02 – SISTEMAS DE CONDUTOS E RESERVATÓRIOS

Cloaca máxima - Roma

(ou de jusante)

Há várias configurações de reservatórios:

02 - Sistemas de Condutos e ReservatóriosA) Conceitos iniciais e considerações práticas:1)Fatores de correção da Eq. de Bernoulli: (para conhecimento)

►Coeficiente de Coriolis (α), fator de correção do perfil de velocidades no conduto, corrigindo o termo de energia cinética. Em condutos circulares e regime turbulento, seu valor médio é 1,06.►Coeficiente de Boussinesq (β), fator de correção da quantidade de movimento do fluido, corrigindo a equação de Bernoulli através da introdução do termo adicional Ld(βv)/(gdt). Em condutos circulares e reg. turbulento, seu valor médio é 1,02.

α = 3(β-1) +1Assim, a eq. Geral de Energia ( Bernoulli ), em fluidos reais é:

z1 + p1/ + α v12/2g = z2 + p2/ + α v2

2/2g + ∆h1-2 + Ld(βv)/(gdt)

Todavia, na maior parte dos problemas rotineiros, as margens de erro devido a outros fatores é maior ► vamos usar apenas os termos em preto da equação.

2) Raio Hidráulico (Rh)

É a relação entre a área molhada e o perímetro pelo qual escoa o líquido. Possibilita o uso

de equações para tubos em canais não circulares.Rh = A/P

3) Velocidade de atrito (velocidade de cisalhamento) – (u*)Importante no transporte de sedimentos (canais).

Ex: se D= 100mm ► Rh = 25 mm

Origem:

= Tensão de cisalhamento junto às paredes

Ex: Se D= 100mm, Q= 40l/s, perda de 8 mca, L= 300m:

τ0 = 1000.0,025.8/300= 0,667 kgf/m2

Velocidade de atrito:

u* = ( τ0/ρ)0,5 (0,667/102,04)0,5 = 0,08 m/s

Também, a tensão de cisalhamento pode ser relacionada como:

Exemplo:Numa tubulação de 300 mm de diâmetro, a água escoa em uma extensão de 300 m, ligando um ponto A na cota topográfica de 90,0 m, no qual a pressão interna é de 275 kN/m2, a um ponto B na cota topográfica de 75,0 m, no qual a pressão interna é de 345 kN/m2.

Calcule o sentido do escoamento, a perda de carga entre A e B, e a tensão de cisalhamento na parede do tubo. Se a vazão for igual a 0,14 m3/s, calcule o fator de atrito da tubulação e a velocidade de atrito.

pA = 275 kN/m2 altura de pressão= pA/γ = 275000/9800 = 28,06 mca

pB = 345 kN/m2 pB/ γ = 345/9,8 = 35,20 mca

L = 300 m ; ZA = 90 m ; ZB = 75 m ; Q = 0,14 m3/s

A

B300m 300mm

90m

75m

275 kN/m2

345 kN/m2

a) Sentido de escoamentoO sentido de escoamento é sempre dos níveis de energia mais elevada para a menos elevada.Como o diâmetro da tubulação é constante e sendo o escoamento permanente, a carga cinética em qualquer seção será a mesma. Deste modo, a linha de energia será paralela à linha piezométrica e a perda de

carga entre A e B pode ser calculado pela diferença entre as cotas piezométricas das seções A e B:

Cota (piezométrica) de A = pA/γ +ZA = 28,06 + 90 = 118,06 m

Cota (piezométrica) de B = pB/ γ +ZB = 35,20 + 75 = 110,20 m

Como : Cota de A = 118,06 > Cota de B = 110,20 o sentido do escoamento será de A para B.

