[jj]@;[p0@&0�@ []0& 'U'@

&Υ/�@;0@

IIEPIEXOMENA

���;έ����α;τ::�ςθ�:.��-.. �� .. ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::�1 Μια πιθανή αnόντnσn στον Ενκλείδιο Γρίφο ................................................................... 1l "Οι όλλοι Μαθηματικοί της Αρχαίας Ελλόδας .................................................................. 14 Ασκήσεις για την Α' Λυκείου ........................................................................................... 16 Γεωμετρία Α' Λυκείου .................................................................................................... 22 Τριγωνομετρία Β· Λυκείου .............................................................................................. 27 Ανισοταυτότnτες σε τρίγωνα ............................................................................................ 33 Ασκήσεις στις Μετρικές Σχέσεις (Γεωμετρία Β' Λυκείου) ................................................. 38 Ασκήσεις στα όρια και τη συνέχεια των συναρτήσεων ...................................................... � Ασκήσεις Πινόκων- Οριzουσών (Αλγεβρα Γ· Λυκείου) ................................................... � lln Βαλκανική Μαθηματική Ολυμnιόδα (Β.Μ.Ο.) 35n Διεθνής Μαθnμmική Ολυμnιόδα (Ι.Μ.Ο.) ................................................................ 52 Ένα πρόβλημα πολλές λύσεις ......................................................................................... 54 Ο Fermat στον Τ oπicelli ................................................................................................. 58 Αλληλογραφία ............................................................................................................... 63

Έκδοση της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας Υπεύθυνοι Σύνταξης: Παπαδόπουλος Νίκος, Τυρλής Γιάννης.

Συντακτική Επιτροπή: Βακαλόπουλος Κώστας, Γεωργακόπουλος Κώστας, Γράψας Κώστας, Δαμιανός Πέrρος, Δούναβης Αντώνης, Καμπούκος Γιώργος, Καρακατσάνης Βασίλης, Κατσούλης Γιώργος, Κηπουρός Χρήστος, Κοτσιφάκης Γιώργος, Κυριακόπουλος Θανάσης, Μαλαφέκας Θανάσης, Σα'fτη Εύα, Σκούρας Θανάσης, Τουρλάς Λεωvιδας, Τmκαλουδάκπς Γιώργος.

Επιμέλεια Έκδοσης: Μαραγκάκπς Σ.

Σχήματα: Μαραyκάκπς Σ.

Συνεργάστηκαν:

IJ Η Εξέλιξη των

μαθηματικών, οδnyεί στον εξέλιξη τος

ανθρωπότnτας. Το αντίστροφο;

ή μήπως έχοuμε ισοδuναμία

11 Μια περιπλάνιση ατοχώρο,

των κuρτών και των κοίλων

IIJ Ο ορισμός της ευθείας

ίσως πάψει να δnμιοuρyεί

ερωτηματικά.

Αναγνώστου Κώστας, Αρβανιτάκης Πανα- �------------------------------1 γιώτης, Κοvτογιάννης Δημήτρης, Λαzαρί­δης Χρήστος, Μάκρος Στράτος, Μυταρέλ­λης Παναγιώτης, Σπανδάγος Βαγγέλης, Στασινοπούλου Τzίνα, Στεργίου Μπάμπης.

ΙΔΙΟΚΤΗΤΗΣ: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑτΙΚΗ ΕτΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου 34 - Αθήνα 106 79 Τηλ. 3616 532-3617 784-FAX: 36 41 025 ISSN 1105-8005

ΣΥΝΔΡΟΜΕΣ: Τεύχος: Ετήσια συνδρομή: Οργανισμοί: Εξωτερικού Ταχ. Επιταyές

350 δρχ. 1.600 δρχ. 3.000 δρχ.

40$

Τ. Γραφείο Αθήνα 54, Τ.θ. 30044

ΕΙJ ·Ηρβε η ώρα να ·

γνωρίσουμε

κάποιοuς άyvωστοuς με

μεyάλn προσφορά

E!iJ Η ομορφιά μιας

γεωμετρικής

απόδειξης είναι από μόνο τος

χρήσιμο

Φωτοσιοιχειοθεσία Σελιδοποίηση: "ΚΛΕΙΝΙΑΣ ΕΠΕ" Γορδίου 1, Τ.Κ. 17 121 Αθήνα-Τηλ. 93 34 390

Εκτύπωση: ΛlθΟ - ΟΦΣΕf ΕΛι\ΑΣ, Ιερά οδός 81 -83

Κων. Αδάκτυλος & Σία Ο.Ε. -τηλ. 34 74 654

Μαθηματικά! Ποιός δεν αισθάνεται δέος μπροστά σε αυτή την επιστήμη, αυτή την Οδύσεια του ανθρώπι­νου νού, την αρχαιότερη επιστήμη που ένα μεγάλο μέρος των επιτευγμάτων της είναι προορισμένο να εί­ναι δια παντός απρόσιτο και ξένο στο σύνολο σχεδόν των σημερινών απογόνων του Homo Sapieηs. Επι­στήμη όμως που πολλές από τις θεωρητικές συλλή­ψεις και εικασίες της έχουν, - μέσω της εφαρμογής και αξιοποίησής τους από άλλες εφηρμοσμένες επι­στήμες - αλλάξει κυριολεκτικά το τοπίο του ανθρώπι­νου πολιiισμού οδηγώντας τον με φρενήρη ρυθμό στην κοινωνία της Υψηλής Τεχvόλογίας πέρα από το 2000. Κατά καιρούς πληροφορείται το ευρύ κοινό­με περιορισμένη δυνατότητα προσπελάσεως στο πε­ριεχόμενο των ειδήσεων -'- για κάποιες λύσεις σε .φη­μισμένα αινίγματα των Μαθηματικών, όπως αυτή που δόθηκε από τον θεωρητικό μαθηματικό, του Πανεπι­στημίου του Ρήηcetοη, Andrew Wiles, στο περίφημο και άλυτο εδώ και 350 χρόνια τελευταίο θεώρημα του Γάλλου μαθηματικού και πολυμαθούς Rierre de Fermat. Τ ο τελευταίο θεώρημα του Fermat (την λύση του οποίου δεν έδωσε ο ίδιος ο Fermat λόγω ελλεί­ψεως χώρου στο περιθώριο σχετικού του βιβλίου όπως έγραψε) εικάzει ότι δεν υπάρχουν ακέραιοι αριθμοί που να ικανοποιούν την εξίσωση xn + yn = zn για τον φυσικό αριθμό η μεγαλύl:ερο του 2. Η απόδει­ξη του Κ. Wiles η οποία ακολούθησε την κλασσική Ευκλείδεια αποδεικτική διαδικασία (deductiνe reasoηiηg) κατέλαβε χώρο 200 σελίδων σε συνε­mυγμέvη μορφή και εκτιμάται ότι μόνον το ένα δέκα­το του ενός εκατοστού της μαθηματικής κοινότητας εί­ναι σε θέση να ελέγξει την απόδειξη, η οποία μέχρι

στιγμής δεν έχεί αποτιμηθεί σε κάθε λεmομέρειά της. Για πολλούς πάντως η απόδειξη αυτή που συνεχίzει τις καλύτερες παραδόσεις των λεγόμενων "καθαρών μαθηματικών" (αναγόμενα στο Ελληνικό πρότυπο του Αξιώματος - Θεωρήματος - Αnοδείξεως - Πορί­σματος ) δεν είναι παρά η αρχή του τέλους μιας κουλτούρας που πεθαίνει! Η παραγωγή δηλαδή ακλόνητων συμπερασμάτων μέσω αυστηρά λογικών αναλυτικών συλλογισμών με σημείο εκκίνησης κά­ποια στοαειώδη αξιώματα.

Θα ήταν εξ' άλλου παράδοξο την στιγμή που στον αιώνα μας η αμφισβήτηση, ο επαναπροσδιορισμός, η σχετικότητα και η δυνατότητα ελεγξιμότητας (κατά Κ. Popper) των διαφόρων επιστημονικών θεωριών απετέλεσε το leitmotiν της ανθρώπινης ορθολογιστι­κής δραστηριότητας, τα Μαθηματικά να μείνουν έξω από αυτό το κλίμα αμφιβολιών για το απόλυτο και το αντικειμενικό της επιστημονικής αλήθειας. Ηδη την αβεβαιότητα ποu είχε δημιουργηθεί στις αρχές του αιώνα από την λεγόμενη κρίση στα θεμέλια των μα­θηματικών, (στα λογικά αξιώματα δηλαδή που αποτε­λούν την θεωρητική βάση του μαθηματικού οικοδο­μήματος), ήλθε να εντείνει ένα κεφαλαιώδες θεώρη­μα που παρουσίασε το 1931 ο ιδιοφυής Αυστριακός μαθηματικός Kurt Godel, και το οποίο θεώρημα απε­δείκνυε ότι ένα τυπικό συμβολικό σύστημα (όπως η Αριθμητική) δεν μπορεί να αποδείξει με τα μέσα που διαθέrε; και με περατούμενες (fiηitistic) διαδικασίες, την συνέπεια του, με άλλα λόγια τον αποκλεισμό πι­θανών ενδογενών αντιφάσεων. Παράλληλα από τις αρχές του αιώνα η σχολή των δΙαισθητικών στην Ολλανδία με κύριο εκφραστή τον L.E.J. Brower

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κη. τ. 1/3

Νέες τcίσεις στα Μαθapατικcί

απέρριmε ό,τι στις μέχρι τότε μαθηματικές αποδείξεις δεν ήταν διαισθητικά καθαρό και μαθηματικά "κατα­σκευάσιμο" , αμφισβητώντας την Αριστοτελική αρχή της αποκλίσεως του μέσου, μεταξύ άλλων.

Μέσα σε αυτό το κλίμα λοιπόν "θεσμικής" πλέον αμφισβητήσεως της απόλυτης αλήθειας και της πα­ντοδυναμίας των κλασσικών μαθηματικών αποδείξε­ων έχουν κάνει παράπάνω από αισθητή, τα τελευταία κυρίως χρόνια, την παρουσία τους οι uπολογιmές με τις τεχνικές δύνατότητες που παρέχουν στην επινόη­ση και δημιουργία των λεγόμενων υπολογιστικών

·αποδείξεων (computatioηal proofs) καθώς και των αποδείξεων μέσω εικόνας (νideo proofs) . Υπάρχουν πλέον μαθηματικές αποδείξεις στηριzόμενες σε πο­λύπλοκους υπολογισμούς από υπολογιστές τις οποί­ες δεν μπορεί να ελέγξει ο ανθρώπινος νούς, καθώς και ειδικά μοντέλα υπολογιστικών αποδείξεων που προσφέρουν μόνο την πιθανότητα - όχι την βεβαιό­τητα - της αλήθειας, κάτι που βέβαια για τους περισ­σότερους μαθηματικούς είναι σχήμα οξύμωρον.

Είναι γεγονός πάντως ότι όλο και περισσότερο κερ­δίzει έδαφος π ιδέα ότι την εγκυρότητα κάποιων Μα­θηματικών προτάσεων ή προβλημάτων μπορεί να την εξασφαλίσει και η "πειραματική" διαδικασία μιας υπο­λογιστικής αποδείξεως καθώς και η παραβολή με πραγματικά φαινόμενα του φυmκού κόσμου. Αλλο τό­σο είναι αλήθεια όμως ότι πολλοί "καθαροί'' {pure) μαθηματικοί αντιδρούν θεωρώντας τους υπολογιστές "βέβηλους εισβολείς" σε ένα ιερό χώρο. Οταν ο Daνid Mumford του Πανεπιστημίου Harvard (κάτοχος του βραβείου Fields στα καθαρά μαθηματικά το 1974) πρότεινε ένα σεμινάριο για καθηγητέςτων μαθηματι­κών προκειμένου να διδάξουν στους μαθητές το πως να μπορεί να προγραμματισθεί ένας υπολογιστής για να παραγάγει λύσεις στον άνώτερο μαθηματικό λογι­σμό, οι συνάδελφοι του αρνήθηκαν την συμμετοχή επειδή οι περισσότεροι δεν μπορούσcίν να προγραμ­ματίσουν τον υπολογιστή! Αλλά το τοπίο στα σύγχρονα μαθηματικά αλλάzει ήδη και αλλάzει με γοργούς ρυθμούς. Ενας από τους μεγάλους συγχρόνους Αμε­ρικανούς μαθηματικούς και ενθουmώδης υποστηρι­κτής της χρήσεως των υπολιγιστών στα μαθηματικά καί την θεωρητική έρευνα, ο William Thurstoη παρήγαγε εδώ και δύο χρόνια στο Κέντρο Γεωμετρίας του Πανε­πιστημίου τπς Minηesota μια απόδειξη μέσω εικόνας υπολογιmή (νideo proof) για μια εικασία την οποία εί­χε αποδείξει μια δεκαετία πριν με τον "κλασmκό"μα­θπματικό τρόπο και π οποία εικασία διατύπωνε μια θε­μελιώδη σχέση ανάμεσα σε έvα δυσνόητο κλάδο των σύγχρονων θεωρητικών Μαθηματικών, την Γεωμετρι­κή Τοπολογία και την Υπερβολική Γεωμετρία.

Ενας κλάδος των μαθηματικών στον οποίο έχουν διεισδύσει σε μεγάλο βαθμό οι πειραματικές αποδεί­ξεις μέσω υπολογιστών είναι η μη γραμμική δυναμι­κή (ηοη liηear dynamic5) ή πιο εκλαικευμένα το χά-

ος! Μη γραμμικά συστήμότα ·ή χαοτικά, θεωρούνται γενικά αυτά τα οποία καθορίzονται μεν από ένα σύ­νολο απλών κανόνων, τα οποία όμως υπό συνθήκες αναδράσεως (feedback) και ευαισθησίας σε εξωτερι• κές παραμέτρους αναπτύσσονται κατά τρόπο περί­πλοκο και ασαφή (ένα απλό παράδειγμα είναΗα με­τεωρολογικά φαινόμενα). Αν και τα συστήματα αυτά μελετήθηκαν πριν αναπτυχθούν οι υπολογιστές, η χρήση τους οδηγεί τους μαθηματικούς ερευνητές να παρακολουθήσουν και να περιγράψουν την εξέλιξη τους κατά τέι:οιο τρόπο που οι πρωτοπόροι αυτού του κλάδου όπως ο μεγάλος Γάλλος μαθηματικός Η . Poiηcare, δεν θα μπορούσαν να φαvrασθούν.

Τα κυψελλοειδή αυτόματο (cellular automata), για παράδειγμα, τα οποία διαιρούν την οθόνη ενός υπο­λογιστή σε ένα σύνολο "κυψελλών" (ισοδυνάμων με τα γνωστά pixels) δίνουν μια αρκετά εμφατική εικόνα της μη γραμμικότητας. Γενικά το χρώμα ή η κατάστα­ση κάθε "κυψέλλης" καθορίzεται από την κατάσταση των γειτόνων της. Μια και μόνον αλλαγή σε μια "κυψέλλη" μπορεί να προκαλέσει μια"χιονοστιβάδα" αλλαγών στο σύστημα. Ενα αriό τα πλέον γνωστά "κυψελλοειδή αυτόματα" ανακαλύφθηκε από τον Johη Coηway του Priηcetoη στις αρχές του '70. Ο Coηway απέδειξε ότι το αυτόματο αυτό που το ονόμα­σε "zωή" είναι μη προσδιορίσιμο (uηdecidable) . Δεν μπορεί να αποδειχθεί εάν οι σχηματισμοί του συστή- ·

ματος διαφοροποιούνται επ' άπειρον ή τελικώς επα­ναλαμβάνονται. Κάποιοι επιστήμονες μελετούν τα "κυψελλοειδή aυτόματα" σαν πρότυπα μελέι:ης της προέλευσης και εξέλιξης της zωής. Ο φυmκός (ειδι­κευμένος και στους υπολογιστές) Edward Fredkiη του . Πανεπιστημίου της Βοστώvnς θεωρεί ότι το Σύμπαν δεν είναι παρά ένα "κυψελλοειδές αuτόματον".

Henή Polncare

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κη. τ. 1/4

Νέες τάσεις στα Μαθnpατικά

Ακόμη ηιο γνωστό στην Επιστήμη του Χάους, είναι το σύνολο Maηdelbrot το οποίο προέρχεται από την επαναληπτική διαδικασία (iteratioη process) επανει­σαγωγής των λύσεων σε μια εξίσωση που περιέχει ένα μιγαδικό όρο (ένα όρο δηλαδή, που περιέχει την τετραγωνική ρίzα ενός αρνητικού αριθμού) . Οταν αναπαρασταθεί στην οθόνη ενός υπολογιστή το σύ­νολο αυτό, του όποίου η μαθηματική επεξεργασία έχει γίνει εδώ και 70 περίπου χρόνια από δύο Γάλ­λους "καθαρούς μαθηματικούς" τον Gastoη Julia και τον Pieπe Fatou, δίνει την εικόνα μιας καρδιάς σε οί­δημα, ενός ασαφούς σχήματος με δυσδιάκριτα σύνο­ρα, αυτό που στην γλώσσα του χάους είναι γνωστό σαν fractal. Τ α σύνορα αυτά είναι απεριόριστα και το σύνολο Maηdelbrot παρουσιάzει γνωρίσματα που "επανεμφανίzοvrαι" σε διαφορετικές κλfμακες. Η περιορισμένη δυνατότητα όμως των υπολογιστών να χειριστούν (άρρητους) πραγματικούς αριθμούς οδή­γησε τον Stepheη Smale του Πανεπιστημίου του Berkeley και την ερευνητική του ομάδα να επινοή­σουν ένα θεωρητικό πρότυπο υπολογιστή που μπο­ρεί να τους χειριστεί. Απέδειξαν εν συνεχεία, ότι το σύνολο Maηdelbrot είναι μη υπολογίσιμο, από "τε­χνική άποψη". Δηλαδή, δεν μπορεί να αποδειχθεί με βεβαιότητα εάν ένα σημείο στο μιγαδικό επίπεδο (το επίπεδο τα σημεία του οποίου είναι οι μιγαδικοί αριθ­μοί, ας πούμε επίπεδο της φυσικής μας εποπτείας) ευρίσκεται μέσα ή έξω από το ''ομιχλώδες" σύνολο της εικόνας του συνόλου αυτού. Αυτό για τους μαθη­ματικούς που θεωρούν αδόκιμη την χρήση υπολογι­στών στις αποδείξεις των Μαθηματικών, είναι ένας λόγος για να υποστηρίξουν την έλλειψη βεβαιότητας και την σχετική αξία των υπολογιστικών αποδείξεων.

Mandelbrot set (fractal)

Οι ενστάσεις και οι αντιρρήσεις των οπαδών των "καθαρών" μαθηματικών αποδείξεων είναι αρκετές και σε κάποιες περιπτώσεις βάσιμες. Μι,α από αυτές είναι ότι οι υπολογιστές μόνον προσεγγιστικά μπο­ρούν να χειριστούν άρρητους πραγματικούς αριθ­μούς όπως το πί της γεωμετρίας ή την τετραγωνική

ρίzα του 2, έτσι που πολύπλοκα προγράμματα χειρι­zόμενα τέτοιους αριθμούς μπορούν να παραγάγουν λάθη (Η έμμεση αναπαράσταση των άρρητων αριθ­μών είναι ένα "φιλοσοφικό" πρόβλημα και για τα κα­θαρά μαθηματικά). Έπειτα ενώ το 1980 περίπου, οι υπολογιστές είχαν επαληθεύσει μια ανεπil\υτη μαθη­ματική εικασία για τους πρώτους 10 δισεκατομμύρια ακεραίους, το 1984 πλέον εμπεριστατωμένοι υπολο­γισμοί απέδειξαν ότι για αριθμούς μαμμούθ της τάξε­ως του (1010)70, η εικασία δεν επαληθεύεται.

Οποιες πάντως κι' αν είναι οι θεωρητικές διαφωνίες (υπήρξαν εξ άλλου πάντοτε στην ιστορία των μαθηματι­κών) στην μαθηματική κοινότητα, το σίγουρο είναι ότι οι computers ανοίγουν ένα νέο κεφάλαιο στην μεθοδολο­γία και την κωδικοποίηση της μαθηματικής σκέψεως.

Κύρια πnyrί: Scientific Americaη Οκrω8ρίοu 1993

rιάννn Δ. Στρατό

ΠPArMAYIKH ΑΝΑΛΥΣΗ I σελίδες: 392 τιμή 3.800δρχ.

Διατίθεται στα κεντρικά βιβλιοnωλεία

Περιέχει: • Όλη τη θεωρία, σύμφωνα με το Αναλυτικό

Πρόγραμμα που ισχύει, με παραδείγματα και αντιπαραδείγματα.

• Κάθέ κεφάλαιο κλείνει με μια πλούσια συλλογή ασκήσεων προοδευτικής δυσκολίας με αποtέ­λεσματα στο tέλος tου βιβλίου και υποδείξεις για ης πιο δύσκολες.

• Για tην εμπέδωση t<υν μ εθόδων παρατίθεtαι ένα πλήθος από υποδειγμαηκά λυμένα θέματα.

Για tnν αποαιολή (με αντικαταβολή του βιβλίου ταχυδρομείστε το παρακάτω δελtίο παραγγελίας στη διεύθυνση:

''Γιάνvη Στρατή Εσπερίδων 5 Γαλάτσι 11146"

ΔΕΛΥΙΟ ΠΑΡΑrrΕΛΙΑΣ

Όνομα:

Επώνυμο:

Διεύθυνση:

Τηλέφωνο:

Σχολείο:

Πόλη: ------------ --------

Φροντιστήριο: --------------------------

Στους συvαδέλφους μαθηματικούς γίνεται έκ­πτωση 40% και προσφέρεtαι ένα βιβλιαράκι με τις λύσεις των ασκήσεων.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' κn� τ. 1/5

Μια συνάρτηση f που είναι ορισμένη σ' ένα διάστη­μα Δ θα λέγεται "κυρτή" στο Δ αν για οποιαδήποτε x,y στο Δ και οποιαδήποτε κ, λ Ε [0,1] με κ + λ = 1 ισχύει η ανισότητα:

f (κχ + λy) s κf (χ) + λf(y) ( 1 ' )

Που γράφεται και όπως πιο κάτω αφού κ= 1 - λ:

f ((1 - λ)χ + λy) s (1 - λ) f (χ) + λf (y) με λ Ε [0,1 ] (1)

Οι ανισότητες αυτές, που ίσως να φαίνονται πολύ­. πλοκες με την πρώτη ματιά, έχουν μια απλούστατη γεωμετρική ερμηνεία: Οποιοδήποτε σημείο του ''τό­ξου ΑΓ της γραφικής παράστασης της f βρίσκεται κά­τω (ή μάλλον δε βρίσκεται πάνω) από το σημείο της χορδής ΑΓ με την ίδια τετμημένη. (σχήμα 1).

Η ---------------------1(11)

t(a) Σχήμα 1

Λ 11

Εστω πράγματι έvα σημείο z του άξονα χ' χ μεταξύ των χ και y. Εστω δηλαδή ότι χ s z s y. Το σημείο K(O,z) χωρίzει το ευθύγραμο τμήμα ΙΛ. σε λόγο ΙΚ/ ΙΛ = λ και είναι φανερό ότι Ο s λ s 1 και ότι ΙΚ = λΙΛ. Αρα:

z = χ + λ (y - χ ) = (1 -λ) χ + λy

Ο αριθμός f ( z) = f ( (1 - λ) χ + λy) είναι η τεταγ­μένη του σημείου Γ. Από το θεώρημα του Θαλή έπε­ται ότι το σημείο Δ χωρίzει το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ σε λόγο ΑΔ/ΑΒ = λ και ότι το Ε χωρίzει το ΘΗ σε λό­γο ΘΕ/ΘΗ = λ άρα η τεταγμένη του Ε είναι:

f(x) + λ (f(y) - f(x)) = (1 - λ) f(x) + λ f (y) .

Η τεταγμένη του Δ είναι βέβαια ίση με αυτή του Ε άρα η (1 ) μπορεί να γραφτεί:

τεταypέvσ τοσ r :S τεταypέvσ τοσ Δ

Πράγμα που γεωμετρικά σημαίνει ότι το ευθύγραμ­μο τμήμα ΑΒ βρίσκεται πάνω (όχι κάτω) από το τόξο ΑΒ της γραφικής παράστασης της f. Αυτή ακριβώς η γεωμετρική ιδιότητα των κυρτών συναρτήσεων, "εξη­γεf' ης ιδιότητες που θα δούμε πιο κάτω. Σημειώστε ότι η (1 ) ισχύει με το ίσον γιc:ι λ = Ο και λ = 1.

Αν η (1 ) ισχύει συνεχώς με το ίσον τότε η συνάρτη­ση f είναι βέβαια γραμμική στο Δ, δηλαδή της μορ­φής αχ + β και η γραφική της παράσταση είνaι ευθεία ή ημιευθεία ή ευθύγραμμο τμήμα. Οπως θα δούμε πιο κάτω, αν η (1 ) ισχύει με τον ίσον για μια τιμή του λ Ε (0,1 ) τότε θα ισχύει συνεχώς με το ίσον, θα είναι δηλαδή ισότητα για κάθε λ Ε [0,1] και η f θα είναι γραμμική στο Δ.

Μια σσvάρτaσa f οοσ εivαι ορισμένα σ' έvα διάστapα Δ 8α λέyεται 'Ίιοiλa" στο Δ av a -f εivαι ιισρτιi στο iδιο διάστapα.

Ετσι όσα. θα πούμε πιο κάτω για τις κυρτές συναρ­τήσεις μπορούν να "μεταφραστούν" εύκολα και για ης κοίλες. Μια συνάρτηση που είναι ταυτόχρονα κυρτή και κοίλη σ' ένα διάστημα Δ θα είναι βέβαια γραμμική στο διάστημα αυτό.

Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται τα γραφήματα με­ρικών κυρτών συναρτήσεων.

Σχήμα 2 Ας συμβολίσουμε τώρα με λΑΒ την κλίση της ευθεί­

ας που διέρχέται από τα σημεία Α και Β, και με ΥΑ την τεταγμένη του σημείου Α

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κn. τ. 1/6

Κσpτές J:vvαpτιiσεις

Θα έχουμε (βλέπε και το σχήμα 1) :

?w- = f (z) - f (χ) � ΥΔ- f (χ) = % = � = f (y) - f (z) KOl z-x z- x y-z

z-x z- x y-x

Το ότι a f είναι κvρτιi σ' ένα διάστaμα Δ ισοδvναμεί με το ότι yια οοοιαδιiοοτε τριά­δα σaμείων :κ < z < y τοv Δ ισ:κ15ει μια αοό τις ισοδ15ναμες αvισότaτες (2) και (3).

f (z) - f (x) � f (y) - f (z) (2) z- x y-z

f (z) - f (x) � f (y) - f (x) (3) z- x y-x

Η Γεωμετρική σημασία των σχέσεων (2) και (3) εί­ναι π εξής:

Αν l'(z, f (z)) είναι ένα σapείο τοv yραφιiμα­τος τaς f a ιιλίσa των :κορδών rx τοv yραφιi­μστος DOV διέρ:κοvται -ό το J' είναι α15�οvσα σvvάρτaσa τaς τεqιιιpέvaς τοv σapείοv Χ.

Ας υποθέσουμε τώρα ότι μια συνάρτηση f είναι κυρτή σ' ένα κλειστό διάστημα [α, β ] . Θα aποδεί­ξουμε ότι η f έχει μέγιστο στο [α, β] και μάλιστα ότι η μέγιστη aυτή τιμή της f είναι ο μεγαλύτερος aπό τους aριθμούς f (α) , f (β). Αν θέλετε μια πιο "σοφή" διατύ­πωση, ορίστε ποιά πρόταση θα aποδείξουμε:

(01) Αν μια σvνάρτaσa f είναι κvρτιi σ' ένα κλειστό διάστaμα [α,β], τότε yια κάθε :κ Ε [α,β] ισ:κ15ει: f(:κ) :Sιaa:κ {f (α), f (8)}.

Αοόδει�a Εστω χ Ε [α, β] θα είναι βέβαια χ= α + λ (β - α)=

(1 - λ) α +λβ με λ Ε [0, 1] και επειδή η f είναι κυρτή θα έχουμε aπό την aνισότητα ( 1) :

f(x) = f ( (1 - λ) α + λβ) s (1 - λ) f (α) + λf (β) (4)

α. Αν f(a) � f(β) η (4) γράφεται: f(x) sf(α) + (1 - λ) [f(β) - f(a)] s f(a)

αφόύ f(β) - f(a) s Ο.

β. Αν f(β) � f(α) η (4) γράφεται f(x) s (1 - λ) f(a) + λf (β) + f(β) - f(β) =f(β) + (1 - λ) (f(a) - f(β)) sf (β) aφού f(a) - f(β) s Ο.

Η πρόταση λοιπόν aποδείχθηκε και γεωμετρικά σημαίνει ότι, αν σχεδιάσετε το γράφημα μιας κυρτής συνάρτησης το ψηλότερο σημείο του γραφήματος θα είναι ένα aπό τα δύο άκρα του.

Μια πρόταση παρόμοια με την προηγούμενη που μας λέει κάτι για τα aνοοοά διαστήματα είναι η εξής:

(02) Αν μια σvνάρτaσa f είναι κvρτιi σ' ένα διάστaμα Δ και έχει μέyιστο σ' ένα εσωτερικό σaμείο τοv Δ, τότε είναι σταθε­ρό στο διάστaμα αvτό.

Αοόδει�a Εστω z ένα εσωτερικό σημείο του Δ (δηλαδή όχι

άκρο) στο οποίο η f έχει μέγιστο και x,y δύο άλλα ση­μεία του με x<z<y.

Είναι βέβαια f(x) s f(z) κο f(y) s f(z) και z = χ + λ(y - χ) με λ Ε (Ο, 1). Επειδή η f είναι κυρτή θα έχουμε aπό την ( 1):

f(z) = f ( (1 - λ)χ + λy) s (1- λ) f(x) + λf(y) = f(x) + λ[f(y) - f(x)]

άρα Ο s f(z) - f(x) s λ [f(y) - f(x)] οπότε

Επίσης

f(y) � f(x) (5)

f(z) = f ( (1 - λ)χ + λy) s ( 1 - λ) f(x) + λf(y) = (1 - λ) f(x) + λf(y) + f(y) - f(y) = f(y) + (1 - λ) [f(x) - f(y) ] άρα

Ο s f(z) - f(y) s (1 - λ) [f(x) - f(y)] , οπότε

f(x) � f(y) (6)

Από τις σχέσεις (5) και (6) έπεται ότι η f(x) = f(y) . Η ευθεία που διέρχεται aπό τα σημεία Χ(χ, f(x) ) και Y(y,f(y)) έχει εξίσωση ε(t) = f(x) και επειδή η f είναι κυρτή και το z Ε (χ, y) θα έχουμε (κάθε σημείο του "τόξου" ΧΥ της γραφικής παράστασης της f βρίσκεται κάτω από το σημείο της ΧΥ με την ίδια τετμημένη) : f(z) s ε (z) = f(x) . Από aυτή και την f(z) � f(x) έπεται ότι f(x) = f(z), άρα η f είναι σταθερή.

Η πρόταση που ακολουθεί μας δίνει μια σημαντική πληροφορία για τα ακρότατα των κυρτών συναρτήσε­ων.

(03) Αν μια σvνάρτaσa f είναι κvρτΩ σ' ένα διάστaμα Δ και έυι τοοικό ελά:κιστο σ' ένα σaμείο :κ0 τοv Δ, τότε το f(:κJ είναι ολι­κό εΑά:κιστο τaς f στο Δ.

Αοόδει�a Η περίmωση που η f είναι σταθερή είναι τετριμμέ­

νη. Ας την aφήσουμε λοιπόν στην άκρη και ας υπο­θέσουμε ότι:

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' κο. τ. lΠ

Κ\Ιρτές Σ\ΙVσρτόσεις

υπάρχει y Ε Δ με f(y) < f(χσ)

Εχουμε τρείς περιmώσεις: α. το Χο είναι εσωτερικό σημείο του Δ

β. το Χο είναι αριστερό άκρο του Δ και γ. το Χο είναι δεξιό άκρο του Δ.

(Υ)

Στην περίπτωόη (α): Αφού στο Χο η f έχει τοπικό ακρότατο, θα υπάρχει ένα διάστημα [α,β] περιεχό­μενο στο Δ με Χο Ε (α, β) και f(χσ) :5 f(x) για κάθε χ Ε [α ,β]. Το σημείο y δεν μπορεί βέβαια να είναι σημείο του [α, β] .

Αν y<α<χσ τότε σύμφωνα με την πρόταση (Πι) η μέγιστη τιμή της f στο [y,x0] είναι το f(x0) , πράγμα άτοπο αν f(α) > f(χσ) . Αν πόλι f(α) = f(χσ) τότε από τη (2) έχουμε:

f (α) - f (y) sf(xo)-f (y) . δ' f·( ) f( ) > f( ) και επει η α = Χο Υ

α-y XQ-Y και y<α <χ0 προκύπτει: Χο- y :5 α -y δηλαδή Χο :5 α που είναι άτοπο.

Αν Χο <β<y τότε σύμφωνα με την πρόταση (Πι) η μέγιστη τιμή της f στο [x0,y] είναι το f(x0) , πράγμα άτοπο αν f(β) > f(χσ) . Αν πόλι f(β) = f(χσ) τότε από τη (2) έχουμε:

f (β) - f(χσ) s f (y) - f(xo) και επειδή f(β) = f(x0) και β - χσ y-xo

f(y) < f(χσ) προκύmει: y -Χο <0 ή y<χσ που είναι άτοπο.

