ΑΛΓΕΒΡΑ Α’ ΛΥΚΕΙΟΥ

Βασικά

1) Το “ ” (συνεπάγεται) στα μαθηματικά είναι το “τότε” (= “άρα” = “συνεπώς” =

“οπότε”).

π.χ. η πρόταση:

“Αν 2x 10 τότε x 5 ”

στα μαθηματικά γράφεται:

“ 2x 10 x 5 ”

2) Το “ ” (ισοδύναμα) στα μαθηματικά είναι η “ισοδυναμία” (=“τότε και αντιστρόφως”

= “αν και μόνο αν” = “τότε και μόνο τότε”).

π.χ. η πρόταση:

“ένας αριθμός είναι άρτιος, ισοδυναμεί με ένας αριθμός είναι πολλαπλάσιο του 2”

στα μαθηματικά γράφεται:

“ένας αριθμός είναι άρτιος ένας αριθμός είναι πολλαπλάσιο του 2”

3) Το “και” στα μαθηματικά σημαίνει ταυτόχρονα (συμβολίζεται και με το σύμβολο του

συστήματος). Άρα, στα μαθηματικά, Α και Β A

B

4) Το “ή” στα μαθηματικά σημαίνει ή το ένα ή το άλλο ή και τα δύο.

Δηλ. Α ή Β (στα μαθηματικά) Α ή Β ή A

B

(στα νέα ελληνικά)

5) Η διαίρεση με το 0 δεν έχει νόημα (πραγματικού αριθμού).

Γενικά, στην έκφραση α

β πρέπει β 0 .

6) Το 00 δεν έχει νόημα (πραγματικού αριθμού).

Αν γράψουμε π.χ. 0α 1 είναι λάθος. Το σωστό είναι 0α 1 , α 0 .

7) Πολύ χρήσιμες ιδιότητες για λύση εξισώσεων:

α) α β 0 α 0 ή β 0 (δηλ. ή α 0 ή β 0 ή

α=0

β=0

)

π.χ. x(x 3)(x 2) 0 x 0 ή x 3 0 ή x 2 0 x 0 ή x 3 ή x 2

β) α β 0 α 0 και β 0

π.χ. (x 4)(x 5) 0 x 4 0

x 5 0

x 4

x 5

γ) 2 2Α Β 0 A 0 και B 0

π.χ. 2 2x 2x y 1 0 2 2(x 1) y 0 x 1 0

y 0

x 0

y 0

δ) A B 0 A 0 και B 0

π.χ. x y 2 0 x 0

y 2 0

x 0

y 2

8) α β α β 0

Δηλαδή “δύο αριθμοί είναι ίσοι η διαφορά τους είναι μηδέν”

1.1

Ιδιότητες πράξεων

Πρόσθεση Πολλαπλασιασμός

Αντιμεταθετική α β β α α β β α

Προσεταιριστική α (β γ) (α β) γ α (β γ) (α β) γ

Επιμεριστική α (β γ) α β α γ (κοινή ιδιότητα)

Ουδέτερο στοιχείο α 0 α α 1 α

Αντίθετοι/Αντίστροφοι αριθμοί α ( α) 0 1

α 1, α 1α

Η διαίρεση με το 0 δεν ορίζεται!! Γενικά, στην έκφραση α

β πρέπει β 0

Ιδιότητες ισοτήτων

Πρόσθεση – Πολλαπλασιασμός κατά μέλη:

α β και γ δ

α γ β δ

α γ β δ

Πρόσθεση – Πολλαπλασιασμός του ίδιου αριθμού και στα δύο μέλη:

α β α γ β γ

α γ β γ

Αντίστροφα,

α γ β γ α β

α γ β γ και γ 0 α β

1.2

Δυνάμεις

ν

v παράγοντες

α α α α ... α 1α α 0α 1 , α 0 ν

ν

1α

α

α β

κ κα β

Όμως κ κα β α β π.χ. 2 22 ( 2) , αλλά 2 2

Ισχύει κ κα β

α β

μόνο αν α,β 0

Ιδιότητες δυνάμεων

κ λ κ λα α α κ

κ λ

λ

αα

α

, α 0 κ κ κα β (α β)

