ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 - Μεραληθέο Ιδηόηεηεο ησλ Μεηάιισλ

6.4 Έλα θπιηλδξηθό δνθίκην θξάκαηνο ηηηαλίνπ κε κέηξν ειαζηηθόηεηαο 107

GPa(15.5 x 106 psi) θαη αξρηθή δηάκεηξν 3.8mm(0.15in), πθίζηαηαη κόλν

ειαζηηθή παξακόξθωζε όηαλ εθαξκόδεηαη εθειθπζηηθό θνξηίν 2000N(450

Ibf). Εάλ ε κέγηζηε επηηξεπηή παξακόξθωζε είλαη 0,42 mm(0.0165 in.)

ππνινγίζηε ην κέγηζην κήθνο ηνπ δνθηκίνπ πξηλ από ηελ έλαξμε ηεο

παξακόξθωζεο.

Λύζη

Γεληθά γλσξίδνπκε πσο ην αξρηθό εκβαδόλ ηεο θαζέηνπ δηαηνκήο πξηλ

ηελ εθαξκνγή νπνηνπδήπνηε θνξηίνπ δίλεηαη από ηε ζρέζε:

Όπνπ d0 είλαη ε αξρηθή δηάκεηξνο

Ξέξνληαο πσο ε κεραληθή ηάζε δίλεηαη από ην ηύπν

F: εθειθπζηηθό θνξηίν

Καη ε κεραληθή παξακόξθσζε δίλεηαη από ην ηύπν

Γl: παξακόξθσζε

l0: αξρηθό κήθνο

θαη ηέινο πσο νη δύν απηέο ζρέζεηο ζπλδένληαη κεηαμύ ηνπο κε ην ηύπν

Δ: κέηξν ειαζηηθόηεηαο

Σπλδένληαο όιεο ηηο ζρέζεηο καδί έρνπκε:

( )

Άσκηση 6.5

Μια χαλφβδινη ράβδοσ l0= 100 mm και ακμήσ τεραγονικήσ διατομήσ 20

mm εφελκφεται με F = 89000 Ν και υφίςταται επιμήκυνςη 0.10 mm.

Θεωρώντασ ότι η παραμόρφωςη είναι πλήρωσ πλαςτική, υπολογίςτε το

μζτρο ελαςτικότητασ του χάλυβα.

Αφοφ η παραμόρφωςη είναι πλήρωσ ελαςτική ςημαίνει ότι ιςχφει ο

νόμοσ του Hooke : ς = Ε* ε 1.

Ιςχφουν,

ς= F/ Ao και ε= Δl/lo

Άρα, από 1. Βρίςκω ότι : Ε= ς/ε= (F/ Ao)/( Δl/lo)= (F* lo)/( Δl* Ao)=

(89000*100*10-3)/(0,10*10-3*400*10-6) =>

E= 222,5*109 Ν/m2= 222.5 GPa

6.11

Όπσο ζεκεηώζεθε ζηελ Δλόηεηα 3.14, νη θπζηθέο ηδηόηεηεο ησλ

κνλνθξπζηάιισλ θάπνησλ νπζηώλ παξνπζηάδνπλ αληζνηξνπία, δειαδή

εμαξηώληαη από ηελ θξπζηαιινγξαθηθή δηεύζπλζε. Τέηνηνπ είδνπο

ηδηόηεηα είλαη θαη ην κέηξν ειαζηηθόηεηαο. Γηα έλαλ θπβηθό

κνλνθξύζηαιιν, ην κέηξν ειαζηηθόηεηαο ζε κία ηπραία δηεύζπλζε [u v

w], Euvw , πεξηγξάθεηαη από ηε ζρέζε:

=

- 3(

)(α

2β

2+β

2γ

2+γ

2α

2) (1),

Όπνπ θαη είλαη ηα κέηξα ειαζηηθόηεηαο ζηηο δηεπζύλζεηο

[1 0 0] θαη [1 1 1] αληίζηνηρα.α,β θαη γ είλαη ηα ζπλεκίηνλα ησλ γσληώλ

κεηαμύ [u v w] θαη ησλ αληίζηνηρσλ [1 0 0], [0 1 0] θαη [0 0 1]

δηεπζύλζεσλ. Δπαιεζεύζηε όηη νη ηηκέο ηνπ Δ<1 1 0> γηα ην αινπκίλην, ηνλ

ραιθό θαη ηνλ ζίδεξν, ηνπ Πίλαθα 3.3, είλαη ζσζηέο.

Μέηρο Ελαζηικόηηηας (Gpa)

Μέηαλλο [1 0 0] [1 1 0] [ 1 1 1]

Αινπκίλην 63.7 72.6 76.1

Φαιθόο 66.7 130.3 191.7

Σίδεξνο 125.0 210.5 272.7

Βνιθξάκην 384.6 384.6 384.6

Πίλαθαο 3.3

Αληηθαζηζηώληαο ζηελ 1, πξνθύπηεη κία ζρέζε πνπ ηθαλνπνηεί ηε

δηεύζπλζε [1 1 0] :

=

- 3(

) [(

√

)

(√

)

(√

)

(√

)

]

=

- 0.75(

) (2)

Έζησ όηη ζα είλαη ε γσλία πνπ ζρεκαηίδεη ε

δηεύζπλζε [1 0 0] κε ηελ [1 1 0], ζβ ,ε [0 1 0] κε

ηελ [1 10] θαη ζγ, ε δηεύζπλζε [0 0 1] κε ηελ [1

1 0].

