Μαθήματα 1 - 9 στο Κεφάλαιο 1 Ανάλυσης - σελ 77

Επιµέλεια: Χατζόπουλος Μάκης Καθηγητής Μαθηµατικών http://lisari.blogspot.com 1o Λύκειο Ζακύνθου

Α΄ Μέρος –Ανάλυση

Γ΄ Λυκείου Κατεύθυνσης

• Ερωτήσεις θεωρίας µε κενά για απαντήσεις

• Ασκήσεις πάνω στα θέµατα θεωρίας

• Μεθοδολογία ασκήσεων

• Μαθήµατα θεωρίας

• Επαναληπτικές ασκήσεις

ΖΑΚΥΝΘΟΣ 2010 – 11

http://lisari.blogspot.com/


- Ανάλυση – Συνάρτηση - Σελίδα 2

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο – ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1.2

Μάθηµα 1ο – Ορισµός συνάρτησης – Πεδίο ορισµού Ερώτηση 1η α) Έστω Α υποσύνολο των πραγµατικών αριθµών. Τι ονοµάζουµε πραγµατική συνάρτηση f : A → ¡ ; β) Πως ονοµάζονται τα x,y,f,A και f(A); γ) Έστω x1,x2 σηµεία του συνόλου Α. Αν x1 = x2 τι θα ισχύει για τα f(x1), f(x2) αν η f i. Είναι συνάρτηση ii. ∆εν είναι συνάρτηση; Απάντηση Άσκηση 1η Κάθε αντιστοίχηση τιµών µεταξύ δύο συνόλων είναι συνάρτηση; Πότε µια αντιστοίχηση δεν θα είναι συνάρτηση; ∆ώστε παραδείγµατα αντιστοιχήσεων µεταξύ δύο συνόλων που να µην ορίζουν συνάρτηση. Απάντηση Άσκηση 2η Ποιες από τις παρακάτω το y είναι συνάρτηση του x και γιατί;

i. ( )3y 1 x= − ii. ( )3

y 1 x= ± − iii. 2y x 1= + iv.

x 3 x 1y

x 2 x 1

+ <= − ≥

v. 2

1 1

>= − > −

x xy

x x vi. 2 2y x 1= + vii. y x= viii. y x=

Απάντηση Άσκηση 3η

∆ίνεται η συνάρτηση f τέτοια ώστε: ( ) 212 3 , 0 ⋅ − = ≠

f x f x x

x

Υπολογίστε: α) ( )1 ;=f β) ( )2 ;=f και 1

;2

=

f

Απάντηση




Άσκηση 4η Βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f(x) στις παρακάτω περιπτώσεις.

α) ( ) 21 3 2,− = − + ∈ ¡f x x x x β) ( ) 232 3 ,− = ∈ ¡f x x x

γ) ( )3 ,2

= ∈

ηµ ¡x

f x x δ) ( ) 2

13 ,

2 1−

= ∈+

¡x

f x xx

Απάντηση

Ερώτηση 2η α. Τι λέγεται πεδίο ορισµού της συνάρτησης; Πως το συµβολίζουµε και ποιος είναι ο τύπος του; β. Πως βρίσκουµε το πεδίο ορισµού µιας συνάρτησης αν γνωρίζουµε τον τύπο της; Αναφέρετε περιπτώσεις συναρτήσεων. γ. Τι πρέπει να γνωρίζουµε για να ορίσουµε µια συνάρτηση; δ. Τι σηµαίνει ότι η συνάρτηση είναι ορισµένη στο διάστηµα ∆;


∆ίνονται οι συναρτήσεις: ( )2

2

1−=

+x

f xx x

και ( ) 11= −g x

x

α) Βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f β) Βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης g γ) Τι παρατηρείτε;

Απάντηση




Άσκηση 2η

∆ίνονται οι συναρτήσεις: ( ) 12

−=

−x

f xx

και ( ) 12

−=

−x

g xx

α) Βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f β) Βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης g γ) Τι παρατηρείτε; Απάντηση Άσκηση 3η Βρείτε τα πεδία ορισµού των παρακάτω συναρτήσεων:

4

2

12. ( )

5 6+

=− +

xa h x

x x

3 2. ( ) 5 6= − +b h x x x 2. ( ) ln( 3 )= −x xc g x e e ( )

3 , 0

. ,0 3

2 , 3

− <= ≤ < ≥

x x

d f x x x

x x


∆ίνονται οι συναρτήσεις: ( ) 12

−=

−x

f xx

και ( ) 12

−=

−x

g xx

α) Βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f β) Βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης g γ) Τι παρατηρείτε; Απάντηση




Η άσκηση που ξεχωρίζει

Να βρεθεί ο ακέραιος κ ώστε να ορίζει συνάρτηση η σχέση ( )2

2 2

3 1 , 3

1 , 2 2

+ ≤ − += + ≥ − +

x x k kf x

x x k k

Απάντηση Σχόλια και παρατηρήσεις για το 1ο Μάθηµα



Μάθηµα 2ο – Γραφική παράσταση συνάρτησης Ερώτηση 1η α) Τι λέγεται γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f; β) Σχεδιάστε τις γραφικές παραστάσεις των βασικών συναρτήσεων (ευθεία, παραβολή, υπερβολή, κυβική παραβολή, τριγωνοµετρικές, εκθετική, λογαριθµική) γ) Πως ελέγχουµε αν µια γραφική παράσταση ανήκει σε συνάρτηση; ∆ικαιολογήστε και δώστε παραδείγµατα. Απάντηση Άσκηση 1η

Θεωρούµε τη συνάρτηση f µε τύπο ( )2x 5x 6

f xx 2+ +

=+

α. Να βρείτε το πεδίο ορισµού της β. Να απλοποιήσετε τον τύπο της γ. Να κάνετε τη γραφική παράσταση της f Απάντηση Άσκηση 2η Σχεδιάστε τις παρακάτω γραφικές παραστάσεις

α. ( )22x , x 1

f x 2, x 1

x

≤=

>

β. ( )f x 2x x 1= + −

γ. ( ) ( )x xf x e , g x e e−= = −

Απάντηση



Ερώτηση 2η α) Πότε κάνουµε κατακόρυφη, οριζόντια µετατόπιση γραφικών παραστάσεων συναρτήσεων; β) Αν γνωρίζουµε την γραφική παράσταση της f, πως σχεδιάζουµε τις συναρτήσεις α) – f, β) f ;

γ) ∆ώστε τον ορισµό άρτιας και περιττής συνάρτησης και την γεωµετρική ερµηνεία τους. Απάντηση Άσκηση 1η α) Σχεδιάστε την γραφική παράσταση των συναρτήσεων:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 21 2 3f x x , f x x 1 , f x x 2 , f x x 3= = − = + = +

β) Σχεδιάστε τις γραφικές παραστάσεις: α) ( ) 3f x x= β) ( ) 3g x x 1= − γ) ( ) 3h x x 1= − + δ) ( ) 3r x x 1= −

Απάντηση Άσκηση 2η Έστω η συνάρτηση f : →¡ ¡ η οποία για κάθε x, y∈ ¡ ικανοποιεί τη σχέση: ( ) ( ) ( )f x y f x f y+ = + . Να αποδείξετε

ότι: α) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f, διέρχεται από την αρχή των αξόνων β) Η f είναι περιττή Απάντηση



Ερώτηση 3η α) Γράψτε τις σχέσεις που προκύπτουν για τις διάφορες εκφράσεις που ικανοποιούν οι γραφικές παραστάσεις στο παρακάτω πίνακα. β) Πως µέσα από την γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκουµε το πεδίο ορισµού και το σύνολο τιµών µιας συνάρτησης; ∆ώστε σχήµα και παραδείγµατα. Απάντηση α)

Έκφραση Σχήµα Σχέση

Η Cf τέµνει τον άξονα x΄x

Η Cf τέµνει τον

άξονα y΄y

Η Cf τέµνει την Cg

στο σηµείο x0 (σηµεία τοµής δύο γρ. παραστάσεων)

Η Cf βρίσκεται υψηλότερα από

την Cg

Η Cf βρίσκεται υψηλότερα από

άξονα x΄x

Η Cf βρίσκεται χαµηλότερα από

άξονα x΄x

Η Cf βρίσκεται στο 1ο ή στο 2ο ή

στο 3ο ή στο 4ο τεταρτηµόριο

Η Cf διέρχεται από το σηµείο

(α, β)

β)



Άσκηση 1η α. Για ποιές τιµές του Ñ∈x η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από τον άξονα xx′ , όταν:

i) 34)( 2 +−= xxxf , ii) xx

xf−+

=11

)( , iii) 1)( −= xexf iv) ( ) ( )f x ln 2x 3ln 2= −

β. Για ποιές τιµές του Ñ∈x η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g, όταν:

i) 12)( 3 ++= xxxf και 1)( += xxg ii) 2)( 3 −+= xxxf και 2)( 2 −+= xxxg .

Απάντηση

Άσκηση 2η α) Nα παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση:

i) 1||

)( +=xx

xf , ii) ||)( xxxf = ,

iii) 1

1

,

,

1

3)(

≥

<

+

+−=

x

x

x

xxf iv) |ln|)( xxf = .