κκ

κ

α α

ββ

, β 0

κ λ κ λ(α ) α β 0

Ταυτότητες

2 2 2(α β) α 2αβ β 2 2 2(α β) α 2αβ β

3 3 2 2 3(α β) α 3α β 3αβ β 3 3 2 2 3(α β) α 3α β 3αβ β

2(x α)(x β) x (α β)x αβ

ν ν ν 1 ν 2 ν 2 ν 1α β (α β)(α α β ... αβ β )

Για παραγοντοποίηση τριωνύμου: 2(x α)(x β) x (α β)x αβ

Διώνυμο του Newton: ν ν ν 1 ν 2 ν 2 ν 1α β (α β)(α α β ... αβ β )

π.χ. για ν 4 : 4 4 3 2 2 3α β (α β)(α α β αβ β )

π.χ. για ν 5 : 5 5 4 3 2 2 3 4α β (α β)(α α β α β αβ β )

Ψευδοταυτότητες:

2 2 2α β (α β) 2αβ

[από 2 2 2 2 2 2(α β) α 2αβ β α β (α β) 2αβ ]

3 3 3α β (α β) 3αβ(α β)

[από 3 3 2 2 3(α β) α 3α β 3αβ β

3 3 3 2 2α β (α β) 3α β 3αβ

3 3 3α β (α β) 3αβ(α β) ]

Τρόποι απόδειξης ισοτήτων

1. Κάνουμε πράξεις στο ένα μέλος της ισότητας (συνήθως σε αυτό που έχει

περισσότερες πράξεις) και καταλήγουμε στο άλλο μέλος.

π.χ. Να αποδείξετε ότι 2 2 2(α β) α 2αβ β

Απόδειξη

Θα ξεκινήσουμε από το πρώτο μέλος και κάνοντας πράξεις θα καταλήξουμε στο

δεύτερο μέλος.

2 2 2 2 2(α β) (α β)(α β) α αβ βα β α 2αβ β

2. Κάνουμε πράξεις ξεχωριστά στο κάθε μέλος της ισότητας και καταλήγουμε

και στα δύο στο ίδιο αποτέλεσμα.

π.χ. Να αποδείξετε ότι 2 2 2(α β) (α β) 2(α β) 4αβ

Απόδειξη

Κάνουμε πράξεις στο πρώτο μέλος:

2 2 2 2 2 2 2 2(α β) (α β) α 2αβ β α 2αβ β 2α 2β

Κάνουμε πράξεις στο δεύτερο μέλος:

2 2 2 2 2 2 22(α β) 4αβ 2(α 2αβ β ) 2αβ 2α 4αβ 2β 4αβ 2α 2β

Αφού κατέληξαν στο ίδιο αποτέλεσμα, τα μέλη είναι ίσα.

3. Υποθέτουμε ότι ισχύει η ισότητα, κάνουμε πράξεις και στα δύο μέλη και

χρησιμοποιώντας ισοδυναμίες καταλήγουμε σε κάτι που ισχύει. Έτσι, λόγω

των ισοδυναμιών, ισχύει και η αρχική ισότητα.

π.χ. Να αποδείξετε ότι 2 2 2(α β) (α β) 2(α β) 4αβ

Απόδειξη (Με ισοδυναμίες)

Θα κάνουμε πράξεις και στα δύο μέλη της ισότητας και χρησιμοποιώντας

ισοδυναμίες θα καταλήξουμε σε κάτι που ισχύει

2 2 2(α β) (α β) 2(α β) 4αβ

2 2 2 2 2 2α 2αβ β α 2αβ β 2(α 2αβ β ) 2αβ

2 2 2 22α 2β 2α 4αβ 2β 4αβ

2 2 2 22α 2β 2α 2β που ισχύει. Άρα, ισοδύναμα, ισχύει και η αρχική ισότητα.

