ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 1ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ : Απλή Αρμονική Ταλάντωση

Επίπεδο Δυσκολίας : Μέτριο

ΑΣΚΗΣΗ 1 ( ΟΡΙΖΟΝΤΙΟ ΕΛΑΤΗΡΙΟ και A.A.T με ΑΡΧΙΚΗ ΦΑΣΗ )

Σώμα μάζας m είναι δεμένο στο ελεύθερο άκρο οριζοντίου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς

κ=1000Ν/m. Το σύστημα εκτελεί αμείωτη απλή αρμονική ταλάντωση κατά τη διάρκεια της

οποίας το σώμα διέρχεται 200 φορές από τη Θ.Ι σε χρονικό διάστημα 10π s. Γνωρίζουμε ότι

τη χρονική στιγμή t=0 η κινητική ενέργεια του σώματος είναι τριπλάσια της δυναμικής του

ενέργειας και επίσης ότι για t = 0 είναι x > 0 και U< 0. Με δεδομένο ότι αν το πλάτος της

ταλάντωσης ήταν διπλάσιο τότε η Κmax θα ήταν μεγαλύτερη κατά 60 J να υπολογίσετε :

α. Την αρχική φάση της ταλάντωσης.

β. Τη μάζα m του σώματος,

γ. Το μέτρο της δύναμης του ελατηρίου την t=0.

δ. Το μέτρο της ταχύτητας του σώματος τη στιγμή που περνά από τη θέση στην οποία η

επιτάχυνση του θα είναι α = -40 m/s2.

ε. Το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος τη χρονική στιγμή t = 11π / 240

s

ΑΣΚΗΣΗ 2 ( ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΟ ΕΛΑΤΗΡΙΟ ΚΑΙ Α.Α.Τ )

Κατακόρυφο ιδανικό ελατήριο είναι στερεωμένο στην οροφή με το πάνω άκρο του. Στο κάτω

άκρο εξαρτούμε σώμα μάζας m οπότε το ελατήριο επιμηκύνεται κατά x=0,4m μέχρι το σώμα

να ισορροπήσει. Στη συνέχεια ανεβάζουμε το σώμα σε θέση στην οποία το ελατήριο

συμπιέζεται όσο είχε επιμηκυνθεί και το αφήνουμε ελεύθερο. Το σώμα εκτελεί απλή αρμονική

ταλάντωση.

Α. α) Να υπολογίσετε με τη βοήθεια της συνθήκης ισορροπίας τη γωνιακή συχνότητα της

ταλάντωσης,

β) Να υπολογίσετε τη μέγιστη ταχύτητα και τη μέγιστη επιτάχυνση του σώματος.

Β. Κάποια στιγμή η ταχύτητα είναι U= +2√3m/s. Να βρείτε:

α) Την απομάκρυνση και την επιτάχυνση του σώματος την ίδια στιγμή,

β) Το λόγο της κινητικής προς τη δυναμική ενέργεια του σώματος την ίδια στιγμή.

Γ. Ποια χρονική στιγμή η ταχύτητα του σώματος είναι μηδέν για πρώτη φορά μετά από την

αφετηρία της ταλάντωσης;

Δ. α) Να γράψετε τη χρονική εξίσωση της απομάκρυνσης θεωρώντας ως αφετηρία της

ταλάντωσης τη στιγμή που το σώμα αφήνεται ελεύθερο,

β) Να βρείτε την απομάκρυνση του σώματος τη στιγμή t = 3π/20 s.

ΑΣΚΗΣΗ 3 ( ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ και ΡΥΘΜΟΙ

ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ )

Σώµα µάζας m=2Kg ισορροπεί δεµένο στο πάνω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου

σταθεράς k=200 N/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωµένο ακλόνητα στο έδαφος.

Αποµακρύνουµε το σώµα από τη θέση ισορροπίας του (Θ.Ι) προς τα πάνω µέχρι το ελατήριο να

αποκτήσει το φυσικό του µήκος και από τη θέση αυτή εκτοξεύουµε το σώµα µε ταχύτητα

µέτρου υ=3 m/s και µε φορά προς τα κάτω. Η αντίσταση από τον αέρα θεωρείται αµελητέα,

αρχή µέτρησης του χρόνου (t=0) λαµβάνουµε τη στιγµή της εκτόξευσης, θετική φορά

λαµβάνουµε προς τα πάνω (τη φορά της αρχικής εκτροπής από τη Θ.Ι) και g=10 m/s2 . Το

σώµα αµέσως µετά την εκτόξευσή του εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση µε σταθερά

επαναφοράς ίση µε τη σταθερά σκληρότητας του ελατηρίου.