β) Και από τη γραφική παράσταση να προσδιορίσετε το πεδίο ορισµού και σύνολο των τιµών της f σε καθεµιά περίπτωση. Απάντηση



Η άσκηση που ξεχωρίζει Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση f της οποίας η γραφική παράσταση είναι:

1

2 1 O

i) y

x

ii) 2

2 1 O

x

y

4 3

1

2 1 O

iii) y

x

Απάντηση

Σχόλια και παρατηρήσεις στο µάθηµα 2:



Β. ΑΝΑΛΥΣΗ Κεφάλαιο 1ο Συναρτήσεις - Όρια

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Λύση

Λύση

Λύση

1. Να βρείτε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεµιά από τις παρακάτω συναρτήσεις :

α) f(x) = ( ) 1x1x

x4 2

+−

− β) f(x) =

xx4

3

12x

2

−−+

−−

2. Οµοίως για τις : α) f(x) = 13x

5−−

β) f(x) = x8x3

112x

xx2

−−+

−−−

3. Να βρεθεί το πεδίο ορισµού των συναρτήσεων :

a) f(x) =x

xxx−++−+

33log)2log( 2 β) g(x) =

11

12 −+

− xxx

εφηµσυν , x∈[0,2π]

γ) h(x) = xxe ln11 −+−



Λύση

Λύση

Λύση

4. ∆ίνονται οι συναρτήσεις :

f(x) =

>

≤+

2 x,x

2 x,12x

και g (x) =

≥+

<<

3 x3,2x-

3x0 ,xln

Nα βρείτε τις συναρτήσεις: α. f + g β. f . g γ. gf

5. ∆ίνεται η συνάρτηση f(x) = xx ln1

α. Να βρείτε το πεδίο ορισµού της f β. Να αποδείξετε ότι f(x) = e για κάθε x του πεδίου ορισµού της. γ. Να κάνετε τη γραφική παράσταση της f.

6. ∆ίνεται η συνάρτηση f(x)=logxx

+−

11

. α) Να βρεθεί το πεδίο ορισµού της f .

β) Να δείξετε ότι : f(x1)+f(x2)=f

++

21

21

1 xxxx

για κάθε x1 , x2 του πεδίου ορισµού της f.



Λύση

Λύση

Λύση

8. ∆ίνεται η συνάρτηση f: R à R για την οποία ισχύει : f(x+y) + f (x – y) = 2f (x) + f(y) για κάθε x, y R∈ α. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f περνά από την αρχή των αξόνων β. Να αποδείξετε ότι η f είναι άρτια γ. Να αποδείξετε ότι για κάθε x R∈ ισχύει ότι f(|x |) = f (x)

9. Aν για µια συνάρτηση f ισχύει 2f (x)–3f

x1

= x2, x ≠ 0, να βρείτε το f(2)

10. ∆ίνεται η συνάρτηση f µε τύπο : f(x)= x x x x− + − − − − −1 2 2 1 2 2 α) Nα προσδιοριστεί το πεδίο ορισµού της f β)Να γίνει η γραφική της παράσταση και να προσδιοριστεί και το σύνολο τιµών της



Λύση

Λύση

11.Nα προσδιοριστεί ο λ∈R ώστε οι παρακάτω συναρτήσεις να έχουν πεδίο ορισµού το R.

i) f(x) =22 )1( λλ

συν++−

+xxxx

ii) f(x) = x x2 1− +λ

12. Να ορισθεί ο µ∈R ώστε η συνάρτηση f(x) =)42ln(

12 ++ xx µ

, να έχει πεδίο ορισµού το R .



Λύση

Λύση

13. Nα γίνει η γραφική παράσταση των συναρτήσεων :

i) f(x)=

x xx

x x

| |

| |

−−

11

1

,

,

,

x

x

x

≥

=

<

12

12

1 ii) f(x)=| || |xx+1

14. Nα προσδιοριστούν αν ορίζονται οι συναρτήσεις f o g , g o f αν : i) f(x)=ηµx+1 , g(x)=x2-x+4

ii) f(x)=3x+1 , g(x)=x

x −1

iii) f(x)=11

+−

xx , g(x)= 2 − x

iv) f(x)= 4 2− x , g(x)= x + 1

v) f(x)=συνx , g(x)= 1 4 2− x vi) f(x)=2x2-1 Af=[-4 , -1] , g(x)=3x+1 Ag=[-2 , 5]

vii) f(x)=x2 , g(x)=x

x

+

−

2

2 1

,

,

x

x

<

≥

4

4



Λύση

Λύση

Λύση

15. ∆ίνονται οι συναρτήσεις : f(x)=2x-1 µε πεδίο ορισµού Α=(-∞ , 4 ] και g(x)=x

x

2

3 1+

,

,

x

x

≥

<

1

1 .

Nα βρεθεί η fog.

16. Οµοίως για τις : f(x)=

+

+

1

22x

x ,

, x

x

≤

>

1

1 και g(x)= x , να βρεθεί η fog

17. Αν f(x)=3

1 2

x

x−

,

, x

x

≥

<

1

1 και g(x)=

x

x +

1

,

,

x

x

≥

<

2

2 , να βρεθεί η fog



Λύση

Λύση

Λύση

18. ∆ίνονται οι συναρτήσεις : f(x)=ee

x

x

−+

11

και g(x)=ln11+−

xx

. Να ορισθεί η gof και να αποδειχθεί ότι είναι

ταυτοτική στο R .[ δηλ. (gof)(x)=x ]

19. ∆ίνεται η συνάρτηση : f(x)=kx

x−1

. Να βρεθεί ο k∈ R ώστε η συνάρτηση

fof να έχει τύπο (fof)(x)=x .

20. Ποια καµπύλη είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης : g(x) = f (f (f(x))) , αν f(x) = x−11

;



Λύση

Λύση

21. Έστω f, g δύο συναρτήσεις µε κοινό πεδίο ορισµού το διάστηµα ∆, οι οποίες παίρνουν θετικές τιµές για

κάθε x ∆∈ και οι οποίες είναι γνησίως αύξουσες στο ∆. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g1

f1+ είναι γνησίως

φθίνουσα στο ∆

22. ∆ίνεται η συνάρτηση f(x) = 1+x

x . α. Να αποδείξετε ότι η f είναι 1 – 1 β. Να βρείτε την f –1.



Λύση

Λύση

Λύση

23. ∆ίνεται συνάρτηση f, ορισµένη στο R, για την οποία ισχύει : (fof)(x)+x=0 , για κάθε x ∈R . Να αποδειχθεί ότι : i) η f είναι συνάρτηση 1-1 ii) η f δεν είναι γνησίως µονότονη iii) η f είναι περιττή iv) f(0)=0

24. ∆ίνεται συνάρτηση f : R*→ R τέτοια ώστε να ισχύει : f(x)-f(y)=f

yx

, για κάθε x, y ∈R* .

i) Να υπολογίσετε το f(1) ii) Αν η f(x)=0 έχει µοναδική ρίζα, να δείξετε ότι υπάρχει η f-1 iii) Να λυθεί η εξίσωση : f(x)+f(x2+3)=f(x2+1)+f(x+1) .

25.Να υπολογιστούν τα : i) 3

3 2lim

1 xx

xxx −

−+→

ii)

xx

xxxx −

−−−++→ 2

3 21213lim

1



Λύση

Λύση

Λύση

26. ∆ίνεται συνάρτηση f:R→ R µε την ιδιότητα f(x+y)=f(x)+f(y) για κάθε x,y ∈R.

Aν 0

lim→x

f(x)=0, να αποδειχθεί ότι : i) f(0)=0 ii) α→xlim f(x)=f(a) , a∈R .

27. Aν f2(x)-2f(x)+συν2x≤ 0 για κάθε x∈R, να αποδειχθεί ότι α. ( )1 x f x 1 x, ά x− ≤ ≤ + ∈ηµ ηµ για κ θε ¡ β.

0lim→x

f(x)=1 .

28. Αν για τις συναρτήσεις f,g :R→ R ισχύει ότι : α→xlim [f(x)+g(x)] = 0 = α→x

lim [f(x)g(x)]

να αποδειχθεί ότι : α→xlim f(x)= α→x

lim g(x)=0 .



