ΛΥΚΕΙΟ (ΤΕΕ) - 11ο Μαθηματικά της Γ_ΤΑΞΗ ΤΕΕ

ΤΕΕ Μαθηματικά Τάξη : Γ ΄

285

ΘΘΘέέέμμμααατττααα εεεξξξεεετττάάάσσσεεεωωωννν πππεεερρριιιόόόδδδοοουυυ

ΜΜΜαααΐΐΐοοουυυ---ΙΙΙοοουυυνννίίίοοουυυ

τττωωωννν ΤΤΤΕΕΕΕΕΕ σσστττααα ΜΜΜαααθθθηηημμμααατττιιικκκάάά

ΓΓΓ΄ ΤΤΤάάάξξξηηη


286

ΘΕΩΡΙΑ

Θέμα 1ο

A. Να περιγράψετε τις παρακάτω έννοιες της Στατιστικής:

i) “Πληθυσμός”

ii) ‘‘Δείγμα ’’

iii) ‘‘Μεταβλητή ’’

B. Οι μαθητές (-τριες) ενός Λυκείου εξετάστηκαν ως προς τις μεταβλητές:

i) Χ = “ύψος που έχει ο κάθε μαθητής”

ii) Ψ = “χρώμα ματιών που έχει ο κάθε μαθητής”

iii) Ζ = “ετήσιος βαθμός που πήρε ο κάθε μαθητής στη Φυσική”

Να βρείτε το είδος στο οποίο ανήκει κάθε μια από τις Χ, Ψ, Ζ

C. Αφού ορίσετε την έννοια του συντελεστή μεταβολής (CV) ενός δείγματος, που εξετάζε-

ται ως προς μια ποσοτική μεταβλητή του-Χ, να προσδιορίσετε, αν το δείγμα είναι ομοιογενές

ή όχι, όταν η τυπική απόκλιση και η μέση τιμή του είναι αντιστοίχως S = 6 μονάδες και

χ 80= μονάδες.

Θέμα 2ο

A. Πότε μια συνάρτηση ƒ:(α,β) → ℜ, όπου α, β ∈ ℜ με α < β, λέγεται παραγωγίσιμη

i) στο σημείο x0 του (α, β)

ii) στο διάστημα (α, β)

B. Αν α ∈ ℜ και οι συναρτήσεις ƒ, g είναι παραγωγίσιμες στο υποσύνολο Α του ℜ, να συ-

μπληρώσετε τα δεύτερα μέλη των παρακάτω ταυτοτήτων (τύπων) παραγώγισης:

i) ( f + g)΄(x) = (f(x) + g(x) )΄ =

ii) (f ∗ g)΄(x) = ( (f(x) ∗g(x) )΄ =

iii) (f / g)΄(x) = (f(x) /g(x) )΄ =

iv) ( a ∗ f )΄(x) = (a ∗ f (x) )΄ =

C. Δίνονται τα σύνολα Α, Β, συναρτήσεων :

A = 1 2 3 42 xf (x) = x f (x) = 3ημx, f (x) = f (x) = lnx+ x + 1, x + e ,

B = 1 2 3 4 5 5x1

(x) = 2 3 g (x) = x , g (x) = 2x +1 g (x) = , g (x) = 3συνx, g (x) =1+ex

g x+ , , ⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

Σε καθεμιά συνάρτηση του συνόλου Α να αντιστοιχίσετε εκείνη τη συνάρτηση του συνόλου

Β, που είναι η παράγωγός-της, αιτιολογώντας την αντιστοίχισή-σας.


287

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1η

Ο παρακάτω πίνακας κατανομής συχνοτήτων προέκυψε από την ομαδοποίηση των παρατη-

ρήσεων ενός δείγματος τηλεφωνικών συνδιαλέξεων, που έγιναν μια ημέρα από έναν τηλεφω-

νικό θάλαμο και εξετάστηκαν ως προς τη χρονική τους διάρκεια σε (min).

Διάρκεια σε (min)

Αριθ-Συνδ. νi

Κέν. Κi

fi fi % Νi Fi Fi % vi Κi x -Κi ( x -Κi)2 ωι( x -Κi)2

[0, 2) 6

[2,4) 12

[4,6) 15

[6,8) 10

[8,10) 7 Άθροισμα Ν =

(όπου τα σύμβολα : Νi, Fi, Fi% αναφέρονται τις Αθροιστικές Συχνότητες)

A. Να συμπληρώσετε τα στοιχεία του πίνακα που λείπουν.

B. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή ( x ), τη διακύμανση (S2), την τυπική απόκλιση S και το

συντελεστή μεταβολής (CV) του δείγματος, παίρνοντας υπόψη ότι 5,92 = 2,43.

Άσκηση 2η

Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 3

4 2

χ 2λχ + 2 χ 1

λχ + λχ +1 χ > 1

− ≤

−

⎧⎪⎨⎪⎩

όπου λ ∈ ℜ

a. Να βρείτε το im f(x)

χ→ 1−

b. Να βρείτε το im f(x) χ → 1+ c. Να υπολογίσετε την τιμή του λ, ώστε η συνάρτηση f να είναι συνεχής στο σημείο χo = 1. Άσκηση 3η

Δίνεται η συνάρτηση f(χ) = 13χ3 –

12χ2 – 2χ + 1

a. Να βρείτε το ευρύτερο υποσύνολο του ℜ , στο οποίο η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη

καθώς επίσης και την παράγωγο f’(χ) της f.

b. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία, αφού συγκροτήσετε πίνακα πρό-

σημου για την παράγωγο f’(χ) της f.

c. Να βρείτε τα σημεία στα οποία η f παρουσιάζει τοπικά ακρότατα και να υπολογίσετε αυ-

τά.


288

ΘΘΕΕΩΩΡΡΙΙΑΑ Θέμα 1ο

a. Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f : ( ) ( )0 0α, χ χ ,β ,∪ → έχει όριο τον πραγματικό αριθμό όταν το χ τείνει στο 0χ ;

b. Αν ox x

lim→

( )f x = 1∈ και ( )x xolim g x→

= 2 ∈ να βρείτε τα:

i. ( ) ( )[ ]x xolim f x ±g x→

ii. ox x

lim→

( )( )

f xg x

iii. ox x

lim→

( ) ( )[ ]f x g x⋅

Θέμα 2ο a. Πότε μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο 0x του πεδίου ορισμού της; b. Αν οι συναρτήσεις , :f g Α→ είναι παραγωγίσιμες στο πεδίο ορισμού τους να γράψετε στο τετράδιο σας τις παραγώγους των συναρτήσεων: ( ) ( ) ( ) ( )f x ±g x , f x g x ,⋅ c ( )f x⋅ (όπου c σταθερός πραγματικός αριθμός) και

( )( )

f xg x

όπου ( ) 0.g x ≠

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1η Οι ηλικίες 25 δευτεροετών φοιτητών ενός ΤΕΙ είναι:

21 21 21 19 18 20 19 21 21 20 18 19

18 19 21 21 21 19 20 19 21 20 21 21 21

a. Να κατασκευάσετε τον πίνακα συχνοτήτων b. Υπολογίστε το μέσο όρο ηλικίας τους. c. Να βρείτε την διακύμανση. Άσκηση 2η

Δίνεται η συνάρτηση fμε τύπο : ( )2

x =

αχ + β, χ < 0f 2, χ = 0

βχ +αχ, χ > 0

χ

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

, όπου α, β∈ℜ

a. Υπολογίστε τους αριθμούς :0

limx −→

( )f x , ( )0

lim f x ,x +→

( )f 0 .

b. Να βρείτε τις τιμές των α, β , ώστε η f να είναι συνεχής στο 0 0x = . Άσκηση 3η

Δίνεται η συνάρτηση f : ,→ με ( ) 3 21f x = x + x 3x +1.

