Ανάλυση Κυκλωμάτων

Εισαγωγή

Φώτης Πλέσσας

fplessas@inf.uth.gr

Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών

Δομή ΠαρουσίασηςΔομή Παρουσίασης

ΕισαγωγικέςΕισαγωγικές ΈννοιεςΈννοιες ΑνάλυσηςΑνάλυσης ΓραμμικώνΓραμμικών

ΚυκλωμάτωνΚυκλωμάτων

ΦυσικάΦυσικά καικαι μαθηματικάμαθηματικά μοντέλαμοντέλα

ΣυγκεντρωμέναΣυγκεντρωμένα καικαι κατανεμημένακατανεμημένα κυκλώματακυκλώματα

ΟρισμοίΟρισμοί--φορέςφορές αναφοράςαναφοράς

ΘεμελιώδειςΘεμελιώδεις νόμοινόμοι

ΓενίκευσηΓενίκευση τουτου νόμουνόμου τωντων ρευμάτωνρευμάτων

ΠαραδείγματαΠαραδείγματα

Θεωρία ΚυκλωμάτωνΘεωρία Κυκλωμάτων

Η θεωρία των κυκλωμάτων ασχολείται με τη μεταφορά ηλεκτρικής Η θεωρία των κυκλωμάτων ασχολείται με τη μεταφορά ηλεκτρικής

ενέργειας από μια ηλεκτρική διάταξη σε μια άλληενέργειας από μια ηλεκτρική διάταξη σε μια άλλη

Αντικείμενο της θεωρίας αυτής είναι το ηλεκτρικό κύκλωμαΑντικείμενο της θεωρίας αυτής είναι το ηλεκτρικό κύκλωμα

Το ηλεκτρικό κύκλωμα αποτελείται από μια ηλεκτρικά στοιχεία που Το ηλεκτρικό κύκλωμα αποτελείται από μια ηλεκτρικά στοιχεία που

συνδέονται για να επιτελέσουν ένα συγκεκριμένο σκοπόσυνδέονται για να επιτελέσουν ένα συγκεκριμένο σκοπό

Δέχεται επιδράσεις από το περιβάλλον (διεγέρσεις) και ταυτόχρονα Δέχεται επιδράσεις από το περιβάλλον (διεγέρσεις) και ταυτόχρονα

επιδρά στο περιβάλλον (αποκρίσεις)επιδρά στο περιβάλλον (αποκρίσεις)

Οι διεγέρσεις (είσοδοι) και οι αποκρίσεις (έξοδοι) μπορεί να είναι Οι διεγέρσεις (είσοδοι) και οι αποκρίσεις (έξοδοι) μπορεί να είναι

αντίστοιχα αντίστοιχα m m και και n n στον αριθμό όπου στον αριθμό όπου n,n, m m ≥≥11

Ανάλυση και σύνθεση κυκλωμάτωνΑνάλυση και σύνθεση κυκλωμάτων

Στην ανάλυση επιδιώκεται η περιγραφή των γενικών ιδιοτήτων των Στην ανάλυση επιδιώκεται η περιγραφή των γενικών ιδιοτήτων των

ηλεκτρικών κυκλωμάτων και στη συνέχεια η εύρεση των αποκρίσεων ηλεκτρικών κυκλωμάτων και στη συνέχεια η εύρεση των αποκρίσεων

τους όταν οι διεγέρσεις είναι γνωστές. Αυτό γίνεται:τους όταν οι διεγέρσεις είναι γνωστές. Αυτό γίνεται:

Με εργαστηριακά όργαναΜε εργαστηριακά όργανα

μέτρηση φυσικών ηλεκτρικών μεγεθώνμέτρηση φυσικών ηλεκτρικών μεγεθών

Με «χαρτί και μολύβι»Με «χαρτί και μολύβι»

μαθηματικές περιγραφές στοιχείωνμαθηματικές περιγραφές στοιχείων

νόμοι και μέθοδοι ανάλυσηςνόμοι και μέθοδοι ανάλυσης

Με προσομοίωση με χρήση Η/ΥΜε προσομοίωση με χρήση Η/Υ

αυτοματοποίηση υπολογισμώναυτοματοποίηση υπολογισμών

Στη σύνθεση οι διεγέρσεις και οι αποκρίσεις είναι γνωστές και ζητείται Στη σύνθεση οι διεγέρσεις και οι αποκρίσεις είναι γνωστές και ζητείται

το κύκλωμα το οποίο ικανοποιεί τις προδιαγραφέςτο κύκλωμα το οποίο ικανοποιεί τις προδιαγραφές

