μας βοηθήσει στη λύση του. Εδώ πρέπει να υπάρχει -εκτός από τη σωστή γνώση της θεωρίας- φαντασία και έμπνευση, yvωρίzοvτας ότι ο τρόπος που θα δουλέψουμε δεν είναι πάντα μοναδικός. Ιδού ένα παράδειγμα.

Δίνεται τρίγωνο ισοσκελές ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και τμήμα ΔΕ με άκρα Δ, Ε σrην ΑΒ και σrην προέκταση της ΑΓ αντίσrοιχα. Δείξι:ε ότι το τμήμα ΔΕ διχοτομείται από την ΒΓ αν και μόνο αν ισχύει η σχέση: ΑΔ + ΑΕ = 2ΑΒ.

Σκέψη lη (ισότητα τριγώνων) Α

Σχ. 1 Φέρνουμε παράλληλη προς την ΑΓ από το σημείο

Δ. ΔΖ // ΑΓ. •

•

Έσrω Μ μέσο της ΔΕ. Τ α φίγ�να � και ΜΓΕ είναι ίσα. Έχουν ΔΜ = ΜΕ, Μι = Μ2 (κατακορυφή), Δι = Ε (εντός εναλλάξ) . Άρα ΔΖ = �Ε και �πειδ� το τρίγωνο ΔΒΖ είναι ισοσκελές (Ζι = Γ= Β) θα ισχύει ΔΒ = ΔΖ = ΓΕ ΑΔ + ΑΕ = ΑΔ + ΑΓ + ΓΕ = ΑΔ + ΑΒ + ΔΒ = = 2ΑΒ. Αντίσrροφα. Έσrω ΑΔ + ΑΕ = 2ΑΒ � ΑΔ + ΑΓ Δ + ΓΕ = ΑΓ + ΑΔ + ΔΒ <=> ΓΕ = ΔΒ. Επειδή ΔΒΖ ισοσκελές ΔΖ = ΔΒ = ΓΕ. Άρα τα τρίγωνα ΜΔΖ και ΜΓΕ είναι ίσα και ΔΜ = ΜΕ.

Σκέψη 2η. Φέρνουμε παράλληλη προς την ΑΒ από το σημείο

Ε. ΕΖ // ΑΒ.

•

•

rροyόρnς Δ. Φωτιάδnς

Α

Έσrω Μ μέσο της ΔΕ. Τα τρίγ�να � ΚΟ.!_ Μ� είναι ίσα. Έχουν ΔΜ = ΜΕ, Μι =Μ2 και Β = Ζ (εντός εναλλάξ) . Άρα ΕΖ = � κ�ι επ�δή l_O τρίγωνο ΓΕΖ είναι ισοσκελές (Ζ = Β = Γ = Γ ι) θα ισχύει: ΓΕ = ΕΖ = ΔΒ. ΑΔ + ΑΕ = ΑΔ + ΑΓ + ΓΕ = ΑΔ + ΑΒ + ΔΒ = = 2ΑΒ. Αντίστροφα. Η απόδειξη είvαι παρόμοια και αφήνεται ως άσκηση (το ίδιο ισχύει και παρακάτω) .

Σκέψη 3η (εφαρμογές παρ/ μων) . Α

Έστω Μ μέσο της ΔΕ. Φέρνουμε ΔΖ // ΒΓ. Στο τρίγωνο ΕΔΖ η παράλληλη από το μέσο της ΔΕ προς τη ΔΖ διέρχεται από το μέσο της πλευράς ΖΕ, δηλαδή ΖΓ = ΓΕ.

Ακόμη ΑΔ = ΑΖ (ΑΔΖ ισοσκελές) ΑΔ + ΑΕ = ΑΖ + ΑΓ + ΓΕ = ΑΖ + ΑΓ + ΖΓ =

2ΑΓ = 2ΑΒ. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κη. τ. 4/28

Η βοοθοτιιιά ε"θεία

Σκέψη 4η. Α

Σχ. 4

Έστω Μ μέσο της ΔΕ. Φέρνουμε ΕΖ // ΒΓ. Στο τρίγωνο ΔΕΖ είναι Μ μέσο της ΔΕ, ΜΒ // ΖΕ άρα Β μέσο της ΔΖ και ΔΒ = ΒΖ.

Ακόμη ΑΕ = ΑΖ (ΑΕΖ ισοσκελές). ΑΔ + ΑΕ = ΑΔ + ΑΖ = ΑΔ + ΑΒ + ΒΖ = ΑΔ +

ΑΒ + ΒΔ = 2ΑΒ.

Σκέψη 5η. Α

Έστω Μ μέσο της ΔΕ. Φέρνουμε ΜΚ // ΑΓ και ΜΛ // ΑΒ. Στο τρίγωνο ΑΔΕ, Μ μέσο της ΔΕ και ΜΛ// ΑΔ άρα Μ = ΛΕ. Στο τρίγωνο ΑΔΕ, Μ μέσο της ΔΕ και ΜΚ // ΑΕ άρα ΑΚ = ΚΔ.

ΑΔ + ΑΕ = 2ΑΚ + 2Μ = 2(ΑΚ + ΚΜ) = = 2(ΑΚ + ΚΒ) = 2ΑΒ.

Είναι ΑΚΜΛ παρ/ μο και ΚΒΜ ισοσκελές τρίγωνο.

ΔΕΛΤΙΟ 1ΥΠΟΥ

Το Δ.Σ. της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας (Ε.Μ.Ε. ) , το οποίο εκλέχθηκε στις αρχαιρεσίες της 19ης Μαρτίου 1995 με την υποστήριξη της Δημοκρατικής Συνεργασίας Μαθηματικών, συγκροτήθηκε σε σώμα την 27 Μαρτίου 1995 . . .

ΔΙΟΙΚΗΥΙΚΟ ΣΥΜΒΟΥΑΙΟ

Πρόεδρος Α ' Αντιπρόεδρος Β ' Αντιπρόεδρος Γεν. Γραμματέας Ανοπλ. Γεν. Γραμμοτέος Ειδ. Γραμματέας Τομίας Ανοπλ. Τ α μίας Έφορος Βιβλιοθήκης Μέλη

Νικόλαος Αλεξανδρής Σταύρος Ποποστουρίδης Γεώργιος Δημάκος Κων/ νος Σάλορης Αδάμ Αγγελής Αθονάmος Σκούρος Παναγιώτης Μπουρβάρης Ιωάννης Τσορπολής Νικόλαος Παπαδόπουλος Μπόλης Θεόδωρος Στυλιανός Ανδρεαδάκης Σπυρίδων Κολυβάς Βασίλειος Παπαντωνίου Αντώνιος Ντίνος Κων/ νος Σκανδάλης

ΕΞΕΛΕΚΥΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ

Πρόεδρος Μέλη

Ηλίας Λυπιτάκης Ευάγγελος Ντzιοχρήστος Ιωάννης Τυρλής

Το Δ. Σ. εκφράzει τις ευχαριστίες σε όλους τους συναδέλφους που συμμετείχαν στις εκλογικές διαδικασίες και καλεί όλο το μέλη της Μαθηματικής Κοινότητος να συμμετέχουν στις δραστηριότητες της Ε.Μ.Ε. (Συντακτικές - επιστημονικές επιτροπές, εκδηλώσεις παραρτημάτων κ.λπ.) .


Ασκήσεις Αλyεβρας Β ' Λvκείοv

Α) Λεωνίδας Τοvρλας

Αοκaσa 1.

Να δείξετε ότι

Λvσa

συv3α συvα-ημ5α ημα = συv4α �α-ηifα

συv3α συvα-ημ5α ημα �α-ημ2α

l[σuv (3α-α) + συν (3α + α)] -l[σuv (5α-α) - συv (5α + α)] 2 2 =

συv2a- ημ2α 1 (συv2α + συv4α-συv4α + συν6α) �2--------------------- =

�α-nifα 1 ( ) 1 2a + 6a 2a-6a - συν2α + συν6α -2συν συν--2 = 2 2 2

�α- ηifα συv2α- ηifα συν4α συν2α = συν4α

συν2α

Αοκaσn 2.

Να αποδείξετε ότι αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση

ημΑ = ημΒ + ημΓ (1) συvΒ + συvΓ

τότε αυτό είναι ορθογώνιο.

Λvσn Η σχέση (1 ) γράφεται:

Β + Γ Β-Γ 2ημ -- συν--2ημΔσυνΔ = 2 2 ή

2 2 2συv Β + Γ συν Β-Γ 2 2

Λεωνίδας Τοvρλας

Χρήστος Λαzαρίδnς

Β + Γ ημ--

2ημΔσυνΔ = 2 (2) 2 2 Β + Γ συv --

2 , Β + Γ Α Β + Γ Α ομως ημ -- = συν- και συν-- = ημ-

2 2 2 2 συν Δ

οπότε η (2) yίvει:αι 2ημ Δ συν Δ = __ 2

2 2 ημΔ 2

Επειδή συν Δ ;ι! Ο έχουμε ότι 2ηif Δ = 1 απ' όπου 2 2

ημΔ = ii {νιαrίημΔ;ι! -Γ2) 2 2 2 2

"'

Άρα Δ = 45ο ή Α = goo. 2

Ασκaσa 3.

Αν οι ρητοί αριθμοί α, β, 5 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, να βρείτε τις ρίzες του πολυωνύμου f(x) = α3χ3 - (α - 1)χ2 - (2β + 1 )χ + 3α2 + 3, αν γvωρίzουμε ότι μια ρίzα του είναι η χ = 1 .

Λvσa Επειδή οι αριθμοί α, β, 5 είναι διαδοχικοί όροι

ΑΠ., θα ισχύει 2β = α + 5 (1 ) Ακόμη έχουμε f(1 ) = Ο.

Άρα f(1) = α3 · 13- (α- 1) · 12- (2β + 1) · 1 + 3if + 3 = Ο ή α3 - (α - 1) - 2β - 1 + 3α2 + 3 = Ο ή λόγω της (1) α3 - α + 1 - α - 5 - 1 + 3α2 + 3 = Ο ή α3 + 3α2 - 2α - 2 = Ο

Εφαρμόzοvτας σχήμα Homer βρίσκουμε μοναδική ρητή ρίzα την α = 1, οπότε β = 3.

Το πολυώνυμο f(x) θα έχει την μορφή f(x) = χ3 - 7χ + 6


Ασκόσεις Αλyεβρας Β' Αιικείοιι

χ3 - 7χ + 6 = χ3 - χ - 6χ + 6 = = χ(χ2 - 1) - 6(χ - 1) = = χ(χ - 1) (χ + 1) - 6(χ - 1) = = (χ - 1) (χ2 + χ - 6) = = (χ - 1) (χ - 2)(χ + 3)

Οι ρίzες του πολυωνύμου θα είναι οι: χ = 1 ή χ = 2 ή χ = -3

Ασκnσn 4.

Να υπολογίσετε τους αριθμούς α και β, όταν οι αριθμοί α, 5, β είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, ενώ οι α, 3, β είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου.

Λuσn Επειδή οι αριθμοί α, 5, β είναι διαδοχικοί όροι

ΑΠ. θα έχουμε α + β = 10 (1 ) Επειδή οι αριθμοί α, 3, β είναι διαδοχικοί όροι Γ.Π.

θα έχουμε α · β = 9 (2) Από τις (1 ) και (2) συμπεραίνουμε ότι οι α και β εί

ναι οι ρίzες της εξίσωσης χ2 - 10χ + 9 = Ο. Από τη λύση της τελευταίας παίρνουμε ότι α = 1

και β = 9 ή α = 9 και β = 1 .

Ασκnσn 5.

Να λυθεί η εξίσωση (7 -4f3)x = 2 + f3

Αχιλλέα Β. Κυριάκου ΚυκλοφοQεί: 330 Λυμένα Γενικά Θέματα 4ης Δέσμης

επιπέδου Γενικών εξετάσεων εφ όλης της ύλης

Κ ι•χλοιrιψοι•ν ι ;τωη; οτη νι υ t•λη • Άλγεβρα Α ' Λυκείου (2 τεύχη) • Άλγεβρα 1 ης Δέσμης • Άλγεβρα 4ης Δέσμης • Ανάλυση 4ης Δέσμης (2 τεύχη)

Εκδοτ. Όμιλ. Συγγρ. Καθηγητών. Σόλωνος 100 Αθήνα τηλ. 3646 125. Αχιλλέας Β. Κυριάκου - Ασκληπιού 28 Λάρισα τηλ. (04 1 ) 259530 & (0495) 3 1 125

�τους Μαθηματικούς γίνεται έκπτωση 30% και δίνονται δωρεάν οι λύσεις των ασκήσεω:ι,

Λuσn Η εξίσωση γράφεται

[� + (Γ3� -2 · 2 · Γ3] χ= 2 + Γ3 ή (2- Γ3�χ= 2 + Γ3 ή (2- Γ3�χ (2- Γ3) = (2 + Γ3) (2- Γ3) ή (2- Γ3�χ + 1 = 1 απ' όπου 2χ + 1 =0 ή χ= _1.

2

Ασκnσn 6.

Να λυθεί το σύστημα: χ + Ιοg3ψ = 3 (1) ψ = 3χ + 6 (2)

Λuσn Από την (1 ) έχουμε log3ψ = 3 - χ, (ψ > 0) ή

ψ = 33 - χ (3)

Από τις (2) και (3) έχουμε: 3χ + 6 = 33 - χ ή 3χ + 6 = 33 . 3- χ

ή 3χ . 3χ + 6 . 3χ = 33 ή 32Χ + 6 . 3χ - 27 = ο

Θέτουμε 3χ = z > Ο (4), οπότε έχουμε την εξίσωση z2 + 6z - 27 = Ο απ' όπου z = 3 ή z = - 9 < Ο, απορρίπτεται.

Από την (4) 3χ = 3 παίρνουμε χ = 1 και από την (3) ψ = 33- 1 παίρνουμε ψ = 9.

Κυκλοφόρησε το βιβλίο

"ΚΑθΟΛΙΚΗ ΑΛΙΈΒΡΑ I'' του καθ. Παν. Αθηνών και τ. Προέδρου

της ΕΜΕ, Σπ. Ζερβού.

Ένα βιβλίο μοναδικό και απαραίτητο

για κάθε

σκεπτόμενο μαθημαηκό.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κη. r. 4/31

Ασιuiσεις ΑλΎΕ8ρας Β" J\1J8Eioσ

Ασκnσn 1. Β) Χρόστος Λαzαρίδnς I

τ ο γινόμενο των ν πρώτων όρων μιας ακολουθίας v2 + 3v

(av) είναι Πv = 2 2 , V ν Ε Ν*. Να βρεθεί το άθροισμα Sν, των ν πρώτων όρων της.

Λvσn ι2 + 3· ι

a1 = Π1 = 2 2 = 4. Ο νιοστός όρος της (Gv), όταν ν > 1 , είναι:

α ι ClΊ . . · Clv - ι Clv Ov = -----αι ClΊ • • • Clv - 1

2v + 2 2 2 = 2 2 = 2v + l

(v - 1)2 + 3 (v - 1) 2 2

'Εχου Clv + 1 _ 2v + 2 - 2 , ( ) , ΓΠ με -- - -- - , αρα η 0v ειvαι . . Clv 2v + l

με αι = 4 και λ= 2. , λv - 1 � - 1 ( ) Τεfιικα, S.., = αι -- = 4-- = 4 � - 1 .

λ- 1 2- 1

Ασκnσn 2.

Να βρεθεί το άθροισμα S = 11 . . . 1 + 22 . . . 2 + . . . + 99 . . . 9. (Ο κάθε όρος του S έχει ν το πλήθος ίσα ψηφία).

Avσn Κάθε όρος του αθροίσματος έχει την ακόλουθη

μορφή: κκ . . . κ = κ(ll . . . 1) = = κ(1 . 1ov- l + 1 . 1ov -2 + . . . + 1 . 10 + 1) = = κ(1ov- l + 1ov - 2 + . . . + 10 + 1 ) =

10V - 1 Κ ( ) { } = κ-- = - 10V - 1 , κΕ 1, 2, . . . 9 . 10- 1 9

Τελικά, έχουμε: S = 1(1ov - 1) + 2.(1ov - 1) + . . . + 2.(1ov - 1) =

9 9 9 = (1ov - 1) 1 + 2 + · · · + 9 = (1ov - 1)12. (1 + 9) =

9 9 2 = s(1ov - 1)

Ασκnσn 3.

Έστω ΑΠ. με a100 = 2. Να βρεθεί το άθροισμα S, των 100 πρώτων περιπής τάξεως όρων της.

Avσn Οι τάξεις των όρων είναι 1 , 3, 5, . . . , δηλαδή σχη

ματίzουν ΑΠ. με πρώτο όρο 1 και διαφορά 2. Ο εκατοστός όρος της είναι 1 + (100 - 1)2 = 199.

Τελικά, S = α1 + a3 + . . . + a199 = α1 + (α1 + 2ω) + . . . + (α1 + 198ω) = 100α1 + (2 + 4 + . . . + 198)ω = 100α1 + 99/2 (2 + 198)ω = 100α1 + 100 · 99ω = 100(α1 + 99ω) = 100 [a1 + (100 - 1)ω] = 100α100 = 100 · 2 = 200.

Ασκnσn 4.

Έστω Γ.Π. με a101 = 2. Να βρεθεί το γινόμενο Π, των 201 πρώτων όρων της.

Avσn Έστω λ ο λόγος της Γ.Π. Τότε: Π = α1α2 . . . α2οι =

αι(α lλ) (αιλ2) . . . (αιλ2ΟΟ) = aι20lλl + 2 + . . . +200 =

?01 200 (1 + 200) Οϊ · λ 2 =

αΙ8l = 2201 _

Ασκnσn 5.

Έστω (Gv) μια ακολουθία θετικών αριθμώνmς οποίας ο πρώτος όρος a1 είναι ο γεωμετρικός μέσος των 1 , 2, ο a2 ο γεωμετρικός μέσος των 1 , a1, ο a3 ο γεωμετρικός μέσος των 1, a2 κ.τ.λ. Να βρεθεί ο νιοστός όρος της (Gv) και το γινόμενο Π, των aπείρων όρων της.