Λύση

29. Αν για τη συνάρτηση f:R→ R ισχύει : 1

)(lim

1 −+

→ xxxf

x=2 , να βρεθεί το : α) ( )

x 1limf x→

β)

xxf

xfxfx

23)(

2)()(lim

2

2

1−+

−−→





Μάθηµα 3ο – Ισότητα και πράξεις συναρτήσεων – Σύνθεση συναρτήσεων Ερώτηση 1η α) Πότε δύο συναρτήσεις f και g είναι ίσες; Πως θα συµβολίζουµε τις ίσες συναρτήσεις; Ποια είναι η γεωµετρική ερµηνεία; β) Αν οι συναρτήσεις έχουν τον ίδιο τύπο (ίδιες τιµές για κάθε χ που ανήκει σε ένα διάστηµα) αλλά διαφέρουν τα πεδία ορισµούς τους, τότε είναι ίσες; Ποια είναι τότε η γεωµετρική ερµηνεία; Απάντηση Άσκηση 1η Βρείτε το µέγιστο υποσύνολο του R (περιορισµός συναρτήσεων σ’ ένα κοινό διάστηµα ∆) που οι παρακάτω συναρτήσεις

είναι ίσες. α. ( ) ( )2f x x , g x x= = β. ( ) ( )2

f x x , g x x= = γ) ( )2

2

1−=

+x

f xx x

και ( ) 11= −g x

x

Απάντηση Ερώτηση 2η α) Πως ορίζεται το άθροισµα, η διαφορά και το γινόµενο δύο συναρτήσεων;

β) Πως ορίζεται το πηλίκο fg

δύο συναρτήσεων f και g;

γ) Αν οι συναρτήσεις δεν έχουν το ίδιο πεδίο ορισµού τελικά δεν θα µπορούµε να κάνουµε πράξεις; Απάντηση



Άσκηση 2η

∆ίνονται οι συναρτήσεις: ( ) ( )f x x 1, g x 4 x= − = −

α. Βρείτε τα πεδία ορισµού των συναρτήσεων β. Σε ποιο διάστηµα µπορούµε να κάνουµε πρόσθεση, αφαίρεση και και πολ/σµό συναρτήσεων; γ. Ορίστε τις συναρτήσεις: f g,f g,f g+ − ⋅

δ. Ορίστε την συνάρτηση fg

Απάντηση

Ερώτηση 3η α. Έστω οι συναρτήσεις g, f µε πεδία ορισµού τα σύνολα Α και Β αντίστοιχα. Ποια συνάρτηση ορίζεται ως σύνθεση της g µε την f; Πως συµβολίζεται; ∆ώστε σχηµατική παράσταση. Παραδείγµατα β. Ποια συνάρτηση ορίζεται ως σύνθεση της f µε την g; Πως συµβολίζεται; ∆ώστε σχηµατική παράσταση. Παραδείγµατα

γ. Σωστό ή Λάθος; gof = fog

Απάντηση

Άσκηση 2η

Έστω οι συναρτήσεις µε τύπους: ( ) ( )2f x x 1, g x x 2= + = −

α. Βρείτε τα πεδία ορισµού των συναρτήσεων β. Ορίστε την συνάρτηση gof

γ. Ορίστε την συνάρτηση fog

Απάντηση



Άσκηση 3η

∆ίνονται οι συναρτήσεις: f(x)=2x-1 µε πεδίο ορισµού Α=(-∞ , 4 ] και g(x)=x

x

2

3 1+

,

,

x

x

≥

<

1

1 .

Nα βρεθεί η fog. Απάντηση

Άσκηση 4η

Οµοίως για τις : f(x)=

+

+

12

2x

x ,

, x

x

≤

>

1

1 και g(x)= x , να βρεθεί η fog

Απάντηση

Άσκηση 5η

Αν f(x)=3

1 2

x

x−

,

, x

x

≥

<

1

1 και g(x)=

x

x +

1

,

,

x

x

≥

<

2

2 , να βρεθεί η fog

Απάντηση



Άσκηση 6η

∆ίνονται οι συναρτήσεις : f(x)=ee

x

x

−+

11

και g(x)=ln11+−

xx

. Να ορισθεί η gof και να αποδειχθεί ότι είναι

ταυτοτική στο R .[ δηλ. (gof)(x)=x ]


∆ίνεται η συνάρτηση : f(x)=kx

x−1

. Να βρεθεί ο k∈ R ώστε η συνάρτηση fof να έχει τύπο: (fof)(x) = x


Ποια είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης : g(x) = f (f (f(x))) , όπου ( )f x1

1 x=−

;

Απάντηση





Μάθηµα 4ο – Μονοτονία – Ακρότατα συνάρτησης Ερώτηση 1η - Μονοτονία α) Έστω µια συνάρτηση f : A → R . Πότε η συνάρτηση f λέγεται • γνησίως αύξουσα και γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα Α; • αύξουσα και φθίνουσα στο διάστηµα Α; • γνησίως µονότονη στο διάστηµα Α; β) ∆ώστε γεωµετρική ερµηνεία σε κάθε περίπτωση ξεχωριστά. Απάντηση Βασική άσκηση 1η - Μονοτονίας

α. Αν η f είναι (γνησίως) µονότονη να αποδείξετε την ισοδυναµία: ( ) ( )f α f β α β= ⇔ =

β. Αν η f είναι γνησίως αύξουσα να αποδείξετε την ισοδυναµία: ( ) ( )α β f α f β< ⇔ <

γ. Αν η f είναι γνησίως φθίνουσα να αποδείξετε την ισοδυναµία: ( ) ( )α β f α f β< ⇔ > δ. Αν f: γνησίως αύξουσα και g: γνησίως φθίνουσα στο R ,λύστε τα παρακάτω (εξίσωση, ανισώσεις):

( ) ( )2i)f x x f x− = ( ) ( )2ii) f x x f x− > ( )2

2iii) g g 1

x 1 < +

( )( ) ( )( )iv) fog x 1 fog 0− <

Απάντηση



Βασική άσκηση 2η - Μονοτονίας α) Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως µονότονη σε ένα διάστηµα ∆, τότε να αποδείξετε ότι η εξίσωση f (x) = 0 έχει το πολύ µια ρίζα στο διάστηµα ∆. β) Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως µονότονη σε διάστηµα ∆, τότε να αποδείξετε ότι η fC τέµνει τον άξονα x’x το

πολύ µια φορά Απάντηση Βασική άσκηση 3η - Μονοτονίας Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως µονότονη σε ένα διάστηµα ∆, τότε τι συµπεραίνουµε για την συνάρτηση –f ; Βασική άσκηση 4η - Μονοτονίας Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως µονότονη σε ένα διάστηµα ∆=[-α , α], τότε να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f δεν είναι άρτια στο ∆. Βασική άσκηση 5η - Μονοτονίας Αν η συνάρτηση f, g είναι γνησίως φθίνουσες στο R , τότε να αποδείξετε ότι: α. f + g είναι γνησίως φθίνουσα στο R β. f g είναι γνησίως φθίνουσα στο R , αν f, g είναι θετικές στο R γ. fog είναι γνησίως αύξουσα στο R δ. gοf είναι γνησίως αύξουσα στο R ε. – f είναι γνησίως αύξουσα στο R



Άσκηση 5η - Μονοτονίας α. ∆ίνεται η γνησίως αύξουσα συνάρτηση f στο R . Να διατάξετε τους παρακάτω αριθµούς:

f(3), f(-3), f(0), f(π), f(e) β. ∆ίνεται η γνησίως φθίνουσα συνάρτηση f στο R . Να διατάξετε τους παραπάνω αριθµούς. Απάντηση

Άσκηση 6η (Ορισµός – Εξίσωση – Ανίσωση µονοτονίας) Α. Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω συναρτήσεις είναι γνησίως αύξουσες στο πεδίο ορισµούς τους.

α. ( ) 3f x x 2x 3= + − β. ( )f x 2 1 x= − − γ. ( ) xf x 1 x e= + − δ. ( )f x x 1 ln x= + +

Β. Με την βοήθεια µονοτονίας και της προφανής λύσης, λύστε τις εξισώσεις:

α. 3x 2x 3 0+ − = β. 2 1 x 0− − = γ. x1 x e 0+ − = δ. x 1 ln x 2+ + = Γ. Με την βοήθεια µονοτονίας και της προφανής λύσης, λύστε τις ανισώσεις:

α. 3x 2x 3 0+ − > β. 2 1 x 0− − < γ. xe 1 x≤ + δ. 1

x ln x x ln x2

+ > +

Απάντηση



Άσκηση 7η - Μονοτονίας Έστω οι γνησίως αύξουσες συναρτήσεις ( )f ,g : 0,→ +∞R , να αποδείξετε ότι η συνάρτηση:

( ) ( ) ( )( )h x ln f x g x= + είναι γνησίως αύξουσα στο R . Τι διαπιστώνουµε για την συνάρτηση – h;

Απάντηση

Ερώτηση 2η - Ακρότατα α) Έστω µια συνάρτηση f : A → R . Πότε η συνάρτηση f έχει: • (ολικό) µέγιστο και πότε (ολικό) ελάχιστο στο x0; • τοπικό µέγιστο και πότε τοπικό ελάχιστο στο x0; • ακρότατα; β) ∆ώστε γεωµετρική ερµηνεία σε κάθε περίπτωση ξεχωριστά. Απάντηση

Βασική άσκηση 1η - Ακροτάτων α. Ποια είναι τα πιθανά σηµεία ακροτάτων; β. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως µονότονη στο ανοικτό διάστηµα ∆ = (α, β), τότε έχει ακρότατα; γ. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως µονότονη στο κλειστό διάστηµα ∆ = [α, β], τότε έχει ακρότατα;

Απάντηση



Βασική άσκηση 2η - Ακροτάτων Πως λέγεται ο πίνακας που παρουσιάζει τις πληροφορίες για την µονοτονία και τα ακρότατα; ∆ώστε παραδείγµατα

Απάντηση

Άσκηση 3η - Ακροτάτων

∆ίνεται η συνάρτηση f : →R R µε τύπο ( ) 2f x x 2x 2= + +

α. Βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης

β. Βρείτε το ( )f 1−

γ. Να αποδείξετε ότι: ( )f x 1≥ για κάθε x∈ ¡

δ. Βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης

Απάντηση



Άσκηση 4η - Ακροτάτων

∆ίνεται η συνάρτηση ( ) x xf x e e−= +

α. Να αποδείξετε ότι: ( )f 0 2= και ( )f x 2≥ για κάθε x∈ ¡

β. Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης

Απάντηση Εργασία 1η Μονοτονία - Ακρότατα Να σχεδιάσετε τις βασικές γραφικές παραστάσεις από το σχολικό βιβλίο (σελ. 136 – 139) σε ένα µεγάλο χαρτόνι έτσι ώστε: Στην πρώτη στήλη να είναι οι γραφικές παραστάσεις, στη δεύτερη το πεδίο ορισµού, στην τρίτη το σύνολο τιµών, στην τέταρτη και πέµπτη η µονοτονία και τα ακρότατα των συναρτήσεων και στην τελευταία γράφουµε αν είναι άρτια ή περιττή.





