Κεφάλαιο 1 Μαγνητικό Πεδίο & Υλικά

Στο πρώτο κεφάλαιο γίνεται μία σύντομη ανασκόπηση της θεωρίας των

μαγνητικών πεδίων και της φυσικής των μαγνητικών υλικών. Το κεφάλαιο διαιρείται σε

τρείς βασικές ενότητες. Στην πρώτη ενότητα περιγράφονται οι νόμοι και ο φορμαλισμός

που διέπει το μαγνητικό πεδίο. Στη δεύτερη περιγράφεται το φαινόμενο της μαγνήτισης

των υλικών και στην τρίτη ταξινομούνται τα μαγνητικά υλικά με βάση τις μαγνητικές

ιδιότητές τους.

1.1 Το Μαγνητικό Πεδίο

Στις παραγράφους αυτές θα ορίσουμε την έννοια του μαγνητικού πεδίου, το

οποίο είναι πάντα το αποτέλεσμα της κίνησης ηλεκτρικού φορτίου. Ακολούθως θα

ορίσουμε την έννοια της έντασης του μαγνητικού πεδίου, τις εξισώσεις του Maxwell και

τους νόμους Ampere και Biot – Savart. Επιπλέον θα αναλύσουμε τις έννοιες της

μαγνητικής και ηλεκτρομαγνητικής επαγωγής, του μαγνητικού διπόλου και θα

υπολογίσουμε την ένταση του μαγνητικού πεδίου γύρω από διάφορες διατάξεις

ρευματοφόρων αγωγών.

1.1.1 Ορισμός του Μαγνητικού Πεδίου

Μία από τις πιο στοιχειώδεις αρχές στον μαγνητισμό είναι η έννοια του

μαγνητικού πεδίου. Όταν παράγεται ένα τέτοιο πεδίο σε έναν συγκεκριμένο χώρο, είναι

προφανές ότι αλλάζει η ενέργεια στον χώρο αυτό, με αποτέλεσμα να παράγεται μία

δύναμη. Η δύναμη αυτή εντοπίζεται στην επιτάχυνση ενός κινούμενου ηλεκτρικού

φορτίου μέσα στο πεδίο, ή πάνω σε έναν ρευματοφόρο αγωγό, ή από τη ροπή πάνω σε

ένα μαγνητικό δίπολο (π.χ. ραβδόμορφος μαγνήτης, βελόνα πυξίδας), ή ακόμα και με

τον επαναπροσανατολισμό των spin των ηλεκτρονίων σε συγκεκριμένα είδη ατόμων.

1.1.2 Παραγωγή μαγνητικού πεδίου

Το μαγνητικό πεδίο παράγεται σε κάθε περίπτωση που υπάρχει κίνηση

ηλεκτρικού φορτίου. Η κίνηση αυτή μπορεί να οφείλεται στο ηλεκτρικό ρεύμα που

διαρρέει έναν αγωγό, όπως ανακαλύφθηκε από τον Oersted to 1819. Ακόμα το

μαγνητικό πεδίο παράγεται από έναν μόνιμο μαγνήτη. Στην περίπτωση αυτή το πεδίο

δεν δημιουργείται από συμβατικό ηλεκτρικό ρεύμα, αλλά από τις τροχιακές κινήσεις

και τα spin των ηλεκτρονίων, τα καλούμενα και Αμπεριανά ρεύματα, μέσα στον μόνιμο

μαγνήτη. Οι κινήσεις αυτές των ηλεκτρονίων έχουν ως αποτέλεσμα την μαγνήτιση στο

εσωτερικό του υλικού αυτού και τη δημιουργία του μαγνητικού πεδίου έξω απ’ αυτό. Το

πεδίο αυτό ασκεί δυνάμεις τόσο στους ρευματοφόρους αγωγούς, όσο και στους άλλους

μόνιμους μαγνήτες.

1.1.3 Ορισμός της έντασης του μαγνητικού πεδίου Η

Η μονάδα μέτρησης της έντασης του μαγνητικού πεδίου Η είναι το ampere / m.

Το ampere / m εκφράζει την ένταση του μαγνητικού πεδίου που παράγεται από ένα

απείρως μακρύ σωληνοειδές που αποτελείται από n σπείρες ανά μέτρο και που

διαρρέεται από ρεύμα έντασης 1 / n amperes.

Επειδή το σωληνοειδές απείρου μήκους έχει μόνο θεωρητική υπόσταση, ένας

πιο πρακτικός τρόπος να οριστεί η ένταση του μαγνητικού πεδίου μέσω ενός

ρευματοφόρου αγωγού πεπερασμένου μήκους. Συγκεκριμένα, όταν ρεύμα 1 Α

διαπερνά ευθύγραμμο αγωγό μήκους 1 m, τότε παράγεται μαγνητικό πεδίο με μορφή

ομόκεντρων κύκλων κάθετων στον ρευματοφόρο αγωγό, έντασης 1/4π amperes / m σε

ακτινική απόσταση 1 m.

1.1.4 Οι εξισώσεις του Maxwell

Οι τέσσερις εξισώσεις του Maxwell περιγράφουν πολύ περιεκτικά τη θεωρία του

ηλεκτρομαγνητικού πεδίου και είναι οι ακόλουθες:

πρ4=∇E (1)

tB

c ∂∂

−=Ε×∇1

(2)

0=∇B (3)

Jct

Ec

B π41+

∂∂

=×∇ (4)

Στις παραπάνω σχέσεις Ε και Β είναι η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου και η μαγνητική

επαγωγή αντίστοιχα, όπου η μαγνητική επαγωγή είναι η απόκριση του μέσου στο οποίο

εφαρμόζεται μαγνητικό πεδίο έντασης Η. Ακόμα c είναι η ταχύτητα του φωτός και ρ η

ειδική αντίσταση του μέσου. Στην εξίσωση (4) ως J ορίζεται η πυκνότητα του

ηλεκτρικού ρεύματος.

Από την εξίσωση (1) προκύπτει ότι η πηγή του ηλεκτρικού πεδίου είναι τα

ηλεκτρικά φορτία. Η εξίσωση (3) δείχνει ότι δεν υπάρχουν ισοδύναμα μαγνητικά φορτία

με τα ηλεκτρικά. Από την εξίσωση (2) φαίνεται ότι όταν ένα μαγνητικό πεδίο

μεταβάλλεται χρονικά, τότε συνοδεύεται από ένα ηλεκτρικό πεδίο έντασης Ε. Η εξίσωση

(4) είναι το συμπλήρωμα της δεύτερης. Δηλαδή ένα χρονικά μεταβαλλόμενο ηλεκτρικό

πεδίο συνεπάγεται την ταυτόχρονη ύπαρξη μαγνητικού πεδίου.

1.1.5 Νόμος Biot – Savart

Ο νόμος Biot – Savart είναι ένας από τους θεμελιώδεις νόμους του

ηλεκτρομαγνητισμού και μας επιτρέπει να υπολογίζουμε την ένταση του μαγνητικού

πεδίου που παράγεται από έναν ρευματοφόρο αγωγό. Πρόκειται για μία σχέση που έχει

προκύψει από πειραματικά αποτελέσματα και όχι από θεωρητική ανάλυση. Στη μορφή

του νόμου που παρατίθεται παρακάτω δίνεται η συνεισφορά στην ένταση του πεδίου δΗ

που παράγεται από ένα στοιχειώδες μήκος του αγωγού.

Όπου i είναι το ρεύμα που διαρρέει ένα στοιχειώδες μήκος δl του αγωγού, r είναι η

ακτινική απόσταση, u είναι το στοιχειώδες διάνυσμα κατά την ακτινική απόσταση και

δΗ είναι η συμβολή στην ένταση του πεδίου στην απόσταση r εξαιτίας του

στοιχειώδους ρεύματος iδl.

1.1.6 Μορφές μαγνητικών πεδίων γύρω από ρευματοφόρους αγωγούς

Οι μορφές των μαγνητικών πεδίων ανιχνεύονται με μαγνητική πούδρα πάνω σε

χαρτί, το οποίο βρίσκεται πάνω από έναν ραβδόμορφο μαγνήτη ή σωληνοειδές ή το

διαπερνά κάθετα ευθύγραμμος ρευματοφόρος αγωγός ή κυκλικός αγωγός. Στο Σχήμα

1.1 που ακολουθεί φαίνονται οι μορφές των παραπάνω πεδίων. Η φορά περιστροφής

του μαγνητικού πεδίου στον ευθύγραμμο ρευματοφόρο αγωγό δίνεται από τον κανόνα

του δεξιού χεριού. Το πεδίο γύρω από τον κυκλικό αγωγό και το σωληνοειδές είναι

παρόμοια με αυτό του ραβδόμορφου μαγνήτη.

Στον ραβδόμορφο μαγνήτη το πεδίο αναπτύσσεται από το ένα άκρο του

μαγνήτη, που συμβατικά ορίζεται ως βόρειος πόλος, περνά γύρω απ’ αυτόν και

καταλήγει στο άλλο, που ορίζεται ως νότιος πόλος. Το πεδίο αυτό δεν είναι

πανομοιότυπο με το πεδίο που δημιουργείται από το σωληνοειδές. Συγκεκριμένα οι

δυναμικές γραμμές του πεδίου του ραβδόμορφου μαγνήτη στο εσωτερικό του έχουν

αντίθετη φορά από τις αντίστοιχες δυναμικές γραμμές του σωληνοειδούς. Το γεγονός

→→→

×= ulir

H δπ

δ 241

αυτό οφείλεται στο ότι ο ραβδόμορφος μαγνήτης έχει επιπλέον μαγνήτιση Μ, ενώ το

σωληνοειδές δεν έχει.

Σχήμα 1.1: Διάφορες μορφές μαγνητικών πεδίων, όπως φαίνονται με ρινίσματα σιδήρου. (α) Μαγνητικό πεδίο ραβδόμορφου μαγνήτη, (β) Πεδίο ευθύγραμμου ρευματοφόρου αγωγού, (γ) Το ίδιο με (β) από διαφορετική οπτική γωνία, (δ) Πεδίο κυκλικού αγωγού που διαρρέεται από ρεύμα, (ε) σωληνοειδές με πυρήνα από αέρα.

1.1.7 Νόμος του Ampere

O Ampere ήταν ο πρώτος που κατέληξε στο συμπέρασμα ότι το μαγνητικό πεδίο

παράγεται από κινούμενα ηλεκτρικά φορτία. Μέχρι τότε τα μαγνητικά πεδία

θεωρούνταν ότι παράγονταν μόνο από μόνιμους μαγνήτες. Σύμφωνα με τον Ampere το

μαγνητικό πεδίο εξαρτάται από το σχήμα του ηλεκτρικού κυκλώματος που το προκαλεί

και από την ένταση του ρεύματος. Αν υποθέσουμε ότι το κάθε κύκλωμα αποτελείται

από άπειρο αριθμό στοιχειωδών ρευμάτων, το καθένα από τα οποία συμβάλλει στη

δημιουργία του πεδίου, αθροίζοντάς τα ή ολοκληρώνοντάς τα ο Ampere κατέληξε στο

εξής συμπέρασμα:

∫→→

= ldHNi

Όπου Ν είναι το πλήθος των ρευματοφόρων αγωγών, καθένας από τους οποίους

διαρρέεται από ρεύμα i Α. Οι αγωγοί αυτοί δημιουργούν το πεδίο έντασης H. Το l είναι

ένα μοναδιαίο διάνυσμα. Συνεπώς το ολικό ρεύμα Ni ισούται με το επικαμπύλιο

ολοκλήρωμα του H γύρω από κλειστό δρόμο που περιέχει το ρεύμα.

Οι νόμοι Ampere και Biot – Savart είναι ισοδύναμοι. Αν θεωρήσουμε το πεδίο

που παράγεται από ένα σταθερό ρεύμα που διαρρέει έναν ευθύγραμμο ρευματοφόρο

αγωγό, τότε ο νόμος Biot – Savart καταλήγει ότι το πεδίο σε μία ακτινική απόσταση r

από τον αγωγό είναι:

Ενώ ο νόμος Ampere δίνει:

1.1.8 Η Μαγνητική Επαγωγή

Όταν παράγεται ένα μαγνητικό πεδίο H (με τους τρόπους που περιγράψαμε

παραπάνω) μέσα σε ένα μέσο, τότε η απόκριση αυτού είναι η μαγνητική του επαγωγή

Β. Κάθε μέσο έχει τη μαγνητική του επαγωγή B, όταν εκτεθεί σε πεδίο H και όπως θα

δούμε παρακάτω τα δύο αυτά μεγέθη (Β, Η) συνδέονται μεταξύ τους με μία ιδιότητα του

υλικού, που λέγεται διαπερατότητα. Το κενό θεωρείται ότι είναι και αυτό μέσο, αφού

για πεδίο έντασης H παράγει μαγνητική επαγωγή B.

1.1.9 Η Μαγνητική Ροή

Όταν υπάρχει ένα μαγνητικό πεδίο στο κενό, τότε υπάρχει και μία μαγνητική

ροή Φ. Η μαγνητική ροή μετριέται σε webers. Ο ρυθμός μεταβολής της μαγνητικής

ροής μπορεί να μετρηθεί, γιατί όταν αυτή μεταβάλλεται δημιουργείται μία Η.Ε.Δ. σε

κλειστό κύκλωμα, μέσα από το οποίο διέρχεται η ροή. Το weber είναι το ποσό της

μαγνητικής ροής το οποίο όταν μειωθεί ομοιόμορφα στο μηδέν, μέσα σε χρόνο ενός

δευτερολέπτου, παράγει μία Η.Ε.Δ. 1 V σε πηνίο μίας σπείρας μέσα από το οποίο

διέρχεται η ροή.

Μικρά μαγνητικά σωματίδια, όπως ρινίσματα σιδήρου, προσανατολίζονται κατά

μήκος της διεύθυνσης της μαγνητικής ροής, όπως φαίνεται και στο Σχήμα 1.1.

Μπορούμε να θεωρήσουμε ότι η μαγνητική ροή δημιουργείται από την παρουσία ενός

riHπ2

=

riH

iHrildH

π

π

2

2

=

⇔=⇔=∫→→→

μαγνητικού πεδίου μέσα σε ένα μέσο. Το ποσό μαγνητικής ροής που παράγεται για

ορισμένο πεδίο έντασης Η, εξαρτάται από το μέσο και διαφέρει από το ένα στο άλλο.

1.1.10 Ορισμός της μαγνητικής επαγωγής Β

Η μαγνητική επαγωγή Β μετριέται σε weber / m2. Δηλαδή ισχύει η σχέση:

Όπου Α είναι η επιφάνεια που διαρρέεται από τη μαγνητική ροή Φ.

Ωστόσο η μαγνητική επαγωγή περιγράφεται καλύτερα από τη

δύναμη που παράγεται πάνω σε ένα κινούμενο ηλεκτρικό φορτίο το οποίο προκαλεί

ηλεκτρικό ρεύμα. Έτσι η μαγνητική επαγωγή έντασης 1 Tesla παράγει μία δύναμη 1

N/m σε έναν αγωγό που διαρρέεται από 1 Α κάθετο στη διεύθυνση της επαγωγής.

Παρακάτω θα δούμε ότι η μαγνητική επαγωγή δεν εξαρτάται μόνο από την ένταση του

πεδίου Η αλλά και από τη μαγνήτιση του μέσου Μ.

Η μαγνητική επαγωγή στο κενό συνδέεται γραμμικά με την ένταση του πεδίου,

σύμφωνα με τη σχέση: →→

Η⋅=Β οµ

όπου μ0= 4π x 10-7 H/m είναι η διαπερατότητα του κενού που αποτελεί παγκόσμια

σταθερά. Εντούτοις στα άλλα μέσα το Β δεν είναι γραμμική συνάρτηση του Η και

κυρίως το Β δεν είναι μόνο συνάρτηση του Η. Η μέτρηση του βρόχου υστέρησης Β-Η

για τα υλικά αυτά δείχνει την εξάρτηση των δύο μεγεθών μεταξύ τους. Για τα υλικά

αυτά ισχύει η σχέση: →→

Η⋅= µB

όπου μ είναι η διαπερατότητα του υλικού και η οποία δεν είναι σταθερή τις

περισσότερες φορές. Θα δούμε παρακάτω ότι στα παραμαγνητικά και στα διαμαγνητικά

υλικά το μ είναι σταθερό για πολλές τιμές του Η, σε αντίθεση με τα σιδηρομαγνητικά

υλικά.

1.1.11 Δύναμη σε ρευματοφόρο αγωγό

Η δύναμη ανά μονάδα μήκους που ασκείται σε αγωγό που διαρρέεται από

ρεύμα έντασης i και βρίσκεται μέσα σε μαγνητική επαγωγή Β δίνεται από τη σχέση:

→→→

×= BliF

Στο κενό η παραπάνω σχέση γίνεται: →→→

×= HliF οµ

ΑΒ

=Φ

Συνεπώς αν δύο μακριά σύρματα βρίσκονται παράλληλα σε μία απόσταση α και

διαρρέονται από ρεύμα i1 και i2 A αντίστοιχα, τότε η δύναμη ανά μέτρο μήκους τους

που ασκείται στο καθένα είναι:

1.1.12 Ηλεκτρομαγνητική επαγωγή

Όταν μεταβάλλεται η διερχόμενη μαγνητική ροή μέσα από ένα ηλεκτρικό

κύκλωμα, παράγεται μία Η.Ε.Δ. Το φαινόμενο αυτό καλείται ηλεκτρομαγνητική

επαγωγή και μελετήθηκε αρχικά από τους Faraday και Lenz. Από τους δύο αυτούς

ερευνητές προέκυψαν οι παρακάτω δύο νόμοι που διέπουν την ηλεκτρομαγνητική

επαγωγή.

Σύμφωνα με τον κανόνα του Faraday η τάση που επάγεται σε ένα ηλεκτρικό

κύκλωμα είναι ανάλογη προς τον ρυθμό μεταβολής της μαγνητικής ροής που διέρχεται

μέσα απ’ αυτό.

Από τον κανόνα του Lenz προκύπτει ότι η επαγόμενη τάση αντιτίθεται με την

φορά της στη μεταβολή της ροής που τη δημιούργησε.

Από το φαινόμενο της ηλεκτρομαγνητικής επαγωγής μπορεί να προσδιορισθεί

καλύτερα η μαγνητική ροή Φ. Συγκεκριμένα, η μονάδα μέτρησης της ροής, δηλ. το

weber, έχει επιλεγεί έτσι ώστε ο ρυθμός μεταβολής της ροής μέσα σε ένα κύκλωμα να

ισούται με την επαγώμενη τάση σε Volts. Δηλαδή:

Όπου Φ είναι η μαγνητική ροή που διαπερνά ένα σωληνοειδές Ν σπειρών. Από τη

σχέση της παραγράφου 1.1.10 που συνδέει τη μαγνητική επαγωγή με τη ροή,

προκύπτει ότι:

Αυτό είναι ένα πολύ σημαντικό αποτέλεσμα το οποίο μας λέει ότι ένα χρονικά

εξαρτώμενο πεδίο μαγνητικής επαγωγής Β, παράγει μία τάση και κατά συνέπεια

ηλεκτρικό ρεύμα, όταν αυτή η τάση τροφοδοτήσει ένα ηλεκτρικό φορτίο.

1.1.13 Το μαγνητικό δίπολο

Όπως έχει ειπωθεί μέχρι τώρα, το ρεύμα που διαρρέει ένα ηλεκτρικό κύκλωμα

προκαλείται από ένα ηλεκτρικό πεδίο και παράγει ένα μαγνητικό πεδίο. Μία κυκλική

210

2iiF

παµ

=

dtdNV Φ

−=

dtdBNAV −=

σπείρα από έναν αγωγό είναι το πιο απλό ηλεκτρικό κύκλωμα που μπορεί να

παραγάγει μαγνητικό πεδίο. Αυτή η ρευματοφόρος σπείρα μπορεί να θεωρηθεί ότι είναι

η πιο στοιχειώδης μονάδα του μαγνητισμού.