Avσn 1 1

αΙ = 1 · 2 => αι = ii, � = 1 · αι => cη = 24", 1

� = 1 · a2 => α3 = � . . . . Παρατηρούμε ότι κάθε όρος της (Gv) είναι δύναμη

με βάση το 2 και εκθέτη που είναι όρος Γ.Π. με πρώτο όρο 1/2 και λόγο 1/2 με, lλl < 1 .

Ο νιοστός εκθέτης θα είναι

}(})v - 1 = (}γ, άρα Ο Clv = 2

(})v_

Το zητούμενο γινόμενο είναι: Π = α1α2 . . . Gv . . . = 1 (1\2 (1)v 1 + (1\2 + + (1)v +

= 22 2 2J . . . 2 2 . . . = 22 2 J ·

·

·

2 ·

· ·

= 21 = 2 (0 εκθέτης είναι άθροισμα aπείρων όρων της Γ.Π.,

άρα ισούται με

} = 1). 1-1

2 ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κη. τ. 4/32

rΕΩΜΕΤΡΙΑ Β , ΛΥΚΕιοv

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ�

ί\σκaσa la

.Δ �

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α = 60" β = 5, γ = 3. Να υπολογιστεί η διάμεσος του μ0•

Λvσa

.Δ �

Α

Στο. ΑΒΓ (Α < 90 · ) οπότε από το γενικευμένο πυθαγόρειο θεώρημα είναι:

if = β2 + \f-26 . Μ}<=> if = β2 + \f-βγ (1) Nro Μ = Υ (νιαή;)

2 .Δ

Στο ΑΒΓ (ΑΜ διάμεσος) �

<=> β2 + .f = � + if <=>262 + 2\f = � + if: 2

<=> 262 + 2\f = � + β2 + 1--βv<=>

<=> � = β2 + .;ι. + βγ<=>

<=> ιζ = 25 + 9 + 15 <=> ιζ = 49 <=> lJa = l 4 4 2

ί\σκaσa 2a

Δίνεται κuκλος (0, R) και xoρpq του ΑΒ = λ3. Αν Μ σημείο του κυρτογώνιου τόξου ΑΒ ώστε ΑΜ = 2 και ΜΒ = 5 να υπολογιστεί η ακτίνα R του κuκλου.

Κατσοvλnς rιώρyος

Λώσa

Είναι ΑΒ = ί\3 � ΑΒ = R f3 (1) και Μ = 120" (γιατί;) . .Δ �

Στο τρίγωνο ΑΜΒ είναι Μ > 90 • οπότε εφαρμόzο-vτας γενικευμένο πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε:

ΑΒ2 = ΡΜ2 + ΜΙ# + 2 ΜΒ . ΜΗ} <=> /Wri ΜΗ = ΡΜ (γιαrί;)

2 <=> ΑΒ2 = ΡΜ_2 + ΜΒ2 + ΡΜ . ΜΒ <=>

(1) <=> 3� = 4 + 25 + 10 <=> 3� = 39 <=> R = m

ί\σκnσa 3n

.Δ

Αν ΑΜ διάμεσ�ς του τρ_!Υώνου ΑΒΓ και οι διχοτό-μοι των γωνίων ΑΜΒ και ΑΜΓ τέμνουν ης ΑΒ, ΑΓ στα Ε και Ζ αντίστοιχα και η ΕΖ τέμvει την ΑΜ στο Η δείξτε όη ΜΕ2 + ΜΖ2 = 4ΜΗ2

Λvσa Α


Γεωμ.ετρiα s·

Δ.

Στο ΑΜΒ (ΜΕ διχοτόμος =

Δ.

·� = λ\1 ΕΒ ΜΒ

Στο ΑΜΓ ΜΖ διχοτόμος) =

Ν. = ΑΜ (2) ΖΓ ΜΓ

ΑΛλά ΜΒ = ΜΓ (3) Από (1) , (2) , (3) , είναι

ΑΕ Ν. -. =- <=>ΕΖ//ΒΓ (4) ΕΒ ΖΓ

Έχουμε

Μι =:_ Μ2 JME δΙΧDtόμος) \ <=>ΜΗ = ΗΕ (5) Μι =Ει (από (4)) /

Όμοια ΜΗ = ΗΖ (6) Δ Στο ΜΕΖ (ΜΗ διάμεσος) -

'ι\σκnσn 4n

Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι: ΑΒ = 10, ΒΓ = 20 και ΑΓ = 15

α) Να βρεθεί η απόσταση των σημείων στα οποία τέμνουν τη μεγaλl)τερη πλευρά η εσωτερική και εξωτερική διχοτόμος της aπέναντι γωνίας.

β) Αν δα = 3 Γ6 να βρεθεί η εξωτερική διχοτόμος δα '

Λ.Sσn

�Γ Ε Β Δ

a) Είναι Α > 90" (γιατί;) και π εξωτερική διχοτόμος ΑΕ τέμνει την ΒΓ στην προέκταση προς το μέρος του Β (γιατί;)

ΕΝαι ΒΔ = ΒΓ . ΑΒ = 200 = 8 και

ΑΒ + ΑΓ 25 ΒΓ · ΑΒ 200 ΕΒ = . =-= 40 (γιαrί;)

ΑΓ -ΑΒ 5

Άρa ΔΕ = ΒΔ +ΕΒ = 48 β) Είναι ΜΕ = 90" Jyιaτί;) οπότε ΑΕ2 = ΔΕ2 -

ΑΔ2 - ΑΕ2 = 482 - (3 V 6 )2 - ΑΕ2 = 2304 - 54 = 2250 - ΑΕ = δα = 15ii0

'ι\σκnσn Sn

Δίνεται κύκλος (0, R) και χορδή του ΑΒ = λ6. Προεκτείνουμε την ΑΒ κατά ΒΓ = ΑΒ και φέρνουμε � εφamόμεvο τμήμα ΓΔ. Αν η διχοτόμος της γωνίας Γ τέμνει τις ΒΔ, ΑΔ στα σημεία Ε και Ζ aντίστοιχα δείξτε ότι: ΒΕ · ΑΖ = ΔΕ · ΔΖ

Λ.Sσn

Είναι ΓΒ..ί\ τέμνουσα} <=> ΓΔ2 = ΓΑ ΓΒ <=> ΓΔ εφαmομέvη <=> ΓΔ2 = 2R · R = 2� <=> ΓΔ = Rf2 (1)

Δ Στο ΒΓΔ (ΓΕ διχοτόμος) -<=> ΒΕ = ΒΓ <=> ΒΕ = __Β._<=> ΔΕ ΓΔ ΔΕ Rf2

<=> ΒΕ = ii_ (2) Δ ΔΕ 2

Στο ΑΓΔ (ΓΖ διχοτόμος) -<=>Ν. = ΑΓ <=>Ν. = 2R <=> ΔΖ ΓΔ ΔΖ Rf2

<=> Pll = _2._ (3) ΔΖ f2

Από (2) και (3) είναι ΒΕ . Pil = 1<=>ΒΕ·ΡΙΖ=ΔΕ ·ΔΖ ΔΕ ΔΖ


ΙΈωpει:ρία Β· Λιικείοιι

Ασκnσn 6n

Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με μβ.lμγ. Δείξι:ε ότι:

i) 62 + y2 = 5a2 ii) Αν ΑΔ ύψος και Η ορθόκεντρο ΑΗ · ΑΔ = 2a2

Avσn

Α

Β

Γ

i) Αν Θ βαρύκεντρο είναι

ΘΜ = � (yιαrί;) <:> 1 J.Ια = � <:> J.Ια = 3α (1) 2 3 2 2

Α?ιΜβ2 + � = 2� + if <:> 2

62 + � = 2 · (�) +� <:> β2 + � = sif

Α

ii) Είναι ΔΗΕΓ εγγράψιμο (γιατί;) , άρα ΑΗ · ΑΔ = ΑΕ · ΑΓ (2ι

Επειδή Α < 90• από το γενικευμένο πυθαγόρειο θεώρημα είναι:

a2 = 62 + y2 - 2ΑΓ · ΑΕ � 2ΑΓΑΕ = 62 + y2 - a2 (2) 2 � 2ΑΗ · ΑΔ = 5ο - a2 � ΑΗ · ΑΔ = 2a2.

A.,.nσn 7n

Δίνεται κύκλος (Κ, R) και ευθεία (ε) που δεν τέμνει τον κύκλο. Από σημείο Μ της (ε) φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΜΑ, ΜΒ και την ΚΓ .l(ε). Αν η ΑΒ τέμνει την ΚΓ στο Ν δείξι:ε ότι ΚΝ · ΚΓ = R2

Avσn

Φέρνουμε ΚΜ. Είναι ΚΜ .l ΑΒ (γιατί; ) άρα το τετράπλευρο ΓΝΗΜ είναι εγγράψιμο (γιατί;) οπότε ΚΝ ·

ΚΓ = ΚΗ · ΚΜ (1 ) .Δ Αλλά το ΚΑΜ είναι ορθογώνιο στο Α και ΑΗ ύψος

οπότε Jq-1 · ΚΜ = ΚΑ2 (γιατί;) !g ΚΝ · ΚΓ = R2.

Ασκnσn 8n

.Δ Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Θ το βαρύκεντρό του. Αν

Κ, Η τα μέσα των ΒΘ, ΓΘ αντίστοιχα δείξτε ότι: i) (ΘΑΒ) = (ΘΒΓ) = (ΘΓΑ) ii) (ΒΚΗΓ) = 1 (ΑΒΓ)

Α 4

Β

Avσn r .Δ i) Στο ΑΒΓ (ΑΜ διάμεσος) � (ΑΒΜ) = (ΑΜΓ)

.Δ Στο ΒΘΓ (ΘΜ διάμεσος) � (ΒΘΜ) = (ΘΜΓ) Άρα (ΑΒΜ) - (ΒΘΜ) = (ΑΜΓ) - (ΘΜΓ) � (ΘΑΒ)

= (ΘΓΑ) Όμοια (ΘΑΒ) = (ΘΒΓ) Επομένως (ΘΑΒ) = (ΘΓΑ) = (ΘΒΓ) = 1 (ΑΒΓ) (1)

3 .Δ ii) Στο ΒΘΓ επειδή Κ, Η μέσα των ΒΘ, ΘΓ είναι

(ΚΘΗ) = 1 (ΘΒΓ) (yιαrί;) <:> 4 .

(1) (ΒΚΗΓ) = 3_ (ΘΒΓ) <:> (ΒΚΗΓ) = 1 (ΑΒΓ)

4 4

Ασκnσn 9n

Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α = 90.) , Δ μέσο ΑΒ και ΔΕ .l ΒΓ. Αν (ΒΔΕ) =

3_ (ΑΔΓ) να υπολο-, , �Β . 8 γιστει η γωνια :

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κη. τ. 4/3$

Γεωpετpία Β' Λvκείοv

Λvσa Β

Δ Στο ΑΒΓ (ΓΔ διάμεσος) .;,;. (ΑΔΓ) = (ΒΔΓ) (1) (1) Έχουμε (ΒΔΕ) = 3. (ΑΔΓ)<=>

8

lΒΕ ·ΔΕ (ΜΕ) = 3_ <=> 2 = 3_ <=> ΒΕ = 3_ ΒΓ (2) (ΒΔΓ) 8 lΒΓ ·ΔΕ 8 8 2

.Δ Δ

Ν\λά τα τρίγωvα ΑΒΓ και ΒΔΕ είvαι όμοια (γιατί;) οπότε

ΒΕ = ΒΔ. <=> ΒΕ · ΒΓ = ΒΔ.· ΑΒ ΑΒ ΒΓ : 3_ ΒΓ · ΒΓ = ΑΒ

· ΑΒ <=> � = 3_ ΒΓ2 (3) 8 2 4

Στο ΑΒΓ (Α = 90° ) .;,;. ΒΓ2 = ΑΒ2 + ΑΓ2 .;,;. � ΒΓ2 = 3. ΒΓ2 + ΑΓ2 .;,;. ΑΓ2 = l ΒΓ2 .;,;. 4 4

ΒΓ � <=> ΑΓ = - <=> Β = 30° 2

Ασκnσn lOn

Καvοvικό εξάγωvο ΑΒΓΔΕΖ είvαι εγγεγραμμέvο σε κύκλο (0, R) . Av Κ, Μ μέσα τωv ΒΓ και ΔΕ αvτί-

..,.

στοιχα vα βρεθεί το εμβαδό του τριγώvου ΑΚΜ.

Λvσa

I �----�-r--�� r

Είvαι (ΑΚΜ) = 1 ΚΜ · ΑΗ (1) 2

Ν\λά ΒΓΔΕ ισοσκελές τραπέzιο (γιατί;) με ΒΕ = 2R, ΓΔ = R

ΚΜ = ΒΕ + ΓΔ = 2R + R <=> ΚΜ = 3R (2) 2 2 2

Επίσης ΑΗ = ΑΝ + ΝΗ .;,;. ΑΗ = α6 + 06 (γιατί;) 2

<=> ΑΗ = Rfi + K{J <=> ΑΗ = 3RU (3) 2 4 4

Από (1) , (2), (3) έχουμε

(ΑΚΜ) = l3R . 3Rfi <::> (ΑΚΜ) = gfi � 2 2 4 16

Ασκnσn lln

Σε κύκλο (0, R) παίρvουμε τα διαδοχικά σημεία - -

Α, Β, Γκαι Δ ώστεΑΒ = 60° , ΒΓ = λ12, ΓΔ = 60° . Να βρεθεί το εμβαδό του μικrόγραμμου σχήματος ΑΒΓΔ

Λvσa

ο

Το εμβαδό του μικrόγραμμου σχήματος ΑΒΓΔ είvαι (ΑΒΓΔ) = Εκ. τομέα (ΟΑΒΓΔ) - (ΟΑΔ) - Εκ. τμή-ματος (ΟΒΓ) (1) 11 11

Είvαι ΒΓ = λ12 .;,;. ΒΓ = 30° .;,;. ΑΔ = 150° . Άρα Εκ. τομέα

(ΟΑΒΓΔ) = π. � · 150ο = 5� (2)

και Εκ. τμήματος 360° 12

(ΟΒΓ) = π . � . 3Οο (ΟΒΓ) = � - (ΟΒΓ) (3) 360° 12

Από (1), (2), (3) έχουμε:

(ΑΒΓΔ) = 5 � - (ΟΑΔ) -� + (ΟΒΓ) = 12 12

4� � ,

� � ο = -- = -διστι ΒΟΓ + ΑΟΔ = 180

12 3 , (ΟΑΔ) ΟΑ · ΟΔ rι?. οπσrε-- = = n:. = 1 <=> (ΟΑΔ) = (ΟΒΓ)

(ΟΒΓ) ΟΒ · ΟΓ �


Ι'εωpετρία Β' Λιικείοιι

Ασιιaσa 12a

Δίvεται ορθογώνιο ΑΒΓ Δ με ΑΒ = 2α, ΒΓ = α και Ε μέσο ΑΒ. Στο εσωτερικό του ορθογωνίου γράφουμε ημικύκλιο διαμέrρου ΑΒ και τα τεταρτοκύκλια (Α, α), (Β, α) που τέμvουv το ημικύκλιο στα Η και Κ αντίστοιχα. Να υπολογιστεί το εμβαδό του μικτόγραμμου τριγώvου ΕΗΚ.

Λ.Sσa

Τ ο ημικύκλιο διαμέrρου ΑΒ εφάπτεται της ΔΓ στο μέσο της Μ (γιατί;)

Άρα (ΕΗΚ) = (ΕΗΜ) + (ΕΜΚ) (1 ) Τα μικτόγραμμα τρίγωvα ΑΔΗ, ΕΗΜ, ΕΜΚ, ΒΚΓ

είvαι ισεμβαδικά (γιατί; ) (2) .

Είvαι (ΑΔΗ) = Εκ. τομέα (ΑΔΗ) - Εκ. τμήματος (ΕΑΗ) (3)

Αλλά ΑΗΕ ισόπλευρο <* Α1 = 60° <* Α2 = 30 °

οπότε

Εκτομέα (ΑΔΗ) = πif . 30ο =

πif (4) και 360° 12

Εκτμήματος (FAH) = πif . 60ο Q2'{3 -360° 4

= πif -Q2'{3 (5) 6 4

Από (3), (4), (5) είvαι (ΑΔΗ) = πif -πif + Q2 f3 = 12 6 4

= Q2 Γ3- πif . (6) 4 12 Από (1), (6) και (2) είvαι: (ΕΗΚ) = 2 (02 �-;) =

Q2 Γ3 πif 2 6

• Συναρτήσεις - όριο - συνέχεια • Παράγωγος (Β έκδοση) • Ολοκλήρωμα (Β έκδοση) • Πίνακες συστήματα - διανύσματα - ευθεία • Κωνικές τομές - πιθανότητες - μιγαδικοί

ΕΙ m!\1i.ιtιil'ι ,Atqμη - � • Μαθηματικά 4ης Δέσμης (Β �κδοση)

(Αλγεβρα - Ανάλυση)

Κυκλοφορούν από τις Φuσικομαθηματικές εκδόσεις ''Αίθρα" (Απρίλιος 1 995) :

1. "Απειροστικόc; Λοyισμόc;" τόμος 11 (σε δ6ο τε6χτι) των Σ. Νεγρεπόvτη - Σ. Γιωτόπουλου - Ε. Γιαvvακούλια, Τόμος llα (σελ. 439, δρχ. 6500) και

Tόuot llβ fσελ 377. δοΥ 5500)

2. "Οι αστρονόμοι ττιc; Αρχαίας Ελλάδας" των Β. Σπαvδάγου - Ρ. Σπαvδάγου - Δ. Τραυλού (σελ. 344, δρχ. 3000).