Μάθηµα 5ο – Συνάρτηση «ένα προς ένα» – Αντίστροφη Ερώτηση 1η – «Συνάρτηση 1 -1» α) Έστω µια συνάρτηση f : A → R . Πότε η συνάρτηση f λέγεται ένα προς ένα (1 – 1) ; ∆ώστε βελοδιάγραµµα , τύπο.

β) Αν συνάρτηση είναι 1 – 1 f : A → R , τότε να αποδείξετε την ισοδυναµία: ( ) ( )1 2 1 2f x f x x x= ⇔ =

(αντιθεταντιστροφή). Πότε χρησιµοποιούµε την παραπάνω σχέση; ∆ώστε παραδείγµατα. γ) Πότε µια συνάρτηση f δεν θα είναι 1 – 1 ; ∆ώστε βελοδιάγραµµα, τύπο και παραδείγµατα (εφαρµογή και ασκήσεις βιβλίου σελ. 155 – 156) Απάντηση Ερώτηση 2η – «Συνάρτηση 1 -1» ∆ικαιολογήστε την απάντησή σας και να δοθεί σχήµα στις παρακάτω προτάσεις: α. Πως ελέγχουµε αν µια γραφική παράσταση συνάρτησης είναι 1 – 1 ; β. Αν η f είναι άρτια συνάρτηση στο [-α, α], τότε είναι 1 – 1; γ. Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέµνει τον άξονα x’x τουλάχιστον 2 φορές είναι 1 – 1 ; δ. Αν η εξίσωση f (x) =0 έχει τουλάχιστον 2 ρίζες, τότε είναι 1 – 1; Απάντηση



Βασική άσκηση 1η – Μονοτονία και 1 – 1 συνάρτηση α. Αν η f είναι (γνησίως) µονότονη, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι 1 – 1 β. Το αντίστροφο της πρότασης (α) ισχύει; ∆ώστε παράδειγµα (ασκήσεις βιβλίου σελ. 156) γ. Αναφέρετε ποιες προτάσεις έχουµε τελικά για να αποδεικνύουµε µια 1 – 1 συνάρτηση; Απάντηση Βασική Άσκηση 2η – Συνάρτηση 1 – 1 Αν η συνάρτηση f και g είναι 1 – 1 τότε να δείξετε ότι και οι επόµενες συναρτήσεις είναι 1 – 1 : α. fog β.gof γ. fof δ. gog ε. – f Απάντηση Βασική άσκηση 3η – Συνάρτηση 1 – 1 Έστω οι συναρτήσεις f ,g : →R R τέτοιες ώστε η σύνθεση fog είναι 1 – 1. Να αποδείξετε ότι και η g είναι 1 – 1



Άσκηση 4η – Συνάρτηση 1 – 1 (εξίσωση) Έστω η συνάρτηση f : →R R , η οποία για κάθε x∈R ικανοποιεί τη σχέση: ( )( )fof x 4x 3= +

α. Να αποδείξετε ότι η f είναι 1 – 1 β. Να λύσετε την εξίσωση: f(2x) = f (x+1) Άσκηση 5η – Συνάρτηση όχι 1 – 1 Εξετάστε αν υπάρχουν 1 – 1 συναρτήσεις f ,g : →R R τέτοιες ώστε:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 28f x f x 16, g x g x g 1 x− ≥ ≤ − για κάθε x∈R

Ερώτηση 3η – Αντίστροφη συνάρτηση α) Τι λέγεται αντίστροφη συνάρτηση; ∆ώστε συµβολισµό, τύπο και βελοδιάγραµµα. β) Πότε δεν ορίζεται αντίστροφη συνάρτηση; γ) ∆ώστε τα βήµατα που θα ακολουθούµε στις ασκήσεις για να βρούµε την αντίστροφη µιας ένας προς ένα συνάρτησης f (µε γνωστό τύπο). Απάντηση

Ερώτηση 4η – Αντίστροφη συνάρτηση α. Πως βρίσκουµε το σύνολο ορισµού της συνάρτησης f, αν γνωρίζουµε το τύπο της; β. Βρείτε το σύνολο ορισµού των παρακάτω συναρτήσεων

1. ( ) 3f x 1 x= − 2. ( ) ( )xg x ln e 1= − 3. ( )h x 2 4 x= − −

Απάντηση



Ερώτηση 5η – Αντίστροφη συνάρτηση α. Ποιες ιδιότητες έχει η αντίστροφη συνάρτηση, µιας συνάρτησης f; β. Ποια είναι η σχηµατική ερµηνεία µεταξύ των γραφικών παραστάσεων 1f , f − ; Πως θα το εφαρµόζουµε;

Απάντηση

Βασική άσκηση 4η – Αντίστροφη συνάρτηση (κοινά σηµεία των γραφικών παραστάσεων των f και 1f − )

α. Όταν µια συνάρτηση f : A → R είναι γνησίως αύξουσα, η εξίσωση ( ) ( )1f x f x− = είναι ισοδύναµη µε την

εξίσωση ……………… β. Ισχύει το ίδιο όταν η f : A → R είναι γνησίως φθίνουσα;

γ. Έστω η συνάρτηση f : →R R µε τύπο: ( ) 3f x x 3x 3= + −

α. Να αποδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιµη

β. Να βρείτε τα κοινά σηµεία των γραφικών παραστάσεων των f και 1f − Απάντηση



Βασική άσκηση 5η – Αντίστροφη συνάρτηση

Να αποδείξετε ότι για την συνάρτηση f : →R R

α. Αν είναι 1 – 1 τότε και η αντίστροφη συνάρτηση είναι 1 – 1 β. Αν είναι γνησίως αύξουσα στο R και η αντίστροφη συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο R γ. Αν είναι γνησίως φθίνουσα στο R και η αντίστροφη συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο R

Απάντηση Άσκηση 6η – Αντίστροφη συνάρτηση

Θεωρούµε την συνάρτηση ( ) 3f x 2x 3x 6= + −

α. Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται

β. Να λύσετε τις εξισώσεις: 1. ( )f x 11= − και 2. ( )1f x 2− =

γ. Να λύσετε την ανίσωση: 1. ( )f x 1> − και 2. ( )1f x 2− < −

Απάντηση



Άσκηση 7η – Αντίστροφη συνάρτηση

∆ίνεται η συνάρτηση ( ) xf x 2 x 8, x= + − ∈R

α. Να αποδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιµη

β. Να λύσετε την εξίσωση ( )f x x=

γ. Να βρείτε τα κοινά σηµεία των γραφικών παραστάσεων των 1f , f −

Απάντηση


Έστω η συνάρτηση ( ) 3f x x x 1, x= + − ∈R

α. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R

β. Να δείξετε ότι ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση της f και να βρείτε τον αριθµό ( )1f 1− −

γ. Να λύσετε την εξίσωση: ( ) ( )1f x f x−=

δ. Να λύσετε την ανίσωση: ( )( )fof x 1<

Απάντηση




Έστω η συνάρτηση f : →R R , οποία για κάθε x∈R ικανοποιεί τη σχέση ( )( )f f x 1 x− =

Να αποδείξετε ότι: α. Η f είναι 1 – 1 β. Το σύνολο τιµών της f είναι το R

γ. ( ) ( )1f x f x 1− = − για κάθε x∈R

Απάντηση


Έστω οι συναρτήσεις ( ) ( )f x x 4, g x 1 x= − = +

α. Βρείτε το πεδίο ορισµού των συναρτήσεων f, g

β. Να ορίσετε τις συναρτήσεις: 1. 1g− 2. 1fog− και 3. fg

Απάντηση



Ένα ιδιαίτερο θέµα από 1 – 1 και αντίστροφη συνάρτηση

Έστω η συνάρτηση ( ) xf x

1 x=

+

α. Βρείτε το πεδίο ορισµού της f β. Να αποδείξετε ότι η f είναι 1 – 1 γ. Να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση της f

δ. Βρείτε την συνάρτηση: 2010

fofo...of14442 4443

Απάντηση





Μάθηµα 6ο – Όριο συνάρτησης στον πραγµατικό αριθµό χ0 (Μορφή: 0/0) Ερώτηση 1η – «Όριο συνάρτησης» α) Τι ονοµάζουµε όριο της f(x) όταν το χ τείνει στο χ0; Να δώσετε διατύπωση, συµβολισµό και σχήµα. β) Τι ονοµάζουµε πλευρικά όρια της f στο χ0; Να δώσετε διατύπωση, συµβολισµό και σχήµα. γ) Πότε υπάρχει το όριο της f(x) όταν το χ τείνει στο χ0 και πότε δεν υπάρχει; ∆ώστε τύπο και παραδείγµατα και στις δύο περιπτώσεις. Απάντηση Ερώτηση 2η – «Ιδιότητες ορίων» Γράψτε και περιγράψτε τις ιδιότητες των ορίων και δώστε παραδείγµατα στο καθένα ξεχωριστά. Απάντηση



Βασική άσκηση 1η – Ύπαρξη ορίων Σηµειώστε τις παρακάτω προτάσεις αν είναι Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ). Στην περίπτωση που είναι Σωστή, να γίνει απόδειξη της πρότασης και αν είναι Λάθος δώστε αντιπαράδειγµα.

