ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΤΕΡΕΩΝ · 2012-05-29 · ωε ωω∞ εωε...

ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΕΡΕΩΝ

((ΠλέγμαΠλέγμα

+ + ηλεκτρόνιαηλεκτρόνια))

Τι θα μελετήσουμε

Αλληλεπίδραση

ακτινοβολίας

στερεό–

Μικροσκοπικά•

Απορρόφηση

φωτονίου

Δημιουργία

ζευγών

ηλεκτρονίου‐οπής

Μακροσκοπικά•

Εξισώσεις

Maxwell

Παράμετροι

υλικού.

Μεικτή•

ξεκινήσουμε

από

Μακροσκοπική

και

επιλεκτικά

επεκταθούμε

στην

Μικροσκοπική.

Απλά

φαινόμενα

Γραμμικά

φαινόμενα

Σωτήριος

Βες Διηλεκτρικές

Ιδιότητες

Στερεών 2

Διηλεκτρική

Συνάρτηση

Περιγράφει

ποσοτικά

την

επίδραση

ΗΜΑ

στο στερεό.

Ε‐πεδίο

"κίνηση"

Ρεύμα

"ελεύθερους

φορείς" ( Μέταλλα, ημιαγωγούς

με προσμίξεις).

Αγωγιμότητα

Δέσμια

(εντοπισμένα) φορτία–

Διπολικές

ροπές

Και οι δύο διαδικασίες ερμηνεύονται από τις εξισώσεις

Maxwell.

Σωτήριος

Ιδιότητες

Στερεών Διαφάνεια

( , , ) ( , , )r t r tω σ ω=j E

Συνάρτηση

Εξισώσεις

Maxwell

Χρονικά

(χωρικά

?) εξαρτώμενες

ποσότητες

Συχνοτικά

εξαρτώμενες

ποσότητες

Μετασχηματισμών

Fourier:

Σωτήριος

Ιδιότητες

( , )= ( , )( , )= ( , ) ( , )

curl t tcurl t t t

= ∇×

= ∇× +

r B rH H r j r D rE E

1( , ) ( , )2

ii rtt e de dωω ωπ

∞−

= ∫ kr k kE E1( , ) ( , )

2rtt e ed dωω ω

∞−

−∞

−= ∫ kk kD r D

Συνάρτηση

Εξισώσεις

υλικού

Σωτήριος

Ιδιότητες

( , ) ( , ) ( , )r t σ ω ω=j k E k

0( , ) ( , ) ( , )t ε ε ω ω=D r k E k

( , , )tή ά

ωπραγματικ υν ρτησηΣE r

( ) *( ) ( ) *( )ω ω ω ω= − = −D D E E0

( ) ( )( )

( )= ( ) ( )

( ) [ ] ( ) ( )

( ) ( )[ ] () ( ) ( )) ( )

( ) ( ) ( )

ii i i

ωω ωω ω

σ ω ωε ε

ω ω ω

ω ωε ω ωω ε ω ε ω ωωε

−∇× + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→⇒

∇× = =

∇× = − = − = −

H HE EH j D

H E E D

∼∼

Δέσμια

ηλεκτρόνιαΑντίφαση

Αγωγιμότητα

Επανεξέταση

έννοιας

"δεσμίου" ?

Θεωρούμε

ότι: k

<< G ( ) ( )( ) ( )

σ ω σ ωε ω ε ω

= −= −

Συνάρτηση

Αρχή

αιτιότητος:–

Η πόλωση Ρ

χρόνο

t οφείλεται

πεδία

E(t'), t'<t

Συνεπώς

για

ισχύει–

Ρ(t) ≡

0 t > t' ή

διαφορετικά

πρέπει–

χ(ω) →

0 για

και

απειρίζεται

(πόλος)

για

Im(ω) ≤

Δημιουργεί

'"σχέση" μεταξύ

πραγματικού και

φανταστικού

μέρους

Σωτήριος

Ιδιότητες

( ) ( ( ) 1) (( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( )

)iχ ω ε ω ε ω ε ω

ε ε ε ω ε ε ω ωε ω

ε χ=

= + = ⇒ = − =− = +

D P E E P E E

1( ) 1 ( ''

') dε ωε ω ωπ ω ω

−∞

− = ℘−∫ 1

2( ')1 1( ) '

'dε ω ω

π ωε ω

−∞

−= ℘

−∫

( ) ( , ') ( ') ' ( ') ( ') '

( ) ( )

t t t t dt t t t dt

χ τ τ τ

−∞ −∞∞

= ⎯⎯⎯⎯→

∫ ∫

Εξαρτάται

μόνο

από

διαφορά

του

χρόνου(Memory function)

ΣχέσειςKramers

Kronig

ηλεκτρομαγνητικής

Σωτήριος

Ιδιότητες

( / )0 0

[ ( ) / )]0

( / )0

i t kx i t nx c

i xt n i x c i t nxc c

E E e E

E e eE

ω κ ωωκ

− − − −

− − + −− −

= =2 21 2

( ) ( )

( ) ( ) 2

ω κ ε ω

ε ω κ ε ω κ

= + ≡ +

= − =

1 2 2( ) 12 2 1

1 1 1 ( ) 1n nT T R

n n nε ωε ω

−−= = = =

+ + + +

( / ) 2 2 ( / )0 0 1 2 2

0 1 2 2 2 ( / )2

(1 ....)

i n c d i n c d

i n c d

E E TT e R e

eE TTR e

διερχ ω ω

Διερχόμενη:

( / ) *0 0 0 0

| | 12( / ) 2( / )0 02

i n c d

n c d n c d

E E e I E E

E e I I e

διερχ ω διερχ διερχ

ω ωκ εΔ <<− −=

= ⇒ ∝

= ⎯⎯⎯→ =

Νόμος

ηλεκτρομαγνητικής

Σωτήριος

Ιδιότητες

Κ(ω)Συντελεστής

απορρόφησης

μιγαδικό

μέρος

της

διηλεκτρικής

συνάρτησης

ελέγχει

την

απορρόφηση

(διαπερατότητα)

stretch.•

895 bend out of

1200 C-H bend in

1650 C=C stretch•

3100 C-H stretch

συνάρτηση

αρμονικού

ταλαντωτή

Σωτήριος

Ιδιότητες

Cl ClCl Na Na

uun1 un2

0N eV V

+ = − +

ΠόλωσηΙόν

ΠόλωσηΗλεκτρονίωτων ν

u u u E

1 2 1 2

1 1( ) ( ) ( ) ( )

n n n n n

γ ω ∗

− + − + − +

+ = −

u u u E

u u u u u u

u u u E

Μετασχηματισμός

Fourier {α(ω)= α}2 20

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

N NeV V

ω ω ω ω ωμ

ω ω ε α ω

− − =

( 0)012 2

( )) )) ((( () st st

N eN VV i i

iε ε ωε ε ω

ω ε ε ωε με ω α ε ωω ω

εε ω εω ω γγω ω∞

∞∞

= →= →∞= + ⎯⎯⎯⎯⎯→

−−

+= + =−− −

Η ισοδύναμα

θεωρώνταςΕ

e‐iωt

1 1 ,2

( )[ 2 / /

M u f u u e

u u e u u

u u f e

eu u u

μ −

− ω μ μ

ω −μ ω ω

+ − = −

− = −

− + =

= = ⋅−

Οπτικός

τρόπος

για

συνάρτηση

αρμονικού

ταλαντωτή

Σωτήριος

Ιδιότητες

2 2 20 0

1 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

( ) ( )( )( )

( )( )( )

ε ε ω ω ωε ω εω ω

ε ω γωε ωω

ω γ∞

∞∞

− −= +

Μπορούμε

υπολογί‐ σουμε

τον

συντελεστή

απορρόφησης:

Συχνότητα

πλάσματος

2 2 2 2 20

( )( ) 1( )( )

stKc c

ε ε ω γωωε ωωω ω γ ω

∞−= = ⋅

2 2 20 0

2 2 2 2 20

( )( ) ln( )

( ) ( )( )

Id K d dI

dd dc c

ωω ω ωω

ε ε ω γω π ω ε εωω ω γ ω

∞ ∞

−∞ −∞

∞∞ ∞

−∞

− −= ⋅ =

∫ ∫

2 2 1( ) ( ) ( )2 |

1lim (

i zz i

a z a z aa

zγπδ

δ δ δ

→=℘ +

− = − + +•

Συνολική

Εξαρτάται

μόνον

από

τις

παραμέτρους

του

συστήματος

Συνολική

συνάρτηση

αρμονικού

ταλαντωτή

Σωτήριος

Ιδιότητες

1( ) ( ) ( )2 | |

( ) ( )

1 1 1( ) lim lim (

z a z a z aa

z i zz z i z

γδ πδπ γ γ

→ →

− = − +

= ⇔ =℘ ++ −

− =∫ [ ]

2 2020

( )( )

( ) ( )

ω ε εε ω εω ω γω

για μικ

εεω ω

πω ε ε δ ω ω δ ω

γ∞∞

∞∞

−= +

− −

−= +

+ − − + +

20 0 0

( ) ( ) ( )2

( )( ) ( ) (

( ) 1( )

) ( )1 [ ]2

stst st

K d d dc c

c c cd

πω ε ε δ ω ω δ ω ω

πω πω πω ε εε ε δ ω ω δ ω ω ε ε ω

ωε ωω ω ω ω

ω ω ω

∞∞ ∞

∞ ∞ ∞

−∞ −∞ −∞

−∞

⎡ ⎤− − + +⎢ ⎥⎣ ⎦

−− − + +

= = − + =

∫ ∫ ∫

( ) ( )st N eV c

ω ω πω εμ

−∞

∞∗−

==∫2

⎯⎯⎯→∫2

1 1K(ω)dω N π e N π f eV ε c μ V ε c

=6 6 μ

Διαμήκεις

και

εγκάρσιοι

κανονικοί

τρόποι

Διαμήκη

κύματα:

ανύσματα

των

και

είναι

εκτός

φάσεως

κατά

Σωτήριος

Ιδιότητες

)0 0 0

0 0i t qxy

i xt qx L

ω− −

− −

= ⎯⎯⎯⎯

→ ∇× =

≠ ∇⋅

∇ ⋅ ≠

⎯⎯⎯ =⎯→

×P=i q×P

×P=i q×PΕ

Διάμ

γκάρ

ηκε

σιο P P

ς P P

Διηλεκτρικό

χωρίς

ελεύθερα

φορτία:

ρ(x,y,z) = 0 !!

00 [ ( ) 1]

0 [ ( ) ] ( ) 0( )

εε ε ωρ ε ε ω ε ω

= += −

∇ ⋅∇ ⋅ = = = ∇ ⋅ ⎯⎯⎯⎯⎯→ =

⇒⇒ = −

D P EP E

Lε(ω ) = E0

Διαμήκεις

και

εγκάρσιοι

κανονικοί

τρόποι

Σωτήριος

Ιδιότητες

ˆ ˆ ˆ

i t qxy y

yxi t q

έiqP ex y z ό z ώ

ο θα χειμ νο συνιστ σα

καιε ε ω

μ − −

− −

∂ ∂ ∂∇× = = − ⇒

⎫∇× = −⎬

∇× = ⎭ −

∂ ∂

E HH D

( ) ( )0 0

ˆ ˆ ˆ

i t qx i t q xz z z z

e iqH ex y z

ω ω− − − −∂ ∂ ∂= ⇒∇× = = −

∂ ∂ ∂

Η Η Η x

Εγκάρσια

κύματα

( μόνο

κατά

τον

y !!!)•

Εγκάρσια

κύματα

( μόνο

κατά

τον

y !!!)