3−

a. Να υπολογίσετε την παράγωγο της συνάρτησης .f b. Να βρείτε τις τιμές ( )f 1′ και ( )f -3 .′

c. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς την μονοτονία .


289

ΘΕΩΡΙΑ Θέμα 1ο

a. Να γραφούν οι ιδιότητες των ορίων.

b. Πότε μια συνάρτηση f , με πεδίο ορισμού το Α⊆R λέγεται συνεχής

στο σημείο χο∈Α.

Θέμα 2ο

a. Να δοθεί ο ορισμός του παραγώγου αριθμού στο σημείο χο του πεδίου

ορισμού μιας συνάρτησης f.

b. Να γραφούν οι παράγωγοι των βασικών συναρτήσεων.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Άσκηση 1η

Να βρεθεί η τιμή του α , έτσι ώστε η συνάρτηση f , με: ( )2

2

x -5x-6 , αν x 1f x = x+1

x + 5x +α , αν x 1

⎧≠ −⎪

⎨⎪ = −⎩

να είναι συνεχής στο χο= −1.

Άσκηση 2η Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα η συνάρτηση f , με

f(x) = 2x3−3x2 −12x + ln2

Άσκηση 3η Δίνεται ο παρακάτω πίνακας της μεταβλητής Χ.

a. Να βρείτε την αθροιστική συχνότητα.

b. Να βρείτε την μέση τιμή.

c. Να βρείτε την διακύμανση.

χi vi

0 3

4 5

8 8

12 7

16 2


290

ΘΕΩΡΙΑ

Θέμα 1ο

a. Τι ονομάζουμε διάμεσο ενός δείγματος ν παρατηρήσεων .

b. Πότε μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα σημείο xο του πεδίου ορισμού της.

c. Ποια η διάμεσος των παρατηρήσεων: 2, 5, 2, 2, 4, 4.

Θέμα 2ο

a. Τι ονομάζουμε επικρατούσα τιμή μιας μεταβλητής

b. Πότε μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο xο του πεδίου ορισμού της.

c. Ποια η επικρατούσα τιμή των παρατηρήσεων : 2,2,3,5,3,3,3.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Άσκηση 1η a. Να συμπληρωθεί ο πίνακας : b. Να βρείτε τη μέση τιμή καθώς

και την επικρατούσα τιμή του

παραπάνω δείγματος.

Άσκηση 2η

Αν f(x) =

2x x 12,αν x 4

x 42λ 1 , αν x = 4

− −≠

−−

⎧⎪⎨⎪⎩

,

a. Να υπολογίσετε το 4

lim f(x)x→

b. Να βρείτε τη τιμή του λ∈R ώστε η συνάρτηση f να είναι συνεχής στο xο= 4.

Άσκηση 3η

Έστω συνάρτηση f(x) = lnxx

, με x >0.

a. Να βρείτε την f΄(x) και να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα α-

κρότατα.

b. Να δείξετε ότι : lnxxe

≤ για κάθε x>0.

xi νi fi Ni Fi xiνι

1 2

2 5

3

4 5

5 2

ΣΥΝΟΛΟ 20


291


Να συμπληρώσετε τα παρακάτω:

Αν 1 2 νt ,t ,...,t είναι οι τιμές μιας μεταβλητής ενός δείγματος, τότε:

α. x = …….., β. 2s = …….., γ. s =…… δ. CV =………..

Θέμα 2ο

Να συμπληρώσετε τα παρακάτω:

A. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο εσωτερικό ενός διαστήματος Δ, τότε:

a. Αν f΄(x) >0, τότε η f είναι γνησίως ………………… στο Δ, ενώ

b. Αν f΄(x) <, τότε η f είναι γνησίως ………………… στο Δ.

B. Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη στο διάστημα Δ. Θα λέμε ότι είναι συνεχής στο x0, όταν

ισχύει ……………………


Σε έναν δειγματοληπτικό έλεγχο της τροχαίας με σκοπό να εξετασθεί εάν οι οδηγοί τηρούν το

όριο ταχύτητας σε κάποιο εθνικό δρόμο, σημειώθηκαν οι εξής ταχύτητες 8 αυτοκινήτων:

102, 94, 104, 94, 100, 92, 106 και 108 Km/h.

a. Να βρείτε τη μέση τιμή του δείγματος

b. Να βρείτε τη διάμεσο του δείγματος

c. Να βρείτε την επικρατούσα τιμή του δείγματος

d. Να βρείτε τη διακύμανση του δείγματος

Άσκηση 2η

Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο

2x 5x + 6, αν x 2

f(x)= x 22λ+ 5, αν x = 2

−≠

−

⎧⎪⎨⎪⎩

.

a. Να υπολογίσετε τα f(0), f(1), f(2) και f(3).

b. Να υπολογίσετε τα x 1 x 2 x 3lim f(x), lim f(x) και lim f(x).→ → →

c. Να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού λ, ώστε η f να είναι συνεχής στο 2.

Άσκηση 3η

Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f(t) = 2t2 −60t, όπου 0 ≤ t ≤ 15, η οποία εκφράζει την πορεία

ενός δύτη από τη χρονική στιγμή που βουτάει στη θάλασσα, έως τη στιγμή που αναδύεται (το

t είναι σε min και το f(t) σε m). Να υπολογίσετε:

a. Το βάθος που βρίσκεται τη στιγμή της κατάδυσης καθώς και 5 min αργότερα.

b. Την χρονική περίοδο της βύθισης και αυτή της ανάδυσης.

Το κατώτατο βάθος κατάδυσης καθώς και πότε βρίσκεται σ’ αυτό.