α. Αν τα όρια ( ) ( )o ox x x xf x , g xlim lim

→ →υπάρχουν και είναι πραγµατικοί αριθµοί τότε πάντα και το ( ) ( )( )

ox xf x g xlim

→±

υπάρχει και είναι πραγµατικός αριθµός.

β. Αν το ( ) ( )( )ox x

f x g xlim→

± υπάρχει και είναι πραγµατικός αριθµός τότε πάντα και τα όρια ( ) ( )o ox x x xf x , g xlim lim

→ →

υπάρχουν και είναι πραγµατικοί αριθµοί

γ. Αν το ( )ox xf xlim

→υπάρχει και είναι πραγµατικός αριθµός και το ( )

ox xg xlim

→δεν υπάρχει, τότε πάντα και το

( ) ( )( )ox x

f x g xlim→

± δεν υπάρχει.

δ. Αν τα ( )ox xf xlim

→, ( )

ox xg xlim

→ δεν υπάρχουν, τότε πάντα και το ( ) ( )( )

ox xf x g xlim

→± δεν υπάρχει.

ε. Αν για τις συναρτήσεις f,g :R→R και α πραγµατικό αριθµό ισχύει ότι: ( ) ( )( )x

f x g x 0lim→α

+ = και

( ) ( )( )x

f x g x 0lim→α

⋅ = τότε πάντα θα ισχύει: ( ) ( )x x

f x g x 0lim lim→α →α

= =

Απάντηση Ερώτηση 3η – Κριτήριο παρεµβολής ∆ιατυπώστε και δώστε σχήµα για το κριτήριο παρεµβολής. Πότε και πως θα το εφαρµόζουµε; Απάντηση



Ερώτηση 4η – Τριγωνοµετρικά όρια α. Να αποδείξετε ότι:

ox x0x xlim

→ηµ = ηµ

β. Αναφέρετε άλλα 3 βασικά τριγωνοµετρικά όρια που πρέπει να γνωρίζουµε Απάντηση Ερώτηση 5η – Όριο σύνθετης συνάρτησης Πως βρίσκουµε το όριο µιας σύνθετης συνάρτησης; Να δοθεί ο τύπος, τα βήµατα και να γίνουν παραδείγµατα. Απάντηση Μεθοδολογία 1η – Πλευρικά όρια Πότε χρησιµοποιούµε πλευρικά όρια; Αναφέρετε περιπτώσεις και παραδείγµατα. Απάντηση



Μεθοδολογία 2η – Απροσδιόριστη µορφή 0/0 Ποια βήµατα ακολουθούµε όταν το όριο είναι της µορφής 0/0; Αναφέρετε παραδείγµατα. Απάντηση Μεθοδολογία 3η – Απόλυτη τιµή Τι κάνουµε όταν στο όριο που θέλουµε να υπολογίσουµε υπάρχει απόλυτη τιµή; Αναφέρετε παραδείγµατα. Απάντηση Μεθοδολογία 4η – Τριγωνοµετρικά όρια Πως υπολογίζουµε όρια που περιέχουν τριγωνοµετρικούς αριθµούς; Αναφέρετε παραδείγµατα. Απάντηση Μεθοδολογία 5η – Βοηθητική συνάρτηση Όταν γνωρίζουµε ένα όριο και αναζητούµε κάποιο άλλο τι κάνουµε; Αναφέρετε παραδείγµατα. Απάντηση





Μάθηµα 7ο – Μη πεπερασµένο όριο στο x0 (α/0, µε α≠≠≠≠0) Ερώτηση 1η – « Μη πεπερασµένο όριο » α) Πότε λέµε ότι µια συνάρτηση f έχει στο x0 όριο το +∞ ή -∞; Να δοθεί και σχήµα

β) Αν ( )ox xf xlim

→= +∞ ή -∞ τότε το όριο υπάρχει στο x0 ;

Απάντηση Ερώτηση 2η – «Ιδιότητες µη πεπερασµένων ορίων» Γράψτε και περιγράψτε τις ιδιότητες των µη πεπερασµένων ορίων και δώστε παραδείγµατα στο καθένα ξεχωριστά. Απάντηση



Ερώτηση 3η – «Απροσδιόριστη µορφή» α. Τι ονοµάζουµε απροσδιόριστη µορφή (ΑΜ); β. Τι κάνουµε όταν σ’ ένα όριο προκύψει απροσδιόριστη µορφή; γ. Αναφέρεται τις κυριότερες απροσδιόριστες µορφές Απάντηση Ερώτηση 4η –«Άθροισµα - διαφορά µη πεπερασµένων ορίων»

Αν γνωρίζουµε ότι τα όρια ( ) ( )o ox x x xf x , g xlim lim

→ →υπάρχουν και είναι πραγµατικοί αριθµοί ή άπειρο τότε τι ισχύει για

τα όρια: α) ( ) ( )( )ox x

f x g xlim→

+ β) ( ) ( )( )ox x

f x g xlim→

− ;

Συµπληρώστε τον παρακάτω πίνακα.

Ερώτηση 5η – «Γινόµενο – πηλίκο – δύναµη µη πεπερασµένων ορίων»

Αν γνωρίζουµε ότι τα όρια ( ) ( )o ox x x xf x , g xlim lim

→ →υπάρχουν και είναι πραγµατικοί αριθµοί ή άπειρο τότε τι ισχύει για

τα όρια: α) ( ) ( )( )ox x

f x g xlim→

⋅ β) ( )( )ox x

f x

g xlim→

γ) ( )( )ox x

f xlim→

ν ;

Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα.

Αν στο x0∈R,

το όριο της f είναι: α>0 α<0 α>0 α<0 0 0 +∞ +∞ -∞ -∞ +∞ -∞

και το όριο της g είναι: +∞ +∞ -∞ -∞ +∞ -∞ +∞ -∞ +∞ -∞ 0 0

τότε το όριο της f····g είναι:

το όριο της f / g είναι:

το όριο της f n, nN* - - -

Αν στο x0∈R

το όριο της f είναι: α∈R α∈R +∞ -∞ +∞ -∞

και το όριο της g είναι: +∞ -∞ +∞ -∞ -∞ +∞

τότε το όριο της f + g είναι: τότε το όριο της f – g είναι:



Κατηγορία 1η Ασκήσεων α/0 «σχήµα»

Βρείτε τα όρια (αν υπάρχουν) ( ) ( )o ox x x x+ -f x , f xlim lim

→ →, στα παρακάτω σχήµατα

α. x0 = 0

β. x0 = 0 γ) x0

y

x=

12

O x

y

Κατηγορία 2η Ασκήσεων α/0 – «Σταθερό πρόσηµο παρονοµαστή κοντά στο x0»

Βρείτε τα παρακάτω όρια: α. x

x 5x 6x 1→−

− ++

2

1lim β.

x 3

xx 3→

− −− 2

3 2lim

( )

γ. x 0

x

4 2

e 5 xx 2011x

lim→

+ ηµ+

δ. ( )

x 0 4

2x 3

4 (x 1) xlim→

συν −

⋅ − ⋅ ε.

x 0

x 1

xlim→

−

Απάντηση

O x0 x x

f (x)

x

y

O x

y

α>0

O x

y

α<0



Κατηγορία 3η Ασκήσεων α/0 – «Μη σταθερό πρόσηµο παρονοµαστή κοντά στο x0»

Βρείτε τα παρακάτω όρια: α. x 1

x x 2x 1

lim→

− +−

2

β. x 1 2

3 41 x x 1

lim→

+ − − γ.

x 0

23

1x 2

xlim→

+

Απάντηση Κατηγορία 4η Ασκήσεων α/0 – «Τριγωνοµετρικά όρια»

Βρείτε τα όρια: α. x 0

x 1x

lim→

+ηµ

β. x

2

x 2x

lim→π

−συν

γ. x 0

x 1x 1

lim→

+συν −

δ. x

2

xlim→πεϕ ε.

x 0xlim

→σϕ στ.

x32

x 1x 1

lim→

π

συν −ηµ +

Απάντηση Κατηγορία 5η Ασκήσεων α/0 – «Παραµετρικά όρια»



Βρείτε τα παρακάτω όρια για τις διάφορες τιµές των πραγµατικών αριθµών λ και µ:

α. ( )x 1 4

x

x 1lim→

λ

− β.

x 1

2x 1x 1

lim→

λ −−

γ. x 1

xx 1

lim→

λ−

ε. ( )x 1 2

x

x 1lim→

λ +µ

−

Απάντηση Άσκηση 2η – Παραµετρικά όρια

∆ίνονται οι συναρτήσεις 1

2)1()( 2

2

−−+−

=x

xxλxf και

xµxx

xg++

=2

)(2

α. Να βρείτε την τιµή του πραγµατικού αριθµού λ, αν υπάρχει το όριο )(lim1

xfx→

β. Να βρείτε την τιµή του πραγµατικού αριθµού µ, αν υπάρχει το όριο )(lim0

xgx→

γ. Στη συνέχεια να υπολογίσετε τα παραπάνω όρια Απάντηση



Κατηγορία 6η Ασκήσεων α/0 – «Βοηθητική συνάρτηση» Να βρείτε το )(lim

1xf

x→, όταν:

α. 3

x 1

x 2lim

f (x)→

−= +∞ β.

x 1

f (x) 3lim

x 1→

+ = −∞ + γ. 3

x 1lim[f (x)(3x 5)]→

− = +∞

Απάντηση





Μάθηµα 8ο – Όρια συνάρτησης στο άπειρο Ερώτηση 1η – « Όρια συνάρτησης στο άπειρο »

α) Έστω συνάρτηση f, οποία είναι ορισµένη στο διάστηµα ( ),α +∞ . Πότε θα λέµε ότι η συνάρτηση f έχει όριο: 1.

