ΘΕΜΑΤΑ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΣΕΠ 04

www.dianysma.edu.gr

ΙΩΑΝΝΗΣ ΜΠΑΓΑΝΑΣ

φυσική για τον ΑΣΕΠ

ΘΕΜΑΤΑ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2004

www.dianysma.edu.gr

Ι.ΜΠΑΓΑΝΑΣ www.dianysma.edu.gr

ΑΣΕΠ 2004 www.learner.gr

2

ΘΕΜΑΤΑ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΣΕΠ 2004

1. Ένας πλανήτης έχει την ίδια πυκνότητα µε την Γη αλλά διπλάσια ακτίνα. Η

επιτάχυνση της βαρύτητας στην επιφάνεια του θα είναι ίση µε: ( δίνεται η επιτάχυνση

της βαρύτητας στην επιφάνεια της Γης g = 10m/s2)

α) 40 m/s2

β) 20 m/s2

γ) 5 m/s2

δ) 2,5 m/s2

2. Ποια από της παρακάτω εικόνες αντιπροσωπεύει καλύτερα την επιτάχυνση ενός

µαθηµατικού εκκρεµούς που κινείται από το σηµείο α στο σηµείο e;

α

b c

d

e

α)

α

b c

d

e

β)

α

b c d e

γ)

α

b c d

e

δ)



3

3. Ένα εκκρεµές µήκους l κρέµεται από την οροφή ενός ανελκυστήρα που βρίσκεται

στην επιφάνεια της Γης. Ο ανελκυστήρας κινείται προς τα πάνω µε επιτάχυνση

2

ga = (όπου g είναι η επιτάχυνση της βαρύτητας). Όταν το εκκρεµές εκτελεί απλή

αρµονική ταλάντωση, η συχνότητα είναι

α) l2

3

2

1 g

π

β) l3

2

2

1 g

π

γ) l

g

π2

1

δ) l22

1 g

π

4. Πυκνωτής έχει χωρητικότητα 2µF. Το φορτίο που πρέπει να αφαιρεθεί για να

ελαττωθεί η διαφορά δυναµικού κατά 50V είναι:

α) 50µC

β) 100µC

γ) 150µC

δ) 200µC

5. Ο νόµος επαγωγής του Faraday περιγράφει πως ένα ηλεκτρικό πεδίο µπορεί να

δηµιουργηθεί σ’ ένα σηµείο στον χώρο από

α) ένα ηλεκτρικό φορτίο

β) ένα σταθερό µαγνητικό πεδίο

γ) ένα χρονικά µεταβαλλόµενο µαγνητικό πεδίο

δ) ένα σταθερό ηλεκτρικό ρεύµα

6. Ένα σύρµα µεταφέρει συνεχές ρεύµα σε ύψος 10 m πάνω από την επιφάνεια της

Γης µε κατεύθυνση από την δύση προς την ανατολή. Ποια είναι η διεύθυνση του

µαγνητικού πεδίου ακριβώς κάτω από το σύρµα και πάνω στην επιφάνεια της Γης;

α) από τον νότο προς τον βορά

β) από την δύση προς την ανατολή

γ) από τον βορά προς τον νότο

δ) από την ανατολή προς την δύση

7. Εάν η θερµοκρασία της επιφάνειας του Ηλίου διπλασιάζονταν(χωρίς να αλλάξει η

ακτίνα του), τότε το ποσό της ενέργειας ανά µονάδα χρόνου που θα δέχονταν η Γη

από τον Ήλιο θα ήταν:

α) διπλάσιο του σηµερινού

β) τετραπλάσιο του σηµερινού

γ) οκταπλάσιο του σηµερινού

δ) δεκαεξαπλάσιο του σηµερινού



4

8. Κατά την σχάση του πυρήνα ουρανίου 235 παράγονται ραδιενεργοί πυρήνες και

εκπέµπονται:

α) σωµατίδια α

β) πρωτόνια

γ) νετρόνια

δ) σωµατίδια β

9. Κατά την πρόσπτωση φωτονίων ακτινών Χ πάνω σε αρχικώς ακίνητα ηλεκτρόνια

( φαινόµενο Compton) τα σκεδαζόµενα φωτόνια έχουν:

α) µικρότερο µήκος κύµατος

β) µεγαλύτερο µήκος κύµατος

γ) το µήκος κύµατος δεν αλλάζει

δ) µικρότερο ή µεγαλύτερο µήκος κύµατος ανάλογα µε την γωνία σκέδασης

10. Ποια είναι η διάµετρος ενός σύρµατος από αλουµίνιο ειδικής αντίστασης ρAl, αν η

αντίσταση του πρέπει να είναι ίδια µε αυτή ενός χάλκινου σύρµατος, του ίδιου

µήκους, διαµέτρου dcu και ειδικής αντίστασης ρcu;

α) cu

Al

cudρρ

β) cu

Al

cudρρ

γ) 2)(cu

Al

cudρρ

δ) 3)(cu

Al

cudρρ

11. Μια σφαίρα µάζας m κινείται µε σταθερή ταχύτητα υ και κτυπά µια άλλη σφαίρα

µάζας Μ, η οποία είναι αρχικά ακίνητη. Μετά την κρούση η µάζα m ενσωµατώνεται

στην µάζα Μ. Η ταχύτητα του συσσωµατώµατος των δύο σφαιρών είναι:

α) Μ+

Μm

υ

β) m

m υ)( Μ+

γ) Μ+

Μm

υ

δ) Μ+m

mυ

12. Ένα σωµατίδιο µοναδιαίας µάζας κινείται σε µια διάσταση έτσι ώστε η ταχύτητα

του να δίνεται από την σχέση υ(x) = αx–n

, όπου α, n, σταθερές και x η θέση του

σωµατιδίου. Ποια είναι η επιτάχυνση του σωµατιδίου ως συνάρτηση της θέσης x;



5

α) -nα2x

-2n-1

β) -nα2x

-n-1

γ) -αx–n+1

δ) –αx -2n+1

13. Μια οριζόντια δύναµη σπρώχνει σώµα µάζας

m, σε κεκλιµένο επίπεδο γωνίας θ ως προς το

οριζόντιο επίπεδο. Ο συντελεστής τριβής µεταξύ

του σώµατος και του κεκλιµένου επιπέδου είναι

µ. Το µέτρο της δύναµης της τριβής που ασκείται

στο σώµα είναι:

α) µmgcosθ

β) θ

µcos

gm

γ) µ(mgcosθ + Fsinθ)

δ) µ(mgcosθ – Fsinθ)

14. Μια µάζα κρέµεται από ένα κατακόρυφο ελατήριο και µετατοπίζεται, κατά την

κατακόρυφη προς τα κάτω, κατά µια απόσταση y από το σηµείο ισορροπίας του.

Αφού αφεθεί ελεύθερο, εκτελεί µια αρµονική περιοδική κίνηση µε περίοδο Τ. Μετά

από χρόνο 4

5Τ η ταχύτητα της µάζας είναι:

α) µέγιστη και κινείται προς τα πάνω

β) σταθερή

γ) µέγιστη και κινείται προς τα κάτω

δ) µηδέν

15. ∆ύο δορυφόροι κινούνται γύρω από την Γη σε διαφορετικές κυκλικές τροχιές που

έχουν ακτίνες α και b = 3α. Εάν η επιτρόχιος ταχύτητα του δορυφόρου που κινείται

στην τροχιά µε την µικρότερη ακτίνα είναι υ, τότε η ταχύτητα του άλλου δορυφόρου

είναι:

α) 3

υ

β) 3

υ

γ) υ3

δ) υ3

16. Έστω ότι εφαρµόζουµε την δύναµη )2,3,5( −=Fr

Ν στη θέση mr )3,1,2( −−=r

.

