A

B

C

D

E

En la figura, ACB=EDB.a) Prueba que ΔABC ΔEDB AC=10 cm , AB=24 cm y EB=15 cm, calcula la longitud de ED

Tiempo para copiar

10 c

m

15 cm

24 cm

.

b) Si

A

B

C

D

Ea) Prueba que ΔABC ΔEDB

.

En la figura, ACB=EDB.

En los triángulos ABC y EDB

ACB=EDB (dato)

B (común)

ΔABC ΔEDBTienen dos ángulos

respectivamenteiguales (a,a)

A

B

C

D

E ΔABC ΔEDB

10 c

m15 cm

24 cm

.

?

= =AB AC CBEB ED DB

= = CBED DB

2415

10Lados proporcionales

ED = 15·1024

5

8

ED = 6,25 cmED =0,625·10

En la figura, AC bisectriz del DAB.

A

BC

DE

Estudio independiente

ΔACB rectángulo en C y DE CB.

a) Demuestra que ΔABC ΔADE

b) Prueba que

BC·AE=DE·AC

Tiempo para copiar

.

En la figura, ABCD es un rectángulo y DB es una diagonal con CE DB.

b) Si EC=12 cm y EB=5,0 cm ,

A B

CD

ETiempo

para copiar

a) Prueba que ΔABDΔCBE.

calcula el área del rectángulo.

.

A B

CD

E.

a) ΔABDrectángulo

en A (ABCD

rectángulo)ΔCBE

rectánguloen E

(CE DB dato)

DAB=CEB

ADB=EBC(alternos entre lossegmentos BC ADdel rectángulo y la

diagonal DB)

ΔABDΔCBETienen dos ángulos

respectivamente iguales (a,a)

·A

B

E C

D

O

En la figura A, B, C y D son puntos de la circunferencia de centro O .DB es diámetro y AC BE .

a) Demuestra que ΔBCD ΔABEb) Demuestra que AB·BC = BD·BE

.

Tiempo para copiar

·A

B

E C

D

O

ΔBDCrectángulo en C(BCD inscrito

sobre el diámetro)ΔAEB

rectángulo en E(dato AC BE )A =D

(inscritos sobre el mismo arco BC)

ΔBDC ΔAEB

Triángulosrectánguloscon un ánguloagudo igual.

.(a,a)

·A

B

E C

D

O

ΔBDC ΔAEB

= =BD BC DCBEAB AE

AB·BC = BD·BEentonces:

AB·BC = BD·BE

Demuestra que:.

(lados proporcionales)

Comprueba que el perímetro del círculo mide 173,45 cm si:AB=29 cm, AE=20 cm y BC=40 cm

ESTUDIO INDIVIDUAL

Teorema de la bisectrizLa bisectriz de un ángulo en un

triángulo cualquiera, divide al ladoopuesto en dos segmentos

proporcionales a los otros dos lados del triángulo.

B

A

C

P

a

bm

n m=n

ab

CP bisectriz del BCA

.

B

A

C

P

a

bm

n

Q

AQ PC1

2

3

4b

1=2 (bisectriz)

CP bisectriz del BCA

2=3 (alternos entre4=1 (corresp. entre

4=3 (propiedad

CQ prolon-gación de BC

AQ PC)

AQ PC)

transitiva)ΔAQCisósceles

de base AQ

CQ=ba

=bm n

Teorema

transversalesde las

.

Estudio individual

18 cm

x+8

x6,0cm

A B

C

P

En el triángulo ABC, CP es la bisectriz del C .

Comprueba que AB=10 cm

.

a) Prueba que ABD ~ DFE.b) Halla el área del DFE.

A B

D CE

F

ABCD es un rectángulo de área A = 9,6 dm2. E y F son puntos medios de los lados DC y DA respectivamente.

Ejercicio 1

A B

D CE

F

Solución del ejercicio 1

DEDEDCDC

DFDFDADA

=

BAD = EDFBAD = EDF(justificar)(justificar)

Entonces, ABD ~ DFE por tener dos lados respectivamente proporcionales e igual el ángulo comprendido entre ellos.

Entonces, ABD ~ DFE por tener dos lados respectivamente proporcionales e igual el ángulo comprendido entre ellos.

==1212

En los triángulos DFE y ABD tenemos:En los triángulos DFE y ABD tenemos:

A B

D CE

F

Solución del ejercicio 1

DEDEDCDC

DFDFDADA

= ==1212

AEDF = k2AABDAEDF = k2AABD

AABCD = Y = 9,6 dm2AABCD = Y = 9,6 dm2

AEDF =1,2 dm2AEDF =1,2 dm2

1212

AABD = Y AABD = Y 1212

= ( )2 Y = ( )2 Y 1212

1212

= = 9,6 dm2

9,6 dm2

1212

BB

CC

DDAA

EEPrueba que:

a)ABC EBD.

AADC

ADBC

AD

DB=c)

b)BD es bisectriz del EBC.

En el ABC, CD es la

bisectriz del BCA.BCA = BDE y el AED es isósceles de base AE.

B

C

DA

E

BCA = BDE BCA = BDE

(por dato)(por dato)

ACAC

CBCB

ADAD

DBDB==

ACAC

CBCB

DEDE

DBDB==

AD = DE ( AED isósceles de base AE) AD = DE ( AED isósceles de base AE)

ACAC

DEDE

CBCB

DBDB==

(por ser CD bisectriz del BCA)

entonces, ACAC

CBCB

DEDE

DBDB==

(1)(1)

(2)(2)

BCA = BDE BCA = BDE (1)(1)

ACAC

DEDE

CBCB

DBDB== (2)(2)

Entonces, ABC EBD por tener dos lados respectivamente propor- cionales e igual el ángulo compren- dido entre ellos.