R∈l 2. +∞ 3. −∞ όταν το χ τείνει +∞ ; β) ∆ιατυπώστε τα ανάλογα συµπεράσµατα όταν το χ τείνει στο −∞ Απάντηση Ερώτηση 2η – «Ιδιότητες ορίων όταν το χ τείνει στο άπειρο» Γράψτε και περιγράψτε τις ιδιότητες των ορίων όταν το χ τείνει στο άπειρο και δώστε ξεχωριστά παραδείγµατα για το καθένα. Απάντηση



Κατηγορία 1η (σχήµα)

Βρείτε τα όρια (αν υπάρχουν) ( ) ( )x x

f x , f xlim lim→+∞ →−∞

, στα παρακάτω σχήµατα

( )xfy =

O x

y

Cf

f (x)

(a) O

l

+∞ x x

y

O x

y

y=f (x)

l

f (x)

(α) O

−∞ x x

y

Cf

Κατηγορία 2η ( Πολυωνυµική συνάρτηση) Α. Πως βρίσκουµε τα όρια στο άπειρο όταν η συνάρτηση είναι πολυωνυµική; ∆ώστε το τύπο και αποδείξτε το.

Β. Βρείτε τα όρια: α. ( )2

xx 5x 3

→+∞− +lim β. ( )4

x1 x x

→−∞+ −lim

γ. ( )x

3 2x 5 x 6 x 2011 , , , Rlim→−∞

+ λ − µ + ρ λ µ ρ∈ δ. ( )x

2x x 1 , Rlim→−∞

+ λ − λ∈

Απάντηση

O x

y

α>0

O x

y

α<0



Κατηγορία 3η (Ρητή συνάρτηση) Α. Πως βρίσκουµε τα όρια στο άπειρο όταν η συνάρτηση είναι ρητή; ∆ώστε τον τύπο και αποδείξτε το. Β. Βρείτε τα όρια:

α. x

x x 2x 1

lim→+∞

− +−

2

β. x 2

4x 3x x 1

lim→±∞

+ + −

γ. x

5

3 5

3x x 21 x x

lim→±∞

− ++ +

Γ. Βασική άσκηση: Έστω οι πολυωνυµικές συναρτήσεις P(x), Q(x) µε βαθµό ν, µ αντίστοιχα, τότε να αποδείξτε

τα εξής: 1. ( )( )x

*

0 ,P x

,Q x

,

lim→±∞

ν < µ= ∈ ν = µ ±∞ ν > µ

l ¡ 2. ( )( )x

P x ,

,Q xlim→±∞

∈ ν ≤ µ=

±∞ ν > µ

l ¡

Απάντηση Κατηγορία 4η (απόλυτη τιµή)



Α. Πως βρίσκουµε τα όρια στο άπειρο όταν η συνάρτηση έχει απόλυτες τιµές; Β. Βρείτε τα όρια:

α. x

xlim→±∞

β. ( )x

x 1 2 x 3 7lim→+∞

− + + − γ. ( )x

x 1 2 x 3 7lim→−∞

− + + − δ 2

2x

| x 5x | xlim

x x 2→−∞

− ++ +

ε. 2

x

| x x | 3lim

x 2011→+∞

− −+

Απάντηση Κατηγορία 5η (άρρητες συναρτήσεις) Α. Πως βρίσκουµε τα όρια στο άπειρο όταν η συνάρτηση είναι άρρητη; ∆ικαιολογήστε τα παρακάτω βασικά όρια

1. x

xlim→+∞

= +∞ και 2. x

xlim→±∞

= +∞

Β. Βρείτε τα όρια:

α. 2

xlim 4x x 1→+∞

− + β. 2

xlim 9 10x x→−∞

− + γ. 2 2

xlim x 1 x x( )→+∞

+ + − δ. 2 2

xlim x 1 x x( )→+∞

+ − −

ε. 2

xlim ( x 5 x)→−∞

+ + στ. 2

x

x 12x 1lim

x 3→+∞

− +−

ζ. 2

2x

x x 1lim

x x 1→+∞

− +

− − η.

2

2x

x x 1lim

x x 1→−∞

− +

− − θ.

2

2x

x 1 5 xlim

3x 1 2x→−∞

+ + −

+ +

Απάντηση



Κατηγορία 6η (Πολλαπλού τύπου) Α. Πως βρίσκουµε τα όρια στο άπειρο όταν η συνάρτηση είναι πολλαπλού τύπου; Β. Βρείτε τα όρια στο άπειρο για τις παρακάτω συναρτήσεις:

α.

>≤

=1,51,

)(2

xxxx

xf β.

−≥+

−<−=

1,1

1,2)( 2 xx

xxxf γ. ( )

x 3,x 2

f x x 21 ,x 2

− ≠= − − =

Απάντηση

Κατηγορία 7η (εκθετικές συναρτήσεις) Α. Πως βρίσκουµε τα όρια στο άπειρο όταν η συνάρτηση είναι εκθετική; ∆ικαιολογήστε τα παρακάτω βασικά όρια

1. x x

x x, 0lim lim→+∞ →−∞

α = +∞ α = για α > 1 και 2. x x

x x0,lim lim→+∞ →−∞

α = α = +∞ για 0 < α < 1

Β. Βρείτε τα όρια: α. x

xlim 3→+∞

β. x

xlim 3−→+∞

γ. x

xlim e→+∞

δ. x

xlim e→−∞

ε. x

x

2lim

e→−∞

στ. x x

x xx

3 4lim

3 4→+∞

+ −

ζ.x x

x xx

3 4lim

3 4→−∞

+ −

Απάντηση



Κατηγορία 8η (λογαριθµικές συναρτήσεις) Α. Πως βρίσκουµε τα όρια στο άπειρο όταν η συνάρτηση είναι λογαριθµική; Εξηγήστε τα παρακάτω όρια:

1. x x

ln x , log xlim lim→+∞ →+∞

= +∞ = +∞ και 2. ( ) ( )x 0 x 0

ln x , log xlim lim++→ →

= −∞ = −∞

Γιατί δεν υπάρχουν τα όρια στο −∞ ;∆ικαιολογήστε την απάντησή σας. Β. Βρείτε τα όρια:

α. ( )2

xlim ln x x→+∞

− β. x

1lim

ln x 2→+∞ − γ.

x

1lim

ln x→+∞ δ.

x

2ln x 1lim

ln x 1→+∞

−+

ε. 2

xlim ( x 5 x)→−∞

+ +

στ. 2

x

x 12x 1lim

x 3→+∞

− +−

ζ. 2

2x

x x 1lim

x x 1→+∞

− +

− − η.

2

2x

x x 1lim

x x 1→−∞

− +

− − θ.

2

2x

x 1 5 xlim

3x 1 2x→−∞

+ + −

+ + Απάντηση



Κατηγορία 9η (Τριγωνοµετρικά όρια) – (σε συνδυασµό µε τις κατηγορίες 11 και 12) Α. Πως βρίσκουµε τα όρια στο άπειρο όταν η συνάρτηση είναι τριγωνοµετρική; ∆ικαιολογήστε γεωµετρικά γιατί τα όρια

xxlim

→±∞ηµ και

xxlim

→±∞συν δεν υπάρχουν.


α. x

xlim

x→±∞

ηµ β.

x

xlim

x→±∞

συν γ.

x

xlim

xν→±∞

ηµ δ.

x

xlim

x

ν

→±∞

ηµ

ε. 2x

x x 1lim

x x→−∞

ηµ −+ συν

Απάντηση

Κατηγορία 10η (παραµετρικά όρια) Α. Πως βρίσκουµε τα όρια στο άπειρο όταν η συνάρτηση έχει παραµέτρους; ∆ικαιολογήστε τα παρακάτω βασικά όρια

1. ( )x

, 0x . , 0

, 0

lim→+∞

+∞ λ >λ = ΑΜ λ = −∞ λ <

και 2. ( )x

, 0x . , 0

, 0

lim→−∞

−∞ λ >λ = ΑΜ λ = +∞ λ <


α. 2

xlim ( x x 3 x)→−∞

− + + µ β. 3 2

2x

( 1)x 2 x 10x 3lim

x 5x 6→+∞

µ − + µ − + + µµ − + −µ

γ. 2

xlim ( x 5x 7 x)→+∞

+ + − λ



Γ. Αν βxαxx

xf +−++

=11

)(2

να βρείτε τις τιµές των Ñ∈βα, , για τις οποίες ισχύει 0)(lim =+∞→

xfx

∆. Να προσδιορίσετε το Ñ∈λ , ώστε το 2

xlim ( x 5x 10 x 1)→+∞

+ + − λ + να υπάρχει στο Ñ. Στη συνέχεια να

βρείτε και το όριο.