A

B300m 300mm

90m

75m

275 kN/m2

345 kN/m2LP

118,06mca

110,20mcaLE

V2/2g

c) Determinação da tensão de cisalhamento na parede do tubo:

τ0 = γ Rh J

τ0 = γ (D/4 )∆h/ L = 9800. (0,30/4).7,86/300 = 19,26 N/m2 (Pa)

d) Determinação da velocidade de atrito:

u* = (19,26 / 1000)0,5 = 0,139 m/s

e) Determinação do fator de atrito para Q = 0,14 m3/s:

Q= VA V = (4Q/ π D2) = (4 . 0,14/π.0,302) V = 1,98 m/s

f = 2g . D . ∆h / (L . V2) = 19,6 . 0,30 . 7,86 / (300 . 1,982)

f = 0,039 (...e se usássemos a expressão ? )

b) Determinação da perda de carga entre A e B:

∆HAB = Cota A – Cota B = 118,06 – 110,20 = 7,86 m

4) Velocidades limites:A velocidade da água nos encanamentos é normatizada (NBR 5626/95; NBR 12215/91; NBR 12218/94, entre outras), e é limitada, evitando-se deposição, abrasão e ruídos.(Ex: manter entre 0,6 e 3,5 m/s)5) Representação das Linhas de Energia e Piezométrica em sistemas de condutos:Os diagramas são feitos com base na Linha de Energia, dado que a Linha Piezométrica caminha muito próxima a ela. Por exemplo, se a velocidade média for 1,0m/s, resulta em uma diferença de 0,05 m entre a LP - Linha Piezométrica, e a LE (ou LCE) - Linha de carga ou energia. Assim, para efeito de estudo posição relativa dos encanamentos, admite-se a coincidência das linhas de carga e piezométricas, mencionando-se apenas a LE.6) Perdas localizadas podem ser ignoradas quando: V< 1 m/s; ouL > 4000D; ou há poucas peças.7) Consideração executiva/prática: Deve-se procurar manter a canalização pelo menos 4 m abaixo da linha piezométrica/energia.

8) Observação sobre os coeficientes das formulas de perda de carga:

1) Formula Universal (Darcy-Weisbach):

Mas Q=V.A

J = 0,0827 f (Q2/D5)

∴D

Q

π

V

5

2

2

2

fg8

2gDfJh/L)(

β

J = 10,643 C- 1,85D- 4,87Q1,85

8/g

Formula Darcy-Weisbach (Racional)

Formula Hazen-Williams

2) Formula Hazen-Williams

B) Condutos equivalentes Devem possuir a mesma perda de carga H! a) Equivalência entre diâmetros, comprimentos e rugosidade:

Característica:

Darcy-Weisbach

Hazen-Williams

D1

D2

f1;C1

f2;C2

L1

L2

Obs: Estas equações só podem ser resolvidas por tentativas. Há solução direta somente se os houver igualdade de parâmetros, comno coeficientes de atrito iguais (f1=f2; C1=C2).

Exemplo 2) O projeto de uma adutora de 600 m estabelece tubos de 300 mm com f= 0,03, mas há uma oferta econômica para tubos de 250 mm. Qual deverá ser o coeficiente de atrito f mínimo destes tubos que satisfaçam a questão?

600=600 . 0,03(0,25/0,3)5/f2

f2 = 0,012

ou seja, se o “f” dos tubos de 250mm for maior que 0,012, não se poderá utilizá-lo pois não satisfaria o problema para a vazão considerada.

Exemplo 1): Uma tubulação de 250mm de diâmetro tem 360m. Determinar o comprimento de uma tubulação equivalente de 200 mm de diâmetro, com a mesma rugosidade da primeira.

f1=f2 L2 = 360.(200/250)5 ~ 118m

Formatos de seção diferentes:No caso de equivalência de dutos com secção diferentes, nas tubulações onde a seção transversal for retangular utiliza-se o conceito de diâmetro equivalente (De), que representa o diâmetro que uma tubulação de seção circular precisaria ter para apresentar a mesma resistência (atrito) que a tubulação em questão. Para dutos retangulares, pode-se utilizar a seguinte relação:

De = 1,3 (a.b)0,65/(a+b)0,25

onde: a = comprimento de um lado do duto [m]b = comprimento do lado adjacente do duto [m]Exemplo: Qual é o diâmetro circular equivalente a um duto de 100mmx200mm?De = 1,3(0,1.0,2) 0,65/(0,1+0,2) 0,25= 0,138 mObs: se a espessura da parede do tubo é a mesma, e considerando-se que eles são vendidos por quilo, qual seria o mais barato: o retangular ou o circular?

b) Condutos em série: (Regra de Dupuit)

Darcy-Weisbach

Hazen-Williams

Característica: he = h1 +h2 + h3 Qe = Q1 = Q2 = Q3

h1

h3

h2

Conduto equivalente

Resolver: considere o esquema anterior, com três trechos de tubulação e dados conforme abaixo. Pretende-se substituir por uma tubulação nova, com diâmetro uniforme do início ao fim. Qual diâmetro satisfaria a questão, supondo-se que a nova deve ter um coeficiente de atrito C=90 (no horizonte de projeto)?