Παξαηεξνύκε όηη ζα=ζβ= 45ν θαη ζγ=90

ν

Δπνκέλσο,

cosζα=cosζβ=cos𝜋

4=√

θαη cosζγ=cos

𝜋

=0

Έηζη, γηα λα επαιεζεύζνπκε ηηο ηηκέο ηνπ Δ<1 1 0> γηα ην αινπκίλην, ηνλ

ραιθό θαη ηνλ ζίδεξν, αξθεί λα αληηθαηαζηήζνπκε ηηο ππόινηπεο από ηνλ

πίλαθα 3.3 ζηελ (2).

Γηα ην αινπκίλην:

=

- 0.75(

)=0.0137801

=

Gpa

Γηα ηνλ ραιθό:

=

- 0.75(

)=0.007660485

=

4 Gpa

Γηα ηνλ ζίδεξν:

=

- 0.75(

)=0.004750275

=

4 Gpa

Άςκηςη 6.14

Α)

( )

(

)

4

4

Β) Ζςτω η μεταβολή του ερωτήματοσ Α ότι είναι ςτο άξονα z.

Από τον λόγο Poisson

4

Όμωσ η είναι η μεταβολή τησ διαμζτρου ωσ προσ την αρχική

διάμετρο του δοκιμίου.

4

Επομζνωσ η διάμετροσ μειώνεται λόγω του εφελκυςμοφ.

ΑΣΚΗΣΗ 6.15

Μηα θπιηλδξηθε ξαβδνο Φαιπβα κε δηακεηξν 10mm(0,4in) πξνθεηηαη λα

παξακνξθσζεη ειαζηηθα κε ηελ εθαξκνγε δπλακεσο θαηα κεθνο ηνπ

κεγαινπ αμνλα ηεο ξαβδνπ.Φξεζηκνπνησληαο ηα δεδνκελα ηνπ Πηλαθα

6.1 πξνζδηνξηζηε ηε δπλακε πνπ ζα παξαγεη ειαζηηθεε κεησζε ηεο

δηακεηξνπ θαηα 3*10-3

mm (1,2*10-4

in)

ΛΥΣΗ:

εΦ=Γd/do=-3*10-3

mm/10mm=-3*10-4

Μεηα ππνινγηδσ ηελ παξακνξθσζε ζηε δηεπζπλζε z ρξεζηκνπνησληαο

ην ινγν POISON γηα Φαιπβα (0,30)

Γειαδε:

εz=-εx/v =-(-3*10 -4

)/0,30=10-3

Σηε ζπλερεηα πξεπεη λα ππνινγηζσ ηε εθαξκνδνκελε ηαζε αθνπ γλσξηδσ

κεηξν ειαζηηθνηεηαο απν ηνλ Πηλαθα 6.1

ζ =εz*Δ=207MPa

Τεινο κπνξσ λα βξσ ηελ εθαξκνδνκελε δύλακε!

F=ζ*ΑΟ =ζ(do/2)2 *π= 5175π Ν ή 16249,5Ν

Πρόβλημα 6.18

Θεσξείζηε έλα δνθίκην θπιηλδξηθνύ ζρήκαηνο θάπνηνπ ππνζεηηθνύ

κεηαιιηθνύ θξάκαηνο δηακέηξνπ 8.0 mm. Δθειθπζηηθή δύλακε 1000 Ν

παξάγεη ειαζηηθή κείσζε ηεο δηακέηξνπ θαηά 2.8 4 mm.

Υπνινγίζηε ην κέηξν ειαζηηθόηεηαο απηνύ ηνπ θξάκαηνο, εάλ δίλεηαη όηη

ν ιόγνο Poisson είλαη 0.30.

Ιζρύεη όηη

⁄

4

Τειηθά,

⁄

Άςκηςη 6.19 ςελίδα 197 από 5η ζκδοςη του βιβλίου ”ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ

ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ” του WILLIAM D. CALLISTER, JR.

Εκθώνηζη

Έλα θξάκα νξείραιθνπ είλαη γλσζηό όηη παξνπζηάδεη ανηοτή διαρροής

275 MPa (40000psi), ανηοτή ζε εθελκσζμό 380 MPa (55000 psi) θαη

μέηρο ελαζηικόηηηας 103 GPa (15.0*106 psi). Κπιηλδξηθό δνθίκην

απηνύ ηνπ θξάκαηνο, διαμέηροσ 12.7 mm (0.50 in.) θαη μήκοσς 250 mm

(10.0 in.) ππόθεηηαη ζε εθειθπζκό θαη επιμηκύνεηαι καηά 7.6 mm (0.30

in.). Με βάζε ηηο πξνεγνύκελεο πιεξνθνξίεο, απνθαλζείηε εάλ είλαη

δπλαηόλ λα ππνινγηζζεί ην μέγεθος ηοσ απαραίηηηοσ θορηίοσ, ώζηε λα

πξνθύςεη απηή ε κεηαβνιή ηνπ κήθνπο. Δάλ λαη, απνινγείζηε ην θνξηίν.

Δάλ όρη, εμεγήζηε γηαηί δελ είλαη δπλαηόλ.

Απάνηηζη

Αξρηθά, ππνινγίδσ ηελ παξακόξθσζε ζην ζεκείν δηαξξνήο από

ηελ ηάζε δηαξξνήο θαη ην κέηξν ειαζηηθόηεηαο.