Φυσικομαθηματικό Βιβλιοπωλείο «Αίθρα» * Ανδρέα Μεταξά 26 * 1 06 81 Αθήνα * τηλ. 3301 269 -· 3301 252 * fax. 3301 252


Τετράεδρο - Π"ραμίδα

Στη Στερεομετρία, από τα Πολύεδρα, ξεχωριστό ενδιαφέρον παρουσιόzει η μελέτη του Τετραέδρου γενικό, καθώς και των ειδικών μορφών του (κανονικού, ορθοκενψικού, τρισορθογώνιου, ισοεδρικού κ.λ.π.)

τ ο τ ετρόεδρο μπορεί να θεωρηθεί και ως τ ριγωνική πυραμίδα και η κάθε έδρα του ως βάση της. Στην πυραμίδα ή βάση δεν είναι αναγκαστικό τρίγωνο, όπως στο Τετράεδρο, αλλά ένα κυρτό πολύγωνο το οποίο και τη χαρακrηρίzει (τριγωνική, τετραγωνική κ.λ.π. ) . Εάν το πολύγωνο l:ης βάσης της πυραμίδας είναι κανονικό και έπι πλέον η κορυφή της προβάλλεται στο κέντρο της βάσης, η πυραμίδα καλείται κανονική.

Εδώ πρέπει να τονίσουμε και τη ξ)ιαφορό μεταξύ κανονικοv τει:ραέδρο" και κανοvικιiς τριyωvικιiς iι"ραpίδας. Στο κανονικό Τετράεδρο όλες οι έδρες είναι ίσα ισόπλευρα τρίγωνα (άρα το κανον. τετράεδρο έχει ίσες όλες τις ακμές του) ενώ στη κανονική Τριγωνική πυραμίδα η βάση είναι ισόπλευρο .τρίγωνο και οι παράπλευρες έδρες της ίσα Ισοσκελή τρίγωνα.

Όγκος Τετραέδρου: ν = 1/3 Ε1 · υ1, δηλ. το 1/3 του εμβαδού μιός βάσης επί το αντίστοιχο ύψος

Κανονικό Τετράεδρο (ακμής α):

υ = α f6' ν= a3V2 3 12

(Βασική Εφαρμογή σχολ. βιβλίου)

Πυραμίδα

ν= 1Εa υ 3

όπου υ το ύψος της πυραμίδας και Ε6 το εμβαδόν της βάσης της

Κόλουρος Πυραμίδα:

όπου Ε και Ε· Τ α εμβαδά των βάσεων και υ το ύψος της κολούρου πυραμίδας.

θανάσnς Κvpιακόοοvλος

Άσκnσn ln

Δίνεται κανονικό τετράεδρο ακμής α και σημείο Ο εσωτερικό αυτού. Να δείξετε ότι το άθροισμα των αποστάσεων του Ο από τις έδρες του τετραέδρου είναι σταθερό.

Αnόδειξn:

Α

Β Δ

r

Έστω χ, y, z, ω, οι αποστάσεις του Ο από τις έδρες του τετραέδρου. Είναι ν ΑΒΓΔ = νΟΒΓΔ + νΟΑΓΔ + νΟΑΒΔ + νΟΑΒΓ ή ν/Η Δ= 1 (ΒΓΔ) χ+ 1 (ΑΓΔ) y + 1 (ΑΒΔ) z + 1 (ΑΒΓ) ω

3 3 3 3

= }(if�)x+ }(if�)y+ }(if�)z+ }(if�)ω

ifi3 ( ) ' =-- x+ y+ z +ω η 12 12ν/ΗΔ x+ y+ z + ω = ή ifi3

12 · (a3 Γ2) · x+y+ z+ ω = 12 ή

ifi3 αf6 x+y+ z+ ω =--=u

3

Δηλ. το άθροισμα αυτό είναι σταθερό και μάλιστα ίσο με το ύψος του τετραέδρου ΑΒΓ Δ.


Ταράεδpο - Π\Ιpαμiδα

Ασκaσn 2n

Δίνεται κανονικό τετράεδρο ΑΒΓ Δ, ακμής α και το ύψος ΑΗ αυτού. Εάν Ο το μέσο του ΑΗ, να δείξετε ότι το τετράεδρο ΟΒΓΔ είναι Τρισορθογώνιο στο Ο.

Αοόδειξn:

Α

Δ

r

Αρκεί να δ�ίξουμε _.?τι � ΒΟΓ = ΓΟΔ = ΔΟΒ = 90• . Επειδή το Τετράεδρο είναι κανονικό:

ΒΓ = ΓΔ = ΒΔ = ΔΑ = ΑΒ = ΑΓ = α. Το Η είναι Βαρύκεντρο του τριγώνου ΒΓΔ (γιατί;)

.Δ

Στο τρ. ΒΑΗ, ΒΟ διάμεσος άρα από θεώρ. Διαμέ-σων:

ΑΒ2 + ΒΗ2 = 20C)2 + ΑΗ2 ή 2

40� = 2ιi + 2ΒΗ2 -ΑΗ2 (1)

Είvαι: ΒΗ = 2. ΒΕ = 2.(αΥ3) = αf3 (2) 3 3 2 3

Ακόμη: ΑΗ2 = ΑΒ2 - ΒΗ2, .Δ

(από το ορθ. τρίγ. ΒΑΗ) ή

AH2 = if- (α?f ή AH2 = �if (3)

Από (1) λόγω των (2), (3):

40B' �2a' + 2{"�r-�"' ή lοΒ' ��ι Όμοια Βρίσκουμε

Or-2 = if και ΟΔ2 = if 2 2

Είναι: Ο� + Or-2 = if + if = if ή 2 2

αφού ΒΓ� = α, ΟΒ2 + 0[2 = ΒΓ2 άρα ΒΟΓ = go· . Όμοια ΓΟΔ = 90• και ΔΟΒ = 90•

Άλλος τρόπος:

Το ύψος του κ. Τεφαέδρου ΑΒΓΔ είναι ΑΗ = α "{6 3

Η ΔΗ περνάει από το μέσο Ζ της ΒΓ και είναι:

ΗΖ = lΔΖ = l(α 13) = α f3 3 3 2 6

.Δ

Από το ορθ. τρ. ΟΖΗ:

oz2 = ΟΗ2 + ΖΗ2 = (α �)2 + (α ?)2 = . . . = : ή

ή ΟΖ = � άρα ΟΟΓ = 90° 2

Όμοια ΓΟΔ = 90° και ΔΟΒ = 90°

Ασκaσn 3n

Δίνεται κανονικό τετράεδρο ΑΒΓΔ ακμής α. 1ον) Να δείξετε ότι τα τμήματα που ορίzονται από

τα μέσα των απέναντι ακμών είναι κοινές κάθετοι των αντισtοίχων απέναντι ακμών, διέρχονται από το ίδιο σημείο και είναι ανά δύο κάθετα και ίσα μεταξύ τους.

2ον) Να υπολογισθούν τα μήκη των τμημάτων αυτών συναρτήσει της ακμί1ς α .

Α Λ15σn

Β Δ

r

1ον) Έστω Ε και Θ, Ζ και Η, Κ και Λ τα μέσα των απέναντι ακμών του τετραέδρου ΑΒΓΔ.

Κατ' αρχήν διαπιστώνουμε ότι οι απέναντι ακμές καν. τετραέδρου είναι ορθογώνιοι.

Πράγματι ΓΕ .l ΑΒ και ΔΕ .l ΑΒ άρα ΑΒ .l επ (ΓΕ, ΔΕ) = (Γ, Ε, Δ) οπότε ΑΒ ορθογώνιος με τη ΓΔ.

.Δ .

Στο ισοσκελές τρ. ΑΘΒ (ΑΘ = ΘΒ) , ΘΕ διάμε-σος, όρα και ύψος, δηλ. ΘΕ .l ΑΒ και επειδri. ΓΕ =

· ΕΔ (γιατί;) ΕΘ .l ΓΔ, οπότε ΕΘ κοινή κάθετος των ΑΒ και ΓΔ.

Όμοια ΚΛ και ΖΗ κοινές κάθετοι των (ΑΓ, ΒΔ) και (ΑΔ, ΒΓ) αντίστοιχα.

Είναι ΕΖ // ΒΔ και ΗΘ // ΒΔ άρα ΕΖ // ΗΘ, = 2 = 2 =


Τετράεδρο - Π"ραpίδα

άρα το ΕΖΘΗ παρ/μο και οι διαγώνιές του ΕΘ και ΖΗ διχοτομούνται.

Όμοια ΚΖΛΗ παρ/μο και η διαγώνιος ΚΛ περνάει από το μέσο Ο της ΗΖ. Άρα τα τμήματα ΕΘ, ΖΗ και ΚΛ διέρχονται από το ίδιο σημείο Ο.

Είναι ΕΖ = ΒΔ. και ΕΗ = ΑΓ . 2 2

Όμως ΒΔ = ΑΓ άρα ΕΖ = ΕΗ και το παρ/μο ΕΖΘΗ είναι ρόμβος. Επειδή ΒΔ ορθογώνιος στην ΑΓ οι παράλληλοι προς αυτές ΕΖ και ΕΗ θα είναι κάθετοι, άρα το ΕΖΘΗ ορθογώνιο οπότε το ΕΖΘΗ είναι και τετράγωνο.

Όμοια ΚΖΛΗ τετράγωνο. Τα τετράγωνα αυτά είναι ίσα, άρα θα έχουν και

ίσες διαγώνιες (δηλ. ΕΘ = ΗΖ = ΚΛ) που τέμνονται καθέτως, δηλ. ΖΗ .l ΕΘ και ΚΛ .l ΗΖ.

2ο) Είναι ΒΘ2 = ΑΘ2 = &ι2 (yιαrί;) 4

οπότε με θεώρ. Διαμέσων στο BeA (ΘΕ διάμεσος) : ΒΘ2 + ΘΑ2 = 2ΘΕ2 + ΑΒ2 ή &ι2 + &ι2 =

2 4 4

= 2ΘΕ2 + a2 ή ΘΕ = α f2 2 2

'Ομοια ΗΖ = ΚΛ = α Γ2 2

1\oκnon 4n

Δίνεται τρισορθογώνιο στο Ο, τετράεδρο Ο.ΑΒΓ. Εάν ΟΗ το ύψος του.τετραέδρου, vα δείξετε ότι:

α) Το Η είναι ορθόκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ """

Β) Το ΑΒΓ είναι οξυγώνιο γ) (0ΒΓ)2 = (ΑΒΓ) · (ΗΒΓ) δ) (0ΑΒ)2 + (0ΑΓ)2 + (0ΒΓ)2 = (ΑΒΓ)2 ε) _1_ = _1_ + _1_ + _1_

ΟΗ2 ΟΑ2 ΟΒ2 ΟΓ2 ο Α.όδειξa:Α

β

Α

Β

α) Επειδι}.._το τετp�εδρο QΑΒΓ είναι τρισορθογώνιο στο 0: ΑΟΒ = ΒΟΓ = ΑΟΓ = 90• .

ΟΑ .l ΟΒ και ΟΑ .l ΟΓ άρα ΟΑ .l επ. (ΟΒ, ΟΓ) . δήλ. ΟΑ .l επ. (Β, Ο, Γ) άρα ΟΑ ορθογώνιος με τη ΒΓ (γιατί;) . Είναι ΟΗ .l επ. (Α, Β, Γ) άρα ΟΗ ορθογώνιος με τη ΒΓ. Επομένως ΒΓ .l επ. (ΟΑ, ΟΗ) = (0, Α, Η), διότi είναι ορθογώνιος σε δυό τεμνόμενες ευθείες του επιπέδου αυτού. Εάν λοιΠόν η ΑΗ τέμνει την ΒΓ στο Κ θα είναι ΒΓ .l ΑΚ. Όμοια ΓΖ .l ΑΒ και

.Δ ·

ΒΕ .l ΑΓ. Άρα Η ορθόκεντρο του ΑΒΓ.

Άλλος τρόπος: επίπ. (Α, Ο, Η) .l (Α, Β, Γ) [διότι ΟΗ .l (Α, Β, Γ)] επίπ. (Α, Ο, Η) .l (0, Β, Γ) [διότι ΟΑ .l (0, Β, Γ)]

άρα το επίπ. (Α, Ο, Η) θα είναι κάθετο στη τομή των επιπέδων (Α, Β, Γ) και (0, Β, Γ) δηλ. (Α, Ο, Η) .l ΒΓ και θα είναι ΒΓ .l ΑΚ κ.λ.π.

Β) Εάν ΒΓ = χ, ΑΓ = y, ΑΒ = z και ΟΑ = α, ΟΒ = Β και ΟΓ = γ, τότε:

χ2 = 62 + y2, y2 = α2 + y2, z2 = α2 + Β2. Είναι: χ2 + y2 = 2yl + α2 + Β2 = 2yl + z2 > z2 ή

z2 < χ2 + �άρα r < 90..:_. Όμοια: Α < 90• και Β < 90• γ) (ΟΒΓ)2 = 1/4 ΒΓ2 · ΟΚ2 = 1/4 ΒΓ2 · ΑΚ · ΗΚ =

1/2 ΒΓ · ΑΚ · 1/2 ΒΓ · ΗΚ = (ΑΒΓ) · (ΗΒΓ) δ) (0ΒΓ)2 = (ΑΒΓ) · (ΗΒΓ) , (ΟΑΓ)2 = (ΑΒΓ) ·

(ΗΑΓ), (0ΑΒ)2 = (ΑΒΓ) · (ΗΑΒ). Οπότε: (0ΑΒ)2 + (ΟΑΓ)2 + (0ΒΓ)2 = (ΑΒΓ)2.

"""

ε) Από το ορθ. τρίγ. ΑΟΚ : _1_ = _1_ + _1_ = _1_ + _1_ + _1_

ΟΗ2 ΟΑ2 OJ<l ΟΑ2 ΟΒ2 ΟΓ2 όπου κάναμε διαδοχική εφaρ.ιtονιi της γνωστής σχέσης για ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α = 90 • ) :

_l_ = _l_ + _l_ ifa Β2 V

Σημείωση: Η παραπaνω άσκηση είναι γνωστή ως θεώρημα του Gua de Malves.

1\oκnon Sn

Δίνεται κανονική τριγωνική πυραμίδα Ο.ΑΒΓ με ακμή βάσης α. l::.άν οι παράπΛευρες ακμές ως σχηματίzουν με τη Βάση της γωνία 60 • , να Βρεθούν το εμβαδό της ολικής επιφάνειάς της και ο όγκος της.

Λvon: Επειδή η πυραμίδα είναι κανονική το ίχνος Η του

ύψους της ΟΗ, είναι το κέντρο Βάρους του ισόπλευρου τριγCδνου ΑΒΓ.


Τετράεδρο - Πνραpίδα

ο

Α

Β

Είναι ΗΓ = 2_ ΓΚ = 2.(0 Υ3) = 0 fi ή 3 3 2 3 ΗΓ= 0 fi (1)

3 .Δ � Στο ορθ. τρίγ. ΗΟΓ είναι ΗΟΓ = 30• άρα

ΗΓ =� ή ΟΓ = 2 · ΗΓ�2 (0?)

ή ΟΓ= 20'(3 = 0Α =ΟΒ(2) 3

Για το ύψος ΟΗ mς πυραμίδας: ΟΗ2 = ΟΓ2 - ΓΗ2 (;!

( ai3)2 (ai3r ? ' = 23

- 3 = . . . = α- η ΟΗ = α (3) Παράπλευρο ύψος ΟΚ: ΟΚ2 = 082 - ΒΚ2 = (2 °?)2 -(�)

2 = . . . =� ή ΟΚ= 0� (4) Εάν Ε6 το εμβαδό της βάσης και Ε

π το εμβ. της

παράπλευρης επιφάνειας mς πυραμίδας είναι: Εολ = � + � = (ΑΒΓ) + 3 · (ΟΑΒ) = c?-Γ3 (4) =--+3 - lAB· OK= 4 2

c?-f3 + 3 - la · af39 = c?-fi + c?-f39 ή 4 2 6 4 4

Εολ = c?- ( Γ3 + i39) 4

ν= lq · ΟΗ � l(c?-V3) · α = σ3Υ3 3 3 4 12

Σaμείωσa: Τ ο αυτό πρόβλημα να εξετασθεί και για κανονική τετραγωνική πυραμίδα ακμής βάσης α, όταν οι παράπλευρες ακμές της σχηματίzουν με τη βάση της γωνία 60• , 30• και 45 • αvτίσrοιχα.

Ασκaσa 6a

Κανονική τετραγωνική πυραμίδα Ο.ΑΒΓΔ με ακμή βάσης ΑΒ = 2α και ύψος ΟΚ = α Γ3 τέμνεται με επίπεδο παράλληλο προς τη βάση που περνάει από το μέσο κ· του ύψους ΟΚ, κατά το τετράπλευρο Α ' ΒΤ 'Δ ' .

Να υπολογίσετε τον όγκο ν της κολούρου πυραμίδας ΑΒΓΔΑ ' ΒΤ ' ΔΌ

Λvσa:

Β Γ

(Α' ΒΤ' Δ' ) 2 ' Είναι: · = ΟΚ == 1 αφούο.Μιρςτων (ΑΒΓΔ) ΟΚ2 4

εμβαδών των βάσεων μιας κολούρου πυραμίδας ισούται με το τετράγωνο του λόγου των aποστάσεών τους από την κορυφή της αντίστοιχης πυραμίδας.