Στην περίmωση (β): Το Χο είναι αριστερό άκρο του Δ και f(y) < f(x0) . Σύμφωνα με την πρόταση (Πι) η

· μέγιστη τιμή της f στο [y, χ0] είναι το f(x0) πράγμα άτοπο αφού το f(χσ) είναι τοπικό ελάχιστο της f.

Στην περίπτωση (γ) : Το Χο είναι δεξιό άκρο του Δ

και f(y) < f(χσ). Σύμφωνα με την πρόταση (Πι) η μέ­γιστη τιμή της f στο [y, χσ] είναι το f (Χο) πράγμα άτο­πο αφού το f(χσ) είναι τοπικό ελάχιστο της f.

Αρα η υπόθεση (Υ) μας οδηγεί σε όλες τις περιmώ­σεις σε άτοπο. Επομένως η (Υ) είναι ψευδής, πράγμα που σημαίνει ότι f(χσ) :5 f(y) για κάθε yΕΔ.

Σαν πορίσματα της (Π3)μπορούμε να διατυπώ­σουμε τις προτάσεις:

Αν μια σuνάρτοσο έχει δ.Sο διαφορετικά τοαικά ελάχιστα σ' ένα διάστομα Δ τ6τε δεν είναι κuρτό στο Δ.

Αν μια σuνάρτοσο aou είναι ορισμένο σ' ένα διάστnμα Δ έχει τοαικ6 ελάχιστο σε δ.Sο διαφορετικά σομεία τ6τε είνcιι σταθερό· ό δεν είναι κuρτό.

Η παρακάτω πρόταση iίναι σχετική με τη μονοτο­νία των κυρτών συναρτήσεων:

(Ο4) Αν μια σuνάρτοσο f είναι κuρτό ·σ' ένα διάστομα [α,β] και έχει ολικ6 ελάχιστο στο α, τ6τε είναι α.Sξοuσα στο [α,β].

Αα6δειξο Εστω πράγματι χ < y δύο σημεία του [α, β]. Επειδή

f(α) :5 f(y), σύμφωνα με την (Πι) η μέγιστή τιμή της f στο [α, y] είναι το f(y) άρα f(x) :5 f(y) .

Είναι φανερό ότι αν πάρουμε υπόψη μας την πρό­ταση (Π3) η πρόταση (Π4) γίνεται:

(04 ' ) Αν μια σuνάρτοσο f είναι κuρτό σ' ένα διάστομα [α,β] και έχει τοαικ6 ελάχιστο στο α, τ6τε είναι α.Sξοuσα στο [α,β].

Η πρόταση που ακολουθεί μας δίνει μια σημαντική πληροφορία για τις κυρτές συναρτήσεις. Θυμηθείται ότι η (1 ) ισχύει με τον ίσον για λ = Ο και λ = 1 .

(05) Αν μια σuνάρτοσο f είναι κσρτό σ' ένα διάστομα [α,β] και ο σ:ιι:έσο:

f((1 -λ)α + λβ) :5 (1 -λ) f(α) + λf(β) (Κ)

ισ:ιι:.Sει με το ίσον yια λ= ξ Ε (0, 1), τ6τε ισ::ιι:.S­ει με το ίσον yια κάθε λ Ε [0, 1] και σuνεαώς ο σuνάρτοσο είναι yραμμικό στο [α, β].

Σχήμα 3

Αα6δειξο Εστω γ Ε (α, β) τέτοιο ώστε γ- α = ξ( β- α) δηλαδή

γ = (1 - ξ) α + ξβ. Η (Κ) μας δίνει:

f(γ) = (1 - ξ) f(α) + ξ f(β)

πράγμα που σημαίνει ότι το Γ (γ, f(γ) ) είναι πάνω στην ΑΒ.

Έστω ε Ε (α, β), ε;ο! γ. Επειδή η f είναι κυρτή θα έχουμε f(ε) :5 δ. Οπου δ η τεταγμένη του σημείου της ΑΒ με τετμημένη ε.

Η εξίσωση της ΑΒ μπορεί να γραφτεί: (διέρχεται από τα σημεία Δ και Β αλλά και από τα Δ και Α) .

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κη. τ. 1/8

u Κ\!ρτές Σ:"UVαρτιίσεις

ε (χ) = δ + f (β) - δ (χ- ε) ή ε (χ) = δ + f (ο) - δ (χ-ε) β - ε ο - ε

και επειδή το Γ είναι πάνω στπν ΑΒ θα έχουμε: f(γ) = ε(γ) (*)

Οι εξισώσεις των ΕΒ και ΕΑ μπορούν να γραφτούν αντίστοιχο:

η (χ) = f (ε) + f (β) -f (ε) (χ-ε) και β -ε

θ (χ) = f (ε) + f (a) - f (ε) (χ-ε) ο- ε

Εχουμε δύο περιπτώσεις: ε<γ<β και ο<γ<ε. Θα αποδείξουμε ότι η f(ε)�δ ισχύει με το ίσον.

ο. Αν ε<y<β Στο διάστημα (ε, β) η f είναι κυρτή άρα το f(γ) είναι � οπό την τεταγμένη του σημεί­ου της ΕΒ με τετμημένη γ, δηλαδή: f(γ) � η(γ), και λόγω της (*) έχουμε:

δ + f (β)-δ (γ-ε) sf (ε) + f (β)-f (ε) (γ-ε) οπόrε β - ε β-ε

δ-f (ε) s (δ-f (ε)) γ-ε β - ε

Αν ήταν δ -f(ε) > Ο θα είχαμε επειδή β>ε: β -ε � γ -ε και τελικά β�γ που είvαι άτοπο, άρα δ = f(ε).

β. Αν α<y<ε Στο διάστημα (ο,ε) η f είναι κυρτή άρα το f (γ) είναι � οπό την τεταγμένη του σημεί­ου της ΕΒ με τετμημένη γ, δηλαδή: f(γ) � θ(γ), και λόγω της (*) έχουμε:

δ + f (a) - δ (γ- ε) s f (ε) + f (a) - f (ε) (γ-ε) οπόrε ο-ε

δ - f (ε) s (δ-f (ε)) γ- ε ο - ε

ο-ε

Αν ήταν δ - f(ε) >. Ο θα είχαμε επειδή ο < ε : ο - ε ;:::: γ - ε και τελικά ο ;:::: γ που είναι άτοπο, άρα δ = f(ε).

Από γεωμετρική σκοπιά η παραπάνω πρόταση λέει ότι:

Το yράφnμα μιας κ"ρ-.:ός crονάρ-.:nσnς no" δεν nεριλαμβάνει ε"8"vραμμα -.:μόμα-.:α έχει δvο -.:ο noλv κοινά σnμεία με μια οnοιαδό­nο-.:ε ε"8εία.

Η πρόταση που ακολουθεί δείχνει τη σημασία που έχουν οι κυρτές συναρτήσεις:

(06) Αν μια σ"νάρ-.:nσn f είναι κ"ρ-.:ό σ' ένα διάσ-.:nμα Δ, -.:6-.:ε είναι σ"νεχός σε κάβε εσω-.:ερικ6 σnμείο -.:ο� Δ.

Αn6δειξn Ας θεωρήσουμε έva εσωτερικό σημείο c του Δ a, b

δύο σημείο του Δ με a < c < b. Θα αποδείξουμε ότι

Dη f (χ) = f(c) ή Dη (f (χ)- f(c)) = Ο x�c x--+c

Η απόδειξη θα γίνει σε δύο φάσεις. Θα αποδείξουμε ότι το όριο της f(x) - f(c) στο c- και στο c+ είναι Ο.

Εστω χ ΕΞ (a, c) . Εφορμόzοvτος τη (2) διαδοχικά στις τριάδες σημείων a,x,c και x,c,b έχουμε:

f (x)-f (a) sf (c) - f (x) sf (b) - f (c) ή x-a c-x b- c

(c-x) f (x) -f (a) s f (c) -f (x) s (c-x) f (b) - f (c) x-a b- c

το ακραίο μέλη της τελευταίος ανισότητας τείνουν προφανώς στο Ο γιο χ --+ c- και οπό το θεώρημα της παρεμβολής έχουμε Dη (f (χ)- f(c)) = Ο.

χ-+ c-

Εστω χ ΕΞ (c, b) . Εφορμόzοvτος τη (2) διαδοχικά στις τριάδες σημείων a,c,x και c,x,b έχουμε:

f (c)-f (a) sf (x)-f (c) sf (b)-f (x) ή c-a x-c b-x

(x-c) f (c) - f (a) s f (x) -f (c) s (x-c) f (b) -f (x) c-a b- x

το ακραίο μέλη της τελευταίος ανισότητας τείνουν προφανώς στο Ο γιο x-+c + και οπό το θεώρημα της παρεμβολής έχουμε: Dη (f (χ) -f(c)) =Ο. x-+c+ •

Τελικά λοιπόν Dη f (x) = f(c) συνεπώς η f είναι x-+c

συνεχής στο c.

Σnμειώσεις

ο. Στην πραγματικότητα η f είναι κάτι παραπάνω οπό συνεχής, έχει δεξιά και αριστερή παράγωγο, όχι απαραίτητο ίσες, σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ αλλά αυτό δεν μπορούμε να το αποδείξουμε με το μέσο που μας δίνει η θεωρία που περιέχεται στο βιβλίο της Γ ' Λυκείου.

β. Αν το Δ είναι ένα κλειστό διάστημα [ο, β] η συνέ­χεια της f στο άκρο του δεν είναι εξασφαλισμέ­νη όπως δείχνει το παράδειγμα της f(x) = χ2 γιο χ ΕΞ (-1, 1 ) και f(-1) = f( 1 ) = 2.

γ. Μπορούμε εύκολο να αποδείξουμε χρησιμοποιώ­ντας, χωρίς όμως αυτό να είναι απαραίτητο, και την (Π4 ' ) ότι : Αν μια σ"νάρ-.:nσn f είναι

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κη. τ. 1/9

Κορτές Σοvαρτιίσεις

κvρτιί σ' ένα διcίστομα [α,β] και έχει το­οικό ελcίχιστο στο α τότε είναι σvνεχιίς στο [α,β].

Ασκοσεις

1 . Αν οι συναρτήσεις f και g είναι, η πρώτη κυρτή και η δεύτερη κοίλη στο ίδιο διάστημα Δ και οι γραφι­κές τους παραστάσεις δεν περιέχουν ευθύγραμμα τμήματα να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των f κάι g έχουν το πολύ δυο κοινά όημεία.

2. Αν μια συνάρτηση f είναι κυρτή σ' ένα διάστημα Δ και η ευθεία ε(χ) τεμνει τηv γραφική παράστα­ση της f στα σημεία (a, f(a)) και (b, f(b)) με a < b, να δείξετε ότι για κάθε χ Ε Δ με χ ΕtΞ[α, β] ισχύει f(x) � ε(χ) .

3. Αν μια συνάρτηση f είναι κυρτή στο R να δείξετε ότι υπάρχει μία ευθεία που δεν έχει κανένα κοινό σημείο με τη γραφική παράσταση της f.

Παραyωyίσιμες Κvρτές Σvνάρτιίσεις

Ας δούμε τώρα ορισμένες ιδιότητες που έχουν οι συναρτήσεις που είναι κυρτές 6' ένα διάστημα Δ και είναι και παραγωγίσιμες στο διάστημα αυτό.

Αν μια σvνcίρτοσο f είναι κvρτιί και οαρα­yωyίσιμο σ' ένα διcίστομα Δ, τότε ο οαρα­yωyός τος είναι αιί�οvσα στο Δ και αντί­στροφα.

Αοόδει�ο α. Ας υποθέσουμε ότι η f είναι κυρτή στο Δ και έστω

a < b δύο σημεία του Δ. Θα αποδείξουμε ότι f' (a) � f' (b).

Για χ Ε (a, b) έχουμε από τη (2):

f (x) - f (a) f (b) - f (x) --- S ---

X- a b-x Εχουμε τώρα

I

f' (�) = im f (x)- f (a) s Im f (b) - f (x) = f' (b) χ--+α x- a x--+b b-x

b) Θα υποθέσουμε τώρα ότι η f έχει αύξουσα παρά­γωγο στο Δ. Αν a < b είναι δύο σημεία του Δ θα αποδείξουμε ότι για κάθε λ Ε [0, 1] ισχύει η σχέση:

f( (1 - λ) a + λb ) � (1- λ) f(a) + λf(b) Θεωρούμε τη συνάρτηση .

g(x) = (1 - λ) f(a) + λf(χ) - f(( 1 - λ) a + λχ) με πεδίο ορισμού το [a,b] . (Η συνάρτηση αυτή εκφράzει για κάθε συγκεκριμένο λ το μήκος του ευθύγραμμου τμή­ματος ΛΜ. Βλέπε το σχήμα 4).

8 8•λ(Χ•8) Χ

Διαπιστώνουμε ότι:

Β

Σχήμα 4

g(a) = (1 - λ) f(a) + λf(a) - f( (1 - λ) a + λa) = Ο. Η g είναι παραγωγίσιμη στο [a, b] και g ' (χ) = λf' (χ) - λf' ( ( 1 - λ) a + λχ) = λ [f' (χ) - fΆ( (1 - λ) a + λχ)]

Είναι τώρα χ > (1 - λ) a + λχ γιο κάθε χ > a (πράγ­ματι η ανισότητα αυτή γράφεται (1 - λ) χ> (1 - λ) a που προφανώς ισχύει) και επειδή η f' είναι αύξουσα θα έχουμε: f' (χ);::: f ' ((1 - λ) a + λχ) άρα και g ' (χ);::: Ο για κάθε χ Ε [a, b]. Δηλαδή η g είναι αύξουσα στο διάστημα [a, b] άρα g (b) ;:::g (a) δηλαδή:

(1 - λ) f(a) + λf (b) - f( ( 1 - λ) a + λb) ;::: Ο ή τελικά f( (1 - λ) a +λb) �(1 - λ) f(a) + λ f(b)

Μπορούμε ακόμα να αποδείξουμε ότι: Αν μια σvνcίρτοσο f είναι κvρτιί και οαρα­

yωyίσιμιί σ' ένα διcίστομα Δ, τότε ο yρcίφι­κιί οαρcίστασο τος i βρίσκεται οcίνω αοό τον εφαοτομένο σε οοοιοδιίοοτε σομείο τος Α(�. f(�)) με �ΕΔ.

Η εφαmομένη στο Α (σχήμα 5) έχει εξίσωση ε(χ) = f (ξ) + f' (ξ) (ξ - χ) . Θεωρώντας τη διαφορά f - ε έχουμε για κάθε χ Ε Δ: f(x) - ε(χ) = f(x) - f(ξ) + f' (ξ) (ξ - χ)

= (ξ-χ) [ f (χ) - f (ξ) f' (ξ)] χ-ξ

Από το θεώρημα της μέσης τiμής θα υπάρχει z με-, , , f (x) - f (ξ) - f' ( ) ταξυ χ και ξ τετοιο ωστε - z .

χ- ξ Οπότε f(x} - ε(χ) = (ξ - χ) [f' (z) - f' (ξ)] ;:::Ο γιατί η f' είναι αύξουσα και συνεπώς αν ξ<z<χ τότε f' (ξ)� f' (z)και αν χ < z < ξ τότε f' (z) �f' (ξ).

c Σχήμα 5

CVΙZΛCIΛUτ' D ' ·•- � 1/"ΙΛ

Μια πιθανό αnάντnσn

στον Εvκλείδιο yρίφο

τ ο άρθρο που ακολουθεί πιό κάτω, περιέχεται σrο βιβλίο μου το οποίον πρόκειται να εκδοθεί από την ΕΜΕ, πολύ σύντομα, και αναφέρεται σrο σχολιασμό και την Νεοελληνική απόδοση των 'Όρων και των Γεωμετρικών" του Αλεξανδρινού μηχανικού και μα­θηματικού Ηρωνος. Τα άπαντα του Ηρωνος έχει εκ­δόσει από το 1899 - 1914 ο εκδοτικός οίκος Teubηer της Λειψίας σε 5 τόμους. Οι δύο τελευταίοι έχουν επιμεληθεί από τον L.J. Heiberg. Ο IV φέρει τον τίτλο: Defiηitioηes - Geometrica και ο V τον τίτλο: Stereometrica.

τ ους λόγους για τους οποίους απέρριψα τον όρο defiηitioηes . { =ορισμοί} και χρησιμοποίησα τον τίτ­λο: Ονόματα γεωμετρικών όρων, αναλύω σrον πρό­λογο του βιβλίου.

Η εισαγωγή που προηγείται του έργου είναι μια εκτεταμένη έρευνα που αναφέρεται σrον εντοπισμό της χρονικής περιόδου που έδρασε ο Ηρων και σrην παρουσίαση του έργου του το οποίον έφθασε σ' εμάς είτε ως αυθεντικό είτε κακοποιημένο από την επέμ­βαση των πολλών μεταποιητών που έδρασαν κατά τους μετέπειτα αιώνες.

Η ΕΜΕ ανε?ιαβε εξ' ολοκλήρου την δαπάνη της εκ­δόσεως αυτού του έργου, κυρίως, για δύο λόγους: i) Να δώσει μια απάντηση σ' αυτούς που, χωρίς να

την ενισχύουν ηθικά και οικονομικά, διαμαρτύρο­νται και την κατηγορούν που δεν εκδίδει, τα έργα των αρχαίων Μαθηματικών που είναι, εν γένει, aντιεμπορικά.

ii) Να συμβάλλει σrην τόνωση του ενδιαφέροντος ορισμένων Μαθηματικών ή και άλλων επισrημό­νων που επιθυμούν να ανασύρουν και να πα­ρουσιάσουν έργα των αρχαίων Ελλήνων μαθημα­τικών παρμένα κατευθείαν από την πηγή τους κάι όχι μέσα από ης διάφορες "κονσερβαρισμένες" μεταφράσεις των Δυτικών, νοθευμένες με ύποπτα "συντηρητικά" τα οποία υποβαθμίzουν την αξία των έργων και καλλιεργούν, συσrηματικά, την πα­ραπληροφόρηση ότι οι σύγχρονοι Ελληνες, αφού αδυνατούν να κατανοήσουν και να τιμήσουν τα έργα των προγόνων τους, την μοναδική σχέση που έχουν με αυτούς είναι ότι μένουν σrο ίδιο "ξενοδοχείο" που έμειvαν κι' αυτοί.

Στη συνέχεια διατυπώνουμε ης απόψεις μας για τον Ευκλείδειο ορισμό της �υθείας γραμμής.

Χρήστος Κnnοvρός

ο '

Ο Ευκλείδειος ορισμός της ευθείας, έτm όπως δια­πισrώνεται σrα Στοιχεία του Ευκλείδη, δεν έχει ακό­μη επαρκώς επεξηγηθεί. Πολλοί μαθηματικοί έχουν αποπειραθεί, ανά τους αιώνες, να δώσουν κάποια σωσrή ερμηνεία του ορισμού ή έσiω, να αΠαντήσουν σrο ερώτημα: Τι ήθελε να μας πει ο Ευκλείδης με τον ορισμό αυτό; Ο Πρόκλος, σrα σχόλια των Στοιχείων του Ευκλείδη παραθέτει μακροσκελείς επεξηγήσεις οι οποίες όμως, δεν του αφαιρούν το πέπλο του μυσrηρίου του. Ο Αρχιμήδης, σύγχρονος του Ευκλεί­δη, δεν μας τον σχολιάzει. Απεναντίας μας δίνει έναν πολύ επιτυχημένο ορισμό της ευθείας που χρησιμο­ποιούσε μέχρι τώρα. Ο Ηρων σχολιάzει του ορισμούς αυτούς, τους αναλύει και παρουσιάzει και την εφαρ­μογή τους σrην καθημερινή zωή.

Το βιβλίο σrις άρτιες σελίδες περιέχει το αρχαίο κείμενο και σrις περιπές την ερμηνεία τους. Εάν το σχόλιο κάποιας σελίδας είναι μεγάλο και δεν χωράει να γραφεί σαν υποσημείωση, τότε, αναγκασrικά το παρουσιάzουμε σrο τέλος του έργου και με τον τίτλο της αντίσrοιχης σελίδας. Έτσι ο Ηρων, επειδή ανα­φέρει τους ορισμούς της ευθείας σrη σελίδα 16 και η ερμηνεία και ο σχολιασμός της γίνεται σrην σελίδα 17, έχουμε συμπεριλάβει το σχόλιό μας σrο τέλος του βιβλίου και με τον τίτλο: Σχόλιο σελίδας 17. Αναδη­μοσιεύουμε λοιπόν το σχόλιο αυτής της σελίδας, όπως είναι διατυπωμένο σrο βιβλίο.

Σχόλιο σελίδας 17 (*) Οι προευκλείδιοι ορισμοί της ευθείας που, πιθα­

νόν, επηρέασαν το Ευκλείδη είναι : 1 . Από την πλειιρά του Πλάτωνος (Παρμεν. 137 Ε) :

"Εvθύ γ ε ο15ν άν μέσον άμφοϊν τοίν έσχάτην έπί­προσθεν ή". "δηλ." και ευθύ είναι εκείνο του οποίο το μέσον επικαλύπτει και τα δυο άκρα". Τούτο ανα­φέρει και ο Πρόκλος". Ο δi: Πλάτων άφορίζεται την εvθείαν γραμμi]ν, ή ς τά μέσα τοίς άκροις έπιπρο­σθεί. (Πρόκλος σελ. 109, 21). 2. Από τον Αρισrοτέλη έχουμε τον αντίσrοιχο ορι­

σμό. "Ο[ον εl όρίσατο γραμμi]ν πεπερασμένη ν

εvθείαν πέρας επιπέδου lχοντος πέρατα, οiΊ το μέ-

(*) Απαγορεύεται η αναδημοσίευση αυτού του άρθρου σε ελληνικό ή ξένο έντυπο χωρίς την έγγραφη άδεια του συγγραφέα.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κη. τ. 1/11

Ε\Ικλείδιος Ι'ρίφος

σον έπιπροσθεί τοίς πέρασιν ". Δηλ. εάν θέλαμε να ορίσουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα που έχει τα πέρατά του στον άκρον του επιπέδου, είναι αυτό του οποίου το μέσον [δηί\. κάθε ενδιάμεσο σημείο) επικαλύπτει τα άκρα του (τοπικά 148b, 26).

Φαίνεται ότι αυτοί οι δύο ορισμοί σχετίzονται με το φαινόμενο της εκλείψεως γιατί τότε τα "σημεία" : Ηλιος - Γη - Σελήνη είναι ''συνευθειακά" . Ο Αριστο­τέλης γράφει: "ή γaρ σελήνη έκλιμπάνει διa τiιν έπιπρόσθησιν τής γής". (Μετεωρ. 1 .5,2) . Δηί\. η σε­λήνη χάνεται από την επικάλυψη της γης. Ο Πρόκλος το αναφέρει: "δθεν δη καi. οί άστρολογικοί φασι τό­τε τον ήλιον έκλείπειν, δταν έπί μιάς εύθείας γένη­ται αύτός τε καί ή σελήνη καί το όμα το ήμέτερον" . (Πρόλ. σελ. 109,25 κ.ε . ) . Γενικώτερα, δεν διακρί­νουμε ποιά διαφορετική ερμηνεία από την 'Όmική", (πnρατηρητής τοποθετημένος σε οποιοδήποτε μη ακραίο σημείο ευθύγραμμου τμήματος βλέπει το τμή­μα σαν σημείο. ιδιότητα που δεν έχει καμία άλλη γραμμή) θα μπορούσε να δικαιολογήσει τοv πλατωνι­Κό ορισμό. Συνεπώς, δεχόμαστε την ερμηνεία και στηρίzουμε τους υπόλοιπους συλλογισμούς μας, επά­νω σε αυτήν την παραδοχή. Ο Πλάτων αναφέρεται στο μέσον επειδή είναι ένα σημείο "εξασφαλισμένα" διαφορετικό από τα άκρα. Όμως, ο Ευκλείδης, που αντιπροσωπεύει στο αντικείμενό του, μια "τεχνικά" πιο μαθηματική συνείδηση από τον Πλάτωνα, ενο­χλείται, ίσως, από την μετρική εξειδίκευση [την εκλο­γή του μέσου] και γι' αυτό διαλέγει μια αφηρημένη και ισότιμη ως προς τα διάφορα σημεία, διατύπωση για να εκφράσει τον ίδο τον πλατωνικό ορισμό.

Την ακόλουθη : "εύθεία γραμμiι έστιν, έξ' ίσου τοίς έφ' έαυτής ση­μείοις κείται ".

Ωστόσο, επειδή δεν κάνει διάκριση άκρων και εν­διάμεσων σημείων, ο ορισμός του είναι λιγώτερο "καθαρός" απ' ό,τι ο πλατωνικός. Ομως, το ίδιο αυτό "μειονέκτημα" του επιτρέπει να "καί\ύmει" και τις πε­ριmώσεις της aτέρμονος ημιευθείας και ευθείας.

Παράλληλα η μαθηματική ''ισομορφία" που πα­ρουσιάzει ο ορισμός του, ικανοποιεί το πολύ βαθύ και πολύ μαθηματικό αισθητήριο του Ευκλείδη, δίνο­ντάς του και το δικαίωμα να μην αναφέρει την οmική αφορμή του ορισμού· σύμφωνα και με τη γενική του αρχή, να μην αναφέρει αφορμές για τους αφηρημέ­νους ορισμούς.

Ο Ηρων κατανόησε τις δυσκολίες του ορισμού, γι' αυτό αναφέρει όλες τις εκδοχές που μπορούσαν να τον ερμηνεύσουν. Αφού πρώτα μας αναφέρει τον ορισμό του Ευκλείδη, μας περιγράφει τη μορφή της, λέγοντας ότι είναι ομοιόμορφη (όρθή = σωστή) όταν είναι στο έπακρον (έπ' άκρον= τα μέγιστα) τεντωμέ­νη από τα άκρα της (επί τα πέρατα). Κατόπιν μας λέ­γει ότι είναι η εί\αχίστη γραμμή από όλες που έχουν

τα αυτά πέρατα (Αρχιμ. περί σφαίρας και κυλίδρου Ι. υποθ. 1 ) και ότι κάθε τμήμα της εφαρμόzει με οποιο­δήποτε τρόπο και αν τοποθετηθεί επ' αυτής. Εδώ δια­φαίνεται και η "αφαίρεση" που πραγματοποιεί ο Ηρων, μεταπηδώντας από την ευθεία (δηλ. το ευθύ­γραμμο τμήμα με δοσμένα τα πέρατά του) όπως την θεωρούσαν προγενέστεροι (Πλάτων, Αριστοτέλης) στην γενικευμένη έννοια της ευθείας, κατά την οποί­αν ένα οποιοδήποτε τμήμα της εφαρμόzει, τέλεια, με κάθε (ισόμηκο) τμήμα της ευθείας, καθ' οιονδήποτε τρόπο (παντοίως) ολισθαίνοντας επ' αυτής καθ' οιαν­δήποτε φορά. Τέλος, όταν παραμένουν σταθερά τα άκρα της, παραμένει και αυτή σταθερή και καταί\αμ­βάνει, πάντοτε, τον αυτόν τόπο στο επίπεδό της, όταν περιστρέφεται περί άξονα που ορίzουν τα άκρα της. Την εικόνα της ευθείας γραμμής εγνώριzαν οι αρχαί­οι και από το σχήμα της τεντωμένης και μη παλλομέ­νης χορδής ενός μουσικού οργάνου. Όταν η χορδή πάλλεται όλα τα σημεία της (εκτός από δύο) ευρίσκο­νται σε διαφορετικές θέσεις απ' αυτές της ηρεμίας και δέν κείται έξ' ίσου τοίς έφ' έαυτfjς σημείοις, ενώ, όταν είναι στο επακρον τεταμένη καί δέν πaλ­λεται, όλα της τα σημεία έχουν ομοιόμορφη θέση επ' αυτής (έχουν μηδενική απόσταση από αυτή) και άρα απέχουν έξ' ίσου από αυτή. Και αντιστρόφως όταν η ευθεία είναι στο έπακρον τεταμένη κείται έξ' ίσου (ως προς) τοίς έπ' αύτfjς σημείοις (κατά τα κεί­μενα του Ηρωνος) .

Για να προσεyyίσω περισσότερο το πνεύμα αυτής της συλλογιστικής πορείας του Ηρωνος, χρησιμοποί­ησα την έννοια της αποστάσεως που προϋποθέrει τη γνώση του ορισμού της ευθείας γραμμής. Ο Ηρων, όπως και στον ορισμό της γραμμής, μας δίνει περισ­σότερες επεξηγήσεις. Ως μηχανικός γνωρίzει το σχή­μα της ευθείας, είτε από τον γνώμονα (βί\. σχόλ. σελ. 45 ή σε προηγούμενο άρθρο μου στον Ευκλείδη Β, τεύχ. 4ο, 1990) είτε από τις τεταμένες χορδές των μουσικών οργάνων ή αυτομάτων όπλων που χρησι­μοποιούσαν χορδές από έντερα zώων. Το ότι γίνεται άξονας περιστροφής όταν περιστρέφεται γύρω από δύο σταθερά σημεία της, το γνώριzε ο Ηρων από πο­λιορκητικές μηχανές, τη διόπτρα και άλλες εφευρέ­σεις του· και, γι' αυτό το συμπεριέλαβε στις επεξηγή­σεις της ευθείας. Η τελευταία αυτή ιδιότητα της ευθεί­ας, κατά τον sir Thomas Heath διατυπώθηκε ή πριν, ή κατά την εποχή του Ηρωνος και δεν θα πρέπει να θεωρηθεί ως ανακάλυψη του Leibηiz ή του Κrafft ή του Gausss. Η διατύπωση του Gauss σχετικά με τον ορισμό αυτό ήταν :

Η γραμμή rης οποίας ό?ια rα σημεία διαrηρούv

αμεrάΒ?ιηrη θέση, όrαv ένα σώμα (ή μέρος rου χώ­

ρου) περισrρέφεrαι γύρω από δύο σrαθερά σημεία,

κα?ιείrαι ευθεία γραμμή (βλ. και Τ. Heath, Eucl. Elem. νοl. I, σελ. 168).

Ειι6dtιειr

�* , ιωρφη Από τις εκδόσεις «Κορφή» κυκλοφορούν τα παρακάτω Βιβλία Μαθηματικών:

Α'&Β'ΤΟΜΟΣ

...,...__ --

ΔΗΜΙΠΡΗΣ ΑΝΑΓΝΟΣ

ΓΕΟΜΕΊ'ΡΙΑ Β' ΛΥΚΕΙΟΥ

Τ. Α·

ΥΠΟΕΚΔΟΣΗ

1) Κ. ΠΑΠΟvτΣΗ: <<ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ)) 2) Ε. ΚΑΜΠΑΝΗ - Ν. ΚΡΑΣΑΚΗ: <<ΑΝΑΛΥΣΗ)) Α' & Β' τόμος

Α'&Β'ΤΟΜΟΣ

� Aiόvwttι� ι-We.o , Ι(�Αος ·� � Ελλcιιμ'Ι "Υ"�

...... _

3) Β. ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΙΟΥ: <<ΜΕΛΕΤΗ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ)) Α' & Β' τόμος (Β' ΤΟΜΟΣ ΥΠΟ ΕΚΔΟΣΗ) 4) Θ. ΤΡΙΑΝΤΑΦΥΜΟΥ- Α. ΚΑΛΟΓΙΑΝΝΗ: ΜΑΘΗΜΑ1/ΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ <<ΑΝΑΛΥΣΗ)) 5) Θ. ΤΡΙΑΝΤΑΦΥΜΟΥ - Α. ΚΑΛΟΓΙΑΝΝΗ: ΜΑΘΗΜΑτΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ <<ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ)) 6) Κ. ΜΠΙΡΜΠΙΛΗ: <<ΑΝΑΛvrΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ)) 7) Δ. ΑΝΑΓΝΟΣ: <<ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α' ΛΥΚΕΙΟΥ)) 8) Δ. ΑΝΑΓΝΟΣ: <<ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β' ΛΥΚΕΙΟΥ)) Τ. Α' (ΥΠΟ ΕΚΔΟΣΗ) 9) ΛΙΝΑΣ ΑΝΑΓΝΟΥ - ΠΑΤΣ/ΟΜΗΤΟΥ: <<ΣΥΜΟΓΗ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ)), Β' ΛΥΚΕΙΟΥ

10) Α. ΠΑΠΑίΩΑΝΝΟΥ: <<ΜΑΘΗΜΑτΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ)), ΓΛΥΚΕΙΟΥ

Θcι τα βρείτε σ' όλα τα βιβλιοπωλεία KENTPIKH ΔΙΑΘΕΣΗ: ΒΙΒΛΙΟΠΩΛΕΙΟ GUTENBERG: Σόλωνος 103- 106 78, Τηλ.: 3600798, FAX: 3600127

Οι "άλλοι Μαθnμα-.:ικοί -.:ης Αρχαίας Ελλάδας

Η Αρχαία Ελλάδα σ' ένα διάστημα 1 1 περίπου αιώ­νων είχε το μοναδικό προνόμιο στην Ιστορία να πα­ρουσιάσει χιλιάδες ανθρώπους του πνεύματος που λάi,ιπρυναν με τα ονομάτά τους τις εποχές τους. Πρωτεύουσα θέση μεταξύ αυτών κατέχουν οι μαθη­ματικοί. Δεν είναι, φυσικά, γνωστός ο αριθμός των μαθηματικών της Αρχαίας Ελλάδας. Η ιστορική όμως, έρευνα κατόρθωσε να περισώσει γύρω στα πε­ντακόσια περίπου ονόματα μαθηματικών. Απ' αυτούς μια εικοσάδα (θαλός, Π"θαyόρας, Πλάτων, Αριστοτέλης, Θεαίτητος, Αρ:χVΣας, Εtίδοξος, Ιηοίας, Νικομόδης, Διοκλός, Ε"κλείδης, Αρ:χιμόδης, Αοολλώνιος, Διόφαντος, Αρί­σταρχος, Ερατοσθένης, Μενέλαος, Ίοοαρ­:χος, Υοατία, Πάοοος) είναι γvω<:π:οι στο ευρύ μα­θηματικό κοινό, επειδή υπ�ρχει επάξια προβολή του έργου τους ακόμα και μέσα από τα σχολικά εγχειρί­δια. Οι άλλοι όμως μαθηματικοί, οι πολλοί, είναι σχε­δόν άγνωστοι. Από το τεύχος αυτό αρχίzουμε μια σει­ρά άρθρων που έχουν μια σειρά άρθρων που έχουν σκοπό να "γνωρίσουν" μερικούς από τους "άλλους" αυτούς μαθηματικούς, που ο χρόνος λήστεψε το ση­μαντικότατο έργο του και η μοίρα τους έταξε να είναι τα δεύτερα ή τα τρίτα ονόματα, ενώ ίσως πολλοί απ' αυτούς θα έπρεπε να έχουν περίοmη θέση στην Ιστο­ρία των μαθηματικών.