Αν η ρευματοφόρος σπείρα εκτείνεται σε επιφάνεια Α και διαρρέεται από ρεύμα

I, τότε η μαγνητική ροπή του διπόλου είναι m=iA. Η μονάδα μέτρησης της μαγνητικής

ροπής είναι Amp m2. Η ροπή σε ένα μαγνητικό δίπολο m που βρίσκεται σε μαγνητική

επαγωγή B είναι:

→→→

×= Bmτ

και στο κενό: →→→

×= Hm0µτ

Δηλαδή η μαγνητική επαγωγή Β προσπαθεί να επαναπροσανατολίσει το δίπολο

έτσι ώστε η ροπή m να είναι παράλληλη προς την επαγωγή. Η ενέργεια του διπόλου με

ροπή m παρουσία πεδίου με επαγωγή Β είναι:

→→

⋅−= BmE

και στο κενό: →→

⋅−= HmE 0µ

1.1.14 Υπολογισμοί μαγνητικών πεδίων

Τα μαγνητικά πεδία παράγονται συνήθως από σωληνοειδή και

ηλεκτρομαγνήτες. Το σωληνοειδές φτιάχνεται τυλίγοντας ελικοειδώς, πάνω σε έναν

μονωμένο σωλήνα, ένα μονωμένο σύρμα χαλκού σε πολλές σπείρες. Τα σωληνοειδή

είναι συνήθως κυλινδρικά στο σχήμα. Ένας ηλεκτρομαγνήτης φτιάχνεται με παρόμοιο

τρόπο εκτός του ότι οι περιελίξεις είναι από μαλακό σιδηρομαγνητικό υλικό, όπως ο

μαλακός σίδηρος. Ο σιδηρομαγνητικός πυρήνας του ηλεκτρομαγνήτη δημιουργεί

υψηλότερη μαγνητική επαγωγή Β από ένα σωληνοειδές για την ίδια ένταση πεδίου Η.

Παρακάτω παρατίθενται διάφοροι τύποι σωληνοειδών και συνδυασμοί τους που

παράγουν μαγνητικό πεδίο, όπου υπολογίζεται σε καθέναν από αυτούς η ένταση του

πεδίου.

1.1.15 Ένταση πεδίου στο κέντρο σωληνοειδούς λεπτού και απείρου μήκους

Ο πιο απλός τρόπος να παραχθεί ένα ομοιόμορφο μαγνητικό πεδίο είναι μέσα

σε ένα λεπτό σωληνοειδές απείρου μήκους. Αν το σωληνοιεδές έχει Ν σπείρες ανά

μήκος L και διαρρέεται από ρεύμα i Α, τότε το πεδίο μέσα στο σωληνοειδές θα είναι:

niLNiH ==

Όπου n είναι ο αριθμός των σπειρών στη μονάδα του μήκους ή αλλιώς ανηγμένος

αριθμός σπειρών. Οι δυναμικές γραμμές του πεδίου αυτού φαίνονται στο Σχήμα 1.2

που ακολουθεί.

Σχήμα 1.2: Μαγνητικές γραμμές γύρω από ένα σωληνοειδές.

1.1.16 Ένταση πεδίου από κυκλικό αγωγό

Από τον νόμο Biot – Savart μπορούμε να προσδιορίσουμε το μαγνητικό πεδίο H

στο κέντρο του κυκλώματος που δημιουργείται από ενάν κυκλικό αγωγό που διαρρέεται

από ρεύμα i A και διαθέτει μία περιστροφής με ακτίνα α μέτρα, όπως φαίνεται στο

Σχήμα 1.3.

Σχήμα 1.3: Μαγνητικές γραμμές γύρω από έναν κυκλικό ρευματοφόρο αγωγό.

Αν διαιρέσουμε τον αγωγό σε στοιχειώδη τόξα μήκους δl, το καθένα απ’ αυτά

συνισφέρει δΗ στο πεδίο στο κέντρο της σπείρας. Αφού ο νόμος Biot - Savart δίνεται

από τη σχέση δΗ= (1/4πr2)iδlxu, σύμφωνα με το Σχήμα 1.4 παίρνει τη μορφή:

∑

→→

= θδπ

sin4

12 li

rH

Επειδή το δl είναι κάθετο με το u, η γωνία θ είναι 90°. Ακόμα r=α και Σδl=2πα, οπότε

προκύπτει:

Σχήμα 1.4: Το μαγνητικό πεδίο ενός κυκλικού αγωγού που διαρρέεται από ηλεκτρικό ρεύμα.

Γενικεύοντας τον παραπάνω υπολογισμό, ακολουθώντας την ίδια λογική,

μπορούμε να βρούμε την ένταση του μαγνητικού πεδίου κατά μήκος του άξονά του σε

έναν κυκλικό αγωγό. Κατ’ αυτόν τον τρόπο προκύπτει ότι το πεδίο κατά μήκος του

άξονα που περνά από το κέντρο του κυκλικού αγωγού έχει ένταση Η ίση με:

Όπου x είναι η απόσταση πάνω στον άξονα συμμετρίας από το κέντρο του κύκλου.

1.1.17 Ένταση μαγνητικού πεδίου δύο ομοαξονικών πηνίων

Όταν πρέπει να δημιουργηθεί ένα ομοιόμορφο μαγνητικό πεδίο σε έναν μεγάλο

χώρο, χρησιμοποιείται ένα ζευγάρι πηνίων Helmholz. Η διάταξη αυτή αποτελείται από

δύο επίπεδα και ομοαξονικά πηνία, καθένα από τα οποία περιέχει Ν σπείρες και το

ρεύμα να διαρρέει αυτά προς την ίδια διεύθυνση όπως φαίνεται στο Σχήμα 1.5. Η

απόσταση του ενός πηνίου από το άλλο d ισούται με την ακτίνα τους α. Από τον νόμο

Biot – Savart μπορεί να υπολογισθεί η ένταση Η στον άξονα που περνάει από τα κέντρα

των δύο πηνίων. Όπως προκύπτει από την προηγούμενη παράγραφο η ένταση στο ένα

από αυτά τα πηνία δίνεται από τη σχέση:

Αν το ένα πηνίο θεωρήσουμε ότι είναι στη θέση x=0 και το άλλο στη θέση x=α

τότε τα δύο πηνία ενισχύουν προσθετικά την ένταση του πεδίου:

aiH

2=

( ) 2322

2

2 xaiaH+

=→

( ) 2322

2

2 xaNiaH+

=→

Και επειδή χ=α/2

Σχήμα 1.5: Δύο ομοαξονικά πηνία που δημιουργούν ένα ζεύγος Helmholtz. Η απόσταση από το κέντρο του ενός πηνίου από το άλλο ισούται με την ακτίνα τους. Τα δύο πηνία διαρρέονται από ρεύμα ίδιας φοράς.

Αν τα ρεύματα των δύο ομοαξονικών πηνίων είναι αντίθετα, τότε η ένταση του πεδίου

δίνεται από τη σχέση:

1.1.18 Ένταση πεδίου από λεπτό σωληνοειδές πεπερασμένου μήκους

Μέχρι τώρα δεν έχουμε εξετάσει σωληνοειδές πεπερασμένου μήκους. Στο λεπτό

σωληνοειδές πεπερασμένου μήκους η διάμετρος του εσωτερικού στρώματος σπειρών

ισούται με τη διάμετρο του εξωτερικού. Το πεδίο στον άξονα του λεπτού σωληνοειδούς

( )

−++

+

=

−−→

5.1

2

25.1

2

2

112 a

xaax

aNiH

( ) ( )[ ]( )

aNi

aNi

aNiH

7155.08.0

25.125.12

32

5.15.1

==

=+

= −−

→

( )

−+−

+

=

−−→

5.1

2

25.1

2

2

112 a

xaax

aNiH

μήκους L, διαμέτρου D, ρεύματος i, και σε απόσταση x από το κέντρο του

σωληνοειδούς δίνεται από τη σχέση:

1.1.19 Ένταση πεδίου από παχύ σωληνοειδές πεπερασμένου μήκους

Για να παραχθεί μαγνητικό πεδίο μεγαλύτερης έντασης από ένα σωληνοειδές, ο

πιο εύκολος τρόπος είναι να αυξηθεί ο αριθμός των περιελίξεων Ν ανά μονάδα μήκους

L, παρά να αυξηθεί η ένταση του ρεύματος i. Αυτό οφείλεται στο ότι η παραγόμενη

θερμότητα είναι ανάλογη του i2, ενώ η ένταση του ρεύματος είναι i. Έτσι αν

διπλασιάσουμε τις περιελίξεις η θερμότητα που παράγεται διπλασιάζεται, ενώ αν

διπλασιαστεί η ένταση του ρεύματος η θερμότητα τετραπλασιάζεται.

Στο παχύ σωληνοειδές η εσωτερική ακτίνα διαφέρει από την εξωτερική. Οι

υπολογισμοί για την εύρεση της έντασης του πεδίου στο κέντρο του σωληνοειδούς είναι

πολύπλοκοι. Η τελική εξίσωση στην οποία καταλήγουν είναι η ακόλουθη:

Όπου α η ακτίνα του σωληνοειδούς, L το μήκος του και N o αριθμός των σπειρών. Στην

περίπτωση που L→0 το Η0→Νi/2α και όταν L→∞ το Η0→Νi/L.

1.2 Μαγνήτιση υλικού

Στις παραγράφους που ακολουθούν περιγράφεται ο τρόπος που επιδρά ένα

μαγνητικό πεδίο στη μαγνητική επαγωγή του υλικού, όταν το πεδίο διαπερνά το υλικό.

Το φαινόμενο αυτό περιγράφεται από τη μαγνήτιση. Η μαγνήτιση του υλικού αλλάζει

την μαγνητική επαγωγή και συγκεκριμένα την αυξάνει στους παραμαγνήτες και τους

φερρομαγνήτες, ενώ την μειώνει στους διαμαγνήτες. Η σχετική διαπερατότητα του

υλικού δείχνει πως η μαγνητική επαγωγή του υλικού μεταβάλλεται σε σχέση με την

αντίστοιχη του κενού για την ίδια ένταση μαγνητικού πεδίου.

( )( )[ ]

( )( )[ ]

−+

−+

++

+

=

→

21

21 2222 22

2

22

2

xLD

xL

xLD

xLLNiH

( ) 21220

41

LaNiH

+=

1.2.1 Ορισμός της μαγνήτισης Μ και σχέση ανάμεσα στο Η, Μ και Β

Η μαγνήτιση Μ ορίζεται ως η μαγνητική ροπή ανά μονάδα όγκου του υλικού.

Δηλαδή:

VmM→

→

=

Η μαγνητική ροπή συνδέεται με τη μαγνητική ροή με τη σχέση:

0µlm Φ

=→

όπου l είναι το μήκος του μαγνητικού διπόλου. Από τις δύο παραπάνω σχέσεις

προκύπτει η σχέση ανάμεσα στο Μ και στο Β. Αν V=Al τότε:

Από την παραπάνω σχέση βλέπουμε ότι η μαγνήτιση Μ και η ένταση του

μαγνητικού πεδίου Η συνεισφέρουν στην μαγνητική επαγωγή με παρόμοιο τρόπο. Αν

υπάρχουν ταυτόχρονα μαγνήτιση και μαγνητικό πεδίο, τότε η συνεισφορά τους μπορεί

να αθροιστεί. Συνεπώς η μαγνητική επαγωγή δίνεται από τη σχέση:

Μ+Η=

→→→

0µB

όπου το Β μετριέται σε Tesla και τα Η, Μ σε ampere / m. Η παραπάνω εξίσωση ισχύει

υπό οποιεσδήποτε συνθήκες. Το μαγνητικό πεδίο Η παράγεται από ηλεκτρικά ρεύματα

που βρίσκονται έξω από το υλικό, όπως από σωληνοειδές ή ηλεκτρομαγνήτη, και από

μόνιμο μαγνήτη. Η μαγνήτιση είναι το αποτέλεσμα του spin ή της τροχιακής

περιστροφής των ηλεκτρονίων του υλικού.

1.2.2 Μαγνήτιση κορεσμού

Αν το υλικό έχει n στοιχειώδη ατομικά μαγνητικά δίπολα στη μονάδα του

όγκου, το καθένα με μαγνητική ροπή m, τότε η μαγνητική ροπή στη μονάδα του όγκου

του υλικού όταν όλα τα δίπολα είναι ευθυγραμμισμένα, καλείται μαγνήτιση κορεσμού

Μ0.

Αξίζει να σημειωθεί η διαφορά ανάμεσα στην τεχνική μαγνήτιση κορεσμού

Μs και στην ολική μαγνήτιση κορεσμού Μ0. Η τεχνική μαγνήτιση ενός υλικού

επιτυγχάνεται όταν αυτό μετατρέπεται εξ’ ολοκλήρου σε μία μόνο μαγνητική περιοχή.

Ωστόσο με την εφαρμογή υψηλότερων εξωτερικών πεδίων η μαγνήτιση αυξάνεται ακόμα

περισσότερο πέρα από την τεχνητή μαγνήτιση, με τα μαγνητικά δίπολα να

ευθυγραμμίζονται ακόμα περισσότερο στην μία υπάρχουσα μαγνητική περιοχή.

00 µµ

→→→ Β

=ΑΦ

=M

1.2.3 Ορισμός της διαπερατότητας και της επιδεκτικότητας

Τα μαγνητικά υλικά κατατάσσονται στους διάφορους τύπους μαγνητικών υλικών

με βάση τη διαπερατότητα και την επιδεκτικότητά τους. Για τον λόγο αυτό πρέπει

να ορίσουμε τις δύο αυτές ιδιότητες των υλικών πριν προχωρήσουμε στις διαφορές που

έχουν τα μαγνητικά υλικά μεταξύ τους.

Η διαπερατότητα μ ορίζεται από τη σχέση:

→

→

Η

Β=µ

Όμοια η επιδεκτικότητα χ ορίζεται από τη σχέση:

→

→

Η

Μ=χ

Επίσης ορίζονται η διαφορική διαπερατότητα και η διαφορική επιδεκτικότητα ως εξής:

→

→

→

→

=

=

Hd

Md

Hd

Bd

'

'

χ

µ

Από τη στιγμή που το Β και το Μ μπορεί να είναι γραμμικά ή όχι μεταξύ τους, ανάλογα

με τον τύπο του υλικού του μέσου, συνεπάγεται ότι η διαπερατότητα και η

επιδεκτικότητα μπορεί να είναι ή να μην είναι σταθερές ανάλογα με την περίπτωση.

Μερικές φορές αντί της διαπερατότητας χρησιμοποιείται ο όρος της σχετικής

διαπερατότητας. Η σχετική διαπερατότητα μr ενός υλικού ορίζεται από τη σχέση:

0µµµ =r

όπου μ0 είναι η διαπερατότητα του κενού μ0= 4π x 10-7 henry / m. Η σχετική

διαπερατότητα του κενού είναι 1. Η σχετική διαπερατότητα σχετίζεται άμεσα με την

επιδεκτικότητα και η παρακάτω εξίσωση ισχύει πάντα:

1+= χµ r

Έχοντας ορίσει τις παραπάνω έννοιες μπορούμε να κάνουμε μία πρώτη περιγραφή των

κατηγοριών των μαγνητικών υλικών που υπάρχουν.

1.3 Ταξινόμηση μαγνητικών υλικών

Τα διάφορα μαγνητικά υλικά ταξινομούνται με βάση την επιδεκτικότητά τους. Η

πρώτη κατηγορία υλικών έχει μικρό και αρνητικό χ≈ -10-5. Τα υλικά αυτά καλούνται

διαμαγνητικά και η μαγνητική τους ροπή εξαιτίας της τροχιακής κίνησης τείνει να

αντιτεθεί στο εξωτερικά επιβαλλόμενο μαγνητικό πεδίο. Παραδείγματα τέτοιων υλικών

είναι ο χαλκός, ο άργυρος, ο χρυσός, το βισμούθιοκαι το βηρύλιο. Μία υποκατηγορία

διαμαγνητικών υλικών είναι οι υπεραγωγοί, για τους οποίους το χ≈ -1.

Μία δεύτερη κατηγορία υλικών, για τα οποία το χ είναι μικρό αλλά θετικό με

τιμές που κυμαίνονται 10-5≤χ≤10-3 είναι οι παραμαγνήτες. Η μαγνήτιση των υλικών

αυτών είναι ασθενής και προσανατολίζεται προς την ίδια διεύθυνση με το εξωτερικό

μαγνητικό πεδίο. Παραδείγματα αυτής της κατηγορίας είναι το αλουμίνιο, ο

λευκόχρυσος και το μαγγάνιο.

Η πιο διαδεδομένη κατηγορία μαγνητικών υλικών είναι οι σιδηρομαγνήτες. Η

επιδεκτικότητα των υλικών αυτών είναι θετική, πολύ μεγαλύτερη από 1 και οι τιμές της

κυμαίνονται 50≤χ≤10000. Παραδείγματα αυτών των υλικών είναι ο σίδηρος, το

κοβάλτιο, το νικέλιο και διάφορες σπάνιες γαίες καθώς και κράματά τους.

Υπάρχουν και άλλες κατηγορίες μαγνητικών υλικών εκτός από αυτές που

αναφέρθηκαν παραπάνω. Πρόκειται για τους σιδηριμαγνήτες, τους

αντισιδηρομαγνήτες, τους ελιμαγνήτες και τους υπερπαραμαγνήτες. Όλες αυτές οι

κατηγορίες ανακαλύφθηκαν πολύ αργότερα από τις τρεις κλασσικές κατηγορίες των

μαγνητικών υλικών που αναφέρονται παραπάνω. Σύμφωνα με τις μετρήσεις

επιδεκτικότητας οι σιδηριμαγνήτες ξεχωρίζουν με μεγάλη δυσκολία από τους

σιδηρομαγνήτες, ενώ οι αντισιδηρομαγνήτες και οι ελιμαγνήτες συγχέονταν για πολλά

χρόνια με τους παραμαγνήτες.

1.3.1 Επιδεκτικότητα και διαπερατότητα σε παραμαγνήτες και σε διαμαγνήτες

Σε σταθερή θερμοκρασία και για σχετικά χαμηλές τιμές έντασης πεδίου Η, οι

μαγνητικές επιδεκτικότητες των διαμαγνητών και των παραμαγνητών είναι σταθερές.

Υπό αυτές τις συνθήκες τα υλικά καλούνται «γραμμικά», δηλαδή το Μ είναι ανάλογο

του Η. Συνεπώς ισχύει η σχέση:

Είναι προφανές ότι το μr είναι ελαφρώς μεγαλύτερο από 1 στους παραμαγνήτες

και λίγο μικρότερο από 1 στους διαμαγνήτες. Συγχρόνως το χ είναι ελαφρώς

μεγαλύτερο από το 0 και λίγο μικρότερο από το 0 αντίστοιχα στα υλικά αυτά. Η

γραμμικότητα που προέκυψε από την παραπάνω σχέση επιτρέπει τον υπολογισμό

ανάμεσα στα Β και Η των υλικών για μικρές εντάσεις Η. Για μεγαλύτερα Η η

γραμμικότητα παύει να ισχύει και εμφανίζεται ακόμα και μαγνήτιση κορεσμού.

( )→→

→→

→→

==

=+=

⇒=

HH

HB

HM

r µµµ

χµ

χ

0

0 1

Στους σιδηρομαγνήτες ούτε το χ ούτε το μr έχουν σταθερή αξία. Τόσο η

διαπερατότητα, όσο και η επιδεκτικότητα στους σιδηρομαγνήτες επηρεάζεται ισχυρά

από το επιβαλλόμενο μαγνητικό πεδίο Η.

1.3.2 Μαγνητικές ιδιότητες σιδηρομαγνητών

Μακράν η πιο σημαντική κατηγορία μαγνητικών υλικών είναι οι

σιδηρομαγνήτες. Η διαπίστωση αυτή προκύπτει τόσο από τη θεωρία όσο και από

πρακτικές εφαρμογές. Οι εφαρμογές που έχουν τα υλικά αυτά είναι πολλαπλές και

παρουσιάζονται αναλυτικά στα βιβλία των Heck [1] και Wohlfarth [2]. Στις εφαρμογές

στη μηχανική, οι σιδηρομαγνήτες χρησιμοποιούνται εξαιτίας των υψηλών τιμών

διαπερατότητας, οι οποίες επιτρέπουν την επίτευξη υψηλών μαγνητικών επαγωγών από

μέτρια μαγνητικά πεδία Η. Εξαιτίας της ιδιότητάς τους να διατηρούν την μαγνήτισή

τους και να δρούν ως πηγή μαγνητικού πεδίου και φυσικά εξαιτίας της ροπής

μαγνητικού διπόλου που εμφανίζουν μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε ηλεκτρικούς

κινητήρες. Είναι πραγματικά εκπληκτικό πως τα λίγα αυτά στοιχεία (σίδηρος, νικέλιο,

κοβάλτιο και μερικές λανθανίδες) είναι τόσο ζωτικής τεχνολογικής σημασίας.

Στις παρακάτω παραγράφους συνεχίζουμε να εξετάζουμε τα υλικά αυτά σε

μακροσκοπική κλίμακα και τα χαρακτηριστικά που αυτά επιδεικνύουν στην

καθημερινή χρήση.