Η ροπή τr

αυτής της δύναµης ως προς την αρχή των αξόνων είναι:

α) Nm)11,19,7( −−=τr

β) Nm)1,11,11(=τr

γ) Nm)1,11,11( −−−=τr

F

θ



6

δ) Nm)11,19,7(−=τr

17. Για δυναµική ενέργεια του τύπου U(r) = krn, όπου k θετική σταθερά, το διάνυσµα

της δύναµης είναι:

α) rknrF n rr2−−=

β) rknrF n rr1−−=

γ) rknrF n rr2−=

δ) rknrF n rr1−=

18. Ένα βλήµα βάλλεται από την επιφάνεια της Γης µε αρχική ταχύτητα µέτρου υο

και γωνία βολής θ ως προς τον οριζόντιο άξονα. Το µέγιστο ύψος hmax αυτής της

βολής είναι:

α) g

h2

cos22

max

θυο=

β) g

h2

sin 22

max

θυο=

γ) g

hθυο 2sin2

max =

δ) g

hθυο 2cos2

max =

19. Ένα σώµα ζυγίζει 100Ν πάνω στην επιφάνεια της Γης. Όταν τοποθετηθεί σε µια

απόσταση R πάνω από την επιφάνεια της Γης, όπου R η ακτίνα της Γης, θα ζυγίζει:

α) 25Ν

β) 50Ν

γ) 100Ν

δ) 200Ν

20. Όταν ο Ήλιος µας καταλήξει κάποτε σ’ έναν λευκό νάνο, η ακτίνα του θα

µικρύνει περίπου κατά 100 φορές. Η περίοδος περιστροφής περί τον άξονα του(που

είναι σήµερα γύρω στον ένα µήνα): ( δίνεται η ροπή αδράνειας σφαίρας µάζας M και

ακτίνας R ως προς τον άξονα της 2

5

2RΜ=Ισφ )

α) θα γίνει ≈100 φορές µικρότερη

β) θα γίνει ≈1000 φορές µικρότερη

γ) θα γίνει ≈10000 φορές µικρότερη

δ) θα παραµείνει αµετάβλητη

21. Ένα σωµατίδιο µάζας m κινείται σε κυκλική τροχιά ακτίνας r γύρω από ένα

σταθερό σηµείο υπό την επίδραση ελκτικής δύναµης µέτρου 3r

kF = , όπου k > 0. Αν



7

η δυναµική ενέργεια του σωµατιδίου είναι µηδέν για r ∞→ , τότε η ολική ενέργεια

του σωµατιδίου στην κυκλική τροχιά, είναι:

α) 2r

k−

β) 22r

k−

γ) 0

δ) 2r

k

22. Μια σφαίρα και ένας κύλινδρος ξεκινούν από την ίδια θέση όπου βρίσκονταν σε

ακινησία και κυλούν προς τα κάτω(χωρίς να ολισθαίνουν) στο ίδιο κεκλιµένο

επίπεδο. Όταν θα διανύσουν το ίδιο µήκος πάνω στο κεκλιµένο επίπεδο ποια από της

παρακάτω προτάσεις είναι αληθής. (∆ίνεται: ροπή αδράνειας σφαίρας µάζας Μ και

ακτίνας R ως προς τον άξονα της, 2

5

2RΜ=Ισφ και ροπή αδράνειας κυλίνδρου µάζας

Μ και ακτίνας R ως προς τον άξονα του, 2

.2

1RΜ=Ικυλ )

α) ο κύλινδρος θα διανύσει την απόσταση σε λιγότερο χρόνο και αυτό είναι

ανεξάρτητο της µάζα και της ακτίνας των δύο αντικειµένων.

β) Το σώµα µε την µεγαλύτερη µάζα θα διανύσει την απόσταση σε λιγότερο χρόνο.

γ) θα διανύσουν την απόσταση και τα δύο συγχρόνως, ανεξάρτητα από την µάζα και

την ακτίνα των δύο αντικειµένων.

δ) Η σφαίρα θα διανύσει την απόσταση σε λιγότερο χρόνο και αυτό είναι ανεξάρτητο

της µάζας και της ακτίνας των δύο αντικειµένων.

23. Ένας πύραυλος εκτοξεύεται από την επιφάνεια ενός πλανήτη µάζας Μ και

ακτίνας R. Ποια είναι η ταχύτητα διαφυγής του πυραύλου;

α) 2

2

R

GM

β) R

GM2

γ) R

GM

δ) R

GM

24. ∆ύο µεταλλικές σφαίρες ακτίνων α και b = 3α, αντίστοιχα, φορτίζονται έτσι ώστε

το ηλεκτρικό δυναµικό στην επιφάνεια τους να είναι το ίδιο. Αν τα αντίστοιχα φορτία

είναι Qα και Qb ο λόγος Qb / Qα είναι:

α) 1/3

β) 1



8

γ) 3

δ) 9

25. Σ’ ένα υποθετικό σύµπαν οι ηλεκτροµαγνητικές σταθερές εο΄ και µο΄

(επιτρεπτότητα και µαγνητική διαπερατότητα του κενού αντίστοιχα), έχουν τιµές εο΄

= 2εο και µο΄ = 8µο. Η ταχύτητα του φωτός c΄ σ’ αυτό το σύµπαν, σε σχέση µε την

ταχύτητα του φωτός c όπως την γνωρίζουµε θα είναι:

α) c΄ = c/4

β) c΄ = 4c

γ) c΄ = c/16

δ) c΄ = c/2

26. Στα ηλεκτροστατικά προβλήµατα το ηλεκτρικό πεδίο ικανοποιεί πάντοτε την

σχέση:

α) EErrrr

×∇=⋅∇

β) 0=⋅∇ Err

γ) 0=×∇ Err

δ) 0)( 2 =∇ Err

27. Ένα σωµατίδιο α επιταχύνεται σε µια ταχύτητα υ µε την βοήθεια µιας διαφοράς

δυναµικού 1200V. Ποια διαφορά δυναµικού πρέπει να εφαρµόσουµε ώστε να

διπλασιάσουµε την ταχύτητα του;

α) 7200V

β) 4800V

γ) 2400V

δ) 600V

28. Ένα θετικό φορτίο q µάζας m κινείται µέσα σε οµογενές σταθερό µαγνητικό πεδίο

Β και η τροχιά του είναι κάθετη στην διεύθυνση του πεδίου. Το φορτίο αυτό εκτελεί

κυκλική κίνηση ακτίνας R και συχνότητας f . Ποιο είναι το µέτρο του µαγνητικού

πεδίου;

α) q

mf

β) q

mfπ2

γ) qf

m

π2

δ) qR

mf

29. ∆ύο οµόκεντροι λεπτοί σφαιρικοί αγώγιµοι φλοιοί, ακτίνας α και b, µε α < b,

φέρουν φορτία q και Q αντίστοιχα. Σε κάποιο σηµείο Α που απέχει απόσταση R από



9

το κοινό κέντρο των δύο φλοιών ( α < R < b), το δυναµικό που οφείλεται στους δύο

αυτούς φλοιούς, είναι:

α) b

Q

a

q

οο πεπε 4

1

4

1+

β) R

Qq )(

4

1 +

οπε

γ) R

q

οπε4

1

δ) b

Q

R

q

οο πεπε 4

1

4

1+

30. Ένα θετικό φορτίο Q βρίσκεται σε απόσταση l πάνω από ένα γειωµένο αγώγιµο

επίπεδο απείρων διαστάσεων. Ποιο είναι το συνολικό φορτίο που επάγεται από το Q

πάνω στο επίπεδο;

α) -2Q

β) Q

γ) 0

δ) -Q

31. Ένα µακρύ κυλινδρικό αγώγιµο σύρµα ακτίνας R διαρρέεται από ρεύµα που

περιγράφεται από µια οµοιόµορφη πυκνότητα ρεύµατος J. Ποιο είναι το µέτρο του

µαγνητικού πεδίου µέσα στον αγωγό σε απόσταση r < R, όπου r υπολογίζεται από τον

άξονα του αγωγού.

α) JRοµ2

1

β) r

RJ

2

2

1οµ

γ) Jrοµ2

1

δ) 2

2

2

1

r

Rοµ

32. Το δυναµικό σ’ ένα σηµείο που βρίσκεται σε απόσταση d > 0 από την επιφάνεια

ενός γειωµένου αγώγιµου επίπεδου απείρων διαστάσεων που έχει επιφανειακή

πυκνότητα φορτίου σ είναι:

α) οε

σ d−

β) οε

σ d2

γ) οε

σ2

d−



10

δ) οε

σ d

33. Μια ράβδος κινείται πάνω σε δύο ράγες

που η µεταξύ τους απόσταση είναι w = 0,5m

και ενώνονται µε µια αντίσταση R = 2Ω.

Το όλο σύστηµα βρίσκεται στην περιοχή

ενός οµογενούς µαγνητικού πεδίου B = 1T

όπως φαίνεται στο σχήµα. Ποια πρέπει

να είναι η ταχύτητα της ράβδου ώστε το

ρεύµα που διαρρέει την αντίσταση να είναι

Ι = 0,5Α.

α) 2m/s

β) 4m/s

γ) 3m/s

δ) 5m/s

34. Το κύκλωµα του σχήµατος είναι συνδεδεµένο µε µια µπαταρία 6V για πολύ

µεγάλο χρονικό διάστηµα. Η τάση στα άκρα του πυκνωτή θα είναι:

α) 4,0V

β) 2,0V

γ) 2,4V

δ) 6,0V

35. Πηγή ΗΕ∆, Ε και εσωτερικής αντίστασης r συνδέεται µε µια εξωτερική

αντίσταση R. Η ισχύς εξόδου, δηλαδή η ισχύς που καταναλίσκεται στην εξωτερική

αντίσταση R, γίνεται µέγιστη για:

α) R = 6r

β) R = 4r

γ) R = 2r

δ) R = r

36. Ακίνητος παρατηρητής Α παρατηρεί ένα αντικείµενο που είναι κύβος ακµής d.

Ένας δεύτερος παρατηρητής Β κινείται µε ταχύτητα κοντά στην ταχύτητα του φωτός

σε διεύθυνση παράλληλη µε µια ακµή του κύβου. Ο παρατηρητής Β παρατηρεί το

ίδιο αντικείµενο ως:

α) κύβο µε ακµή d

β) κύβο µε ακµή µικρότερη από d

γ) παραλληλεπίπεδο µε δύο διαστάσεις µήκους d και την τρίτη µε µήκος µεγαλύτερο

από d.

Β

Ι

υ R w

6V

100Ω

200Ω

100Ω

4µF



11

δ) παραλληλεπίπεδο µε δύο διαστάσεις µήκους d και την τρίτη µε µήκος µικρότερο

από d.

37. Ένας τρισδιάστατος αρµονικός ταλαντωτής βρίσκεται σε θερµική ισορροπία σε

µια δεξαµενή θερµοκρασίας T. Η µέση ολική ενέργεια του ταλαντωτή είναι:

α) 2

kT

β) 3kT

γ) 2

3kT

δ) 3

2kT

38. Η ελάχιστη ενέργεια που απαιτείται για να ιονίσουµε ένα άτοµο υδρογόνου από

τη βασική του κατάσταση, είναι περίπου:

α) 0,136eV

β) 1,36eV

γ) 13,6eV

δ) 13,6keV

39. Στη µελέτη του φωτοηλεκτρικού φαινοµένου η κλίση της ευθείας του δυναµικού

αποκοπής, Vo, ως συνάρτηση µε την συχνότητα f του προσπίπτοντος φωτός πάνω σε

µια κάθοδο µε έργο εξαγωγής φ είναι:

α) φh

β) e

φ

γ) e

h

δ) e

f

40. Οι εξισώσεις του Maxwell στον ηλεκτροµαγνητισµό γράφονται µε την εξής

µορφή:

1. οερ

=⋅∇ Err

2. 0=Β⋅∇rr

3. t

BE

∂∂

−=×∇

rrr

4. t

EJB

∂∂

+=×∇

rrr

οοο εµµ

Αν υπήρχε µαγνητικό φορτίο(εποµένως και µαγνητικό ρεύµα) και διατηρούνταν,

ποιες από αυτές τις εξισώσεις θα έπρεπε να αλλάξουν;

α) Μόνο οι 2,3 και 4

β) Μόνο η 2

γ) Μόνο η 3



12

δ) Μόνο οι 2 και 3

41. Έστω ψ µια κανονικοποιηµένη λύση της εξίσωσης Schroedinger και Q ένας

τελεστής που αντιστοιχεί σε κάποιο φυσικό µέγεθος q. Η σχέση ψ*Qψ όπου ψ

* είναι η

µιγαδική συζυγής της ψ, µπορεί να ολοκληρωθεί ώστε να βρούµε:

α) την σταθερά κανονικοποίησης της ψ

β) την µέση τιµή του φυσικού µεγέθους q

γ) την αβεβαιότητα στο q

δ) την πρώτη χρονική παράγωγο του q

42. Τα ενεργειακά επίπεδα του ατόµου του υδρογόνου εξαρτώνται από τον κύριο

κβαντικό αριθµό n και µια θετική σταθερά Α και εκφράζονται από την σχέση:

α) An )2

1( +

β) An )1( 2−

γ) An 2

δ) 2n

A−

43. Η κυµατοσυνάρτηση ενός σωµατιδίου µάζας m, είναι ei(kx – ωt)

όπου x είναι η

απόσταση, t ο χρόνος και k , ω θετικοί πραγµατικοί αριθµοί. Η x συντεταγµένη της

ορµής του σωµατιδίου είναι:

α) ωh

β) kh

γ) m

ωh

δ) c

kh

44. Κυκλικός αγωγός διαρρέεται από ρεύµα Ι και το µαγνητικό πεδίο στο κέντρο του

είναι Β. Αν υποδιπλασιαστεί το ρεύµα Ι, το πεδίο Β:

α) θα διπλασιαστεί

β) θα τετραπλασιαστεί

γ) θα υποδιπλασιαστεί

δ) θα υποτετραπλασιαστεί

45. Μια µηχανή Carnot αφαιρεί 2500J από µια δεξαµενή που βρίσκεται στους 500K,

παράγει έργο και αποδίδει θερµότητα σε µια δεξαµενή που βρίσκεται στους 300K. Η

θερµότητα που αποδίδεται από την µηχανή είναι:

α) -2000J

β) -1500J

γ) -1000J



13

δ) -500J

46. Η σχέση µεταξύ του µέσου χρόνου ζωής τ και της σταθεράς διάσπασης λ στη

θεωρία της ραδιενεργούς διάσπασης είναι:

α) λ

τ1

=

β) λ

τ2ln

=

γ) 2ln

λτ =

δ) 2

1

λτ =

47. Ένα ηλεκτρόνιο είναι περιορισµένο στον χώρο µεταξύ x και x +∆x όπου ∆x =

0,5o

Α . Εάν η αβεβαιότητα της x συνιστώσας της ορµής είναι ∆px, ποια είναι η

αβεβαιότητα της y συνιστώσας της ορµής του;

α) ∆px

β) 3,3 10-10

∆px

γ) 3,3 10-24

∆px

δ) δεν µπορούµε να συµπεράνουµε µε τη πληροφορία που µας δίνεται

48. Ένα ηλεκτρόνιο, ένα πρωτόνιο, ένα νετρόνιο και ένα σωµάτιο α κινούνται µε

ταχύτητες αρκετά µικρότερες από την ταχύτητα του φωτός και έχουν την ίδια

κινητική ενέργεια. Το µεγαλύτερο µήκος κύµατος de Broglie αντιστοιχεί στο:

α) ηλεκτρόνιο

β) σωµάτιο α

γ) νετρόνιο

δ) πρωτόνιο

49. Ένα ιδανικό αέριο υπόκεινται σε αντιστρεπτή ισόθερµη εκτόνωση σε

θερµοκρασία Τ, κατά την διάρκεια της οποίας ο όγκος του µεταβάλλεται από 1V σε

2V . Το έργο που παράγει το αέριο είναι:

α) 1

2

V

VnRT

β) 2

1

2 )(V

VnRT

γ) )ln(ln 12 VVnRT +

δ) 1

2lnV

VnRT



14

50. Έστω T1 και T2 είναι οι θερµοκρασίες δύο δεξαµενών µε T1 > T2. Αν θέσουµε σε

λειτουργία µια µηχανή Carnot ανάµεσα σ’ αυτές τις δύο δεξαµενές, η απόδοση της

µηχανής θα είναι:

α) 21

1

Τ−Τ

Τ

β) 2

21

Τ

Τ−Τ

γ) 1

21

Τ

Τ−Τ

δ) 2

12

Τ

Τ−Τ

ΑΠΑΝΤΉΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΣΕΠ 2004

1.β. Για τις πυκνότητες και τις ακτίνες ισχύει

33

33

4

34

3

RRM V

ήM V R

R

ππ

π

πρ ρ

π

Π ΠΓ

Γ Γ ΓΓ

= = = = και

2R RΠ Γ= άρα 8M

M

Π

Γ

=

Για τις επιταχύνσεις της βαρύτητας ισχύει

2 2

2

2

18 2

4

MG

g R R M

Mg R MG

R

Π

Π Π Γ Π

ΓΓ Π Γ

Γ

= = = ⋅ = άρα 22 20 /g g m sΠ Γ= =

2.γ.

α

b c d

e

γ)

T

mg



15

Η συνισταµένη δύναµη προκύπτει από την σύνθεση της τάσης του νήµατος T και της

δύναµης της βαρύτητας mg, όπως φαίνεται στην θέση α όπου σχεδιάσαµε τις

δυνάµεις και την συνισταµένη τους. Εάν κάνουµε το ίδιο και στις υπόλοιπες θέσεις

βλέπουµε ότι το σωστό σχήµα είναι το γ.

3.α. Έχουµε για την περίοδο του εκκρεµούς

σχ

πa

Tl

2=

Η επιτάχυνση της µάζας του εκκρεµούς αντίθετη φορά από την επιτάχυνση της

βαρύτητας, οπότε το φαινόµενο βάρος του εκκρεµούς είναι µεγαλύτερο από το

πραγµατικό. Αυτό οφείλεται στο ότι στο σύστηµα αναφοράς του εκκρεµούς η

επιτάχυνση της βαρύτητας ( σχετική επιτάχυνση ) έχει µεγαλύτερη τιµή από την

επιτάχυνση της βαρύτητας ως προς την Γη ( ακίνητο σύστηµα αναφοράς ). Η σχετική

επιτάχυνση που «αντιλαµβάνεται» το εκκρεµές για την βαρύτητα είναι

.a a gσχ = +r r r

άρα

22 2

3

2

Tgg a g

g

π π= = =+ +

l l l άρα

1 3

2

gf

T= =

l

4.β. Για το αρχικό και το τελικό φορτίο ( µετά την µείωση ) έχουµε Q CV= και

Q΄ CV΄= αντίστοιχα. Η µεταβολή εποµένως του φορτίου ( το φορτίο που πρέπει να

αφαιρέσουµε) είναι

( ) 2 50 100Q Q΄ C V V΄ F V Cµ µ− = − = ⋅ =

5.γ. Ο νόµος του Faraday είναι

BE

t

∂∇× = −

∂

rr r

και περιγράφει πως ένα ηλεκτρικό πεδίο µπορεί να προκύψει και από ένα χρονικά

µεταβαλλόµενο µαγνητικό πεδίο.

6.α. Χρησιµοποιώντας τον κανόνα του δεξιού χεριού και βάζοντας τον αντίχειρα µας

στην κατεύθυνση ∆ύση – Ανατολή, , τα δάχτυλα µας δείχνουν ακριβώς κάτω από το

σύρµα την κατεύθυνση Νότος – Βοράς.

7.δ. Όλα τα αντικείµενα ακτινοβολούν συνεχώς ενέργεια µε την µορφή

ηλεκτροµαγνητικής ακτινοβολίας. Ο ρυθµός µε τον οποίο ένα αντικείµενο



16

ακτινοβολεί ενέργεια ( ενέργεια ανά µονάδα χρόνου) δηλαδή η ακτινοβολούµενη

ισχύς, δίνεται από τον νόµο του Stefan και είναι

Νόµος του Stefan P = σΑeT4

όπου P είναι η ακτινοβολούµενη ισχύς από µια επιφάνεια εµβαδού Α, σ είναι µια

σταθερά και e είναι ο συντελεστής εκποµπής, ο οποίος είναι µια σταθερά η οποία

εξαρτάται από τις ιδιότητες της επιφάνειας και παίρνει τιµές µεταξύ του µηδενός και

της µονάδας.

Εποµένως εάν διπλασιαστεί θερµοκρασία (T΄= 2T ) έχουµε

P΄ = σΑeT΄4 = 16σΑeΤ

4 = 16P.