Αναφέρουμε πέντε μαθημαηκούς, τον Νικόμα:χο τον rερασηνό, τον Δημότριο τον Ραθηνοtί, τον Ιοοόνικο τον rεωμέτρη, τον Διον.,σό­δωρο και τον Ερμότιpο -τον Κολοφώνιο.

Νικόμαχος ο rερασηνός (lος - 2ος μ.Χ. αιώνας)

Είναι ο περιφημότερος νεοπυθαγόρειος φιλόσο­φος και μαθηματικός. Γεννήθηκε στα Γέρασα της Παλαιστίνης και έzησε περί το τέλος του 1ου και ης αρχές του 2ου αιώνα μ.Χ. Έγραψε ''Αριθμητικό Εισαyωyό", η οποία μεταφράστηκε από το Λατίνο συγγραφέα Βοόθε•ο (480 - 524 μ.Χ.) στα Λατινικά. Πιθανότατα έγραψε και "rεωμετρικό εισαyωyό" που δεν διασώθηκε. Αυτό διαφαίνεται από τα γραφό­μενά του στο δεύτερο βιβλίο της ''Αριθμητικός ει­σαyωyός":

Βαyyέλnς Σnανδάyος

"'Ίνα δε μη aνήκοιοι <1μεν κολούρων και δικο­λούρων και τρικολούρων πυραμίδων, <1ν τοίς δνό­μασι έντευξόμεθα έν συγγράμμασι τοίς θεωρηματι­κοίς".

Στην ''Αριθμητικό εισαyωyό" ο Νικόμαχος εκθέτει με σαφήνεια τη θεωρία των πολυγώνων αριθ­μών1. Παρουσιάzεται να ξέρει ότι το τετράγωνο κάθε φυσικού αριθμού είναι άθροισμα δύο διαδοχικών τριγώνωif αριθμών, δηλαδή:

if = ν (ν - 1) + (ν + 1) ν 2 2

Χαρακτηριστικός είναι ο ορισμός που δίνει ο Νι­κόμαχος στους τρίγωνους αριθμούς:

"Τρίγωνος μεν σiίν έστιν aριθμος ό διαλυόμενος είς μονάδας και την κατ' έπίπεδον θέσιν τών μο­ρίων ί�όπλευρον σχηματογραφων είς τριγωνισμον, ο-δ ύποδείγματα ό γ', στ', ι', ιε', κα', κη', ... και οί έφεξής".

ιτ ρίγωνος είναι ένας αριθμός που διαλύεται σε μο­νάδες οι οποίες αν τοποθετηθούν σ' επίπεδη θέση σχηματίzουν ισόπλευρό τρίγωνο. Τρίγωνοι αριθμοί είναι ο 3, 6, 10, 15, 21 , 28, κ.ο.κ.).

Ο Νικόμαχος πρώτος έδωσε τον όρο "φυσικοί αριθμοί' . Στο Ι βιβλίο της ''αριθμητικής εισαγωγής" γράφει:

"έκκείσθω έν μεν τφ πρώτψ στίχψ ό aπο μονάδος φυσικος aριθμος, είτα έξης ... "

Αξιοσημείωτο είναι το θεώρημα του Νικομάχου που εκφράzεται από τον τύπο: (if + ν + 1) + (if + ν + 3) + (if + ν + 5) + . . . + (if + 3ν + 1) = (ν + 1)3.

Πόρισμα του θεωρήματος αυτού είναι ο γωνστός τύπος:

1 Πολύγωνοι αριθμοί ονομάzοvrαι αθροίσματα όρων αριθμητική προόδου με πρώτο όρο το 1.

2 Τρίγωνοι αριθμοί ονομάzοvrαι τα μερικά αθροίσματα της ακολουθίας των φυσικών αριθμών, δηλαδή της ακο­λουθίας 1, 2, 3, . .. , ν, ...

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κη. τ. 1/14

Οι "άλλοι Μαβapατικοί τaς Αρ:ι:αίας Ελλάδας

που αποδίδεται στους Πυθαγόρειους. στο β' βιβλίο της "Αριθμητικής Εισαγωγής" ο Νικόμαχος ασχολεί­ται με τις αναλογίες "μεσότητες" . Αναφέρει συνολικά 10 αναλογίες (μεσότητες) . Αναφέρει συνολικά 10 αναλογίες. Τις τρεις πρώτες κύριες των Πυθαγορεί­ων, που διέσωσε ο Αρχύτας, δηλαδή την αριθμητική α- β α α- β α -- - -, τη yεωμεrρική -- - -, mν αρμοvική β-ν α β-ν β α- β α -- - -, τις τρεις υπεναντίες των προηγουμένων β-ν ν που επινόησε ο Εύδοξος και τις υπόλοιπες 4, που επινοήθηκαν από μεταγενέστερους μαθηματικούς.

Για το έργο του Νικομάχου έχει γράψει σχετικό σύyγραμμα ο Iάμβλιχος, με τίτλο "Περί της Νικσμά­χου αριθμητικής εισαγωγής".

Δnμότριος ο ΡαθnνοιJ (2ος ο.Χ. αιώνας)

Ο μεγάλος γεωγράφος Στράβων στο έργο του "Γεωγραφικά" αναφέρει (πρώτος αυτός από τους Αρχαίους συyγραφείς) έναν άγvωστο στο ευρύτερο κοινό μαθηματικό, τον Δnμότριο τον Ρα4)nνοιJ: « . . . aνδρες δε γεγόνασι aξιοι μνή μης Κατa παιδεί­αν ένταύθα, μαθηματικοί μεν Δημήτριος ό τοϋ Ρα­θηνοϋ καί Διονυοόδωρος όμώνυμος τφ Μηλίφ γε­ωμέτρη . . . " .

Ο Ρωμαίος συyγραφέας Βοόθειος γράφει ότι ο Δημήτριος ο Ραθηνού δίδαξέ γεωμετρία στην Αθήνα και στην Ρόδο και ακόμα ότι ασχολήθηκε με την Αριθμητική (θεωρία των αριθμών) . Δυστυχώς δεν υπάρχουν άλλες πληροφορίες.

Ιοοόνικος ο Ι'εωμέτρnς (3ος - 2ος ο.Χ. αιώνας)

Ο Διοyένnς Λαέρτιος στο έργο του "Βίοι φιλο­σόφων" αναφέρει το γεωμέτρη Ιππόνικο: " . . . διήκουσεν δε Άρκεσίλαος καί Ίππονίκου τού γεωμέτρου" .

' .

Ο Ιοοόνικος δίδαξε στην Αθήνα και στον Τάρα­ντα γεωμετρία και έγραψε μια γεωμετρική πραγμα­τεία με άγvωστο τίτλο και περιεχόμενο.

Διοvνσόδωρος (2ο$ ο.Χ. αιώνας)

Από τον Αμισό (ή Αμισηνή) του Πόντου. Τον ανα­φέρουν ο Ε"τόκιος και ο Στράβων. Έμεινε κυρίως στην Ιστορία από μια πράyματεία του που

αναφερόταν σε διάφορα γεωμετρικά προβλήματα και η οποία χάθηκε. Μεταξύ των προβλημάτων αυτών ήταν ο "οολοyισμός το" όyκο" "σοείρας" (σα­μπρέλας" , η λύση του αρχιμηδείου προβλήματος: "να κατασκε"ασθεί ε"θώyραμμο τμόμα χ, με τον ιδιότnτα:

� α -:- Χ - - --

(όπου α, α2 δοσμένα ευθύγραμμα τμήματα)3" και η λύση του προβλήματος: "να διαιρεθεί nμισφαίριο με εοίοεδο οα­ρά4\λnλο ορος το βάσιi το" σε δ"ο μέρn, τωv οοοίων ο όyκοι να έχο"ν δQσμένο λόyο" .

Αναφέρονται οι τίτλοι δυο ακόμα έργων του που χάθηκαν "Συμ6ολαi:" και " Περi σπείρας" . Το έργο "Συμ6ολαi" αναφερόταν στις έρευνες του Αρχιμό­δο"ς.

Ο Στράβων τον μνημονεύει ως " μαθηματικον άξιον μνήμης κατ« παιδείαν" .

Ερμότιμος ο Κολοφώνιος (4ος ο.Χ. αιώνας)

Διάδοχος του Ε"�ό�ο" το" Κνιδίο". Ο Πρό­κλος γράφει για τον Εριιότιμο:

" Έρμότιμος δε ό Κολοφώνιος τa ύπ' Εύδόξου προη υπορη μένα καί Θεαιτήτου προήγαγεν· έπί πλέον καί τών στοιχείων πολλa &νεύρε καί τών τό­πων4 τι να συνέγραψεν" .

( Ο Ερμότιμος ο Κολοφώνιος πολλά από τα συμπε­ράσματα που είχαν · προδιατυπωθεί από τον Εύδοξο και τον Θεαίτητο, αλλά και πολλά άλλα στοιχεία εφεύρε, συνέγραψε δε και μερικά στοιχεία για τους γεωμετρικούς τόπους).

Βιβλιοyραq»ία

1 . Κυπάρισσου: 'Ή Ελληνική Γεωμετρία" , Αθήνα 1915.

2. Παπαδάτου Ιωάννου: "Πολύγωνοι και Πολυεδρι­κοί αριθμοί" , Λευκάδα 1981 .

3. Σπανδάγου Βαγγέλη - Σπανδάγου Ρούλας -Τ ρουλού Δέσποινας: "Οι μαθηματικοί της Αρχαί­ας Ελλάδας" (Αίθρα), Αθήνα 1994.

3 Το πρόβλημα αυτό το είχε λύσει ο Αρχιμήδης, η λύση του όμως χάθηκε· την ανακάλυψε όμως αργότερα ο Εuτό­κιος.

4 Οι τόποι εδώ είναι οι επίπεδοι γεωμετρικοί τόποι, που παριστάνονται με ευθείες ή κύκους (ή τμήματα αυτών)

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κη. τ. 1/15

Ασκήσεις yια τnv ορώτn (Α) Λvκείοv

(Ταvτότnτες - Διάταξn - Ανισώσεις Αnόλvτες τιμές - Ρίzες)

Ασκnσn ln

Εάν χ-1 = α να ·υπολογιστεί, συναρτήσει του α, η χ

τιμή των παραστάσεων: χΖ + _l_ Χ3 _ _l_ χ4 + _l_

χΖ ' Χ3 ' χ4

Λuσn Ισχύει α2 + β2 = (α - β)2 + 2αβ, α3 - β3 =

= (α - β)3 + 3αβ (α - β)

άρα χΖ + _l_ = (x-1)2 + 2 · χ· 1 = cf + 2

� χ χ

>f-J = (χ-:)3 + 3 · x · :(x-�) = if + 3α

χ4 + l = (χΖ + l)2 - zx2 l = (if + 2ψ - 2 = χ4 χΖ �

= α4 + 4if + 2

Ασκnσn ln

Δίνεrαι ο αριθμός α = 72·281 - 2 i. Να βρεθεί το τελευταίο ψηφίο του ii. Να εξεrασθεί εάν ο α είναι πρώτος αριθμός

Λuσn i. 72.281 = 72 .280 . 7 = (74)570 . 7 Ο αριθμός 74 καταί\ήyει σε 1 άρα ο αριθμός (74)570

έχει τελευταίο ψηφίο το 1 επομένως το τελευταίο ψη­φίο του α είναι το 5.

ii. Επειδή ο α καταλήγει σε 5 είναι πολ/σιο του 5 και άρα σύνθεrος.

Ασκnσn 3n

Εάν α, β, γ πλευρές τριγώνου και cf + β2 + Vl _ α + β + γ α + β + γ 3

Τότε το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.

Κώσι:ας Θ. Αναyνώσι:οv

Λύση cf + β2 + Vl α + β + γ ------'--- = � α + β + γ 3

(α + β +γ)2 = 3 (α2 + β2 + yZ) � 2α2 + 2β2 + 2r - 2αβ - 2βγ - 2αν = ο � (α - β)2 + (β - γ)2 + (α - γ)2 = Ο άρα α = β = γ.

Ασκnσn 4n

Εάν α3 + β3 + � = α2 + β2 + y2 = α + β +ν = 1 τότε α β γ =0.

Λuσn Επειδή α + β +γ = 1 έχουμε : (α + β + γ)2 = 1 ή

. . . ή αβ + βγ + αγ = Ο ακόμη α3 + β3 + � -3αβγ = (α + β + γ) (α2 + β2 +r - αβ - βγ - αγ) οπότε 1 - 3αβy = 1 · (1 - 0) ή 1 - 3αβγ = 1 άρα αβγ =0.

Ασκόσn 5n

Εάν α,x,y,z θετικοί πραγματικοί με xyz = �· να υπολογισθεί η τιμή της παράστασης:

Α= 1 + 1 + 1 1 + αx + cf� 1 + ay+ cfyz l + oz+ cfxz

Λuσn Ισχύει ότι: 1 + αχ + α2χy = 1 + αχ + l

ΟΖ

1 + oz+ cfxz ---- άρα ΟΖ

Α= ΟΖ + 1 + 1 1 + oz + cfxz 1 + oz + cfxz ifxyz + ay + cfyz

1 + oz + 1 1 + oz + cfxz ay( 1 + oz + ctxz) (1 + oz) ay+ 1 1 + ay+ cfyz = = ---,,----__::_---=--7

ay( 1 ..ι.. oz + ctxz) ay( 1 + αί + ctxz)

= 1 + ay+ cfyz = 1 + ay + cfyz = 1 ifxyz + ay + cfyz 1 + ay + cfyz

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κη. τ. 1/16

Ασκnσn 6n

Δείξτε ότι ο αριθμός α = 262 + 1 διαιρείται με τον αριθμό β = 231 + 216 + 1 .

Λ.Jσn Ισχύει α = (231 )2 + 2 · 231 + 1 - 2 · 231 =

= (231 + 1)2 - 232 = (231 + 1)2 - (216)2 = = (231 + 216 + 1 ) (231 - 216 + 1) = β . (231 - 216 + 1) άρα ο αριθμός β διαιρεί τον α.

Ασκnσn 7n

Δείξτε ότι: 4.444.444.4452 + 1 . 111 . 111 . 1 1 1 - 4.444.444.4442 = ιο1ο

Λ.Jσn 1° μέλος = (4.444.444.445 - 4.444.444.444.) . (4.444.444.445 + 4.444.444.444) + 1 . 111 . 111 . 111 = 8.888.888.889 + 1 . 111 . 111 . 111 .= = 8.888.888.888 + 1 . 1 11 . 1 11 . 1 11 + 1 = 9.999.999.999 + ι = ιο10

Ασκnσn 8n

Να λυθεί η εξίσωση xy + 2xz - 3y - 8 = 6z - xyz + 3yz - 2χ στο σύνολο των ακεραίων.

Λ.Jσn Η εξίσωση γράφεται:

xy + xyz + 2xz + 2χ - 3y (1 + z) - 6 (1 + z) = 2 <=>

xy ( 1 + z) + 2χ (1 + z) - 3y ( 1 + z) - 6 ( 1 + z) = 2 <=> ( 1 + z) (xy + 2x - 3y - 6) = 2 <=> (1 + z) (y + 2) (χ - 3) = 2

άρα ί.

1 + z = 1 και y + 2 = 1 και χ - 3 = 2 <=> z = Ο, y = -1, χ = 5 ή 1 + z = 2 και y + 2 = 1 και χ - 3 = 1 <=> z = 1,

y = -1, χ = 4 ή 1 + z = 1 και y + 2 = 2 και χ - 3 = 1 <=> z = Ο,

y = Ο, χ = 4

ίί. 1 + z = -1 και y + 2 = -1 και χ - 3 = 2 <=> z = -2, Υ = -3, χ = 5 1 + z = -1 και y + 2 = 2 και χ - 3 = -1 <=> z = -2, y = Ο, χ = 2 1 + z = 2 και y + 2 = -1 και χ - 3 = -1 <=> z = 1, Υ = -3, χ = 2

ίίί. 1 + z = 1 και y + 2 = -1 και χ - 3 = -2 <=> z = Ο, Υ = -3, χ = 1 1 + z = 1 και y + 2 = -2 και χ - 3 = -1 <=> z = Ο, Υ = -4, χ = 2 1 + z = -2 και y + 2 = -1 και χ - 3 = 1 <=> z = -3, Υ = -3, χ = 4 1 + z = -2 και y + 2 = 1 και χ - 3 = -1 <=> z = -3, Υ = -1, χ = 2

Ασκnσn 9n

Να λυθεί η εξίσωση: 1 ( 1 + 1 ) + 1 ( 1 + 1 ) +

2χ+ 1 χ + 1 χ 2χ + 3 χ+ 1 χ + 2

+ 1 ( 1 + 1 ) - 3 2χ + 5 χ + 2 χ+ 3 χ (χ+ 3)

A.Jσn

χΕ Α άιουΑ = R- {-3 _ 5_ -2 _ ;i - 1 - 1 ο} ' 2' ' 2' ' 2'

η εξίσωση γράφεται :

_1_ . 2χ + 1 + 2χ + 3 + 2χ + 1 χ (χ+ 1) (2χ + 3) (χ + 1) (χ+ 2)

+ 2χ + 5 = 3 <=> (2χ + 5) (χ + 2) (χ + 3 χ (χ + 3)

<=> ι + ι + _ ____,ι.____ = x(x+ l) (x+ l) (x+ 2) (χ + 2) (χ + 3)

= 3 χ (χ+ 3)

<=> χ + 2 + χ + 1 = --"<-3_ χ (χ+ l) (x + 2) (χ+ 2) (χ + 3) χ (χ + 3)

3 (χ + 2) <=> ----- 3 <=> 3 = 3

χ (χ + 2) (χ+ 3) χ (χ + 3) χ (χ + 3) χ (χ+ 3)

άρα η εξίσωση είναι ταυτότητα στο Α.

Ασκnσn 10n

Να συγκριθούν οι αριθμοί

A.Jσn Ισχύει

α = 3183, β = 2307 _ 2306 _ 2305.

β = 2305 (22 - 2 - 1) = 2305 = (25)61 = (32)61 α = 3183 = (33)61 = (2Ί)61

άρα α < β

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κη. τ. 1/17

Α' Au&εfov - �yεlρa

Ασκιισσ lliι

, 32ο 5ιs Ομαα α = - 6 = 1 γ = -z3Ο' ' �2

Λσσα

bώa: α = (� )10 = (�yo > (:Υό = 1

γ= (��r = (:r < (:r= 1

άρα γ < 6 < α

Ασιιaσa lla

Δείξτεόn: ί) 1 + 1 + 1 + . . . _l_ < 2

Λvσa

5 6 7 17 ii) 1 + 1 + 1 + . . . _1_ > 1

5 6 7 17

i) bώa1 + 1 + 1 + 1 + 1 < 1 + 1 + 1 + l + l = 1 5 6 7 8 9 5 5 5 5 5

_ι_ + _ι_ +_ι_ + _ι_ + . . . + _ι_ < 8 . ι = 1 10 11 12 13 17 8 6ρα 1 + 1 + 1 + . . . + _1_ < 1 + 1 = 2

5 6 7 17

ii) 1 + 1 + . . . + _1_ > 6 . _1_ 5 6 10 10 _1_ + _1_ + . . . + _1_ > 7 · _1_ 11 12 17 17

φa l + l + . . . + _1_ > _6_ + _]__ = 1'72 > 1 5 6 17 10 17 170

Ασκιiσa 13a

Να συγκριθούν οι αριθμοί :

Λσσα bώa:·

α = -1- (ι + 1 + 1 + . . . + -i-} ν + 1 2 3 ν + 1 β = l{ι + 1 + 1 + . . . + 1} ν =t 1

ν 2 3 ν

β-α = (1 + l + l + . . . + 1)(1 _ _ 1_)- 1 = 2 3 ν ν ν + 1 (ν + 1)2

= -1- r(ι + 1 + 1 + . . . + l)lλι _ _ 1_1 = ν + 1 2 3 ν ν + l

= -1- [ 1 + (1 + 1 + . . . + 1)1] > 0 ν + 1 ν (ν + 1) 2 3 ν ν

άρα 6 > α εφαρμογή για ν· = 1994

Ασκιισa 14a

Να βρεθεί n μέγιοτή και n ελάχιστη τιμή του κλά:.. Α 2d- + 7rl- - 12αβ σματος = όiαν α, 6 πραγματικοί

rl- + 62 με αβ ;οι! Ο.

Λvσa Ισχύει ότι (3α + 26)2 � Ο *> 9α2 + 462 + 12αβ � Ο

� i1α2 + 1162 � 2α2 + 762 - 12α6 *>

2d- + 7β2- 12α6 11 *> � . rl- + 62

ακ6μη 2d- + 762- 12a6 = 4rl- + 962 - 12α6 2 = rl- + 62 rl- + 62

(2a-36)2 rl-' + 62

άρα -2 s Α s 11 .

Ασιιaσa 15a

2 � - 2.

Εάν α + 6 � γ και γ � Ο τότε : ί. α2 + 62 � Υ.

2

ΛVσa Ισχύει 2(χ2 + y2) � (χ + y)2 άρα

ί. 2 (α2 + 62) � (α + 6)2 � y2 οπότε: α2 + β2 � Υ.

2

ίί. όμοια 2 [(α�l2 + (62)2] � (α2 + 62)2 � (�J άρα α4 + 64 � y_

8

Ασιιaσa 16a

Εάν α + β +γ = Ο τότε α6 + βγ + αγ s Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κn. τ. 1/18

Α ' A"u:io" - ί\λyεβρα

Λvoa Ισχύει ότι αν (α + β +γ)2 = Ο τότε αβ + βγ + αγ =

= _ 1 (α2 + 62 + γΖ) . Όμως α2 + 62 + y2 � Ο 2 .

όρα αβ + βγ + αγ :5 Ο.

ί\οκaοa 17a .

Δείξτε ότι α4 - α + 1 > Ο για κάθε πραγματικό. 2 Λvoa

α4 - α + 1 > Ο <=> 4α4 - 4α + 2 > Ο <=> 2 <=> 4α4 - 4α2 + 1 + 4α2 - 4α + 1 > Ο <=> <=> (2α2 - 1 )2 + (2α - 1 )2 > Ο. Ισχύει.

�AOKDOD 18a

Εάν Ο < α1 < α2 < α3 < . . . < α9 . . Λ�� � α ι + <Iz + α3 + . . . + ag 3 �':>ιεοτι: <

Λvoa Ισχύει ότι: αι < α3

α3 + Ci6 + Clg

α2 < α3 οπότε α1 + α2 + α3 < 3 · α3 α3 = α3

όμοια α4 + α5 + α6 < 3· α6, α7 + α8 + � < 3� όρα α1 + α2 + α3 + . . . + α9 < 3 (α3 +α6 + α9) ή αι + α2 + α3 + . . . + αg 3 --"-------'=------=---� < .

α3 + Ci6 + ag

ί\oimoa 19a

lαl < 1 και IB I < 1 τότε lα + B l < 1 1 + α - B l

Λvoa Ισχύει lαl < 1 <=> lαl2 < 1 <=> α2 - 1 < Ο

I ' I < 1 <=> IBI2 < 1 <=> 1 - 62 > ο ακόμη I� + B l < 1 1 +αβl <=> Ια + 612 < 1 1 + αβl2 <=> (α + 6)2 < (1 + αβ)2 <=> α2 + 62 + 2α6 < 1 + α2 62 + 2αβ � α2 + 62 - 1 - α2 62 < Ο <=> α2 ( 1 - 62) - ( 1 - 62) < Ο <=> (α2 - 1 ) (1 .:.. 62) < Ο. Ισχύει.

ί\οκaοa 19a

Εάν α2 + 62 = 1 τότε Ια + 6 1 :5 Γ2

Λvoa Ισχύει: (α + 6)2 :5 2 (α2 + 62)

άρα (α +6)2 :5 2 <=> --/(α + 6)2 s Γ2 <=> Ια + Bl :5 Γ2

ί\οιιaοa 21a

Εάν Ο < χ < 2 και Ο < y < 2 τότε I χ-Υ I < 1 χ+ Y-><v

Λvoa

Έχουμε I x-y I < 1 .::> lx-yl2 < lx + y-xyl2 <=> x + y-><v .

<=>-2- + i-2xy < >1- + y2 + >1-y2 + 2 xy-2>1-y-2xy2 <=> χ2 if + 2 x y - 2 x2 y - 2 x if + 2 x y > Ο <=> xy (xy + 4 - 2x - 2y) > Ο <=> xy [y (χ - 2) - 2 (χ - 2) I > Ο <=> <=> xy (χ - 2) (y - 2) > Ο. Ισχύει.

ί\οιιaοa 2 1a

Να λυθεί η εξίσωση lx - 1 1 + lx - 3 1 = M(EJ , Μ πραγματικός

Λvoa i. Εάν Μ :5 Ο τότε η εξίσωση ί::ιδύνατη ii. Εάν Μ > Ο

1 . Ο :5 χ :5 1 τότε lx - 1 1 = 1 - χ, Ιχ - 31 = 3 - χ 4-Μ (Ε) <=> 1 - χ + 3 - χ = Μ <=> χ= -- δεκτή όταν

4-Μ Ο :5 :5 1 <=> 2 :5 Μ :5 4. 2

2

2. 1 < χ :5 3 τότε lx - 1 1 = χ - 1, lx - 31 = 3 - χ (Ε) <=> χ - 1 + 3 - χ = Μ <=> Ο · χ = Μ- 2. - Εόν ·Μ = 2 τότε η εξίσωση είναι ταυτότητα στο

διάστημα (1 , 3] - Εάν Μ ;ο! 2 η εξίσωση είναι αδύνατη στο ( 1 , 3]

3. χ > 3 τότε lx - 1 1 = χ - 1 , lx - 31 = χ - 3 (Ε) <=> 2χ - 4 = Μ <=> χ = Μ + 4

2 δεκτή όταν Μ + 4 > 3 <=> Μ > 2. 2

ί\οκaοa 23a

Να λυθεί η aνίσωση: lx - 3MI < Ιχ - M l - 2Μ (Α) Μ πραγμαηκός

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κn. τ. 1/19

Α ' Λνκείον - 1\Αyεβpα

Λvσn ί. Μ < Ο τότε 3Μ < Μ 1 . χ � 3Μ τότε lx - 3MI = 3Μ - χ, lx -MI = Μ - χ

(Α) <=> -χ + 3Μ < Μ - χ - 2Μ <=>

<=> 3Μ < -Μ <=> 4Μ < Ο · χ

2. 3Μ < χ � Μτότε lχ-3ΜI = χ-3Μ, lx-MI = Μ-χ (Α) <=> χ -3Μ < Μ -χ -2Μ <=> 2χ < 2Μ <=> χ < Μ

3. χ > Μ τότε lx - 3MI = χ - 3Μ, lx - MI = χ - Μ (Α) <=> χ - 3Μ < χ -Μ - 2Μ <=> Ο · χ < Ο άτοπο.

= (V 20 + 1412r + (V20- 1412r + + 3.J{20 + 1412}(20- 1412)·

. (\120 + 1412 V2o- 1412) =

= 20 + 1412 + 20- 1412 + 3 · 'Ψ 400- (1412f · α =

= 40 + 3Vs · a = 40 + 6a. άρα α3 - 6α = 40.

Άρα όταν Μ < Ο η aνίσωση έχει λύσεις: χ < Μ Ασιmσn 26n

ii. Μ ;::: Ο τότε 3Μ ;::: Μ. � 1 § 1 1. χ � Μ τότε lx - 3MI = 3Μ - χ, lx - Ml = Μ - χ. Δείξrεόrι: -l3- Γs · ·ν 1 + Γs · ·ν 7 + 3Γs = 2. (Α) <=> 3Μ - χ < Μ - χ - 2Μ <=> Ο · χ < -4Μ άτοπο

2. Μ < χ � 3Μτότε lx-3MI = 3Μ-χ, lx-MI = χ-Μ (Α) <=> 3Μ - χ < χ -Μ -2Μ <=> 6Μ < 2χ <=>

<=> 3Μ < χ άτοπο.

3. χ > 3Μ τότε lx - 3MI = χ - 3Μ, lx -MI = χ - Μ (Α) <=> χ - 3Μ < χ -Μ - 2Μ <=> χ · Ο < Ο άτοπο. Άρα όταν Μ ;::: Ο η aνίσωση είναι αδύνατη.

Ασκnσn 24n

Να βρεθεί το άθροισμα: 1 + 1 + 1 + . . . +

1 + 12 12 + Γ3 Γ3 + Γ4

Λvσn

+ 1 γ 1994 + γ 1995

Ισχύει: 1 = Vv+l- Γv = Vν + 1 - Γv Γv + Vν + 1 ν + 1-ν

για ν = 1 , 2 , 3 , . . . , 1994 και προσθέrοvτας κατά μέ­λη τις ισότητες που θα προκύψουν έχουμε τελικά

1 + 1 + 1 + . . . + 1 + 12 12 + Γ3 Γ3 + Γ4 + 1 = γ1995 - 1

γ 1994 + γ 1995

Ασκnσn 25n

Eάv a = V20 + 1412 + V2o- 1412. Να βρεθεί η τιμή της παράσrασης Α = a3 - 6α

Από a3 = (V20 + 1412 +V20- 1412r =

Λvσn

1ομέrος = JJ(3-Γsr · JJ(1 + Γsf ·

JJ(7 + 3Γsf

= JJ[(3- Γs)(1 + Γs)]2 (3-Γs)(7 + 3Γs)

= JJ(2Γs -2f . (6 + 2 Γs)

= ο/8(74 - 1f . (3 + Γs) = V816-2Γs)(3 + Γs)

= v 16(3- Γs)13 + Γs} = v 16 (9-5) = V64 = 2

Ασκnσn 27n

Για ν ;::: 3 δειξι:ε όrι: Vv > 'J../ ν + 1

Λvσn

Vν > V ν + 1 <=> (Vν)Ι2 > (V ν + 1 γ2 <=>

<=> ν4 > (ν + 1 )3 <=> ν4 -� - 3if - 3ν - 1 > Ο <=>

<=> ν4-3� + 2�-6if + 3if-9v + 6ν- 18 + 17 > Ο <=> � (ν - 3) + 2if (ν - 3). + 3ν (ν - 3) + 6 (ν - 3) +

17 > ο Ισχύει γιατί ν ;::: 3.

Ασκnσn 28n

Να σογκριθούν οι αριθμοί: α = 2 Γι + 2 f3 + 2 Γs + 2 f7 + 2 f9 β = 2 12 + 2 f4 + 2 f6 + 2 Γs + 2 Yl0

Λvσn

Διαδοχικάέχουμε: Γv + Vν- 1 < Γv Vν + 1 με ν :Ξ!: 1

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κη. τ. 1/20

Α ' Α\Ικείο\1 - Αλyεβρα

1 < 1 ή Γv + γν + 1 Γv + γν - 1

γν + 1 - Γv < Γv- γν - 1 ή

γν + 1 + γν - 1 < 2 Γv

yιa ν = 1 V2 + 0 < 2 fϊ

yια ν = 3 Γ4 + Γ2 < 2 f3

νια ν = S i6 + M < 2 Γs

yια ν = 7 Γs + f6 < 2 f7

yιa ν = 9 fϊO + Γs < 2 f9

Με πρόσθεση κατά μέλη έχουμε:

2 Γ2 + 2 f4 + 2 i6 + 2 Γs + 2 ho < < 2 fϊ + 2 f3 + 2 Γs + 2 f7 + 2 i9

άρα Β < α.

Δ. Γ. ΚΟΝΥΟΓΙΑΝΝΗΣ

ΜΑΘΗΜΑτΙΚΑ ΔΕΣΜΗΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΚΑΙ

ΑΝΑΛΥΙΊΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ (τόμος Ι) Ένα βιβλίο Μοναδικό που σε καλύmει

Πλήρως

Περιέχει:

• Πλήρης Θεωρία - Σnpειώσεις - Παραmρnσεις

• 800 Πρωτότ"οες Ασκήσεις

• Μεθοδολοyικό επεξεργασία θεμάτων

• Βιβλίο Λvσεων

Κvκλοφορεί σvνι:ομα ο 2ος τόμος

Παραyyελίες: Εκδόσεις Πράξn Αδ. Κοραή 31 Τ. Κ. 162 32 Βύρωνας

Τηλέφωνο: 76 42 728

(Όσοι ro παραγyειί\οvv σrις εκδόσεις Πράξn θα

i\ά8ovv ως δώρο ro 8ι8ilfo rωv Λύσεων)

ί\σκnσn 29n

Εάν γ 1994 + χ + γ 1994 + y = 2 Υ 1994 + α Τότε χ + y = 2α

ΛVσn Ισχύει 2 (α2 + β2) � (α + β)2

άρα 2l(γ1994 + xr + (γ1994 + yrJ �

� (ν 1994 + χ + γ1994 + yr <:;> 4 · 1994 + 2χ +2y � 4 (1994 + α) <:;> 2 (χ + y) � 4α <:;> χ + y � 2α.