1.3.3 Διαπερατότητα

Η μεγάλη σχετική διαπερατότητα είναι με διαφορά η πιο σημαντική ιδιότητα

που έχουν τα μαλακά σιδηρομαγνητικά υλικά. Η διαπερατότητα των σιδηρομαγνητών

δεν είναι σταθερή ως συνάρτηση του μαγνητικού πεδίου όπως η αντίστοιχη των

παραμαγνητών. Αντίθετα για να προσδιοριστεί η διαπερατότητα είναι απαραίτητη η

μέτρηση της μαγνητικής επαγωγής Β συναρτήσει της έντασης Η σε ένα μεγάλο εύρος

τιμών της τελευταίας, για να προκύψει η καμπύλη υστέρησης. Εξαιτίας της υψηλής

διαπερατότητας αυτών των υλικών, χρησιμοποιούνται ως συμπυκνωτές της διερχόμενης

μαγνητικής ροής. Οι μόνιμοι μαγνήτες (σκληρά μαγνητικά υλικά) δεν έχουν τόσο

υψηλές τιμές επιδεκτικότητας. Ωστόσο έχουν μεγάλη αντίσταση απομαγνήτισης που

είναι η επόμενη πιο σημαντική ιδιότητα.

1.3.4 Παραμένουσα μαγνήτιση

Οι σιδηρομαγνήτες μπορούν να μαγνητιστούν σχετικά μόνιμα. Με άλλα λόγια

διατηρούν την μαγνήτισή τους ακόμα και όταν απομακρυνθούν από το μαγνητικό πεδίο

που τα μαγνήτισε. Ίσως αυτή να είναι η πιο εμφανής ιδιότητα των σιδηρομαγνητών. Η

διατήρηση της μαγνήτισης είναι το στοιχείο που διακρίνει τους περισσότερους

σιδηρομαγνήτες από τους παραμαγνήτες, οι οποίοι παρά το ότι προσανατολίζουν τα

μαγνητικά τους δίπολα στη διεύθυνση ενός εφαρμοζόμενου μαγνητικού πεδίου Η, δεν

μπορούν να διατηρήσουν τη μαγνήτισή τους αφού απομακρυνθεί το πεδίο.

Έτσι λοιπόν όταν το εξωτερικό πεδίο μηδενιστεί, το σιδηρομαγνητικό υλικό

παρουσιάζει μία παραμένουσα μαγνητική επαγωγή Βr που οφείλεται στην

παραμένουσα μαγνήτιση Μr. Τα δύο μεγέθη συνδέονται με τη σχέση:

rr MB 0µ=

Ιδιαίτερη σημασία στις ιδιότητες έχει η παραμένουσα μαγνήτιση του υλικού,

όταν κατά τη διάρκεια επιβολής του εξωτερικού πεδίου έχει ήδη επέλθει μαγνήτιση

κορεσμού.

1.3.5 Υστέρηση

Ο πιο περιεκτικός και απλός τρόπος για να απεικονίσουμε τις μαγνητικές

ιδιότητες των σιδηρομαγνητών, είναι με γραφική αποτύπωση της μαγνητικής επαγωγής

Β για διάφορα μαγνητικά πεδία Η. Εναλλακτικά, χρησιμοποιούνται διαγράμματα της

μαγνήτισης Μ συναρτήσει του Η, τα οποία παρέχουν ουσιαστικά τις ίδιες πληροφορίες,

αφού Β=μ0(Η+Μ). Η υστέρηση στον σίδηρο παρατηρήθηκε από τον Warburg [3]. Ο

όρος υστέρηση, που σημαίνει αργοπορία υιοθετήθηκε από τον Ewing [4], ο οποίος ήταν

ο πρώτος που την μελέτησε συστηματικά. Ένα τυπικό γράφημα βρόχου υστέρησης

φαίνεται στο Σχήμα 1.6 που ακολουθεί.

Σχήμα 1.6: Τυπικός βρόχος υστέρησης ενός σιδηρομαγνητικού υλικού.

Στο γράφημα αυτό φαίνονται όλες η μαγνητικές ιδιότητες που χαρακτηρίζουν

ένα μαγνητικό υλικό. Η μαγνήτιση κορεσμού Μ0 ή η αντίστοιχη μαγνητική επαγωγή Β0

ανάλογα με το βρόχο που χρησιμοποιείται, είναι το μέγιστο σημείο στον άξονα των Μ ή

των Β αντίστοιχα. Το πλάτος του βρόχου κατά μήκος του άξονα Η είναι διπλάσιο της

τιμής του συνεκτικού πεδίου Ηc, το οποίο ορίζεται στην επόμενη παράγραφο. Το

σημείο τομής του βρόχου με τον άξονα των Β είναι η παραμένουσα μαγνήτιση Βr.

Από τον βρόχο υστέρησης φαίνεται ότι ο σιδηρομαγνήτης στην αρχική του

κατάσταση δεν είναι μαγνητισμένος. Η εφαρμογή ενός πεδίου Η προκαλεί τη

δημιουργία μαγνητικής επαγωγής προς την κατεύθυνση του μαγνητικού πεδίου. Αν

αυξηθεί η Η τότε η μαγνήτιση φθάνει την τιμή κορεσμού Μ0. Η τιμή αυτή εξαρτάται

από το μέγεθος των ατομικών μαγνητικών ροπών m και των αριθμό των ατόμων στην

μονάδα του όγκου n. Συνεπώς ισχύει: Μ0=nm. Δηλαδή η μαγνήτιση κορεσμού

εξαρτάται μόνο από το υλικό που είναι κατασκευασμένο το δοκίμιο. Αν το πεδίο

μειωθεί η παραμένουσα μαγνήτιση δεν αφήνει το Β να μειωθεί. Αν εφαρμοσθεί πεδίο

αντίθετης έντασης, τότε το υλικό αρχίζει να μαγνητίζεται αντίθετα, μέχρι την

απομαγνήτισή του και παραπέρα μέχρι την αντίστοιχη τιμή μαγνήτισης κορεσμού.

1.3.6 Συνεκτικό πεδίο

Η μαγνητική επαγωγή όπως προαναφέρθηκε μπορεί να μειωθεί στο μηδέν

εφαρμόζοντας πεδίο αντίθετης διεύθυνσης και έντασης Ηc. Το πεδίο αυτό ονομάζεται

συνεκτικό πεδίο. Είναι άμεσα εξαρτόμενο από την κατεργασία και τη μορφοποίηση

που έχει υποστεί το υλικό. Όπως και με την παραμένουσα μαγνήτιση, ιδιαίτερη

σημασία στις ιδιότητες του υλικού έχει το συνεκτικό πεδίο που απομαγνητίζει το υλικό

από τη μαγνήτιση κορεσμού. Το συνεκτικό πεδίο μπορεί να μετρηθεί και στο σημείο

όπου μηδενίζεται η μαγνήτιση Μ αντί της μαγνητικής επαγωγής Β. Στην περίπτωση

αυτή το συνεκτικό πεδίο ορίζεται συμβολίζεται Ηci.

Με βάση το συνεκτικό πεδίο, μπορούμε να χωρίσουμε τα σιδηρομαγνητικά

υλικά στα σκληρά και στα μαλακά μαγνητικά. Όπως είπαμε παραπάνω η ιδιότητα

αυτή αλλάζει για το ίδιο υλικό με διαφορετική κατεργασία. Έχει παρατηρηθεί λοιπόν

ότι υλικά από σίδηρο ή χάλυβα με μεγάλη σκληρότητα εμφανίζουν υψηλό συνεκτικό

πεδίο και σχετικά χαμηλή σχετική μαγνητική διαπερατότητα μr, δηλαδή είναι σκληρά

μαγνητικά υλικά. Αντίθετα τα μαλακά υλικά εμφανίζουν μικρό συνεκτικό πεδίο και

σχετικά μεγάλη σχετική μαγνητική διαπερατότητα μr και ονομάζονται μαλακά

μαγνητικά υλικά (Σχήμα 1.7).

Σχήμα 1.7: Μεταβολή του βρόχου υστέρησης από τον σίδηρο στον χάλυβα (που είναι πιο σκληρό μαγνητικό υλικό) που προκαλείται από την προσθήκη του άνθρακα ή οποιουδήποτε άλλου μη μαγνητικού υλικού. Το ίδιο αποτέλεσμα επιφέρουν και οι ψυχρές μηχανουργικές κατεργασίες.

1.3.7 Θερμοκρασία Curie

Όλοι οι σιδηρομαγνήτες σε κάποια υψηλή τιμή θερμοκρασίας αποκτούν

παραμαγνητικές ιδιότητες. Η θερμοκρασία αλλαγής από τη σιδηρομαγνητική στην

παραμαγνητική συμπεριφορά, ονομάζεται θερμοκρασία Curie. Στη θερμοκρασία αυτή

η διαπερατότητα των υλικών πέφτει απότομα με αποτέλεσμα να μηδενίζονται η

παραμένουσα μαγνήτιση και το συνεκτικό πεδίο. Ο λόγος για την αλλαγή της

συμπεριφοράς των σιδηρομαγνητικών υλικών οφείλεται στον τυχαίο προσανατολισμό

των μαγνητικών περιοχών τους. Οι μαγνητικές περιοχές αναπτύσσονται εκτενώς

παρακάτω.

1.3.8 Μαγνητοσυστολή

Η μαγνήτιση ενός σιδηρομαγνητικού υλικού συνοδεύεται πάντα από αλλαγή

στις διαστάσεις. Αυτή η παρατηρούμενη διαστολή ή συστολή των μαγνητικών υλικών

καλείται μαγνητοσυστολή λ. Υπάρχουν δύο τύποι μαγνητοσυστολής: Η

αναπτυσσόμενη εσωτερικά ως αποτέλεσμα της διευθέτησης των μαγνητικών διπόλων

στις μαγνητικές περιοχές και η επαγώμενη από το εξωτερικό πεδίο. Και στις δύο

περιπτώσεις η μαγνητοσυστολή λ ορίζεται ως η ανηγμένη μεταβολή του μήκους:

ldl

=λ

Η αναπτυσσόμενη εσωτερικά μαγνητοσυστολή εμφανίζεται κάτω από τη

θερμοκρασία Curie, όπου δημιουργούνται μαγνητικές περιοχές με προσανατολισμένα

δίπολα. Η επαγώμενη μαγνητοσυστολή δημιουργείται όταν μαγνητικές περιοχές με

εσωτερική μαγνητοσυστολή επαναπροσανατολίζονται υπό τη δράση εξωτερικού

μαγνητικού πεδίου (Σχήμα 1.8).

Σχήμα 1.8: Σχηματικό διάγραμμα που δείχνει τη μαγνητοσυστολή: (α) Σε άτακτο (παραμαγνητικό) σύστημα, (b) Σε σιδηρομαγνητικό σύστημα στο στάδιο απομαγνήτισης και (c) Σε σιδηρομαγνητικό σύστημα με μαγνήτιση κορεσμού.

Ο όγκος του μαγνητικού υλικού που υφίσταται μαγνητοσυστολή παραμένει

σταθερός (η αλλαγή του είναι αμεληταία). Για τον λόγο αυτό μεταβάλλονται και οι άλλες

δύο διαστάσεις του δοκιμίου. Το φαινόμενο της μεταβολής αυτών των διαστάσεων

ονομάζεται κάθετη μαγνητοσυστολή, η οποία κατά κανόνα δίνεται από τη σχέση:

2λλ −=t

1.3.9 Χρήσεις σιδηρομαγνητικών υλικών

Οι σιδηρομαγνήτες έχουν τις περισσότερες εφαρμογές από όλα τα μαγνητικά

υλικά. Χρησιμοποιούνται σε ηλεκτρομαγνήτες, κινητήρες, μετασχηματιστές, μέσα

εγγραφής, αισθητήρες κ.λπ. Το κριτήριο από το οποίο φαίνεται αν είναι κατάλληλο ένα

υλικό για ηλεκτρομαγνήτης, είναι ότι το υλικό του πυρήνα του ηλεκτρομαγνήτη πρέπει

να έχει υψηλή διαπερατότητα, έτσι ώστε να μπορεί να επιτευχθεί μεγάλη τιμή

μαγνητικής επαγωγής. Ταυτόχρονα το υλικό πρέπει να εμφανίζει μικρό συνεκτικό

πεδίο, για να μπορεί η επαγωγή να μηδενιστεί γρήγορα.

Με μία πρώτη ματιά φαίνεται ότι οι απαιτήσεις των υλικών για μετασχηματιστές

είναι οι ίδιες με τους ηλεκτρομαγνήτες. Ωστόσο κάτι τέτοιο δεν είναι αληθές. Οι

μετασχηματιστές λειτουργούν με ρεύμα ac, οπότε είναι επιθυμητοί οι πυρήνες με

μεγάλη διαπερατότητα, αλλά ταυτόχρονα με υλικό όσο μικρότερης αγωγιμότητας

γίνεται για να μειωθούν οι απώλειες από τα δινορεύματα. Το υλικό που χρησιμοποιείται

στους πυρήνες μετασχηματιστών είναι λεπτόκοκκο υλικό σιδήρου – πυριτίου. Αυτό

περιέχει περίπου 3 - 4 % κατά βάρος πυρίτιο για να μειωθεί η αγωγιμότητα και να

αυξηθεί το συνεκτικό πεδίο. Το υλικό παράγεται με θερμή έλαση και ακολουθεί ψυχρή

κατεργασία, η οποία αυξάνει το συνεκτικό πεδίο. Κατόπιν ακολουθεί διπλή ανόπτηση

για να βελτιωθεί ο προσανατολισμός των κόκκων και να αυξηθεί η διαπερατότητα κατά

μήκος της διεύθυνσης της έλασης.

Τα μαγνητικά μέσα εγγραφής έχουν ορισμένα κοινά χαρακτηριστικά με τους

μόνιμους μαγνήτες, όσον αφορά ότι χρειάζονται μία σχετικά υψηλή παραμένουσα

μαγνήτιση και ένα ικανοποιητικό συνεκτικό πεδίο για να αποφεύγονται ανεπιθύμητες

απομαγνητίσεις με αποτέλεσμα το χάσιμο χρήσιμων πληροφοριών, που έχουν

αποθηκευτεί σ’ αυτά. Τα πιο ευρέως χρησιμοποιούμενα μαγνητικά υλικά είναι ο γ –

Fe2O3 και ο γ – Fe2O3 με προσμίξεις CoO2 και Co. Οι μαγνητικές ταινίες περιέχουν

συνήθως μικρά βελονοειδή σωματίδια ενός από τα παραπάνω υλικά. Τα σωματίδια

αποτίθενται πάνω σε εύκαμπτο μέσο κατά μήκος της μαγνητικής ταινίας. Ο βρόχος

υστέρησης των υλικών αυτών είναι τετράγωνος για να εμποδίζεται η απώλεια της

πληροφορίας εξαιτίας τυχαίας απομαγνήτισης του υλικού.

1.3.10 Παραμαγνητικά υλικά

Οι ιδιότητες των παραμαγνητικών, όπως και των διαμαγνητικών υλικών

παρουσιάστηκαν στην παράγραφο 1.3.1. Οι παραμαγνήτες έχουν πολύ λιγότερες

χρήσεις από τους σιδηρομαγνήτες γι’ αυτό η αναφορά σ’ αυτούς θα είναι λιγότερο

εκτεταμένη. Στους παραμαγνήτες σε αντίθεση με τα σιδηρομαγνητικά υλικά τα δίπολα

των ατόμων δεν επιδρούν το ένα με το άλλο και για να ευθυγραμμιστούν πλήρως

απαιτούνται μαγνητικά πεδία πολύ υψηλών εντάσεων.

Τα παραμαγνητικά υλικά αποτελούνται συνήθως από άτομα με μονό αριθμό

ηλεκτρονίων στην εξωτερική στιβάδα, ώστε να υπάρχει ένα μονήρες ηλεκτρόνιο, του

οποίου το spin να δημιουργεί μαγνητική ροπή. Στα υλικά αυτά συγκαταλέγονται τα

άτομα και τα ιόντα που δεν έχουν συμπληρώσει πλήρως τις εσωτερικές στιβάδες, όπως

για παράδειγμα τα στοιχεία μεταπτώσεως. Υπάρχουν και παραμαγνητικά υλικά με ζυγό

αριθμό ηλεκτρονίων στην εξωτερική στιβάδα.

Παραδείγματα παραμαγνητικών υλικών αποτελούν ο λευκόχρυσος, το

αλουμίνιο, το οξυγόνο και διάφορα άλατα π.χ. χλωριούχα, θειϊκά, ανθρακικά του

μαγγανίου, του χρωμίου, του σιδήρου και του χαλκού. Τα άλατα και τα οξείδια των

σπάνιων γαιών είναι ισχυρώς παραμαγνητικά. Την ιδιότητά τους αυτή την προσδίδουν

τα ηλεκτρόνια της 4f υποστιβάδας. Αυτά είναι σε απόσταση από τον πυρήνα σχετικά

πολύ μικρότερη από τις πλεγματικές αποστάσεις, τον οποίο προστατεύουν από τα

εξωτερικά ηλεκτρόνια. Επιπλέον δεν πρέπει να ξεχνάμε ότι παραμαγνητικές ιδιότητες

αποκτούν όλα τα σιδηρομαγνητικά υλικά πάνω από τη θερμοκρασία Curie.

1.3.11 Εξάρτηση της επιδεκτικότητας των παραμαγνητών από τη θερμοκρασία

Σε πολλούς παραμαγνήτες η επιδεκτικότητα είναι αντιστρόφως ανάλογη προς τη

θερμοκρασία. Η σχέση αυτή είναι γνωστή ως νόμος Curie:

TC

=χ

όπου Τ η θερμοκρασία σε K και C μία σταθερά γνωστή ως σταθερά Curie. Σε άλλους

παραμαγνήτες η επιδεκτικότητα είναι ανεξάρτητη της θερμοκρασίας. Για τις δύο αυτές

συμπεριφορές των παραμαγνητικών υλικών έχουν αναπτυχθεί αντίστοιχες θεωρίες.

1.3.12 Εξάρτηση της επιδεκτικότητας των παραμαγνητών από το πεδίο

Οι παραμαγνήτες που υποβάλλονται σε μαγνητικό πεδίο αποκτούν μαγνήτιση

Μ ανάλογη του Πεδίου Η, εκτός και αν η ένταση του πεδίου αυτού είναι εξαιρετικά

μεγάλη. Η επιδεκτικότητά τους για συνηθισμένες εντάσεις πεδίων είναι 10-5≤χ≤10-3. Στις

περισσότερες περιπτώσεις τα μαγνητικά δίπολα δεν σχηματίζουν ζεύγη, ή τα ζεύγη είναι

ασθενή και γι’ αυτό θεωρούνται ανεξάρτητα. Αυτό οφείλεται και στο ότι η προσφερόμενη

θερμική ενέργεια είναι ικανή να προκαλέσει τον τυχαίο προσανατολισμό των διπόλων

σε μηδενικό πεδίο. Έτσι όταν ακείται ένα πεδίο, τα δίπολα αρχίζουν να

προσανατολίζονται, αλλά ο προσανατολισμός τους είναι μικρός για οποιοδήποτε πεδίο

μπορούμε να επιτύχουμε στην πράξη.

1.3.13 Διαμαγνητικά υλικά

Τα στοιχεία που δεν έχουν μόνιμα ατομικά μαγνητικά δίπολα δεν παρουσιάζουν

παραμαγνητικές ή σιδηρομαγνητικές ιδιότητες. Τα άτομα των στοιχείων αυτών έχουν

συμπληρωμένες τις ηλεκτρονικές τους στιβάδες και κατά συνέπεια δεν παρουσιάζουν

μαγνητική ροπή. Όταν εφαρμοσθεί στα υλικά αυτά μαγνητικό πεδίο η επαγώμενη

μαγνήτισή τους αντιτίθεται στο πεδίο αυτό, σύμφωνα με τον κανόνα του Lenz, με

αποτέλεσμα η επιδεκτικότητά τους να είναι αρνητική.

Στην κατηγορία των διαμαγνητών συγκαταλέγονται και οι υπεραγωγοί, οι οποίοι

βρίσκουν πολλές εφαρμογές. Η επιδεκτικότητα των υπεραγωγών οφείλεται στα

μακροσκοπικά ρεύματα υψηλής έντασης μέσα στο υλικό, τα οποία αντιτίθενται στο

εφαρμοζόμενο πεδίο, και όχι στην τροχιακή κίνηση των ηλεκτρονίων. Για τον λόγο αυτό

αποτελούν μία ειδική περίπτωση. Η επιδεκτικότητά τους είναι εξαρτημένη από τη

θερμοκρασία, αφού πάνω από μία κρίσιμη τιμή χάνουν τις υπεραγώγιμες και κατά

συνέπεια τις διαμαγνητικές τους ιδιότητες.