Ε. Για α, β πραγµατικούς αριθµού να βρείτε τα όρια ( ) ( )x x

f x , f xlim lim→+∞ →−∞

όπου

>+

≤+=

3,3

3,2)(

xβxα

xβxαxf

Απάντηση

Κατηγορία 11η (αλλαγή µεταβλητή) Α. Πως αλλάζουµε µεταβλητή στα όρια όταν το χ τείνει στο άπειρο; Β. Βρείτε τα όρια:

α. x

1lim x

x→+∞

ηµ

β. ( )xlim x 1 x , x 0→+∞

ηµ + − ≥ γ. 2x x

xlim e −

→−∞

Απάντηση



Κατηγορία 12η (Κριτήριο παρεµβολής) Α. Ισχύει το κριτήριο παρεµβολής στα όρια όταν το χ τείνει στο άπειρο; ∆ώστε τον τύπο. Σε ποια κατηγορία ασκήσεων θα το εφαρµόζουµε κυρίως;

Β. ∆ίνεται συνάρτηση ( ) 2

x xf x

x 1ηµ

=+

α. Να αποδείξετε ότι: ( )2 2

x xf x

x 1 x 1− ≤ ≤

+ + για κάθε x 0≥

β. Βρείτε το όριο: ( )xlim f x→+∞

γ. Βρείτε το όριο ( )x

f xlim→−∞

Γ. Έστω η συνάρτηση f : R R→ µε ( ) ( )2 2f x x 1 x x= + − ⋅ηµ

α. Να αποδείξετε ότι: ( )2

1f x

x 1 x≤

+ + β. Να υπολογίσετε το όριο: ( )

xf xlim

→+∞

Απάντηση

Κατηγορία 13η (Βοηθητική συνάρτηση) Α. Πότε παίρνουµε βοηθητική συνάρτηση; Ποια συνάρτηση θέτουµε ;

Β. Έστω η συνάρτηση f : R R→ για την οποία ισχύει ( )( )x

2f x x 1 1lim→+∞

− + = . Να υπολογίσετε τα όρια:

α. ( )x

f xlim→+∞

β. ( )

x

f x

xlim→+∞

γ. ( )( )x

2f x x

f x 3xlim→+∞

−

+

Απάντηση





Μάθηµα 9ο – Συνέχεια – Βασικά θεωρήµατα συνέχειας Ερώτηση 1η – « Ορισµός συνέχειας στο x0» α) Έστω συνάρτηση f : A R→ , πότε θα λέµε ότι είναι συνεχής σε ένα σηµείο 0x του πεδίου ορισµού της;

β) Θα αναζητάµε συνέχεια σε σηµεία εκτός του πεδίου ορισµού της;

γ) Πότε µια συνάρτηση f : A R→ δεν θα είναι συνεχής στο 0x A∈ ; Απάντηση Ερώτηση 2η – «Συνεχής συνάρτησης – βασικές συνεχείς συναρτήσεις» α) Πότε µια συνάρτηση f λέγεται συνεχής; β) Αναφέρεται βασικές συναρτήσεις που είναι συνεχής στο πεδίο ορισµού της Απάντηση Ερώτηση 3η – «Συνέχεια σε διάστηµα» α) Πότε µια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ανοικτό διάστηµα (α, β) ; β) Πότε µια συνάρτηση f είναι συνεχής στο κλειστό διάστηµα [α, β]; Απάντηση



Ερώτηση 4η – «Πράξεις συνεχών συναρτήσεων – Σύνθεση συνεχών συναρτήσεων» α) Αν οι συναρτήσεις f, g είναι συνεχείς στο 0x τότε γράψτε και ποιες πράξεις των f, g είναι συνεχείς στο 0x ;

Με την προϋπόθεση ότι ορίζονται σε ένα διάστηµα που περιέχει το 0x .

β) Πότε θα λέµε ότι η συνάρτηση g o f είναι συνεχής στο 0x ; Απάντηση Άσκηση 1η

∆ίνεται η συνάρτηση ( )x x 1

,0 x 1x 1f x

x 2 2x 1

x 1

−< <

−= − + ≥ +

α)Βρείτε το όριο ( )x 1

f xlim→

β) Βρείτε την τιµή ( )f 1 και εξετάστε αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0x 1=

γ) Εξετάστε αν η συνάρτησης f είναι συνεχής στο πεδίο ορισµού της Απάντηση



Άσκηση 2η


Απάντηση



Άσκηση 4η


Απάντηση



Άσκηση 6η


Απάντηση



Άσκηση 8η

Απάντηση



Ερώτηση 5η – « Θεώρηµα Bolzano» α) Να διατυπώσετε το Θεώρηµα Bolzano. ∆ώστε την γεωµετρική ερµηνεία. β) Το θεώρηµα Bolzano είναι θεώρηµα ύπαρξης ή εύρεσης ρίζας εξίσωσης; Πόσες ρίζες µας εξασφαλίζει; γ) Γράψτε ισοδύναµες εκφράσεις που µας παραπέµπουν στο Θεώρηµα Bolzano δ) Το αντίστροφο του Θεωρήµατος Bolzano ισχύει; ε) Ανέκδοτο: Πόσα παιδιά έχει ο Βοlzano? Απάντηση Κατηγορία 1η – « Μία τουλάχιστον λύση στο (α, β) - [α, β]»

α) Όταν θέλουµε να αποδείξουµε ότι η εξίσωση έχει µία τουλάχιστον λύση στο (α, β) ποια βήµατα

ακολουθούµε;

πχ. Έστω η συνάρτηση [ ]f : ,α β →R , ώστε: ( ) ( ) ( ) ( )f f f fα ⋅ β + αβ < α β +β α . Να αποδείξετε ότι:

1. ( )( ) ( )( )f f 0α −α β −β < 2. Η εξίσωση ( )f x x= έχει µία τουλάχιστον λύση στο ( ),α β

β) Όταν θέλουµε να αποδείξουµε ότι η εξίσωση έχει µία τουλάχιστον λύση στο [α, β] ποια βήµατα

ακολουθούµε;

πχ. Έστω η συνεχής συνάρτηση f : →R R για την οποία ισχύει ( ) ( )f x f x 1ηµ + συν = για κάθε .

Να αποδείξετε ότι: 1. ( ) ( )f 0 f 1 1+ = 2. Η εξίσωση ( )f x x= έχει µία τουλάχιστον ρίζα στο [ ]0,1

Απάντηση



Κατηγορία 2η – « Μία το πολύ λύση – Μία ακριβώς λύση στο (α, β)» α) Όταν θέλουµε να αποδείξουµε ότι η εξίσωση έχει µία το πολύ λύση στο (α, β) ποια βήµατα ακολουθούµε; β) Βασική άσκηση: Έστω συνάρτηση f γνησίως µονότονη στο [α, β], τότε να αποδείξετε ότι η εξίσωση f (x) = 0 έχει µία το πολύ λύση στο (α, β).

πχ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = x5 +3x +1 έχει µία το πολύ λύση στο R. γ) Όταν θέλουµε να αποδείξουµε ότι η εξίσωση έχει µία ακριβώς λύση στο (α, β) ή [α, β] ποια βήµατα ακολουθούµε;

πχ. ∆ίνεται η συνάρτηση ( ) 3f x x 3x= + + λ µε x∈R όπου λ πραγµατικός αριθµός τέτοιος ώστε:

4λ ≤ . Να αποδείξετε ότι, η εξίσωση ( )f x 0= έχει µία ακριβώς λύση στο διάστηµα [ ]1,1−

Απάντηση



Κατηγορία 3η – « ∆ύο τουλάχιστον ή το πολύ ή ακριβώς λύσεις στο (α, β)» α) Όταν θέλουµε να αποδείξουµε ότι η εξίσωση έχει δύο τουλάχιστον λύσεις στο (α, β) ποια βήµατα ακολουθούµε;

πχ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2x x x xσυν + ηµ = έχει δύο τουλάχιστον λύσεις στο ( ),−π π

β) Αν θέλουµε να αποδείξουµε ότι η εξίσωση έχει δύο το πολύ λύσεις στο (α, β) τότε τι κάνουµε;

πχ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( )( ) ( )( ) ( )( )x x x x x x 0α −µ −ν +β −λ − ν + γ − λ −µ = όπου α, β,

γ, λ, µ, ν πραγµατικοί αριθµοί, έχει το πολύ δύο λύσεις. γ) Όταν θέλουµε να αποδείξουµε ότι η εξίσωση έχει δύο ακριβώς λύσεις στο (α, β) ποια βήµατα ακολουθούµε;

πχ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( )( ) ( )( ) ( )( )x x x x x x 0α −µ −ν +β −λ − ν + γ − λ −µ =

όπου α, β, γ > 0 και λ < µ < ν έχει δύο ακριβώς άνισες λύσεις στο διάστηµα (λ, ν) Απάντηση



Κατηγορία 4η – « ∆ιατηρεί σταθερό πρόσηµο» α) Όταν θέλουµε να αποδείξουµε ότι η συνάρτηση f διατηρεί σταθερό πρόσηµο τι πρέπει να γνωρίζουµε;

πχ. Έστω η συνεχής συνάρτηση f : →R R για την οποία ισχύει ( ) ( )2 2f x 2f x x− = για κάθε x∈R

και είναι ( )f 0 2= .