Συμβολισμοί και μονάδες μέτρησηςΣυμβολισμοί και μονάδες μέτρησης

Πολλαπλάσια και υποπολλαπλάσιαΠολλαπλάσια και υποπολλαπλάσια

Φορτίο, τάση, ισχύς και ενέργειαΦορτίο, τάση, ισχύς και ενέργεια

Από μαθηματική άποψη το Από μαθηματική άποψη το ρεύμαρεύμα εκφράζεται από τη σχέσηεκφράζεται από τη σχέση::

Η μεταβολή της ενέργειας ανά μονάδα φορτίου καλείται Η μεταβολή της ενέργειας ανά μονάδα φορτίου καλείται τάσητάση ή ή διαφορά δυναμικού διαφορά δυναμικού ή απλά ή απλά δυναμικόδυναμικό και δίνεται από τη σχέσηκαι δίνεται από τη σχέση::

Η σχέση Η σχέση dwdw(t)=v(t)(t)=v(t)dqdq(t)(t) δηλώνει ότι για τη μεταφορά ενός απειροστού δηλώνει ότι για τη μεταφορά ενός απειροστού φορτίου φορτίου dqdq μεταξύ δύο σημείων ενός ηλεκτρικού πεδίου τα οποία μεταξύ δύο σημείων ενός ηλεκτρικού πεδίου τα οποία έχουν διαφορά δυναμικούέχουν διαφορά δυναμικού v(t)v(t) , απαιτείται ενέργεια , απαιτείται ενέργεια dwdw(t)(t). .

Η μεταβολή της Η μεταβολή της ενέργειαςενέργειας ως προς το χρόνο εκφράζει την ως προς το χρόνο εκφράζει την ισχύισχύ. .

Ως Ως στιγμιαία ισχύςστιγμιαία ισχύς καθορίζεται η ποσότητακαθορίζεται η ποσότητα::

( )( )

dq ti t

dt

( )( )

dw tv t

dq

( )( )

dw tp t

dt

Γραμμικότητα (1/2)Γραμμικότητα (1/2)

ΈναΈνα κύκλωμακύκλωμα μπορείμπορεί νανα θεωρηθείθεωρηθεί γενικάγενικά ωςως έναένα σύστημα,σύστημα, τοτο οποίοοποίο αναν

διεγερθείδιεγερθεί απόαπό σήματασήματα x(tx(t)) δίνειδίνει αποκρίσειςαποκρίσεις (εξόδους)(εξόδους) y(t)y(t)..

ΑνΑν θέσουμεθέσουμε καικαι

τότετότε τοτο διάνυσμαδιάνυσμα xx εκφράζειεκφράζει τητη διέγερσηδιέγερση τουτου κυκλώματοςκυκλώματος καικαι τοτο

διάνυσμαδιάνυσμα yy τηντην απόκρισήαπόκρισή τουτου..

1

2

( )

( )

.

.

.

( )n

x t

x t

x t

x

1

2

( )

( )

.

.

.

( )m

y t

y t

y t

y

Γραμμικότητα (2/2)Γραμμικότητα (2/2)

HH σχέσησχέση ανάμεσαανάμεσα σταστα xx καικαι yy προκύπτειπροκύπτει απόαπό τητη μορφήμορφή καικαι τοτο είδοςείδος

τουτου κυκλώματοςκυκλώματος καικαι μπορείμπορεί νανα είναιείναι γραμμικήγραμμική ήή μημη γραμμική,γραμμική, οπότεοπότε

έχουμεέχουμε αντίστοιχααντίστοιχα τατα γραμμικάγραμμικά ήή μημη γραμμικάγραμμικά κυκλώματακυκλώματα..

ΗΗ έννοιαέννοια τηςτης γραμμικότηταςγραμμικότητας μπορείμπορεί νανα καθοριστείκαθοριστεί μεμε τητη βοήθειαβοήθεια τουτου

θεωρήματοςθεωρήματος τηςτης υπέρθεσηςυπέρθεσης (ή(ή επαλληλίαςεπαλληλίας όπωςόπως διαφορετικάδιαφορετικά

ονομάζεται)ονομάζεται) καικαι μεμε τιςτις ιδιότητεςιδιότητες τηςτης πρόσθεσηςπρόσθεσης καικαι τουτου

πολλαπλασιασμούπολλαπλασιασμού συναρτήσεωνσυναρτήσεων..