292

ΘΕΩΡΙΑ Θέμα 1ο a. Τι ονομάζουμε συχνότητα εμφάνισης της τιμής ή απλά συχνότητα της τιμής;

b. Σε ποσοτική μεταβλητή, τι λέγεται αθροιστική συχνότητα της τιμής xi ;

c. Τι ονομάζεται επικρατούσα τιμή μιας μεταβλητής;

d. Τι ονομάζεται μέση τιμή διαφόρων τιμών;

e. Τι ονομάζεται διάμεσος ενός δείγματος ν, διατεταγμένων σε αύξουσα σειρά, παρατηρήσεων;

Θέμα 2ο

A. Πότε μια συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιμη σε ένα σημείο xo του πεδίου ορισμού της;

B. Να συμπληρωθεί ο πίνακας

Συνάρτηση f Παράγωγος f΄ C(σταθερά) x xα, α∈R* ,x >0 ημx συνx ex nx , x>0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Άσκηση 1η

Οι απουσίες 20 μαθητών του τμήματος πληροφορικής του Τ.Ε.Ε Ηράκλειας τον μήνα Μάρτιο

είναι: 5, 3, 8, 5, 4, 5, 2, 8, 8, 5, 4, 8, 3, 4, 5, 4, 8, 2, 5, 4

a. Ποιος είναι ο μέσος αριθμός των απουσιών ενός μαθητή ;

b. Ποια είναι η επικρατούσα τιμή;

c. Ποια είναι η διάμεσος;

Άσκηση 2η

Δίνεται η συνάρτηση f:R R με f(x) = 2

λx +1 αν x 1

3x αν x 1

≤

>

⎧⎨⎩

, λ∈R

a. Να βρεθεί το limf(x) x 1¯ b. Να βρεθεί το limf(x) x 1+ c. Να βρεθεί η πραγματική τιμή του λ ώστε η f να είναι συνεχής στο x o= 1

Άσκηση 3η

Δίνεται η συνάρτηση f: R R με f(x ) = 2x3 − 3x2−12x + 12. Να βρεθούν: a. Η παράγωγος της f (f΄)

b. Η μονοτονία της f

c. Οι τετμημένες των σημείων στα οποία η f παρουσιάζει τοπικά ακρότατα και το είδος

τους

d. Οι τιμές των τοπικών ακρότατων


293

ΘΕΜΑΤΑ Θέμα 1ο Αν 1 2 κx , x ,...,x είναι οι διαφορετικές τιμές μιας ποσοτικής διακριτής μεταβλητής Χ, η οποία αναφέρεται σε ένα δείγμα μεγέθους ν. Α. α. Να ορίσετε τη συχνότητα iν και τη σχετική συχνότητα if της τιμής ix . β. Να συμπληρώσετε τις ισότητες: α. 1 2 κν + ν +... + ν = β. 1 2 κf + f +... + f = Β. α. Να γράψετε τους τύπους της μέση τιμής και της διακύμανσης μιας μεταβλητής Χ. β. Σε ποιες μονάδες εκφράζονται η x και η 2s σε σχέση με τις μονάδες στις οποίες εκφράζονται οι τιμές της μεταβλητής Χ. Γ. α. Να γράψετε τον τύπο που δίνει το CV του δείγματος , ως προς τη μεταβλητή Χ. β. Ο CV είναι ανεξάρτητος από τη μονάδα μέτρησης των τιμών της μεταβλητής Χ; γ. Πότε ο πληθυσμός του δείγματος θεωρείται ομοιογενής; Θέμα 2ο Α. Αν ( )

ox x 1lim f x = l→

και ( )ox x 2lim g x = l

→, όπου 1 2l , l R∈ , να συμπληρώσετε τις ισότητες:

i. ( ) ( )[ ]ox x

lim f x +g x =→

...., ii. ( ) ( )[ ]ox x

lim f x g x =→

⋅ ..., iii. ( )( )ox x

f xlim =

g x→..... , 2l 0≠

iv. ( )ox x

lim f x =→

...., v. ( )[ ]o

ν

x xlim f x =→

...., vi. ( )o

κx xlim f x =→

....,όταν f(x) ≥0σε μια περιοχή του x0

Β. Πότε μια συνάρτηση ( )f: α,β R→ , όπου α,β R∈ με α<β , λέγεται συνεχής i. στο σημείο x0∈ (α, β); ii. στο διάστημα(α, β); Γ. Να αντιστοιχίσετε καθένα από τα όρια της πρώτης γραμμής σε εκείνον τον αριθμό της δεύτερης γραμμής με τον οποίο ισούται, αιτιολογώντας την απάντησή σας.

12 Γραμμή 1. ( )3

x 1lim x +2x→

2. 2

x 2

x 2xlim

x + 1→−

− 3. 2

x 1lim x + x + 2→

12 Γραμμή Α: 2 Β: 0 Γ: −3 Δ: − 8 Ε: 8

Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ Άσκηση 1η

Στον πίνακα έχουμε τον αριθμό συ-σκευών κινητής τηλεφωνίας 50 οι-κογενειών α. Να αντιγράψετε τον πίνακα φύλλο και να τον συμπληρώσετε. β. Να γίνει το ραβδόγραμμα συχνο-τήτων. γ. Να βρείτε το πλήθος και το ποσοστό των οικογενειών που έχει i) το πολύ 2 συσκευές ii) τουλάχιστον 1 συσκευή δ. Να βρεθεί η μέση τιμή των παρατηρήσεων. Άσκηση 2η

Δίνεται η συνάρτηση ( )2

αx β, x 1

f x = 3x, 1< x 2

βx α, 2x >

− ≤

≤

−

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

όπου α, β∈ ℜ Να βρείτε:

α. Τις τιμές f( 1 ) και f( 2 ) της συνάρτησης f. β. Τα όρια ( )

x 1lim f x

−→, ( )

+x 1lim f x→

, ( )x 2lim f x

−→ , ( )

+x 2lim f x→

.

γ. Τις τιμές των α, β∈ ℜ ώστε η f να είναι συνεχής στα σημεία x1 = 1 και x2 = 2. Άσκηση 3η

Δίνεται η συνάρτηση ( ) ( )x 2f x = e x 5x+7− , x∈ℜ. Να βρεθούν:

α. Η παράγωγος της συνάρτησης f. β. Οι ρίζες και το πρόσημο της f ΄(x) . γ. Τα διαστήματα μονοτονίας και τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης f.

xi vi fi f% Νi Fi xi vi0 4 1 6 2 26 3 14

Σύνολα ν = 50


294

ΘΕΩΡΙΑ Θέμα 1ο α. Tι ονομάζεται σχετική συχνότητα τιμής xi μιας μεταβλητής; β. Δίνονται οι συναρτήσεις f, g: Α→R παραγωγήσιμες στο πεδίο ορισμού τους Α με c σταθερά, g ≠ 0 . Να συμπληρωθούν οι παρακάτω ισότητες :

i. ( ) ( )'f+g x =……, ii. ( ) ( )'cf x = ….., iii. ( ) ( )'f g x⋅ =……, iv. ( )'

xfg

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= .....

Θέμα 2ο α. Πότε μια συνάρτηση f λέγεται συνεχής σε σημείο xο του πεδίου ορισμού της ;

β. Αν υπάρχουν τα ( )0x xf xlim

→

, ( )0x x

lim g x→

και είναι l1, l2 є R αντίστοιχα, τότε να

συμπληρωθούν οι παρακάτω ισότητες : ( ) ( )0x x

f x +g x =lim→

⎡ ⎤⎣ ⎦ ….. ( )0x x

f x =lim→

…..

