ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΟ 13ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΟ 13 ΕΡΓΑΣΙΑ 2 Η 2008 –2009 Η λύση της...

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ

Κεντρικό : Εθνικής Αντιστάσεως & Μακράς Στοάς 7 ‐ ΠΕΙΡΑΙΑΣ (έναντι εκκλησίας Αγίας Τριάδος) Τηλ.: 210 – 42.20.970‐2, Fax : 210 – 42.20.634 URL : www.vitali.gr email: [email protected]

Σελίδα 1/19

ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΟ 13

ΕΡΓΑΣΙΑ 2 Η

2008 – 2009

Η λύση της εργασίας είναι ενδεικτική και ο υποψήφιος θα πρέπει να βασιστεί σε αυτή και να επιφέρει τις δικές του αλλαγές.

Ενημερωθείτε για τις προσφορές πακέτου για όλες τις εργασίες της χρονιάς.

http://www.vitali.gr/

mailto:[email protected]



Σελίδα 2/19

Ο Εκπαιδευτικός Όμιλος Βιτάλη εγγυάται την αρτιότητα των λύσεων.

Αξίζει να τονιστεί – ως εκ τούτου – η προσεκτική διαφοροποίηση των συμβόλων και

προτάσεων έτσι ώστε να διατηρείται το πραγματικό περιεχόμενο των λύσεων. Οι διορθωτές,

εύκολα, μπορούν να καταλάβουν αν πρόκειται για μια λύση επαναλαμβανόμενη και αυτό θα

έχει αρνητικές συνέπειες στην τρέχουσα βαθμολόγηση αλλά και περαιτέρω αξιοπιστία

του/της φοιτητής/φοιτήτριας (διαγραφή από το πρόγραμμα σπουδών του ΕΑΠ, κλπ).

Επίσης θα πρέπει να τονιστεί ότι ο Εκπαιδευτικός Όμιλος Βιτάλη ουδεμία ευθύνη φέρει για

παραλείψεις ή λάθος εκφωνήσεις ή λανθασμένη βαθμολόγηση των ασκήσεων όπως –

δυστυχώς –οι περιπτώσεις αυτές έχουν συχνά παρατηρηθεί στο παρελθόν.





Σελίδα 3/19

Άσκηση 1

Ι) Η γραμμική εξίσωση ζήτησης (q) είναι q a b p = + ⋅ , όπου η κλίση εκφράζεται δια μέσου του

συντελεστή 10 16 0.06 600 500

b −

= = − −

, και η τομή της ευθείας με τον άξονα των τεταγμένων δια

μέσου του 10 0.06 600 46 a q b p = − ⋅ = + ⋅ = .

Συνεπώς η εξίσωση της ευθείας είναι 46 0.06 q p = − ⋅ . Η κλίση φανερώνει το γεγονός ότι κάθε 1€

αύξηση στην ετήσια συνδρομή αντιστοιχεί σε 0.06 λιγότερες εγγραφές το μήνα.

ΙΙ) Για p=350 η ζήτηση προβλέπεται 46 0.06 46 0.06 350 25 q p = − ⋅ = − ⋅ =

Για p=2000 η ζήτηση προβλέπεται 46 0.06 46 0.06 2000 74 q p = − ⋅ = − ⋅ = − που αφορά μη

ρεαλιστική περίπτωση (δεν μπορεί να είναι αρνητική).

ΙΙΙ) Σχετικά με το πρόβλημα που εξετάζουμε εδώ, θα πρέπει 46 0 766.67 0.06

q p ≥ ⇔ ≤ = , συνεπώς

το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ζήτησης είναι το [ ] 0,766.67 . Αντίστοιχα το πεδίο τιμών της

είναι το [ ] 0, 46 , εφόσον 46 0 0 46 0.06

q p q −

≥ ⇔ ≥ ⇔ ≤ . Δηλαδή, οι νέες εγγραφές ανά μήνα που

μπορεί να επιτύχει είναι το πολύ 46 και το μέγεθος αυτό αντιστοιχεί σε μηδενική χρέωση ετήσιας

συνδρομής.