Trecho 1 2 3

Diâmetro (mm) 100 300 200

Comprimento (m) 300 650 350

Coef. C 130 100 120

(HW)

Obs: o L do conduto equivalente será a Σ dos comprimentos dos tubos.

Exemplo:Pretende-se substituir um velho aqueduto com comprimento de 18 km para conduzir uma vazão de 0,5 m3/s. Considerando que pretendemos usar um material do depósito, sendo 10 km em tubos de concreto (C1=130) com diâmetro de 800 mm, e o restante, tubos cerâmicos (C2=110) com diâmetro de 600 mm, qual será a perda de carga total neste aqueduto?

18000/(Ce1,85. De

4,87) = 10000/(1301,85. 0,84,87) + 8000/(1101,85. 0,64,87) = 19,74 Ce

1,85. De4,87= 911,67

Aplicando-se estes dados na formula geral de Hazen-Williams, chega-se a: h = (10,643/911,67) . 0,51,85 .18000 = 58,20 mCabe, agora, verificar se a pressão residual ao final do aqueduto é suficiente para atender ao projeto.

(HW)

c) Sistema em paralelo:

=

Darcy-Weisbach

Hazen-Williams

2

BA

3

45

De = ?

BA

•Qual o diâmetro equivalente a 5 tubos de 50 mm associados em paralelos e de mesmo comprimento? (Hazen Williams)

D1 = D2 = D3 = D4 = D5 = 50 mm

(0,05 m)

De = 0,0922 ou 92,2 mm

C e L igual

•Calcule a vazão que flui do reservatório (A) ao (B) no esquema a seguir:

Dados:Tubos de PVC (C = 140)L1 = 200 m; D1 = 50 mm

L2 = 200 m; D2 = 62 mm

L3 = 350 m; D3 = 50 mm

L4 = 200 m; D4 = 100 mm_

Solução em 3 etapas:1 – Calcular De das tubulações em paralelo (1 a 3)

2 – Calcular De das tubulações em série (Equiv1-3 +

trecho 4)3 - Calcular a vazão

1ª Etapa: Encanamentos em paralelo

(Obs: Le = 200 m)

Trechos em paralelo (1 a 3): De = 0,0805 m ou 80,5 mm

2ª Etapa Encanamentos em sérieLe = 200 + 200 = 400 mD1 = 80,5 mm; L1 = 200 mD2 = 100 mm; L2 = 200 mDe= ?

De = 0,0873 m ou 87,3 mm

3ª Etapa: Cálculo da vazão (Hazen-Williams):

Q = 0,00873 m3/s (8,73 l/s)

SIFÃO:

Algumas funções:

Obs: Máxima altura Hb-a é de 10,33m (teórica). Na prática, Hb-a <~6 m

Considere o sifão abaixo onde, após escorva, água escoa de A para C. Se o diâmetro é de 150 mm, calcule a vazão e a pressão em B, admitindo-se uma perda de carga A-B de 0,75 m e B-C de 1,25 m.

C) TIPOS DE DERIVAÇÃO DE CONDUTOS: a) Influência de uma tomada d’água (derivação, sangria) :

Q (Vazão virgem)Qd

Vazão de derivação; sangria

Qa + QdQa

patm

patm

(L = comprimento da tubulação; D = diâmetro)

m

∴

∴

Conduto com uma derivação intermediária:Esquema similar ao do slide anterior:

Ex: Qual será a variação de vazão no trecho de comprimento L1 ao se derivar 24 l/s no ponto E? (Usar a fórmula de Darcy - Weisbach com f = 0,03).