εy

Έπεηηα, ππνινγίδσ ηελ παξακόξθσζε ζην ζεκείν δηαξξνήο από

ηελ παξακόξθσζε πνπ πθίζηαηαη ην δνθίκην.

Παξαηεξνύκε όηη ε εt > εy αξα ε παξακόξθσζε είλαη πιαζηηθή.

Σπλεπώο ν ππνινγηζκόο ηνπ θνξηίνπ δελ είλαη δπλαηόο, δηόηη δελ

ππάξρεη θάπνην δηάγξακκα ηάζεο παξακόξθσζεο αιιά νύηε θαη

θάπνηα καζεκαηηθή έθθξαζε πνπ λα καο επηηξέπεη ηνλ δεηνύκελν

ππνινγηζκό.

Σεκείσζε

Αλ ίζρπε ε παξαθάησ αληζόηεηα, εt < εy , ηόηε ε παξακόξθσζε ζα ήηαλ

ειαζηηθή θαη ν δεηνύκελνο ππνινγηζκόο ζα ήηαλ εθηθηόο, είηε κέζσ

δηαγξάκκαηνο είηε κέζσ καζεκαηηθώλ ζρέζεσλ.

Άζκηζη 6.21

Αξρηθά ππνινγίδεηαη ε αξρηθή δηαηνκή Αν γηα λα ρξεζηκνπνηεζεί ζηνλ

ππνινγηζκό ηεο κεραληθήο ηάζεο ζ.

Αν = π*(dν/2)2 =28.3 * 10

-6 m

2

Άξα ζ = F/Ao = 5000 N/(28.3 * 10-6

) m2 =177 MPa

Από ην ζρήκα 6.12 ηνπ βηβιίνπ κπνξεί λα ππνινγηζηεί ην κέηξν

ειαζηηθόηεηαο E θαζώο ηζνύηαη κε ηελ θιίζε ηνπ ειαζηηθνύ/γξακκηθνύ

ηκήκαηνο ηνπ δηαγξάκκαηνο.

Δ = (ζ1-ζ2)/(ε1-ε2) = (150 -0)/(0.0016 –0) = 94 GPa

Έρνπκε θπιηλδξηθό δνθίκην άξα ζεσξνύκε ην πιηθό ηζόηξνπν (ερ=εy) θαη

ζπλεπώο ην εz ζα ηζνύηαη κε Γl/lo ελώ ην ερ ζα είλαη ίζν κε Γd/do.

Όκσο γλσξίδνπκε όηη ζ = Δ* εz δειαδή

εz = ζ/Δ =177 MPa/94 GPa = 1.9 * 10-3

άξα Γl = εz* lo = 1.9 * 10-3

* 50 = 0.10 mm

Δl= 0.10 mm

Ο ιόγνο Poisson λ = - ερ/ εz είλαη γλσζηόο ζπλεπώο ην Γd κπνξεί λα

γξαθηεί σο εμήο:

Γd = ερ * do = - λ* εz* do = -3.42* 10-3

mm

Δd = -3.42* 10-3

mm

Άζκηζη 6.24, ζελιδα 198

Γεδνκέλα άζθεζεο

d=10mm

l0=380mm

F=24500N

Γl < Γlmax = 0.9mm

Λύζε:

εmax=Γlmax/l0=0.9mm/380mm=0.237 * 10-2

m

Ao=(d/2)2*π

ζ=F/Α0=4F/d2*π=24500*4/10

2*π=311.94 MPa

Emin=ζ/εmax=311.94/0.237=131.6 GPa

Απάληεζε:

Βάζε ηνπ κέηξνπ ειαζηηθόηεηαο θαη ηεο ηάζεο πνπ βξήθακε

ζπκπεξαίλνπκε, κε ηελ βνήζεηα ηνπ πίλαθα, όηη αθνύ ε ηάζε δηαξξνήο ζy

πξέπεη λα είλαη κεγαιύηεξε από ηελ ηάζε ζ ( γηα λα έρνπκε κόλν

ειαζηηθή παξακόξθσζε), θαη ην κέηξν ειαζηηθόηεηαο πξέπεη λα είλαη

κεγαιύηεξν από ηελ ειάρηζηε ηηκή Emin (γηα λα κελ έρνπκε επηκήθπλζε

κεγαιύηεξε από ην Δlmax) νη κεηξήζεηο καο ζπκπίπηνπλ κε απηέο ζηνλ

τάλσβα, ην νπνίν έρεη

Ε=207GPa > 131.6GPa = Emin θαη

ζy=450ΜPa > ζ=311.94ΜPa.

Άζκηζη 6.25

Η εηθόλα 6.21 δείρλεη ηε ζπκπεξηθνξά ηάζεο –παξακόξθσζεο γηα θξάκα

ράιπβα.