IV) Ι = Ετήσιο έσοδο = (μήνες στο χρόνο) (νέες εγγραφές/μήνα) (ετήσια συνδρομή) =

( ) 2 12 12 46 0.06 552 0.72 q p p p p p ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅ = − , δηλαδή 2 552 0.72 I p p = −

G = Κέρδος = Ετήσιο έσοδο – Ετήσιο Λειτουργικό κόστος = 2 5000 552 0.72 5000 I p p − = − −

δηλαδή 2 552 0.72 5000 G p p = − −

V) Το νεκρό σημείο αντιστοιχεί σε μηδενικό κέρδος και είναι 2

0 0 0 : 0 552 0.72 5000 0 p G p p = ⇔ − − = .

Η επίλυση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης έχει ως εξής:

( ) ( ) 2

0

552 4 0.72 5000 290304

552 290304 9.168,757.5 2 0.72

p

∆ = − ⋅ − ⋅ − =

− ± = =

− ⋅





Σελίδα 4/19

ετήσιο κέρδος

0

20000

40000

60000

80000

100000

120000

0 200 400 600 800

ετήσ ια συνδρομή

Από όπου παρατηρούμε ότι και οι δύο τιμές, 9.168 και 757.5 είναι εντός εύρους 46 0, 0.06

.

Το μέγιστο κέρδος αντιστοιχεί σε ετήσια συνδρομή ( ) max 552 383.33

2 0.72 G p −

= = ⋅ −

εφόσον η

συνάρτηση κέρδους είναι κοίλη (‐0.72<0) οπότε και η αρνητική 2 η παράγωγος εγγυάται το

σημείο μέγιστου. Το μέγιστο κέρδος είναι 2 max max max 552 0.72 5000 100800 G G G p p = − − = €

Για ετήσιο λειτουργικό κόστος 10000€, η συνάρτηση κέρδους θα είχε ως εξής: 2 552 0.72 10000 G p p = − − και οι τιμές ισορροπίας ετήσιας συνδρομής θα ήταν αυτές ανάμεσα

στα νεκρά σημεία, δηλαδή όπου 0 G = διότι πρόκειται για κοίλη συνάρτηση.

Τα νεκρά σημεία υπολογίζονται πάλι ως εξής:

( ) ( ) 2

0

552 4 0.72 10000 275904

552 275904 18.57,748.1 2 0.72

p

∆ = − ⋅ − ⋅ − =

− ± = =

− ⋅

Από όπου παρατηρούμε ότι και οι δύο τιμές, 18.57 και 748.1 είναι εντός εύρους 46 0, 0.06

.

Δηλαδή, για ετήσια συνδρομή στο διάστημα ( ) 18.57,748.1 έχουμε κέρδος το οποίο

μεγιστοποιείται πάλι σε ετήσια συνδρομή 383.33€ (απλά η προηγούμενη καμπύλη μετακινείται

ομοιόμορφα προς τα κάτω). Το μέγιστο κέρδος είναι 2

max max max 552 0.72 10000 95800 G G G p p = − − = €.

p G 100 43000 150 61600 200 76600 250 88000 300 95800 350 100000 400 100600 450 97600 500 91000 550 80800 600 67000 650 49600





Σελίδα 5/19

Άσκηση 2.