( )( )0x x

f x=lim g x→

…… , l2 ≠0 [ ]0x x

f(x) g(x)lim→

⋅ = ….. ( )0

ν

x xf xlim =

→

⎡ ⎤⎣ ⎦ …….., ν є Ν*

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1η Οι απουσίες 25 μαθητών ενός ΤΕΕ κατά το μήνα Μάρτιο ήταν : 2 , 1, 0 , 6 , 7 , 8 , 9 , 5 , 0 , 5 , 5 , 6 , 7 , 4 , 5 , 3 , 2 , 7 , 1 , 5 , 1 , 2 , 2 , 5 , 2 . α. Να κατασκευάσετε τον πίνακα συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων. β. Να βρείτε το εύρος , την επικρατούσα τιμή , τη διάμεσο και τη μέση τιμή.

Άσκηση 2η α. Να υπολογίστε , αν υπάρχουν , καθένα από τα παρακάτω όρια :

i. 2

1

x x 2lim x + 1x→−

− − ii.

4

x 4lim x 2x→

−

−

β. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο: f(x) = 3

2

λx 2x, αν x 2

x 2x, αν x 2

≤

⟩

⎧ −⎨

−⎩

i. Υπολογίστε τα ( )2

lim f xx −→

και ( )2

flim xx +→

.

ii. Να βρείτε την τιμή του λ ώστε η f να έχει όριο στο x0 =2 .

Άσκηση 3η α. Να υπολογιστούν οι πρώτες παράγωγοι των παρακάτω συναρτήσεων :

i. ( ) ( ) ( )21f x x 2 x +3x= − ⋅ ii. ( )2f x 2συνχ= iii.

2

3x 1

(x) = x

f −, x ≠ 0

β. Δίνεται η συνάρτηση f: R→R με τύπο: f(x) = x3−3x2−9x+9

i. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία .

ii. Να βρείτε τα ακρότατα της f .


295

ΘΕΩΡΙΑ Θέμα 1ο Αν 1 2 κx , x ,..., x είναι οι διαφορετικές τιμές μιας ποσοτικής διακριτής μεταβλητής X , η οποία αναφέρεται σε ένα δείγμα μεγέθους ν. Α. i. Να ορίσετε τη συχνότητα iν και τη σχετική συχνότητα if της τιμής ix . ii. Να συμπληρώσετε τα δεύτερα μέλη των ισοτήτων: α. 1 2 κν + ν + ... +ν = β. 1 2 κf + f +... + f =

Β. i. Να γράψετε τους τύπους που δίνουν τη μέση τιμή x και τη διακύμανση 2s της μεταβλητής Χ. ii. Να γράψετε τον τύπο που δίνει το CV του δείγματος, ως προς τη μεταβλητή Χ. Θέμα 2ο Α. Να αντιγράψετε στο απαντητικό φύλλο και να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα με τις παραγώγους των βασικών συναρτήσεων Β. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες: i. ( ) ( )( )'f x +g x =

ii. ( ) ( )( )'f x g x⋅ =

iii. ( )( )

'f xg x

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ =

iv. ( )( ) 'f g x⎡ ⎤⎣ ⎦ =

Γ. Να διατυπώσετε το θεώρημα του Fermat. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Άσκηση 1η Στον παρακάτω πίνακα έχουμε τον αριθμό των πιστωτικών καρτών 25 ατόμων.

xi νi fi fi % Ni Fi xi νi ( )2iX - x ( )

ii

2ν X - x

0 2 1 9 2 4 3 7 4 3

Σύνολα ν =2 Α. Να αντιγράψετε τον πίνακα στο απαντητικό φύλλο και να τον συμπληρώσετε. Β. Να βρείτε: i. Τη μέση τιμή των παρατηρήσεων. ii. Τη διακύμανση των παρατηρήσεων. iii. Είναι ο πληθυσμός του δείγματος ομοιογενής; Άσκηση 2η

Α. Να βρεθούν (αν υπάρχουν) τα όρια: i. 3

2x 3xlim

x 3x→

−

− ii.

x 5 2

5 5xlim

x 25→

−

−

Β. Δίνεται η συνάρτηση ( ) 2 xf x = x e x∈ℜ να δείξετε ότι: ( ) ( )'' ' xf (x) 2f x + f x = 2e− Άσκηση 3η Δίνεται η συνάρτηση ( ) 3 2f x = x 6x + 9x 5− − , x∈ℜ

Να βρεθούν: i. Η παράγωγος της συνάρτησης f. ii. Οι ρίζες και το πρόσημο της f΄(x). iii. Τα διαστήματα μονοτονίας και τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης f.

f(x) f΄(x)

c (σταθερά) x αx , *α R∈ , x > 0

x , x>0 xe

ln , 0x x> ημx συνx


296

ΘΕΜΑΤΑ Θέμα 1ο

Α. Πότε μια μεταβλητή ονομάζεται ποσοτική και πότε ποιοτική; Τι γνωρίζεται για τις συνε-χείς και τι για τις διακριτές μεταβλητές; Μονάδες 2 Β. Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις με σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) και στις λανθασμένες προτάσεις δώστε τη σωστή απάντηση. a. Η επικρατούσα τιμή είναι μια παράμετρος θέσης b. Η μέση τιμή δεν επηρεάζεται από τις ακραίες τιμές που παίρνει μια μεταβλητή c. Ο πληθυσμός ενός δείγματος χαρακτηρίζεται ομοιογενής όταν ο συντελεστής μεταβλη-

τότητας είναι ίσος με 10% d. Την σχετική συχνότητα επί τις εκατό τη συμβολίζουμε με Fi% Μονάδες 4

Θέμα 2ο Α. Αν υπάρχουν τα

x x x x0 0lim f(x), lim g(x)→ →

και είναι αντίστοιχα 1 2l , l R∈ , τότε συμπληρώστε

καθεμιά από τις ισότητες: x xolim [f(x) g(x)]=→

⋅ ......, x xolim f(x) =→

……, κ

x xolim [f(x)] =→

.......

Μονάδες 3 Β. Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις με σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) και στις λανθασμένες

προτάσεις δώστε τη σωστή απάντηση a. Μία συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα σημείο χο του πεδίου ορισμού της, όταν τα πλευ-

ρικά όρια της f στο σημείο αυτό είναι ίσα b. Αν μια συνάρτηση δεν είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο χο του πεδίου ορισμού της, δεν

είναι και συνεχής στο σημείο αυτό. c. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο κοινό πεδίο ορισμού τους, τότε

2

f f (x) g(x)+f(x) g (x)(x)=

g [g(x)]′ ′⋅ ⋅′⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

Μονάδες 3


Ρωτήσαμε 20 μαθητές της Β΄ τάξης ενός Τ.Ε.Ε. για τον αριθμό των βιβλίων που δανείστηκαν από την σχο-λική βιβλιοθήκη στο πρώτο τετράμηνο και τις απα-ντήσεις τις καταγράψαμε στον παρακάτω πίνακα: a. Να μεταφέρετε τον παραπάνω πίνακα στο γραπτό

σας και να το συμπληρώσετε. Μονάδες 2 b. Τι ποσοστό των μαθητών δανείστηκε το πολύ 3

βιβλία; Μονάδες c. Να υπολογίσετε την διάμεσο Μονάδες 1 d. Να βρείτε την επικρατούσα τιμή Μονάδες 1 e. Κατά μέσο όρο πόσα βιβλία δανείστηκαν οι μα-