8.γ. Η σχάση ενός πυρήνα 235

U από νετρόνια χαµηλής ενέργειας (δηλαδή αργά

νετρόνια) παριστάνεται συµβολικά µε την εξίσωση

ιαννετρόYXUUn ++→→+ *236

92

235

92

1

0

9.β. Η εξίσωση του φαινοµένου Compton είναι

)cos1( θλλ ο −=−mc

h΄

Από την παραπάνω σχέση βλέπουµε ότι ΄ ολ λ>

Παρατήρηση: Η ισότητα λ΄ = λο ισχύει όταν έχουµε πρόσπτωση µε γωνία θ = 0ο

στην περίπτωση αυτή όµως η ακτινοβολία µε µήκος λο αντιστοιχεί στην πρωτογενή

ακτινοβολία ( δεν έχουµε σκέδαση ).

10.α. Η σχέση που δίνει την αντίσταση ενός σύρµατος είναι

RS

ρ=l

Από την ισότητα τον αντιστάσεων έχουµε

2

2

Al

Cu

Al AlAl Cu Al Cu

Al Cu Cu Cu

dSR R ή ή

S S S d

πρρ ρ

ρ π= = = =

l l ή

AlAl Cu

Cu

d dρρ

=

11.δ. από την αρχή διατήρησης της ορµής έχουµε

Ραρχ = Ρτελ ή mυ = (m + M)V (2) ή από τις (1) και (2)



17

mV

m M

υ=

+

12.α. Για την επιτάχυνση έχουµε

2 2 1( , ) nd x t xa na x

dt x t x

υ υ υυ − −∂ ∂ ∂

= = = ⋅ = −∂ ∂ ∂

r r rr rrr

r r

13.γ. Η δύναµη της τριβής δίνεται από την σχέση

T = µN

Αναλύουµε τις δυνάµεις όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήµα

Στον άξονα y έχουµε ΣFy = 0 ή Ν = mgcosθ +Fsinθ άρα

T = µ(mgcosθ +Fsinθ )

14.α. Η µάζα αρχικά βρίσκεται στην κάτω ακραία θέση της. Σε χρόνο 5T/4 θα

βρίσκεται στην θέση ισορροπίας µε κατεύθυνση προς τα πάνω, οπότε η ταχύτητα της

θα είναι µέγιστη µε φορά προς τα πάνω.

15.β. Ο λόγος των ταχυτήτων των δορυφόρων είναι

3 3b T a T

a T a T

υ ωυ ω′ ′= = =

′ ′(1)

Επίσης από τον τρίτο νόµο του Kepler έχουµε

2 3 3

327

T b a

T a a

′ = = =

ή 1

3 3

T

T=

′(2)

αντικαθιστώντας την (1) στην (2) έχουµε

F

θ

y x

mgcosθ

Fy

Fx

mg

mgsinθ



18

3

υυ′ =

16.α. Η ροπή της δύναµης δίνεται από την σχέση

r Fτ = ×rr r

ή

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ2 1 3 7 19 11 (7, 19, 11)

5 3 2

x y z

r F x y zτ = Χ = − − = − − = − −

−

vr r

17.α. Στις τρεις διαστάσεις η δύναµη προκύπτει από την δυναµική ενέργεια από την

σχέση UF ⋅−∇= . Εάν έχουµε σφαιρική συµµετρία, η δυναµική ενέργεια είναι

συνάρτηση µόνο της ακτίνας r και η δύναµη θα δίνεται από την σχέση

( ) ( )ˆ( )

dU r dU r rF U r r

dr d r r= −∇ = − = −

rr

(όπου ˆr

rr

=r

)

οπότε έχουµε

2nF knr r−= −

r r

18.β. Η εξίσωση που δίνει την συντεταγµένη y της τροχιάς του σώµατος είναι

y = υοy t – ½ gt2 ή y = υοsinθt – ½ gt

2 (1)

Στο µέγιστο ύψος της τροχιάς του σώµατος η συνιστώσα της ταχύτητας του στον

άξονα y στιγµιαία µηδενίζεται, οπότε

0 siny

dyή gt

dtου υ θ= = =

άρα ο χρόνος κίνησης του σώµατος µέχρι να φτάσει στο µέγιστο ύψος της τροχιάς

του είναι

sint

g

ου θ= (2)

µε αντικατάσταση της (2) στην (1) βρίσκουµε το µέγιστο ύψος ( y = hmax) της τροχιάς

του σώµατος

2 2 2 2

max 2

sin sin

2

gh

g g

ο ου θ υ θ= − ή

2 2

max

sin

2h

g

ου θ=



19

19.α. Η επιτάχυνση της βαρύτητας δίνεται από την σχέση

2( )

Mg G

R h

Γ=+

r

όπου h η απόσταση του σώµατος από την επιφάνεια της Γης.

Πάνω στην Γη έχουµε h = 0 και σε απόσταση R είναι h = R, οπότε

2 2( ) 4 4

M M gg G G

R R R

Γ Γ′ = = =+

rr

Για την βαρύτητα των σωµάτων έχουµε

1

4

w g

w g

′ ′= =

r r

r r ή 254

ww N′ = =

rr

20.γ. Από την αρχή διατήρησης της στροφορµής έχουµε

. .L Lαρχ τελ=r r

ή . .I Iσφ σφω ω′ ′= ή

2

.

.

1

10000

IT R

T I R

σφ

σφ

′′ ′= = = οπότε

10000

TT ′ =

21.γ. Για να κινείται το σωµατίδιο σε κυκλική τροχιά θα πρέπει η δύναµη F που

ασκείται πάνω του να λειτουργεί ως κεντροµόλος δύναµη, οπότε

2

k

mF F

r

υ= = ή

2

3

k m

r r

υ= ή 2

2

km

rυ =

οπότε για την κινητική ενέργεια έχουµε

2

2

1

2 2

kK m

rυ= =

Για την δυναµική ενέργεια του σωµατιδίου έχουµε

3

1( ) ( ) ( )r r

r

U r F dr U r k dr U rr

∞

∞ = − ⋅ + = − ⋅ +∫ ∫

Όπου ( )rU r η δυναµική ενέργεια του σωµατιδίου στην κυκλική του τροχιά ακτίνας r

και ( )U r∞ η δυναµική του ενέργεια όταν r → ∞ , για την οποία ισχύει ( ) 0U r∞ =

Έτσι έχουµε

20 ( )

2r

kU r

r= + ή

2( )

2r

kU r

r= −



20

Άρα η ολική ενέργεια είναι

2 20

2 2

k kE K U

r r= + = − =

22.δ. Για ένα στερεό σώµα το οποίο κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε κεκλιµένο

επίπεδο έχουµε

ΣF = Mα ή Μgsinφ – Τ = Μα (1) και

Στ = Ιαγων ή

RR

αΙ=Τ (Όπου αγων = α / R) ή α

2R

Ι=Τ (2)

Θέτοντας την (1) στην (2) έχουµε

αφ )(sin2

Μ+Ι

=ΜR

g ή

Μ+Ι

Μ=

2

sin

R

g φα

Θέτοντας για την σφαίρα Ισφ = 2/5ΜR2 και για τον κύλινδρο Ικυλ = ½ ΜR

2 έχουµε

ασφ = (5/7)gsinφ και ακυλ = (2/3)gsinφ.

Επίσης έχουµε a

xt

2= .

Aπό τις σχέσεις αυτές προκύπτει

15

14==

φσ

λυκ

κυλ

σφ

a

a

t

t άρα . .t tσφ κυλ<

Από τα παραπάνω βλέπουµε ότι η σφαίρα διανύει την απόσταση σε µικρότερο χρόνο

από τον κύλινδρο και ότι το αποτέλεσµα αυτό είναι ανεξάρτητο της µάζας της.