Α) Πνην είλαη ην κέηξν ειαζηθόηεηαο;

Β) Πνην είλαη ην όξην αλαινγίαο;

Γ) Πνηα είλαη ε αληνρή δηαξξνήο πνπ αληηζηνηρείζε κεηαηόπηζε ηεο

παξακόξθσζεο θαηά 0,002;

Γ) Πνηα είλαη ε αληνρή ζε εθειθπζκό;

Α) Τν κέηξν ειαζηηθόηεηαο βξίζθεηαη κέζσ ηεο θιίζεο από ην αξρηθά

γξακκηθό ηκήκα ηεο θακπύιεο ηάζεο-παξακόξθσζεο. Από ην έλζεην ηνπ

ζήκαηνο 6.21 έρνπκε όηη:

Β) Τν όξην αλαινγίαο είλαη ην επίπεδν ηεο ηάζεο όπνπ ε γξακκηθόηεηα

ηεο θακπύιεο ηάζεο-παξακόξθσζεο ζηακαηά. Όζν ην πιηθό

παξακνξθώλεηαη πέξαλ απηνύ ηνπ ζεκείνπ ε ηάζε δελ είλαη πιένλ

αλάινγε ηεο παξακόξθσζεο (παύεη λα ηζρύεη ε εμίζσζε ηνπ Hooke) θαη

ε κνληκόηεηα ηεο παξακόξθσζεο εκαθλίδεηαη, ή αιιηώο πιαζηηθή

παξακόξθσζε.

Γ) Σε θάπνηεο πεξηπηώζεηο ε ζέζε ηνπ νξίνπ αλαινγίαο δελ κπνξεί λα

πξνζδηνξηζηεί αθξηβώο. Απηό έρεη σο απνηέιεζκα , ηελ εδξαίσζε κηαο

ζύκβαζεο θαηά ηελ νπνία κηα επζεία γξακκή δεκηνπξγείηαη παξάιιεια

ζηελ ειαζηηθή πεξηνρή ηεο θακπύιεο ηάζεο-παξακόξθσζεο, ζε θάπνηα

ζπγθεθξηκέλε κεηαηόπηζε, ζπλήζσο 0,002 (0.2%), πνπ απνηειεί θαη ην

πνζνζηό κόληκεο παξακόξθσζεο. Η ηάζε πνπ αλαθέξεηαη ζην ζεκείν

ηνκήο ηεο επζείαο κε ηελ θακπύιε ηάζεο- παξακόξθσζεο , θαζώο

κεηαβαίλνπκε ζηελ πιαζηηθή πεξηνρή, νξίδεηαη σο αληνρή δηαξξνήο (ζy)

[ MPa ή psi]. Σηελ πεξίπησζή καο ε επζεία κεηαηόπηζεο παξακόξθσζεο

ηέκλεη ηελ θακπύιε ηάζεο-παξακόξθσζεο πεξίπνπ ζηα : ζy = 1600MPa

Γ) Έπεηηα ηεο δηαξξνήο ε ηάζε ,απαξαίηεηα ζηα κέηαιια, ζπλερίδεηαη

κέζσ ηεο πιαζηηθήο παξακόξθσζεο θαη απμάλεηαη ζε έλα κέγηζην

ζεκείν (M) θαη έπεηηα κεηώλεηαη ζην ζεκείν ζξαύζεο (F).

Η αληνρή ζε εθειθπζκό (TS) [Mpa ή psi] είλαη ε ηάζε ζην κέγηζην ηεο

θακπύιεο

ηάζεο-παξακόξθσζεο. Αλαθέξεηαη ζηε κέγηζηε ηάζε πνπ κπνξεί λα

εθαξκνζηεί ζε κηα επηθάλεηα. Δάλ απηή ε ηάζε εθαξκόδεηαη θαη

δηαηεξείηαη, ην απνηέιεζκα είλαη ε ζξαύζε. Σηελ πεξίπησζή καο, ε

αληνρή ζε εθειθπζκό είλαη πεξίπνπ :

TS= 1950MPa=283x103psi

6.27

F=44500N(10000lbf)

d=10mm(0.40in)

a) ζ=

=

= 44

567MPa

Από ην δηάγξακκα 6.21 βιέπνπκε όηη ε ηάζε δηαξξνήο είλαη

πεξίπνπ ζην 540MPa επνκέλσο ζα έρσ θαη ειαζηηθή θαη πιαζηηθή

παξακόξθσζε αθνύ 567>540

b)l0=500mm(20in)

Από ην δηάγξακκα έρσ όηη γηα ηάζε 567MPa έρσ ε 0,012

Άξα Γl0=εl0 = 0.012×500=6mm

6.28 (ζ.198): Φαιύβδηλε ξάβδνο πνπ παξνπζηάδεη ηελ ζπκπεξηθνξά

ηάζεο – παξακόξθσζεο ηνπ Σρήκαηνο 6.21 (ζ. 195) ππόθεηηαη ζε

εθειθπζηηθό θνξηίν. Τν δνθίκην έρεη κήθνο 300mm (12 in.) θαη είλαη

ηεηξαγσληθήο δηαηνκήο αθκήο 4.5mm (0.175 in.).

α) Υπνινγίζηε ην κέγεζνο ηνπ απαηηνύκελνπ θνξηίνπ ώζηε λα πξνθύςεη

επηκήθπλζε 0.46mm (0.018in.).

β) Πνηά ζα είλαη ε παξακόξθσζε κεηά ηελ αθαίξεζε ηνπ θνξηίνπ;

Λύζε:

α) Αν = α2 = 20.25 mm

2 , όπνπ α ε αθκή ηεο δηαηνκήο Αν.