Κεφάλαιο 2 Τα Σιδηρομαγνητικά Υλικά

Τα σιδηρομαγνητικά υλικά είναι τα σημαντικότερα μαγνητικά υλικά και έχουν

τις περισσότερες εφαρμογές σε σχέση με τα υπόλοιπα. Ο σιδηρομαγνητισμός είναι στο

σύνολό του αρκετά πιο πολύπλοκος από τον παραμαγνητισμό και τον διαμαγνητισμό.

Γι’ αυτό το δεύτερο κεφάλαιο περιγράφει αναλυτικά τα φαινόμενα που διέπουν τα

σιδηρομαγνητικά υλικά και που δεν εμφανίζονται στα άλλα μαγνητικά υλικά.

Συγκεκριμένα στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται οι μαγνητικές περιοχές, τα μαγνητικά

τοιχώματα που χωρίζουν τις μαγνητικές περιοχές, οι κλειστοί σχηματισμοί των

μαγνητικών περιοχών και η δυναμική των μαγνητικών περιοχών. Τέλος παρατίθενται

συνοπτικά οι θεωρίες μικροδομής που ισχύουν για τα διαμαγνητικά και τα

παραμαγνητικά υλικά.

2.1 Μαγνητικές περιοχές

Μακροσκοπικά η μαγνήτιση είναι ένα φαινόμενο που οφείλεται στο εξωτερικά

επιβαλλόμενο πεδίο. Η θεωρία των μαγνητικών περιοχών εξηγεί πως μεταβάλλεται η

μαγνήτιση μικροσκοπικά μέσα στο μαγνητικό υλικό. Κατά την απομαγνήτιση για

παράδειγμα, χωρίς τη θεωρία των μαγνητικών περιοχών, δεν μπορούμε να

απαντήσουμε στο ερώτημα αν η μαγνήτιση είναι παντού μηδέν ή αν υπάρχουν τοπικά

μεγάλες τιμές μαγνητικών διπόλων οι οποίες αθροιζόμενες κάνουν μηδέν. Στις επόμενες

παραγράφους θα δούμε πως τα μαγνητικά δίπολα συμπεριφέρονται κατά την έκθεσή

τους σε μαγνητικό πεδίο.

2.1.1 Ατομικά μαγνητικά δίπολα

Αφού τα άτομα είναι οι στοιχειώδεις δομικές μονάδες των μαγνητικών υλικών,

είναι φυσικό να υποθέσουμε ότι όταν ένα σιδηρομαγνητικό υλικό μαγνητιστεί υπάρχει

διπολική μαγνητική ροπή κατά άτομο. Υπάρχουν δύο πιθανές αιτίες για την ατομική

μαγνητική ροπή των σιδηρομαγνητών. Κατά την πρώτη, το υλικό έχει από πριν μικρές

μαγνητικές διπολικές ροπές τυχαία προσανατολισμένες εκτός πεδίου, που

προσανατολίζονται υπό την επίδραση ενός πεδίου. Η θεωρία αυτή προτάθηκε από τον

Weber [5]. Κατά τη δεύτερη θεωρία, εκτός μαγνητικού πεδίου δεν υπάρχουν καθόλου

μαγνητικές διπολικές ροπές, οι οποίες δημιουργούνται με την επίδραση ενός πεδίου.

Τη θεωρία αυτή διατύπωσε ο Poisson [6].

Η ύπαρξη της μαγνήτισης κορεσμού και της παραμένουσας μαγνήτισης,

ενισχύουν την ύπαρξη της πρώτης θεωρίας. Μάλιστα έχει αποδειχθεί ότι στους

σιδηρομαγνήτες υπάρχούν μόνιμα μαγνητικά δίπολα σε ατομική κλίμακα, των οποίων

η παρουσία δεν εξαρτάται από την παρουσία εξωτερικού πεδίου. Η ύπαρξη των

μαγνητικών ατομικών διπόλων ισχύει και στους παραμαγνήτες.

2.1.2 Διαπερατότητα στους σιδηρομαγνήτες

Ένα από τα προβλήματα στον μαγνητισμό που χρειαζόταν απάντηση, ήταν οι

πολύ μεγάλες διαπερατότητες και επιδεκτικότητες των σιδηρομαγνητικών υλικών. Χωρίς

πεδίο η μαγνήτισή τους είναι ελάχιστη, ενώ με την εφαρμογή μαγνητικού πεδίου

γίνονται μαγνητικά δίπολα και αποκτούν μαγνήτιση. Η μαγνήτισή τους όμως αυτή είναι

σε τάξη μεγέθους πολύ μεγαλύτερη από την ένταση του εξωτερικού πεδίου που τη

δημιουργεί.

Υπάρχουν δύο πιθανές εξηγήσεις για το φαινόμενο αυτό. Μπορεί οι ατομικές

μαγνητικές ροπές να είναι προσανατολισμένες τυχαία στην ατομική κλίμακα και το

πεδίο βαθμιαία τις προσανατολίζει, όπως στην περίπτωση των παραμαγνητών.

Εναλλακτικά, οι μαγνητικές ροπές είναι ήδη προσανατολισμένες σε μικροσκοπική

κλίμακα, αλλά σε μεγαλύτερη κλίμακα οι μαγνητίσεις των επιμέρους

προσανατολισμένων περιοχών, γνωστών ως μαγνητικών περιοχών, είναι τυχαία

προσανατολισμένες από τη μία περιοχή στην άλλη.

Οι ιδιότητες των σιδηρομαγνητών μπορούν να εξηγηθούν αν θεωρήσουμε

υπαρκτή τη μαγνητική τάξη σε μεγαλύτερη κλίμακα μέσα στο στερεό, με τις περιοχές

που περιέχουν τις μαγνητικές διπολικές ροπές να είναι τυχαία προσανατολισμένες,

όταν δεν υπάρχει εξωτερικό μαγνητικό πεδίο. Η μαγνήτιση είναι τότε η διαδικασία

κατά την οποία αποκτούν τάξη οι περιοχές αυτές, έτσι ώστε οι επιμέρους μαγνητίσεις

τους να προσανατολίζονται παράλληλα μεταξύ τους. Τους παραμαγνήτες, που και αυτοί

έχουν μόνιμα ατομικά μαγνητικά δίπολα, μπορούμε να τους ξεχωρίσουμε από τους

σιδηρομαγνήτες στο ότι τα δίπολά τους δεν παρουσιάζουν την τάξη αυτή στην

μικροσκοπική κλίμακα των μαγνητικών περιοχών, όπως στους σιδηρομαγνήτες. Για

την ακρίβεια τα ατομικά μαγνητικά δίπολα των παραμαγνητών είναι τυχαία

προσανατολισμένα απουσία εξωτερικού πεδίου εξαιτιάς της θερμικής ενέργειας.

2.1.3 Θεωρία μαγνητικών περιοχών κατά Weiss

Σύμφωνα με τη θεωρία που προτάθηκε από τον Weiss [7], [8], οι

σιδηρομαγνήτες έχουν μαγνητικές περιοχές. Σε κάθε μία από τις περιοχές αυτές, τα

μαγνητικά δίπολα (πλήθους 1012 ως 1015) είναι προσανατολισμένα παράλληλα, έτσι

ώστε η μαγνήτιση μέσα σ’ αυτήν να φτάνει μέχρι κορεσμό. Ωστόσο η διεύθυνση

προσανατολισμού διαφέρει από περιοχή σε περιοχή με τυχαίο τρόπο, αν και τα δίπολα

επιλέγουν να προσανατολιστούν σε διευθύνσεις κύριων κρυσταλλογραφικών αξόνων,

όταν δεν υπάρχει εξωτερικό μαγνητικό πεδίο.

Τα άμεσα συμπεράσματα αυτής της θεωρίας είναι: α) Τα ατομικά μαγνητικά

δίπολα υπάρχουν και δεν δημιουργούνται από το πεδίο, β) Τα δίπολα είναι

μικροσκοπικώς παραλληλισμένα ακόμα και όταν το υλικό δεν έχει μαγνήτιση, γ) Οι

μαγνητικές περιοχές είναι αυτές που έχουν τυχαίες διευθύνσεις, όταν το υλικό δεν έχει

μαγνήτιση, δ) Κατά τη διαδικασία της μαγνήτισης επαναπροσανατολίζονται οι

μαγνητικές περιοχές, έτσι ώστε είτε περισσότερες μαγνητικές περιοχές

προσανατολίζονται προς το μαγνητικό πεδίο, είτε ο χώρος των μαγνητικών περιοχών

που είναι προσανατολισμένες προς το πεδίο είναι μεγαλύτερος από τον χώρο των

περιοχών που αντιτίθενται στο πεδίο.

2.1.4 Θεωρία μέσου πεδίου κατά Weiss

Για να μπορέσει ο Weiss να εξηγήσει την τάξη των μαγνητικών διπόλων μέσα

στις μαγνητικές περιοχές, εφάρμοσε τη στατιστική θερμοδυναμική θεωρία των

Boltzmann και Langevin στα μαγνητικά υλικά. Μερικά χρόνια νωρίτερα ο Langevin [9]

είχε αναπτύξει μία θεωρία παραμαγνητισμού βασισμένη στη στατιστική του Boltzmann.

Ο Weiss χρησιμοποίησε το μοντέλο του Langevin, προσθέτοντας έναν ακόμα όρο, το

λεγόμενο μέσο πεδίο Weiss. Το μέσο πεδίο Weiss είναι μία ατομική αλληλεπίδραση,

η οποία ωθεί τα γειτονικά ατομικά μαγνητικά δίπολα να προσανατολιστούν παράλληλα,

γιατί μ’ αυτόν τον τρόπο ελαχιστοποιούν την ενέργειά τους.

Στην αρχική θεωρία του Weiss, το μέσο πεδίο είναι ανάλογο της μαγνήτισης Μ,

έτσι ώστε να ισχύει:

MaH e ⋅=

όπου α είναι η σταθερά του μέσου πεδίου. Η σχέση αυτή είναι ισοδύναμη με την

υπόθεση ότι κάθε ατομική διπολική ροπή αλληλεπιδρά με ακριβώς τον ίδιο τρόπο με

κάθε άλλη ατομική διπολική ροπή μέσα στο στερεό. Η υπόθεση αυτή αποδείχθηκε ότι

είναι βάσιμη στον παραμαγνητισμό. Ο λόγος είναι ότι εξαιτίας της ομογενούς

κατανομής των διευθύνσεων των ατομικών διπόλων, η τοπική τιμή της μαγνήτισης που

λαμβάνεται από έναν μικρό χώρο του υλικού, ο οποίος περικυκλώνει ένα ατομικό

μαγνητικό δίπολο, είναι ίσος με την ολική μαγνήτιση.

Αντίθετα στον σιδηρομαγνητισμό η μαγνήτιση είναι τοπικά ανομοιογενής σε μία

κλίμακα μεγαλύτερη από την κλίμακα των μαγνητικών περιοχών, εξαιτίας της

μεταβολής της μαγνήτισης από περιοχή σε περιοχή. Για τον λόγο αυτό η θεωρία του

Weiss για το μέσο πεδίο εφαρμόσθηκε μόνο στον εσωτερικό χώρο κάθε μαγνητικής

περιοχής, θεωρώντας ότι η αλληλεπίδραση των ατομικών διπόλων εξασθενεί με την

απόσταση και κατά συνέπεια η αλληλεπίδραση αυτή δεν μπορεί να επεκταθεί πέρα από

μία μαγνητική περιοχή. Γενικά η θεωρία μέσου πεδίου του Weiss εκλαμβάνεται ως η

ορθότερη προσσέγγιση της πραγματικότητας για το τι συμβαίνει μέσα σε μία μαγνητική

περιοχή, αφού σε κάθε μαγνητική περιοχή η μαγνήτιση είναι ομογενής και έχει μία

γνωστή τιμή Ms. Το πεδίο αλληλεπιδράσεων, στο οποίο οφείλεται ο προσανατολισμός

των διπόλων μέσα στις μαγνητικές περιοχές, μπορεί να εκφραστεί όπως προαναφέραμε

ως Ηe=αΜ, όπου Ms είναι η εσωτερική μαγνήτιση μέσα στην μαγνητική περιοχή και η

οποία ισούται με τη μαγνήτιση κορεσμού στους 0 Κ. Ωστόσο η τιμή του μέσου πεδίου

μειώνεται καθώς η θερμοκρασία αυξάνεται και μηδενίζεται στη θερμοκρασία Curie.

Νέα μοντέλα, όπως το μοντέλο Ising [10] εφαρμοσμένα στους σιδηρομαγνήτες,

έχουν βασισθεί σε αλληλοεπιδρώμενα πεδία μόνο ανάμεσα στα πιο γειτονικά άτομα. Τα

μοντέλα αυτά εξηγούν πως μπαίνουν σε τάξη οι ατομικές διπολικές ροπές μέσα σε μία

μαγνητική περιοχή, όπως φαίνεται και στο Σχήμα 2.1. Όταν το α>0 οι ροπές

προσανατολίζονται παράλληλα και οδηγούν στο φαινόμενο του σιδηρομαγνητισμού.

Όταν το α<0 οι ροπές προσανατολίζονται αντιπαράλληλα και οδηγούν στον

αντισιδηρομαγνητισμό. Στο σημείο αυτό πρέπει να σημειώσουμε ότι μπορούν να

υπάρξουν πολές μορφές προσανατολισμού ατομικών μαγνητικών ροπών, εξαρτώμενες

από την παράμετρο αλληλεπίδρασης α. Μερικές από τις μορφές αυτές φαίνονται στο

Σχήμα 2.2.

Σχήμα 2.1: (α) Μαγνητικές διπολικές ροπές σε τάξη όταν α>0 που οδηγούν στον σιδηρομαγνητισμό, (b) Το ίδιο με α<0 που οδηγούν στον αντισηρομαγνητισμό.

Σχήμα 2.2: Παραδείγματα διαφόρων τύπων μαγνητικής τάξης γειτονικών ροπών. Φαίνονται ο σιδηρομαγνητισμός, ο απλός αντισιδηρομαγνητισμός, ο σιδηριμαγνητισμός και ο ελικοειδής αντισιδηρομαγνητισμός.

2.1.5 Ενεργειακές καταστάσεις διαφόρων διευθετήσεων των διπολικών ροπών

Ας θεωρήσουμε τους δύο σχηματισμούς ατομικών διπολικών ροπών του

Σχήματος 2.3. Μπορεί να αποδειχθεί εύκολα ότι για α>0 ο σχηματισμός με τα δίπολα

ευθυγραμμισμένα παράλληλα είναι μία χαμηλότερης ενεργειακής στάθμης κατάσταση

από αυτή με ένα δίπολο αντιπαράλληλο.

Σχήμα 2.3: Δύο πιθανές διατάξεις των μαγνητικών διπόλων. Όταν α>0 η διάταξη των παράλληλων διπόλων αντιστοιχεί στην κατάσταση ελαχίστης ενέργειας.

Αν θεωρήσουμε την ανταλλαγή ενέργειας στο σύστημα των έξι διπόλων του

Σχήματος 2.3 η ενέργεια κάθε διπολικής ροπής mi είναι:

∑⋅−= jijii mamE 0µ

και επειδή στο μέσο πεδίο ισχύει α ij= α:

∑⋅−= jii mmE αµ0

Συνεπώς η συνολική ενέργεια είναι:

∑∑ ⋅−= jii mmE αµ0

Όταν όλες οι διπολικές ροπές είναι παράλληλες ισχύει:

( )( ) αµαµ 02

0 3056 mmmE −=−=

Με τη μία διπολική ροπή αντιπαράλληλα προκύπτει:

( ) αµαµ 02

0 10535 mmmmmE −=−−=

Συνεπώς το αποτέλεσμα των υπολογισμών δείχνει ότι η ενέργεια είναι

χαμηλότερη όταν οι διπολικές ροπές είναι ευθυγραμμισμένες παράλληλα μέσα σε μία

μαγνητική περιοχή. Για τον λόγο αυτό είναι προτιμότερη από το ίδιο το υλικό η

ευθυγράμμιση των διπολικών ροπών παράλληλα.

2.1.6 Η ύπαρξη μαγνητικών περιοχών ως αποτέλεσμα ελαχιστοποίησης της ενέργειας

Αν και ο Weiss απέδειξε ότι υπάρχει ένα πεδίο αλληλεπίδρασης ανάμεσα στις

ατομικές διπολικές ροπές ενός σιδηρομαγνήτη, το οποίο προκαλεί την ευθυγράμμιση

των μαγνητικών διπόλων, κάθε σιδηρομαγνήτης δεν εμφανίζει εσωτερική μαγνήτιση, ή

αλλιώς οι μαγνητικές περιοχές δεν είναι προσανατολισμένες προς την ίδια κατεύθυνση

μέσα στο στερεό.

Προφανώς ο Weiss υπέθεσε αξιωματικά την ύπαρξη των μαγνητικών περιοχών

και έψαξε να βρεί μία εμπειρική εξήγηση του γιατί το μέσο πεδιο δεν οδηγεί σε

εσωτερική μαγνήτιση του υλικού. Ο Landau και ο Lifschitz [11] απέδειξαν ότι η

ύπαρξη των μαγνητικών περιοχών είναι αποτέλεσμα της ελαχιστοποίησης της ενέργειας.

Ένα υλικό με μία μόνο μαγνητική περιοχή έχει μεγάλη μαγνητοστατική ενέργεια. Το

«σπάσιμο» της περιοχής αυτής σε μικρές γειτονικές, στις οποίες κλείνει κυκλικά η

μαγνητική ροή, μειώνει τη μαγνητοστατική ενέργεια. Συνεπώς όταν η μείωση της

μαγνητοστατικής ενέργειας είναι μεγαλύτερη από την ενέργεια που απαιτείται για τον

σχηματισμό τοιχωμάτων, τότε σχηματίζονται πολλές μαγνητικές περιοχές στο μαγνητικό

υλικό.

2.1.7 Μαγνητοστατική ενέργεια μονής μαγνητικής περιοχής

Η ενέργεια ανά μονάδα όγκου ενός διπόλου μαγνήτισης Μ ενός μαγνητικού

πεδίου Η δίνεται από τη σχέση:

∫→→

Η−= MdE 0µ

Όταν το υλικό βρίσκεται μόνο υπό την επίδραση του δικού του πεδίου

απομαγνήτισης Ηd το οποίο δημιουργείται από μία μαγνήτιση Μ, μπορούμε να

θεωρήσουμε Hd= -NdM μέσα στο ολοκλήρωμα, όπου Νd είναι ο συντελεστής

απομαγνήτισης. Έτσι η ενέργεια γίνεται:

20

0

2MNE

MdMNE

d

d

µ

µ

=

−= ∫→→

Ο υπολογισμός της ενέργειας πολλών μαγνητικών περιοχών μαζί είναι

περισσότερο πολύπλοκος και θα γίνει σε επόμενη παράγραφο. Μπορούμε όμως να

επισημάνουμε ότι αν μειωθεί το Μ από τον σχηματισμό περισσότερων μαγνητικών

περιοχών, τότε η μαγνητοστατική ενέργεια θα μειωθεί. Το μέγεθος των μαγνητικών

περιοχών προσδιορίζεται από έναν άλλο παράγοντα, τον οποίο μέχρι τώρα δεν έχουμε

λάβει ακόμα υπ’ όψη μας, την ενέργεια των μαγνητικών τοιχωμάτων.

2.1.8 Σχηματισμοί μαγνητικών περιοχών

Πολλές παρατηρήσεις μαγνητικών περιοχών έχουν γίνει χρησιμοποιώντας την

τεχνική Bitter και άλλες τεχνικές όπως η μαγνητοοπτική τεχνική Kerr. Το Σχήμα 2.4

δείχνει διαγραμματικά την εμφάνιση μαγνητικών περιοχών, καθώς ένα δείγμα που έχει

αρχικά μαγνήτιση κορεσμού απομαγνητίζεται. Το διάγραμμα αυτό δείχνει έναν κλειστό

σχηματισμό μαγνητικών περιοχών στην άκρη ενός μονοκρυστάλλου σιδήρου. Οι

κλειστοί σχηματισμοί μαγνητικών περιοχών εμφανίζονται από τα πρώτα στάδια της

απομαγνήτισης, αφού παρέχουν έναν κλειστό δρόμο στη μαγνητική ροή μέσα στο

στερεό. Σχηματίζονται στα σημεία που υπάρχουν ατέλειες και στα όρια του υλικού.

Ακόμα είναι συνήθως οι τελευταίες περιοχές που επαναφέρονται με την εφαρμογή

υψηλών εξωτερικών πεδίων.

Σχήμα 2.4: Αλλαγή της δομής των μαγνητικών περιοχών καθώς ένα δείγμα μονοκρυστάλλου σιδήρου απομαγνητίζεται.