Ι) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

' ' ' 3 2 3 2 2 2 4 3 4 2

2 2 2 2 2 2 2

1 1 3 1 2 3 '( ) 1 1 1 1

x x x x x x x x x x f x x x x x

⋅ + − + ⋅ + − + = = = = + + + +

ΙΙ)

έστω 2 ( ) 1 g x x = +

{ } ( ) ( ) { } ( ) ( ) { } ' ' 2 2 '( ) ( 1) ln( 1) ln '( ) ln ( ) f x x x g x g x g x g x g x = + + = = + 1 ( ) g x

'( ) g x =

( ) 2 2 ln 1 2 x x x + +

ΙΙΙ)

( ) ( ) 2 2 ' ' 1 '( ) '( ) '( ) 1 = 2 ( ) = 2 2

w w

w f x f w w x e x w x e x

x − − = ⋅ = + − ⋅ ⋅ ⋅ − 1

2 x e

x − ⋅ ⋅ =

x e −

IV) 2 2

2 2 2

1 1 1 2 1 1 ( ) (2 1) (2 1) 2 2 (2 1) 2 2 2 1

x x x dx xdx dx dx c x x x x

− + = + = − ⋅ = − ⋅ +

+ + + + ∫ ∫ ∫ ∫

V) 2 2 1 ( 2) 2 2 2

x x x x x x e e dx e dx e dx e e c + = + = + + ∫ ∫ ∫

VI)

2

1 1 2 1 1

1 ( 2 )(1 ) 2

du u x x du dx dx x x

u x x dx udu c x

= + ⇒ = + ⇒ = +

+ + = = + ∫ ∫





Σελίδα 6/19

Άσκηση 3

Α)

I) οριακό κόστος ΜC= ( ) 2 2000 10 3 10 6 = + + = + '

'( ) TC q q q q

Μέσο συνολικό κόστος ATC= 2000 10 3 = + + ( ) TC q q q q

Μέσο σταθερό κόστος AFC= 2000 q

II) 2

2000 2000 10 3 3 = + + ⇒ = − + ( ) '( ) ATC q q ATC q q q

Η ποσότητα που ελαχιστοποιεί την ATC είναι ˆ ˆ ˆ : '( ) 0, ''( ) 0 q ATC q ATC q = > :

2

2000 2000 0 3 25 82 3

= ⇒ = ⇒ = = ˆ ˆ '( ) . ˆ

ATC q q q

3

4000 0 = > ˆ ''( ) ˆ

ATC q q

Οπότε,

2000 2000 10 3 2 6000 10 3 2000

3

= + + = + ˆ ( ) ATC q

2000 10 6 10 6 2 6000 10 3

= + = + = + ˆ ˆ ( ) MC q q , δηλαδή ίσο με το ˆ ( ) ATC q , συνεπώς η τιμή 2000 3

είναι σημείο φυγής.

Β)

ΙΙΙ) Συνολικό κόστος = Σταθερό κόστος + Μεταβλητό κόστος.

δηλαδή η συνάρτηση συνολικού κόστους είναι 4 3 2 ( ) 0.25 80 7000 2000000 TC q q q q = − + +

( )( ) 3 2 '( ) 240 14000 100 140 TC q q q q q q q = − + = − − . Διενεργούμε μελέτης μονοτονίας:

Η ( ) TC q είναι συνεχής (διότι είναι πολυωνυμική) παρουσιάζει πιθανά ακρότατα στις

παραγόμενες ποσότητες q=0, q=100 και q=140. Παρατηρούμε ότι για 0 100, q < < '( ) 0 TC q > και

'( ) 0 TC q < για 100 140, q < < άρα στο q=100 παρουσιάζει τοπικό μέγιστο. Επίσης για140 q < ,

'( ) 0 TC q > άρα στο q=140 παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο. Επίσης τοπικό ελάχιστο εμφανίζει στο

q=0. To σημείο τελικά ( ) ( ) , ( ) 0, (0) q TC q TC = είναι ολικό ελάχιστο διότι





Σελίδα 7/19

(140) TC >2000000= (0) TC . Συνεπώς το πεδίο ορισμού της είναι τα διαστήματα αυτά στα οποία

είναι αύξουσα δηλαδή, [ ] [ ) 0,100 140, q∈ ∪ ∞ . Το τελευταίο όμως αποκλείεται διότι τότε η

συνάρτηση δεν είναι συνεχής, άρα το πεδίο ορισμού της είναι το [ ] 0,100 . Επίσης