θητές; Μονάδες 2 Άσκηση 2η

Δίνεται η συνάρτηση

2

2

x -3x+2αν x 2

f(x) x-24x -5x+μ αν x 2

<=

≥

⎧⎪⎨⎪⎩

Να υπολογίσετε τα

a. x 2

limf(x)−→

Μονάδες 1,5 b. x 2

limf(x)+→

Μονάδες 2

c. Να βρείτε την τιμή της παραμέτρου μ ώστε η f να είναι συνεχής στο xo=2 Μονάδες 2 c. Είναι η f συνεχής στο xo=1; Μονάδες 1,5 Άσκηση 3η

Δίνεται η συνάρτηση 3 21 5f(x) = x x + 4x 2005

3 2− −

a. Είναι η συνάρτηση f συνεχής στο πεδίο ορισμού της; Μονάδες 2 b. Να υπολογίσετε την παράγωγο της f(x) Μονάδες 2 c. Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα Μονάδες 3

Αριθμός βιβλίων

Xi

Αριθμός παιδιών νi

Νi fi%

0 2 1 4 2 5 3 2 4 3 5 2 6 1

12 1 Σύνολο


297

ΘΕΜΑΤΑ Θέμα 1ο

Α. Τι ονομάζουμε συχνότητα και τι σχετική συχνότητα μιας τιμής ix μιας μεταβλητής;

Β. Ποιες παραμέτρους θέσεις και ποιες διασποράς γνωρίζετε;

Γ. Τι ονομάζεται επικρατούσα τιμή μιας μεταβλητής;

Θέμα 2ο.

Α. Πότε μια συνάρτηση είναι παραγωγί-

σιμη σε ένα σημείο 0x του πεδίου ορι-

σμού της;

Β. Να αντιστοιχίσετε τα στοιχεία της

στήλης Α του παρακάτω πίνακα σε αυτά

της στήλης Β (Προσοχή δύο της στήλης

Β περισσεύουν).

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Άσκηση 1η

Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο 22x x+3, αν x 2

f(x) =λx 3, αν x > 2

− ≤

−

⎧⎨⎩

. Να υπολογίσετε τα:

Α. f( 0 ), f( 2 ) και f(3 )

B. x 0 x 2 x 3lim f(x), lim f(x) και lim f(x)→ → →

.

Γ. Την τιμή του λ, ώστε η f να είναι συνεχής στο x0 = 2.

Άσκηση 2η

Α. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα:

xi νi fi fi% Ni Fi Fi% xiνi 40 5 50 12 60 15 70 5 80

Σύνολο 50 Β. Να υπολογίσετε την διάμεσο, την επικρατούσα τιμή και τέλος τη μέση τιμή για τον παρα-

πάνω πίνακα.

Άσκηση 3η

Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο 3 2f(x) = 2x 3x 12x + 8, x R.− − ∈

Α. Να βρείτε την παράγωγο f ′ της f.

Β. Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα.

Στήλη Α Συνάρτηση f

Στήλη Β Παράγωγος της f

Α. c

Β. x

Γ. α *x , α R , x>0∈

Δ. ημx

Ε. συνx

Ζ. xe

Η. lnx

α. x β. 0

γ. 1x

δ. −ημx ε. 1 ζ. συνx η. −συνx

θ. α 1αx − ι. xe


298

ΘΕΜΑΤΑ

Θέμα 1ο

Α) Πότε μια συνάρτηση f λέγεται συνεχείς σε σημείο x0 του πεδίου ορισμού της;

Β) Πότε μια συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιμη σε σημείο x0 του πεδίου ορισμού της;

Θέμα 1ο

Κυκλώστε το αντίστοιχο γράμμα στις παρακάτω προτάσεις

Α. Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο xo του πεδίου ορισμού της τότε είναι

και συνεχής στο xo Σ Λ

Β. Αν μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο σημείο xο του πεδίου ορισμού της τότε είναι

παραγωγίσιμη στο xo Σ Λ

Γ. Αν μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο σημείο xo του πεδίου ορισμού της τότε δεν είναι

παραγωγίσιμη στο xo Σ Λ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Άσκηση 1η

Μια μεταβλητή παίρνει τις τιμές : 5, 3 ,6, 3, 4, 3, 6, 2.

Να βρεθούν:

♦ Η μέση τιμή,

♦ το εύρος,

♦ η επικρατούσα τιμή,

♦ η διάμεσος

♦ η τυπική απόκλιση

Άσκηση 2η

Δίνεται η συνάρτηση

3x 3

αν 0 < x 3f(x)= x 3κ αν x = 3

−≠

−

⎧⎪⎨⎪⎩

Για ποια τιμή του κ η f είναι συνεχής στο σημείο xo=3

Άσκηση 3η

Δίνεται η συνάρτηση: 3 21 5f(x) = x x + 6x + 2006

3 2−

Να μελετηθεί η f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα


299

ΘΕΜΑΤΑ

Θέμα 1ο

50 μαθητές ενός Τ. Ε. Ε ρωτήθηκαν ως προς τον αριθμό αδελφών που έχουν

και οι απαντήσεις πού έδωσαν, αφού ταξινομήθηκαν, δίνονται στον παρακάτω

πίνακα κατανομής συχνοτήτων:

a. Να συμπληρώσετε τον παραπάνω πίνακα.

b. Να υπολογίσετε την μέση τιμή χ , τη διακύμανση S2, την τυπική απόκλιση S και

το συντελεστή μεταβλητότητας CV της μεταβλητής. ( 0, 68 0,82)

Θέμα 2ο

Δίνεται η συνάρτηση f: R → R με τύπο:

f( χ ) =

2

2

χ 4, χ 2

χ 2α, χ = 2

αχ βχ, χ 2

−⟨

−

+ ⟩

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

Να βρείτε a. το

2lim f(χ)

x −→

b. το 2

lim f(χ)x +→

c. τους α, β, ώστε η συνάρτηση να είναι συνεχής στο χ0 = 2.

Θέμα 3ο

Δίνεται η συνάρτηση f: R → R με f( χ ) = 3 21 7χ χ 12χ

3 2− +

a. Να υπολογίσετε την παράγωγο της f

b. Να λύσετε την εξίσωση f΄(χ) = 0

c. Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα.

ΘΕΜΑΤΑ

Αριθμός Αδελφών χi

νi fi fi% Ni Fi Fi% νi χi χ−χi ( )2

iχ χ−

( )2

i iν χ χ−⋅

0 12

1 30

2 5

3 2

4 1

Σύνολο ν =


300

Θέμα 1ο

50 μαθητές ενός Τ. Ε. Ε ρωτήθηκαν ως προς τον αριθμό αδελφών που έχουν

και οι απαντήσεις πού έδωσαν, αφού ταξινομήθηκαν, δίνονται στον παρακάτω

πίνακα κατανομής συχνοτήτων:

c. Να συμπληρώσετε τον παραπάνω πίνακα.

d. Να υπολογίσετε την μέση τιμή χ , τη διακύμανση S2, την τυπική απόκλιση S και

το συντελεστή μεταβλητότητας CV της μεταβλητής. ( 0, 68 0,82)

Θέμα 2ο

Δίνεται η συνάρτηση f: R → R με τύπο:

f( χ ) =

2

2

χ 4, χ 2

χ 2α, χ = 2

αχ βχ, χ 2

−⟨

−

+ ⟩

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

Να βρείτε d. το

2lim f(χ)

x −→

e. το 2

lim f(χ)x +→

f. τους α, β, ώστε η συνάρτηση να είναι συνεχής στο χ0 = 2. Θέμα 3ο

Δίνεται η συνάρτηση f: R → R με f( χ ) = 3 21 7χ χ 12χ

3 2− +

d. Να υπολογίσετε την παράγωγο της f

e. Να λύσετε την εξίσωση f΄(χ) = 0

f. Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα.

