ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΡΧΙΚΗΣ ΦΑΣΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ

Για να βρούμε την αρχική φάση της ταλάντωσης θα πρέπει να γνωρίζουμε από ποια θέση ξεκινά η ταλάντωση (δηλαδή την τιμή του x όταν t = 0) και τη φορά κίνησης του σώματος (δηλαδή αν u > 0 ή u < 0).

1. Στην εξίσωση της ταλάντωσης, , αντικαθιστούμε για t = 0 την τιμή του x, οπότε καταλήγουμε σε τριγωνομετρική εξίσωση της μορφής

.

2. Επιλύουμε την τριγωνομετρική εξίσωση και καταλήγουμε σε 2 γενικές λύσεις.

3. Θέτουμε κ = 0 στις 2 γενικές λύσεις οπότε παίρνουμε 2 τιμές για την αρχική φάση .

4. Με τη βοήθεια της εξίσωσης της ταχύτητας της ταλάντωσης ελέγχουμε και τις 2 λύσεις που προέκυψαν και κάνουμε δεκτή αυτή που επαληθεύει τον περιορισμό που αναφέρεται στη φορά κίνησης του σώματος, όπως προκύπτει από την εκφώνηση.

5. Αν απορριφθούν και οι 2 λύσεις, θέτουμε κ = 1 στις γενικές λύσεις και ελέγχουμε και πάλι τις 2 νέες τιμές της .

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ

1. Είναι .

2. Η τριγωνομετρική εξίσωση έχει 2 γενικές λύσεις, της μορφής και .

3. Ισχύει ημ(-θ) = –ημθ.

4. Ισχύει συν(-θ) = συνθ.

5. Ισχύει συν(π+θ) = συν(π-θ) = -συνθ.

6. Πίνακας τριγωνομετρικών αριθμών

θ 0

ημθ 0 1

συνθ 1 0

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

Να βρεθεί η αρχική φάση, αν για t = 0 είναι και u < 0.

Λύση

Στη γενική εξίσωση της ταλάντωσης, , θέτουμε t = 0 και

οπότε έχουμε άρα δηλαδή άρα

.

Λύνουμε την τριγωνομετρική εξίσωση που προέκυψε και καταλήγουμε στις 2 γενικές λύσεις.

(1) και (2)

Στις (1) και (2) θέτουμε κ = 0 οπότε παίρνουμε (απορρίπτεται διότι

) και .

Ελέγχουμε τη λύση . Με βάση την εκφώνηση για t = 0 είναι u < 0.

Παίρνουμε την εξίσωση της ταχύτητας της ταλάντωσης . Για t

= 0 έχουμε . Θέτουμε οπότε θα έχουμε .

Όμως άρα u < 0 άρα η είναι δεκτή.

Εφαρμογή

Να βρεθεί η αρχική φάση, αν για t = 0 είναι και u > 0.