ΠρόσθεσηΠρόσθεση ΠολλαπλασιασμόςΠολλαπλασιασμός

1 1

( ) ( ) ( ) ( )n n

i i

i i

x t x t y t y t

1 1

( ) ( )n n

i i i i

i i

k x t k y t

ΠαραδείγματαΠαραδείγματα

ΈναΈνα γραμμικόγραμμικό κύκλωμακύκλωμα πουπου διεγείρεταιδιεγείρεται απόαπό τηντην xx11(t)=t+(t)=t+44 δίνειδίνει

απόκρισηαπόκριση yy11(t)=(t)=44--22tt.. ΤοΤο ίδιοίδιο κύκλωμακύκλωμα γιαγια διέγερσηδιέγερση xx22(t)=(t)=22--22tt δίνειδίνει

απόκρισηαπόκριση yy22(t)=(t)=33t+t+11.. ΠοιαΠοια είναιείναι ηη απόκρισηαπόκριση τουτου κυκλώματοςκυκλώματος γιαγια

διέγερσηδιέγερση x(t)=xx(t)=x11(t)+x(t)+x22(t)=(t)=66--tt ;;

ΝαΝα εξεταστούνεξεταστούν ωςως προςπρος τητη γραμμικότητάγραμμικότητά τουςτους τατα κυκλώματακυκλώματα τωντων

οποίωνοποίων ηη σχέσησχέση διέγερσης/απόκρισηςδιέγερσης/απόκρισης έχειέχει τητη μορφήμορφή::

(α)(α) (β)(β) (γ)(γ)

(δ)(δ) (ε)(ε)

dt

tdxty i

i

)()( 1)(2)( txty ii dt

tdxtty i

i

)()(

)()( 2 txty ii dt

tdxtxty i

ii

)()()(

Χρονική αμεταβλητότηταΧρονική αμεταβλητότητα

ΗΗ δεύτερηδεύτερη βασικήβασική ιδιότηταιδιότητα τωντων κυκλωμάτωνκυκλωμάτων πουπου θαθα εξετάσουμεεξετάσουμε είναιείναι τοτο ότιότι αυτάαυτά

πρέπειπρέπει νανα είναιείναι χρονικάχρονικά αμετάβλητααμετάβλητα ((timetime--invariantinvariant networksnetworks))..

ΈναΈνα κύκλωμακύκλωμα καλείταικαλείται χρονικάχρονικά αμετάβλητοαμετάβλητο (ή(ή σταθερό),σταθερό), αναν ηη σχέσησχέση διέγερσηςδιέγερσης--

απόκρισηςαπόκρισης είναιείναι ανεξάρτητηανεξάρτητη τουτου χρόνουχρόνου.. Έτσι,Έτσι, έναένα κύκλωμακύκλωμα τοτο οποίοοποίο αποτελείταιαποτελείται

απόαπό στοιχείαστοιχεία πουπου οιοι τιμέςτιμές τουςτους δενδεν μεταβάλλονταιμεταβάλλονται ωςως προςπρος τοτο χρόνο,χρόνο, είναιείναι χρονικάχρονικά

αμετάβλητοαμετάβλητο.. ΑπόΑπό μαθηματικήμαθηματική έννοια,έννοια, έναένα κύκλωμακύκλωμα μεμε σχέσησχέση διέγερσηςδιέγερσης--απόκρισηςαπόκρισης

x(t)→x(t)→ y(t)y(t) καλείταικαλείται χρονικάχρονικά αμετάβλητοαμετάβλητο αναν καικαι μόνομόνο αναν x(tx(t--τ)τ) →→ y(ty(t--τ)τ) γιαγια κάθεκάθε

είσοδοείσοδο x(t)x(t) καικαι γιαγια κάθεκάθε μετατόπισημετατόπιση ττ..

ΑιτιότηταΑιτιότητα

ΣεΣε έναένα κύκλωμα,κύκλωμα, δενδεν μπορούμεμπορούμε νανα πάρουμεπάρουμε σήμασήμα εξόδουεξόδου έωςέως ότουότου

υπάρξειυπάρξει κάποιακάποια διέγερσήδιέγερσή τουτου.. ΗΗ σχέσησχέση ανάμεσαανάμεσα στηνστην αιτίααιτία (διέγερση)(διέγερση)

πουπου πρέπειπρέπει νανα προηγείταιπροηγείται καικαι στοστο αποτέλεσμααποτέλεσμα (απόκριση)(απόκριση) καλείταικαλείται

αιτιότητααιτιότητα ((causalitycausality)).. Γενικά,Γενικά, έναένα κύκλωμακύκλωμα (ή(ή σύστημα)σύστημα) είναιείναι αιτιατόαιτιατό

((causalcausal),), αναν γι'γι' αυτόαυτό απαιτείταιαπαιτείται πάνταπάντα μιαμια διέγερσηδιέγερση γιαγια νανα προκύψειπροκύψει μιαμια

απόκρισηαπόκριση..