ΠΡΟΣΟΧΗ: αν αντί “ ” βάλουμε “ ” η άσκηση ΜΗΔΕΝΙΖΕΤΑΙ!!

Παραγοντοποίηση παραστάσεων

1. Κοινός παράγοντας

π.χ. 2 2 2 25x y 10xy 20x y 5xy(x 2y 4xy)

2. Ομαδοποίηση

π.χ. 2 23α αβ 6αβ 2β α(3α β) 2β(3α β) (3α β)(α 2β)

3. Διαφορά τετραγώνων

π.χ. 2κ 16 (κ 4)(κ 4)

4. Τριώνυμο 2x (α β)x α β

Βρίσκουμε δύο αριθμούς α, β με γινόμενο αβ και άθροισμα α+β.

Τότε θα ισχύει 2x (α β)x α β (x α)(x β)

π.χ. Να παραγοντοποιηθεί η παράσταση 2x 5x 6

Λύση

Ψάχνουμε δύο αριθμούς α, β με γινόμενο 6 και άθροισμα 5. Οι αριθμοί αυτοί είναι το

2 και το 3, οπότε γράφουμε

α β 5 α 2

α β 6 β 3

Άρα 2x 5x 6 (x 2)(x 3)

Η παραγοντοποίηση είναι πολύ χρήσιμη για τη λύση εξισώσεων βαθμού 2ου, 3ου

κ.τ.λ. !!

π.χ. Να λυθεί η εξίσωση 3 2x 2x x 2

Λύση

3 2 3 2 2 2x 2x x 2 x 2x x 2 0 x (x 2) (x 2) 0 (x 2)(x 1) 0

(x 2)(x 1)(x 1) 0 x 2 0 ή x 1 0 ή x 1 0 x 2 ή x 1 ή x 1

1.3

Εξίσωση α’ βαθμού (μορφή αχ=β)

Όταν μια εξίσωση α’ βαθμού έρθει σε μορφή αx β , διακρίνουμε τις περιπτώσεις:

π.χ. 10

5x 10 x x 25

0

3x 0 x x 03

0x 4 αδύνατη 0x 0 x

Τρόπος λύσης κλασματικών εξισώσεων

1. Κάνουμε παραγοντοποιήσεις

2. Βάζουμε περιορισμούς (οι παρονομαστές πρέπει να είναι διάφοροι του μηδενός)

3. Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών

4. Λύνουμε την εξίσωση

5. Ελέγχουμε τους περιορισμούς

π.χ. Να λυθεί η εξίσωση 2

2 2x 2

x x 1 x x

Λύση

2

2 2x 2

x x 1 x x

2 2x 2

x x 1 x(x 1)

Περιορισμοί

x 0 x 0

x 1 0 x 1

2 2x 2x(x 1) x(x 1) x(x 1)

x x 1 x(x 1)

22(x 1) 2x 2

22x 2 2x 2 22x 2x 2 2 2x(1 x) 0 x 0 ή 1 x 0

x 0 ή x 1 x 0 απορρίπτεται (λόγω περιορισμού x 0 ), άρα μία λύση x 1

β 0x ταυτότητα (όλοι οι αριθμοί είναι λύσεις)

αδύνατη (καμία λύση)

α0

α0

βx (μοναδική λύση)

α

β 0

0x β

αx β

Παραμετρική εξίσωση α’ βαθμού

π.χ. Να λυθεί η εξίσωση 2 2λ x 1 λx λ για όλες τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ.

Λύση - Μέθοδος

2 2λ x 1 λx λ Πρέπει να φέρουμε την εξίσωση στη μορφή αx β

2 2λ x λx λ 1 Το λ αντιμετωπίζεται ως γνωστός αριθμός!!