ε =

=

4

= 1.53 * 10

-3 = 0.00153 ( <0.005 → ειαζηηθή

παξακόξθσζε )

Αληηζηνηρώληαο απηή ηελ ηηκή ηεο παξακόξθσζεο κε ηελ ηηκή ηεο

ηάζεο ζην δηάγξακκα, βξίζθνπκε όηη: ζ = 50 * 103 psi = 50 * 10

3 * 6894

Pa = 344.7 * 106 Pa

ζ =

=> F = ζΑν = 344.7 * 10

6 Pa * 20.25 mm

2 = 344.7 * 10

6

*

20.25 * 10-6

m2 = 6980 N

β) Αθνύ δέρηεθε ειαζηηθή παξακόξθσζε, ε ξάβδνο, κεηα ηελ αθαίξεζε

ηνπ θνξηίνπ, ζα επαλέιζεη ζην αξρηθό ηεο κήθνο.

6.29 Κπιηλδξηθό δνθίκην αινπκηλίνπ κε δηάκεηξν 0.505 in.(12.8mm) θαη

ελεξγό κήθνο 2000in.(50.800mm) πθίζηαηαη εθειθπζηηθή ηάλπζε.

Φξεζηκνπνηείζηε ηηο θαηαρωξήζεηο θνξηίνπ-επηκήθπλζεο ηνπ παξαθάηω

πίλαθα, γηα λα απαληήζεηε ζηα εξωηήκαηα (α) έωο (δ).

a) Απνδώζηε ζε γξαθηθή παξάζηαζε ηα δεδνκέλα κεραληθήο ηάζεο

ζπλαξηήζεη ηεο κεραληθήο παξακόξθωζεο.

b) Υπνινγίζηε ην κέηξν ειαζηηθόηεηαο.

c) Πξνζδηνξίζηε ηελ αληνρή δηαξξνήο ζην επίπεδν παξακόξθωζεο

0.002.

d) Πξνζδηνξίζηε ηελ αληνρή ζε εθειθπζκό απηνύ ηνπ θξάκαηνο.

e) Πνηα είλαη ε θαηά πξνζέγγηζε νιθηκόηεηα ηνπ πιηθνύ, ζε πνζνζηό

επί ηνηο εθαηό επηκήθπλζεο.

f) Υπνινγίζηε ην κέηξν επαλάηαμεο.

Λύζη

a)

Ο άμνλαο y ζπκβνιίδεη ηε κεραληθή ηάζε θαη ν άμνλαο x ηε κεραληθή

παξακόξθσζε.

b) Τν κέηξν ειαζηηθόηεηαο δίλεηαη από ηελ θιίζε ηεο θακπύιεο:

c) Όζνλ αθνξά ηελ αληνρή δηαξξνήο ζην επίπεδν παξακόξθωζεο

0,002, θέξνπκε ηελ δηαθνκκέλε γξακκή θαη ηέκλεη ηε θακπύιε

πεξίπνπ ζηα 285 MPa(41.000 psi).

d) Από ην πξώην δηάγξακκα δηαθξίλνπκε ην κέγηζην ηεο θακπύιεο πνπ

είλαη πεξίπνπ 370 MPa(53.500 psi. Η ηηκή απηή αληηζηνηρεί ζηε

κέγηζηε ηάζε πνπ κπνξεί λα αληέμεη κηα θαηαζθεπή ζε εθειθπζκό.

e) Η νιθηκόηεηα, ζε πνζνζηό επηκήθπλζεο, είλαη κόλν ε πιαζηηθή

παξακόξθωζε θαηά ηελ ζξαύζε, πνιιαπιαζηαδόκελν κε 100

Η ζπλνιηθή κεραληθή παξακόξθωζε θαηά ηε ζξαύζε είλαη

0.165,αθαηξώληαο ην ειαζηηθό ζηέιερνο (ην νπνίν γηα ηα

πεξηζζόηεξα κεηαιιηθά πιηθά είλαη πεξίπνπ 0.005) καο κέλεη έλα

πιαζηηθό ζηέιερνο ηνπ 0,160. Έηζη, ε νιθηκόηεηα είλαη πεξίπνπ

16%ΕL

f) Φξεζηκνπνηώληαο ην ηύπν θαη ηα δεδνκέλα ηωλ πξνεγνύκελωλ

εξωηήζεωλ ην κέηξν επαλάηαμεο(είναι η ικανόηηηα ενός σλικού να

απορροθά ενέργεια όηαν παραμορθώνεηαι ελαζηικά και ζηη

ζσνέτεια καηά ηην αποθόρηιζη να αποδίδει ασηή ηην ενέργεια)

ζα είλαη:

Άσκηση 6.30

Δοκίμιο χυτοςιδήρου με ορθογώνια κάθετη διατομή, διαςτάςεων 4.8

mm * 15.9 mm παραμορφώνεται ςε εφελκυςμό. Χρηςιμοποιώντασ τα

δεδομζνα φορτίου-επιμήκυνςησ του πίνακα που ακολουθεί ,

Α) αποδώςτε ςε γραφική παράςταςη τα δεδομζνα μηχανικήσ τάςησ

ςυναρτήςει τησ μηχανικήσ παραμόρφωςησ

Ao= 15.9*4,8 mm2 = 76.32 mm2= 76.32 *10-6 m2

Χρηςιμοποιώντασ τουσ τφπουσ ς= F/ Ao και ε= Δl/lo και τα δεδομζνα του

πίνακα βρίςκω τιμζσ τισ οποίεσ τισ χρηςιμοποιώ για τον ςχεδιαςμό του

διαγράμματοσ.