ΑνΑν έναένα κύκλωμακύκλωμα είναιείναι μημη αιτιατόαιτιατό,, τότετότε

είναιείναι πιθανόπιθανό νανα έχουμεέχουμε απόκρισήαπόκρισή τουτου

χωρίςχωρίς νανα υπάρχειυπάρχει διέγερσηδιέγερση ήή ηη

απόκρισήαπόκρισή τουτου νανα προηγείταιπροηγείται χρονικάχρονικά τηςτης

διέγερσηςδιέγερσης.. ΣημειώνεταιΣημειώνεται ότιότι έναένα κύκλωμακύκλωμα

μημη αιτιατόαιτιατό δενδεν είναιείναι υλοποιήσιμουλοποιήσιμο,,

δηλαδήδηλαδή δενδεν μπορείμπορεί νανα πραγματοποιηθείπραγματοποιηθεί

μεμε φυσικάφυσικά ηλεκτρικάηλεκτρικά στοιχείαστοιχεία..

Κυκλώματα και σήματαΚυκλώματα και σήματα

ΤαΤα ηλεκτρικάηλεκτρικά κυκλώματακυκλώματα είναιείναι συνδυασμοίσυνδυασμοί απόαπό

διάφοραδιάφορα ηλεκτρικάηλεκτρικά στοιχείαστοιχεία (πυκνωτές,(πυκνωτές, αντιστάσεις,αντιστάσεις,

πηνία,πηνία, πηγέςπηγές τάσεις,τάσεις, πηγέςπηγές ρεύματος,ρεύματος, κλπ)κλπ) καικαι

διακινούνδιακινούν ηλεκτρικήηλεκτρική ενέργειαενέργεια καικαι πληροφορίαπληροφορία

ΣήμαΣήμα είναιείναι μιαμια ηλεκτρικήηλεκτρική ποσότηταποσότητα πουπου

μεταβάλλεταιμεταβάλλεται μεμε τοτο χρόνοχρόνο όπωςόπως τοτο ρεύμαρεύμα ήή ηη τάσητάση

Φυσικά και μαθηματικά μοντέλαΦυσικά και μαθηματικά μοντέλα

ΜιαΜια πλήρηςπλήρης περιγραφήπεριγραφή τωντων στοιχείωνστοιχείων αυτώναυτών είναιείναι

πολύπλοκηπολύπλοκη αναν όχιόχι αδύνατηαδύνατη

ΧρειάζονταιΧρειάζονται προσεγγίσειςπροσεγγίσεις ώστεώστε τατα αποτελέσματααποτελέσματα νανα

είναιείναι πρακτικάπρακτικά εκμεταλλεύσιμαεκμεταλλεύσιμα

ΣτηνΣτην κατεύθυνσηκατεύθυνση αυτήαυτή χρησιμοποιούμεχρησιμοποιούμε μοντέλαμοντέλα

είτεείτε φυσικάφυσικά είτεείτε μαθηματικάμαθηματικά

ΤοΤο φυσικόφυσικό μοντέλομοντέλο περιγράφειπεριγράφει ορισμένεςορισμένες ιδιότητεςιδιότητες

τουτου «φυσικού»«φυσικού» στοιχείουστοιχείου ενώενώ τοτο μαθηματικόμαθηματικό τοτο

περιγράφειπεριγράφει μεμε μαθηματικέςμαθηματικές σχέσειςσχέσεις

Εξισώσεις Εξισώσεις KirchhoffKirchhoff

ΟιΟι βασικοίβασικοί νόμοινόμοι σταστα ηλεκτρικάηλεκτρικά κυκλώματακυκλώματα είναιείναι οιοι

εξισώσειςεξισώσεις KirchhoffKirchhoff

ΟιΟι εξισώσειςεξισώσεις αυτέςαυτές πηγάζουνπηγάζουν απόαπό τιςτις ίδιεςίδιες βασικέςβασικές αρχέςαρχές τηςτης

θεωρίαςθεωρίας τωντων πεδίωνπεδίων

«Εξειδικεύονται»«Εξειδικεύονται» όμωςόμως στηνστην ανάλυσηανάλυση τωντων κυκλωμάτωνκυκλωμάτων αφούαφού

επιτρέπουνεπιτρέπουν τοντον προσδιορισμόπροσδιορισμό τηςτης μεταφοράςμεταφοράς καικαι τηςτης

κατανομήςκατανομής ενέργειαςενέργειας σταστα διάφοραδιάφορα σημείασημεία «ακροδέκτες»«ακροδέκτες» ενόςενός