D θα

έχει

μόνο

‐συνιστώσα

, αλλά

πλάτος•

D θα

έχει

μόνο

‐συνιστώσα

, αλλά

πλάτος( )

0i t q x

x xD D e ω− −=0

Διαμήκεις

και

εγκάρσιοι

κανονικοί

τρόποι

τετριμμένη

λύση

Σωτήριος

Ιδιότητες

( ) ( )0 0

( )0 ( )

0 0 0 0 0 00

( ) [ ( ) 1] 0[ ( ) 1

[ ( ) (

i t qxx x

i t q x i t qxy z z

i t q xy i t qx

iqP e H H e

iqP ei

P P eP

καιε ε ω ε ε ω

ω μ μ ωε ε ωε ε ω

− − − −

− −

∇× = −

∇× = − =

−= − − − =

∇× =

=⎫= = ⇒⎬ = −⎭

) ( ) ( )0 0

( ) ( )0 0 0 0

( )ˆ( ) 1

( ) ( ) 0( ) 1 ( ) 1

t q x i t q x i t q xx z y

i t q x i t q xz z z y

D iqP e P e

iiqH e P e qH P

ε ωε ω

ω ε ω ω ε ωε ω ε ω

− − − − −

− − − −

= =−

− ⋅ ⋅− = − =

− −

00 0 2 22 2

( ) 0 0[ ( ) 1] [ ( ) 1

( ) ()

)( ) 1 ( ) 1

q c qq qω ε ω ω ε ω

ε ω ε ω

μ ωω

ε μ ε ω ε ω

ε ε ω μ ωε ε ω⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ = = ⇒⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝

⋅ ⋅− −

−= =

− −

Σχέση

διασποράς

Σωτήριος

Ιδιότητες

2 2 2 2

2 22 2 2 2

c q c qω ωε ω

ω ωεω ω∞= =

−−

1 12 2

( )( ) ( ) 0( )

έ LSTω ε χ

σηω

ε ωε ω ε ε ωω ω

ω ωε ω εωε ω

−= + ⇒

4 22 2

2 2 0L Tcq cqωω ω ωε ε∞ ∞

⎡ ⎤− + =⎢

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝⎢ ⎠

⎥⎥⎣ ⎦

0( 0) ( )

cqq qω

ω ω ωωε∞

⎧⎧ ⎪= = → ∞ =⎨ ⎨ =⎩ ⎪

ε∞ε∞

Σωτήριος

Ιδιότητες

Για

μικρά

( )2 2 2 1/22 2 2 2 2 2/ 1 ( / ) 4 /

L Tc q cq c qω εω ω ε ω ε∞

∞ ∞+ ⎡ ⎤= ± + −⎣ ⎦

Λύση

( ) ( )1/22 2 2 2 21/2 1/22 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 22 2 2 22 2

4/ 4 / / 4 / 1 2

/1 22 2

TL T T T

c q c qc q c q c q c qc q

c qc q c q

ω εω ε ω ε ε ω ε ωε ε

οπ τε

εω ω

ε ε ω

∞∞ ∞ ∞ ∞

∞ ∞

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − ≅ − ≅ − ≅ −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎧⎡ ⎤≅ ± − = ⎨⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎩

( )1/22 2 2 2 21/22 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 1 102 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 22

2 1 2 2/ 4 / 1 1

( )/ 1 21

T TL T L L

c c qc q c q q

c qc q c q

c q c q

ω ωω ε ω ε ω ωε ω ω ε ω

οπ τε

ω ε εω ε ωω ω ωε ω

ε ω ε

∞ ∞∞ ∞

− −∞

∞∞

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤+ − ≅ + − ≅ + −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎧ + −⎡ ⎤⎛ ⎞+ ⎪= ± + − = ⎨⎢ ⎥⎜ ⎟ =⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎪

Για

μεγάλα

Σύζευξη

μηχανικών

+ ΗΜ

κυμάτων.–

Εξαρτάται

ισχυρά

από

μορφή

ε(ω).

·1012

s‐1/(3

·1016Å

s‐1)

10‐4

<< G (=2π/α

1Å-1).•

Δηλ. από

πολύ

μικρά

"μεικτά

" κύματα

κινούνται

συχνότητα

συντονισμού ωΤ

Σωτήριος

Ιδιότητες

Αν c →

∞ τότε η ω = ωΤ

, η ΜΟΝΗ ΛΥΣΗ–

ΔΕΝ υπάρχει λύση οδευόντων κυµάτων για ωΤ

< ω < ωL

γίνεται φανταστικό!

Για µεγάλα q το πάνω κλάδος τείνει ασυµπτωτικά στη•

Το φως "

βλέπει" "

στάσιµα" τα ιόντα.!

Παρατηρούνται µε τη φασµατοσκοπία Raman ή εξασθενηµένης ολικήςανάκλασης. •

Δυνατότητα µεταβολής του q

της προσπίπτουσας ΗΜ-

ακτινοβολίας.

Μη καθυστερηµένη

λύση.(

Ηλεκτροστατική

λύση)

/cqω ε∞=

Πολαριτόνια

Φωνοειδής, ω Τ

φωτόνιο

Πλέγμα, ω L

Φωτόν

Φωτον

οειδή

ς "ακίνη

ταιόν

Ισχυρή

σύζευξη

Επιφανειακά

κύματα

ένα

διηλεκτρικό

άπειρες

διαστάσεις.–

Οριακές

συνθήκες

Ημιεπίπεδο.–

Θεωρούμε•

Λύσεις

χωρίς

καθυστέρηση

( στατικός

Coulomb).

••

ΕγκάρσιαΕγκάρσια

οδεύονταοδεύοντα

κύματακύματα

// επιφάνεια.

Μειώνονται

εκθετικά

κατά

τον

••

ΔενΔεν

μαςμας

ενδιαφέρειενδιαφέρει

η θεώρηση διαμήκων

κυμάτων

όγκου.

Συνέχεια

του

D στον

z, δίδει

Σωτήριος

Ιδιότητες

00, 00

E zί L

Eaplaceφ φ ξ σωση

∇× = ≠ ⇒

∇ = Δ = Ε

∇⋅ =

| | ( )0( , ) ( , ) ( , )qz i qx tx z e e E x z x zωφ φ φ− − −= ⇒ =−∇

( , ) 0x zφ∇⋅∇× =

( , ) ( , )( ) 1

( ) 1 ( ( ) 0)

spl L L

x z x zDzz

φ φε ε ω ε

ε ω ω ω ε ω≥≤

∂ ∂= − = −

∂ ∂+ = − < =

1/2 1/22

( ) 1( ) 1( ) 1st T st st

s T s s LT s

ε ε ω ε εε ω ε ω ω ω ω ωω ω ε ε

∞∞

∞ ∞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− += + = − ⇒ = ⇒ < < =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

c μ ε

→∞⇒ →

∇× = − = − →E B H

Ιοντικό

πλέγμα

Μία

λύση

Επιφανειακά

κύματα

ένα

διηλεκτρικό–

Εδώ

ειδική

περίπτωση:

Εντοπισμένα

στην

επιφάνεια.