ΕΚΔΟΣΕΙΣ "Οερίyραμμα"

Βουρνάzου 10 - 12, 1 15 2 1 Αθήνα

Τηλ : 64 35 1 14, 1 18, 138

Fax: 64 53 138

ΚΥΚΛΟΦΟΡΟΥΝ

• Μαθημαηκά Δέσμης ΆΛγεΒρα Ι Δ.Γ. Kovroγιάvvn

• Η Συνάρτηση στο Λύκειο Γ. Σιώτοv - Π. Εvθvμιόποvί\οv

• Μαθημαηκά θέματα Α. ΚατσοvίΊάκη

• Μαθημαηκά Δέσμης "Πιθαvότnτες• Δ. Ζερ8ά

• Θέματα Μηχανικής Ε. Γ κερμεσιώτn

• Θέματα Ηλεκτρισμού Ε. Γ κερμεσιώτn

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β . κη. ι. 1/21 .

/

Ι'εωpετρία Α ' Λvκείοv

Ιδιότοτες Οpθοyωvίωv Tpιyώvωv

'ί\σκnοn ln

1 . Σε οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, με Β > Γ, φέρνουμε το ύψος ΑΔ. Αν Μ είναι το μέσο τη_s ΑΓ�κα!_η ΜΔ τέμνει την ΑΒ στο 2, να δείξετε ότι 2 = Β - Γ.

Α

Άρα ΙΈ = ΗΑ (1 )

Λεωνίδας Τοvρλας

ΜΗ�= ΜΕ και ΜΙΈ = 30° - L;>. � _Ε:πειδή ΕΜΓ = 60° και ΜΗΕ ισοσκελές ΜΗΕ =

ΗΕΜ = 30°. """

Άρα το ΗΕΓ ισοσκελές και ΗΕ = ΕΓ (2) Από (1 ) , (�) ΙΈ = _Ε:Η = ΗΑ Επειδή ΗΕΜ = ΕΑΓ = 30° έχουμε ΗΕJ/ΑΓ

'ί\οκnοn 3n

Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α = 90°) φέρνουμε το ύψος ΑΔ και από το Δ τις κάθετες ΔΕ και ΔΖ στις

r ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. Δείξτε ότι η ΕΖ είναι κάθετη στην διάμεσο ΑΜ του τριγώνου.

z

Αι) σα Στο� ορ�γώνι�φίγ_pνο ΑΔΓ η ΜΔ είναι διάμεσος.

Άρα Γ = �1 ΚΟ!._ Δ1 � Δ2. �το ψίγ�νο ΒΖΔ η εξωτερι­κή γωνία Β = 2 + Δ2 ή · 2 = Β - Γ.

'ί\σκnοn 2n �

Θ�ωρούμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α = 90°) ·με Γ = 30°, το ύψος του ΑΗ και την διόμεσό του ΑΜ. Φέρνουμε το κάθετο τμήμα ΙΈ προς τηv ευθεία ΑΜ. Να δείξετε ότι : ΙΈ = ΕΗ = ΗΑ και ΗΕ // ΑΓ.

Β

Αι) σα � � �

Γ

ΓΑΜ = ΜΑΗ = ΗΑΒ = 30° (γιατί;) κάι τα τρίγω-να ΜΗΑ και ΜΕΓ είναι ίσα.

Β

Αι)οa � � ΗΖΑ = ΔΑΖ (γιατί;)

ΑΜ διάμεσος του ορθογωνίου τριγώνου. .- .-. .-. --

Γ

Άρα ΑΜ = ΜΓ και ΗΑΖ = Γ, Β = ΔΑΖ (γιατί;) Τελικό � � ΗΑΖ + ΗΖΑ = Γ + Β = 90° Άρα ΑΗΖ = 90° και η ΕΖ l. ΑΜ.

'ί\λιπες Αοκιίοεις

'ί\οκnοn 4n � �

� Έστω ένα τετράπλευρο ΑΒΓΔ με Α = Β = 60° και Δ = 90°. Να δείξετε ότι ΑΒ = ΒΓ = 2 · ΑΔ. (Υπόδει� ξη : να προεκτείνετε τις ΑΒ και ΔΓ ως το σημείο το­μής τους).

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κη. τ. 1/22

Σε τρίγωνο ΑΒΓ ίσχύει Β = 2Γ. Από το μέσο Μ της ΑΓ φέρνουμε την παράλληλη προς την διχοτόμο ΒΔ της γωνίας Β. Η παράλληλη αυτή τέμνει την ΒΓ στο Ν. Να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο ΑΝΓ είναι ορθογώ-. .

νιο.

Ασκaσa 6a

Οι γωνίες Β και Δ τετραηλεύρου ΑΒΓΔ είναι ορθές. Αν Κ και Λ είναι τα μέσα των διαγωνίων ΒΔ και ΑΓ, να δείξετε ότι ΚΛ .l ΒΔ.

Παραλλιιλόyραppα

Ασκaσa 7a

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΒΓ = 2 · ΑΒ, η διάμε­σός του ΑΜ και. η διάμεσος ΑΝ του τριγώνου ΑΒΜ. Να δείξετε ότι η ΑΜ είναι διχοτ6μος της γω­νίας ΓΑΝ.

Α

8 Γ

Λ.Sσa Φέρνου� τμήJ:!α ΜΛ // ΑΓ. Το Λ θα είναι το μέσο

της ΑΒ καιΑ2 = Μ2 (1 ) Επειδή ΑΒ = ΒΜ = ΜΓ το τρίγωνο ΑΒΜ είναι ισο-

2Κε?ιέ� οι διάμεσοι ΑΝ και ΜΛ είναι ίσες και Αι = Μ2 (2)

�

Από (1) , (2) Αι = Α2 Άρa η ΑΜ είναι διχοτόμος της γωνίας ΓΑΝ.

Ασκaσa 8a

Έστω ένα τρίγωνο ΑΒΓ. Εξω απ' αυτό κατασκευά­zουμε τα ισόηλευρα τρίγωνα ΑΒΔ, ΑΓΕ και στο ημιε­πίπεδο (ΒΓ,Α) επίσης ισόπλευρο τρίγωνο ΒΓΖ. Να δείξετε ότι τα σημεία Α,Δ,Ζ,Ε, αν δεν είναι συνευθει­ακά είναι κορυφές παραλλη?ιογράμμου.

Λ.Sσa Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΒΖ είναι ίσα (γιατί;) Άρα ΔΖ = ΑΓ

I I I ι I

Α�----�----��Γ z� - - - - - - -: ι

αλλά ΑΓ = ΑΕ οπότε ΔΖ = ΑΕ

Ι ι ι ' I I ι ι I /

\ / \ ι ' Ι ι \ I I \ I /

\ι,' Ε

,

Όμοια τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΕΖΓ είναι ίσα και ΑΔ = ΑΒ = ΖΕ

Άρα το ΑΔΖΕ ε(ναι παραλληλόγραμμο γιατί οι απέ­ναντι ηλευρές του εfναι ίσες.

Ασκaσa 9a

Έστω ένα παραλληΜγραμμο ΑΒΓΔ. Κατασκευά­zουμε τετράγωνο ΑΒΕΖ στο ημιεπίπεδο (ΑΒ,Γ) Ι{αι τε­τράγωνο ΒΓΗΘ στο ημιεπίπεδο (ΒΓ,Α) . Να δείξετε ότι :

α. ΕΘ = ΔΒ και 6. ΕΘ .l ΔΒ.

.z: - · · · - - · · - · - - - - - - · - - - - Ε

Λσσα α. · Τα τρ(γωνα ΒΓ Δ και ΘΒΕ είναι ίσα γιατί :

1. ΘB = ffi 2. ΒΕ = ΓΔ

� . �

3. �ΒΕ = Γ (γιατί ΘΒΕ� = 9_Q0 + ffiE = 90° + . 90° - Β = = 180° - Β = Γ)

Άρα ΘΕ = ΒΔ

6. fiν οι ΒΔ�και ΕΘ τέμνονται στο Ο : ΟΒΕ '+ ΟΕΒ =

= ΟΒΓ + ffiE + ΒΔΓ =

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κn. τ. 1/23

--------------- Α ' Αιικείοιι - rεωpετpία --------,-----------

= ΟΒΓ + J0° - Β + _βΔΓ = = ιsο· - Γ + 90° - Β = = 270° - (Β + Γ) = = 270° - 180° = = 90°

Άρα ΕΘ .l ΔΒ

Τροnέzιο

Ασκnσn 14n

Στην πλευρά ΑΒ παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ παίρ­νουμε τυχαίο σημείο Ε και κατόπιν σης ΑΔ και ΒΓ παίρνουμε αντίστοιχα σημεία Ζ και Η τέτοια ώστε να

Ασκnσn 10n είναι ΑΖ = fιΕ και ΒΗ = ΒΕ. Αν Μ το μέσο της ΖΗ, δείξrε ότι ΑΜΒ = 90°.

Έστω ένα ορθογώνιο ΑΒΓΔ. Φέρνουμε τμήμα ΒΕ Β κάθετο στην διαγώνιο ΑΓ. Αν η διχοτόμος της γωνίας ΔΒΕ τέμνει mν πλευρά Γ Δ στοΖ, να δείξετε ότι ΓΒ = ΓΖ.

Λvσn Αν ΔΒz = ΖΒΕ = ω

� �

Ζ = Δι + ω = Αι + ω = Βι + ω = ΖΒΓ Δ

Άρα το ΓΖΒ είναι ισοσκελές και ΓΒ = ΓΖ

1\λwες Ασκιίσεις

Ασκnσn 1 1n

Σε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ, αν Ε είναι το μέσο της ΑΒ και Ζ το μέσο της ΓΔ και φέρουμε τα τμήματα ΕΓ, ΕΔ, ΖΑ, ΖΒ, να αποδείξετε ότι αυτά τεμνόμενα σχηματίzουν παραλληλόγραμμο.

Ασκnσn 12n

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΔ διχοτόμος του.Από το Δ φέρνουμε παράλληλη της ΑΒ που τέμνει την ΑΓ στο Ε και από το Ε παράλληλη της ΒΓ που τέμνει την ΑΒ στο Ζ. Δείξrε ότι ΑΕ = ΒΖ.

Ασκnσn 13n

Από την κορυφή Δ τετραπλεύρου ΑΒΓΔ φέρνουμε στο ημιεπίπεδο (ΑΔ,Β) τμήμα ΔΕ =// ΑΒ. Αν Μ και Ν είναι τα μέσα των διαγωνίων ΒΔ και ΑΓ, να δείξετε ότι ΕΓ = 11 2 · ΜΝ.

z

Λvσn Αν Ν είναι το μέσο της ΑΒ, στο τραπέzιο ΑΒΗΖ η

διάμεσός του

ΜΝ = ΑΖ + ΒΗ = ΑΕ + ΕΒ = ΑΒ 2 2 2

Έχουμε ότι στο τρίγωνο ΑΜΒ η διάμεσος ΜΝ ισούται με το μισό της πλευράς ΑΒ.

Άρα το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ΑΜΒ = 90°.

Ασκnσn 15n

Έστω ένα τραπέzιο ΑΒΓΔ (ΑΒ /I ΔΓ). Η διχοτόμος της γωνίας του Β τέμνει την διάμεσό του ΕΖ στο Η. Να δείξετε ότι η ΓΗ είναι διχοτόμος της γωνίας Γ.

Λvσn �ι = �2 Βι = �Η2

Δ

Α Β

Άρα Β2 = Η2 και ΗΖ = ΒΖ Δ Αλλά _βΖ = �Γ και το ΗΖΓ ισο_pκελέ):

Γ

� Άρq__ Η ι = Γ ι και επειδή Η ι = Γ 2 παίρνουμε Γι = Γ2

Επομένως η ΓΗ είναι η διχοτόμος της γωνίας Γ.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κη. τ. 1/24

ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΤΑΚΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ riA ΤΟ .1\ΥΚΕΙΟ ΗΛΙΑΣ ΝτzΙΩΡΑΣ

r .ιιwιuοv • .. τ11ΟΥ:ιιn· t' tA 1'*1 it.llfi ιιt & :t .�, • • • • a

Μαθηματικά - Ανάλυση Γ Λυκείου - Δέσμες Α', ΒΌ Δ'

1 i) , G-Ι l Α •

ΓΙΩΡΓΟΣ ΣΚΑΝΔΑΛΗΣ

Μαθηματικά Α' Λυκείου Μαθηματικά Β' Λυκείου

ΑΝΑΛΥΣΗ �

Ανάλυση Γ' Λυκείου

. � , �� ' c � ; t ΙΗΣ ΑΙΜΙΛΙΟΣ ΠΟΥ ΛΦΑΝΙΔΗΣ

Γ ! Ύι:Γ(Π J Ο Τ fi !

ΘΕIΑΤΑ ΑΙΙΑΑΠΗΣ Γ AVUiόY • 11t ΜεΡΟΣ t ι �ι, �τ'kΗ • &:ι;:: ιι Jt;

...._ ______ ___.

Μαθηματικά Α' Λυκείου

Θtματα Ανάλυσης Γ' Λυκείου

ΓΙΑ 1ΉΝ Α .(Ι!;ΣΜΗ __ .... .,_ 160 Μ-Ιί'Ιt4ά:ηctις 1$0 u.Wr«; OQiιrt�

Ακολουθίες για την Α' Δtσμη

• Όριο συνάρτησης,

• Συνtχεια συνάρτησης,

• Ακολουθίες

• Πίνακες

• Ορίζουσες

• Γραμμικά

-... m"Ί'i\"'\:r:ι. ... �-=:r::.ϊ'Ι'""t'Ξ� ... f?,.\7.τ;ι:ιγ; ' �( ;:ϊ�nl ,-�

συστήματα ...._ ______ ___.

Α Ι Ιλ i �. :ΟΙ "' ί 0 Υ Λ :ι -.� 1 )-j l

n :r .a

Ολοκληρώματα Παράγωγοι

Κεvτρnαί διάθεσn: Σ. Πατάκης Α.Ε. Εμμ. Μπενάκη 16, 106 78 Αθήνα. Τηλ.: 36.31 .078, Fax: 36.28.950

--------------- Α ' Λιικείοιι - Ι'εωpετρία ---------,----------

Αοιιnσn 16n Αλuiες Ασιιόσεις

Σε τραπέzιο ΑΒΓΔ με βάσεις ΑΒ και ΔΓ έχουμε ΑΔ = ΑΒ + ΔΓ. Να αποδείξετε ότι οι δοχοτόμοι τωv γω- Ασιιnσn 18n vιώv Α και Δ tέμvοvται στηv ΒΓ.

' ' ' ' ' ' ' ' ' 4�-------L _ _ _ _ _ _ _ !l':... Γ Ζ

Λ.Son Av ΑΕ είvαι η διχοτόμος της γωvίας Α και τέμvει

τηv ΔΓ στο Ζ, θα έχουμε : Αι = Α2 Αι =Jι """ Άρα Α2 = Ζι και το ΑΔΖ ισοσκελές ΑΔ = ΔΖ = ΔΓ + ΓΖ αλλά ΑΔ = ΑΒ + ΔΓ Άρα ΓΖ = ΑΒ.

Τ α τρίγωvα ΑΒΕ και ΖΓΕ είvαι ίσα και ΑΕ = ΕΖ. Στο ισοσκελές τρίγωvο ΔΑΖ η ΔΕ είvαι διάμεσος,

άρα και διχοτόμος.

Ασιιnσn 17n

Έστω έvα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΔΓ = 2 · ΑΔ και Μ το μέσο της ι_fιευράς του�- Φέρvουμε ΑΚ .l ΒΓ. Να δείξετε ότι : ΚΜΔ = 3 · ΜΚΓ.

Λ.Sσn Av Ν είvαι το μέσο του ΑΚ η ΜΝ θα είvαι η διάμε­

σος του τραπεzίου ΑΚΓΔ και ΝΜ 11 ΚΓ. Επειδή ΑΚ .l ΒΓ και ΝΜ 11 ΚΓ έχουμε ΝΜ .l ΑΚ. Άe_α η l'!_M είvαι η μεσοκάθετος του ΑΚ, ΑΜ = ΜΚ

και Μ2 = Μι. � = pΜ και Α2 = Μ3 Α2 = Μ� � � �

Τελικά �ι = Μ2 = �Μ3 και επειδή ΜΚΓ = Μι παίρ-vουμε ΜΚΔ = 3 · ΜΚΓ

Έστω έvα τραπέzιο ΑΒΓ Δ (ΑΒ I I Γ Δ) με ΔΓ = 2 ·

ΑΒ και Κ,Λ τα μέσα τωv διαγωvίωv του ΒΔ και ΑΓ αντίστοιχα. Οι πλευρές ΔΑ και ΓΒ προεκτειvόμεvες τέμvοvται στο Ο. Av Μ,Ν είvαι τα μέσα τωv ΟΑ και ΟΒ αντίστοιχα vα δείξετε ότι το ΜΝΛΚ είvαι παραλ­ληλόγραμμο.

Ασιιnσn 19n

Θεωρούμε έvα τραπέzιο ΑΒΓ Δ (ΑΒ I I Γ Δ) με ΔΓ = ΑΒ + ΒΔ. Av f'1 είvαι το μέσο της διαγωvίου του ΑΓ vα δείξετε ότι ΒΜΔ = 90° .

Ασιιnσn 20n

Να δείξετε ότι τα μέσα τωv βάσεωv και τωv διαγω­vίωv ισοσκελούς τραπεzίου είvαι κορυφές ρόμβου.

ΚΥΚΛΟΦΟΦΟΡΗΣΕ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑτΙΚΟ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ

θΕΑΙΤΗΤΟΣ (Τε.Sχος 4 - 5)

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Μ. r. ΜΑΡΑrΚΑΚΗΣ

Καθηγητής τ.ε.Ι. Ηρακλείου

Τ ο περιοδικό "Θεαίτητος" απευθύνεται σ' εκείvους που έχουν αυξημένα μαθηματικά ενδιαφέροντα και επιθυμούν να επιβεβαιώσουν τις μαθηματικές τους γνώσεις και να διευρύνουv το μαθηματικό τους ορίzοvτα. Απευθύνεται, ακόμη, στους μαθητές εκείvους που επιθυμούν να εμβαθύνουν περισσότερο στα Μα­θηματικά είτε για vα συμπληρώσουν ης γνώσεις τους είτε για να αντιμετωπίσουν με επιτυχία σοβα­ρές εξετάσεις και δύσκολους διαγωνισμούς είτε απλώς και μόνο για ευχαρίστησή τους πνευματική.

ΕΚΔΟΣΕΙΣ: J.E.J. ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ

ΚΕΝfΡΙΚΗ ΔΙΑΘΕΣΗ: ΤΕΙ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ

Σταυρωμένος - 71 500 Τ αχ. Θυρίδα 140,

Τηλ.: (081) 254 103 (εσωτ. 222)

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κη. τ. 1126

'

Τ ριyωνομετρία Β ' Λ"κέίοι;

Ασκιiσεις

Ασκnσn ln

Αν κ · ημχ + λ · συvy = α (1) κ · συvχ -λ nμy = β (2)

όπου κ · λ ;ο! Ο και χ, y Ε R να δειχθεί ότι :

Αοόδειξn

I Q2 + Β2- κ2 -fι2 1 s 2 κ · λ

(1 ) : Υψώνουμε στο τετράγωνο κ2 · ημ2χ + λ2 · συify + 2κ · λ · ημχ συvy = α2

(2) : Υψώνουμε στο τετράγωνο κ2 · σuifx + λ2 · ημ2 y - 2κ · λ · nμy · συvχ = β2

Προσθέτοντας κατά μέλη διαδοΧΙΚά έχουμε: κ2 + λ2 + 2κ · λ (ημχ · συvy - nμy · συvχ) = = α2 + β2 2 · κ · λ · ημ (χ - y) = α2 + β2 - κ2 - λ2

nμ (x-y) = Q2 + B2-κ2 -ft2 2κλ

Όμως i nμ (x-y) i s 1

Άρα I Q2 +β2 - κ2 -ft2 1 s 1 ή I Q2 +B2- κ2-ft2 1 s 2 2 · κ · λ κ · λ

Ασκnσn 2n

Δίνεται αμβλυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α > 90°) . ΓΗ ύψος και ΒΔ διχοτόμος mς Β, η οποία τέμνει τn ΓΗ στο Δ. i) Αν Β = 60° να δείχθει ότι ΓΔ = ΒΓ · εφfi

2 ii) Να υπολογιστεί η rΔΒ αν ΓΗ = 3_

ΓΔ 2 Γ

Β

. Αρβαvιτάκnς Πavαyιώτaς

Αοόδειξn i) Αηό το σχήμα:

ΓΔ = ΓΗ - ΔΗ = ΒΓ · ημΒ - ΒΗ · εφ fi

2 = ΒΓ · ημΒ - ΒΓ · συνΒ εφ fi

2

= ΒΓ(ημΒ- αιvΒ· εφ�) = ΒΓr 2 εφ� (1 - εqf�) · εφ� ]

l + εqf fi 1 + εqf fi 2 2

= ΒΓ· εφfir 2- 1 + εqf�J 2 1 + εqffi 2

Άρα ΓΔ = ΒΓ · εφfi 2

ii) ΡφσJ ΓΗ = 3_ <=> ΒΓ · ημΒ = 3_ ΓΔ 2 ΒΓ· εφfi 2

Τάε Β = � 3

2 2 · nμfi · αιv fi

2 2 = 3_ nμfi 2

_2_ συvfi

2 <=> � fi = 3_

2 4 αιv Β + 1 3 <=> = -

2 4 <=> αιv Β + 1 = 3_

2

, ,..._ π π , "' 2π Άρα ΓΔΒ = -'- + - η ΓΔΒ = -2 6 3

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κη. τ. 1/27

Β ' Λ"κείο" - Τριyωvοpετρία

1\σκnσn 3n

Αν β - α = γ - β = π/4, να δειχθεί ότι: 4 · εφβ εφα + εφγ = ----=---1 -εφ2β

Αοόδειξn

'Εχοο β π ' β π με -α = - η α = --4 4

οπόrε εφα = εφ( β-�)

εφβ-εφ� εφα = ___ 4_.__

1 + εφβ · εφ� 4

εφα = εφβ-1 (1) 1 + εφβ

'Εχοο β π ' β π με ν- = - η ν = + -

4 4 σuvεπώς εφγ= εφ(β + �)

εφβ + εφ� εφγ = ___ __,4'---

1 -εφβ · εφ� 4

εφγ = εφβ + 1 (2) 1 -εφβ

Προσθέτοντας τις (1 ) , (2) κατά μέλη. εφβ- 1 εφβ + 1 εφα + εφv = + ---=----1 + εφβ 1-εφβ

= εφβ-εφ2β - 1 + εφβ + εφ2β + 1 + 2εφβ ( 1 + εφβ) (1 -εφβ)

4 · εφβ - ---

1 -εφ2β

1\σκnσn 4n

Να λυθεί η εξίσωση (2σuvx - 1) (2σuν 2χ - 1) (2σuν 4χ - 1 ) . . . . . . (2σuν2v - 1 χ - 1) = 1 ( 1 ) , ν Ε Ν.

Αοόδειξn Διαδοχικά έχουμε :

(2σuvx - 1) (2σuν 2χ - 1) (2σuν 4χ - 1 ) . . . . . . (2σuν 2v - 1 χ- 1) = 1 (2σuvx + 1 ) (2σuvx - 1 ) (2σuν 2χ - 1) (2σuν 4χ - 1)

. . . (2σuν 2v- 1 χ - 1) = 2σuvx + 1 (4σuv2x- 1) · (2σuν 2χ- 1) · (2σuν 4χ - 1) . . . . . . (2σuν 2v - 1 χ - 1) = 2σuvx + 1 [2 (συν 2χ + 1) - 1 ] (2σuν 2χ - 1 ) (2σuν 4χ - 1) . . . . . . (2σuν 2v - 1 χ - 1) = 2σuvx + 1 (2σuν 2χ + 1) (2σuν 2χ - 1) (2σuν 4χ - 1) · . . . . . . (2σuν 2v- 1 χ - 1) = 2σuvx + 1 [4σuif 2χ - 1] · (2σuν 4χ - 1) . . . . . . (2συν 2 v- 1 χ - 1) = 2σuvx + 1 [2(σuν 4χ + 1 ) - 1] · (2σuν 4χ - 1) · (2σuν 2v- 1 χ - 1) = 2σuvx + 1 (2σuν 4χ + 1) · (2σuν 4χ - 1) · (2σuν 2v - 1 χ - 1) = 2σuvx + 1 . . . όμοια . . . (2σuν 2v - 1 χ + 1 ) · (2σuν 2v - 1 χ- 1 ) = 2σuvx + 1 4σuif 2v - 1 χ - 1 = 2σuvx + 1 2 (συν 2v χ + 1) - 1 = 2σuvx + 1 2συν 2v χ + 1 = 2σuvx + 1 συν 2v χ = σuvx

Αρα : 2v χ = 2 κπ + χ � 2v χ - χ = 2κπ � � χ (2v - 1) = 2κπ � χ= 2κπ όταν ν ;ι! Ο (κ Ε Ζ)

2V - 1 Αν ν = Ο τότε η (1 ) γίνεται :

2σuvx - 1 = 1 � σuvx = 1 � χ = 2λπ (λ Ε Ζ) ή 2v Χ = 2 ΚΠ- Χ � 2v Χ + Χ = 2 ΚΠ � Χ (2v + 1) = 2 ΚΠ

2κπ �χ= --(κΕΖ) 2V + 1

(Προφανώς 2v + 1 ;ι! Ο)

1\σκnσn Sn

Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει συν2 2Α + συν2 28 + σuv2 2Γ = 1 ( 1 ) τότε να δειχθεί ότι:

Αοόδειξn .Δ ΑΒΓ :Α + Β + Γ = π � 2Α + 28 + 2Γ = 2π �

2Α + 28 = 2π - 2Γ οπότε διαδοχικά έχουμε σuν(2Α + 28) = συν (2π - 2Γ) συν 2Α · συν 28 - η μ 2Α · η μ 28 = συν 2Γ συν 2Α · συν 28- συν 2Γ = πμ 2Α · πμ 28 σuif 2Α · σuif 28 + σuv2 2Γ- 2συν2Α · συν 28 · συν 2Γ = nμ2 2Α · nμ2 2Β σuif 2Α · σuif 28 + σuif 2Γ-2σuv 2Α · σuv 28 · σuv 2Γ = = (1 - σuv2 2Α) (1 -σuv2 28) σuif 2Α · σuif 28 + � 2Γ -2ouv 2Α · ouv 28 · συv 2Γ = 1 - σuv2 2Α-σuv2 28 + σuif 2Α · σuif 28 σuif 2Α + σuv2 28 + σuif 2Γ = = 2συν 2Α · συν 28 · συν 2Γ + 1 ( 1 )

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κη. τ. 1/28

Β ' Λ"κείον - Τριyωνοpετρία

1 = 2συν 2Α · συν 28 · συν 2Γ + 1 συν 2Α · συν 28 · συν 2Γ = Ο

π Αρα : συν 2Α = 0 � 2Α = κπ + � 2

� Α = κπ + � (κΕ Ζ) 2 4

Αλλά Ο < Α < π οπότε

Ο < κπ + � < π 2 4

π κπ π -- < - < π--4 2 4 π κπ 3π -- < - < -4 2 4

-1 < κ < 3. 2 2

Άρα κ = Ο ή κ = 1 Όμως κ Ε Ζ

Για κ = Ο: Α = � ή Α-� = 0 4 4 3π , 3π Για κ = 1: Α = - n Α-- = 0 4 4

Ομοια : π 3π Αν συν 28 = 0 τότε 8-- = 0, 8-- = 0

4 4 π 3π και αν συν 2Γ = Ο τότε Γ-- = Ο, Γ-- = Ο

Αρα :

�Αοιuισa 6a

4 4

ί. Να δείξετε ότι σε τυχαίο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει συν Δ = β + ν

· δα όπου δα n διχοτόμος της Α 2 2 βν

ίί. Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει Α = 30° και β = 1 ν 3

να δειχθεί ότι δα = 1_ . ψ ν 2 + "{3 7

Αοόδειξa ί. Είναι: (ΑΒΓ) = (ΑΒΔ) + (ΑΔΓ) οπότε διαδοχικά

έχουμε:

1 . β · ψ nμΑ = l β · δ0 nμΔ + lψ δ0 • nμΔ 2 2 2 2 2 β · ψ nμΑ = δ0 (β + γ) nμΔ

2

2βψ nμΔ · σuvΔ = δα (β + ν) . nμΔ 2 2 2

σuvΔ = β + ν . δα 2 2βγ

Α

ίί. Από το (i) έχουμε :

δα = 2βγ · συν Δ (1) β + γ 2

Όμως β = 1γ κω 3

σuvΔ = σuv 150 = Λ I σuv 30 + 1 =ν "{3 + 2 2 . ν 2 4

δηλ σuvΔ = Υ2 + U 2 2

Αρα n (1 ) γίνεται : s .;

δa = 3 . Y2 + U ή Iv 2 3

δ0 = 1vY2 + U 7

Α

Ασκaσa 7a

Αν α > β > Ο να δειχθεί ότι υπάρχει Θ Ε (0, n/2) ώστε :

+ g+ β - 2 - - - -

α-β nμθ

Ααόδειξa

λ � + Α Γα+Β = Ύ � Ύ � ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κn. τ. 1/29

Β · Λσιιεiο" - Τριyωvοpετρία

β 1 -- 1 + � α + α (1) =

1 + � β 1 --α α

Αφού α>β>Ο τότε 1 > β/α > Ο Άρα υπάρχει μοναδικό Θ Ε (O,n/2) ώστε συνΘ =

β/α Τότε η (1 ) γίνεται :

{§f + g =

= Λ / 1-ωvθ + Λ / 1 + ωvθ = Ύ 1 + ωvθ Ύ 1 -ωvθ

= 2nμ2�

_ ___.2._ + 2σw2 �

2 θ θ nμ- συν-

= _2_ + __ 2 (2) θ θ συν- nμ-2 2

2ημ2� 2

Όμως Θ Ε (0, ΓΙ/2) άρα Θ/2 Ε (0, Π/4) Τότε ημΘ/2 > Ο και συν Θ/2 > Ο Αρα η (2) γίνεται :

θ θ Λ � + Λ (0+6 =

nμ2 + συν

2 = Ύ � Ύ � θ θ

=

συν- nμ-2 2

Β ' Τρόαος

Γνωρίzουμε ότι:

Λ � + Λ (Ο+62!:2 ·v � ·v � (Άθροισμα θετικών αντιστρόφων)

Τ6ι:ε Ο < 2 s 1 Λ � + Λ (Ο+β ·v � ·v �

τ ο "=" θα ίσχυε αν α- β = 1 .;::;. α - β = α + β <=> 2β = Ο <=> β = Ο α + β

Αδύνατο λ6γω περιορισμού

Άρα Ο < 2 < 1 {§f + g

Επομένως υπάρχει Θ Ε (0, n/2) ώστε :

nμθ = 2 Λ � + Λ (Ο+β ·v � ·v �

Λ � + Λ (Ο+β _ 2 .;::;. ·v � ·ν � - ημθ

Ασκnσn 8n

Να ελεγχθεί αν μπορεί να υπάρξει τρίγωνο ΑΒΓ έτσι ώστε να ισχύει συν Α + συν Β - συν Γ = - 1

Ααόδειξn συνΑ + συνΒ-συν Γ = = 2συνΑ+ Β · συνΑ-Β - συν Γ

2 2 = 2συν(�-�)συνΑ;Β -συν Γ

Γ Α-Β . 2 Γ = 2ημ� · συν --- 1 + 2ημ -2 2 2

= - 1 + 2 nμ�(συνΑ-Β + συν Α + Β) 2 2 2 = - 1 + 2 nμ� · 2ουνΗ · συν Δ

2 2 2 = - 1 + 4nμ� · συν Η · συν Δ

2 2 2 Άρα για να ισχύει συν Α + συν Β-συν Γ = - 1 πρέπει

Δηλαδή :

nμ� · συν Η · συν Δ = Ο 2 2 2

� = 0 ή � = ποοόι:εΓ = Ο ή Γ = 2π (Άτοοο) ή 2 2 Η. = � <=> Β = π (Άτοοο) ή 2 2 .

Δ = � .;::;. Α = π (Άτοοο) 2 2

Άρα δεν μπορεί να υπάρξει τέτοιο τρίγωνο.