ηη περισσοτέρωνπερισσοτέρων κατάλληλακατάλληλα συνδεδεμένωνσυνδεδεμένων ηλεκτρικώνηλεκτρικών

στοιχείωνστοιχείων

Συγκεντρωμένα/Κατανεμημένα Συγκεντρωμένα/Κατανεμημένα

κυκλώματα (1/2)κυκλώματα (1/2)

ΟιΟι νόμοινόμοι τουτου KirchhoffKirchhoff είναιείναι οριακέςοριακές περιπτώσειςπεριπτώσεις τωντων νόμωννόμων τουτου

MaxwellMaxwell καικαι ισχύουνισχύουν σεσε στοιχείαστοιχεία μεμε δύοδύο ακροδέκτεςακροδέκτες τωντων οποίωνοποίων

διαστάσειςδιαστάσεις είναιείναι πάραπάρα πολύπολύ μικρέςμικρές σεσε σχέσησχέση μεμε τοτο μήκοςμήκος κύματοςκύματος

τουτου ρεύματοςρεύματος πουπου τατα διαρρέειδιαρρέει..

ΤαΤα στοιχείαστοιχεία αυτάαυτά ονομάζονταιονομάζονται συγκεντρωμένασυγκεντρωμένα ((lumpedlumped componentscomponents))

ΚυκλώματαΚυκλώματα πουπου αποτελούνταιαποτελούνται απόαπό τέτοιατέτοια στοιχείαστοιχεία ονομάζονταιονομάζονται

επίσηςεπίσης συγκεντρωμένασυγκεντρωμένα ((lumpedlumped circuitscircuits))

ΣτοιχείαΣτοιχεία καικαι κυκλώματακυκλώματα πουπου δενδεν μπορούνμπορούν νανα χαρακτηριστούνχαρακτηριστούν

συγκεντρωμένασυγκεντρωμένα ονομάζονταιονομάζονται κατανεμημένακατανεμημένα ((distributeddistributed

components/components/circuitscircuits))..

Συγκεντρωμένα/Κατανεμημένα Συγκεντρωμένα/Κατανεμημένα

κυκλώματα (2/2)κυκλώματα (2/2)

ΣεΣε έναένα συγκεντρωμένοσυγκεντρωμένο κύκλωμακύκλωμα ηη ροήροή φορτίουφορτίου πουπου εισέρχεταιεισέρχεται σ'σ'

αυτόαυτό ισούταιισούται μεμε τητη ροήροή φορτίουφορτίου πουπου εξέρχεταιεξέρχεται απ'απ' αυτόαυτό.. ΓιαΓια τοτο

συγκεντρωμένοσυγκεντρωμένο κύκλωμακύκλωμα αυτόαυτό μεταφράζεταιμεταφράζεται στηστη σχέσησχέση::

0654321 iiiiii

ΤαΤα συγκεντρωμένασυγκεντρωμένα κυκλώματακυκλώματα υπακούουνυπακούουν στουςστους νόμουςνόμους τουτου

KirchhoffKirchhoff

ΤαΤα κατανεμημένακατανεμημένα κυκλώματακυκλώματα δενδεν υπακούουνυπακούουν στουςστους νόμουςνόμους τουτου

KirchhoffKirchhoff καικαι ακτινοβολούνακτινοβολούν ενέργειαενέργεια

Σήματα και κυματομορφέςΣήματα και κυματομορφές

ΣτηνΣτην ανάλυσηανάλυση τωντων κυκλωμάτων,κυκλωμάτων, εκτόςεκτός απόαπό τηντην ανάπτυξηανάπτυξη τωντων

μαθηματικώνμαθηματικών μοντέλωνμοντέλων γιαγια τατα ηλεκτρικάηλεκτρικά στοιχείαστοιχεία είναιείναι απαραίτητηαπαραίτητη ηη

μαθηματικήμαθηματική περιγραφήπεριγραφή τωντων κυματομορφώνκυματομορφών τάσηςτάσης καικαι ρεύματοςρεύματος

ΗΗ μαθηματικήμαθηματική αυτήαυτή περιγραφήπεριγραφή εκφράζεταιεκφράζεται μεμε τοντον όροόρο σήμασήμα (signal)(signal)

καικαι σημαίνεισημαίνει τητη χρονικήχρονική συμπεριφοράσυμπεριφορά τωντων μεγεθώνμεγεθών.. ΗΗ συναρτησιακήσυναρτησιακή

σχέσησχέση ανάμεσαανάμεσα στοστο σήμασήμα f(t)f(t) καικαι στοστο χρόνοχρόνο tt ονομάζεταιονομάζεται

κυματομορφήκυματομορφή..