1. Να αποδείξετε ότι η f διατηρεί σταθερό πρόσηµο στο R 2. Να βρείτε τον τύπο της f β) Πως βρίσκουµε το πλήθος ριζών µιας εξίσωσης f(x) = 0 και πως την µελετάµε ως προς τα πρόσηµα;

πχ. Έστω συνάρτηση ( )f x 2x 2 x, x 0,2π = ηµ − συν ∈

1) Να λύσετε την εξίσωση ( )f x 0= 2) Να µελετήσετε την f ως προς τα πρόσηµα

Απάντηση



Άσκηση 9η Έστω ο µιγαδικός z i= α + β µε , Rα β∈ και η συνάρτηση ( )f x z xi , x R= − ∈ της οποίας η γραφική της

παράσταση διέρχεται από το σηµείο Α (1, 2).

Α. Να αποδείξετε ότι 1 z 3≤ ≤ . Για ποιες τιµές του z ισχύουν οι ισότητες;

Β. Να αποδείξετε ότι: Η εξίσωση ( )f x 2 z x= ⋅ , έχει τουλάχιστον µια ρίζα στο διάστηµα (-1, 1) .


Έστω η συνάρτηση ( )2

2

x 2x 1 , 1 x 1f x

3x 6x 1 ,1 x 2

− − − ≤ ≤=

− + < ≤

Α. Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο διάστηµα [-1, 2] Β. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει δύο ακριβώς λύσεις στο (-1, 2) Απάντηση



Άσκηση 11η

Έστω f: [ ],α β →ℜ συνεχής συνάρτηση και οι µιγαδικοί αριθµοί z = α+βi, z1 = α+if(α), z2 = β+if(β).

Αν ισχύει ( ) ( )2 21 23 z z 4izz 4i Re z z− − = , να δειχθεί ότι η Cf έχει ένα τουλάχιστον κοινό σηµείο µε

τον άξονα x’x. Απάντηση Άσκηση 12η Έστω η συνεχής συνάρτηση f για την οποία ισχύει f 2(x) + χ2= 5χ για κάθε χ∈∆ = (0,5). Να αποδείξετε ότι η f: α) ∆εν έχει ρίζες στο διάστηµα ∆ β) Έχει σταθερό πρόσηµο στο διάστηµα ∆ γ) Να βρεθεί ο τύπος της f στο ∆, αν επιπλέον γνωρίζουµε ότι f (1 ) = - 2. Απάντηση



Ερώτηση 6η – « Θεώρηµα Ενδιαµέσων τιµών (Θ.Ε.Τ)» α) Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το θεώρηµα των ενδιαµέσων τιµών. β) ∆ώστε την γεωµετρική ερµηνεία γ) Ποια είναι η σχέση του µε το Θεώρηµα του Bolzano; δ) Αν ισχύει το Θ.Ε.Τ για την συνάρτηση f στο διάστηµα [α, β] και είναι γνησίως µονότονη σ’ αυτό τότε τι συµπεραίνουµε;

ε) Αν στο Θ.Ε.Τ ισχύει ( ) ( )f ,f η∈ α β τότε η ρίζα x0 τέτοια ώστε f(x0) = η, ανήκει στο κλειστό διάστηµα [α, β];

στ) Ποια είναι τα συµπεράσµατα του Θ.Ε.Τ; ∆ηλαδή, α) Τι ισχύει για την εικόνα µέσω µιας συνεχούς συνάρτησης; β) Αν µια συνάρτηση είναι συνεχής και 1 – 1 τι συµπεραίνουµε;

πχ. Έστω η συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο [α, β] µε f (α) =0 και f (β) =1. Να αποδείξετε ότι:

1) ( ) ( )f ln 2 fα < < β 2) Υπάρχει ένα τουλάχιστον ( )0x ,∈ α β ώστε ( )0f x ln 2=

πχ. Έστω συνάρτηση f : →R Q ώστε να είναι ( )f 1 1= και ( )f 2 2= . Να αποδείξετε ότι:

1) ( ) ( )f 1 2 f 2< < 2) Η f δεν είναι συνεχής

Απάντηση



Ερώτηση 7η – « Θεώρηµα µέγιστης και ελάχιστης τιµής» α) Να διατυπώσετε και το θεώρηµα µέγιστης και ελάχιστης τιµής. β) ∆ώστε την γεωµετρική ερµηνεία γ) Με ποιο θεώρηµα «συνεργάζεται» καλύτερα; ∆είτε την βασική άσκηση δ) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο κλειστό διάστηµα [α, β], τότε ποιο είναι το σύνολο τιµών της; ∆ώστε γεωµετρική ερµηνεία.

Βασική άσκηση: Έστω η συνεχής συνάρτηση [ ]f : , Rα β → µε 0 < α < β . Αν m η ελάχιστη τιµή και

Μ η µέγιστη τιµή της f, να αποδείξετε ότι:

1) ( ) ( )f f

mα α +β β

≤ ≤ Μα +β

2) Υπάρχει ένα τουλάχιστον [ ],ξ∈ α β τέτοιο ώστε: ( ) ( ) ( )f ff

α α +β βξ =

α +β

Απάντηση



Ερώτηση 8η – « Σύνολο τιµών συνεχούς συνάρτηση – Εύρεση σύνολο τιµών (Γ’ µέθοδος)» α) Αν µια συνεχής συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο [α, β] τότε ποιο είναι σύνολο τιµών της; β) Αν µια συνεχής συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο [α, β] τότε ποιο είναι σύνολο τιµών της; γ) Αν µια συνεχής συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο (α, β) τότε ποιο είναι σύνολο τιµών της; δ) Αν µια συνεχής συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο (α, β) τότε ποιο είναι σύνολο τιµών της; ε) Τελικά πως βρίσκουµε το σύνολο τιµών µιας συνεχούς συνάρτησης σε ένα διάστηµα ή σε ένωση διαστηµάτων; Να δοθούν σχήµατα

πχ. Να βρείτε το σύνολο τιµών για τις παρακάτω συναρτήσεις:

1) ( ) 2f x x x 1= + ηµ − στο 0,2π

2) ( ) xf x e xσυν= −ηµ στο 0,

2π

3) ( ) 2f x x x ln x 1= + + στο ( )1,+∞ 4) ( ) ( )f x ln 1 ln x= − στο πεδίο ορισµού της

Απάντηση



Άσκηση 13η

Έστω η συνάρτηση ( )( ) ( )2 2

2

2

x 5x,x 0f x Rx

25 ,x 0

+

ηµ α + ηµ ≠= µε α∈ α + =

Α. Να βρεθούν τα όρια ( )x

f xlim→+∞

και ( )x

f xlim→−∞

Β. Να εξετάσετε αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο R. Γ. Αν επί πλέον για κάθε x R∈ ισχύει f(x) ≤ 10α , τότε: i. Αποδείξετε ότι α = 5 . ii. Βρείτε τα κοινά σηµεία της γραφικής παράστασης της f µε τον άξονα x x’ και y’y (αν υπάρχει). iii. Βρείτε το σύνολο τιµών της συνάρτησης f και

iv. Aποδείξτε ότι η εξίσωση f(x) = 49 έχει µια τουλάχιστον ρίζα στο 0,2π

Απάντηση



Άσκηση 14η

∆ίνεται η συνεχής και γνησίως αύξουσα συνάρτηση f : →¡ ¡ για την οποία ισχύουν: f (x) f (3 x), x= − − ∀ ∈ ¡ και

xf (x) ,lim

→−∞= ∈l l ¡

α. Να δείξετε ότι υπάρχει µοναδικό ( )0x 0,3∈ τέτοιο ώστε: 0f (x ) 0= β. Να δείξετε ότι 0<l γ. Να βρείτε το σύνολο τιµών της f Απάντηση

Άσκηση 15η

∆ίνεται η συνάρτηση, ( ) ( )2f (x) ln x x 1 ln (1 )x= α + + − + α + α κα0 x 0ι> α ≥

Α. Για τις διάφορες τιµές του α να βρείτε x

f (x)lim→+∞

Β. Έστω ότι α = 0 α. Να µελετήσετε την συνάρτηση f ως προς τη µονοτονία β. Να βρείτε το σύνολο τιµών της f γ. Να ορίσετε την αντίστροφή της Απάντηση



Άσκηση 16η

∆ίνεται η συνεχής συνάρτηση f : →¡ ¡ ,για την οποία ισχύει x 0

f (x) 2lim 0

x→

−=

Α. α. Να βρείτε το f(0) . β. Να βρείτε το όριο: 2

2x 0

x f (x)lim

x→

+ηµ

Β. Αν επιπλέον για την f ισχύει 2 x 2xf (x) e f (x) e 1, x−− = + ∈ ¡

α. Να δείξετε ότι: x xf (x) e e , x−= + ∈ ¡ β. Να υπολογίσετε τα όρια

( )x x

f (x), f xlim lim→+∞ →−∞

γ. Να χρησιµοποιήσετε δεδοµένο ότι η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο ( ],0−∞ και γνησίως αύξουσα

στο [ )0,+∞ για να δείξετε ότι η εξίσωση f(x) = k έχει δύο ακριβώς ρίζες για κάθε τιµή του k µε k > 2 .

Απάντηση

Μαθήματα 1 - 9 στο Κεφάλαιο 1 Ανάλυσης - σελ 77

Documents

Transcript of Μαθήματα 1 - 9 στο Κεφάλαιο 1 Ανάλυσης - σελ 77