Εάν (ΑΒΤΔ· ) = ε · και (ΑΒΓΔ) = Ε έχομε: ε · =1E = l(4c?-) = cf-4 4

Είναι: κκ · = ΟΚ-ΟΚ' = Οκ-ΟΚ = ΟΚ = 2 2

= afi ή ΚΚ' = afi 2 2

Άρα Ε = 4c?-, ε· = c?-, υ = afi, οπόrε: 2

ν= l(Ε +� +Ε' ) · υ = 3

= l(4c?- + ,J 4c?- . c?- + c?-) . α Γ3 = 3 2

= . . . = la3f3 ή ν=Ζσ3Υ3 6 6


"ί\ρτιες - Περιττές - Περιοδικές Σvναρτήσεις

στον Qλοκλnρωτικό Λοyισμό

Στην παρακάτω εργαpία μας συγκεντρώσαμε μερικές απλές και χρήσιμεb προτάσεις, με τρόπο cιπλ6 και διδακτικό, για τις άρτιες, περιπές και περιοδικές συναρτήσεις, οι οποίες θα μας διευκολύνουν σε μεγάλο Βαθμό στον υπολογισμό διαφόρων ολοκληρωμάτων, στη διατύπωση των οποίων υπεισέρχονται οι παραπάνω συναρτήσεις. Φυσικά το θέμα δεν το εξαντλήσαμε, απλά μια μικρή προσπάθειά κάναμε, ανοίγοντας όμως ένα μεγάλο δρόμο για πιο πολλές και χρήσιμες προσπάθειες από τους αναγνώστες.

Για οικονομία χώρου, θεωρήσαμε γνωστό ό, τι αναφέρεται στα σχολικά βιβλία γύρω από τις παραπάνω συνσ.ρτήσεις είτε ως θεωρία είτε �ς ασκήσεις. Καλό θα ήταν ο αναγνώστης, πριν διαβάσ�ι τις παρακάτω γραμμές, να κάνει μια καλή επανάληψη γύρω από τις περιπές, άρτιες και περιοδικές συναρτήσεις και κυρίως στις πράξεις μεταξύ αυτών των σuναρτήσεων.

Α. ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ. ι : Αν η συνάρτηση f είναι περιπή και συνεχής

στο· [-a, α] , τότε είνα':

{" f (x)dx� Ο, aER

Αn6δειξa: Έχουμε

ιΌ f (x)dx� {" f (x)dx+ J: f (x)dx (Ι)

Στο &α!ί'ιiρωμα ιΌ ι (χ) dx, θέτω χ� - I κιn 00

ιΌ f(x) dx � f.' fH (-dt) � f.' I (� dt � f.' f(x) dx

και η (1 ) γράφεται:

Jα

f (χ) dx = Jo f (χ) dx + {α

f (x) dx = Jα

f (χ) dx = Ο - α α Jo α

Παvαyιώτnς Ρεκοvμnς

2. Αν η συνάρτηση f είναι περιπή και συνεχής στο R, τότε η συνάρτηση

είναι αρτία.

Αn6δειξa. Τ ο πεδίο ορισμού της F είναι το R και

F (-x) � {Ίι� dt (IJ

Στην (1) θέτω t = - y και έχω:

F (cx) �ι: Ίι-!11 (--dy) �ιΌ f(y) dy�

�ιΌ f (y)dy+ { f(y)dy�

� Ο + { f (y)dy� Ι: f (y)dy�

� { f (x) dx � F (χ)

Δηλαδή για κάθε χ Ε R, F(-x) = F(x) και επομένως η F είναι αρτία.

3. Αν η συνάρτηση f είναι αρτία και συνεχής στο [- α, α], τότε είναι:

ιΌ f (x)dx�2 [ f (x)dx, a E R

Αa6δειξa. Πpοφανώς έχουμε:

ιΌ f(x) dx �ιΌ ι (χ) dx + !." f (x) dx

και εργαz6μεvοι όπως σrην πρόταση (1) τελικά έχουμε:


Αρτιες - Περιττές - Περιοδικές :Ειιναρτόσεις

Jα f (x)dx=1α f(x)dx+1α f(x) dx = 21α f(x)dx -α

Ο Ο Ο

διότι Jo f (x) dx=1α f(x)dx. -α

Ο

Επομένως Jα f (χ) dx = 21α f (χ) dx -α

Ο

4. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής σrο [- α, α] τότε

Αο6δει�n

·ε,.,, {. f (χ) dx � {. f (χ) dx + J: f (χ) dx (1)

Εργαzόμενοι όπως προηγουμένως, έχουμε:

Jo f (χ) dx = 1α f (-χ) dx και η (1) yίvεrαι: -α

Ο

Jα f(x) dχ=1α f (-x) dχ+1α f(x) dx= -α

Ο Ο

= 1α [f(x) + f (-x)] dx ο

Επομένως, Jα f (x) dx= 1α [f (x) + f(-x)] dx. - α Ο

Σnpείωσa. Κάνοντας χρήση αυτής της πρότασης, αποδεικνύονται αμέσως οι προτάσεις 1 και 3.

5. Αν η συνάρmση f είναι συνεχής σrο R, τότε η f είναι περιπή αν και μόνο άν

[,ι (� dt � c.

για κάθε χ Ε R, (c: σrαθερά) .

Αο6δει�n. Η f από υπόθεση είναι συνεχής σrο R, επομένως

έχει αρ){.Ική σrο R και έσrω F η αρχική της. Άρα F ' (χ) = f (χ) (1)

Άρα F(x) - F( - χ) = c και F , (χ) + F ' (- χ) = Ο (2)

Η (2) λόγω της (1 ) γίνεται: f(x) + f(- x) = Ο

και τελικά: f(-x) = - f(x), για κάθε χ Ε R και επομένως η f είναι περιπή σrο �-

• Έσrώ f(-x) = - f(x), για κάθε χ Ε R (3)

Θα δεiξω, [' f (� dt � C (c ιχdJφά).

Έσrω F (x) =Jx f(t) dt =J0 f (t) dt +1x f(� dt= - χ - χ ο

� J: ι (� dt-ι-Ί(� dt (4)

Θάω R (x) �Ε f(� dt . �ως R (-x) � ι-Ί(� dt και η (4) .,Wεrσι

F(x) = R(x) - R(-x) (5) Προφανώς η R είναι συνεχής και ισχύουν οι ισό

τητες: R ' (χ) =f(x) (6) R' (-χ) = f(-x) (7), για κάθε χ Ε R.

Από την (5) έχω: F ' (χ) = R ' (χ) + R ' (-χ)

= f(x) + f(- χ) = Ο, λόγω των 6, 7, 1 . Τελικά δείξαμε F ' (χ) = Ο, για κάθε χ Ε R. Δηλαδή F (χ) = C, για

κάθε χ Ε R και επομένως

[, f (� dt � C, .,., κdJε χΕ R

Σnμείωσn. Προηγουμένως δείξαμε ότι:

[, f (� dt � C, .,.a κdJε χΕ R

Επομένως ισχύει και για χ = Ο, δηλαδή

{ f (� dt � C, άρα C � 0. f!M W η f ειiιαι ΟU\1100\ς

και ιφπή τάε, {. f (χ) dx � Ο και άα ano&nwύεrα

η πρόταση (1) με τρόπο διαφορετικό. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κη. τ. 4/43

'Άρnες - Περιτιές - Περιοδικές J:σvαρτάσεις

6. Αν η συνάρτηση f είναι περιοδική !{αι συνεχής σrο [α,β] με περίοδο τ, τότε ισχύει η ισότητα:

f6 f6 + Κf f (x) dx = f(x) dx, κ ΕΖ α α + κr

Αοόδει�n. Επειδή η f είναι περιοδική με τη περίοδο Τ, έχω: f(x + κτ) = f(x) για κάθε χ Ε (α,β] (1 ) f(x -κτ) = f(x) για κάθε χ Ε [α, β] (2)

Θέτω t = χ + κτ και το

J.ΊιχJ dx .,ιvi'IOI

JB JB + κr (ZJJB + κr t (χ) c1x = f (t-κτ) dt = t (t) dt = α α + Κf α + Κf Jβ + Κf = f(x) dx α + κr

ΤεΛικά δείξαμε: f (x) dx = f (χ) dx f6 f6 + Κf α α + κr

7. Αν η συνάρτηση f είναι περιοδική με περίοδο Τ και συνεχής σrο R, τότε για κάθε χ Ε R ισχύει η ισότητα: Jx + Τ {τ χ f (t) dt = Jo f (� dt

Αοόδει�n.

--, [ ·Ίι� dt � J.Ίωdt + { . τ ι ι� dt ιι1

Θέτω y + Τ = t και το 1χ + Τ 1χ + Τ ix f (t) dt Φιεrαι: f (t) dt = f (y + Τ) dy = τ

· Τ ο

� [ f (y) dy � [ f (� dt (f, ΠΕρΙοδική)

Επομένως η (1 ) γράφεται Jx + T fτ {χ lτ χ f (� dt= χ f (t) dt + Jo f(t) dt= 0

f (� dt

τ ελικq δείξαμε Jx + T

lτ f(� dt = tωdt, νια κάθε xER

χ -0

8. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής και περιοδική σrο R με περίοδο Τ και για κάθε χ Ε [- Τ/2, Τ/2] έχουμε f(-x) = - f(x), τότε και η συνάρτηση,

F (x) � [ιι� dt είναι περιοδική με περίοδο τ.

Αοόδει�. Θα δείξω για κάθε χ Ε R: F(x) = F(x + Τ) . Δηλα

δή θα δείξω:

f.Ίι� dt� [ ·Ίι� dt, -J: ι ι� dt-f +Ίι� dt � o.

Jx f (� dt + fα f ω dt = Ο, Jx f (t) dt = Ο, α χ + Τ χ + Τ Jx + T

χ f (t) dt = O.

Επομένως, για να δείξω ότι η F είναι περιοδική, αρκεί να δείξω για κάθε χ Ε R:

f ·Ίι� dt � o ιι1 Στην πρόταση (7) δείξαμε για κάθε χ Ε R:

J:+Ίι� dt� {ιι� dt !21

Επομένως η 2 θα ισχύει και για χ = -Τ/2 τ τα

·

Άρα, { f (t) dt = J f (t) � = ο (� περmή) Jo - τα Τei\κό J:

+ Ί ι� dt � α

Δηλαδή F(x + Τ) = F(x) για κάθε χ Ε R. Άρα η F είναι περιοδική με περίοδο Τ. 9. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής �ο R, τότε εί

ναι περιοδική με περίοδο τ αν και μόνο αν

J:+Ίι� dt� c

για κάθε χ Ε R, ( C σταθερά).


1\pσες - Περιπές - Περιοδικές Σvvαρτάσεις

Ααόδειξa. • Έστω 6τι η f είναι περιοδική με περίοδο Τ.

Άρα f(x + Τ) = f(x), για κάθε χ Ε R. (1) Θεωρώ τη συνάρτηση F με τύπο

F (x) = 1χ + τ f (� dt-J.x f (t) dt, χΕ R (2) ο ο

. Η F είναι παραγωγίmμη, επειδή η f είναι συνεχής σί:ο R απ6 υπ6θεσn.

θέrω R (χ) =ι: f (η dt κm .,ψ,ιως

R (x + 1") =Ι Η ιωd!:

Άρα η (2) γράφεται: F(x) = R (χ + Τ) - R(x) Η R είvαι προφανώς παραγωyίαιμη. Συνεπώς: F ' (χ) = R . (χ + τ) - R ' (χ)

= f (χ + Τ) - f(x) (1) ·.·

= f(x) -:- f(x) = Ο Δηλαδή F'' (χ) = Ο, για κάθε χ Ε R και επομένως

F(x) = C, άρα η (2) γίνεται

J: ·Ίιηd!-J: ιιηd!= c

για κάθε � Ε R και τελικά 1. χ + Τ χ

f (� dt= C, νια κάθέ χΕ R

• 'Εαω, Lx + τ I (η dt = C, .,.a ι«Ιθε χ Ε R

Άρc;ι f(x + Τ) - f(x) = Ο δηλ. f(x + Τ) = f(x) , για κάθε χ ε R και έπομέvως η f είναι περιοδική με περίοδο Τ στο R.

Β. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ - ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ.

1� Θεωρούμε τη μη μηδεviκή συνάρτηση f: R - R με τις ιδι6τητες:

α. f(x -ί- ψ) + f(x - ψ) = 2 f(x) · f(y) (1) για κάθε x, y E R

β. Συνεχής στο R Να αποδείξετε: (ί) f(O) = 1 και

(ii) Ja f (x) dx= 2!.0 f(x) dx, α Ε R

- α Ο

ΛvσΩ. Επειδή,, απ6 υπ6θεσn, η f είναι μη μηδενική συνά

ρτηση, θα υπάρχει τουλώασrο ένας πραγματικ6ς αριθμ6ς λ γιa τον οποίον ισχύει η σχέση f(λ) .. Ο (2)

(ί) Η (1) για χ = λ και y = Ο γίνεται: f(λ) + f(λ) = 2f(λ)f(O) <=> 2f(λ) = 2f(λ)f(O) <=>

f(O) = 1 (λ6γω της 2) (ii) Η (1) για χ = Ο γίνεται: f(y) + f(-y) = 2f(O)f(y) <=> f(y) + (-y) = 2f(y) <=>

f(-y) = f(y), για κάθε y Ε R. Δηλαδή f(-x) = f(x) , για κάθε χ Ε R, άρα η f είναι

άρτια συνάρτηση. Επίσης η f είναι απ6 υπ6θεση συνεχής στο R και

επομένως είναι ολοκληρώσιμη κατά Riemaη στο [-α, α] και επειδή είναι και αρτία στο R, τελικα είναι ολοκλnρώmμη και αρτία σrο [-α, α] και σύμφωνα με την πρ6τασn (3) έχουμε:

fa f (χ) dx = 2!.0 f (χ) dx - α Ο

2. Η συνάρτηση R είναι συνεχής στο [-1 , 1 ] με R(x) > Ο και R(x) · R(-x) = 1, για κάθε χ Ε [-1, 1 ] . Δείξατε 6τι

---dx=-- νΕΝ* 11 x4v 1 _ 1 R (x) + 1 4v + 1 '

Avσa

Η σuvάρmσn S με S (χ) = )(1v προφαvώς R(x) + 1

είναι συνεχής σrο [-1, 1] και συνεπώς ολοκλωρώmμη κατά Riemaη.

. 11

� Στο &οκλήρωμα Ι == χ dx _ 1 R (x) + 1

θέτω χ = -u και έχω: x4v (-u)4v 1

1

f- 1 Ι =

- 1 R (χ) + 1 dx = - + 1 R (-u) + 1 du =

J- 1

11 ιι . Δ Χ V = - wv du = dx

1 R (- u) + 1 _ 1 R (- χ) + 1 και επειδή R(x) · R(-x) = 1 έχω,

( � ,

J χ"'·

J χ·· . Κ (χ) I = dx= dx= _1_ + 1 _ 1 R (χ) + 1

R (x) - 1

=11 x4v . [R (x) + 1 - 1] dx= _ 1 R (x) + 1


1\pnες - Περιττές - Περιοδικές Σ"vαρτόσεις

11 11 11 = x4v dx- x4v dx= x4v dx- 1 - 1 . - 1 R (χ) + l - 1

Άρα 21 = 11 x4v dx (1} - 1

Η f(x} = x4v είναι aρτίa στο R, άρα

11 X4v dx= 211 x4v dx (2} - 1 ο

και επομένως η (1 } γίνεται λόγω της (2} : 21 � 2 i' ,ιιν dx

και επομένως

11 [x4v + 1] 1 I = Ο x4v dx = 4v + 1 Ο= 4v � 1 3. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [-d, a],

δείξατε ότι:

Avσa. Θέτω χ = -u και έχω:

1α f(x) dx=-J- α f(- u} du = - α α � {. 1 (- u)du � {. 1(-x)dx

!'fflJ&. {. l(x) dx� {. 1(-x)dx

4. Έστω a > Ο, a ;ο! 1 και f, g συνεχείς συναρτήσεις στο [-c, c] . Αν η f είναι aρτίa και η g είναι πεpιπή στο [ -c, c] δείξατε ότι

1c f (x) dx=1c f(x) dx, cE R a9 (χ) + 1 - c Ο Avσa. Προφανώς η R με τύπο

R (x) = f (x) a9 (χ) + 1

είναι συνεχής και επομένως ολοκληρώσιμη κατά Riemaη στο [ -c, c].

Από tην εφαρμογή (3} έχω:

c I =

- c c = - c c

LΌ R (x)dx� LΌ R (-x)dx. Άρα

f (x) g (x)

a + 1

f(x) -g(x) a + 1

c dx=

- c c dx=

- c

f (-x) dx= g(-x) a + 1

f(x) dx = _1_ + 1 a9 (χ)

= f (χ) . a9 (χ) dx = 1c f (χ) . [ a9 (χ) + 1 - 1 J dx g(x) a9 (χ) + 1 - c a + 1 - c = f(x) dx- dx = f(x) dx-1 1c 1c f (x) 1c - c - c a9 (χ) + 1 - c

και επομένως

21 = 1c f (x) dx= 21c f (x) dx - c Ο

5. Αν η συνάρτηση f: R --+ R είναι aρτίa και συνεχής, δείξciτε ότι:

{. Ι(χ) · h(<+ Yl +,ί.)dx.� o

Avσn. Η συνάρτηση R με τύπο:

R (x) = f(x) h(x + νι + χ2) είναι προφανώς συνεχής στο R και επομένίvς ολοκληρώσιμη κατά Riemaη. Η f aπό υπόθεση είναι aρτίa.

Ονομάzω g(x) = h(x + ν 1 + χ2 ), χΕ R και έχω:

g (-χ) = h (-χ+ ν ι + .κ.) = h (ν ι + χ2 _χ) = = h 1 = -g(x)

χ+ νl + χ2


Αρnες - Πεpιπές -: Πεpιοδιίιές J:uvαpτιίσεις

Άρα για κάθε χ Ε R έχω: g(-x) = --g(x). Επομένως η g είναι περιπή και η R ως γινόμενο

αρτίας και περιπής είναι τελικά περιπή συνάρτηση στο R. Άρα

{" ιι,q π(1 + Υ 1 + "')dκ� ο

(Πρόταση 1)

6. Υπολογίσατε τα ολοκληρώματα

f1/2

1π ( ) 1 + χ π 1994 (i) συvxh-_-dx (ii) --χ συvχdχ

- 1/2 1 χ ο 2

liii) [Ί (1 + ημ2χ)χ'0dκ liv) {, q1 -ι� Ι + {11 - ι,.j))dκ

Λ"σn

(i) Ι =f112 f(x) dx, όπου f(x) = αιvh 1 + χ

- 1/2 1 -χ Η f έχει πεδίο ορισμού το (-1 , 1 ) και είναι συνε

χής στο (-1, 1) . Άρα υπάρχει το Ι. Εύκολα δείχνεται ότι f(-x) = -f(x). Δηλαδή η f είναι περmή στο (-1, 1) άρα και στο (-%, %) και επομένως Ι = Ο. (Πρόταση 1) .