Αριθμός Αδελφών χi

νi fi fi% Ni Fi Fi% νi χi χ−χi ( )2

iχ χ− ( )2

i iν χ χ−⋅

0 12

1 30

2 5

3 2

4 1

Σύνολο ν =


301

ΘΕΜΑΤΑ

Θέμα 1ο

Δίνεται ο πίνακας

a. Να συμπληρώσετε την συχνότητα που λείπει αν είναι

γνωστό ότι χ = 6,2

b. Να συμπληρώσετε τις στήλες της σχετικής συχνότη-

τας fi και της σχετικής αθροιστικής συχνότητας Νi.

Θέμα 2ο

Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο:

f( χ ) = 2 2α χ 6αχ 3, αν χ 1

3αχ 5, αν χ 1− + ⟨

− ≥

⎧⎨⎩

Να υπολογιστεί η τιμή του α ώστε η f να είναι συνεχής στο χ0 = 1. Θέμα 3ο

Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία και τα

ακρότατα τη συνάρτηση f: R → R με τύπο:

f( χ ) = −χ3 + 6χ2 + 15χ + 4.

χi νi νi χi fi Ni 2 7

4 9

6 14

8

10 8

Σύνολο


302

ΘΕΜΑΤΑ

Θέμα 1ο

Σε μια αριθμητική πρόοδο με α1 = 185 και ω = −15 να υπολογίσετε:

a. Τους α2 , α3, α4, α5

b. τον α28

c. το S28

d. τον όρο της προόδου που ισούται με − 310.

Θέμα 2ο

Αν οι 1α χ 2−= , 2α 3χ 4= − , 4α = 7χ + 4 είναι διαδοχικοί όροι

μιας γεωμετρικής προόδου, να υπολογίσετε:

a. τον χ

b. τον λόγο της προόδου

c. τον α6

d. τον S6

Θέμα 3ο

Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 22χ+1 − 5⋅2χ + 2 = 0 β) 2χ χ3 9− =

ΘΕΜΑΤΑ

Θέμα 1ο

Να υπολογίσετε το 2

22

2 8lim

2x

x xx x→−

− −

+ −

Θέμα 2ο

Θεωρούμε την συνάρτηση f με τύπο: f( x ) = 2

7 +10, αν 22, αν = 2

3 5 6, αν 2

x xx

x x x

⟨−

− −

+ − ⟩ −

⎧⎪⎨⎪⎩

Να εξετάσετε αν η f είναι συνεχής στο −2.

Θέμα 3ο

Θεωρούμε την συνάρτηση g με τύπο: g( x ) =8 6, αν 29 8, αν 2

x xx x− ⟨

− ≥⎧⎨⎩

Να εξετάσετε αν η g είναι παραγωγίσιμη στο 2.

Τ. Ε. Ε Εσπερινό Μαθηματικά -Τάξη Δ!


303

ΘΕΜΑΤΑ

Θέμα 1ο

Δίνεται ο πίνακας συχνοτήτων

a. Να

συμπληρώσετε τον πίνακα

b. Να βρείτε τη μέση τιμή.

c. Να βρείτε τη διάμεσο παρατήρηση

Θέμα 2ο

a. Να βρείτε τα όρια:

i. 2

2

4lim

2x

xx→

−

−

ii. 2

20lim

1 1x x

x→

− −

b. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο:

f( x ) =

2 2, αν 2

+ 23, αν = 2

xx

xx

x + −≠ −

− −

⎧⎪⎨⎪⎩

Να εξετάσετε αν η f είναι συνεχής στο σημείο χ0 = −2.

Θέμα 3ο

a. Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων:

f( x ) = 2

2

11

xx

−

+, g( x ) = x3 −3x2 +2x +5, h( x ) = 2ex⋅lnx

b. Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία και τα

ακρότατα τη συνάρτηση f με f( x ) = x2 + 6x + 7.

χi νi fi Ni νi χi 1 12 2 15

3 8

4 5

5 10

Σύνολο


304

ΘΕΜΑΤΑ

Θέμα 1

Η βαθμολογία 10 μαθητών σ’ ένα διαγώνισμα ήταν:

7, 11, 10, 13, 15, 3, 12, 11, 4, 14.

a. Να υπολογίσετε:

i. τη μέση τιμή x

ii. την επικρατούσα τιμή Μ0

iii. τη διάμεσο δ

b. Να υπολογίσετε:

i. το εύρος R

ii. την τυπική απόκλιση S

iii. το συντελεστή μεταβλητότητας CV.

Θέμα 2ο

Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων:

a. f( x ) = 8x3 −ημx + 5

b. f( x ) = ( ) ( )3 41 1x x+ ⋅ +

c. f( x ) = 2

1x

x +

Θέμα 3ο

Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία και

τα ακρότατα τη συνάρτηση f με τύπο:

f( x ) = x2 − 8x + 4.


305

ΘΕΩΡΕΙΑ Θέμα 1ο

α) Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση f είναι συνεχής σε σημείο xο του πεδίου ορισμού της;

β) Θεωρούμε συνάρτηση f:[α, β]→R. Πότε λέμε ότι η f είναι συνεχής στο διάστημα [α, β];

Θέμα 2ο

α) Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε σημείο xο του πεδίου ορισμού της;

β) Κυκλώστε το αντίστοιχο γράμμα στις παρακάτω προτάσεις:

i) Αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο xο του πεδίου ορισμού της τότε θα

είναι και συνεχής στο σημείο αυτό. Σ Λ

ii) Αν μία συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο xο του πεδίου ορισμού της τότε είναι

παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό. Σ Λ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Θέμα 1ο

Η μέση τιμή 50 παρατηρήσεων είναι 30. Αν από αυτές οι 10 μειώνονται κατά 1 και οι 5 αυ-

ξάνονται κατά 4 να βρεθεί η νέα μέση τιμή.

Θέμα 2ο

Θεωρούμε τη συνάρτηση f με τύπο

3 2x +x +3 x αν x 0f(x)= x αν x 03

⎧ ⋅ ≠⎪⎨ =⎪⎩

Να εξετάσετε αν η f είναι συνεχής στο σημείο x=0.

Θέμα 3ο

Θεωρούμε τη συνάρτηση f με τύπο 21f(x) = x - 4 x+5

2⋅

Να μελετηθεί η f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα.