συχνότητες

των

επιφανειακών

κυμάτων

κείνται

< ωL–

επιφανειακά

κύματα

υφίστανται

για

επιφανειακά

κύματα

δεν

συζευγνύονται

φώς

Μόνο

ειδικές

γεωμετρίες–

τραχύτητα, νανοσφαίρες, φράγματα,

Συζευγνύονται

φορτισμένα

σωματίδια, (e, He+, H+, e+

κλπ).•

Διαμήκη

κύματα.

Σωτήριος

Ιδιότητες

≥ φωτόςxq q = (ω / c)sinθ

Ανακλαστικότητα

διηλεκτρικού

επιπέδου•

Ενώ

διαπερατότητα

Τ(ω) για

λεπτάλεπτά

υμένια

καθορίζεται

βασικάβασικά

από

ανακλαστικότητα

εμπεριέχει

και

δύο μέρη

της

ε(ω).

Ειδικά

για

την

κάθετη

πρόσπτωση

δίδεται

Σωτήριος

Ιδιότητες

2 0 1 2 2 2 ( / )2

i n c d

eI E TTR e

ωω→

* 1 1* 1 1

( ) 1 ( 1)( 1)( ) 1

Rn nI R R Rn n

ε ω κκε ω

∗ − −= = ⋅ = ⋅

− − += =

2 2 20 0

1 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

( ) ( )( )( )

( )( )( )

ε ε ω ω ωε ω εω ω

ε ω γωε ωω

ω γ∞

∞∞

− −= +

1/21 / 1)( ε ε∞ ∞− +

Μιγαδικός

δείκτης

διαθλάσεως

Ανακλαστικότητα

n1/2 1/23 1stε ε∞= =

= 0= 0

TOTO ωω

= 0= 0ωω

LO LO , ,

= 0, n== 0, n=

Reststrahlen Band Reststrahlen Band

InAsInAs

1/21 / 1)( st stε ε− +

ΤΟΠΙΚΟ

ΠΕΔΙΟ

εξωτερικό

πεδίο

πυκνά

μέσα.–

Έστω

ότι

Ε//z. ii

κυψελίδες.

Σωτήριος

Ιδιότητες

3 i ii

z rrπε

+ ∑E pE

2 2 2 2 2 3/20 0 0

1 · cos 1( )4 4 4 ( )

2 sin cos (3cos 1)4 4

1 3( · ) 1 (34 4

))(x y

zr r x y z

p pE Ex r

r z rr r

θϕπε πε πε

ϕ θ θ ϕ θπε πε

ϕπ π

= = =+ +

∂ ∂ −= − = = − =

∂ ∂

−= −∇ = = −

p r r pE pε ε

Σφαιρική

συμμετρία.

i iloc i

z rrπε−

= + ∑E E p

Σφαιρική

συμμετρία. Χρήσιμη

για

––

ΜένειΜένει

όμωςόμως

συνεισφοράσυνεισφορά

απόαπό

υλικόυλικό

εκτόςεκτός

σφαίραςσφαίρας

!!!!!!

Εδώ: Συνεχής, μακροσκοπικήμακροσκοπική

πόλωση

Κατανομή

φορτίου

κατανομή

Ε.–

Πεδίο

στο

κέντρο: 2cos siˆ c

nosP nP P

d P adaq θρ

πθθθ−

= − = − ⋅ = −

2 20 0 0

0 00 0

2 sin s1 1 coscos cos4 4 2

3cos sin

3P loc

dq ad ddEa

θ θ θθ θπε πε πε

πθ θ θ

επε ε

θ= − = − =

= ⇒ += =

∫PE EP PE

ΤΟΠΙΚΟ

ΠΕΔΙΟ

διαφοροποίηση

λόγω

τοπικού

πεδίου

επιβάλλει

διαφοροποίηση

των εξισώσεων

ταλάντωσης

(πλάτος, επαγόμενη

πόλωση).

Σωτήριος

Ιδιότητες

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

N NeV V

ω ω ω ω ωμ

ω ω ε α ω

− − =

( )( )( ) ( )3

( )( ) ( ) ( )3

N NeV V

ωω ω ω ω ωμ ε

ωω ω ε α ωε

− − = +

PP u E

( )( )3 1 / 3 1 / 3

( ) ( ) ( )1 / 3 1 / 3

N e eiV N V N V

N e NV N V V N V

ωω ω ω ωε μ α μ α

αω ω ε ωα α

∗ ∗

⎛ ⎞− − − =⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

= +− −

1 ( ) /1( ) 1 2/ 3

ω αεε ω α

ε αε∞∞

∞∞ ∞

= = + ⇒−

' 2 20 0

( )( )1 / 33

( ) ( )

/ 3 ( / ) / ( 1)

( 1) ( )

N V N V

N eV N Vω ω

ωω ω ωμ α

αω ω ε ε ω

ωε μ

∞∞

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟− =

−⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

− −

ω→ ∞, u(ω) → 0

1 ( )( )( ) /

( ) ( ) ( 1) ( )

( ) 1( 1) ( 1)( )

( )( )( )

ei N V

eN V i

ε ωωμ ω ω ω α

αω ω ε ε ωε

ω εε ε ε εω μ α ω ω γω

ω ε εε εε ω εω ω γω ε μα ω

∗∞

∞∞

∗∞

− −

= + −

−− =

= − +−

Γενικά

Μείωση

Καταστροφή

λόγω

πόλωσης•

Τοπικό

πεδίο

Μείωση

συχνότητας

συντονισμού.

