Post on 20-Jul-2015
Nekomutativni prostor Kvantizacija
Kiralni fermioni na nekomutativnom prostoru:renormalizabilnost i disperzione relacije
Dusko Latas
Univerzitet u BeograduFizicki fakultet
Zagreb, 22. 12. 2010.
Nekomutativni prostor Kvantizacija
Nekomutativni prostor
[xµ, xν ] 6= 0.
[xµ, xν ] = iθµν
θµν realna, konstantna i antisimetricna matrica.
Nekomutativni prostor Kvantizacija
Nekomutativni prostor
[xµ, xν ] 6= 0.
[xµ, xν ] = iθµν
θµν realna, konstantna i antisimetricna matrica.
Nekomutativni prostor Kvantizacija
Nekomutativni prostor
[xµ, xν ] 6= 0.
[xµ, xν ] = iθµν
θµν realna, konstantna i antisimetricna matrica.
Nekomutativni prostor Kvantizacija
Mojal-Weyl-ov ili ?-proizvod
(Ax , ·)↔ (Ax , ?)
W : Ax → Ax
W (f ) = f = 1(2π)2
∫d4keikµx
µ
f (k)
W (f ) ·W (g) = f · g = W (f ? g)
(f ? g)(x) = exp(
i2θµν ∂
∂yµ∂∂zν
)f (y)g(z)
∣∣∣y ,z→x∫
f · g ≡∫d4x f ? g
Nekomutativni prostor Kvantizacija
Mojal-Weyl-ov ili ?-proizvod
(Ax , ·)↔ (Ax , ?)
W : Ax → Ax
W (f ) = f = 1(2π)2
∫d4keikµx
µ
f (k)
W (f ) ·W (g) = f · g = W (f ? g)
(f ? g)(x) = exp(
i2θµν ∂
∂yµ∂∂zν
)f (y)g(z)
∣∣∣y ,z→x∫
f · g ≡∫d4x f ? g
Nekomutativni prostor Kvantizacija
Mojal-Weyl-ov ili ?-proizvod
(Ax , ·)↔ (Ax , ?)
W : Ax → Ax
W (f ) = f = 1(2π)2
∫d4keikµx
µ
f (k)
W (f ) ·W (g) = f · g = W (f ? g)
(f ? g)(x) = exp(
i2θµν ∂
∂yµ∂∂zν
)f (y)g(z)
∣∣∣y ,z→x∫
f · g ≡∫d4x f ? g
Nekomutativni prostor Kvantizacija
Mojal-Weyl-ov ili ?-proizvod
(Ax , ·)↔ (Ax , ?)
W : Ax → Ax
W (f ) = f = 1(2π)2
∫d4keikµx
µ
f (k)
W (f ) ·W (g) = f · g = W (f ? g)
(f ? g)(x) = exp(
i2θµν ∂
∂yµ∂∂zν
)f (y)g(z)
∣∣∣y ,z→x∫
f · g ≡∫d4x f ? g
Nekomutativni prostor Kvantizacija
Mojal-Weyl-ov ili ?-proizvod
(Ax , ·)↔ (Ax , ?)
W : Ax → Ax
W (f ) = f = 1(2π)2
∫d4keikµx
µ
f (k)
W (f ) ·W (g) = f · g = W (f ? g)
(f ? g)(x) = exp(
i2θµν ∂
∂yµ∂∂zν
)f (y)g(z)
∣∣∣y ,z→x
∫f · g ≡
∫d4x f ? g
Nekomutativni prostor Kvantizacija
Mojal-Weyl-ov ili ?-proizvod
(Ax , ·)↔ (Ax , ?)