306

ΘΕΩΡΙΑ Θέμα 1o

Σε κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις να σημειώσετε το Σ(σωστό ) ή το Λ (λάθος)

1. Ο συντελεστής μεταβολής CV =15%. Το δείγμα είναι ομοιογενές. Σ - Λ

2. Η τυπική απόκλιση s2 = i ix vv

∑ Σ -Λ

3. Η σχετική συχνότητα προκύπτει αν διαιρέσουμε τη συχνότητα vi με το σύνολο του δείγ-

ματος v Σ - Λ

4. Η μέση τιμή, η επικρατούσα τιμή και η διάμεσος είναι παρ άμετροι θέσης Σ - Λ

5. Το εύρος δείγματος είναι η διαφορά της μικρότερης από την μεγαλύτερη παρατήρηση

Σ- Λ

6. Το άθροισμα όλων των αθροιστικών συχνοτήτων μιας κατανομής είναι 1 Σ - Λ

7. Το είδος των βιβλίων μιας βιβλιοθήκης είναι ποιοτική μεταβλητή Σ - Λ

Θέμα 2ο : Να συμπληρώσετε την γραμμή Β με την πρώτη παράγωγο κάθε συνάρ-τησης της γραμμής Α


Δίνεται η συνάρτηση f(x)= x2-αx+15 , x є 1. Να βρείτε την f ΄(x) 2. Να αποδείξετε ότι α = -8 αν f ΄(-1)=6 3. Αφού αντικαταστήσετε το a,να εξετάσετε την μονοτονία της 4. Να προσδιορίσετε τα ακρότατα της (αν υπάρχουν) Άσκηση 2η :

Δίνεται η συνάρτηση f με f(x) =

2x²+x-3 x 1x-1

2α+x x 1

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

>

≤

1. Να βρεθεί το x 1

limf(x)−→

2. Να βρεθεί το x 1

limf(x)+→

3. Να βρεθεί η τιμή του α є για την οποία η f είναι συνεχής Άσκηση 3η Ο παρακάτω πίνακας μας δίνει τον αριθμό αυτοκινήτων που ανήκουν σε 50 οικογένειες

a. Να συμπληρωθεί ο πίνακας b. Να βρείτε πόσες οικογένειες

έχουν πάνω από 1 αυτοκίνητο και ποιο το ποσοστό των οικο-γενειών που έχουν πάνω από 2 αυτοκίνητα

c. Να βρεθεί η επικρατούσα τιμή, η διάμεσος και η μέση τιμή

Α F(x) συνx +1 2x2-6x+7 1

x lne -

x²

5 e2 5ημx

Β F΄(x)

xi νi Νi Fi Fi% Νi% xiνi 0 8 1 24 2 12 3 4 4 2

ΣΥΝΟΛΟ


307


α. Να δοθούν οι ορισμοί της επικρατούσας τιμής, του εύρους και της μέσης τιμής.

β. Μια μεταβλητή παίρνει τις εξής τιμές: 5,3,6,3,4,3,6,2. Να βρεθεί το εύρος των τιμών και η

επικρατούσα τιμή.

Θέμα 2ο γ. Στις παραπάνω τιμές η μέση τιμή είναι 4; Σ - Λ

α. Να γραφούν οι ιδιότητες του ορίου στις περιπτώσεις του αθροίσματος- διαφοράς,

του γινομένου και του πηλίκου.

β. Να υπολογισθεί το όριο x 1lim→

(−3x2 + 5x−7)

γ. Είναι 2

2x 1lim

x 5x + 4x 7→−

−+

= 78

Σ - Λ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Άσκηση 1η. a. Να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας και να βρεθούν η μέση τιμή, η διακύμανση και η

τυπική απόκλιση. b. Αν xi ο αριθμός των παιδιών μιας οικογένειας να υπολογισθεί ο αριθμός των οικογενειών

που έχει τουλάχιστον ένα παιδί.

xi νi fi νi.xi

0 4 1 6 2 26 3 Σ ν = 50

Άσκηση 2η.

Δίνεται η συνάρτηση f(x) =2 2

2

α x αx + 1 x 2x 1 x 2

⎧ − ≤⎪⎨

− >⎪⎩

Να βρεθούν οι πραγματικές τιμές του α για τις οποίες η συνάρτηση είναι συνεχής x0 = 3 .

Άσκηση 3η. Δίδεται η συνάρτηση f : R→ R με f(x) = -2x3-3x2+12x + 2 .

Να μελετηθεί η συνάρτηση ως προς την μονοτονία , να βρεθούν τα σημεία στα οποία πα-

ρουσιάζει ακρότατα και να υπολογισθούν τα ακρότατα.


308

ΘΕΩΡΙΑ

Θέμα 1o Α) Θεωρούμε τις συναρτήσεις f : (α, xo) U (xo, β)→ℜ και g : A → ℜ . i) Πότε λέμε ότι το όριο της f, όταν το x τείνει στο xo, είναι ο πραγματικός αριθμός ℓ; ii) Ποιες είναι οι προϋποθέσεις που εξασφαλίζουν τη συνέχεια της συνάρτησης g στο xo; Β) Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f στην περιοχή του σημείου xo = 4. i) Nα εκτιμήσετε τα στοιχεία :

x 4lim f(x)

−→ ,

x 4lim f(x)

+→και f(4).

ii) Να χαρακτηρίσετε ως αληθή ή ψευδή την ακόλουθη πρότα-ση: «Η συνάρτηση g με g(x) = (f(x))2 είναι συνεχής στο σημείο xo = 4», αιτιολογώντας την απάντησή σας. Θέμα 2o Α) Να συμπληρώσετε τα δεύτερα μέλη των παρακάτω ισοτήτων (τύπων):

α) (ex)' = ; β) (1x

)' =; γ) (εφ x)' = ; δ) (ℓn x)' =; e) ( x )' = ;

B) Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση f : [α, β] → R η οποία είναι παραγωγίσιμη από αριστερά και δε-ξιά σε κάθε εσωτερικό σημείο xo του [α, β]. Να αναφέρετε τις πιθανές θέσεις τοπικών ακρότατων της συνάρτησης f. Γ) Αν ο διπλανός πίνακας μεταβολών ανα-φέρεται στη συνάρτηση f του προηγούμενου ερωτήματος Β), τότε να προσδιορίσετε : i) τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης f ii) τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης f.