(ii) Θέrω �-χ= u και έχω: Ι = - u1994 ημudu = J-π/2 2 π/2

= fπ/2 u1994 nμudu.

- π/2 J-π/2

Δn?αδή Ι = π/2 xl994 ημχdχ

Η συνάρτηση f με τύπο f(x) = χ1994 ημχ είναι φανερά περιπή ως γινόμενο αρτίας και περιπήςστο R. Άρα Ι = Ο.

(iii) l =f1 χ�odx+f

1 χ�ο ημ2χdχ=f

1 χ�ο dχ=

- 1 - 1 - 1

(iν) f(x) = 1 1 - I χ I I + ( 1 - I χ I ) και χωρίς απόλυτα γράφεται:

{2χ+2, - 1 :s: x < O f(x) = -2χ+ 2, O:s:x:s: 1

0 X:S- 1 ή Χ� 1 Φανερά είναι συνεχής στο R και ολοκληρώσιμη

κατά Riemaη. Επίσης f(-x) = f(x) . Δηλαδή είναι και αρτία. Άρα

f2 f(x) dx= 21

2 f(x) dx= 21

1 (-2χ + 2) dx=

- 2 ο ο

7. Η συνάρτηση f είναι συνεχής και περιοδική με περίοδο Τ στο R. Δείξατε ότι:

(ί) Το {+Ί(χ)dκ, αΕ R

είναι ανεξάρτητο του α

Ja + κΤ 1Τ (ii)

0

f (χ) dx = Κ 0 f (χ) dx, κ Ε Ν*

(iii) Υπολογίσατε το ολοκλήρωμα

120 π

I = 0 V1-συv2xdx

Λ"σn. (i) Από την πρόταση 7 έχω:

[ • Ίι� dt � J.Ίι� dt. "" ι«ΙJε χε R

Άρα για χ = α έχω:

{·Ίωdt� J.Ίωdt Δηλαδή το

{·Ίwdκ είναι ανεξάρτητο του α.

(ii) Για κ = 1 προφανώς ισχύει λόγω του (i). Υποθέτω ότι ισχύει για κ = ν:

{. vτ ί (χ) dκ � v f.Ίιχ) dκ

Θα δείξω ότι ισχύει για κ = ν + 1 . Δηλαδή θα δείξω ότι


Αρnες - Περιττές - Περιοδικές Σσvαρτάσεις

Jα + (v + l ) τ {Τ α f (χ) dx = (ν + 1) }

0 f (χ) dx (3)

Το πρώτο μέλος της (3) γράφεται:

f (χ) dx = f (χ) dx = Jα + (v + l) τ

Jα + vT + Τ

α α (1) J

α + Τ J(α + l") + vT

= f (χ) dx + f (χ) dx = (2) α α + Τ

Jα + κΤ {Τ Tcrmά α f (x)dx= Κ Jo f (x)dx

(20 π (20 π (ili) Jo -J2rifxdx= Γ2 Jo l�dx.

Η f(x) = I ημχ I φανερά είναι περιοδική με περίοδο Π στο R. Άρα

f2σ π Γ I = Γ2 Jo l�dx= Γ2. 20 Jo ημχdχ=40Γ2

8. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R και f(x) > Ο για κάθε χ Ε R, δείξατε ότι η F με τύπο

F(><) � [" f (�di; α Ε R δεν είναι περιοδική.

Λvon. Είναι F · (χ) = f(x) και επειδή f(x) > Ο για κάθε χ

Ε R, έχουμε F · (χ) > Ο για κάθε χ Ε R. Δηλαδή η F είναι γνησίως αύξουσα στο R. Έστω ότι η F είναι περιοδική με περίοδο Τ. Άρα F(x + Τ) = F(x) . Δηλαδή αν και χ + Τ ;ο! χ είναι F(x + Τ) = F(x) και επομένως δεν είναι "1 - 1" . Αυτό όμως είναι άτοπο, διότι η F είναι γvησιώς αύξουσα και συνεπώς "1 - 1" . Άρα η F δεν είναι περιοδική.

1'. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ.

1 . Έστω α > Ο, α ;ο! 1 και f αρτία και συνεχής συνάρτηση στο [ - c, c ] . Δείξατε ότι:

(i) Jc f (χ) dx = {c f (χ) dx, νια κάθε κ Ε R - ccfx + 1 Jo

(ii) Jc � dx = {c f (χ) dx, νια κάθε κ Ε R - c f!x + 1 Jo

2. Υπολογίσατε το

χ1994 dx, J2

_ 2 R (x) + 1

αν γvωρίzετε ότι η R είναι συνεχής στο [ -2, 2] με R(x) > Ο και R(x) · R(-x) = 4, για κάθε χ Ε [ -2, 2] .

3. Υπολογίσατε το

JΊ (1 + φ <!χ) "' ... dx

4. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής, περιπή και γvησιώς αύξουσα στο R, τότε:

(i). Μελετήσατε την

F (><) � [" ι ι� dt

α Ε R ως προς τη μονοτονία. (ii) Να αποδειχθεί ότι αν

L' f (� dt� O

και α ;ο! β, τότε α + β = Ο.


Β Ι ΒΛ Ι Α Μ Α Θ Η Μ Α'Τ Ι ΚΩ Ν Μ Ι ΧΑΛ Η

K A P A M A V P O V -�

Κ Υ Κ Λ Ο Φ Ο Ρ Ο Υ Ν

ΑΛΓΕΒΡΑ · *

ΑΝΑΛΥΣΗ

ili!'J�- , Λ Υ Κ Ε I Ο Υ

�� κάθε βιβλίο παρατίθεται με μεθοδικό τρόπο η θεωpίqi1; την οποία πλαισιώνουν: * παρατηρήσεις - * λυμένες εφαρμογές · * άλυτε5: πρωτότυπες ασκήσεις

Για κάθε β ιβλίο υπάρχει ειδικό βοή θημα που δίνεται μόνο στους συναδέλφους (ΔΩΡΕΑΝ) Για πληροφορίες απευθυνθήτε στα τηλέφωνα: 270747 -266766 - FAX 241 1 84' ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΔΙΑΘ��Η= . . ΠΑΡΑΤΗΡΗΤΗΣ Α.Ε. Αθήνα, Διδότου 39, τηλ. 36�Q� .§f3, 3608527 ·:

- ; · · .<:)εσσαΆονίκη, Γρηγορίου Ε' 30, τηλ. 310506 _ · Ή . .

. ... ,· · .·

"ΕΝΑ "ΠΛΕΚΤΟ" ΜΕ ΤΕΣΣΕΡΕΙΣ ΣΥΝΑΡΥΗΣΕΙΣ

Στο παρακάτω "πλεκτό" φιλοδοξώ: α) Ειδικά: Να aνaδυθε.ί η έννοια της "συνάρτησης ολοκλήρωμα" και η περιρρέουσα ατμόσφαιρα που aυτή aποπνέει στο μαθηματικό οικοδόμημα και β) Γενικά: Να γίνει μια ξενάγηση σε χώρους των μαθηματικών όπως: ιδιόmτες και υπολογισμοί ολοκληρωμάτων όρια - μονοτονία συνάρτησης - εμβαδά - λύσεις - εξισώσεων -ασύμmωτες, κ.λπ.

Δίνονται οι συναρτήσεις F, Ι, Δ, G, με

F(x} =Jx_t_dt, Ι(χ} =1χ (1 + ht)dt,

1 t-ht 1 t

Δ(χ) = hx_ (hx)2' χ2 2

ορισμένες στο (0, +οο).

Α 1 ) Να επαληθευτεί η ύπαρξη της συνάρτησης F και να μελετηθεί aυτή ως προς την μονοτονία στο σύνολο ορισμού της.

2) Χρησιμοποιώντας την μονοτονία της F, οροσδιορίσι:ε το πρόσημο της F(x).

3) Δείξτε ότι το Im F(x) = + οο χ - + οο

4) Υπολογίστε το Ι(χ) δια κάθε χ > 1. 5) Δειξrεότι: F(x) �χ+ l(hx)2- 1 δια κάθε χ> 1.

2

6) Βρείτε την πaράγωγq της συνάρτησης G. Β 1) Να ορισθεί η συνάρtηση h = Ι + Δ. 2) Να βρεθούν τα όρια της h στα άκρα του συνό

λου ορισμού της. 3) Ανazητήστε τις aσύμπτωτες της Ch (γραφικής

παράστασης της h) και �στω D η ευθεία που είναι πλάγια aσύμmωτη της Ch.

4) Μελετήστε την θέση της Ch ως προς την D και βρείτε το μέφο του εμβαδού Α(λ) μεταξύ: της Ch της D και των ευθειών με εξισώσεις χ = 1 και χ = λ με λ ;a 1 .

5) Να προσδιορίσετε το όριο J2. του Α(λ) όταν λ - + οο και να δείξετ� ότι η εξίσωση Α (λ) = J2. έχει μοναδική λύση στο [ 1 , + οο). 2

Ηλίας Λοyοθέτnς

Α 1) Για να υπάρχει η F πρέπει η συνάρτηση f (t) = _t_ να είναι ορισμένη στο (0, + οο) και η fνa t-ht είναι συνεχής σ' aυτό το διάστημα. Για να ορίzετaι η f στο (0, + οο) είναι aρκετό το t - lηt � Ο σε aυτό το διάστημα. Απάντηση σ' aυτό το ερώτημα μπορούμε να έχουμε θεωρώντας τη συνάρτηση g(t) = t .- lηt και τον πίνακα μεταβολών της.

t

g ' (t)

g(t)

ο

. 1 t- 1 g (t) = 1-- =-

-

t t

1 I I ο I

+

� l /

+ οο

Παρατηρούμε: για t � 1 η g είναι γνήσια aύξουσα δηλ.

g (t) > g(1) δηλ. t - lηt � 1 . για t < 1 η g είναι γvήma φθίνουσα δηλ. g(t) > g (1) δηλ. t - lηt > 1.

Άρα για κάθε t Ε (0, + οο) το t - lηt > Ο δηλ. για κάθε t, t - lηt � Ο. Η f προφανώς είναι συνεχής συνάρτηση στο (0, + οο), υπάρχει λοιπόν η συνάρτηση F και μάλιστα είναι μια συγκεκριμένη παράγουσα της f εκείνη για την οποία F(1) = Ο.

• Μονοτονία της F: δια κάθε χ > Ο F' (t) = _χ_, x-hx επειδή χ - lηχ > Ο όπως δείξαμε προηγουμένως το F ' (χ) > Ο άρα η F είναι γνήσια aύξουσα στο (0, + οο) .

2) Πρόσημο της F(x):

ο + οο +


Ένα "ολεκι:ό" με τέσσερειs cηιvαρτιiσειs

. Η F είναι γνήσια αύξουσα στο (0, +οο) και F(l) = Ο άρα:

• για χ � 1 F(x) > F(l) = Ο δηλ. F(x) > Ο. • για χ < 1 F(x) < F(l) = Ο δηλ. F(x) < Ο.

3) Επειδή χ - + οο θεωρώ το χ � 1 άρα lηχ > Ο , χ 1 , hx επομεvως --:Ξ!: αφου χ� x-x-hx

και τΜικάJχ _t_ dt > Γ 1 dt δηλ F(x) :Ξ!: χ- 1 επειδή 1 t-ht }1

(τ ο κριτήριο παρεμβολής είναι ένα εργαλείο με μεγάλη χρηστική αξία στην αναzήτηση των ορίων) .

� χ- 1 + [(wJ' · hl· dt �

= χ- 1 + [l (n�2J x = χ- 1 + (hx)2 . 2 1 2

5) Αρκεί να δείξουμε ότι F(x) � Ι(χ) για κάθε χ > 1 δηλ.

{x_t dt:Ξ!: {x (l + nt)dt δηλ. _χ_ :Ξ!: 1 + hx }1 t-ht }1 t x-hx χ

yιακάθεχ:Ξ!: 1 _χ_ Ο!: χ + hx<=>_x _ _ x+ hχ:Ξ!: Ο<=> x-hx χ x-hx χ χ2 _ (χ+ hx) · (x-hx) :Ξ!: 0 <=> χ2 - (χ2 -(hx)2) :Ξ!: 0 <=> x (x-hx) x (x-hx)

(hx)2 <=> ---x- (x-hx) που ισχύει αφού χ > 1, χ - lηχ > Ο, (lnx? > Ο.

� ( (ι + �)dt-[ (ι + �)dt � Ι(Jί!)- Ι (χ) eψa•

G ' (χ) = Ι ' (χ2) · 2χ-Ι ' (χ) = 2χ· (1 + �2)-(1 + �t) = = 2χ- 1 + 2hx2 _hx. χ χ

Β 1) Η συνάρτηση h ορίzεται στο σύνολο (0, + οο) που είναι το κοινό μέρος των συνόλων που ορίzεται η Ι και Δ.

Ο τύπος της h: h(x) = (I + Δ) (χ) = Ι (χ) + Δ (χ) = χ- 1 + l(hx)2 + hx_ (hx)2 = χ- 1 + hx

2 χ2 2 ' χ2

2) • Το Im h (x) = Im {χ- 1 + hx) =..,.οο αφού ·· χ - ο+ χ - ο+ χ2

Im hx = im .(hx· l) = -oo (+ oo) = -oo. χ - ο+ χ2 χ __,. ο+ χ2 • Το Im {χ- 1 + hx) = ·+ οο αφού χ --+ + οο χ2

_l Im hx = Im � = 0 χ --+ + "" χ2 χ --+ + οο 2χ

(D. L' Hospital)

3) • Επειδή Im , h(x) = - οο η ευθεία χ = Ο εί-χ -· ο-,

ναι κατακόρυφη ασύμmωτη της Ch. • Επειδή Im h(x)= + οο έχει νόημα η ανα-χ --+ + οο

zήτησηση πλάγιας aσύμπτωτης της Ch στο + οο, η οποία προσδιορίzεται ως εξής:

h (χ) = χ- 1 + hx => h (χ) - (χ- 1) = hx άρα χ2 χ2 Im [h (x) - (x- 1)] = Im hx :::; o χ --+ + οο χ --+ + "" χ2

και εξ' ορισμού η ευθεία με εξίσωση ψ = χ - 1 είναι ασύμmωτη της Ch στο + οο.

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ:

Για να έχει νόημα η αναzήτηση πλάγιας ασύμmωτης στο + οο ή στο-οο της γραφικής παράστασης μιας συνάρtησης h πρέπει υποχρεω τικά το Im h(x) ή χ ---ιιο + ω το Im h(x) να.είναι +οο ή - οο, διαφορετικά δεν χ ---ιιο - 00 υπάρχει.

4) Για να μελετήσουμε την θέση της Ch με την aσύμπτωτη D μελετaμε το πρόσημο της διαφοράς h (x) - (x- 1) = hx . χ2 Παρατηρούμε ότι το πρόσημο της διαφοράς εξαρ

τάται από το lηχ αφού χ2 > Ο όμως lηχ > Ο δια κάθε χ > 1 και lηχ < Ο δια κάθε Ο < χ < 1 .

Επομένως: δια κάθε χ > 1 η Ch είναι πάνω από την D. δια κάθε χ < 1 η Ch είναι κάτω από την D για χ = 1 τέμνονται.


Έvα "ολεκι:ό" με τέσσερεις (Π)Vαρτιίσεις

Επειδή για χ > 1 η Ch πάνω από την D έχουμε

Α (λ) � iΊx- 1 +;- (x- l)] dx� {(;)dx�

Γι-�) · hx· dx�H · nxJ:-ι�· (hχ) ' dx�

H nxJ : -{H-�dx� -*WΙ+ [-x- 1] : � = -1 · nr.- 1 + 1 = 1-1-nr..

λ λ λ λ

5) 1m Α(λ) = 1m ( 1-1) = 1 11--+ + σο 11--+ + σο λ αφού Im hλ = 0 11--+ + σο λ

Η εξίαι>ση Α (λ) = .,e yίvεrαι: 1-1-hλ = 1 δηλ 2 λ λ 2

2λ - 2 - 2Ιηλ =λ <=> λ - 2 - 2 Ιηλ = Ο <=>

<=> 2Ιηλ - λ + 2 = Ο. Η ύπαρξη της λύσης αυτής της εξίσωσης και η μο

ναδικότητά της μπορεί να γίνει με πολλούς τρόπους, όμως αν θεωρήσουμε την συνάρτηση g(λ) = 2Ιηλ - λ + 2, το g(1 ) το lim g(λ) και τον πίνακα μεταβολών της g, μπορούμε να έχουμε συνολική απάντηση στα ερωτήματα αυτά.

g(1) = 1, Im g(λ) = Im λ(2hλ- 1 + 1) /\-+ + σο 11--+ + σο λ λ · = 00 • (- 1) = -οο .

αφού Im hλ = Ο. /\-+ + σο λ Ε ' . (λ) 2-λ Άρα πισης g = --.