23.β. Η ταχύτητα διαφυγής είναι η ελάχιστη ταχύτητα που πρέπει να έχει αρχικά το

σώµα ώστε να διαφύγει από το πεδίο βαρύτητας της Γης. Για να την υπολογίσουµε θα

εφαρµόσουµε την αρχή διατήρησης της µηχανικής ενέργειας θεωρώντας ως αρχική

θέση την επιφάνεια της Γης και ως τελική θέση ένα σηµείο σε πολύ µεγάλη

απόσταση maxr → ∞ όπου το σώµα δεν έχει ταχύτητα ( υτελ = 0 ) και δεν

αλληλεπιδρά πλέον µε το πεδίο βαρύτητας της Γης ( άρα Uτελ = 0 ). Έτσι έχουµε

K U K Uαρχ αρχ τελ τελ+ = + ή 210

2

GMmm

Rυ − = ή

2GM

Rυ =



21

24.γ. Οι δύο σφαίρες έχουν το ίδιο δυναµικό στην επιφάνεια τους, οπότε

a bV V= ή 4 4

a bQ Q

a bο οπε πε= ή

33b

a

Q b a

Q a a= = =

25.α. Για την ταχύτητα του φωτός έχουµε

1 1 1

42 8 4

cc

ο ο ο ο ο οε µ ε µ ε µ′ = = = =

′ ′

26.γ. Από τον νόµο του Faraday έχουµε

BE

t

∂∇× = −

∂

r r

Στα ηλεκτροστατικά προβλήµατα το ηλεκτρικό και το µαγνητικό πεδίο δεν

µεταβάλλονται µε τον χρόνο, οπότε

0=×∇ Err

27.β. Εφαρµόζοντας το θεώρηµα έργου – ενέργειας έχουµε

W K= ∆ ή 21

2qV mυ= ή

2qV

mυ =

Οπότε έχουµε

2υ υ′ = ή 2 2

2qV qV

m m

′= ή

4 4800V V V′= =

28.β. Η περίοδος της κυκλικής τροχιάς του σωµατιδίου είναι

2 mT

Bq

π= ή

1 2 m

f Bq

π= ή

2 mfB

q

π=

29.δ. Επιλέγοντας µια σφαιρική επιφάνεια ακτίνας α < R < b και εφαρµόζοντας τον

νόµο του Gauss βρίσκουµε το ηλεκτρικό πεδίο στην περιοχή ανάµεσα στους δύο

σφαιρικούς φλοιούς. Η σφαιρική επιφάνεια που επιλέξαµε περικλείει µόνο το φορτίο

q του εσωτερικού σφαιρικού φλοιού οπότε έχουµε



22

A

qE dA

οε⋅ =∫ ή 24

qE R

ο

πε

= ή 24

qE

Rοπε=

Έστω ένα σηµείο Β στην επιφάνεια του εξωτερικού σφαιρικού φλοιού. Στο σηµείο

αυτό το δυναµικό είναι

1

4B

QV

bοπε=

Θεωρούµε ένα σηµείο Α το οποίο βρίσκεται ανάµεσα στους δύο σφαιρικούς φλοιούς

και απέχει από το κοινό τους κέντρο απόσταση R όπου α < R < b. Η διαφορά

δυναµικού µεταξύ των σηµείων Α και Β δίνεται από την σχέση

B AV V EdR− = −∫ ή 24

A B

q dRV V

Rοπε= + ∫ ή

1 1

4 4A

Q qV

b Rο οπε πε= +

30.δ. Εξ’ επαγωγής δηµιουργείται πάνω στο επίπεδο ίσο σε τιµή αλλά αντίθετο

φορτίο.

31.γ. Επιλέγουµε την κυλινδρική γκαουτσιανή επιφάνεια που φαίνεται στο παρακάτω

σχήµα

Η πυκνότητα ρεύµατος που διαρρέει το σύρµα είναι σταθερή και δίνεται από την

σχέση

IJ

A=

Το ρεύµα που διαρρέει την επιφάνεια ακτίνας r < R είναι

Ι

R

r

r < R



23

2I JA J rπ= =

Με εφαρµογή του νόµου του Ampere προκύπτει

Ι=⋅∫ οµsdBr

ή

2(2 )B r J rοπ µ π= ή 1

2B J rοµ= (r < R)

32.γ. Ας υποθέσουµε ότι έχουµε το αγώγιµο επίπεδο του παρακάτω σχήµατος, η

οποία είναι απείρων διαστάσεων και έχει σταθερή θετική επιφανειακή πυκνότητα

φορτίου σ.

Επιλέγουµε µια κυλινδρική επιφάνεια η οποία διαπερνά το επίπεδο και εφαρµόζουµε

τον νόµο του Gauss.

Βλέπουµε και από το παραπάνω σχήµα ότι ηλεκτρική ροή δεν διαπερνά την κυρτή

επιφάνεια του κυλίνδρου αλλά µόνο τις βάσεις. Άρα για την ολική ηλεκτρική ροή

έχουµε

ΕΑ=⋅Ε=Φ=Φ+Φ=Φ ∫Ε 222 121 dA

Από τον νόµο του Gauss έχουµε

οο εσ

εΑ

==ΑΕ=ΦΕ

q2 άρα τελικά

οεσ

2=Ε

Επειδή το αγώγιµο επίπεδο είναι γειωµένο το δυναµικό πάνω του είναι µηδέν (Vo = 0)

Η διαφορά δυναµικού µεταξύ του επιπέδου ( x = 0 ) και του σηµείου d που µας

ενδιαφέρει ( Vd) είναι

d oV V Edx− = −∫ ή 0

2

d

dV dxο

σε

= − ∫ ή 2

d

dV

ο

σε

= −

33.α. Η ΗΕ∆ από επαγωγή που αναπτύσσεται στον αγωγό δίνεται από την σχέση

.E B wεπ υ=

+

Α

Ε Ε

+



24

Από τον νόµο του Ohm έχουµε

.

.

EI

R

επ

ολ

= ή .E IRεπ = ή B w IRυ = ή (0,5 )(2 )

2 /(1 )(0,5 )

IR Am s

Bw T mυ

Ω= = =

34.α. Έχουµε V = 6V, R1 = 100Ω και R2 = 200Ω. Από τον κλάδο του πυκνωτή δεν

διαρρέεται ρεύµα, οπότε από τον νόµο του Ohm έχουµε

. 1 2

60,02

100 200

V V VI A

R R Rολ

= = = =+ Ω + Ω

Η τάση στα άκρα του πυκνωτή είναι ίση µε την τάση στα άκρα της αντίστασης R2,

οπότε

2 2 0,02 200 4V IR A V= = ⋅ Ω = άρα

2 4CV V V= =

35.δ. Η ισχύς στην εξωτερική αντίσταση R δίνεται από την σχέση

2

.P I Rεξ =

Από τον νόµο του Ohm η έντασης του ρεύµατος είναι

EI

R r=

+


2

. 2( )

E RP

R rεξ =

+

Για να έχει ακρότατο η ισχύς θα πρέπει

0dP

dR= ή

2

4

( ) 2 ( )0

( )

R r R R r

R r

+ − +=

+ ή R = r

Για να είναι µέγιστο το παραπάνω ακρότατο θα πρέπει να ισχύει 2

20

d P

dR=<

Για την δεύτερη παράγωγο της ισχύς ως προς την αντίσταση έχουµε

2 2

2 3 6

2 ( ) ( 2 )[ ] 0( ) ( )

d P R r R r

dR R r R r

+ += − + <

+ +



25

36.δ. Εάν το µήκος ενός αντικειµένου είναι L΄ σύµφωνα µε ένα παρατηρητή που είναι

ακίνητος ως προς το αντικείµενο, τότε ένας άλλος παρατηρητής που κινείται µε

ταχύτητα υ ( κοντά στην ταχύτητα του φωτός) ως προς τον ακίνητο παρατηρητή,

µετρά µήκος L για το αντικείµενο µικρότερο από το L΄ και το φαινόµενο αυτό

λέγεται συστολή µήκους.