AΣΚΗΣΕΙΣ 1η ΑΣΚΗΣΗ Το διπλανό ιστόγραμμα συχνοτήτων αναφέρεται στους χρό-νους σε (min) που χρειάστηκαν 50 μαθήτριες της κομμωτι-κής ενός ΤΕΕ, για να χτενίσουν αντίστοιχα 50 συμμαθή-τριές τους, αφού προηγήθηκε ομαδοποίηση των χρόνων στις ακόλουθες κλάσεις : [ 0, 5), [5, 10), [10, 15), [15, 20]. Α) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα κατανο-μής συχνοτήτων Β) Να βρείτε τη μέση τιμή x και τη διάμεσο δ των χρόνων. 2η ΑΣΚΗΣΗ Η θέση ενός κινητού πάνω σε έναν άξονα τη χρονική στιγμή t (min) δίνεται από τη συνάρτηση : s =

s(t) = 1

3t3 +

1

2t2 – 6t + 8 (m) με t ≥ 0, όπου το μέγεθος s εκφράζει σε (m) την τετμημένη του κινη-

τού, δηλαδή την προσημασμένη απόσταση του κινητού από την αρχή Ο του άξονα. Α) Να βρείτε την ταχύτητα υ = υ(t) και την επιτάχυνση γ = γ(t) του κινητού κατά τη χρονική στιγμή t. B) Nα βρείτε την αρχική θέση, αρχική ταχύτητα και αρχική επιτάχυνση του κινητού. Γ) Να βρείτε τη χρονική στιγμή κατά την οποία το κινητό βρίσκεται πλησιέστερα προς την αρχή Ο του άξονα. 3η ΑΣΚΗΣΗ

Δίνεται η συνάρτηση f(x)=

2 2 xx +4+α e +βημx αν x < 0

β αν x = 0

4ασυνx+β x , αν x > 0

⎧⎪⎨⎪⎩

α, β ∈ℜ

Α) Να βρείτε τις τιμές των α, β ,ώστε η συνάρτηση f να είναι συνεχής στο σημείο xo=0. Β) Για τις τιμές των α, β που βρήκατε στο προηγούμενο ερώτημα Α) να εξετάσετε, αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο ℜ.

x α x1 x2 x3 β f '(x) ¦ 0 = 0 ¦ f (x) f(α) f(x1) f(x2) f(x3) f(β)

κλάσεις Κέντρο κλάσης ( κi)

vi f i Νi Fi viκi [0, 5) [5, 10) [10, 15) [15, 20] Σύνολο

0

5

10

15

20

25

Χρόνος σε (min)

Vi

5 10 15 20


309

ΘΕΩΡΙΑ

Θέμα 1ο

Α) Αν είναι ox x

lim→

f(x) = 1 και ox x

lim→

g(x) = 2 , με 1 , 2 ∈ℜ , να συμπληρώσετε τα

δεύτερα μέλη των ισοτήτων :

i) ox x

lim→

[ f(x) + g(x)] = ; ii) ox x

lim→

[a f(x)] = ; iii) ox x

lim→

[f(x) g(x)] = ;

iv) ox x

lim→

[f(x)] = ; v) ox x

lim→

[)x(g)x(f

] = ; vi) ox x

lim→

[f(x)]ν = ;

Β) Αν x 0lim→

f(x) = 1 και x 0lim→

g(x) = 2, να εξετάσετε αν ο ισχυρισμός :

“x 0lim→

[(x2 + 1) ex – f(x) συνx + g(x) x1 ημ− ] = 4 ” είναι αληθής ή ψευδής, αιτιολογώντας

την απάντησή σας.

Γ) Αν η συνάρτηση f : ℜ → ℜ είναι συνεχής στο σημείο xo = 0 και ικανοποιεί τη σχέση : “

x 0lim→

[ (x4 +1) f(x) – συνx] =1 ”, να βρείτε την τιμή f(0) της συνάρτησης f.

Θέμα 2ο

Α) Πότε η συνάρτηση F λέγεται παράγουσα της συνάρτησης f στο διάστημα Δ του R;

(μονάδες 2)

B) Να συμπληρώσετε τη

δεύτερη στήλη του πίνα-

κα γράφοντας δίπλα σε

κάθε συνάρτηση f(x) της

πρώτης στήλης, την α-

ντίστοιχη παράγουσά της

F(x), αφού προηγουμέ-

νως μεταφέρετε τον πί-

νακα στις κόλες εξέτασης

(μονάδες 3)

Γ) Να βρείτε την παρά-

γουσα συνάρτηση F(x),

της συνάρτησης

f(x) = 3 5x ,x ∈[0, ∞ ).

(μονάδες 1,7)

Συνάρτηση f(x) Παράγουσα F(x)

0 x ∈ℜ

1 x ∈ℜ

xα x ∈ℜ ∧ α 1≠

1

x x > 0

ex x ∈ℜ

συνx x ∈ℜ

ημx x ∈ℜ

2

1συν x

συνx ≠ 0

2

1ημ x

ημx ≠ 0


310

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Άσκηση 1η

Ρωτήσαμε 50 μαθητές ενός ΤΕΕ πόσα αδέλφια έχουν, και οι απαντήσεις που πήραμε μετά

την ταξινόμησή τους φαίνονται στον ακόλουθο πίνακα

Αριθμός αδελ-φών (xi)

vi Νi (fi %)

0 8 1 ? 2 10 3 8 4 6 5 4

Aθροίσματα ?

Α) Να γράψετε στις κόλες τον προηγούμενο πίνακα και να τον συμπληρώσετε.

Β) Να βρείτε την επικρατούσα τιμή Μο

Γ) Να βρείτε τη διάμεσο δ.

Δ) Πόσοι από τους 50 μαθητές που ρωτήσαμε, έχουν μέχρι και 3 αδέλφια;

Ε) Να βρείτε το ποσοστό επι τοις (%) των μαθητών του δείγματος που έχουν 5 αδέλφια.

Άσκηση 2η Δίνεται η συνάρτηση

f(x)=

3

2

2

λx 2x x 2

x 4 x > 2

x 2x

− ≥

−

−

⎧⎪⎨⎪⎩

λ∈R

Α) Να βρείτε την τιμή f(2) και το −→2x

im f(x).

Β) Ομοίως να βρείτε το +→2x

im f(x).

Β) Nα βρείτε το λ, ώστε η συνάρτηση f να είναι συνεχής στο σημείο xo = 2.

Άσκηση 3η

Το κόστος της ημερήσιας παραγωγής x μονάδων ενός βιομηχανικού προϊόντος είναι:

Κ(x) = 2000x31 3 + (ευρώ), με 0 50x ≤≤ ,

ενώ η είσπραξη από την πώληση x μονάδων είναι :

Ε(x) = 20 2x (ευρώ) Α)Να βρείτε το κέρδος P(x) από την πώληση x μονάδων.

Β) Να βρείτε την τιμή Ρ(0) και να ερμηνεύσετε το αποτέλεσμα.

Γ) Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του κέρδους P(x) για την ημερήσια παραγωγή x μονάδων

προϊόντος.

Δ) Να βρείτε την ποσότητα xo για την οποία η βιομηχανία έχει μέγιστο κέρδος.


311

Οι μαθηματικές αρχές είναι το αλφάβητο με το

οποίο έγραψε ο Θεός τον κόσμο και χωρίς τη

βοήθεια του είναι αδύνατο να κατανοήσει ο

άνθρωπος έστω και την παραμικρή λέξη.

Απλά περιπλανιέται σε σκοτεινούς λαβύρινθους.

Galileo Galilee

ΛΥΚΕΙΟ (ΤΕΕ) - 11ο Μαθηματικά της Γ_ΤΑΞΗ ΤΕΕ

Documents

Transcript of ΛΥΚΕΙΟ (ΤΕΕ) - 11ο Μαθηματικά της Γ_ΤΑΞΗ ΤΕΕ