Entonces, ABC EBD por tener dos lados respectivamente propor- cionales e igual el ángulo compren- dido entre ellos.

B

C

DA

E

En la figura:ABCD es un cuadradode 10 cm de lado y E es el punto medio del lado BC. AFDE .

b) Prueba que ADF ~ DEC

Calcula el área del AFE c)

a) Prueba que ABE = DEC

D C

BA

E

F

.

D C

BA

E

F 10

5

5

ΔDEC rectánguloen C

a)

ΔABE rectánguloen B

(ABCD cuadrado)

DCE=ABE=90o

CE=EB(E punto medio de BC)

AB=DC(ABCD cuadrado)

ΔDEC=ΔABE

AΔDEC

DC·CE2= =10·5

2=25 cm2

25

25

.

dos lados y

(tienen resp.

el ángulo comprendido)

iguales

D C

BA

E

F b) ΔDEC rectángulo

en C

ΔDAF rectánguloen F

(ABCD cuadrado)

(dato AF DE )

DCE=DFA=90o

ADF=DEC

AD BC(alternos entre

del cuadrado)

ΔDAF ΔDEC(tienen dos ángulos

iguales resp.)(a,a)

25

=K ADDE

=DE

10

10 ?

.

10

5A

D C

BA

E

F ΔDAF ΔDEC25

10

DE=K AD

DE= 10 ?

.

10

5DE2=DC2+CE2

Teorema de Pitágoras

c)

DE= 2+ 210 5 =100+25

=125 = 53

55

=55DE

=52·5

5= 2

5·5 25

5=

255K=

A

K1K0,896A =

DAFK ·

2 A DEC

Estudio individual.

A B

C

D

E

En el dibujo:CA es bisectriz del DCB ΔABC y ΔDEC isósceles

respectivamente.de bases AB y DE

DC=6,0 cm AE=2,0 cm

A =16 cm2

ΔABCCalcula el áreadel ΔDEC .

9,0

cm2

D C

BA

E

F ΔDAF ΔDEC25

.

10

5c)

255K=

AA =DAF

K ·2 A

DEC10

A =DAF

255

2·25

4·525

= ·25

A =DAF

20 cm2

AABCD

=AD2 =102

AABCD

=100 cm2

20

25

30

A =AFE

30 cm2

D C

BA

E

F

10

10

2030

50

.

Otra vía para

calcular el área

del ΔAFE.

Demostrar que:

"Si AB y CD son dos rectas secantes a una circunferencia desde un punto exterior E, entonces EB EA = EC ED“.

"Si AB y CD son dos rectas secantes a una circunferencia desde un punto exterior E, entonces EB EA = EC ED“.(A, B, C y D son puntos de la circunferencia)(A, B, C y D son puntos de la circunferencia)

BA

CD

O E

DemostraciónDemostración

En los triángulos EDB y ECA tenemos:

Trazamos las cuerdas AC y DB.

E es común.E es común.

EAC =EDB por inscritos sobre el mismo arco BC.EAC =EDB por inscritos sobre el mismo arco BC.

BA

CD

O E

DemostraciónDemostración E es común.E es común.

EAC =EDB EAC =EDB

BA

CD

O E Entonces: EDB ECA(Por tener dos ángulos

respectivamente iguales)

EB

EC

ED

EA

BD

CA= =

(Proporcionalidad entre los lados homólogos en triángulos semejantes)

Luego:

DemostraciónDemostración

BA

CD

O E

EB

EC

ED

EA

BD

CA= =

Y aplicando la propiedad fundamental de las proporciones se tiene:

EB EA = EC EDEB EA = EC ED(que es lo que se quería demostrar)

Demostrar que:

"Si la recta AB es secante y EC tangente a una circunferencia desde un punto exterior E,

entonces EB EA = EC2 ".

"Si la recta AB es secante y EC tangente a una circunferencia desde un punto exterior E,

entonces EB EA = EC2 ".(A, B y C son puntos de la circunferencia)(A, B y C son puntos de la circunferencia)

BA

C

O

E

Demostrar que:

"Si AB y CD son dos cuerdas que se cortan en un punto E exterior a una circunferencia, entonces

"Si AB y CD son dos cuerdas que se cortan en un punto E exterior a una circunferencia, entonces

(A, B, C y D son puntos de la circunferencia)(A, B, C y D son puntos de la circunferencia)

B

A

D

C

O

E

EB EA = EC ED".EB EA = EC ED".

DemostraciónDemostración

En los triángulos ACE y BDE tenemos:

Trazamos las cuerdas AC y BD.

CEA =DEB (opuestos por el vértice)CEA =DEB (opuestos por el vértice)

EAC =BDE por inscritos sobre el mismo arco BC.EAC =BDE por inscritos sobre el mismo arco BC.

B

A

D

C

EO

DemostraciónDemostración CEA =DEBCEA =DEB

EAC =BDEEAC =BDEEntonces: BDE ACE(Por tener dos ángulos

respectivamente iguales)

EB

EC

ED

EA

BD

CA= =

(Proporcionalidad entre los lados homólogos en triángulos semejantes)

Luego:

B

A

D

C

EO

DemostraciónDemostración

EB

EC

ED

EA

BD

CA= =

Y aplicando la propiedad fundamental de las proporciones se tiene:

EB EA = EC EDEB EA = EC ED(que es lo que se quería demostrar)

B

A

D

C

EO