Η συστολή µήκους δίνεται από την σχέση

γ

υ L΄

cL΄L =−= )1(

2

2

(όπου γ = (1 – υ2/c

2)-1/2

>1)

οπότε έχουµε L < L΄.

Ο κινούµενος παρατηρητής αντιλαµβάνεται την ακµή του κύβου η οποία βρίσκεται

στην διεύθυνση της κίνησης του να αποµακρύνεται από αυτόν µε ταχύτητα υ και έτσι

την βλέπει µικρότερη ( συστολή µήκους ). Τις άλλες ακµές του κύβου που δεν

βρίσκονται στην διεύθυνση της κίνησης του τις βλέπει ακίνητες άρα δεν παρατηρεί

καµία διαφορά. Έτσι ενώ ο ακίνητος (ως προς τον κύβο) παρατηρητής

αντιλαµβάνεται έναν κύβο ακµής d, ο κινούµενος αντιλαµβάνεται ένα

παραλληλεπίπεδο µε δύο ακµές µήκους d και µία µικρότερη από d.

37.β. Η ολική ενέργεια του ταλαντωτή για την διεύθυνση ταλάντωσης x δίνεται από

την σχέση

2 21 1

2 2x xE m K xυ= +

Οµοίως έχουµε άλλες δύο σχέσεις και για τις διευθύνσεις y και z ( ο ταλαντωτής είναι

τρισδιάστατος ).

Από τα παραπάνω βλέπουµε ότι ο ταλαντωτής έχει 6 βαθµούς ελευθερίας, τρεις για

την κινητική ενέργεια ( K) και τρεις για την δυναµική ενέργεια (U) (έναν για κάθε

διεύθυνση ταλάντωσης ).

Από το θεώρηµα ισοκατανοµής της ενέργειας ξέρουµε ότι κάθε βαθµός ελευθερίας

συνεισφέρει στην ολική ενέργεια ποσότητα ίση µε ½ kT. Εποµένως η µέση ολική

ενέργεια του αρµονικού ταλαντωτή θα είναι

16( ) 3

2E kT kT= =

38.γ. Οι ενεργειακές καταστάσεις του ατόµου του υδρογόνου δίνονται από την σχέση

2

13,6n

eVE

n= −

Η κατάσταση n = 1 είναι αυτή µε την χαµηλότερη ενέργεια και ονοµάζεται

θεµελιώδης ( ή βασική ) κατάσταση ( οι άλλες καταστάσεις ονοµάζονται

διεγερµένες).

Έτσι στην θεµελιώδη κατάσταση έχουµε ενέργεια

1 13,6E eV= −



26

Εποµένως η ελάχιστη ενέργεια που πρέπει να προσφέρουµε στο άτοµο του

υδρογόνου όταν αυτό βρίσκεται στην θεµελιώδη του κατάσταση, για να το ιονίσουµε

είναι

. 1 13,6E E eVιον = =

39.γ. Η εξίσωση φωτοηλεκτρικού φαινοµένου είναι

maxK hf φ= −

όπου φ ονοµάζεται έργο εξαγωγής του συγκεκριµένου µετάλλου και

αντιπροσωπεύει την ελάχιστη ενέργεια µε την οποία ένα ηλεκτρόνιο κρατιέται δέσµιο

στο µέταλλο, δηλαδή το έργο το οποίο χρειάζεται για να υπερνικηθούν οι δυνάµεις

που συγκρατούν το ηλεκτρόνιο στο µέταλλο.

Kmax είναι η µέγιστη κινητική ενέργεια που αποκτούν τα φωτοηλεκτρόνια.

Τάση αποκοπής ή µηδενισµού (Vo ) ονοµάζεται η τάση, όπου για τιµές ίσες ή

µικρότερες από αυτή το ρεύµα σταµατά.

Η µέγιστη κινητική ενέργεια των φωτοηλεκτρονίων συνδέεται µε την τάση αποκοπής

µε την σχέση

maxK eVο=


oeV hf φ= − ή o

hfV

e e

φ= −

Η γραφική παράσταση της

παραπάνω εξίσωσης είναι

Από την εξίσωση βλέπουµε ότι η κλίση της ευθείας του παραπάνω διαγράµµατος

είναι

h

eΚΛΙΣΗ =

40.δ. Οι εξισώσεις του Maxwell εκφράζουν τα εξής:

1.οερ

=⋅∇ Err

: Η πρώτη εξίσωση εκφράζει το ότι οι δυναµικές γραµµές του

ηλεκτρικού πεδίου είναι ανοικτές. ∆ηλαδή εάν µια κλειστή επιφάνεια περικλείει

καθαρό ηλεκτρικό φορτίο Q θα υπάρχουν πάντα δυναµικές γραµµές ηλεκτρικού

πεδίου οι οποίες θα διαπερνούν την επιφάνεια, έτσι ώστε να είναι διαφορετικός ο

αριθµός των γραµµών που εισέρχονται από αυτόν που εξέρχονται και η ροή του

fc

f

Vo



27

ηλεκτρικού πεδίου θα είναι ανάλογη προς το καθαρό ηλεκτρικό φορτίο. Επίσης

εκφράζει ότι πηγή του ηλεκτρικού πεδίου είναι το ηλεκτρικό φορτίο.

2. 0=Β⋅∇rr

: Η δεύτερη εξίσωση δηλώνει ότι δεν υπάρχουν µαγνητικά µονόπολα

στην φύση δηλαδή οι δυναµικές γραµµές του µαγνητικού πεδίου είναι κλειστές και

άρα η καθαρή ροή που διαπερνά µια κλειστή επιφάνεια θα είναι πάντα µηδενική (

όσες γραµµές µαγνητικού πεδίου εισέρχονται στην επιφάνεια τόσες θα εξέρχονται

από αυτή).

3.t

BE

∂∂

−=×∇

rrr

: Η τρίτη εξίσωση εκφράζει ότι ηλεκτρικό πεδίο και άρα ηλεκτρικό

ρεύµα µπορεί να δηµιουργηθεί και από µεταβαλλόµενο µαγνητικό πεδίο.

4. t

EJB

∂∂

+=×∇

rrr

οοο εµµ : Η τέταρτη εξίσωση εκφράζει ότι µαγνητικό πεδίο µπορεί

να δηµιουργηθεί (εκτός από κάποιο µαγνήτη ) από ρεύµα αγωγιµότητας, όπως και

από µεταβαλλόµενο ηλεκτρικό πεδίο.