ΓενικάΓενικά υπάρχουνυπάρχουν τριώντριών ειδώνειδών σήματασήματα:: τατα αναλογικάαναλογικά (analog(analog),), τατα

ψηφιακάψηφιακά ((digitaldigital),), καικαι τατα δυαδικάδυαδικά ((binarybinary)) σήματασήματα.. ΣτηνΣτην ανάλυσηανάλυση τωντων

κυκλωμάτωνκυκλωμάτων όλαόλα τατα σήματασήματα πουπου συναντώνταισυναντώνται είναιείναι αναλογικάαναλογικά.. ΤαΤα

αναλογικάαναλογικά σήματασήματα χωρίζονταιχωρίζονται σεσε δύοδύο μεγάλεςμεγάλες κατηγορίες,κατηγορίες, σταστα

περιοδικάπεριοδικά καικαι τατα μημη περιοδικάπεριοδικά σήματασήματα..

Ορισμοί Ορισμοί -- φορές αναφοράςφορές αναφοράς

ΚάθεΚάθε στοιχειάστοιχειά δύοδύο ακροδεκτώνακροδεκτών ονομάζεταιονομάζεται κλάδοςκλάδος

ΤοΤο σημείοσημείο τομήςτομής δύοδύο ήή περισσότερωνπερισσότερων κλάδωνκλάδων ονομάζεταιονομάζεται κόμβοςκόμβος

ΟιΟι κλειστέςκλειστές τροχιέςτροχιές πουπου σχηματίζουνσχηματίζουν οιοι κλάδοικλάδοι ενόςενός κυκλώματοςκυκλώματος

ονομάζονταιονομάζονται βρόχοιβρόχοι (απλοί(απλοί καικαι σύνθετοι)σύνθετοι)

ΦορέςΦορές αναφοράςαναφοράς τάσηςτάσης (β),(β), ρεύματοςρεύματος (α)(α) && (β)(β) καικαι βρόχουβρόχου (α)(α)

ΣυζευγμένεςΣυζευγμένες φορέςφορές αναφοράςαναφοράς (β)(β)

Νόμος ρευμάτων του Νόμος ρευμάτων του KirchhoffKirchhoff (1/2)(1/2)

ΣεΣε έναένα συγκεντρωμένοσυγκεντρωμένο κύκλωμακύκλωμα τοτο αλγεβρικόαλγεβρικό άθροισμαάθροισμα τωντων ρευμάτωνρευμάτων όλωνόλων τωντων κλάδων,κλάδων, πουπου φτάνουνφτάνουν ήή φεύγουνφεύγουν απόαπό κάθεκάθε κόμβοκόμβο τουτου κυκλώματος,κυκλώματος, είναιείναι κάθεκάθε χρονικήχρονική στιγμήστιγμή ίσοίσο μεμε τοτο μηδένμηδέν..

j

j ti 0)(

κόμβοςκόμβος 11:: ii11(t)(t) ++ ii22(t)(t) == 00

κόμβοςκόμβος 22:: --ii22(t)(t) ++ ii33(t)(t) ++ ii44(t)(t) == 00

κόμβοςκόμβος 33:: --ii44(t)(t) ++ ii55(t)(t) == 00

κόμβοςκόμβος 44:: --ii11(t)(t) -- ii33(t)(t) -- ii55(t)(t) == 00

ΓενικάΓενικά::

ΜόνοΜόνο οιοι nn--11 εξισώσειςεξισώσεις είναιείναι γραμμικάγραμμικά ανεξάρτητεςανεξάρτητες

Νόμος ρευμάτων του Νόμος ρευμάτων του Kirchhoff (2/2)Kirchhoff (2/2)

ΓράφημαΓράφημα (β)(β):: γενικευμένηγενικευμένη μορφήμορφή ηλεκτρικούηλεκτρικού

κυκλώματοςκυκλώματος

ΔιαφορετικάΔιαφορετικά κυκλώματα,κυκλώματα, μεμε τηντην ίδιαίδια γεωμετρικήγεωμετρική

δομήδομή υπακούουνυπακούουν στιςστις ίδιεςίδιες εξισώσειςεξισώσεις κόμβωνκόμβων

Νόμος τάσεων του Νόμος τάσεων του KirchhoffKirchhoff

ΣεΣε έναένα συγκεντρωμένοσυγκεντρωμένο κύκλωμακύκλωμα τοτο άθροισμαάθροισμα τωντων τάσεωντάσεων τωντων κλάδωνκλάδων πουπου αποτελούναποτελούν βρόχους,βρόχους, είναιείναι κάθεκάθε χρονικήχρονική στιγμήστιγμή μηδένμηδέν..