Πόσο

= 0 ? ή

Σωτήριος

Ιδιότητες

003 1 / 3TN eV N V

ω ωε μ α

∗= −

−•

= 0–

Απωστικές

άμεσων

γειτόνων

(ελαστικές) < δυνάμεις

λόγω

πεδίου.–

Συνισταμένη

δύναμη

νέα

θέση

ισορροπίας.•

Δυνάμεις

στην

νέα

θέση

αρμονικές

Διαχωρισμός του στερεού σε περιοχές με διαφορετική

πόλωση.–

λόγω

πόλωσης.!!––

ΣιδηροηλεκτρικήΣιδηροηλεκτρική

φάσηφάση

( Σιδηρομαγνητική

φάση)

πόλωση

υπολογίζεται

αθροιστικά

από

γινόμενο

του

φορτίου

επί

την

μετατόπιση

για

όλα

ιόντα

Ba2+, Ti4+, O2‐.

p = 0,25 C m/κυψελίδα

P = p* κυψελίδα

= 2 10‐29

λόγω

πόλωσης

Κοντά

στην

κρίσιμη

πολωσιμότητα

Σωτήριος

Ιδιότητες

2 ( ) ( )11 1 3( ) 31 ( )2 3 ( )13

Na aNa Va VNaV a

ω εε ε ωε ω

→∞⎧+− ⎪= ⇒ = ⇒ ⎨+ =⎪− ⎩

3( ) ( 1) ( ) 1/ 1/ ( )

1/ ( )

Va s s a s T TNT T T T

ω ε ξ

ε ξ ε −

→ + << −

− ∝ −

Από

την

σχέση

για

έχουμε

→0, πρέπει

→ ∞, 2

2 2 2 10cT TT

T L T st cst st

T Tωεω ω ω ε

ε ε−∞

⎧ →= ⇒ ⎯⎯⎯→ ∝ ∝ −⎨

→ ∞⎩

PbTiO3

Τεχνολογικό

ενδιαφέρον

•Υλικά

υψηλής

•Πυκνωτές, Μετασχηματιστές•Μη

πτητικές

μνήμες

•Πιεζοηλεκτρικά

Αέριο

Ελευθέρων

Ηλεκτρονίων

Χαρακτηρίζει

διηλεκτρική

συμπεριφορά

υλικών

μεγάλη

συγκέντρωση

φορέων.

Μέταλλα, Ημιαγωγοί

μεγάλο

αριθμό

φορέων.

Πάλι

από

την

εξίσωση

του

εξαναγκασμένου

ταλαντωτή.

Σωτήριος

Ιδιότητες

( )0n n n

M nme ne

Mnm ne

γ ωω

γ γγ

∗∗

→⎧⎪ → −⎪+ ∗ + = − ⎨

→⎪⎪ ∗→⎩

+ = −

u u u E

Συχνότητα

πλάσματος

Συχνότητα

διαμήκους

ταλάντωσης

"ελεύθερων" ηλεκτρονίων

Θετικά

Ιόντα

Νέφος

ηλεκτρονίων

ne n een en

n enm ne

σ γγ σ

= − = = =

+ = −

Ej u E

( ) ( )( )

( ) ( )

n enm i ne

ω ω ω ωσ ω

ω ε ε

ωε ω ω

ω εω ω

⎛ ⎞− − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

= − =

= = −

Αέριο

Ελευθέρων

Ηλεκτρονίων

Ιδιαίτερα

χρήσιμη

περίπτωση

μικρών

απωλειών

Σωτήριος

Ιδιότητες

22 ( )( 1 1) ( ) ( ) ( )p pέ

p n nm

i eεσον

ωε ω ε

ωε ω ε ω

ω εω κ

ω εΣ

∞Μ∞

⎯⎯⎯→ = − == − = +

ε(ω)

Εξασθένηση Διάδοση

→‐1

0 21,510,5

Εδώ

ε(ωP

) = 0. Υπάρχουν

μόνο

διαμήκη

κύματα. –

= 0. ΔΕΝ

υπάρχει

δύναμη

επαναφοράς.!!–

τιμές

του

εξαρτώνται

από

συγκέντρωση

(n) και της

ενεργού

μάζας

(m∗). Περίπου

3 – 20 eV. –

πλασμόνια

είναι

καλά

ορισμένα

μόνο

απουσία

άλλων

διεγέρσεων. •

Μέταλλα, ημιαγωγοί

προσμίξεις.–

Ερμηνεύει

όμως

"καλά" την

υψηλή

ανακλαστικότητα

των

μετάλλων. ( Al, Zn

κλπ).–

παρουσία

της

διαταινιακής

μετάπτωσης

"προκαλεί" συνολική

μείωση

της

ανακλαστικότητας

στο

Πλάσμα‐‐‐‐

3,6 10p

σ − −

= ⋅ Ω

Διαταινιακή

μετάπτωση

( ) 1( / )

( ) 1( ) 1

( 1)( 1)

σε ωσω ω ω

ε ωε ω

= −+

− +=

+ +0.1 1 10 100

Frequency in HeVL

1.μ10-7

0.00001

lacitpO

stnatsnoc

γ=ε0

κ(ω)

Αέριο

Ελευθέρων

Ηλεκτρονίων•

Και τα τρία χαρακτηριστικά μεγέθη παριστάνονται στο

διπλανό

σχήμα.

••

ΠλάσμαΠλάσμα

μπορείμπορεί

νανα

σχηματισθείσχηματισθεί

καικαι

απόαπό

τατα

ηλεκτρόνιαηλεκτρόνια

σθένουςσθένους. (. (ΕνέργειαΕνέργεια

10 10 ‐‐30 30 eVeV))

Σωτήριος

Ιδιότητες

0.1 1 10 100Frequency in HeVL

1.μ10-7

0.00001

lacitpO

stnatsnoc

γ=ε0

κ(ω)

noitposbAtniciffeoCHmc-1 L

ecnatcelfeR

Ενδιαφέρουσα

περίπτωση

είναι

ημιαγωγός

Διαπερατό

στο

ορατό.