λ • για λ > 2 g ' (λ) < Ο • για 1 <: λ < 2 g ' (λ) > Ο

1

g ' (λ) + g(λ) 1

2 + οο

ο 2Ιη2 � I - 00

• για λ = 2 έχουμε μέγιστο το g(2) = 2 Ιη2. Από τον πίνακα μεταβολών η g(λ) φαίνεται ότι

έχει ρίzα στο [ 2, + οο ) αφού g(2) = 2Ιη2 > Ο και Im g (λ) = - οο και είναι συνεχής στο [2, + οο ) . 11--+ + σο Επειδή η g(λ) στο [2, + οο) είναι γνήσια φθίνουσα

αυτή η ρίzα είναι μοναδική. Η συνάρτηση g(λ) δεν μηδεvίzεται όταν 1 :s λ :s 2 αφού g(1) = 1 > Ο και g (2) = 2Ιη2 > Ο και επιπλέον είναι συνεχής και γνήσια αύξουσα σ' αυτό το διάστημα. τελικά, λοιπόν' η εξίσωση Α (λ) = ..eι 2μηδενίzεται μόνο για μια τιμή λσ, για την οποία ισχύει λσ > 2.

ΜΑθΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ 1995

Το aποτελέσματα της Εθνικής Μαθηματικής Ολυμπιάδος 1995

1. Κουρούvης Δρόσος Γ ' Λυκείου (Λύκειο Καλύμνου):

Χρυσό Μετάλλειο

2. Ροuτzούνης Σταύρος Β · Λυκείου (12ο Λύκειο Περιστερίου): Αργυρό Μετάλλειο

3. Μaυροειδής Ιάκωβος Γ· Λυκείου (5ο Λύκειο Χανίων):

Χάλκινο Μετάλλειο 4. Μπρέγιaννης Πέτρος Γ · Γυμνασίου

(2ο Γυμνάσιο Αμαρουσίου) : Χάλκινο Μετάλλειο

5. Σολιδάκης Γεώργιος Γ' Λυκείου (3ο Λύκειο Χανίων):

Χάλκινο Μετάλλειο 6. Κaρaνaστάσης Νικόλαος Γ · Λυκείου (1ο Λύκειο Λαμίας) :

Έπαινος 7. Μaϊόπουλος Ραφαήλ Γ ' Λυκείου (Κολλέγιο Αθηνών):

Έπαινος 8. Θεοδωρίδης Πέτρος (ΕΠ.Λ. Αλεξανδρούπολης)

9. Μαλικιώσης Ρωμανός - Διογένης Γ · Γυμνασίου (14ο Γυμν.

Θεσ/ νίκης)

10. Τάκος Γιώργος Β ' Λυκείου (1ο Πειρaμ. Λ. Αθηνών)

1 1 . τ ρυφερίδης Θανάσης (Πειραματικό Σχ. του Αριστ. Πaνεπ.

Θεσ/ νικης)

12. Κοvτορίνης Νίκος Α · Λυκείου (Πειραματικό Λύκειο Πα-τρών)

13. Κούρτης Λάμπρος Γ · Λυκείου (5ο Λύκειο Λάρισος)

14. Λυμπεροπούλου Φωτειvή Γ ' Λυκείου (5ο Λύκειο Καλλιθέας)

15. Μιχαλάκης Σπύρος Γ ' Γυμνασίου (Κολλέγιο Αθηνών) 16. Ξυθάλης Χρήστος Γ ' Λυκείου (2ο Λύκειο Γλυφάδας) 17. Βαλεοvτής Ευτύχιος Β ' Τάξη (Λύκειο Κaρλοβάσου Σάμου) 18. Ράmης Ορέστης Α · Λύκειου (Αμερικ. Κολλέγιο Αγ. Παρα

σκευής)

19. Σιδηρόπουλος Λάzaρσς Γ ' Γ υμνaσίου ( 19ο Γυμνάσιο Θεσ/

νικης)

20. Μιχαλάκaς Ζήσης Β · Λυκείου (llo Λύκειο Θεσ/ νικης)

21. Πaπaκωνστavτίνου Χρήστος Β · Λυκείου (Νηρέως - Πρωτέ-ως Ρaφήνaς)

22. Πετρόπουλος Άρης Β ' Λυκείου (4ο Λύκειο Χαλανδρίου) 23. Βαμβακάρης Δομέvικος Γ ' Λυκείου (2ο Λύκειο Δράμας)

24. Λιaκόπουλος Παναγιώτης Β ' Λυκείου (Εκπ. Δούκα) 25. Μαλaκούδης Δημήτρης Β ' Λυκείου (2ο Λύκειο Άνω Τού-

μπας Θεσ/ νικης)

26. Κaτηq)όρη Ελένη Α ' Λυκείου (Βαρβάκειο Πειρaμ. Λύκειο)

27. Παπαδόπουλος Πέτρος Γ ' Λυκείου (22ο Λύκειο Αθηνών)

28. Παπαγεωργίου Ανδρέας Γ · Λυκείου (2ο Λύκειο Μοσχάτου) 29. Βρυώνης Ανδρέας Β ' Λυκείου (2ο Λύκειο Παπάγου)


ΣΥΝΑΡΥΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΜΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

και μια οροσέyyισn τnς lnx ως εμβαδοv

Έστω συνάρτηση f(t) ηου ορίzεται και είναι συνεχής σ' ένα διάστημα Δ, φραγμένο ή όχι. Το ολοκλήρωμα της f(t) από t = α μέχρι t = Χο ορίzει έναν πραγματικό αριθμό

fxo

F(Y()) = α f (t) dt,

όπου χ0 είναι ένα οποιοδήποτε σημείο του Δ και α ένα αυθαίρετο αλλά σταθερό όμως σημείο του Δ.

Αν τώρα σε κάθε σημείο Χο Ε Δ aντιστοιχίσουμε τον μοναδικό πραγματικό αριθμό

F(>ΙJ) � f'' ι ω c11; τότε ορίzεται μια νέα συνάρτηση F : Δ - R με τύπο

F (x) �ι f (� dt Στον τύπο αυτής της συνάρτησης, με το χ συμβολίzουμε

την ανεξάρτητη μεταβλητή της ενώ με το t την μεταβλητή ολοκλήρωσης.

Βλέπουμε λοιπόν ότι με τα ολοκληρώματα μπορούν να οριστούν νέες συναρτήσεις.

Έτσι για παράδειγμα: ο φυσικός λογάριθμος ενός αριθμού χ > Ο ορίzεται με τον τύπο

hx= {χ ldt, J 1 t που μπορούμε να τον μεταχειριστούμε και σαν συνάρτηση του χ. Για κάθε χ > 1 η τιμή Ιηχ εκφράzεται από το εμβαδό Ε1 του σχήματος 1 .

Για κάθε χ με Ο < χ < 1 η τιμή lnx εκφράzεται από το εμβαδό � του σχήματος 2. Στην περίmωση αυτή είναι

f (t)

Σχ. 1

ο

f (t) = �. t > ο t

χ t

Δnμότρnς Ντρίzος

f

Σχ. 2

Αν χ = 1 τότε η τιμή Ιη1 εκφράzει, όπως είναι φανερό, το μηδενικό εμβαδό

f1ldt= O

1 t Εφαρpοyιί: Ν' αποδειχrούν οι ισότητες

(Σ.l):Jα · χ ldt= {χ ldt, χ > Ο α t }1 t

και α ένα αυθαίρετο αλλά σταθερό σημείο του διαστήματος (0, +οο)

(Σ.2): Ιη(χ · ψ) = Ιηχ + Ιηψ, χ, ψ > Ο Αοόδει�: Θέrουμε u = t/a ή t = au, άρα dt = (au) ' du Με t = α και t = αχ προκύmει αντίστοιχα u = 1 και

u = χ και επειδή η t/a είναι "1 - 1" έχουμε:

fα · χ ldt= { χ .l (au) ' du =,{χ *du =fx ldt

α t }1 au }1 1 t

Σύμφωva με •ην {Σ. l) κaο m..Bn hκ � { � dt θα έχουμε

h (χ . ψ) = 1 dt = 1 dt + 1 dt fχ · ψ fx fχψ 1 t 1 t

χ t

= {χ 1dt+ {ψ 1dt = hx+ hψ }1 t }1 t


Σvvαρτιiσεις ao\1 oρizovτai με ολοιιλορώpατα

f (t)

ο Σχ. 3

f (t) = .!...., t > ο t

Ει

ι χ ψ χ·ψ

Ας δούμε τώρα μια γεωμετρική ερμηνεία (σχήμα 3.) της ισότητας (Σ.2) στην περίmωση που είναι χ > 1 και ψ > 1

Στο σχήμα 3. έχουμε Ει = �. γιατί: fχ · ψ (Σ.l)fx Ε3 = 1dt = 1dt = Ει

ψ t 1 t Προφανείς είναι τώρα οι ισότητες:

= (χ 1dt + (ψ

1dt = hx + hψ Jι t Jι t Θα δούμε σm συνέχεια την απόδειξη και άλλων ίδιοτήτων

mς lιix ορίzοvτας αιν lnx, όπως ει'δαμε, ως το ολοκλήρωμα

{χ 1dt Ji t Για οποιαδήποτε θετικό χ και ψ ισχύουν οι σχέσεις: (Σ.3): lnx-1 = - lnx (Σ.4): h (;) = hx-hψ

(Σ.S): lnx < lnψ όταv χ < ψ χ- 1 (Σ.6):-s hxs χ- 1

χ

Αοοδείξεις: Από mν (Σ.2): Ιη(χ · ψ) = lnx + Ιηψ με ψ = 1/χ προκύπτει

h1 = hx+ h1 χ και επειδή Ιη1 = b, θα είναι lηχ-ι � -Ιηχ.

Λόγω τώρα των (Σ.2) και (Σ.3) διαδοχικό �ουμε:

h (;) = h (x · �) = hx+ hψ- 1 = nx-hψ

f (t)

Σχ. 4 Ο

f (t) = !.., t > ο t

ι χ t

Στο σχήμα 4. θεωρώντας πως 1 < χ/ψ < ψ < χ, έχουμε ης προφανείς_ ισότητες: (Σl) Ει = Ε3 = (Ει + � + Ε3) - (Ει + �)

Οπόrε: Γλv 1dt= {χ 1dt- {Ψ 1dt και συνεπώς }1 t }1 t Jι t h (;) = hx-hψ

Είδαμε έτσι μια γεωμετρική προσέyyιση της (Σ.4) Για την απόδειξη της (Σ.5) θα διακρίνουμε ης περιπτώ

σεις: (α) ΈοΊ:ω 1 < χ < ψ. Τότε (βλέπε σχήμα 5.) ισχύει:

Ει < Ει + �· Άρα Jx 1 dt < {Ψ 1 dt δηλαδή lnx < Ιηψ ι t Jι t

(β) Έστω Ο < χ < ψ < 1. Τότε (βλέπε σχήμα 6.) ισχύει: Ει + � > �· Άρα

Άρα ι��> { �� .. - (χ 1dt > - (ψ

1dt<:> (χ 1dt< (ψ

1dt<=>hx < hψ }1 t Jι t Jι t }1 t (γ) Αν είναι μόνο χ = 1 ή μόνο ψ = 1, τότε είναι φανε

ρό πως π (Σ.5) πόλι αληθεύει.

f (t)

Σχ. 5

f (t) = .!...., t > ο t

ι χ Ψ t

Φυσικό είναι γνωστό πως η (Σ.5) μας λέει όη η συνάρτηση Ιηω, ω > Ο είναι γνήσια αύξουσα.

Για την απόδειξη τώρα της (Σ.6) θα διακpίνουμε πόλι περιπτώσεις:

(α) Για κάθε χ > 1 και t Ε [1, χ] διαδοχικό έχουμε:

1 s ts x<:>1s 1s 1 οπόrε χ t fx fx fx 1 1dts ldts dt<=> x� s hxs x- 1 1 χ 1 t 1

(β) Για κάθε χ με Ο < χ < 1 και t Ε [χ, 1] έχουμε: xs ts 1 <=> 1 s 1s 1οπόι:ε

t χ

ι�$ ι��$ ι�� .. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κη. τ. 4/54

:Εοvαρτιiσεις aoo ορίzοvται pε ολοκλιιρώpαι:α

_ Γ dt � -Jx l dt � - Γ ;dt � Jι 1 t Jι

Σχ. 6

= J: <h� J: ;<h� J: �<h= χ- 1 � -- � hx� x- 1

χ

f (t) f (t) = .!..., t > ο t

χ ι

(γ) Αν χ = 1 η (Σ.6) αληθεύει ως ισότητα.

t

Ο αναγνώσrης μπορεί να αποδείξει και άλλες ιδιότητες mς lnx παίρνοντας υπόψη, όπως είδαμε, όn η lnx εκφράzει το εμβαδά

Ε = {χ lcJt Jι t θεώ.,.pa, Η σuνόρmσn F(x) � /,' f (�dt, Onως

στην αρχή του άρθρου ορίσmκε, είναι παραγωγίσιμη στο Δ και για κάθε χ Ε Δ ισχύει:

f' (χ) ��(/,' f(� <h) � f(x) (1)

Παραι:nράσεις - Η ισότητα (1 ) δείχνει τον τρόπο αλληλεξάρτησης της

ολοκλήρωσης με την παραγώγιση. - Κάθε συνεχής συνάρτηση f είναι η παράγωγος μιας

άλλης συνάρτησης F που είναι κι αυτή συνεχής. - Η συνεχής συνάρτηση f ορίzει με μοναδικό τρόπο την

παραγωγίσιμη συνάρτηση F, ενώ το αντίστροφο δεν ισχύει· αφού για κάθε σταθερά c Ε R ισχύει (F(x) + c) ' = f(x)

- Αν α και β είναι δυο διαφορετικά σημεία τdυ Δ τότε τα ολοκληρώματα

είναι διαφορετικά και αυτό γίνεται άμεσα φανερό, σκεπτόμενοι πως το καθένα εκφράzει και ένα άλλο εμβαδά στο καρτεσιανό επίπεδο Oxy. Φυσικά ισχύει:

�(J,'ιω<h) � �({ιι�+ιιχΙ

ΠΡΟΥΕΙΝΟΜΕΝΑ θΕΜΑΤΑ: 1.1. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο R και

f (x) � { xfωdJ; χ Ε R τότε να βρεθεί η τιμή της F ' ' στη θέση χ = 1 στην περίπτωση που είναι f(1) = 995 και f ' (1) = 5

1.2. Αν για κάθε χ > Ο είναι f(x) > Ο και (f2 (χ)) ' > Ο τότε: (α) Ν' αποδειχτεί ότι F ' (1995) > F ' (1994) (β) Να βρεθούν οι τιμές του Κ, Κ > 6/5 για τις οποίες

αληθεύει η ισότητα (Σ.1):

J,"'Ί ω <h + .i'!(.ι) � J."" -Ί ω <h + ιs.-6J ι ιs.-61

2. Για κάθε χ > Ο ορίzουμε τη συνάρτηση

2.1. Να αποδειχτεί ότι f(x) > Ο Ι χ + 2 2.2. Να υπολογιστεί το lim f (t) dt

χ ---ιο + οο x + l 2.3. Να βρεθεί η παράγωγος τhς συνάρτησης Ι χ + 2

F(x) = f (t) dt x + l 3. Δίνεται η συνάρτηση

Να βρεθεί το σύνολο τιμών της F(x)

4. 1. Να βρεθεί ο τόπος μιας συνεχούς συνάρτησης f που ικανοποιεί την ισότητα

(Σ.l)ο F (x) � χ με F (x) �Ι (St-4) · !(4ι'-4t}<h

για κάθε χ Ε (- οο, 0). 4.2. Αν για την ταχύτητα υ (t) ενός κινητού που κινείται

πάνω σ' έναν άξονα συντεταγμένων είναι υ(t) = f(t) σε m/sec, να Βρεθεί το διάστημα που διανύει το κινητό από τη χρονική στιγμή t = 3 sec μέχρι τη στιγμή t = 15 sec.

5. Ένα σωματίδιο κινείται πάνω σε έναν άξονα συντεταγμένων με επιτάχυνση

ν (� = _4_ σε cm/sec2. (4-t)2

Να υπολογιστεί το διάστημα που διανύει το σωματίδιο μεταξύ των χρονικών στιγμών t = 1 sec και t = 2 sec, αν είναι γνωστό πως η ταχύτητα του σωματιδίου τη χρονική στιγμή t = Ο sec είναι 2 cm/sec.

Βιβλιοyραφία Ε.Μ.Ε: Περιοδικά 'ΈΥΚΛΕΙΔΗΣ" Β ' και Γ . George Β. Thomas - Ross L. Fiηηey: Απειροστικός Λογι

σμός Ντρίzου Δ: Ενότητες Ανάλυσης


Μιyαδικοί αριθμοί Παναyιώτnς Χριστόnοvλος - θανάσnς Χριστόnοvλος

Ιστορικό

Οι μιγαδικοί αριθμοί εμφανίστηκαν στην Άλγεβρα τον 16ο αιώνα στην προσπάθεια να εκφρασθούν οι ρίzες δευτεροβάθμιας εξίσωσης με αρνητκή διακρίνουσα.

Ο Ιταλός μαθηματικός Jerolamo Cardaηo το 1545 στην προσπάθειά του να λύσει ένα πρόβλημα οδηγήθηκε στην εξίσωση χ2 - 10χ + 40 =0, hου έχει αρνητική διακρίνουσα Δ=-60 και έγραψε

χ1 = 5 + γ - 15 και Χ2 = 5- γ - 15 αλλά σημείωσε ότι οι λύσεις αυτές είναι ακραίες, εξεzητημένες και άχρηστες.

Το 1637 ο Descartes τις ονόμασε φανταστικές ρίzες και ο Euler από το αρχικό γράμμα της λέξης «Ima-giηaire>> παρέστησε το Γ-1 με το i.

Το 1831 ο Gauss τους έδωσε γεωμετρική παράσταση και τους αριθμούς αυτος τους ταύτισε με τα σημεία του επιπέδου.

Το 1837 ο Hamiltoη τους έδωσε λογική θεμελίωση θεωρώντας τους ως διατεταγμένα zεύγη πραγματικών αριθμών.

Έτσι σήμερα οι μιγαδικοί αριθμοί (complex ηumpers) μπορούν να θεωρηθούν επέκταση του σύνόλου των πραγματικών αριθμών. Είναί το ευρύτερο σύνολο μέσα στο οποίο ισχύουν οι τέσσερις γνωστές μας πράξεις και έχουν λύση όλες οι εξισώσεις με πραγματικούς συντελεστές. Το σύνολο αυτό δεν είναι διατεταγμένο.