[ ] 0,100 , ( ) (0) 2000000 0 q TC q TC ∀ ∈ ≥ = >

ΙV) H συνάρτηση μέσου μεταβλητού κόστους είναι

3 2 ( ) ( ) 0.25 80 7000 VC q AVC q q q q q

= = − + και 2 '( ) 0.75 160 7000 AVC q q q = − +

Η μέγιστη τιμή του μέσου μεταβλητού κόστους αντιστοιχεί στο q % :

'( ) 0, ''( ) 0 AVC q AVC q = < % % , δηλαδή,

[ ] [ ]

2 2 61.45 0,100 160 160 4 0.75 7000 '( ) 0.75 160 7000 0

151.88 0,100 2 0.75 AVC q q q q

∈ ± − ⋅ ⋅ = − + = ⇔ = = ∉ ⋅ % % % %

''( ) 1.5 160 AVC q q = −

''(61.45) 67.83 0 AVC = − <

Συνεπώς, στο σημείο ( ) ( ) , ( ) 61.45, (61.45) q AVC q AVC = παρουσιάζει ολικό μέγιστο με

(61.45) AVC =1860700





Σελίδα 8/19

Άσκηση 4

I)

75 0 . .( ) : 0 150, . .( ) :0 75 2

0

136 2 0 . .( ) : 0 68, . .( ) :0 136

0

A A

B B

p q p q

p

q p p q

p

= − ≥ ⇔ Π Ο Α ≤ ≤ Π Τ Α ≤ ≤ ≥

= − ≥ ⇔ Π Ο Β ≤ ≤ Π Τ Β ≤ ≤ ≥

II) H συνάρτηση συνολικής ζήτησης είναι d A B Q q q = + . Όμως προσοχή, η ζήτηση Β είναι μηδενική

όταν η τιμή p είναι παραπάνω από 68, οπότε η συνολική ζήτηση διαμορφώνεται συναρτησιακά

ως εξής:

5 211 , 0 68 2 1 75 , 68 150 2

d

p p Q

p p

− ≤ ≤ = − < ≤

με πεδίο τιμών [ ] 0, 211 και πεδίο ορισμού [ ] 0,150 (απαντά και

στο ΙΙΙ).

ΙΙΙ) Για την συνάρτηση προσφοράς 2 50 400 s s p Q Q = − + επιλύουμε ως προς s Q :

2 2 50 50 4(400 )

50 400 0 25 225 2 s s s

p Q Q p Q p

± − − − + − = ⇒ = = ± +

Απορρίπτουμε την λύση 25 225 s Q p = − + διότι όσο αυξάνει η τιμή p τόσο φαίνεται να

μειώνεται η προσφορά Qs το οποίο δεν αντιστοιχεί στην πραγματικότητα (η προσφορά είναι

αύξουσα συνάρτηση ως προς την τιμή του προιόντος). Άρα η συνάρτηση προσφοράς είναι

25 225 s Q p = + + με πεδίο ορισμού το πεδίο τιμών του προϊόντος p, δηλαδή [ ] 0,150 και πεδίο

τιμών αυτής [ ] 0,25 225 150 0,44.7 + + =

IV) Η τιμή ισορροπίας 0 p αντιστοιχεί σε ίση προσφορά και ζήτηση: s d Q Q = .

Στο πεδίο [ ] 0,68 p∈





Σελίδα 9/19

Έχουμε 0 5 211 2 d Q p = − =

[ ] [ ]

2 2

0 0 0 0 0

2

0

5 25 25 225 186 225 931 34371 0 2 4

67.56 0,68 931 931 25 34371 81.40 0,68 25 / 2

s Q p p p p p

p

= + + ⇔ − = + ⇔ − + = ⇔

∈ ± − ⋅ = = ∉

Στο πεδίο [ ] 68,150 p∈

έχουμε 0 1 75 2 d Q p = − =

[ ] [ ]