W : Ax → Ax
W (f ) = f = 1(2π)2
∫d4keikµx
µ
f (k)
W (f ) ·W (g) = f · g = W (f ? g)
(f ? g)(x) = exp(
i2θµν ∂
∂yµ∂∂zν
)f (y)g(z)
∣∣∣y ,z→x∫
f · g ≡∫d4x f ? g
Nekomutativni prostor Kvantizacija
Polja na NC prostoru
Gejdz transformacija: δλψ(x) = iλ(x) ? ψ(x)
Kovarijantni izvod: Dµψ(x) = ∂µψ(x)− iAµ ? ψ(x)
Jacina polja: Fµνψ(x) = i[Dµ?, Dν ]ψ(x)
Fµν = ∂µAν − ∂νAµ − i[Aµ ?, Aν ]
Nekomutativni prostor Kvantizacija
Polja na NC prostoru
Gejdz transformacija: δλψ(x) = iλ(x) ? ψ(x)
Kovarijantni izvod: Dµψ(x) = ∂µψ(x)− iAµ ? ψ(x)
Jacina polja: Fµνψ(x) = i[Dµ?, Dν ]ψ(x)
Fµν = ∂µAν − ∂νAµ − i[Aµ ?, Aν ]
Nekomutativni prostor Kvantizacija
Polja na NC prostoru
Gejdz transformacija: δλψ(x) = iλ(x) ? ψ(x)
Kovarijantni izvod: Dµψ(x) = ∂µψ(x)− iAµ ? ψ(x)
Jacina polja: Fµνψ(x) = i[Dµ?, Dν ]ψ(x)
Fµν = ∂µAν − ∂νAµ − i[Aµ ?, Aν ]
Nekomutativni prostor Kvantizacija
Polja na NC prostoru
Gejdz transformacija: δλψ(x) = iλ(x) ? ψ(x)
Kovarijantni izvod: Dµψ(x) = ∂µψ(x)− iAµ ? ψ(x)
Jacina polja: Fµνψ(x) = i[Dµ?, Dν ]ψ(x)
Fµν = ∂µAν − ∂νAµ − i[Aµ ?, Aν ]
Nekomutativni prostor Kvantizacija
Seiberg-Witten-ovo preslikavanje
λ
A
ψ
→ λ
Aψ
Aµ(A; θ)→ eiλ(λ,A;θ) ? (A(A; θ) + i∂µ)? e−iλ(λ,A;θ) ≡ Aµ(A′; θ)
Aµ(A; θ) + δλAµ(A; θ) = Aµ(A + δλA; θ)
ψ(ψ,A; θ)→ eiλ(λ,A;θ) ? ψ(ψ,A; θ) ≡ ψ(ψ′,A′; θ)
ψ(ψ,A; θ) + δλψ(ψ,A; θ) = ψ(ψ + δλψ,A + δλA; θ)
δλ1 λ(λ2,A; θ)− δλ2 λ(λ1,A; θ)− i[λ(λ1,A; θ) ?, λ(λ2,A; θ)] =−iλ([λ1, λ2],A; θ)
Nekomutativni prostor Kvantizacija
Seiberg-Witten-ovo preslikavanje
λ
A
ψ
→ λ
Aψ
Aµ(A; θ)→ eiλ(λ,A;θ) ? (A(A; θ) + i∂µ)? e−iλ(λ,A;θ) ≡ Aµ(A′; θ)
Aµ(A; θ) + δλAµ(A; θ) = Aµ(A + δλA; θ)
ψ(ψ,A; θ)→ eiλ(λ,A;θ) ? ψ(ψ,A; θ) ≡ ψ(ψ′,A′; θ)
ψ(ψ,A; θ) + δλψ(ψ,A; θ) = ψ(ψ + δλψ,A + δλA; θ)