i

i tv 0)(

βρόχοςβρόχος 11:: vv11(t)(t) –– vv22(t)(t) –– vv33(t)(t) == 00

βρόχοςβρόχος 22:: vv33(t)(t) –– vv44(t)(t) –– vv55(t)(t) == 00

βρόχοςβρόχος 33:: --vv11(t)(t) ++ vv22(t)(t) ++ vv44(t)(t) ++ vv55(t)(t) == 00

ΓενικάΓενικά::

Θεώρημα του Θεώρημα του TellegenTellegen

ΣεΣε έναένα συγκεντρωμένοσυγκεντρωμένο κύκλωμακύκλωμα ισχύειισχύει κάθεκάθε χρονικήχρονική στιγμήστιγμή ηη

σχέσησχέση:: i

ii titv 0)()(

ΠουΠου σημαίνεισημαίνει ότιότι σεσε έναένα συγκεντρωμένοσυγκεντρωμένο κύκλωμακύκλωμα ηη ενέργειαενέργεια διατηρείταιδιατηρείται

ΠαράδειγμαΠαράδειγμα 11..11--55

Γενίκευση του νόμου των ρευμάτων Γενίκευση του νόμου των ρευμάτων

(1/2) (1/2)

κόμβοςκόμβος 11:: --ii11(t)(t) ++ ii22(t)(t) -- ii33(t)(t) == 00

κόμβοςκόμβος 22:: --ii22(t)(t) -- ii55(t)(t) ++ ii77(t)(t) == 00

κόμβοςκόμβος 33:: ii33(t)(t) ++ ii44(t)(t) -- ii77(t)(t) == 00

κόμβοςκόμβος 44:: --ii44(t)(t) ++ ii55(t)(t) ++ ii66(t)(t) == 00

ΑθροίζονταςΑθροίζοντας προκύπτειπροκύπτει ότιότι:: --ii11(t)(t) ++ ii66(t)(t) == 00

ΟιΟι κλάδοικλάδοι 11 καικαι 66 ονομάζονταιονομάζονται ομάδαομάδα διαχωρισμούδιαχωρισμού ((cutcut set)set)

ΤοΤο άθροισμαάθροισμα τωντων ρευμάτωνρευμάτων τηςτης ομάδαςομάδας διαχωρισμούδιαχωρισμού είναιείναι κάθεκάθε χρονικήχρονική στιγμήστιγμή

μηδένμηδέν..

ΣυνέπειαΣυνέπεια τηςτης αρχήςαρχής διατήρησηςδιατήρησης τουτου φορτίουφορτίου

Γενίκευση του νόμου των ρευμάτων Γενίκευση του νόμου των ρευμάτων

(2/2) (2/2)

ΤοΤο άθροισμαάθροισμα τωντων ρευμάτωνρευμάτων τωντων nn κλάδωνκλάδων πουπου συνδέουνσυνδέουν τατα

κυκλώματακυκλώματα ΚΚ11 καικαι ΚΚ22 είναιείναι μηδένμηδέν..

ΑνΑν συνδέονταισυνδέονται μεμε ένανέναν αγωγόαγωγό τότετότε αυτόςαυτός δενδεν διαρρέεταιδιαρρέεται απόαπό ρεύμαρεύμα

ΠροβλήματαΠροβλήματα

11.. ΈναςΈνας ραδιοφωνικόςραδιοφωνικός δέκτηςδέκτης συνδέεταισυνδέεται μεμε τηντην

κεραίακεραία μεμε έναένα καλώδιοκαλώδιο μήκουςμήκους 2020mm.. ΟΟ δέκτηςδέκτης

είναιείναι συντονισμένοςσυντονισμένος στηστη συχνότητασυχνότητα ωνων 104104..77

MHzMHz.. ΜπορούμεΜπορούμε νανα πούμεπούμε ότιότι τατα στιγμιαίαστιγμιαία

ρεύματαρεύματα στηνστην είσοδοείσοδο τουτου δέκτηδέκτη καικαι στηνστην κεραίακεραία

είναιείναι κάθεκάθε χρονικήχρονική στιγμήστιγμή ίσαίσα;; ΑνΑν όχι,όχι, γιαγια ποιοποιο

μήκοςμήκος καλωδίουκαλωδίου μπορούμεμπορούμε νανα θεωρήσουμεθεωρήσουμε ότιότι

ισχύειισχύει ηη ισότηταισότητα;;

ΠροβλήματαΠροβλήματα

22.. ΝαΝα γραφούνγραφούν οιοι εξισώσειςεξισώσεις κόμβωνκόμβων καικαι όλωνόλων τωντων

δυνατώνδυνατών βρόχωνβρόχων τουτου κυκλώματοςκυκλώματος τουτου σχήματοςσχήματος..