Φίλτρο

στο

υπέρυθρο. ( Επιστρώσεις

λυχνιών, θερμικών

παραθύρων)

=ωε / c2ωnκ= c

Διαταινιακές

μεταπτώσεις

Σωτήριος

Ιδιότητες

0 cosx xE tω=E e

22 ( ) ( , ) ( , )

i t i tx

E Fx eE x

ex E e eV t i tm

ω ω ψ ψ−

= =−

⎛ ⎞⎜ ⎟∇ + − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝

0( , ) ( ) ( )( , ) ( )iiE t

i ii ii i

tt a a t et ψ ϕψ−

= =∑ ∑r rr

( ) ( )0

0 | | | | ( )( )2

j ix ji j

E Eti ti t i t

i t i t

ia tE E

eE j x i j x i x de e

ej x e

ω ω ω ω

ω ϕ ϕ∗−

−< > =+

⎛ ⎞− −

+⎜ ⎟⎜ ⎟− +⎝ ⎠= < >

= ∫ ∫ r r r

Ταινίααγωγιμότητος

Ταινίασθένους

Ενδοταινιακήμετάπτωση

Διαταινιακήμετάπτωση

δούμε

αναλυτικότερα

πινακοστοιχείο

μας

επιτρέπει

υπολογίσουμε

την

αναμενόμενηαναμενόμενη

τιμήτιμή

τηςτης

διπολικήςδιπολικής

ροπήςροπής

στηστη

διηγερμένηδιηγερμένη

κατάστασηκατάσταση..

Σωτήριος

Ιδιότητες

| | ( ) ( )j ij x i x dϕ ϕ∗< >= ∫ r r r

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

| ( ) | (

E t E t E ti i i

i i j j

E t E tE ti i i

i j i i i

όύ όp ex d ex d

ex d ex d ex

e a t e

a t e ee a t e

νογραμμικο ς ρουςϕ

ϕ ϕ ϕ

− −∗

=−∗ ∗ ∗∗ ∗

∗ Μ= = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

∑∫ ∫

r r r r

r r r rr

( )( ) ( )

| | | | | |

1 1( ) | |2

( ) ( )

jji t i t

xii ij j

j ji ji

i t tj j

ja t e a t e

e i x i e i x j j x i

eE e eex e ex a t x a t j x i

e Eex x e e

eeω ω ω ω

ω ω ω ω

− +∗−

−−

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

= < > + < > + < >

⎛ ⎞− −= + + ← = < > +⎜ ⎟⎜ ⎟− +⎝

∑ ∑

c s( )o|

t i ti t

i ti tji

ti t i t

i ti tji

xij ii ij

e e e e

ω ωω ω

ω ωω

ω ω ω ω ω ωω ω

ωω ω

−−

−−⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎜ ⎟

− +− −

+ +− +

−−

⎝ − ⎠

τελευταία

σχέση

είναι

πολύ

σημαντική.

Σωτήριος

Ιδιότητες

πρώτος

όρος

δίδει

ενυπάρχουσα

διπολική

ροπή. (Χωρίς

πεδίο

!!). ΑνΑν

(r(r)=)=‐‐ϕϕ

((‐‐rr) ) τότετότε

= 0= 0.–

δεύτερος

όρος

είναι

γραμμικός

την

Συνεπώς

δίδει

την

πολωσιμότητα

του

μέσου. •

Περιέχει

δύο

συνιστώσες. Η

μία

ταλαντούται

συχνότητα

του

διεγείροντος

πεδίου

(ω).•

δεύτερη

ταλαντούται

τις

"ατομικές

συχνότητες" ωji

>> ω–

ΔΕΝ

μπορούμε

την

παρατηρήσουμε. ( 1 eV

=2.41 1014

Απειρίζεται

συχνότητα

διέγερσης

συμπίπτει

μια

ατομική

συχνότητα.–

Εδώ

υπολογισμός

της

γίνεται

βοήθεια

των

σχέσεων

Kramers‐Kronig.–

Προσθέτουμε μια μικρή μιγαδική ποσότητα γ την οποία στη συνέχεια αφήνουμε να

τείνει

στο

μηδέν.

2 22 2

| |( ) ( ) / ( ) / ( / ) / ( ) /

| || | (

| || | [

lim ijij

jiji ji

ij i ij

xep VV

xe ei xV V

γε ω ω ω ε ω ε

ωω ω

ωω ω ω

ωω ω ω ω

π π δε ε

π π δ δε ε

→= =

−−

= − + +−

− = =

∑ ∑

P E Eγ

1( ) ( ) ( )2

1 1lim lim (

|z a z a

i i zz z

iγ γ

γ πδγ

→ →

− = −

= =℘

2 c| | ( )2

( ) ( ) ( ) ( ( ) 1) (

oscos jx

tteEp ex x

ε χ ω ω ω ω

ω−= +

∑P E E

Αυτή η έκφραση είναι γενική και ισχύει για κάθε κβαντομηχανικό σύστημα (=

διακριτές

καταστάσεις)!! ΠεριοδικόΠεριοδικό

μημη.

αριθμεί

τις

αρχικέςαρχικές

και

τις

τελικέςτελικές

καταστάσεις.

παραπέρα

υπολογισμός

της

ε(ω) απαιτεί

γνώση

των

ιδιοκαταστάσεων

του

κβαντομηχνικού

συστήματος.

Σημαντική

"ελάφρυνση" παρέχει

παρουσία

περιοδικότητας.

ένα

περιοδικό

υλικό

καταστάσεις

περιγράφονται

μέσω

συναρτήσεων

Bloch.

(χωρικό

τμήμα)

Σωτήριος

Ιδιότητες

1 222 2

( ) ( ) ( )

| || |

2( )1( ) ([ ( ] () (

( )])j i

j i j ij

E EE E E E

xe ei xV VE E

ε ω ε ω ε ω

π π δ δεε

ω ωεω∞

−→ + − − + + −

− −

= +∑ ∑

1 1| , ( ) | , ( ) ji

iii ji u e i u e

V V⋅⋅< >≡ < >≡ k rk r

k kr k r r k r

βοήθεια

αυτών

μπορούμε

υπολογίσουμε

πινακοστοιχεία

| | ( ) ( )

| | | | ,, 0

k k Gi j

i ij ij

i j ί

i x x d p im x

i p i p j

j e όκυψελ δα

μ νο αν

−= +

⎯⎯⎯

< > = ⇒< > =→ ≠Ν∑

∫k k r

Δηλ. ισούται

πινακοστοιχείο

σε μια κυψελίδα επί τις συνεισφορές των άλλων κυψελίδων.