Δεν ψάχνουμε το λ, ψάχνουμε το x!

2 2(λ λ)x λ 1 Κάνουμε παραγοντοποιήσεις

α β

λ(λ 1)x (λ 1)(λ 1) Τώρα λύνουμε με βάση τις 2 περιπτώσεις (α 0 , α 0 )

I) Αν λ(λ 1) 0 λ 0 και λ 1 , οπότε η εξίσωση γίνεται

(λ 1)(λ 1) λ 1

xλ(λ 1) λ

(μοναδική λύση)

II) α) Αν λ 0 , αντικαθιστώντας στην εξίσωση, έχουμε

0x (0 1)(0 1) 0x 1 αδύνατη

β) Αν λ 1 , αντικαθιστώντας στην εξίσωση, έχουμε

0x (1 1)(1 1) 0x 0 x

Παρατήρηση (“μεταφράσεις”)

Σε ασκήσεις που λέει ότι η εξίσωση:

Νέα ελληνικά Μαθηματικά

“έχει μοναδική λύση” α 0

“είναι αόριστη = ταυτότητα” α 0 και β 0

“είναι αδύνατη” α 0 και β 0

π.χ. Να βρείτε τα λ, μ ώστε η εξίσωση 2(λ 4)x λ 2 να είναι αδύνατη.

Λύση

Η εξίσωση είναι στη μορφή αx β με 2α λ 4 και β λ 2 . Οπότε, για να είναι αδύνατη

πρέπει α 0 και β 0 , δηλαδή

2λ 4 0

λ 2 0

(λ 2)(λ 2) 0

λ 2 0

λ 2 0 ή λ 2 0

λ 2 0

λ 2 ή λ 2

λ 2

λ 2

1.4

Διάταξη πραγματικών αριθμών

α β α β 0

α 0 και β 0 α β 0 (το άθροισμα θετικών είναι θετικός)

α 0 και β 0 α β 0 (το άθροισμα αρνητικών είναι αρνητικός)

α, β ομόσημοι αβ 0 και α

0β (το γινόμενο ομόσημων είναι θετικός)

α, β ετερόσημοι αβ 0 και α

0β (το γινόμενο ετερόσημων είναι αρνητικός)

Για κάθε α ισχύει 2α 0

(π.χ. η έκφραση 2α 0 είναι λάθος. Αν όμως μας πουν ότι ισχύει 2α 0 α 0 )

Ιδιότητες ανισοτήτων

α β και β γ α γ (μεταβατική ιδιότητα)

α β α γ β γ (πρόσθεση του ίδιου αριθμού και στα δύο μέλη)

α β και γ 0 αγ βγ (όταν πολλ/ζουμε με θετικό παραμένει η φορά)

α β και γ 0 αγ βγ (όταν πολλ/ζουμε με αρνητικό αλλάζει η φορά)

Αν α, β, θετικοί και ν φυσικός αριθμός, τότε ισχύει:

α β ν να β και α β ν να β

α β με α,β 0 1 1

α β (αν αντιστρέψουμε αριθμούς αλλάζει η φορά)

Πράξεις ανισοτήτων κατά μέλη

Μπορούμε να προσθέτουμε ανισότητες κατά μέλη

α β και γ δ α γ β δ

Μπορούμε να πολλ/ζουμε ανισότητες κατά μέλη μόνο όταν αποτελούνται από

θετικούς αριθμούς

α β και γ δ με α, β, γ, δ θετικούς αγ βδ

ΔΕΝ μπορούμε να αφαιρέσουμε ανισότητες κατά μέλη

ΔΕΝ μπορούμε να διαιρέσουμε ανισότητες κατά μέλη

1.5

Ανισώσεις με άγνωστο χ

Η λύση ανισώσεων είναι παρόμοια με τη λύση εξισώσεων, με τη διαφορά ότι αν πολλαπλα-

σιάσουμε ή διαιρέσουμε και τα δύο μέλη με αρνητικό αριθμό, πρέπει να αλλάξει η φορά.