ΝαΝα δειχθείδειχθεί ότιότι οιοι εξισώσειςεξισώσεις αυτέςαυτές είναιείναι γραμμικάγραμμικά

εξαρτημένεςεξαρτημένες.. Ακόμη,Ακόμη, νανα δειχθείδειχθεί ότιότι οιοι εξισώσειςεξισώσεις

τωντων απλώναπλών βρόχωνβρόχων τουτου κυκλώματοςκυκλώματος είναιείναι

γραμμικάγραμμικά ανεξάρτητεςανεξάρτητες..

ΠροβλήματαΠροβλήματα

33.. ΣτοΣτο παρακάτωπαρακάτω σχήμασχήμα τατα κυκλώματακυκλώματα KK11 καικαι ΚΚ22

συνδέονταισυνδέονται μεμε δύοδύο αγωγούςαγωγούς.. ΟιΟι φορέςφορές αναφοράςαναφοράς τηςτης

τάσηςτάσης καικαι τουτου ρεύματοςρεύματος δίνονταιδίνονται στοστο σχήμασχήμα.. ΗΗ τάσητάση

ανάμεσαανάμεσα στουςστους αγωγούςαγωγούς σύνδεσηςσύνδεσης καικαι τοτο ρεύμαρεύμα τωντων

αγωγώναγωγών έχουνέχουν τιςτις τιμέςτιμές :: (α) (α) ii = 2A, = 2A, vv = 20V, = 20V, (β) (β) ii = = --33A, A, vv = 2= 2220V,0V,

(γ) (γ) ii = = 1010A, A, vv = = --1120V,20V, (δ) (δ) ii = = --55A, A, vv = = --3535VV

ΣεΣε κάθεκάθε μιαμια απόαπό τιςτις παραπάνωπαραπάνω περιπτώσειςπεριπτώσεις

προσδιορίστεπροσδιορίστε τοτο κύκλωμακύκλωμα πουπου παρέχειπαρέχει καικαι τοτο κύκλωμακύκλωμα

πουπου απορροφάαπορροφά ισχύισχύ..

ΠροβλήματαΠροβλήματα

44.. ΣτοΣτο παρακάτωπαρακάτω σχήμασχήμα δίνονταιδίνονται τατα ρεύματαρεύματα τωντων κλάδωνκλάδων

ii11 == 22A,A, ii33 == 11AA,, ii77 == 22AA καικαι ii88 == 33AA καικαι οιοι τάσειςτάσεις τωντων

κλάδωνκλάδων vv11 == vv33 == vv44 == vv66 == vv99 == 11VV.. ΑφούΑφού υπολογιστούνυπολογιστούν

τατα ρεύματαρεύματα καικαι οιοι τάσειςτάσεις τωντων υπολοίπωνυπολοίπων κλάδων,κλάδων, δείξτεδείξτε

ότιότι ισχύειισχύει τοτο θεώρημαθεώρημα τουτου TellegenTellegen.. ΘεωρούνταιΘεωρούνται

συζευγμένεςσυζευγμένες φορέςφορές αναφοράςαναφοράς..

ΠροβλήματαΠροβλήματα

55.. ΣτοΣτο κύκλωμακύκλωμα τουτου σχήματοςσχήματος οιοι τάσειςτάσεις καικαι τατα ρεύματαρεύματα

κλάδωνκλάδων είναιείναι:: vv11 ==3333V,V, vv22 ==1313..22V,V, vv33 ==1919..88V,V, vv44 ==66..66V,V,

vv55 ==1313..22V,V, vv66 ==1919..88V,V, καικαι ii11 ==1616..55A,A, ii22 ==3333A,A, ii33 ==--

4949..55A,A, ii44 ==1313..22A,A, ii55 ==3636..33A,A, ii66 ==1919..88AA.. ΔείξτεΔείξτε ότιότι τοτο

κύκλωμακύκλωμα δενδεν είναιείναι συγκεντρωμένοσυγκεντρωμένο.. ΠοιοςΠοιος κλάδοςκλάδος τουτου

κυκλώματοςκυκλώματος ακτινοβολείακτινοβολεί ενέργειαενέργεια;;

Ερωτήσεις / Απορίες ;Ερωτήσεις / Απορίες ;