PROIEZIONI ASSONOMETRICHE

Assonometria ortogonale

Le proiezioni assonometriche,intuitivamente, possono assimilarsi all’ombra che un oggetto investito dai raggi solari proietta su un piano…

Le proiezione assonometrica si effettua utilizzando tre elementi geometrici:

Il piano di proiezione π

Il centro di proiezione improprio S

Gli assi x, y, e z che formano la terna cartesiana di riferimento. Quest’ultima dà origine ai piani coordinati (piano xy, piano xz e piano yz) mutuamente ortogonali.

La proiezione assonometrica è chiamata vera proiezione assonometrica, mentre le proiezioni sui piani di riferimento si chiamano prima proiezione assonometrica, sul piano xy, seconda proiezione assonometrica, sul piano yz, terza proiezione assonometrica, sul piano zx.

La terna di riferimento può essere collocata dietro il piano di proiezione o fra il piano e l’origine dei raggi proiettanti. La soluzione più corretta è la prima.

La spezzata costruttrice consente di individuare la posizione del punto relativamente alla terna cartesiana di riferimento

Assonometria ortogonale

Nell’assonometria ortogonale i raggi proiettanti sono paralleli e perpendicolari al piano di proiezione

Assonometria obliqua

Nell’assonometria obliqua i raggi proiettanti sono paralleli e inclinati rispetto al piano di proiezione

Per comodità posizioniamo la terna di riferimento fra il piano di proiezione e il centro di proiezione

TEOREMA DI SCHLOMILCH Relazione di antipolarità

Sia dato un piano π e una terna di assi mutuamente ortogonali, sia T l’origine degli assi. Stabilita la distanza di T dal piano π si traccia il cerchio di distanza e successivamente si può segnare la traccia del piano xy. Una volta fissati questi elementi la posizione della traccia T dell’asse z è determinata, può essere quindi ritrovata conducendo per l’asse z un piano (γ)perpendicolare al piano xy.

È possibile trovare la relazione di antipolarità procedendo in due modi differenti.

Nel caso proposto in alto il dato in nostro possesso è la traccia del piano alfa

(a cui appartengono gli assi X e Y)

Nel caso proposto in basso il dato in nostro possesso è la traccia dell’asse Z (T’r)

La traccia del piano gamma è rappresentata dalla retta passante per T’ e per K, si ribalta il punto T sul cerchio di distanza e poiché sappiamo che l’angolo formato in T’ è pari a 90° mandiamo una retta perpendicolare al segmento KT*, dove questo interseca la traccia del piano gamma troviamo la traccia dell’asse z, T’z.

Il triangolo KT*Tz è il ribaltamento del triangolo intercettato dal piano gamma.

N.B. La relazione di antipolarità è sempre valida a partire da una terna mutuamente ortogonale e da un piano posto in posizione generica rispetto ad essa.

tγ

tγ

Rappresentazione spaziale della relazione di antipolarità

Dopo aver individuato la traccia dell’asse Z si procede a segnare il triangolo delle tracce.

Si traccia a scelta la traccia dell’asse zx e si ripete la relazione di antipolarità avendo come dati di partenza l’asse zx e l’origine degli assi T.

La costruzione diretta dell’assonometria ortogonale può essere effettuata partendo dal triangolo delle tracce.

Da questo infatti si può risalire alla posizione di T (origine degli assi X, Y, e Z) e dunque alla sua distanza dal piano di quadro, nonché alla riduzione che l’oggetto rappresentato subisce su ogni asse.

La posizione di T’ è data costruendo l’ortocentro del triangolo delle tracce.

Dopo aver trovato l’ortocentro si ritrova la posizione di T’ trovando il punto medio fra T’z e K e tracciando una semicirconferenza (quella tratteggiata). Si ribalta la posizione di T’ in T* e la distanza T’T* è la distanza di T dal piano π.

Se inseriamo una unità di misura sugli assi

ribaltati e quindi in vera forma, vedremo che

riportandola sugli assi x’, y’, e z’ questa subirà

delle riduzioni differenti. Tali riduzioni sono

funzione della posizione dei tre assi rispetto al

piano di proiezione. Per intenderci se gli assi

disegnano sul piano di proiezione tre angoli

uguali l’unità di misura subirà la stessa

riduzione su tutti e tre gli assi. In questo caso si

dice che è una assonometria ortogonale

monometrica. Diversamente possiamo

avere assonometrie dimetriche o trimetriche.

Costruzione diretta dell’assonometria

Rappresentazione del piano

Un piano in assonometria è rappresentato attraverso le sue tre tracce

Una retta appartiene ad un piano quando le tracce della retta appartengono alle tracce del piano

Rappresentazione della retta

Retta orizzontale

Retta verticale

Retta generica

Rappresentazione del piano

Piano verticale

Piano orizzontale

Piano generico

Retta intersezione di due piani

Punto di intersezione di una retta con un piano

Rette e piani paralleli

Costruzione dell’affinità fra la proiezione assonometrica ed il ribaltamento di uno dei piani coordinati (piano xy)