2.1.9 Μεταβολές των μαγνητικών περιοχών κατά τη μαγνήτιση

Αφού σύμφωνα με τη θεωρία των μαγνητικών περιοχών οι ατομικές μαγνητικές

ροπές είναι ευθυγραμισμένες στους σιδηρομαγνήτες ακόμα και κατά την απουσία

μαγνητικού πεδίου, η διαφορά ανάμεσα στην κατάσταση μαγνήτισης και μη

μαγνήτισης οφείλεται στη διάταξη των μαγνητικών περιοχών.

Όταν ένα μαγνητικό πεδίο εφαρμοστεί σε έναν μη μαγνητισμένο

σιδηρομαγνήτη, η μεταβολή στη μαγνητική του επαγωγή Β εμφανίζεται ως μία

καμπύλη αρχικής μαγνήτισης στο βρόχο υστέρησης. Σε «χαμηλά» πεδία η πρώτη

διεργασία που συντελείται είναι η αύξηση του μεγέθους των μαγνητικών περιοχών, οι

οποίες είναι ευθυγραμμισμένες παράλληλα ή σχετικά παράλληλα προς το πεδίο για να

ικανοποιηθείη συνθήκη ελαχιστοποίησης της ενέργειας E= -μ0ΜsH και η

συνεπακόλουθη μείωση του μεγέθους των μαγνητικών περιοχών οι οποίες είναι

αντιπαράλληλες ή αρκετά αντιπαράλληλες σε σχέση με το εφαρμοζόμενο πεδίο, όπως

φαίνεται στο Σχήμα 2.5.

Σε πεδία «μεσαίου» μεγέθους λειτουργεί ένας δεύτερος μηχανισμός, σύμφωνα

με τον οποίο οι μαγνητικές περιοχές περιστρέφονται. Τα ατομικά μαγνητικά δίπολα των

περιοχών που δεν είναι παράλληλες ή σχεδόν παράλληλες με το πεδίο, υπερνικούν την

ενέργεια ανισοτροπίας και ξαφνικά περιστρέφονται από την αρχική τους διεύθυνση

μαγνήτισης σε μία που αντιστοιχεί σε κρυσταλλογραφικό κύριο άξονα, ο οποίος είναι ο

πλησιέστερος στη διεύθυνση του πεδίου.

Η τελική διεργασία λαμβάνει χώρα σε πεδία τεχνητής μαγνήτισης υψηλών

εντάσεων. Σ’ αυτήν οι μαγνητικές ροπές, οι οποίες είναι σχετικά ευθυγραμμισμένες

κατά μήκος των κρυσταλλογραφικών κύριων αξόνων με διεύθυνση κοντά στη διεύθυνση

του πεδίου, περιστρέφονται προς τη διεύθυνση του πεδίου καθώς το μέγεθος αυτού

αυξάνει. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα τη δημιουργία μίας μονής μαγνητικής περιοχής στο

υλικό. Αυτός ο προσανατολισμός των ροπών υφίσταται όσο διαρκεί το εξωτερικά

εφαρμοζόμενο μαγνητικό πεδίο, το οποίο όταν αναιρείται, τα δίπολα προτιμούν την κατ’

αρχήν επαναφορά τους στον προσανατολισμό που επιτυγχάνεται στη δεύτερη φάση,

παρουσιάζοντας έτσι παραμένουσα μαγνήτιση.

Σχήμα 2.5: Οι διεργασίες μαγνητικών περιοχών που συμβαίνουν καθώς ένα υλικό μαγνητίζεται μέχρι κορεσμού. Φαίνονται τα στάδια από την κατάσταση απομαγνήτισης μέχρι: (α) μερική μαγνήτιση, (b) κίνηση μαγνητικών τοιχωμάτων. Από τη μερική μαγνήτιση μέχρι: (c) μη αντιστρεπτή περιστροφή των διπόλων των μαγνητικών περιοχών, (d) αντιστρεπτή περιστροφή των διπόλων.

2.1.10 Τεχνητή μαγνήτιση κορεσμού

Όταν όλες οι μαγνητικές περιοχές έχουν ευθυγραμμιστεί, με τα διανύσματα

μαγνήτισής τους παράλληλα προς το πεδίο, το υλικό αποτελείται από μία μόνο

μαγνητική περιοχή και έχει φτάσει στην τεχνητή μαγνήτιση κορεσμού. Αν η ένταση του

πεδίου αυξηθεί ακόμα περισσότερο, τότε παρατηρούμε ότι η μαγνήτιση συνεχίζει να

αυξάνεται με πολύ αργούς ρυθμούς. Η αύξηση αυτή οφείλεται στην εσωτερική

μαγνήτιση Ms μέσα στη μαγνητική περιοχή, καθώς τα ατομικά μαγνητικά δίπολα μέσα

στη μαγνητική περιοχή, τα οποία δεν είναι τελείως ευθυγραμμισμένα με το πεδίο

εξαιτίας της θερμικής ενέργειας, ευθυγραμμίζονται πλήρως. Οφείλεται επίσης και στον

περαιτέρω προσανατολισμό των ηλεκτρονικών spin στην κατεύθυνση του πεδίου.

Η εσωτερική μαγνήτιση είναι εξαρτώμενη από τη θερμοκρασία, όπως έχουμε

τονίσει και πιο πριν. Στους 0 Κ είναι ίση με τη μαγνήτιση κορεσμού και στο σημείο

Curie ίση με μηδέν. Σε θερμοκρασίες μεγαλύτερες των 0 Κ το κάθε ατομικό δίπολο έχει

θερμική ενέργεια, η οποία προκαλεί κωνική περιστροφή του διανύσματος της ροπής

γύρω από τον άξονα του πεδίου, όπως φαίνεται στο Σχήμα 2.6. Ο κλονισμός αυτός

γίνεται μεγαλύτερος καθώς αυξάνει η θερμοκρασία και είναι η αιτία που υποχρεώνει

την εσωτερική μαγνήτιση να είναι μικρότερη από τη μαγνήτιση κορεσμού. Τελικά όταν

όλες οι μαγνητικές ροπές μέσα στη μαγνητική περιοχή προσανατολιστούν πλήρως

εξαιτίας ενός πολύ υψηλού μαγνητικού πεδίου η μαγνήτιση γίνεται Μ0.

Σχήμα 2.6: Προσανατολισμός ξεχωριστών ατομικών διπόλων μέσα σε μία περιοχή σε διάφορες θερμοκρασίες: (α) Πάνω από τη θερμοκρασία Curie ο προσανατολισμός είναι τυχαίος, (b) Κάτω από τη θερμοκρασία Curie, (c) Σε χαμηλές θερμοκρασίες στις οποίες τα μαγνητικά δίπολα περιστρέφονται λιγότερο ή περισσότερο περί τον άξονα της διεύθυνσης του πεδίου και (d) Τέλειος προσανατολισμός στους 0 Κ όπου δεν υπάρχει θερμική ενέργεια για κλονισμό.

2.1.11 Ανισοτροπία στην περιστροφή των μαγνητικών περιοχών

Παρά το γεγονός ότι η διεύρυνση ή σμίκρυνση των μαγνητικών περιοχών δεν

επηρεάζεται κυρίως από την ανισοτροπία, η περιστροφή τους τόσο προς τους κύριους

κρυσταλλογαρφικούς άξονες, όσο και προς τη διεύθυνση του πεδίου εξαρτάται από τη

μαγνητοκρυσταλλική ανισοτροπία. Η περιστροφή των μαγνητικών περιοχών είναι ένας

ανταγωνισμός ανάμεσα στην ενέργεια ανισοτροπίας Εα(θ,φ) και στην ενέργεια του

πεδίου EH, με αποτέλεσμα η ολική ενέργεια να είναι:

( ) Hatot EEE += φθ ,

όπου: →→

⋅−= HME sH 0µ

Πολλές φορές η μαγνήτιση Μs αντικαθίσταται από τη μαγνήτιση κορεσμού Μ0 για

ευκολία υπολογισμών.

Στην περίπτωση που έχουμε εξαγωνική ανισοτροπία, η ενέργεια ανισοτροπίας

είναι:

φ21 sinua KE =

όπου φ είναι η γωνία της μαγνήτισης με τον κύριο άξονα και Κu1 μία σταθερά,

χαρακτηριστική για κάθε υλικό.

Στην περίπτωση της κυβικής ανισοτροπίας η σχέση που χρησιμοποιείται είναι:

( )12

32

32

22

22

12

1 coscoscoscoscoscos θθθθθθ ++= KEa

όπου θ1, θ2, θ3 είναι οι γωνίες που σχηματίζει η μαγνήτιση με τους τρεις

κρυσταλλικούς άξονες.

2.2 Μαγνητικά τοιχώματα

Στις παραγράφους που ακολουθούν θα δούμε τη συμπεριφορά των μαγνητικών

ιδιοτήτων στη γειτονιά των ορίων των μαγνητικών περιοχών. Τα όρια αυτά ονομάζονται

μαγνητικά τοιχώματα και έχουν ιδιότητες που διαφέρουν από τις ιδιότητες που έχουν

οι μαγνητικές περιοχές στο εσωτερικό τους. Οι περισσότερες αλλαγές υπό την επίδραση

ασθενούς και μέσου μαγνητικού πεδίου συμβαίνουν στα μαγνητικά τοιχώματα.

2.2.1 Ιδιότητες των ορίων των μαγνητικών περιοχών

Από τη στιγμή που υπάρχουν μαγνητικές περιοχές στα σιδηρομαγνητικά υλικά,

είναι εύλογο το ερώτημα για τον τρόπο με τον οποίο αλλάζουν διεύθυνση οι μαγνητικές

ροπές στη γειτονιά των ορίων των μαγνητικών περιοχών. Υπάρχουν δύο πιθανότητες.

Είτε τα όρια των περιοχών είναι απειροελάχιστα σε πλάτος (έχουν πλάτος ίσο με την

ατομική απόσταση) με τα γειτονικά δίπολα να ανήκουν το ένα στη μία περιοχή και το

άλλο στην άλλη, είτε υπάρχει μία μεταβατική περιοχή μέσα στην οποία οι μαγνητικές

ροπές επαναπροσανατολίζονται ανάμεσα στις δύο περιοχές όπως φαίνεται στο Σχήμα

2.7 και κατά συνέπεια δεν ανήκουν σε καμία περιοχή.

2.2.2 Τοιχώματα Bloch

Η ύπαρξη αυτών των μεταβατικών στρωμάτων ανάμεσα στις μαγνητικές

περιοχές, στις οποίες οι μαγνητικές ροπές επαναπροσανατολίζονται, προτάθηκε από τον

Bloch [12]. Τα τοιχώματα αυτά ονομάζονται μαγνητικά τοιχώματα, ή τοιχώματα

Bloch. Ωστόσο δεν είναι όλα τα μαγνητικά τοιχώματα τοιχώματα Bloch. Η αλλαγή

διεύθυνσης των μαγνητικών ροπών από περιοχή σε περιοχή είναι συνήθως 180° ή 90°,

ειδικά στα υλικά που κρυσταλλώνονται στο κυβικό σύστημα και η αλλαγή αυτή

πραγματοποιείται σταδιακά πάνω σε πολλά ατομικά επίπεδα.

Σχήμα 2.7: Προσανατολισμός κάθε μαγνητικού διπόλου μέσα σε ένα μαγνητικό τοίχωμα 180°.

2.2.3 Ενέργεια τοιχωμάτων μαγνητικών περιοχών

Ως ενέργεια των τοιχωμάτων των μαγνητικών περιοχών ορίζεται η διαφορά της

ενέργειας των μαγνητικών ροπών όταν είναι μέρος του τοιχώματος και όταν είναι στο

κύριο μέρος της μαγνητικής περιοχής. Η ενέργεια αυτή εκφράζεται συνήθως ως

ενέργεια ανά μονάδα επιφανείας του τοιχώματος.

Η ενέργεια αυτή υπολογίζεται από τις αλλαγές στην ενέργεια των διπόλων στα

μαγνητικά τοιχώματα που οφείλονται στις αλληλεπιδράσεις τύπου Weiss ανάμεσα στις

ατομικές διπολικές ροπές και στην ανισοτροπία. Η ανισοτροπία τείνει να κάνει τα

μαγνητικά τοιχώματα πιο λεπτά επειδή η ενέργεια ανισοτροπίας είναι χαμηλότερη με

όλες τις ροπές προσανατολισμένες στους κρυσταλλογραφικά ισοδύναμους άξονες. Η

ενέργεια αλληλεπίδρασης τείνει να κάνει τα τοιχώματα πιο παχειά αφού στους

σιδηρομαγνήτες ελαχιστοποιείται όταν τα γειτονικά δίπολα στοιχίζονται παράλληλα.

Οι αλληλεπιδράσεις των διπολικών ροπών αντιστοιχούν σε μία ενέργεια

αλληλεπίδρασης:

eex mHE 0µ−=

όπου Ηe είναι το πεδίο αλληλεπίδρασης. Στο μοντέλο του μέσου πεδίου Weiss είπαμε

ότι το He είναι ανάλογο της μαγνήτισης μέσα στη μαγνητική περιοχή, δηλαδή είναι Ms

και σε θερμοκρασίες κάτω της θερμοκρασίας Curie είναι περίπου Μ0. Συνεπώς:

se aMH =

όπου α είναι η παράμετρος του μέσου πεδίου. Ισχύει ότι Ms= Nm για τις

αλληλεπιδράσεις των ατομικών μαγνητικών ροπών, όπου Ν είναι ο αριθμός των ατόμων

στη μονάδα του όγκου.

Οι διευθύνσεις των μαγνητικών διπόλων μέσα στα μαγνητικά τοιχώματα

διαφέρουν και για τον λόγο αυτό η προσέγγιση του μέσου πεδίου δεν ισχύει. Για να

δοθεί μία λύση που να ισχύει όσον αφορά την ενέργεια των τοιχωμάτων, λαμβάνονται

υπόψη μόνο οι πιο κοντινές γειτονικές αλληλεπιδράσεις. Η ενέργεια ανά διπολική ροπή

εξαιτίας αυτής της αλληλεπίδρασης είναι λοιπόν:

jiex mNmE αµ0−=

όπου mi και mj είναι γειτονικές ροπές.

Από τη στιγμή που επιτρέπεται στις ροπές των μαγνητικών τοιχωμάτων να έχουν

διαφορετικούς προσανατολισμούς, η αλληλεπίδραση του μέσου πεδίου δεν έχει

πρακτική σημασία. Για τον λόγο αυτό αντικαθιστούμε τη σταθερά α με μία ανάλογη

αλληλεπίδραση j που χρησιμοποιείται μόνο ανάμεσα στις πιο κοντινές γειτονιές. Η

ενέργεια αλληλεπίδρασης ανά ροπή γίνεται:

jiex mzjmE 0µ−=

όπου z είναι ο αριθμός των πιο γειτονικών ατόμων. Οι μαγνητικές ροπές mi και mj είναι

εκφρασμένες σε A m2.

Με αυτόν τον τρόπο η ενέργεια αλληλεπίδρασης ανά ροπή είναι εξαρτώμενη από

τη γωνία που σχηματίζουν δύο γειτονικές ροπές. Αν φ είναι η γωνία ανάμεσα στις

γειτονικές ροπές mi και mj, η ενέργεια ανταλλαγής ανά μονάδα όγκου είναι:

φµ cos20 zjmEex −=

Αν υποτεθεί ότι οι ροπές σχηματίζουν μία γραμμική αλυσίδα, τότε κάθε ροπή

έχει δύο πιο κοντινές γειτονικές. Κάνοντας την αντικατάσταση cosφ= 1 – φ2/2 για

μικρά φ που ισχύει εξ’ ορισμού στην περίπτωση των πλέον γειτονικών ατόμων, η

ενέργεια ανά ροπή γίνεται:

( )122

02−= φµ jmEex

Η επιπρόσθετη ενέργεια εξαιτίας της περιστροφής των γωνιών των διπόλων μέσα

στα τοιχώματα είναι το άθροισμα των επιμέρους ενεργειών αλληλεπιδράσεων από όλα

τα δίπολα που υπάρχουν στο τοίχωμα, οπότε:

njmEex22

0 φµ=∆

όπου n είναι ο αριθμός των διπόλωνστο τοίχωμα.

Για ένα τοίχωμα που χωρίζει δύο αντιπαράλληλες μαγνητικές περιοχές (τοίχωμα

180°) με n διπόλα και απόσταση το ένα από το άλλο μεγέθους α, η γωνία σε δύο

γειτονικά δίπολα είναι: φ=π/n. Η ενέργεια ανά μονάδα επιφανείας είναι:

2

220

najm

Eexπµ

=∆

Από την παραπάνω σχέση φαίνεται καθαρά ότι η ενέργεια αλληλεπίδρασης

ελαχιστοποιείται όταν το φ είναι πολύ μικρό, το οποίο αντιστοιχεί σε ένα πολύ μεγάλο

τοίχωμα. Συνεπώς η ενέργεια αλληλεπίδρασης ευνοεί την ανάπτυξη πλατιών

τοιχωμάτων.

Η ενέργεια στην διπολική ροπή p που οφείλεται στην ανισοτροπία, δίνεται από

τη σχέση:

( ) φpKEa 2sin4/ 21=

και αθροίζοντας τις ενέργειες όλων των ροπών σε όλο το πλάτος του τοιχώματος, δίνει

την ενέργεια ανά μονάδα επιφανείας:

naKEa 1=

όπου α είναι το διάστημα ανάμεσα σε δύο δίπολα και n είναι ο αριθμός των επιπέδων

των ατόμων στο μαγνητικό τοίχωμα. Αν ld είναι το πάχος του τοιχώματος, ld=nα, τότε:

da lKE 1=

Από τη σχέση αυτή φαίνεται ότι η ενέργεια ανισοτροπίας ελαχιστοποιείται για

πολύ λεπτά τοιχώματα.

Αν η ενέργεια ανισοτροπίας και η ενέργεια αλληλεπιδράσεων αθροιστούν,

προκύπτει η ολική ενέργεια:

dd

tot lKljm

E 1

220 +=

απµ

που είναι η ενέργεια του μαγνητικού τοιχώματος ανά μονάδα επιφανείας.

Αν ο κύριος όρος είναι ο όρος της ανισοτροπίας, τότε η ενέργεια

ελαχιστοποιείται για μικρά ld. Αντίθετα αν η ενέργεια ανταλλαγής είναι ο κύριος όρος,

τότε η ενέργεια ελαχιστοποιείται για μεγάλα ld. Το πάχος του μαγνητικού τοιχώματος

οριζεται τελικά από τον ανταγωνισμό των δύο αυτών παραγόντων.

2.2.4 Πλάτος των μαγνητικών τοιχωμάτων Το πλάτος των μαγνητικών τοιχωμάτων στα σιδηρομαγνητικά υλικά καθορίζεται

από την ελαχιστοποίηση της ενέργειας του τοιχώματος. Γι’ αυτό παραγωγίζοντας την

ενέργεια ως προς το ld για να βρούμε το σημείο ισορροπίας και λαμβάνοντας υπόψη ότι

φ=π/n και ld=nα, έχουμε:

012

220 =+

−= K

aljm

dldE

dd

tot πµ

Από τη σχέση αυτή προκύπτει ότι:

aKjm

ld1

220 πµ

=

Αυτό είναι το πλάτος των μαγνητικών τοιχωμάτων, το οποίο αυξάνει λόγω της

ενέργειας ανταλλαγής και μειώνεται εξαιτίας της ανισοτροπίας. Η ανισοτροπία ευνοεί

τον προσανατολισμό των διπόλων μόνο κατά μήκος των κρυσταλλογραφικών κύριων

αξόνων, όπως είναι ο άξονας (100) για το σίδηρο και ο (111) για το νικέλιο.

2.2.5 Ενέργεια αλληλεπίδρασης στην κβαντομηχανική

Υπάρχει μία εναλλακτική έκφραση για την ενέργεια των τοιχωμάτων και το

πλάτος τους. Αυτή είναι σε όρους κβαντικής μηχανικής σταθεράς ανταλλαγής J [13],

που στην πραγματικότητα είναι μία άλλη έκφραση της σταθεράς αλληλεπίδρασης j, και

η οποία ορίζει τη σταθερά α του μέσου πεδίου Weiss όπου εκείνη είναι απαραίτητη. Η

ενέργεια τοιχωμάτων εκφράζεται τότε μέσω του όρου ανταλλαγής και του spin των

ηλεκτρονίων στο άτομο S. Το spin σε ένα ηλεκτρόνιο s είναι πάντα ½, το οποίο

αντιστοιχεί σε μία μαγνητική ροπή μίας μαγνητόνης Bohr, ή αλλιώς σε 9.27 x 10-24 Α

m2. Στο σίδηρο κάθε άτομο έχει καθαρό προσανατολισμένο μαγνητικά spin S≈1, το

οποίο αντιστοιχεί σε περίπου δύο μαγνητόνες Bohr ανά άτομο [14].