Ένας από τους θεμελιωτές της Γεωμετρίας των μιγαδικών αριθμών ήταν ο μεγάλος Έλληνας μαθηματικός Κων. Καραθεοδωρής (1873-1950), ο οποίος εισήγαγε τη "χορδική απόσταση" , την απόσταση δηλαδή εvός zεύγους μιγαδικών (z1, �) σm σφαίρα Riemaηη.

Ο τύπος είναι:

'ι\σιιnσn ln:

Λ .Χ. ο lz + 3il = lz - il � lz + 3il2 = lz - il2 � <=> (z + 3i) (z- 3i) = (z - i) (z + i) � . . . <=>

� (z -Ζ)ί = 2 � 2yii = 2 � y = -1 . Έτσι θα έχουμε z = χ - ί, χ Ε R Άρα 2z + 3i = 2(χ - i) + 3i = 2χ + ί και

Arg(2z + 3i) = 2π/3 <=> Arg(2x + i) = 2π/3 <=>

�εφ2π =j_�-fi =l�x=--1-3 2χ 2κ 2fi

και mομέvως ο z = --1-- i 2fi

Σημ. Αν z = α + βί α ;ο! Ο τότε εφArg(z) = εφθ = ημθ = β/ρ = �

σuνθ α/ρ α

'ι\σιιnσn 2n:

Αν Π(χ) = χ2 + 2lz1 - z21x + (1 + lz1 12) (1 + lz2 12) zι , z2 Ε C, δείξτε ότι

Π(χ) � Ο για κάθε χ Ε R. Πότε μπορεί να ισχύει η ισότητα; Αnόδει�n: Είναι δευτεροβάθμιο τριώνυμο με πραγματικούς

συντελεστές και α = 1. Άρα για να είναι το Π(χ) ομόσημο του α για κάθε χ Ε R πρέπει Δ < Ο.

Έχουμε Δ = 4 lz1 -�12 - 4(1 + lz1 12) (1 + 1�12) = = 4[(zι - z2J (zι "" z2J - (1 + Ιzι 12Η1 + lz212JJ = = -4 (zιz2 + z2zl + 1 + Ζι ΖιΖ2 z2) = = -4 [z1'Z2 (1 + 'Ζ'ιz2) + (1 + 'Ζ'ιz2)] = = -4(1 + ϊ1�)(1 + z1ϊ2) = -4 1 1 + z1ϊ212 s Ο Όταν Δ = Ο � z1ϊ2 = -1, τότε Π(χ) = Ο για

χ = -�= -�ι -� 2α

'ι\σιιιισn 3n

Να βρεθεί το σύνολο των σημείων του μιγαδικού επιπέδου για τα οποία είναι:

lz-q _ ---κ Να βρεθεί ο μιγαδικός z = χ + iy, χ, y Ε IR, αν �-�

ισχύουν lz + 3i l = Ιz - il και Arg(2z + 3i) = 2π!3 κ > Ο κdι α, β δεδομένοι μιγαδικοί αριθμοί. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κη. τ. 4/56

Μιyαδικοί Αριθμοί

Anάvτaσa

Υ

Β

ο χ

α) Αν κ = 1 και Α, Β οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών α, β και Μ η εικόνα ενός ruxαfoυ μιγαδικού αριθμού z, έχουμε lz - a l = (ΜΑ) και lz - β l = (ΜΒ) άρα ΜΑ = 1, δηλαδή ΜΑ = ΜΒ και το σύνολο των σηΜΒ μείων είναι η μεσοκάθεm του ΑΒ.

β) Αν κ • 1 το σύνολο των σημείων είναι ο Απολλώνιος κύκλος. Ο κύκλος τέμνει την ΑΒ στα Ε, Δ τα οποία χωρίzουν το ΑΒ εσωτερικά και εξωτερικά σε λόγο κ.

Υ

Β

ο χ

Αν α = οι + βιi. β = 0ι + β2ί και z = χ + yi τότε I (χ-αι) + {y- βι) ϊ l = κ .;:;. I (χ-αz} + (y-βz) ϊ l

χ2(1 - κ2) + y2(1 - �) + 2(κ2α2 - αι)χ + 2(κ2β2 - βι) + αι2 + βι2 - � (a22 + β22) = Ο εξίσωση κύκλου.

Ασκaσa 4a

Τ ο τρίγωνο με κορυφές τις εικόνες στο μιγαδικό επίπεδο των zι, z2, z3 και το τρίγωνο με κορυφές τα zί, z2, z3 και το τρίγωνο με κορυφές τα zί, z2, z3 είναι όμοια αν και μόνο αν

ΖιΖz + Z2z3 + ZgZl = zί Ζ2 + Zz . Zg + z3 . Ζι

Αnόδειξa Αν ΑΒΓ=Α 'ΒΤ ' τότε

(ΑΒ) = jΑΓ) (1) και (Α' Β' ) (Α' Γ ' )

BAr = Β 'ΑΤ ' (2)

y Α(zι) B(z2�

�) B'(z�

Γ'(z'3) ο

'Ομως ( 1) .;:;. �� -zιl = �3 -zιl .;:;. lz2 -zί l lz3 -zί l Ιz2 - zι l lz3- z} I = lz2 - z} I Ιz3 - zι l .;:;. .;:;. i (z2 - zιHz3 - zί ) I = l (z2 - zί ) (z3 - zιJ I (3)

η (2) .;:;. Arg(z3 - zι) -Arg (z2 - zι) = = Arg(z3 - z} ) - Arg (z2 - z} ) .;:;. .;:;. Arg (z3 - zι) + Arg (z2 - zί ) = = Arg (z3 - zί ) + Arg (z2 - zι) .;:;. .;:;. Arg [(z3 - zιHz2 - z} )] = = Arg [(z3 - z} ) (z2 - zιΗ (4)

χ

Από τις (3) και (4) έχουμε: (zg - zι) (z2 - z} ) = = (z3 - z ' ι ) (z2 - zι) .;:;. zιz ' 2 + z2z3 +z3z ' ι = = z · ι z2 + z · 2z3 + z3 zι οι σχέσεις είναι ισοδύναμες άρα ισχύει και το αντίστροφο.

Ασκaσa Sa

Η 1η άσκηση από τις γενικές ασκήσεις του βιβλίου της Βης τάξης στο 2ο κεφάί\αιο θέλει να δείξουμε ότι: το Ρ(χ) = x3v + χ3μ+ι + χ3Ρ+2 διαιρείται με το χ2 + χ + 1 (ν, μ, ρ θετικοί ακέραιοι)

Αnόδειξa: Το χ2 + χ + 1 έχει ρίzες τις

zι = - 1 +ui και � = - 1 - Γ3 ί ή 2 2 2 2

2π . 2π zι = σuv-+ ι ημ- � = zι 3 3 Αρκεί το Ρ( χ) va διαιρείται με χ - zι και χ - z2. Το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(χ) με χ- zι είναι

υι = Ρ(zι) = ηv + z�μ + ι + :ziP + 2 = σuv(2; 3ν) + ί ημ(2; 3v) + σuv(2; (3μ + 1)) +

+ ίημ(2; (3μ + 1)) + σuv{2; (3ρ + 2)) +


Μιyαδιιιοί Αριθpοi

+ ί ημ(2; (3ρ + 2)) = σνν (2nv) + ίημ (2πv) +

( 2π) . ( 2π) + σνν 2πμ + 3 + ιημ 2πμ + 3 +

+ σνν (2πρ + �) + ίημ(2πρ + �) =

= 1 + i . ο-1 + fii_l_fii = ο , 2 2 2 2

Ομοίως είναι υ2 = P(z2) = P(z1) = Ο Άρα το Ρ(χ) διαιρείται με

(χ - zι) (x - z2) = χ2 + χ + 1.

Acnιnσn 6n

Να λυθεί στο t η εξίσωση (ax2 + βχ + γ)2 = (βχ2 + γχ + a) (yx2 + οχ + β)

Λ.Jσn Η εξίσωση ισοδύναμο γράφεται

(χ3 - 1) [(a2 - βγ)χ + (aβ - y2)] = Ο <=> <=> χ3 - 1 = Ο ή (a2 - βγ)χ = y2 - aβ.

Γιο την χ3 = 1 έχουμε τις λύσεις χ1 = 1, χι = _l + Ui, � = _l_Ui

2 2 2 2 Γιο την (a2 - βγ)χ = y2 - aβ έχουμε: a) ον a2 - βγ ,. Ο

v- -aβ >!4 =--cf - βγ

β) ον a2 - βγ = Ο και y2 - aβ ,. Ο αδύνατη γ) ον a2 - βγ = Ο και y2 - aβ = Ο � = κάθε μιγα

δικός.

Ασκnσn 7n

Να εξεταστεί ον ο μιγαδικός z με lzl ,. 1 είναι ρίza της 1 + z + z2 + . . . + zv - 1 = Ο με ν Ε Ν

Λ.Jσn Επειδή lzl ,. 1 έχουμε z - 1 ,. Ο και

? ι zv - 1 1 + z + z- + . . . + zv - = -- άρa zν - 1 = 0 <=> z- 1

ZV = 1 ή zV = ��ν [ συv (vθ) + j ημ (νθ)] = 1 <=> σνν (νθ) = _l_ και ημ (νθ) = Ο

ι�v Από το ημ (νθ) = Ο έχουμε νθ = κπ κ Ε Ζ. Άρα συν (κπ) = _l_ <=> + 1 = _l_ <=> ι�v = 1 άrοπο

ι�v ι�v γιατί lzl ,. 1 έτσι ο z δεν είναι ρίza.

Ασκnσn 8n

Να βρεθούν οι εικόνες των μιγαδικών aριθμών, που είναι λύσεις της εξίσωσης

lz - 1 12 + Ιz - 3 - 2il2 = 6

Aaάvι:nσn 'Εστω Α(1, 0) και 8(3, 2), οπότε (ΑΒ) = Γs, ον Κ

είναι το μέσο του ΑΒ, τότε Κ (2, 1 ) . Έστω Μ η εικόνα του z στο μιγαδικό επίπεδο, τό

τε η σχέση lz - 1 12 + lz - (3 + 2i) l2 = 6 γίνεται (ΜΑ)2 + (ΜΒ)2 = 6, αλλά aπό το θεώρημα της διαμέσου

(ΜΑ)2 + (ΜΒ)2 = 2(ΜΚ)2 + (ΑΒ)2 επομένως 2

2(ΜΚ)2 + (ΑΒ)2 = 6 <=> 2

2 (ΜΚ)2 + 8_ = 6 <=> (ΜΚ)2 = 1 2

Υ

1 2 3 χ

Άρα το σημείο Μ aπέχει aπό το σταθερό σημείο Κ aπόσταση ίση με 1, δηλαδή το σημείο Μ είναι το σημείο του κύκλου (Κ, 1 ) .

Ασκnσn 9n

Αν z1, z2, Ε t και ν Ε Ν, Ποιο σχέση έχουν το

ορίσμαrά τους (Ν (;:)ν= � και ι� ι = 1 Aaάvι:nσn Αν z1 = a + βi ή z1 =ρ(συνθ + i ημθ) z2 = συνφ + i ημφ τότε (�l )v = (a + βί)ν = ((ο + βί)2 )ν = (ο + βi)2ν = z1 a- βί cf + β2 (c?- + β2)ν = 1 ( cf + β2)ν [ σνν (2vθ) + i ημ (2vθ)] = (cf- + β2)ν = συνφ + ίημφ. Άρα νθ = κπ-! ή vθ + ! = κπ όπου κ Ε Ζ.

2 2 ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κη. τ. 4/58

Μιyαδικοί Αριθμοί

Ασκaσa lOa

Να λυθεί η εξίσωση: (1 + z)2v + (1 - z)2v = (1 - z2)v v Ε Ν*

Λ.Sσa Θ , (1 + z)v , ..s:: , εrουμε -- = ω νιαη η �αι>οη yραφεrαι

1-z (�)2v + 1 = ( 1 -z2)v <=> ((�)v)2 _ (�)v + 1 = Ο 1- z ( 1-z)2v 1- z 1- z

ή ω2 -ω + 1 = 0 Δίvουμε Ίη λύση Ίης εξίσωσης αυΊής που είvαι

ω1 = 1 + 1'..3:. ί, ή ω2 = 1-Ui 2 2 2 2

, (1 + z)v , (1 + z)v Άρα -- = ωl η -- = ω2 1 -z 1-z Όμως iω1 1 = 1 ή iω2 1 = 1

άρα και lw = 1 <=> 1 + z . 1 +� = 1 <=> � 1 -z 1- z - - - - -1 + z + z + zz= 1 -z-z + zz<=>z+ z = Ο. επομέvως ο z είvαι φαv'fQσηκός αριθμός δηλ. z = κί και οι (1 ) έχουv Ίnv μορφή

(1)

(��:)v = ω και aκqm (��)v

= ω (Άσκηση 9).

ί\σκaσa l la

Av ο v είvαι θεηκός ακέραιος, vα αποδείξαε όη δεv υπάρχει χ Ε R για Ίοv οποίο vα είvαι:

Αιιόδειξa

( 1 + xif = 1 + u ί 2 2

Av υπάρχει χ Ε R πρέπει �1 + xi)� = 1� + �ίι <=>11 + xi�= 1 <=>

<=>(V1 + x2)v= 1 <=> 1 + x2 = 1 <=>x= O 'Ομως (1 + χϊ.)v = 1 p! 1 + Ui

Άρα η εξίσωση 2 2

(1 + xif = 1 + Ui εfvαι αδύvαm. 2 2

ί\σκaσa 12a

Av z1, �. z3 Ε C. Να δειχθεί όη ο αριθμός 1 1 1

z = z1 � 2'8 εfvαι φανταστικός

Αιιόδειξa Ο z γράφααι

1 1 1

Άρα z Ε Ι

ί\σκaσa 13a

1 1 1

Λ. 2π . 2n c_-s: 6τι , nv z = συv- + ι ημ - vα α;ι"'εrε ο πιvακας 9 9 [ 1 z2 z7 1 Α = z4 f' ['

.; z -} είvαι αvτισφέψιμος

Αιιόδειξa Για vα είvαι αvτισφέψιμος πρέπει IAI pι Ο

Π� z� � � = 1 1/' l' l-z2 1z4 .f l + z7 1z4 f' l = .; z -} z i3 .; -} .; z

= .p _.p _.p + .;s + .;2 _.;s = = _.p + .;s + -}2_-z!B = _3

διότι .Ρ = 1 .;s = συv 3Οπ + ί ημ 3Οπ = _1_ iu 9 9 2 2

zl2 = συv24π + ί ημ24π = -1 + iu και 9 9 2 2

zlS = (ZJr= 1.


Προβλήματα Πιθανοτήτων

Πρόβλημα 1

Έστω Ω ένας δειγματικός χώρος (δ.χ.) και Α, Β, Γ τρία ενδεχόμενα του Ω, ξένα ανά δυο, τέτοια ώστε Ω = Α υ Β υ Γ. Έστω ακόμη ότι υπάρχει ένας θετικός αριθμός θ τέτοιος ώστε

Ρ (Α) + Ρ (Β) = .l, Ρ (Β) + Ρ (Il = 5θ, 3θ 4

Ρ (Il + Ρ (Α) = θ όπου Ρ(Α), Ρ(Β), Ρ(Γ) οι πιθανότητες των ενδεχομένων Α, Β, Γ αντίστοιχα. Να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων Δ = Α υ Β . , Ε = Α n Γ .

Λσσa Με πρόσθεση κατά μέλη των δεδομένων ισοτήτων

παίρνουμε

2 (Ρ (Α) + Ρ (Β) + Ρ (Il = _1_ + 5θ + θ 3θ 4 ( 1 )

Όμως Ρ(Α) + Ρ(Β) + Ρ(Γ) = Ρ( Α υ Β υ Γ) = Ρ(Ω) = 1 , επειδή Α, Β, Γ ξένα ανά δυο.

Έτσι από την (1 ) προκύmει 1 5θ 2 = - + - + θ

3θ 4 <=> 27θ2 - 24θ + 4 = ο

Λύνοντας την δευτεροβάθμια αυτή εξίσωση βρίσκουμε

Αν θ = 2/3, αφαιρώντας κάθε μια από τις δοσμένες σχέσεις από την Ρ(Α) + Ρ(Β) + Ρ(Γ) = 1 (2) , βρίσκουμε αντίστοιχα

Ρ (Il = 1, Ρ (Α) = 1, Ρ (Β) = 1. 2 6 3

Αν θ = 2. τόrε Ρ (Α) + Ρ(Β) = 3. > 1, άτοπο, 9 2 [6..ωmς (2).

Δnμότρnς Ι. Mnovvάκnς

Άρα δεκτή μόvο η θ = 2.. 3

Έχομε τώρα Ρ(Δ) = Ρ(Α υ Β . ) = Ρ( Α υ (Α υ Γ)) = Ρ(Α υ Γ) = Ρ(Α) + Ρ(Γ) =

= 1 + 1 = 1 6 2 6

Εξ' άλλου Γ ' = Α υ Β, όποτε Α ς: Γ ' ή Α n Γ · = Α

Έτσι έχουμε Ρ(Ε) = Ρ(Α n Γ . ) = Ρ(Α) = 1/6

Πρόβλημα 2

Έστω Α, Β, Γ τρία ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου (δ.χ.)

α) Να δειχθεί ότι 1 - Ρ(Α ' n Β . n Γ ' ) s Ρ(Α) + Ρ(Β) + Ρ(Γ) s 2 + Ρ(Α n Β n Γ)

β) Αν Α, Β, Γ ξένα ανά δυο μεταξύ τους να δειχθεί ότι

2Ρ(Α υ Β υ Γ) s Ρ(Α . ) + Ρ(Β . ) + Ρ( Γ . ) .