δλ1 λ(λ2,A; θ)− δλ2 λ(λ1,A; θ)− i[λ(λ1,A; θ) ?, λ(λ2,A; θ)] =−iλ([λ1, λ2],A; θ)
Nekomutativni prostor Kvantizacija
Seiberg-Witten-ovo preslikavanje
λ
A
ψ
→ λ
Aψ
Aµ(A; θ)→ eiλ(λ,A;θ) ? (A(A; θ) + i∂µ)? e−iλ(λ,A;θ) ≡ Aµ(A′; θ)
Aµ(A; θ) + δλAµ(A; θ) = Aµ(A + δλA; θ)
ψ(ψ,A; θ)→ eiλ(λ,A;θ) ? ψ(ψ,A; θ) ≡ ψ(ψ′,A′; θ)
ψ(ψ,A; θ) + δλψ(ψ,A; θ) = ψ(ψ + δλψ,A + δλA; θ)
δλ1 λ(λ2,A; θ)− δλ2 λ(λ1,A; θ)− i[λ(λ1,A; θ) ?, λ(λ2,A; θ)] =−iλ([λ1, λ2],A; θ)
Nekomutativni prostor Kvantizacija
Seiberg-Witten-ovo preslikavanje
λ
A
ψ
→ λ
Aψ
Aµ(A; θ)→ eiλ(λ,A;θ) ? (A(A; θ) + i∂µ)? e−iλ(λ,A;θ) ≡ Aµ(A′; θ)
Aµ(A; θ) + δλAµ(A; θ) = Aµ(A + δλA; θ)
ψ(ψ,A; θ)→ eiλ(λ,A;θ) ? ψ(ψ,A; θ) ≡ ψ(ψ′,A′; θ)
ψ(ψ,A; θ) + δλψ(ψ,A; θ) = ψ(ψ + δλψ,A + δλA; θ)
δλ1 λ(λ2,A; θ)− δλ2 λ(λ1,A; θ)− i[λ(λ1,A; θ) ?, λ(λ2,A; θ)] =−iλ([λ1, λ2],A; θ)
Nekomutativni prostor Kvantizacija
Seiberg-Witten-ovo preslikavanje
λ
A
ψ
→ λ
Aψ
Aµ(A; θ)→ eiλ(λ,A;θ) ? (A(A; θ) + i∂µ)? e−iλ(λ,A;θ) ≡ Aµ(A′; θ)
Aµ(A; θ) + δλAµ(A; θ) = Aµ(A + δλA; θ)
ψ(ψ,A; θ)→ eiλ(λ,A;θ) ? ψ(ψ,A; θ) ≡ ψ(ψ′,A′; θ)
ψ(ψ,A; θ) + δλψ(ψ,A; θ) = ψ(ψ + δλψ,A + δλA; θ)
δλ1 λ(λ2,A; θ)− δλ2 λ(λ1,A; θ)− i[λ(λ1,A; θ) ?, λ(λ2,A; θ)] =−iλ([λ1, λ2],A; θ)
Nekomutativni prostor Kvantizacija
SW jednacine
λ = λ+ λ(1)(λ,A; θ) + λ(2)(λ,A; θ) + . . .
Aµ = Aµ + A(1)µ (A; θ) + A
(2)µ (A; θ) + . . .
ψ = ψ + ψ(1)(ψ,A; θ) + ψ(2)(ψ,A; θ) + . . .
SW jednacina za λ(1):
δλ1λ(1)(λ2)− δλ2λ
(1)(λ1)− i[λ(1)(λ1), λ2]
+i[λ(1)(λ2), λ1] + iλ(1)([λ1, λ2]) = −1
2θµν{∂µλ1, ∂νλ2}
Nekomutativni prostor Kvantizacija
SW jednacine
λ = λ+ λ(1)(λ,A; θ) + λ(2)(λ,A; θ) + . . .
Aµ = Aµ + A(1)µ (A; θ) + A
(2)µ (A; θ) + . . .
ψ = ψ + ψ(1)(ψ,A; θ) + ψ(2)(ψ,A; θ) + . . .