Β) Υπολογίςτε το μζτρο ελαςτικότητασ

Από την κλίςη τησ καμπφλησ, θζτοντασ ς1=0 ,ε1 =0 και για ς2 ,ε2 παίρνω

τισ πιο μεγάλεσ τιμζσ, που βρίςκονται ςτην ευθφγραμμη περιοχή του

διαγράμματοσ, γιατί όςο πιο μεγάλη τόςο πιο μικρή είναι η απόκλιςη.

Ζτςι βρίςκω:

Ε = Δς\Δε = (ς2 – ς1)/(ε2 – ε1) = ς2/ ε2 = 169.3 / 1*10-3 = 169300*106 Ν/m2

= 169300 MPa

Γ) Προςδιορίςτε την αντοχή διαρροήσ ςτο επίπεδο παραμόρφωςησ

0.002

Για να βρω την αντοχή διαρροήσ ξανά κάνω το διάγραμμα με τα πρώτα

δζκα νοφμερα και τραβάω μια γραμμή από το ε=0.002 παράλληλη ςτο

γραμμικό τμήμα του διαγράμματοσ, μζχρι να τζμνει την γραφική

παράςταςη.

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

0 0.05 0.1 0.15 0.2

τάς

η 1

0^6

N/m

^2

παραμόρφωςη

Series1

Άρα, ςy =279 *106 N/m2= 0.279 GPa

Δ) Προςδιορίςτε την αντοχή ςε εφελκυςμό αυτοφ του κράματοσ.

Η αντοχή ςε εφελκυςμό(ΤS) είναι η τάςη ςτο μζγιςτο τησ καμπφλησ

τάςησ παραμόρφωςησ.

Άρα, από το διάγραμμα βρίςκω ότι ΤS = 409.9 *106 N/m2=409.9 ΜPa=

0.4099GPa

Ε) Υπολογίςτε το μζτρο επανάταξησ

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012

τάς

η 1

0^ 6

N/m

^2

παραμόρφωςη

Series1

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

0 0.05 0.1 0.15 0.2

τάς

η 1

0^6

N/m

^2

παραμόρφωςη

Series1

Ur = ςy2/2*E= 2792/2*(169300) = 229 x 103 J/m3

Z) Ποια είναι η κατά προςζγγιςη ολκιμότητα του υλικοφ

% ΕL =( lf – l0 / l0)* 100% = ((88.725-75.000)/ 75.000)*100% = 18.3%

Όμωσ πρζπει να αφαιρζςουμε και την τελική πλαςτική παραμόρφωςη,

την οποία μποροφμε να την βροφμε από τουσ υπολογιςμοφσ που

ζχουμε κάνει ςτο πρώτο ερώτημα : εf = 0.183

‘Αρα, % ΕL- εf = 18.3- 0.183= 18.117 %

Άζκηζη 6.32

Υπνινγίζηε ην κέηξν επαλάηαμεο ησλ πιηθώλ πνπ παξνπζηάδνπλ ηε

ζπκπεξηθνξά ηάζεο-παξακόξθσζεο, πνπ απεηθνλίδνληαη ζηα ζρήκαηα

6.12 θαη 6.21.

Λύζε

Δπαλάηαμε : Δίλαη ε ηθαλόηεηα ελόο πιηθνύ λα απνξξνθά ελέξγεηα όηαλ

παξακνξθώλεηαη ειαζηηθά (κε κόληκε παξακόξθσζε) θαη ζηε ζπλέρεηα

θαηά ηελ απνθόξηηζε λα απνδίδεη απηήλ ηελ ελέξγεηα.

Μέηξν επαλάηαμεο (Ur): Αλαθέξεηαη ζηελ ελέξγεηα παξακόξθσζεο, αλά

κνλάδα όγθνπ, πνπ απαηηείηαη γηα λα παξακνξθσζεί έλα πιηθό από ηελ

αθόξηηζηε θαηάζηαζε σο ην ζεκείν δηαξξνήο. Γειαδή, είλαη ην πνζό ηεο

ελέξγεηαο πνπ απνξξνθάηαη αλά κνλάδα όγθνπ (m3) από ην πιηθό.

Ν.Hooke : 𝝈 = 𝜠 ∙ 𝜺 , (1)

ζ : ηάζε εθειθπζκνύ

Δ : κέηξν ειαζηηθόηεηαο / κέηξν Young

ε : παξακόξθσζε

Υπνινγηζηηθά, ην κέηξν επαλάηαμεο ελόο δνθηκίνπ, πνπ ππόθεηηαη ζε

δνθηκή κνλναμνληθνύ εθειθπζκνύ, είλαη ην εκβαδόλ επηθαλείαο θάησ

από ηελ θακπύιε ηάζεο-παξακόξθσζεο, κέρξη ην ζεκείν δηαξξνήο.

Σπλεπώο, όπσο θαίλεηαη ζην ζρήκα 6.15, έρνπκε όηη:

Γηα ηνλ νξείραιθν (ζρήκα 6.12) :

Αξρηθά, ππνινγίδεηαη ην κέηξν ειαζηηθόηεηαο (Δ), ην νπνίν βξίζθεηαη

κέζσ ηεο

θιίζεο ηνπ αξρηθά γξακκηθνύ ηκήκαηνο ηεο θακπύιεο ηάζεο-

παξακόξθσζεο.