Σωτήριος

Ιδιότητες

2 2 20

( ( )| | | , |

( ( )[ () ] ]i

j i j ij

E Ei p je

V mE E

πορ κπομρ πϕηση

δ ω δ ωπε ωε ω

− − + −>

= +∑k

2 2 2 30

1 1 | | ,(2 )

( ) | | [ ](2 )

( ( ( ) ( ))]

ij i j

d p i p jV

e p dm

E Eπορρ ϕηση

πε ωε ω π

− −

⇒ ≡< >

∑ ∫

∑∫

( )( ) | ( )

( )(2 )

ά d df dqd grad

Z d Z d

ων νια

ω σταθ

ω ωπ

ερω ω

q qq q

3(2 )V dωπ

=| ( ) |ό

dfgrad

ω σταθερ ω=∫

3( ( ) ( )) 0

2 2 20

( ) | [ ( ) | (0) 1

1(2 ) | [ (

( ) | |) ( )] |

ij iE E

df dk dE dk dd

dfEm E

πωε

εω π − − =

⊥ ⊥= = ∇

∇ −=

∑ ∫kk k

3( ( ) ( )) 0

( ) ( ( ) ( )

1(2 ) | [ ( ) ( )] |

ij ij j i

j iE E

Z Z E E

π − − =

=∇ −∫

ΣυνδυασμένηΣυνδυασμένη

πυκνότητα

καταστάσεων Πυκνότητα

καταστάσεων

1( ) { ( )} ( ) | ( ) |const

g f g f dδ −

⋅ = ⋅ ∇ ⋅∫ ∫S

r r r r S

Σωτήριος

Ιδιότητες

2 22 2

2 2 2 2 20 0

( ) | | ( ) ( )| |ij iji

e ep pm m

Z Zπ πε ωε ω

ωε ω

ω= ∑∑

[ ( ) ( )] 0

( ) ( )j i

E E ί ί ή

E E ί vanHove

ρ σιμα σημε α

νωμαλ α

∇ − = Κ

∇ = ∇ Αk

= 0 ε2

(ω) = 0Απαγορευμένες

Θεωρούμε

υλικό

άμεσο

χάσμα.

2 22 2 ( )

2 2c g v g ij ijc c

E E k E E k p pm m∗ ∗= + = + =k•

Οπότε

1 1( )2

2( ) ( )

c v gc v

E E E km m

E E k E

ωμ μ

∗ ∗− = + +

∇ − = = −

Άμεσες

Σωτήριος

Ιδιότητες

3 3 2( ) 0

1/23 2

2 2 20

( )1 1( )(2 ) | [ ( ) ( )] | (2 ) ( )

2 ( )(2 )

| |( )

j iE E g

E ddfZE E E

ω ϕμωπ π ω

π μ ωπ

μ ωε ω π

−= =

∇ − −

= − ∝

∫ ∫k

1/ 22 g

ε (ω) A(hω - E

Επιτρεπτές

(k)= 0

τότε

αναπτύσσουμε

προς

( )( ) ( ) ( )ijij ij

∂≅ + − + ⋅⋅ ⋅

∂0 0

kk k k k

3/23 2

( )1( )(2 ) ( )

( )( )

C E d EZ

ω ωμωπ ω

μ ωπ

− − −=

−∂

/ 22 gε (ω) A (hω - E

)Απαγορευμένες

μεταπτώσεις Επειδή

(k) ≠

0 η όλη θεώρηση

είναι

ποιοτική

Έμμεσες

ελάχιστο

της

ταινίας

αγωγιμότητας

διαφορε‐

τικό

από

μέγιστο

της

ταινίας

σθένους.

υλοποίηση

απαιτεί

συμμετοχή

και

φωνονίων.

Παρέχουν

την

απαιτούμενη

"ψευδοορμή"

Διαδικασία

δύο

βημάτων.

Συμμετοχή

τριών

"ημι‐σωματιδίων".

ενδιάμεση

κατάσταση

μπορεί

είναι

πραγματική

"δυνατή"

Διατήρηση

Ορμής: Σε

κάθε

βήμα!

Διατήρηση

ενέργειας: Αρχική

και

τελική. ΔΕΔΕ⋅⋅ΔΔt = t =

Σωτήριος

Ιδιότητες

E( ) E( )

, <<(E E )j i L j i

L i j j i

= + ± = + ±

<< << −q

k k k q k k

k k k q

Έχουν

μικρή

ένταση. ( μικρή

πιθανότητα

"σύμπραξης" τριών

"ημι‐σωματιδίων"–

Εμφανίζονται

όταν

δεν

υπάρχουν

άμεσες

μεταπτώσεις.

abs 2 22 ( )=C ( ) για q g g gn E E Eε ω ω ω ω ω ω ω−⋅ + − − < < +q q q

11q KTn

e ω=−

em 2 2C ( 1) ( )( )=C ( ) για qabs

q g ggn nE E Eω ωε ω ωω ω ω ω ω−− + ⋅⋅ + − + > +− −qq q

+Ελεύθεροι

φορείς

αρκετά

κρυσταλλικά

υλικά

διαταινιακές

βρίσκονται

στην

ίδια

ενεργειακή

περιοχή

αυτή

των

ελευθέρων

φορέων.

Ιδίως

υλικά

d‐στάθμες. (Ag, Cu, Au).

Ενδιαφέρουσες

οπτικές

ιδιότητες.–

Μηδενισμός

της

(ω) στην

οπτική

περιοχή.

Υψηλή

απορρόφηση, Εκπομπή, Ανακλαστικότητα

Νανοπηγές

Σωτήριος

Ιδιότητες

abs 2 32 ( )=C ( ) για q g g gn E E Eε ω ω ω ω ω ω ω−⋅ + − − < < +q q q

em 2 3C ( 1) ( )( )=C ( ) για qabs

q g ggn nE E Eω ωε ω ωω ω ω ω ω−− + ⋅⋅ + − + > +− −qq q

Έμμεσες

Απαγορευμένες

Μεταπτώσεις

Εξιτόνια•

Λαμβάνεται

υπόψη

αλληλεπίδραση

Coulomb

e‐οπής.

Οδηγεί

συσχετισμένη

"κίνηση"

των

e‐οπής.–

εξιτόνιο

έχει

δυνατότητα

"κίνησης" εντός

του

υλικού.–

Εμφανίζονται

∇Εc

(k) = ∇Εv

(k) •

Εμφάνιση

οξέων

δομών

(κορυφών) εντός

του

ενεργειακού

χάσματος.

Λίγο

πριν

από

την

ακμή

απορρόφησης.