Ασιυισn 9

Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει συν 2Α - συν Α + 1 = συν (Β - Γ) + συν 2Β + συν 2Γ να υπολογιστεί η γωνία Α

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κο. τ. 1/30

Β ' Λοκείοο - Τριyωvοpειρία

Αο6δειξn Διαδοχικά έχουμε :

συν 2Α- συν Α + 1 = συν (Β - Γ) + συν 2Β + συν 2Γ 1 + συν 2Α - συν 2Β - συν 2Γ = συν (Β - Γ) + συν Α 1 -συν 2Β + 1 - συν 2Γ - 1 + συν 2Α = = συν (Β - Γ) - συν (Β + Γ) 2nμ2 Β + 2 nμ2 Γ - 2nμ2 Α =

2 Β + Γ- Β + Γ Β + Γ + Β- Γ = πμ · nμ ----

2 2 nμ2 Β + nμ2 Γ - nμ2 Α = nμ Β · η μ Γ ημ2 Β + πμ (Γ + Α) · πμ (Γ - Α) = πμ Β · πμ Γ ημ2 Β +πμ Β · πμ (Γ - Α ) = πμ Β · πμ Γ πμ Β + πμ (Γ - Α) = η μ Γ nμ (Γ +Α) + πμ (Γ - Α) = πμ Γ

= 2ημΓ + Α + Γ -Α . συν Γ + Α- Γ + Α = ημΓ 2 2

2ημ Γ · συν Α = πμ Γ αλλά (ημΓ ;ι! Ο) οπότε συν Α = 1/2 Αρα : Α = π/3

Acnιnon lOn

Αν ν · χ E(O,n/2) για κάθε ν Ε Ν να αποδείξετε ότι: ί. εφ (1995 χ) - εφ (1994 χ) � εφχ ίί. εφ( 1995 χ) � 1995 · εφ χ

Αο6δειξn ί. Θέλουμε

εφ (1995 χ) - εφ (1994 χ) � εφχ

� πμ [(1995χ) - (1994χ)] :<!!: ημχ συν 1995 χ · συν 1994 χ συvχ

� ημχ :<!!: ημχ συν 1995 χ · συν 1994 χ συvχ � συν1995 χ · συν 1994 χ :s; συvχ � συν (1995 χ - 1994 χ) + συν (1995 χ + 1994 χ)

:s; 2 συvχ � συvχ + συν (3989 χ) :s; 2συvχ � συν (3989 χ) :s; συvχ

Το <;>ποίο ισχύει διότι από περιορισμό : n/2 > 3989 χ � χ > ο

ίί. Με όμοιο τρόπο αποδεικνύονται : εφ (1994 χ) - εφ (1993 χ) � εφχ εφ (1993 χ) - εφ (1992 χ) � εφχ εφ (1992 χ) - εφ (1991 χ) � εφχ

εφ 2χ - εφχ � εφχ ενώ ισχύει : εφ ( 1995 χ) - εφ ( 1994 χ) � εφ χ

Προσθέτοντας κατά μέλη παίρνουμε : εφ (1995 χ) - εφχ � 1994 εφχ ή εφ (1995 χ) � 1995 εφχ

Ασκnσn l ln

Να αποδείξετε ότι για κάθε χ Ε R υπάρχει

θ Ε (-�' �) ώσrε 1 + κ3 = Γ2 · _ημ-'('-'-�-+-θ

-'-)

2 2 συνθ

Αο6δειξn Για κάθε χ Ε R και χ3 Ε R

Άρα υπάρχει: Θ Ε (-�' �) μοναδικό ώσrε χ3 = εφθ

Τότε: 1 + χ3 = 1 + εφθ =

= 1 + ημθ = συνθ + ημθ (1) συvθ συνθ

Όμως συνθ + ημθ = p · πμ (Θ + φ) (2) με p = Γ2 και φ = n/4

Από (1 ) και (2) προκύmει

Γ2 . ημ (θ + �) 1 + Χ3 = 4

συν θ

Acnιnon 12n

χ χ χ χ Ανημ (ημ - ) · σνν (σνν - )-ημ (σνν - ) · σνν(ημ- ) = 0, 2 2 2 2

να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς του χ.

Αοόδειξn

χ . χ χ χ πμ (πμ - ) · σνν (συV - ) -ημ (συν - ) · συν (πμ - ) = Ο 2 2 2 2 χ χ ημ (πμ - - συν - ) = Ο 2 2

πμ � - συν � = 2κπ ή πμ � - συν � = 2κπ + π 2 2 2 2

(1 ) (κ Ε Ζ) (2)

Ομως πμ � - συν � = Γ2 · πμ (χ - � ) 2 2 4

Αρα - Γ2 :s; η μ � - συν � :s; •f2 '"' 2 2 Υ :ι::

(κ Ε Ζ)

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κη. τ. 1/31

Β ' Λ.ικείο.ι - Τριyωvομετρία

Από την (1) : - f2 :5 2κπ :5 f2 ή

- f2 s κ s f2 άρα κ = Ο yιαrί κ Ε Ζ 2π 2π

, χ χ χ χ τ οτε : η μ - - συν - = ο $;> η μ - = συν - $;> εφ 2 2 2 2

χ χ - = 1 (συν - ;ι! 0) 2 2

2 εφ� Έτσι: ημχ = 2 $> ημχ = 1 και

1 + εqf � 2

1 - EQf � συvχ = __ ___,2,_ $;> συνχ = Ο

1 + EQf � 2

Απότη (2): - f2- s2κπ + πs f2 $> - Γ2- π Γ2- π , , $;> - s κ s -- ομως πρεπει κ Ε Ζ

2π 2π οπότε δεν υπάρχει κΕΖ ώστε να ικανοποιείται ο πε­ριορισμός.

Τελικά οι μόνες αποδεκτές τιμές είναι : ημχ = 1 , συνχ = Ο, σφχ = Ο

ΙtιιιιΑιιφι,ftιε

Μαντό ς Γιώργος

Γιαννόκος Παναγιώτης

f----- Αθήνα ----

και περιέχει: Μεθοδολοyία δοκιμασμέvιι και επιβεβαιωμέvιι σι:οv nivaκa 308 λuμέvες ασκιίσεις όοως ακριβιός οαροuσιάσι:οκαv σι:οv aiθouσa διδασκαλiας

• Ανάλυση 1 ης Δέσμης 1 ος Τόμος

Υπό Έ κδοση • Ανάλυση 1 ης Δέσμης

2ος Τόμος

• Ανάλυση 1 ης Δέσμης 3ος Τόμος

Δέσμ η • Άλγεβρα

,.,r' τrιοτε μας . .

λλάδ•

·.·α·····.···.·.··.···.·· .. · .. · .. · .

. · . . ·.··.·.l τα φu • Ανάλυση Α' Τόμος ύοεω" τω" λ

. : • Ανάλυση Α' Τόμος .r . ,

"* !iE Ψ·ι Πλήρεις ο δη -ιοί τη σωστή προετοιμασία

κάθε υποψηφ;{iι·Ό·υ-.. .,.... • Θέματα Μαθηματικών 1 ης και 4ης Δέσμης

Κα ι : • Άλγεβρα Α' Λυκείού

• Γεωμετρία ιs.ι. Λύκείου

• ΆλγεβραιΒ'ΓΛυκείού

Κα ι: :1<• Μαθημαη�ά. /1.' Γuμνασίου

• Μαθημαηκά Β! Γυμνασίο.υ

• Μ.αθηματικά Γ' Γυμναpίqμ

Για καθηγητές έκπτωση 35% � Γιάννη ς Ηλιόπουλος, Μπάλογλου 5 � ιιιι"""(546 29) Θεσσαλονίκη , Τηλ. 524.987, fax: 254.426�

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κη. τ. 1/32

Ανισοταvτότnτες σε τρίyωνα

Βασικό ορόβλομα:

Αν α,β,γ,δ, Ε [0, π) τότε να δειχθεί :

I) ημα · ημβ :5 ημ2 (α; β) 11) ημα ημβ ημγ ημδ :5 ημ4 (α + β: V + δ) iii) ημα ημβ ημγ :5 ημ3 (α +:+ ν)

Αοόδει�n

n nμβ συν (α- β) -ωv (α + β) 1 - ωv (α + β) � τηrο = � ---------

2 2 = ημ2 (α; β)

111) Η (11) ισχύει για οποιοδήποτε δ Ε [0, π] άρα και για

δ α + β + γ , (Π) , = ακ:ιι:ε η γιvεrαι: 3 (α + β + ν + α + β + ν)

η� 3 � 4

β (α + β + γ) , τηrο nμ nμγ nμ η 3

φι (α +:+ ν)� ημαημβ ημγημ{α +:+ ν) ή

-·.3 (α + β + γ) · β , (α + β + γ) 0 ι ιμ- -------=- � τηrο nμ nμγ, αφοu ημ �

3 3

Βασικό ορόβλnμα:

Αν α,β,γ,δ, Ε [0, π]. Τότε να δειχθεί ότι :

I) ημα + ημβ :5 2ημ (α ; β)

Παναyιώτnς Μvταρέλλnς

11) ημα + ημβ +ημγ + ημδ :5 4ημ (α + β: ν + δ) 111) ημα + ημβ + ημγ :5 3ημ (α +:+ ν)

Αοόδει�n

Ι) ημα + Ι ιμ� - • ·r< (�;β_) συν (α; β) :5

2ημ (α ; β) αφού η μ (α ; β) � Ο

Π) nμα + nμβ + nμγ + nμδ � 2 {ημ{α; β) + nμ{v; δ))�

2[�(Ψ;Ψ)� �(α + β:γ + δ)]

Θέτουμε πόλι όπου δ = α + β + γ Ε [0, π] οπότε

3

η (11) γίνεται ημα + ημβ + ημγ + ημ (α +:+ V) :5

(α + β + ν + α + β + ν) , nμ 3 η

4

ημα + ημβ + ημγ :5 3ημ (α +:+ ν) Με παρόμοιο συλλογισμό αποδεικνύεται όrι ισχύει

: 1 ) Av α,β,γ,δ Ε [ -�, �] τότε:

I) συνα συνβ :5 συv2 {α; β) (α + β + γ + δ) 11) συνα συvβ συvγ συνδ :5 συν4

4 και

ΙΙΙ)συνα συνβ συvγ :5 συv3 (α +:+ ν) 2. Av α,β,γ,δ Ε [-�, �] τότε :

2 2

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κη. τ. 1/33

Αvισοταvι:ότατες σε τρiyωvα

I . σuνα + σuνβ ::5 2σuν (α ; β) ΙΙ. σuνα + σuνβ + σuvy + σuνδ ::5

4 (α + β + γ + δ) συν και 4

(α + β + γ) ΠΙ. σuνα + σuνβ + σuvy ::5 3σuν 3

Και το ερώτημα που εύλογα πια τίθεται. Μήπως αυτές οι σχέσεις ισχύουν για οποιοδήποτε πλήθος γωνιών. Η απάντηση είναι ναι.

Δηλαδή : Αν χ1,χ2, . . . . . , Κv Ε [0, π] τότε ισχύουν : v (Xl + Χ2 + . . . + Xv ) Ι) ημχι . ημχz . . . . . . . . . ημΚv :::;; ημ ν

π) (χι + Χ2 + . . . + χv ) ημχι + ημχz + . . . . . . . +η� :::;; νημ ν

Πρόβλnpα lo

Να δειχθεί ότι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύουν :

n ημΑ + ημΒ + ημΓ s ili, 2

Π) ημΔ + ημΒ. + ημ� s 3_ 2 2 2 2

ΙΠ) ημΑ · ημΒ · ημΓs 3 v'3 8

lV) ημΔ · ημΒ. · ημ� s 1 2 2 2 8

Αnόδει�n

0 ημΑ + ημΒ + ημΓs3ημ(Α + �+ Γ) = 3? αφού Α + Β + Γ = Π

ΙΠ) ημΑ . ημΒ · ημΓ s 3ημ(Α + Β + Γ) = ili . 3 8

Πρόβλnμα 2ο

Σε κάθε κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓ Δ να δειχθεί:

Ο πμΔημ6.ημ� ημ�s 1 2 2 2 2 4

Π) ημΔ + ημΒ. + ημ� + ημ�s 2 Γ2 2 2 2 2

Αnόδει�n

Α Β Γ Δ 4 (Α + Β + Γ) Ο ημ-ημ-ημ-ημ-s ημ + Δ = 2 2 2 2 8

= ημ4 (�) =i αφού Α + Β + Γ + Δ = 2π

Α Β Γ Δ (Α + Β + Γ) Π} ημ- + ημ- + ημ- + ημ-s 4ημ + Δ = 2 2 2 2 8

= 4 πμ� = 2 Γ2 4

Πρόβλnμα 3ο

Να δειχθεί ότι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύουν :

0 αινΑ + αιvΒ + αιvΓ s 3_ 2

Π) ημ2Δ + ημ2 Β. + ημ2 �2: 3_ 2 2 2 4

Αnόδει�n

0 αιvΑ + αιvΒ + αιvΓ = 4ημΔημ6.ημ� + 1 s . 2 2 2 s � + 1 = 3_

8 2

ΙΙ. Χρησιμοποιώντας τον αποτετραγωνισμό έχουμε:

ημ2 Δ + ημ2 Β. + πμΖ� = 2 2 2

1 - αιvΑ 1 - αιv Β 1 - αιv Γ = . + + = 2 2 2

= 1[3- (αιv Α + αιv Β + αιv Γ] 2: 1(3-3_} = 3. 2 2 2 4

Πρόβλnμα 4ο

lV) ημ Δ . ημ Β. . ημ � s 3ημ (Α + Β + Γ) = 1 Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ να δειχθεί ότι ισχύει : 2 2 2 . 6 8 I) ημ2Α + ημ2Β + ημ2Γ :::;; 9/4

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κη. τ. 1/34

Αvισοταιιτότοτες σε τρίyωvα

Π) α2 + 62 + y'2 :::; 9 · R2 ΠΙ) αβ + βγ + γα :::; 9 · R2 IV) Αν ισχύει αβ+βγ+γα = 9R2 να δειχθεί όπ το

τρίγωνο είναι ισόπλευρο, όπου R η ακτίνα του περι­γεγραμένου κύκλου.

V) ημΑ ημΒ + ημΒ ημΓ + ημΓ ημΑ :::; 9/4

Αιιόδειξn I) Με απσrετραγωνισμό παίρνουμε : ημ2Α + ημ2Β + ημ2Γ =

} [3 - (συν2Α + συν2Β + συν2Γ)] =

} (3 + 1 + 4 συνΑ συνΒ συνΓ) =

= 2 + 2συνΑ συνΒ συνΓ :5 2 + 2συ� (Α +�+ Γ) =

= 2 + 2 συ� � = 2. 3 4

Π) Από νόμο ημιτόνων έχουμε : α2 + 62 + y'2 = 4R2 (ημ2Α + ημ2Β + ημ2Γ) :5

s4R2 · 2. = 9R2 4

111) Ισχύει αβ + βγ + αγ :5 α2 + 62 +γ2 οπότε από την (11) έχουμε: αβ +βγ +αγ :5 9 R2

IV) Αφού αβ + βγ + αγ = 9 R2 τότε και α2 + 62 + y'2 = = αβ + βγ + αγ δηλ. α = β = γ οπότε ΑΒΓ ισό­πλευρο.

IV) ημΑ ημΒ + ημΒ ημΓ + ημΓ ημΑ :::; :5 ημ2Α + ημ2Β + ημ2Γ :5 2.

4

Πρόβλnμα 5ο

Έστω ΑΒΓ τρίγωνο όπου Ε το εμβαδό του και R η ακτίνα του περιγεγραμένου κύκλου. Να δειχθεί όπ:

ι---- Αχιλλέα 6. Κvριάκοv -----1

Kvκiloφopovιι yια rnιι 4n Δέσμn yραμμέvα αnό rnιι apxιi κσι σι5μφωιια με ra νέα viln 1 993 - 1994:

1. ΑΛΓΕΒΡΑ • 2. ΑΝΜΥΣΗ τ.α. ' 3. ΑΝΜΥΣΗ τ.β. '

Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Ν Τ Α Ι

• Περιλnππκιi θεωρία με πολλές παρατnριiσεις και σχόλια.

• Αναλυπκιi μεθοδολογία.

• 420 Ερωπiσεις με ης απαvτιiσεις τους για τnν αφομοίω­

ση τnς θεωρίας.

• 3 . 000 ασκιiσεις (πρωτότυπες και μn) κάθε επιπέδου,

λυμένες και άλυτες.

• Υποδείξεις - αnαvτιiσεις όλων των άλυτων ασκιiσεων.

Εκδοτικός Όμιλος Σuvvραφέωv Καθnynτώv:

Σόλωνος 100, Αθόvα 106 80 • Τnλ. 36 46 125

Αχιλλέας Β. Κvριακο\J: Ασκλnnιο\J 28, 4 1 222 -

Λάρισα Τηλ.: (04 1) 259 530 - (0495) 3 1 125

Εnίσnς κuκλοφοροuν: Ι . Άλβεβρα lnς Δέσμης

2. Άλyβρα Α'Λuκείοu (2 τεuχο)

Σrοvς μαθnμαrικούς yfvετaι έκπτωσn 30% και δfvovraι δωρεάv οι ί1ύσεωv τωv ασκιiσεωv

Δ. Ντρίζος Ενότητες Ανάλυσης

./ Η παράγωγος ως ρυθμός μεrαβολής ./ Συνέπειες του θεωρ. μέσης

τιμής του διαφορικού λογισμού

./ Η συνάρτηση ολοκλήρωμα

./ Εφαρμογtς του θεμελιώδους θεωρ. του ολοκληρωηκού λογισμού

Πεpιέκει u6νο λυμένα Βέuατα Διάθεση: ΠJΑ. (0431} 22988

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κη. τ. 1/35

Αvισοταvτότστες σε τpίyωvα

I) Es 3 Γ3 R2 4

Il) α + β + γs 3 Γ3 R 2

Αοόδει�n

Q Ε = 1β · γ - ημΑ= 12RημΒ · 2Rημ · ΓημΑ= 2 2

= 2R2 ημA · nμB · nμΓs 2R2 3U = 3UR 8 4

Π) α + β + γ = 2R (ημΑ + ημΒ + ημΠ s 3 Γ3R

Πρόβλnμα 6ο

Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α = 60 να δειχθεί όη υΒ + Uγ s α ν'3

Αοόδει�n Α

Γ υ6 + υν = α hμΓ + α ημΒ = α (ημΓ + ημΒ) s

s2α ημ(Β; Γ) = 2αημ60= α Γ3

Πρόβλnμα 7ο

Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ να δειχθεί όη :

Q ρ = 4RημΔ · ημ� · ημ�

Il) 2p s R 2 2 2

όπου R,p οι ακτίνες του περιγεγραμένου και εγγε­γραμένου αντίστοιχα.

Αοόδει�n

Q ρ = Ε. = 2ε = 2 · 2R2 ημΑ ημΒ ημΓ = τ α + β + γ 2 R (ημΑ+ ημΒ + ημη

= 2RημΑ ημΒ ημΓ = Α Β Γ 4συν- συν- συν-2 2 2

2R · 8ημΔ συνΔ ημ� συν� ημ� συν� 2 2 2 2 2 2 =

Α Β Γ 4συν- συν- συν-2 2 2

= 4RημΔ ημ� ημ� 2 2 2

Il) ρ = 4RημΔ ημ� nμ�s4R1 = B. 2 2 2 8 2

οπόrε ρ s Β. ή 2ρ s R 2

Πρόβλnμα 8ο

Αν r,R οι ακτίνες του εγγεγραμένου και περιγεγρα­μένου κύκλου στο τρίγωνο ΑΒΓ να δειχθεί όη

ημΔ ημ� + ημ� ημ� + ημ� ημΔs5. + .2_ 2 2 2 2 2 2 8 4R

(Προτάθηκε από την Ισπανία στην 29 Δ.Μ.Ο.)

Αοόδει�n

ημΔ πμ� + ημ� πμ� + nμ�nμΔ _ _ τ_ = 2 2 2 2 2 2 4R

= nμΔ nμ� + ημ� ημ� + nμ�nμΔ-2 2 2 2 2 2

Α Β Γ - πμ- nμ-nμ- = 2 2 2

= nμΔ πμ� + ημ� ημ� + ημ�ημΔ-2 2 2 2 2 2 _ (-1 + συν Α + συν Β + συν Γ) =

. 4 4 = ημΔ nμ� + ημ� ημ� + ημ�nμΔ + 1-

2 2 2 2 2 2 4 (1 - 2nμ2Δ + 1 - 2 nμ2� + 1-2ημ2�) - 2 2 2 =

4 2(nμΔ πμ� + πμ� πμ� + nμ�nμΔ)

= . 2 2 2 2 2 2 + 2

πμ2Δ + πμ2� + nμ2� + 2 2 2 1 =

2 2

=(nμ� + nμ� + nμ�)2

1)3nμ(�)]

2 1 =

= 2.-1 = 5_ 8 2 8

2 2 2 2

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κη. τ. 1/36

Αvισοταvτ6τnτες σε τρίyωvα

ΒΙΒΛΙΑ ΜΕ ... " ΠΑΠΟΥfΣΙΑ" ΚΩΣΤΑ Ε. ΠΑΠΟΥfΣΗ

• ΜΕθΟΔΟΛΟrΙΑ ΠΑΡΑrΩrΩΝ κ ' (Λύσεις ασκήσεων δωρεάν και μόνο σrους

μαθηματικούς) Κεντρική διάθεση: βιβίΊ. Gutenberg Εκδόσεις "Κορφή": ΤηίΊ. : 36 00 798, 36 1 1 387

• ΑΝΑΛ ΥΣΗ τος ανάλvσnς 1 (Πραγματικές Συναρτήσεις)

• Πίνακες - Σvστόματα - Πιθανότητες (ΚυκΛοφορεί ων Ιανουάριο)

ΤηίΊ.: 80 32 488

ΛΝ ΛΛΥΣΗ Β' ΕΚΔΟΣΗ

• Το βιβλ ίο αυτό απευθύ­

νεται στους υποψ1]φιους

της Α δέσμης, αλλά και στους

μαθητές της Η λυκείου

που θα ακο­λουθήσουν

την Α' δέσμη και περιέχει

• Θεωρία δοσμένη με τρόπο απλό,

σαφ1] και κατανοητό

• Α υμένες ασκήσεις σε δύο ομά­

δες κλιμακούμενης δυσκολίας, που

συνοδεύονται απο βοηθι τικά σχό­λια και καθιστούν ικανό τον υπο­

ψ7]φιο να αναπτύξει γενικότερες μεθόδους σκέψης

• Ασκ'Ιίσεις για λύση σε δύο

ομάδες, με απαντήσεις και υποδεί­ξεις για τη λύση τους

ΤΟΝ ΟΚΤΩΒΡΙΟ ΚΥΚΛ Ο Φ ΟΡΕΙ ΤΟ Β ' ΤΕΥΧΟΣ: ΑΝΑΛ ΥΣΗ

• ΛΙΑ Φ ΟΡΙΚΟΣ Λ ΟΓΙΣftfΟΣ

Κεντρική διάθεση : Νίκος Ροτζιώκος, τηλ. 86 42 501

Χρίστος Φραντζ1]ς, τηλ. 60 1 1 24 1

� 1η ΔΕΣΜΗ Ο ΑΛΓΕΒΡΑ

• Πίνακες-Ορίζουσες-Συστήματα • Μιγαδικοί-Πιθανότητες

Ο ΑΝΑΛΥΣΗ • Συναρτήσεις-Ορια-Συνέχεια • Διαφορικός Λογισμός • Ολοκληρωτικός Λογισμός

Διαφορικές Εξισώσεις

W 4η ΔΕΣΜΗ Ο ΑΛΓΕΒΡΑ

( Πίνακες-Συστήματα-Πιθανότητες )

Ο ΑΝΑΛΥΣΗ • Συναρτήσεις-Ορια-Συνέχεια • Διαφορικός-Ολοκληρωτικός

Λογισμός

W Α ' ΛΥΚΕΙΟΥ Αλγεβρα ( Τ.ά.-Τ.β'.) W Β' ΛΥΚΕΙΟΥ

Αλγεβρα ( Τ.ά.-Τ.β'.) �Εκmωση : 25% Στούς συνάδελφους

Διάθεση : Αφοι Παπαδημητρόπουλοι

Σόλωνος 101 "Β' 3612412-3618332

ΑΛΓΕΒΡΑ Α' ΛΥΚΕΙΟΥ

(τεύχος α')

Νίκου Φάππα Το βιβλίο περιέχει πλήρη θεωρία,

επιλεγμένα παραδείγματα, μεθοδο­λογία και ασκήσεις.

- Είναι γραμμένο με σύγχρονη δι­δακτική αντίληψη.

- Προσφέρεται δωρεάν φυλλάδιο με τις αναλυτικές λύσεις όλων των ασκήσεων του βιβλίου.

(Σε λίγο κυκλοφορεί το β' τεύχος) KENTPIKH ΔΙΑΘΕΣΗ: Γ. Κορφιάτης

Ιπποκράτους 6 , '2: 36.28.492

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κη. τ. 1/37

Γεωμετρία Β ' Λυκείου

Ασκήσεις στις ΜεΊρικές Σχέσεις

Ασκnσn ln

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με α =� '{2 , β = 1 + f3 , γ = 2. Να υπολογιστεί η γωνία Α

Α

Λuσn Έχουμε β2 = 4 + 2 f3

α2 = 2, y2 = 4 Άρα β2 > α2 + y2 οπότε Β > 90° Στο τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α < 90 οπότε

α2 = β2 + y2 - 2β ΑΔ <=>

ΑΔ = 3 + f3 <=>ΑΔ = f3(1 + fi) <=>AΔ = f3 (1) 1 + i3 1 + i3

Στο τρίγωνο ΑΒΔ είναι ΒΔ2 = ΑΒ2 -ΑΔ2 <=> ΔΒ2 = 1 <=> ΒΔ = 1

Επειδή ΑΒ = γ = 2 και ΒΔ = 1 είναι Α = 30°.

Ασκnσn 2n

Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α = 90°) . Υπόρχει τρίγωνο με πλευρές 5α, 4β, 3y ;

Λuσn Έστω ότι υπάρχει. Πρέπει 5α < 4β + 3y <=> (5α)2 < (4β + 3y)2 <=>

25α2 < 16β2 + 9y2 + 24βγ <=> <=> zs (β2 + rJ < 16β2 + 9y2 + 24 βν (διότι α2 = β2 + y2) <=> 9β2 + 16y2 - 24βγ < Ο <=> (3β - 4y)2 < Ο ότοπο

Άρα δεν υπόρχει τρίγωνο με πλευρές 5α, 4β, 3y.

Κατσο'ύλnς rιώρyος

Ασκnσn 3n

� Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ και Α = 30°.

Δείξι:ε ότι: α = β ,V 2- Γ3 Α

Β

Λuσn Στο ΑΒΓ φέρνουμε το ύψος ΒΔ και εφαρμόzοvτας

το γενικευμένο πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε: α2 = β2 + y2 - 2β · ΑΔ <=> α2 = β2 + β2 - 2β ΑΔ <=> α2 = 2β2 - 2β ΑΔ ( 1 )

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΔ επειδή Α = 30° είναι

ΒΔ = � οπότε ΑΔ2 = 62 - (�}<=> ΑΔ2 = 362 <=> 2 2 4

<=>ΑΔ = β f3 (2)

2 Από (1 ) , (2) έχουμε:

d2 = 262 -2β · βV 3 <=> d2 =, 62 (2- Γ3) <=>

2 <=> α = β.V2- f3

Ασκnσn 4n

Δ Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει:

β2 + y2 = 2α μ0 (1 ) να υπολογιστεί η γωνία Α. Λuσn Από το 1ο θεώρημα διαμέσων έχουμε :

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κη. τ. 1/38

-------------- Β ' Λοιιείοο - ΙΈωpετρία --------------

Q2 (1) Q2 β2 + y2 = 2μ � + 2 <=> 2α μα = 2 μ� + 2 <=> 4a μα = 4μ� + α2 <=> α2 -4α μα + 4 μ� = Ο

α <=> (2 μα - α)2 = Ο <=> 2 μα - α = Ο <=> ilα = <=> Α = 90°. 2

1\σκaσa Sa

Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓ Δ. Μ" � Αν - = - = λ (1) ναυπ�σι:είολΕ R ΑΔ ΑΒ

Λ.Jσa Από (1) είναι Μ" = λ ΑΔ, ΒΔ = λ ΑΒ Άpα ΑΓ2 = λ2 ΑΔ2, ΒΔ2 = λ2 ΑΒ2 οπότε

ΑΓ2 + ΒΔ2 = λ2 (ΑΔ2 + ΑΒ2) (2) Δ.

Στο ΑΒΔ από το θεώρημα διαμέσων είναι : ΒΔ2 ΑΓ2 �2 ΑΔ2 + AJ32 = 2NJ2 + - = - + - (3)

Από (2), (3) έχουμε: 2 2 2

� � ΑΓ2 + ΒΔ2 = - (ΑΓ2 + ΒΔ2) <=> 1 = - <=> 2 2 <=> λ2 = 2 <=> λ = Γ2

1\cnιaσa 6a

Δίνεται ρόμβος ΑΒΓΔ πλευράς α, Ο το κέvτρο του και κύκλος (Ο,λα), λ>Ο. Αν για τυχαίο Οημείο Μ του κύκλου ισχύει : ΜΑ2 + ΜΒ2 + ΜΓ2 + ΜΔ2 = 18 α2 να βρεθεί ο λ Ε R.

Λ.Jσa "" Στο ΜΑΓ (ΜΟ διάμεσος):

ΜΑ2 + ΜΓ2 = 2 ΜΟ2 + ΑΓ2 (1 ) 2

"" Στο ΜΒΔ (ΜΟ διάμεσος) :

�2 ΜΒ2 + ΜΔ2 = 2 ΜΟ2 + - (2) 2

Από (1 ) , (2) και υπόθεση -με πρόσθεση κατά μέ­λη- έχουμε :

ΑΓ2 + �2 18 α2 = 4 (λα)2 + (3) 2 Αλλά ΑΟΒ : ΑΒ2 = ΑΟ2 + ΟΒ2 (γιατί; )

ΑΓ2 �2 ΑΓ2 + �2 <=>02 = - + -<=>2a2 = (4) 4 4 2

Από (3), (4) είναι: 18 α2 = 4 λ2 α2 + 2 α2 <=> 16 α2 = 4 α2 λ2 <=> <=> λ2 = 4 <=> λ = 2.

1\σκaσa 7a

α. Αν ΑΒΓΔ ορθογώνιο και Μ τυχαίο σημείο δείξτε ότι ΜΑ2 + ΜΓ2 = ΜΒ2 + ΜΔ2

β. Αν ΑΒΓΔ τετράγωνο κaι σημείο Μ στο εσωτερικό του ώστε ΜΑ = 1 , ΜΒ = f2 και ΜΓ = Γ3 να βρεθεί η πλευρά του τετραγώνου.

Λ.Jσa

Μ

Φέρνουμε τις διαγωvίους ΑΓ,ΒΔ. Στο τρίγωνο ΜΑΓ (ΜΟ διάμεσος):

ΜΑ2 + ΜΓ2 = 2 ΜΟ2 + ΑΓ2 (1 ) 2

Στο τρίγωνο ΜΒΔ (ΜΟ διάμεσος) : �2

ΜΒ2 + ΜΔ2 = 2 ΜΟ2 + - (2) 2 Αλλά ΑΓ = ΒΔ (3) Από (1 ) , (2), (3) έχουμε:

ΜΑ2 + ΜΓ2 = ΜΒ2 + ΜΔ2

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κη. τ. 1/39

-------------- Β ' Λ"ιιεiο" - ΙΈωpετpiα ------�-------

α α

Α α Β β. Από (α) έχουμε : ΜΑ2 + ΜΓ2 = ΜΒ2 + ΜΔ2

� 1 + 3 = 2 + ΜΔ2 � ΜΔ = (i Άρα αφού ΜΒ = ΜΔ = 1[2 , το Μ θα βρίσκεται στη

μεσοκόθετο του ΒΔ δηλαδή στην ΑΓ. Επομένως από το πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο ΑΒΓ είναι:

α2 + α2 = ΑΓ2 � 2 α2 = ( 1 + ν3� �

2 α2 = 4 + 2 ν3 � α = f2 + ν3

Ασκnσn 8n

Δίνεται πα.e_αλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. Αν η διχοτόμος της γωνίας ΒΑΓ τέμνει την ΒΔ στο Κ και την ΒΓ στο Η

δείξι:ε 6ι:ι: ΚΑ - Ν" = 1 ΚΗ ΑΒ

Β

Λ"σn Επειδή ΑΔ παρόλληλη με ΒΓ είναι

ΚΑ = Μ = ΒΓ (1) ΚΗ ΒΗ ΒΗ

Επειδή ΑΗ διχοτόμος είναι :

ΒΗ = ΑΒ οοόι:ε ΒΗ = ΒΓ. ΑΒ (2) ΗΓ Ν" ΑΒ + Ν"

Από (1 ) , (2) έχουμε:

ΚΑ ΑΒ + Ν" ΚΑ Ν" - = �--- = 1 ΚΗ ΑΒ ΚΗ ΑΒ

Ασκnσn 9n

Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α = 90°), εyγε­γραμμέvο σε κύκλο (O,R) και το ύψος του ΑΔ. Αν με­ταβλητή ευθεία που διέρχεται από το Γ τέμνει το ύψος στο Μ και τοv κύκλο στο Η δείξι:ε ότι ΓΜ · ΓΗ = ΓΑ2

Λ"σn Φέρvουμε ΒΗ.Είvαι ΒΗΓ = 90° οπότε το τετρά­

πλευρο ΒΔΜΗ είναι εyγρόψιμο (γιατί;)

Άρα ΓΜ · ΓΗ = ΓΔ · ΓΒ ( 1 ) Επειδή ΑΒΓ ορθογώνιο και ΑΔ ύψος είναι:

ΓΑ2 = ΓΒ · ΓΔ (2) (γιατί) Από (1 ) , (2) έχουμε ΓΜ · ΓΗ = ΓΑ2

Ασκnσn IOn

Σε οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με ύψος ΑΔ ισχύει:

α Γs IJa = -- . 2

Δείξι:ε ότι : α. β2 + y2 = 3α2 β. ΑΗ · ΑΔ = α2 όπου Η ορθόκεvτρο.