SW jednacina za λ(1):
δλ1λ(1)(λ2)− δλ2λ
(1)(λ1)− i[λ(1)(λ1), λ2]
+i[λ(1)(λ2), λ1] + iλ(1)([λ1, λ2]) = −1
2θµν{∂µλ1, ∂νλ2}
Nekomutativni prostor Kvantizacija
Resenje SW jednacina
λ(1)(λ,A; θ) = −14θµν{Aµ, ∂νλ}
A(1)ρ (A; θ) = −1
4θµν{Aµ,Fνρ + ∂νAρ}
ψ(1)(ψ,A; θ) = −14θµνAµ (Dν + ∂ν)ψ
Nejednoznacnosti SW preslikavanja:
λ′(1) = ic1,λθµν [Aµ, ∂νλ]
A′(1)ρ = ic1,λθ
µν [DρAµ,Aν ]− 2ic1,AθµνDρFµν
ψ′(1) = −c1,λθµνAµAνψ + 1
2 c1,ψθµνFµνψ
Nekomutativni prostor Kvantizacija
Resenje SW jednacina
λ(1)(λ,A; θ) = −14θµν{Aµ, ∂νλ}
A(1)ρ (A; θ) = −1
4θµν{Aµ,Fνρ + ∂νAρ}
ψ(1)(ψ,A; θ) = −14θµνAµ (Dν + ∂ν)ψ
Nejednoznacnosti SW preslikavanja:
λ′(1) = ic1,λθµν [Aµ, ∂νλ]
A′(1)ρ = ic1,λθ
µν [DρAµ,Aν ]− 2ic1,AθµνDρFµν
ψ′(1) = −c1,λθµνAµAνψ + 1
2 c1,ψθµνFµνψ
Nekomutativni prostor Kvantizacija
Resenje SW jednacina
λ(1)(λ,A; θ) = −14θµν{Aµ, ∂νλ}
A(1)ρ (A; θ) = −1
4θµν{Aµ,Fνρ + ∂νAρ}
ψ(1)(ψ,A; θ) = −14θµνAµ (Dν + ∂ν)ψ
Nejednoznacnosti SW preslikavanja:
λ′(1) = ic1,λθµν [Aµ, ∂νλ]
A′(1)ρ = ic1,λθ
µν [DρAµ,Aν ]− 2ic1,AθµνDρFµν
ψ′(1) = −c1,λθµνAµAνψ + 1
2 c1,ψθµνFµνψ
Nekomutativni prostor Kvantizacija
Nejednoznacnosti SW preslikavanja
A(n)ρ → A
(n)ρ + A(n)
ρ , ψ(n) → ψ(n) + Ψ(n)
∆S (n,A) =∫d4x(DρF ρµ)A(n)
µ , ∆S (n,ψ) = i∫d4xψγµ(DµΨ(n))
Nekomutativni prostor Kvantizacija
Nejednoznacnosti SW preslikavanja
A(n)ρ → A
(n)ρ + A(n)
ρ , ψ(n) → ψ(n) + Ψ(n)
∆S (n,A) =∫d4x(DρF ρµ)A(n)
µ , ∆S (n,ψ) = i∫d4xψγµ(DµΨ(n))
Nekomutativni prostor Kvantizacija
Dejstvo na NC prostoru
LNCf = i(ϕγµ∂µϕ− iϕγµAµ ? ϕ)
LNCYM = −1
4 Fµν ? Fµν
S(1)f = 1
4θµν∫d4x (−iϕγρFµν(Dρϕ) + 2iϕγρFµρ(Dνϕ))
S(1)YM = 1
8θµνTr
∫d4x (−4FρµFσνF ρσ + FµνFρσF ρσ)
Nekomutativni prostor Kvantizacija
Dejstvo na NC prostoru
LNCf = i(ϕγµ∂µϕ− iϕγµAµ ? ϕ)
LNCYM = −1
4 Fµν ? Fµν
S(1)f = 1
4θµν∫d4x (−iϕγρFµν(Dρϕ) + 2iϕγρFµρ(Dνϕ))
S(1)YM = 1
8θµνTr
∫d4x (−4FρµFσνF ρσ + FµνFρσF ρσ)
Nekomutativni prostor Kvantizacija
Metod pozadinskog polja
Γ[φi ] = Scl[φi ]− 12i Tr log S [2][φi ]
φi → φi + Φi
S [φi + Φi ]
S[2]ij = δ2S
δφiδφj
L0 = iϕσµ(Dµϕ)− 14 FµνFµν
L1,A = −12 θ
µν(FµρFνσF ρσ − 1
4 FµνFρσF ρσ)
L1,ϕ = − i16 θ
µν∆αβγµνρ Fαβ ϕ σ
ρ(Dγϕ) + h.c.
ψ =
(ϕαϕα
)L0 = i
2 ψγµ(∂µ − iγ5Aµ)ψ − 1
4 FµνFµν
L1,ψ = − i16 θ
µν∆αβγµνρ Fαβψγ
ρ(∂γ − iγ5Aγ)ψ
Nekomutativni prostor Kvantizacija
Metod pozadinskog polja
Γ[φi ] = Scl[φi ]− 12i Tr log S [2][φi ]
φi → φi + Φi
S [φi + Φi ]
S[2]ij = δ2S
δφiδφj
L0 = iϕσµ(Dµϕ)− 14 FµνFµν
L1,A = −12 θ
µν(FµρFνσF ρσ − 1
4 FµνFρσF ρσ)
L1,ϕ = − i16 θ
µν∆αβγµνρ Fαβ ϕ σ
ρ(Dγϕ) + h.c.