2 2

0 0 0 0 0

2

0

1 1 25 225 50 225 101 2275 0 2 4

23.94 68,150 101 101 2275 380.06 68,150 1/ 2

s Q p p p p p

p

= + + ⇔ − = + ⇔ − + = ⇔

∉ ± − = = ∉

Συνεπώς η τιμή ισορροπίας είναι 0 67.56 p = με αντίστοιχη ποσότητα 0 5 211 67.56 42.1 2

Q = − =

V) Η συνάρτηση ελαστικότητα ζήτησης δίνεται από τον τύπο ' d

d d d

Q E Q p Q

= εφόσον μας

ενδιαφέρει στο σημείο ισορροπίας, τότε

} 67.56 ' 5 211 '

5 2 4.01 5 5 2 211 211 2 2

p

d d d

d

p Q p E Q p p Q p p

= − = = = − = − − −

, δηλαδή για κάθε 1% αύξηση στην τιμή

ισορροπίας του προϊόντος , η ζήτησή του μειώνεται κατά 4.01%.





Σελίδα 10/19

Άσκηση 5

I)

50, (50) 2530 50 50 30 p q = = − ⋅ = .

Η συνάρτηση ελαστικότητα ζήτησης δίνεται από τον τύπο

'( ) (2530 50 ) ' ( ) 50 ( ) (2530 50 ) 2530 50

q p p p Eq p p p q p p p

− = = = −

− − και (50) 83.33 Eq = − .

ΙΙ) ( ) 1 50 1 50 2530 50 100 2530 25.3 2530 50

p Eq p p p p p p

= − ⇔ − = − ⇔ = − ⇔ = ⇔ = −

Αύξηση

1% της τιμής ενοικίασης σε σχέση με την τιμή 25.3 ερμηνεύει μείωση 1% της ζήτησης.

Η μεταβολή από 25.3 σε 30 ευρώ αντιστοιχεί σε αύξηση 18.6% τιμή ενοικίασης που θα

αντιστοιχεί σε μείωση κατά 18.6% της ζήτησης, δηλαδή, από 1265 αυτοκίνητα ημερησίως που

αντιστοιχούν σε τιμή 25.3 ευρώ θα έχουμε ( ) 1265 1 18.6% 1030 ⋅ − = δηλαδή 235 λιγότερα

αυτοκίνητα ημερησίως.

Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση ζήτησης, για μεταβολή από 25.3 στα 30 η ζήτηση μεταβάλλεται

από (25.3) 2530 50 25.3 1265 q = − ⋅ = σε (30) 2530 50 30 1030 q = − ⋅ = ενοικιαζόμενα αυτοκίνητα

αντίστοιχα, ότι βρήκαμε δηλαδή και με τη συνάρτηση ελαστικότητας.

III).

Η συνάρτηση συνολικών εσόδων είναι

( ) 2 ( ) ( ) 2530 50 2530 50 R p q p p p p p p = ⋅ = − ⋅ = − .

Η τιμή max max max : '( ) 0, ''( ) 0 p R p R p = < , όπου

max max max max '( ) 2530 100 0 25.3, ''( ) 100 0 R p p p R p = − = ⇔ = = − < , δηλαδή εκεί που η

ελαστικότητα ζήτησης είναι ‐1.





Σελίδα 11/19

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

35000

0 20 40 60

p

R(p)

p R(p) p R(p) 0 0 25 32000 1 2480 26 31980 2 4860 27 31860 3 7140 28 31640 4 9320 29 31320 5 11400 30 30900 6 13380 31 30380 7 15260 32 29760 8 17040 33 29040 9 18720 34 28220 10 20300 35 27300 11 21780 36 26280 12 23160 37 25160 13 24440 38 23940 14 25620 39 22620 15 26700 40 21200 16 27680 41 19680 17 28560 42 18060 18 29340 43 16340 19 30020 44 14520 20 30600 45 12600 21 31080 46 10580 22 31460 47 8460 23 31740 48 6240 24 31920 49 3920 25 32000 50 1500