Από ην έλζεην ηνπ ζρήκαηνο 6.12 έρνπκε:

Γηα ην καιαθό ράιπβα (ζρήκα 6.21) :

Από ην έλζεην ηνπ ζρήκαηνο 6.21 έρνπκε:

Σπλεπώο : 𝑼𝒓 𝝄𝝆𝜺𝜾𝝌𝜶𝝀𝜿𝝄𝝊 < 𝑼𝒓 𝝌ά𝝀𝝊𝜷𝜶 , άξα ν νξείραιθνο

ρξεάδεηαη ιηγόηεξε ελέξγεηα

παξακόξθσζεο αλά κνλάδα όγθνπ ώζηε λα παξακνξθσζεί, ζε ζρέζε κε

ην καιαθό

ράιπβα. Απνξξνθά δειαδή κηθξόηεξν πνζνζηό ελέξγεηαο θαηά ηελ

ειαζηηθή ηνπ

παξακόξθσζε.

Γηα ηνλ έιεγρν ησλ απνηειεζκάησλ , παξαηείζεηαη ν παξαθάησ πίλαθαο

ζεσξεηηθώλ ηηκώλ κέηξνπ ειαζηηθόηεηαο γηα δηάθνξα πιηθά:

6.39 Γνθηκή εθειθπζκνύ δηεμάγεηαη ζε κεηαιιηθό δνθίκην θαη βξίζθεηαη

όηη πξαγκαηηθή πιαζηηθή παξακόξθσζε 0.20 παξάγεηαη κε ηελ

εθαξκνγή πξαγκαηηθήο ηάζεο 575ΜPa (83500psi). Γηα ην ίδην κέηαιιν ε

ηηκή ηνπ Κ ζηελ Δμίζσζε 6.19 είλαη 860ΜPa (125000psi). Υπνινγίζηε

ηελ πξαγκαηηθή παξακόξθσζε πνπ πξνθύπηεη από ηελ εθαξκνγή

πξαγκαηηθήο ηάζεο 600ΜPa (87000psi).

Λύζη

Γηα νξηζκέλα κέηαιια θαη θξάκαηα ζηελ πεξηνρή ηεο θακπύιεο

πξαγκαηηθήο ηάζεο-παξακόξθσζεο από ην ζεκείν έλαξμεο ηεο

πιαζηηθήο παξακόξθσζεο σο ην ζεκείν αξρήο δεκηνπξγίαο ιαηκνύ

ηζρύεη θαηά πξνζέγγηζε

Τα Κ, n είλαη ζηαζεξέο νη νπνίεο κεηαβάιινληαη από θξάκα ζε θξάκα

Η παξάκεηξνο n θαιείηαη όξνο ελδνηξάρπλζεο θαη παίξλεη ηηκέο

κηθξόηεξεο ηεο κνλάδαο.

Γηα πξαγκαηηθή ηάζε 575MPa

Γηα πξαγκαηηθή ηάζε 600MPa

6.40 Σην ίδην θξάκα κεηάιινπ (Πξόβιεκα 6.39), εθαξκνγή πξαγκαηηθήο

ηάζεο 415ΜPa (60175psi) παξάγεη πξαγκαηηθή πιαζηηθή παξακόξθσζε

0.475. Πόζν ζα επηκεθπλζεί έλα δνθίκην απηνύ ηνπ πιηθνύ όηαλ

πξαγκαηηθή ηάζε 325ΜPa (46125psi) εθαξκόδεηαη θαη ην αξρηθό κήθνο

ηνπ δνθηκίνπ είλαη 300mm(11.8 in); Υπνζέζηε ηελ ηηκή 0.25 γηα ηνλ

εθζέηε ελδνηξάρπλζεο n.

Λύζη

Γηα πξαγκαηηθή ηάζε 415MPa

Γηα πξαγκαηηθή ηάζε 325MPa

6.41

Οη παξαθάησ ηηκέο πξαγκαηηθήο ηάζεο παξάγνπλ ηηο αληίζηνηρεο ηηκέο

πξαγκαηηθήο πιαζηηθήο παξακόξθσζεο γηα έλα θξάκα νξεηράιθνπ:

Πραγμαηική ηάζη (psi) Πραγμαηική παραμόρθωζη

50000 0.10

60000 0.20

Πνηα είλαη ε απαξαίηεηε πξαγκαηηθή ηάζε γηα λα πξνθύςεη πιαζηηθή

παξακόξθσζε 0.25;

Τα κνλαδηθά δεδνκέλα πνπ έρνπκε είλαη νη ηηκέο πξαγκαηηθήο ηάζεο

θαη παξακόξθσζεο ηνπ νξεηράιθνπ. Γηα νξηζκέλα κέηαιια θαη θξάκαηα

ζηελ πεξηνρή ηεο θακπύιεο πξαγκαηηθήο ηάζεο-παξακόξθσζεο από ην

ζεκείν έλαξμεο ηεο πιαζηηθήο παξακόξθσζεο σο ην ζεκείν αξρήο

δεκηνπξγίαο ιαηκνύ, ηζρύεη θαηά πξνζέγγηζε:

ζΤ=Κ𝜺 ,

όπνπ Κ, n είλαη ζηαζεξνί θαη νη ηηκέο ηνπο κεηαβάιινληαη από θξάκα ζε

θξάκα. Η παξάκεηξνο n νλνκάδεηαη εθζέηεο ελδνηξάρπλζεο θαη

παίξλεη ηηκέο κηθξόηεξεο ηεο κνλάδαο.