Επίσης, η λύση δεν είναι ένας αριθμός, αλλά ένα διάστημα αριθμών.

π.χ. Να λυθεί η εξίσωση x 2 3x 8

Λύση

x 2 3x 8 x 3x 8 2 2x 6 2x 6

2 2

x 3

Κοινές λύσεις ανισώσεων

Όταν ζητούνται κοινές λύσεις ανισώσεων, λύνουμε κάθε μία ανίσωση ξεχωριστά και στη

συνέχεια βρίσκουμε τις λύσεις που ικανοποιούν και τις δύο ανισώσεις ταυτόχρονα.

π.χ. Να βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων:

2x 10x

4

και 3x 2 2x 5

Λύση

2x 10x

4

2x 104 4x

4

2x 10 4x 2x 4x 10

2x 10 2x 10

2 2

x 5

3x 2 2x 5 3x 2x 5 2 x 3

Άρα οι κοινές λύσεις είναι 3 x 5 .

π.χ. Να βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων (ή να λυθούν τα συστήματα):

α) x 2

x 4

β)

x 2

x 5

0 3 5

0 -3

Λύση

α)

Άρα οι κοινές λύσεις είναι x 2 .

β)

Άρα δεν υπάρχουν κοινές λύσεις.

Διαστήματα

Συμβολισμός

με <,> Γράφημα

Συμβολισμός

με διάστημα

α x β

x [α,β]

α x β

x (α,β]

α x β

x [α,β)

α x β

x (α,β)

x α

x ( ,α)

x α

x ( ,α]

x α

x (α, )

x α

x [α, )

α

α

α

α

β α

β α

β α

β α

0 2 4

0 2 5

1.6

Απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού

Ορισμός

Απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού ονομάζεται η απόσταση του αριθμού από το 0.

Η απόλυτη τιμή ενός αριθμού α συμβολίζεται με α και προσδιορίζεται ως εξής:

Γενικά, για κάθε πραγματικό αριθμό α ισχύει:

α, αν α 0

α

α, αν α 0

π.χ. 3 3

2 ( 2) 2

Ιδιότητες

α 0 α α

και α α

2 2α α

Εξισώσεις με απόλυτα

Αν θ 0

x θ x θ ή x θ

x α x α ή x α

π.χ. Να λυθούν οι εξισώσεις: (α) x 2 3 (β) 2x 1 x 7

Λύση

(α) x 2 3 (β) 2x 1 x 7

x 2 3 ή x 2 3 2x 1 x 7 ή 2x 1 (x 7)

x 3 2 ή x 3 2 2x x 7 1 ή 2x 1 x 7

x 1 ή x 5 x 8 ή 2x x 7 1

x 8 ή 3x 6

x 8 ή x 2

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

2 3

Ανισώσεις με απόλυτα

Αν θ 0

x θ θ x θ

x θ x θ ή x θ

Απόδειξη της x θ θ x θ

x θ 2 2x θ (μπορούμε να τους υψώσουμε σε δύναμη, αφού είναι θετικοί)

2 2x θ 2 2x θ 0 (x θ)(x θ) 0 x θ , x θ είναι ετερόσημοι

x θ 0 και x θ 0 (αφού x θ x θ ) x θ και x θ θ x θ

Απόδειξη της x θ θ x θ

H x θ είναι αληθής για τα x τα οποία δεν είναι αληθής η x θ .