Σελίδα 12/19

IV)

( ) ( ) '( ) '( ) ( ) R p q p p R p q p p q p = ⋅ ⇒ = ⋅ +

max max max max max max max

max max

max

'( ) 0 '( ) ( ) 0 '( ) ( ) '( ) 1 ( )

R p q p p q p q p p q p q p p q p

= ⇔ ⋅ + = ⇔ ⋅ = − ⇔

= −





Σελίδα 13/19

Άσκηση 6

I)

D=320,

Σε σημείο καμπής η 2 η παράγωγος της συνάρτησης του συνολικού κόστους μηδενίζεται:

( )

3 2 2 '( ) 3 2 ''( ) 6 2

''(10) 0 60 2 0 1

TC aQ bQ cQ d TC Q aQ bQ c TC Q aQ b

TC a b

= + + + ⇒ = + + ⇒ = +

= ⇔ + =

Η συνάρτηση μέσου κόστους (AC) έχει 1 η παράγωγο μηδέν εκεί που ελαχιστοποιείται:

( )

2 2 '( ) 2

320 '(20) 0 40 0.8 2 400

TC d d AC aQ bQ c AC Q aQ b Q Q Q

AC a b

= = + + + ⇒ = + −

= ⇔ + = =

Επίσης,

( )

3 2 (10) 520 10 10 10 320 520 1000 100 10 200

100 10 20 3

TC a b c a b c

a b c

= ⇔ + + + = ⇔ + + = ⇔

+ + =

Επιλύουμε το σύστημα 3 εξισώσεων (1), (2), (3)

2 60 0.08 2.4 60 2 0 60 2 0 40 0.8 80 2 1.6 20 1.6 0.08

100 10 20 100 10 20 20 100 0.08 10 2.4 36

b b a b a b a b a b a a

a b c a b c c c

= − ⋅ ⇒ = − + = + = + = + = = ⇒ = + + = + + = = − ⋅ + ⋅ ⇒ =

Άρα, η συνάρτηση του συνολικού κόστους είναι 3 2 0.08 2.4 36 320 TC Q Q Q = − + +

II)

Η συνάρτηση συνολικών εσόδων είναι ( ) 2 ( ) 102 2.8 102 2.8 TR Q P Q Q Q Q Q = ⋅ = − = −

Όπου 102 2.8 0 0 36.43 P Q Q = − ≥ ⇒ ≤ ≤

Η συνάρτηση κέρδους είναι συνολικά έσοδα – συνολικό κόστος =

( ) 2 3 2

3 2

( ) ( ) 102 2.8 0.08 2.4 36 320

0.08 0.4 66 320

Q TR Q TC Q Q Q Q Q Q

Q Q Q

Π = − = − − + − − =

− − + −

ΙΙΙ)

Ζητάμε

( ) ( ) ( )

[ ]

max max max

2 2 max max max max max

2

max

: ' 0, '' 0

' 0.24 0.8 66 0 0.24 0.8 66 0

18.33 0, απορρίπτεται 0.8 0.8 4 0.24 66 15 0,36.43 , δεκτή 2 0.24

Q Q Q

Q Q Q Q Q

Q

Π = Π <

Π = − − + = ⇒ + − = ⇒

− < − ± + ⋅ ⋅ = = ∈ ⋅





Σελίδα 14/19

( ) max max '' 0.48 10.4 17.6 0 Q Q Π = − − = − < , άρα max Q = 15

IV)

Το Συνολικό έσοδο για max Q είναι

2 2 max max max ( ) 102 2.8 102 15 2.8 15 900 TR Q Q Q = − = ⋅ − ⋅ =

Το συνολικό κόστος για max Q είναι

( ) 3 2 3 2 max max max max 0.08 2.4 36 320 0.08 15 2.4 15 36 15 320 590 TC Q Q Q Q = − + + = ⋅ − ⋅ + ⋅ + = Η εξίσωση