Α

Γ

Λ"σn Q2 5a2 Q2 α. Είναι β2 + y2 = 2 μ� + - = 2 · - + - � β2 + y2 = 3α2. 2 4 2

β. Φέρνουμε το ύψος ΒΕ. Επειδή ΗΔΓΕ εyγρόψιμο (γιατί;) είναι ΑΗ · ΑΔ = ΑΕ ΑΓ (1 )

Από το γενικευμένο πυθαγόρειο θεώρημα στο τρί­γωνο ΑΒΓ είναι :

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κη. τ. 1/40

-------------- Β ' Λvιιεiοv - rεωμετρiα --------------

α2 = 62 + y'2 - 2 ΑΕ · ΑΓ <=> α2 = 3 α2 - 2 ΑΕ · ΑΓ . (1 ) (από α ερώτημα) <=> ΑΕ ΑΓ = α2 <=> ΑΗ · ΑΔ = α2

Ασκnσn l ln

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και οι διχοτόμοι του ΑΔ, ΒΕ και ΓΗ. Αν η ΑΔ τέμνει την ΗΕ στο σημείο Ρ, δείξrε όrι: ΡΗ · ΕΓ ΑΓ

ΒΗ · ΡΕ ΑΒ Α

Auσn .Δ Στο τρίγωνο ΑΗΕ (ΑΡ διχοτόμος): ΡΗ = ΑΗ (1) ΡΕ ΑΕ

Δ. Στο τρίγωνο ΑΒΓ (ΓΗ διχοτόμος) : ΒΗ = ΒΓ (2) ΑΗ ΑΓ

.Δ και στο τρίγωνο ΑΒΓ (ΒΕ διχοτόμος) : ΑΕ = ΑΒ (3) ΕΓ ΒΓ

Γ

Από (2), (3) με πολλαπλασιασμό κατά μέλη είναι : ΒΗ · ΑΕ ΑΒ !lJ ΒΗ · ΡΕ ΑΒ ΡΗ · ΕΓ ΑΓ --- = - .;::> = -<=> = -ΑΗ · ΕΓ ΑΓ ΡΗ · ΕΓ ΑΓ ΒΗ · ΡΕ ΑΒ

Ασκnσn 12n

Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ο κύκλος που διέρχεται από το Α και τα μέσα Μ,Ν των ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα εφάmε­ται της ΒΓ στο Δ, δείξrε ότι : i. ΔΒ · ΑΓ = ΔΓ · ΑΒ ii. ΑΔ2 = ΔΒ · ΔΓ

Λuσn i. Επειδή ΜΝ παράλληλη ΒΓ είναι ΜΔ = ΝΔ <=>

ΑΔ διχοτόμος Άρα ΔΒ = ΑΒ <=> ΔΒ · ΑΓ = ΔΓ · ΑΒ

ΔΓ ΑΓ

Β Γ ii. Επειδή Μ, Ν μέσα είναι Εμέσο ΑΔ και

ΜΕ = ΒΔ., ΝΕ = ΔΓ 2 2

Οπότε από το θεώρημα τεμνόμενων χορδών είναι: ΑΕ · ΕΔ = ΜΕ · ΕΝ <=>ΑΔ · ΑΔ = ΒΔ . ΔΓ <=>

Ασκnσn 13n

2 2 2 2

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και τυχαίο σημείο Δ της ΑΒ. Δείξrε ότι :

Λuσn

ΔΓ2 - ΔΒ2 = ΒΓ2 · ΑΔ ΑΒ

Α

Γ

.Δ Αν Μ μέσο ΒΓ τότε από το τρίγωνο ΔΒΓ (ΔΜ διάμε-σος) είναι:

ΔΓ2 - ΔΒ2 = 2 ΒΓ · ΕΜ (1 ) Επειδή ΔΕ // ΑΜ (γιατί;) είναι : ΕΜ ΒΜ ΕΜ ΒΓ ΒΓ · ΑΔ - = - <=>- = -· - <=>ΕΜ = ---

ΑΔ ΑΒ ΑΔ 2ΑΒ 2ΑΒ

Από (1 ) , (2) έχουμε : ΔΓ2 - ΔΒ2 = ΒΓ2 · ΑΔ ΑΒ

Ασκnσn 14n

(2)

Αν η διχοτόμος ΑΔ τριγώνου ΑΒΓ τέμνει τον περι­γεγραμμένο κύκλο στο Ε και είναι ΑΔ2 = ΔΒ · ΔΓ δείξrε ότι: ΑΕ2 = 2 ΕΓ2

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κο. τ. 1/41

-------------- Β ' Λvκείοv - ΙΈωμετρίο ----��--------

Α

Λvσn Είναι ΔΒ · ΔΓ = ΑΔ · ΔΕ � ΑΔ2 = ΑΔ · ΔΕ �

� ΑΔ = ΔΕ (1 ) Τα τρίγωνα ΔΕΓ και ΑΕΓ.είναι όμοια (γιατί;) οπότε

ΔΕ ΕΓ !l) - = -�ΔE· AE = ff2 � AE . AE = ff2 � ΕΓ ΑΕ 2

� ΑΕ2 = 2 ΕΓ2.

Ασκnσn 15n

Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι Θ το βαρύκεντρο και Δ,Ε τα μέσα των ΑΒ και ΑΓ. Αν το ΑΔΘΕ είναι εyyράψιμο δείξτε ότι β2 + y2 = 2 α2.

Α

Β

τ

Λvσn Αν n διάμεσος ΑΜ τέμνει την ΔΕ στο Η επειδή το

ΑΔΘΕ είναι εyγράψιμο έχουμε: ΑΗ · ΗΘ = ΔΗ · ΗΕ (1 )

NIM ΑΗ = lAM ΑΘ = 2_ΑΜ και ΔΗ = ΗΕ = ΒΓ 2 ' 3 4

(γιαrί;) οπότε η (1) yίvει:αι1ΑΜ (2_ΑΜ-1ΑΜ) = 2 3 2

= ΒΓ . ΒΓ � ΑΜ2 = 3_ ΒΓ2 (2). 4 4 4

ιvm. ΑΜ2 = 2(β2 + v)-a2 : aa2 = 4 4

= 2(β2 + v)-a2 � BZ + v = 2a2 4

Β Ι Β Λ Ι Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ώ Ν

Μ Ι Χ Α Λ Η Κ Α Ρ Α Μ Α Υ Ρ Ο Υ

ΚΥΚΛΟΦΟΡΟΥΝ

IIAfEBPR Β ' ΛΥΚfΙΟΥ rQ')«<J IΓ

---�

• ΑΛΓΕΒΡΑ

(π{νακες;-σuστfιματα-ορ{Ζοuσες;) • ΔΙΑΝΥΣΜΑ τΙΚΗ ΓΕQΜΕΤΡΙΑ

ΕΥθΕΙΑ ΓΡΑΜΜΗ

• ΚQΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ

• ΜΙΓ ΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙθΜΟΙ

• ΟΛΟΚΛΗΡQτΙΚΟΣ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Σε κά8ε ΒιΒΛίο παρατί8εται με με8οδικό τρόπο n 8εωρία, τnv οποία π/Ιαισιώvουv:

• παρατnρήσ8ις • λυμένες εφαρμογές • άλυτες πρωτότυπες ασκήσεις

Για κάθε βιβί\ίο υπάρχει ειδικό βοήθημα

που δίνεται μόνο στούς συναδέί\φους (δωρεάν).

Γtα πληροφορίες απευθυνθήτε στα τηλέφωνα: 270 747- 266 766 - FAX 241 184

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κη. τ. 1/42

I

Ασκήσεις σι:α όρια και τn "' "' σvνεχεια Ίων σvναρτnσεων

Ασκοσο 1ο

(x - 2) f(x) + σvv mt

Αν lim 4 = α, α Ε R και ο Jι--+2 (:ιι - 2)2

σvVάρτοσο f(:ιι) είναι σvvε:ιuίς στο θέσο χ = 2, να βρεθεί ο τιμό f(2).

Λ.Sσο Για κάθε χ Ε R \ {2} θέτουμε

(χ-2) · f (x) + συν πχ ω (χ) = 4

(χ-2)2 και έχουμε τις ισοδυναμίες: (χ - 2) · f(x) + συν πχ = (χ - 2)2 · ω(χ) �

4 (χ-2)2 · ω (χ) -συνπχ

f (x) = 4 � χ-2

πχ συν-f(χ) = (χ-2) ω (χ) ---4 , (1) χ- 2

Είναι: Im (χ-2) = Ο, Im ω (χ) = α και το κ --+ 2 χ --+ 2

πχ συν-Im __ 4_ είναι απροσδιορισrία της μορφής Q_. κ --+ 2 χ-2 Ο

Με u = χ - 2 ή ισοδύναμα χ = u + 2 προκύπτει u ---+ Ο όταν χ ---+ 2 και

συν πχ συν (� + nu ) πμ nu Im __ 4 = Im 2 4 = - Im _4_ =

χ --+ 2 χ-2 u --+ 0 U u --+ 0 U

Δnμότρnς Ντρίzος

Έτσι για κάθε χ Ε U (2, δ), δ > Ο από την (1 ) προ­κύπτει

πχ συν -Im f(x) = Im (χ-2) · 1m ω(χ) - 1m __ 4 � χ --+ 2 χ --+ 2 χ --+ 2 χ --> 2 χ-2 � Im f (χ) = Ο· α- (-�) � Im f (χ) = �

κ --+ 2 4 χ --> 2 4 και επειδή η f(x) είναι συνεχή.ς στη θέση χ = 2, η τε­λευταία ισοδύναμα γίνεται f(2) = n/4.

Ασκοσn 2ο

Μια σvνάρτοσο f(:ιι) ορισμένο και σvvε:ιιός στο R ικανοοοιεί το σvνθόκο :

�r- -:- :ιι + 10 s ν1ο + :ιι · f (x) s

S ν 10 - :ιι + :ιιΙΟ · np l., :ιι ;ι! 0 2 ν 10 •

Να βρεθεί ο τιμό τος f(x) στο θέσο :ιι = Ο.

Λ.Sσο Για κάθε χ Ε R* η συνθήκη ισοδύναμα γίνεται :

/�χ2-χ+ 10 -fiO f (x) Q. 1 1 0\ ------ s s x- ημ----, χ>

χ χ 2 fi0

\ ή ι· 1 �χ2-χ+ 10 -fiO f (x) . q. 1 1 · Ο ------ 0!: <!: Χ' πμ----. -, χ< χ χ 2 fi0

Για κάθε χ Ε U (Ο,α), α > Ο είναι :

Im �χ2-χ+ 10 - f10 = χ --+ 0 χ

χ2-χ = Im . χ --+ ο χ(�;-χ+ 10 + fiO)

= Im χ- 1 - ----=--!_ χ --+ ο �;-χ+ 10 + fiO 2 fiO

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κη. τ. 1/43

--------- Ασκόσεις σι:α όρια και ΊD cnιvέχεια Ίωv σuvαρΊόσεωv �--------

Άρα lm � nμl = Ο yιarί lm � � � = Ο. χ ...... ο χ χ - σ

Οπότε αηό ης (1 ) σύμφωνα με το κριτήριο της πα­ρεμβολής προκύπτει:

lm f (x) = _ _ 1_, (2) χ -+Ο 2 Vlo

Η συνάρτηση f(x) είναι ορισμένη και συνεχής στο Rάραθαισχύaκαι lm f (x) = f(O) χ -+ 0 Από την τελευταία λόγω της (2) προκύmει:

Ασιιοσο 3ο

f (0) = --1_ 2 Vlo

Με χ = 18 η σχέση lf(x) l :5 lx2 - 20χ + 361 γίνεται lf(18) 1 :::; Ο � lf (18) 1 = Ο � f(18) = Ο. Έτσι επειδή lm f(x) = f(18), η f(x) είναι συνεχής

χ ...... 18 στη θέση χ = p = 18.

Ασκοσο 4ο

Έστω ο οίνακας

ι - χ ( 71-)- Jι2 Α (:ιι)= ι -�

·

• ι

όοον α είναι yvωστός θετικός οραyμ. αριθ­μός.

4.ι Να βρεθεί το όριο lbn f(ψ), όοον

f(ψ) = op,Jψ4 + IA- �1 - op,Jψ4- l adJ A(x)i 4.2 ΙΊα κάβε :ιι Ε (-α, α) ορίzονμε το

σννάρτοσο g(:ιι) = I• ·adj Α(χ) + χ • Α-1 (:ιι) l Να αοοδει:ιιτεί ότι ο g(:ιι) είναι σννάρτοσο

Έστω ένας 2 χ 2 οίναιιας Α ώστε : άρτια ιιαι σννε:ιuίς. Α2 - 6Α + ιsι = Ο ιιαι μια σννάρτοσο f(:ιι) ορισμένο στο R, οον ικανοοοιεί το σννβό- Λvσο ιιο: lf(x) l :5 lx2 - 20χ + 361 yια ιιάβε χ Ε R. Να αοοδειχτεί ότι ο f(x) είναι σννεχός στο βέσο χ = p, όοον p είναι ο βετιιιό τιμό τος ορίzονσας τον οίναιια Α.

Λvσο Η ισότητα Α2 - 6Α + 18Ι = Ο ισοδύναμα γίνεται :

Α2 - 6Α + 9Ι = - 9Ι � (Α - 3Ι)2 = - 9Ι, γιατί Α · Ι = Ι · Α = Α

Από την τελευταία προκύmει I (A - 3Ι)2 1 = 1 - 9II � I (A- 31) (Α - 31) 1 = 1- 9· Il � IA - 3II . IA - 3II = 1 - 9II � IA- 3I I2 = (-9)2 · Ι I l � IA - 3II2 = 81

Ισχύει : Α2 - 6Α + 18Ι = Ο � Α2 = 6 (Α - 3Ι) . Συνεπώς IA21 = 16 (Α - 31) 1 � IAI2 = 36 IA - 3I I , άρα IA - 3I I ;::: Ο

Οπότε από την IA-3II2 = 81 προκύmει: IA- 3II = 9 και έrσι έχουμε : IAI2 = 36 IA-3II � IAI2 = 36 . 9 � IAI2 = (6 . 3)2 � IAI = 18 ή IAI = - 18. Οπότε p = 18. Το τριώνυμο χ2 -20χ + 36 έχει ρίzες ης : 18 και 2. Επειδή 1m lx2 - 20χ + 361 = Ο και για κάθε

χ ...... 18 χ Ε U (18, α), α> Ο ισχύει lf(x) l :5 lx2 - 20χ + 361 , προκύπτει 1m f(x) = Ο

χ -+ 18

1 -χ

4.1. ΕίvαιΑ (χ) = �1-.;./ζ} �1--2-/ζ} -χ 1

ζ}�1-.;/ζ} �1-.;./ζ} -2- ζ}_.j- ? ? Πρέπει: 1-- > Ο � -- > Ο� χ- < cr � ζ} ζ}

� Ι χ l < α�χΕ (-α, α). Για την ορίzουσα του πίνακα Α(χ) έχουμε :

I A (x) i = 1 .;. = 1 -.; /ζ} ζ} (1 -.; /ζ})

= __5!__ _ __:!____ = 1 ζ}_.j- ζ}_,;

Επειδή IA(x) I ;ι! Ο, υπάρχει ο aντίστροφος πίνακας Α-1 (χ) και ισχύει Α(χ) ·Α-1 (χ) = Α-1 (χ) · Α(χ) = Ι2. Άρα IA(x) · Α-1 (x) l = II2I � IA (x) l · IA-1 (x) l = 1 και επειδή IA (χ) I = 1 προκύmει ΙΑ-1 (x) l = 1 .

Ισχύa Α- 1 (χ) = _1_adjA(x), (1) I A (x) i

Επειδή όμως IA (x) l = 1 από την (1) προκύmειΑ-1(χ) = adj Α(χ) και επομένως ladj A(x) l = IA-1 (x) l = 1 .

'Ετσι προκύrπει όrι f (ψ) = ημ ,J ψ4 + 1 - ημ ,J ψ4 - 1

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κη. τ. 1/44

--------- Ασιιάσεις στα όρια και τa cnιvέχεια τωv cnιvαρτpσεωv ---------

Για το πεδίο ορισμού της f(ψ) πρέπει : ψ4 - 1 � ο � ψ4 � 1 � IΨI � 1 � ψ Ε (- ω , - 1 ] U [1 , + ω)

Για κάθε ψ Ε ( 1, + ω) διαδοχικά έχουμε : l f (ψ) l = l ημ,Jψ4 + 1 - ημ,Jψ4- 1 1 =

= 1 2πμ �;�·ων �;�Ι = 2 · 1 ημ�;� l · I ,J ψ4 + 1 + ,J ψ4- 1 I · ων s

2 s 2 · l�;� ι 1 = I,Jψ4 + 1 --Jψ4 - 1 l

= (,Jψ4 + 1f -(�f ,J ψ4 + 1 + ,J ψ4 - 1

2 < __2__ ,J ψ4 + 1 + ,J ψ4- 1 fψ Είναι im __2_ = Ο, οοόι:εαπόmv I f (ψ) I < __2_ ψ-> + οοfψ fψ

προκύmει: im f (ψ) = Ο ψ-> + 00

4.2. Επειδή ο πίνακας Α(χ) είναι τύπου 2 χ 2 προ­κύmει ότι και οι πίνακες adj Α(χ) και Α-1 (χ) θα είναι 2 χ 2. Αποδείχτηκε επίσης ότι: adj Α(χ) = Κ1 (χ) με IK1 (x) l = 1 .

Έχουμε έτm τις ισόmτες : g(x) = l2x · A-1(x) l = (2χ)2 · IA-1 (x) l = 4χ2

Είναι φανερό πλέον ότι η g(x) είναι άρτια, γιατί για κά­θε χ Ε (-a, α), -χ Ε (-a, α) και g(-x) = 4 (-χ)2 = g(x) .

' :

Η g(x) είναι επίσης και συνεχής στο (-a,α), ως πο­λυωνυμική συνάρτηση.

Ασκnσn Sn

Ι'ια τις σ"νεχείς οραyματικές σ"ναρτόσεις g(x), h(x), k(x), W(x) ισχvο"ν οι σ"νβόκες: (Σ.l): g(α) = k(α), h(β) = W(β) όοο" α,β Ε R (Σ.2): g(x) < k(x) yια κάβε χ Ε R \ {α}

w(x) < h(x) yια κάβε χ Ε R \ {8} (Σ.3): k(x) > Ο και w(x) > Ο yια κάβε χ Ε R

Να αοοδειχβεί ότι "οάρχει το"λάχιστον ένα χ0 Ε (α,β) ώστε τα διαν.Jσματα

ι; = [ Β ( Jlo)] ιιαι ; = [ w ( Χο)] να είνm ιιαράί\λιιλα. k (Χο) h (Χο)

�::�αι u /I v αν και μόνον αν I g(χσ) k(χσ) I = Ο, w(χσ) h (χσ) δηλαδή αν g(x0) · h(x0) - w(χσ) · k(Χσ) = Ο.

Θεωρούμε τη συνάρτηση f(x) = g(x) · h(x) -w(x) · k(x) που είναι συνεχής στο [α,β] γιατί είναι συνεχής στο [α,β] οι g(x), h(x), k(x), w(x) .

Είναι επίσης: f(α) = g(α) · h(α) -w(α) · k(α) = k(α) · [h(α) -w(α)] > Ο

και f(β) = g(β) · h(β) - w(β) · k(β) = w (β) · [g(β) - k(β)] < Ο λόγω των (Σ. 1 ) , (Σ.2) και (Σ.3) .

Έτm προκύmει f(α) · f(β) <0. Σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzaηo, θα υπάρ­

χει ένα τουλάχιστον χ0 Ε (α,β) ώστε f(x0) = Ο δηλ. g(χσ) · h (χ0) -w(χσ) · k(Χσ) = Ο. Άρα u // v .

Κvκλοφορεί αοό τις Φvσικομαθnματικές εκδόσεις "Αίθρα":

"Οι Μαθηματικοί της Αρχαίας Ελλάδας" των Βαyyέλn Σοανδάyο" - Ροvλας Σnανδάyο" - Δέσοοινας Τρα"λοv

Το βιβλίο αυτό, που αποτελεί έρευνα - σταθμό στην Ιστορία των μαθηματικών, περιέχει βιογραφικά

στοιχεία και εργασίες 567 Αρχαίων Ελλήνων Μαθηματικών από το 900 π .Χ. έως το 550 μ .Χ. (Σελίδες 320, δρχ. 2.900)

Κεντρική Διάθεση: "Αίθρα", Ανδρέα Μεταξά 26, 10 681 Αθήνα.

Τηλ. : 33 01 269 - 33 02 756, fax: 33 01 252

Σrοvς Μαθnμαπκούς γfvεraι έκπτωση 3aro

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κn. τ. 1/45

ί\λyεβρα r ' Λ"κείο"

Ασκήσεις Πινάκων - Οριzοvσών

Ασκnσn ln

Έστω Α, Β πίνακες τύπου νχμ, μχν αντίστοιχα με .

μ � ν. Αν ΑΒ = lv, να αποδείξετε όtι ΒΑ � Ιμ.

Λuσn Έστω Α = [aij] , Β = [βίj] , ΑΒ = [xij] και ΒΑ = [Yij] .

xn = αη βη + α12 β21 + · · · · · + α1μ βμ1 χ22 = α21 β12 + α22 β22 + · · · · · + α2μ βμ2

Yn = βη αη + β12 021 + · · · · · + β1v Ov1 Υ22 = β21 022 + β22 022 + · · · · + β2v Ov2

Προσθέτουμε κατά μέλη, οπότε έχουμε : Χ η + Χ22 + · · · + Xvv = Υ η + Υ22 + · · · + Υμμ·

Διαπιστώνουμε ότι το άθροισμα των στοιχείων της κυρίας διαγωνίου του ΑΒ είναι ίσο με το άθροισμα των στοιχείων της κυρίας διαγωνίου του ΒΑ Τότε :

Αν ΑΒ = lv τότε χίί = 1, i =1,2, . . . . . . . . . . , ν ή χ11 + χ22 + . . . . . . + Xvv = 1 + 1 + . . . . . + 1 = ν

Έστω ΒΑ = Ιμ τότε Yii = 1, i = 1 ,2, . . . . μ ή

Υ η + Υ12 + · · · · · · + Υμμ = 1 + 1 + . . . . . . . + 1 = μ. Άρα, πρέπει ν = μ πράγμα άτοπο.

Ασκnσn 2n

Έστω Α τύπου vχν, ώστε ν περιπός, Α2 = Ι και Α � I. Να αποδείξετε ότι: I Α + Ι I = ο και IA - Ι I :5 ο.

Λ'ιίσn Α2 = Ι <=> Α2 - Ι = Ο <=> (Α + I) (Α - I) I = Ο (1 ) Έστω IA + Ι I � Ο, τότε ο Α + Ι είναι aντιστρέψιμος

και από (1) προκύπτει: Α - Ι =0 ή Α = Ι, ΑΤΟΠΟ.

Χρήσι:ος Λαzαρίδnς

Άρα, IA + Il = Ο. (Α - 1)2 = Α2 - 2Α + Ι = Ι - 2Α + I =

= - 2Α +21 = -2 (Α - Ι) οπότε i (A - 1)2 1 = l-2 (Α - I) I ή IA - 1 12 = (-2)V IA - ι ι ή IA - 1 12 = -2v IA- ιι (διότι ν περιπός).

Άρα IA - I l = -2-v IA - 1 12 :5 Ο.

Ασκnσn 3n

Έστω Α τύπου vxv ώστε Α2 + Α + Ι = Ο (1 ) . Να αποδείξετε ότι ν άρτιος και IA - Ι I = ± 5 Λuσn Από την (1) έχουμε (Α- Ι) (Α2 + Α + I) = (Α- 1) · Ο

ή Α3 - 13 = ο ή Α3 = Ι ή IA31 = I I I ή IAI3 = 1 οπό­τε IAI = 1 .

Από την ( 1 ) έχουμε Α2 + Α + Ι - 3Α = Ο - 3Α ή Α2 - 2Ά. + Ι = - 3Α ή (Α - 1)2 = - 3Α οπότε (Α - 1)2 1 = 1- 3AI ή IA - 1 12 = (- 3)V IAI ή IA - 112 = (- 3)V (2) Αν ν περιπός τότε (�)V < ο άτοπο αφού IA - 112 ;::::

Ο, άρα ν άρτιος. Από την (2) έχουμε IA - 1 12 = 3v ή IA - Il = ± 5

Ασκnσn 4n

Δίνεται ο όχι aντιστρέψιμος πίνακας Α � Ο, τύπόυ vχν ώστε Α2 = Α Θεωρούμε το σύνολο Σ = {Χ/Χ = κΑ + λl, κ, λ Ε R} . α. Αν Β Ε Σ, να δείξετε ότι υπάρχουν μοναδικοί

κ,λ, Ε R, ώστε Β = κΑ + λl. β. Αν Γ = κΑ + λl Ε Σ, με κ (κ + λ) � Ο, να δείξετε

ότι ο Γ είναι aντιστρέψιμος και r-1 Ε Σ. Τι συμβαί­νει αν κ (κ + λ) = Ο;

γ. Να βρείτε τους Χ Ε Σ, ώστε Χ = χ-1 .

Λuσn α. Αν Β Ε Σ τότε Β = κΑ + λl. Έστω ότι υπάρχουν

κ ' , λ ' Ε R, ώστε Β = κ ' Α + λ ' Ι, τότε, κΑ + λΙ = κ ' Α + λ ' Ι (1 ) ή (κ - κ ' ) Α = (λ ' - λ) Ι ή

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κη. Ί. 1/46

Γ ' Λ\!κείο" - Αλyεβρα

i (κ - κ ' )AI = i (λ ' - λ) ι ι δηλ. (κ - κ ' )V IAI = = (λ , - λ)V ι ι ι ή ο = (λ , - λ)V . 1 (διότι Α όχι αvτιστρέψιμος, άρα IAI = Ο) άρα λ = λ ' .

Από τηv (1 ) προκύπτει: κΑ = κ ' Α ή (κ - κ ' ) Α = Ο ή κ - κ ' = Ο (διότι Α � Ο) άρα κ = κ Ή .

Άρα υπάρχουv μοvαδικοί κ, λ Ε R ώστε: Β = κΑ + λl.

β. Έστω Γ' = χΑ + y Ι Ε Σ, ώστε Π ' = Ι � � (κΑ + λl) (χΑ + yl) = Ι � κχΑ2 + λχΑ + xyA + λyl = Ι � � κχΑ + (λχ + κy)Α + λyl = Ι � [(κ + λ)χ + κy]Α + λyl = Ο.Α + 1 .1 � <=> (κ + λ)χ + κy = Ο

λy = 1 (από το α ερώτημα)

ο = I κ ; λ�Ι = (κ + λ) λ� ο,

άρα το σύστημα δέχεται τη μοvαδική λύση, (χ, y) = (Dx , Dy ) = ( -κ , 1)

D D (κ + λ) λ λ οπόrε Γ ' = 1 1 = -κ Α+ 1 Ι Ε Σ.

(κ + λ) λ λ

Av κ + λ = Ο ή λ = Ο, τότε το σύστημα είvαι αδύvα­το, άρα ο Γ δεv είvαι αvτιστρέψιμος.

γ. Έστω Χ = κΑ + λΙ Ε Σ, με (κ + λ)λ � Ο, Χ = χ- 1 � κΑ + λΙ = -κ Α+ 1 Ι�

(κ + λ) λ λ � κ = -κ κcn λ= 1 (απότοα)

(κ + λ) λ λ � (κ,λ) Ε { (0, 1) , (-2,1) , (0, -1) , (2, -1) } .

Τελικά, Χ = Ι ή Χ = - 2Α + Ι ή Χ = - Ι ή Χ = 2Α - Ι.

1\σιιοόο 5ο

Έστω vxv πίvακας Α, ώστε Α2 = Ο και v περιπός. Να αποδείξετε ότι: lxA - yli < lxA + yll , για κάθε x E R και y > Ο.

Αιίσο (χΑ - yl) (ΧΑ + yl) = χ2 Α2 - yΖι == -'-i Ι ή i (xA - yl) (χΑ +yl) i = 1-i ιι ή lxA - yl l lxA + yl i = (-y2)v · I I I = -y2v < Ο (διότι v περιπός) οπότε

lxA - yii ixA + yli < Ο επομέvως ( !χΑ - yli , lxA + yli ετερόσημοι και όχι μηδεv) (1 ) (χΑ - 2yl)2 = χ2 Α2 - 4xyA + 4y2 Ι =-4xyA + 4y2I = = -4y (χΑ - yl) οπότε lxA - 2yi i2 = (- 4y)v lxA- yli ή lxA - yli = = _I xA-2>i l2 s Ο συvεπώς lxA - yli <0

4v yι και lxA + yli > Ο άρα lxA - yli < lxA + yli .

1\σιιοσο 6ο

Δίvεται η μη σταθερή απεικόνιση φ: Πv -+ R, όπου Πv είvαι το σύvολο τωv vxv πιvάκωv, ώστε:

φ (ΑΒ) = φ (Α) φ (Β) , για κάθε Α,Β Ε � (1 ) . Να δείξετε ότι για κάθε αvτιστρέψιμο πίvακα Κ Ε �'

ισχύει: f(K-1 ) f(K) = 1 . Στηv συvέχεια vα δώσετε έvα παράδειγμα για τη φ.

Λ.Sσο Η ( 1 ) για Α = Β = Ι, γίvεται: φ (1 .1) = φ(l) φ(l) ή

φ (I) = φ2 (I) ή φ(l) [φ (I) - 1] = Ο άρα φ(Ι) = Ο ή φ (Ι) = 1 .

Έστω φ(l) = Ο , τότε για κάθε Α Ε Πv, έχουμέ: φ(Α) = φ(Α.Ι) = ψ(Α) φ(Ι) = φ (Α) . Ο = Ο, δηλαδή η φ είvαι σταθερή, πράγμα άτοπο.

Άρα, αv φ(Ι) = 1 , τότε φ (ΚΚ-1) = 1 ή φ(Κ) φ(Κ-1 ) = 1 .

Π.Χ. Η συνάρτηση φ : Πv -+R, ώστε φ (Α) = IAI .

1\σιιοσο 7ο

Av οι vxv πίvακες Α, Β είvαι αvτιστρέψιμοι, adjA = adjB και v � 3, vα αποδείξετε ότι οι πίvακες Α, Β είvαι ίσοι ή αντίθετοι.

Αιίσο Διαδοχικά έχουμε:

adjA = adjB ή iadjAI = iadjBI (1) . Α-1 = .1. adJΆ Β-1 = .1. adJ"B (2) � , I� . .

ΑΠό τηv (2) έχουμε: �-1 = Α( �· adjA) ή AadjA = IAI Ι ή

IAadjAI = I IAIII ή IAI IadjAI = IAiv I I I ή ladjAI = IAiv-1 , διότι IAI � Ο.

Αντίστοιχα από (2) προκύπτει ladjBI = IBiv - 1. Με τηv βοήθεια της ( 1) συμπεραίνουμε ότι:

IAiv-1 = IBiv - 1. Av v άρτιος, τότε IAI = IB I , διότι v - 1 περιπός,

οnότε από (2) προκύπτει: Α-1 = Β-1 ή (Α-1)-1 = (Β-1)-1 άρα Α = Β.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κη .. τ. 1/4 7

r ' Λvιιείοv - 1\λyεβρα

Αν ν περιπός, τότε IAI = ± IB I . διότι ν - 1 άρτιος, οπότε αν IAI = IBI τότε όπως προηγουμένως Α = Β, ενώ αν Α = -Β από (2) προκύπτει Α-1 = -Β-1 ή (Α-1)-1 = (-1 )-1 (Β-1)-1 αν Α = -Β.

Τελικά σε κάθε περίmωση οι Α, Β είναι ίσοι ή αντί­θετοι.

Ασκaσa 8a

Έστω Α πίνακας τύπου νχν ώστε Α2 +Ι = Ο. Να αποδείξετε ότι: α. ν άρτιος β. IAI = 1 και IA + ΙI = ± γz; γ. l2κΑ + (κ2 - 1 )1 1 2: Ο, κ Ε Ν.

Λvσa α. Α2 + Ι = Ο � Α2 = -1 οπότε IAI2 = (-1)ν (1 ) .

Αν ο είναι περιπός τότε από ( 1 ) έχουμε IAI2 = -1, άτοπο διότι IAI2 2: Ο, άρα ο ν είναι άρτιος.

β. Από την (1) προκύmει ότι IAI = ± 1 . (Α + 1)2 = Α2 + 2Α + Ι = -1 + 2Α + Ι = 2Α οπότε IA + 112 = 2ν IAI . Αν IAI = -1, τότε IA + 112 = -2v, άτοπο διότι IA + 112 2: Ο, άρα IAI = 1 και IA +112 = 2ν · 1 � IA + I l = ± γz;

γ. 2κΑ + (κ2 -1) Ι = 2κΑ + κ2 Ι - Ι = = 2κΑ + κ21 + Α2 = (Α +κ1)2. Επομένως: l2κΑ + (κ2 - 1)1 1 = IA + κΙ12 2: Ο.

Ασκaσa 9a

Έστω Α τύπου vxv, ώστε (Α + 1)2 = Ο (1) και ν άρ­τιος. Να δείξετε, α. IAI > Ο β. Α - Ι aντιστρέψιμος γ. IA + 311 = ± 2ν IAI -112.

Λvσa α. Από την (1 ) έχουμε Α2 + 2Α + Ι = Ο ή

Α (-Α - 21) = Ι ή Α-1 = -Α - 21 άρα IAI ;ιt Ο. Από την (1 ) : Α2 - 2Α + Ι = -4Α ή

(Α - 1)2 = - 4Α οπότε IA - 112 = (- 4)ν IAI δηλ. IA - 1 12 = 4ν IAI (2), διότι ν άρτιος.

ΑΝιά IA- 112 2: Ο, άρα IAI 2: ο. Επομένως IAI > Ο, διότι IAI ;ιt Ο.

β. Θέτουμε Β = Α - Ι � Α = Β + Ι. Η (1) διαδο­χικά γίνεται (Β + Ι + 1)2 = Ο ή Β2 + 4Β + 41 = Ο ή

Β(Β + 41) = - 41 άρα Β-1 = 1 (-Β - 41) δηλ. 4 (Α - 1}-1 = 1 (-Α - 31) (3). 4

γ. Από την (2) προκύmει ότι: IA - Ι I = ± 2ν IAI 112 (4).