ψ =
(ϕαϕα
)L0 = i
2 ψγµ(∂µ − iγ5Aµ)ψ − 1
4 FµνFµν
L1,ψ = − i16 θ
µν∆αβγµνρ Fαβψγ
ρ(∂γ − iγ5Aγ)ψ
Nekomutativni prostor Kvantizacija
Metod pozadinskog polja
Γ[φi ] = Scl[φi ]− 12i Tr log S [2][φi ]
φi → φi + Φi
S [φi + Φi ]
S[2]ij = δ2S
δφiδφj
L0 = iϕσµ(Dµϕ)− 14 FµνFµν
L1,A = −12 θ
µν(FµρFνσF ρσ − 1
4 FµνFρσF ρσ)
L1,ϕ = − i16 θ
µν∆αβγµνρ Fαβ ϕ σ
ρ(Dγϕ) + h.c.
ψ =
(ϕαϕα
)L0 = i
2 ψγµ(∂µ − iγ5Aµ)ψ − 1
4 FµνFµν
L1,ψ = − i16 θ
µν∆αβγµνρ Fαβψγ
ρ(∂γ − iγ5Aγ)ψ
Nekomutativni prostor Kvantizacija
Metod pozadinskog polja
Γ[φi ] = Scl[φi ]− 12i Tr log S [2][φi ]
φi → φi + Φi
S [φi + Φi ]
S[2]ij = δ2S
δφiδφj
L0 = iϕσµ(Dµϕ)− 14 FµνFµν
L1,A = −12 θ
µν(FµρFνσF ρσ − 1
4 FµνFρσF ρσ)
L1,ϕ = − i16 θ
µν∆αβγµνρ Fαβ ϕ σ
ρ(Dγϕ) + h.c.
ψ =
(ϕαϕα
)L0 = i
2 ψγµ(∂µ − iγ5Aµ)ψ − 1
4 FµνFµν
L1,ψ = − i16 θ
µν∆αβγµνρ Fαβψγ
ρ(∂γ − iγ5Aγ)ψ
Nekomutativni prostor Kvantizacija
Metod pozadinskog polja
Γ[φi ] = Scl[φi ]− 12i Tr log S [2][φi ]
φi → φi + Φi
S [φi + Φi ]
S[2]ij = δ2S
δφiδφj
L0 = iϕσµ(Dµϕ)− 14 FµνFµν
L1,A = −12 θ
µν(FµρFνσF ρσ − 1
4 FµνFρσF ρσ)
L1,ϕ = − i16 θ
µν∆αβγµνρ Fαβ ϕ σ
ρ(Dγϕ) + h.c.
ψ =
(ϕαϕα
)L0 = i
2 ψγµ(∂µ − iγ5Aµ)ψ − 1
4 FµνFµν
L1,ψ = − i16 θ
µν∆αβγµνρ Fαβψγ
ρ(∂γ − iγ5Aγ)ψ
Nekomutativni prostor Kvantizacija
Metod pozadinskog polja
Γ[φi ] = Scl[φi ]− 12i Tr log S [2][φi ]
φi → φi + Φi
S [φi + Φi ]
S[2]ij = δ2S
δφiδφj
L0 = iϕσµ(Dµϕ)− 14 FµνFµν
L1,A = −12 θ
µν(FµρFνσF ρσ − 1
4 FµνFρσF ρσ)
L1,ϕ = − i16 θ
µν∆αβγµνρ Fαβ ϕ σ
ρ(Dγϕ) + h.c.
ψ =
(ϕαϕα
)L0 = i
2 ψγµ(∂µ − iγ5Aµ)ψ − 1
4 FµνFµν
L1,ψ = − i16 θ
µν∆αβγµνρ Fαβψγ
ρ(∂γ − iγ5Aγ)ψ
Nekomutativni prostor Kvantizacija
Metod pozadinskog polja
Γ[φi ] = Scl[φi ]− 12i Tr log S [2][φi ]
φi → φi + Φi
S [φi + Φi ]
S[2]ij = δ2S
δφiδφj
L0 = iϕσµ(Dµϕ)− 14 FµνFµν
L1,A = −12 θ
µν(FµρFνσF ρσ − 1
4 FµνFρσF ρσ)
L1,ϕ = − i16 θ
µν∆αβγµνρ Fαβ ϕ σ
ρ(Dγϕ) + h.c.