ένταση

των

λόγω

κορυφών

μειώνεται

όσο

πλησιάζουμε

στην

ακμή.

Δεν συνεισφέρουν στην

αγωγιμότητα.•

Είναι

Bosons

( Συμπύκνωση)

Σωτήριος

Ιδιότητες

ενέργεια

σύνδεσης

μπορεί

μετρηθεί

μετρήσεις

οπτικής

απορρόφησης–

μετρήσεις

φωταύγειας. (Επανασύζευξη)

HoppingFrenkel

(Ισχυρά

προσδεδεμένα)

Wannier(Ασθενικά

προσδεδεμένα)

Εξιτόνια

Υδρογονικό

πρότυπο

Σωτήριος

Ιδιότητες

2 2 20

2132 2( )c v

ν ργεια νδεση ινητικ ν ργειας

μπ ε ε

∗ ∗

∗= − +

, 2 * *

2 2 20 0

1 13,6(4 ) 2

EE En m m

eE E E eVm

μ μπε ε ε

ε α αμ

∗ ∗

∞ ∞

∞∗

= − ++

= ⋅ = ⋅ ⋅ =

< >= ⋅ = Α

12,8 0,067 0,2 0,0512,8 0,529 130 5,60,05

0,05 13,6 4,2 4912,8

GaAsm m m m m

r n n a

E eV meV ά T K

ταθερ

∗ ∗= = = =

< >= Α = Α >> = Α

= = ⇒ Σ ≤

ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΤΕΡΕΩΝ · 2012-05-29 · ωε ωω∞ εωε...

Documents

Transcript of ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΤΕΡΕΩΝ · 2012-05-29 · ωε ωω∞ εωε...

I E C IΓΕ Ε BΩΕΩ Ή BΗ ΕΕΩ ΓΑ ΑΗ Α >ΗΗ Ε ΑΕ ΕΩΕ F ;Η ΗΕΑ ... · Νομική, Πολιτικές 5πιστήμες, 4ιεθνείς Σχέσεις, Τμήματα

RC 222 - media3.gaggenau.com · de conexión de la red eléctrica. ... El aire recalentado debe poder escapar libremente. De lo contrario, el aparato tendrá que aumentar su rendimiento,

Measurement and statistical analysis of customer ...mibes.teilar.gr/proceedings/2016/Kioseoglou-Koemtzi.pdf · Kioseoglou-Koemtzi, 205-222 11th MIBES Conference – Heraklion, Crete,

eranistis.net · 2013. 7. 28. · ΤΟΥ ΑΡΙΣΤΟΦΑΝΗ ΜΕΤΑΦΡΑΣΗ ΦΑΝΗΣ i. ΚΑΚΡΙΔΗ Σ ... ΟΙ γυναίκες καΐ ό πόλεμος 222 xiii. ... μιά

Praxis Altbau 1. PREIS HASIT Fixit 222 Aerogel ... · Energetische Sanierung ¢ Wärmeleitfähigkeit λ D 0,028 W/mk − dämmt drei- bis viermal so gut wie herkömmlicher Dämmputz

kahrbjy.files.wordpress.com · or 212 1 2 2 122 2 2 1 1 (1) ω ω ω ω −=+ −= + rr r r rr r So 2 2 1 22 1 1 r r r ω ω + = − Substituting into (3), we find 222 12 2 2 1 22

470 222 - MDE42

Advanced Theories of Chemical Bonding - MhChem.orgmhchem.org/222/pdfPPT/Ch10BWeb.pdf · Advanced Theories of ... occupy the σ orbital in H 2 MO Diagram for H 2 MAR ... *π* orbitals

3 37,937 Κιλκίς 5 27,44 Γρεβενά 14 9,333 Χαλκιδική 17 28,297 ... · 2014-09-06 · 90 222 ΛΟΥΚΟΠΟΥΛΟΥ ΒΑΣΙΛΙΚΗ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΜΑΓΔΑΛΗΝΗ

CSR-Driven Longitudinal Single Bunch Instability with ... · Figure 1: Results of tracking up to 222 particles with a bunch length of 2 ps. The number of bins per 1 0 has only a small

VITODENS 222-W7819509 18 • Οι τιμές επιβαρύνονται με Φ . Π. Α. Τιμοκατάλογος Μάρτιος 2010 87 VITODENS -W Εξαρτήματα καπναγωγών

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ · 222 700612 ΒΟΛΝΑ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΠΕ02 ΧΑΛΚΙΔΙΚΗ Β ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Βθμια 24.750 223 219414 ΒΟΜΒΑ ΣΤΥΛΙΑΝΗ

296...που ούτε είχα ούτε εξ ιδιοσυγκρασίας θα μπορούσα να έχω. Συγκεκριμένα ο κ. Τ. θεωρεί (σ. 222) ότι η αιτιολογία

ΕΘΕΗ ΕΩΕ ÿΗ Α ÿ ΓΗ Η · ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΑΝΑΦΟΡΑΣ 1/9/2012-31/8/2015 Αθήνα, Μάιος 2016 . 2 ... Το Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Extra exercises, 01325Mathematics 4 · 2013-02-08 · Problem 106 (Extension of Problem 222, Exam 2011) Consider a complex Hilbert space H and a bounded linear operator T: H → H.

222 ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 1997

Τεύχος 222, Δέφτερη Ανάγνωση 13 -20 Ιουνίου 2016

ΔΙΑΓΝΩΣΗ ΔΥΣΛΕΞΙΑΣ Μέθοδος '222'

ΕΡΓΑ – ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ · ¬ ´ ª µ ³ ¸ 64 - 66 / 41 222 ¯ § µ ¶ § · ¬ ¯: 2410 25 92 91 / Φ § ²: 2410 54 98 29 info@archetypos.gr ΕΡΓΑ – ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ

(ΦΕΚ Α τ.222/2012) Δημοσιεύθηκε σήμερα το Μεσοπρόθεσμο Πλαίσιο Δημοσιονομικής Στρατηγικής Ν.4093/2012

Advanced Theories of Chemical Bonding - MhChem.orgmhchem.org/222/pdfPPT/Ch10BWeb.pdf · Advanced Theories of ... occupy the σ orbital in H 2 MO Diagram for H 2 MAR ... π orbitals