Επομένως (3): (Α - I} (Α + 31) = - 41 ή IA - ιι IA + 311 = (-4)ν δηί\. ΙΑ + 311 = ___k_

Άρα IA + 311 = ± 2ν IAI - 112. IA- �

Ασκaσa 10a

Αν ο Α είναι vχν ώστε Α3 = Ο, να υπολογίσετε τον (-2Α2 + 2Α - 1}-1.

Λvσa -2Α2 + 2Α- Ι = Ο - 2Α2 + 2Α- Ι = Α3 -2Α2 + 2Α- Ι = Α3 - Α2 -Α2 + Α + Α - 1 = Α2 (Α - I) -Α (Α - I) + (Α - I) = (Α2 -Α + I) · (Α - I) Α3 = Ο � Α3 - Ι = -1 � (Α - I) (Α2 + Α + I) = -1 � (Α - 1)-1 = -Α2 -Α -1 Α3 = Ο � Α3 + Ι = Ι � (Α + I) (Α2 - Α + Ι) = Ι � (Α2 - Α + 1)-1 = Α + Ι

Οι Α2 - Α + I, Α - Ι είναι αντιστρέψιμοι,άρα και το γινομενό τους θα είναι aντιστρέψιμος με: (-2Α2 + 2Α- 1)-1 = (Α - 1)-1 (Α2 - Α + 1)-1 = (-Α2 - Α - Ι) (Α + Ι) = -Α3 -Α2 -Α-Α2 -Α -Ι = -2Α2 -2Α-Ι.

Ασκaσa lla

Αν για τον πίνακα τύπου vχν Α, ισχύει Α2 - κΑ +ί\1 = Ο (1 ) , όπου κ,ί\ Ε R με κ2 - 4ί\ < Ο. Να δείξετε ότι οι πίνακες Α - χΙ και yA+ χΙ είναι aντι­στρέψιμοι για κάθε χ Ε R, y Ε R*.

Λvσa Θέτουμε Α - χΙ = Β � Α = Β + χΙ.

(1 ) � (Β + χ1)2 -κ(Β + χΙ) +ί\1 = Ο � Β2 + 2χΒ +κ2Β +χ21 -κΒ - κχl + ί\1 = Ο � Β2 + 2χΒ - κΒ = - (χ2 - κχ +ί\)1 � Β [Β + (2χ - κ)Ι] = - (χ2 - κχ + ί\)1 (1 ) .

Τ ο τριώνυμο χ2 -κχ + ί\ είναι θετικό για κάθε χ Ε R, διότι Δ = κ2 -4ί\ <0. (1 ) � Β-1 = 1 [Β - (2χ - χ)] , οπότε με

i!-κχ+ί\ αντικατάσταση του Β, (Α - xl)-1 = - 1 [Α + (χ - χ ) I]

i!- κχ+ ί\ (2)

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κz. τ. 1/48

r ' Α"ιιείο" -Αλyεβρα

yA + χΙ = y (Α + x/y 1) , y ;ι! Ο. Ο πίνακας Α + � Ι, από τη (2), αν θέσουμε όπου

Υ χ ' ' ' Α Ι χ το - - , ειναι αντιστρεψιμος, αρα και ο y + χ Υ

είναι aντιστρέψιμος με (yA +χΙ)-ι =�(Α + � lr ι . 1\σκnσn 12n

Έστω Α τύπου νχν μη αναστρέψιμος. Αν χΑ + yl = Ο (1) , να βρείτε ης αριθμητικές τιμές

των χ, y E R.

Λvσn Από την (1 ) έχουμε χΑ = -yl ή lxAI = 1- yll ή

xv IAI = ( -y)V I I I ή ο = ( -y)v οπότε Υ = ο (διότι Α μη aντιστρέψιμος, άρα IAI = 0).

Με y = Ο η (1) γίνεται χΑ + ΟΙ = Ο ή χΑ = Ο άρα Χ ·= Ο ή Α = Ο.

Τελικά, (x,y) = (0,0), αν Α ;ι! Ο ή (x,y) = (χ,Ο), αν Α = Ο.

1\σκnσn 13n

Να αποδείξετε ότι για κάθε μη aντιστρέψιμο πίνακα Α, τύπου 2 χ 2, υπάρχει λ Ε R, τέτοιος ώστε:

Ν = λv--ι Α, για κάθε ν Ε Ν*.

Λvσn

'Εστω Α � [ : : ] . Ο Α δεν εfvαι αvασφέψιμος,

άρα IAI = Ο � αδ - βγ = Ο � αδ = βγ.

Αν βδ ;ι! Ο, τότε θέτουμε � = Υ = κ οπότε α = κβ και β δ

γ = κδ άρα Α = [ κβ β] άρα Α2 = (κβ + δ) Α = κδ δ = (� β + δ) Α= (α + δ) Α

Επαγωγικά, αποδεικνύουμε ότι Av = (α + δ)v-ι Α, για κάθε ν Ε Ν*.

Τελικά σε κάθε περίπτωση υπάρχει λ = α + δ, τέ­τοιος ώστε: Av = λv -ι Α

1\σκnσn 14n

Αν για τον νχν πίνακα Α, ισχύει Α3 + Α2 - Α = Ο (1 ) , να αποδείξετε ότι:

(Α + 1)-6 = (2Α - 1)2.

Λvσο Από την (1 ) διαδοχικά έχουμε:

Α3 + Α2 - Α - Ι = -1 ή Α2 (Α + I) - (Α + I) = - Ι ή (Α2 - Ι) (Α + Ι) = -1 ή (I -Α) (Α + 1)2 = Ι ή [(Α + 1)2]-ι = Ι - Α ή (Α + 1)-2 = I -Α ή (Α + 1)-6 = (I -Α)3 = Ι - 3Α + 3Α2 -Α3 = = Ι - 3Α + 3Α2 + Α2 -Α = 4Α2 - 4Α + Ι = (2Α - 1)2

Προτεινόμενες Ασκιίσεις

1 . Να εξετάσετε αν στον σύνολο των νχν πινάκων ισχύει n ιδιότητα IA + ΒΙ ::5 IAI + IBI, για κάθε Α,Β.

2. Να εξετάσετε αν υπάρχει πίνακας Α τύπου νχν και χ Ε R, έτσι ώστε Αι994 = (-χ2 + 2χ -7) Ι και ν περιπός.

3. Αν ο Β είναι ένας ατvιστρέψιμος vxv πίνακας,να εξετάσετ� αν οι σχέσεις κί\82 - (κ2 + λ2)Β + Ι = Ο (1 ) και Β-ι = - κλΒ (2), όπου κ., λ Ε R �ίναι δυνα­τόν να ισχύουν ταυτόχρονα.

4. Δίνεται ο νχν πίνακας Α ώστε Α3 = 9 Ι. Να υπο­λογίσετε την IAI και να δείξετε ότι iΑ2 + 2Α + 4 ιι = IA - 2 ΙΙ-ι .

5 Αν ο Α είναι vχν και Α2 = Α, να υπολογίσετε την I2A - Ij .

6. Αν για τον 7 χ 7 πίνακα Α ισχύει IAI = 3, να βρεί­τε την ladjAI .

· 7. Οι Α,Β είναι vχν ώστε Α2 - 7Α = -12 1, Αν βδ = Ο, τότε εύκολα προκύπτει όη η άσκηση 2 Β - 3Β + 21 = Ο και ΑΒ - 3Β - Α + 21 = Ο. επαληθεύεται. Για παράδειγμα, αν β = Ο, τότε α = Ο ή δ = Ο,οπότε

Α � [ : � ] ή Α � [ : � ] κα Α" � & - 1 Α ή

Av = av - ιA

Να αποδείξετε ότι Α = 4 Ι καιΒ = · 2 Ι. .

8. Δίνεται ο 5 χ 5 πίνακας Α ώστε Α2 = SA - 51. α. Να δείξετε ότι IA - 311 = IA - 211-ι , β. Αν (Α - 2 Ι) Χ = Α νa υπολογίσετε τους χ-ι,

χ-2 και να αποδείξετε ότι IΧΙ = ± 25 Γs ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κz. τ. 1/49

r ' Λvκείοv - ί\λyεβρο

Λvσεις 5. (2Α - Ι)2 = 4Α2 - 4Α + Ι = Ι ή I2A - 1 12 = 1 ή

1 . Για Α = Β = I , I Ι + Ι l ::::; 11 1 + 1 1 1 ή 1211 ::::; 2 11 1 ή I2A - Ι I = ± 1 .

2v :5 2 , άτοπο. 6. AadjA = IAI Ι οπότε ladjAI = IAI6 ή ladjAI = 36.

2 . Από την σχέση, που δίνεωι, έχουμε ΙΑΙ 1994 = (-χ2 +2χ -7)v 11 1 ή IAI 1994 = (-χ2 +2χ -7)v, άτο­πο διόη IAI 1994 � Ο, (-χ2 + 2χ - 7)v < Ο, αφού ν περιπός και το τριώνυμο είνα αρνηηκό για κάθε x E R.

3. Από (2) : Β-1 Β = - κλΒΒ ή κλΒ2 = -1 (3). Από ης (1) και (3) προκύmει: -1 - (κ2 + /\2) Β + Ι = Ο I οπότε - (κ2 + λ2) Β = Ο άρα κ = λ = Ο ή Β = Ο, άρα η (2) δίνει Β = Ο, άτοπο, αφού Β ανηmρέψιμος.

4. Α3 = 9 I ή IAI3 = ψ ή IAI = v; (Α - 21) (Α2 + 2Α + 41) = = Α3 + 2Α2 + 4Α - 2Α2 - 4Α - 8 Ι = 9 I - 8 I = I, άρα πίνακες είναι αντίmροφοι επομένως ΙΑ2 + 2Α + 4Ι I = IA - 211-1.

ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ (νέα έκδοση) ,,.,.ι·.ιι'r"'ιi'\ιυ 8 AAi"EBPA Β' ΛΥΚΕΙΟΥ

Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ' ΑΛΓΕΒΡΑ - ΑΝΑΛντικί-ι ΓΕΩΜΙΞΤΡΙΑ 1

1ης ΔΕΣΜΗΣ (Πίνακες, Γραμμικά συστήματα, Διανύσματα, Η ευθεία στο επίπεδο)

1 ΑΛΓΕΒΡΑ • ΑΝΑΛΥτΙΚΗ ΓΕΩΜΕτΡΙΑ 2 1 ης ΔΕΣΜΗΣ (Κωνικές τομές, Μιγαδικοί αριθμοί, Πιθανότητες) ' ·

, ΑΝΑΛ ΥΣΗ 1 ης ΔΕΣΜΗΣ 1 (Σuvαρτήσεις · Όριο, Συνέχεια · Ακολουθίες) ΑΝΑΛ ��Η 1 ης ��ΜΗΣ 2 (Διαφοpικός λοy'ι'σμός)

Ι ΑΝΑΛ ΥΣΗ 1 ης ΔΕΣΜΗΣ (Ολοκληρωτικός λογιdjJός)

I ΑΛΓΕΒΡΑ4ης ΔΕΣΜΗΣ (Πίν�κες:rραμμικά Συστήματα-Πιθανότητες) ΑΝΑΛΥΣΗ 4ης ΔΕΣΜΗΣ 1 (Βασικές έννοιες-Όριο-Συνέχεια συνάρτησης) ΑΝΑΛ ΥΣΗ 4ης ΔΕΣΜΗΣ 2 (Δiοψορικός . ΟλοΚληρωτικός Λογισμός)

ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΝΑΛΥτtΚΗ rεόΜΕ1ΡΙΑ

7. Α2 - 7Α = -12 Ι ή Α2 - 7Α + 12 1 = 0 ή ή (Α - 41) (Α - 31) = Ο ( 1 ) Β2 - 3Β + 21 = Ο ή (Β - I) (Β - 21) = Ο (2) ΑΒ - 3Β - Α + 21 = Ο ή ΑΒ - 3Β -Α + 31 = Ι ή (Α - 31) (Β - I) = I, άρα οι Α - 31, Β - Ι είναι αντί­mροφοι οπότε από ( 1 ) , (2) Α = 41 και Β = 21.

8. (Α - 31) (Α - 2Ι) = Α2 - 5Α + 61 = Ι , άρα οι Α - 31, Α- 21 είναι αντίmροφοι, επομένως IA - 3II = ΙΑ - 21 1-1 . Χ = (Α - 31) Α = Α2 - 3Α = 5Α - 51 - 3Α = = 2Α - 51, άρα Χ2 = (2Α - 51)2 = = 4Α2 -20Α + 25 Ι = 4 (5Α-51) -20Α + 251 = 51 οπότε IXI2 = 55 ή IΧΙ = ± 25 Γs

Ε Κ Δ Ο Σ Ε Ι Σ

Ζ Η Τ Η ΒΙΒΛΙΟΠΩΛΕΙΟ ΑΡΜΕΝΟΠΟΥΛΟV 27 (πίαίιι από τη Ροτόντα) ' 'D' 203-720, FAX: 849-171 ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 546�. ,

"".....,._εn ........ ι-nιχι�� --- . .. <βλία των εκδ�σ . και φέτος :α � � .

· πqρόμοια eεματ? είχαν ιδια η ' . ών '

. των γενικ � Στους καθηγητές γίνεται · .· · 35% ιr�ι �ί�ονται δωpεάιr οι λcίσεις : :i ' , με αuτα f Ζητήστε να σας στείλουμε τον τιμ()κι;ιτάλοyο του Σεπτεμθpίου. '94

1" ...

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β . κz. τ. 1/50

tlλi aς Σ. Λούβ ης Ηλfσς Σ. Λσύβnς Ηλίας Σ. Λσύβnς

Όλα τα βιβλία της

1 ης & 4ης Δέσμης

συνοδεύονται από

το βιβλίο του καθη·

γητή που διανέμε­

ται δωρεάν στους

συνάδελφους Μα­

θηματικούς.

Η llη Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα διεξή­χθει φέτος στο Νονί Sad της Σερβίας την περίοδο 8-14 Μαίου με τη συμμετοχή των χωρών της Ελλάδος, Βουλγαρίας, Ρουμανίας, Σερβίας και Κύπρου. (Η Αλβανία αν και είχε προσκληθεί δεν ήρθε) . Η Ελλη­νική αποστολή ξεκίνησε τα ξημερώματα της Κυρια­κής του Θωμά από το Ελληνικό με προορισμό τη Βουδαπέστη κι από 'κει στο Νονί Sad όπου διέμεινε σε ξενοδοχείο μαzί με ης άλλες αποστολές. Χαρα­κτηριστική κι ιδιαίτερα εντυπωσιακή ήταν η φιλοξενία που πρόσφεραν οι Σέρβοι. Δεδομένου μάλιστα των συνθηκών που επικρατούν στη χώρα αυτή, η 1 1η Βαλκανιάδα μπορεί να χαρακτηρισθεί ίσως η πιο επι­τυχημένη. Ιδιαίτερα ανεβασμένο ήταν και το επίπεδο των θεμάτων που τέθηκαν με αποτέλεσμα οι βαθμο­λογίες όλων των χωρών να 'ναι χαμηλές. Η χώρα μας πήρε δύο χάλκινα μετάλια με τους Ν. Ζύγουρα και Α Οικονόμου.

Ακόμη η Ελλάδα συμμετέχει όπως κάθε χρόνο και στην 35η Διεθνή Μαθηματική Ολυμπιάδα, που έγινε 8-20 Ιουλίου στο Xovyκ-Kovyκ. Ο διαγωνισμός διε­ξήχθει σε δύο μέρες 13 και 14 Ιουλίου, ενώ το υπό­λοιπο πρόγραμμα συμπληρώθηκε με εκδρομές κι αθλητικές δραστηριότητες στο κάμπινγκ που έμειναν οι διαγωνιzόμενοι. Η απονομή των βραβείων έγινε στις 19/7 όπου πρώτη αναδείχθηκε η ομάδα των Η.Π.Α Η ελληνική αποστολή κατάφερε να αποσπά­σει 1 χάλκινο μετάλιο (Γ. Μαυροειδής) και 5 εύφη­μες μνείες, γεγονός αρκετά ικανοποιητικό δεδομέ­νου των aτυχών συγκυριών και του φόρτου εργασίας που είχαν οι μαθητές της Γ ' Λυκείου κυρίως.

Τα θέματα της llης Β. Μ. Ο. και τnς 35ης Ι. Μ. Ο. είναι τα εξής:

1 1n Β. Μ. 0.:

1 ) Δίδεται οξεία γωνία <ΧΑΥ και σημείο Ρ στο εσωτερικό της. Να κατασκευαστεί (με κανόνα και διαβήτη) μια ευθεία που διέρχεται από το σημείο Ρ και τέμνει ης πλευρές ΑΧ και ΑΥ στα σημεία Β και C

l ln (Β. Μ. 0) Βαλκανικό Μαθηματικό Ολvμοιάδα

35n (1. Μ. 0) Διεθνής Μαθηματικό Ολvμοιάδα

Επιμέλεια: Δ. Κοντοyιάννnς

αντίστοιχα, ούτως ώστε το τρίγωνο ABC να έχει εμ­βαδό ίσο με (ΑΡ)2.

(Κύπρος) 2) Ν' αποδειχθεί ότι το πολυώνυμο

χ4 - 1994χ3 + (1993 + m)x2 - 1 1 χ + m, m ακέραιος έχει το πολύ μια ακέραια ρίzα. ·

(Ελλάδα)

3) Έστω (α1 , α2, . . . , an) μία μετάθεση των αριθμών 1 , 2, . . . , η, η � 2. Να υπολογιστεί η μέγιστη δυνατή τιμή της παράστασης.

n- 1 Σ lακ + ι -ακl κ = 1 (Ρουμανία)

4) Να βρεθεί σ μικρότερος αριθμός η > 4, τέτοιος ώστε να υπάρχει ένα σύνολο η ανθρώπων, έτσι ώστε κάθε δύο από αυτούς που είναι γνωστοί μεταξύ τους να μην έχουν κοινούς γνωστούς και κάθε δύο απ' αυτους που είναι άγνωστοι μεταξύ τους, έχουν ακρι­βώς δύο κοινούς γνωστούς.

Σnμείωσn. Η γνωριμία είναι συμμετρικn σχέση, δηλ. αν ο Α γνωρίzει το Β, τότε και ο Β γνωρίzει τον Α

(Βουλγαρία) Διάρκεια Εξέrασnς (4 1/2 ώρες)

35n Ι. Μ. Ο.

Πρώτο Μέρα (13 lovλίov 1994) 1) Έστω m και η δύο θετικοί ακέραιοι. Έστω α1 , α2, . . . , am διαφορετικά στοιχεία του συνόλου { 1 , 2,

. . . , m} τέτοια ώστε αν αί + � :s; η για κάποια ί, j με 1 < " < ' ' 1 < < + -_ J _ m, τοτε υπαρχει κ, _ κ _ m, με aj αί - ακ. Να αποδειχθεί ότι

_α=-1 _+_α-=2=-+_._ . . _+_Om= � _η_+_1 m 2

2) ABC είναι ένα ισοσκελές τρίγωνο με ΑΒ = AC.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κη. τ. 1/52

---------------- l ln Β.Μ.Ο., 35n Ι.Μ.Ο. ----------------

Έστω ότι {i) Μ είναι το μέσο του BC και Ο είνα το σημείο της

ευθείας ΑΜ τέrοιο ώστε η ευθεία ΟΒ να είναι κάθετη στnν ΑΒ.

(ii) Q είναι σημείο του ευθυγράμμου τμήματος BC, διαφορετικό από τα Β και C.

(iii) Ε είναι το σηj.Ιείο της ευθείας ΑΒ και F είναι ση­με(ό της ευθείας AC έrσι ώστε τα Q, Ε, F να είναι δια­φορετικά συγγραμικά σημεία.

Να αποδειχθεί ότι η ευθεία OQ είναι κάθετη στην EF τότε και μόνο τότε αν QE = QF.

3) Για κάθε θετικό ακέραιο κ, ώστε f (κ) το πλήθος των στοιχείων του συνόλου {κ + 1 , κ + 2, . . . , 2κ} τωv οποίων η παράσταση στο σύστήμα με βάση 2 πε­ριέχει ακριβώς τρεις φορές το ψηφίο 1 .

(α) Να aποδειχθεί ότ:ι για κάθε θετικό ακέραιο m , υπάρχει ένaς τουλάχιστον θετικός ακέραιος κ τέrοιος ώστε f (κ) = m.

(β) Να βρείτε όλους τους θετικούς ακεραίους m, για τους οποίους υπάρχει ακριβώς ένα κ τέτοιο ώστε f (·κ) = m. Διdρκεια : 4,5 ώρες.

Η ΕΜΕ συγχαfρει τους μαθητές των ολυμπια­κών μας ομάδων που aρίστευσαν στις εισαγωγι­κές εξετάσεις. Ειδικά τους:

ΜαtJροειδός Γιάννος: Επιστήμη Υπολογιστών Ηράκλειο

Ζ"vοtJρας Νίκος: Ηλεκτρολόγους Μηχανικούς Αθήνα

Οικονόμου Αντρέας: Πληροφορική Θεσ/νίκη.

Ράnnος Στράτος: Πολιτικούς Μηχανικούς Αθήνα.

Ζόρος Θανάσnς: Πολιτικούς Μηχανικούς Αθήνα.

Η ΕΜΕ όπως κάθε χρόνο διοργανώνει

μαθήματα για τους μαθητές

που ενδιαφέρονται για τα Μαθηματικά.

Τ α μαθόματα γίνονται κάθε Σάββατο

και είναι ΔΩΡΕΑΝ.

Π?Jnροφορίες σra γραφεία rnς ΕΜΕ.

Tn?J. 361 7784.

Δεwερο μέρα 14 lotJλίotJ 1994 4) Να βρεθούν όλα τα διατεταγμένα zεύγη θετι-

κών ακεραίων αριθμών (m, η) τέrοια ώστε ο αριθμός n3 + 1 , , -- να ειναι ακεραιος. mn- 1 5) Έστω S το σύνολο των πραγματικών αριθμών

μεγαλύτερων του -1 . Να βρεθούν όλες οι συναρτή- . σεις f : S - S που ικανοποιούν ης συνθήκες:

(i) f (χ + f (y) + xf (y)) = y + f (χ) + y f (χ) για κά­θε χ, y στο S,

(ii) Η συνάρτηση f(x) είναι γνησίως αύξουσα σε χ κάθε ένα από τα διαστήματα -1 < χ < Ο και Ο < χ.

6) Να δειχθεί ότι υπάρχει σύνολο Α θετικών ακε­ραίων με την πιο κάτω ιδιότητα.

Για κάθε aπειροσύνολο S πρώτων αριθμών υπάρ­χουν δύο θετικοί ακέραιοι m Ε Α και η ftA κάθε ένας από τους οποίους είναι γινόμενο κ διαφορετι­κών στοιχείων του S, με κ � 2. Διdρκεια: 4, 5 ώρες.

ΠεριpέvοtJpε λvσεις σας. Εμείς πάντως θα δημοσιεύσουμε ης λύσεις στο 3ο τεvχος του ΕtJκλείδο.

(} (} . ΠΑΝΕΛΛΉΝΙΟ ΣΥΝΕΔΡΙΟ � � ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ® Με δ1εθvn συμμετοχri

I Κ Ε Ρ ΚΥΡΑ, 1 6 - 1 8 Δ Ε Κ Ε Μ Β Ρ ΙΟΥ 1 994 1

ΟΡΓΑΝΩΣΗ: Ε λ λ η ν ι κ ή Μ α θ η μ α τ ι κ ή Ε τ α ι ρ ε l α Π α ρ ό ρ τ η μ α Ε . Μ . Ε . Κ έ ρ κ υ ρ α ς

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κη. τ . 1/53

�Ένα πρόβλημα πολλές λ.Sσεις Επιμέλεια: Νίκος Στάθη Παnαδόnοvλος

Ο ''Ευκλείδης Β ' " άρχισε μια προσπάθεια πα­ρουσίασης προβλημάτων με περισσότερες από μία λύσεις. Στο ξεκίνημα αυτής της προσπάθειας γρά­φουμε:

''Ο σκοπός αυτής της προσπάθειας είναι να δείξει στους μαθητές την πολυπλευρικότητα της Μαθηματι­κής σκέψης, να τους οδηγήσει στη δημιουργία αντί­ληψης συνεχόμενης αναzήτησης, να διώξει τη στατι­κή εικόνα της σημερινής Μαθηματικής πραγματικό­τητας" .

Η προσπάθεια αυτή βρήκε μεγάλη ανταπόκριση από τους συναδέλφους και κατά συνέπεια συνεχί­zουμε.

Επειδή η αρίθμηση των ασκήσεων συνεχίzεται από τα προηγούμενα τεύχη, δίνουμε παρακάτω τις εκφωνήσεις των ασκήσεων - θεωρημάτων τα οποία δημοσιεύτηκαν μέχρι τώρα και τον αριθμό των Λύσε­ων που δόθηκαν για το καθένα. Επίσης δίνουμε κι άλλες ασκήσεις - θεωρήματα με τις ί\ύσεις τις οποίες μας έστειλαν οι αναγνώστες του ''Ευκλείδη Β ' " .

ι . Ν' αnοδειχθεί όΊΙ: D διάμεσος τοιι τραnεzίοιι είναι nαράλλnλn nρος τις βάσεις τοιι και ίσο με το nμιάθροισμα των βάσεων. (Δόθηκαν δεκαοχτώ διαφορετικές λuσεις)

2 . Ισόnλειιρο τρίyωνο ABI' είναι εyyε­yραμμένο σε κuκλο (Κ, R). Στο τό�ο Bl' nαίρνοιιμε τιιχαίο σημείο Μ. Ν' αnοδεί�ετε ότι:

ΜΑ = ΜΒ + ΜΙ' (Δόθηκαν οχτώ διαφορετικές λuσεις)

Ασκnσn Sn

Δίνεται τρίyωνο ABI' με Β = 2 Α. Δείξτε ότι: β2 - α2 = α • y

Πρώτος τρόnος: β2 _ α2 = α . γ � (2 R ημΒ)2 - (2 R ημΑ)2 = 2 R ημΑ · 2 R ημ Γ � ημ2Β - ημ2Α = ημΑ . ημΓ � ημ (Β + Α) ημ (Β - Α) = ημΑ · ημΓ

3. Αν ΑΔ n διχοτόμος τος yωνίας Α ενός τριyώνοιι ABI', να αnοδείχθεί ότι:

ΔΒ = ΑΒ Μ Ar

(Δόθηκαν εννιά διαφορετικές λuσεις)

4. Δίνεται ισοσκελές τραnέzιο ΑΒΙ'Δ (ΑΒ // Ι'Δ) και τοιι uψος τοιι ΒΖ. Ν' αnοδει­χθεί ότι το εμβαδόν τοιι τραnεzίοιι είναι διαnλάσιο αnό το εμβαδόν τοιι ορθοyωνίοιι τριyώνοιι ΒΔΖ. (Δόθηκαν έ�ι διαφορετικές λuσεις)

Στη συνέχεια θα δημοσιεύσουμε τις ασκήσεις 5, 6, 7, 8, 9.

Την άσκηση 5 μας έστειλε ο συνάδελφος: Ι'ιώρyος Κατσοuλnς

λυμένη με έντεκα διαφορετικούς τρόπους Την άσκηση 6 μας έστειλε ο συνάδελφος:

Χρόστος Νικολόnοιιλος λυμένη με έξι διαφορετικούς τρόπους

Την άσκηση 7 μας έστειλε ο συνάδελφος: Ν. Δnμnτριέφ

λυμένη με έντεκα διαφορετικούς τρόπους Τις ασκήσεις 8 και 9 μας έστειλε ο συνά9ελφος:

Χρόστος Στέλλας λυμένες με τέσσερις και οχτώ διαφορετικούς τρό­πους αντίστοιχα.

ΔεUτερος τρόnος: β2 - α2 = α · γ � . . . � ημ2Β - ημ2Α = η μΑ · ημΓ � (2ημΑ συνΑ)2 - ημ2Α = ημΑ · ημΓ � 4ημ2Α (1 - ημ2Α) - ημ2Α = ημΑ ημΓ � 4ημΑ (1 - ημ2Α) - ημΑ = ημΓ (ημΑ .., Ο γιατί; ) � 3ημΑ - 4ημ3Α = ημΓ ημ3Α = ημΓ � ημ (2Α + Α) = ημΓ � ημ (Β + Α) = ημΓ, ισχύει

� ημ (Β - Α) = ημ Α (διότι Β + Α = Π - Γ) Τρίτος τρόnος: � ημ (2Α - Α) = ημΑ που ισχύει. β2 - α2 = α · γ � . . . � ημ2Β - ημ2Α = ημΑ · ημΓ

Σημείωση: Θεωρούμε γνωστό ότι: � ημ22Α - ημ2Α = ημΑ · ημΓ ημ (α + β) ημ (α - β) = ημ2α - ημ2β. � (ημ2Α + ημΑ) (ημ2Α - ημΑ) = ημΑ ημΓ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κη. τ. 1/54

------------- Έvα ορό8ί\npα οοί\ί\ές ί\.Sσεις -------------

�2ημ3Α συvΔ · 2ημΔσυν 3Α = ημΑημΓ 2 2 2 2

� ημ3Α ημΑ = ημΑ · ημΓ � πμ (2Α + Α) = ημΓ � πμ (Β + Α) = ημΓ, ισχύει.

Τέταρτός τροnος: Από το νόμο των ημιτόνων έχουμε: α β α β α β - = - � - = -- � - = �

ημΑ ημΒ ημΑ ημ2Α ημΑ 2ημΑσυνΑ

β β2 + Y.-cl- β συvΑ = - � = - � 2α 2βy 2α

αβ2 + α (y'2 - α2) = β2 ν � β2 (α - ν) + α (ν - α) (α + ν) = Ο � {α - ν) (β2 - α2 - αν) = Ο.

Αν α .,. ν τότε β2 - α2 - αν = Ο � β2 - α2 = αν Αν α = ν προφανώς ισχύει (γιατί;)

Πέpnτος τρόnος: Β

Γ

Φέρνουμε τη διχοτόμο ΒΔ. Από το θεώρημα της εσωτερικής διχοτόμου στο τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε:

ΔΓ α α · β - = - � ΔΓ = -- (1) ΔΑ ν α + ν

Αl\Λά τρίγωνο ΑΒΓ "" τρίγωνο ΒΔΓ {γιατί; ) άρα

� = � � ci = β · ΔΓ (2) ΔΓ α

Από ης (1), (2) έχουμε:

c1 = β · � � α (α + ν) = β2 � α + ν

α2 + αν = β2 <=> β2 - α2 = αν

Έκτος τρόnος:

Στην προέκταση της ΓΒ παίρνουμε τμήμα ΒΔ = y. Είναι τρίγωνο ΑΒΓ ... τρίγωνο ΑΔΓ {γιατί;)

οπόrε _β_ = � � β2 = c1 + aν� β2 - if = αν α + ν β ·

Δ

Γ

Έβδομος τρόnος:

Γ Στην προέκταση της ΓΒ παίρνουμε τμήμα ΒΔ = y.

- - - - - - - - -

Τότε Β = Α1 + Δ � Β = 2Δ � 2Α = 2Δ � Δ = Α Επομένως η ευθεία ΑΓ είναι εφαπτόμενη στον κύκλο τον περιγεγραμμένο στο τριy. ΒΔΑ. Άρα ΓΒ · ΓΔ = ΓΑ2 � α (α + y) = β2 <=> β2 - α2 = αy.

Όyδοος τρόnος:

Β

Φέρνουμε τη διχοτόμο της γωνίας Β, τη ΒΔ. Είναι � �

ΒΔ = ΔΑ {γιατί; ) . Επειδή Β = ΒΔΓ = 2ω.

'Εχουμε (ΑΒΓ) = ri · ν = α · ν (1) (ΒΔΓ) ΒΔ· ΔΓ ΔΑ · ΔΓ

IWά (ΑΒΓ) = � (2) (yιαrί;) (ΒΔΓ) ΔΓ

Ακόμη ΒΔδιχmόμος � ΔΑ = � (3) α + ν

Από (1), (2), (3) έχουμε α · ν= β · � � α + ν

Ένατος τρόnος: Φέpνουμε τη διχοτόμο της γωνίας Β, τη ΒΔ, ΓΜ

διάμεσο, ΓΗ ύψος. Είναι ΒΔ = ΔΑ οπότε ΔΜ l_ ΑΒ (γιατί; ) άρα η ΔΜ

είναι παράλληλη της ΓΗ οπόtε

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κη. τ. 1/55

-------------- Ένα αρόβλαpα αολλές λuσεις --------------

ΜΗ ΓΔ α , ΜΗ α -- = - = - (γimιΒΔδιχm.) � - = -ΜΑ Μ ν ν ν

2 � α = 2ΜΗ (1)

Στο τρίγωνο ΑΒΓ επειδή ΓΜ διάμεσος είναι: 62 - α2 = 2y · ΜΗ � β2 - α2 = α · γ.

Γ

Δέκατος τρόοος:

Γ

Φέρνουμε ΓΗ ύψος, ΓΜ διάμεσος είναι: β2 = ΓΗ2 + ΗΑ2 1 � if = ΓΗ2 + Η� 62 - α2 = ΗΑ2 - ΗΒ2 � β2 - α2 = (ΗΑ + ΗΒ) (ΗΑ - ΗΒ) � 62 - α2 = γ (ΗΜ + ΜΑ - ΗΒ) � 62 - α2 = γ (ΗΜ + ΜΒ - ΗΒ) � 62 - α2 = ν · 2ΜΗ (1)

Α

α " " Αν Κ μέσοvmς ΒΓτότε ΚΗ = - και ΚΗΒ = Β = 2ω.