Οπότε αφού ισχύει x θ θ x θ

Η x θ είναι αληθής για x θ ή x θ

π.χ. Να λυθούν οι ανισώσεις: (α) x 2 4 (β) 2x 1 3

Λύση

(α) x 2 4 (β) 2x 1 3

4 x 2 4 2x 1 3 ή 2x 1 3

4 2 x 2 2 4 2 2x 3 1 ή 2x 3 1

2 x 6 2x 4 ή 2x 2

x 2 ή x 1

Ειδικές περιπτώσεις

Για να ισχύουν οι τύποι, πρέπει θ 0 , Αν όμως είναι θ 0 , αφού η απόλυτη τιμή

οπότε κανονικά έχουμε: είναι θετικός αριθμός, έχουμε:

x 2 x 2 ή x 2 x 2 αδύνατη

x 2 2 x 2 x 2 αδύνατη

x 2 x 2 ή x 2 x 2 x

Απόλυτη τιμή αθροίσματος και γινομένου

α β α β αα

β β

α β α β α β

Απόδειξη της α β α β

Θα κάνουμε πράξεις στην ισότητα και θα καταλήξουμε με ισοδυναμίες σε κάτι που ισχύει

α β α β 2 2α β (α β)

2 2 2α β α β 2 2 2(α β) α β

2 2 2 2α β α β που ισχύει. Άρα ισχύει και η αρχική ισότητα.

Η ιδιότητα αυτή ισχύει και για περισσότερους παράγοντες π.χ. β γ δ α β γ δα

Η ιδιότητα αα

β β αποδεικνύεται με παρόμοιο τρόπο.

Απόδειξη της α β α β α β

α β α β 2 2α β (α β) (υψώνουμε σε δύναμη, αφού είναι θετικοί)

2 22(α β) α β 2 α β 2αβ 2 α β αβ α β

αβ αβ που ισχύει (ιδιότητα α α ). Άρα ισχύει και η αρχική ανίσωση.

Απόσταση δύο αριθμών

Ορισμός

Η απόσταση του α από το β συμβολίζεται με d(α,β) και είναι ίση με α β .

d(α,β) α β

Ισχύει d(α,β) d(β,α) δηλαδή α β β α

π.χ. η απόσταση του αριθμού 4 από τον -1

είναι ίση με 5.

d(4, 1) 4 ( 1) 4 1 5 5 ή d( 1,4) 1 4 5 5 5

-1 0 1 2 3 4

5

1.7

Τετραγωνική ρίζα

Ορισμός

Τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού α λέμε έναν αριθμό x που το τετράγωνό του ισούται με α.

Δηλαδή ο x είναι η τετραγωνική ρίζα του α αν και μόνο αν 2x α .

Παρατηρήσεις

1. Δεν υπάρχει τετραγωνική ρίζα αρνητικού αριθμού.

Δε γίνεται το τετράγωνο ενός αριθμού να ισούται με αρνητικό αριθμό, αφού 2x 0 .

Άρα όταν λέμε ή γράφουμε τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού θ, εννοείται (και πρέπει)

θ 0 .

2. Κάθε θετικός αριθμός έχει δύο τετραγωνικές ρίζες (αντίθετες).

π.χ. η τετραγωνική ρίζα του 16 είναι ο 4 και ο -4 διότι 24 16 και 2( 4) 16

Τη θετική ρίζα ενός (θετικού) αριθμού α τη συμβολίζουμε α

Την αρνητική ρίζα ενός (θετικού) αριθμού α τη συμβολίζουμε α

π.χ. οι τετραγωνικές ρίζες του 16 είναι η 16 4 (θετική ρίζα)

και η 16 4 (αρνητική ρίζα)

ΔΕΝ γράφουμε: “ 16 4 ”, αλλά λέμε και γράφουμε:

“τετραγωνικές ρίζες του 16 είναι οι 16 4 και 16 4 ”

3. α) Αν α θετικός, ορίζεται η α και 2

α α (π.χ. 2

5 5 )

β) Αν α πραγματικός (θετικός ή αρνητικός), ορίζεται η 2α (διότι 2α 0 )

και 2α α

π.χ. 2( 3) 3 3 , διότι 2 2( 3) 9 3 3

ΠΡΟΣΟΧΗ λοιπόν: 2

α α , όμως 2α α (ισχύει 2α α )

ΣΥΝΟΠΤΙΚΑ υπενθυμίζουμε ότι: όταν διαβάζουμε ή γράφουμε το σύμβολο α ,

συμπεραίνουμε - απαιτούμε: α 0 και α 0

Ιδιότητες

2α α 2

α α α β α β

α α

ββ

α β α β

Η πρώτη ιδιότητα μας δείχνει ότι δεν “φεύγει” η δύναμη με τη ρίζα.