ψ =
(ϕαϕα
)
L0 = i2 ψγ
µ(∂µ − iγ5Aµ)ψ − 14 FµνFµν
L1,ψ = − i16 θ
µν∆αβγµνρ Fαβψγ
ρ(∂γ − iγ5Aγ)ψ
Nekomutativni prostor Kvantizacija
Metod pozadinskog polja
Γ[φi ] = Scl[φi ]− 12i Tr log S [2][φi ]
φi → φi + Φi
S [φi + Φi ]
S[2]ij = δ2S
δφiδφj
L0 = iϕσµ(Dµϕ)− 14 FµνFµν
L1,A = −12 θ
µν(FµρFνσF ρσ − 1
4 FµνFρσF ρσ)
L1,ϕ = − i16 θ
µν∆αβγµνρ Fαβ ϕ σ
ρ(Dγϕ) + h.c.
ψ =
(ϕαϕα
)L0 = i
2 ψγµ(∂µ − iγ5Aµ)ψ − 1
4 FµνFµν
L1,ψ = − i16 θ
µν∆αβγµνρ Fαβψγ
ρ(∂γ − iγ5Aγ)ψ
Nekomutativni prostor Kvantizacija
Metod pozadinskog polja
Γ[φi ] = Scl[φi ]− 12i Tr log S [2][φi ]
φi → φi + Φi
S [φi + Φi ]
S[2]ij = δ2S
δφiδφj
L0 = iϕσµ(Dµϕ)− 14 FµνFµν
L1,A = −12 θ
µν(FµρFνσF ρσ − 1
4 FµνFρσF ρσ)
L1,ϕ = − i16 θ
µν∆αβγµνρ Fαβ ϕ σ
ρ(Dγϕ) + h.c.
ψ =
(ϕαϕα
)L0 = i
2 ψγµ(∂µ − iγ5Aµ)ψ − 1
4 FµνFµν
L1,ψ = − i16 θ
µν∆αβγµνρ Fαβψγ
ρ(∂γ − iγ5Aγ)ψ
Nekomutativni prostor Kvantizacija
Metod pozadinskog polja
Γ[Aµ, ψ] = Scl[Aµ, ψ]− 12i STr logB[Aµ, ψ]
S (2) =∫d4x
(Aκ Ψ
)B(AλΨ
)B = B0 + B1
B0 = 12
(gκλ� ψγκγ5
γλγ5ψ i/∂ + /Aγ5
)
Nekomutativni prostor Kvantizacija
Metod pozadinskog polja
Γ[Aµ, ψ] = Scl[Aµ, ψ]− 12i STr logB[Aµ, ψ]
S (2) =∫d4x
(Aκ Ψ
)B(AλΨ
)
B = B0 + B1
B0 = 12
(gκλ� ψγκγ5
γλγ5ψ i/∂ + /Aγ5
)
Nekomutativni prostor Kvantizacija
Metod pozadinskog polja
Γ[Aµ, ψ] = Scl[Aµ, ψ]− 12i STr logB[Aµ, ψ]
S (2) =∫d4x
(Aκ Ψ
)B(AλΨ
)B = B0 + B1
B0 = 12
(gκλ� ψγκγ5
γλγ5ψ i/∂ + /Aγ5
)
Nekomutativni prostor Kvantizacija
Metod pozadinskog polja
Γ[Aµ, ψ] = Scl[Aµ, ψ]− 12i STr logB[Aµ, ψ]
S (2) =∫d4x
(Aκ Ψ
)B(AλΨ
)B = B0 + B1
B0 = 12
(gκλ� ψγκγ5
γλγ5ψ i/∂ + /Aγ5
)
Nekomutativni prostor Kvantizacija
Metod pozadinskog polja
Bkin = 12
(gκλ� 0
0 i/∂
)
I =
(gκλ 0
0 1
)BkinC = IC = 2
(1 00 −i/∂
)STr (logB) = STr
(log�−1BC
)− STr
(log C�−1
)
Nekomutativni prostor Kvantizacija
Metod pozadinskog polja
Bkin = 12
(gκλ� 0
0 i/∂
)I =
(gκλ 0
0 1
)
BkinC = IC = 2
(1 00 −i/∂
)STr (logB) = STr