Εάν στην φύση υπήρχαν µαγνητικά µονόπολα, δηλαδή υπήρχε µαγνητικό φορτίο

και µαγνητικό ρεύµα και αυτά διατηρούνταν θα έπρεπε να τροποποιηθούν οι

εξισώσεις 2 και 3.

41.β. Εάν έχουµε ένα φυσικό µέγεθος q στο οποίο αντιστοιχεί ο τελεστής Q, τότε η

µέση τιµή του µεγέθους q ορίζεται από το ολοκλήρωµα

*( )V

q Q dVψ ψ= ∫

όπου η κυµατοσυνάρτηση ψ είναι µια κανονικοποιηµένη (δηλαδή 2

1V

dVψ =∫ ) λύση

της εξίσωσης Schrödinger και η ψ* είναι η µιγαδική συζυγής της ψ.

42.δ. Οι ενεργειακές καταστάσεις ( ή ενεργειακά επίπεδα ) του ατόµου του

υδρογόνου δίνονται από την σχέση

2

13,6n

eVE

n= −

Άρα εάν θέσουµε την σταθερά Α = 13,6eV έχουµε 2n

AE

n= −

43.β. Το µήκος κύµατος de Broglie δίνεται από την σχέση h

pλ = .

Η x συντεταγµένη της ορµής είναι

x

hp

λ=

Επίσης ισχύει



28

2k

πλ

= ή 2

k

πλ =

Με αντικατάσταση της παραπάνω σχέσης στην σχέση που δίνει την x συντεταγµένη

της ορµής έχουµε

2 2x

h khp k

k

π π= = = h ( όπου θέσαµε

2

h

π=h )

44.γ. Το µαγνητικό πεδίο στο κέντρο ενός κυκλικού ρευµατοφόρου αγωγού ακτίνας

R, δίνεται από την σχέση

2 IB k

Rµ

π=

Εάν το ρεύµα στον αγωγό υποδιπλασιαστεί ( Ι΄ = Ι / 2), έχουµε

2 1 2( )

2 2

I I BB k k

R Rµ µ

π π′′ = = =

45.β. Η απόδοση της µηχανής Carnot είναι

3001 1 0, 4

500

cc

h

T Ke

T K= − = − =

Επίσης για την απόδοση της µηχανής Carnot ισχύει η σχέση

1 0, 4c

c

h

Qe

Q= − = ή 0,6

c

h

Q

Q= και θέτοντας Qh = 2500J έχουµε

1500cQ J= −

( η ενέργεια που αποβάλλεται από την µηχανή έχει αρνητικό πρόσηµο )

46.α. Ο αριθµός των αδιάσπαστων πυρήνων σ’ ένα ραδιενεργό δείγµα µετά από

χρόνο t, δίνεται από την εξίσωση

( ) t

oN t N e λ−=

Όπου oN είναι οι αρχικοί ραδιενεργοί πυρήνες ( την χρονική στιγµή t = 0 ) και λ είναι

η σταθερά διάσπασης του δείγµατος ( έχει µονάδα s-1

).

Εάν θέσουµε 1

τλ

= η παραπάνω σχέση γίνεται

( )t

oN t N e τ−

=



29

Για χρονικό διάστηµα t = τ οι ραδιενεργοί πυρήνες που απέµειναν στο δείγµα είναι

( ) oNN t

e=

Η ποσότητα 1

τλ

= έχει µονάδες χρόνου ( sec ) και όπως θα δείξουµε παρακάτω είναι

ο µέσος χρόνος ζωής όλων των ραδιενεργών πυρήνων του δείγµατος ( είναι ο χρόνος

που χρειάζεται ώστε οι πυρήνες που έµειναν στο δείγµα να είναι oN

e) .

Κάθε ραδιενεργός πυρήνας κάποιου ραδιενεργού υλικού έχει µια συγκεκριµένη

( σταθερή ) πιθανότητα διασπάσεως ανά µονάδα χρόνου, η οποία δίνεται από την

σχέση

1

opτ

=

Η πιθανότητα ανά µονάδα χρόνου, ότι ένας πυρήνας θα υπάρχει στο δείγµα µετά από

χρόνο t δίνεται από την σχέση

( ) ( ) op t P t p=

Η ποσότητα ( )P t είναι η πιθανότητα που έχει ένας αδιάσπαστος πυρήνας τελικά να

διασπαστεί µετά από χρόνο t και είναι

( )( )

t

o

N tP t e

Nτ

−= =


( )

t

ep t

τ

τ

−

=

Η πιθανότητα να διασπαστεί ένας πυρήνας σε οποιοδήποτε χρόνο υπολογίζεται από

το ολοκλήρωµα 0

( )P p t dt∞

= ∫ ( το οποίο ισούται µε 1).

Εποµένως ο µέσος χρόνος ζωής ( µέση τιµή ) του ραδιενεργού δείγµατος

υπολογίζεται από το ολοκλήρωµα

0( )t t p t dt

∞= ∫ ή

0

1t

t t e dtτ

τ

−∞= ∫

Θέτοντας t

uτ

= έχουµε

0

ut u e duτ∞ −= ∫

Η συνάρτηση Γ ορίζεται από την σχέση



30

1

0( ) n un u e du

∞ − −Γ = ∫

άρα βλέπουµε ότι για n = 2 έχουµε

(2)t τ= Γ

Η συνάρτηση Γ υπολογίζεται από την σχέση ( 1) !ν νΓ + = άρα Γ(2) = 1! = 1, οπότε

ο µέσος χρόνος ζωής είναι

1t τ

λ= =

47.δ. Οι πληροφορίες που µας δίνονται ( το εύρος ∆x και η αβεβαιότητα της ορµής

∆px) αφορούν την διεύθυνση x και δεν έχουν καµία σχέση µε τις αβεβαιότητες στις

άλλες διευθύνσεις για τις οποίες δεν έχουµε καµία πληροφόρηση.

48.α. Η κινητική ενέργεια των σωµατιδίων σε συνάρτηση µε την ορµή δίνεται από

την σχέση

2

2

PK

m= ή 2P mK=

Το µήκος κύµατος de Broglie δίνεται από την σχέση

h

pλ = ή

2

h

mKλ =

Για τις µάζες των σωµατιδίων ισχύει

a p n em m m m> ≈ >

Βλέπουµε ότι το ηλεκτρόνιο έχει την µικρότερη µάζα απ’ όλα τα παραπάνω

σωµατίδια άρα θα έχει το µεγαλύτερο µήκος κύµατος de Broglie.

49.δ. Το έργο ενός αερίου σε µια ισόθερµη εκτόνωση δίνεται από την σχέση

2

1

lnV

W nRTV

=

Απόδειξη: Το έργο δίνεται από το ολοκλήρωµα

2

1

V

VW PdV= ∫ ή

2

1

V

V

dVW nRT

V= ∫

Όπου χρησιµοποιήσαµε την καταστατική εξίσωση PV = nRT και ότι T = σταθερό

( στην ισόθερµη µεταβολή ). Έτσι τελικά έχουµε



31

[ ] 2

12 1ln (ln ln )

V

VW nRT V nRT V V= = − ή 2

1

lnV

W nRTV

=

50.γ. Η απόδοση της µηχανής Carnot είναι

2 1 2

1 1

1c

T T Te

T T

−= − =

ΘΕΜΑΤΑ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΣΕΠ 04

Documents

Transcript of ΘΕΜΑΤΑ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΣΕΠ 04