π.χ. 2(α β) α β , 210 10 10 , 2( 10) 10 10

Τρίτη ρίζα

Ορισμός

Τρίτη ρίζα ενός αριθμού α λέμε έναν αριθμό x που αν τον υψώσουμε στην τρίτη ισούται με α.

Δηλαδή ο x είναι η τρίτη ρίζα του α αν και μόνο αν 3x α .

Παρατηρήσεις

1. Υπάρχει μόνο μία τρίτη ρίζα ενός αριθμού.

2. Υπάρχει τρίτη ρίζα θετικού αριθμού, αλλά και αρνητικού αριθμού.

π.χ. η τρίτη ρίζα του 8 είναι το 2, αφού 32 8 .

και η τρίτη ρίζα του -8 είναι το -2, διότι 3( 2) 8

ΟΜΩΣ ενώ λέμε “τρίτη ρίζα του -8”, συμβολίζουμε 3 8 (και είναι 3 8 2 ).

(διότι έχουμε συμφωνήσει κάτω από το σύμβολο ν να μπαίνει πάντα θετικός αριθμός).

Ιδιότητες νιοστής ρίζας

Αν α,β 0 και κ θετικός ακέραιος ισχύουν:

ν

ν α α ν να α

ν ν να β α β ν

ν

ν

α

β

α

β

κ

ν κ να α νν να β α β

μ μ νν α α

ν ρ νμρ μα α

Απόδειξη της ν ν να β α β

Κάνουμε πράξεις και στα δύο μέλη της ισότητας για να καταλήξουμε με ισοδυναμίες σε κάτι

που ισχύει:

ν ν να β α β ν ν

ν ν να β α β ν ν

ν να β α β

α β α β που ισχύει.

Η ιδιότητα ισχύει και για περισσότερους παράγοντες π.χ. ν ν ν να β γ α β γ

Με όμοιο τρόπο αποδεικνύεται και η ν

ν

ν

α

β

α

β

Απόδειξη της μ μ νν α α

Κάνουμε πράξεις και στα δύο μέλη της ισότητας για να καταλήξουμε με ισοδυναμίες σε κάτι

που ισχύει:

μ ν μ ν

μ μ νν α α

νμ

μ ν α α

ν

ν α α α α που ισχύει.

Εξίσωση χν = α

π.χ. Να λυθούν οι εξισώσεις: (α) 4x 2 0 (β) 4x 2 0 (γ) 5x 2 0 (δ) 5x 2 0

Λύση

α) 4x 2 0 4x 2 4x 2 ή 4x 2

β) 4x 2 0 4x 2 αδύνατη (αφού 4x 0 )

γ) 5x 2 0 5x 2 5x 2

δ) 5x 2 0 5x 2 5x 2 5x 2

π.χ. Να λυθούν οι εξισώσεις: (α) 2x 4 0 (β) 2x 4 0 (γ) 3x 8 0 (δ) 3x 8 0

Λύση

α) 2x 4 0 2x 4 x 4 ή x 4 x 2 ή x 2

β) 2x 4 0 2x 4 αδύνατη

γ) 3x 8 0 3x 8 3x 8 x 2

δ) 3x 8 0 3x 8 3x 8 x 2

α 0

α 0

α 0

α 0

ν νx α ή x α (δύο λύσεις)

αδύνατη (στο ) (καμία λύση)

νx α (μία λύση)

νx α (μία λύση)

ν άρ

τιος

ν περιττός

νx α