(log�−1BC
)− STr
(log C�−1
)
Nekomutativni prostor Kvantizacija
Metod pozadinskog polja
Bkin = 12
(gκλ� 0
0 i/∂
)I =
(gκλ 0
0 1
)BkinC = I
C = 2
(1 00 −i/∂
)STr (logB) = STr
(log�−1BC
)− STr
(log C�−1
)
Nekomutativni prostor Kvantizacija
Metod pozadinskog polja
Bkin = 12
(gκλ� 0
0 i/∂
)I =
(gκλ 0
0 1
)BkinC = IC = 2
(1 00 −i/∂
)
STr (logB) = STr(log�−1BC
)− STr
(log C�−1
)
Nekomutativni prostor Kvantizacija
Metod pozadinskog polja
Bkin = 12
(gκλ� 0
0 i/∂
)I =
(gκλ 0
0 1
)BkinC = IC = 2
(1 00 −i/∂
)STr (logB) = STr
(log�−1BC
)− STr
(log C�−1
)
Nekomutativni prostor Kvantizacija
Metod pozadinskog polja
BC = �I + N1 + T1 + T2
Kvantna korekcija:
Γ(1) =i
2STr log
(I + �−1N1 + �−1T1 + �−1T2
)=
i
2
∑ (−1)n+1
nSTr
(�−1N1 + �−1T1 + �−1T2
)nN1 =
(0 −iψγ5γ
λ/∂−γ5γ
κψ iγ5 /A/∂
)
Nekomutativni prostor Kvantizacija
Metod pozadinskog polja
BC = �I + N1 + T1 + T2
Kvantna korekcija:
Γ(1) =i
2STr log
(I + �−1N1 + �−1T1 + �−1T2
)=
i
2
∑ (−1)n+1
nSTr
(�−1N1 + �−1T1 + �−1T2
)n
N1 =
(0 −iψγ5γ
λ/∂−γ5γ
κψ iγ5 /A/∂
)
Nekomutativni prostor Kvantizacija
Metod pozadinskog polja
BC = �I + N1 + T1 + T2
Kvantna korekcija:
Γ(1) =i
2STr log
(I + �−1N1 + �−1T1 + �−1T2
)=
i
2
∑ (−1)n+1
nSTr
(�−1N1 + �−1T1 + �−1T2
)nN1 =
(0 −iψγ5γ
λ/∂−γ5γ
κψ iγ5 /A/∂
)
Nekomutativni prostor Kvantizacija
Metod pozadinskog polja
T1 =
(V κλ −1
4θµν∆αβγ
µνρ δκα(∂βψ)γρ∂γ/∂
− i4θµν∆αβγ
µνρ δλαγρ(∂βψ)∂γ −1
8θµν∆αβγ
µνρFαβγρ∂γ/∂
)
V κλ = −∂σV σκ,τλ∂τ
V σκ,τλ = 12 (gστgκλ − gσλg τκ)θαβFαβ − gκλ(θξσFξ
τ +
θξτFξσ)− gστ (θξκFξ
λ + θξλFξκ) + gκτ (θξλFξ
σ + θξσFξλ) +
gσλ(θξκFξτ + θξτFξ
κ)− θκλF στ + θκτF σλ + θσλFκτ +θσκF τλ + θτλF σκ − θστFκλ
Nekomutativni prostor Kvantizacija
Metod pozadinskog polja
T1 =
(V κλ −1
4θµν∆αβγ
µνρ δκα(∂βψ)γρ∂γ/∂
− i4θµν∆αβγ
µνρ δλαγρ(∂βψ)∂γ −1
8θµν∆αβγ
µνρFαβγρ∂γ/∂
)
V κλ = −∂σV σκ,τλ∂τ
V σκ,τλ = 12 (gστgκλ − gσλg τκ)θαβFαβ − gκλ(θξσFξ
τ +