Στην πράξη οι μαγνητικές ροπές στα άτομα δεν είναι πάντα ακέραια

πολλαπλάσια της μαγνητόνης Bohr γιατί υπάρχει η συνεισφορά στις μαγνητικές ροπές

από την τροχιακή κίνηση των ηλεκτρονίων. Συγκεκριμένα στο σίδηρο η ροπή είναι

πολύ κοντά σε spin S=1 (2.2 μB). Στο νικέλιο όμως το λάθος είναι πολύ μεγάλο αν

θεωρήσουμε S=1/2, γιατί αυτό αντιστοιχεί σε μία ροπή ανά άτομο 0.93μB, ενώ η

κανονική είναι 0.6μΒ. Συνεπώς η χρήση της κβαντικής μηχανικής σταθεράς

αλληλεπίδρασης J είναι περιορισμένη σε υπολογισμούς πολύ απλών συστημάτων μόνο.

Πρακτικοί υπολογισμοί για την τιμή του J μπορούν να γίνουν χρησιμοποιώντας τη

θερμοκρασία Curie και μαγνήτιση κορεσμού χαμηλής θερμοκρασίας.

Η σχέση ανάμεσα στην κλασσική γειτονική αλληλεπίδραση j και την κβαντική

μηχανική ενέργεια ανταλλαγής J είναι: 22

0 JSjm =µ

και συμπερασματικά προκύπτει

53105.43 −×=

Jj

Όπου είναι απαραίτητη η χρήση του μοντέλου του μέσου πεδίου ισχύει: 22

0 zJSNam =µ

όπου z είναι ο αριθμός των πιο γειτονικών ατόμων, S είναι το συνολικό spin των

ηλεκτρονίων ανά άτομο και J είναι η σταθερά αλληλεπίδρασης.

Για τον σίδηρο, αν υποτεθεί ότι S=1, η σταθερά αλληλεπίδρασης είναι J=11.9 x

10-3 eV ή 1.9 x 10-21 J για κάθε ζεύγος γειτονίκων ατόμων. Η ενέργεια αλληλεπίδρασης

ανά άτομο είναι Jatom=8J, αφού ο σίδηρος έχει z=8 πιο κοντινά γειτονικά άτομα με τα

οποία αλληλεπιδρά στην κυβική χωροκεντρομένη κρυσταλλική δομή.

atomJeVJ atom /102.15102.95 213 −− ×=×=

Η ενέργεια χώρου είναι NJatom, όπου Ν είναι ο αριθμός των ατόμων στη μονάδα του

όγκου. (Ν= 8.58 x 1028 άτομα / m3 στον σίδηρο) 391030.1 −×= JmJV

Στο εσωτερικό μίας μαγνητικής περιοχής μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την

προσέγγιση του μέσου πεδίου, με α τη σταθερά του μέσου πεδίου 22

0 zJSNam =µ

Στην περίπτωση του σιδήρου με S=1 έχουμε:

( )( )( ) ( )( )

360101081088.3

1041058.81088.3

1092.3102.15

1098.1109.18

21

25

728

25

046

21

2230

21

=××

=

=××

×=

××

=×

×= −−

−

−

−

πµµ NNa

Η παράμετρος αλληλεπίδρασης j είναι τότε:

( )( )30

467

21

220

1086.31092.3104

109.1×=

×××

=

=

−−

−

π

µ

j

JSjm

που είναι ένας μεγάλος αριθμός. Στις περιπτώσεις όπως η παραπάνω, η κβαντική

μηχανική ενέργεια ανταλαγής χρησιμοποιείται ευκολότερα. Το μειονέκτημα της

μεθόδου, που αναφέρθηκε και πιο πάνω, είνα ότι οι μαγνητικές ροπές ανά άτομο είναι

σπάνια ακέραιοι αριθμοί των spin των ηλεκτρονίων.

2.2.6 Μαγνητικά τοιχώματα 180°και μη - 180°

Γενικά τα μαγνητικά τοιχώματα μπορούν να ταξινομηθούν σε τοιχώματα 180°

και σε μη - 180°, δηλαδή σε τοιχώματα που διαχωρίζουν αντιπαράλληλες και μη

αντιπαράλληλες μαγνητικές περιοχές. Τα τοιχώματα 180° συναντώνται σχεδόν σε όλα

τα υλικά και διαφέρουν από όλα τα άλλα τοιχώματα στο ότι δεν επηρεάζονται από την

επιβολή μηχανικής τάσης [15]. Στα τοιχώματα αυτά οι διευθύνσεις της μαγνήτισης σε

γειτονικές μαγνητικές περιοχές είναι αντιπαράλληλες και κατά συνέπεια οι μαγνητικές

ροπές των περιοχών αυτών έχουν διευθύνσεις ισοδύναμων κρυσταλλογραφικών

διευθύνσεων.

Στα υλικά που κρυσταλλώνονται στο κυβικό σύστημα, τα τοιχώματα μη - 180°

με Κ>0 είναι όλα 90°, έτσι ώστε οι διευθύνσεις των διπόλων σε γειτονικές μαγνητικές

περιοχές να είναι σε ορθές γωνίες. Γι’ αυτό στον σίδηρο που οι κύριοι άξονες είναι στις

διευθύνσεις (100), τα μαγνητικά τοιχώματα ανάμεσα στις διευθύνσεις (100) και (100)

είναι όλα 180°, ενώ αυτά που είναι ανάμεσα στις διευθύνσεις (100) και (010) είναι

τοιχώματα 90°. Στο νικέλιο για το οποίο Κ<0 οι κύριοι άξονες έχουν διεύθυνση (111).

Συνεπώς τα τοιχώματα μη - 180° θα είναι 71° ή 109°. Συχνά όλα τα μη - 180°

μαγνητικά τοιχώματα αναφέρονται εσφαλμένα ως τοιχώματα 90° για να τονίζεται η

ευαισθησία που έχουν στην επιβολή μηαχανικής τάσης σε σχέση με τα τοιχώματα

180°.

2.2.7 Αποτελέσματα επιβολής τάσης στα μαγνητικά τοιχώματα 180° και μη

Ας υποθέσουμε για παράδειγμα ότι εφαρμόζεται μία ομοαξονική μηχανική τάση

κατά μήκος της διεύθυνσης (100) στον σίδηρο. Αν αυτή είναι εφελκυστική τάση, θα

κάνει τη συγκεκριμένη διεύθυνση (100) μικρότερη σε ενέργεια από τις διευθύνσεις

(010) και (001) που είχαν μικρότερη ενέργεια πριν ασκηθεί η τάση. Η ενέργεια της

διεύθυνσης (100) μειώνεται κατά το ίδιο ποσοστό. Συνεπώς ένα τοίχωμα 180° που

χωρίζει δύο μαγνητικές περιοχές προσανατολισμένες στις δύο αυτές διευθύνσεις δεν

επηρεάζεται από την επιβολή τάσης.

Ας υποθέσουμε τώρα ένα τοίχωμα 90° ανάμεσα σε μαγνητικές περιοχές

προσανατολισμένες στις διευθύνσεις (100) και (010) στον σίδηρο. Οι διευθύνσεις αυτές

είναι ενεργειακά ίσες. Η εφαρμογή εφελκυστικής τάσης κατά τη διεύθυνση (100) την

κάνει να είναι ενεργειακά ευνοημένη και κατά συνέπεια τα τοιχώματα 90° θα

μετακινηθούν, υπό την επίδραση της τάσης αυτής, για να αυξήσουν τον όγκο των

περιοχών που είναι προσανατολισμένες στο (100) εις βάρος αυτών που είναι στο (010).

Δηλαδή τα τοιχώματα 90° είναι ευαίσθητα στην εφαρμογή τέτοιων τάσεων.

2.3 Κλειστοί σχηματισμοί μαγνητικών περιοχών

Οι κλειστοί σχηματισμοί μαγνητικών περιοχών συμβαίνουν πιο συχνά στα υλικά

του κυβικού συστήματος παρά στου εξαγωνικού, γιατί η κυβική ανισοτροπία

εξασφαλίζει ότι οι διευθύνσεις που σχηματίζουν ορθές γωνίες με την ανισοτροπία σε μία

μαγνητική περιοχή είναι και αυτοί μαγνητικά κύριοι άξονες. Γι’ αυτό είναι ενεργειακά

προτιμότερο να συνυπάρχουν τοιχώματα 90° και 180° μαζί. Σε υλικά όπως το κοβάλτιο

όπου ο μοναδικός άξονας είναι ο κύριος είναι δύσκολο να σχηματιστούν τοιχώματα

90°, αφού οι μαγνητικές ροπές σε μία από τις περιοχές πρέπει να εκτείνονται πάνω στο

επίπεδο της βάσης της εξαγωνικής κυψελίδας. Το επίπεδο αυτό είναι ενεργειακά μη

ευνοϊκό.

Ένα παράδειγμα που εμφανίζονται τοιχώματα 90° είναι στους κλειστούς

σχηματισμούς μαγνητικών περιοχών λεπτόκοκκου Fe – Si (Εικ. 2.8). Φυσικά υπάρχουν

και πολλές άλλες περιπτώσεις που σχηματίζονται τοιχώματα 90° και τα οποία είναι

ανεξάρτητα της μεγάλης ανισοτροπίας. Για την ακρίβεια η μεγάλη ανισοτροπία

εμποδίζει τη δημιουργία κλειστών σχηματισμών, όπως στην περίπτωση των εξαγωνικών

υλικών (π.χ. κοβάλτιο). Τα όρια ανάμεσα σε γειτονικές επιμήκεις περιοχές είναι

τοιχώματα 180°, ενώ αυτά ανάμεσα στις περιοχές που δημιουργούν κλειστούς

σχηματισμούς και τις επιμήκεις είναι τοιχώματα 90°.

Σχήμα 2.8: Κλειστοί σχηματισμοί μαγνητικών περιοχών στην επιφάνεια υλικού με κυβική κρυσταλλική δομή, που στην περίπτωση αυτή είναι προσανατολισμένοι κρύσταλλοι Fe-Si.

2.3.1 Τοιχώματα Neel

Αν ένα δοκίμιο έχει τη μορφή ενός λεπτού υμενίου οι μαγνητικές περιοχές είναι

δυνατόν να εκτείνονται σε όλο το πλάτος του δοκιμίου, όπως φαίνεται στο Σχήμα 2.9.

Στην περίπτωση αυτή τα τοιχώματα Bloch θα είχαν την μαγνήτισή τους κάθετα στο

επίπεδο του υλικού, γεγονός που θα δημιουργούσε μεγάλη ενέργεια απομαγνήτησης.

Αντίθετα τα τοιχώματα Neel [16], όπου τα δίπολα ευθυγραμμίζονται κατά μήκος του

επιπέδου του δοκιμίου, έχουν σαν αποτέλεσμα μικρότερη ενέργεια. Ωστόσο σε λεπτά

υμένια που είναι άθροισμα πολυστρωματικών λεπτών υμενίων είναι δυνατόν να

εμφανίσουν κάθετη ανισοτροπία, διότι η ενέργεια απομαγνήτισης στην περίπτωση αυτή

ελαχιστοποιείται, καθώς ο κάθετος άξονας γίνεται «παραδόξως» άξονας εύκολης

μαγνήτισης. Αυτό δεν είναι βέβαια κάποιο παράδοξο γεγονός ή μη σύμφωνο με τη

Φυσική Στερεάς Κατάστασης, αλλά στην πραγματικότητα πρόκειται για υλικό τριών

διαστάσεων.

Τα τοιχώματα Neel δεν σχηματίζονται σε δοκίμια που έχουν μεγάλες και τις

τρεις διαστάσεις τους, γιατί παράγουν μεγάλα ποσά ενέργειας απομαγνητοποίησης μέσα

στον όγκο του τοιχώματος. Μόνο σε λεπτά υμένια η ενέργεια γίνεται μικρότερη από την

ενέργεια απομαγνήτισης του τοιχώματος Bloch.

Σχήμα 2.9: Παράδειγμα μαγνητικού τοιχώματος Bloch και μαγνητικού τοιχώματος Neel σε ένα λεπτό υμένιο σιδηρομαγνητικού υλικού. Το τοίχωμα Bloch χρειάζεται μερικές από τις μαγνητικές ροπές να είναι προσανατολισμένες κάθετα στο επίπεδο του υμενίου. Αυτό οδηγεί σε μία ενέργεια απομαγνήτισης που συνδέεται με το τοίχωμα Bloch. Το τοίχωμα Neel έχει όλες τις ροπές προσανατολισμένες στη διεύθυνση του επιπέδου. Το τοίχωμα Neel ευνοείται ενεργειακά όταν μειώνεται το πάχος του υμενίου κάτω από μία κρίσιμη τιμή της τάξης του μm.

2.3.2 Κίνηση μαγνητικών τοιχωμάτων

Όπως έχει αναφερθεί στην παράγραφο 2.1.9 η επιβολή εξωτερικού πεδίου έχει

ως αποτέλεσμα την διεύρυνση των ευνοϊκά προσανατολισμένων περιοχών, χωρίς να

εξηγηθεί επακριβώς πως συντελείται η ανάπτυξη αυτή.

Με την επιβολή πεδίου οι διπολικές ροπές που μπορούν ευκολότερα από όλες

να αλλάξουν διεύθυνση, είναι αυτές που βρίσκονται στα μαγνητικά τοιχώματα. Αυτό

οφείλεται στο ότι οι τελικές διευθύνσεις των ροπών στα τοιχώματα είναι αποτέλεσμα μία

λεπτής ισορροπίας ανάμεσα στην ενέργεια αλληλεπίδρασης και την ενέργεια

ανισοτροπίας. Συνεπώς μία μεταβολή της ενέργειας του μέσου πεδίου Ε=-μ0mH μπορεί

να αλλάξει την ισορροπία αυτή με αποτέλεσμα την μικρή περιστροφή των ροπών. Στο

εσωτερικό του κύριου σώματος των μαγνητικών περιοχών, οι ροπές αποκτούν μία

συγκεκριμένη διεύθυνση εξαιτίας της αλληλεπίδρασής τους. Με την εφαρμογή ενός

πεδίου στην περίπτωση αυτή δεν μπορεί να αλλάξει η ενεργειακή ισορροπία προς

όφελος μίας άλλης διεύθυνσης.

Ας θεωρήσουμε για παράδειγμα το Σχήμα 2.7. Αν ένα αδύναμο πεδίο

εφαρμοστεί με κατεύθυνση προς τα πάνω, τότε οι διπολικές ροπές της περιοχής με

κατεύθυνση προς τα κάτω δεν θα αλλάξουν διεύθυνση γιατί βρίσκονται στον πυθμένα

ενός ενεργειακού πηγαδιού με μεγάλο βάθος. Το πηγάδι αυτό δημιουργείται από την

αμοιβαία αλληλεπίδραση των διπόλων. Ωστόσο στα μαγνητικά τοιχώματα η ενέργεια

που προέρχεται από το εξωτερικό πεδίο μπορεί να διαταράξει την ισορροπία ελαφρώς

ευνοϊκά προς την «επάνω» διεύθυνση.

Το αποτέλεσμα είναι ότι οι ροπές μέσα στο τοίχωμα περιστρέφονται ελαφρώς

προς τη διεύθυνση του πεδίου καθώς το πεδίο αυξάνεται. Στον παρατηρητή φαίνεται

σαν το μαγνητικό τοίχωμα να μετακινείται προς τα δεξιά. Η διαδικασία αυτή ονομάζεται

κίνηση του μαγνητικού τοιχώματος, αν και στην ουσία δεν υπάρχει καμία κίνηση.

Η κίνηση αυτή μοιάζει με κίνηση κύματος όπως εύστοχα παρατήρησε ο Kittel [17].

2.3.3 Δυνάμεις που ασκούνται στα μαγνητικά τοιχώματα

Αν ένα μαγνητικό πεδίο εφαρμοστεί σε ένα σιδηρομαγνητικό υλικό, αυτό έχει

ως αποτέλεσμα κατ’ αρχήν την κίνηση των μαγνητικών τοιχωμάτων, με τέτοιο τρόπο

ώστε οι μαγνητικές περιοχές που είναι ευθυγραμμισμένες προς το πεδίο να μεγαλώνουν

εις βάρος εκείνων που είναι ευθυγραμμισμένες αντίθετα. Η ενέργεια ανά μονάδα όγκου

αυτών των περιοχών όταν υπόκεινται σε πεδίο Η είναι:

HME sH 0µ−=

Η μεταβολή της ενέργειας κατά την κίνηση των τοιχωμάτων είναι:

∫−=∆ HdME 0µ

Η μεταβολή της μαγνήτισης όταν ένα τοίχωμα 180° μετακινείται κατά απόσταση dx

είναι dM=2Msdx. Συνεπώς η μεταβολή της ενέργειας που προκαλείται από την

μετατόπιση ενός τοιχώματος 180° κατά μία απόσταση χ είναι:

HxAM

dxHME

s

s

0

0

2

2

µ

µ

−=

−=∆ ∫

όπου Α είναι η επιφάνεια του τοιχώματος. Η δύναμη λοιπόν ανά μονάδα επιφανείας

στο τοίχωμα αυτό είναι:

HMdxdEAF s02)/1( µ=

−=

2.3.4 Κυρτά ή ελαστικά τοιχώματα χαμηλής ενέργειας

Τα τοιχώματα χαμηλής επιφανειακής ενέργειας έχουν μία τάση να

καμπυλώνονται. Πρακτικά τα μαγνητικά τοιχώματα παρουσιάζουν αντιστρεπτή

κυρτότητα και αντιστρεπτό μετασχηματισμό υπό την επίδραση του μαγνητικού πεδίου.

Η κυρτότητα των τοιχωμάτων φαίνεται στο Σχήμα 2.10. Το μέγεθος κυρτότητας που

υφίστανται τα τοιχώματα εξαρτάται από πολλούς παράγοντες, συμπεριλαμβανομένης

και της έντασης του μαγνητικού πεδίου, αλλά κυρίως από την ενέργεια των μαγνητικών

τοιχωμάτων [18-20]. Τα τοιχώματα με υψηλή ενέργεια δεν καμπυλόνονται εύκολα, σε

αντίθεση με τα χαμηλής ενέργειας που είναι πιο ελαστικά. Για παράδειγμα οι ενέργειες

σε μοντέλο μίας σταθεράς για τοιχώματα 180° στον σίδηρο, στο νικέλιο και στο

κοβάλτιο είναι αντίστοιχα 2.9, 0.7 και 7.6 erg/cm2. Τα τοιχώματα στο κοβάλτιο είναι

πιο δύσκαμπτα από των υπολοίπων. Αν ένα δοκίμιο είναι πολύ καθαρό, χωρίς

προσμίξεις και ατέλειες, τότε τα τοιχώματά του μπορούν να μετακινηθούν με επίπεδο

τρόπο, χωρίς καμπυλότητα, διότι διαθέτει μεγάλη επιφανειακή ενέργεια μαγνητικών

τοιχωμάτων.

Σχήμα 2.10: Επιβολή κυρτότητας σε μαγνητικό τοίχωμα, υπό την επίδραση πεδίου. Το μαγνητικό τοίχωμα παραμένει στη θέση του μόνο στα άκρα του και εξαπλώνεται όπως μία ελαστική μεμβράνη.

2.4 Δυναμική συμπεριφορά των μαγνητικών περιοχών

Στις παρακάτω παραγράφους αναπτύσσεται η συμπεριφορά των μαγνητικών

περιοχών υπό την επίδραση ενός μεταβαλλόμενου μαγνητικού πεδίου. Ιδιαίτερη

έμφαση δίνεται στις αλλαγές που παρατηρούνται στις μαγνητικές περιοχές και στους

μηχανισμούς με τους οποίους αυτές γίνονται.

2.4.1 Αντιστρεπτή και μη συμπεριφορά των μαγνητικών περιοχών

Οι μεταβολές της μαγνήτισης που οφείλονται στην εφαρμογή μαγνητικού

πεδίου σε έναν σιδηρομαγνήτη, είναι είτε αντιστρεπτές είτε μη αναντιστρεπτές,

ανάλογα με τη συμπεριφορά των μαγνητικών περιοχών. Μία αντιστρεπτή διαδικασία

στην μαγνήτιση είναι αυτή στην οποία μετά την εφαρμογή και την απομάκρυνση του

μαγνητικού πεδίου, η μαγνήτιση επιστρέφει στην αρχική της τιμή. Στα

σιδηρομαγνητικά υλικά αυτό συμβαίνει μόνο για μικρά πεδία.