εφαπτομένης στο σημείο ( ) ( ) 0 0 , x f x της συνάρτησης ( ) f x είναι

( ) ( )( ) 0 0 0 ' y f x f x x x − = − , οπότε για τη συνάρτηση συνολικών εσόδων έχουμε

( ) ( ) ( ) ( ) 0 max 0 max 0 max max 15, 900, ' ' 102 5.6 18 x Q f x TR Q f x TR Q Q = = = = = = − =

η εξίσωση γίνεται ( ) ( ) 1 900 18 15 18 630 y x y x ε − = − ⇔ = +

Για τη συνάρτηση συνολικού κόστους έχουμε

( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 max 0 max 0 max max max 15, 590, ' ' 0.24 4.8 36 18 x Q f x TC Q f x TC Q Q Q = = = = = = − + = η εξίσωση

γίνεται ( ) ( ) 2 590 18 15 18 320 y x y x ε − = − ⇔ = +

V)

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

0 5 10 15 20 25 30 35

Q

TC TR Π ε1ε2





Σελίδα 15/19

Με βάση το γράφημα παρατηρούμε ότι οι συναρτήσεις οριακού κόστους και οριακών εσόδων

έχουν ίδια κλίση (ε1//ε2) σε όλες τις τιμές ζήτησης. Παρατηρούμε επίσης ότι το συνολικό κόστος

(TC) αυξάνει σημαντικά μετά την τιμή Q=15 ενώ αντίστοιχα τα συνολικά έσοδα (TR) πέφτουν

σημαντικά.





Σελίδα 16/19

Q TC TR Π ε1 ε2 0 320,00 0,00 ‐320,00 630,00 320,00 1 353,68 99,20 ‐254,48 648,00 338,00 2 383,04 192,80 ‐190,24 666,00 356,00 3 408,56 280,80 ‐127,76 684,00 374,00 4 430,72 363,20 ‐67,52 702,00 392,00 5 450,00 440,00 ‐10,00 720,00 410,00 6 466,88 511,20 44,32 738,00 428,00 7 481,84 576,80 94,96 756,00 446,00 8 495,36 636,80 141,44 774,00 464,00 9 507,92 691,20 183,28 792,00 482,00 10 520,00 740,00 220,00 810,00 500,00 11 532,08 783,20 251,12 828,00 518,00 12 544,64 820,80 276,16 846,00 536,00 13 558,16 852,80 294,64 864,00 554,00 14 573,12 879,20 306,08 882,00 572,00 15 590,00 900,00 310,00 900,00 590,00 16 609,28 915,20 305,92 918,00 608,00 17 631,44 924,80 293,36 936,00 626,00 18 656,96 928,80 271,84 954,00 644,00 19 686,32 927,20 240,88 972,00 662,00 20 720,00 920,00 200,00 990,00 680,00 21 758,48 907,20 148,72 1008,00 698,00 22 802,24 888,80 86,56 1026,00 716,00 23 851,76 864,80 13,04 1044,00 734,00 24 907,52 835,20 ‐72,32 1062,00 752,00 25 970,00 800,00 ‐170,00 1080,00 770,00 26 1039,68 759,20 ‐280,48 1098,00 788,00 27 1117,04 712,80 ‐404,24 1116,00 806,00 28 1202,56 660,80 ‐541,76 1134,00 824,00 29 1296,72 603,20 ‐693,52 1152,00 842,00 30 1400,00 540,00 ‐860,00 1170,00 860,00





Σελίδα 17/19

Άσκηση 7

I)

Η ευθεία που διέρχεται από το 0 10 p = αντιστοιχεί σε

0 0 0 0 0 : 16 2 10 16 2 3 q p q q q = − ⇔ = − ⇔ = και στο σημείο αυτό ( ) 0 0 , q p τέμνονται οι δυο

καμπύλες.