θξτFξσ)− gστ (θξκFξ
λ + θξλFξκ) + gκτ (θξλFξ
σ + θξσFξλ) +
gσλ(θξκFξτ + θξτFξ
κ)− θκλF στ + θκτF σλ + θσλFκτ +θσκF τλ + θτλF σκ − θστFκλ
Nekomutativni prostor Kvantizacija
Metod pozadinskog polja
T2 =
(δκαδ
λβ(∂γψγ5γ
ρψ + ψγ5γρψ∂γ) iδκα(2∂βAγ + Fβγ)ψγ5γ
ρ/∂
δλαγ5γρ(2Aγ∂β − Fβγ) iFαβAγγ5γ
ρ/∂
)
Nekomutativni prostor Kvantizacija
Divergentni deo efektivnog dejstva
Γ(1)|div = Γ 2 + Γ3 + Γ4 = Γ2 + Γ3
Γ2 = − i
2STr(�−1N1�
−1T1)|div
=1
(4π)2εθµν
(i
12εµν
ρσ(∂ρψ)γσ(�ψ) +1
12εµρστFρσ(�Fντ )
)
Nekomutativni prostor Kvantizacija
Divergentni deo efektivnog dejstva: 3-point
Γ3 =i
2
(− (�−1N2�
−1T1)∣∣div
+ STr(�−1N1�−1N1�
−1T1)∣∣div− STr(�−1N1�
−1T2)∣∣div
)
Nekomutativni prostor Kvantizacija
Divergentni deo efektivnog dejstva: 3-point
STr(�−1N2�−1T1)∣∣div
= 0
Nekomutativni prostor Kvantizacija
Divergentni deo efektivnog dejstva: 3-point
STr(�−1N1�−1T2)
∣∣div
=1
(4π)2εθµν
(− i
3Aρ(∂µψ)γρ(∂νψ)
− i
3Aµ(∂νψ)γρ(∂ρψ)− i
3Aρ(∂µψ)γν(∂ρψ)
− 1
3εµρστAρ(∂νψ)γ5γσ(∂τψ)− 4i
3Fµρψγ
ρ(∂νψ)
− 4i
3Fµρψγν(∂ρψ)− 4
3εµρστFνρψγ5γσ(∂τψ)
− 2i
3Aµψγν(�ψ) +
1
6εµν
ρσAρψγ5γσ(�ψ)
+2
3AρFµν(∂σFρσ) −4
3AµFνρ(∂σF ρσ)
)
Nekomutativni prostor Kvantizacija
Divergentni deo efektivnog dejstva: 3-point
STr(�−1N1�−1N1�
−1T1)∣∣div
=1
(4π)2εθµν
(− i
3Aρ(∂µψ)γρ(∂νψ)
− i
3Aµ(∂νψ)γρ(∂ρψ)− 5i
3Aρ(∂µψ)γν(∂ρψ)
− 1
3εµρστAρ(∂νψ)γ5γσ(∂τψ) +
i
3Fµρψγ
ρ(∂νψ)
+2i
3Fµρψγν(∂ρψ) +
i
6Fµνψγ
ρ(∂ρψ)
− 2i
3(∂ρAρ)ψγµ(∂νψ) +
1
3εµν
ρσAτ (∂ρψ)γ5γσ(∂τψ)
− 1
6εµν
ρσ(∂τAτ )ψγ5γρ(∂σψ) +1
12εµρστFρσψγ5γτ (∂νψ)
+1
6εµρστFνρψγ5γσ(∂τψ)− 1
4εµν
ρσFρσψγ5γτ (∂τψ)
)
Nekomutativni prostor Kvantizacija
Divergentni deo efektivnog dejstva: 3-point
Γ3 =1
(4π)2εθµν
(1
6FµνF ρσFρσ −
2
3FµρF νσFρσ +
5i
6Fµρψγ
ρ(∂νψ)
− i
6Fµρψγν(∂ρψ)− 2i
3Fµνψγ
ρ(∂ρψ) +4
3εµρστFρσψγ5γτ (∂νψ)
+3
2εµν
ρσFρτ ψγ5γσ(∂τψ) +1
8εµν
ρσFρσψγ5γτ (∂τψ)
+1
12εµν
ρσAρψγ5γσ(�ψ)− 1
6εµν
ρσAτ (∂ρψ)γ5γσ(∂τψ)
+1
12εµν
ρσ(∂τAτ )ψγ5γρ(∂σψ)
)