Τις περισσότερες φορές ακόμη και σε μικρά πεδία συμβαίνουν μαζί

αντιστρεπτές και μη αντιστρεπτές αλλαγές, έτσι ώστε με την απομάκρυνση του πεδίου η

μαγνήτιση να μην επιστρέφει στην αρχική της τιμή. Κατ’ αυτόν τον τρόπο αν το πεδίο

μεταβάλλεται ημιτονοειδώς παρατηρείται υστέρηση στη μαγνήτιση Μ. Για να εξηγηθούν

τα αντιστρεπτά και μη αντιστρεπτά φαινόμενα πρέπει να αναλυθούν οι αλλαγές της

μαγνήτισης σύμφωνα με τους μηχανισμούς των μαγνητικών περιοχών.

Οι μηχανισμοί που έχουμε δει μέχρι τώρα είναι η περιστροφή των διπόλων και

η κίνηση των τοιχωμάτων. Και οι δύο αυτοί μηχανισμοί μπορούν να είναι αντιστρεπτοί

ή μη αντιστρεπτοί. Η μετάβαση από την αντιστρεπτή κατάσταση στη μη αντιστρεπτή

εξαρτάται και στις δύο περιπτώσεις από το μέγιστο πλάτος του μαγνητικού πεδίου, που

σχετίζεται με την προδιδόμενη μαγνητοστατική ενέργεια στο σύστημα.

Η κίνηση των τοιχωμάτων συνδυάζει δύο διαφορετικά φαινόμενα: την κυρτότητα

των τοιχωμάτων και την μετατόπισή τους. Η κυρτότητα είναι μία αντιστρεπτή διαδικασία

για μικρά πλάτη πεδίων. Το τοίχωμα επεκτείνεται σαν μία ελαστική μεμβράνη υπό την

επίδραση του πεδίου. Όταν το πεδίο απομακρύνεται, το τοίχωμα επιστρέφει στην

αρχική του θέση. Η κυρτότητα γίνεται μη αντιστρεπτή στην περίπτωση που το

μαγνητικό τοίχωμα παραμορφώνεται τόσο πολύ που η επέκτασή του συνεχίζεται χωρίς

περαιτέρω αύξηση του πεδίου. Η κυρτότητα που ξεκινά ως αντιστρέψιμη μπορεί επίσης

να γίνει αναντίστρεπτη, αν κατά τη διάρκεια αυτής της διαδικασίας το τοίχωμα

συναντήσει διάφορες προεξοχές οι οποίες το εμποδίζουν να επιστρέψει στη θέση του

όταν το πεδίο απομακρυνθεί.

Η μετατόπιση του τοιχώματος είναι συνήθως μη αντιστρεπτή εκτός από την

περίπτωση που το υλικό είναι υψηλής καθαρότητας, όπου το τοίχωμα μπορεί να

βρίσκεται και κινείται σε μία περιοχή του υλικού χωρίς ατέλειες. Η μετατόπιση των

επίπεδων τοιχωμάτων μπορεί να μοντελοποιηθεί με τη χρήση του διαγράμματος της

δυναμικής ενέργειας συναρτήσει της απόστασης, όπως φαίνεται στο Σχήμα 2.11. Δύο

είναι τα πιθανά αιτία για τα τοπικά ελάχιστα της καμπύλης αυτής, όπου το φαινόμενο

γίνεται μη αντιστρεπτό λόγω του χαμηλότερου ενεργειακού δυναμικού. Τα σημεία αυτά

δημιουργούνται από τη μηχανική τάση που προκαλείται από τις ατέλειες και την

παρουσία σωματιδίων μίας δεύτερης φάσης (π.χ. καρβίδια) μέσα στο υλικό. Δεν

υπάρχει ένας γενικός τρόπος για να ομαλοποιηθεί αυτή η ενεργειακή διακύμανση.

Σχήμα 2.11: Μαγνητική δυναμική ενέργεια ως συνάρτηση της απόστασης από μία μαγνητική περιοχή.

Την κίνηση των διπόλων την έχουμε αναλύσει εκτενώς στις παραγράφους 2.1.

Σε χαμηλά πεδία η διεύθυνση προσανατολισμού των μαγνητικών διπόλων, η οποία

αντιστοιχεί στην ελάχιστη ενέργεια, αλλάζει πιθανά ελαφρώς από τον κύριο

κρυσταλλογραφικό άξονα προς τη διεύθυνση του πεδίου. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα μία

αντιστρεπτή περιστροφή των μαγνητικών διπόλων εντός της μαγνητικής περιοχής.

Σε μεσαία πεδία συμβαίνει ένας μη αντιστρεπτός μηχανισμός μέσα στη

μαγνητική περιοχή, όταν τα δίπολα περιστρέφονται από τον κύριο άξονα που

βρίσκονται, στον κύριο άξονα που προσεγγίζει περισσότερο τη διεύθυνση του πεδίου.

Αυτό συμβαίνει όταν η μαγνητοστατική ενέργεια του πεδίου υπερνικά την ενέργεια

ανισοτροπίας. Στην περίπτωση αυτή μόλις τα μαγνητικά δίπολα μέσα στις περιοχές

περιστραφούν προς έναν άλλο κύριο άξονα, παραμένουν στο δυναμικό πηγάδι

ευθυγραμμισμένες στον νέο αυτόν άξονα, ακόμα και όταν το πεδίο μειωθεί.

Σε υψηλά πεδία το ενεργειακό ελάχιστο του κύριου άξονα, που είναι πιο κοντά

στο πεδίο, επηρεάζεται από την ενέργεια του πεδίου και κατά συνέπεια

προσανατολίζεται στην κατεύθυνσή του. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα μία αντιστρεπτή

περιστροφή των διπόλων προς τη διεύθυνση του πεδίου και κατά συνέπεια μία

αντιστρεπτή αλλαγή στη μαγνήτιση σε υψηλά πεδία. Τέλος σε ιδιαίτερα υψηλά πεδία

παρατηρείται μία αντιστρεπτή αλλαγή, κατά την οποία τα μαγνητικά δίπολα στο υλικό,

το οποίο αποτελείται πλέον από μία μονή μαγνητική περιοχή, προσανατολίζονται

ακόμα περισσότερο προς τη διεύθυνση του πεδίου. Αυτό συμβαίνει επειδή κάθε μία

μαγνητική ροπή περιστρέφεται κωνικά γύρω από τη διεύθυνση του πεδίου εξαιτίας της

θερμικής ενέργειας. Η περιστροφή αυτή δεν δίνει καμία συνολική ροπή προς άλλες

διευθύνσεις, αλλά μειώνει τη συνισταμένη της μαγνήτισης κατά μήκος της διεύθυνσης

του πεδίου. Καθώς η ένταση του πεδίου αυξάνεται η γωνία κωνικής περιστροφής

μειώνεται. Όμοια αν η θερμοκρασία μειωθεί, τότε μικραίνει και η γωνία κωνικής

περιστροφής εξαιτίας μικρότερου ποσού φωνονικής ταλάντωσης.

2.4.2 Η μηχανική τάση ως εμπόδιο στην κίνηση των μαγνητικών τοιχωμάτων

Οι διαταραχές στον κρύσταλλο του υλικού δημιουργούν πεδία τοπικών τάσεων,

τα οποία με τη σειρά τους αναπτύσσουν μία ανομοιογενή τάση μέσα στον όγκο του

στερεού. Οι διαταραχές εμποδίζουν την κίνηση των μαγνητικών τοιχωμάτων και έτσι όσο

περισσότερες είναι οι διαταραχές μέσα σε έναν σιδηρομαγνήτη τόσο περισσότερο

εμποδίζεται η κίνηση των μαγνητικών τοιχωμάτων. Αυτό εξηγεί γιατί δοκίμια που έχουν

υποστεί ψυχρή μηχανουργική κατεργασία εμφανίζουν υψηλότερο συνεκτικό πεδίο και

μικρότερη αρχική επιδεκτικότητα σε σχέση με άλλα δοκίμια του ίδιου υλικού, τα οποία

έχουν υποστεί ανόπτυση. Η παρατήρηση αυτή χρησιμοποιείται στους μη

καταστροφικούς ελέγχους δοκιμών της μηχανικής κατάστασης των σιδηρομαγνητικών

υλικών όπως είναι ο σίδηρος και ο χάλυβας με τη χρήση μαγνητικών μετρήσεων.

2.4.3 Τα εγκλείσματα ως εμπόδια στην κίνηση των μαγνητικών τοιχωμάτων

Τα απομονωμένα σημεία μέσα στο υλικό, που αποτελούνται από μία δεύτερη

φάση με διαφορετικές μαγνητικές ιδιότητες, καλούνται εγκλείσματα. Τα εγκλείσματα

μειώνουν την ενέργεια των μαγνητικών τοιχωμάτων όταν διασταυρώνονται μεταξύ τους

και κατά συνέπεια φαίνεται μακροσκοπικά ότι τα τοιχώματα έλκονται από τα

εγκλείσματα, τα οποία καταφέρνουν να εμποδίζουν την κίνηση των τοιχωμάτων.

Πρώτος ο Kersten [21,22] ασχολήθηκε με την επίδραση των εγκλεισμάτων στην

κίνηση των τοιχωμάτων. Ο Kersten υπέθεσε ότι τα τοιχώματα μετακινούνται με έναν

επίπεδο τρόπο μέσα στο στερεό και ότι η ενέργεια των τοιχωμάτων μειώνεται όταν αυτά

συναντούν εγκλείσματα. Τα εγκλείσματα αυτά μπορούν να είναι μία δεύτερη φάση

αδιάλυτη, όπως οξείδιο ή καρβίδιο, ή μπορούν να είναι πόροι, κενά, ρωγμές ή άλλες

μηχανικές ανομοιογένειες. Γνωστό παράδειγμα μαγνητικού εγκλείσματος είναι

σωματίδια σεμεντίτη μέσα σε σίδηρο ή χάλυβα. Η μαγνητοστατική ενέργεια ενός

εγκλείσματος που βρίσκεται στο εσωτερικό μίας μαγνητικής περιοχής είναι

2πμ0Μs2r3/9. Όταν όμως το τοίχωμα πέφτει πάνω στο ελάττωμα η μαγνητοστατική

ενέργεια μειώνεται σε πμ0Μs2r3/9.

2.4.4 Κρίσιμη ένταση πεδίου όταν το τοίχωμα εμποδίζεται ισχυρά

Ας υποθέσουμε ότι η ένταση με την οποία εμποδίζεται το τοίχωμα είναι υψηλή

και ότι η ενέργεια του τοιχώματος είναι σχετικά χαμηλή [23]. Στην περίπτωση αυτή το

μαγνητικό τοίχωμα καμπυλώνεται υπό την επίδραση του πεδίου. Η διαδικασία είναι

αντιστρεπτή μέχρι η ακτίνα της καμπυλότητας να φτάσει ένα ορισμένο σημείο, πέρα

από το οποίο το τοίχωμα επεκτείνεται με ασυνέχειες και αναντιστρεπτά.

Η ακτίνα καμπυλότητας r των μαγνητικών τοιχωμάτων, καθώς αυτά

καμπυλώνονται υπό την επίδραση του εφαρμοζόμενου πεδίου H, είναι τέτοια που η

πίεση στο τοίχωμα γ/r μόλις που ισορροπεί τη δύναμη ανά μονάδα επιφανείας εξαιτίας

του πεδίου. Με τον όρο γ συμβολίζεται η ενέργεια των μαγνητικών τοιχωμάτων. Για ένα

τοίχωμα 180° ισχύει:

θµγ cos2 0 HMr s=

με θ τη γωνία που σχηματίζει το πεδίο Η και η μαγνήτιση μέσα στη μία από τις δύο

περιοχές. Η κρίσιμη συνθήκη που δίνει κατά προσέγγιση την τιμή του συνεκτικού

πεδίου Ηc, εμφανίζεται όταν η ακτίνα καμπυλότητας r γίνει ίση με l/2, όπου l είναι η

απόσταση ανάμεσα σε δύο εγκλείσματα. Τότε:

θµγ

cos0180 lM

Hs

c =

Όμοια για τοίχωμα 90° βρίσκουμε ότι ισχύει:

θµγ

cos2

090 lM

Hs

c =

Οι σχέσεις αυτές χρησιμοποιήθηκαν από τον Kersten για να εντοπίσει το

συνεκτικό πεδίο σε κράματα Ni – Fe.

2.4.5 Αλληλεπιδράσεις ελαττωμάτων των μαγνητικών τοιχωμάτων στα μέταλλα

Οι Astie, Degauque, Portseil και Vergne [24] μελέτησαν την επίδραση των

διαταραχών της δομής υψηλής καθαρότητας σιδήρου στις μαγνητικές και

μαγνητομηχανικές ιδιότητες. Οι διαταραχές αυτές σχηματίστηκαν από την

ενδοτράχυνση στην οποία υποβλήθηκε ο πολυκρυσταλλικός σίδηρος. Η έρευνά τους

αφορούσε την εξάρτηση της αρχικής επιδεκτικότητας χ in, της σταθεράς Rayleigh v και

του συνεκτικού πεδίου Hc από την τάση που ασκήθηκε Δσ= σ- σ0, όπου σ0 είναι το όριο

ελαστικότητας και σ η μέγιστη ασκούμενη τάση.

Σε χαμηλές φορτίσεις (<30 MPa) το συνεκτικό πεδίο και η αρχική

διαπερατότητα είναι σχεδόν ανεξάρτητες από την επιβολή τάσης. Ωστόσο για

υψηλότερες τάσεις, οι οποίες είχαν ως αποτέλεσμα τη δημιουργία περισσότερων

διαταραχών, το πεδίο Hc αυξανόταν γρήγορα, ενώ το χ in παρέμεινε ανεπηρέαστο.

Όμοια οι ερευνητές αυτοί μελέτησαν την εξάρτηση του μεγέθους των κόκκων

στις μαγνητικές ιδιότητες σε σίδηρο υψηλής καθαρότητας. Το συνεκτικό πεδίο Hc, η

αρχική επιδεκτικότητα χ in και η σταθερά Rayleigh v μελετήθηκαν μαζί με την

παραμένουσα μαγνήτιση BR. Η μελέτη κατέληξε στο ότι η αρχική επιδεκτικότητα ήταν

ανεξάρτητη από το μέγεθος των κόκκων, ενώ για τα υπόλοιπα μεγέθη ισχύουν οι

παρακάτω σχέσεις (με d τη διάμετρο των κόκκων):

tconsdHtconsdv

c tantan/

==

Η αρχική επιδεκτικότητα είναι ανεξάρτητη του μεγέθους των κόκκων του

σιδήρου γιατί αυτή καθορίζεται από την μικρής κλίμακας αντιστρεπτή κίνηση των

μαγνητικών τοιχωμάτων στα χαμηλά πεδία. Υπό αυτές τις συνθήκες ο κυρίαρχος

παράγοντας που συνεισφέρει στο χ in είναι οι διαταραχές. Η σταθερά Rayleigh είναι

εξαρτημένη από το μέγεθος των κόκκων και μάλιστα αυξάνεται με την αύξησή του.

Αντίθετα το συνεκτικό πεδίο μειώνεται με την αύξηση του μεγέθους των κόκκων.

2.4.6 Το φαινόμενο Barkhausen στην κίνηση των μαγνητικών τοιχωμάτων

Το φαινόμενο Barkhausen και η μαγνητοακουστική εκπομπή είναι μη

αντιστρεπτές μεταβολές της μαγνήτισης εξαιτίας των ατελειών. Αυτές οι μη αντιστρεπτές

μεταβολές μπορούν να συμβούν ως αποτέλεσμα της μη αντιστρεπτής κίνησης των

τοιχωμάτων, είτε από την απεμπλοκή των επίπεδων τοιχωμάτων από τα σημεία που

εμποδίζουν την κίνησή τους, είτε αν κατά την επέκτασή τους ξεπεραστεί η κρίσιμη τιμή

στην καμπυλότητά τους.

Οι εκπομπές Barkhausen μπορούν να δημιουργηθούν και από την ασυνεχή

περιστροφή των διπόλων μέσα στην μαγνητική περιοχή, από έναν από τους κύριους

άξονες προς τον κύριο άξονα που είναι προσανατολισμένος περισσότερο προς το πεδίο.

Ωστόσο η δημιουργία του φαινομένου από αυτήν τη διαδικασία είναι μικρότερης

σημασίας.

Το φαινόμενο Barkhausen μπορεί να δημιουργηθεί από την κίνηση τοιχωμάτων

180° και μη - 180°. Αντίθετα η μαγνητοακουστική εκπομπή προκαλείται μόνο από την

ασυνεχή κίνηση τοιχωμάτων μη - 180°. Ο λόγος είναι ότι για να παραχθούν ακουστικοί

παλμοί είναι απαραίτητη η δημιουργία τάσεων. Ωστόσο από την κίνηση των τοιχωμάτων

180° δεν δημιουργούνται τάσεις, όπως προκύπτει και από την παράγραφο 2.2.7.

2.4.7 Ενεργειακές απώλειες από την εμπόδιση της κίνησης των τοιχωμάτων

Ας θεωρήσουμε ένα μαγνητικό τοίχωμα 180° επιφάνειας Α, που βρίσκεται

ανάμεσα σε δύο περιοχές προσανατολισμένες παράλληλα και αντιπαράλληλα σε ένα

πεδίο Η. Αν το τοίχωμα μετακινηθεί κατά μία απόσταση dx υπό την επίδραση του

πεδίου, η μεταβολή στην ενέργεια θα είναι:

HAdxMdE s02µ−=

Αν υποθέσουμε ότι η ενέργεια εμπέδησης σε ένα ορισμένο σημείο είναι μ0επ για

ένα τοίχωμα 180° και επιπλέον ότι η ενέργεια αυτή είναι ανάλογη της μεταβολής της

ενέργειας στη μονάδα του όγκου που προκαλείται από την κίνηση του τοιχώματος, τότε:

( )φεε π cos121

−=pin

όπου φ είναι η γωνία ανάμεσα στα δίπολα των γειτονικών περιοχών. Έτσι έχουμε μία

έκφραση της ενέργειας εμπέδησης συναρτήσει της γωνίας φ. Όταν φ=0, τότε εpin=0,

αφού δεν υπάρχει μαγνητικό τοίχωμα. Για φ=180° εpin=επ. Αν n είναι τα σημεία

εμπέδησης στη μονάδα του όγκου η χαμένη ενέργεια από την κίνηση του τοιχώματος

είναι:

dxndEloss Α= πεµ0

όπου Α είναι η κάθετη επιφάνεια του τοιχώματος. Η μεταβολή στη μαγνήτιση είναι

AdxMdM s2=

οπότε

sloss M

dMndE

20 πεµ

=

2.4.8 Επίδραση της μικροδομής στην υστέρηση

Τα μαγνητικά εγκλείσματα, δηλαδή σωματίδια μίας άλλης φάσης με

διαφορετικές μαγνητικές ιδιότητες από το κύριο υλικό, προκαλούν μεταβολές στις

ιδιότητες της υστέρησης εισάγοντας περισσότερα σημεία εμπέδησης για την κίνηση των

μαγνητικών τοιχωμάτων. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα το αυξημένο συνεκτικό πεδίο Hc και

τις αυξημένες απώλειες. Το ίδιο ισχύει και για τις διαταραχές, αύξηση των οποίων

πραγματοποιείται με την πλαστική παραμόρφωση σε εφελκυσμό ή θλίψη. Έτσι αν για

παράδειγμα προστεθεί άνθρακας με τη μορφή καρβιδίων στον σίδηρο, αυξάνει το Ηc.

Το ίδιο αποτέλεσμα έχει και η ψυχρή μηχανουργική κατεργασία του υλικού.

2.4.9 Μαγνητική τάξη σε διάφορα υλικά

Η διάταξη των μαγνητικών διπόλων μέσα στις μαγνητικές περιοχές σε διάφορα

μέταλλα σπάνιων γαιών φαίνεται στο Σχήμα 2.12. Για τα κυβικά μέταλλα όπως ο

σίδηρος και το νικέλιο οι μαγνητικές ροπές ευθυγραμμίζονται κατά προτίμηση στις

διευθύνσεις (100) και (111) [25-26]. Οι καμπύλες μαγνήτισης στους διάφορους

κρυσταλλικούς άξονες στο νικέλιο φαίνονται στο Σχήμα 2.13 και για τον σίδηρο στην

εικ. 2.14. Από αυτές είναι εμφανές ότι η αρχική επιδεκτικότητα χαμηλού πεδίου του

σιδήρου είναι υψηλότερη στη διεύθυνση (100) και στο νικέλιο στην (111). Αντίστροφα

είναι πιο δύσκολο να μαγνητιστεί ο σίδηρος στην διεύθυνση (111) και το νικέλιο στην

(100). Το κοβάλτιο έχει εξαγωνικό κρυσταλλικό πλέγμα. Στην περίπτωση αυτή οι ροπές

είναι ευθυγραμμισμένες κατά μήκος του κύριου άξονα (0001) [27], ενώ ο άξονας (1010)

στο επίπεδο της βάσης είναι πολύ δύσκολος για την μαγνήτιση. Οι καμπύλες

μαγνήτισης φαίνονται στο Σχήμα 2.15.