2 -. - � - -Αλλά ΚΜΗ = Α = ω (γιατί;) οπότε Κι = ω (γιατί;)

άρα ΚΗΜ τρίγωνο ισοσκελές, δηλαδή

ΚΗ = ΗΜ � ΗΜ = � (2) 2

Από τις (1) , (2) έχουμε: 62 - α2 = α · γ.

Ενδέκατος τρόοος: Έσrω ΑΒΓ οξυγώνιο. Με εφαρμογή του γενικευμέ­

νου πυθαγοpείου θεωρήματος έχουμε: 62 = α2 + y2 - 2y · ΒΕ ( 1 )

Παίρνουμε ΕΚ = ΒΕ τότε ΓΚ = ΚΑ = α (2) (γιατί;) Από τις (1) , (2) έχουμε

62 = α2 + y2 - γ (ΑΒ - ΑΚ) � 62 = α2 + y2 - ν (γ - α) <=> 62 = α2 + y2 - y2 + αγ <=> 62 = α2 + αγ <=> 62 - α2 = αγ

Γ

Α Σnμείωσn: Να εξετασrεί αν ισχύει όταν ΑΒΓ aμ-

6ί\υyώνιο.

Ασκnσn 6n

Η διάμί:σος ορος τnv vοοτείνοvσα ορ8ο­yωνίοv τριyώνοv, ισοι5ται με το μισό τnς vοοτείνοvσας.

Αοόδειξn: Έσrω τρίγωνο ΑΒΓ (Α = 90°) .

Πρώτος τρόοος Γ

Β Ισχύ� ότι � + Γ = 90°. Φέρνω ΑΜ ώσrε Αι = Β

οπότε Α2 = Γ. Άρα τα τρίγωνα ΑΒΜ και ΑΜΓ είναι ισοσκελή και επομένως ΑΜ = ΜΒ = ΜΓ.

Δηί\. Η ΑΜ είναι διάμεσος i:ου τριγώνου ΑΒΓ και

aκqm IAM = MB =� I Δε.Περος τρόοος

Γ

Β Φέρνω τη διάμεσο ΑΜ του τριγώνου ΑΒΓ. Από το

σημείο Μ φέρνω το ΜΔ//ΑΒ. Αφού το Μ είναι μέσον της ΒΓ, το Δ θα είναι μέσον της ΑΓ. Ακόμη αφού ΜΔ//ΑΒ και ΑΒ .l ΑΓ, τότε ΜΔ .l ΑΓ. Άρα η ΜΔ είναι

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κη. τ. 1/56

-----------�- �Eva ορόβί\apα οοί\ί\ές ί\\Ιοεις -----�-------

η μεσοκάθετη του ΑΓ. Επομένως το σημείο Μ ισαπέ­χει από τα σημεία Α και Γ.

� ΙΑΜ=ΜΓ=�I Τρίτος τρόοος

Φέρνω τη διάμεσο ΑΜ του τριγώνου ΑΒΓ. Προε­κτείνω την ΑΜ κατά τμήμα ΜΔ = ΑΜ. Στο τετρά­πλευρο ΑΒΔΓ οι διαγώνιες διχοτομούνται..!... άρα το ΑΒΔΓ είναι παραλληλόγραμμο και επειδή Α = 90°

. το ΑΒΔΓ είναι ορθογώνιο. Επομένως Μ= ΒΓ,2ΑΜ = ΒΓ, ΙΑΜ = ΒΓΙ 2 Γ

Τέταρτος τρόοος

Ε Φέρνω τη διάμεσο ΑΜ του τριγώνου ΑΒΓ. Από το

Α φέρνω ΑΚΙ/ΒΓ και από το Β φέρνω ΒΕ//ΑΜ. Το τετράολεuρο ΑΚΒΜ είναι οαρ/μο.

Τα τρίγωνα ΑΜΓ, ΑΕΚ είναι ίσα διότι: i) 1}1 =;... ΑΚ (= ΜΒ) ii) Γ = Αι αφού ΑΚ//ΒΓ. iii) Μι = Κι ( = Β) αφού ΑΚ//ΒΓ & ΑΜ//ΒΕ. Άρα ΑΜ = ΚΕ και αφού ΑΜ = ΚΒ έχω ότι ΚΕ =

ΚΒ, δηλ. το Κ είναι μέσο του ΕΒ. Επομένως στο τρίγωνο ΕΒΓ θα είναι ΜΚΙ/ΕΓ και

άρα ΜΚ .l ΑΒ. Από τα προηγούμενα εξάγουμε ότι το

παρ'μο ΑΚΒΜ

είναι ρόμβος, οοόι:ε I ΑΜ = ΜΒ

= � I Dέpοτος τρόοος

Φέρνω τη διάμεσο ΑΜ του τριγώνου ΑΒΓ. Έστω ΑΒ = γ, ΑΓ = β, ΒΓ = α και ΑΜ = χ. Από το νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο ΑΒΜ

έχουμε:

Γ

Α Έκτος ι:ρόοος

Γ

Υ Β

• ·

Φέρνω τη διάμεσο ΑΜ του τριγώνου ΑΒΓ. Έστω ΑΒ = γ, ΑΓ = β, ΒΓ = α και ΑΜ = χ. Από το νόμο των ημιτόνωv, στο τρίγωνο ΑΒΜ, έχουμε:

χ α (1) και σι:ο ημΒ 2ημΑι

ΑΜΓ, Εχοομε:� = -0- (2). ημΓ 2ηι.ιΑ2 Από τις ( 1 ) και (2) ιlε διαίρεση κατά μέλη παίρ­

νουμε:

nμΓ = ηι.ιΑ2 {3) ημΒ ημΑι

Όμως ημΒ = η� (90° - Γ) = συνΓ �οι ημΑι = ημ (90° -

Α2) = σuνΑ2

Άρα η (3) wάφει:αι ημΓ = ηι.ιΑ2 ή &f{ = � σννΓ σwAz.

" " "'

οοόrε : Γ = Az. (αφού Γ, Α;. < 90°) Επομένως το τρίγωνο ΑΜΓ είναι ισοσκελές και άρα

•

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κη. τ. 1/57 ι ·

..

Είναι αμφισβήτητη αλήθεια ότι ένα διδακτικό αντι­κείμενο κεντρίzει το ενδιαφέρον όταν συνδυάzει ομορφιά και χρηmμότητα.

Τα γεωμετρικά θέματα ή τουλάχιστον ορισμένα από αυτά παρουσιάzουν μια ιδιαίτερη ομορφιά και γοητεία, δεv μπορούν όμως να αποδείξουν άμεσα τη χρησιμότητά τους. Είναι η αδυναμία του ίδιου του κλάδου αυτού. Αν και η προέλευσή του και ο φυσι­κός του χώρος, θεωρείται από πολλούς aπρόσιτος, δυσκολονόητος και ανεφάρμοστος.

Δεν θα εξετάσουμε τους λόγους που οδήγησαν σε τέrοιες λαθεμένες αντιλήψεις. Θα περιοριστούμε μό­νο στην εξής διαπίστωση πρόταση:

"Τα σχολικά Βιβλία γεωμετρίας πρέπει να απαλλα­χθούν από φορμαλισμούς και δυσνόητες aξιωματι­κές προσεγγίσεις. Η επιλογή των θεωρημάτων πρέ­πει να είναι ιδιαίτερα προσεκτική, η απόδειξη τους -όταν αυτή έχει διδακτική αξία- να είναι σύντομη και ομαλή. Οι προτεινόμενες ασκήσεις αρμονικές, όμορ­φες και με ενδιαφέρον. Η παράθεση ιστορικών ση­μειωμάτων και άλλων στοιχείων είναι επιβεβλημένη γιατί καθιστούν τη μαθηματική δημιουργία αναπό­σπαστο κομμάτι της εξέλιξης της- επιστήμης και του ανθρώπου."

Οι συγγραφείς των γραμμών αυτών συνάντησαν ορισμένα γοητευτικά στοιχεία γύρω από το γεωμετρι­κό θέμα, συzήτησαν γιαυτό και κατέληξαν στο συμπέ­ρασμα, ότι η γνωστοποίηση στο ευρύτερο εκπαιδευτι­κό και όχι μόνο κοινό έχει κάτι να προσφέρει.

Έτσι συντάχθηκε η εργασία αυτή, χωρίς να υπει­σέρχεται σε πολλές λεπτομέρειες και με οδηγό της εξής σκέψη:

"Πεμπτουσία της διδασκαλίας των μαθηματικών είναι εκείνη η διδακτική δραστηριότητα που διεγεί­ρει το ενδιαφέρον, δημιουργεί διάλογο, επιτρέπει αυτενέργεια και στο τέλος αφήνει τη λεmή αίσθηση που αναδύει κάθε αληθινό έργο τέχνης ή επιστή­μης".

Ένα τέrοιο θέμα πιστεύουμε ότι είναι και το παρα­πάνω. Γι' αυτό προχωράμε αμέσως στη διατύπωσή του:

Το αρ6βλnpα το" Fermat

"Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ. Να προσδιοριστεί ένα σημείο Ρ του τριγώνου, τέrοιο ώστε:

Το άθροισμα ΡΑ + ΡΒ + ΡΓ να είναι ελάχιστο." Το πρόβλημα αυτό πρότεινε ο διάσημος Γάλλος

Νομικός και Μαθηματικός Pieπe De Feπnat ( 1601 -1665) στον μαθητή του Γαλιλαίου και εφευρέrη του Βαρόμετρου Eνaηgelista Torricelli ( 1608 - 1647) . Αυτός το έλυσε με πολλούς τρόπους, έναν απ' τους οποίους θα περιγράψουμε παρακάτω. Η λύση αυτή στηρίzεται στο θεώρnpα το" Vlvlani.

θεώρnpα Vlvlanl: Αν από ένα εσωτερικό ση­μείο Ρ εvός ισόπλευρου τριγώνου ΑΒΓ, φέρουμε τις κάθετες ΡΔ, ΡΕ, ΡΖ προς τις πλευρές του τριγώνου, τότε το άθροισμα ΡΔ + ΡΕ + ΡΖ είναι ίσο με το ύψος του τριγώνου.

Α

Aa68ειCn Δίνουμε την απόδειξη με εμβαδά

(ΑΒΓ) = (ΡΒΓ) + (ΡΑΓ) + (ΡΑΒ) Αν α η πλευρά του τριγώνου και h το ύψος, η παρα­

πάνω σχέση γίνεται:

lcn= la· PΔ+ la· PE + la· PΊ 2 2 2 2

η οποία μετά από πράξεις γίνεται: ΡΔ + ΡΕ + ΡΖ = h. Ερχόμαστε τώρα ξανά στο πρόβλημα του Fermat.

Ο Torrlcelll ύστερα από προσπάθειες και ενέργει­ες, τις οποίες δυστυχώς δεν μπορούμε να μάθουμε,

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κη. τ. 1/58

Ο Feπaat στοv Torήcelll

κατέληξε στο συμπέρασμα ότι το zητούμεvο ·σημείο Ρ nρέnει να είναι εκείνο nov βλέnει τις nλεvρές τοv τριyώνοv vn6 ίσες yωvίες.

Α

Β Γ

Γιο το σημείο Ρ θα είναι δηλαδή:

ΑΡΒ = ΒΡΓ = ΓΡΑ = 120° Γι' aυτό του τον ισχυρισμό έκανε της εξής.

Αn6δει�ο Στο άκρο Α, Β, Γ των ΡΑ, ΡΒ, ΡΓ φέρουμε καθέ­

τους σ' aυτά οι οποίες σχημaτίzουν το τρίγωνο ΔΕΖ. � � �

Επειδή ΑΡΒ = 120° και ΡΑΔ = ΡΒΔ = 90° ή Δ = 60°. Ανάλογο Ε = Ζ = 60°.

Τ ο τρίγωνο ΔΕΖ είναι ισόπλευρο και σύμφωνο με το θεώρημα Viνiaoi θα είναι ΡΑ + ΡΒ + ΡΓ = h, όπου h το ύψος του τριγώνου ΔΕΖ.

Έστω Σ ένα άλλο σημείο του τριγώνου ΑΒΓ τότε:

ΣΑ + ΣΒ + ΣΓ > ΣΚ + ΣΛ + ΣΜ = h. (Στο ορθ. τρίγωνο ΣΑΚ, ΣΒΛ, ΣΓΜ είναι προφανές

ότι: ΣΑ > ΣΚ, ΣΒ > ΣΛ και ΣΓ > ΣΜ) . ·

Άρα: ΣΑ + ΣΒ + ΣΓ > ΡΑ + ΡΒ + ΡΓ. Το σημείο Ρ είναι συνεπώς το zητούμενο.

' '

' '

'

' '

I '

' I I I ι

' ι ) , z

-ε..;� ι

I I ι ι

Το σημείο Ρ του τριγώνου γιο το οποίο το ΡΑ + ΡΒ + ΡΓ είναι ελάχιστο είναι γνωστό ως "σημείο Ferιoat" του τριγώνου.

Ούτε το όνομα του Torricelll που το πρωτοέ­λυσε, ούτε aυτό του Ούγγρου μαθηματικού Frede· rick Rlesz που το ξaνaέλυσε ανεξάρτητο, 300 σχε­δόν χρόνιο aργότερο, συνδέθηκαν μ' aυτό το θέμα. Μόνο στο μεγάλο Ελβετό μαθηματικό του δεκάτου ενάτου αιώνα Jacob Steloer (έναν aπό τους μεγα­λύτερους γεωμέτρες ύστερο aπό τον Απολλώνιο) ,

δόθηκε η τιμή να ονομασθεί το σημείο Ρ, επίσης "σημείο Steloer" του τριγώνου. Φυσικά aυτό δεν έγινε καθόλου συμmωμaτικά. Βρήκε κι aυτός με τη σειρά του μια έξοχη λύση και μελέτησε διεξοδικά (όπως το συvήθιzε πάντοτε) τις ιδιότητές του σημείου Ρ καταλήγοντας σε πολλά ενδιαφέροντα συμπερά­σματα.

Ας έρθουμε ξανά στο σημείο Ρ. Είδαμε ότι aυτό βλέπει τις πλευρές του τριγώνου υπό γωνία 120°. Εύ­λογο τώρα aνaρωτιέraι κάποιος:

"Πως pnoρovpε να nροσδιορίσοvpε yεω· μετρικά το σοpείο Ρ;"

Δ

Γ

Η aπάντηση δόθηκε aπ' τον ίδιο τον Torricelli: Αν κατασκευάσουμε εξωτερικά του τριγώνου το

ισόπλευρο τρίγωνο ΔΑΒ και · ΕΑΓ τότε, επειδή το τε­τράπλευρο ΔΑΡΒ και ΕΑΡΓ είναι εγγράψιμο

(Δ + ΑΡΒ = 180°, Ε + ΑΡΓ = 180°). Το σοpείο Ρ είναι το δεwερο σοpείο το·

paς των nεριyεyρappένων κvκλων τωv τρι· yώνων ΔΑΒ και EAI'.

Με το όμορφο και γοητευτικά προβλήματα της γεω­μετρίας aσχολούνται όλοι οι φιλόδοξοι αλλά και ικα­νοί φίλοι της. Έτσι το 1929 δημοσιεύεται aπό τον J.E. Hofιoaoo μια ακόμη ευφυής aπόδειξη ον και υποστηρίzετaι ότι την ίδιο aπόδειξη πέrυχaν κι άλλοι μαθηματικοί ανεξάρτητο φυσικά ο ένας aπ' τον άλ­λον (όπως λ.χ. ούγγρος Tlbor Gallai) .

Επειδή η λύση του Hofιoaoo είναι εντυπωσιακή, τη πaρουσιάzουμε.

Δ Α

Γ

Αn6δει�ο (Hofιoaoo) Στρέφουμε το τρίγωνο ΡΑΒ γύρω aπό το Β κατά

γωνία 60°, προς το έξω μέρος του τριγώνου ΑΒΓ. Τότε το Ρ έρχεται στο Ε και το Α στο Δ.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κη. τ. 1/59

Ο Ferιnat στον Torήcelll

Τα τρίγωνα ΡΑΒ και ΕΔΒ είναι ίσα (αφού τα τρίγω-να ΕΡΒ και ΔΑΒ είναι ισόπλευρα).

Άρα ΡΕ = ΡΒ και ΡΑ = ΕΔ Επομένως: ΡΑ + ΡΒ + ΡΓ = ΔΕ + ΕΡ + ΡΓ. τ ο αξιοσημείωτο εδώ είναι ότι yια οοοιαδόοοτε

βέοa το" Ρ το τρίyωνο ΔΑΒ είναι ιοό­ολε.,ρο, δηλαδή η θέση του σημείου Δ είναι στα­θερό.

Δ

Γ

Για να είναι ελάχιστο το άθροισμα ΡΑ + ΡΒ + ΡΓ αρκεί να είναι ελάχιστο το ΔΕ + ΕΡ + ΡΓ. Αυτό για να συμβεί πρέπει η τεθλασμένη ΔΕΡΓ να γίνει ευθεία. Συνεπώς το Ρ βρίσκεται στην ευθεία ΔΓ . .Δ � �

Αφού ΒΡΕ ισόπλευρο είναι ΔΡΒ = 60° = ΔΑΒ. Έτσι το Ρ είναι το σημείο τομής της ΔΓ και του περι­γεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ΔΑΒ (το ΑΔΒΡ είναι προφανώς εγγράψιμο).

Είδαμε πιο πάνω ότι αν εξωτερικό του τριγώνου ΑΒΓ κατασκευάσουμε το ισόπλευρο τρίγωvο ΔΑΒ τό­τε το Ρ βρίσκεται στην ευθεία ΔΓ.

\ \

- - - - - - - , Ε

, / �----......;;,•r

/

\ , \

, \ ,

" z

, ,

/

/ ,

Ανάλογα, αν τα τρίγωνα ΕΑΓ και ΖΒΓ είναι ισό­πλευρα τότε το Ρ θα βρίσκεται στις ΒΕ και ΖΑ αντί­στοιχα. Συνεπώς οι ευθείες ΔΓ, ΕΒ και ΖΑ διέρχονται από το ίδιο σημείο, το σημείο Ρ του Fermat. Τα πα­ραπάνω σχόλια μπορούν να συνοψιστούν στην εξής προταση:

"Αν εξωτερικά ενός τριyώνο" ABI' κατα­οκε.,άοο.,pε τα ιοόολε.,ρα τρίyωνα ΔΑΒ, ZBI' και EAI', τότε τα τpόpα Ι'Δ, ΒΕ και ΑΖ είναι ίσα, διέρχονται αοό το ίδιο οapείο Ρ (το" Fermat) και οχapατίzο"ν pεταξ.S το"ς yωνίες 60°.

Μέχρι το σημείο αυτό αναφερόμαστε σε οξυγώνιο τρίγωνο. Τα συμπεράσματα αυτό, όπως αποδεικνύε­ται, ισχύουν και για τρίγωνα στα οποία καμμία γωνία

δεν υπερβαίνει τις 120°. Στην περίmωση που συμβεί αυτό, δηλαδή να έχουμε γωνία μεγαλύτερη ή ίση με των 120° τότε το Ρ συμπίπτει με την κορυφή της αμ­βλείας γωνίας.

Θα θέλαμε στο σημείο άυτό να παρουσιάσουμε το προβληματισμό του J. Steiaer και τον τρόπο που προσδιόρισε το σημείο Ρ. Επειδή δεν θέλουμε όμως οι γραμμές αυτές να γίνουν ιδιαίτερα κουραστικές δεν θα επεκταθούμε περισσότερο. Έτσι θα τελειώ­σουμε με μια ακόμα απόδειξη του προβλήματος Fermat που στηρίzεται σ' ένα θεμελιώδη νόμο της Μηχανικής (! )

Ρ

Αοόδειξa Θεωρούμε τρεις ίσες μόzες m ης οποίες δένουμε

με τρία ισομήκη νήματα. Τις άκρες των νημάτων ενώνουμε με κόμπο Ρ. Κατασκευόzουμε τρίγωνο ΑΒΓ από μεταλλική πλά­

κα. Στις κορυφές Α, Β, Γ τοποθετούμε τροχαλίες. Α

Στηρίzουμε το επίπεδο του τριγώνου σε οριzόντια θέση. -ι: οποθετούμε το σύστημα (Σ) πάνω στο τρίγω­νο, έτσι ώστε κάθε νήμα να πέρασει μέσα απ' τις τρο­χαλίες. Κάποια στιγμή το σύστημα θα ισορροπήσει.

Η θέση του Ρ κατά τη στιγμή της ισορροπίας ισχυριzόμαστε ότι είναι η zητούμενη.

Δηλ. ΡΑ + ΡΒ + ΡΓ = miη.

Dραypατικά Ας είναι α, β, γ οι αποστάσεις των μαzών από ένα

οριzόντιο επίπεδο και d η απόσταση του κέντρου βά­ρους G του συστήματος από το ίδιο επίπεδο.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κη. τ. 1/60

Ο Ferιaat στον Torrlcelll

Κατά την ισορροπία του σύστημα θα έχει την ελάχι­στη δυναμική ενέργεια θα είναι:

am + βm + ym = (3m) d δηλ. d = 1/3 (α + β + γ) Επειδή η δυναμική ενέργεια του συστήματος είναι

ελάχιστη το d είναι ελάχιστο. Συνεπώς το α + β + γ είναι ελάχιστο.

Αν h είναι η απόσταση του τριγώνου από το επίπε­δο τότε ΒΚ = h - α Μ = h - β ΓΜ = h - γ επίσης:

ΒΚ + Μ + ΓΜ = 3h - (α + β + γ) Αν t είναι το συνολικό μήκος των τριών νημάτων,

τότε ΡΑ + ΡΒ + ΡΓ = t - [3h - (α + β + γ)] = = (t - 3h) + (α + β +γ).

Επειδή το t - 3h είναι σταθερό και το α + β + ν εί­ναι ελάχιστο, το άθροισμα ΡΑ + ΡΒ + ΡΓ θα είναι επίσης ελάχιστο.

Εφ' όσον τώρα το Ρ ισορροπεί, οι τάσεις Τ των σχοινιών έχουν ίσα μέτρα και διανυσματικό άθροι­σμα μηδέν.

Συνεπώς οι γωνίες περί το Ρ είναι ίσες με 120° η κάθε μια. Το σημείο Ρ έχει πλήρως προσδιοριστεί.

Ρ

Στη συνέχεια ακολουθεί μια άσκηση. Προτείνουμε στον αναγνώστη να ασχοληθεί μερικά λεmά μαzί τις.

Εμείς δίνουμε μια απόδειξη για να ικανοποιή­σουμε και την επιθυμία εκείνων οι οποίοι θα ήθελαν· να δουν τουλάχιστον μια ί\ύση. Αν ψάξουν όμως σί- ·

γουρα θα βρουν και άλλη.

1\σιισσa

Στο τρίγωνο ΑΒΓ είναι Β = Γ = 50°. Στις πλευρές ΑΒ και �ΑΓ παίρνο�ε τα σημεία Δ και Ε αντίστοιχα .ώστε ΑΓΔ = 3()0, ΓΑΕ�= 50°.

Να αποδειχθεί όιι ΔFΑ = 40°.

Β

Γ

Ααόδει�a

Τ ο τρίγωνο ΕΑΓ είναι ισοσκελές διότι

ΕΑΓ = ΕΓΑ = 50°. Φέρουμε τη διχοτόμο της γωνίας ΑΕΓ που τέμνει τη

ΓΔ στο Ο. Εύκολα διαπιστώνουμε ότι:

ΑΟΓ = ΓΟΕ = ΕΟΑ = 120°.

Γ

· · Επομένως το Ο είναι το σημείο Fermat του τριγώ­νου ΑΕΓ. Κατασκευάzουμε το ισόπλευρο τρίγωνο ΖΑΕ.

Σύμφωνα με τα προηγούμενα η ΓΖ διέρχεται από το Ο. Με άλλα λόγια τα σημεία Γ, Ο, Δ, Ζ είναι συνευθειακά.

Η ΑΒ διχοτομεί τη γωνία ΖΑΕ του ισόπλευρου τρι­γώνου ΖΑΕ. Λόγω λοιπόν της συμμετρίας θα είναι:

ΔΕΑ = ΔΖΑ = 40° αφού από το τρίγωνο ΖΑΓ προφανώς

ΓΖΑ = 180° - 1 10° - 30° = 40°.

Σχόλιο Για να aποδεσμεύσουμε την aπόδειξη που προηγή­

θηκε, από το πρόβλημα του Fermat, παράτηρούμε ότι:

ΕΖΑ + ΕΟΑ = 60° + 120° = 180°.

Συνε!!_ώς το τ�ράπλευρο ΖΕΟΑ είν�ι εyγρά]>ιμο. Έτσι ΑΟΖ = ΑΕΖ = 60° όμως τότε ΓΟΑ + ΑΟΖ = 120° + 60° = 180° που σημαίνει ότι τα σημεία Γ, Ο, Ζ είναι συνευθειακά.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κη. τ. 1/61

Ο Fermat στον Toπtcelll

Ι"εvιaές σapειώσεις Βιβλιοyραφία

1 . Η παραπόνω όσκηση είναι η υπ' αριθμός 301 του περιοδικού Θεαίτητος, τεύχη 3 - 4, σελ. 224 που συνοδεύεται από τριγωνομετρική απόδειξη.

1 . Ross Hoηsberger, "Mathematical Gems". 2. Coxeter, ''Iηtroductioη to Geometry" 3. Coxeter - Greitzer, "Geometry Revisited"

2. Το πρόβλημα του Fenaat δόθηκε στις εισαγωγι­κές εξετόσεις για το Πολυτεχνείο το 1948 και οπωσδήποτε αvτικατοπτρίzει το επίπεδο των θε­μότων των εξετόσεων προηγούμενων περιόδων.

4. Γρηγ. λλτιμήσης, "Μαθήματα Γεωμετρίας" 5. Περιοδικό "Θεαίτητος" .

3. Το σημείο Fenaat συναvτόται και ως οnμείο των Steiaer - Lebesqae.

ΔIArONIΣMOI

Η Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία διοργανώνει και πάλι όπως κόθε χρόνο τον Πανελλήνιο Μαθηματικό Διαγωνισμό στα Μαθηματικό. Στην πρώτη φόση με το όνομα "θαλιίς" που θα γίνει στις 12 - 11 -94 μπορούν να πόρουv μέρος όσοι μαθητές θέλουν από το Λύκειο και από την Γ ' Γυμνασίου. Τα θέματα κόθε τόξης θα είναι πόνω στην ύλη που διδόχθηκαν. Οι επόμενες φόσεις των διαγωνισμών "Ε"κλείδaς" το Φλεβάρa του '95 και "Αρχιpιίδaς" το Μάρτα θα είναι vια μαθητές που θα διακριθούν.

, J&l,. ,;,ι

.... tf •• •• rεωρyίοu Α ναyνωστόποuλοu

Α. Για τ η ν 1 η Δί'ιτμη R. Για τ η ν 4 η Δέο μ η

• Συναρτήσεις , όριο , συνέχεια , ακολουθίες • Παράγωγος • Ολοκλήρωμα , διαφορικές εξισώσεις • Πίνακες , συστήματα , διανύσμαtα , ευθεία • Κωνικές τομές .. Πιθανότητες .. • • •

Μαθηματικά 4ης Δέσμης (Αλyεβρα , Ανάλυση)

( )λοκλ ιφι.η.ιι' τ ι J υι·φιί ι ΠΠ \' οrιοίιι ί)ιι β[Ίι· ί π 8 50!!! ί)(μιιrιι ι{ι· rιί ι τι·ι,J\'

ιι ι ι ι .): Η; ι ι·ι· ; ι /;ι ι ι ι-ι·; ι t, ι Ιπ i ,·ιτ., ί t γ ot' < .'; ι ι ΙJfη·iιf!.[ι' - ι ι )π ιlοπ - < )x(onl, }ΜΗ, Κολλι�γι ιι Νι'-ιιι; )Ί 'φκιJι; κ.λ. ιι. τφι )ι rιφμουμ( ,·ο υτο f/ \ΤΙΊμο κ ο ι το ι·ιι ί πι·(ίο τω\' !'ιτ. Ειι·­

τιί υι·ω, · .

Λι(ί ί �υ τ π : ΙΊ ι;ψyο� Α ν ο y ν ωοτι'1π ολου� ΠοτrιΊ κλοu 47, Λομίο ) ') 1 00 - Τηλ.: (02 ) 1 ) 2 1 2(14 και ((12 )6) 2 2 2 2 1

κ οι οι· ιΊλο τ ο κι• ν τr ι κ<ί R ι βλιοπ ωλι· ία L'τουι.; κιι ί)π γπ τι'-ι; γ ί , ·ιτοι (κπ τωυπ 30<}{)

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κn. τ. 1/62

Εaιpέλεια: rιάvvnς ΤιJρλιίς

Αγαπητοί συνάδελφοι, φί?ιοι μαθητές

Με μεγάλη μας χαρά διαπιστώνουμε καθημερινά ότι ο πλήθος των επιστολών αυξάνει. Έχουμε πολλές και ενδιαφέρουσες εργασίες, ερωτήματα προς την Συντακτική Επιτροπή του Ευκλείδη Β ' καθώς και πολλές παρατηρήσεις σας. Αυτό επιβεβαιώνει την αγάπη σας προς το περιοδικό και έχει συμβάλλει σημαντικά στην Βελτίωση της ποιότητάς καθώς και στην αύξηση της κυκλοφορίας του.

Ο όγκος της ύλης μας επιτρέπει στο τεύχος αυτό να αναφέρουμε μόνο τις εργασίες που έχουν σταλεί.

Ελπίzουμε από το επόμενο τεύχος ο χώρος να μας επιτρέψει την επικοινωνία μας σε μεγαλύ­τερη έκταση.

Έχουμε λάβει τις εργασίες των κ. κ. • Σταύρου Δουφεξόπουλου • Κώστα Δρυλεράκη • I.B. Καρακωνσταντή • Ν. Ι. Μαράσογλου • Ν. Δ. Μπάκου • Παπαθωμόπουλου Κυριάκου

• Δ. Φωτιάδη • Αντ. Λεβάκου • Δημ. Καρβελά • Κων. Λάvτzου • Χρ. Λαzαρίδη

Καλή Σχολική Χρονιά !

• Ayy. Παπαϊωάννου (Ευχαριστούμε για τα καλά σας λόγια)

• Ιωάννη Καρε?ιλα • Διαμαντή τ σιαγκίρη

Η μαθήτρια Ελ. Σελλούντου μας έστειλε παρατηρήσεις πάνω στις ιδιότητες των προόδων.

Α

Λ

Λ

Η

Λ

ο

r

Ρ

Α

φ Ο μαθητής Αντώνης Αντώνάκος μας προτείνει μια άσκηση. Σε επόμενο τεύχος ίσως δοθεί οι Ι

ευκαιρία να αναφερθούμε στις εργασίες των μαθητών αυτών όπως και σε άλλες που θα σταλούν.

Στnv οικογένεια του φiίΊου και συvεργάτn Σωτnρn Βογιατzn,

n Ελλnvικn Μαθnμαπκn Εταφεfα εκφράzει τα συλλυπnτnριά τnς

για τοv απροσδόκnτο χαμό του

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κn. τ. 1/63

Α

-ιΓ )\. 1aθηματικά • Μαθηματικά Α' Γυμνασίου • Μαθηματικά Β' Γυμνασίου • Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

• Άλγεβρα • Γεωμετρία

Εκδόσεις Β . Σ - ιβλιοnωλ , βiR , ειο

z n . α pαλα . η γης 18 & Σολωνος • 106 81 Α θ .

Γ. Μαραγούσιας Γ. Μαραγούσιας Γ. Μαραγούσιας

Κ. Τζιpώνης-Θ. Τζουβάρας Γ. Κόλλιας

ηνα ι ΤΗΛ. 3301251 - 3301903-4

Β . . '· Λ_.ΥΚΕΙΟΥ ·

·

· • Ανάλυση Ν δέσμης • Παράγωγοι Ν δέσμης • Ολοκληρώματα Α' δέσμης • Πίνακες-Συστήματα Α' δέσμης • Πιθανότητες-Μιγαδικοί Ν δέσμης • Αν. Γεωμετρία Α' δέσμης (2 τεύχη) • Άλγεβρα - Αν. Γεωμετρία (2 τεύχη) • Μαθηματικά t1 δέσμης (4 τόμοι)

Κ. Τζιpώνης-Θ. Τζουβάρας Σ. Μαρίνης-Π. Παπανικολάου Γ. Σπηλιώτης Γ. Μαραγούσιας Γ. Μαραγούσιας Α. Τ ραγανίτης Β. Κάμπας Σ. Μαρίνης-Α Παπαδήμας

}�ία • Βιολογία • Βιολογία • Προβλήματα Βιολογίας

Κ. Σαλτερης Σ. Μιχέλης ΚΔ. Κ& Π. Θεοδωρόπουλος­. ομvηνος Κ. Σαλτερής Μ. Ζαννίκος Δ. Μπαμπίλης Σ. Μιχέλης ΚΔ. Π& Π. Θεοδωρόπουλος­. απaζησης Δ. Μπαμπίλης

Β. Ηλιάδης Π. Βότσης Π. Βότσης

J jιβλία yιa τον � • Περιβάλλον-Οικολογία-Εκπαίδευση • Οδηγός Οικολογίας • Ποιος ήταν ο Αδάμ • Εισαγωγή στη Φιλοσοφία • Ψηφίδες ιδεών • Εγκέφαλος • Η κραυγή των Ελλήνων • Λεξικό Εννοιών

Α. Αθανασάκης-θ. Κουσουρής Π. Βότσης Π. Βότσης Σ. Γκίκας I. Ευαγγέλου I. Ευαγγέλου Κ. Μπαρούτας Σ. Γκίκας