Α) Να βρείτε το µέτρο της µέγιστης δύναµης επαναφοράς καθώς και το µέτρο της µέγιστης

δύναµης που ασκεί το ελατήριο στο σώµα κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης.

Β) Να σχεδιάσετε το διάγραµµα της φάσης της ταλάντωσης σε συνάρτηση µε το χρόνο.

Γ) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις αποµάκρυνσης, ταχύτητας, επιτάχυνσης σε σχέση

µε το χρόνο: χ-t , υ-t , α-t.

Δ) Να βρείτε το µέτρο της ταχύτητας του σώµατος όταν η αποµάκρυνσή του από τη Θ.Ι είναι

x1= -0,13m/s

Ε) Να βρείτε το χρονικό διάστηµα που χρειάζεται το σώµα για να µεταβεί για 1η φορά µετά

από τη στιγµή t=0, σε ακραία θέση της ταλάντωσής του.

Στ) Στο παραπάνω χρονικό διάστηµα να βρείτε τη µεταβολή της ορµής του σώµατος, το έργο

της δύναµης επαναφοράς καθώς και το έργο της δύναµης του ελατηρίου.

Ζ) Τη χρονική στιγµή t2 κατά την οποία για πρώτη φορά, µετά τη στιγµή t=0, η κινητική

ενέργεια του σώµατος γίνεται τριπλάσια της δυναµικής ενέργειας της ταλάντωσης, να

βρείτε:

i) το ρυθµό µεταβολής της ορµής

ii) το ρυθµό µεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώµατος

iii) το ρυθµό µεταβολής της δυναµικής ενέργειας της ταλάντωσης

iv) το ρυθµό µεταβολής της δυναµικής ενέργειας βαρύτητας

v) το ρυθµό µεταβολής της δυναµικής ενέργειας του ελατηρίου

ΑΣΚΗΣΗ 4 ( ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ από ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ )

Σώμα μάζας m = 2 kg εκτελεί γραμμική αρμονική ταλάντωση. Στο

διάγραμμα του επόμενου σχήματος παριστάνεται η απομάκρυνση x

του σώματος από τη θέση ισορροπίας του σε συνάρτηση με το

χρόνο t.

α. Να βρεθεί η γωνιακή συχνότητα ω της ταλάντωσης.

β. Να γραφεί η εξίσωση της ταχύτητας του σώματος σε σχέση με

το χρόνο t.

γ. Πόση είναι η ενέργεια ταλάντωσης του σώματος; Να

σχεδιαστούν σε κοινό σύστημα βαθμολογημένων αξόνων τα

διαγράμματα της δυναμικής, της κινητικής και της ολικής

ενέργειας της ταλάντωσης σε συνάρτηση με την απομάκρυνση x του

σώματος από τη θέση ισορροπίας του.

δ. Να βρεθεί το μέτρο της ταχύτητας U1 του σώματος, όταν

διέρχεται από τη θέση που έχει απομάκρυνση x1 = 0,l√2 m.

ΑΣΚΗΣΗ 5 ( ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΟ ΕΛΑΤΗΡΙΟ – ΚΟΨΙΜΟ ΝΗΜΑΤΟΣ )

Σώμα Σ1 μάζας m1=0,5 Kg είναι δεμένο στο κάτω άκρο κατακόρυφου

ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=50N/m του οποίου το άλλο άκρο είναι

στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο. Από το σώμα Σ1 κρέμεται άλλο σώμα

Σ2 μάζας m2=l Kg με αβαρές νήμα, όπως φαίνεται στο σχήμα. Το

σύστημα αρχικά ισορροπεί. Αν κάποια στιγμή κόψουμε το νήμα που

συνδέει τα δυο σώματα:

α. να αποδείξετε ότι το σώμα Σ1 θα εκτελέσει απλή αρμονική τα-

λάντωση και να υπολογίσετε την περίοδο της ταλάντωσης

β. να υπολογίσετε το μέτρο της μέγιστης ταχύτητας του σώματος Σ1

γ. να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης του σώματος Σ1 από τη

θέση ισορροπίας του σε συνάρτηση με το χρόνο, θεωρώντας ως αρχή

των χρόνων τη στιγμή που κόπηκε το νήμα και ως θετική τη φορά προς

τα πάνω

δ. να υπολογίσετε το λόγο της δυναμικής ενέργειας της ταλάντωσης

του συστήματος προς τη δυναμική ενέργεια ελατηρίου τη στιγμή που

κόψαμε το νήμα.