ΛΘση α) Έχουμε 1 - Ρ(Α ' n B · n Γ ' ) = 1 - Ρ[ (Α υ Β) '

n Γ ' ] = 1 - Ρ[ (Α υ Β υ Γ) . ] = Ρ( (Α υ Β) υ Γ) s Ρ(Α υ Β) +Ρ(Γ) s Ρ(Α) + Ρ(Β) + Ρ(Γ). (από τον προσθετικό νόμο των πιθανοτήτων εύκολα προκύmει ότι Ρ(Κ υ Λ) s Ρ(Κ) + Ρ(Λ), για δυο ενδεχόμενα Κ, Λ ενός δ.χ. )

Για τη δεύτερη ανισοϊσότητα μετασχηματίzομε πρώτα το δεύτερο μέλος της 2 + Ρ(Α n Β n Γ) = 2 + Ρ[(Α n Β) n Γ)] = =2 + P(f'\ n Β) + Ρ(Γ) - Ρ[(Α n Β) U Γ] =

(λόγω του προσθετικού νόμου των πιθανοτήτων) = 2 + Ρ(Α) + Ρ( Β) - Ρ(Α υ Β) +Ρ( Γ)- Ρ[(Α n Β) υ Γ]

Έτσι, προς απόδειξη γράφεται Ρ(Α) + Ρ(Β) + Ρ(Γ) s 2 + Ρ(Α n Β n Γ) <=>

<=> Ρ(Α) + Ρ(Β) + Ρ( Γ) s 2 + Ρ(Α) + Ρ(Β) -Ρ(Α υ Β) + Ρ(Γ) - Ρ[(Α n Β) υ Γ] <=> Ο s 2 - Ρ(Α υ Β) -Ρ[(Α n Β) υ Γ] <=> Ρ(Α υ Β) + Ρ[(Α n Β) υ Γ] s 2, που ισχύει αφού κάθε προσθετέος είναι μικρότερος ή ίσος της μονάδας.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β . κn. τ. 4/60

Προβί\ιipατα Πιθαvοτάτωv

β) Επειδή Α, Β, Γ ξένα ανά δυο, έχουμε Ρ(Α υ Β υ Γ) = Ρ(Α) + Ρ(Β) + Ρ(Γ), οπότε 2Ρ(Α υ Β υ Γ) s Ρ(Α " ) + Ρ(Β " ) + Ρ(Γ " ) � 2[Ρ(Α) + Ρ(Β) + Ρ(Γ)] s 1 - Ρ(Α) + 1 - Ρ(Β) + 1 - Ρ(Γ) � 3[Ρ(Α) + Ρ(Β) + Ρ(Γ)] s 3 � Ρ(Α) + Ρ(Β) + Ρ(Γ) s 1, που ισχύει, εφ' όσον Α υ Β υ Γ ς;;; Ω και Ρ(Α) + Ρ(Β) + Ρ(Γ) = Ρ(Α υ Β υ Γ) s Ρ(Ω) = 1 .

Πρόβλapα 3

Σε μια πόλη κυκλοφορούν δυο περιοδικά, το ΜΦΑ και το ΒΗΓΑ. Το 25% των κατοίκων έχει διαπιστωθεί ότι διαβάzει το ΜΦΑ, το 85% δεv διαβάzει το ΒΗΤΑ, εvώ το 38% των κατοίκων διαβάzει τουλ6-χιστον ένα από τα δυο περιοδικά. Να βρεθούν οι πι-θανότητες: .

α) Ένας (τυχαίος) κάτοικος να διαβάzει και τα δυο περιοδικά

β) Ένας κάτοικος να μην διαβάzει κανένα περιοδικό.

Avσa Έστω τα ενδεχόμενα Α: ο κάτοικος διαβάzει το πε

ριοδικό ΜΦΑ Β: ο κάτοικος διαβάzει το περιοδικό ΒΗΓ Α. α) Ζητούμε την πιθανότητα Ρ(Α n Β) . Είναι

Ρ(Α υ Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(Α n Β) και Ρ(Α) = 0,25, Ρ(Β) = 1 - Ρ(Β " ) = 1 - 0,85 = 0, 15, Ρ(Α υ Β) = 0,38 οπότε Ρ(Α n Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(Α υ Β) = 0,25 + 0,15 - 0,38= 0,02 ή 2%.

β) Ζητούμε mν πιθανότητα Ρ( Α . n Β . ) = Ρ( να μην διαβάzει κανένα)

= 1 - Ρ (διαβάzει τουλάχιστο ένα) = 1 - 0,38 = 0,62

Πρόβλapα 4

Έξι μπάλες είναι μέσα σε ένα δοχείο και έχουν πάνω τους τους αριθμούς 1, 2, 4, 6, 8, 9 αντίστοιχα. Παίρνουμε στην τύχη 3 μπάλες την μια κατόπιν της άλλης χωρίς επανατοποθέτηση, και έστω α, β, γ κατά σειρά οι αριθμοί τους.

Ποιά είναι η πιθανότητα ο πίνακας

Α= [; �] να είναι aντιστρέψιμος;

Avσa Η zητούμενη πιθανότητα είναι ίση με p = 1 - Ρ( ο

Α δεv είναι aντιστρέψιμος). Ως γνωστόν, ο Α είναι μη aντιστρέψιμος αν και μόνο αγ - β2 = Ο ή β2 = αγ. Επειδή το α έχει 6 επιλογές το β 5 και το γ 4, οι δυνατές περιπτώσεις του πειράματος είναι (σύμφωνα με την Α.Τ.Α.) 6 · 5 · 4 = 120 (δηλαδή ο δ.χ. αποτελείται από τις διατάξεις των 6 αριθμών ανά 3). Αναzητούμε τις τριάδες α, β, γ με β2 = αγ.

Γινόμενα που να' ναι τετράγωνα είναι μόνο και 1 · 4 = 22, 2 · 8 = 42, 4 · 9 = 62, άρα ευνοϊκές περιπτώσεις είναι 1 2 4 καθώς και η 4 2 1

2 4 8 καθώς και η 8 4 2 4 6 9 καθώς και η 9 6 4

(Μπορούμε να τις βρούμε και αναλυτικά: α = 1 . . . , α = 2 . . . κ.λπ., δοκιμάστε). Έτm η zrnoύμεvn πιθανόmτα είναι

p = 1-_Q_= 1-l= 19 e 0,95. 120 20 20

11 ΜΑΘΗ ΜΑΥΙΚΑ 4ης ΔΕΣΜΗΣ 11 Για σωστή, πλήρη και υπεύθυνη προετοιμασία των υποψηφίων A.E. I .

ΤΛΧΗΣ ΠΟΛΥΔΟΡΟΙ - ΓΙΛΗΝΗΙΙΙΑΧΟΙ τιιuιι ΠΙΙΛΥΔΟI'ΟΣ • ΠAINIJ.IIUOI ΤΑΙΙΗΣ IIΟΛΥΔΟΡΟΣ • ΓΙΑΝΝΗΣ ΣΙΛΙΙDΣ

Σιοιχείοθεωρι:ας-Λιιμένεςασι:ήσεις-Αοιιήοεις γιολύση Γulώ.οιιλιpιιμtνηrφοcΊΟιμQΟia1ΙιΙΥUΠοφηφiωνΑ.Ε.Ι.


Αγαπητοί φίλοι του Ευκλείδη. Ευχαριστούμε πολύ για την ανταπόκριση που δείξατε στη νέα μας στήλη.

Οι λύσεις των προτεινομένων ασκήσεων θα αρχίσουν να δημοσιεύονται από το 1ο τεύχος 1995 - 96. Στο τεύχος αυτό προτείνεται με νέα σειρά ασκήσεων που πιστεύουμε θα σας συvτροφεύσουν ευχάριστα στις καλοκαιρινές σας διακοπές.

1\λyεβρα Α' Λ\Ικείο\1

AS) Να λυθεί η εξίσωση (x2v + 1 ) (y2κ + 1) = 2xv, ν, Κ Ε Ν*

(Λαμορ6οο\Ιλος Τάσος)

Α6) Να λυθεί η εξίσωση (χ2 + 1)4 (y2 + 1)5 = 16χ4

(Λαpορ6οο\Ιλος Τάσος)

rεωμετρία Α ' Λ\Ιιιείο"

Α7) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο ισχύει

f= 9σ'-3Α 2

Φέρουμε ΓΕ .l ΑΒ και τη ΓΖ κάθετη στη διχοτόμο της Α. Αν Μ το μέσο της ΒΓ να δειχτεί ότι ΓΕ .l ΜΖ.

(θαvάσnς Κ\Ιριακ6οο\Ιλος)

rεωμετρία Β , Λ\Ιιιείο"

82) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α > 90 • το ύψος του ΒΔ και η διάμεσος ΑΜ. Αν ΑΒ2

= ΑΔ · ΑΓ δείξrε ότι (ΑΒΓ) = ΑΒ · ΑΜ

(rιώρyος Κατσο1.Ιλnς)

r ' Λ\Ιιιείο"

r 2• Έστω f, g συνεχείς στο [α, β] με f(x) < g(x), για κάθε χ Ε [α, β] και f ([α, β]) n g ( [α, β]) ;ι! 0.

Δείξι:ε ότι υπάρχει χ0 Ε (α, β) ώστε: f(α) + f(β) + g(α) + g(β) = 4f(x0) ή 4g(x0)

(rιώρyος Τσιιιαλο\Ιδάιιnς)

r 3 Αν οι θετικοί αριθμοί α1, α2, . . . , αv είναι ανά δύο διαφορετικοί μεταξύ τους και για κάθε χ Ε R ισχύει:

λια{ + λ2α{ + . . . + �Gvx = Ο δείξι:ε ότι λ1 = λ2 =

. . . = � = Ο

(rιώρyος Τσιιιαλο\Ιδάιιnς)

* (Η αρίθμηση συνεχίzεται ανα τάξη Α, Β, Γ Λυκείου από το προηγούμενο τεύχος) .


;.• ' ·�·.· ')--:. ._� ... -�·-.""'� 1 .:'.: ""'i""::c__ ' -�," -,,..:·� � "''ι � :;. .,,_.__ --t .�· ..ι-:.� ι(\ ' ··�_, .: ,�_ - �� .... ,.� :._ � ,..._._ ••

' Επιμέλεια: rιάvvnς Τνρλιί.ς '

Από τον κ. Σταύρο Παπασταυρίδη λάβαμε την παρακάτω επιστολή.

Στο τεύχος 14( 1994) του ΕΥΚΛΕΙΔΗ Β · , σελίδα 58, δημοσιεύεται άρθρο που περιέχει, εσφαλpέvn άποψη πάνω στην έvvοια του ακρότατου συναρτήσεως, και στη σχετική επιστολογραφία που δημοσιεύεται στο τεύχος 15(1995), σελίδα 62, ο aρθρογράφος επικρίνει τα σχολικά εγχειρίδια της Γ ' ΛΥΚΕΙΟΥ, γράφοντας ότι 'Ή σύγχιση που επικρατεί στα εγχειρίδια της Γ ' Λυκείου, έχει επισημανθεί'' , ενώ η αλήθεια είναι ότι δεν υπάρχει καppία απολύτως σύγχιση. Σας παρακαλώ να δημοσιεύσετε την επιστολή αυτή, για να μη δημιουργούνται χωρίς λόγο ανησυχίες μεταξύ των υποψηφίων για τις γενικές εξετάσεις.

Με τιμή Σταύρος Γ. Παπασταυρίδης Αντιπρόεδρος Παιδαγωγικού Ινστιτούτου Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Αντιπρόεδρος του Δ. Σ. της ΕΜΕ Εκ των Συγγραφέων βιβλίων της Γ ' Λυκείου Από τον Ακαδημαϊκό και τ. πρόεδρο της ΕΜΕ κ. Ν. Κ.

Αρτεμιάδη λάβαμε το παρακάτω πρόβλημα. Πρόβλnpα Η ευθεία y = γ τέμνει την καμπύλη

y = 2χ - 3χ3, στο Ιο τεταρτημόριο, όπως δείχνει το σχήμα. Να ευρεθεί η τιμή του ν για την οποία τα εμβαδά των δύο σκιασμένων τμημάτων να είναι ίσα.

Λ.Sσn. Έστω (β, γ) το δεύτερο σημείο τομής της y = ν με την καμπύλη. Θέλομε ένα ν τέrοιο ώστε

(! ) J: (γ - (2χ - 3χ311 dx � ο

ήτοι (2) γβ - β2 + 3.. β4 = ο

4 Θέτοντας στην (2), ν=2β-3β3 έχομε β =2.. Άρα ν =�

ψ 3 9

Από το συνάδελφο Δ. Ντρίzο λάβαμε την παρακάτω επιστολή.

Αγαπητοί συνάδελφοι, υπεύθυνοι της Σ.Ε. του ''Ευκλείδη Β ' , (Ε.Β ' )" θα ήθελα με αυτή την επιστολή να κάνω μια πρόταση που θα συνέβαλε, κατά την άποψή μου, προς την αναβάθμιση του ήδη αρκετά καλού περιοδικού (Ε. Β ' ) Κάθε άρθρο που εσείς θα κρίνετε πως είναι δημοσιεύσιμο να παραθέτει οπωσδήποτε και τη σχετική βιβλιογραφία, αν για τη σύνταξή του έχουν χρησιμοποιηθεί π.χ. αυτούσια θέ-

ματα ή "θέματα μοντέλα" από κάποια συγκεκριμένα βιβλία. Και τούτο γιατί ο (Ε. Β ' ) δε διαβάzεται μόνον από μαθητές, όπως ξέρετε. Η παράθεση βιβλιογραφίας, όχι μόνο συνιστά εντιμότητα και σεβασμό στον όποιο αναγνώστη, αλλά ίσως κάποιες φορές τον διευκολύνει κιόλας.

Μια σχετική σας οδηγία, μέσω του (Ε.Β ' ) προς τους συγγραφείς άρθρων θα έλυνε, πιστεύω, αυτό το θέμα.

Και σε τελευταία ανάλυση, δε δημιουργεί ευχάριστη αίσθηση σε κανένα μας, το να βλέπουμε μια άσκηση σ' έvα βιβλίο π.χ., που έχουμε δει και ξαναδεί εδώ και κεί, χωρίς να γίνεται όμως και μια βιβλιογραφική αναφορά.

Με συναδελφική εκτίμηση Δ. Ντρίzος (*) Το περιεχόμενο αυτής της επιστολής κινείται στο

πνεύμα συzητήσεων που γίνονται μεταξύ φίλων - μελών του Παραρτήματος Ε.Μ.Ε. Τρικάλων.

• Από το συνάδελφο Δ. ΙΈωρyίοιι λάβαμε την παρακάτω επιστολή.

Αγαπητέ Ευκλείδη. Στο συνέδριο της Ε.Μ.Ε. στην Κέρκυρα, άκουσα τον κα

θηγητή κ. Θ. Εξαρχάκο στην ομιλία του να αναφέρει ότι η μέθοδος της μαθηματικής τέλειας επαγωγής έχει δημιουργηθεί από τον Αριστοτέλη. Επειδή το θέμα είναι εθνικό, θα παρακαλούσα τον ''Ευκλείδη Β · " να μας αναφέρει κάτι σχετικά.

Φιλικά Δ. Γεωργίου

• Από το συνάδελφο Δ. Kovτoyιάvvn λαβάμε τις παρακάτω διορθώσεις που αφορούν τυπογραφικά λάθη που έγιναν στο άρθρο του "Είναι ακρότατο ή φράγμα" στο τεύχος 14 του ''Ευκλείδη Β · ". Από παραδρομή οι διορθώσεις δεv έγιναν στο τεύχος 15.

(i) Στο τίτλο αντί "Είναι ακρότατο ή φράγμα" να γραφεί "Είναι ακρότατο ή φράγμα;" (ii) Στη σειρά 18 αντί "f(A) = [α, β]", f(A) ς;;; [α, β] • Από το συνάδελφο Σάκο Λιnορδέzιι λάβαμε σει

ρά ασκήσεων. Ευχαριστούμε για τα καλά σας λόγια. • Από το κο θεο:��.άρn Ι'έωρyιο λάβαμε λύσεις των

ασκήσεων της I.M.O. • Από το συνάδελφο Π. Ι'κόvο λαβάμε μια σειρά

ασκήσεων πάνω στις ακολουθίες. • Από τον κο Ν. Κιιριαzιi λάβαμε λύσεις των ασκή

σεων της 35ης I.M.O. και της άλλης Β.Μ.Ο. • Από τον κ. Χαράλαpnο Λάσκαρι λάβαμε εργα

σία με θέμα "παραλειπόμενα στη μέrρηση του κύκλου". • Από τον απόφοιτο Λυκείου Νικόλαο Πολιιyέvn

λάβαμε λύση μιας άσκησης της I.M.O. Ευχαριστούμε για τα καλά σας λόγια.

• Από το μαθητή Ζέρβα Αβαvάσιο λά6αμε εργασία πάνω στα σημεία καμπής. Ευχαριστούμε για τα καλά σας λόγια.

• Από τον Χ. Στcιχι:έα λάβαμε την εργασία "Μια καινούργια Μαθηματική ανακάλυψη".

• Από το μαθητή Kαvzo.Spα Κωv/ vo του Ιωάννη λά6αμε λύσεις των ασκήσεων Γεωμετρίας Α ' Λυκείου του τεύχους 13.


από τις Εκδόσεις Σαββάλα

Κυι<:λοφοpούν σε λίyες ημέpες ./ Μαθηματικά Β' Γυμνασίου για καλούς μαθητές

. ./ Μαθηματικά Γ' Γυμνασίου για καλούς μαθητές

Σαββάλας Εκδόσεις - Βιβλιοπωλείο

Ζ. Πηγής 1 8 & Σόλωνος • 1 06 8 1 Αθήνα • Τηλ. 330 1 25 1 F ax. 36 1 0907

Ευκλειδης Β 16

Documents

Transcript of Ευκλειδης Β 16