Qa+Qd

QaQd patm

A

1) Perda de carga total: 1295-1277,9 = 17,10 mca

2) Vazão virgem: hf= .f.(Q2/D5 ).L Q = ∴ Q = (17,1 . 0,25)/(0,00248 . 400) Q= 0,0743 m3/s

3) Vazão com derivação:

1/2

∴Qa= -0,024 . 250/400 + 0,024². (250/400)² + 0,0743² - 0,024².(250/400)∴Qa = 0,0583 m³/s4) Aumento de vazão: a vazão no primeiro trecho será Qa+ = 0,0823 m³/s. Houve um

aumento de vazão de : 0,0823-0,0743 = 0,008 m³/s5) Comprovação: a) trecho AE: h1= (f (Qa+)2/D5 ).L1 = 13,1 mca b) trecho EB: h2= f (Qa2/D5).L2 = 3,95 mcaAssim, h1+h2 = 13,07 ~13,1m (Obs: refazer com Hazen -Williams C=115)

0,5

Obs: como Qd > 0,1 Qv, devemos usar a formula completa

13,1 +13,1 + 3,95 = 17,05 ~17,1 m

RESERVATÓRIO DE COMPENSAÇÃO OU RESERVATÓRIO DE SOBRAS Muito usado em sistemas de distribuição de água, dado que o de jusante (ou de sobras), atende nos horários de maior demanda.

SITUAÇÕES POSSÍVEIS: a) Não Existe Solicitação em A = 0 Q1= Q2Linha piezométrica: Reta MBN Pressão disponível em A: ABÞ R1somente abastecerá R2

𝑸𝒅

𝑸𝟐

1

Aplicação normal das eq. DW e HW:

b) Existe solicitação em A 0 << Q1

Maior vazão solicitada menor pressão em AÞ R2continua recebendo água de R1 até que a pressão em A seja

igual a AC e a linha piezométrica MCN ( = Q1)

c) Vazão solicitada maior que Q1 Qd > Q1- Pressão em A: menor que AC- Linha piezométrica: abaixo da MCN (Ex: MEN)- Funcionamento do reservatório de sobras (R2)

OBSERVAÇÕES h + EC = cota de R1 - cota de y EC = cota de R2 - cota de y Vazão Máxima: quando pressão em A for nulaLinhas piezométricas: MA e NA cota de y=cota de A

y=cota de E

Exemplo 1: Qual deve ser o valor de y, na figura abaixo, capaz de alimentar a derivação em E com 300 l/s ? Usar a Fórmula de Darcy - Weisbach com f = 0,04 (Obs: refazer com Hazen -Williams C=115)

Z1-Z2= hf1- hf2 = 5m /D5π² g∴h1= (8 . 0,04 . Q²1 . 400)/(0,45.3,14². 9,81) ∴h1=129,24 Q²1

∴h2 = 2067,78 Q²2

Como hf1- hf2 = 5m 129,24 Q²1 - 2067,78 Q²2 = 5 mSabe-se, ainda, Qtotal= Q1 + Q2 = 0,300 m³/sResolvendo-se, tem-se duas respostas: Q1= 0,392 m³/s e 0,258 m³/sO valor 0,392 m³/s é irreal (> vazão total), e deve ser abandonado.Assim, Q2 = 0,042 m³/s.Calculo das perdas: h1= 8,60mca e h2 = 3,647 mca ( sendo h1-h2 ~ 5 mca)Determinação de y : ZE + y + h1 = Z1 101,1 + y + 8,6 = 125 y= 15,3 mca

L1

Exemplo 2:

R1

R2

Q= 200l/s

Q2=Q1/3

Q1

10m

Condutos com distribuição em marcha:

q – vazão de distribuição em marcha, expressa em m3/s.m ou l/s.m

Qf = (Qm + Qj)/2 ou Qf = Qj + q.L2/2 m= montante (antes); j= jusante (depois)

Para a solução de problemas com vazão em marcha, faz-se uso de uma vazão

fictícia (Qf), que seria a vazão que ocorreria na tubulação que ocasionaria a mesma perda de carga que a vazão em marcha.