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

0 2 4 6 8 10

q

p(q)

p(q) p0

q p(q) p0 0 4,000 3,162 0,5 3,873 3,162 1 3,742 3,162 1,5 3,606 3,162 2 3,464 3,162 2,5 3,317 3,162 3 3,162 3,162 3,5 3,000 3,162 4 2,828 3,162 4,5 2,646 3,162 5 2,449 3,162 5,5 2,236 3,162 6 2,000 3,162 6,5 1,732 3,162 7 1,414 3,162 7,5 1,000 3,162 8 0,000 3,162





Σελίδα 18/19

ΙΙ)

( )

( ) { } ( ) { } ( )

3 3 3

0 0 0

3 3 3 / 2 3/ 2

0 0

3 / 2 3/ 2

( ) 10 16 2 10

1 1 16 2 ' 3 10 16 2 3 10 3 3

1 16 10 3 10 1.31 3

q

q

CS p q dq qdq dq

q dq q =

=

= − = − − =

− − − = − − − =

− − =

∫ ∫ ∫

∫

ΙΙΙ)

Η συνάρτηση συνολικού κόστους είναι

( ) ( ) 2

( ) ( ) 2 10ln 40 2 10 ln 40

10 ln 1 40 ,

TC q MC Q dQ Q Q dQ Qdq Qdq dQ

Q Q Q Q c

= = + − = + − =

+ − − +

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Όπου ( ) 2 : (1) 1151 1 10 1ln1 1 401 1561 c TC c c = ⇔ + − − + ⇔ =

Άρα ( ) 2 2 ( ) 10 ln 1 40 1561 10 ln 40 1551 TC q Q Q Q Q Q Q Q = + − − + = + − +





Σελίδα 19/19

Άσκηση 8

I)

Η συνάρτηση συνολικών εσόδων είναι ( ) 3/ 2 4 ( ) ( ) 29 2 29 3

R t R t dt t dt t t c ′ = = − = − + ∫ ∫ όπου

0 0 0 = ⇔ = : ( ) c R c , άρα 3 2 4 29 3

= − / ( ) R t t t

Αντίστοιχα, η συνάρτηση συνολικών εξόδων είναι

( ) 3 2 4 3 4 2 = = + = + + ∫ ∫ / ( ) '( ) C t C t dt t dt t t c όπου 0 0 0 = ⇔ = : ( ) c C c , άρα

3 2 4 2 = + / ( ) C t t t

Το χρονικό διάστημα κερδοφορίας είναι

3/ 2 3/ 2 3/ 2 4 10 (0, ], : ( ) ( ) 29 4 2 25 7.5 56.25 3 3

t t R t C t t t t t t t t t > ⇔ − > + ⇔ > ⇔ > ⇔ <

ΙΙ) Η συνάρτηση κέρδους είναι ( ) 3/ 2 3/ 2 3/ 2 4 10 ( ) ( ) 29 4 2 25 3 3

t R t C t t t t t t t Π = − = − − − = −

Και τα συνολικά κέρδη είναι για το χρονικό διάστημα (0,56.25] είναι

( ) 56.25 56.25

3 / 2 2 5/ 2 2 5 / 2

0 0

10 25 4 25 4 56.25 25 56.25 56.25 7910.2 3 2 3 2 3 tot

t

t t dt t t =

Π = − = − = − = ∫

ΙΙΙ)Τα συνολικά κέρδη είναι για το χρονικό διάστημα (0,7] είναι

( ) 7

2 5/ 2 2 5 / 2

0

25 4 25 4 7 7 7 439.64 2 3 2 3 tot

t

t t =

Π = − = − =

, δηλαδή ποσοστό

439.64/7910.2=5.56% των συνολικών για τα έτη (0,56.25] .



ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΟ 13ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΟ 13 ΕΡΓΑΣΙΑ 2 Η 2008 –2009 Η λύση της...

Documents

Transcript of ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΟ 13ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΟ 13 ΕΡΓΑΣΙΑ 2 Η 2008 –2009 Η λύση της...