Αξθεί δειαδή λα πξνζδηνξίζνπκε ηα Κ, n γηα ην θξάκα ηνπ νξεηράιθνπ

ώζηε ην πξόβιεκά καο λα κνληεινπνηεζεί ζε πξόβιεκα αληηθαηάζηαζεο.

Αλ αληηθαηαζηήζνπκε ηηο ηηκέο ηνπ πίλαθα ζηελ (1), πξνθύπηεη

ζύζηεκα 2x2 κε αγλώζηνπο ηα K, n. Δπηιύνπκε ην ζύζηεκα κε ηε κέζνδν

ηεο αληηθαηάζηαζεο:

{

{

=> {

=>

{

=>{

Έρνληαο πξνζδηνξίζεη απηά, αλ ηα αληηθαηαζηήζνπκε καδί κε ηελ

επηζπκεηή πιαζηηθή παξακόξθσζε, 0.25, ζηελ (1), πξνθύπηεη ε

απαξαίηεηε ηηκή ηεο πξαγκαηηθήο ηάζεο ηνπ θξάκαηνο νξεηράιθνπ:

ζΤ=91622(0.25)0.26

ζΤ 63894psi

Άςκηςη 6.43

Θζλω το εμβαδόν του διαγράμματοσ τάςησ παραμόρφωςησ, για την

ελαςτική και την πλαςτική παραμόρφωςη .

Για την ελαςτική παραμόρφωςη:

∫

∫ ∫

|

Για την πλαςτική παραμόρφωςη:

∫

και

∫ ∫

|

Το άθροιςμα είναι

Άζθεζε 6.44

Σε κηα δνθηκε εθειθπζκνπ κπνξεη λα απνδεηρζεη νηη ην θαηλνκελν

ιαηκνπ (ζηελσζε) αξρηδεη νηαλ dζΤ/dεΤ =ζΤ. .Φξεζηκνπνησληαο ηελ

εμηζσζε ζη=ΚεΤn πξνζδηνξηζηε ηελ ηηκε ηεο πξαγκαηηθεο παξακνξθσζεο

ζην ζεκεην ελαξμεο ηνπ θαηλνκελνπ ιαηκνπ.

ΛΥΣΗ:

dζΤ/dεΤ=d(Κ*εΤn)/dεT=K*dεT

n /dεT => K* n*εT

n-1 =ζT =>

K* n*εTn-1

/εTn-1

=K*εTn/εT

n-1 =>n=εT

n/εT

n-1 =>n=εT

n-n+1 => εT=n.

Άζκηζη 6.50, ζελίδα 203

Λόγν ηνπ όηη παίξλνπκε ηηκέο από ην δηάγξακκα 6.19 (ζει. 187) είλαη

πηζαλόλ λα ππάξρεη κία κηθξή απόθιηζε ζηα απνηειέζκαηα.

Θέινπκε λα δεκηνπξγήζνπκε εμηζώζεηο ηνπ ηύπνπ: TS=C + a x HB

Με TS=εθειθηζηηθή αληνρή θαη ΗΒ = αξηζκόο ζθιεξόηεηαο Brinell

Γηα ην ράιπβα, C=0 (ε επζεία γξακκή πεξλά από ην ζεκείν (0,0) ) θαη

α=3.45

Για ηον ορείταλκο

Από ην δηάγξακκα δηαιέγνπκε TS1=400ΜPa, ΤS2=650MPa, HB1=120

θαη HB2=200

άξα έρνπκε: TS1 = C + a x HB1

TS2 = C + a x HB2

a=(TS1-TS2)/(HB1-HB2)=(400-650)/(120-200)=250/80=3.1MPa/HB

C = TS1- a x HB1=400-3.1x120 =28MPa

Aπάληεζε: H εμίζσζε γηα ηνλ νξείραιθν είλαη ΤS = 28 + 3.1xHB

Για ηον τσηοζίδηρος

Από ην δηάγξακκα ζεσξνύκε TS1=500ΜPa, ΤS2=1100MPa, HB1=180

θαη HB2=300

άξα έρνπκε: TS1=C+a x HB1

TS2=C+a x HB2

a=(TS1-TS2)/(HB1-HB2)=(500-1100)/(180-300)=5MPa/HB

C = TS1- a x HB1=500-5x180 =-400MPa

Απάληεζε: H εμίζσζε γηα ηνλ ρπηνζίδεξν είλαη : TS = -400 + 5xHB

6.Δ1 (ζ.203): ‘Δλαο κεγάινο πύξγνο πξόθεηηαη λα ππνζηεισζεί από κία

ζεηξά ραιύβδηλσλ ζπξκάησλ. Δθηηκάηαη όηη ην θνξηίν ζε θάζε ζύξκα ζα

είλαη 11100Ν (2500 lbf). Πξνζδηνξίζηε ηελ ειάρηζηε απαηηνύκελε

δηάκεηξν ηνπ ζύξκαηνο ζεσξώληαο ηνλ παξάγνληα αζθαιείαο ίζν κε 2

θαη ηελ αληνρή δηαξξνήο ίζε κε 1030 MPa (150000 psi).

Λύζε:

ζw =

=

= 515 MPa

Ao = πro2 = π(

)

2

ζ =

=> Αν =

=>

4 =

=> d0

2 =

4

=> d0 = √

4

=> d0 = √4

4 = √

444

= √ m = 5.24 *

10-3

m = 5.24mm