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Coeficientes Indeterminados

Resumen clases

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Metodo de Coeficientes Indeterminados

Sirve para encontrar una solucin particular.

Es aplicado slo a ED lineales con coeficientes constantes.

Este metodo es usado cuando

y "+ ay' + by = q(x ) = (Pm (x ) cos( x ) + Qn(x )sen( x )),(1)

donde , R, Pm(x ) y Qn(x ) son polinomios de grados m

y n.

Esto significa que q(x ) tiene una de las siguientes formas:

q(x ) = k, k cte; q(x ) = polinomio en x ; q(x ) = ex ; q(x ) = cos(x ), q(x ) = sen(x )

q(x ) =sumas, sustracciones y/o multiplicaciones finitas de las expresiones anteriores.

Ejemplo: 1) y "+ 2y' + by = 2e3x

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Metodo de Coeficientes Indeterminados

y "+ ay' + by = (Pm (x ) cos(x ) + Qn (x )sen(x )). (2)

2 + a + b=0 (3)

Teorema

Sea k = max{grad(Pm), grad(Qn)}.

(a) Si i no es raz de (3), entonces (2) tiene solucin particular de

la forma yp (x ) = (Rk (x ) cos(x ) + Sk (x )sen()),

donde Rk , Sk son polinomios de grado k.

(b) Si i es raz de multiplicidad de (3), entonces (2) tiene sol. particular de la forma

yp (x ) = x (Rk (x ) cos(x ) + Sk (x )sen(x )),

donde Rk , Sk son polinomios de grado k.

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Metodo de Coeficientes Indeterminados

Ejemplo

1 y "-5y' + 6y = 2cos(2x)+xsen(2x)

2 Solucin

3 P(x)=2 , Q(x)=x , =0 =2, k=1

4 0 2i no es raz de 2 -5 + 6=0

5 Entonces la solucin particular es de la forma

(Ax+B)cos(2x)+(cx+d)sen(2x)

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