Σχήμα 2.12: Διάταξη μαγνητικών διπόλων μέσα στις μαγνητικές περιοχές διαφόρων σπάνιων γαιών υπό την επίδραση μηδενικού μαγνητικού πεδίου.

Σχήμα 2.13: Καμπύλες μαγνήτισης για το νικέλιο στους τρείς άξονες <100>, <110> και <111>.

Σχήμα 2.14: Καμπύλες μαγνήτισης για τον σίδηρο στους άξονες <100>, <110> και <111>.

Σχήμα 2.15: Καμπύλες μαγνήτισης στον άξονα <0001> και στον άξονα του επιπέδου <1010>.

Σχήμα 2.16: Απλός αντισιδηρομαγνητισμός στο μαγγάνιο.

Στην περίπτωση του χρωμίου και του μαγγανίου [28-29] παρατηρείται

αντιπαράλληλος μαγνητισμός ή αντισιδηρομαγνητισμός, όπως φαίνεται στο Σχήμα

2.16. Ο αντισιδηρομαγνητισμός παρατηρείται πιο συχνά από τον σιδηρομαγνητισμό,

αλλά μέχρι τώρα οι εφαρμογές των υλικών αυτού του τύπου είναι πολύ πιο λίγες.

Τα οξείδια των μετάλλων μετάπτωσης που είναι γνωστά και ως φερρίτες

παρουσιάζουν σιδηριμαγνητισμό. Αυτά εμπίπτουν σε τρεις κατηγορίες: τους κυβικούς

φερρίτες, γνωστούς και ως σπινέλια όπως το NiO.Fe2O3, που είναι μαλακά μαγνητικά

υλικά με εξαίρεση τον φερρίτη του κοβαλτίου που είναι σκληρό μαγνητικό υλικό. Οι

εξαγωνικοί φερρίτες όπως το BaO.6(Fe2O3) είναι σκληρά μαγνητικά υλικά που

χρησιμοποιούνται για την κατασκευή κεραμικών μόνιμων μαγνητών.

2.5 Θεωρίες μαγνητικής συμπεριφοράς

Οι διαμαγνήτες είναι υλικά χωρίς μόνιμη μαγνητική ροπή ανά άτομο. Η

διαμαγνητική επιδεκτικότητα οφείλεται στην προσανατολισμό των τροχιακών των

ηλεκτρονίων υπό την επίδραση μαγνητικού πεδίου. Συνεπώς όλα τα υλικά

παρουσιάζουν μία διαμαγνητική επιδεκτικότητα, χωρίς να είναι διαμαγνήτες. Μερικά

υλικά έχουν μόνιμη μαγνητική ροπή ανά άτομο, εξαιτίας του spin ενός μονήρους

ηλεκτρονίου σε κάθε άτομό τους, με αποτέλεσμα να παρουσιάζουν παραμαγνητικές ή

σιδηρομαγνητικές ιδιότητες. Και στις δύο αυτές περιπτώσεις η επιδεκτικότητα είναι

πολύ μεγαλύτερη απ’ ότι στα διαμαγνητικά υλικά.

2.5.1 Θεωρία Langevin στον διαμαγνητισμό

Η επιδεκτικότητα στα μαγνητικά υλικά εξηγήθηκε πρώτα από τον Langevin [9].

Στην εργασία του αυτή εφάρμοσε θεωρίες που είχαν διατυπώσει ο Ampere, ο Weber και

ο Lenz, σχετικά με την επίδραση του μαγνητικού πεδίου ρευματοφόρου αγωγού στην

κίνηση των ηλεκτρονίων μέσα στο άτομο. Το ηλεκτρόνιο που κινείται γύρω από τον

πυρήνα μπορεί να παρομοιασθεί με ρεύμα που διαπερνά μία σπείρα αγωγού και γι’

αυτό έχει μία τροχιακή μαγνητική ροπή m0, αφού όπως ήδη γνωρίζουμε το ηλεκτρικό

φορτίο που κινείται σε σπείρα παράγει μαγνητική ροπή.

Στην περίπτωση μίας ρευματοφόρου σπείρας η μαγνητική ροπή είναι:

iAm =0

όπου i είναι το ρεύμα και Α είναι η επιφάνεια της σπείρας. Για ένα ηλεκτρόνιο σε

τροχιακή κίνηση ισχύει:

τeAm =0

όπου e είναι το φορτίο του ηλεκτρονίου και τ είναι η τροχιακή περίοδος. Αν η τροχιακή

επιφάνεια είναι κυκλική Α= πr2 και τ= 2πr/v, όπου v είναι η στιγμιαία γραμμική

ταχύτητα του ηλεκτρονίου και r η ακτίνα της τροχιάς του, τότε:

20

evrm =

Αυτή είναι η μαγνητική ροπή που προέρχεται από την τροχιακή κίνηση του

ηλεκτρονίου. Με την απουσία μαγνητικού πεδίου τα τροχιακά δίπολα των ζευγαριών

των ηλεκτρονίων μέσα στο άτομο αλληλοαναιρούνται. Ένα εφαρμοζόμενο μαγνητικό

πεδίο Η θα επιταχύνει ή θα επιβραδύνει την τροχιακή κίνηση του ηλεκτρονίου και

κατά συνέπεια θα συνεισφέρει στη μεταβολή της τροχιακής μαγνητικής ροπής. Αυτή, η

μεταβολή της τροχιακής ταχύτητας μπορεί να προσδιορισθεί. Η αλλαγή της μαγνητικής

ροής που διαπερνά τη σπείρα που διαγράφει το ηλεκτρόνιο γύρω από τον πυρήνα,

δημιουργεί μία ΗΕΔ Ve στη σπείρα αυτή. Με αυτόν τον τρόπο παράγεται ένα ηλεκτρικό

πεδίο Ε, που είναι:

dt

1 φdLL

VE e

−==

όπου L είναι το μήκος της τροχιάς (L= 2πr). Συνεπώς:

( )dtdB

LA

dtBAd

LE

−=

−=

1

Η επιτάχυνση του ηλεκτρονίου είναι

emeE

dtdva ==

όπου F= eE είναι η δύναμη που ασκείται στο ηλεκτρόνιο εξαιτίας του πεδίου Ε και me

είναι η μάζα του ηλεκτρονίου.

dtdH

dtdB

mer

dtdB

LmeA

meE

dtdv

eee

−=

−=

−==

e

0

2mer

2µ

Ολοκληρώνοντας από ένα μηδενικό πεδίο σε ένα πεδίο έντασης Η ισχύει:

Hvv

dHdvHv

v

−=−

−= ∫∫

e

0

0e

02

1

2mer

12

2mer

µ

µ

Η μεταβολή των μαγνητικών ροπών που προκύπτει εξαιτίας της μεταβολής της

ταχύτητας που μόλις υπολογίσαμε είναι:

( )

emHr

vver

4e

m

122

m

220

0

0

µ−=∆

−

=∆

Το αποτέλεσμα αυτό ισχύει μόνο στην περίπτωση όπου το μαγνητικό πεδίο είναι

κάθετο στο επίπεδο της κίνησης του ηλεκτρονίου. Στην περίπτωση που το πεδίο είναι

στο ίδιο επίπεδο με την κίνηση του ηλεκτρονίου, τότε η μεταβολή Δm0= 0. Στην γενική

περίπτωση μπορούμε να θεωρήσουμε την προβολή R της τροχιακής ακτίνας r σε ένα

επίπεδο κάθετο προς το πεδίο, δηλαδή R= sinθ με θ=0 να αντιστοιχεί σε ένα πεδίο

πάνω στο επίπεδο της τροχιάς και θ= π/2 σε ένα επίπεδο κάθετο προς αυτό της

τροχιάς.

emHr

6e

m22

00

µ−=∆

όπου τώρα η ακτίνα r μπορεί να είναι προσανατολισμένη οπουδήποτε. Αν θεωρήσουμε

Z εξωτερικά ηλεκτρόνια στο άτομο, τότε η μεταβολή στην μαγνητική ροπή ανά άτομο

είναι

emHr

6Ze

m22

00

µ−=∆

και φυσικά η μεταβολή της συνολικής μαγνήτισης είναι

Ν−=∆Μ

emHr

6Ze

Wρ 22

0

a

0 µ

όπου Ν0 είναι ο αριθμός Avogadro, ρ είναι η πυκνότητα και Wa η σχετική ατομική

μάζα. Ακόμα:

( )emrN

6Zeμ

WHM 22

0

a

0

−==

ρχ

Διαπιστώσαμε φορμαλιστικά ότι ένα διαμαγνητικό υλικό δεν έχει καθόλου ατομική

μαγνητική ροπή απουσία εξωτερικού πεδίου. Το πεδίο δρα με τέτοιον τρόπο ώστε οι

επαγώμενες μαγνητικές ροπές να αντιτίθενται στο αίτιο (πεδίο) που τις δημιουργεί.

2.5.2 Θεωρία Langevin στον παραμαγνητισμό

Στα υλικά με μονήρη ηλεκτρόνια, όπου κατά συνέπεια οι τροχιακές μαγνητικές

ροπές δεν ισορροπούν, υπάρχει μόνιμη μαγνητική διπολική ροπή ανά άτομο. Αν αυτή

η μόνιμη μαγνητική ροπή είναι m που είναι το διανυσματικό άθροισμα του spin ms

και του τροχιακού m0, τότε η ενέργεια των διπόλων σε ένα μαγνητικό πεδίο Η είναι

mH0µ−=E

Η θερμική ενέργεια (φωνονική ενέργεια) τείνει να αφήνει στην τύχη τον

προσανατολισμό των ροπών. Ο Langevin [9] θεώρησε ότι οι ροπές δεν αλληλεπιδρούν

μεταξύ τους, οπότε μπορούν να χρησιμοποιηθούν οι κλασσικοί στατιστικοί υπολογισμοί

του Boltzmann για να εκφραστεί η πιθανότητα κάθε ηλεκτρονίου να βρεθεί σε μία

ενεργειακή κατάσταση Ε. Αν η θερμική ενέργεια είναι kBT (kB η σταθερά Boltzmann)

p(E)=exp(-E/kBT) Στην περίπτωση ενός ισοτροπικού υλικού ο αριθμός των διπόλων που

βρίσκονται ανάμεσα στις γωνίες θ+dθ είναι dn. Ο dn είναι ανάλογος της επιφάνειας dA

θdθsinr2 2π=dA

θdθsinr2 2πCdn = όπου C είναι σταθερά που δίνει τον ολικό αριθμό των ροπών ανά μονάδα επιφανείας.

Ενσωματώνοντας την πιθανότητα της ενεργειακής κατάστασης, προκύπτει:

=

TkmH

CdnB

θπ

cosμθdθsinr2 02

Ολοκληρώνοντας την έκφραση αυτή σε ένα ημισφαίριο προκύπτει ο ολικός αριθμός των

ροπών ανά μονάδα όγκου V:

∫

=

π

0B

0

kmHμ

expsinC2 θθπ dT

N

∫

⋅

=π

θµ

θπ0

0expsin2 dTk

mHNC

B

Η μαγνήτιση δίνεται τότε από την έκφραση:

θ

θ

θ

dTk

dT

NM

mM

B

N

∫

∫

∫

⋅

⋅⋅

=

=

π

0

0

π

0B

0

0

mHcosθμexpsinθ

kmHcosθμ

expsinθθcosm

dncos

Για χ=cosθ, dx= -sinθdθ και ολοκληρώνοντας προκύπτει τελικά

=

TNmM

B

0

kmHμ

L

Με L(x) συνάρτηση με πεδίο τιμών –1<L(x)<1. Προσεγγιστικά στις περισσότερες

περιπτώσεις ισχύει:

Τ=

ΒkHN

M3

m 20µ

Η επιδεκτικότητα είναι λοιπόν:

TC

TkN

B

==

=

3m

HM

20µ

χ

Δηλαδή καταλήγουμε στον νόμο Curie. Αυτό σημαίνει ότι το μοντέλο Langevin οδηγεί

σε παραμαγνητική επιδεκτικότητα, που είναι αντιστρόφως ανάλογη της θερμοκρασίας.

2.5.4 Παραμαγνητισμός του Pauli των ελεύθερων ηλεκτρονίων

Η θεωρία του Langevin στον παραμαγνητισμό και το κβαντομηχανικό του

ανάλογο αναφέρονται στους εξασθενημένους παραμαγνήτες, όπως είναι τα ενυδατωμένα

άλατα των ιόντων μετάλλων μετάπτωσης. Ωστόσο είναι γνωστό ότι η παραμαγνητική

επιδεκτικότητα των περισσότερων μετάλλων είναι ανεξάρτητη της θερμοκρασίας,

γεγονός που βρίσκεται σε ανακολουθία με το κλασσικό μοντέλο του Langevin. Ο

παραμαγνητισμός των περισσότερων μετάλλων είναι αισθητά πιο αδύναμος από το

αναμενόμενο όπως προκύπτει από το κλασσικό μοντέλο.

Ο λόγος που η παραμαγνητική επιδεκτικότητα είναι τόσο μικρότερη, είναι ότι τα

ηλεκτρόνια δεν είναι ελεύθερα να περιστρέφονται και να προσανατολίζονται στη

διεύθυνση του πεδίου, όπως απαιτείται στο μοντέλο Langevin. Αυτό οφείλεται στο ότι οι

απαιτούμενες ενεργειακές στάθμες για τον προσανατολισμό των ηλεκτρονίων είναι ήδη

πιασμένες από άλλα ηλεκτρόνια. Έτσι μόνο τα ηλεκτρόνια με ενέργεια kBT μπορούν να αλλάξουν τον προσανατολισμό τους. Για τον λόγο αυτό αναπτύχθηκε ένα εναλλακτικό

μοντέλο παραμαγνητισμού από τον Pauli [29].

Σχήμα 2.17: Ο παραμαγνητισμός του Pauli για σχεδόν ελεύθερα ηλεκτρόνια σε ένα πεδίο Η. (α) Το πεδίο είναι μηδενικό έτσι ώστε τα spin προς τα πάνω και τα spin προς τα κάτω να έχουν την ίδια ενέργεια. (b) Το πεδίο προκαλεί ένα ενεργειακό χάσμα ανάμεσα στα spin που προσανατολίζονται παράλληλα και αντίθετα με το πεδίο.

Στο Σχήμα 2.17 φαίνεται η προσεγγιστική παραβολική κατανομή των κοντινών

ελεύθερων ηλεκτρονίων. Μόνο το κλάσμα Τ/Τf του ολικού αριθμού των ηλεκτρονίων

μπορεί να συνεισφέρει στη μαγνήτιση, όπου Τ είναι η θερμοδυναμική θερμοκρασία

και Τ f είναι η θερμοκρασία Fermi που προκύπτει από τη σχέση Ε f= kBTf, που

αντιστοιχεί σε ηλεκτρόνια που βρίσκονται κοντά στην ενέργεια Fermi. Οπότε:

fB

20

20

k3m

3m

THN

TT

TkHN

MfB

µµ=

=

Ο αριθμός των ηλεκτρονίων που είναι παράλληλα στο πεδίο είναι:

( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ +≈+=+ )mHD(ε21dεεDεf

21dεμΗεDεf

21

f0µN

και αυτών που είναι αντιπαράλληλα στο πεδίο:

( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ −≈−=− )mHD(ε21dεεDεf

21dεμΗεDεf

21

f0µN

Η μαγνήτιση είναι τότε:

( ) ( )fB

02

f02

- k23

εDNNmT

NmmM

Η=Η=−= +

µµ

Η εξίσωση αυτή δείχνει την μαγνήτιση από spin κατά τον Pauli. Η

επιδεκτικότητα είναι τότε:

fB

02

k2m3Τ

Ν=

µχ

η οποία είναι ανεξάρτητη της θερμοκρασίας αφού η Τf είναι σταθερά.

2.5.5 Θεωρία ζωνών στον σιδηρομαγνητισμό

Η θεωρία ζωνών στον σιδηρομαγνητισμό είναι επέκταση της θεωρίας ζωνών του

παραμαγνητισμού με την εισαγωγή ενός ζεύγους αλληλεπίδρασης ηλεκτρονίων. Η πιο

απλή περίπτωση είναι να θεωρήσουμε τα ηλεκτρόνια εντελώς ελεύθερα, δηλαδή να

έχουν παραβολική κατανομή ενεργειών. Αυτή η απλουστευμένη θεώρηση δεν αλλάζει

τα κύρια συμπεράσματα της θεωρίας. Η θεωρία των ζωνών προτάθηκε από τον Stoner

[30] και κατόπιν από τον Slater [31].

Αφού τα μαγνητικά δίπολα δημιουργούνται μόνο από μονήρη ηλεκτρόνια είναι

προφανές ότι μία εντελώς συμπληρωμένη ζώνη δεν μπορεί να συνεισφέρει μαγνητική

ροπή επειδή σε μία τέτοια ζώνη όλα τα spin των ηλεκτρονίων είναι ζεύγη δίνοντας L=0

και S=0. Σε ζώνες που είναι μερικώς συμπληρωμένες είναι πιθανό να δημιουργηθεί μία

ανισορροπία των spin η οποία συνεπάγεται τη δημιουργία διπολικής ροπής ανά άτομο.

Αυτό γίνεται γιατί η ενέργεια αλλάζει από την εκφυλισμένη κατάσταση των up και down

spins, όπως φαίνονται στο σχ. 2.18.

Σχήμα 2.18: (α) Σχηματικό διάγραμμα που δείχνει την κατανομή των ηλεκτρονίων με up spin και down spin, όπου υπάρχει επικάλυψη των ενεργειακών περιοχών τους. Αυτό έχει ως συνέπεια η συνολική μαγνητική ροπή να μην έχει ακέραιο αριθμό μαγνητωνών Bohr ανά άτομο. (b) Σχηματικό διάγραμμα με μεγάλο ενεργειακό χάσμα ανάμεσα στα up και down spin το οποίο οδηγεί σε συνολική μαγνήτιση ανά άτομο με ακέραιο αριθμό μαγνητώνων Bohr ανά άτομο.

Όσο περισσότερη είναι η ενέργεια ανταλλαγής τόσο μεγαλύτερο το ενεργειακό

χάσμα ανάμεσα στα δύο μισά όπως φαίνεται στο ίδιο σχήμα. Τα ηλεκτρόνια

συμπληρώνουν τη ζώνη καταλαμβάνοντας πρώτα τις θέσεις με τις λιγότερες ενεργειακές

απαιτήσεις. Αν η ζώνη είναι ενεργειακά χωρισμένη όπως στο 2.18α, τότε τα ηλεκτρόνια

ξεκινούν να καλύπτουν το μέρος της ζώνης που αντιστοιχεί σε down spin πριν

καλύψουν εξ’ ολοκλήρου το μέρος των spin up. Και οι δύο κατανομές οδηγούν σε μη

ακέραιο αριθμό μαγνητικών ροπών ανά άτομο λόγω της επιπρόσθετης ροπής των

ηλεκτρονικών τροχιακών. Με μεγαλύτερη ενέργεια ανταλλαγής, οδηγεί σε ενεργειακό

χάσμα τα δύο μέρη της ενεργειακής ζώνης, όπως φαίνεται στο 2.18b. Στην περίπτωση

αυτή τα spin up πρέπει να συμπληρωθούν όλα πριν τα ηλεκτρόνια αρχίσουν να

καταλαμβάνουν θέσεις των spin down. Κατ’ αυτόν τον τρόπο οδηγούμαστε σε έναν

ακέραιο αριθμό μαγνητικών ροπών ανά άτομο.

Ας θεωρήσουμε για παράδειγμα την κατάσταση του σχήματος 2.19, όπου 10

ηλεκτρονικές στάθμες βρίσκονται πολύ κοντά μεταξύ τους μέσα στην ηλεκτρονική ζώνη.

Αντιστρέφοντας μία από τις μαγνητικές ροπές μπορεί να δημιουργηθεί μία ανισορροπία

2 spin. Κάτι τέτοιο αυξάνει τη μαγνητική ροπή κατά 0.2 μΒ ανά άτομο.

Σχήμα 2.19: Διάγραμμα που δείχνει πως τα ηλεκτρόνια καταλαμβάνουν τις επιτρεπόμενες ενεργειακές καταστάσεις με spin up ή down. (α) Ίσος αριθμός σε up και down spin. (b) Άνισος αριθμός εξαιτίας της ενέργειας ανταλλαγής που οδηγεί σε μία καθαρή μαγνητική ροπή ανά άτομο.