Obs: Se Qj = 0 (ponta seca), a perda de carga equivale a 1/3 daquela que se verificaria caso a vazão inicial (montante) fosse constante.

hf= f (Q2/D5 ).L . 1/3

q = vazão volumétrica, por metro de tubulação

Exemplo: Calcular os diâmetros das tubulações do esquema, de forma que se mantenha uma distribuição em marcha (total) de 60 l/s no trecho BC e uma adução de 10 l/s para o reservatório R2. Por questões técnicas, há de se manter uma carga mínima de 20 mca em B e 6 mca em C. Não há derivação em AB e CD. Use Hazen-Williams com = 0,00212. (Refazer com Darcy-Weisbach, f= 0,03)

NMM

R2

R1

A

B

D

C

800 m

770 m 764 m

L1 3

00m

L3

L2 400m

D1

D2

D3

PCE1=LE1

PCE2=LE2

h1

h2

h320m

6m

Q3=10 l/s

parábola cúbica

a) Determinação das vazões: Q1= 0,060 +0,010 = 0,070 m³/s,Qf = (Qm + Qj)/2 = (0,07 + 0,01)/2 = 0,04 m³/s

b) Determinação das perdas: h1=800 – (764+20) ∴h1=16 mcah2= (764+20) – (770+6) ∴ h2 = 8 mca

c) Determinação dos diâmetros:h1=0,00212 . 300 . 0,071,85/D1

4,87 =16 ∴ D1= m (DC= mm)

h2= 0,00212 . 400 . 0,041,85/D24,87 = 8 ∴D2= m (DC= mm)

Qf

Dimensionar os diâmetros das tubulações de fºfº abaixo (esquema igual ao problema anterior) de forma a garantir uma vazão em marcha de 0,25 l/s.m no trecho que chega em R2, e uma vazão de extremidade (jusante) de 20 l/s. Use Hazen-Williams com =0,00212 .(Refazer – similar ao anterior. Depois, refazer usando Darcy-Weisbach com f = 0,03)

Vazões: Qa = 0,00025.400 + 0,02 = 0,120 m³/sQf=(Qa+Qe)/2 = 0,12+0,02)/2 = 0,07 m³/s

a) Perdas: h1=800 – (764+20) ∴h1=16 mcah2= (764+20) – (776) ∴h2 = 8 mca

c) Determinação dos diâmetros:h1=0,00212 . 300 . 0,121,85/D1

4,87 =16 ∴ D1= 0,230 m

h2= 0,00212 . 400 . 0,071,85/D24,87 = 8 ∴ D2= 0,230 m

Conclusão: o mesmo diâmetro satisfaz a questão.

O problema de Belanger ou dos três reservatórios consiste em, dados três reservatórios cujos os níveis se encontram em cotas conhecidas, determinar as condições do escoamento dos condutos que os ligam. Essas condições são dependentes da cota piezométrica (z + P/) do ponto de bifurcação das canalizações.

PCE

PR

R 1

R 2

R 3Z

L1 D1 Q1

L2 D2 Q 2

L3 D3 Q3

Z3

C

X

Z2

Z1

h2

h3

Pc

R1

R2

R3

Q 1Q 2

Q 3

R1

R2

R3

Q 1Q 2

Q 3

R1

R2

R3

Q 1Q 2=0

Q 3

Além destes três casos de solução corriqueira, há outras configurações com solução por tentativas

Formulário

ghppg 0

H = z + p/ (líquido) + v2/2g Q=VADV .

ReJ = 0,002021 Q1,88/ D4,88

hs = Ks V2/2g

z1 + p1/ + α v12/2g = z2 + p2/ + α v2

2/2g + ∆h1-2 + Ld(βv)/(gdt) α = 3(β-1) +1

J = 0,0827 f (Q2/D5)

De = 1,3 (a.b)0,65/(a+b)0,25

Formulário

ghppg 0

H = z + p/ (líquido) + v2/2g Q=VADV .

ReJ = 0,002021 Q1,88/ D4,88

hs = Ks V2/2g

z1 + p1/ + α v12/2g = z2 + p2/ + α v2

2/2g + ∆h1-2 + Ld(βv)/(gdt) α = 3(β-1) +1

J = 0,0827 f (Q2/D5)

De = 1,3 (a.b)0,65/(a+b)0,25

LPLE

Perdas localizadas